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FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: A Geometria Não-Euclidiana na Construção do Conhecimento Matemático
Autor Lygia Aparecida Medeiros Cardeal
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização
Colégio Estadual Professor Paulo Mozart Machado – Ensino
Fundamental e Médio
Alameda Jean Fumiere – 135 Uraí-PR
Município da escola Uraí
Núcleo Regional de Educação Cornélio Procópio
Professor Orientador Dra. Simone Luccas
Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Norte do Paraná (UENP) – Campus
Cornélio Procópio
Relação Interdisciplinar
Não tem
Resumo
Este trabalho destina-se a um estudo sobre a introdução a
Geometria Não-Euclidiana. Apresenta uma noção histórica de
seu surgimento, de alguns pesquisadores que contribuíram
para sua sistematização, como Lobachevscky, Bolyai, Gauss
e Riemann, entre outros. Propõe investigar, também, como
essa Geometria pode ser trabalhada no Ensino Fundamental,
dando ênfase a Geometria Elíptica. Neste estudo é colocada a
importância de se introduzir na formação de professores dos
cursos de ciências a História da Matemática e a História da
Filosofia, contribuindo de modo positivo para uma
aprendizagem efetiva de conteúdos trabalhados na
matemática, inclusive em relação ao tema em questão. A
Geometria Não-Euclidiana é apresentada nas Diretrizes
Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná como
um conteúdo a ser trabalhado, contudo é um assunto pouco
explorado. Foi produzida uma sequencia de atividades
envolvendo a Geometria Euclidiana e a Geometria Não-
Euclidiana, em especial, a Geometria Elítica, a fim de,
estimular e subsidiar alunos e professores do Ensino
Fundamental em relação a tais geometrias, para que possa de
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maneira significativa ampliar seu conhecimento, pensamento
geométrico, promover reflexões e mudanças na prática
pedagógica. A aplicação das atividades será norteada pela
abordagem metodológica da pesquisa-ação e a análise delas
será realizada segundo a análise textual.
Palavras-chave Matemática; Geometria Euclidiana; Geometria Não-Euclidiana;
Geometria Elíptica; História.
Formato do Material Didático Unidade Temática
Público Alvo
Alunos do 8º ano noturno do Colégio Estadual Professor Paulo
Mozart Machado – Ensino Fundamental e Médio.
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO PARANÁ
CAMPUS DE CORNÉLIO PROCÓPIO SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
LYGIA APARECIDA MEDEIROS CARDEAL
A GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA NA CONSTRUÇÃO DO
CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Cornélio Procópio 2012
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LYGIA APARECIDA MEDEIROS CARDEAL
A GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA NA CONSTRUÇÃO DO
CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Unidade Didática apresentada ao Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da Secretaria do Estado da Educação do Paraná (SEED). Orientadora: Profª Drª Simone Luccas
Cornélio Procópio 2012
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SUMÁRIO
1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO...........................................................................
2 TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR PDE......................................................
3 TÍTULO..............................................................................................................
4 INTRODUÇÃO ..................................................................................................
5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..........................................................................
6 ATIVIDADES ....................................................................................................
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS..............................................................................
REFERÊNCIAS.....................................................................................................
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1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: Lygia Aparecida Medeiros Cardeal
Área PDE: Matemática
NRE: Cornélio Procópio
Professor Orientador IES: Profª Drª Simone Luccas
IES Vinculada: UENP – Campus Cornélio Procópio
Escola de Implementação: Colégio Estadual Professor Paulo Mozart Machado -
Ensino Fundamental e Médio.
Público objeto da intervenção: 8º ano noturno
2 TEMA: Tendências Metodológicas em Educação Matemática
3 TÍTULO: A GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA NA CONSTRUÇÃO DO
CONHECIMENTO MATEMÁTICO
4 INTRODUÇÃO
A matemática é importante e está presente no cotidiano, muitas são as
dificuldade encontradas em relação a diversos conteúdos, sua aplicabilidade e sua
aprendizagem. É essencial desenvolver um ensino que integre números, álgebra,
grandezas, medidas, geometrias, funções e tratamento da informação, para
proporcionar ao aluno a construção de seu conhecimento lógico matemático. Desta
forma o ensino da mesma é relevante na formação do aluno, pois além de auxiliá-lo
na busca de valores e atitudes, leva-o a apropriar-se de conhecimentos capazes de
inseri-lo na sociedade. O mesmo acontece com a geometria que é um ramo da
matemática e se faz presente nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do
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Estado do Paraná, pois, além da relevância na formação do aluno contribui também,
para o desenvolvimento da percepção espacial, da criatividade e do raciocínio
lógico.
A utilização e aplicação da Geometria Euclidiana no dia-a-dia e no âmbito
escolar são visíveis e imprescindíveis, pois influenciou e influencia até os dias atuais
o ensino e a aprendizagem devido à sistematização do conhecimento matemático.
Sua obra é baseada em axiomas e postulados até hoje presentes na Educação
Básica. Mas, só a Geometria de Euclides não basta, pois vivemos em um mundo
onde sua forma é esférica, fica evidente que para trabalhar conceitos em geometria
é necessário verificar qual geometria se está trabalhando. Surge assim, nos meados
do século XIX outras geometrias em resposta a muitas dúvidas surgidas no campo
da mecânica, da astronomia, da óptica, da física, da navegação e outros.
