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XXIII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

XXIV SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

CADERNO DE RESUMOS

Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru 2012


CADERNO DE RESUMOS XXIV SEMANA DA LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA

Organizadores: Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi

Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola

Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento

Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni

Realização: Conselho de Curso da Licenciatura em Matemática

Unesp – Câmpus Bauru


COMISSÃO

ORGANIZADORA

Docentes

Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi


Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento

Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni

Técnicos Administrativos Daniel Buso de Lima

Edinéia Ferigato Mattiazzo

Ivone Reina Barbieri

Discentes Adriele Benedito Rangel

Ana Dorotéia Aparecida Pinto

Cinthia Cristhina Crotti

Clayton Eugenio Santos de Paula

Daniele Alessandra Reghini Gazetta

Eduardo da Costa Luppi

Evandro Tortora

Felipe Augusto Aureliano

Geovana Martins do Prado

Gustavo Chaves Tanaka

Helen Gomes da Silva

Jamilis Garbim Ferraz

Juliana Aparecida Rissardi Finato

Lais Fernanda Macedo Rosa

Lara de Souza

Luis Adolfo Beijo

Mariana Borlina Fournier

Matheus Matos Sampaio

Pedro Henrique de Souza Fermino

Taísa Fernanda de Lima Quemel

COMISSÃO CIENTÍFICA


EDITORAÇÃO

Ivone Reina Barbieri

https://sistemas.fc.unesp.br/academico/selecionar.aluno.action?id=&txt_aluno_selecionado=5440&acao=&btn_pesquisar_dados=&txt_matriculado=1&txt_chave=eduardo&url=DADOS_CADASTRAIS&tipoEmissao=


Sumário Um método híbrido de pontos interiores e branch-and-bound aplicado ao modelo de

minimização de custo de colheita da cana-de-açúcar ............................................................ 1

Educação, matemática e outras aventuras muito “fixes” ........................................................... 3

Avaliações em larga escala como instrumento de avaliação docente: primeiras aproximações 7

Sobre a formalização de quantificadores: de ‘muitos’ para ‘quase todos’ ............................... 11

Tableaux para uma formalização do quantificador ‘poucos’ ................................................... 14

Um olhar para a formação de professores de matemática paulistas ......................................... 17

Resultados numéricos de um método primal-dual de pontos interiores aplicado em um

problema de programação não-linear .................................................................................. 22


RESUMOS


XXIII Semana da Licenciatura em Matemática 1

UM MÉTODO HÍBRIDO DE PONTOS INTERIORES E BRANCH-AND-

BOUND APLICADO AO MODELO DE MINIMIZAÇÃO DE CUSTO DE

COLHEITA DA CANA-DE-AÇÚCAR

Camila de Lima; Antonio Roberto Balbo; Helenice de Oliveira Florentino

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Engenharia, Mestrado em Engenharia Elétrica,

[email protected]

Palavras-chave: Método primal-dual de pontos interiores; método branch-and-bound; biomassa residual da

cana-de-açúcar.

Resumo

Este trabalho tem o objetivo de desenvolver e aplicar um método híbrido que envolve os

métodos previsor-corretor primal-dual de pontos interiores e branch-and-bound ao modelo

de minimização do custo de colheita da cana-de-açúcar. Desta forma, o método será

utilizado para determinar a escolha das variedades de cana-de-açúcar para o plantio nas

áreas determinadas pela usina, que podem ser do tipo mecanizáveis ou semi-mecanizáveis,

que utilizam a queima da cana, de modo que se obtenha o menor custo no processo de

colheita, respeitando-se as restrições do problema. O método primal-dual de pontos

interiores é utilizado para se obter a solução ótima real do modelo. A partir desta, utiliza-se

o método branch-and-bound para determinar a solução ótima inteira 0-1 relacionada às

restrições de integralidade do problema, relativas à escolha das variedades a serem

plantadas. Os testes são realizados através de uma implementação computacional no

software Borland C++ Builder 6.0 e os resultados numéricos obtidos são comparados

àqueles publicados na literatura, demonstrando que o procedimento é eficiente e determina a

solução ótima do problema.

Introdução

A produção de energia elétrica no Brasil é predominantemente hidráulica, porém há

alguns anos, este setor tem sofrido algumas mudanças devido à necessidade da diversificação

da matriz energética prevista no planejamento do setor. Assim, novas fontes de energia foram

introduzidas, como as que exploram o gás natural, a energia nuclear, e as energias renováveis,

as quais utilizam recursos que são reabastecidos naturalmente, promovendo um menor

impacto ambiental e atendendo aos princípios de sustentabilidade, dentre elas destacam-se a

energia solar, a energia eólica e energia cogerada pela biomassa residual (PELLEGRINI,

2002).

A utilização da biomassa como fonte alternativa no processo de cogeração de energia

tem sido avaliada como uma possível solução energética e ambiental, visto a baixa produção

de micro poluentes.



Neste contexto, a cana-de-açúcar entra nesse estudo, por ser bastante cultivada no

Brasil e por gerar uma grande quantidade de resíduos no solo, como folhas, palhas, ponteiros

e frações de colmo, o que incentiva o aproveitamento desta biomassa residual para a

cogeração de energia. Isso ocorre devido a proibição das queimadas, utilizadas no processo de

colheita semi-mecanizado, o sistema de colheita mecanizado foi mais empregado,

ocasionando um aumento significativo quantidade de resíduos no solo, que podem favorecer o

aparecimento de pragas, contaminar o solo, e comprometer a próxima safra, caso não seja

reaproveitado. Além disso, o período de colheita da cana-de-açúcar coincide com o período de

estiagem das principais bacias hidrográficas do parque hidrelétrico brasileiro, e ainda, existe a

possibilidade de armazenamento da biomassa por um determinado período até uma maior

necessidade ou maior valor de comercialização desta energia.

A partir destes, diversos estudos vêm sendo realizados visando minimizar o custo,

não somente da colheita mecanizável e semi-mecanizável, mas também da coleta de resíduos

de cana-de-açúcar gerados nas áreas mecanizáveis, bem como, maximizar a produção de

energia relativa ao aproveitamento da biomassa residual. O processo é feito de tal forma a

atender as restrições de produção e demanda das usinas. Em Florentino(2006), Tolentino

(2007)e Homem (2010), são discutidos modelos matemáticos para a escolha de variedades de

cana-de-açúcar que buscam otimizar o custo de coleta da biomassa residual e/ou a geração de

energia. A investigação destes modelos ocorre devido a necessidade das usinas em otimizar a

colheita da cana-de-açúcar, bem como, a coleta dos resíduos ocasionados pelo corte

mecanizado, visando o aproveitamento desta biomassa residual e otimizar a geração de

energia a partir da biomassa.

Neste trabalho utiliza-se um procedimento híbrido envolvendo métodos primal-dual

de pontos interiores e branch-and-bound para a resolução do modelo relativos à colheita da

cana-de-açúcar, baseando-se em [8], que considera as áreas semi-mecanizáveis e

mecanizáveis para o plantio, ainda sem considerar a minimização da coleta e a maximização

da geração de energia da biomassa residual da cana, que são objetos de trabalhos futuros.



EDUCAÇÃO, MATEMÁTICA E OUTRAS AVENTURAS MUITO

“FIXES”

Eduardo da Costa Luppi; Mara Sueli Simão Moraes

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras-chave: Intercâmbio; ensino superior português.

Keywords: Interchange; portuguese higher education.

Resumo

O presente trabalho visa a difusão das experiências vivenciadas pelo autor enquanto aluno

em intercâmbio na Universidade de Lisboa, em Portugal, no período de fevereiro a julho de

2012. São apresentados alguns fatos sobre a vivência no ambiente universitário português, as

possibilidades de disciplinas a serem cursadas, entre outros aspectos. Enfim, objetiva-se

retratar e refletir sobre os desafios e aprendizados que surgem a partir de tal experiência,

buscando incentivar a participação de futuros colegas de curso nos futuros programas de

intercâmbio.

Um pequeno diário de bordo!

Descobrir um mundo novo. Esse é o resumo da vida rápida e intensa de um

intercambista brasileiro em Portugal. O que descrevo nesse trabalho é fruto das minhas

vivências e reflexões com demais colegas que conheci em terras portuguesas. Em cerca de

seis meses consegui, com a oportunidade fornecida pelo acordo entre Unesp e Universidade

de Lisboa, com financiamento do Banco Santander, descobrir diferenças, semelhanças e

possibilidades de trabalhos futuros na vida acadêmica portuguesa.

O objetivo maior deste trabalho é incentivar os demais alunos do curso de Licenciatura

em Matemática da Unesp/Bauru a participar de futuras oportunidades semelhantes. Essa

necessidade foi algo que evidenciei ao contatar os demais alunos intercambistas da UNESP

ou de outras universidades brasileiras. É evidente como o intercâmbio é uma prática

recorrente dos alunos dos mais diversos cursos. Entretanto, na Licenciatura em Matemática o

número de intercambistas ainda é muito pequeno. Dessa forma, é preciso fornecer, em

primeiro lugar, informação sobre tal processo, de forma a vencer as barreiras existentes e

motivar os alunos a buscar essas vivências que são um salto importante na constituição de um

profissional, em especial para aquele que se envolve com educação, cuja produção de muitos

países (dentre eles Portugal) é muito consumida por estudantes brasileiros.

Muito antes de partir!

Antes de narrar algumas experiências “além mar” é relevante descrever sucintamente o

processo de candidatura e organização de documentos necessários. Podemos dividir essa

seção em duas partes.



Primeiramente é preciso alertar para a necessária organização que o candidato a

intercâmbio deve possuir. O processo de candidatura envolve muitos documentos, portanto,

ter seu currículo Lattes atualizado e documentado é um passo importante. Depois é preciso

estar atento aos editais lançados pela AREX (Assessoria de Relações Externas da UNESP). Se

você possui fluência em alguma língua estrangeira terá mais oportunidades, pois muitos

editais exigem proficiência ao menos em inglês para estudantes que desejem viajar para a

França, Inglaterra, Estados Unidos da América, Alemanha, entre outros. Se você não possui

um curso de línguas as oportunidades se restringem aos países que também têm o português

como língua natural. Provavelmente seu destino será Portugal. Isso não significa que seja uma

oportunidade inferior, mas os editais para esse país costumam ser mais concorridos. Portanto,

se pretende concorrer, é bom garantir boas notas, participação em eventos, projetos de

extensão ou iniciação científica, entre outros diferenciais. Outras características também são

relevantes: espírito de iniciativa, responsabilidade, independência são atitudes que você

deverá demonstrar nos textos e nas entrevistas que forem solicitadas.

Passadas as etapas de seleção, é preciso manter o foco e a organização. Muitos papéis

ainda serão solicitados! Chega a hora de tirar o visto, é preciso desmistificar tal processo. No

caso de Portugal ele é demasiadamente simples e rápido. Com poucas exceções, todos os

colegas brasileiros que encontrei retiraram seus vistos sem grandes desafios. Visto na mão, é

hora de partir!

Terra a Vista: Descobrindo Portugal!

Para quem decidiu ir para Portugal um suspiro de tranquilidade pode ser dado. Dado o

processo de colonização português no Brasil, nossa língua é muito semelhante e nossa cultura

também apresenta traços em comum. Portanto não há um grande choque inicial. Passada uma

semana de adaptação ao sotaque português, você já poderá se sentir em casa.

Desbravar as cidades portuguesas é uma atividade simples e prazerosa. Todas são

razoavelmente pequenas. Prova disso é que Lisboa, a maior delas, possui apenas 500 mil

habitantes, pouco mais do que Bauru e muito menos do que São Paulo, por exemplo. A

estrutura de transporte público, em especial nas duas maiores cidades (Lisboa e Porto) é

excelente, facilitando muito a locomoção pela cidade. Portanto, ao escolher seu lugar para

morar não terá que se preocupar muito com a localização. Entretanto, habitar perto de uma

estação de metrô é uma boa vantagem.

Muitos dias você deverá entrar no metrô para se dirigir a uma das universidades de

Portugal. É delas que vamos falar na próxima sessão, mais especificamente da Universidade

de Lisboa, na qual o autor deste trabalho realizou seu intercâmbio.

Benvindo à Universidade de Lisboa!

A Universidade de Lisboa, uma das maiores e mais renomadas de Portugal ao lado da

Universidade de Coimbra (a mais antiga do país) e a Universidade do Porto (a melhor

classificada na maioria dos rankings). Na Universidade de Lisboa uma série de cursos são

oferecidos em todas as grandes áreas do conhecimento. Seu campus é único e todas suas



faculdades e institutos ficam reunidos no mesmo local. Essa diversidade de cursos é muito

interessante para quem vai fazer intercâmbio pois, dentro de algumas normas, o aluno em

intercâmbio poderá cursar disciplinas em qualquer uma das licenciaturas.

Aliás, esse é um vocabulário interessante de comentar. Todos os cursos de graduação

em Portugal, bem como nos demais países que acatam ao tratado de Bologna, são chamados

licenciaturas e, com raras exceções, têm três anos de duração. A licenciatura, ao contrário do

que ocorre no Brasil, por exemplo, não habilita a ser professor. Para lecionar, o aluno deverá

cursar um mestrado integrado (semelhante ao mestrado profissionalizante brasileiro) com

duração de dois anos.

Em termos de estrutura, a Universidade de Lisboa está muito bem “equipada”. Fornece

aos alunos quatro restaurantes universitários, bom número de vagas em residências

universitárias, estação de metrô e pontos de ônibus dentro do campus, diversos laboratórios e

bibliotecas, bem como boas salas de aula. A recepção dos alunos estrangeiros é realizada com

total atenção a todas as necessidades, oferecendo um suporte constante durante todo período

de intercâmbio.

Quanto ao corpo docente, figuram alguns grandes nomes da educação e educação

matemática, cujas obras são constantemente utilizadas por estudantes e pesquisadores

brasileiros, entre eles estão Prof. Dr. João Pedro da Ponte, Prof. Dr. António Roberto Nóvoa e

Prof. Dr. Domingos Fernandes. Cabe agora, detalhar um pouco mais das experiências vividas

no Instituto de Educação, onde o autor cursou a maioria das disciplinas do intercâmbio.

Benvindo ao Instituto de Educação!

O Instituto de Educação da Universidade de Lisboa está situado junto à Faculdade de

Psicologia e oferece os cursos de Mestrado e Doutorado em Educação, Mestrado Integrado

em Ensino de Matemática, Geografia, entre outros e a Licenciatura em Ciências da Educação.

Tais cursos oferecem, no caso dos mestrados, disciplinas bastante específicas de cada área de

ensino, sendo que o autor cursou a Didática da Matemática II no referido curso. Na

Licenciatura em Ciências da Educação encontram-se muitas disciplinas, sendo que o autor

cursou Formação de Professores, Teorias da Aprendizagem em e-learning e Avaliação I.

Todas as disciplinas cursadas apresentaram um conteúdo que o autor não teve (nem

teria) contato no curso de Licenciatura em Matemática. Embora essa ação implique a

necessidade de fazer mais disciplinas do curso nos semestres seguintes, a oportunidade de

aprender conteúdos diferenciados é um destaque na formação de qualquer graduando.

Além dos conteúdos, as aulas possibilitaram a ampla convivência com os alunos

portugueses ou de outros países, também em intercâmbio. Tal contato possibilitou a valiosa

troca de informações dos mais variados tipos: educação, ensino, cultura, valores, entre outros.

