MARCELO HENRIQUE DE ARAUJO

EXPLORANDO MEDIATRIZES, MEDIANAS, BARICENTRO E

CIRCUNCENTRO, UTILIZANDO DOBRADURAS: UMA PROPOSTA

DE ENSINO.

ASSIS – SP

2013

MARCELO HENRIQUE DE ARAUJO

EXPLORANDO MEDIATRIZES, MEDIANAS, BARICENTRO E

CIRCUNCENTRO, UTILIZANDO DOBRADURAS: UMA

PROPOSTA DE ENSINO.

Trabalho apresentado ao Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis – IMESA, como requisito de conclusão do curso de Licenciatura Plena em Matemática.

Orientadora: Profª. Ms. Leonor Farcic Fic Menk

Área de Concentração: Ensino de Matemática

ASSIS - SP

2013

FICHA CATALOGRÁFICA

ARAUJO, Marcelo Henrique de Explorando Mediatrizes, Medianas, Baricentro e Circuncentro, Utilizando Dobraduras: Uma Proposta de Ensino / Marcelo Henrique de Araujo Fundação Educacional do Município de Assis – FEMA – Assis, 2013. 46p. Orientadora: Leonor Farcic Fic Menk Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis - IMESA. 1.Mediatriz. 2. Mediana. 3. Baricentro. 4. Circuncentro. 5.Dobraduras. CDD: 510 Biblioteca da FEMA

EXPLORANDO MEDIATRIZES, MEDIANAS, BARICENTRO E

CIRCUNCENTRO, UTILIZANDO DOBRADURAS: UMA

PROPOSTA DE ENSINO.

MARCELO HENRIQUE DE ARAUJO

Trabalho apresentado ao Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis – IMESA, como requisito de conclusão do curso de Licenciatura Plena em Matemática, analisado pela seguinte comissão examinadora:

Orientadora: Profª. Ms. Leonor Farcic Fic Menk.

Analisador: Profª Ms. Sarah Rabelo de Souza.

ASSIS - SP

2013

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, por ter dado essa oportunidade, me proporcionando

sabedoria e saúde, estando ao meu lado em todos os momentos, permitindo que

eu alcance meus objetivos.

A meus pais Joaquim Henrique de Araujo (In Memória) e Maria Aparecida de

Lima Araujo, que me deram a vida, ensinamentos, educação, tudo o que uma

pessoa necessita para seguir uma vida digna.

A professora e orientadora Leonor Farcic Fic Menk, pessoa que se dedicou como

nunca e graças a ela consegui terminar esse trabalho, graças ao apoio recebido

do início ao fim, me proporcionando suporte inexplicável. Agradeço muito de

coração. Estendo também ao seu marido Sr Lucas Rogério Menk.

A professora Sarah Rabelo de Souza, a qual participou de minha banca

examinadora, oferecendo força e incentivo.

A minha esposa Silvana Cristina Marcelino de Araujo, pela dedicação,

companheirismo e compreensão, não me deixando desanimar.

Aos meus irmãos, Marcia Donizete de Araujo Cicconi e Marcos Francisco de

Araujo, pelo suporte que deram, me fortalecendo nos momentos de dificuldade.

Aos filhos James Henrique de Araujo, Victor Hugo de Araujo e o Lucas Henrique

de Araujo, por esses anos que passaram, terem compreendido minha ausência

no momento em que me dedicava aos estudos.

Meus amigos de turma, Ediney, Arlindo, Márcio, Polyana, Kelen e Aline, que me

auxiliaram quando perdi aula, tirando as dúvidas e explicando o conteúdo.

Agradeço também a todos os professores da faculdade, principalmente o, José

C. Cavassini, Cleiton J. B. Lattari, Fernando G. Brito, Ébano B. de Oliveira,

Sandra R. Gregório Oliveira e Laudo C. Santos, proporcionando essa nova etapa

de minha vida, pois devido suas dedicações consegui aprender o que não sabia.

Terão meus eternos agradecimentos.

A todos familiares e amigos que me ajudaram de algum modo.

“O que sabemos é uma gota e o que ignoramos é um oceano”

Isaac Newton

RESUMO

Este trabalho foi desenvolvido com o objetivo de sugerir formas e maneiras

diferentes de ensinar e aprender matemática. Mais especificamente,

empregando uma metodologia diferenciada das convencionais, para que alunos

do ensino fundamental pudessem agir de um modo mais dinâmico e que

julgamos mais eficaz. Utilizando dobraduras em triângulos de papel, foi proposta

a exploração do conteúdo de mediatrizes, medianas e pontos de intersecção:

circuncentro e baricentro de um triângulo. Partindo dessa idéia os alunos tiveram

a oportunidade de, visualizando e explorando materiais manipuláveis, formar

suas próprias idéias e conclusões. Com os resultados obtidos das analises

realizadas verificamos que o trabalho produziu resultados positivos.

Palavras Chaves: Mediatriz, Mediana, Circuncentro, Baricentro, Dobraduras.

ABSTRACT

This work aims to suggest different ways to teaching and learning mathematics.

It was used a differentiated approach that the students of the elementary school

might learn in a more dynamic and effective way. To explore the content of the

bisector, median and intersection point, that is, circumcenter and barycenter, it

was built paper folding triangles. Thereby, the students had the opportunity to

visualizing and exploring manipulable material and form their own ideas and

conclusions. The results of the analyses confirm that this work achieved its goals.

Key words: Bisector, Median, Circumcenter, Barycenter, Folds.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Representação de um triângulo.................................................... 13

Figura 2 - Triângulos classificados de acordo com as medidas dos lados.... 14

Figura 3 - Triângulos classificados de acordo com as medidas dos

ângulos........................................................................................................

14

Figura 4 -Triângulo apresentando as medianas e o ponto de intersecção

das mesmas.................................................................................................

15

Figura 5 -Triângulo apresentando as mediatrizes e o ponto de intersecção

das mesmas.................................................................................................

15

Figura 6 - Triângulo a ser recortado............................................................. 20

Figura 7 – Figura obtida após a dobradura determinando o ponto D.......... 20

Figura 8 - Figura obtida após B e C, coincidirem com o ponto D................ 21

Figura 9 - Revisando alguns conceitos........................................................ 25

Figura 10 - Aluno recortando os triângulos recebidos................................ 26

Figura 11 - Alunos recebendo orientações.................................................. 26

Figura 12 - Alunos encontrando as mediatrizes e o circuncentro................ 27

Figura 13 - Alunos encontrando os pontos médios, as medianas e o

baricentro.....................................................................................................

27

Figura 14 - Gráfico mostrando quantidade de alunos que gostam ou não

de estudar Matemática................................................................................

29

Figura 15 - Gráfico mostrando quantidade de alunos que tem sugestões

ou não de como gostariam que fossem suas aulas de Matemática............

30

Figura 16 - Número de acertos e erros nas questões do Pré-Teste........... 33

Figura 17 - Número de acertos e erros nas questões do Pós-Teste........... 34

Figura 18 - Comparando os resultados do Pré-Teste e do Pós-Teste........ 34

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO............................................................................................. 11

CAPÍTULO 1 - REVISÃO DA LITERATURA............................................... 13

1.1 CONCEITUANDO OS OBJETOS DE PESQUISA................................ 13

1.2 O ENSINO DA GEOMETRIA NOS ÚLTIMOS 60 ANOS....................... 16

1.3 TRABALHOS QUE ABORDAM O ASSUNTO ESTUDADO................... 19

CAPÍTULO 2 - DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO............................. 24

2.1 ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES E ESCOLHA DO PÚBLICO ALVO 24

2.2 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES............................................................ 24

CAPÍTULO 3 – ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS......................... 29

3.1 PRÉ-TESTE (APÊNDICE I).................................................................... 29

3.2 PÓS-TESTE (APÊNDICE II).................................................................. 30

3.3 PRÉ-TESTE e PÓS-TESTE (APÊNDICES I e II)........................... 31

CAPÍTULO 4 – CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................ 35

4.1 – SOBRE A PESQUISA.......................................................................... 35

4.2. SUGESTÃO DE NOVOS TRABALHOS................................................ 37

REFERÊNCIAS........................................................................................... 38

APÊNDICE I................................................................................................. 40

APÊNDICE II................................................................................................ 42

APÊNDICE III............................................................................................... 44

11

INTRODUÇÃO

Não é difícil se ouvir comentários do tipo: “A disciplina mais difícil de aprender é

a Matemática”, ou “Estudar Álgebra é mais fácil que Geometria”; entre outras

citações que revelam a dificuldade que os alunos encontram em conceitos

matemáticos, principalmente os que abordam a geometria.

É público e notório as dificuldades que o professor enfrenta para preparar suas

aulas de modo a torná-las mais atraentes e produtivas.

Na tentativa de se minimizar essas dificuldades, várias propostas têm sido

apresentadas: a utilização de materiais concretos e/ou manipuláveis, o uso de

softwares educacionais, jogos, origamis, etc.

Considerando, ainda, que existem professores que trabalham em escolas que

muitas vezes, não tem nem carteira em número suficiente para acomodar todos

os alunos, é fácil supor que a escolha de materiais baratos e que permitam uma

confecção simples, porém criativa, possa ser uma alternativa viável.

Avaliando essa situação, apresentamos uma forma de trabalhar conteúdos

geométricos de uma maneira recreativa. Partindo de atividades com dobraduras

de papel, a intenção é procurar facilitar a aprendizagem dos conceitos

relacionados ao estudo de triângulos e algumas de suas propriedades, com

destaque para as mediatrizes dos lados e as medianas, além dos seus pontos

de intersecção (o circuncentro e o baricentro).

Dessa forma, nos propomos investigar: “Quais contribuições podem ser

observadas, nos processos de ensino e de aprendizagem, quando se utilizam

dobraduras de papel ao se explorar mediatrizes, medianas, circuncentro e

baricentro de um triângulo?”

Acreditamos que as atividades com dobraduras possam criar situações que

permitam aos alunos compreender e discutir melhor esse conteúdo, contribuindo

para obter suas próprias conclusões, além de despertar um maior interesse em

relação a geometria como um todo.

Para o desenvolvimento dessa proposta na qual buscamos verificar se os

procedimentos utilizados permitiriam uma melhor compreensão do conteúdo

12

trabalhado, contamos com a participação de alunos do Ensino Fundamental da

rede pública da cidade de Assis - São Paulo.

No sentido de apresentar o trabalho desenvolvido, o texto está dividido em quatro

capítulos, além da introdução.

O primeiro capítulo descreve a revisão da literatura, o segundo a proposta de

desenvolvimento da pesquisa, o terceiro os dados obtidos e analise dos mesmos

e finalmente o quarto e último capítulo apresenta as conclusões finais.

13

CAPÍTULO 1 - REVISÃO DA LITERATURA

Nesse capítulo são apresentados os resultados obtidos no levantamento

bibliográfico.

1.1 CONCEITUANDO OS OBJETOS DE PESQUISA.

No sentido de melhor detalhar os conceitos que serão explorados nessa

pesquisa optamos por definir os mesmos.

Entre os vários livros que tratam do assunto, escolhemos o volume nove da

coleção Fundamentos da Matemática Elementar (Dolce-1993), que aborda a

geometria plana. Tomando como referência esse material apresentamos as

seguintes definições:

Triângulo: figura plana formada por três pontos que não pertencem a uma

mesma reta e pelos três segmentos determinados por estes pontos.

Fig1.1 -Representação de um triângulo

Na figura acima, os pontos A, B e C, são denominados vértices; os segmentos

AB , BC e CA , lados e os ângulos A, B e C, ângulos internos do triângulo.

Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas dos lados ou

com as medidas dos ângulos internos.

Em relação aos lados temos: um triângulo é chamado isósceles quando possui

dois lados congruentes, equilátero quando possui os três lados congruentes e

escaleno quando tem dois lados quaisquer não congruentes.

1 -As figuras foram construídas utilizando o software Cabri-Géomètre II

14

Fig. 2- Triângulos classificados de acordo com as medidas dos lados

Em relação aos ângulos internos temos: um triângulo ABC, é chamado

retângulo quando possui um ângulo reto (90º), acutângulo quando possui os

três ângulos agudos (menor que 90º) e obtusângulo quando possui um ângulo

(maior que 90º).

Fig. 3- Triângulos classificados de acordo com as medidas dos ângulos

Para qualquer triângulo podemos definir os seguintes elementos: mediatrizes

dos lados, medianas, bissetrizes e alturas relativas aos lados do triângulo, sendo

que as três últimas são chamadas de cevianas do triângulo.

Porém, considerando que nossa pesquisa trata especificamente das medianas

e das mediatrizes, detalharemos apenas esses dois conceitos.

1- Mediana: Dado um triângulo ABC, e um ponto D tal que D é ponto médio de

BC , o segmento AD , chama-se mediana do triângulo relativa ao lado BC.

Analogamente definimos as medianas relativas aos demais lados.

15

Fig.4 - Triângulo apresentando as medianas e o ponto de intersecção das

mesmas

O ponto de intersecção das medianas recebe o nome de baricentro e divide

cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro

da outra.

2- Mediatriz: Dado um triângulo ABC, chama-se mediatriz de um lado do

triângulo, a reta perpendicular que passa pelo ponto médio desse lado.

Considerando que um triângulo tem três lados, podemos traçar três mediatrizes.

O ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo é chamado

de circuncentro e está a igual distância dos vértices do triângulo.

Fig. 5 - Triângulo apresentando as mediatrizes e o ponto de intersecção das

mesmas

Os dois conceitos, talvez, pelo fato de ambos estarem relacionados ao ponto

médio de um lado do triângulo, costumam ser confundidos com muita freqüência.

Esse foi um dos motivos pelo qual eles foram escolhidos como objetos de

pesquisa.

16

1.2 O ENSINO DA GEOMETRIA NOS ÚLTIMOS 60 ANOS

Considerando que acreditamos que os alunos aprendem por meio de diferentes

técnicas, ponderamos que cabe ao professor a responsabilidade de selecionar

atividades que melhor se adaptem aos estudantes, de modo a aumentar a

eficiência dos procedimentos de ensino e de aprendizagem.

Em relação a geometria, nos parece que as dificuldades, não são privilégios dos

alunos, mas atingem também os professores.

Julgamos que uma das ocorrências que contribuiu para essa situação é o

abandono ao qual a geometria foi relegada nos últimos anos.

Segundo Pavanello (1993) o desenvolvimento econômico ocorrido no final das

décadas de 50 e início das de 60, do século XX, influenciaram até mesmo as

diretrizes que norteavam o ensino das diferentes disciplinas, sendo discutido nos

anos 90.

Um estudo do Conselho Federal de Educação, de 1963, sobre o ensino de Matemática no curso secundário2, tendo em vista a lei 4024/61 das Diretrizes e Bases da Educação Nacional, considera que ele “será, nas

três primeiras séries, fundamentalmente de natureza instrumental”, propiciando aos educandos os “conhecimentos de ordem utilitária, exigidos pelas atividades cotidianas”. Nas séries finais, esse ensino deverá ressaltar “não só a unidade da matemática, mas também as suas relações com as demais disciplinas de formação geral, (...) assim como as (que interessam) às técnicas modernas”. Na 4ªSérie deverá ser iniciado o estudo da geometria dedutiva, que deverá ser “limitada, porém, à demonstração dos teoremas mais importantes e sempre com vistas às aplicações de ordem utilitária”. ( PAVANELLO, p.12)

Complementando esse cenário, as idéias da Matemática Moderna, chegam

também ao Brasil, propondo um ensino com predominância algébrica. Surgem

os primeiros livros didáticos, nos quais a geometria é apresentada inicialmente

como um conjunto de pontos, utilizando-se a linguagem da teoria dos conjuntos.

A abordagem intuitiva, se concretiza nos livros didáticos “pela utilização dos

teoremas como postulados, mediante os quais pode-se resolver alguns

problemas”. (PAVANELLO, 1993, p.13).

2 -O Ensino Secundário corresponde ao atual Ensino Fundamental II , e suas séries eram numeradas de 1 a 4.(Observação nossa)

17

E a autora complementa:

Não existe qualquer preocupação com a construção de uma sistematização a partir das noções primitivas e empiricamente elaboradas.

A coerência do movimento exige a proposição de um trabalho com a geometria sob o enfoque das transformações.

Diante desse novo quadro, o professor, que já encontrava dificuldade em abordar

a geometria da forma tradicional, enfrenta um problema ainda maior, ao se

defrontar com a indicação de utilizar a geometria das tranformações.

Desse modo, alguns deles passaram a optar por abordar esse assunto no fim do

ano letivo, quando poderiam promover um estudo superficial de conteúdos

alegando a falta de tempo para conseguir cumprir todo o planejamento, enquanto

outros simplesmente deixaram de trabalhar com a geometria.

Paralelamente:

A lei de Diretrizes e Bases do Ensino de 1º e 2º Graus, a 5692/71, facilita, por sua vez, esse procedimento ao permitir que cada professor monte seu programa “de acordo com a clientela”. A maioria dos alunos do 1º grau deixa, assim, de aprender geometria, pois os professores das quatro séries iniciais do 1º grau limitam-se, em geral, a trabalhar somente a aritmética e as noções de conjunto. O estudo da geometria passa a ser feito – quando não é eliminado – apenas no 2º grau, com o agravante de que os alunos apresentam uma dificuldade ainda maior em lidar com as figuras geométricas e sua representação porque o Desenho Geométrico é substituído, nos dois graus do ensino, pela Educação Artística. (PAVANELLO, p.13)

Lorenzato (1995), também comenta a ausência da geometria, nas salas de aula

argumentando que uma das causas para que isso aconteça, é a falta de

conhecimentos geométricos, dos professores, mas cita também o currículo (que

para o autor tem o significado de conjunto de disciplinas) e a forma como a

geometria é apresentada nos livros didáticos:

[...] apenas como um conjunto de definições, propriedades, nomes e fórmulas, desligado de quaisquer aplicações ou explicações de natureza histórica ou lógica; noutros a Geometria quase sempre é apresentada na última parte do livro,aumentando a probabilidade dela não vir a ser estudada por falta de tempo letivo. (LORENZATO, 1995,p.4)

Por ocasião da promulgação da nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação

Nacional (LDB/1996), a educação no Brasil passou por novas reformulações, as

propostas dos PCN’s e a conseqüente divulgação das Diretrizes Curriculares

18

Nacionais foram instrumentos que marcaram o acontecimento, principalmente

quando permitiram abertura para debates, dando uma nova roupagem ao

pensamento pedagógico.

Em 1998, com a publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de

Matemática para o 3º e 4º ciclos do ensino fundamental, nota-se novamente uma

preocupação com o ensino das construções geométricas neste nível de ensino.

De acordo, com Santos (2010) “este volume propõe os traçados geométricos

com régua e compasso, reabilitando uma forma de trabalhar a geometria que

estava esquecida em diversas instituições de ensino básico do país”.

Ao tratar o tema “Espaço e Forma” esses mesmos PCN Brasil (1998), destacam

a importância de ensinar geometria aos alunos, pois:

Situações quotidianas e o exercício de diversas profissões, como a engenharia, a bioquímica, a coreografia, a arquitetura, a mecânica etc., demandam do indivíduo a capacidade de pensar geometricamente. Também é cada vez mais indispensável que as pessoas desenvolvam a capacidade de observar o espaço tridimensional e de elaborar modos de comunicar-se a respeito deles, pois a imagem é um instrumento de informação essencial no mundo moderno. (PCN Brasil, 1998, p.122).

Essa preocupação também pode ser notada ao se verificar o aumento de

pesquisas que, atualmente, têm sido desenvolvidas apontando a importância do

ensino da geometria e das construções geométricas ou as dificuldades

encontradas por alunos de todos os níveis de ensino, em situações em que a

geometria, suas propriedades e construções são consideradas fundamentais

para o bom desenvolvimento de determinados conteúdos.

No entanto, esse quadro não foi constatado somente no Brasil.

Em vários países, inúmeras pesquisas estão sendo realizadas, procurando determinar o “que” ensinar de geometria e “como” fazê-lo. Grandes esforços têm sido empreendidos na capacitação de docentes, visando a permitir-lhes realizar um trabalho de qualidade em relação a esse tema.(PAVANELLO, 1993,p.8).