Advindo que tal saber é importante e que mudanças ocorreram nas últimas
décadas na Educação, a SEED, a partir de 2003, juntamente com os professores
dos diferentes níveis e modalidades de ensino, equipes pedagógicas e com
educadores dos Núcleos Regionais da Secretaria do Estado da Educação do
Paraná, construíram as Diretrizes Curriculares, resgatando considerações teóricas
metodológicas necessárias para o ensino da Matemática de forma mais significativa
(PARANÁ, 2008).
Diante disto, cinco conteúdos estruturantes foram selecionados, a saber:
números e álgebra, grandezas e medidas, geometrias, funções, e tratamento da
informação. Para o Ensino Fundamental e Médio o Conteúdo Estruturante
Geometrias se desdobra em: geometria plana, geometria espacial, geometria
analítica e noções básicas de geometrias não-euclidianas.
Alguns conteúdos de Geometria Não-Euclidiana são abordados
superficialmente ou mesmo nem abordados nas escolas públicas paranaenses, além
de ocorrer também à falta de conhecimento da maioria dos docentes em relação a
sua aplicabilidade. Portanto, esse é um importante passo para a aplicação da
Geometria Não-Euclidiana tanto no Ensino Fundamental, quanto no Ensino Médio, o
que pauta a realização deste trabalho, pois vivemos em um mundo onde sua forma
esférica através das Geometrias Não-Euclidianas nos mostra novas maneiras de
compreender este espaço e as formas nele contidas.
É de consenso, que um dos objetivos da disciplina de matemática, é de
tornar o ensino mais dinâmico, contextualizado, interdisciplinar, centrado na ética,
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para que, a partir dela, o educando amplie seu conhecimento e se torne um cidadão
crítico, autônomo em suas relações sociais, contribuindo para o desenvolvimento da
sociedade.
Para que se efetive o processo ensino aprendizagem de matemática com
sucesso, é importante que os educadores sejam criativos, tenham uma visão
histórica e crítica de sua Ciência; sejam comprometidos, autônomos e com domínio
de sua prática pedagógica; tomem decisões e sejam capazes de analisar e
solucionar problemas que surjam em sala de aula; e proporcionem aos seus alunos
um ensino de matemática mais significativo.
Nesse contexto, a Geometria Não-Euclidiana, trabalhada no Ensino
Fundamental, pode ser um meio eficaz para propiciar aos alunos a construção do
conhecimento matemático?
Com base em todas estas questões, propõe-se o desenvolvimento deste
trabalho com os alunos do 8º ano noturno do Ensino Fundamental, do Colégio
Estadual Professor Paulo Mozart Machado – Ensino Fundamental e Médio, no
município de Uraí, com o objetivo de levar o aluno a investigar a Geometria Não-
Euclidiana, no Ensino Fundamental, por meio de atividades inerentes ao conteúdo
trabalhado, dando ênfase à Geometria Elíptica, bem como o mesmo seja capaz de
conhecer algumas definições, abordagens de enunciados, conceitos e
demonstrações da Geometria Não Euclidiana. Investigar como a Geometria Não-
Euclidiana pode ser trabalhada no Ensino Fundamental; desenvolver atividades
relacionadas à Geometria Euclidiana e Não-Euclidiana, em particular, a Geometria
Elíptica; aplicar uma seqüência de atividades, no 8º ano, período noturno e por fim
analisar os resultados obtidos. Além disso, mostrar a importância e que a relação
entre estas Geometrias podem ser um meio eficaz para propiciar aos alunos a
construção do conhecimento matemático e geométrico, como sugere as Diretrizes
Curriculares Da Educação Básica de Matemática do Estado do Paraná.
5 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná
(2008), assume-se a Educação Matemática como campo de estudos que possibilita
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ao professor balizar sua ação docente, fundamentado numa ação crítica que
conceba a Matemática como atividade em construção.
Diante disso, cabe ao professor a adequação e estruturação dos conteúdos,
sem perder o caráter científico da disciplina. A inclusão da história da matemática
no ensino vem sendo mundialmente pesquisada e discutida, pois, ocorre
atualmente, uma crise no campo das ciências, entre elas, na Matemática. Segundo
Matthews, atualmente há “alunos e professores evadidos e um alto índice de
analfabetismo nas ciências” (1995, p.165).
Vários são os estudos no campo das ciências em relação à abordagem
histórico-filosófica. Esses estudos podem ser aplicados à Matemática, já que esta é
uma Ciência Formal. Em função disso, é possível realizar uma fundamentação da
História da Matemática em referenciais que tratam da História e da Fisolofia.
Muitos pesquisadores defendem a inclusão da História e da Filosofia nas
ciências de um modo geral e, também, na educação. Entre estes pesquisadores
temos Matthews (1995), que ressalta os aspectos positivos da reaproximação de tais
áreas, pois, estas segundo ele:
[...] podem humanizar as ciências e aproximá-las dos interesses pessoais, éticos, culturais e políticos da comunidade; podem tornar as aulas de ciências mais desafiadoras e reflexivas, permitindo, deste modo, o desenvolvimento do pensamento crítico; podem contribuir para um entendimento mais integral da matéria científica, isto é, podem contribuir para a superação do „mar de falta de significação‟ que se diz ter inundado as salas de aula de ciências, onde fórmulas e equações são recitadas sem que muitos cheguem a saber o que significam; podem melhorar a formação do professor auxiliando o desenvolvimento de uma epistemologia da ciência mais rica e mais autêntica, ou seja, de uma maior compreensão da estrutura das ciências bem como do espaço que ocupam no sistema intelectual das coisas (MATTHEWS, 1995, p.165).
