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Universidade Estadual de CampinasINSTITUTO DE MATEMATICA, ESTATISTICA E COMPUTACAO CIENTIFICA

Departamento de Matematica

Tese de Doutorado

Identidades Graduadas em Algebrasnao-Associativas

por

Diogo Diniz Pereira da Silva e SilvaDoutorado em Matematica - Campinas - SP

Orientador: Prof. Dr. Plamen Kochloukov

†Este trabalho contou com apoio financeiro da FAPESP.

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FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Bibliotecária: Maria Fabiana Bezerra Müller – CRB8 / 6162

Silva, Diogo Diniz Pereira da Silva e

Si38i Identidades graduadas em álgebras não associativas/Diogo Diniz

Pereira da Silva e Silva-- Campinas, [S.P. : s.n.], 2010.

Orientador : Plamen Kochloukov

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto

de Matemática, Estatística e Computação Científica.

1.Álgebra não-comutativa. 2.PI-álgebras. 3.Polinômios. 4.Jordan,

Álgebra de. 5.Lie, Álgebra de. I. Kochloukov, Plamen Emilov. II.

Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática,

Estatística e Computação Científica. III. Título.

Título em inglês: Graded identities in non associative algebras Palavras-chave em inglês (Keywords): 1. Noncommutative algebras. 2.PI-algebras. 3. Polynomials. 4. Jordan algebras. 5. Lie algebras. Área de concentração: Álgebra Não-Comutativa Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora: Prof. Dr. Plamen Kochloukov (IMECC – UNICAMP) Prof. Dr. Antônio José Engler (IMECC – UNICAMP) Prof. Dr. Ivan Chestakov (IME – USP) Profa. Dra. Irina Kashuba (IME – USP) Prof. Dr. Victor Petrogradskiy (Ulyanovsk State University) Data da defesa: 13/12/2010 Programa de Pós-Graduação: Doutorado em Matemática

ii

Agradecimentos

O conjunto de pessoas a quem devo meus agradecimentos e enumeravel, mas muito difıcil

de enumerar, sendo assim agradeco a todos aqueles que de alguma maneira, diretamente por

meio de sugestoes e discussoes, ou indiretamente por meio de algum gesto de incentivo, me

ajudaram na difıcil tarefa de concluir essa tese. Para voces meus mais sinceros agradecimen-

tos, pois este trabalho nao serıa possıvel sem essa ajuda.

Alguns nomes devem ser mencionados explicitamente, agradeco:

A minha familia por me ajudar em tudo o que lhes foi possivel.

A minha esposa, pela paciencia e principalmente por acreditar em mim quando eu mesmo

duvidei.

Aos colegas da UAME por me criarem um ambiente de trabalho que nos incentiva a

buscar sempre crescer, melhorar e buscar ”dar o maximo de si”.

Ao meu orientador Plamen Kochloukov pela excelente orientacao, pelas sugestoes de

problemas, pelas discussoes que sempre foram muito proveitosas, pelas varias correcoes no

texto, tudo isso foi essencial para a elaboracao desta tese.

Aos funcionarios do IMECC/Unicamp pelo excelente ambiente de estudo.

A Fapesp pelo apoio financeiro.

iv

Resumo

Neste trabalho apresentamos um estudo sobre identidades polinomiais graduadas em

algebras nao associativas. Mais precisamente estudamos as identidades polinomiais gradu-

adas da algebra de Lie das matrizes de ordem 2 com traco zero com as tres graduacoes

naturais, a Z2-graduacao, a Z2 × Z2-graduacao e a Z-graduacao, neste caso conseguimos

uma nova demonstracao baseada em metodos elementares dos resultados de [27] que nao se

baseia em resultados da Teoria de Invariantes, estes resultados foram publicados em [30].

Estudamos tambem as identidades graduadas da algebra de Jordan das matrizes simetricas

de ordem 2, neste caso obtivemos bases para as identidades graduadas dessa algebra de Jor-

dan em todas as possıveis graduacoes, obtivemos tambem bases para as identidades fracas

para os pares (Bn, Jn) e (B, J), onde Bn e B denotam as algebras de Jordan de uma forma

bilinear simetrica nao degenerada nos espacos vetoriais Vn e V respectivamente, onde Vn

tem dimensao n e V tem dimensao ∞, esses resultados estao no artigo [29], aceito para

publicacao.

v

Abstract

In this thesis we study graded identities in nonassociative algebras. Namely we study

graded polynomial identities for the Lie algebra of the 2×2 matrices with trace zero with it´s

three natural gradings, the Z2-grading, the Z2×Z2-grading and the Z-grading, in this case we

obtained a new proof of the results of [27] that doesn´t involve use of Invariant Theory, this

results were published in [30]. We also studied the graded identities of the Jordan algebra

of the symmetric matrices of order two, we obtained basis for the graded identities of this

Jordan algebra in all possible gradings, we also obtained basis for the weak identities of the

pairs (Bn, Jn) and (B, J), where Bn and B are the Jordan algebras of a symmetric bilinear

form in a the vector spaces Vn and V respectively, where Vn has dimension n and V has

countable dimension, this results are in the article [29], accepted for publication.

vi

Sumario

Introducao 1

1 Conceitos Basicos 5

1.1 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Algebras Graduadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Algebras Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Identidades Polinomiais. Variedades. Algebras Relativamente Livres . . . . . 13

1.5 Identidades Graduadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Identidades Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Identidades Graduadas em Algebras de Lie 20

2.1 As identidades graduadas de sl2(K), charK 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 As identidades graduadas de sl2(K), charK = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 As identidades Z2-graduadas de sl2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2 As identidades Z-graduadas de sl2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3 As identidades Z2 × Z2-graduadas de sl2 . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Identidades Graduadas em Algebras de Jordan 36

3.1 Graduacoes em Algebras de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Graduacoes na algebra de Jordan das matrizes simetricas 2× 2 . . . . . . . . 38

3.3 Identidades 2-graduadas em Algebras de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 A graduacao nao-escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 As algebras de Jordan de uma forma bilinear simetrica: Identidades

fracas e Identidades 2-graduadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 As identidades graduadas da algebra de Jordan das matrizes simetricas 2× 2 54

3.4.1 As identidades A-graduadas de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.2 As identidades B-graduadas de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.3 As identidades C-graduadas de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.4 As identidades D-graduadas da algebra de J . . . . . . . . . . . . . . 59

Bibliografia 60

vii

Introducao

A teoria das algebras que satisfazem identidades polinomiais, chamadas tambem PI algebras,

e uma parte importante da teoria de aneis e algebras. Os primeiros estudos sobre PI algebras

aparaceram, embora de forma implıcita, na decada de 1920-1930, nas pesquisas de Wagner

e Dehn. (Entrando em detalhes de caracter historico, ainda no seculo 19, Sylvester estudou

topicos que hoje em dia sao tradicionalmente considerados parte da PI teoria; ele publicou,

em 1852 e 1853 trabalhos dedicados aos invariantes de matrizes de ordem 2. Por outro lado,

consideramos que aqui nao e o lugar mais adequado para tais excursoes historicas, e que

nao somos especialistas quando o assunto e historia da Algebra.) O desenvolvimento proprio

da PI teoria iniciou-se com trabalhos de N. Jacobson e I. Kaplansky ha aproximadamente

65 anos. Atualmente esta teoria e uma area da algebra bem desenvolvida e em expansao

rapida. Sao tres as principais linhas de pesquisa sobre PI algebras. A primeira (e a mais

classica) estuda as propriedades de uma algebra (ou um anel) sabendo-se que ela satisfaz

alguma identidade polinomial. Em outras palavras, se A e uma algebra que satisfaz al-

guma identidade polinomial, o que podemos dizer sobre a estrutura de A. A segunda linha

representa-se por pesquisas sobre as classes de algebras que satisfazem um dado sistema de

identidades polinomiais (essas classes sao chamadas de variedades de algebras). A terceira

estuda as identidades polinomiais satisfeitas por uma algebra interessante. Gostarıamos de

deixar claro que tal divisao nao e definitiva nem exata e que os problemas na PI teoria, na

maioria das vezes, estao interligados. Ainda mais, pesquisas em PI teoria utilizam metodos

e tecnicas provenientes de outras areas da Algebra (estrutura de aneis, representacoes de

algebras, algebras graduadas, algebra comutativa, acoes de grupos, para citar algumas), da

Combinatoria, da Teoria de representacoes de grupos (especialmente dos grupos simetrico e

geral linear), da Algebra linear, da Teoria de grupos, e outras areas da Matematica. Uma

discussao mais detalhada sobre o desenvolvimento da PI teoria pode ser encontrada, por

exemplo, na monografia [12], ou nas [18, 21].

Durante os ultimos 20 anos observa-se uma tendencia de maior concentracao de pesquisa

sobre identidades graduadas. As identidades graduadas, em algebras associativas, apare-

cem com forca total na fundamental e celebrada pesquisa desenvolvida por A. Kemer. Essa

1

pesquisa permitiu que Kemer desse uma resposta positiva ao famoso problema de Specht

e desenvolvesse a estrutura dos ideais de identidades polinomiais em caracterıstica 0. Os

principais resultados e metodos da teoria de Kemer podem ser encontrados nas monogra-

fias [22, 18, 21]. A teoria de Kemer revelou de maneira clara que as algebras associativas

com identidades polinomiais tem semelhancas profundas com as algebras comutativas e fi-

nitamente geradas. Logo apos os trabalhos de Kemer, por volta de 1987, as identidades

graduadas tornaram-se objeto de pesquisas independentes e muito ativas.

Sem duvida alguma as algebras matriciais e relacionadas a elas sao de grande importancia

para a algebra e as aplicacoes. Mas enquanto a estrutura dessas algebras e bem conhecida,

pouco se sabe sobre as identidades por elas satisfeitas. As identidades das algebras Mn(K)

sao conhecidas somente quando n = 1 (trivialmente), e n = 2, ver [33] para charK = 0, e [26]

e [10] para charK = p > 2. Nao se sabe quase nada sobre as identidades da algebra M2(K)

quando charK = 2, nem sobre as de M3(K), nem mesmo em caracterıstica 0. As algebras

Mn(K) admitem uma graduacao natural com o grupo Zn, nos referimos a essa graduacao

como sendo a n-graduacao de Mn(K). Se eij sao as matrizes elementares: com entrada 1

na posicao (i, j) e 0 nas demais, entao Mn(K) = ⊕At onde t ∈ Zn e At e o espaco gerado

pelas eij com j − i ≡ t (mod n). As identidades 2-graduadas de M2(K) foram descritas

em [17] quando charK = 0, e em [28] quando charK = p > 2, e |K| = ∞. Mais tarde em

[39] foi descrita uma base das identidades n-graduadas em Mn(K), charK = 0, e em [2],

o mesmo resultado foi obtido para |K| = ∞. Ressaltamos que as identidades Z-graduadas

de Mn(K) foram descritas em [41] (charK = 0), e em [2] (|K| = ∞). Considerando-se

algebras associativas, sabe-se bastante sobre as identidades graduadas das algebras T-pri-

mas, que desempenham um papel muito importante na teoria de Kemer, ver por exemplo

[3, 4] e as bibliografias desses dois artigos. Ressaltamos que as identidades graduadas dessas

algebras foram estudadas em caracterıstica 0, bem como em caracterıstica positiva. As

informacoes assim obtidas foram utilizadas no estudo do comportamento dos respectivos

T-ideais conforme a caracterıstica do corpo. As possıveis graduacoes de Mn(K), charK = 0

e K algebricamente fechado, foram descritas em [7], assumindo-se o grupo da graduacao

abeliano e finito.

Podemos observar que descricoes das identidades polinomiais satisfeitas por algebras de

importancia sao conhecidas em poucos casos. Ja foi comentado que as identidades de algebras

(associativas) simples sao conhecidas somente para as matrizes de ordem 2 (e ainda com res-

tricoes sobre a caracterıstica do corpo). Portanto estudam-se outros tipos de identidades

polinomiais. Assim, as identidades com traco nas algebras matriciais foram estudadas e des-

critas independentemente por Procesi (veja [32]) e por Razmyslov (veja por exemplo [33])

Esses estudos foram marcantes pois os metodos desenvolvidos por Procesi e por Razmyslov

nas duas abordagens ao problema, sao de grande importancia na Teoria de aneis. Assim, Pro-

2

cesi comecou o uso sistematico da Teoria de invariantes em PI algebras, enquanto Razmyslov

utilizou o conceito de identidades fracas, bem como aprofundou as varias aplicacoes das re-

presentacoes do grupo simetrico. Nesta tese trataremos, entre outras coisas, de invariantes,

bem como de identidades fracas.

As identidades fracas sao de interesse para o nosso trabalho pois sao uma ferramenta

poderosa para o estudo de identidades em algebras de Lie e de Jordan. As identidades

fracas foram introduzidas em 1973 por Razmyslov ([34]) e foram cruciais na descricao das

identidades da algebra matricial M2(K). Ressaltamos que no mesmo trabalho Razmyslov

determinou bases finitas para a algebra de Lie sl2(K) das matrizes de ordem 2 de traco 0,

bem como das identidades fracas do par (M2(K), sl2(K)) (tudo isso em caracterıstica 0). As

identidades fracas em algebras matriciais foram importantes para a construcao de polinomios

centrais nessas algebras, veja [33].

Mais tarde, identidades fracas foram empregadas no estudo das identidades em algebras

nao associativas. Em 1985, Iltyakov em [19] estabeleceu a propriedade de base finita para a

algebra de Jordan de uma forma bilinear nao degenerada simetrica num espaco vetorial de

dimensao finita (em caracterıstica 0). Em 1989 Vasilovsky [37] determinou uma base para as

identidades de sl2(K) no caso em que K e qualquer corpo infinito de caracterıstica diferente

de 2, e em 1991, de novo Vasilovsky [38] determinou bases explıcitas para as identidades da

algebra de Jordan de uma forma bilinear, simetrica e nao degenerada, num espaco vetorial

qualquer (com algumas restricoes sobre a caracterıstica do corpo). Em 1987–1991 Koshlukov

e Drensky [14, 15] e Koshlukov [23] estudaram a algebra relativamente livre dessa algebra de

Jordan. Todos esses trabalhos fizeram uso sistematico de identidades fracas. Nos trabalhos

de Vasilovsky foi utilizada a Teoria de invariantes do grupo ortogonal. Mais tarde essas

ideias foram desenvolvidas para a descricao de uma base finita das identidades de M2(K)

para K qualquer corpo infinito de caracterıstica diferente de 2, [26].

Surpreendentemente, identidades graduadas em algebras nao associativas nao tem sido

estudadas detalhadamente. Em [36] Repin descreveu as graduacoes em sl2(K), por um grupo

abeliano finito, e em cada um dos casos, descreveu a respectiva algebra relativamente livre

na linguagem das representacoes do grupo simetrico (em caracterıstica 0). Em [27] foram

descritas bases das identidades graduadas em sl2(K) sobre qualquer corpo infinito K de

caracterıstica diferente de 2. Ressaltamos que em [40] Vasilovsky descreveu as identidades

2-graduadas da super-algebra de Jordan de uma forma bilinear simetrica e nao degenerada

(em caracterıstica 0). Por outro lado, nos trabalhos [6, 7] foram descritas as graduacoes em

algebras de Lie simples, bem como em algebras de Jordan simples.

Neste trabalho estudamos as graduacoes nas algebras matriciais, nas algebras das matri-

zes triangulares superiores e outras algebras importantes. Estudamos tambem as respectivas

identidades graduadas.

3

A tese esta organizada na seguinte maneira.

O primeiro capıtulo contem uma parte dos pre-requisitos para a leitura dos capıtulos

posteriores. Recordamos as definicoes e as propriedades basicas de anel, algebra etc., de

identidade polinomial, T-ideal. Oferecemos varios exemplos, na sua maioria utilizados mais

adiante na dissertacao. Definimos tambem os conceitos de algebra relativamente livre, varie-

dade de algebras e discutimos brevemente as propriedades mais importantes desses conceitos.

Em seguida introduzimos algebras graduadas, identidades graduadas e todos os conceitos

relacionados com elas que serao necessarios no decorrer da tese. Ressaltamos que nesse

capıtulo, como regra geral, as afirmacoes estao sem as devidas demonstracoes, mas com

citacoes para que o leitor interessado possa encontra-las.

No segundo capıtulo estudamos as identidades graduadas da algebra de Lie das matri-

zes de ordem 2 com traco zero, essas identidades foram descritas em [27], mas para obter

esses resultados foram necessarios resultados de teoria de Invariantes. Apresentamos esses

resultados brevemente na primeira secao deste capıtulo e na segunda secao damos uma nova

demonstracao desses resultados baseada em metodos elementares.

No terceiro capıtulo estudamos as graduacoes e as identidades graduadas da algebra de

Jordan das matrizes simetricas de ordem 2, B2. As graduacoes das algebras de Jordan de

uma forma bilinear simetrica nao degenerada foram descritas em [6] e como corolario desta

descricao nao e difıcil descrever as graduacoes da algebra de Jordan das matrizes simetricas

de ordem 2. Em seguida obtemos bases para as identidades graduadas de B2 com essas

graduacoes. Em uma das graduacoes, a graduacao escalar, utilizamos resultados da Teoria

de Invariantes e os metodos utilizados permitiram obter um resultado mais geral, foram

descritas as identidades 2-graduadas das algebras Bn e B, as algebras de Jordan de uma

forma bilinear simetrica e nao degenerada dos espacos vetoriais Vn (de dimensao n) e V (de

dimensao ∞) respectivamente e as identidades fracas para os pares (Bn, Vn) e (B, V ).

Os principais resultados desta tese podem ser encontrados nos artigos [30] e [29] (o

primeiro ja publicado, e o segundo foi aceito para publicacao). Esses resultados estao no

capıtulo 2 e no capıtulo 3 respectivamente.

4

Capıtulo 1

Conceitos Basicos

O objetivo deste capıtulo e apresentar os conceitos e resultados basicos necessarios para o

desenvolvimento deste trabalho, em especial o conceito de algebras com identidades polino-

miais que e o nosso objeto principal de estudo. Ao longo deste trabalho K denota um corpo

e, a menos de alguma mencao em contrario, todas as algebras e espacos vetoriais serao sobre

K.

1.1 Algebras

Definicao 1.1 Uma K-algebra e um par (A, ∗), onde A e um espaco vetorial e ∗ e uma

operacao em A que e uma aplicacao bilinear, ou seja, ∗ : A× A −→ A satisfaz

• a ∗ (b+ c) = (a ∗ b) + (a ∗ c)• (a+ b) ∗ c = (a ∗ c) + (b ∗ c)• (λa) ∗ b = a ∗ (λb) = λ(a ∗ b)para quaisquer a, b, c ∈ A e λ ∈ K.

Na definicao acima, ∗ e chamada de produto ou multiplicacao. Em geral omitimos o

sımbolo ∗ e denotamos a ∗ b, com a, b ∈ A, simplesmente por ab. Tambem por simplicidade,

vamos usar a expressao algebra em vez de K-algebra.

Uma algebra A e dita:

• associativa se (ab)c = a(bc) para quaisquer a, b, c ∈ A.

• comutativa se ab = ba para quaisquer a, b ∈ A.

• unitaria (ou com unidade) se o produto possui elemento neutro, ou seja, se existe 1 ∈ Atal que 1a = a1 = a para todo a ∈ A.

• algebra de Lie se a2 = aa = 0 e (ab)c + (bc)a + (ca)b = 0 (identidade de Jacobi) para

quaisquer a, b, c ∈ A.

• algebra de Jordan se para quaisquer a, b ∈ A vale ab = ba e (a2b)a = a2(ba).

5

Definicao 1.2 Seja A uma algebra e sejam x, y, z ∈ A, denotamos por (x, y, z) = (xy)z −x(yz) o associador dos elementos x, y, z. Denotamos por [x, y] = xy − yx o comutador dos

elementos x, y. Definimos indutivamente (x1, x2, . . . , x2n+1) e [x1, . . . , xn] por meio das igual-

dades (x1, x2, . . . , x2n+1) = ((x1, x2, . . . , x2n−1), x2n, x2n+1) e [x1, . . . , xn] = [[x1, . . . , xn−1], xn]

respectivamente. Iremos nos referir aos associadores do tipo (x1, x2, . . . , x2n+1) como asso-

ciadores proprios e aos comutadores do tipo [x1, . . . , xn] como comutadores regulares.