Entre as formas de “como” fazê-lo, muitas têm sido as sugestões. Entre elas a

utilização de jogos, de ferramentas informática, de utilização de materiais

concretos e/ou manipuláveis, de atividades envolvendo dobraduras, etc.

Nesse contexto, a idéia de trabalhar com dobraduras, estimulando o aluno a

explorar as medianas, as mediatrizes, o baricentro e o circuncentro de um

19

triângulo, nos parece uma forma adequada de se proceder na tentativa de

promover uma real aprendizagem dos conceitos envolvidos.

1.3 TRABALHOS QUE ABORDAM O ASSUNTO ESTUDADO

Definido o objeto de investigação, passamos a buscar por trabalhos que

abordassem o mesmo.

Dentre os textos analisados, destacamos aqueles que julgamos mais adequados

a nossa proposta de pesquisa. Um deles o de Toledo (2007, p.2) afirma:

Verificando as diversas atividades de dobraduras descobri que elas eram riquíssimas em conceitos geométricos e, se exploradas poderiam ajudar os alunos a descobrirem e desenvolverem conceitos de imensa importância no ensino de geometria e medidas.

Ainda de acordo com esse autor, nos dias de hoje, notamos a presença da

matemática em nosso dia a dia, em todos os lugares, mas nem sempre é fácil

de mostrar.

Muitos professores estão buscando aprimorar seu trabalho não se limitando ao

trivial, mas sim inovando suas atividades, buscando algo a mais. Segundo

estudiosos do assunto não é o simples fato de desenvolver conteúdos que

garante uma boa aprendizagem, mas sim as semelhanças que se constroem

partindo de sua resolução. Formar ocorrências onde os alunos precisam adiantar

os resultados, formular justificativas, argumentar, convencer e serem

convencidos. Todo esse procedimento poderá assegurar que, mais do que

aprender a reproduzir um conteúdo, o aluno construíra um conhecimento

concreto, possível de ser utilizado como ferramenta em novas situações, para

novas aprendizagens.

Comenta ainda Toledo (2007, p.2).

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1998, p.126), as atividades de geometria são muito propícias para que o professor construa junto com seus alunos um caminho que a partir de experiências concretas leve-os a compreender a importância e a necessidade da prova para legitimar as hipóteses levantadas. Para delinear esse caminho, não se deve esquecer a articulação apropriada entre os três domínios: o espaço físico, as figuras geométricas e as representações gráficas, fazendo-se necessário um trabalho de excelência explorando o tema espaço e forma.

20

Outro trabalho que nos chamou a atenção foi o de Cruz e Gonschorowski (2010),

que discute a utilização de origamis: cuja etimologia significa: ori – dobrar e kami

– papel e quando pronunciadas juntas, a letra “k” passa a ter o som de “g”; nos

procedimentos de ensino da geometria. Segundo os autores esse material de

custo acessível tem fácil manuseio e pode despertar o interesse dos alunos, e

se revelar uma interessante ferramenta didática.

Nesse contexto espera-se que o aluno seja capaz de assimilar melhor o

conteúdo. Como exemplo de utilização de dobraduras em um procedimento de

ensino em geometria, Cruz e Gonschorowski (2010), comentam como se pode

verificar por meio de dobraduras que a soma dos ângulos internos de um

triângulo é 180°.

1º Passo: Recorta-se um triângulo qualquer de papel e nomeiam-se seus

vértices: A, B e C.

Fig. 6 – Triângulo a ser recortado

2° Passo: Partindo do ponto A, faz-se uma dobra paralela ao lado, determinado

pelos pontos B e C, de modo que o ponto A, se sobreponha a esse lado. Essa

intersecção determina o ponto D.

Fig. 7 – Figura obtida após a dobradura, determinando o ponto D

3° Passo: Efetuam-se novas dobras de modo que os pontos B e C coincidam

com o ponto D. A soma dos três ângulos formados, em torno do ponto D é igual

a 180°, pois determinam um ângulo raso.

21

Fig. 8 – Figura obtida após B e C, coincidirem com o ponto D

Além desses dois textos apresentados, salientamos também, o trabalho

realizado numa Oficina de dobraduras, do Projeto Olimpíada Mineira de

Matemática em 2007, apresentado por uma equipe de bolsistas do projeto de

extensão do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Estado

de Minas Gerais, projeto este orientado pelos professores, Spira e Carneiro.

Nessa oficina são apresentadas dobraduras que permitem obter construções

que serão utilizadas na nossa pesquisa, tais como, a mediatriz de um segmento.

De acordo com os proponentes das atividades, ao se trabalhar essas

construções não se pretende “apenas que o aluno siga as instruções e execute-

as, mas que experimente e reflita e, sempre que possível, chegue às suas

próprias conclusões verbalizando-as para os seus colegas”.

Destacam também que:

O professor orientador tem um papel importante não só em aprofundar as discussões, trazendo novas situações e problemas, mas também apresentando fatos geométricos e conceitos que possam ser explorados nas justificativas das construções.

Tomamos ainda como base de nossos estudos o texto apresentado por

Abrantes3 (1999), o qual diz.

A ideia de que aprender Matemática é essencialmente fazer Matemática — uma perspectiva sublinhada, nos últimos 10 anos, em numerosos documentos programáticos (por exemplo, nas Normas do NCTM (1991)) — tem contribuído para trazer para primeiro plano o papel que as actividades de natureza exploratória e investigativa podem desempenhar nas aulas e no currículo de Matemática, em todos os níveis escolares.

3Texto publicado no livro de E. Veloso, H. Fonseca, J. P. Ponte & P. Abrantes (Orgs.), Ensino de Geometria

no Virar do Milénio, Lisboa: DEFCUL, 1999.

22

Abrantes também comenta a tendência da revalorização da geometria que, nos

últimos anos, tem marcado a evolução curricular em Matemática em diversos

paises. O autor destaca que (1999, p.3).

Para Freudenthal(1973), a geometria é essencialmente “compreender o espaço” que a criança “deve aprender a conhecer, explorar, conquistar, de modo a poder aí viver, respirar e mover-se melhor”. Nesta perspectiva, a geometria torna-se um campo privilegiado de matematização da realidade e de realização de descobertas. É particularmente interessante que Freudenthal chame a atenção para dois aspectos da riqueza da geometria que poderiam parecer contraditórios mas que na verdade se completam: por um lado, as descobertas geométricas, sendo feitas também “com os próprios olhos e mãos, são mais convincentes e surpreendentes”; por outro lado, salientando a necessidade de explicação lógica das suas conclusões, a geometria pode fazer sentir aos alunos “a forçado espírito humano, ou seja, do seu próprio espírito”.

Nesse aspecto, consideramos que a proposta de se utilizar as dobraduras como

ferramenta pedagogia, em nossa pesquisa, venha ao encontro das idéias de que

se explorar os conceitos “com os próprios olhos e mãos, são mais convincentes

e surpreendentes”.

Segundo o autor, a experiência tem confirmado que a geometria constitui uma

área particularmente propícia à realização de investigações por parte dos alunos.