Tais considerações refletem de forma positiva na área da Educação
Matemática. A abordagem de tal enfoque é inexplorada nesta área, mas necessária,
e para isso, currículos devem ser reestruturados, reelaborados e fundamentados em
princípios históricos; professores necessitam de uma formação adequada, e é
necessário haver uma reaproximação do ensino de Ciências com a História e a
Filosofia.
Alguns pesquisadores têm desenvolvido reflexões sobre a importância da
História da Matemática, como Antonio Miguel (1993). Em sua tese de doutorado, o
pesquisador abordou a relação que existe entre a história, a história da matemática
e a educação matemática, pois, ele acredita que:
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[...] cidadãos matematicamente educados com base numa metodologia histórica que promova o pensamento independente e crítico e a autonomia intelectual é que estão melhores preparados para propor, analisar, discutir e votar por medidas emancipadoras referentes ao papel a ser desempenhado no contexto das sociedades atuais pelas ciências em geral e pela matemática em particular (1993, p.114).
No artigo Abordagem histórico-filosófica e Educação Matemática – uma
proposta de interação entre domínios de conhecimento, de Irinéa de Lourdes Batista
e Simone Luccas (2004), ressalta-se que vários pesquisadores desenvolvem
estudos e reflexões em relação à inclusão da História da Matemática no ensino de
matemática, entre eles Carlos Roberto Vianna (1995), Michael N. Fried (2001), que
argumentam que infelizmente não tem ocorrido melhoras na forma de apresentação
do conteúdo nos livros didáticos, que os alunos não mudaram a compreensão em
relação à disciplina, e que pouco se tem feito nas escolas para que esta possa ser
compreendida mais facilmente, por isso defendem tal incorporação.
Conclui-se que, a abordagem da História da Matemática, quando bem
conduzida, pode apresentar resultados satisfatórios para a Educação. Segundo
Batista e Luccas,
[...] a abordagem histórico-filosófica pode apresentar resultados bastante satisfatórios no campo educacional se trabalhada de maneira adequada, pois ela é capaz de instigar a curiosidade dos envolvidos no trabalho, levando-os a conhecer aspectos pertinentes à estrutura do assunto estudado, reconhecer as articulações que o mesmo estabelece ao efetivar sua sistematização, funcionar como um fio condutor dos raciocínios, como um elemento na estrutura didática que favorece a cognoscibilidade dos conteúdos, que justifica racionalmente a coordenação didática, desses, estabelecendo-se no próprio corpo integrado das estruturas de ensino e, como pretendemos de aprendizagem. Esses objetivos alcançados por meio da análise crítica e reflexiva podem conduzir os envolvidos no processo educacional a uma ampliação ou até mesmo a uma mudança de visão de mundo (2004, p. 132).
A Geometria é um ramo da Matemática que desde a antiguidade se faz
presente no cotidiano das pessoas, influenciando o desenvolvimento humano até os
dias atuais. Ela é vista como uma Ciência de natureza lógica e dedutiva, sendo
formulada por postulados, axiomas e noções comuns a todos.
Em torno dos anos 300 a.C., Euclides sistematizou o conhecimento geométrico, na obra Elementos. Seus registros formalizaram o conhecimento geométrico da época e deram cientificidade à Matemática. Nessa obra, o conhecimento geométrico é organizado com coesão lógica e concisão de forma, constituindo a Geometria Euclidiana que engloba tanto a geometria plana quanto a espacial (PARANÁ, 2008, p. 55).
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A obra de Euclides foi de uma importância ímpar para a Geometria, sendo
uma referência na História da Matemática. Em sua obra, utiliza um método lógico
dedutivo, hoje conhecido como método axiomático, composto por dez axiomas,
sendo cinco deles noções comuns e cinco postulados.
Euclides buscou o ideal de uma organização axiomática para a geometria, ou seja, um sistema formado por noções primitivas, definições, axiomas e teoremas. Os axiomas são o começo dessa cadeia dedutiva e são afirmações não demonstradas que Euclides chamou de postulado (aquilo que não se pode). Euclides procurou escolher como postulados e afirmações que, por sua simplicidade, seriam aceitas por qualquer pessoa de bom senso e que eram, em um certo sentido, evidentes por si mesmas (FRANCO & GERÔNIMO, 2004, p.1).
Euclides, no seu livro I enunciou um conjunto de cinco axiomas e cinco
postulados descritos a seguir:
Axiomas (ou noções comuns): 1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si. 2. Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais. 3. Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais. 4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. 5. O todo é maior do que qualquer de suas partes. Postulados: 1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos à vontade. 2. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente. 3. Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários. 4. Todos os ângulos retos são iguais. 5. Se uma reta secante a duas outras formam ângulos, de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado (COUTINHO, 2001, p. 34).
Em uma linguagem mais acessível, o quinto postulado mais conhecido
atualmente como axioma das paralelas, proposto em 1793 pelo matemático e físico
John Playfair, é descrito: “Por um ponto fora de uma reta passa uma e uma só
paralela a ele” (GARBI, 2006, p. 60).
A Geometria Euclidiana foi considerada por muitos séculos como modelo
para explorar o espaço, contudo esse espaço é somente o plano. Surgem assim, os
questionamentos, a Terra é um espaço esférico, pontualmente estamos em um
espaço plano, mas quando se considera grandes distâncias sobre a superfície
terrestre a geometria euclidiana somente não basta.
Esforços foram empreendidos na busca de provar o quinto postulado, muitos
matemáticos dedicaram-se a estudá-lo na tentativa de provar que ele é um teorema
e que pode ser demonstrado, e o fizeram por meio dos quatro primeiros postulados,
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o que acarretou no surgimento de outras Geometrias que revolucionaram a Ciência,
e foi assim denominada: Geometrias Não-Euclidianas. Segundo Arcari:
Ironicamente, podemos dizer que o próprio Euclides, ao adotar seu Quinto Postulado em sua obra “Os Elementos” lançou a semente das Geometrias Não Euclidianas, uma vez que o questionamento de tal postulado levou ao desenvolvimento da teoria que serviu de base para a fundamentação da primeira Geometria Não Euclidiana, ou seja, a Geometria Hiperbólica (2008, p.3).
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do
Paraná (2008): O conhecimento geométrico ganhou mais uma face no final do
século XVIII e início do século XIX, com os estudos de Bolyai, Lobachevsky,
Riemann e Gauss. Surgiram as geometrias não-euclidianas, que trouxeram uma
nova maneira de ver e conceber o conhecimento geométrico.
O pesquisador Boyer argumenta, segundo Silva, que o primeiro registro sobre Geometria Não-Euclidiana ocorreu em 1826 com a Geometria Hiperbólica, quando Lobachevsky, apresentou vários teoremas sobre este assunto e que chama de Geometria Imaginária, entretanto o nascimento oficial dessa Geometria ocorreu três anos mais tarde em 1829 com a publicação do artigo sobre os Princípios da Geometria, de Lobachevsky, no Kasan Messenger (BOYER, 1996 apud SILVA, 2011, p.18).
No ano de 1829, segundo Boyer (1996), Janos Bolyai chega à mesma
conclusão que Lobachevsky, mas suas reflexões só aparecem no ano de 1832 como
apêndice em um tratado de seu pai com o título de Tentâmen, dessa maneira
Lobachevsky é o primeiro a se firmar em relação à publicação sobre a Geometria
Não-Euclidiana.
Segundo Arcari (2008), o matemático Gauss tomou conhecimento do
problema com o Quinto Postulado, que tinha apenas 15 anos de idade, e chega à
conclusão que tal demonstração não era possível baseado nos quatro primeiros. O
fato de Gauss não publicar suas descobertas para Arcari (2008), pode ter sido
motivado pelo medo de rejeição diante de uma Geometria que fosse contrária a
Euclidiana. Outro fator que também o leva a não publicar, é por divergir da filosofia
de Kant, adotada pela Igreja, que aceitava o universo como euclidiano.
Gauss relata o Problema das Paralelas em uma carta a Taurinos em 1824.
Se supusermos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180° (o que equivale a considerar uma das negações do Quinto Postulado),é possível desenvolver uma longa série de resultados não contraditórios que constituem uma Geometria Não Euclidiana (ARCARI, 2008, p. 8).
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Entre os matemáticos citados, o que mais se dedicou e acreditou na
Geometria diferente da Euclidiana, foi Lobachevsky. Durante vinte anos se dedicou e
escreveu três exposições completas, sendo a mais importante lançada em 1855 com
o título Pangeometria, conhecida atualmente por Geometria Lobachevsky
(COUTINHO, 2001).
Na segunda metade do século XIX, embora a maioria dos teoremas da Geometria Hiperbólica já tivesse formalizada havia ainda uma dúvida sobre sua consistência, pois no futuro poderia acontecer de encontrarem contradições lógicas em sua teoria. Tal problema foi solucionado por Eugênio Beltrami (1835-1900) ao criar o primeiro modelo parcial para Geometria Hiperbólica, trata-se de uma superfície gerada através da revolução da curva tratriz em torno de sua assíntora, a esta superfície deu-se o nome de Pseudo-esfera (ARCARI, 2008 apud SILVA, 2011, p.19).
Como previsto por Gauss, a Geometria Não-Euclidiana foi deixada de lado
por várias décadas, até que a partir das ideias de Georg Friedrich Riemann (1826-
1866), passou a ser aceita completamente, no ano de 1954 em uma conferência
para sua integração junto a Universidade de Gottingen. Para o estudioso Boyer
(1996, p.377) a “Geometria nem sequer deveria necessariamente tratar de ponto ou
retas ou do espaço no sentido ordinário, mas sim de coleções de n-uplas que são
combinadas segundo certas regras”.
O matemático alemão Riemann criou uma geometria chamada Elíptica, que
também contraria o Quinto Postulado de Euclides e engloba as ideias de
Lobachevsky. “Na Geometria de Riemann abandona-se a noção de „estar entre‟ e a
reta não é mais infinita como na Geometria Euclidiana, mas sim ilimitada”
(COUTINHO, 2001, p. 73).