Exemplo 1.3 Para n ∈ N, o espaco vetorial Mn(K) de todas as matrizes n×n com entradas

em K, munido do produto usual de matrizes, e uma algebra associativa com unidade, de

dimensao n2. Nesta algebra e importante destacar as matrizes unitarias Eij, para 1 ≤ i, j ≤n, onde Eij e a matriz cuja unica entrada nao nula e 1 na i-esima linha e j-esima coluna. E

facil ver que elas formam uma base para Mn(K).

Mais geralmente, se A e uma algebra, consideremos o espaco vetorial Mn(A) de todas as

matrizes n×n com entradas em A. O produto de matrizes em Mn(A) e analogo ao produto

de matrizes com entradas em K. Temos entao uma estrutura de algebra em Mn(A).

Exemplo 1.4 Seja V um espaco vetorial com base e1, e2, e3, . . .. Definimos a algebra de

Grassmann (ou algebra exterior) de V , denotada por E(V ) (ou simplesmente por E), como

sendo a algebra com base 1, ei1ei2 . . . eik | i1 < i2 < . . . < ik, k ≥ 1 e cujo produto e

definido pelas relacoes e2i = 0 e eiej = −ejei para quaisquer i, j ∈ N. Destacamos em E

os subespacos vetoriais E0, gerado pelo conjunto 1, ei1ei2 . . . eim | m par, e E1, gerado

pelo conjunto ei1ei2 . . . eik | k ımpar. Claramente, E = E0⊕E1 como espaco vetorial. De

eiej = −ejei segue que (ei1 . . . eim)(ej1 . . . ejk) = (−1)mk(ej1 . . . ejk)(ei1 . . . eim) para quaisquer

m, k ∈ N, e assim podemos concluir que ax = xa para quaisquer a ∈ E0 e x ∈ E, e bc = −cbpara quaisquer b, c ∈ E1. Observamos facilmente que se charK = 2, entao E e uma algebra

comutativa.

Tomando agora E ′ como sendo a algebra com base ei1ei2 . . . eik | i1 < i2 < . . . < ik,

k ≥ 1, temos que E ′ nao tem unidade e e chamada de algebra exterior sem unidade.

Definicao 1.5 Seja A uma algebra. Dizemos que um subespaco vetorial B de A e uma

subalgebra de A se BB ⊆ B e 1 ∈ B (quando a algebra A tem unidade 1). Dizemos que um

subespaco vetorial I de A e um ideal de A se AI ⊆ I e IA ⊆ I.

Exemplo 1.6 Considere a algebra exterior E (Exemplo 1.4). Dado n ∈ N, tomemos o

subespaco En de E gerado pelo conjunto 1, ei1ei2 . . . eik | i1 < i2 < . . . < ik ≤ n. Temos

que En e uma subalgebra de E de dimensao 2n e e a algebra exterior do espaco vetorial com

base e1, e2, . . . , en.

6

Exemplo 1.7 Subalgebra gerada. Sejam A uma algebra e S ⊆ A. Consideremos o

subespaco BS de A gerado pelo conjunto 1, s1s2 . . . sk | k ∈ N, si ∈ S. Temos que BS e

multiplicativamente fechado e que 1 ∈ BS. Logo, BS e uma subalgebra de A, chamada de

subalgebra gerada por S. Observe que toda subalgebra de A que contem S deve conter BS e

assim BS e a menor subalgebra de A contendo S.

Exemplo 1.8 Se A e uma algebra associativa a algebra A(−) que consiste dos elementos

de A com a multiplicacao [a, b] = ab − ba e uma algebra de Lie. Se a algebra de Lie G

e isomorfa a uma subalgebra de A(−) diremos que A e uma algebra envolvente de G. A

algebra associativa U = U(G) e a algebra envolvente universal da algebra de Lie G se G e

uma subalgebra de U (−) e U satisfaz a seguinte propriedade universal: Para qualquer algebra

associativa B e qualquer homomorfismo de algebras de Lie ϕ : G → B(−) existe um unico

homomorfismo de algebras associativas ψ : U → B que ψ|G = ϕ.

Teorema 1.9 Teorema de Poincare-Birkhoff-Witt. Toda algebra de Lie G possui uma

unica (a menos de isomorfismo) algebra universal envolvente U(G). Se G tem base ei|i ∈ I,e o conjunto de ındices e ordenado, entao U(G) tem uma base

ei1 . . . eip , i1 ≤ . . . ≤ ip, ik ∈ I, p = 0, 1, 2, . . . .

Demonstracao. [12], pg. 11.

Exemplo 1.10 A algebra sln(K) que consiste das matrizes m ∈ Mn(K) com traco zero e

com produto [a, b] = ab− ba e uma subalgebra de Lie de Mn(K)(−).

Exemplo 1.11 Se A e uma algebra associativa e K tem caracterıstica diferente de 2 a

algebra A(+) que consiste dos elementos de A e com multiplicacao a b = 12(ab + ba) e

uma algebra de Jordan. Se J e uma subalgebra de A(+) diremos que J e uma algebra de

Jordan especial e diremos que a subalgebra A0 de A gerada por J e uma algebra associativa

envolvente para J . Algebras de Jordan que nao sao especiais sao chamadas excepcionais.

Observacao 1.12 Ao contrario de algebras de Lie existem algebras de Jordan que nao pos-

suem algebras envolventes associativas, as algebras excepcionais. Um exemplo pode ser en-

contrado em [44], pg. 54, Teoremas 1 e 2.

Exemplo 1.13 Seja V um espaco vetorial com uma forma bilinear simetrica nao degenerada

f = f(x, y) definida em V . Consideramos a soma direta B = K · 1 ⊕ V do espaco vetorial

V com o espaco vetorial de dimensao um K · 1 de base 1 e definimos a multiplicacao

(α · 1 + x)(β · 1 + y) = (αβ + f(x, y)) · 1 + (βx+ αy),

7

onde α, β ∈ K e x, y ∈ V . Essa algebra e uma algebra de Jordan e e chamada a algebra de

Jordan da forma simetrica bilinear f . Essa algebra e especial e a algebra de Clifford C(f)

da forma bilinear f e uma algebra associativa envolvente para B.

Exemplo 1.14 Se o corpo K tem caracterıstica diferente de 2 entao o subespaco de Mn(K)

das matrizes simetricas e uma subalgebra de Jordan de Mn(K)(+) que denotaremos por Jn.

Definicao 1.15 Sejam A e B duas algebras. Uma transformacao linear ϕ : A −→ B e um

homomorfismo de algebras se ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) para quaisquer x, y ∈ A, e ϕ(1A) = 1B

(quando as algebras sao unitarias).

Se ϕ e um homomorfismo de algebras, dizemos que e um monomorfismo se e injetivo, e

que e um isomorfismo se e bijetivo. Um endomorfismo de uma algebra A e um homomorfismo

de A em A e um automorfismo e um endomorfismo bijetivo (endomorfismo e isomorfismo ao

mesmo tempo). Quando existe um isomorfismo ϕ : A −→ B, dizemos que as algebras A e B

sao isomorfas. Como exemplo, observamos que as algebras E e K ⊕ E ′ (Exemplo 1.4) sao

isomorfas, sendo ψ : K ⊕ E ′ −→ E, definida por ψ(λ, x) = λ+ x, um isomorfismo.

Se ϕ : A −→ B e um homomorfismo de algebras, o conjunto kerϕ = a ∈ A | ϕ(a) = 0,nucleo de ϕ, e um ideal de A, e o conjunto Imϕ = ϕ(a) | a ∈ A, imagem de ϕ, e uma

subalgebra de B.

Sendo A uma algebra e I um ideal de A, consideremos no espaco vetorial quociente A/I

o produto (a+I)(b+I) = ab+I para a, b ∈ A. Este produto esta bem definido (nao depende

da escolha dos representantes das classes laterais) e faz de A/I uma algebra, chamada de

algebra quociente de A por I. Vamos denotar a + I por a. A aplicacao π : A −→ A/I,

definida por π(a) = a, e um homomorfismo chamado de projecao canonica.

E um fato bem conhecido que se ϕ : A −→ B e um homomorfismo de algebras, entao

A/ kerϕ ' Imϕ.

Exemplo 1.16 Uma base de J2 e o conjunto I, a, b, onde I = e11 + e22 e a matriz iden-

tidade, a = e11 − e22 e b = e12 + e21. Se x, y e uma base ortonormal de V entao a

transformacao linear ϕ : J2 → B2 determinada por ϕ(I) = 1, ϕ(a) = x, ϕ(b) = y e um

isomorfismo de algebras de Jordan.

1.2 Algebras Graduadas

Nesta secao apresentaremos os conceitos de algebras e identidades graduadas que serao

o objeto central de estudo no restante do texto.

8

Definicao 1.17 Seja G um grupo. Uma algebra A e dita ser G-graduada, se A = ⊕g∈GAgonde Ag e subespaco de A para todo g ∈ G e AgAh ⊆ Agh para todos g, h ∈ G. Um elemento

a ∈ ∪g∈GAg e chamado homogeneo. Se a ∈ Ag dizemos que a e homogeneo de grau

g e denotamos |a| = g. Se a =∑

ag∈Ag ag, chamamos ag de componente homogenea

de grau g em a e dizemos que∑

ag∈Ag ag e a decomposicao de a como soma de

elementos homogeneos. Dizemos que uma subalgebra B de A e homogenea na G-

graduacao de A, se

B =∑g∈G

Bg onde Bg = B ∩ Ag,

neste caso os subespacos B ∩ Ag serao denominados de subespacos homogeneos. Se um

ideal I de A e uma subalgebra G-graduada dizemos que I e um ideal homogeneo de A.

Exemplo 1.18 Seja A uma algebra. Entao e facil ver que a decomposicao

A = ⊕g∈GAg,

onde Ag = 0 se g 6= ε e Aε = A e uma G-graduacao em A. Esta graduacao e chamada de

trivial.

Exemplo 1.19 A algebra de Grassmann E possui uma Z2-graduacao natural E = E0⊕E1,

onde E0 e E1 sao os subespacos definidos no Exemplo 1.4.

Exemplo 1.20 Seja a algebra Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n sobre um corpo

K. Para cada γ ∈ Zn, definimos o subespaco Mγ = 〈Eij | j − i = γ〉 e para cada k ∈ Z,

definimos

Mk =

0 , se |k| ≥ n,

〈Eij | j − i = k〉 , se |k| < n.

E facil ver que

M = ⊕γ∈ZnMγ e M = ⊕k∈ZMk

Agora, para ver que estas decomposicoes definem uma Zn-graduacao e uma Z-graduacao,

respectivamente, em Mn(K), basta observar que

EijEkl = δklEil,

donde segue que Mγ1Mγ2 ⊆Mγ1+γ2 para γ1, γ2 ∈ Zn, e Mk1Mk2 ⊆Mk1+k2 para k1, k2 ∈ Z.

Exemplo 1.21 Se A e uma algebra associativa G-graduada, onde G e um grupo abeliano,

as algebras A(−) e A(+) tambem sao G-graduadas de maneira natural.

9

Exemplo 1.22 Se Mn(K) tem a Zn-graduacao do exemplo 1.20 a algebra sln(K) e uma

subalgebra graduada de Mn(K)(−).

Observacao 1.23 Se V e um espaco vetorial denotaremos por sp (v1 . . . , vk) o subespaco de

V gerado pelos vetores v1, . . . , vn.

Exemplo 1.24 As decomposicoes J = J0 ⊕ J1, onde J0 = sp (I, a), J1 = sp (b), ou J0 =

sp (I), J1 = sp (a, b), onde I = e11 + e22 e a matriz identidade, a = e11 − e22 e b = e12 + e21

sao Z2-graduacoes para J2. A primeira e chamada graduacao escalar e a segunda graduacao

nao-escalar.

A seguir damos uma caracterizacao elementar, mas bastante util das subalgebras G-

graduadas de uma algebra G-graduada.

Lema 1.25 Sejam A uma algebra G-graduada e B uma subalgebra de A. As seguintes

afirmacoes sao equivalentes:

(1) B e subalgebra G-graduada de A;

(2) B e algebra G-graduada tal que Bg ⊆ Ag para todo g ∈ G;

(3) As componentes homogeneas de cada elemento de B pertencem a B;

(4) B e gerada por elementos homogeneos.

Demonstracao. Se vale (1) entao a decomposicao B = ⊕g∈GBg, onde Bg = Ag ∩ B, e

uma G-graduacao em B tal que Bg ⊆ Ag e portanto vale (2).

Suponhamos entao que vale (2). Seja b ∈ Bg e b =∑

g∈G bg, onde bg ∈ Bg, a decomposicao

de b como soma de elementos homogeneos, em relacao a G-graduacao de B. Como Bg ⊂ Ag

cada bg tambem e homogeneo em relacao a G-graduacao de A e (3) esta provada.

Se vale (3) entao o conjunto B ∩ (∪g∈GAg) gera B, e segue (4). De fato, seja b ∈ B e

b =∑

g∈G bg, onde bg ∈ Ag, a decomposicao de b como soma de elementos homogeneos, em

relacao a G-graduacao de A. Segue de (3) que bg ∈ B, ou seja bg ∈ B ∩ (∪g∈GAg).Suponha que vale (4). Seja C uma base de B, C ⊂ (∪g∈GAg) composta de elementos

homogeneos e seja Bg = B ∩ Ag. O elemento b =∑n

i=1 ci, onde ci ∈ C, e homogeneo de

grau g se, e somente se, |ci| = g, 1 ≤ i ≤ n. Assim Cg = C ∩Ag e uma base para Bg e como

C = ∪g∈GCg segue que B = ⊕g∈GBg e o lema esta provado.

Exemplo 1.26 Se consideramos Mn(K) com qualquer uma das graduacoes definidas no

Exemplo 1.20 entao e facil ver que a algebra Un(K) das matrizes triangulares superiores e

subalgebra homogenea de Mn(K), ja que e gerada pelos elementos homogeneos Eij|i ≤ j.

10

Definicao 1.27 Uma aplicacao Φ : A→ B entre algebras G-graduadas e chamada homo-

morfismo G-graduado, se Φ e um homomorfismo que satisfaz Φ(Ag) ⊆ Bg para todo

g ∈ G. De modo analogo, definimos isomorfismo, endomorfismo e automorfismo

G-graduado.

Proposicao 1.28 Se I e um ideal G-graduado de uma algebra G-graduada A entao A/I e

uma algebra G-graduada considerando (A/I)g = a+ I|a ∈ Ag.

Demonstracao. E claro que A/I =∑

g∈G(A/I)g, e que (A/I)g(A/I)h ⊂ (A/I)gh. Para

concluir resta mostrar que a soma e direta. Suponhamos que (∑

g∈G(ag+I)) = 0. Neste caso

(∑

g∈G ag) ∈ I e como I e G-graduado segue do Lema 1.25 que ag ∈ I, ou seja (ag + I) = 0,

assim A/I = ⊕g∈G(A/I)g e o lema esta provado.

Proposicao 1.29 Teorema dos Isomorfismos Sejam A e B algebras G-graduadas e

Φ : A→ B um homomorfismo G-graduado. Entao, o ker(Φ) e um ideal G-graduado de A e

a algebra quociente A/ ker Φ e isomorfa (como algebra graduada) a ImΦ = Φ(A).

Demonstracao. E facil ver que ker(Φ) e um ideal de A, vamos mostrar que ele e G-

graduado. Seja a ∈ ker(Φ) e a =∑

g∈G ag, onde ag ∈ Ag e a sua decomposicao como soma

de elementos homogeneos. Como Φ e homomorfismo graduado temos que 0 =∑

g∈G(Φ(ag))

e Φ(ag) ∈ Bg, portanto Φ(ag) ∈ ker(Φ).

A aplicacao Ψ : A/ ker Φ → B dada por Ψ(a + ker(Φ)) = Φ(a) esta bem definida pois

se a, b ∈ A sao tais que a + ker(Φ) = b + ker(Φ), entao a − b ∈ ker(Φ) e Φ(a) = Φ(b), ou

seja Ψ(a+ ker(Φ)) = Ψ(b+ ker(Φ)). E facil ver que Ψ e um homomorfismo graduado, assim

resta apenas mostrar que Ψ e injetor. Se Ψ(a + ker(Φ)) = 0 entao Φ(a) = 0 e a ∈ ker(Φ),

logo a+ ker(Φ) = 0 e o lema esta provado.

1.3 Algebras Livres

Seja X = xα um conjunto arbitrario, adicionamos a este conjunto mais dois sımbolos

de parenteses ”(”e ”)”e obtemos o conjunto X∗ = X ∪ (, ). Definimos indutivamente o

conjunto V [X] das sequencias finitas de X∗ que chamaremos de palavras nao associativas

de elementos do conjunto X. Primeiro, todos os elementos do conjunto X pertencem a

V [X]. Segundo, se x1, x2 ∈ X e u, v ∈ V [X] \ X, entao as sequencias x1x2,x1(u),(v)x2 e

(u)(v) tambem pertencem a V [X]. Nenhuma outra sequencia pertence a V [X]. O numero de

elementos do conjunto X que aparece em uma palavra v e chamado comprimento da palavra

nao-associativa v, e sera denotado por deg(v).

11

Proposicao 1.30 Seja v uma palavra nao associativa de elementos de algum conjunto.

Entao

(1) o numero de sımbolos ”(”que aparece em v e igual ao numero de sımbolos ”)”;

(2) em qualquer subsequencia inicial de v o numero de sımbolos ”(”que aparece nao e

menor que o numero de sımbolos ”)”.

Demonstracao. [44], pg. 2, Proposicao 1.

Definimos no conjunto V [X] uma operacao binaria, denotada por ·, de acordo com as

regras a seguir. Sejam x1,x2 ∈ X e u, v ∈ V [X] X. Definimos

x1 · x2 = x1x2;

x1 · u = x1(u);

v · x2 = (v)x2;

u · v = (u)(v).

Proposicao 1.31 Toda palavra nao-associativa v com deg(v) ≥ 2 tem uma unica repre-

sentacao como produto de duas palavras nao associativas de comprimento menor.

Demonstracao. [44], pg. 2, Proposition 2.

Consideramos agora o espaco vetorial KX com base o conjunto V [X], extendemos a

multiplicacao em V [X] para elementos de KX atraves da regra

(∑i

αiui) · (∑j

βjvj) =∑i,j

αiβj(ui · vj),

onde αi, βj ∈ K e ui, vj ∈ V [X]. Com essa multiplicacao KX e uma algebra, chamada

algebra livre com conjunto de geradoresX. Duas algebras livresKX eKY sao isomorfas

se, e somente se, |X| = |Y |, isto e, se os conjuntos X e Y tem a mesma cardinalidade, ver

[12], pg. 10. Algebras livres satisfazem a seguinte propriedade universal.

Teorema 1.32 Seja A uma algebra e Θ uma aplicacao de X em A. Existe um unico ho-

momorfismo da algebra KX na algebra A que estende Θ.

Demonstracao. [44], pg. 3, Teorema 1.

Os elementos da algebra KX sao chamados polinomios nao associativos. Um polinomio

nao associativo da forma αv, α ∈ K, v ∈ V [X], e chamado monomio nao associativo. O

12

comprimento de v e chamado de grau do monomio. O maior grau dos monomios cuja soma

constitui um polinomio e chamado grau do polinomio.

Seja G um grupo e seja Xg, g ∈ G uma colecao de conjuntos infinitos disjuntos. A

algebra livre KX, onde X = ∪g∈GXg, possui uma G graduacao natural. Definimos o grau

da variavel x ∈ X como sendo g, se x ∈ Xg. E o grau do monomio α(u)(v), α ∈ K, u,

v ∈ V [X], como sendo |u||v|, onde |u| e o grau do monomio u. Segue da Proposicao 1.31

que o grau de qualquer monomio esta bem definido. Nao e difıcil ver que

KX =⊕g∈G

KXg,

onde KXg e o subespaco de KX gerado pelos monomios de grau g, e uma G-graduacao

para KX. Com essa graduacao KX e chamada algebra G-graduada livre.