A sua riqueza e variedade em objectos e tipos de problemas, a sua ligação natural à realidade e a possibilidade de todos os alunos, em diferentes níveis, se envolverem em interessantes explorações e investigações geométricas sem dependerem de um grande número de conhecimentos anteriores são factores que contribuem para este potencial da geometria. (1999, p.4).

Finalmente citamos o documento desenvolvido pelo Instituto de Matemática da

UFRJ, em 2006, em parceria com o Governo do Estado do Rio de Janeiro,

Secretaria de Estado de Educação e Subsecretaria Adjunta de Planejamento

Pedagógico, além de grupos de trabalhos formados por professores da rede.

Esse material, intitulado “Reorientação Curricular” foi oferecido como subsídio

de trabalho para profissionais da rede estadual de ensino.

Dentre os tópicos apresentados, destacamos: “Triângulos e Dobraduras” e

“Dobraduras, Cevianas e Pontos Notáveis”, que também contribuíram para a

elaboração das nossas atividades.

23

Esses textos, também destacam que o professor deve observar atentamente a

forma como os alunos fazem as dobraduras, pois sendo um trabalho

experimental, se não for realizado com bastante cuidado, pode ocorrer

situações, diferentes das esperadas; por exemplo, não ser obtido o ponto de

intersecção das mediatrizes, das medianas ou das demais cevianas.

Considerando as argumentações aqui citadas, e partindo da hipótese de que

acreditamos que as dobraduras e as explorações que podem ser feitas a partir

delas permitem visualizar os conceitos de forma mais concreta do que

simplesmente decorando as definições formais julgamos que os resultados

esperados possam ser satisfatórios e as contribuições significativas, auxiliando

tanto professores como alunos, na construção de um conhecimento sólido em

relação ao conteúdo proposto.

24

CAPÍTULO 2 - DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO

Nesse capítulo apresentamos os procedimentos utilizados para o

desenvolvimento da pesquisa.

2.1. ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES E ESCOLHA DO PÚBLICO ALVO

Para a elaboração das atividades, recorremos a alguns dos textos já citados na

revisão da literatura e que apresentavam sugestões de como as mesmas

poderiam ser feitas e aplicadas. (Apêndice III)

É importante destacar que nesses textos, as sugestões são feitas, mas não

existem, em nenhum deles, comentários em relação à aplicação das mesmas e

consequentemente, resultados obtidos. Esse é o diferencial que pretendemos

apresentar em nosso trabalho.

2.2 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES

No início pretendíamos realizar o trabalho com alunos da sétima ou oitava série,

atuais oitavo e nono ano de uma escola do ensino fundamental da cidade de

Assis/SP. Porém devido a contratempos e barreiras, enfrentadas na época de

aplicação das atividades, as mesmas foram realizadas com grupo de alunos de

um sétimo ano (antiga sexta série) do ensino fundamental, em um encontro com

a duração de duas horas aulas

Inicialmente, os alunos responderam ao Pré-Teste (Apêndice I), sendo

orientados que a essa atividade não seria atribuída, nenhuma “nota”, de modo

que se eles não soubessem responder alguma das questões, poderiam apenas

comentar o fato. Por exemplo: “não lembro como resolve” ou “ainda não

aprendemos esse conteúdo”.

Ao receber a folha de Pré-Teste, alguns alunos foram respondendo outros

ficaram agitados e fazendo perguntas uns aos outros. Nesse instante novamente

eles foram orientados que poderiam responder sem a preocupação de acerto,

pois não haveria nota nem identificação dos participantes. Isso foi o suficiente

para que todos realizassem as atividades tranquilamente.

25

Na sequência, os Pré-Testes foram recolhidos e teve início uma atividade

realizada na forma de perguntas e respostas, no sentido de resgatar o conceito

de triângulo, seus elementos e sua classificação em relação a medidas de lados

e medidas de ângulos internos.

Fig.9 – Revisando alguns conceitos

Após essa breve revisão de conceitos, os participantes desenvolveram

atividades de dobraduras envolvendo o conceito, a identificação e diferenciação

das mediatrizes e medianas e o ponto de intersecção das mesmas (ApêndiceIII).

Para tanto foi entregue aos alunos um material composto por, duas folhas de

papel com impressão de triângulos, duas folhas que apresentavam os passos a

serem desenvolvidos durante a realização das atividades, tesoura e régua.

Após o recebimento do material alguns alunos, não aguardaram nenhum tipo de

orientação e começaram a recortar os triângulos recebidos, porém alguns

recortaram muito próximo ao contorno do triângulo, onde não seria possível a

visualização esperada das atividades. Nesse instante eles foram orientados a

deixarem mais espaço ao recortar, recebendo assim uma nova folha com os

desenhos de triângulos e só então iniciamos as atividades propriamente dita.

26

Fig. 10 – Aluno recortando os triângulos recebidos

A partir das dobraduras, os alunos encontraram as mediatrizes e os pontos

médios dos lados dos triângulos. Foram utilizados triângulos acutângulos e

obtusângulos.

Alguns alunos encontravam dificuldades em realizar essa atividade, assim

muitos se levantavam e solicitavam ajuda para realizar a mesma. Embora um

pouco, conturbada, essa atitude mostrou interesse pelo o que estava sendo

proposto, o que consideramos um fator positivo.

Fig. 11 – Alunos recebendo orientações

Resolvido esse problema, os alunos terminaram a atividade obtendo o ponto de

intersecção das mediatrizes, o circuncentro.

27

Novamente foi necessária a intervenção do professor, pois alguns não

conseguiram encontrar esse ponto. Foram então orientados a verificar suas

dobraduras, o que fez com que eles percebessem que o fato ocorreu, devido a

pequenos descuidos na realização destas.

Outra situação, interessante, foi os alunos perceberem que dependendo do tipo

de triângulo, o circuncentro, poderia estar “dentro” ou “fora” do triângulo

Fig. 12 – Alunos encontrando as mediatrizes e o circuncentro

Na sequência, fazendo uso de novos triângulos, acutângulos e obtusângulos, os

participantes, determinaram os pontos médios dos lados, encontraram as

medianas e o seu ponto de intersecção: o baricentro.

Fig. 13 – Alunos encontrando os pontos médios, as medianas e o baricentro

28

Após essas atividades, os alunos repetiram todos os passos, utilizando agora,

triângulos retângulos. Nesse caso, foi possível observar que o circuncentro,

coincide com o ponto médio da hipotenusa.

Finalizando as atividades ao término do encontro, os alunos responderam o Pós-

Teste (Apêndice II), que apresentava na sua Parte 2, as mesmas questões

matemáticas contidas na segunda parte do Pré-Teste, para que permitissem

avaliar e comparar os resultados.

Após a conclusão dessas atividades teve início as análises, procurando

respostas que permitissem verificar se a hipótese levantada se confirmaria.

