Funcoes trigonometricas, parte 4

Identidades trigonometricas

Giuliano Boava

Preliminares

Identidades matematicas

(x − 1)2 = x2 − 2x + 1

x2 − 4x − 2

= x + 2

x2 + 1 = (x + 1)2

Preliminares

Identidades matematicas

(x − 1)2 = x2 − 2x + 1

x2 − 4x − 2

= x + 2

x2 + 1 = (x + 1)2

Preliminares

Identidades matematicas

(x − 1)2 = x2 − 2x + 1

x2 − 4x − 2

= x + 2

x2 + 1 = (x + 1)2

Preliminares

Identidades matematicas

(x − 1)2 = x2 − 2x + 1

x2 − 4x − 2

= x + 2

x2 + 1 = (x + 1)2

Identidades trigonometricas basicas

Lembremos que, para todo x , o par (cos x , sen x) e o ponto terminal de x . Comoo ponto terminal esta sobre o cırculo trigonometrico, entao

cos2 x + sen2 x = 1.

tg x =sen xcos x

; cotg x =cos xsen x

; sec x =1

cos x; cossec x =

1sen x

sec2 x = 1 + tg2 x ; cossec2 x = 1 + cotg2 x

Identidades trigonometricas basicas

Lembremos que, para todo x , o par (cos x , sen x) e o ponto terminal de x . Comoo ponto terminal esta sobre o cırculo trigonometrico, entao

cos2 x + sen2 x = 1.

tg x =sen xcos x

; cotg x =cos xsen x

; sec x =1

cos x; cossec x =

1sen x

sec2 x = 1 + tg2 x ; cossec2 x = 1 + cotg2 x

Identidades trigonometricas basicas

Lembremos que, para todo x , o par (cos x , sen x) e o ponto terminal de x . Comoo ponto terminal esta sobre o cırculo trigonometrico, entao

cos2 x + sen2 x = 1.

tg x =sen xcos x

; cotg x =cos xsen x

; sec x =1

cos x; cossec x =

1sen x

sec2 x = 1 + tg2 x ; cossec2 x = 1 + cotg2 x

Identidades trigonometricas basicas

Lembremos que, para todo x , o par (cos x , sen x) e o ponto terminal de x . Comoo ponto terminal esta sobre o cırculo trigonometrico, entao

cos2 x + sen2 x = 1.

tg x =sen xcos x

; cotg x =cos xsen x

; sec x =1

cos x; cossec x =

1sen x

sec2 x = 1 + tg2 x ; cossec2 x = 1 + cotg2 x

Identidades trigonometricas basicas

ExemploSabendo que cos x = 1/5 e que x pertence ao 4o quadrante, determine o valordas outras cinco funcoes trigonometricas em x .

Solucao

sen x = −2√

65

tg x = −2√

6

cotg x = − 12√

6sec x = 5cossec x = − 5

2√

6

Identidades trigonometricas basicas

ExemploSabendo que cos x = 1/5 e que x pertence ao 4o quadrante, determine o valordas outras cinco funcoes trigonometricas em x .

Solucao

sen x = −2√

65

tg x = −2√

6

cotg x = − 12√

6sec x = 5cossec x = − 5

2√

6

Identidades trigonometricas basicas

ExercıcioSabendo que tg x = −5/12 e que x pertence ao 2o quadrante, determine o valordas outras cinco funcoes trigonometricas em x .

Solucaosec x = −13

12

cos x = −1213

sen x =513

cossec x =135

cotg x = −125

Identidades trigonometricas basicas

ExercıcioSabendo que tg x = −5/12 e que x pertence ao 2o quadrante, determine o valordas outras cinco funcoes trigonometricas em x .

Solucaosec x = −13

12

cos x = −1213

sen x =513

cossec x =135

cotg x = −125

Outras identidades trigonometricas

Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.

ExemploMostre que

(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .

Solucao

(cos x + sen x)2 = cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x = 1 + 2 cos x sen x .

Outras identidades trigonometricas

Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.

ExemploMostre que

(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .

Solucao

(cos x + sen x)2 = cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x = 1 + 2 cos x sen x .

Outras identidades trigonometricas

Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.

ExemploMostre que

(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .

Solucao

(cos x + sen x)2 =

cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x = 1 + 2 cos x sen x .

Outras identidades trigonometricas

Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.

ExemploMostre que

(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .

Solucao

(cos x + sen x)2 = cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x =

1 + 2 cos x sen x .

Outras identidades trigonometricas

Muitas identidades trigonometricas podem ser deduzidas a partir das identidadesbasicas.

ExemploMostre que

(cos x + sen x)2 = 1 + 2 cos x sen x .

Solucao

(cos x + sen x)2 = cos2 x + 2 cos x sen x + sen2 x = 1 + 2 cos x sen x .

Outras identidades trigonometricas

ExercıcioMostre que

cos x + tg x sen x = sec x

Solucao

cos x + tg x sen x = cos x +(sen x

cos x

)sen x =

cos2 x + sen2 xcos x

=1

cos x= sec x .

Outras identidades trigonometricas

ExercıcioMostre que

cos x + tg x sen x = sec x

Solucao

cos x + tg x sen x =

cos x +(sen x

cos x

)sen x =

cos2 x + sen2 xcos x

=1

cos x= sec x .

Outras identidades trigonometricas

ExercıcioMostre que

cos x + tg x sen x = sec x

Solucao

cos x + tg x sen x = cos x +(sen x

cos x

)sen x =

cos2 x + sen2 xcos x

=1

cos x= sec x .

Outras identidades trigonometricas

ExercıcioMostre que

cos x + tg x sen x = sec x

Solucao

cos x + tg x sen x = cos x +(sen x

cos x

)sen x =

cos2 x + sen2 xcos x

=

1cos x

= sec x .

Outras identidades trigonometricas

ExercıcioMostre que

cos x + tg x sen x = sec x

Solucao

cos x + tg x sen x = cos x +(sen x

cos x

)sen x =

cos2 x + sen2 xcos x

=1

cos x=

sec x .

Outras identidades trigonometricas

ExercıcioMostre que

cos x + tg x sen x = sec x

Solucao

cos x + tg x sen x = cos x +(sen x

cos x

)sen x =

cos2 x + sen2 xcos x

=1

cos x= sec x .

Outras identidades trigonometricas

O que fazer quando queremos mostrar que uma certa igualdade nao e umaidentidade?

ExemploVerifique se

cos3 x + sen3 x = 1

e uma identidade trigonometrica.

SolucaoNao, pois a igualdade nao e verdadeira, por exemplo, para x = π.

Outras identidades trigonometricas

O que fazer quando queremos mostrar que uma certa igualdade nao e umaidentidade?

ExemploVerifique se

cos3 x + sen3 x = 1

e uma identidade trigonometrica.

SolucaoNao, pois a igualdade nao e verdadeira, por exemplo, para x = π.

FIM