1.4 Identidades Polinomiais. Variedades. Algebras

Relativamente Livres

Seja X = x1, x2, . . . um conjunto enumeravel. Seja f ∈ KX, escreveremos f =

f(x1, x2, . . . , xn) para indicar que x1, x2, . . . , xn sao os elementos de X que aparecem em

f . Seja A uma algebra e θ : KX → A o homomorfismo tal que θ(xi) = ai, i = 1, 2, . . . , n

e θ(x) = 0 se x ∈ X x1, . . . , xn. Denotamos a imagem de f por este homomorfismo por

f(a1, . . . , an) e diremos que o elemento f(a1, . . . , an) e obtido pela substituicao dos elementos

a1, a2, . . . , an no polinomio nao associativo f(x1, x2, . . . , xn).

Um polinomio nao associativo f ∈ KX e uma identidade polinomial da algebra A se

f(a1, . . . , an) = 0 para quaisquer a1, a2, . . . an ∈ A. O conjunto de todas as identidades de

uma algebra e um ideal da algebra kX chamado T-ideal de A e e denotado por T (A).

O conjunto das identidades satisfeitas por todas as algebras de uma classe de algebras M

tambem e um ideal de KX chamado T-ideal da classe M e e denotado por T (M). Nao e

difıcil ver que os T -ideais definidos acima sao invariantes por endomorfismos de KX.Seja I ⊂ KX. A classe de todas as algebras que satisfazem cada uma das identidades

em I e chamada variedade de algebras definida pelo conjunto de identidades I. Por exemplo:

• O conjunto I = (x1, x2, x3) define a variedade das algebras associativas. (Recorda-

mos que (x1, x2, x3) = (x1x2)x3 − x1(x2x3) e o associador dos elementos x1, x2, x3.)

• O conjunto I = f1 = x21, f2 = (x1x2)x3 + (x2x3)x1 + (x3x1)x2 define a variedade das

algebras de Lie.

13

• O conjunto I = f1 = x1x2 − x2x1, f2 = (x21, x2, x1) define a variedade das algebras

de Jordan.

A variedade determinada por I = KX consiste da algebra zero e e chamada trivial.

Seja M uma variedade nao trivial e F uma algebra desta variedade com conjunto de geradores

Y . Esta algebra e chamada algebra relativamente livre na variedade M com conjunto de

geradores livres Y se toda aplicacao do conjunto Y em alguma algebra A da variedade M

pode ser estendida unicamente a um homomorfismo da algebra F na algebra A.

Se I ⊂ KX denotamos por I(A) o ideal da algebra A gerado por todos os elementos

da forma f(a1, . . . , an), onde f ∈ I e a1, . . . , an ∈ A.

Teorema 1.33 Seja M uma variedade nao trivial de algebras determinada pelo conjunto

I ⊂ KX. Entao para qualquer conjunto Y a restricao a Y do homomorfismo canonico

σ : KY → KY /I(KY ) e injetivo e a algebra KY /I(KY ) e livre na variedade M

com conjunto de geradores σ(Y ). Quaisquer duas algebras em M com conjuntos de geradores

livres e da mesma cardinalidade, sao isomorfas.

Demonstracao. [44], pg. 4, Teorema 2.

Denotaremos por K〈X〉 a algebra relativamente livre da variedade das algebras associ-

ativas com conjunto de geradores X, por L〈X〉 a algebra relativamente livre da variedade

das algebras de Lie e por J(X) a algebra relativamente livre da variedade das algebras de

Jordan e por SJ [X] a subalgebra de Jordan de KX(+) gerada por X.

Corolario 1.34 Se a variedade M e determinada pelo conjunto I, entao T (M) = I(KX).

Demonstracao. [44], pg. 6.

Ao estudar algebras em uma variedade M iremos chamar um elemento f da algebra

relativamente livre desta variedade de identidade para a algebra A, desta variedade, se

alguma imagem inversa de f pelo homomorfismo canonico e consequentemente todas as

imagens inversas de f em KX forem identidade para A.

1.5 Identidades Graduadas

Comecamos com a definicao de identidade polinomial graduada. Nesta secao KX e a

algebra livre G-graduada.

Definicao 1.35 Seja A = ⊕g∈GAg uma algebra G-graduada. Dizemos que um polinomio

f(x1, . . . , xn) ∈ KX e uma identidade G-graduada de A se f(a1, . . . , an) = 0 para

quaisquer ai ∈ A|xi| com i = 1, . . . , n.

14

Se A e uma algebra G-graduada, denotaremos por TG(A) ⊂ KX o conjunto das

identidades graduadas satisfeitas pela algebra A, nao e difıcil ver que tal subconjunto e um

ideal de KX invariante por endomorfismos graduados.

Proposicao 1.36 Sejam A e B duas algebras. Se A e B possuem G-graduacoes tais que

TG(A) ⊆ TG(B), entao T (A) ⊆ T (B). Alem disso, se TG(A) = TG(B), entao T (A) = T (B).

Demonstracao. Consideremos a algebra associativa livre KY , onde Y = y1, y2, . . . e

seja f(y1, y2, . . . , yn) ∈ T (A). Para cada i = 1, 2, . . . , n, escolhemos xig ∈ Xg e definimos o

polinomio f1 = f(∑

g∈G x1g, . . . ,∑

g∈G xng) ∈ KX.Como f ∈ T (A), e facil ver que f1 ∈ TG(A) e daı f1 ∈ TG(B). Dados b1, b2, . . . , bn ∈ B,

tomemos big ∈ Bg, para i = 1, . . . , n e g ∈ G, tais que bi =∑

g∈G big. Fazendo entao as

substituicoes xig = big, para i = 1, . . . , n e g ∈ G, temos

f(b1, b2, . . . , bn) = f

(∑g∈G

b1g,∑g∈G

b2g, . . . ,∑g∈G

bng

)= 0

e assim f ∈ T (B).

Se TG(A) = TG(B), entao TG(A) ⊆ TG(B) e TG(B) ⊆ TG(A), donde temos a ultima

afirmacao.

Observacao 1.37 E importante observar que a recıproca do resultado acima e falsa. As

algebras Z2-graduadas E = E0 +E1 e E = E + 0 (graduacao trivial), satisfazem identidades

Z2-graduadas diferentes.

Lema 1.38 Seja f(x1, . . . , xm) =∑n

i=0 fi(x1, . . . , xm) ∈ KX onde fi e a componente

homogenea de f com grau i em xi.

(i) Se o corpo K contem mais que n elementos entao fi(x1, x2, . . . , xm) ∈ 〈f〉TG;

(ii) Se a caracterıstica do corpo e zero ou maior que o grau de f entao 〈f〉TG admite uma

base composta por uma famılia finita de polinomios multilineares.

Demonstracao. (i) Seja I = 〈f〉TG o T -ideal de KX gerado por f . Escolhemos n + 1

elementos distintos α0, . . . , αn de K. Como I e um TG-ideal, obtemos que

f(αjx1, x2, . . . , xm) =n∑i=0

αijfi(x1, x2, . . . , xm) ∈ I ; j = 0, 1, . . . , n.

15

Consideramos estas equacoes como um sistema linear com incognitas fi para i = 0, 1, . . . , n.

Sendo o determinante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 α0 · · · αn01 α1 · · · αn1...

.... . .

...

1 αn · · · αnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∏i<j

(αj − αi)

o determinante de Vandermonde que e diferente de 0, temos que cada fi(x1, x2, . . . , xm) ∈ I.

(ii) Por (i), podemos assumir que fi(x1, x2, . . . , xm) e multihomogeneo. Seja k = degx1 f .

Escrevemos fi(y1 + y2, x2, . . . , xm) ∈ I (aqui y1, y2,∈ X|x1| ) sob a forma

f(y1 + y2, x2, . . . , xm) =k∑i=0

fi(y1, y2, x2, . . . , xm)

onde fi e a componente homogenea de grau i em y1. Logo, fi ∈ I para i = 0, 1, . . . , k.

Como degyj fi < k; i = 1, 2, . . . , k − 1; j = 1, 2, podemos aplicar argumentos indutivos e

obtemos um conjunto de consequencias multilineares de f . Para ver que estas identidades

multilineares sao uma base para 〈f〉TG e suficiente observarmos que

fi(y1, y1, x2, . . . , xm) =

(k

i

)f(y1, x2, . . . , xm)

e que o coeficiente binomial e diferente de 0, pois temos por hipotese que char (K) = 0 ou

charK ≥ deg(f).

Corolario 1.39 Seja A uma algebra. Entao,

(i) Se o corpo K e infinito todas identidades polinomiais graduadas de A seguem de suas

identidades graduadas multihomogeneas;

(ii) Se o corpo K tem caracterıstica zero todas as identidades polinomiais graduadas de A

seguem de suas identidades multilineares graduadas.

1.6 Invariantes

Nesta secao apresentamos alguns resultados sobre invariantes do grupo ortogonal que serao

utilizados nos capıtulos a seguir, os resultados e notacoes desta secao sao de [16]. Sejam

xij, i = 1, 2, . . ., j = 1, 2, . . . , n variaveis comutativas, e seja xj = (xj1, . . . , xjn). O espaco

vetorial V gerado pelos vetores vi tem uma forma bilinear simetrica nao-degenerada definida

por xi xj = xi1xj1 + . . . + xinxjn. Um resultado importante e que sera utilizado nos dois

16

capıtulos seguintes e a descricao de uma base para a algebra R = K[xi xj] que foi dada em

[16]. Esta descricao e dada em termos de tabelas duplas.

Uma tabela dupla e um arranjo

T =

p11 p12 . . . p1m1 q11 q12 . . . q1m1

p21 p22 . . . p2m2 q21 q22 . . . q2m2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pk1 pk2 . . . pkmk qk1 qk2 . . . qkmk

, (1.1)

m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk ≥ 0 e os pij e qij sao inteiros.

Associamos a tabela dupla T = (p1, . . . , pm|q1 . . . qm) o polinomio

ϕ(T ) =∑

(−1)σ(tp1 tqσ(1))(tp2 tqσ(2)) . . . (tpm tqσ(m)),

onde σ percorre o grupo simetrico Sm e (−1)σ denota o sinal de σ. De modo geral se

T (1), T (2), . . . , T (k) sao as linhas da tabela dupla T associamos a esta tabela o polinomio

ϕ(T ) = ϕ(T (1))ϕ(T (2)) . . . ϕ(T (k)).

A tabela dupla T e duplamente standard se as desigualdades

pi1 < pi2 < . . . < pimi ,

qi1 < qi2 < . . . < qimi , pij ≤ qij,

qij ≤ pi+1,j,

valem para quaisquer i e j.

Um dos resultados principais de [16] e o seguinte.

Teorema 1.40 ([16], Theorem 5.1) Os polinomios ϕ(T ) onde T percorre todas as ta-

belas duplamente standard cujas entradas sao inteiros positivos, tais que m1 ≤ n, formam

uma base para o espaco vetorial R sobre K.

1.7 Identidades Fracas

Apresentamos aqui o conceito de identidades fracas, tal conceito foi introduzido por Razmys-

lov em [34] no seu estudo das identidades da algebra das matrizes 2 × 2. Nesta exposicao

seguimos [15].

Definicao 1.41 Seja A uma algebra associativa e S um subespaco de A que gera A como

algebra. Um polinomio f(x1, . . . , xn) ∈ K〈X〉 e uma identidade fraca para o par (A, S) se

f(s1, . . . , sn) = 0 para quaisquer s1, . . . sn ∈ S. O conjunto das identidades fracas para (A, S)

sera denotado por T (A, S).

17

Nao e difıcil ver que o conjunto T (A, S) definido acima e um ideal de K〈X〉, entretanto

em geral este ideal nao e invariante por endomorfismos de K〈X〉, isto e, nao e um T -ideal. No

caso trivial em que S = A uma identidade fraca e simplesmente uma identidade polinomial

e T (A,A) e o conjunto das identidades polinomiais de A.

Exemplo 1.42 Em [24] e demonstrado que o polinomio [x1 x2, x3] e uma identidade fraca

para o par (M2, sl2), entretanto [x31, x3] = [x2

1 x1, x3] nao e uma identidade fraca para este

par.

No caso de identidades ordinarias dizemos que g ∈ K〈X〉 e consequencia de f ∈ K〈X〉se g ∈ 〈f〉T , isto e, se g esta no T -ideal gerado por f . No caso das identidades fracas existem

varias maneiras de se definir a nocao de consequencias de identidades fracas dependendo das

propriedades de A e S.

Definicao 1.43 Seja (A, S) um par e seja Ω ⊂ K〈X〉 um conjunto de polinomios tal que

w(s1, . . . , sn) ∈ S para qualquer polinomio w(x1, . . . , xn) ∈ Ω e para quaisquer elementos

s1, s2, . . . , sn ∈ S. A identidade fraca f2(x1, . . . , xn) ∈ T (A, S) e uma Ω-consequencia

de f1(x1, . . . , xp) ∈ T (A, S) se f2(x1, . . . , xn) pertence ao ideal de A gerado pelo conjunto

f1(w1, . . . , wn)|wi ∈ Ω.

No caso particular em que S = A e Ω = K〈X〉 obtemos a nocao usual para consequencias

de identidades polinomiais.

Exemplo 1.44 Seja H e uma algebra de Jordan especial com algebra associativa envolvente

R e seja Ω = SJ ⊂ K〈X〉. Desse modo obtemos as identidades fracas de Jordan (veja por

exemplo [19]).

Exemplo 1.45 Se A e associativa e (A, S) e um par tal que [S, S] ⊂ S e escolhemos Ω =

L〈X〉 ⊂ K〈X〉 entao obtemos as identidades fracas de Lie para o par (A, S) (veja, por

exemplo, [33], Chap. 1).

Definicao 1.46 Seja (A, S) um par ”Algebra associativa - Subespaco”. Definimos a va-

riedade U = var(A, S) gerada pelo par (A, S) como sendo a classe de pares (A′, S ′) que

satisfazem todas as identidades fracas do ideal T (A, S). A algebra relativamente livre de (U)

e a algebra quociente F (U) = K〈X〉/T (A, S). Se sp(X) denota o espaco vetorial gerado por

X e sp(X) denota a imagem de sp(X) pelo homomorfismo canonico K〈X〉 → K〈X〉/T (A, S)

entao o par (F (U), sp(X)) e o par relativamente livre na variedade de pares gerada por (A, S).

No caso em que S e uma algebra de Jordan e consideramos U como uma variedade de pares

(algebra associativa, algebra de Jordan) entao o par relativamente livre e (F (U), FJ(varH)),

18

onde FJ(varH) denota a algebra relativamente livre da variedade das algebras de Jordan de-

terminada por H. E quando S e uma algebra de Lie o par relativamente livre e (F (U), L〈X〉),

onde L〈X〉 e a imagem de L〈X〉 pelo homomorfismo canonico K〈X〉 → K〈X〉/T (A, S).

Quando o corpo K e infinito cada identidade fraca e equivalente ao conjunto de identi-

dades fracas que consiste do seu conjunto de componentes multihomogeneas, [44] Corolario

1.3.2.

19

Capıtulo 2

Identidades Graduadas em Algebras

de Lie

Neste capıtulo iremos discutir alguns resultados recentes sobre identidades graduadas na

algebra de Lie das matrizes 2×2 de traco zero. Bases finitas para as identidades de sl2(K) e

M2(K) foram encontradas por Razmyslov e bases minimais foram encontradas por Drensky

em [33] quando o corpo e de caracterıstica zero. O mesmo resultado para sl2(K) foi obtido

por Vasilovsky em [37] quando o corpo tem caracterıstica p > 2.

As dificuldades para obter resultados analogos para Mn(K) e sln(K), n > 2 sao enormes

e nenhum progresso significativo foi feito nestes problemas. Em [35] Repin estuda as algebras

graduadas de Lie relativamente livres para tres graduacoes concretas (a Z2, a Z e a Z2×Z2-

graduacao) em L = sl2(K), charK = 0, e descreve a estrutura de modulo para essas algebras

como modulos sobre o grupo simetrico (ou sobre o grupo geral linear). Em [36] Repin mostrou

que se K e algebricamente fechado e charK = 0 entao, a menos de equivalencia, essas sao

todas as graduacoes nao triviais em sl2(K) por grupos abelianos finitos. Bases finitas para as

identidades Z2-graduadas de sl2 sobre qualquer corpo infinito K, charK 6= 2 (em particular

charK = 0), foram obtidas em [27], aqui resultados de Teoria de invariantes se provaram um

ingrediente fundamental. Neste mesmo artigo o autor encontrou bases para as identidades

Z e Z2×Z2-graduadas de sl2(K) quando K e infinito e charK 6= 2, este resultado nao havia

sido estabelecido antes mesmo em caracterıstica zero.

No que segue iremos discutir em mais detalhes alguns dos resultados do artigo [27]. Iremos

dar uma nova demonstracao, baseada em metodos elementares dos resultados principais de

[27] quando o corpo tem caracterıstica zero. Os resultados da Secao 2.2 foram publicados

em [30].

No que segue iremos trabalhar principalmente com Z2-graduacoes e identidades gradua-

das. Iremos nos referir a estas como identidades 2-graduadas ou simplesmente identidades

20

graduadas. Nos assumimos que o corpo base K e fixo e infinito.

2.1 As identidades graduadas de sl2(K), charK 6= 0

Nesta secao apresentaremos as ideias principais de [27], onde sao estudadas as identidades

graduadas de sl2(K). Neste artigo, foram usados resultados de Teoria de invariantes, por

exemplo a formula de Straightening em [16], para encontrar uma base para as identidades

2-graduadas de sl2(K), onde K e um corpo infinito de caracterıstica diferente de 2. Esta

base consiste de um polinomio de grau 2 que expressa o fato que duas matrizes diagonais

comutam. Como corolario de tais resultados foram obtidas bases para as identidades Ze Z2 × Z2-graduadas de sl2(K), como ja mencionamos esses resultados nao haviam sido

previamente estabelecidos nem mesmo para corpos de caracterıstica zero.

Sejam X e Y conjuntos disjuntos, infinitos e enumeraveis, X = x1, x2, . . ., Y =

y1, y2, . . ., e seja Z = X ∪Y . Sejam K〈Z〉 e L〈Z〉 a algebra associativa livre e a algebra li-

vre de Lie respectivamente. Essas duas algebras tem uma 2-graduacao natural se assumimos

que as variaveis xi tem grau 0 e as variaveis yi tem grau 1. Como K〈Z〉 e a algebra universal

envolvente de L〈Z〉 e esta e a subalgebra de Lie de (K〈Z〉)(−) gerada por Z assumimos que

L〈Z〉 ⊂ K〈Z〉.A algebra de Lie sl2(K) tem uma 2-graduacao natural

sl2 = (sl2)0 ⊕ (sl2)1,

onde (sl2)0 e o subespaco gerado pela matriz (e11 − e22) e (sl2)1 e o subespaco gerado pelas

matrizes e12 e e21. O proximo resultado sera util tanto nesta secao quanto na proxima.

Lema 2.1 O polinomio

[x1, x2] (2.1)

e uma identidade graduada para sl2.

Demonstracao. Basta ver que duas matrizes diagonais comutam.

Denotaremos por I o T2-ideal em L〈Z〉 gerado pelo polinomio (2.1). Utilizando a iden-

tidade de Jacobi nao e difıcil ver que as identidades

[y1, x1, y2]− [y2, x1, y1] e [x1, y1, x2]− [x2, y1, x1] (2.2)

pertencem a I. E possıvel mostrar por inducao que

[y1, x1, . . . , xt, y2]− (−1)t−1[y2, x1, . . . , xt, y1] ∈ I. (2.3)

21

Seja L uma algebra de Lie e sejam w1, w2, a, b ∈ L. Denotamos por [w1, w2]L(a, b) a

expressao1

8([w1, a, b, w2] + [w1, b, a, w2]− [w2, a, w1, b]− [w2, b, w1, a]),

se denotamos a b = 12(ab+ ba), nao e difıcil ver que em sl2 vale [w1, w2]L(a, b) = [w1, w2]

(a b). No que segue F = L〈Z〉/I, as mesmas letras sao usadas para denotar os elementos

de Z e suas imagens em F pelo homomorfismo canonico L〈Z〉 → L〈Z〉/I.

Como foi demonstrado em [27], Corolario 9 essas transformacoes L sao operadores lineares

bem definidos em F ′ = [L〈Z〉/I, L〈Z〉] que comutam dois a dois. Conforme veremos a seguir

esses operadores assumem um papel importante na demonstracao que I = T2(sl2).

Os tres lemas a seguir, bem como algumas identidades que aparecem nas suas demons-

tracoes, tambem sao utilizados na proxima secao - esses resultados correspondem ao Lemma

4, Lemma 5 e Lemma 6 do artigo citado - por isso apresentaremos as demonstracoes que

aparecem em [27] aqui.

Lema 2.2 O polinomio [x, y1, y2, y3, y4]− [x, y3, y4, y1, y2] ∈ I.

Demonstracao. Em F temos a igualdade [x, y1, y2] = [x, y2, y1], assim

[x, y1, y2, y3, y4] = [x, y1, [y2, y4], y3] + [x, y4, y1, y2, y3]

= [x, y1, [y2, y4, y3]] + [x, y4, y1, y2, y3]

= −[y1, x, [y2, y4, y3]] + [x, y4, y1, y2, y3]

= [x, y4, y1, y2, y3]− [y2, y4, y3, x, y1]

= [x, y4, y1, y3, y2]− [y2, y4, y3, x, y1],

onde os termos do tipo [x, [y1, y2]] sao omitidos. Assim obtemos

[x, y1, y2, y3, y4] = [x, y4, [y1, y3], y2] + [x, y3, y4, y1, y2]− [y2, y4, y3, x, y1]

= [x, y3, y4, y1, y2] + [y1, y3, y4, x, y2]− [y2, y4, y3, x, y1].

Analogamente temos

[x, y2, y1, y3, y4] = [x, y3, y4, y2, y1] + [y2, y3, y4, x, y1]− [y1, y4, y3, x, y2].

Mas [x, y1, y2, y3, y4] = [x, y2, y1, y3, y4] e somando as duas ultimas igualdades obtemos

2([x, y1, y2, y3, y4]− [x, y3, y4, y1, y2] = [y2, [y3, y4], x, y1] + [y1, [y3, y4], x, y2]).

O lado direito da igualdade e zero por causa da identidade (2.3).

22

Lema 2.3 O polinomio [y1, y2, y3, x1, x2]− [y1, x1, x2, y2, y3] ∈ I.

Demonstracao. Segue da segunda identidade de (2.2) que

[[y1, y2], y3, x1, x2] = [x1, y3, [y1, y2], x2] = −[y3, x1, x2, [y1, y2]]

= −[y3, x1, x2, y1, y2] + [y3, x1, x2, y2, y1].

E por (2.3) [y2, x1, x2, y3] = −[y3, x1, x2, y2]. Logo

[y1, y2, y3, x1, x2] = −[y2, x1, x2, y3, y1]− [y3, x1, x2, y1, y2],

[y2, y3, y1, x1, x2] = −[y3, x1, x2, y1, y2]− [y1, x1, x2, y2, y3],

[y3, y1, y2, x1, x2] = −[y1, x1, x2, y2, y3]− [y3, x1, x2, y1, y2].

Somando as tres igualdades acima e observando que o lado esquerdo da igualdade e zero por

causa da identidade de Jacobi temos

2([y1, x1, x2, y2, y3] + [y2, x1, x2, y3, y1] + [y3, x1, x2, y1, y2]) = 2S = 0 (2.4)

modulo a identidade [x1, x2] = 0. Aqui denotamos por S a expressao entre parenteses.

Portanto

[y1, y2, y3, x1, x2]− [y1, x1, x2, y2, y3] = −S = 0

e o lema esta provado.

Lema 2.4 A identidade graduada [x1, y1, y2, y3, x2] = [x2, y1, y2, y3, x1] e uma consequencia

de (2.1).

Demonstracao. Como [[x1, y1, y2], y3, x2] = [x2, y3, [x1, y1, y2]] temos

[x1, y1, y2, y3, x2] = [x2, y3, x1, y1, y2] + [x2, y2, y3, y1, x1]

= [x2, y3, x1, y1, y2] + [x1, y3, y1, y2, x2] + [x2, y1, x1, y2, y3]

= [x2, y1, y2, y3, x1]

+ [x2, y3, x1, y1, y2] + [x2, y1, x1, y2, y3] + [x2, y2, x1, y3, y1].

Mas a expressao na ultima linha pertence a I por causa de (2.4).

Para mostrar que I e o ideal das identidades 2-graduadas de sl2 sera preciso encontrar

uma base para F ′ como espaco vetorial, para isto sao utilizados resultados sobre os invariantes

do grupo ortogonal descritos em [16]. Seja

T =

p11 p12 . . . p1m1 q11 q12 . . . q1m1

p21 p22 . . . p2m2 q21 q22 . . . q2m2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


(2.5)

23

uma tabela dupla onde m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk e todas as entradas pij, qij sao inteiros. Quando

todas as entradas de T sao inteiros positivos e m1 ≥ 2 diremos que T e uma 0-tabela. Se

p11 = 0, todas as outras entradas de T sao inteiros positivos e m1 ≥ 2 diremos que T e uma

1-tabela. Quando m1 ≥ 2, p11 = −1, p12 = 0 enquanto todas as outras entradas sao inteiros

positivos dizemos que T e uma 2-tabela. Associamos a tabela dupla acima T o elemento

ϕ(T ) do modo descrito a seguir.

Seja T = (p11, p12, . . . , p1m|q11, q12, . . . , q1m) uma tabela dupla com apenas uma linha.

1 Se T e uma 0-tabela entao

ϕ(T ) =∑σ∈Sn

(−1)σL(zp1 , zσ(q1))L(zp2 , zσ(q2)) . . . L(zpm , zσ(qm))


ϕ(0, p12|q12q12) = [zq12 , zq12 , zp12 ]


ϕ(−1, 0|q11, q12) = [zq11 , zq12 ]

e se T e uma 1 ou 2-tabela do tipo (2.5) associamos a esta tabela o polinomio ϕ(T ) =

ϕ(T1)ϕ(T2) . . . ϕ(Tk) ∈ F . Aqui T1, . . . , Tk sao as linhas duplas de T , note que todas as

linhas Ti, i > 1 sao 0-tabelas. Observe que se T e uma 0-tabela entao ϕ(T ) esta na algebra

comutativa (e associativa) de todos os operadores lineares L(a, b) em F ′ e se T e uma 1 ou

2-tabela entao ϕ(T ) ∈ F ′.Os tres resultados a seguir permitem concluir que F ′ e gerado como espaco vetorial pelos

polinomios ϕ(T ), onde T e uma 1-tabela ou uma 2-tabela.

Lema 2.5 As igualdades

(1) [y1, y2, y3, y4] = 4[y1, y2]L(y3, y4)

(2) [x1, y3, y4, y2] = 4[x1, y2]L(y3, y4)

(3) [y1, x3, x4, y2] = 4[x1, y2]L(y3, yy)

(4) [x1, y2, x3, x4] = 4[x1, y2]L(x3, x4)

valem na algebra de Lie F .

Demonstracao. [27] Lema 2.

24

Lema 2.6 A igualdade [z1, z2]L(x, y) = 0 e verificada em F .

Demonstracao. [27] Lema 3.

Proposicao 2.7 A igualdade [[z1, z2], z3]L(z4, z5) = [[z1, z2]L(z4, z5), z3] vale em F .

Demonstracao. [27] Proposicao 7.

Segue desses resultados que a algebra de Lie F ′ e gerada como espaco vetorial pelos

polinomios ϕ(T ), onde T representa uma 1 ou 2-tabela, ver [27] Observacao 11. Os resultados

a seguir permitem obter desse conjunto gerador uma base para F ′, para isto sao nessecarios

os resultados enunciados a seguir, juntamente com resultados da teoria de invariantes para o

grupo ortogonal obtidos em [16], lembramos que esses resultados sao para corpos de qualquer

caracterıstica.

Proposicao 2.8 Seja f ∈ F ′ um polinomio, f = f(x1, x2, . . . , y1, y2, . . .).

1 Se g = f(x1, x2, . . .) = f(x2, x1, . . .) entao g = 0

2 Se h =∑

(−1)σf(x1, x2, . . . , yσ(1), yσ(2), yσ(3), . . .) entao h = 0. Aqui σ percorre os

elementos do grupo S3 e (−1)σ e o sinal de σ.

Demonstracao. [27],Proposicao 12.

Seguem desta proposicao os seguintes corolarios.

Corolario 2.9 Seja T uma 1 ou 2-tabela dupla (2.5). Se mi ≥ 3 para algum i ≥ 2 entao

ϕ(T ) = 0.

Demonstracao. [27] Corolario 13.

Corolario 2.10 Todo polinomio ϕ(T ) pode ser representado como uma combinacao linear

de ϕ(Q) onde Q sao 1 ou 2-tabelas duplamente standard.

Demonstracao. [27] Corolario 14.

A seguir o teorema principal de [27].

Teorema 2.11 Seja K um corpo de caracterıstica 0, ou um corpo infinito de caracterıstica

p 6= 2. As identidades Z2-graduadas da algebra de Lie sl2(K) seguem da identidade (2.1).

25

Demonstracao. A prova segue imediatamente da proposicao acima e dos dois corolarios

anteriores.

A algebra sl2 admite mais duas G-graduacoes naturais, quando G = Z temos a graduacao

sl2 =⊕i∈Z

(sl2)i,

onde a componente (sl2)i consiste das matrizes diagonais, se i = 0, das matrizes estritamente

triangulares inferiores e superiores se i = −1 ou i = 1, respectivamente e (sl2)i = 0, se |i| > 1.

A outra graduacao natural e quando G = Z2 × Z2, neste caso

sl2 =⊕

(i,j)∈Z2×Z2

(sl2)(i,j),

onde

(sl2)(0,0) = 0

(sl2)(1,0) = K(e11 − e22)

(sl2)(0,1) = K(e12 + e21)

(sl2)(1,1) = K(e12 − e21).

Os mesmos argumentos apresentados aqui, com algumas modificacoes, foram utilizados

para encontrar bases para as identidades Z-graduadas e Z2 × Z2-graduadas de sl2(K).

Teorema 2.12 Seja K um corpo infinito de caracterıstica 6= 2. As identidades Z-graduadas

de sl2(K) seguem de (2.1) juntamente com as identidades z = 0, se | degZ| ≥ 2.

Teorema 2.13 Seja K um corpo infinito de caracterıstica 6= 2. Entao as identidades Z2 ×Z2-graduadas de sl2(K) seguem de t = 0, com |t| = (0, 0).

2.2 As identidades graduadas de sl2(K), charK = 0

Nesta secao iremos dar uma nova demonstracao, baseada em metodos elementares, para

o Teorema 16 de [27], apresentado na secao anterior para o caso em que o corpo K tem

caracterıstica zero. Encontraremos bases tambem para as identidades Z-graduadas e para

as identidades Z2 × Z2-graduadas. Os resultados desta secao foram publicados em [30].

26

2.2.1 As identidades Z2-graduadas de sl2

Sejam I = T2(sl2(K)) e J o ideal das identidades 2-graduadas gerado pelo polinomio (2.1).

Se M ∈ L〈X〉 e um elemento homogeneo na 2-graduacao denotamos por d(M) seu grau

homogeneo.

Definicao 2.14 Seja f(zi1 , . . . , zin) ∈ L〈Z〉. A n-upla S = (m1, . . . ,mn) tal que mi ∈e11 − e22, e12, e21 e d(mi) = d(zi) e chamada substituicao elementar para f e fS ∈ sl2

denota o resultado de substituir (zi1 , . . . , zin) pelas matrizes (m1, . . . ,mn).

Seja M ∈ L〈X〉 um comutador multilinear, M /∈ I. Entao a menos de sinal podemos

admitir que a primeira variavel de M tem grau 1, isto e que M comeca com alguma variavel

yi. Entao M e do tipo

(1) M = [y1, x1, . . . xa, y2, y3, xa+1, . . . xb, y4, y5, . . . , y2k, y2k+1xc, . . . xd],

onde o chapeu sobre a variavel significa que ela pode nao aparecer, e y2k+1 aparece depen-

dendo de o grau de M ser 0 ou 1.

Denotamos por vj o conjunto y2j−1, y2j, 1 ≤ j ≤ k, e por nj o numero de variaveis

de grau 0 que aparece entre y2j−1 e y2j, 1 ≤ j ≤ k. Se d(M) = 1 entao aparece y2k+1,

denotamos por nk+1 o numero de variaveis de grau 0 que aparece a direita de y2k+1. Note

que se d(M) = 0 entao a variavel mais a direita nao pode ter grau zero 0 (caso contrario

terıamos M ∈ I). Se M e um monomio do mesmo multigrau que M denotaremos por xi e

por yj suas variaveis. Alem disso definimos vj, e nj de modo analogo.

Como [e11 − e22, e12] = 2e12, [e11 − e22, e21] = −2e21 e [e12, e21] = e11 − e22 temos o

Lema 2.15 Se M e como em (1) e S e uma substituicao elementar para M entao MS 6= 0

se, e somente se, (vi)S = e12, e21.

Lema 2.16 Suponha que M e M sao dois monomios de mesmo multigrau e do tipo (1).

Se M + λM ∈ I, λ 6= 0 entao existe uma permutacao α ∈ Sk tal que vα(j) = vj e se

d(M) = d(M) = 1 entao y2k+1 = y2k+1. Alem disso ni − δ(i, 1) ≡2 nα(i) − δ(α(i), 1),

1 ≤ i ≤ k, e se d(M) = d(M) = 1 tambem segue que nk+1 ≡2 nk+1.

Demonstracao. Suponha que nao existe tal permutacao α ∈ Sk. Entao y2j0−1 ∈ va e

y2j0 ∈ vb para algum j0, a 6= b. Portanto existe uma substituicao S tal que y2j0−1 e y2j0 sao

substituıdos por e12, e (vi)S = e12, e21, i = 1, . . . , k. Segue do Lema 2.15 que MS = 0,

mas MS 6= 0, o que e um absurdo ja que M + λM ∈ I e λ 6= 0. Isto prova a primeira parte

do lema.

27

Agora iremos provar a segunda parte. Para isso precisaremos das identidades (2.3) da

secao anterior. Fixe i ∈ 1, 2, . . . , k e considere uma substituicao elementar S1 tal que as

variaveis y2j−1 sao substituıdas por e12 e as variaveis y2j por e21. A substituicao elementar S2

e obtida de S1 substituindo as variaveis y2i−1 e y2i, por e21 e e12 respectivamente, enquanto

as variaveis restantes sao substituıdas como em S1. Pelo Lema 2.15, MSi 6= 0, i = 1, 2.

Usando (2.3) vemos que MS1 = (−1)ni−δ(i,1)MS2 6= 0 e que MS1 = (−1)nα(i)−δ(α(i),1)MS2 .

Como M + λM ∈ I, a mudanca de sinal que ocorre de MS1 para MS2 e a mesma que ocorre

de MS1 para MS2 . Segue que ni−δ(i, 1) ≡2 nα(i)−δ(α(i), 1), 1 ≤ i ≤ k. Se d(M) = d(M) = 1

somamos as congruencias acima e obtemos∑k

i=1 ni ≡2

∑ki=1 ni. Como os monomios tem o

mesmo multigrau obtemos∑k+1

i=1 ni =∑k+1

i=1 ni, e portanto nk+1 ≡2 nk+1.

A seguir listamos alguns polinomios graduados que estao em J . Alguns deles foram

obtidos em [27, Lemmas 4, 5, 6] e os demais podem ser obtidos facilmente dos que aparecem

em [27].

Lema 2.17 Os polinomios a seguir estao em J .

(1) [y1, y2, y3, x1, x2]− [y1, x1, x2, y2, y3];

(2) [z1 . . . za, xb, xc, . . . zd]− [z1 . . . za, xc, xb, . . . zd];

(3) [x1, y1, x2, . . . , xn]− [x1[y1, x2, . . . , xt]xt+1, . . . , xn];

(4) [y1, y2, y3, x1, y4]− [y3, y4, y1, x1, y2];

(5) [x1, y1, y2, y3, y4]− [x1, y3, y4, y1, y2];

(6) [y1, x1, y2, y3, x2]− [y1, x2, y2, y3, x1].

Lema 2.18 Se M + λM ∈ I onde M e M sao do tipo (1) entao M + λM ∈ J .

Demonstracao. Usando (3), (4), (5) do lema anterior podemos assumir que, modulo J ,

temos α = id. Alem disso ni = ni pelo Lema 2.16, e por (1) e (3). Alem disso utilizando

(2) e (6) colocamos as variaveis de grau 0 na ordem correta. Com (2.3) e com Lema 2.16,

podemos ordenar as variaveis de grau 1, multiplicando por −1 se necessario. Desse modo

M + λM ≡ (1± λ)M (mod J), portanto λ = ∓1 e M + λM ∈ J .

Lema 2.19 Se M + λM ∈ I onde M = [z1, . . . , zn] e M = [z1, . . . , zn] tem o mesmo

multigrau entao M + λM ∈ J .

28

Demonstracao. Se [z1, . . . zn] ∈ I tomamos o maior m tal que [z1, . . . , zm] /∈ I. Entao

[z1, . . . , zm, zm+1] ∈ I. Se d(z0) = d([z1, . . . , zm]) entao [z0, zm+1] ∈ I e [z1, . . . zn] e con-

sequencia desse polinomio. Mas [z0, zm+1] ∈ I implica que d(z0) = d(zm+1) = 0 e como

[z0, zm+1] ∈ J , segue que [z1, . . . zn] ∈ J . No caso que M /∈ I e M /∈ I, aplicamos o

Lema 2.18.

Seja Ω = K[A ∪ B] o anel de polinomios nas variaveis comutativas A = a1, a2 . . . e

B = b11, b

21, b

12, b

22, . . .. Denote por G a subalgebra de Lie de M2(Ω)− gerada pelas matrizes

Ai = ai(e11 − e22) e Bi = (b1i e12 + b2

i e21) equipada com sua Z2 graduacao natural. Entao o

homomorfismo φ:L〈Z〉 → G determinado por φ(xi) = Ai e φ(yi) = Bi induz um isomorfismo

de algebras L〈Z〉/I e G. A demonstracao deste fato e a mesma que a correspondente para

matrizes genericas.

Lema 2.20 Se M1 e M2 sao dois comutadores proprios, d(M1) = d(M2), e a primeira linha

da matriz φ(M1 − λM2) e igual a zero entao M1 − λM2 ∈ J .

Demonstracao. Se d(M1) = d(M2) = 0 entao φ(M1 − λM2) = 0 ja que esta e uma

matriz diagonal de traco zero. Suponha que a segunda linha e nao nula. Entao M1 −λM2 /∈ I e (M1)S − λ(M2)S ∈ 〈e21〉, para qualquer substituicao S (nao necessariamente

com matrizes elementares). Mas ρ: sl2 → sl2, ρ(m) = −mT , e um automorfismo de sl2 tal

que ρ(〈e21〉) = 〈e12〉. Se S = (m1, . . . ,mk) onde mi ∈ sl2, e tal que (M1)S − λ(M2)S 6= 0

entao 0 6= (M1)S′ − λ(M2)S′ = ρ((M1)S − λ(M2)S) ∈ 〈e12〉 onde S ′ = (ρ(m1), . . . , ρ(mk)).

Uma contradicao. Portanto φ(M1 − λM2) = 0 e M1 − λM2 ∈ I. Segue do Lema 2.19 que

M1 − λM2 ∈ J .

Temos [Bi, Bj] = (b1i b

2j − b2

i b1j)(e11 − e22) e [Ai, Bj] = 2(aib

1je12 − aib

2je21) portanto

[B1, A1, . . . , An, B2] = (−2)na1 . . . an[B1, B2]. A entrada nao nula na primeira linha de

[Bi, Bj] e igual ao determinante da matriz Mi,j = b1i e11 + b2

i e12 + b1je21 + b2

je22. Alem disso

a entrada nao nula na primeira linha de [B1, B2, . . . , B2k−1, B2k] e igual ao produto dos

determinantes de M12, M23, . . . , M(2k−1)(2k).

Lema 2.21 Sejam M1, . . . , Mk monomios multilineares tais que∑k

i=1 λiMi ∈ I, entao

existe j ∈ 2, . . . , k tal que a primeira linha de φ(M1 − (λj/λ1)Mj) se anula.