Para essa análise, tomamos como base as discussões observadas durante a

realização das atividades, os resultados obtidos pelos alunos durante a

resolução dos exercícios propostos, bem como as opiniões dos mesmos,

coletadas à partir da primeira parte do Pré e do Pós-Teste.

29

CAPÍTULO 3 – ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS

Neste capítulo, são apresentadas e comentadas as análises feitas com os dados

obtidos em nossa pesquisa, mediante os testes e questionário de opinião,

resolvidos pelos alunos durante a realização das atividades. Para assim

obtermos o resultado e chegarmos as nossas considerações finais.

3.1 PRÉ-TESTE (APÊNDICE I)

Iniciou-se o trabalho com quatorze alunos.

Parte um.

Opiniões pessoais dos alunos sobre a matemática.

QA.Tínhamos como objetivo saber se os alunos gostam de estudar matemática

e o resultado obtido foi: onze alunos responderam sim por vários motivos, dentre

eles: “a matemática no futuro será muito importante para minha vida”, “com ela

vou aprender várias coisas”, “no futuro precisarei dela e me dou bem com ela”,

“porque ela é interessante”, “quase tudo no mundo usa a matemática”, “ela é útil

no dia à dia”. Os outros três alunos responderam que depende do conteúdo.

Fig. 14 – Gráfico mostrando quantidade de alunos que gostam ou não de estudar Matemática.

QB. O objetivo era saber se os alunos têm algumas idéias para melhorar as aulas

de matemática e o resultado obtido foi o seguinte: onze alunos responderam não

30

e três sim suas justificativas foram: “que a Matemática fosse como jogos”, “que

ela fosse mais divertida”.

Fig. 15 – Gráfico mostrando quantidade de alunos que tem sugestões ou não de

como gostariam que fossem suas aulas de Matemática.

Analisando os gráficos podemos verificar que de um modo geral os alunos

afirmaram que gostam de matemática por outro lado tem poucas idéias para

buscar melhorias em seu ensino.

3.2 PÓS-TESTE (APÊNDICE II)

Parte um.

QA. Questiona como o aluno avalia sua participação em relação as atividades

desenvolvidas. A maioria respondeu que “foi boa”, “muito boa”, “que foi bem”,

“que prestou atenção e aprendeu bastante conteúdo”; três responderão mais ou

menos e um ficou sem opinar.

QB. Indaga se os alunos acreditam que como foi desenvolvida a aula os auxiliou

no seu entendimento em relação ao conteúdo trabalhado. A resposta foi sim para

treze alunos. Na opinião deles a experiência foi positiva, pois o trabalho “foi

desenvolvido de um jeito muito divertido”, “não foi usado livros didáticos”, “que

aprendeu o que não sabia”, “que o professor ajudou e ensinou bem, pois foi uma

31

boa aula”, “que prestarão bem atenção por isso foi boa”; e um falou que não,

mas não apresentou sua justificativa.

QC. Essa questão tinha como objetivo obter sugestões dos alunos para melhorar

esse trabalho desenvolvido. A resposta foi unânime: todos os alunos

responderão que não, que o trabalho foi muito bom ótimo e teve boa participação

dos alunos.

Considerando as respostas obtidas, podemos chegar a conclusão que as

atividades foram positivas quanto ao aproveitamento do conteúdo. Os alunos

gostaram do que foi realizado porem não trouxeram nenhuma idéia para que

existissem avanços e melhorias no ensino.

3.3 PRÉ-TESTE e PÓS-TESTE (APÊNDICES I e II)

Parte dois.

Nessa parte como já comentamos anteriormente as questões são idênticas no

Pré e Pós Teste. Foram propostas cinco questões as quais, no pré-teste os

alunos responderam sem as atividades e no pós teste as respostas foram obtidas

após as atividades desenvolvidas.

Q1. O que é um triângulo?

No Pré, todos alunos responderam que triângulo é uma figura geométrica e três

deles comentaram além disso que tem três lados acertando corretamente a

questão.

No Pós todos responderam novamente que é uma figura geométrica e agora

sete deles comentaram, além disso, que é uma figura plana de três lados,

acertando assim corretamente a questão.

Q2. A) A lacuna tinha que ser completada por eqüilátero. No Pré doze alunos

responderam que não se lembra, não sabia ou deram respostas erradas, tais

como: Trilátero congruente, dois lados. Dois acertaram. No Pós todos os

quatorze alunos acertaram a questão.

32

B) Nesse caso o complemento era: isósceles. No Pré, novamente o total de, não

se lembra, não sabia ou respostas indevidas, totalizaram doze. Dois acertaram.

No Pós treze acertaram e uma resposta está ilegível.

C) A sentença tinha que ser completada por escaleno. No Pré: não se lembra,

não sabia e erradas, tais como: Dois lados, bilátero e incongruente, doze alunos

e dois acertaram. No Pós oito acertaram e seis erraram ou não sabiam ou

deixaram em branco.

D) Os alunos deviam para completar a questão com, um ângulo reto ou de 90º.

No Pré, não se lembra, não sabia e erradas foram respostas dadas por todos os

quatorze alunos, enquanto no Pós dez alunos acertaram e quatro erraram.

E) Essa questão solicitava que a sentença fosse completada com três ângulos

agudos ou menores que 90º. Novamente não houve acertos no Pré- teste e no

Pós sete alunos acertaram e sete erraram ou não se lembrava.

F) Na questão era necessário completar com, um ângulo maior que 90º ou

obtuso. Não houve acertos no Pré-teste e no Pós seis alunos acertaram e oito

erraram ou não sabiam.

Q3. Os alunos tinham que completar a sentença com mediana e BC . Nenhum

acerto foi no Pré-teste. No Pós sete alunos acertaram, três acertaram

parcialmente, ou seja, ou identificaram a mediana ou o segmento o que

caracteriza erro; quatro não se lembraram, não sabiam, ou deixaram em branco.

Entre os que deixaram a questão sem resposta, houve quem argumentou, que

o tempo não foi suficiente.

Q4. Os alunos tinham que completar a sentença com mediatriz e BC . Nenhum

acerto no Pré-teste. No Pós, houve uma surpresa, poucos acertaram

corretamente apenas quatro alunos, outros cinco identificaram parte do conceito,

não em sua totalidade o que conduz o erro e os outros cinco erraram toda a

questão pois não se lembraram, não sabiam ou deixaram em branco devido a

falta de tempo.

Q5. A) Nessa questão os alunos tinham que completar a sentença com a palavra

mediatrizes. Mais uma vez não houve acertos no Pré-teste. No Pós nove alunos

33

acertaram a questão e cinco não se lembraram não sabiam ou deixaram em

branco. Novamente, ocorreu o comentário sobre a falta de tempo.

B) A sentença tinha que ser completada por medianas. Do mesmo modo que

nas questões anteriores, nenhum aluno respondeu de forma correta. No Pós oito

alunos acertaram e seis não se lembraram, não sabiam ou deixaram em branco

devido a falta de tempo.

