FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO ...

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DOPORTO

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e deComputadores

ANALISE MATEMATICA 1

EXERCICIOS

PARTE II

Maria do Rosario de Pinho e Maria Margarida FerreiraSetembro 2007

Indice

1 Integral Indefinido 3

2 Integral Definido 13

3 Equacoes Diferenciais 19

3.1 Equacoes diferenciais de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Equacoes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Outros exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Equacoes Diferenciais-Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Resolucao de alguns exercıcios da seccao anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6 Exercıcios genericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Transformada de Laplace 28

5 Sucessoes e Series Numericas 32

6 Aproximacao Polinomial e Series de Potencias 41

2

Capıtulo 1

Integral Indefinido

Tabela de Integrais Imediatos

1.∫

dx = x + K

2.∫

xndx =xn+1

n + 1+ K, n 6= −1

3.∫

1x

dx = ln |x|+ K

4.∫

exdx = ex + K

5.∫

axdx =ax

ln(a)+ K, a > 0 e a 6= 1

6.∫

1√1− x2

dx = arcsin(x) + K

7.∫

11 + x2

dx = arctan(x) + K

8.∫

sin(x)dx = − cos(x) + K

9.∫

cos(x)dx = sin(x) + K

10.∫

sec2(x)dx = tan(x) + K

11.∫

csc2(x)dx = − cot(x) + K

12.∫

sec(x)dx = ln | sec(x) + tan(x)|+ K

13.∫

csc(x)dx = ln | csc(x) + cot(x)|+ K

14.∫

unu′dx =un+1

n + 1+ K, n 6= −1

15.∫

1u

u′dx = ln |u|+ K

16.∫

euu′dx = eu + K

17.∫

auu′dx =au

ln(a)+ K

18.∫

1√1− u2

u′dx = arcsin(u) + K

19.∫

11 + u2

u′dx = arctan(u) + K

Tecnicas de Integracao

1. Integracao por Partes

(f · g)′ = f ′ · g + f · g′ logo f ′ · g = (f · g)′ − f · g′.

3

Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao

Assim ∫f ′ · g dx =

∫(f · g)′ dx−

∫f · g′ dx

2. Mudanca de Variavel

Seja x = φ(t) uma funcao bijectiva e derivavel. Entao:∫f(x) dx =

∫f(φ(t)).φ′(t) dt

3. Algumas mudancas de variavel

Seja f uma funcao racional da forma f(x,√

a2 − b2x2). A mudanca de variavel normal-mente utilizada e:

x =a

bsin(t) ou x =

a

bcos(t)


a2 + b2x2). A mudanca de variavel normal-mente utilizada e:

x =a

btan(t) ou x =

a

bcot(t)


b2x2 − a2). A mudanca de variavel normal-mente utilizada e:

x =a

bsec(t) ou x =

a

bcsc(t)

Se R e uma funcao racional da forma R(arx, asx, · · · ) onde r, s, · · · sao numeros inteiros,faz-se a mudanca de variavel t = amx onde m = m.d.c.{r, s, · · · }.

4. Integrais envolvendo funcoes trigonometricas

(a) Seja R uma funcao racional da forma R(sin(x), cos(x)).

i. R(− sin(x), cos(x)) = −R(sin(x), cos(x)), fazer mudanca de variavel cos(x) = t.ii. R(sin(x),− cos(x)) = −R(sin(x), cos(x)), fazer mudanca de variavel sin(x) = t.iii. R(− sin(x),− cos(x)) = R(sin(x), cos(x)), fazer mudanca de variavel tan(x) = t.iv. Caso global (que engloba os precedentes), fazer mudanca de variavel tan(x/2) = t.

(b) Funcoes da forma sinm(u) cosp(u) quando:

i. m ou p inteiro positivo ımpar: seja m = 2k + 1. Entao

sin2k+1(u) cosp(u) = sin2k(u) sin(u) cosp(u)= (1− cos2(u))k sin(u) cosp(u)


ii. m e p sao inteiros positivos pares: usar as formulas

sin2(u) = (1/2)(1− cos(2u))cos2(u) = (1/2)(1 + cos(2u))

sin(u) cos(u) = (1/2) sin(2u)

(c) Funcoes da forma tanm(u) ou cotm(u), com m inteiro positivo.Usar a formula:

1 + tan2(u) = sec2(u) ou 1 + cot2(u) = csc2(u)

(d) Funcoes da forma secm(u) ou cscm(u).i. m e inteiro positivo par.

Por em evidencia sec2(u) ou csc2(u) e passar para tan usando as formulas:

1 + tan2(u) = sec2(u) ou 1 + cot2(u) = csc2(u)

ii. m e inteiro positivo ımpar.Por em evidencia sec2(u) ou csc2(u), integrar por partes e considerar:

tan2(u) = sec2(u)− 1 ou cot2(u) = csc2(u)− 1

(e) Funcoes da forma tanm(u). secp(u) ou cotm(u). cscp(u).i. m e inteiro positivo par.

Como em (d)i.ii. m e inteiro positivo ımpar.

Transformar o produto de modo a obter sec(u). tan(u) ou csc(u). cot(u) e utilizaras formulas de (d)ii.

5. Integrais de funcoes racionais

Funcoes da formaf(x)g(x)

onde f e g sao funcoes polinomiais em x.

(a) Grau de f e maior do que o grau de g:

Obter, por divisao polinomial,f(x)g(x)

= p(x) +r(x)g(x)

. Ir para (b).

(b)r(x)g(x)

, fraccao irredutıvel, com grau de r menor que grau de g, onde

g(x) = a0(x− a)sa(x− b)sb · · · (x− l)sl

[(x− p)2 + q2]λ · · · [(x− u)2 + v2]µ

Entaor(x)g(x)

e decomposta numa soma da forma:

r(x)g(x)

=A1

(x− a)sa+ · · · Asa

(x− a)+

B1

(x− b)sb+ · · · Asb

(x− b)+

+M1x + N1

[(x− p)2 + q2]λ+ · · ·+ Mλx + Nλ

(x− p)2 + q2+ · · ·

+U1x + V1

[(x− u)2 + v2]µ+ · · ·+ Uλx + Vλ

(x− u)2 + v2


Calculo das primitivas :∫A

x− adx = A. ln(|x− a|) + K∫

A

(x− a)ndx =

A

1− n

1(x− a)n−1

+ K, n > 1∫Mx + N

[(x− u)2 + v2]ndx com mudanca de variavel x− u = vz

6. Integrais de funcoes irracionais

(a) R uma funcao racional nos argumentos da forma R(x, xp1q1 , x

p2q2 , · · · ), com p1, p2, · · · , q1, q2, · · ·

inteiros nao nulos:mudanca de variavel: x = tk onde k = m.m.c.{q1, q2, · · · }.

(b) R uma funcao racional nos argumentos da forma R

(ax + b

cx + d

)p1

q1 ,

(ax + b

cx + d

)p2

q2 , · · ·

,

com p1, p2, · · · , q1, q2, · · · inteiros nao nulos:

mudanca de variavel:(

ax + b

cx + d

)= tk onde k = m.m.c.{q1, q2, · · · }.

(c) R uma funcao racional nos argumentos da forma R(x,√

ax2 + bx + c):mudanca de variavel:

Completar quadrado e reduzir o integral a um integral do tipo 3.

(d) Funcoes da forma xm(a + bxn)p/q, com m e n racionais e p e q inteiros nao nulos:mudanca de variavel:

i. Se p/q e inteiro a funcao e do tipo (a).ii. Se p/q nao e inteiro, mas (m + 1)/n e inteiro faz-se a + bxn = tq.iii. Se p/q nao e inteiro, mas (m + 1)/n + (p/q) e inteiro faz-se a + bxn = xntq.


Exercıcios

1. Calcule os seguintes integrais:

(a)∫

1x3

dx

(b)∫

3xex dx

(c)∫

7x3 dx

(d)∫ (

sin(x) +3

1 + x2

)dx

(e)∫

(a + bx3)2 dx

(f)∫

tg(x) dx

(g)∫

ln(x)x

dx

(h)∫

1√16− 9x2

dx

(i)∫

x√4− x4

dx

(j)∫

x

9 + 4x2dx

(k)∫

cos(x)1 + sin2(x)

dx

(l)∫

1√4− x2

dx

(m)∫

arccos2(x)√1− x2

dx

(n)∫

x2

1 + x2dx

(o)∫

11 + cos(x)

dx

(p)∫

x3

x8 + 5dx

(q)∫

sin(√

2x)dx

(r)∫

ln(x)x(1− ln2(x))

dx

(s)∫

sin(x)1 + cos(x)

dx

(t)∫

sin(x) cos(x)√2− sin4(x)

dx


(a)∫

x ln(x)dx

(b)∫

(x + 1) sin(x)dx

(c)∫

x.5xdx

(d)∫

ln(x)dx

(e)∫

e3x(2x + 3)dx

(f)∫

sin(2x) cos(3x)dx

(g)∫

ln(ln(x))x

dx

(h)∫

ln2(x)x2

dx

(i)∫

x. arctan(x)(x2 + 1)2

dx

3. a) Utilize integracao por partes para deduzir que∫sinn(x)dx = − sinn−1(x) cos(x)

n+

n− 1n

∫sinn−2(x)dx

b) Calcule∫

sin5(x)dx.

4. a) Seja In(x) =∫

xn(x2 + a2)−12 dx. Utilize a integracao por partes para mostrar que

se n ≥ 2, entao

n.In(x) = xn−1√

x2 + a2 − (n− 1)a2In−2(x)

b) Calcule∫

x5(x2 + 52)−12 dx


5. Utilize integracao por partes para calcular

(a)∫

x.exdx

(b)∫

ln(x2 + 1)dx

(c)∫

xn ln(x)dx

(d)∫

ln(x +√

1 + x2)dx

6. Utilize a mudanca de variavel indicada para calcular os seguintes integrais:

a)∫

1x√

x2 − 2dx, x = 1/t.

b)∫

x√x + 1

dx, x = t2 − 1.

c)∫

1(x− 2)n

dx, para n 6= 1, x− 2 = t.

7. Calcule:

(a)∫

x2 − 1(1 + x)

√2− 4x2

dx.

(b)∫

1√x2 + 2

dx.

(c)∫

x2√

4− x2 dx.

(d)∫ √

(1 + x2)3

x4dx.

(e)∫

1x√

x2 + 4dx.

(f)∫

1x√

x2 − 9dx.

8. Calcule:

(a)∫

sin3(x) cos2(x) dx.

(b)∫

cos3(x/2) dx.

(c)∫

sin4(x) cos2(x) dx.

(d)∫

tan5(2x) dx.

(e)∫

sec6(x) dx.

(f)∫

tan5(x) sec3(x) dx.

9. Mostre que sendo Im(x) =∫

secm(x) dx, entao

(m− 1)Im(x) = tan(x) secm−2(x) + (m− 2)Im−2(x)

10. Calcule:

(a)∫

2x− 1(x− 2)(x− 3)(x + 1)

dx

(b)∫

1(x− 1)(x + 1)3

dx

(c)∫

x2 − 2x− 1x(x2 + 2)(x + 1)2

dx

(d)∫

2x + 1x(x− 1)3(x2 − 2x + 2)

dx


(e)∫

x5 + x4 − 8x3 − 4x

dx (f)∫

x3 + 2x2 + 6(x− 1)(x2 + 2)2

dx

11. Calcule:

(a)∫ √

x

1 + x3/4dx

(b)∫ √

1 + x

1 + (1 + x)1/3dx

(c)∫

1√x2 − x + 2

dx

(d)∫

2x− 8√1 + x− x2

dx

(e)∫

12 + 3x− 2x2

dx

(f)∫ √

x√1 +

√x

dx

12. Calcule:

(a)∫

sin(x)(1− cos(x))3

dx

(b)∫

1sin(x) sin(2x)

dx

(c)∫

cos(x)sin(x) + cos(x)

dx

(d)∫

3 + cos(x)1 + sin(x)

dx

13. Calcule:

a)∫

2x

1− 4xdx. b)

∫e2x − 2ex + 1

e3x − 1dx.


(a)∫

x2 + 3x + 2(1 + x2)2

dx

(b)∫

sin3 x cos3 x dx

(c)∫

x5

x3 − 3x2 + 2xdx

(d)∫

sin2 x cos x

2− sinxdx

(e)∫

x4 − x3 + x2 + 1x4 − 2x3 + x2

dx

(f)∫

x2

√2− x2

dx

15. (a) Mostre que:∫

dx

cos(x) + sin(x)=

∫2

−t2 + 2t + 1dt, com t = tan

(x

2

).

(b) Calcule∫

2−t2 + 2t + 1

dt.

(c) A partir das alıneas (a) e (b) determine∫

dx

cos(x) + sin(x).

16. (a) Mostre que:∫

dx

(1 + sin x) cos x= 2

∫1 + t2

(1− t)(1 + t)3dt, com t = tan

(x

2

).

(b) Calcule o seguinte integral:∫

1 + t2

(1− t)(1 + t)3dt.

(c) A partir das alıneas (a) e (b) determine∫

dx

(1 + sin x) cos x.

17. Calcule


(a)∫

dx

x4 − 16

(b)∫

dx

x4√

x2 − 1

(c)∫

t

(t + 1)(t2 + 1)2dt

(d)∫

x2 +√

1 + x3√

1 + xdx

Exercıcios de Revisao


(a)∫

x sin(3x) dx

(b)∫

cos(x) sin(2x) dx

(Sug: sin(2x) = 2 cos x sin x)

(c)∫ (

− 4x− 2√x2 − x + 1

)dx

(d)∫

arccos(x)dx

(e)∫

x2ex dx

(f)∫

32x− 4

dx

(g)∫

3(2x− 4)5

dx

(h)∫

32x2 + 4

dx

(i)∫

3x

2x2 + 4dx

(j)∫

3x + 12(x− 3)2 + 4

dx

(k)∫

sin2(x) cos2(x) dx

(l)∫

cos3(x) dx

(m)∫

cos2(x) sin3(x) dx


(a)∫

sin2(x) cos3(x) dx.

(b)∫

sec2(x)5 + tan(x)

dx.

(c)∫

cos(x) sin(x)5 sin2(x) + 1

dx.

(d)∫

cos(x)4 sin2(x)

dx.

(e)∫

x cos(x) dx.

(f)∫

x2

√1− x6

dx.

(g)∫

sec(x) tan(x) dx.

(h)∫

x2x dx.

(i)∫

ln2(x)x

dx.

(j)∫

x2

√x3 + 1

dx.

(k)∫

cos(x)(sin(x) + 1)2

dx.

(l)∫

sec3(x) tan(x) dx.

(m)∫

sin2(x) cos3(x) dx.

(n)∫

x cos(3x) dx.

(o)∫

x2 ln(x) dx.

(p)∫

sec2(x)5 + tan(x)

dx.


(q)∫

5x

25− 4x2dx.

(r)∫

x2 sin(x) dx.

(s)∫

sin3(2x) dx.

(t)∫

5x

25 + 4x2dx.

(u)∫

sec2(x) tan2(x) dx.

(v)∫

arctan(x/2)x2 + 4

dx.

(w)∫

(2x + 1)ex dx.

(x)∫

x2 sin (2x3) dx.

(y)∫

x

4 + 4x2 + x4dx.


(a)∫

cos3(5x) dx.

(b)∫

(x3 − 2) ln (2x) dx.

(c)∫

ex

√1− e2x

dx.

(d)∫

1√25− 4x2

dx.

(e)∫

ex + 2x

ex + x2 + 1dx.

(f)∫

sec2(x)(3 + tan(x))2 dx.


(a)∫

sin(x/2)cos3(x/2)

dx.

(b)∫

13√

2x + 8dx.

(c)∫

3x3 − 9x

dx.

(d)∫

sin3(x) cos4(x) dx.

(e)∫ √

x√1 +

√x

dx.

(f)∫

e2x − 2ex + 1ex − 1

dx.

(g)∫

6x2

2− x3dx.

(h)∫

sec2(x)(1− tan(x))2 dx.

(i)∫

5√2x + 8

dx.

(j)∫

x + 5x3 − 4x

dx.

(k)∫

sin3(3x) cos3(3x) dx.

(l)∫

x

2e2x dx.

(m)∫

x√

x + 1 dx.

(n)∫

e2x − 6ex + 93− ex

dx.

(o)∫

1x ln(x)

dx.

(p)∫

(tan(x) + 5)3 sec2(x) dx.

(q)∫

5√1− x

dx.

(r)∫

x

(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx.

(s)∫

sin3(2x) cos4(2x) dx.

(t)∫

x sec2(x) dx.

(u)∫

x√1 + x

dx.

(v)∫

e2x + 4ex + 42 + ex

dx.

(w)∫

3x3 + x2 − 31− x3

dx.


22. Usando algumas(s) mudanca(s) de variavel recomendada(s), se necessario, calcule os seguintesintegrais:

(a)∫

1x3 − x

dx.

(b)∫ √

x + 11 + x3/4

dx.

(c)∫

x√4− x2

dx.

(d)∫

x√4 + x2

dx.

(e)∫

cos(x) sin(x)1 + cos(x)

dx.

(f)∫

1x(x2 + 1)

dx.

(g)∫

x4 + 2x3 + 2x2

x4(x2 + 2x + 2)dx.

(h)∫

x3/2 + x

x2/3dx.

(i)∫

1√x2 + 1

dx.

(j)∫

1sin(x)

dx.

(k)∫

1cos(x)

dx.

(l)∫

x√1 + x2

dx.

(m)∫

x

(x− 1)(x− 2)2dx.

(n)∫

x

(x− 1)(x2 + 1)dx.

(o)∫

(x + 1)3/2 + x + 1(x + 1)2/3

dx.

(p)∫

1√x2 − 1

dx.

(q)∫

x2 + 1(2− x)(1− x)x

dx.

(r)∫

sin(x)cos(x) + 1

dx.

(s)∫

x + 1x(x2 + 1)

dx.

(t)∫

x4 − 5x3 + 9x2 − 7x + 2(x− 1)(x− 2)

dx.

(u)∫

1(x− 1)(x2 + 1)

dx.

(v)∫

x4 + 2x3 + 2x2

x3(x2 + 2x + 2)dx.

(w)∫

x1/2

x4/3 + xdx.

(x)∫

1√x2 − 1

dx.

23. Usando algumas(s) mudanca(s) de variavel recomendada(s), se necessario, calcule os seguintesintegrais:

(a)∫

2x + 39x2 + 4

dx.

(b)∫

x2 + 3x− 13x2 − x− 6

dx.

(c)∫

4x + 5(x− 1)(x + 2)2

dx.

(d)∫

x2

√1− x2

dx.

(e)∫

1√9 + 16x2

dx.

(f)∫

1√9x2 − 16

dx.

(g)∫ √

x + 23√

x2 +√

xdx.

Capıtulo 2

Integral Definido

1. Calcule a area entre o grafico da funcao f dada e o eixo dos x’s.

(a) f(x) =√

x + 1 onde x ∈ [3, 8].

(b) f(x) = (x + 2)−2 onde x ∈ [0, 2].

2. Esboce a regiao limitada pelas curvas dadas e calcule a area dessa regiao:

(a) y =√

x, y = x2.

(b) y = 5− x2, y = 3− x.

(c) y = 8− x2, y = x2.

(d) y = cos(x), y = 4x2 − π2.

(e) y = x2, y = −√

x, x = 4.

(f) y =√

x + 2, y = 0, x = 2, x = 7.

(g) y = 3√

3− x, y = 0, x = −5, x = 3.

(h) y =x

(x2 + 1)2, y = 0, x = 0, x = 3.

(i) y = x, y = sin(x), x = π/2.

(j) y = x3, y = 6 + x, y = −x/2.

13

Capıtulo 2. Integral Definido

(k) 2y2 = x + 4, y2 = x.

3. Calcule a area limitada pela curva

(a) x2 + y2 = 1.

(b) (x− 1)2 + y2 = 4.

(c) (x− 1)2 + (y − 2)2 = 4.

(d)x2

4+

x2

9= 1.


(a)∫ 2

1

dx√3x + 2

.

(b)∫ 0

−17x8 dx.

(c)∫ 3

2

x

(x2 − 1)2dx.

(d)∫ 3a

2a

x

(x2 − a2)2dx.

(e)∫ b/2

0

x√b2 − x2

dx, b > 0.

(f)∫ π/4

0sin(4x) dx.

(g)∫ π/3

0

sin(θ)cos2(θ)

dθ.

5. Seja f uma funcao definida em R tal que f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R.

(a) Mostre que ∫ a

−af(x) dx = 0

para todo a ∈ R.


(b) Calcule o integral ∫ π/2

−π/2

sin3(x)x2 + 9

dx.

6. Seja f uma funcao definida em R tal que f(−x) = f(x) ∀x ∈ R.

(a) Mostre que ∫ a

−af(x) dx = 2

∫ a

0f(x) dx

para todo a ∈ R.

(b) Calcule o integral ∫ π

−πcos(x) dx.

7. Um objecto move-se em linha recta com aceleracao a(t) = (t + 2)3 m/s2.

(a) Calcule a funcao velocidade sabendo que a velocidade inicial e de 3 m/s.

(b) Encontre a funcao posicao sabendo que a velocidade inicial e de 3 m/s e a posicaoinicial e a origem.

8. Um objecto move-se em linha recta com velocidade v(t) = t(1 − t) m/s. A sua posicaoinicial e s(0) = 2 m.

(a) Calcule a posicao do movel ao fim de 10 sec.

(b) Qual a distancia percorrida pelo movel ao fim de 10 sec?

9. Um objecto move-se ao longo do eixo dos xx com aceleracao constante a. Verifique que

v2(t) = v20 + 2a [x(t)− x0]

10. Um objecto move-se num dos eixos coordenados com velocidade v(t) = sin(t) m/s. Oobjecto passa na origem no instante t = π/6 sec. Quando e que o objecto passa na origemoutra vez? Quando o faz sera que se move da esquerda para a direita ou vice-versa?

11. Um automovel percorre uma distancia de 5 km em 5 mn a uma velocidade v(t). Qualo resultado que lhe permite afirmar que pelo menos num instante o velocımetro deve termarcado 60 km/h?

12. Calcule a derivada da funcao g(x) definida por:


(a)∫ x2

1

dt

t.

(b)∫ x2+1

1

dt√2t + 5

.

(c)∫ a

xf(t)dt.

(d)∫ b

x

dy

1 + sin2(y).

(e)∫ x+1

1−x

t− 1t

dt.

(f)∫ x2+x

√x

dt

2 +√

2

13. Calcule H ′(2) sendo H(x) =∫ x3−4

2x

x

1 +√

tdt.

14. Calcule H ′(3) sendo H(x) =1x

∫ x

3

[2t− 3H ′(t)

]dt.

15. Calcule (H−1)′ em funcao de H−1 sendo H(x) =∫ x

1

dy

y.

16. Determine os valores de α, α 6= −1, para os quais o integral∫ +∞

1

dx

xαe convergente e

mostre que∫ +∞

1

dx

xe divergente.

17. Verifique se sao convergentes os seguintes integrais improprios e, em caso afirmativo,calcule-os:

(a)∫ +∞

0x3ex2

dx.

(b)∫ 0

−∞

ex

1 + exdx.

(c)∫ 1

0

dx√1− x

.

(d)∫ +∞

−∞

dx

x2 + 4x + 9.


(e)∫ +∞

−∞sin(2x)dx.

(f)∫ +∞

−∞

x

x2 + 1dx

18. Seja f contınua. Deduza que∫ x

0f(µ)(x− µ)dµ =

∫ x

0

(∫ µ

0f(t)dt

)dµ

OUTROS EXERCICIOS

1. Seja f definida e derivavel em R+ tal que f(xy) = f(x) + f(y) para todo o x e y em R+.Mostre que existe um c ∈ R tal que f(x) = c. ln(x).

2. Seja f definida e derivavel em R tal que f ′(x) = Kf(x). Seja x0 ∈ R tal que f(x0) = c.Mostre que f(x) = c.eK(x−x0).

3. Se f e contınua em [a, b], entao existe µ ∈ [a, b] tal que∫ b

af(x)dx = f(µ)(b− a).

Sugestao: Considere a funcao F (x) =∫ x

af(t) dt. Verifique que F e contınua em [a, b]

e diferenciavel em ]a, b[ e que existe um µ ∈]a, b[ tal que F (b) − F (a) = F ′(µ)(b − a).Conclua.

4. Se f integravel em [a, b] e se para todo o x ∈ [a, b] se tem m ≤ f(x) ≤ M , entao existe um

µ : m ≤ µ ≤ M tal que∫ b

af(x)dx = µ(b− a).

Sugestao: Considere as funcoes g(x) = f(x)−m e h(x) = M−f(x). Verifique que ambas

as funcoes sao nao negativas. Calcule os integrais∫ b

ag(x) dx e

∫ b

ah(x) dx observando que

cada um desses integrais e maior ou igual a zero e conclua.

5. Se f e contınua e g e integravel e nao negativa em [a, b], entao existe µ ∈ [a, b] tal que∫ b

af(x)g(x) dx = f(µ)

∫ b

ag(x) dx.

Sugestao: Comece por verificar que se∫ b

ag(x) dx = 0 o resultado e trivial. No caso de∫ b

ag(x) dx > 0, mostre que existem constantes M e m tais que

m

∫ b

ag(x) dx ≤

∫ b

af(x)g(x) dx ≤ M

∫ b

ag(x) dx.


Conclua usando um teorema sobre funcoes contınuas.

6. Utilizando o exercıcio anterior mostre que:

12√

2≤

∫ 1

0

x√1 + x

dx ≤ 12.

Sugestao: Considere f(x) =1√

1 + xe g(x) = x em [0, 1].

7. Suponha que f e contınua e nao negativa em [a, b] e que∫ b

af(x)dx = 0. Mostre que

f(x) = 0 para todo o x ∈ [a, b].

Sugestao: Considere a funcao F (x) =∫ x

af(t) dt. Mostre que F (x) = 0 e conclua.

8. Suponha que f e contınua em [a, b] e que∫ b

af(x)g(x)dx = 0 para todos as funcoes g

contınuas em [a, b]. Mostre que f(x) = 0 para todo o x ∈ [a, b].

Sugestao: Considere g(x) = f(x) e utilize o exercıcio anterior.

9. Suponha que f e contınua em [a, b] e que∫ b

af(x)dx = 0. Mostre que existe um c ∈ [a, b]

tal que f(c) = 0. Sugestao: Utilize o exercıcio 5.

Capıtulo 3

Equacoes Diferenciais

3.1 Equacoes diferenciais de primeira ordem

1. Resolva as seguintes equacoes diferenciais:

(a) y′ = xy2

(b) y2y′ + x2 = 0

(c) sinx dy + cos y dx = 0

(d) y′ = 3y23 . Determine a solucao particular que passa no ponto (1, 1).

(e) x2 dy + y dx = 0

(f) sinx dy + y dx = 0

(g) (y′)2 = xy2

(h) y′ + y sec x = 0

2. Determine as solucoes de:

(a) y′ =y

x+ 7; y(1) = 2

(b) y′ = y sec x + cos x; y(π

2

)= 0

(c)dx

dt+ x = e2t; x(0) = 1

(d) y′ =x + 1y4 + 1

; y(2) = 0

(e) y′ = 2(1− y)2; y(0) = 0

3. Determine as solucoes de y′ sinx + y cos x = 1 em (0, π). Mostre que apenas uma dassolucoes tem limite finito quando x tende para 0 e que so uma outra tem limite finitoquando x tende para π.

4. Prove que existe uma so funcao f , contınua em (0,∞), tal que f(x) = 1 +1x

∫ x

1f(t) dt e

determine essa funcao.

19

Capıtulo 3. Equacoes Diferenciais

5. Cada uma das equacoes seguintes tem pelo menos um coeficiente com uma descontinuidadeem x = 0. Resolva cada uma das equacoes para x > 0 e descreva o comportamento dasolucao quando x tende para 0, para varios valores da constante de integracao. Esboce osgraficos de algumas curvas integrais.

(a) y′ +2x

y =1x2

(b) y′ − 1x

y =√

x

(c) y′ − 1x

y = x

(d) y′ +1x

y =cos x

x

6. Determine um intervalo no qual a solucao de cada um dos seguintes problemas de valorinicial existe.

(a) (x− 3)y′ + (lnx)y = 2x; y(1) = 3

(b) y′ + (tanx)y = sinx; y(π) = 0

7. Seja

f(x) =

{ sinx

xse x 6= 0

1 se x = 0e T (x) =

∫ x

0f(t) dt

Mostre que f(x) = xT (x) satisfaz a equacao diferencial xy′ − y = x sinx em toda a rectareal e determine a solucao geral desta equacao. Mostre que a equacao diferencial nao temsolucao que satisfaca a condicao inicial f(0) = 1 e explique porque e que isto nao contradizo teorema da existencia e unicidade de solucao.

8. Considere a equacao diferencial y′′ =1

2y′e a sua solucao geral y(x) = ±2

3(x + C)

32 + K.

Verifique que a famılia de curvas dada satisfaz a equacao diferencial. Determine a solucaoda equacao que passa pelo ponto (1, 2) e cuja tangente nesse ponto forma com o eixopositivo Ox um angulo de 45 graus.

3.2 Equacoes Diferenciais Lineares

1. Para cada um dos seguintes problemas de valor inicial determine o maior intervalo em quepode garantir existencia de solucao.

(a) y′′ + cos x y′ + ln |x| y = 0, y(2) = 3, y′(2) = 1

(b) (x− 3)y′′ + xy′ + ln |x| y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1

2. Se o wronskiano de duas funcoes f e g e 3e4x e se f(x) = e2x, determine g.

3. Se W e o wronskiano de f e g e se u = 2f − g, v = f − g determine o wronskiano de u e v.

4. Determine a solucao geral das equacoes diferenciais:


(a) y′′ − y = 0

(b) y′′ + y = 0

5. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

(a) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 3

(b) y′′ + 4y = 0, y(π) = 1, y′(π) = −4

6. Resolva as equacoes diferenciais:

(a) y′′ + 2y′ + y = 4e−x ln (x).

(b) y′′ − 3y′ + 2y = 6e3x.

(c) y′′ − 5y′ + 6y = x + sin (x).

(d) y′′ + y′ − 2y = x

(e) y′′ + y′ − 2y = 1

7. Considere a equacao diferencial y′′+2 tan (x)y′+f(x)y = 0. Utilize a mudanca de variavely = uv de forma a que a equacao diferencial obtida nao contenha termos em v′. De seguida,calcule f de modo a que a equacao diferencial tenha coeficientes constantes. Integre essaequacao diferencial.

8. Determine o wronskiano das seguintes funcoes:

(a) ex sinx, ex cos x

(b) 1, x, x2, x3

(c) x, xex, x2ex

9. Determine a solucao geral das equacoes diferenciais:

(a) y′′′ = 0.

(b) y′′′ + y′′ + y′ + y = 0.

(c) y(4) − y = 0.

(d) y(4) + y = 0.

(e) y(4) + 2y′′ + y = 0.

10. Determine a equacao diferencial linear homogenea de coeficientes constantes, de ordem taobaixa quanto possıvel, tal que g(x) = xe−2x seja solucao da equacao.

11. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

(a) y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = e4x, y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.

(b) y′′′ − y′ = x, y(2) = −2, y′(2) = −2, y′′(2) = −1.

(c) y′′′ + y′′ = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = −1.


3.3 Outros exercıcios

Nota: Diz-se que uma equacao diferencial tem uma solucao de equilıbrio quando essa solucaoe da forma y(x) = C onde C e uma constante. Diz-se ainda que essa solucao e de equilıbrioestavel quando os graficos de todas as restantes solucoes se aproximam do grafico dessa solucaoquando x cresce. Diz-se que essa solucao e de equilıbrio instavel quando os graficos de todasas restantes solucoes se afastam do grafico dessa solucao quando x cresce. Quando os graficos dassolucoes que se encontram num dos lados da solucao de equilıbrio aproximam-se dessa solucaoquando x cresce, enquanto aquelas que estao no outro lado afastam-se, essa solucao diz-se deequilıbrio semi-estavel.

1. Considere a seguinte equacao diferencial: y′ − y = 1. Verifique y(x) = −1 e solucao deequilıbrio. Trace o grafico de algumas das solucoes dessa equacao. Verifique se a solucaode equilıbrio e ou nao estavel.

2. Considere a seguinte equacao diferencial: y′ + xy = 0. Verifique y(x) = 0 e solucao deequilıbrio. Trace o grafico de algumas das solucoes dessa equacao. Verifique se a solucaode equilıbrio e ou nao estavel.

3. Considere a equacao diferencial y′(x) = y2 − 4. Verifique que essa equacao tem duassolucoes de equilıbrio, a saber y(x) = 2 e y(x) = −2. Classifique-as.

4. Determine e classifique as solucoes de equilıbrio da equacao diferencial

y′(x) = (y − 2)(y2 − 1).

5. Considere a equacaodN

dt= k(1−N)2

onde k e uma constante positiva.

(a) Mostre que N(t) = 1 e uma solucao de equilıbrio.

(b) Trace o grafico de f(N) = k(1 − N)2 e conclua que N(t) = 1 e uma solucao deequilıbrio semi-estavel.

(c) Resolva a equacao diferencial dada para varios valores de N(0) e confirme as con-clusoes da alınea b).

Resolucao do Exercıcio 5.

(a) Considere a equacaodN

dt= k(1 − N)2, onde k e uma constante positiva. Se N(t) e

constante e igual a 1, entaodN

dt= 0 e k(1− 1)2 = 0, ∀t, e portanto N(t) = 1 e solucao da

equacao diferencial.


(b) Grafico de f(N) = k(1−N)2: a fazer pelo aluno

Se N < 1, entao f(N) e positiva, ou seja, a derivada de N em ordem a t e positiva. Logo

N(t) e crescente. Como f(N)(

=dN

dt

)e decrescente, entao N tem a concavidade voltada

para baixo.

O Teorema da existencia e unicidade de solucao garante-nos que duas solucoes da equacaodiferencial nunca se cruzam. Assim, para N(0) = N0 < 1, N(t) tende para 1 quando tcresce.

Quando N > 1, f(N) continua a ser positiva, ou seja, a derivada de N em ordem a te positiva. Logo N(t) e crescente. Como f(N) e crescente, entao N tem a concavidadevoltada para cima. Para N(0) = N0 > 1, N(t) afasta-se de 1 quando t cresce.

Nota: O grafico de f(N) foi visto como fornecendo informacao sobredN

dt. Podemos,

contudo, retirar imediatamente informacao sobred2N

dt2a partir deste mesmo grafico. Note-

se que f(N(t)) = f ◦N(t) e que

d2N

dt2= f ′(N)f(N)

Assim, para N < 1, f(N) > 0 e f ′(N) < 0. Logod2N

dt2< 0 e N(t) tem a concavidade

virada para baixo. Se N > 1, f(N) > 0 e f ′(N) > 0. Logo N(t) tem a concavidade viradapara cima.

(c) Solucao geral da equacao diferencial:

N(t) = 1 ou N(t) =−1 + kt + kC

k(t + C)

Note-se que a solucao de equilıbrio nao pode ser calculada a partir da solucao geral, ouseja, qualquer que seja o valor da constante C, nunca se obtem N(t) = 1. Relembreque esta e uma caracterıstica das equacoes diferenciais nao lineares: pode haver solucoesque nao se obtem a partir da solucao geral. Observe-se ainda que N(t) nao esta definidaem t = −C. Relembre o Teorema da existencia e unicidade de solucao destas equacoes.Observe que este nao nos diz em que intervalo e que a solucao da equacao diferencial estadefinida como quando as equacoes diferenciais sao lineares de primeira ordem. Realmente,o Teorema da existencia e unicidade de solucoes e um resultado local.

Vejamos agora como e que a solucao varia em funcao das condicoes iniciais N(0) = N0.

Ora, N(0) =−1 + kC

kC. Logo C = − 1

k(N0 − 1). A expressao da constante em funcao das

condicoes iniciais ilustra o facto de nao se poder determinar C de forma a incluir a solucaode equilıbrio na solucao geral, pois C nao esta definida para N0 = 1. Substituindo C naexpressao da solucao geral da equacao diferencial, tem-se, para N0 6= 1,

N(t) =kt(N0 − 1)−N0

kt(N0 − 1)− 1


N(t) nao esta definida para t = 1k(N0−1) (nao esquecer que N0 6= 1). Assim, se a condicao

inicial e da forma N(0) = N0, a solucao so esta definida em[0,

1k(N0 − 1)

).

Argumentos analogos permitem-nos analisar o comportamento para outras condicoes ini-ciais.

3.4 Equacoes Diferenciais-Aplicacoes

1. Suponha que uma determinada especie de peixe, numa determinada area do oceano satisfaz

a equacaodN

dt= r

(1− N

k

)N . Suponha que uma certa quantidade desse peixe e pescada

a uma razao constante h, ou seja, a quantidade de peixe nessa regiao satisfaz a equacao

diferencialdN

dt= r

(1− N

k

)N −h. A hipotese da taxa de pesca ser constante faz sentido

quando a quantidade de peixe existente N e grande. Quando N diminui, tal hipotese deixade ser razoavel.

(a) Se h < rk

4, mostre que a equacao tem dois pontos de equilıbrio, N1, N2, com N1 < N2

e determine-os.

(b) Mostre que um desses pontos e instavel e que o outro e estavel.

(c) A partir do grafico da funcao f(N) = r

(1− N

k

)N −h, mostre que se N(0) = N0 >

N1, entao N(t) → N2 quando t →∞, mas que, se N0 < N1, entao N(t) e uma funcaodecrescente. Observe que N = 0 nao e um ponto de equilıbrio. O que acontecequando N0 < N1?

(d) Mostre que se h > rk

4, entao N(t) e uma funcao decrescente, independentemente do

valor de N(0).

(e) Seja h = rk

4. Mostre que existe um unico ponto de equilıbrio e que esse ponto e

instavel. Qual a taxa maxima de pesca que podera ser permitida de forma a que estase possa manter constante?

2. Algumas doencas, como e o caso da febre tifoide, sao disseminadas por portadores, in-divıduos que podem transmitir a doenca mas que nao apresentam quaisquer outros sin-tomas. Designe-se por x e y, respectivamente, a proporcao de elementos que sao sus-ceptıveis de contrair a doenca e de portadores. Suponha que os portadores sao identifica-

dos e removidos da populacao a razao de b, isto edy

dt= −by. Suponha ainda que a taxa

de disseminacao da doenca e proporcional ao produto xy, isto e,dx

dt= −axy.

(a) Determine y(t) que satisfaz a y(0) = y0.

(b) Use o resultado da alınea anterior para determinar x(t) que satisfaz x(0) = x0.

(c) Encontre a proporcao da populacao que sobrevive a epidemia calculando x(t) quandot tende para infinito.


3. O crescimento de uma certa populacao obedece a equacaodN

dt= r

(1− N

k

)N .

(a) Seja N(0) =k

3. Encontre o instante s em que a populacao duplica de tamanho.

Encontre o valor de s que corresponde a r = 0.025 por ano.

(b) SeN(0)

k= a, encontre o instante t em que

N(t)k

= b, onde, a > 0, b > 0 e b < 1.Observe que esse instante t tende para infinito quando a tende para 0 ou quando btende para 1. Determine o valor de t quando r = 0.025 por ano, a = 0.1 e b = 0.9.

3.5 Resolucao de alguns exercıcios da seccao anterior

1. (a) Considere a equacao diferencialdN

dt= r

(1− N

k

)N − h. Entao

dN

dt= 0 ⇒ rN2 − krN + hk = 0 ⇒ N =

kr ±√

(kr)2 − 4hrk

2r

Logo

N1 =kr −

√(kr)2 − 4hrk

2rN2 =

kr +√

(kr)2 − 4hrk

2r

(b) Grafico dedN

dtem funcao de N : a fazer pelo aluno.

Se N(0) = N0 > N1, entao N(t) cresce e tem a concavidade voltada para cima,

ate atingir o pontok

2. A partir daı a concavidade passa a estar voltada para baixo.

Como N(t) = N2 e ponto de equilıbrio, N(t) < N2. Logo N(t) aproxima-se de N2.Se N0 > N2, entao N(t) decresce aproximando-se de N2 e tem a concavidade voltadapara cima. Logo N2 e ponto de equilıbrio estavel. Ou seja, se no instante t = 0,a quantidade de peixe e superior a N1 e se a taxa de pesca e constante e inferior

ark

4, entao a quantidade de peixe presente na area sera, ao fim de algum tempo,

aproximadamente N2. Os peixinhos nao desaparecem e podemos continuar a pescar.Do que acima foi visto, podemos tambem concluir que N1 nao e estavel, pois, paraN(0) = N0 > N1, as solucoes afastam-se de N1. Suponhamos agora que N(0) =N0 < N1. Entao N(t) e decrescente. Logo, N(t) afasta-se de N1, ou seja, N1 einstavel. Como N(t) = 0 nao e ponto de equilıbrio, deduzimos que se no instanteinicial o numero de peixes for inferior a N1 e a taxa de pesca for constante e inferior

ark

4, entao os peixinhos desaparecem num intervalo finito de tempo. Entretanto,

os peixinhos serao considerados uma especie em vias de extincao e a pesca deve serproibida ate que o seu numero seja superior a N1.Resumindo, as solucoes da equacao diferencial tem o aspecto: a fazer pelo aluno

(c) Suponhamos agora que h >rk

4. Entao f(N) = r

(1− N

k

)N − h tem o grafico: a

fazer pelo alunoPara qualquer valor N(0) = N0, N(t) e decrescente.


(d) Seja agora h =rk

4. Trace o grafico.

Note-se que f(N) = 0 quando N =k

2. Ou seja, N(t) =

k

2e ponto de equilıbrio. Se

N(0) = N0 > k2 , entao N(t) e decrescente e tem a concavidade voltada para cima.

Quando t cresce, N(t) aproxima-se de N =k

2. Se N(0) = N0 <

k

2, entao N(t)

decresce (e tem concavidade voltada para baixo). Logo N =k

2e ponto de equilıbrio

semi-instavel (ver problema 1).Resumindo: Faca o esboco.Podemos entao concluir que, sabendo que o numero de peixes e igual ou superior ak

2, a taxa maxima de pesca permitida devera ser h = r

k

4. Mas lembre-se que

k

2e

ponto de equilıbrio instavel. Logo, se alguem se lembra, um belo dia, de pescar soum pouquinho mais que o permitido, os peixinhos vao tender a desaparecer.Ja tentou resolver a equacao diferencial? Se nao, tente. Pois! Nao e uma equacaode variaveis separaveis nem e linear. Sera que consegue, por mudanca de variavel ououtro processo, resolve-la? Se nao consegue, nao se preocupe. Acabou de estudar ocomportamento das solucoes geometricamente. Como pode ver, o metodo geometricopode ser extremamente util.

2. (a) Equacao diferencial:dy

dt= −by. Solucao geral: y(t) = Ke−bt. Solucao do problema

de valor inicial: y(t) = y0e−bt.

(b)

(c) Equacao diferencial:dx

dt= −axy. Logo

dx

dt= −ay0xe−bt. Donde, para x diferente

de zero (note-se que x = 0 e solucao de equilıbrio), vemdx

x= −ay0e

−btdt. Logo,

ln |x| = −ay0

∫e−btdt + C, ou seja, x(t) = Ke

ay0e−bt

b . Para x(0) = Keay0

b = x0, vem

K = −x0e−ay0

b . Logo a solucao e x(t) = x0eay0(e−bt−1)

b . Ora, t → +∞ ⇒ e−bt − 1b

→

−1b. Logo, t → +∞ ⇒ x(t) → x0e

−ay0b .

3.6 Exercıcios genericos

Exercıcios de escolha multipla

1. Considere o problema de valor inicial xy′ = 3y, y(0) = 0.

(a) Nao tem solucao.

(b) So tem uma solucao.

(c) Tem varias solucoes definidas em toda a recta real.

(d) As solucoes, se existirem, estao definidas em (0,+∞).


2. A solucao geral de uma dada equacao diferencial e y(t) = C1e2x + e−x(C2 cos x+C3 sinx).

A equacao diferencial tem equacao caracterıstica

(a) r3 − r = 0.(b) (r − 2)(r2 + 2r + 2) = 0.(c) (r − 2)(r2 − 2r + 2) = 0.(d) r2 + r + 2 = 0.

3. A equacao diferencial que nos permite determinar as trajectorias ortogonais a famılia de

curvas de equacao y(x) =C

xe:

(a) y′′ − y′ = 0.

(b) y′ = −y

x.

(c) y′ = − 1yx

.

(d) y′ =1yx

.

4. Considere a equacao diferencial y′′′ − y′′ − 4y′ + 4y = 0. A matriz Wronskiana de umsistema fundamental de solucoes desta E.D. e

(a)

W =

ex e2x e−2x

ex 2e2x e−2x

ex e2x −2e−2x

(b)

W =

ex e3x e−2x

ex 3e3x −2e−2x

ex 9e3x 4e−2x

(c)

W =

ex e2x e−2x

ex 2e2x −2e−2x

ex 4e2x 4e−2x

(d)

W =

1 e2x e−2x

0 2e2x −2e−2x

0 4e2x 4e−2x

5. Qualquer solucao da equacao diferencial y(2) + a1y

′ + a2y = 0 tende para zero quandox →∞ se e so se

(a) Qualquer raız da equacao caracterıstica tem parte real negativa.(b) Pelo menos uma das raizes da equacao caracterıstica e negativa.(c) As raizes da equacao caracterıstica sao reais negativas.(d) As raizes da equacao caracterıstica sao reais.

Capıtulo 4

Transformada de Laplace

1. Determine a transformada de Laplace das seguintes funcoes:

(a) f(t) = t.

(b) f(t) = t2.

(c) f(t) = tn, onde n e um numero natural.

2. Determine a transformada de Laplace da funcao f(t) = cos (at), onde a e uma constantereal.

3. Recorde que cosh (t) =et + e−t

2e sinh (t) =

et − e−t

2. Em cada uma das alineas seguintes

determine as correspondentes transformadas. a e b sao constantes reais.

(a) f(t) = cosh (bt).

(b) f(t) = sinh (bt).

(c) f(t) = eat cosh (bt).

(d) f(t) = eat sinh (bt).

4. Em cada um dos exercıcios seguintes utilize uma integracao por partes para determinar astransformadas das funcoes. n e um inteiro positivo e a e uma constante real.

(a) f(t) = teat.

(b) f(t) = t sin (at).

(c) f(t) = tneat.

(d) f(t) = t2 sin (at).

5. Suponha que f e f ′ sao funcoes contınuas, definidas para t ≥ 0, de ordem exponencialquando t → +∞. Usando uma integracao por partes, mostre que se F (s) = L{f(t)},entao lim

s→+∞F (s) = 0.

6. Funcao Gamma A funcao Gamma e representada por Γ(p) e e definida pelo integral

Γ(p + 1) =∫ +∞

0e−xxp dx.

28

Capıtulo 4. Transformada de Laplace

Este integral e convergente para todo o p ≥ 0. Para p < 0, e um integral improprio nao sodevido a um limite de integracao ser +∞ mas tambem por causa da funcao integranda setornar nao limitada junto de x = 0. Neste caso o integral e convergente se p > −1.

(a) Mostre que para p > 0, Γ(p + 1) = pΓ(p).(b) Verifique que Γ(1) = 1.(c) Verifique que, para n ∈ N, Γ(n + 1) = n!

Nota: Uma vez que Γ(p) esta tambem definido quando p nao e um numero natural,podemos dizer que esta funcao e uma extensao do factorial a valores nao naturais.

(d) Mostre que, para p > 0,

p(p + 1)(p + 2) · · · (p + n− 1) =Γ(p + n)

Γ(p)

Nota: Esta propriedade permite-nos determinar o valor de Γ(p), onde p e qualquernumero positivo, a partir dos valores de Γ no intervalo ]0, 1].

7. Determine as solucoes dos problemas de valor inicial seguintes:

(a) y′′ + y = sin (2t), y(0) = 2, y′(0) = 1.(b) yIV − y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 0.

8. Determine a transformada inversa de Laplace das funcoes dadas:

(a)3

s2 + 4.

(b)4

(s− 1)3.

(c)2s + 2

s2 + 2s + 5.

(d)8s2 − 4s + 12

s(s2 + 4).

9. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

(a) y′′ − y′ − 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −1.(b) y′′ + 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0.(c) y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.(d) y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1.(e) yIV − 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = −2, y′′′(0) = 0.

10. Seja F (s) =P (s)Q(s)

, onde Q(s) e uma funcao polinomial de grau n com n zeros reais e

distintos, r1, r2, ...rn, e P (s) e uma funcao polinomial de grau inferior a n. Considere adecomposicao desta fraccao em fraccoes simples:

P (s)Q(s)

=A1

s− r1+

A2

s− r2+ · · ·+ An

s− rn.

onde A1, A2, ...An sao constantes reais.


(a) Verifique que Ak =P (rk)Q′(rk

.

(b) Mostre que

L−1 {F (s)} =n∑

k=1

P (rk)Q′(rk)

erkt

11. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:

(a) y′′ + 4y = g(t), y(0) = 1, y′(0) = −1, onde g(t) ={

1, se 0 ≤ t < π0, se t ≥ π

.

(b) y′′ + y = g(t), y(0) = 0, y′(0) = 0, onde g(t) ={

t, se 0 ≤ t < 10, se t ≥ 1

.

(c) y′′ + 4y = g(t), y(0) = 0, y′(0) = 0, onde g(t) ={

t, se 0 ≤ t < 11, se t ≥ 1

.

12. Em cada uma das alıneas seguintes desenhe o grafico da funcao dada, considerando odomınio t ≥ 0. A funcao u representa o degrau unitario.

(a) u(t− 1) + 2u(t− 3)− 6u(t− 4).

(b) (t− 3)u(t− 2)− (t− 2)u(t− 3).

(c) f(t− π)u(t− π), onde f(t) = t2.

(d) f(t− 3)u(t− 3), onde f(t) = sin t.

13. Encontre a transformada de Laplace das funcoes:

(a) f(t) ={

0, se t < 2(t− 2)2, se t ≥ 2

.

(b) f(t) =

0, se t < πt− π, se π ≤ t ≤ 2π0, se t ≥ 2π

.

14. Determine a transformada de Laplace inversa das funcoes:

(a) F (s) =3!

(s− 2)4.

(b) F (s) =2(s− 1)e−2s

s2 − 2s + 2.

15. Suponha que F (s) = L{f(t)} existe, para s > a ≥ 0. Verifique que:

(a) Se c e uma constante positiva, entao

L{f(ct)} =1cF

(s

c

), s > ca.

(b) Se k e uma constante positiva, entao

L−1 {F (ks)} =1kf

(t

k

).


(c) Se a e b sao constantes e a > 0, entao

L−1 {F (as + b)} =1ae−bt/af

(t

a

).

(d) Use as alıneas anteriores e determine a transformada inversa das funcoes:

i. F (s) =2s + 1

4s2 + 4s + 5.

ii. F (s) =e2e−4s

2s− 1.

Capıtulo 5

Sucessoes e Series Numericas

1. Calcule os seguintes limites:

(a) limn→∞

n

n + 1

(b) limn→∞

n + 3n3 + 4

(c) limn→∞

n!nn

.

2. Mostre que a) se p > 0, limn→∞

n√

p = 1 b) limn→∞

n√

n = 1.

3. Seja Sn+1 =√

2 + Sn.

(a) Seja S1 = 2. Que pode dizer sobre Sn?

(b) Seja S1 =√

2. Mostre que√

2 ≤ Sn ≤ 2, ∀n ∈ N. Mostre ainda que Sn e monotona.Que pode concluir?

4. Considere a sucessao Sn+1 =√

2 +√

S2n − 2, S1 = 2.

(a) Determine uma forma fechada para Sn.

(b) Calcule o limite de Sn.

5. Seja α > 0 fixo, a1 >√

α e an+1 =12

(an +

α

an

).

(a) 1 Mostre que an decrescente e que limn→∞

an =√

α.

(b) Seja εn = an −√

α. Mostre que

εn+1 =ε2n2an

<ε2n

2√

α

(c) Seja β = 2√

α. Deduza que εn+1 < β

(ε1β

)2n

, n = 1, 2, ... .

1Este exercıcio e difıcil!

32

Capıtulo 5. Sucessoes e Series numericas Pag. 33

(d) Este e um bom algoritmo para calcular raızes, uma vez que a relacao de recorrenciae simples e a convergencia extremamente rapida. Por exemplo, se α = 3 e a1 = 2,

mostre queε1β

<110

e que ε5 < 4× 10−16, ε6 < 4× 10−32.

6. Ao deixar cair uma bola de tenis de um muro de 1 metro de altura, sabe-se que a bolatoca no chao e salta outra vez, atingindo uma altura total igual a 60% da altura do saltoanterior, tal como se representa na figura:

Seja h0 a altura inicial da bola e seja hn a altura maxima da bola no salto n. Entao:

h0 = 1hn+1 = 0.6hn

(a) Mostre por inducao matematica que hn = (0.6)n ∀n ∈ N

(b) Calcule a soma da serie∞∑

n=0

(0.6)n e relacione a soma com o problema descrito em

cima.

7. Prove a seguinte formula por inducao matematica:

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 ∀n ∈ N


8. Considere os rectangulos da seguinte figura:

Cada rectangulo tem largura igual a 1 e altura igual a metade da altura do rectangulo asua esquerda. Seja A1 a area do rectangulo 1 e seja An a area do rectangulo n.

(a) Verifique quais das seguintes afirmacoes sao verdadeiras e quais sao falsas:

A area do rectangulo n, An =122

V F

A area do rectangulo n + 1, An+1 = An12

V F

A area do rectangulo n, An =1

2n+1V F

A area do rectangulo n + 1, An+1 =12n

V F

(b) Considere a serie∞∑

n=0

12n

. Verifique se a serie converge.

(c) Relacione a serie em (b) com o problema dado e diga qual o significado que tera asoma se esta convergir.


9. Considere uma sequencia de rectangulos tal como se representa na figura:

Cada rectangulo n tem uma altura hn que e igual a metade da altura do rectangulo anteriore tem um comprimento n. Seja An = nhn a area do rectangulo n.

(a) Defina as alturas por recorrencia, sabendo que h1 =12.

(b) Mostre, por inducao matematica, que An =n

2n, ∀n ∈ N

(c) Considere a serie∞∑

n=1

n

2ne mostre que a serie converge.

10. Prove a seguinte formula por inducao matematica:

12

+222

+323

+ · · ·+ n

2n= 2− n + 2

2n, ∀n ∈ N

11. Se um doente tomar A gramas de um medicamento no instante t = 0, a quantidade Sde dose activa que tera no corpo ao fim de t horas sera igual a Ae−6t gramas. Considereque o doente toma o medicamento de hora a hora. Seja Sn a quantidade de dose activade medicamento no corpo imediatamente a seguir ao doente ter tomado A gramas pela(n + 1)-esima vez. Tem-se que:

S0 = AS1 = A + Ae−6

(a) Deduza que Sn = A +n∑

k=1

Ae−6k.


(b) O doente morre se limn→∞

Sn = +∞. Estude a convergencia da serie∞∑

n=1

Ae−6n e

conclua que o doente nao morre.

(c) Determine limn→∞

Sn.

12. Considere a sucessao seguinte definida por recorrencia:

yn+1 = Ayn + Bcom 0 ≤ A < 1 e y1 = B > 0

(a) Mostre, por inducao matematica, que yn =B

A− 1(An − 1) ∀n ∈ N .

(b) Verifique que a sucessao e limitada e monotona.

(c) Calcule limn→∞

yn.

13. Num texto da area economica pode-se ler que o valor real de um terreno agrıcola, se forplantado um cereal em cada ano, sera, no fim do 10 ano:

P1 = ge−1

no fim do 20 ano:P2 = ge−1 + ge−2

no fim do n-esimo ano:Pn = Pn−1 + ge−n

(a) Deduza que o valor do terreno ao fim do n-esimo ano e:

Pn = g(e−1 + e−2 + · · ·+ e−n)

(b) Estude a convergencia da serie∞∑

n=1

ge−n.

(c) Relacione a serie em (b) com o problema dado e determine limn→∞

Pn.

14. Seja S ={

n ∈ N : 1 + 2 + · · ·+ n =18(2n + 1)2

}(a) Prove que se k ∈ S entao (k + 1) ∈ S

(b) Critique a seguinte afirmacao:”Por (a) e tendo em conta o Princıpio da Inducao Matematica, podemos concluir queN ⊂ S”

15. Estude a convergencia das seguintes series:

(a)∞∑

n=1

n2

(n + 1)(n2 − 3)


(b)∞∑

n=1

(−1)n+1

(2n + 15n + 7

)n

16. Imagine que decidiu comprar um automovel em “leasing”. Suponha que lhe vao cobrar

J% de juros ao ano, o que corresponde a um juro mensal de r =J

12%. Seja D0 o valor

inicial do automovel e x a prestacao mensal. Suponha ainda que o juro e cobrado depoisde efectuar o pagamento da prestacao.

(a) Mostre que a sua dıvida no mes j se pode escrever em funcao da dıvida no mesanterior segundo a seguinte forma:

Dj = (1 + r)(Dj−1 − x) ∀ j ∈ N

(b) Mostre por inducao matematica que ao fim de n meses a sua dıvida e:

Dn = D0βn − x

[β

1− βn

1− β

]onde β = 1 + r

17. Considere a serie∞∑

n=1

1n

.

(a) Verifique que a sucessao an =1n

converge para 0 mas que a serie diverge.Sug: verifique que

S2n = 1 +12

+(

13

+14

)+

(15

+16

+17

+18

)+ ... +

(1

2n−1 + 1+ ... +

12n

)≥ 1 +

n

2

(b) Conclua de a) que para 0 < r < 1 a serie∞∑

n=1

1nr

diverge.

18. Verifique que a serie∞∑

n=1

1nr

e convergente se r > 1.

Sug: Verifique que

S2n−1 = 1 +(

12r

+13r

)+

(14r

+15r

+16r

+17r

)+ ... +

(1

2(n−1)r+ ... +

1(2n − 1)r

)

≤ 1 +22r

+44r

+ ... +2n−1

2(n−1)r=

n−1∑i=0

(22r

)i

19. Determine qual a natureza das seguintes series

(a)∞∑

n=1

3n− 12n + 1

(b)∞∑

n=1

cos (n)n√

n


(c)∞∑

n=1

(n

2n + 1

)n

(d)∞∑

n=1

(−1)ne−n2

(e)∞∑

n=1

1n√

n2 + 1

(f)∞∑

n=1

(−1.075)n

(g)∞∑

n=1

n

(23

)n

20. Estude a natureza das series:

(a)∞∑

n=1

5n+1 − 2n+1

5n + 2n

(b)∞∑

n=1

1n(n + 1)(n + 2)

(c)∞∑

n=1

n!nn

(d)∞∑

n=1

[nr

n + 1

]r

, r 6= 0

(e)∞∑

n=1

3nn!nn

(f)∞∑

n=1

1(n + 1)2 − 1

(g)∞∑

n=1

sin (nπ)n

(h)∞∑

n=1

sin (nβ)n2

(i)∞∑

n=1

e−n

n cos (nπ)

(j)∞∑

n=1

(−1)n n!nn

21. Mostre que a serie∞∑

n=1

ln(

n

n + 1

)e divergente.


22. (a) Mostre que o integral∫ ∞

2

ex

xxexiste.

(b) Mostre que a serie∞∑

n=2

1(lnn)ln (n)

converge.

23. Mostre que as seguintes series convergem para as somas indicadas:

(a)∞∑

n=1

1(2n− 1)(2n + 1)

=12

(b)∞∑

n=1

23n−1

= 3

(c)∞∑

n=2

1n2 − 1

=34

(d)∞∑

n=1

2n + 3n

6n=

32

(e)∞∑

n=1

√n + 1−

√n√

n2 + n= 1

(f)∞∑

n=1

(−1)n−1 2n + 1n(n + 1)

= 1

24. Para a ∈ (−1, 1), sabe-se que∞∑

n=0

an converge e a sua soma1

1− a. Calcule a soma das

seguintes series quando a ∈ (−1, 1).

(a)∞∑

n=1

a2n

(b)∞∑

n=0

a2n+1

(c)∞∑

n=0

(−1)nan

(d)∞∑

n=0

(−1)na2n

25. Seja x = a0.a1a2a3a4... > 0, onde 0 ≤ ak ≤ 9, ∀k ∈ N. Entao

a0 +a1

10+ · · ·+ an

10n≤ x ≤ a0 +

a1

10+ · · ·+ an + 1

10n

Seja Sn =n∑

k=0

ak

10k. Entao 0 ≤ x− Sn ≤ 10−n. Observe que:


limn→∞

Sn = x e x =∞∑

k=0

ak

10k

Nas alıneas seguintes os numeros x dados sao dızimas infinitas. Em cada caso, expresseos numeros x como series, encontre as respectivas somas e expresse finalmente x como oquociente de dois inteiros.

(a) x = 0.4444...

(b) x = 0.515151...

(c) x = 2.020202...

(d) x = 0.123123...

Capıtulo 6

Aproximacao Polinomial e Series dePotencias

1. Calcule o intervalo de convergencia das series:

a)∞∑

n=0

(x

2

)n

Sol: ]− 2, 2[

b)∞∑

n=0

(−1)nnxn

Sol: ]− 1, 1[

c)∞∑

n=1

(−1)n xn

n

Sol: ]− 1, 1]

d)∞∑

n=0

xn

n

Sol: [−1, 1[

e)∞∑

n=0

(−1)n xn

(n + 1)(n + 2)

Sol: [−1, 1]

f)∞∑

n=0

(x− 2)n+1

3n+1(n + 1)

Sol: [−1, 5[

g)∞∑

n=0

(−1)n+1 (x− 1)n+1

n + 1

Sol: ]0, 2]

h)∞∑

n=1

1n(1− x)n

Sol: ]−∞, 0[⋃

[2,+∞[

i)∞∑

n=1

(x− 2)n+1

n2 + n

Sol: [1, 3]

j)∞∑

n=1

(−1)n (x− 2)n+1

(2n + 2)(2n + 1)

Sol: [1, 3]

k)∞∑

n=1

(−1)n(x

2

)2n 12n + 1

Sol: [−2, 2]

l)∞∑

n=1

xn n!nn

Sol: ]− e, e[

2. Seja f(x) =∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n + 1)!e seja g(x) =

∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)!.

(a) Calcule o intervalo de convergencia das duas series.

41

Capıtulo 6. Aproximacao polinomial e series de potencias Pag. 42

Sol: ]−∞,+∞[(b) Mostre que f ′(x) = g(x) e que g′(x) = −f(x).(c) Identifique as duas funcoes.

3. Considere as funcoes

f(x) =1

1− x, g(x) =

11 + x

, h(x) = sin(x), l(x) = ex.

(a) Calcule as funcoes polinomiais de Taylor em torno de 0 de grau 1 e de grau 2 de cadauma destas funcoes.

(b) Esboce o grafico de cada das funcoes polinomiais calculadas na alınea a).(c) Esboce o grafico de cada das funcoes dadas numa vizinhanca de 0.(d) Comente os resultados.

4. Considere as funcoes

f(x) =1

1− x, g(x) =

11 + x

, h(x) =1

(1 + x)2, l(x) =

1(1− x)2

.

Para cada uma destas funcoes determine a funcao polinomial de Taylor em torno de 0 degrau n.

5. Considere a funcao f(x) = e3x.

(a) Determine a funcao polinomial de Taylor em torno de 0 de grau n associada a f .(b) Calcule uma estimativa do resto de Taylor para x ∈ (0, 2).(c) Determine o grau do polinomio de Taylor em torno de 1 que lhe permite calcular e3/2

com erro inferior a 10−3.

6. Calcule 5√

1.01 com erro inferior a 5× 10−4.

7. (a) Utilizando polinomios de Taylor, calcule sin(2) com erro inferior a 10−4.(b) Utilizando polinomios de Taylor, calcule sin(1) com erro inferior a 10−10.

8. Verifique que o polinomio de Taylor de grau 7 da funcao exponencial permite calcular onumero de Neper, e, com erro inferior a 5× 10−4. Quantas casas decimais exactas tem ovalor que calculou?

9. Verifique que tan(x + y) =tan(x) + tan(y)

1− tan(x) tan(y)e utilize esta igualdade para mostrar que

arctan(x) + arctan(y) = arctan(

x+y1−xy

)indicando qualquer possıvel restricao dos argu-

mentos.

Conclua que:π

4= arctan

12

+ arctan13

π

4= 4 arctan

15− arctan

1239

Utilize a ultima equacao e os polinomios de Taylor de arctan(x) para mostrar que π =3.14159 . . ..

Capıtulo 6. Aproximacao polinomial e series de potencias Pag. 43

10. Verifique que:

(a) ax =∞∑

n=0

(ln (a))n

n!xn, a > 0, x ∈ R.

(b) sin2(x) =∞∑

n=1

(−1)n+1 22n−1

(2n)!x2n, ∀x ∈ R.

(c) e−x2=

∞∑n=0

(−1)n x2n

n!, ∀x ∈ R.

(d)x

−2x2 + x + 1=

13

∞∑n=1

[1− (−2)n]xn, para x ∈(−12

,12

).

11. Seja f uma funcao tal que f ′′(x) + f(x) = 0 para todo o x ∈ R e f(0) = 0, f ′(0) = 0.Verifique que todas as derivadas de f existem. Calcule o polinomio de Taylor desta funcaono ponto 0 e o respectivo resto. Conclua que qualquer funcao satisfazendo estas condicoese necessariamente a funcao nula.

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