Demonstracao. E suficiente mostrar que os polinomios que sao produtos de determinantes

de matrizes da forma Mij sao linearmente independentes em Ω. Denote o conjunto destes

polinomios por D. Como o corpo base e infinito e suficiente provar a independencia linear

para subconjuntos de D que consistem de polinomios multihomogeneos do mesmo multigrau.

Provamos isto por inducao no numero n de variaveis que aparece nos polinomios. Se n ≤ 2

a afirmacao e claramente verdade. Suponha que a independencia foi estabelecida para < n

29

variaveis. Sejam∑ciPi = 0, Pi ∈ D, todos do mesmo multigrau, dependendo de n variaveis,

e todos os ci 6= 0. Substitua bl1 por bl1 +∑k

i=2 bli, l = 1, 2. Desse modo obtemos uma

combinacao∑Ph2,...,hk onde Ph2,...,hk e uma soma de polinomios obtida substituındo h2 vezes

(bl1) por (bl2) em algum detM1,a que divide Pi, a 6= 2, e entao h3 vezes (bl1) por (bl3) em algum

detM1,a que divide Pi, a 6= 3 e assim sucessivamente. Se detM12 divide todos os Pi temos∑ciPi/ detM12 = 0 e podemos utilizar a hipotese de inducao. Entao temos uma combinacao∑ciPi = 0, ci 6= 0, tal que pelo menos um dos Pi nao e divisıvel por detM12. Denote por

Pm o maior polinomio Ph2,...,hk na ordem lexicografica de sequencias (h2, . . . , hk). Entao

este e uma soma de polinomios obtidos substituındo (bl1) por (bl2) em todos os detM1,a que

dividem Pi, onde Pi nao e um multiplo de detM1,2. Assim Pm = 0, e o numero de variaveis

aparecendo em Pm e menor que n, uma contradicao.

A seguir estabelecemos o resultado principal de [27]. Por simplicidade enunciamos e

provamos o resultado quando charK = 0. Observamos que um argumento analogo pode ser

utilizado para demonstrar o resultado se charK 6= 2.

Teorema 2.22 Seja charK = 0, entao a identidade graduada [x1, x2] e uma base para as

identidades Z2-graduadas de sl2(k).

Demonstracao. Provaremos que I = J . Obviamente temos J ⊂ I. Como charK = 0

trabalharemos com identidades multilineares apenas. Os monomios C = [xα(1), . . . , xα(n)] |α ∈ Sn, α(1) = 1 formam uma base para o subespaco dos monomios multilineares em

x1, . . . , xn. Assuma que f ∈ I, e tome o menor k tal que f ≡J∑k

i=1 λiMi ∈ I, Mi ∈ C.

Segue que φ(f) = 0 e portanto se k 6= 0 concluımos que λ1 6= 0 devido a minimalidade de k.

Entao existe j tal que a primeira linha de φ(M1 − (λj/λ1)Mj) e nula. Segue do Lema 2.20

que M1 − (λj/λ1)Mj ∈ J . Isso contradiz a minimalidade de k, portanto k = 0 e o resultado

esta provado.

2.2.2 As identidades Z-graduadas de sl2

Seja Zi = zi1, zi2, . . . zin, . . ., i ∈ Z, uma famılia infinita e enumeravel de conjuntos enu-

meraveis disjuntos e seja Z = ∪i∈ZZi. Denotaremos por L〈Z〉 a algebra livre de Lie, esta

algebra tem uma Z-graduadacao natural se definimos d(zin) = i.

Nesta secao uma variavel z, com ou sem ındice, denota um elemento de Z, uma variavel

x, com ou sem ındice denota um elemento de Z0, isto e uma variavel de grau 0, e uma variavel

y com ou sem ındice denota um elemento de Z−1∪Z1. A Z-graduacao esta relacionada com

a Z2-graduacao no sentido que esta e uma graduacao quociente da anterior. Com isto em

mente podemos ver que cada identidade da secao anterior corresponde a um conjunto de

identidades nesta graduacao se fixamos d(yi) = 1 ou d(yi) = −1 para cada i.

30

Sejam A = a1, . . . , an, . . ., B = b1, . . . , bn, . . ., e C = c1, . . . , cn, . . . tres conjuntos

infinitos, enumeraveis e disjuntos de variaveis comutativase e G a subalgebra de Lie de M(Ω)

gerada pelas matrizes

Ai =

(ai 0

0 −ai

);Bi =

(0 bi

0 0

)e Ci =

(0 0

ci 0

),

onde Ω = K[A∪B ∪C]. A algebra G tem uma Z-graduacao natural se definimos d(Ai) = 0,

d(Bi) = 1 e d(Ci) = −1. Nao e difıcil ver que o homomorfismo φ : L〈Z〉 → G determinado

por φ(x0i ) = Ai, φ(x1

i ) = Bi, φ(x−1i ) = Ci, e φ(xji ) = 0 se |j| ≥ 2, induz um isomorfismo

graduado entre as algebras L〈Z〉/I e G, onde I = TZ e o nucleo de φ.

Denotaremos por J o ideal gerado pelas identidades

[z1, z2] = 0, d(z1) = d(z2) = 0, 1,−1

e

z = 0, |d(z)| ≥ 2.

Nesta secao provaremos que TZ(sl2) = J , quando o corpo tem caracterıstica zero.

Como na secao anterior se um monomio multilinear M nao e um elemento de TZ(sl2)

entao ele e, a menos de sinal, do seguinte tipo


onde o chapeu significa que a variavel pode nao aparecer, y2k+1 aparece dependendo de o

grau de M ser 0 ou ±1. Como na secao anterior vj denota o conjunto y2j−1, y2j, 1 ≤ j ≤ k,

e nj o numero de variaveis de grau 0 que aparece entre y2j−1 e y2j, 1 ≤ j ≤ k. Se d(M) = 1

(e portanto y2k+1 aparece) nk+1 denota o numero de variaveis de grau 0 que aparece depois

de y2k+1.

Nao e difıcil ver que se M /∈ I entao d(y2j−1) = −d(y2j). A definicao a seguir sera util

para simplificar a notacao.

Definicao 2.23 Seja α ∈ Sn, onde n e o grau total de M = [z1, . . . , zn]. Denotaremos por

Mα o monomio [zα(1), . . . , zα(n)].

Lema 2.24 Os monomios

[. . . , x1, y1, x2, . . . , xa, y2, y3, xa+1, . . . , xb, y4, . . .]

e

[. . . , x1, y3, xa+1, . . . , xb, y4, y1, x2, . . . , xa, y2, . . .]

sao congruentes modulo J .

31

Demonstracao. Usamos as identidades (3), (4) e (5) do Lema 2.17.

Lema 2.25 Seja M = [z1, . . . , zn]. Se d(zi) = d(zj) e α = (i, j) entao M ≡J Mα.

Demonstracao. Segue do lema anterior e das identidades da secao anterior que e suficiente

considerar os casos M = [y1, x2, . . . , xn−1, yn], α = (1, n) e M = [. . . z1, z2, . . .], α = (1, 2).

Ambos os casos seguem diretamente das identidades [z1, z2] = 0, d(z1) = d(z2) bem como

das identidades da secao anterior. Como estas identidades estao em J o resultado segue.

Das igualdades

[Ai, Bj] = 2ai ·Bj; [Ai, Cj] = −2ai · Cj,

e

[BiCj] =

(bicj 0

0 −bicj

),

segue que

φ(M) = λ(M) · a1 . . . anb1b2..b2k−1b2k ·

(1 0

0 −1

), (2.6)

onde M e como em (2), d(M) = 0, e λ(M) e igual a

d(y1) · (−2d(y1))n1 · (k∏i=2

(−d(y2i−1))(−2d(y2i−1))ni+1).

Se d(M) = ±1 entao

φ(M) = (2d(y2k+1)) · λ(M) · (a1 . . . anb1b2..b2k−1b2k) · φ(y2k+1), (2.7)

e λ(M) e definido atraves da mesma formula anterior.

Lema 2.26 Os monomios

[. . . y2j−1, x1, . . . xnj , y2j, y2j+1, xnj+1, . . . , xnj+nj+1y2j+2, . . .]

e

d(y2j−1)d(y2j+1)[. . . y2j−1, x2, . . . xnj , y2j, y2j+1, x1, xnj+1, . . . , xnj+nj+1y2j+2, . . .]

sao congruentes modulo J .

Demonstracao. Usando as identidades do Lema 2.17 e suficiente provar que

[. . . y2j−1, x, y2jy2j+1y2j+2, . . .] ≡J d(y2j−1)d(y2j+1)[. . . y2j−1, y2j, y2j+1, x, y2j+2, . . .].

Usamos o Lema 2.25 para trocar as variaveis y2j−1, y2j pelas variaveis y2j+1, y2j+2. Temos

dois casos possıveis:

32

Caso 1 As variaveis y2j−1 e y2j+1 tem o mesmo grau. Neste caso d(y2j−1)d(y2j+1) = 1, usando

o Lema 2.25 e o Lema 2.24 o resultado segue diretamente.

Caso 2 As variaveis y2j−1 e y2j+1 tem graus diferentes. Neste caso d(y2j−1)d(y2j+1) = −1 e

pelo Lema 2.25 segue que

[. . . y2j−1, x, y2jy2j+1y2j+2, . . .] ≡J [. . . y2j+2, x, y2j+1y2j−1y2j, . . .],

e pelas identidades (2.3), e pelo Lema 2.24

[. . . y2j+2, x, y2j+1y2j−1y2j, . . .] ≡J −[. . . y2j−1, y2jy2j+1, x, y2j+2, . . .].

e portanto

[. . . y2j−1, x, y2jy2j+1y2j+2, . . .] ≡J −[. . . y2j−1, y2jy2j+1, x, y2j+2, . . .].

Nos dois casos

[. . . y2j−1, x, y2jy2j+1y2j+2, . . .] ≡J d(y2j−1)d(y2j+1)[. . . y2j−1, x, y2jy2j+1y2j+2, . . .].

E o lema esta provado.

Lema 2.27 Se M e um monomio de grau 0 como em (2), com m variaveis de grau 0

aparecendo nele, entao M e congruente modulo J a

s(M)[y1, y2, y3, . . . y2k−3, . . . , y2k−2, y2k−1, x1, . . . , xm, y2k],

onde

s(M) = (k∏i=1

(−d(y2i−1))ni) · (−d(y2k−1)m).

Demonstracao. Basta aplicar o Lema 2.26 algumas vezes para colocar todas as variaveis

de grau zero entre y2k−1 e y2k.

Lema 2.28 Se M e M sao monomios de mesmo multigrau, d(M) = d(M) = 0 e a primeira

linha de φ(M − λM) e zero entao M − λM ∈ J .

Demonstracao. Seja m o numero total de variaveis de grau 0 nos monomios. Primeiro

aplicamos o Lema2.27 a M para obter M ≡J s(M)N , onde

N = [y1, y2, y3, . . . y2k−3, . . . , y2k−2, y2k−1, x1, . . . , xm, y2k].

33

Podemos assumir, por causa do Lema 2.25, que y2j−1, y2j = y2j−1, y2j, j = 1, 2, . . . , k.

Nao e difıcil ver que podemos assumir, modulo J , que y2j−1 = y2j−1 e y2j = y2j, j = 2, . . . , k.

Se y1 = y2 (e neste caso d(y1) = −d(y1)) entao

N ≡J −[y1, y2, y3, . . . y2k−3, . . . , y2k−2, y2k−1, x1, . . . , xm, y2k],

e portanto

N ≡J d(y1)d(y1)[y1, y2, y3, . . . y2k−3, . . . , y2k−2, y2k−1, x1, . . . , xm, y2k],

ja que se d(y1)d(y1) = 1 entao d(y1) = d(y1). Segue do Lema 2.27 que M ≡J s(M)N ,

portanto

M ≡J s(M)d(y1)d(y1)[y1, y2, y3, . . . y2k−3, . . . , y2k−2, y2k−1, x1, . . . , xm, y2k].

Novamente segue do Lema 2.27 que

M ≡J s(M)[y1, y2, y3, . . . y2k−3, . . . , y2k−2, y2k−1, x1, . . . , xm, y2k].

Ja que a primeira linha de φ(M − λM) e zero, segue de 2.6 que |λ| = 1 e s(M) =

s((M))d(y1)d(y1), e podemos concluir que M e M sao congruentes modulo J ao mesmo

monomio e portanto M ≡J M .

Teorema 2.29 Se o corpo K tem caracterıstica zero entao TZ(sl2) = J .

Demonstracao. A demonstracao e similar a demonstracao do Teorema 2.22. Seja f ∈ Ium polinomio multihomogeneo, e considere o menor k tal que podemos escrever

f ≡Jk∑i=1

λiMi ∈ I, (2.8)

Mi ∈ C, onde C = [xα(1), . . . , xα(n)], α ∈ Sn, α(1) = 1. Se d(f) = ±1 segue de 2.7 que a

ultima variavel de cada Mi tem todas o mesmo grau, e utilizando o Lema 2.26 podemos assu-

mir que, modulo J , a ultima variavel em cada Mi e a mesma, digamos y2k+1. Se escrevemos

Mi = [Ni, y2k+1] segue de 2.8 que

[k∑i=1

λiNi, y2k] ∈ I,

e por 2.7 podemos concluir que∑k

i=1 λiNi ∈ I. Assim para provar o teorema e suficiente

considerar o caso d(f) = 0.

Neste caso φ(f) = 0 e o elemento nao nulo na primeira linha de cada φ(Mi) e um monomio

em Ω, e podemos usar o Lema 2.28 para provar o teorema de maneira analoga a que foi feita

na demonstracao do Teorema 2.22.

34

2.2.3 As identidades Z2 × Z2-graduadas de sl2

Sejam P = p1, . . . pn, . . ., X = x1, . . . xn, . . ., T = t1, . . . tn, . . . e W = w1, . . . wn, . . .quatro conjuntos enumeraveis e disjuntos de variaveis e Z = P ∪X ∪T ∪W . A algebra livre

de Lie L〈Z〉 tem uma Z2 × Z2-graduacao natural se definimos d(pi) = (0, 0), d(xi) = (1, 0),

d(ti) = (0, 1), e d(wi) = (1, 1). Denotaremos por I o ideal das identidades graduadas de sl2

nesta graduacao e por J o ideal graduado em L〈Z〉 gerado pelo polinomio z, d(z) = (0, 0).

A Z2-graduacao da primeira secao e uma graduacao quociente desta graduacao, ja que

(sl2)0 = (sl2)(0,0) +(sl2)(1,0) and (sl2)1 = (s2)(0,1) +(sl2)(1,1). Assim cada identidade graduada

na Z2-graduacao gera um conjunto de identidades nesta graduacao. Denotaremos por yi as

variaveis em Z de grau (0, 1) ou (1, 1) e por xi as variaveis de grau (1, 0) ou (1, 1). Se um

monomio M nao pertence a I entao ele e a menos de sinal da forma


e d(y2j) = d(y2j+1) se, e somente se, nj e ımpar, isto e, o grau da variavel y2j e determinado

pelo grau da variaveil y2j−1 e pela paridade de nj. Sejam A = a1, . . . , an, . . . e B =

b1, . . . , bn, . . . dois conjuntos disjuntos de variaveis comutativas. Seja G a subalgebra de

M2(Ω)− gerada pelas matrizes Ai = aie11 − aie22, B+j = bje12 + bje21 e B−j = bje12 − bje21.

Esta algebra tem uma Z2×Z2-graduacao natural e como na secao anterior o homomorfismo

φ : L〈Z〉 −→ G definido por φ(pi) = 0, φ(xi) = Ai, φ(ti) = B+i e φ(wi) = B−i induz um

isomorfismo graduado entre L〈Z〉/I e G, onde I = kerφ.

Iremos associar a cada variavel yi um sinal s(yi) definido por s(yi) = 1 se d(yi) = (0, 1) e

s(yi) = −1 se d(yi) = (1, 1). Agora se M e como em (3) e tem grau total n, com m variaveis

de grau (1, 0) e y2k+1 nao aparece entao

φ(M) = (−2)n−1 ·k∏i=1

s(y2i) · a1 . . . amb1 . . . b2k ·

(1 0

0 −1

). (2.9)

Lema 2.30 Seja M = [z1, . . . , zn]. Se d(zi) = d(zj) e α = (i, j) entao M ≡J Mα.

Demonstracao. A demonstracao e analoga a demonstracao do Lema 2.25.

Lema 2.31 Seja M um monomio do tipo (3), tal que y2k+1 nao aparece e M um monomio

do mesmo multigrau de M . Se a primeira linha de φ(M − λM) e zero entao M − λM ∈ J .

Demonstracao. Observamos que [y1, x, y2] = [y1, y2, x] ∈ J , d(y1) 6= d(y2), e o resultado

segue desta identidade e das identidades do Lema 2.17.

Teorema 2.32 Se o corpo K tem caracterıstica zero entao TZ2×Z2(sl2) = J .

Demonstracao. Basta aplicar o lema acima e 2.4 de modo analogo ao que foi feito na

demonstracao do Teorema 2.29.

35

Capıtulo 3

Identidades Graduadas em Algebras

de Jordan

As identidades polinomiais das algebras de Jordan Bn, e B foram descritas por Vasilovsky

em [38] - ele encontrou bases para os respectivos T -ideais com poucas condicoes sobre a

caracterıstica do corpo - e Iltyakov em [19] estabeleceu a propriedade de base finita para

as identidades de Bn em caracterıstica 0. A estrutura das algebras relativamente livres

J(X)/T (Bn) e J(X)/T (B) foi descrita em [13], [23].

Neste capıtulo iremos descrever as identidades graduadas da algebra de Jordan das ma-

trizes simetricas 2×2. Na primeira secao apresentamos um teorema de Bahturin e Shestakov

que descreve as graduacoes na algebra de Jordan de uma forma bilinear simetrica. A algebra

de Jordan J2 das matrizes simetricas 2 × 2 e isomorfa a uma algebra deste tipo, ja que no

subespaco das matrizes simetricas de traco zero a forma bilinear que associa as matrizes a,

b o traco de ab e uma forma bilinear simetrica nao degenerada. Assim podemos utilizar este

resultado para descrever todas as possıveis graduacoes em J2.

A menos de isomorfismo graduado, existem apenas duas Z2-graduacoes em J , uma em

que a componente par tem dimensao 1, isto e, consiste apenas de escalares, e que e chamada

de graduacao escalar e uma em que a componente par tem dimensao 2 que e chamada

de graduacao nao-escalar. Exibiremos bases para as identidades graduadas de J2 nesses

dois casos. No caso da graduacao nao-escalar fazemos uma serie de ”calculos”para reduzir

o problema a lidar com associadores e no caso da graduacao escalar empregar metodos e

resultados da Teoria da Invariantes e obtemos um resultado bem mais geral, descrevemos as

identidades fracas para os pares (Bn, Vn) e (B, V ), onde Bn e B sao as algebras de Jordan de

uma forma bilinear simetrica nos espacos Vn e V , respectivamente, dimVn = n e dimV =∞.

A algebra J2 tem essencialmente quatro tipos de graduacoes, a descricao das identidades

Z2-graduadas de J2 pode ser utilizada para encontrar bases finitas para a algebra J2 em dois

36

dos quatro casos, e como nos outros dois casos temos graduacoes finas nao e difıcil encontrar

bases finitas tambem nestes casos.

Os resultados deste capıtulo foram aceitos para publicacao, veja [29].

3.1 Graduacoes em Algebras de Jordan

Em [6], sao descritas todas as graduacoes de uma algebra de Jordan de uma forma bilinear

simetrica nao-degenerada. Aqui J = J(b) denota a algebra de Jordan da forma bilinear

simetrica nao-degenerada b sobre o espaco vetorial V (dimV > 1), Γ denota um grupo com

identidade ε e Σ denota o suporte da graduacao J = ⊕γ∈ΓJγ. No artigo citado anteriormente

e provado o seguinte resultado:

Teorema 3.1 Qualquer graduacao J = ⊕γ∈ΓJγ de J = J(b) por um grupo Γ sobre um corpo

K de caracterıstica diferente de 2 pode ser descrita como segue. Existe uma base β de V de

elementos homogeneos que pode ser decomposta como uma uniao disjunta β = E ∪ E ′ ∪ Fe uma bijecao E 3 e ↔ e′ ∈ E ′ tal que deg e = (deg e′)−1 6= ε para qualquer e ∈ E e

(deg f)2 = ε para qualquer f ∈ F . Reciprocamente, qualquer escolha de uma base como

descrita acima e qualquer colecao de elementos

γe, δf |e ∈ E, f ∈ F ⊂ Γ

tal que (γe)2 6= ε e (δf )

2 = ε define uma graduacao de J(b) se definimos deg e = γe, deg e′ =

(γe)−1 e deg f = δf para todos os e ∈ E e f ∈ F .

Demonstracao. Ver [6], Teorema 1.

Devemos observar que, de acordo com o teorema acima, a existencia de Γ graduacoes

e sua descricao e equivalente a encontrar uma base de elementos de V satisfazendo certas

relacoes, na proxima secao veremos como este resultado pode ser aplicado para descrever

todas as graduacoes da algebra de Jordan das matrizes simetricas 2× 2.

Em certos casos a existencia de tal base depende do corpo K, por exemplo, quando J = J2

(a algebra de Jordan das matrizes simetricas de ordem 2), com Γ = Z3 para existir tal base

e necessario que√−1 ∈ K. De fato, seja J2 = (J2)0 ⊕ (J2)1 ⊕ (J2)2 uma Z3-graduacao nao

trivial. Como Z3 nao tem elementos de ordem 2 devemos ter dim(J2)1 = dim(J2)2 = 1 e

consequentemente (J2)0 = K. Alem disso (J2)1 = Kw1 e (J2)2 = Kw2 onde w1 e w2 sao

matrizes de traco zero tais que w21 = w2

2 = 0 e w1 w2 = 1. As matrizes w1, w2 satisfazendo

essas relacoes existem se, e somente se,√−1 ∈ K. Podemos escolher, por exemplo,

w1 =

(i 1

1 −i

), w2 =

1

2

(−i 1

1 i

).

37

Tambem poderıamos ter chegado a esta ultima conclusao diretamente sem utilizar o

teorema anterior. De fato se 0 6= w ∈ (J2)r, r ∈ 1, 2 segue do Teorema de Cayley–

Hamilton que w2 − (trw)w + (detw)I = 0, e como w2, w e I tem graus diferentes segue

que w2 = 0 e trw = detw = 0. Observamos que se w e w′ sao matrizes simetricas de

traco zero entao w w′ = λI ∈ (J2)0 e assim se dim(J2)0 = 2 existe w′ ∈ (J2)0 tal que

trw′ = 0, mas neste caso w w′ ∈ (J2)0 ∩ (J2)r = 0. Assim obtemos matrizes w, w′

linearmente independentes satisfazendo w2 = (w′)2 = w w′ = 0, o que e um absurdo.

Assim dim(J2)0 = 1, tambem nao e difıcil ver que dim(J2)1 = dim(J2)2 = 1 e que existem

matrizes w1, w2 tais que (J2)1 = Kw1, (J2)2 = Kw2 satisfazendo (w1)2 = (w2)2 = 0 e

w1 w2 = I. Como visto acima matrizes satisfazendo essas relacoes existem se, e somente se√−1 ∈ K.

3.2 Graduacoes na algebra de Jordan das matrizes si-

metricas 2× 2

Nesta secao descreveremos as Z2-graduacoes de J2, tal descricao e um caso particular do

teorema da secao anterior, mas apresentaremos uma demonstracao aqui pois neste caso par-

ticular a demonstracao e simples e direta sem utilizar as tecnicas desenvolvidas em [6]. Essa

descricao foi utilizada em [30], onde foram descritas as identidades Z2-graduadas de J2 com

as duas possıveis Z2-graduacoes desta algebra. Em seguida utilizaremos esse teorema para

descrever todas as possıveis graduacoes de J2. Como veremos existem essencialmente quatro

tipos de graduacoes, uma ”equivalente”a Z3-graduacao apresentada na secao anterior, uma

”equivalente”a Z2-graduacao que chamamos de escalar, uma ”equivalente”a Z2-graduacao

que chamamos de nao-escalar e uma Z2 × Z2-graduacao fina.

Mostraremos que J2 tem duas Z2 -graduacoes nao triviais, uma em que dim(J2)0 = 1,

a qual de agora em diante chamaremos graduacao escalar, e uma em que dim(J2)0 > 1, a

qual iremos nos referir como a graduacao nao-escalar. Na verdade iremos descrever as Z2-

graduacoes de Bn e B as algebras de Jordan de uma forma bilinear simetrica nao-degenerada

nos espacos vetoriais Vn e V , respectivamente, dimVn = n e dimV =∞.

Nao e difıcil ver que a unidade 1 esta na componente par da graduacao. Suponha que

J = Bn tem uma graduacao J = J0 ⊕ J1. Entao K ⊆ J0. Seja 1, v1, . . . , vk uma base de

J0, onde vi ∈ Vn. Se α + v ∈ J1, α ∈ K, v ∈ Vn entao vi (α + v) ∈ J1, mas por outro lado

vi (α + v) = αvi + 〈vi, v〉 ∈ J0. Portanto α = 0 e 〈vi, v〉 = 0. Assim Ji e um subespaco de

Vn e alem disso J1 e ortogonal a sp (v1, . . . , vk), o subespaco gerado pelos vetores v1, . . . , vk.

Um argumento analogo se aplica a B. Desse modo demonstramos a seguinte proposicao.

38

Proposicao 3.2 Toda Z2-graduacao nas algebras de Jordan Bn e B e definida por uma

decomposicao dos espacos Vn, respectivamente V , como uma soma direta de dois subespacos

ortogonais.

Como corolario da proposicao acima obtemos uma descricao das Z2-graduacoes de J2, no

que segue I, a, b e uma base de J2 onde I = e11 + e22 e a matriz identidade, a = e11 − e22

e b = e12 + e21.

Corolario 3.3 A menos de isomorfismos graduados existem duas Z2-graduacoes nao triviais

na algebra de Jordan J = J2. Essas graduacoes sao J = J0 ⊕ J1, onde J0 = sp (I, a),

J1 = sp (b), ou J0 = sp (I), J1 = sp (a, b).

Para descrever as possıveis Γ-graduacoes de J2(K), onde Γ e um grupo qualquer - nao

necessariamente o grupo de ordem 2 - e K um corpo de caracterıstica diferente de 2, utiliza-

mos o teorema principal de [6] apresentado na secao anterior. Como veremos mais adiante

e possıvel descrever as identidades graduadas de J2 em todos esses casos.

Teorema 3.4 Seja J2 = ⊕γ∈ΓJγ uma graduacao em J2 e Σ o suporte dessa graduacao.

Temos quatro possibilidades:

(A) Σ = ε, γ, γ−1, onde γ2 6= ε, neste caso√−1 ∈ K e existem matrizes a, b tais que

Jγ = Ka, Jγ−1 = Kb, com a2 = b2 = 0 e a b = I.

(B) Σ = ε, γ1, γ2, γ21 = γ2

2 = ε, Jε = KI, Jγ1 = Ka, Jγ2 = Kb, onde a, b sao matrizes

tais que a2 = b2 = I e a b = 0.

(C) Σ = ε, γ, γ2 = ε, Jε = sp (I, a), Jγ = Kb, onde a, b sao matrizes tais que a2 = b2 = I

e a b = 0.

(D) Σ = ε, γ, γ2 = ε, Jε = KI, Jγ = sp (a, b), onde a, b sao matrizes tais que a2 = b2 = I

e a b = 0.

Demonstracao. Se existe γ ∈ Σ tal que γ2 6= ε entao segue do Teorema 3.1 que γ−1 ∈ Σ,

e como dim J2 = 3 concluımos que dim Jε = dim Jγ = dim Jγ−1 = 1. Assim existem matrizes

a, b tais que Jγ = Ka, Jγ−1 = Kb, as relacoes a2 = b2 = 0 e a b = I tambem seguem do

mesmo Teorema. Neste caso temos a graduacao descrita em (i). Resta mostrar que a base

graduada descrita existe se, e somente se,√−1 ∈ K.

Como a2 = b2 = 0 segue que a, b sao matrizes simetricas de traco zero. Sejam

a =

(a1 a2

a2 −a1

), b =

(b1 b2

b2 −b1

),

39

matrizes satisfazendo as relacoes acima. Como a2 = b2 = 0 concluımos que a21+a2

2 = b21+b2

2 =

0 e assim√−1 =

a1

a2

=b1

b2

∈ K. E quando√−1 ∈ K nao e difıcil concluir que

a = λ

(i 1

1 −i

), b =

1

2λ

(−i 1

1 i

),

onde 0 6= λ ∈ K.

Suponha agora que γ2 = ε,∀γ ∈ Σ. Como dim J2 = 3 o suporte Σ tem no maximo tres

elementos, alem disso se Σ = ε temos a graduacao trivial e portanto podemos assumir que

Σ tem dois ou tres elementos. Se Σ = ε, γ1, γ2, onde γ21 = γ2

2 = ε segue do Teorema 3.1

que temos a graduacao descrita em (ii).

Resta analisar o caso em que Σ = ε, γ, onde γ2 = ε. Neste caso se dim(J2)ε = 1 entao

dim(J2)γ = 2 e teremos a graduacao descrita em (iii), e se dim(J2)ε = 2 teremos a graduacao

descrita em (iv).

Nesses tres ultimos casos nao e difıcil ver que a existencia de matrizes a, b satisfazendo as

relacoes dadas nao depende de restricoes sobre o corpo K, podemos escolher, por exemplo,

a =

(1 0

0 −1

), b =

(0 1

1 0

).

3.3 Identidades 2-graduadas em Algebras de Jordan

Como vimos a algebra de Jordan das matrizes simetricas admite, a menos de isomorfismo

graduado, duas Z2-graduacoes: a graduacao escalar e a graduacao nao-escalar. A seguir

apresentamos uma descricao das identidades graduadas de J2 com essas duas graduacoes.

Na verdade a descricao das identidades graduadas de J2 com a Z2-graduacao escalar e um

caso particular de um resultado bem mais geral, a descricao das identidades fracas de Jordan

para o par (Bn, Vn) e (B, V ), onde Bn e B sao as algebras de Jordan de uma forma bilinear

simetrica nao degenerada para os espacos Vn e V , respectivamente, dimVn = n e dimV =∞.

3.3.1 A graduacao nao-escalar

Aqui consideramos a algebra de Jordan das matrizes simetricas 2 × 2 com a graduacao

nao-escalar e denotaremos por T = T2(J) o ideal das identidades graduadas de J . Nesta

secao utilizaremos o sımbolo para representar o produto na algebra de Jordan M2(K)(+)

enquanto o sımbolo · representa o produto usual de matrizes, mas via de regra este sera

40

omitido. Lembramos que |u| e o Z2-grau de um elemento u, enquanto deg a e o grau usual

de um elemento homogeneo da algebra livre.

Denotaremos por I o ideal das identidades graduadas gerado pelos polinomios

x1(x2x3) − x2(x1x3) if |x1| = |x2| (3.1)

(y1y2, z1, z2) − (y1(y2, z1, z2) + y2(y1, z1, z2)− 2z1(z2, y1, y2)) (3.2)

(y1y2, y3, z1) − (y1(y2, y3, z1) + y2(y1, y3, z1)) (3.3)

(z1z2, x1, x2) (3.4)

(y1, y2, z1, x, y3) − (y1, y3, z1, x, y2) (3.5)

Se consideramos o espaco vetorial de uma algebra de Jordan J com a operacao ternaria

(a, b, c) = (a b) c − a (b c), a, b, c ∈ J , obtemos uma estrutura algebrica conhecida

como sistema triplo de Lie (Lie triple system). Se em uma algebra de Jordan consideramos a

estrutura de sistema triplo de Lie pode ser demonstrado, veja por exemplo [20, pp. 343, 344],

que todo associador e uma combinacao linear de associadores proprios. A demonstracao e

parecida com a de que todo comutador na algebra livre de Lie e uma combinacao linear de

comutadores regulares (isto e, os colchetes agrupados da esquerda para a direita).

Aqui a letra y, com ou sem ındice, representa uma variavel par; z com ou sem ındice

representa uma variavel ımpar, e x representa uma variavel qualquer (par ou ımpar).

Lema 3.5 As identidades graduadas de (3.1) a (3.5) valem para a algebra de Jordan J . Em

outras palavras I ⊆ T .

Demonstracao. A prova consiste de uma verificacao simples e sera omitida.

Lembramos que como estamos considerando algebras sobre corpos infinitos toda identi-

dade graduada e equivalente a um conjunto finito de identidades multihomogeneas (podemos

tomar o conjunto de suas componentes multihomogeneas), veja o Lema 1.38. Desse modo

podemos nos restringir ao estudo das identidades multihomogeneas. Nosso objetivo nesta

secao e provar que I = T .

Seja L = J(X)/I onde J(X) e a algebra livre de Jordan graduada. Iremos adiante

estudar a algebra L; iremos manter a notacao para as imagens das variaveis y e z em L. A

identidade (3.4) implica que os elementos zizj estao no centro associativo de L. Portanto a

subalgebra de L gerada por todos os zizj e associativa.

Como o ideal I e homogeneo na graduacao concluımos que a algebra L e graduada, sendo

sua graduacao induzida pela graduacao em J(X), assim L = L0 ⊕ L1.

Proposicao 3.6 A subalgebra L0 de L e associativa. Alem disso a subalgebra de L gerada

por L1 e associativa.

41

Demonstracao. A identidade graduada (3.1) implica que (y1, y2, y3) = 0 em L. Portanto

L0 e associativa. Agora seja w ∈ [L1], a subalgebra de L gerada por L1. Suponha que w e

um monomio, degw = n. Inicialmente mostraremos que w = (u)zi para algum zi e algum

monomio u ∈ LC , o centro associativo de L. Aqui o chapeu sobre a variavel zi significa que

ela pode estar faltando. Faremos a demonstracao por inducao em n. Se n = 1 entao w = z e

u = 1. Suponha que n > 1 e alem disso que a afirmacao e verdadeira para monomios de grau

no maximo n − 1. Entao w = (w1) . . . (wk) para algum wi ∈ L1 (aqui pode haver qualquer

arranjo de parenteses). Usando a hipotese de inducao podemos assumir que wi = (ui)zti .

Ja que ui esta no centro associativo podemos reduzir este caso a w = (u)(w′) onde u ∈ LCe w′ e o produdo de algumas variaveis z com alguma distribuicao de parenteses. Mas pela

identidade (3.4) o produto de quaisquer duas variaveis z esta no centro associativo LC , entao

podemos transferı-la para u. Portanto se o grau de w′ e par segue que w ∈ LC e se e ımpar

entao w = (u′)z onde u′ ∈ LC .

Sejam wi = (ui)zti , i = 1, 2, 3, tres elementos de [L1]. Temos entao que (w1, w2, w3) =

(u1u2u3)(zt1 , zt2 , zt3) = 0 em L ja que pela identidade (3.1) segue que (z1, z2, z3) = 0. Se

alguma das variaveis zti nao aparece entao em seu lugar aparece 1, e neste caso o associador

se anula.

Seja Ω ⊆ L o menor subconjunto de L com a propriedade que se f1, f2, f3 ∈ Ω∪X entao

(f1, f2, f3) ∈ Ω. Os elementos de Ω sao chamados associadores.

Denote por J(X)(n1,...,nk) a componente multihomogenea de J(X) que consiste dos po-

linomios homogeneos de grau ni na variavel xi, 1 ≤ i ≤ k, e grau 0 nas demais variaveis.

De modo analogo definimos L(n1,...,nk). Escolhemos o subconjunto Ω0 de Ω como descrito a

seguir. Se Ω ∩ L(n1,...,nk) 6= 0 entao escolhemos um elemento arbitrario (mas nao nulo) de

Ω0 ∩ L(n1,...,nk), e nao existem outros elementos em Ω0.

Agora defina o conjunto A ⊆ L que consiste dos elementos dos quatro tipos a seguir.

(i) (yi1 . . . yik)(zj1 . . . zjt);

(ii) (yi1 . . . yik)u1;

(iii) (yi1 . . . yik)(zj1u1);

(iv) (yi1 . . . yik)u0.

Aqui k, t ≥ 0, e ui ∈ Ω0 e um associador, |ui| = i, i = 0, 1. Exigimos ainda que deg ui ≥ 3,

isto e que os ui sejam associadores mas nao sejam variaveis. A proposicao 3.6 nos permite

omitir os parenteses nas expressoes acima.

Seja S = sp (A) o subespaco de L gerado por A. Iremos mostrar que L = S. Para isto

mostraremos primeiro que todo elemento de Ω e igual, a menos de sinal, a um elemento de

Ω0. Para demonstrar essas duas afirmacoes utilizaremos os lemas a seguir.

42

Lema 3.7 As identidades a seguir estao em I.

(a) (x1, x2, x3), |x1| = |x3|;

(b) (y1z1, y2, y3)− y1(z1, y2, y3);

(c) (z1, y1, . . . , y2k) − (z1, yσ(1), . . . , yσ(2k)) para qualquer permutacao σ no grupo simetrico

S2k;

(d) (z1, y1, . . . , y2k, z2, y2k+1) − (zτ(1), yσ(1), . . . , yσ(2k), zτ(2), yσ(2k+1)) para todo σ ∈ S2k+1 e

τ ∈ S2.

Demonstracao. Como (x1, x2, x3) = (x1x2)x3 − x1(x2x3) = (x3x2)x1 − x1(x2x3) = 0 em

L, segue de (3.1) que vale (a). Analogamente segue de (3.1) que ((y1z1)y2)y3 = ((y2z1)y3)y1

and (y1z1)(y2y3) = ((y2y3)z1)y1. Portanto

(y1z1, y2, y3) = ((y1z1)y2)y3 − (y1z1)(y2y3)

= ((y2z1)y3)y1 − ((y2y3)z1)y1 = y1(z1, y2, y3)

e assim provamos (b). E claro que (c) segue da identidade (3.5).

Para provar (d) e suficiente considerar o caso σ = 1, a permutacao identidade, e entao

utilizamos a identidade (3.5). Suponhamos inicialmente que k = 1. Segue de (3.1) que

((y1y2)z1)z2 = ((y1y2)z2)z1 e que

(y1(y2z1))z2 = (y1z2)(y2z1) = (y2(y1z2))z1 = (y1(y2z2))z1.

Portanto obtemos

(y1, y2, z1)z2 = (y1, y2, z2)z1 (3.6)

Segue desta ultima identitade, juntamente com (b) e (a), que

(y1, y2, z1)(z2y3) = (y1, y2, z2y3)z1 = (y3(y1, y2, z2))z1 = (y1, y2, z2)(y3z1) (3.7)

Agora observamos que (z1, y1, y2, z2, y3) = ((z1, y1, y2)z2)y3 − (z1, y1, y2)(z2y3). Assim utili-

zando a identidade (3.6) transpomos z1 e z2 na primeira parcela do lado direito da igualdade.

Alem disso, como consequencia de (3.7) podemos fazer o mesmo na segunda parcela, assim

provamos o caso k = 1.

Seja k > 1, e suponha que para todo inteiro ≤ k − 1 o polinomio em (d) pertence a I.

Para demonstrar este caso e suficiente mostrar que as igualdades a seguir valem em L.

(z1, y1, . . . , y2k)z2 = (z2, y1, . . . , y2k)z1;

(z1, y1, . . . , y2k)(y2k+1z2) = (z2, y1, . . . , y2k)(y2k+1z1).

43

Para provar que a primeira igualdade e uma identidade graduada em L observamos que por

(3.6)

(z1, y1, . . . , y2k)z2 = (z2, y2k−1, y2k)(z1, y1, . . . , y2k−2).

Agora novamente usamos inducao em k, supondo que

(z1, y1, . . . , y2k−2)z2 = (z2, y1, . . . , y2k−2)z1.

Desse modo obtemos

(z2, y2k−1, y2k)(z1, y1, . . . , y2k−2) = z1(z2, y2k−1, y2k, y1, . . . , y2k−2).

