Agrupamento de Escolas Padre Benjamim Salgado

Matemtica A - 11 Ano Novembro 2013

Ficha de Trabalho: Funes trigonomtricas

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QUESTES DE ESCOLHA MLTIPLA

1 A equao 12 =xsen tem, no intervalo [ ]pi2,0 : (A) Uma soluo (B) Duas solues (C) Trs solues (D) Quatro solues

2 O contradomnio da funo IRIRf : definida por 32)( = senxxf : (A) [-5, -1] (B) [-5, 1] (C) [-4, -2] (D) [-1, 1]

3 Na figura est parte da representao grfica da funo f definida por )cos()( bxaxf =

Qual das afirmaes seguintes pode ser verdadeira?

(A) 211 == bea (B) a = -1 e b = 2 (C)

211 == bea (D) 1

21

== bea

4 Considere a funo definida em IR por )2cos(31)( xxf pi= . Qual das seguintes afirmaes verdadeira? (A) f par e peridica de perodo 2. (B) f mpar e peridica de perodo 1. (C) f mpar e peridica de perodo 2. (D) f par e peridica de perodo 1.

5 Qual das seguintes figuras pode representar parte da representao grfica da funo h definida por:

)(32

)( ++

= IRaxsenaxh ?

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6 Numa roda gigante de um parque de diverses verificou-se que a distncia, em metros, de uma determinada cadeira ao solo, t segundos aps a roda ter comeado

a girar, dada por:

+=

81011)(

tsentd .

O comprimento do raio da roda gigante , em metros: (A) 11 ; (B) 10 (C) 20 (D) 21

7 A figura representa um semicrculo de dimetro [AB] e um tringulo [ABC] nele inscrito. Sabe-se que:

x a amplitude do ngulo BAC

10=AB

Seja A(x) a rea do tringulo [ABC]. Qual das igualdades seguintes verdadeira para qualquer

2,0 pix ?

(A) xsenxxA cos50)( = (B) tgxsenxxA 50)( = (C) xsenxxA cos100)( = (D) tgxsenxxA 100)( =

8 Uma mola est suspensa no tecto. Na outra extremidade encontra-se um objecto P. Depois de sofrer um alongamento, no instante t = 0, a mola inicia um movimento oscilatrio, sendo a distncia d, em metros, do objecto P ao solo dada por:

)6cos(5,02)( ttd pi= (t em segundos) Qual a distncia mxima do objecto P ao solo? (A) 2 m (B) 1,5 m (C) 2,5 m (D) 3 m

9 Considere num referencial Oxy a circunferncia de equao 922 =+ yx . Admita que um ponto P se desloca, a uma velocidade constante, sobre a circunferncia, no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio. No instante t = 0 o ponto P parte de A, efectuando duas rotaes completas em cada segundo. Seja y (t) a ordenada do ponto P, t segundos aps a partida. Uma expresso de y (t) pode ser:

(A) )(3 tsen (B) )4(3 tsen pi (C) )2(3 tsen pi (D) )2(3t

senpi

10 Dos quatro ngulos seguintes, um deles tem 1 radiano de amplitude. Identifique-o.

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11 Na figura est representado um tringulo rectngulo [ABC], cuja hipotenusa mede 2 m. Qual das expresses seguintes d a rea (em m2) do tringulo [ABC], em funo da amplitude, , do ngulo ABC?

(A) tgsen 4 (B) tgsen 2 (C) cos4 sen (D) cos2 sen

12 Na figura esto representados, num referencial xOy, o crculo trigonomtrico e um tringulo [OAB]. Os pontos A e B pertencem circunferncia. O segmento [AB] perpendicular ao semieixo positivo Ox. O ponto C o ponto de interseco da circunferncia com o semieixo positivo Ox.

Seja a amplitude do ngulo COA.

2,0pi

Qual das expresses seguintes d a rea do tringulo [OAB], em funo de ?

(A) cossen (B) 2

cos tg (C) sentg (D)

2

sentg

13 Na figura esto representados, num referencial xOy: Um quarto de crculo, de centro na origem e raio 1; Uma semi-recta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,0); Um ponto A pertencente a esta semi-recta; Um ngulo de amplitude , cujo lado origem o semieixo positivo Ox e

cujo lado extremidade a semi-recta AO& . Qual das expresses seguintes d a rea da regio sombreada, em funo de ?

(A) 24

pi tg+

(B)

pi

tg

2

4+

(C) 2

pitg

+ (D)

pitg

2+

14 Considere uma circunferncia de centro C e raio 1, tangente a uma recta r. Um ponto P comea a deslocar-se sobre a circunferncia, no sentido indicado na figura. Inicialmente, o ponto P encontra-se distncia de 2 unidades da recta r.

Seja )(d a distncia de P a r, aps uma rotao de amplitude . Qual das igualdades seguintes verdadeira para qualquer nmero real positivo ?

(A) cos1)( +=d (B) send += 2)( (C) cos1)( =d (D) send = 2)(

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15 Na figura est representado um trapzio rectngulo [ABCD], cujas bases tm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.

Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB]. Para cada posio do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ngulo PDA. Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapzio em duas figuras com a mesma rea.

Qual das equaes seguintes traduz este problema?

(A) 1002

302=

senx (B) 100

230 2

=

tgx (C) 150

41030

=

senx (D) 150

41030

=

tgx

16 Um navio encontra-se atracado num ponto. A distncia h de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar varia com a mar.

Admita que h dada, em funo do tempo x, por )2cos(310)( xxh = . A distncia desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da mar alta, :

(A) 4 (B) 10 (C) 13 (D) 16

17 Na figura est representada parte do grfico de uma funo peridica.

Qual dos valores seguintes poder ser perodo desta funo?