Obs. Para efeito de tabulação, respostas incompletas, incorretas, ou “não sei”,

“não lembro”, ou ainda questões sem respostas, foram consideradas como

erradas.

Fig. 16 – Número de acertos e erros nas questões do Pré-Teste.

Examinando o gráfico podemos chegar a conclusão que a grande maioria dos

alunos erraram as questões no pré-teste, existindo poucos acertos o que salienta

precário conhecimento do conteúdo a ser explorado.

34

Fig. 17 – Número de acertos e erros nas questões do Pós-Teste.

Aferindo o gráfico podemos chegar a conclusão que a houve significativa

melhora no número de acertos. Com exceção da questão 4, a grande maioria

dos alunos acertou as questões no pós-teste, havendo poucos erros, o que nos

faz supor que o trabalho desenvolvido produziu um resultado positivo.

Fig. 18 – Comparando os resultados do Pré-Teste e do Pós-Teste.

Esse gráfico destaca ainda mais a significativa melhora que se pode observar

em relação aos resultados. Isso nos faz acreditar, que embora o trabalho tenha

sido desenvolvido em um curto espaço de tempo, o resultado foi positivo, o que

nos encoraja a investir mais em atitudes, como as aqui propostas.

35

CAPÍTULO 4 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesse capítulo apresentamos as considerações finais relacionadas a esse

trabalho de pesquisa.

4.1 – SOBRE A PESQUISA

Ao encerrarmos essa pesquisa, retomamos a algumas considerações já feitas.

Por exemplo, relembramos a nossa pergunta de pesquisa: “Quais contribuições

podem ser observadas, nos processos de ensino e de aprendizagem, quando se

utilizam dobraduras de papel ao se explorar mediatrizes, medianas, circuncentro

e baricentro de um triângulo?”

Relembramos também os procedimentos adotados para a realização deste

projeto: inicialmente foi feita uma revisão bibliográfica buscando os conceitos

que seriam trabalhados; o ensino da geometria nos últimos 60 anos e os

trabalhos que abordavam textos relacionados aos nossos objetivos de pesquisa.

Na sequência foram elaboradas as atividades e selecionado um grupo para o

desenvolvimento das mesmas.

Após a análise dos dados pudemos obter algumas respostas.

Quanto as contribuições, que notamos, podemos afirmar que do mesmo modo

que Toledo (2007), também conseguimos perceber que o uso das dobraduras

ajudou os alunos a entenderem melhor os conceitos explorados.

Foi muito gratificante, observar os alunos explorando conceitos, com os próprios

olhos e mãos (Freundenthal, apud Abrantes 1999), como nas situações, nas

quais eles descobriram que o baricentro, poderia estar “dentro” ou “fora” do

triângulo, ou o circuncentro, coincidir com o ponto médio da hipotenusa de um

triângulo retângulo.

Além disso, destacamos que o papel do professor, é de fundamental importância,

pois é visível que os alunos, pelo menos do grupo testado, são muito

36

dependentes, desse profissional. Embora, existisse um material que orientava o

trabalho que deveria ser feito, a maioria não se esforçava em entender as

instruções, preferiam perguntar o que deveria ser feito.

Porém, esse não é o único momento em que o professor, pode colaborar com

os alunos.

Nas realizações das atividades, como já citado, alguns alunos não conseguiram

obter os pontos de intersecção das mediatrizes e/ou das medianas. Essa

ocorrência, já havia sido comentada, no texto que discuti o uso das dobraduras,

na exploração das cevianas, constante do material, intitulado “Reorganização

Curricular”, desse modo, esse fato já era esperado; o que pode propiciar uma

pronta atitude por parte do professor, permitindo uma discussão com o grupo,

que permitiu chegar a conclusão, de que era necessário apenas um pouco mais

de cuidado para que as dobraduras, produzissem o resultado esperado.

Concordamos também com Cruz e Gonschorowski (2010), quando argumentam

que esse tipo de material é de baixo custo e pode produzir bons resultados, o

que é bastante interessante, nas escolas nas quais o poder aquisitivo dos alunos

é pequeno.

Portanto, partindo das considerações feitas, acreditamos que as atividades com

dobraduras possam criar situações que permitam aos alunos compreender e

discutir melhor esse conteúdo, contribuindo para obter suas próprias conclusões,

além de despertar um maior interesse em relação a geometria como um todo.

Desse modo, julgamos que a nossa proposta de trabalho, foi bem sucedida e as

contribuições observadas, foram positivas, ou seja, entendemos que os

resultados obtidos o Pós-Teste, comparando com o Pré-Teste, foram

satisfatórios, na obtenção de conhecimentos dos conceitos abordados nessa

pesquisa.

37

4.2. SUGESTÃO DE NOVOS TRABALHOS

Embora essa pesquisa tenha explorado as medianas, as mediatrizes e suas

intersecções, outras atividades poderiam ser propostas no sentido de se explorar

as propriedades que envolvem esses conceitos, principalmente no que diz

respeito ao baricentro e ao circuncentro.

Em nossa pesquisa, esses fatos não foram abordados, por falta de tempo, mas

com certeza, poderiam enriquecer o trabalho.

Deixamos, então uma sugestão para outros que desejarem realizar pesquisa

referente as cevianas trabalhando com dobraduras, uma vez que investigações

semelhantes podem ser feitas, utilizando as bissetrizes dos ângulos internos, as

alturas dos triângulos e seus pontos de intersecção: incentro e ortocentro.

Para tanto, os proponentes, poderão consultar a revisão de bibliografia,

constantes nesse texto, para obter parte dos subsídios necessários para a

realização dessas novas pesquisas.

38

9. REFERÊNCIAS

ABRANTES, P. Investigações em Geometria na Sala de Aula. Disponível em: http://ia.fc.ul.pt/textos/p_153-167.PDF. Acessado em: 14/05/2012.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

CRUZ, Graciele Pereira da; GONSCHOROWSKI, Juliano dos Santos. O Origami como Ferramenta de Apoio ao Ensino de Geometria. Disponível

em:http://www.unifafibe.com.br/revistasonline/arquivos/revistafafibeonline/sumario/10/19042010094856.pdf. Acessado em: 08/03/2012. DOLCE, O; POMPEU J. N.. Fundamentos da Matemática Elementar –

geometria plana. São Paulo, Atual. vol. 09, 1993. GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO; Secretária de Estado de Educação; Secretária Adjunta de Planejamento Pedagógico. REORIENTAÇÃO CURRICULAR. Matemática – Ensino fundamental – volume II – Materiais didáticos – 2006 – UFRJ.

LORENZATO, Sérgio. (1995). Revista Zetetiké. Campinas: UNICAMP-FE-CEMPEM, ano 3, nº 4, p.95-102, Nov. 1995 - O Ensino da Geometria - Faculdade de Educação - UFMG.