Além das aulas, o Instituto de Educação também organiza diversos eventos, de

pequeno a grande porte, durante todo o ano. Alguns têm inscrição gratuita. O autor desse

trabalho teve a oportunidade de participar de três desses eventos que contaram, inclusive, com

conferencistas de outros países.



Considerações finais: a hora de voltar

Em um levantamento informal com os alunos em intercâmbio em Portugal, em

especial os alunos brasileiros, que estão presentes em grande número, é unânime a satisfação

com a experiência adquirida com o intercâmbio. Saberes acadêmicos ou saberes sobre a vida,

experiências na Universidade e fora dela, um mundo novo, como relatado no início deste

trabalho.

Em um mundo globalizado não podemos nos afastar da oportunidade de conhecer de

perto outros países, outras realidades, outros professores e pesquisadores que, de uma forma

ou de outra, sempre nos influenciam no Brasil.

Mas o intercâmbio não acaba na hora que voltamos. Chegando no Brasil é preciso

compartilhar as experiências e saberes, gerando uma grande corrente que leve os

conhecimentos dos mais diversos lugares do mundo para os mais diferentes personagens de

nossa Universidade, nossa escola, enfim, dos locais em que vivemos.



AVALIAÇÕES EM LARGA ESCALA COMO INSTRUMENTO DE

AVALIAÇÃO DOCENTE: PRIMEIRAS APROXIMAÇÕES

Eduardo da Costa Luppi


Palavras-chave: Avaliação; avaliação docente; avaliação em larga escala.

Keywords: Assessment; teacher assessment; large-scale assessment.

Resumo

O presente artigo discute, em um momento de ascensão das Avaliações em Larga Escala, a

demanda brasileira por uma avaliação docente. Apresenta argumentos teóricos acerca da

validade de tal demanda, alertando sobre a deficitária avaliação docente realizada no Brasil.

Discute, portanto, as dificuldades que se impõe nesse modelo de avaliação em virtude das

características peculiares do trabalho docente, definido como um trabalho cognitivo e

interativo. Como produto, o texto alerta para a impossibilidade de assumir uma avaliação em

larga escala aplicada aos estudantes como meio principal de avaliar os docentes, através da

análise das críticas realizadas ao SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do

Estado de São Paulo). As discussões encaminham para a superação do quadro atual através

da proposta de uma avaliação docente que considere os diversos aspectos da formação e

atuação dos professores, por meio de diferentes meios de coleta de dados e, de forma

especial, em uma perspectiva formativa, que supere a mera prestação de contas.

Introdução e Objetivos

Avaliar os profissionais é uma demanda crescente em tempos de maximização da

produção. Mas, como inserir a lógica de avaliação do desempenho profissional na atividade

docente que, como destaca Tardif e Lessard (2008), se situa em um campo do trabalho

cognitivo e interativo, ou seja, sobre outros seres humanos. De fato, o trabalho material,

oferece menor complexidade de avaliação, uma vez que seus resultados são tangíveis

(TARDIF e LESSARD, 2008), enquanto os resultados do trabalho cognitivo são uma

produção simbólica e, de forma mais complexa ainda, o trabalho interativo lida com a

subjetividade do cliente, nesse caso, o aluno (TARDIF e LESSARD, 2008). Possivelmente,

essa complexidade seja o ponto inicial das discussões que têm se travado no cenário

educacional. Ora, é realmente preciso superar metodologicamente os desafios de avaliar um

trabalho com características tão particulares, combatendo que a lógica puramente

mercadológica domine tal processo. Tais discussões são necessárias e a postura de defesa, que

os professores têm assumido, é legítima. De fato, uma avaliação que não considere as

particularidades do trabalho docente torna-se e injusta e, portanto, questionável. Entretanto, a

postura de questionamento não pode tornar-se uma atitude de combate à avaliação que, como

argumenta Aguiar e Alves (2010), citando Fernandes (2009), apesar dos constrangimentos

que têm sido causados, não se é possível perder de vista que,



Nos últimos anos tem se constatado que ninguém defende que se mantenha o

silêncio e a ignorância acerca do trabalho das escolas e dos professores

(FERNANDES, 2009 apud Aguiar e Alves, 2010, p. 231).

O que surge, portanto, desse panorama? A emergência de estabelecer uma

metodologia adequada à avaliação docente, bem como seus objetivos. No presente trabalho

serão discutidos os fundamentos teóricos da referida área de avaliação, analisando um atual

programa que serve a esta finalidade, o SARESP, objetivando verificar quanto este atende, ou

não, a tais fundamentos necessários.

Desenvolvimento

Existe um modelo de avaliação docente ideal? Cantero, Deus e Paz (2002), advertem

que todas as metodologias utilizadas na avaliação docente são aceitáveis mas, como têm se

observado, o critério de referência dos alunos é o mais utilizado. Percebe-se que a opção por

tal critério provém de uma concepção de avaliação docente como atividade reguladora que, tal

como apresentada por Aguiar e Alves (2010), centra-se nos resultados; nos produtos. Deveras,

desconsidera o processo complexo de ensino e aprendizagem e atribui um juízo de valor ao

professor através do desempenho dos alunos em uma prova. Especialmente, se considerarmos

os aspectos da avaliação da aprendizagem, que também preservam sua subjetividade,

evidencia-se que tal modo de avaliar os docentes tem dois fatores de erro multiplicados, ou

seja, há o erro de acreditar na objetividade da prova ao medir o conhecimento do aluno e o

desprezo do processo de ensino-aprendizagem.

É certo, entretanto, que o resultado dos alunos deve ser levado em conta, como um

dos critérios, tal como propõe Marcelo (2009) ao abordar a avaliação do desenvolvimento

profissional docente:

La calidad en el desarrollo profesional docente se acredita tanto por su diseño, por

su desarrollo, como por el análisis de las consecuencias y repercusiones que el

desarrollo profesional tiene para la mejora de los aprendizajes de los propios

profesores, de los alumnos y de las escuelas donde estos aprenden. (MARCELO,

2009, p. 65)

Portanto, temos em vista um modelo que considera muitos outros aspectos

avaliativos e, portanto se torna capaz de capturar de forma mais eficaz sua completude.

Encaminhamo-nos, dessa forma, a uma concepção de avaliação como desenvolvimento que,

tal como proposto por Aguiar e Alves (2010), ocupa-se também de avaliar o processo e, dessa

maneira contribuir para o desenvolvimento contínuo dos professores. Essa análise nos faz

perceber que, assim como a avaliação somativa não nega a avaliação formativa, avaliar o

produto do trabalho do professor não nega avaliar seu processo.

Mas não tem sido assim no Brasil. Oficialmente, o país ainda não possui uma política

de avaliação de professores, mas é evidente que as avaliações em Larga Escala, cuja

responsabilização tem se incidido em grande parte nos docentes, caracteriza uma avaliação

indireta destes. Tomemos um dos casos: o SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento



Escolar do Estado de São Paulo). Tal sistema de avaliação é, atualmente, alvo de grandes

críticas por parte dos educadores e, inclusive da APEOESP (Sindicato dos Professores do

Ensino Oficial de São Paulo). A reclamação dos professores vem da política de bonificação

realizada a partir dos resultados dos alunos na prova. Em seu blog, a presidenta da

APEOPESP relata que

É pública a posição da APEOESP contra a forma como o SARESP é concebido e

aplicado, assim como é pública nossa discordância quanto à utilização do IDESP

para o cálculo do bônus aos professores (…) A forma como foi realizado não apenas

coloca em questão a credibilidade dos resultados, mas também significa um

inaceitável desperdício do dinheiro público, em nada contribuindo para a melhora da

qualidade do ensino. (NORONHA, 2010)

Ora, é evidente que, se há uma bonificação aos professores, mesmo que

indiretamente está se realizando uma avaliação, ainda que nos moldes mais questionáveis

possíveis. O que se pretende realçar é o fato de uma prova estar avaliando professores de

maneira quase informal. Deveras, como já apresentamos, a questão metodológica é urgente na

avaliação de professores e, incisivamente, as críticas se referem à utilização apenas dos

resultados dos alunos. Em suma, o sistema do SARESP, enquanto avaliação de professores

(ainda que extraoficial) apresenta características que já discutimos em outros momentos:

centralidade nos resultados e meritocracia, que assinalam uma avaliação puramente somativa.