Agora aplicamos (c) e encontramos a igualdade desejada. A ultima igualdade pode ser

demonstrada de modo analogo. Segue de (3.7), (b) e (a) (e novamente utilizamos inducao)

que

(z1, y1, . . . , y2k)(y2k+1z2) = (z2, y2k−1, y2k)(y2k+1(z1, y1, . . . , y2k−2))

= ((z2, y2k−1, y2k)y2k+1)(z1, y1, . . . , y2k−2)

= (z1y2k+1)(z2, y2k−1, y2k, y1, . . . , y2k−2).

Agora utilizando (d) obtemos a igualdade desejada.

Assim verificamos que as duas igualdades valem em L e a identidade (d) segue facilmente

delas.

Antes de prosseguir precisamos de mais algumas identidades em L.

Lema 3.8 Os polinomios a seguir sao identidades em L.

(i) (y1, z2, (y2z1))− (y2(y1, z1, z2) + z1(y1, y2, z2));

(ii) z1(z2, z3, y1);

(iii) (z1z2)(z3, x, y1)− (z1, z2, y1, x, z3);

(iv) (y1, z1, z2)(y2, z3, z4)− z1(y1, z2, z3, y2, z4);

(v) (y1, y2, z1)(y3, y4, z2)− z1(z2, y1, y2, y3, y4).

Em outras palavras os polinomios acima estao em I.

Demonstracao. Para provar (i) observe que (y1, z2, (y2z1)) = (y1z2)(y2z1) − y1(z2(y2z1)),

e que

y1(z2(y2z1)) = y1(y2(z1z2) + (y2, z1, z2)) = (y1y2)(z1z2) + y1(y2, z1, z2).

44

Alem disso vale a igualdade a seguir em L

(y1z2)(y2z1) = z1(y2(y1z2)) = z1((y1y2)z2 − (y2, y1, z2))

= (y1y2)(z1z2) + (y1y2, z2, z1)− z1(y1, y2, z2).

Subtraindo as duas ultimas identidades e aplicando a identidade (3.2) obtemos (i).

De modo analogo (ii) segue de (3.1) e de (3.4) ja que

z1((z2z3)y1) = (z2z3)(z1y1) = ((z2z3)z1)y1 = ((z1z2)z3)y1

e alem disso z1(z2(z3y1)) = (z1z2)(z3y1) = ((z1z2)z3)y1.

A identidade graduada (iii) vale ja que z1z2 esta no centro associativo de L e alem disso,

segue de (3.4) que (z1(z2y1), x, z3) = 0 em L.

Agora mostraremos (iv). Segue das identidades graduadas (3.4) e (3.1) que

((y1z1)z2)(y2, z3, z4) = (y2, z3((y1z1)z2), z4) = (y2, (z1z2)(y1z3), z4)

= (z1z2)(y2, (y1z3), z4).

Por outro lado ((y1z1)z2)(y2, z3, z4) = (z1z2)(y1(y2, z3, z4) + z3(y2, y1, z4)) por (i). Como z1z2

esta no centro associativo temos

((y1z1)z2)(y2, z3, z4) = ((z1z2)y1)(y2, z3, z4) + ((z1z2)z3)(y2, y1, z4).

Portanto (y1, z1, z2)(y2, z3, z4) = ((z1z2)z3)(y2, y1, z4). Segue de (3.4) que z1z2 e (y1z2)z3 estao

no centro associativo. Portanto z1(y1, z2, z3, y2, z4) = (z1(z2z3))(y1, y2, z4). Como z1(z2z3) =

(z1z2)z3 concluımos que (y1, z1, z2)(y2, z3, z4) = z1(y1, z2, z3, y2, z4).

Resta provar (v). Na demonstracao da identidade (d) do Lema 3.7 mostramos que

((y1y2)z1)z2 = ((y1y2)z2)z1. Portanto, utilizando (3.1) obtemos a igualdade

(y1, y2, z1)(y3, y4, z2) = (y1, y2, (y3, y4, z2))z1 = −(y3, y4, z2, y1, y2)z1

= (z2, y3, y4, y1, y2)z1.

Agora aplicamos a identidade graduada (c) do Lema 3.7 e assim podemos ordenar as

variaveis y no ultimo associador.

A proposicao a seguir mostra que a escolha dos elementos de Ω0 pode realmente ser

arbitraria.

Proposicao 3.9 Sejam u1 e u2 dois associadores nao nulos em L do mesmo multigrau.

Entao u1 = ±u2.

45

Demonstracao. Seja u ∈ Ω. Recordamos que as matrizes a e b foram escolhidas como

sendo a = e11 − e22 e b = e12 + e21. Se substituımos toda variavel par de u pela matriz a, e

toda variavel ımpar pela matriz b entao o resultado desta substituicao e a matriz ±a sempre

que |u| = 0, e ±b sempre que |u| = 1. Esta observacao pode ser demonstrada de maneira

simples por inducao em deg u. Se deg u = 3 entao podemos ter (a, a, b) − (b, a, a) = b e

(b, b, a) = −(a, b, b) = a. Se u = (u1, u2, u3) entao os ui sao associadores de grau menor que

o de u, e podemos aplicar a inducao.

Como observamos antes, todo associador em u ∈ Ω e uma combinacao linear de associado-

res proprios. Nos provaremos inicialmente a proposicao para associadores proprios. Primeiro

mostraremos que todo associador proprio u pode ser escrito como u = (zi1 . . . zi2m)ut onde

t = 0, 1, e u0 = (zi2m+1 , yj1 , . . . , yj2k), enquanto u1 = (zi2m+1 , yj1 , . . . , yj2k , zi2m+2 , yj2k+1). Aqui

m ≥ 0.

Faremos inducao no grau total n de u, nas variaveis z, e alem disso em ` que e definido

por deg u = 2`+1. Se n = 0 nao existem tais associadores nao nulos. Suponha que n = 1. Se

u = (x1, x2, x3, . . .) entao exatamente uma das variaveis x1 e x3 e ımpar, portanto podemos

assumir que (a menos de um sinal) essa variavel e x1. Entao aplicamos o Lema 3.7 (c), e

assim o resultado vale para todo `.

Suponha que n = 2. Se ` = 1 entao deg u = 3, e u = (z1, z2, y1) = (z2, z1, y1).

Tome ` ≥ 2. Nao pode acontecer que u = (z1, z2, y1, . . .) ja que no lugar dos pontos

apareceriam apenas variaveis pares (pelo menos duas), e terıamos u = 0. Assim temos

u = (z1, y1, . . . , yp, z2, yp+1, . . .) com p ≥ 1. (Os ındices nas variaveis podem ser permutados

mas usamos essa notacao mais simples.) Observe que o inteiro p e par pois caso contrario

terıamos u = 0. Alem disso os pontos mais a direita representam variaveis pares. Como o

associador (z1, y1, . . . , yp, z2) e par (na graduacao) e temos n = 2 variaveis ımpares, os pontos

mais a direita na verdade nao aparecem. Assim concluımos que u = (z1, y1, . . . , yp, z2, yp+1),

onde p e par, e assim terminamos com esse caso para todo ` utilizando Lema 3.7 (d).

Suponha agora que n ≥ 3. Devemos provar que neste caso u = (zi1 . . . zi2m)u′ onde u′ tem

1 ou 2 variaveis ımpares. Escreva u = (A1, x1, x2) onde A1 e um associador. Se A1 contem

pelo menos 3 variaveis ımpares entao pela inducao (degA1 = deg u−2) temosA1 = (zi1zi2)A2.

Aqui A2 e algum associador proprio (ou uma combinacao linear de associadores proprios).

Por outro lado z1z2 esta no centro associativo e portanto u = (zi1zi2)(A2, x1, x2). Assim

podemos aplicar a inducao para (A2, x1, x2).

Se, por outro lado, A1 tem apenas uma variavel ımpar entao |A1| = 1 e |x2| = 0 ja

que u 6= 0. Assim temos n = 1 ou 2, mas isto nao e possıvel ja que n ≥ 3. Desse modo

temos que analisar o caso em que A1 tem exatamente duas variaveis ımpares. Novamente

por inducao (n = 2) podemos assumir que A1 = (z1, y1, . . . , y2k−2, z2, y2k−1) a menos de uma

permutacao nas variaveis pares e, separadamente, das variaveis ımpares. Entao |A1| = 0

46

e portanto x2 deve ser algum z, e como n = 3, x1 e algum y. Para simplificar a notacao

escrevemos u = (A1, y, z) e A1 = (A2, z′, y′) onde A2 e um associador, |A2| = 1 e A2 contem

exatamente uma variavel ımpar. Portanto u = (A2, z′, y′, y, z). Agora aplicamos a identidade

(iii) do Lema 3.8 e em seguida utilizamos o fato que a algebra gerada por L1 e associativa

(e comutativa) para obter

u = ±(A2z′)(y′, y, z) = ±(A2z

′)(z, y′, y)

= ±((A2z′)z, y′, y) = ±((z′z)A2, y

′, y) = ±(z′z)(A2, y′, y).

Fica claro pelo ultimo argumento que podemos permutar as variaveis z sem restricoes; no

caso das variaveis y isto segue do Lema 3.7.

Sejam u e w dois associadores (nao necessariamente proprios), do mesmo grau multiho-

mogeneo. Escrevemos cada um deles como uma combinacao linear de associadores proprios,

e em seguida aplicamos os resultados provados acima para associadores proprios. Desse

modo concluımos que u e w diferem apenas por um multiplo escalar. Mas este deve ser 1 ou

−1 por causa da observacao feita no inıcio da demonstracao.

Uma outra consequencia do Lema 3.8 e da demonstracao da Proposicao 3.9 e a seguinte.

Corolario 3.10 Seja u ∈ A. Se substituımos qualquer variavel x de u por um associador w

tal que |x| = |w| entao obtemos uma combinacao linear de elementos de A.

Demonstracao. A algebra L0 e associativa e comutativa, e o mesmo vale para a subalgebra

de L gerada por L1. Se, em alguma substituicao, aparece um elemento do tipo zizj ele pode

ser ”absorvido” pelo associador (ou pelo elemento zj1 . . . zjt no caso de elementos do tipo (i))

na definicao de A. Para terminar a demonstracao do corolario e preciso fazer uma analise

de casos das possıveis substituicoes de variaveis de elementos de A por associadores. Esses

casos nao sao difıceis de analisar; e necessario utilisar as identidades graduadas do Lema 3.8.

Por exemplo, se substituımos a variavel y por (y2, z3, z4) em (y1, z1, z2)y, segue do Lema 3.8

que obtemos z1(y1, z2, z3, y2, z4).

Lembranos que S denota o espaco vetorial gerado pelo conjunto A (definido logo antes

do Lema 3.7). Os Lemas a seguir garantem que certos elementos pertencem a S.

Lema 3.11 O polinomio N = ((y1 . . . yk), y, z) pertence ao subespaco de S gerado por ele-

mentos do tipo (ii).

Demonstracao. Seja S ′′ um conjunto de elementos do tipo (ii) do mesmo multigrau que

N . Devemos mostrar que N pertence ao subespaco V de S gerado por S ′′. Faremos isso

47

por inducao em k. Se k = 1 nao ha o que demonstrar. Entao podemos escrever, usando a

identidade (3.3),

N = (y1 . . . yk−1)(yk, y, z) + yk((y1 . . . yk−1), y, z).

O elemento (y1 . . . yk−1)(yk, y, z) e do tipo (ii). Para provar que yk((y1 . . . yk−1), y, z) ∈ V

devemos aplicar a hipotese de inducao ao elemento ((y1 . . . yk−1), y, z). Portanto e suficiente

mostrar que todos os elementos da forma

y((y1 . . . yp)(z, yp+1, . . . , yq)), p < k, q − p ≡ 0 (mod 2)

sao combinacoes lineares de elementos do tipo (ii). Mas este ultimo elemento e igual a

(y(y1 . . . yp))(z, yp+1, . . . , yq)− (y, (y1 . . . yp), (z, yp+1, . . . , yq)).

O primeiro termo da soma e do tipo (ii). E o segundo termo da soma e igual, a menos de

sinal, a ((y1 . . . yp), y, (z, yp+1, . . . , yq)). Primeiro consideramos o elemento ((y1 . . . yp), y, z).

Aplicando a este a identidade (3.3) varias vezes obtemos uma combinacao linear de elemen-

tos do tipo (ii) do conjunto A. Mas de acordo com o Corolario 3.10, se substituımos um

associador por uma variavel em um elemento de A, obtemos novamente elementos de A

desde que o Z2-grau seja preservado. Com isso terminamos a demonstracao.

Lema 3.12 O polinomio N = ((y1 . . . yk), z1, z2) pertence a S.

Demonstracao. Como no lema anterior faremos inducao em k. Devemos mostrar que N

esta no espaco V gerado pelos elementos dos tipos (iii) e (iv). A base de inducao k = 1 e

claramente verdade. Segue da identidade (3.4) que

N = (y1 . . . yk−1)(yk, z1, z2) + yk((y1 . . . yk−1), z1, z2)− 2z1(z2, (y1 . . . yk−1), yk).

A primeira parcela a partir da esquerda e um elemento de S (do tipo (iv)). Por inducao

podemos assumir que ((y1 . . . yk−1), z1, z2) ∈ V e uma combinacao linear de elementos dos

tipos (iii) e (iv). Alem disso os elementos dos tipos (iii) e (iv) sao produtos dos elemen-

tos pares; portanto estao na algebra associativa L0. Assim multiplicando estes por yk re-

sulta em elementos do mesmo tipo. Resta mostrar que a ultima parcela e elemento de

V . Aplicando o Lema 3.11 a (z2, (y1 . . . yk−1), yk) podemos escrever este como uma com-

binacao linear de elementos do tipo (ii). Portanto e suficiente provar que elementos da forma

M = z1((y1 . . . yn)(z2, yn+1, . . . , ym)), n < k, m− n par, estao em V . Mas temos que

M = (y1 . . . yn)(z1(z2, yn+1, . . . , ym))− (z1, (z2, yn+1, . . . , ym), (y1, . . . , yn)).

Aqui a primeira parcela a direita e do tipo (iv). E o segundo tambem e elemento de V devido

a nossa hipotese de inducao juntamente com o Corolario 3.10.

48

Lema 3.13 Se s ∈ S entao sz ∈ S.

Demonstracao. Primeiro notamos que os elementos de A dos tipos (ii), (iii), (iv) po-

dem ser obtidos de elementos do tipo (i) substituindo uma variavel x por um associador

u tal que |u| = |x|. Entao o lema sera consequencia do Corolario 3.10 se provarmos que

((y1 . . . yk)(z1 . . . zp))z ∈ S. Se o numero p e par entao z1 . . . zp esta no centro associativo

de L e assim ”absorve” a variavel z e desse modo obtemos um elemento do tipo (i). Entao

suponha que p e ımpar. Neste caso o elemento z2 . . . zp esta no centro e basta mostrar que

o elemento R = ((y1 . . . yk)z1)z ∈ S. Podemos ver facilmente que

R = ((y1 . . . yk), z1, z) + (y1 . . . yk)(z1z).

Mas devido ao Lema 3.12 a primeira parcela a direita esta em S enquanto o segundo ja e

do tipo (i).

Lema 3.14 O elemento N = ((y1 . . . yk), (yk+1 . . . yn), z) ∈ S.

Demonstracao. Fazemos inducao em n−k. Se n−k = 1 temos o Lema 3.11. Suponha que

n−k > 1. O lema segue da afirmacao a seguir. Se substituımos em (y1 . . . yr)(z, yr+1, . . . , ys)

uma variavel y pelo produto de n − k variaveis y a expressao resultante esta em S. A

afirmacao claramente vale (para produtos de qualquer comprimento) se substituımos algumas

das variaveis y1 ate yr. Se substituımos algumas das variaveis yr+1, . . . , ys, entao primeiro

precisamos aplicar o Lema 3.11, e em seguida usamos inducao.

Lema 3.15 O elemento R = (y1 . . . yk)((yk+1 . . . yn)z) pertence a S.

Demonstracao. A demonstracao segue do Lema 3.14 usando um argumento analogo ao

da demonstracao do Lema 3.13.

Proposicao 3.16 O conjunto A gera a algebra relativamente livre L.

Demonstracao. Afirmamos que os elementos R = ((y1 . . . yp)z1)((yp+1 . . . yq)z2) ∈ S.

De fato como (z1, y, z2) e uma identidade graduada temos que R pode ser escrito como

R = z1((y1 . . . yp)(yp+1 . . . yq)z2). Assim nossa afirmacao segue do Lema 3.13 e do Lema 3.15.

Alem disso o produto de um numero par de elementos de L1 pertence ao centro associativo

de L. Portanto o fato que R ∈ S, juntamente com o Corolario 3.10 implica que o prosuto de

dois elementos de A pertence a S = sp (A). Logo S e uma subalgebra de L. Como X ⊆ S

por definicao, e X gera L como algebra concluımos que S = L.

Sejam u1, u2 ∈ A. Diremos que u1 e u2 sao semelhantes se

u1 = (yn1i1. . . ynkik )a1, u2 = (yn1

i1. . . ynkik )a2.

49

Aqui os ai, i = 1, 2, sao da forma (zj1 . . . zjp)wi, p ≥ 0, e os wi sao associadores. Note que nao

exigimos que a1 = a2. Em outras palavras u1 e u2 sao semelhantes se as variaveis pares que

aparecem neles fora dos associadores sao as mesmas (contando os graus multihomogeneos).

Agora ja temos os resultados necessarios para o principal resultado desta secao.

Teorema 3.17 Seja K um corpo infinito com charK 6= 2. Entao o ideal T das identidades

graduadas da algebra de Jordan J das matrizes simetricas 2× 2 e gerado (como um T-ideal

graduado) pelas identidades de (3.1) a (3.5). Em outras palavras T = I.

Demonstracao. A prova e dividida em tres passos.

Sejam u1, . . . , un elementos de A de mesmo multigrau. Suponha que nao ha dois seme-

lhantes entre eles e que∑αiui ∈ T e uma identidade graduada para J onde αi ∈ K sao

escalares. Entao para todo i temos αi = 0.

Seja ui = ciai onde os ai sao como na definicao de semelhanca, e os ci sao produtos de

variaveis pares. Neste caso ci 6= cj se i 6= j. Como L0 e associativa e comutativa podemos

assumir que as variaveis y em cada ci estao escritas em ordem crescente.

Seja∑αiui = f(y1, . . . , yp, z1, . . . , zq). Suponha ainda que f 6= 0. Defina

g(y1, . . . , yp, z1, . . . , zq) = f(y1 + 1, . . . , yp, z1, . . . , zq).

O polinomio g e uma identidade graduada para a algebra de Jordan J . Chamamos a atencao

para o fato que g nao e multihomogeneo. Como o corpo base e infinito todas suas componen-

tes multihomogeneas tambem sao identidades graduadas para J . Uma das suas componentes

multihomogeneas e exatamente f . Seja h a componente homogenea de g nao nula de menor

grau em y1. (Isto e tomamos como h o polinomio nao nulo obtido de f depois de substituir-

mos o maior numero possıvel de variaveis y1 por 1.) O polinomio h e obtido de f atraves

do seguinte procedimento. Primeiro consideramos a soma de todos os αiciui onde o grau

de y1 em ci e o maior possıvel, e discartamos as parcelas restantes. Entao substituımos

nestas parcelas todas as entradas y1 em ci por 1 (e mantemos as variaveis y1 que aparecem

em associadores). Desse modo obtemos exatamente h ja que sempre que 1 aparece em um

associador o mesmo se anula. O polinomio h nao tem variaveis y1 que aparecem fora de asso-

ciadores. Repetindo o argumento acima para h(y1, y2 + 1, y3, . . . , yp, z1, . . . , zq) obtemos um

polinomio nao nulo que nao contem y2 fora de associadores, e assim por diante. Finalmente

obtemos um polinomio nao nulo f1 que nao contem nenhuma variavel yi fora de associadores.

Claramente f1 ∈ T ja que f ∈ T . Mas f1 e obtido de f removendo algumas das parcelas e

descartando os ci que sao parte das parcelas restantes. Como os c1, . . . , cn sao dois a dois

distintos concluımos que existe apenas um ai em f1. Isto e f1 = αiai para algum i. Por

outro lado se αiai ∈ T isto significa que esta e uma identidade graduada para J . Mas isto so

50

e possıvel se αi = 0 e neste caso f1 = 0, e αiciai nao aparece em f . Em seguida repetimos o

procedimento acima para f (ja tendo descartado o termo αiciai) e continuamos por inducao.