Essas descobertas foram consideradas por alguns pesquisadores matemáticos mais exagerados como „o desastre do século XIX‟. Com a perda da certeza da Geometria Euclidiana, esses pesquisadores consideravam, também, a perda de toda a certeza do conhecimento humano. Já para outros mais moderados elas representaram uma dificuldade quanto ao conceito de verdade absoluta, ou seja, antes de um geômetra poder afirmar se um determinado conceito é verdadeiro ou falso, ele deve primeiro verificar em qual sistema está trabalhando (KLEIN, 1994, apud SILVA, 2011, p. 20).
A determinação do sistema geométrico em que se está atuando deve ser
considerada, como mencionado acima, pois estas Geometrias podem apresentar
algumas semelhanças, mas apresentam também várias divergências que podem
conduzir a erros absurdos (KLEIN, 1994 apud Silva, 2011, p.21). Por exemplo,
segundo Coutinho, na Geometria Hiperbólica os quatro primeiros Postulados de
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Euclides são verificados, mas o quinto Postulado é substituído pelo que se segue:
“por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r” (2001,
p. 40).
Nessa Geometria as retas são arcos que apresentam a menor distância entre dois pontos, denominados geodésicas. A soma dos ângulos internos de um triângulo, nessa Geometria, é menor que dois ângulos retos. Essas e outras particularidades podem ser visualizadas em uma pseudo-esfera, uma superfície de curvatura negativa constante, desenvolvida por Beltrami que posteriormente foi aprimorada por Félix Christian Klein e também por Jules Henri Poincaré (COUTINHO, 2001; ARCARI, 2008 apud SILVA, 2011, p.21).
Já a Geometria Elíptica (esférica) estudada por Riemann, contraria o Quinto
Postulado de Euclides e o substitui por outro que afirma “Quaisquer duas retas em
um plano têm um ponto de encontro” (COUTINHO, 2001, p.73).
A Geometria Esférica pode ser verificada em uma superfície esférica de curvatura positiva constante, e assim como a de Lobachevsky apresenta algumas particularidades, como: são consideradas retas nesta Geometria apenas os círculos máximos, seus segmentos de retas são sempre a menor porção do único círculo máximo que pode ser determinado por dois pontos e, assim como na Geometria Hiperbólica, recebe o nome de geodésica; a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre maior que dois retos; entre outras (SILVA, 2011, p. 21).
Diante de tais colocações, fica evidente que para trabalhar conceitos em
geometria é necessário verificar com qual geometria se está trabalhando, a
Euclidiana ou a Não-Euclidiana. De acordo com Boyer “como o plano é uma
superfície com curvatura constante nula, a Geometria Euclidiana pode ser
considerada como um intermediário entre os dois tipos de geometria não euclidiana”
(1996, p.378).
No final do século XIX “Os Elementos” de Euclides não estavam resistindo ao rigor que a lógica exigia para os fundamentos da geometria. Muitas proposições de geometria euclidiana plana faziam uso de resultados que não haviam sido demonstrados anteriormente e que não constavam do rol de axiomas, ou seja, era necessária uma reformulação dos axiomas de Euclides. A proposta que foi melhor aceita pela comunidade matemática foi a do matemático e lógico alemão David Hilbert, publicada em seu célebre trabalho “Grundlagen der Geometrie” (Fundamentos de Geometria) de 1899 onde Hilbert coloca a Geometria Euclidiana sobre bases sólidas por meio da substituição dos cinco Postulados de Euclides por cinco grupos de axiomas, que chamou de Axiomas de Incidência, Axiomas de Ordem, Axiomas de Congruência, Axiomas de Continuidade e Axioma das Paralelas (ARCARI, 2008, p. 12).
Ainda segundo Arcari, com o trabalho de Hilbert as Geometrias Euclidianas
se solidificam, e se encerra talvez um dos problemas que mais perdurou na história
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da matemática, o Problema das Paralelas, introduzido pelo próprio Euclides, e que
resistiu por 2200 anos (2011).
Segundo Baldini (2008), Georg Friedrich Bernhard Riemann deixou um
grande legado para a humanidade quando introduziu o conceito de espaço com
mais de três dimensões. Criou um novo universo geométrico que contribuiu para
grandes descobertas, como no caso da Teoria da Relatividade de Einstein que só
resolveu problemas fundamentais desta Teoria, depois de utilizar conceitos da
Geometria Riemanniana.
O pesquisador Loureiro destaca, segundo Baldini que, para “Einstein, o
universo é considerado finito e ilimitado tendo o espaço uma curvatura positiva
constante, que corresponde ao espaço de Riemann” (LOUREIRO apud BALDINI,
2008, p. 29). Percebe-se assim, que a Geometria Euclidiana não é adequada em
todos os espaços, portanto a necessidade de outras geometrias fica evidente.
Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do
Paraná: “Muitos problemas do cotidiano e do mundo científico só são resolvidos
pelas geometrias não-euclidianas” (2008, p. 56). Assim a Geometria Esférica ou
Riemanniana acaba sendo importante e eficaz no nosso cotidiano. Ainda de acordo
com as Diretrizes:
Para abordar os conceitos elementares da geometria elíptica, uma possibilidade é fundamentá-la através do seu desenvolvimento histórico e abordar: postulado de Riemann; curva na superfície esférica e discutir o conceito de geodésia; círculos máximos e círculos menores; distância na superfície esférica; ângulo esférico; triângulo esférico e a soma das medidas de seus ângulos internos; classificação dos triângulos esféricos quanto à medida dos lados e dos ângulos; os conceitos referentes à superfície da Terra: pólos, equador, meridianos, paralelos e as direções de movimento (PARANÁ, 2008, p. 57).