Ora, tal constatação revela um contra-senso em relação a proposta oficial da referida

avaliação, que se apresenta como diagnóstica, ou seja, em um caráter formativo.

As consequências desse sistema são evidenciadas constantemente. Uma delas surge

do próprio SARESP que tem apresentado sempre resultados abaixo do esperado. Outra

consequência, que se tornou um escândalo noticiado pela mídia, se trata da fraude da prova

para garantia de bons resultados1. Em suma, o cenário que se caracteriza é a aplicação de uma

prova que não visa avaliar docentes, mas avalia os docentes e, dessa forma, não tem suporte

metodológico para tanto.

Considerações Finais

Tendo em conta a necessidade da avaliação de professores, procurou-se demonstrar

como a questão metodológica tem se caracterizado como um desafio a ser superado na

realidade brasileira, em especial no estado de São Paulo. Defende-se, portanto, a construção

de uma avaliação de professores devidamente estruturada e fundamentada, numa perspectiva

formativa e que, assegurada a metodologia coerente, seja justa e produza bons resultados.

1 Notícia disponível em http://www.dgabc.com.br/News/5958322/fraude-no-saresp-

emsorocaba-causa-revolta.aspx.



Referências Bibliográficas

TARDIF, M., LESSARD, C. O trabalho docente: elementos para uma teoria da docência

como profissão de interações humanas. Petrópolis: Vozes, 2008.

AGUIAR, J. L., ALVES, M. P. A avaliação do desempenho docente: tensões e desafios

nas escolas e nos professores. Lisboa: Edições Pedago, 2010.

CANTERO, J. M. M., DEUS, M. P. R., PAZ, E. A. Evaluacións docente vs. evaluación de

la calidad. Revista Eletrónica de Investigacións e Evaluacións Educativa. Volume 8, nº 2, p.

103 a 134, 2002.

MARCELO, C. La evaluacion del desarrollo profesional docente: de la cantidad a la

calidad . REVISTA BRASILEIRA DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES . Volume 1, nº 1,

p.43 a 70, 2009.

NORONHA, M. I. A. APEOPESP ingressará com ação judicial contra o SARESP. São

Paulo, 2010. Disponível em http://apeoesp.wordpress.com/2010/11/19/apeoesp-

ingressaracom-acao-judicial-contra-o-saresp/.



SOBRE A FORMALIZAÇÃO DE QUANTIFICADORES: DE ‘MUITOS’

PARA ‘QUASE TODOS’

Felipe Augusto Aureliano; Hércules de Araujo Feitosa


Palavras-chave, Keywords: lógica do muito; lógica do ultrafiltro; muitos; quase todos.

Resumo

O objetivo principal deste trabalho foi investigar de que maneira as noções de ‘muitos’ e

‘quase todos’ se relacionam. Ou seja, partindo da noção de ‘muitos’, por meio da

formalização matemática destas noções, o objetivo foi chegar até a noção de ‘quase todos’.

Em sua tese de Doutorado, Grácio (1999) apresentou uma formalização para inferências

indutivas através de uma família de extensões monotônicas da lógica de primeira ordem em

que cada instância é denominada lógica modulada, dentre as quais se destaca a lógica do

muito. Este sistema lógico estende a lógica clássica de primeira ordem através da

introdução, em sua linguagem, de um novo quantificador generalizado M, denominado

quantificador de muitos. A noção de ‘muitos’ é capturada pelo conceito matemático de

família própria fechada superiormente. A lógica do ultrafiltro, desenvolvida por Sette,

Carnielli e Veloso (1999), é um sistema lógico monotônico que surgiu com o intuito de

capturar formalmente as noções de ‘quase todos’ ou ‘quase sempre’, e estende a lógica

clássica de primeira ordem através da inclusão do quantificador generalizado ∇. Dado um

conjunto universo S, para verificar que subconjuntos de S são ‘quase tão grandes quanto’ S

recorre-se ao conceito matemático de família de conjuntos grandes, o qual remete à noção de

ultrafiltro. A expressão ‘quase tão grande quanto’ é uma interpretação conjuntista da noção

de ‘quase todos’.

Introdução

Neste trabalho, estudamos a lógica do muito e a lógica do ultrafiltro, introduzidas,

respectivamente, por Grácio (1999) e Sette, Carnielli e Veloso (1999). Ambos os sistemas

surgiram com o intuito de capturar formalmente as noções de ‘muitos’ e ‘quase todos’,

respectivamente. O objetivo principal foi entender de que maneira estas noções se relacionam.

Material e métodos

Para o desenvolvimento deste trabalho, fez-se necessário apenas o estudo de

referenciais teóricos e reuniões com o orientador.

Resultados e discussões

Definição 1: Seja S um conjunto não vazio. Uma família própria fechada superiormente

sobre S é uma coleção F de subconjuntos de S de maneira que, para todos X, Y S:



(i) X F e X Y Y F

(ii) F

(iii) S F.

Definição 2: Uma família de conjuntos grandes sobre um universo S é uma coleção F de

subconjuntos de S tal que para todos X, Y S:

(i) X F e X Y Y F

(ii) X F e Y F X ∩ Y F

(iii) X F ou XC F

(iv) Ø F

(v) S F.

Definição 3: Seja S um conjunto não vazio. Um filtro F sobre S é uma coleção não vazia de

subconjuntos de S que satisfaz as seguintes condições:

(i) X F e X Y Y F

(ii) X F e Y F X ∩ Y F.

Definição 4: Um ultrafiltro U sobre S é um filtro tal que:

(i) Ø F

e para cada X S:

(ii) ou X U ou XC U.

Seja F uma família própria fechada superiormente sobre um universo S e X, Y S.

Pela Definição 1, temos que F; S F; X F e X Y Y F. Agora, incluindo a

condição X F e Y F X ∩ Y F às anteriores, o conjunto F passa a ser um filtro,

segundo a Definição 3. Por fim, F torna-se um ultrafiltro através da adição da cláusula X

F ou XC F, de acordo com a Definição 4.

Sendo assim, partindo do conceito matemático de família própria fechada

superiormente, que captura a noção de ‘muitos’, chegamos ao conceito de ultrafiltro,

passando pelo conceito de filtro. No entanto, o conceito de ultrafiltro coincide com o conceito

matemático de família de conjuntos grandes utilizado para verificar que subconjuntos de um

conjunto universo S são ‘quase tão grandes quanto’ S. A expressão ‘quase tão grande quanto’

é uma interpretação conjuntista da noção de ‘quase todos’.



Conclusões

Portanto, de acordo com o que foi desenvolvido, podemos concluir que existe uma

conexão entre as noções de ‘muitos’ e ‘quase todos’ feita por meio da formalização

matemática destes quantificadores.


Grácio, M. C. C. Lógicas moduladas e raciocínio sob incerteza. Tese de Doutorado

(Doutorado em Lógica e Filosofia da Ciência) – Instituto de Filosofia e Ciências Humanas,

Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1999.

Jech, T., Hrbacek, K. Introduction to set theory. 3. ed. New York: Marcel Dekker, 1999.

Rodrigues, A. P. Sobre quantificadores: uma formalização do quantificador ‘quase sempre’.

Dissertação de Mestrado (Mestrado em Filosofia) – Faculdade de Filosofia e Ciências,

Universidade Estadual Paulista, Marília, 2011.

Sette, A. M., Carnielli, W. A., Veloso, P. An alternative view of default reasoning and its

logic. In: HAUESLER, E. H., PEREIRA, L. C. (Eds.) Pratica: Proofs, types and categories.

Rio de Janeiro: PUC, 1999. p. 127-158.



TABLEAUX PARA UMA FORMALIZAÇÃO DO QUANTIFICADOR

‘POUCOS’

Helen Gomes da Silva; Luiz Henrique da Cruz Silvestrini


Palavras-chave: lógica matemática não-clássica; método de tableaux semânticos.

Keywords: non-classical logic, semantic tableaux method.

Resumo

A utilização de métodos dedutivos alternativos ao axiomático tem sido de grande interesse

para a Teoria da Prova. Dentre estes métodos, destacamos o método de tableaux introduzido

por Smullyan em 1968. Os sistemas lógicos em tableaux têm sido bastante explorados na

literatura, sobretudo para as lógicas moduladas, que são obtidas a partir de lógicas de

primeira ordem clássicas com o acréscimo de um quantificador generalizado na sua

linguagem, regido por um conjunto específico de axiomas. Estes quantificadores

generalizados são denominados de quantificadores modulados e capturam, por exemplo,

noções de ‘muitos’, ‘a maioria’ e ‘quase em toda a parte’. Em 2011, Oliveira1 introduziu a

Lógica do Poucos, inspirado em uma dualização para uma lógica modulada que formaliza o

quantificador ‘muitos’ da linguagem natural. Neste trabalho, propomos comparar o método

axiomático com o método de tableaux analíticos e desenvolver uma lógica de primeira ordem

não-clássica, a saber, a Lógica do Pouco, em um sistema de tableaux analíticos.

Introdução

Atualmente, a Teoria da Prova constitui-se como um domínio de investigação

avançado da Lógica, e ainda, compreendida como demonstração automática de teoremas

consolida-se como uma profícua subárea da Teoria da Computação. O estudo das

propriedades estruturais de provas formais constitui o cerne da pesquisa relacionada à Teoria

da Prova, que por sua vez está relacionada com o conceito de decidibilidade desde os tempos

de David Hilbert (1862-1943).

Em 1935, Gerhard Gentzen2 introduziu os sistemas de provas que eram caracterizados

por admitir o princípio das subfórmulas. Além disso, a teoria da prova desenvolvida por

Gentzen consistia em demonstrar a validade de um argumento de uma maneira usualmente

mais rápida, apenas trabalhando com regras em métodos finitários. Esses sistemas de provas

são hoje conhecidos como Dedução Natural e Cálculo de Sequentes.

Estes trabalhos, de algum modo, inspiraram a criação de um novo método de dedução,

a saber, o método de tableaux, o qual também estabelece estruturas que permitem a

representação e a dedução formal de conhecimento. Um tableau é mais adequado para

implementações em computadores, pois este pode ser definido como uma árvore ordenada

diádica.



O termo tableaux analíticos3 foi introduzido por Raymond M. Smullyan em 1968.

Este método é uma variante dos tableaux semânticos de Evert Willem Beth (1959) que utiliza

o princípio de subfórmula, o qual diz que se uma fórmula tem uma demonstração, então ela

tem uma demonstração na qual ocorrem apenas subfórmulas da fórmula inicial. Além disso,

esta proposta pode ser considerada uma variante dos métodos de Hintikka, como destaca o

próprio Smullyan (1968, p. 15).

Smullyan ao introduzir o sistema de tableaux analíticos, buscou estabelecer as relações

deste com os métodos originais de Gentzen. Por exemplo, o que Z. Lis desenvolveu e

denominou por sistema de dedução natural, uma reestruturação a partir das formulações de

Gentzen, hoje poderíamos chamar de sistema de tableaux não-assinalados.

A base de todo sistema de tableaux está nas regras de expansão ou regras para a

construção dos tableaux, as quais permitem a análise das fórmulas de uma linguagem ℒ. A

noção de expansão é justamente expandir um ramo de um tableau. Empregamos a palavra

“ramo” para designar um caminho ou uma possibilidade de análise das fórmulas dadas.

Ademais, Smullyan (1968, p. 24) apresenta seu método como sendo uma árvore ordenada,

por isso a utilização do termo “ramo”. Neste trabalho, propomos pesquisar o método dedutivo

dos tableaux semânticos e compará-lo com o método axiomático (hilbertiano), explicitando

suas vantagens computacionais.

Material e Métodos

Trata-se de um trabalho teórico e a presente pesquisa visa reconhecer o método de

tableaux como um método alternativo ao axiomático, dessa maneira, utilizaremos o método

das árvores ordenadas diádicas para definir uma sequência de tableau.

Resultados e discussão

Neste trabalho, apresentamos uma investigação ao método dos tableaux semânticos

explicitando suas vantagens em relação ao método axiomático. Para este objetivo,

comparamos a construção de uma dedução em tableau com uma dedução axiomática

hilbertiana. A partir disso, apresentamos um sistema de tableaux semânticos de primeira-

ordem para a Lógica do Poucos.

Conclusões

Apresentamos a Lógica do Poucos em um sistema de tableaux. Além disso,

estabelecemos uma investigação ao método dos tableaux semânticos explicitando suas

vantagens em relação ao método axiomático, e ao definirmos um tableau como árvore

ordenada diádica, mostramos que este método torna-se mais adequado para implementações

em computadores.



Agradecimentos

Agradecemos à FAPESP pelo fomento de nossa pesquisa (Bolsa de Iniciação

Científica, processo FAPESP número 2012/10272-5).


[1] Oliveira, K. E. C. S. Uma lógica do poucos. Dissertação (Mestrado em Filosofia).

Faculdade de Filosofia e Ciências, Universidade Estadual Paulista, UNESP, Marília, 2011.

[2] Gentzen, G. Untersuchungen über das logische Schlieben. Mathematische Zeitschrift. v.

39. 1935.

[3] Smullyan, R. M. First-order logic. New York: Springer-Verlag/Dover Publication,

1968.



UM OLHAR PARA A FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE

MATEMÁTICA PAULISTAS

Juliana Aparecida Rissardi Finato, Ivete Maria Baraldi

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática; [email protected]

Palavras chaves: Modelos formativos; professor de matemática paulista; educação matemática.

Keywords: Formative models; professor of mathematics paulista; mathematics education.

Resumo

O presente trabalho tem por objetivo refletir e entender como se deu a formação do

professor de matemática paulista desde meados da década de 1940 até os dias atuais. Essa

busca se torna válida ao considerarmos que o primeiro curso de formação de professores do

Brasil deu-se apenas em 1934, sendo ministrado pela USP. Mesmo depois dessa

implantação, o número de faculdades era insuficiente para formar a demanda

necessária de professores para atender o número de alunos que se encontravam no ensino

secundário naquele período. Por meio de análise dos depoimentos que foram cedidos aos

pesquisadores do GHOEM em seus trabalhos de Iniciação Científica, Mestrado e Doutorado

foi possível verificar a existência de outros dois modelos de formação de professores: a

CADES e a Escola Normal. Verifica-se, dessa forma, que a faculdade não foi a responsável

pela formação de todo o quadro docente existentes no Estado de São Paulo. Assim sendo,

este trabalho busca fazer um estudo destes três modelos de formação.

Introdução

Neste trabalho, apresentamos um recorte da pesquisa de Iniciação Científica em

desenvolvimento, intitulada: “As dificuldades enfrentadas pelo professor de matemática

paulista: uma análise sobre a formação e atuação docente no Estado de São Paulo”, sob

financiamento de PIBIC/Reitoria. Trataremos dos modelos de formação pelos quais os

professores de matemática paulistas foram perpassados, buscando responder ao

questionamento: Como se deu a formação do professor de matemática paulista?

Objetivo

O objetivo principal deste estudo é refletir e entender como se deu a formação

do professor de matemática paulista desde meados da década de 1940 até os dias atuais.

Metodologia

Esta pesquisa de cunho qualitativo está sendo realizada através da leitura e análise

dos depoimentos de professores de matemática que foram cedidos aos pesquisadores do

GHOEM em seus trabalhos de Iniciação Científica, Mestrado e Doutorado. Tal análise ocorre

mailto:[email protected]



por meio de recortes dos depoimentos e posterior categorização segundo suas proximidades.

Qual a formação do professor de matemática paulista no início de sua atuação docente?

A faculdade não foi a responsável pela formação de todo o quadro docente de

matemática existente no Estado de São Paulo, principalmente se nos referirmos ao período

anterior a 1934: data da criação do primeiro curso de formação de professores de Matemática

do Brasil pela USP, tomado como modelo na criação de outras universidades brasileiras.

Apenas a partir de 1960 é que a formação de professores de matemática ganha força com a

criação de novas faculdades, mas sua atuação se concentra, ainda, nos grandes centros.

Diante da dificuldade em encontrar uma universidade que oferecesse o curso de

formação de professores, os docentes paulistas de matemática passam a buscar outros meios

para essa formação inicial: entram em cena a Escola Normal (Magistério) e a CADES.

Neste trabalho será realizado um pequeno estudo – devido a limitação de páginas –

do modelo proposto pela USP, CADES e Escola Normal, apresentando alguns recortes dos

depoimentos dos professores que surgiram como propulsores do estudo aqui proposto.

A formação universitária: a USP

Em 1934 é criada a USP (Universidade de São Paulo). Para que um estudante

pudesse lecionar no ensino secundário deveria, primeiramente, concluir o curso de

Matemática oferecido pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras e depois realizar o curso

de formação pedagógica no Instituto de Educação, ambos ministrados pela USP.

“Se você interrompesse no 3°ano seria Bacharel e teria o seu diploma. Se

estudasse mais um ano e fizesse as cadeiras de Didática Especial da Matemática, Psicologia

da Educação, Biologia Educacional, Administração Escolar então recebia o título de

Licenciado, e o seu diploma.” - Professora Maria Lúcia Martins Demar Perez.

Especificamente, o curso de Ciências Matemática, teria a duração de três anos e era

constituído pelo currículo base: Geometria (Projetiva e Analítica). Análise Matemática.

Cálculo Vetorial. Elementos de Geometria Infinitesimal. Física Geral e Experimental.

Mecânica Racional e Elementos de Mecânica Celeste. História das Matemáticas.

Já o curso de Didática, com duração de um ano, tinha como currículo base:

Biologia educacional aplicado ao adolescente. Psicologia educacional. Sociologia

educacional. Metodologia do ensino secundário. História e Filosofia da educação. Educação

secundária e comparada. Metodologia do ensino secundário.

É possível perceber a grande influência das disciplinas específicas sobre esse

currículo, enquanto que as disciplinas pedagógicas se baseiam em aspectos gerais da

educação. No entanto, a disciplina de Metodologia do Ensino Secundário era distribuída por

áreas.

Além disso, a existência de um curso pedagógico ministrado isoladamente



demonstra a ideologia da época: o importante era saber matemática, ficando em segundo

lugar a preocupação com a formação pedagógica do professor, ministrada em apenas um ano.

A formação emergencial: a CADES

Em um período em que as faculdades eram quase inexistentes no Brasil, a

Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário (CADES), instituída pelo

decreto 34.638 de 14/11/1953 durante o governo getulista, tinha como objetivo difundir e

elevar o nível do ensino secundário, bem como aumentar o acesso por parte dos jovens.

Uma das finalidades da CADES era a de promover cursos para a formação de

professores que se mostravam insuficientes diante da grande demanda de alunos existentes

em um período de democratização do ensino. Esses cursos tinham a duração de um mês

(janeiro ou julho) e tinham como finalidade suprir as deficiências conceituais e pedagógicas

dos professores nas disciplinas que iriam lecionar.

Eram três as disciplinas ministradas: Didática Geral, Didática Específica e Conteúdo

Específico, sendo um professor para cada uma delas. A Didática Geral era ministrada em um

anfiteatro para todos os cursos oferecidos pela Campanha. As disciplinas de Didática

Específica e Conteúdo Específico eram ministradas segundo o curso frequentado.

Ao final desse curso era necessária a aprovação no Exame de Suficiência (Lei

8.777 de 22/01/1946) que concedia aos professores aprovados o registro do ensino

secundário e o direito de lecionar em escolas em que não houvesse professores formados por

Faculdades de Filosofia. Com o surgimento de faculdades no interior dos estados

brasileiros ao final da

Exame de Suficiência perde sua validade em 1971 com a nova LDB (Lei

5.692/71).

“Na época, como não havia número suficiente de professores com curso superior, a

Secretaria de Educação autorizava a lecionar, dando um prazo para que fosse conseguido o

registro da CADES, que era a habilitação dada pelo MEC para lecionar até à quarta série

ginasial, nas cidades onde não houvesse faculdade. Era um curso de um mês, oito horas de

aulas por dia, de segunda-feira à sábado e, no final, eram feitas uma prova escrita e uma

prova oral. O conteúdo do curso era um pouco além de um segundo grau de hoje.” –

Professora Edith Lopes Tecedor – MARTINS-SALANDIM, 2007.

Verifica-se dessa forma, que o curso oferecido pela CADES tinha caráter de base:

ensinava-se um pouco de conteúdo específico e um pouco de conteúdo pedagógico, dado sua

característica aligeirada de formação do professor.

A formação primária: o curso normal

A primeira Escola Normal do Brasil foi instalada em Niterói em 1835 com a

duração de dois anos e em nível secundário. Com relação à estrutura “pedagógica” dessas

escolas, Nogaro (2002, p. 86) aponta que “a formação de professores nessas escolas era



assistemática, sem qualquer método e com preocupações maiores em relação à dedicação,

qualidades morais e aptidão, em detrimento dos conhecimentos especializados”.

A primeira reforma específica desse nível de ensino aconteceu apenas em 1946

através do Decreto-Lei 8.530 de 02/01/1946. Pelo decreto, o currículo ministrado pela Escola

Normal deveria ser composto por:

Primeira série: Português. Matemática. Física e química. Anatomia e fisiologia humanas.

Música e canto. Desenho e artes aplicadas. Educação física, recreação, e jogos.

Segunda série: Biologia educacional. Psicologia educacional. Higiene e educação sanitária.

Metodologia do ensino primário. Desenho e artes aplicadas. Música e canto. Educação física,

recreação e jogos.

Terceira série: Psicologia educacional. Sociologia educacional. História e filosofia da

educação. Higiene e puericultura. Metodologia do ensino primário. Desenho e artes

aplicadas. Música e canto. Prática do ensino. Educação física, recreação e jogos.

Mesmo sem uma grande carga de disciplinas específicas, muitos professores

normalistas ficaram responsáveis por lecionar em escolas secundárias, dado a insuficiência

de professores existentes no período.

“Um dia (...) bate na minha porta a diretora (...) Eu lhe disse que não podia

lecionar, que não havia cursado uma Faculdade, que tinha feito apenas o Curso Normal,

mas ela insistia dizendo que como eu havia estudado em São Paulo, eu devia saber

bastante” - Denise Boldrini Molliet

Apesar da baixa carga de conhecimentos específicos ministrados pela Escola

Normal, os depoentes não relatam dificuldades em lecionar no ensino secundário. Há de se

questionar: a formação da Escola Normal era de boa qualidade ou os professores não se

sentiam bem em dizer que lecionavam com dificuldades por deficiência de conteúdos?

