FatoraoDentre os vrios artigos publicados neste site, temos um que trata a decomposio de nmeros naturais em fatores primos. Neste artigo denominamos fatorao a decomposio de um nmero natural em um produto de fatores primos.Definio de FatoraoA fatorao a transformao da soma e/ou subtrao de vrios termos em um produto de diversos fatores.Vejamos alguns exemplos onde temos alguns dos principais tipos de fatorao:

Na sequncia vemos como tratar cada um destes tipos de fatorao em particular.A fatorao um recurso que utilizamos na simplificao de sentenas matemticas. Quando for o caso, podemos utiliz-la na simplificao de uma frao ou de uma equao, por exemplo.

Fator Comum: ax+bx=x(a+b)A forma mais bsica de fatorao a colocao de fatores comuns em evidncia.No exemplo abaixo o fator 5 comum a todos os termos e por isto possvel coloc-lo em evidncia:

Colocamos o fator 5 em evidncia o destacando e o multiplicando pela a expresso quociente da diviso da sentena original por tal fator, inserida entre parnteses:

Exemplos

Agrupamento: ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)No tipo de fatorao por agrupamento no temos um fator que comum a todos os termos, no entanto temos fatores que so comuns a alguns termos e outros fatores que so comuns a outros termos.Vejamos o exemplo abaixo:

Note que o fator x comum aos dois primeiros termos, assim como o fator y comum aos dois ltimos termos, ento podemos coloc-los em evidncia:

Veja que ainda temos o fator (4+6) em comum e que tambm pode ser colocado em evidncia:

Assim sendo:

Obviamente, como mostrado abaixo, podemos continuar os clculos somando 4 com 6, mas o foco aqui a fatorao em si:

No lugar dos fatores x e y, poderamos evidenciar os fatores 4 e 6, visto que ambos so comuns ao fatores 4x e 4y, no caso do 4 e 6x e 6y, no caso do 6:

E ao colocarmos o fator (x+y) em evidncia, chegamos ao mesmo resultado obtido anteriormente, apenas com uma mudana na ordem dos fatores, que como sabemos no altera o produto:

Exemplos

Diferena de Dois Quadrados: a2-b2=(a+b)(a-b)Este os prximos quatro tipos de fatorao que veremos esto relacionados aos produtos notveis. Aos estud-los vimos que o produto da soma pela diferena de dois termos nos leva diferena de dois quadrados, ento podemos utilizar de forma inversa este conhecimento na fatorao da diferena de dois quadrados.Vejamos este exemplo na sequncia:

Visto que a2-b2=(a+b)(a-b), podemos realizar a fatorao como a seguir:

Tal fatorao foi realizada se encontrando o valor de a e b, que so respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do segundo termo e ento os substituindo em (a+b)(a-b).Logo:

Exemplos

Trinmio Quadrado Perfeito - Soma: a2+2ab+b2=(a+b)2Quando desenvolvemos o quadrado da soma de dois termos chegamos a um trinmio quadrado perfeito, que o que demonstra a sentena acima, s que temos os membros em ordem inversa. Ento o quadrado da soma de dois termos a forma fatorada de um trinmio quadrado perfeito.Como fatorar o trinmio abaixo?

Se o pudermos escrever como a2+2ab+b2 estaremos diante de um trinmio quadrado perfeito, que fatorado igual a (a+b)2.Obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x2 no primeiro termo e o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49 no terceiro termo, portanto a=x e b=7.Ao substituirmos a por x e b por 7 nos termos do trinmio a2+2ab+b2 devemos chegar a uma variao do trinmio original:

Realizando a substituio de a e b, vamos ento analisar a2+2ab+b2 termo a termo para verificar se o polinmio obtido igual ao polinmio original.Quando substitumos a por x em a2 chegamos ao x2 original.Ao substituirmos a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2.x.7, equivalente ao 14x original.E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72, equivalente ao 49 do terceiro termo do polinmio original.Como foi possvel escrever x2+14x+49 na forma a2+2ab+b2, ento estamos mesmo diante de um trinmio quadrado perfeito que pode ser fatorado assim:

Portanto:

Se o polinmio em questo no fosse um trinmio quadrado perfeito, no poderamos realizar a fatorao desta forma, visto que a converso de x2+14x+49 em a2+2ab+b2 levaria a um polinmio diferente do original. Por exemplo, se o trinmio fosse x2+15x+49, o segundo termo 15x iria diferir do segundo termo obtido via substituio de a e b que 14x, portanto no teramos um trinmio quadrado perfeito.Note que realizamos uma verificao termo a termo para verificar se realmente tnhamos um trinmio quadrado perfeito, mas voc no precisar fazer tal verificao quando no enunciado da questo estiver explcito que os polinmios realmente so trinmios quadrados perfeitos.

Exemplos

Trinmio Quadrado Perfeito - Diferena: a2-2ab+b2=(a-b)2Assim como o caso da soma visto acima, de forma anloga temos o caso da diferena.Vejamos este outro trinmio:

Como 2x a raiz quadrada de 4x2, do primeiro termo, e 5 a raiz quadrada de 25 do terceiro termo, podemos reescrev-lo como a seguir, substituindo a por 2x e b por 5 temos:

Como os respectivos termos do polinmio original e do polinmio acima so iguais, temos um trinmio quadrado perfeito:

Portanto, temos realmente um trinmio quadrado perfeito que pode ser escrito na forma a2-2ab+b2=(a-b)2:

Logo:

Exemplos

Cubo Perfeito - Soma: a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3Na sentena acima temos um polinmio e a sua forma fatorada, que nada mais que o cubo da soma de dois termos. Se temos um polinmio a3+3a2b+3ab2+b3 podemos fator-lo como (a+b)3.Vamos analisar o polinmio abaixo:

Nosso objetivo escrev-lo na forma a3+3a2b+3ab2+b3, substituindo a por 7 que a raiz cbica de 343 e substituindo b por 3y que a raiz cbica de 27y3:

Como visto nos dois tipos anteriores, tambm neste tipo e no prximo, se no estiver claro no enunciado da questo que realmente se trata de um cubo perfeito, precisamos verificar se todos os membros do polinmio original so iguais aos termos do polinmio obtido via substituio de a e b em a3+3a2b+3ab2+b3. Como os respectivos termos do polinmio original e do polinmio acima so iguais, temos de fato um cubo perfeito:

Ento temos um cubo perfeito que fatorado como:

Cubo Perfeito - Diferena: a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3A forma fatorada do polinmio no primeiro membro da sentena acima o cubo da diferena de dois termos.O polinmio a3-3a2b+3ab2-b3 fatorado como (a-b)3.Vamos fatorar a sentena abaixo de forma anloga a que fizemos no tipo de fatorao anterior:

Extramos a raiz cbica de 8a3 que 2a e de 343b3 que 7b e ento substitumos a e b respectivamente por 2a e 7b em a3-3a2b+3ab2-b3:

Como os respectivos termos do polinmio original e do polinmio acima so iguais, temos um cubo perfeito:

Ento: