NOVA EXPLICAÇÃO DA SOMA DOS ELEMENTOS DEUMA PG: DIFERENTE DA PROPOSTA NOS LIVROS

Sn=A1(Q n -1) Q-1

ALIDEMBERG ARAÚJO LOIOLA

  PORQUE DA FÓRMULA DE UMA PG . EXPLICAÇÃO NOVA Sn =  a 1.(q n   - 1)

            q - 1         

Vejamos as observações:

Sn= a1.q0 + a2.q1 ....      ou Sn= a1.( q0 +q1 +q2 + q3 .....qn-1)

Logo Sn é proporcional  a a1 e também a (q0 + q1 +q2 + q3 .....qn-1) então

temos que determinar (q0 + q1 +q2 + q3 .....qn-1)que é também uma PG

com 1° termo igual a 1 (porque todo número elevado a zero é igual a 1).

Lembrando Sn=(q0) é a de 1 termo e por ai vai , Sn=(q0+q1) dois termos.

Vamos utilizar o método da observação:

Quando q for igual a 2 por exemplo, temos:

A)     PG de 1 termo com q=2:  Sn=q0 =20= 1      obs: = 21-1=1    também

igual 1

B)     PG de 2 termos:  Sn= qo +q1 =20+2=1+2=3    obs: 22-1= 4-1=

3 também igual 3

C)     PG de 3 termos: Sn=q0 +q1 +q2 =1+2+4=7     obs: 2³-1= 8-1=

7 também igual 7

Encontramos aqui através da observação uma equação que

determina o valor de Sn para q=2: Numa PG de razão 2 o valor da soma

de todos os elementos é sempre 2 elevado ao número de elementos e

depois subtrai-se 1 (qn-1).

       1a PG Sn=qn-1,  2a PG Sn=qn-1,  3a PG  Sn=qn-1, todas com iguais os

resultados.

Vamos realizar os cálculos com a fórmula da PG  Sn = a1.(q n   - 1)

                                                                                  q -

1         

 Sn =  a 1.(q n   - 1)     Sn=(2¹-1)/2-1= 1  igual a   Sn=qn-1    Sn== 21-1=1

               q - 1         

Sn =  a 1.(q n   – 1)       Sn=(2²-1)/2-1=3    igual a   Sn=qn -1    Sn=22-1=3-

1= 3

        q - 1         

Sn  = a 1.(q n   - 1)         Sn=(2³-1)/2-1=7    igual a    Sn=qn -1    Sn=2³ -1=8 -

1=7

         q - 1         

Todas corretas utilizando Sn=qn-1 no de caso q=2, vamos ver com 3.

Quando q for igual a 3 por exemplo, utilizando Sn=qn-1 ,  temos:

D)    PG de 1 termo:  q=3 Sn=q0 =30=1    obs: = 31-1=3-

1=2  implica Sn=2 

E)     PG de 2 termos: Sn= qo+q1=1+3=4      obs: 32-1= 9-1

8 implica Sn=8

F)      PG de 3 termos: Sn=q0+q1+q2=1+3+9=13    obs: 3³-1=27-1=26 

implica Sn=26

Vamos realizar os cálculos com a fórmula da PG  Sn = a1.(q n   - 1)

                                                                                  q -

1         

 Sn =  a 1.(q n   - 1)     Sn=(3¹-1)/3-1= 1  diferente de   Sn=qn-1    Sn==3 -

1=2

              q - 1         

Sn =  a 1.(q n   – 1)     Sn=(3²-1)/3-1=4   diferente de    Sn=qn -1   Sn=32-

1= 9-1=8

         q - 1         

Sn = a1.(q n   - 1)    Sn=(3³-1)3-1=13   diferente de  Sn=qn -1   Sn= 3³-

1=27-1=26

         q - 1         

                                                      

Todas  incorretas utilizando Sn=qn-1 no de caso q=3, vamos ver com

4, mas note que é o dobro do valor da fórmula correta da PG utilizando-

se Sn=qn-1. Note que Sn=qn-1, no caso de q=3 Sn vai ser o dobro,

ou seja, é multiplicado por 2, mas se fizermos isso dividirmos por

q-1,ou seja  3-1=2, porque 3 a razão dela é ai ela ficará correta,

mas teremos sempre que dividir pela razão menos 1, nesse caso

3-1=2, dividimos por 2

Quando q for igual a 4 por exemplo, temos:

G)    PG de 1 termo:  q=4  Sn=40=1      obs: = 41-1= 3 implica Sn= 3

H)    PG de 2 termos:  Sn=q0+q1=1+4=5    obs: 42-1= 16-1=15

implica Sn=15

I)       PG de 3 termos:   Sn=q0+q1+q2=1+4+16=21   obs: 4³-1=64-1= 63

implica Sn= 63

Vamos realizar os cálculos com a fórmula da PG Sn = a1.(q n   - 1)

                                                                              q - 1         

 Sn =  a 1.(q n   - 1)     Sn=(4¹-1)/4-1= 1  diferente de   Sn=qn-1    Sn== 41 -

1= 3

            q - 1         

Sn =  a 1.(q n   – 1)    Sn=(4²-1)/4-1=5  diferente de   Sn=qn  -1    Sn 42 -1=

16-1= 15

           q - 1         

Sn =  a 1.(q n   - 1)     Sn=(4³-1)4-1=21  diferente de  Sn=qn  -1  Sn= 4³ -1=

64-1= 63

           q - 1         

Todas  incorretas utilizando Sn=qn-1 no de caso q=4, mas note que é

o triplo do valor da fórmula correta da PG utilizando-se Sn=qn-1.  Note

que Sn=qn-1, no caso de q=4 Sn vai ser o triplo, ou seja, é

multiplicado por 3, mas se fizermos isso dividirmos por  q-1,ou

seja  4-1=3, porque 4 é a razão dela ai ela ficará correta,  mas

teremos sempre que dividir pela razão menos 1, nesse caso 4-

1=3, dividimos por 3.

O que podemos deduzir é que a fórmula Sn=qn-1 está parcialmente

correta. Após os cálculos com q=3 e q=4 constata-se que acontece uma

divisão do número qn-1, que é sempre dividido pela equação q-

1,  ela fica oculta no caso do número q=2, porque q-1 é 2-1=1, e vai

ficar sempre oculto, mas a partir  do número 3 e 4 tirasse todas as

dúvidas.

Então fica Sn  = a 1.(q n   - 1)      porque como falei a1 é proporcional a Sn.                            q - 1