Considerações finais

A Faculdade não foi a responsável pela formação de todo o quadro docente de

matemática do Estado de São Paulo. A importância da formação em nível superior é

ainda menos sentida nas cidades interioranas em que sua implantação se deu apenas

depois da década de 1960. Quando voltamos nosso olhar para a totalidade de depoimentos

analisados (49) é possível perceber que a participação das Faculdades de Filosofia até

meados da década de 1960 ocorreu apenas nas grandes cidades. Aos professores do interior

restaram como possibilidades para a formação docente a Escola Normal e a CADES.

Ainda, olhando para o currículo base de cada instituição estudada, é possível

perceber uma dicotomia entre eles: a formação proposta pela USP baseia-se no ensino de

conhecimentos específicos; a CADES era um curso emergencial e, portanto, tinha como

característica apresentar uma base mínima de conhecimentos específicos e pedagógicos; e a



Escola Normal não tinha preocupação com os conhecimentos específicos, abordando

questões sobre a criança, a psicologia e pouco sobre metodologia de ensino de matemática,

por exemplo.

Olhando para esses modelos, seria possível elencar algum como “o melhor curso de

formação de professores”? Será que esses modelos se assemelham ao que temos vivenciado,

hoje, nos cursos de Licenciatura em Matemática ministrados no Estado de São Paulo? Deixo

em aberto essas questões e espero poder respondê-las em breve, com novas pesquisas.

Referências

NOGARO, Arnaldo. Teoria e Saberes Docentes: a formação de professores na Escola

Normal e no Curso de Pedagogia. Erechim: EdiFAPES, 2002.



RESULTADOS NUMÉRICOS DE UM MÉTODO PRIMAL-DUAL DE

PONTOS INTERIORES APLICADO EM UM PROBLEMA DE

PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR

Ricardo Bento Nogueira Pinheiro; Antonio Roberto Balbo

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de engenharia, Mestrado em Engenharia Elétrica, [email protected]

Palavras-chave: Função barreira modificada; método de ponto interior; Levenberg-Marquardt;

convergência global.

Resumo

O trabalho visa a investigação e implementação do método previsor primal-dual de pontos

interiores barreira logarítmica modificada com estratégia de convergência global. O método

é aplicado a um problema de otimização não-linear, não-convexo, com restrições de

igualdade e de desigualdade, com variável canalizada, em que tanto a função objetivo quanto

às restrições são de classe 2C . Apresentamos a solução ótima do problema e um esquema

gráfico que ilustra como o método evoluiu em cada iteração até a obtenção do ponto ótimo.

Introdução

Em várias áreas do conhecimento tais como, matemática, engenharia, física, entre

outras, são encontrados problemas que podem ser modelados em otimização não-linear. Esses

problemas em geral, possuem resolução complexas devido à sua não-linearidade, não-

convexidade e quantidade de variáveis. Uma maneira de tratarmos tais problemas consiste na

utilização de métodos de pontos interiores variantes da função barreira logarítmica

modificada, que foi proposta por Polyack (1992). Uma das principais vantagens desse método

está na possibilidade de obter um ponto ótimo na fronteira do problema, devido à relaxação

das restrições de desigualdade pelo parâmetro de barreira. Nesse método o parâmetro de

barreira não necessariamente tende a zero e o condicionamento da matriz hessiana do

problema primal-dual é fortemente melhorado. Shanno e Vanderbei (2000) apresentaram um

algoritmo de pontos interiores para otimização não-linear e não-convexa que faz uma

perturbação na matriz hessiana da função lagrangiana, caso esta não seja definida positiva.

Baseado nesta estratégia, os mesmos autores utilizaram um variante do algoritmo previsor-

corretor de Mehrotra (1992) para melhorar o desempenho do método. Baseando-se nestes

autores e também em Lustig (1995), neste trabalho, investigamos e implementamos um

método previsor primal-dual de pontos interiores com barreira logarítmica modificada e

estratégia de convergência global. O método é aplicado a um problema de otimização não-

linear, não-convexo, com restrições de igualdade e de desigualdade, com variável canalizada e

os resultados obtidos são apresentados.

mailto:[email protected]



Método previsor primal-dual de pontos interiores barreira logarítmica modificada

Para a definição do método previsor barreira logarítmica modificada consideramos o

seguinte modelo geral de otimização não-linear com restrições de desigualdades canalizadas e

variáveis canalizadas:

:

Minimizar f

sujeito a

1 2

1 2

x

g x = 0

u h x u

l x l

(0.1)

onde nx ; : n mg x e : n rh x são funções de classe 2C .

Transformamos o problema (0.1) num problema irrestrito equivalente definido a

seguir:

1 2 3 4

1 1

2 1 1 2 2 3 1 4

1

1 2 3

1

4

1 2 3 5

1

4

ln ln ln lnr n

i i jji i j ji j

m r n

t i it i i i i i j j j j j ji j jt i j

L f z z z z

g h u z h u z x l z x l z

1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4x,z ,z ,z ,z ,λ ,λ ,λ ,λ ,λ ,δ ,δ ,δ ,δ x

x x x

(0.2)

em que (0.2) é a Função Lagrangiana Barreira Logarítmica Modificada (FLBLM);

1δ e r2δ , 3δ e n4δ , são vetores estimadores dos multiplicadores de Lagrange referente às

restrições de desigualdade; m1λ , é o vetor multiplicador de Lagrange referente às

restrições de igualdade; 2λ e r3λ , 4λ e n5λ , são multiplicadores de Lagrange referente às

restrições de desigualdade; 1

1 11z z , 1

2 21z z , 1

3 31z z e 1

4 41z z , em que 1z e

r2z , 3z e n4z , são variáveis de excesso. Sobre a equação (0.2) aplicamos as condições

necessárias de otimalidade de KKT, ou seja,

, 0L L 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5x,z ,z ,z ,z ,δ ,δ ,δ ,δ λ ,λ ,λ ,λ ,λ ω , tal que , 7 6p p n r m ω

gerando, assim, um sistema não-linear a ser resolvido. Fazendo-se a aproximação de Taylor

de primeira ordem sobre cada equação não-linear do L , considerando-se os resíduos

relativos às condições de viabilidades primal e dual, das folgas complementares, e

desprezando os termos de segunda ordem das direções primais e duais obtemos, segundo a

estratégia do tipo previsor, um sistema linear cujas incógnitas são as direções duais e primais,

que inclui as direções dos estimadores dos multiplicadores de Lagrange. Ao serem

determinadas as direções de translação numa iteração k , essas equações são bem definidas e

expressas por: 1

1

kT

k k k k kλ 1

kkg x g x g x m r-p td (0.3) , esta equação é a

primeira a ser determinada, pois todos os dados que a compõe são conhecidos;

1

Tkk

xkk k

λk

md dr g xp (0.4).

Uma vez que 1

k

λd e k

xd foram determinadas, as demais direções são calculadas e

expressas por: 1 xz

kk kk2h x + tdd (0.5);

2

k kxz

k3

kh x tdd (0.6); 4

3

kkz

kxdd t= - (0.7);



4

kxz

k5

k= dd t (0.8), são as direções associadas às variáveis de excesso;

1

1,2,3,4k

i

i

kk

k +1i

+1

i

kδ

i

δd

z

z; (0.9). A direção definida em (0.9) é decorrente da fórmula de

Polyak (1992) para a atualização dos estimadores dos multiplicadores de Lagrange.

Finalmente, atualizamos as demais direções duais:

1

1

2k kZ

2 1 1

k k1 δ

kλ

kz

k2d d δ d - λ (0.10); 2 2

1

3k kZ 23

k k2 δ

kλ

kz

k3dd δ d - λ (0.11);

3 3

1

4k kZ 34

k k3 δ

kλ

kz

k4dd δ d - λ (0.12) e 4 4

1

5k kZ 45

k k4 δ

kλ

kz

k5dd δ d - λ (0.13). Onde

n m T

g x e n r T

h x , são respectivamente as matrizes jacobianas dos funcionais

g x e h x ; 1 1Z diag z ; 2 2Z diag z , 3 3Z diag z e 4 4Z diag z ;

2 2diag , 3 3diag , 4 4diag e 5 5diag ;

kk1t = -g x ;

1 2k2

k k= h x + z - ut ,

2

k3

k1

k= -h x + z + ut ,

3

k4

k k2= x + z - lt ,

4 1k5

k k= -x + z + lt , são os

vetores residuais da viabilidade primal; f 4

T Tk k k k k k k k k

1 2 3 5m x - g x λ + h x λ λ +λ - λ ,

são os vetores residuais da viabilidade dual;

2 3 41 2 3 4

1 1 1 1

k k k kZ Z Z Z

1

Tkk k k k k

δ δ δ δr d d d dh x (0.14) é o vetor residual associado às direções

dos estimadores dos multiplicadores de Lagrange;

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5k k k k k k k kk k k kZ Z Z Z Z Z Z Z

T Tk k k k k k k k k k

2 3 2k k k

3 4k

1 25 5 3 4k

4h x λ λ t t λ - λ t t h x δ δ δp δ ,

vetor residual associado à viabilidade primal e aos estimadores dos multiplicadores de

Lagrange. A parcela vetorial que pertence ao n dada por:

1 2 3 4

1 1 1 1

2 3 4 5k k k kk k k kf Z Z Z Z

kT T

k k k k k k k

2 3 4

kk k

5

k

11rm t t tx - g x λ hφ tp x é o vetor custo

relativo dual com direção de centragem. Essa direção ou força de centragem é responsável

por garantir uma solução qualquer do problema estar dentro da fronteira relaxada e não

permitir que essa condição seja violada;

3 4

1 1 1 11 2 2 21 21 3 2 2 3 4 5

1 1

k k k kk k k k

m rk k k

t it i

t i

f g h Z Z Z Z

Tk k k k k

x x x h x h x

é a matriz que irá determinar se a direção definida a partir de um ponto kω será de

minimização ou de maximização. Pode-se provar que a matriz 1 n n é simétrica e será

definida positiva se for possível realizar a decomposição de Cholesky em um ponto kω . Caso

isso não ocorra, baseando-se na proposta de Shanno e Vanderbei (2000), para transformar a

matriz 1 em definida positiva, consiste na aplicação de uma perturbação sobre essa matriz

da seguinte forma: 1 I ; onde é um escalar positivo denominado parâmetro de

damping e I é a matriz Identidade. Uma discussão de como atualizar , baseada na estratégia

de Levenberg-Marquardt, pode ser encontrada em Bazarra (2006). Com essa estratégia, o

método torna-se globalmente convergente. O parâmetro de barreira é atualizado segundo a

regra de Melman e Polyak (1996), que é dada por:



1 1 kk k

(0.15)

onde 1 2 3 4

max max ,max ,max ,max ; 1, , ; 1, ,k k k kk

k k k ki i j j

i r j nz z z z

e é

o número de restrições de desigualdade, igual a 2 2r n . Note que por causa da equação (0.9)

e (0.14) usa-se dois parâmetros de barreira numa mesma iteração k . Neste trabalho,

chamamos de apenas o parâmetro de barreira correspondente à iteração corrente e de

1 correspondente ao parâmetro de barreira referente à iteração 1k , na iteração k .

Atualiza-se o vetor k+1 k kωω =ω +d , em que k

ωd é definido por:

4 43

, , , , , , , , , , , , ,T

p p p p p del del del del d d d d d 1 2 31 51 2 432

k kk k k kz z z

k k k k kλ λ λ λ λ

k kδ δ δ δzxω

kkd d dd d d d ddd ddd d d

(0.16)

onde os escalares p ,del e

d , são os passos utilizados na atualização das variáveis primais,

duais dos estimadores e duais, respectivamente.

Utilizamos o critério de cálculo proposto por Granville (1994), para atualização

desses passos, o passo primal é determinado pelo menor valor entre as componentes das

variáveis de excesso e 1. Com isso, garantimos que as variáveis primais obedeçam a seus

limites na solução. O cálculo é dada por:

1 1 2 2 4 43 3

3 41 2

0 e 0 0 e 0 0 e 00 e 01 2 3 4

1,...,min min , min , min , min ,1

1,...,i i i i j jj j

j ji ip

z dz z dz z dzz dzi i j j

z zz z i r

j ndz dz dz dz

(0.17)

Analogamente, temos:

1 1 2 2 4 43 3

3 41 2

0 e 0 0 e 0 0 e 00 e 01 2 3 4



j ji idel

d d ddi i j j

i r

j nd d d d

(0.18)

E, finalmente:

1 1 2 2 4 43 3

3 41 2

0 e 0 0 e 0 0 e 00 e 01 2 3 4



j ji id

d d ddi i j j

i r

j nd d d d

(0.19)

O critério de parada do método é a verificação de viabilidades primal e dual e das

folgas complementares relativas as equações de KKT definidas sobre 0L ω

Aplicação e resultados

Considere o problema não-linear e não-convexo abaixo, o qual é resolvido com o

método apresentado, a partir de um ponto inicial 0

ω e que foi executado com a ajuda do

software Matlab 6.1.

1 2

2 1 1

21 2

1 2

1

2

3 1.2 0

0 2

: 1 0.1cos 5 1.5

2 2

0 2

Minimizar sen x x

x x sen x

x x

sujeito a x x

x

x

(0.20)



com 0.5;1.5T

0x , 1, ,1

T 0 0

1 2δ δ , 1, ,1T

0 0

3 4δ δ , 0 10 ,01 9 , 0 0.001 , com

precisão 510 . O método convergiu após 23 interações. As soluções *x , *

z , *δ e *

λ são dadas

respectivamente por: 1.38404319012097

0

0.61595680987903

-0.93942320200802 0.50000000000000,

1.49847276234183 2.93942320200802

0.50152723765817

1.06057679799198

1.49847276234183

0.00000000000000

0.04061470424005

0.00000000000000

0.00000000000000,

0.00000000000000

0.00000000000000

0.00000000000000

0.00000000000000

0.11195604044409

-0.00000000000000

-0.04048477008863

-0.00000000000000

e -0.00000000000000

-0.00000000000000

-0.00000000000000

-0.00000000000000

-0.00000000000000

;

com a f *x e L *

ω avaliadas em -0.98672926361785 e -0.98672926361401,

respectivamente; * 0.00247934220749 , *

1 0.00160043365226 e 0.70170910604845 e

sua precisão é na ordem de 65.530533520120562 10 . Na figura 1, observamos que: a curva

em azul é a restrição de igualdade; em preto, a região determinada pelas restrições

desigualdades; a curva em vermelho representa a curva de nível da f nos mínimos absolutos;

o ponto em preto é a solução inicial 0x , que encontra-se próximo a um máximo local do

problema; os pontos em laranja representam a trajetória dos pontos kx em direção ao *

x , o

qual é representado pelo ponto em vermelho.

Figura 1: Resultados do Método Previsor Primal-Dual Barreira Logarítmica Modificada com Convergência

Global

Conclusões

Neste trabalho foi apresentado um método previsor primal-dual de pontos interiores

com barreira logarítmica modificada e estratégia de convergência global. Esse foi aplicado em

um problema-teste, cuja função objetivo e o conjunto de restrições são não-lineares e não-

convexas, em que verificamos a sua eficiência. Em trabalhos futuros, pretendemos aplicar

uma estratégia do tipo corretor, que complementa o passo previsor, e, junto a esse método,

uma proposta de extrapolação para eventuais violações dos termos logarítmicos. Esse método

deverá ser aplicado a um dos problemas de Engenharia Elétrica que é de Fluxo de Potência

Ótimo (FPO).

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