8/16/2019 ficha_trabalho_1.doc

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Ficha de trabalho Final nº1

1. Em C, conjunto dos números complexos, considere9

1

11z 2cis 2i

6

π  = + ÷  

 e 2z 2 2i= −

1.1. Represente 1z  na forma trigonométrica.

1.2. ostre !ue

"

1z  e

2

2z s#o números complexos conjugados.

1.3. $a figura est% representada, no plano complexo, parte de

uma coroa circular limitada por duas circunfer&ncias de

centro na origem e !ue cont&m as imagens geométricas

dos números complexos 1z  e 2z .

1.3.1. 'efina por uma condi(#o em C a regi#o colorida da

figura, incluindo a fronteira.

1.3.2. )eja ( )z cis= ρ θ , com * 2≤ θ ≤ π . 'etermine ρ  e θ  para !ue a imagem geométrica

de + iz=  perten(a regi#o colorida da figura.

2. -ma das ruas de uma localidade, em festa, est% ornamentada com

arcos assentes em duas colunas, como o representado no

referencial da figura. s colunas encontram/se a 6 metros de

dist0ncia uma da outra e para cada ponto de acissa x a altura do

arco, em metros é dada por ( )   *," x *," xf x 2e 2e−= − − .

2.1. Calcule ( )f " , com duas casas decimais, e interprete o

resultado no contexto apresentado.

2.2. !ual seria a dist0ncia entre as colunas se as mesmas ti3essem

tr&s metros de altura4 presente o resultado com duas casas

decimais.

2.3. -m cami#o !ue transporta um contentor prepara/se para entrar 

na referida rua. largura do contentor é de 2,6 metros e a

altura do cami#o, incluindo o contentor é de ",5 metros.oder% o cami#o transitar pela rua4

-se as potencialidades da calculadora gr%fica para responder !uest#o formulada.

$uma pe!uena composi(#o, explicite a conclus#o a !ue c7egou, justificando/a

de3idamente. 8nclua os gr%ficos !ue considerar necess%rios e as coordenadas

aproximadas s décimas de pontos rele3antes para a resposta.

3. )endo ( ) ( )f x ln 2e x= + , mostre, utilizando a indu(#o matem%tica, !ue9

( )  ( ) ( )

( )

n 1

:n ;

n

1 n 1 <f x , x 8R, n 8$

2e x

−

−

− −= ∀ ∈ ∀ ∈

+.

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4. -m saco contém olas do mesmo taman7o e do mesmo material, mas de tr&s cores diferentes

: rancas, pretas e 3ermel7as;.

)ae/se !ue9

4.1. Existe, pelo menos, uma ola de cada cor?

4.2. @ número de olas rancas é =?

4.3. @ número de olas pretas é par 

4.4. Extraindo ao acaso uma ola do saco, a proailidade de ela ser ranca é1

"

ro3e !ue, no saco, 7%, pelo menos, duas olas 3ermel7as.

RESPOSTAS: 1.1 2cis6

π  1.31 2 z 2 2 rgz

A 6

π π≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ 1.3.2

= =2 2 2

A "

π π≤ ρ ≤ ∧ ≤ θ ≤

2.1 ( )f " 2,25; 2.2 d A, 62≈ 2.3 d 2,6< , o cami#o n#o passa.

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