Exercicios topologia diferencial

Universidade Federal Fluminense Atualizado em: 16 de agosto de 2010 às 16 h 50 min.Instituto de MatemáticaCoordenação de Pós-Graduação Prof. Saponga

Topologia Diferencial I

Lista de ExercíciosNOTA:

Nessa lista, a palavra “diferenciável” significa:de classe C∞ ;

a palavra “difeomorfismo” significa:difeomorfismo de classe C∞ ;

a partir do exercício de número 101, a palavra “variedade” significa:variedade diferenciável de classe C∞ e sem bordo.

1. Sejam f : X → Y e g : Y → Z aplicações diferenciáveis onde X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm e Z ⊂ Rk sãosubconjuntos quaisquer. Mostre que g ◦ f é uma aplicação diferenciável.

2. Sejam X = {(x, |x|) ∈ R2 ; x ∈ R } e Y = {(x, x2) ∈ R2 ; x ∈ R }. Mostre que esses espaços sãohomeomorfos mas não são difeomorfos.

3. Mostre que os conjuntos a seguir são variedades diferenciáveis e determine suas dimensões. Faça issoexibindo um atlas de parametrizações para cada uma delas.

(a){

(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 ;n+1∑i=1

x2i

a2i

= 1}

onde a1, . . . , an, an+1 são números reais positivos;

(b){

(x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1 ;n∑i=1

x2i

a2i

= 1}

onde a1, . . . , an são números reais positivos;

(c) Subespaços afins de Rn de dimensão 0 < k ≤ n ;

(d) O gráfico de uma aplicação diferenciável f : U → Rm onde U ⊂ Rn é aberto;

(e){

(x, y, z) ∈ R3 ; z2 +(√

x2 + y2 − 2)2

= 1}

;

(f) GL(n,R) .

4. Mostre que as variedades listadas a seguir são difeomorfas:

(i) a do item (a) acima e Sn;

(ii) a do item (b) acima e Rn − {0};

(iii) a do item (e) e o 2-toro T2 = S1 × S1 ⊂ R2 × R2.

5. Volte ao primeiro exercício e construa uma base para o espaço tangente TpM onde

(i) M é a variedade do item (a) e p =1√n+ 1

(a1, . . . , an+1) ;

(ii) M é a variedade do item (d) e p =(q , f(q)

)∈ U × Rm ;

(iii) M é a variedade do item (e) e p =(√

22

(2 +

√2

2

),

√2

2

(2 +

√2

2

),

√2

2

).

Topologia Diferencial I - Verão 2009 / Saponga - UFF 2

6. Construa um atlas de parametrizações para a faixa de Möbius.

7. Sejam U ⊂ Rn aberto e Y ⊂ Rm um conjunto qualquer. Suponha que f : U → Y é um difeomor-fismo local.

(i) Mostre que para cada p ∈ U tem-se que Df(p) : Rn → Rm é injetora;

(ii) Conclua que se M ⊂ Rk é uma variedade diferenciável de dimensão n então n ≤ k ;

(iii) Mostre que o caso n = k ocorre se, e somente se, M é um aberto de Rk.

8. Sejam Nn ⊂Mm variedades.

(i) Mostre que n ≤ m;

(ii) Mostre que n = m se, e somente se, N é um aberto de M .

9. Quais dos conjuntos abaixo não são variedades diferenciáveis ? Faça esboços para cada um deles.

(a) {(x, y, z) ∈ R3 ; z + |y| = 1} ;

(b) {(x, y, z) ∈ R3 ; z =√x2 + y2} ;

(c) {(x, y, 0) ∈ R3 ; |x| > 0} ;

(d) {(x, y) ∈ R2 ; x2/3 + y2/3 = 1} ;

(e) {(x, y, z) ∈ R3 ; 4x2 + 4(y −√z)2 = z} ;

(f) {(x, y) ∈ R2 ; x > 0 e y > 0} ;

(g) z2(√

x2 + y2 − 2)

= a onde a > 0 ;

(h) (ρ− 4π)2 + z2 = θ2 onde ρ, θ, z são as coordenadas cilíndricas;

(i) ρ = eθ onde ρ, θ, z são como acima.

10. Use o Teorema da Partição da Unidade para subconjuntos de Rn apresentado em sala de aula e prove oseguinte resultado.