(A) 9pi

(B) 9

2pi (C)

32pi

(D) 3

4pi

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QUESTES DE DESENVOLVIMENTO

1 Considere a funo f, real de varivel real, definida por xxf cos)( = .

Sabendo que ] [pipi 2,31)( = ef , determine o valor exacto de ( )pipi +

ff

23

.

2 O comprimento do dimetro das rodas de um carro 100 cm. Quanto avana o carro se um dos raios da roda gira 42? Quantas voltas completas deve dar a roda para que o carro avance 200 metros?

3 Determine o contradomnio de cada uma das funes.

3.1 senxxf +=21)( 3.2

+=

22)( xsenxg 3.3 )3(cos31)( 2 xxh += 3.4 xtgxj 21)( +=

Verifique as respostas usando a calculadora grfica.

4 Resolva cada uma das seguintes equaes trigonomtricas e indique para cada uma delas as solues que pertencem ao intervalo [ ]pipi , .

4.1 32 =senx 4.2 6)2(35 = xtg 4.3 128 =xsen

4.4 4)2(3 =xsen 4.5 4cos3 2 =x 4.6 110

cos12 =

++

pix

4.7 122 2 =+ xsen 4.8 xx cos)2cos( = 4.9 )(2

xsenx

sen =

4.10 senxx =)2cos( 4.11 0)cos()2cos( =+ xx 4.12 0coscos2 =+ xx

5 Na figura est representado um baloio. A altura h, do baloio, em metros, em funo do tempo t, em segundos, dada por:

75,0)2cos(25,0)( += tth pi

O instante t = 0 corresponde ao incio do movimento, no ponto A.

Determina t de modo que 75,0)( =th m.

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6 Na figura est representado um quadrado [ABCD] de lado 1. O ponto P desloca-se sobre o lado [CD] e o ponto Q desloca-se sobre o lado [BC], de tal forma que se tem sempre QBPD = . Para cada posio do ponto P, x a amplitude em radianos do ngulo PAD

4,0 pix .

6.1 Mostre que a rea do tringulo [AQP] dada, em funo de x, por ( )xtgxA 2121)( = .

6.2 Determine A(0) e interprete geometricamente o resultado obtido.

6.3 Recorra calculadora para determinar os valores de x para os quais a rea do tringulo [AQP] a quarta parte da rea do quadrado [ABCD]. Apresente todos os elementos recolhidos na utilizao da calculadora, nomeadamente o grfico ou grficos obtidos, bem como as coordenadas dos pontos cuja determinao for necessria resoluo do problema. Apresente os valores arredondados s dcimas.

7 A altura h da mar, em metros, verificada s t horas de determinado dia num ponto do mar era dada

por ( ) [ ]24,0,26

26,1)( += ttsenth pi

7.1 Qual era a altura da mar s 0 horas desse dia? 7.2 Determine a altura da mar na praia-mar e na baixa-mar bem como as horas do dia em que ocorreram.

7.3 Cerca de meio-dia um barco encalhou junto costa. As autoridades decidiram iniciar as manobras para libertar o barco logo que a altura da mar seja superior a 3 metros. Recorrendo calculadora determine a que horas tal ocorrer bem como de quanto tempo dispem para efectuar a manobra (apresente o resultado em horas e minutos). Apresente todos os elementos recolhidos na utilizao da calculadora, nomeadamente o grfico ou grficos obtidos, bem como as coordenadas dos pontos cuja determinao for necessria resoluo do problema. Apresente os valores arredondados s centsimas.

8 Numa estufa destinada produo de determinado tipo de vegetais a temperatura C, em graus centgrados, controlada em ciclos dirios, de forma a manter-se dentro de determinados valores. Em determinado dia verificou-se que a temperatura variou entre um mnimo de 17C e um mximo de 21C s 16 horas. 8.1 Sabendo que o grfico de C sinusoidal, escreva um modelo do tipo DCBtAsentC += )()( (t designa o tempo, em horas, contado a partir das 0 horas desse dia). 8.2 Usando o modelo matemtico obtido, determine as horas do dia a que a temperatura foi de 20C.

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9 [ABCD] um trapzio issceles; os lados [AD] e [BC] so paralelos. Tem-se que:

1=== CDBCAB

1AD

Seja a amplitude do ngulo ABC

2,

3pipi

e f a funo

definida por )cos1()( xsenxxf = .

9.1 Mostre que, para cada

2,

3pipi

, a rea do trapzio igual a )(f .

9.2 Determine

2pif e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o

quadrilteroque se obtm para 2pi

= .

(Adaptado)

10 A figura abaixo representa um canteiro de forma circular com 5 m de raio. O canteiro tem uma zona rectangular, que se destina plantao de flores, e uma zona relvada, assinalada a sombreado na figura. Os vrtices A, B, C e D do rectngulo pertencem circunferncia que limita o canteiro. Na figura esto tambm assinalados:

Dois dimetros da circunferncia, [EG] e [HF], que contm os pontos mdios dos lados do rectngulo;

O centro O da circunferncia;

O ngulo BOF, de amplitude x

2,0 pix .

10.1 Mostre que a rea (em m2) da zona relvada dada, em funo de x, por xsenxxg cos10025)( = pi

10.2 Recorra calculadora para determinar graficamente as solues da equao que lhe permite resolver o seguinte problema:

Quais so os valores de x para os quais a rea da zona relvada igual rea destinada plantao de flores?

Apresente todos os elementos recolhidos na utilizao da calculadora, nomeadamente o grfico ou grficos obtidos, bem como as coordenadas dos pontos cuja determinao for necessria resoluo do problema. Apresente os valores arredondados s centsimas.

(Adaptado)