Riemann desenvolve todo seu estudo na superfície esférica contrariando o
Quinto Postulado de Euclides e estabelece o seu Postulado: “Quaisquer duas retas
em um plano têm um ponto de encontro” (COUTINHO, 2001, p. 73). Portanto, não
existem retas paralelas a uma reta dada na Geometria elíptica, pois qualquer duas
retas nessa geometria sempre se encontram.
Uma maneira de interpretar o postulado acima seria pensar na superfície esférica, onde “retas” seriam os círculos máximos ou geodésias da superfície esférica. Nessa superfície, quaisquer dois círculos máximos se interceptam, aliás, em mais de um ponto (COUTINHO, 2001, p. 73).
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Figura 1: Geodésia Fonte: Prestes (2006 p. 34).
Na Geometria Não-Euclidiana (Esférica) bem como na Geometria Euclidiana
existem ângulos, triângulos e quadriláteros, sendo que cada qual é definido
diferentemente, pois Euclides desenvolve a geometria em superfícies de curvatura
nula, isto é, as superfícies planas, e Riemann desenvolve a geometria sobre
superfícies de curvaturas positivas, ou seja, nas superfícies curvas, temos assim a
uma das Geometrias Não-Euclidianas, conhecida como Geometria Esférica.
Segundo Coutinho, na Geometria Elíptica: “Sendo círculos máximos as
“retas” da superfície esférica, defini-se o ângulo esférico como sendo a intersecção
de dois círculos máximos e a sua medida é a mesma do ângulo plano formado pelas
tangentes tiradas do ponto de intersecção” (2001, p. 83).
Figura 2: Ângulo Esférico Fonte: Prestes (2006 p. 36).
“Sejam A, B, e C três pontos distintos sobre uma esfera e não pertencentes a
um mesmo círculo máximo. A figura formada pelos arcos de círculos máximos que
une esses pontos dois a dois chama-se triângulo esférico ABC” (2001, p. 84)
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Figura 3: Triângulo esférico Fonte: Prestes (2006 p. 36)
Na Geometria elíptica a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico
não é constante pode variar entre 180° e 900° dependendo do triângulo
considerado. Portanto se um triângulo ABC ocupar metade da esfera a soma de
seus ângulos internos variam entre:
180° < Â + B + C < 540°
Se o triângulo ABC ocupar quase toda a área da esfera a soma dos ângulos
internos variam entre:
180° < Â + B + C < 900°
Além disso, ao contrário dos triângulos euclidianos, os triângulos esféricos
podem ter dois ou três ângulos retos (BALDINI, 2008).
De acordo com Coutinho, os triângulos esféricos classificam-se:
Quanto aos ângulos: retângulo – um ângulo reto; birretângulo – dois ângulos retos; e trirretângulo – os três ângulos retos. Quanto aos lados: retilátero – um lado medindo 90°; birretilátero – dois lados medindo 90° cada um ; e trirretilátero – cada um dos lados medindo 90° (2001, p.86).
Além dos triângulos na Geometria Elíptica há também o estudo dos
quadriláteros, no entanto, neste trabalho nos deteremos á análise somente dos
triângulos.
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6 ATIVIDADES
Algumas atividades serão desenvolvidas, explorando conceitos das
Geometrias Euclidiana e Não-Euclidiana, a fim de que tais assuntos sejam
sistematizados, aprimorados e aprendidos pelos alunos, levando-os a diferenciarem
e compreenderem tais geometrias.
Estas atividades foram desenvolvidas baseadas nos trabalhos de Baldini
(2008), Coutinho (2001), Cruz (2008), Fillos (2007), Pataki (2003) e também Silva
(2011).
Para realização das mesmas serão utilizados os seguintes materiais:
Folhas de sulfite.
Réguas flexíveis construídas juntamente com os alunos.
Transferidores flexíveis construídas juntamente com os alunos.
Barbantes.
Lápis e caneta.
Bolas de isopor e de plástico.
Bexigas.
1ª Atividade
Os objetivos desta atividade são:
Compreender aspectos históricos da Geometria Euclidiana;
Entender os axiomas e postulados sistematizados por Euclides.
Atividade:
Fazer uma pesquisa a respeito da Geometria Euclidiana, preferencialmente no
laboratório de informática, em grupo de três a quatro integrantes, sobre os seguintes
questionamentos:
1. Quem foi Euclides de Alexandria?
2. Qual foi a obra mais importante escrita por Euclides?
3. Quais foram os axiomas e os postulados sistematizados por Euclides na
Geometria Euclidiana?
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Orientação:
Após a pesquisa, os alunos deverão socializar suas respostas com os demais
colegas da turma, para um melhor entendimento e formalização do assunto
pesquisado. Se necessário o professor poderá complementar com algumas
informações históricas em relação a tal Geometria.
2ª Atividade
Os objetivos desta atividade são:
Retomar os conceitos básicos de Geometria Euclidiana;
Relacionar a Geometria Euclidiana com a Não-Euclidiana por meio dos cinco
postulados de Euclides;
Conhecer alguns conceitos da Geometria Não-Euclidiana, bem como algumas
demonstrações;
Apresentar alguns conceitos de Geometria Elíptica (Esférica).