Afirmacao 2. O conjunto A e linearmente independente modulo o ideal T .

Segue da Afirmacao 1 que e suficiente considerar somente os elementos de A onde todas as

variaveis y aparecem em associadores apenas. Neste caso devemos mostrar que os elementos

zj1 . . . zjt , u1, zj1u

1, u0, sao linearmente independentes. Note que os ui sao associadores e

nao variaveis. Entao esses elementos tem multigraus dois a dois distintos e nao podem ser

linearmente dependentes. Mossa afirmacao fica entao provada.

Afirmacao 3. A inclusao T ⊆ I vale.

Seja f ∈ T um polinomio multihomogeneo. Como I ⊆ T , segue da Proposicao 3.16 que

f ≡∑αiui (mod I). Aqui αi ∈ K e ui ∈ A. Mas das Afirmacoes 1 e 2 concluımos que

todos os αi = 0, e f ∈ I. A afirmacao esta provada.

Para terminar a demonstracao do teorema e suficiente lembrar que T ⊆ I e que I ⊆ T .

3.3.2 As algebras de Jordan de uma forma bilinear simetrica:

Identidades fracas e Identidades 2-graduadas

O objetivo desta secao e descrever as identidades fracas de Jordan para os pares (Bn, Vn)

e (B, V ). Como corolario deste resultado podemos descrever as identidades 2-graduadas de

Bn e B com a graduacao escalar. Observamos que o traco e uma forma bilinear, simetrica e

nao degenerada em J2, e assim obtemos uma descricao das identidades graduadas de J2 com

a graduacao escalar.

Na graduacao escalar em J , como comentamos antes, a componente J0 e o espaco de

dimensao 1, gerado pela matriz identidade I. Por isso fazemos a identificacao J0 = K.

Acontece que a graduacao escalar e mais ”facil” de estudar em uma situacao mais geral.

Aqui descreveremos as identidades graduadas das algebras de Jordan B e Bn de uma forma

bilinear simetrica nao degenerada nos espacos vetoriais V e Vn, respectivamente. Recordamos

que dimV = ∞, dimVn = n. Temos B(0) = K, e B(1) = V , respectivamente B(0)n = K,

B(1)n = Vn. (Utilizaremos os ındices superiores para a graduacao para nao confundı-los com

as algebras B0 e B1.) Iremos manter a notacao X para as variaveis na algebra de Jordan

livre, X = Y ∪ Z onde Y sao as variaveis pares e Z sao as variaveis ımpares. Temos a

seguinte identidade graduada em B.

(y, x1, x2) = 0 (3.8)

Sua validade em B e imediata: os elementos pares sao escalares. Note que segue de (3.8)

que (z1z2, x1, x2) = 0.

51

Nesta secao denotaremos por I o ideal das identidades graduadas definida pelo polinomio

(3.8), e por L = J(X)/I a algebra relativamente livre correspondente.

Seja f(y1, . . . , yp, z1, . . . , zq) um polinomio multihomogeneo. Entao modulo a identidade

graduada em (3.8) podemos escreve-lo como

f(y1, . . . , yp, z1, . . . , zq) = yn11 . . . ynpp g(z1, . . . , zq)

onde g e algum polinomio nas variaveis z apenas. Portanto f e uma identidade graduada

para B se, e somente se, g tambem for. Mas g e um polinomio de Jordan nas variaveis z

apenas. Portanto f e uma identidade graduada para B se, e somente se, g e uma identidade

fraca de Jordan para o par (B, V ). Deste modo temos que descrever essas identidades fracas

de Jordan.

Defina M como sendo a subalgebra de L = J(X)/I gerada pelas variaveis Z.

Lema 3.18 A algebra M = M (0) ⊕M (1) e Z2-graduada. E a subalgebra M (0) e gerada por

todos os produtos (zi1zj1) . . . (zikzjk) enquanto o espaco vetorial M (1) e gerado por todos os

zi0(zi1zj1) . . . (zikzjk).

Demonstracao. E claro que a decomposicao acima de M e uma graduacao. As outras

duas afirmacoes do lema sao igualmente triviais.

Denotaremos por C, respectivamente Cn, a algebra de Clifford do espaco vetorial V , res-

pectivamente Vn. Como ja foi mencionado, C e Cn sao as algebras associativas envelopantes

das algebras de Jordan especiais B e Bn, respectivamente. As identidades associativas fracas

para os pares (C, V ) e (Cn, Vn) foram descritas em [14, 15] para corpos de caracterıstica 0, e

em [25] para corpos infinitos de caracterıstica diferente de 2. O artigo [25] faz uso da teoria

de invariantes para o grupo ortogonal desenvolvida em [16] por De Concini e Procesi. Note

que a descricao desses invariantes em [16] e para qualquer caracterıstica.

Consideramos a tabela dupla

T =

p11 p12 . . . p1m1 q11 q12 . . . q1m1

p21 p22 . . . p2m2 q21 q22 . . . q2m2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


(3.9)

Nele temos m1 ≥ m2 ≥ . . . ≥ mk ≥ 0, e pij e qij sao inteiros.

Iremos nos referir as tabelas duplas do tipo (3.9) simplesmente como tabelas se todas

as suas entradas forem inteiros positivos. Se apenas p11 = 0 e as demais entradas de T sao

52

inteiros positivos iremos nos referir a este como 0-tabela. Se T e um 0-tabela que tem apenas

uma linha associamos a este o polinomio

ϕ(T ) =∑

(−1)σtqσ(1)(tp2 tqσ(2)) . . . (tpm tqσ(m)).

Se T (1), T (2), . . . , T (k) sao as linhas do 0-tabela T entao associamos a T o polinomio ϕ(T ) =

ϕ(T (1)) ϕ(T (2)) . . . ϕ(T (k)). Observe que as linhas T (2), . . . , T (k) sao tabelas mas nao 0-

tabelas.

Claramente o que foi dito acima vale se substituirmos R por M (isto e ti por zi). Formal-

mente falando devemos fazer n → ∞ para justificar as afirmacoes para o caso de dimensao

infinita, mas isto e claramente verdade.

Proposicao 3.19 O espaco vetorial M (0) tem uma base que consiste de todos os polinomios

associados a tabelas duplamente standard. Alem disso M (1) tem uma base que consiste de

todos os polinomios associados a 0-tabelas duplamente standard.

Demonstracao. A afirmacao para M (0) segue imediatamente do Teorema 1.40 de De

Concini e Procesi, [16]. A afirmacao para M (1) tambem segue de [16] da seguinte maneira.

Nossa forma bilinear e nao degenerada. Seja T algum 0-tabela e considere ϕ(T ). Seja

z0 uma nova variavel, entao z0 ϕ(T ) e representado por uma tabela dupla, e aplicamos

o argumento acima. Entao z0 ϕ(T ) sera uma combinacao linear de tabelas standard (o

algoritmo straightening de [16]). Mas em uma tabela standard a entrada mais a esquerda

da primeira linha deve corresponder a z0, e o resultado segue.

Lembre que quando estamos trabalhando com identidades fracas elas sao consideradas

dentro da algebra de Jordan livre J(X).

Teorema 3.20 1. As identidades fracas de Jordan para o par (B, V ) sao consequencias do

polinomio (x1x2, x3, x4).

2. As identidades fracas de Jordan para o par (Bn, Vn) seguem dos polinomios

(x1x2, x3, x4), fn =∑

(−1)σxσ(1)(xn+2xσ(2)) . . . (x2n+1xσ(n+1)).

No ultimo somatorio, σ percorre o grupo simetrico Sn+1.

Demonstracao. A primeira afirmacao do teorema e uma aplicacao direta do Teorema 1.40.

E o mesmo acontece para a segunda afirmacao. (Note que o polinomio fn ”anula” todas as

tabelas cuja primeira linha tem comprimento ≥ n+ 1.)

Corolario 3.21 1. O ideal das identidades graduadas da algebra de Jordan B (com a gra-

duacao escalar) coincide com o ideal I gerado por (3.8).

53

2. O ideal das identidades graduadas da algebra de Jordan Bn com a graduacao escalar

e gerado por (3.8) e pela identidade

gn =∑

(−1)σzσ(1)(zn+2zσ(2)) . . . (z2n+1zσ(n+1)), σ ∈ Sn+1.

3. As identidades graduadas da algebra de Jordan das matrizes simetricas 2× 2 (com a

graduacao escalar) seguem de (3.8) e de∑

(−1)σzσ(1)(z4zσ(2))(z5zσ(3)) onde σ percorre S3.

Demonstracao. A afirmacao (3) e um caso particular da afirmacao (2). Alem disso

(1) e (2) sao consequencias imediatas do Teorema 3.20 e das observacoes que precedem o

Lema 3.18.

3.4 As identidades graduadas da algebra de Jordan das

matrizes simetricas 2× 2

Na secao 3.2 foram descritas todas as possıveis graduacoes de J2, como foi visto temos quatro

tipos de graduacao, e na secao anterior foram descritas as identidades graduadas de J2 com as

duas Z2-graduacoes possıveis, essas ideias podem ser utilizadas para descrever as identidades

graduadas de J2 nos itens C e D do Teorema 3.4 e a descricao das identidades graduadas

nos outros dois casos nao e difıcil. No que segue J denota a algebra de Jordan das matrizes

simetricas de ordem 2.

3.4.1 As identidades A-graduadas de J

Nos referimos a graduacao J = Jε⊕Jγ ⊕Jγ−1 de J descrita no item A do Teorema 3.4 como

a A-graduacao. Seja I, a, b a base graduada descrita naquele teorema, temos a2 = b2 = 0

e a b = I. Aqui utilizaremos uma notacao analoga a da secao anterior, J(X) denota a

algebra livre de Jordan graduada, o sımbolo y, com ou sem ındice denota variaveis de grau

ε, o sımbolo z, com ou sem ındice, denota variaveis de grau γ, o sımbolo w denota variaveis

de grau γ−1 e o sımbolo x denota variaveis de qualquer grau.

Iremos mostrar que o ideal T das identidades graduadas de J com essa graduacao e

gerado pelos polinomios

(1) x, onde |x| /∈ Σ;

(2) (y, x1, x2);

(3) x1x2, onde |x1| = |x2|;

54

(4) (x1, x2, x3) = 0, onde |x1| = |x3|.

Note que quando Γ = Z3 temos Σ = Γ e portanto o conjunto de identidades graduadas

em (1) e vazio.

Seja I o ideal das identidades graduadas geradas por esses polinomios.

Lema 3.22 As identiades de (1) a (4) valem para a algebra de Jordan J . Em outras palavras

I ⊂ J .

Demonstracao. A prova consiste de uma simples verificacao.

Lema 3.23 Os polinomios

(i) (x1x2)x3 = (x1x3)x2, |x1| = |x2|

(ii) (x1x2)(x3x4) = (x3x2)(x1x4), |x1| = |x3|

pertencem a I.

Demonstracao. A demonstracao e analoga ao que foi nas demonstracoes dos Lemas 3.7

e 3.8.

Denotaremos por L a algebra relativamente livre J(X)/I.

Lema 3.24 Se M ∈ L e um monomio nao nulo entao

(i) M = (ya1 . . . yal)(zb1wc1) . . . (zbkwck)zbk+1, se |M | = γ

(ii) M = (ya1 . . . yal)(zb1wc1) . . . (zbkwck)wck+1, se |M | = γ−1

(iii) M = (ya1 . . . yal)(zb1wc1) . . . (zbkwck), se |M | = ε

(iv) M = 0, se |M | /∈ Σ.

Aqui a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ al, b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ bk ≤ bk+1 e c1 ≤ c2 ≤ . . . ≤ ck ≤ ck+1

Demonstracao. Faremos a demonstracao por inducao em degM . Se degM = 1 o lema e

claramente verdade. Suponha entao que degM = n > 1. Existem monomios N1 e N2 tais

que M = (N1)(N2) e por hipotese de inducao podemos assumir que esses monomios estao

na forma descrita no enunciado do lema. Se |M | /∈ Σ segue das identidades (1) e (2) que

M = 0. Suponha entao que |M | ∈ Σ e que M 6= 0. Segue da identidade (1) que os elementos

yai e (zbiwci) estao no centro associativo de L e assim nao e difıcil verificar que

M = (ya1 . . . yal)(zb1wc1) . . . (zbkwck)(zbk+1wck+1

),

55

onde chapeu significa que os elementos podem nao aparecer, e se aparecer apenas uma dessas

variaveis os dois ultimos parenteses tambem nao aparecem. Desse modo o monomio M tem

a forma descrita no enunciado do lema, resta apenas mostrar que as variaveis de mesmo grau

podem ser ordenadas, mas isto segue das identidades do Lema 3.23.


graduadas da algebra de Jordan J das matrizes simetricas 2× 2 e gerado (como um T-ideal

graduado) pelas identidades de (1) a (4). Em outras palavras T = I.

Demonstracao. Afirmamos que toda identidade graduada de J multihomogenea pertence

a I. Ja que o corpo e infinito segue desta afirmacao que T ⊂ I. Como a inclusao I ⊂ T e

garantida pelo Lema 3.22 o resultado segue se demonstrarmos a afirmacao.

Seja p =∑αiMi uma identidade graduada multihomogenea de J . Como os monomios

Mi tem o mesmo multigrau segue do Lema 3.24 que Mi ≡I M , onde

(ya1 . . . yal)(zb1wc1) . . . (zbkwck)zbk+1wck+1

,

o chapeu significa que a variavel pode nao aparecer, a variavel aparece ou nao dependendo

do grau de M na Γ-graduacao. Assim temos p ≡i αM , mas como p ∈ T e I ⊂ T segue desta

equivalencia que αM e identidade para J , e nao e difıcil ver que isto ocorre apenas quando

α = 0. Assim temos p ≡I 0, logo p ∈ I e portanto toda identidade graduada multihomogenea

de J pertence a I.

3.4.2 As identidades B-graduadas de J

Nesta secao iremos descrever as identidades graduadas da algebra J com a graduacao descrita

no item B do Teorema 3.4. Seja I, a, b a base graduada descrita naquele teorema, temos

a2 = b2 = I e a b = 0. Aqui utilizaremos uma notacao analoga a da secao anterior,

J(X) denota a algebra livre de Jordan graduada, as variaveis y, com ou sem ındice denotam

variaveis de grau ε, as variaveis z, com ou sem ındice, denotam variaveis de grau γ1, as

variaveis w denotam variaveis de grau γ2 e as variaveis x denotam variaveis de qualquer

grau.

Seja I o ideal das identidades graduadas geradas pelos polinomios

(1) x, onde |x| /∈ Σ;

(2) x1x2, onde |x1| = γ1 e |x2| = γ2;

(3) (y, x1, x2);

56

(4) (x1, x2, x3), onde |x1| = |x3|.

Denotaremos por T o ideal das identidades graduadas de J , nosso objetivo aqui e mostrar

que T = I. Para isto precisaremos dos lemas a seguir.

Lema 3.26 Os polinomios de (1) a (4) sao identidades graduadas para J , em outras palavras

I ⊂ T .

Demonstracao. A prova consiste de uma simples verificacao e sera omitida.

Lema 3.27 Os polinomios

(i) (x1x2)x3 = (x1x3)x2, |x1| = |x2|

(ii) (x1x2)(x3x4) = (x1x2)(x1x4), |x1| = |x2|

pertencem a I.

Demonstracao. A demonstracao e analoga as demonstracoes dos Lemas 3.7 e 3.8 e sera

omitida.

Lema 3.28 Se M ∈ L e um monomio nao nulo entao

(i) M = (ya1 . . . yal)(wc1wc2) . . . (wc2m−1wc2m)(zb1zb2) . . . (zb2k−1zb2k)zb2k+1

, se |M | = γ1

(ii) M = (ya1 . . . yal)(zb1zb2) . . . (zb2k−1zb2k)(wc1wc2) . . . (wc2m−1wc2m)w22m+1, se |M | = γ2

(iii) M = (ya1 . . . yal)(zb1zb2) . . . (zb2k−1zb2k)(wc1wc2) . . . (wc2m−1wc2m), se |M | = ε

(iv) M = 0, se |M | /∈ Σ.

Aqui a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ al, b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ b2k ≤ b2k+1 e c1 ≤ c2 ≤ . . . ≤ c2m ≤ c2m+1.

Demonstracao. Utilizamos o Lema 3.27 de modo analogo ao que foi feito na demonstracao

do Lema 3.24.

Com esses tres lemas provamos o teorema principal desta secao.


graduadas da algebra de Jordan J das matrizes simetricas 2 × 2 com uma B-graduacao e

gerada (como um T-ideal graduado) pelas identidades de (1) a (4). Em outras palavras

T = I.

Demonstracao. A demonstracao e analoga a demonstracao do Teorema 3.25.

57

3.4.3 As identidades C-graduadas de J

As ideias da secao 3.3 podem ser utilizadas para descrever as identidades graduadas de J

no caso das graduacoes descritas nos itens C e D do Teorema 3.4. No caso da C-graduacao

podemos descrever as identidades graduadas de J de modo analogo ao que foi feito para a

graduacao nao-escalar, e no caso da D-graduacao podemos descrever as identidades gradua-

das de modo analogo ao que foi feito para a graduacao escalar. Observe que a C-graduacao

e a D-graduacao no caso em que Γ = Z2 correspondem justamente a graduacao nao-escalar

e a graduacao escalar, respectivamente, entao de certo modo os teoremas desta secao sao

generalizacoes dos teoremas da secao anterior, entretanto observamos que Σ ∼= Z2 e assim

incluındo as identidades x, onde |x| /∈ Σ esses resultados sao consequencias diretas dos te-

oremas da secao 3.3. Comecamos com os resultados sobre as identidades C-graduadas de

J .

Seja I o ideal das identidades graduadas gerado pelos polinomios

x if |x| /∈ Σ (3.10)

x1(x2x3) − x2(x1x3) if |x1| = |x2| ∈ Σ (3.11)

(y1y2, z1, z2) − (y1(y2, z1, z2) + y2(y1, z1, z2)− 2z1(z2, y1, y2)) (3.12)

(y1y2, y3, z1) − (y1(y2, y3, z1) + y2(y1, y3, z1)) (3.13)

(z1z2, x1, x2) (3.14)

(y1, y2, z1, x, y3) − (y1, y3, z1, x, y2), (3.15)

aqui o sımbolo y, como ou sem ındice denota variaveis de grau ε e o sımbolo z, com ou sem

ındice, denota variaveis de grau γ e o sımbolo x, com ou sem ındice denota variaveis de

qualquer grau.


graduadas da algebra de Jordan J das matrizes simetricas 2 × 2 com uma C-graduacao e

gerada (como um T-ideal graduado) pelas identidades de (3.11) a (3.15). Em outras palavras

T = I.

Demonstracao. Seja R a subalgebra de J(X) gerada por y1, y2, . . . ∪ z1, z2, . . .. Se

em uma identidade p multihomogenea aparece alguma variavel xi com |x| /∈ Σ entao esta

identidade e consequencia de (1) e portanto pertence a I, caso contrario devemos ter p ∈ R.

Nao e difıcil ver que neste caso p e identidade Γ-graduada para J se, e somente se, e identidade

Z2-graduada para J , com a graduacao nao-escalar. E daı nao e difıcil ver que este teorema

segue diretamente do Teorema 3.17.

58

3.4.4 As identidades D-graduadas da algebra de J

Podemos descrever as identidades D-graduadas de J de modo analogo ao que foi feito na

secao anterior utilizando o Corolario 3.21. Mais uma vez o sımbolo y, como ou sem ındice

denota variaveis de grau ε e o sımbolo z, com ou sem ındice, denota variaveis de grau γ, e o

sımbolo x, com ou sem ındice denota variaveis de qualquer grau.

Teorema 3.31 As identidades graduadas da algebra de Jordan das matrizes simetricas 2×2

(com a graduacao escalar) seguem das identidades

(1) x, onde |x| /∈ Σ;

(2) (y, x1, x2) = 0;

(3)∑

(−1)σzσ(1)(z4zσ(2))(z5zσ(3)) onde σ percorre S3.

Demonstracao. Este teorema segue do Corolario 3.21 de modo analogo ao que foi feito

na secao anterior.

59

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