OBMEP; Oficina do Projeto Olimpíada Mineira de Matemática 2007. Oficina de dobraduras – parte I, disponível em

miltonborba.org/OBMEP/oficina_parte01.pdf, acessado em: 19/04/2012.

PAVANELLO, Regina Maria, O Abandono do Ensino da Geometria no Brasil: causas e conseqüências. Revista Zetetiké – Ano I, 1993. SANTOS, Marcia Regina Ferreira Lima dos. O Ensino de Geometria no Ensino Fundamental, disponível em: http://artigos.globe24h.com, Acessado em:

07/08/2012. TOLEDO, Edney G. de Oliveira. A Geometria das Dobraduras. Cunha, disponível em: http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/2007/trab_finais/EF-TrabFinal-Edney.pdf, Acessado em: 06/05/2011 e em 12/04/2012.

39

APÊNDICES

40

APÊNDICE I

PRÉ – TESTE

Nome:____________________________________________idade:_________Série______

Parte 1

A - Você gosta de estudar Matemática?

Sim ( ) Não ( ) Depende do Conteúdo ( ) Justifique sua resposta:

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

B - Você teria alguma sugestão de como gostaria que fossem suas aulas de Matemática?

Sim ( ) Não ( )

Se sim, diga qual?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Parte 2

Responda as questões abaixo:

1 - O que é um triângulo?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2 - Complete as sentenças abaixo:

a) Um triângulo que possui três lados congruentes é chamado de _____________________

b) Um triângulo que possui dois lados congruentes é chamado de _____________________

c) Um triângulo que possui dois lados quaisquer não congruentes é chamado

de________________________________

d) Um triângulo é chamado de triângulo retângulo quando possui ___________________

__________________________________________________

e) Um triângulo é chamado de triângulo acutângulo quando possui __________________

__________________________________________________

f) Um triângulo é chamado de triângulo obtusângulo quando possui __________________

__________________________________________________

3 – Considerando que na figura a seguir, D é o ponto médio do BC , complete a sentença:

41

AD é chamado de_________________ relativa ao lado_______ do triângulo ABC.

4 - Considerando que na figura abaixo, D é o ponto médio do BC , complete a sentença:

A reta perpendicular que passa por D é chamado de _________________ relativa ao lado

______ do triângulo ABC.

5 - Complete as sentenças:

a) Chama-se Circuncentro o ponto de encontro das _________________ de um triângulo.

b) Chama-se Baricentro o ponto de encontro das __________________ de um triângulo.

42

APÊNDICE II

PÓS– TESTE

Nome:_____________________________________________Idade:_________Série_____

Parte 1

A - Como você avalia a sua participação em relação às atividades desenvolvidas?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

B - Você acredita que a forma como as atividades foram realizadas, auxiliaram o seu

entendimento em relação ao conteúdo desenvolvido? Se sim, explique como isso

aconteceu.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

C - Você teria alguma sugestão, que acredita possa contribuir para melhorar esse trabalho?

Se sim, qual?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Parte 2

Responda as questões abaixo:

1 - O que é um triângulo?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2 - Complete as sentenças abaixo:

a) Um triângulo que possui três lados congruentes é chamado de

____________________________

b) Um triângulo que possui dois lados congruentes é chamado de

____________________________

c) Um triângulo que possui dois lados quaisquer não congruentes é chamado de

_______________________________________________

d) Um triângulo é chamado de triângulo retângulo quando possui

____________________________

43

e) Um triângulo é chamado de triângulo acutângulo quando possui

__________________________________________________________________________

f) Um triângulo é chamado de triângulo obtusângulo quando possui ____________________

__________________________________________________________________________

3 – Considerando que na figura a seguir, D é o ponto médio do BC , complete a sentença:

AD é chamado de_________________ relativa ao lado_______ do triângulo ABC.

4 - Considerando que na figura abaixo, D é o ponto médio do BC , complete a sentença:

A reta perpendicular que passa por D é chamado de _________________ relativa ao lado

______ do triângulo ABC.

5 - Complete as sentenças:

a) Chama-se Circuncentro o ponto de encontro das ____________________ de um

triângulo.

b) Chama-se Baricentro o ponto de encontro das ____________________ de um triângulo.

44

APÊNDICE III

Atividades propostas

Cada aluno recebeu uma coleção de triângulos como os indicados abaixo.

Obs. Os espaços que aparecerem nos itens a seguir foram propostos para

serem discutidos apenas durante a realização das atividades, de modo a não

antecipar nenhuma das respostas esperadas.

1) Determinando as __________________________ de um triângulo.

- Escolha um dos triângulos acutângulos recebidos, e faça uma dobradura de modo

que os pontos A e B se sobreponham.

- Nomeie por M, o ponto de intersecção da reta obtida pela dobradura com o lado AB .

45

- Repita a operação para os demais lados e nomeie os pontos de intersecção por M1

e M2.

- Utilizando um lápis, marque as retas obtidas pelas dobraduras e nomeie o ponto de

intersecção dessas retas por O.

- Selecione um dos triângulos obtusângulos recebidos e repita os passos.

- O que você pode afirmar em relação aos pontos M, M1 e M2?

__________________________________________________________________

- Que tipo de ângulo é formado por essas retas e os lados do triângulo?

___________________________________________________________________

- As retas que se interceptam formando um ângulo ___________, recebem o nome

de _______________________________.

- Complete a sentença: A reta ___________________que passa pelo ponto

____________ de um lado do triângulo, recebe o nome de ____________________.

- O ponto de intersecção das _________________ recebe o nome de

____________________

- Retorne ao início e complete o título da atividade.

2) Determinando as ___________________________ de um triângulo.

- Escolha outro triângulo acutângulo e determine o ponto médio de cada lado. (Marque

apenas o ponto, não a reta)

- Nomeie esses pontos por, M, M1 e M2.

- Utilizando dobraduras, determine segmentos que una cada vértice ao ponto médio

do lado oposto.

- Com auxilio de um lápis, trace esses segmentos e nomeie o ponto de intersecção

desses segmentos por G.

- Selecione um triângulo obtusângulo e repita os passos.

- Complete a sentença: O segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do

lado oposto a esse vértice recebe o nome de __________________________.

- O ponto de intersecção das _________________ recebe o nome de

____________________

- Retorne ao início e complete o título da atividade.

46

3)

- Selecione um dos triângulos retângulos recebidos e refaça os passos indicados na

atividade 1, até obter o ponto O.

- Complete a sentença: Chama-se mediatriz do lado de um triângulo, a reta

__________________ que passa pelo ponto médio desse lado.

- Complete a sentença: O ponto O recebe o nome de ________________ do triângulo.

- Utilize o outro triângulo retângulo e refaça os passos indicados na atividade 2,

determinando o ponto G.

- Complete a sentença: Chama-se mediana de um triângulo, o segmento de reta que

une um vértice ao ___________________ do lado oposto a esse vértice.

- Complete a sentença: O ponto G recebe o nome de ________________ do triângulo.