Atividade 2.1:
Retomar com os alunos, por meio de aulas expositivas e dialogadas, conceitos
básicos de Geometria relativos a:
Ponto;
Reta;
Plano;
Posições de uma reta em relação ao chão;
Posições relativas de duas retas em um plano;
Semirreta;
Segmento de reta;
Figuras geométricas planas e não-planas;
Ângulos.
Atividade 2.2:
Após retomar esses conceitos, propor aos alunos os seguintes exercícios:
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a) Trace em uma folha de sulfite uma reta s e um ponto P fora desta reta. Quantas
retas paralelas a s podem ser traçadas passando pelo ponto P? Em seguida discuta
com os seus colegas a sua resposta.
Orientação:
Espera-se que o aluno responda que passa somente uma única reta, depois de
observar a sua construção. Podemos notar então que estão trabalhando em uma
superfície plana e usando o 5º Postulado de Euclides, que atualmente foi
reformulado em uma linguagem mais acessível: “Por um ponto fora de uma reta
passa uma e uma só paralela a ele” (GARBI, 2006, p.60).
b) Agora, em uma bexiga vazia faça a mesma coisa, trace uma reta s e um ponto P
fora da reta. Em seguida encha a bexiga e verifique o que acontece. As retas são
paralelas? Discuta com seus colegas o que descobriu.
Orientação:
Provavelmente o aluno após encher a bexiga irá concluir que as retas não são
paralelas, elas farão uma curva, ou um arco. Concluindo assim que por um ponto P
fora da reta s não passa nenhuma reta paralela a r. Portanto, espera-se que
percebam que a superfície não é mais plana, mas sim uma superfície esférica.
c) Do outro lado da mesma folha de sulfite marque dois pontos A e B quaisquer, e
trace uma reta que represente a menor distância entre eles. Após ter feito esta reta,
prolongue-a e analise o que aconteceu.
Orientação:
O aluno provavelmente irá dizer que acabou a folha e não dará mais para prolongar
a mesma, contudo, se a folha fosse infinita a reta também seria. É importante
reforçar que na Geometria Euclidiana, o plano (folha) e a reta (linha) são entes
infinitos.
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d) Agora em uma bexiga vazia marque os mesmos dois pontos A e B, como na
atividade anterior e trace um segmento de reta entre eles. Em seguida, encha a
bexiga e vá prolongando esta reta nas duas direções, para auxiliar essa ação pegue
um barbante coloque sobre esse segmento e com uma caneta esferográfica e a
ajuda de um colega continue o traçado. O que aconteceu? Ainda na mesma bexiga
marque outros pontos, como por exemplo: pontos C e D; pontos E e F e faça o
mesmo procedimento. O que aconteceu?
Orientação:
Supõe-se que o aluno dirá que ao prolongar as extremidades do segmento se
encontraram formando um círculo. Estes círculos ou parte deles, na Geometria Não-
Euclidiana e mais especificamente na Geometria Elíptica, se chamam GEODÉSIA.
Uma geodésia é a menor distância entre dois pontos ou círculos máximos da
superfície esférica e é finita.
Portanto na Geometria Não-Euclidiana, particularmente na Geometria Elíptica,
podemos traçar infinitas geodésias sobre uma superfície esférica, sendo que elas
são finitas e podem se interceptar.
É importante que os alunos compreendam que nesta geometria não existem retas
paralelas, contrariando o 1º Postulado de Euclides. É relevante, também, que o
aluno conclua que a geodésia é ilimitada, mas finita.
3ª Atividade
Os objetivos desta atividade são:
Reconhecer figuras geométricas planas (triângulo);
Identificar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° na
Geometria Euclidiana e na Geometria Não-Euclidiana é maior que 180°;
Determinar o sistema geométrico em que se está atuando por meio de conceitos
já estudados nas Geometrias Euclidianas e não-Euclidianas;
Compreender a diferença existente entre a Geometria Euclidiana e Não-
Euclidiana (Geometria Elíptica) nas superfícies estudadas.
a) Na mesma folha de sulfite utilizada na atividade 2, trace três pontos não alinhados
A, B e C. Em seguida una o ponto A com o ponto B, o ponto B com o ponto C e por
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fim o ponto C com o ponto A, por meio de segmentos de reta. O que encontrou?
Meça com o transferidor cada ângulo interno da figura encontrada. Qual a soma
desses ângulos?
Orientação:
O aluno irá responder que encontrou um triângulo e que a soma dos ângulos
encontrados é de 180°. De acordo com a Geometria Euclidiana em qualquer
triângulo a soma dos ângulos internos será sempre igual a 180°. Lembremos que a
Geometria Euclidiana é analisada em uma superfície plana.
b) Em uma bola de isopor ou de plástico, com auxílio de elásticos represente três
geodésias, como já visto na 2ª atividade item d. O encontro dessas três grandes
geodésias determinam uma figura geométrica. Como se chama esta figura?
Em seguida com o auxílio de um transferidor flexível, determine o valor de cada
ângulo em cada vértice da figura encontrada e faça a soma destes ângulos. Qual foi
a soma que encontrou?
Orientação:
O aluno provavelmente encontrará uma figura com forma triangular e após as
medições concluirá que a soma dos ângulos internos será maior que 180°. Nesta
atividade quando usamos a superfície esférica e dependendo do tamanho do
triângulo os ângulos internamente somados serão maiores que 180°. A união de três
pontos A, B e C não pertencentes a uma mesma circunferência máxima forma um
triângulo esférico, se o triângulo ocupar a metade da esfera a soma dos ângulos
internos varia entre 180° e 540°, mas se o triângulo ocupar quase toda a esfera a
soma dos ângulos internos variam entre 180° e 900°. Portanto, assim estamos
trabalhando a Geometria Elíptica que é um tipo de Geometria Não-Euclidiana.
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7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho se propõe a investigar a apropriação de conceitos, definições,
abordagens de enunciados e demonstrações elementares da Geometria Euclidiana
e Não-Euclidiana em particular da Geometria Elíptica, através de pesquisa
qualitativa e bibliográfica, de observações em sala de aula, de uma sequência de
atividades e de documentos produzidos pelos participantes.
Abordar a Geometria Não-Euclidiana na rede pública estadual é algo
desafiador. Tal conteúdo é contemplado nas Diretrizes Curriculares da Educação
Básica de Matemática do Estado do Paraná, mas não existe aplicabilidade por parte
dos professores, pois os mesmos desconhecem conceitos básicos da mesma, bem
como, material e livros didáticos são inexistentes.
Diante de tais fatos, buscou-se a realização deste estudo e para isso
realizou-se uma revisão de literatura que subsidiou tal trabalho a fim de mostrar aos
professores e alunos, que a Geometria Não-Euclidiana é importante e necessária no
contexto escolar.
A partir de leituras e estudos sobre a História da Matemática, da Geometria
Euclidiana e Não-Euclidiana, percebeu-se que muito se têm em comum as duas
Geometrias, mas que a partir do Quinto Postulado de Euclides alguns conceitos
mudam, e em determinados momentos a Geometria Euclidiana não basta e não é
adequada em todos os espaços, já que vivemos em um mundo esférico, sendo
necessárias outras geometrias, as Não-Euclidianas. Percebeu-se também que
através das Geometrias Não-Euclidanas, o estudante poderá construir definições e
conceitos diferentes das encontradas na Geometria Euclidiana, e para isso é
necessário verificar qual geometria se está trabalhando; se a superfície for plana
utilizar-se-á a Euclidiana, se for superfície curva utilizar-se-á a Não-Euclidiana.
Assim, serão desenvolvidas algumas atividades que poderão contribuir
significativamente na realização de abstrações e generalizações matemáticas, pois o
aluno irá aprender fazendo, através do tato e não somente da mente, descobrindo
qual geometria deverá utilizar.
Espera-se que este trabalho contribua de maneira significativa para as
práticas pedagógicas dos professores e que através destas, alunos tenham uma
aprendizagem eficaz em relação ao conteúdo Geometrias Não-Euclidianas em
particular a Geometria Elíptica.
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REFERÊNCIAS
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BATISTA, Irinéa de Lourdes; LUCCAS, Simone. Abordagem histórico-filosófica e Educação Matemática – uma proposta de interação entre domínios de conhecimento. Educ. Mat. Pesqui., São Paulo, v. 6, n. 1, PP. 101-133, 2004.
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2008. Caderno Pedagógico (PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional) – Secretaria Estadual de Educação e Universidade Federal do Paraná. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/portal/home.php.Educadores. Programas e Projetos - PDE - Produções PDE. Acesso em: 12 set. 2012.
FILLOS, Leoni Malinoski. Outras Geometrias: Controvérsias, desafios e Tormentos Intelectuais. 2007. Produção Didático Pedagógica – Folhas (PDE –
Programa de Desenvolvimento Educacional) – Secretaria Estadual de Educação e Universidade Estadual do Centro Oeste. Disponível em: http://www.diaadiaeducaao.pr.gov.br/portals/portal/home.php.Educadores. Programas e Projetos - PDE. Produções PDE. Acesso em : 14 set. 2012.
GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 2. Ed. São Paulo: Editora Livraria da Física,
2007. 468 p.
GERÔNIMO, José Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Plana e Espacial – Um estudo axiomático. Maringá – PR. UEM, 2004
MATTHEWS, Michael. R. História, filosofia e ensino de ciências:a tendência atual de reaproximação. In: Science E Education, 1 (1), p. 11-47, 1992. Tradução: Andrade, C. M, Cad. Cat. Ens. Fís., v 12, n.3: p. 164-214, dez. 1995.
MIGUEL, Antonio. Três estudos sobre história e educação matemática. Tese de doutorado, Faculdade de Educação, Unicamp, 1993.
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PATAKI, Irene. Geometria Esférica Para Formação De Professores: Uma
Proposta Interdisciplinar. Anais do VIII ENEM – Comunicação Científica,2004. Disponível em: WWW.sbem.com.br/files/viii/pdf. Acesso em: 14 set. 2012.
PRESTES, Irene da Conceição Rodrigues. Geometria Esférica – Uma Conexão com a Geografia. São Paulo, 2006. (Dissertação de Mestrado – USP).
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THIOLLENT, Michel. Metodologia da pesquisa-ação. 15. ed. São Paulo: Cortez, 2007.