Sejam M uma variedade diferenciável e O uma família de abertos de M que cobrem M . Então,existe uma família (fj)j∈Λ⊂Z+ de aplicações diferenciáveis fj : M → [ 0 , 1 ] ⊂ R com as seguintespropriedades:

(i) supp(fj) é compacto para todo j ∈ Λ e está contido em algum membro da família O ;

(ii)(Int(supp(fj))

)j∈Λ

é uma cobertura localmente finita de A ;

(iii)∑j∈Λ

fj(x) = 1 para todo x ∈M .

11. Sejam M uma variedade diferenciável e O = {Ui}i∈Λ⊂Z+ uma cobertura localmente finita de M porabertos relativamente compactos1. Mostre que existe uma família {fi}i∈Λ de aplicações diferenciáveisfi : M → [ 0 , 1 ] ⊂ R com as seguintes propriedades :

(a) supp(fi) ⊂ Ui para todo i ∈ Λ e é compacto;

(b)∑i∈Λ

fi(x) = 1 para todo x ∈M .

12. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rl variedades diferenciáveis. Mostre que M ×N ⊂ Rk×Rl é uma variedadediferenciável e que dim(M ×N) = dim(M) + dim(N) . Mostre também que existe uma identificaçãonatural de T(x,y)(M × N) com (TxM) × (TyN) . Generalize esse resultado para um número finitoqualquer de variedades.

13. Seja Γ uma variedade diferenciável 1-dimensional, conexa e contida no semi-plano

{(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0 e y > 0}.

Seja M ⊂ R3 o conjunto obtido girando Γ em torno do eixo z.1Isto é, o fecho em M de cada Ui é um conjunto compacto.


(i) Mostre que M é uma variedade diferenciável de dimensão 2 conexa, determinando um atlas deparametrizações para M ;

(ii) Mostre que M é difeomorfa a T2 ou ao cilindro {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y2 = 1} ;

(iii) Generalize esse resultado para dimensões maiores.

14. Sejam M uma variedade diferenciável e f : M → Rk um um mergulho diferenciável (difeomor-fismo sobre a imagem). Mostre que f(M) é uma variedade diferenciável e f : M → f(M) é umdifeomorfismo.

15. Seja f : M → N1 × . . .×Ns onde N1, . . . , Ns são variedades diferenciáveis.

(a) Mostre que a aplicação f = (f1, . . . , fs) é diferenciável se, e somente se, fi : M → Ni édiferenciável para cada i ∈ {1, . . . , s} ;

(b) Mostre também se f = (f1, . . . , fs) é diferenciável então

Df(p) · v =(Df1(p) · v , . . . , Dfs(p) · v

)para cada v ∈ TpM.

16. A definição de variedade dada em sala de aula é diferente da definição apresentada no livro de M. Spivak(Calculus on Manifolds) e no do Manfredo do Carmo (Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies).Mostre que estas três definições são equivalentes.

17. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis. Considere um campo vetorial diferenciável Xe uma aplicação diferenciável f : M → N . Mostre que a aplicação

p ∈MF−−−→ F (p) = Df(p) ·X(p) ∈ Rℓ

é diferenciável.

18. Mostre que todo homeomorfismo de Rn se estende a um homeomorfismo da esfera Sn.

19. Mostre que todo homeomorfismo do cilindro Sn×R se estende a um homeomorfismo da esfera Sn+1.

20. Sejam X ⊂ Rn um subconjunto qualquer, não vazio e f : X → Rm uma aplicação diferenciável.Mostre que f se estende a uma aplicação diferenciável numa vizinhança aberta U de X . Podemostomar U = Rn ?

Sugestão: Use uma partição da unidade !!

21. Seja M = Gráfico(f) onde f : U → Rm é uma aplicação diferenciável e U ⊂ Rn é aberto. Mostreque M e U são variedades difeomorfas.

22. Seja Mn ⊂ Rk uma variedade e seja (U, ϕ) um sistema de coordenadas definido num aberto U de Me tomando valores no aberto ϕ(U) de Rn. Mostre que, dado p ∈ U , existe uma vizinhança aberta Vde p em Rk e um difeomorfismo Φ de V sobre um aberto de Rn × Rk−n tal que Φ(x) = (ϕ(x), 0)para todo x ∈ V ∩ U .

23. Enuncie e demonstre uma versão do Teorema da Forma Local das Submersões para aplicações entrevariedades diferenciáveis.

24. Enuncie e demonstre uma versão do Teorema da Forma Local das Imersões para aplicações entre varie-dades diferenciáveis.

25. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis e seja F : U × M → N uma aplicaçãodiferenciável onde U é um aberto de Rn. Mostre que a aplicação

∂F

∂xi: (x, p) ∈ U ×M 7→ ∂F

∂xi(p, x) ∈ Rℓ

é diferenciável. Mostre também que

∂F

∂xi(p, x) ∈ TqN onde q = F (p, x) .


26. Seja Mm ⊂ Rk uma variedade e N um subconjunto de Mm. Mostre que N é uma subvariedade deMm de dimensão n se, e somente se: para cada p ∈ N existe um aberto U ∋ p de M e um sistemade coordenadas locais ϕ de M definido em U , tomando valores num aberto de Rn × Rm−n e tal queϕ(U ∩N) = ϕ(U) ∩ (Rn × {0}).

27. Sejam M1 e M2 duas variedades diferenciáveis e seja N uma subvariedade de M1. Mostre quef : N → M2 é diferenciável se, e somente se: para cada p ∈ N existe uma vizinhança aberta U de pem M1 e uma aplicação diferenciável F : U →M2 tal que F = f em U .

28. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis e seja f : M → N uma aplicação diferenciável.Fixe normas em Rk e Rℓ, e para cada p ∈M defina a aplicação

p ∈MF−−−→ ∥Df(p)∥ ∈ R

onde as normas em TpM ⊂ Rk e Tf(p)N ⊂ Rℓ são as normas induzidas por Rk e Rℓ respectivamente.Além disso, ∥Df(p)∥ se refere a norma do supremo na bola unitária em TpM . Mostre que F écontínua.

29. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades. Mostre que f é localmente deLipschitz.

30. Faça uma versão do Teorema da Desigualdade do Valor Médio para aplicações diferenciáveis entreesferas. Mais precisamente, fixe normas em Rn+1 e Rm+1, e considere as esferas Sn ⊂ Rn+1 eSm ⊂ Rm+1. Seja f : Sn → Sm uma aplicação diferenciável e considere p, q ∈ Sn com p ̸= −q .Denotemos por [ p , q ] o menor arco geodésico de p à q , isto é, o menor arco de p à q no grandecírculo de Sn contido no plano passando por p, q e pela origem (quando p = q entendemos que [ p , q ]se reduz a um ponto). Mostre que

∥f(p) − f(q)∥ ≤ π

2sup

{∥Df(ξ)∥ ; ξ ∈ [ p , q ]

}∥p− q∥ .

Aqui, a norma da derivada é aquela do exercício (28).

31. Seja M ⊂ Rk uma variedade sem bordo. Mostre que o conjunto

Nr(M) ={x+ v ∈ Rk ; x ∈M , v ∈ (TxM)⊥ e ∥v∥ < r

}é uma vizinhança aberta de M em Rk para todo r > 0 .

32. Sejam M ⊂ Rk uma variedade e ϕ : U ⊂ Rn → M uma parametrização de M definida num abertoU ∋ 0 e seja p = ϕ(0). Fixemos em Rk o produto interno usual e consideremos a seguinte aplicação:

(x, v) ∈ U × (TpM)⊥ψ−−−→ ϕ(x) + v ∈ Rk.

(i) Mostre que ψ é um difeomorfismo numa vizinhança da origem 0 ∈ Rn × (TpM)⊥;

(ii) Defina a aplicação

(x, v) ∈ U × (TpM)⊥φ−−−→ ϕ(x) + Π(Tϕ(x)M)⊥(v) ∈ Rk

onde Π(Tϕ(x)M)⊥(v) é a projeção sobre (Tϕ(x)M)⊥ paralelamente a Tϕ(x)M .

(ii.a) Mostre que φ é um difeomorfismo numa vizinhança da origem 0 ∈ Rn × (TpM)⊥ ;(ii.b) Escolhendo a vizinhança do item acima na forma V × Br(0) ⊂ U × (TpM)⊥ mostre que,

para cada x ∈ V tem-se que

φ({x} ×Br(0)) ⊂ (Tϕ(x)M)⊥ + ϕ(x) ;

(ii.c) Mostre que para cada x ∈ V , a aplicação φ(x, ·) : (TpM)⊥ → (Tϕ(x)M)⊥ + ϕ(x) é umisomorfismo afim.


33. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável e seja K ⊂ M um conjunto compacto. Repita o processode construção de uma vizinhança tubular para uma variedade compacta para tentar construir algo do tipouma vizinhança tubular (em Rk) para uma vizinhança aberta de K em M .

34. Sejam M ⊂ Rk uma variedade diferenciável e N ⊂ M uma variedade compacta. Imitando o quefoi feito em sala para a construção de uma vizinhança tubular de M em Rk construa uma vizinhançatubular de N em M .

35. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta e seja p ∈ Rk\M . Sabemos que existe um ponto q ∈ M querealiza a distância de p a M , isto é, tal que

d(p ,M) = d(p, q)

onde d(p, q) é a distância usual em Rk e

d(p ,M) = inf{d(p, x) ; x ∈M

}.

Mostre que o vetor q − p é ortogonal a TqM .

36. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta e seja p ∈ Rk\M . Considere ϵ > 0 suficientemente pequenopara que a vizinhança tubular Nϵ(M) esteja bem definida. Mostre que se d(p,M) < ϵ então p ∈Nϵ(M) .

37. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta e considere ϵ > 0 suficientemente pequeno para que a vizi-nhança tubular Nϵ(M) esteja bem definida. Dado p ∈ M mostre que a distância de p a M coincidecom a distância de p a M medida ao longo do disco da vizinhança tubular que passa por p.

38. Sejam M ⊂ Rℓ e N ⊂ Rk variedades diferenciáveis compactas e seja f : M → N uma apli-cação contínua. Mostre que, dado ϵ > 0 existe uma aplicação diferenciável g : M → N tal que∥f(x) − g(x)∥ < ϵ para todo x ∈M onde ∥ · ∥ denota a norma usual em Rk.

39. Sejam M ⊂ Rℓ e N ⊂ Rk variedades diferenciáveis onde apenas M é compacta e seja f : M → Numa aplicação contínua. Mostre que, dado ϵ > 0 existe uma aplicação diferenciável g : M → N talque ∥f(x) − g(x)∥ < ϵ para todo x ∈M onde ∥ · ∥ denota a norma usual em Rk.

40. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis e seja f : M → N uma aplicação diferenciável.Fixe em Rk um produto interno e para cada p ∈ M considere a aplicação linear Df̂(p) : Rk → Rℓdada por

Df̂(p) · v =

{Df(p) · v quando v ∈ TpM

0 quando v ∈ (TpM)⊥.

Mostre que a aplicação definida por

p ∈MF−−−→ Df̂(p) ∈ L(Rk,Rℓ)

é diferenciável.

41. Seja p um ponto interior a esfera Sn ⊂ Rn+1 onde n ≥ 1. Mostre que a projeção de Rn+1 − {p}sobre Sn ao longo das semiretas partindo de p é diferenciável.

42. Seja U ={(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 ; x1, . . . , xn+1 ≥ 0 e nem todo são nulos

}e seja

∆ ={(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 ; x1 + · · · + xn+1 = 1 e (x1, . . . , xn+1) ∈ U

}onde n ≥ 1. Considere a aplicação projeção radial ϕ de U sobre ∆. Mostre que ϕ é diferenciável.

43. Existe alguma imersão diferenciável do toro T2 no plano ?

44. Mostre que existe uma imersão diferenciável de T2−{ponto} no plano.

45. Construa um mergulho diferenciável de Sn×R em Rn+1 onde n ≥ 1. Use esse resultado para mostrarque:


(i) S3 × S1 pode ser diferenciavelmente mergulhado em R5 ;

(ii) S3 × S2 pode ser diferenciavelmente mergulhado em R6 ;

(iii) Sn × Sm pode ser diferenciavelmente mergulhado em Rn+m+1 ;

(iv) Sn1 × · · · × Snk pode ser diferenciavelmente mergulhado em Rn+1 onde n = n1 + · · · + nk eni ≥ 1 para todo 1 ≤ i ≤ k.

46. Mostre que se uma variedade de dimensão n é produto de um número finito de esferas então, ela podeser mergulhada em Rn+1 com um mergulho diferenciável.

47. Seja M ⊂ Rk uma variedade. Dizemos que M é conexa por caminhos quando: dados x, y ∈ M ,existe uma curva γ : [ 0 , 1 ] →M contínua tal que γ(0) = x e γ(1) = y. Mostre que M é conexa se,e somente se, M é conexa por caminho.

48. Sejam M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ variedades diferenciáveis. Considere f : M → N um difeomorfismolocal. Seja X um campo vetorial diferenciável em M e suponha que

D(p) ·X(p) = D(q) ·X(q)

sempre que f(p) = f(q) .

(i) Mostre que f(M) é um aberto na variedade N ;

(ii) Mostre que existe um único campo vetorial diferenciável Y em f(M) tal que Df(p) · X(p) =Y (f(p)) . Tal campo Y é denotado por f∗(X) ;

(iii) Seja f(x) = x3 para todo x ∈ R . Mostre que existe um campo vetorial diferenciável X em Rtal que f∗(X) não é um campo vetorial diferenciável.

49. Sejam M uma variedade, X um campo vetorial diferenciável em M e p ∈ M . Para cada aplicaçãof : U → R diferenciável numa vizinhança aberta U de p em M defina

X(f) : U → R por X(f)(q) = Df(q) ·X(q)

(i) Mostre que X(f) é uma aplicação diferenciável e interprete-a;

(ii) Mostre que X se anula em p ∈ M se, e somente se, para cada f : U → R diferenciável edefinida numa vizinhança aberta qualquer U de p em M tem-se que X(f)(p) = 0.

50. Seja π um hiperplano em Rn que não passa por um dado ponto p ∈ Rn. Mostre que o lugar geométricodos pontos eqüidistantes de π e de p é uma variedade de dimensão n− 1 onde n ≥ 2.

51. Seja M uma variedade compacta. Mostre que toda aplicação diferenciável de M em R tem pelomenos dois pontos críticos.

52. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável compacta e p ∈ Rk−M . Mostre que se q ∈ M satisfazd(p,M) = d(p, q) então a reta passando por p, q é perpendicular à M em q , isto é, a reta por p , q éperpendicular à TqM .

53. Seja f : M → N uma aplicação contínua entre variedades. Mostre que f é diferenciável se, e somentese, g ◦ f é diferenciável para toda g : N → R diferenciável.

54. Sejam M,N ⊂ Rk variedades diferenciáveis compactas e disjuntas. Considere a aplicação F : M → Rdefinida por F (x) = d(x,N) . Mostre que F é diferenciável.

55. Seja M(n; R) o conjunto das matrizes reais n× n.

(i) Mostre que o conjunto {A ∈ M(n; R) ; A + At = 0} é um subespaço vetorial de M(n; R) edetermine sua dimensão;

(ii) Mostre que o grupo ortogonal On(R) é uma variedade diferenciável de dimensão n(n− 1)/2 ;

(iii) Mostre que On(R) é compacto e tem apenas duas componentes conexas;

(iv) Determine o espaço tangente a On(R) na matriz identidade, como subespaço de M(n; R) .


56. Mostre que o grupo linear especial

SLn(R) ={A ∈ M(n; R) ; det(A) = 1

}é uma variedade diferenciável não compacta de dimensão n2 − 1 .

57. Seja f : S2 → R4 dada por f(x, y, z) = (yz, xz, xy, x2 + 2y2 + 3z2) . Mostre que Im(f) é umavariedade diferenciável. Trata-se do plano projetivo RP2.

58. Mostre que S2 é um recobrimento a duas folhas de RP2.

59. Mostre que o conjunto das matrizes reais n× n que têm posto k > 0 é uma variedade diferenciável decodimensão (n− k)2 em M(n; R).

60. Seja E o conjunto das matrizes m×n a coeficientes reais. Mostre que o subconjunto dos elementos deE que têm posto k > 0 é uma variedade diferenciável de codimensão (m− k)(n− k) em E.

61. Mergulho de RPn em S2n.Considere h : Rn+1 × Rn+1 → R2n+1 dada por

h(x0, . . . , xn, y0, . . . , yn) = (z0, . . . , z2n) onde zk =∑i+j=k

xiyj

e defina g : Sn → S2n por g(x) =h(x, x)

||h(x, x)||. Mostre que Im(g) mergulha RPn em S2n.

62. Mostre que Sn é um recobrimento a duas folhas de RPn.

63. Mostre que para cada n ≥ 0 existe um fluxo global diferenciável em S1 com exatamente n pontosfixos.

64. Construa um fluxo global diferenciável em S2 que tem exatamente dois pontos fixos e apenas umaórbita periódica.

65. Construa um campo de vetores diferenciável em S2 com apenas uma singularidade.

66. Mostre que o campo vetorial X(x) = x2 em R não possui um fluxo global a ele associado.

67. Considere a aplicação ϕ : R × S2 → S2 definida por

ϕ(t, x, y, z) := (x, y cos t− z sin t, y sin t+ z cos t).

(i) Mostre que ϕ é um fluxo global em S2;

(ii) Esboce suas órbitas;

(iii) Determine o campo vetorial associado.

68. Seja X um campo de vetores diferenciável definido num aberto U ⊂ Rn. Suponha que existe ϵ > 0tal que o fluxo local de X está bem definido em (−ϵ, ϵ) × U . Mostre que X possui um fluxo globalem U .

69. Seja X um campo de vetores diferenciável numa variedade M . Suponha que existe ϵ > 0 tal que ofluxo local de X está bem definido em (−ϵ, ϵ) ×M . Mostre que X possui um fluxo global em M .

70. Para cada n ∈ Z+ construa um campo de vetores diferenciável em S2 com exatamente n singularida-des.

71. Construa um campo de vetores diferenciável em RP2 que tem uma única singularidade e todas as outrasórbitas são periódicas.

72. Construa um campo de vetores diferenciável em Sn com apenas uma singularidade.

73. Dê exemplos de campos de vetores diferenciáveis definidos em todo Rn e que não possuem um fluxoglobal.


74. De forma similar ao que fizemos em sala para fluxos diferenciáveis, definimos:

Um fluxo topológico numa variedade diferenciável M é uma aplicação ψ : R ×M → M contínuasatisfazendo as seguintes condições:

(i) ψ(0, p) = p para todo p ∈M ;

(ii) ψ(s, ψ(t, p)) = ψ(s+ t, p) para todo s, t ∈ R e p ∈M .

Mostre que:

(iii) para todo t ∈ R a aplicação ψt : M → M dada por ψt(p) = ψ(t, p) com p ∈ M é umhomeomorfismo;

(iv) ψt ◦ ψs = ψs+t para todo s, t ∈ R .

Para cada p ∈M o conjunto Op(ψ) = {ψt(p) ∈M ; t ∈ R} é dito órbita de ψ por p. Dizemos quep ∈M é ponto fixo para ψ quando ψt(p) = p para todo t ∈ R .

(v) Mostre que duas órbitas ou são disjuntas ou coincidem;

(vi) Mostre que se existem p ∈ M e a, b ∈ R com a < b tais que ψa(p) = ψb(p) então, ou p é umponto fixo de ψ ou a órbita de ψ por p é homeomorfa ao círculo S1. Nesse último caso dizemosque a órbita é dita periódica ;

(vii) Defina o que deve ser o período de uma órbita periódica.

75. Mostre que toda subvariedade de M que é difeomorfa a S1 pode ser realizada como órbita de um fluxoglobal diferenciável sobre M .

76. Um aberto U ⊂ Rn é estrelado com relação a um ponto p ∈ U quando, para cada x ∈ U o segmentode reta de x a p está contido em U . Mostre que se U é estrelado com relação a p ∈ U então ele éC∞-difeomorfo a Rn.

77. Considere a aplicação 0 ̸= z ∈ C f−−→ 1/zn ∈ C onde n ∈ Z+ e defina F : S2 → S2 por:

F (z) :=

(0, 0,−1) quando x = (0, 0, 1)h−1

+ ◦ f ◦ h+(x) quando x ∈ S2 − {(0, 0, 1), (0, 0,−1)}(0, 0, 1) quando x = (0, 0,−1) .

Mostre que a aplicação F é diferenciável.

78. Seja p : C → C um polinômio de grau maior ou igual a 1 e seja Z = {z ∈ C ; p(z) = 0}. Considere

a aplicação z ∈ C −Z f−−→ 1/f(z) ∈ C e defina a aplicação F : S2 → S2 por:

F (z) :=

(0, 0,−1) quando x = (0, 0, 1)h−1

+ ◦ f ◦ h+(x) quando x ∈ S2 − h−1+ (Z) ∪ {(0, 0, 1)}

(0, 0, 1) quando x ∈ h−1+ (Z) .

Mostre que a aplicação F é diferenciável.

79. Enuncie e resolva um exercício semelhante ao anterior trocando f por um quociente de polinômios.

80. Determine as expressões de h+ e h− e mostre a relação h+(h−)−1(z) = 1/z̄ para todo 0 ̸= z ∈ C.Você pode mostrar a relação acima por cálculo direto com as expressões de h+ e h− .

81. Na demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra, apresentada em aula, a condição que a aplicação(h+)−1Ph+ : S2 → S2 seja de classe C∞ é essencial?

Sugestão: Dê uma olhada no exercício a seguir !!

82. Seja f : M → N uma aplicação contínua entre variedades conexas de mesma dimensão, com Mcompacta. Suponha que:

(i) f é diferenciável a menos de um número finito de pontos de M ;


(ii) f possui apenas um número finito de valores críticos.

Mostre que, ou f é constante ou f é sobrejetora.

83. Construa uma aplicação f : R → R diferenciável e tal que o conjunto de valores críticos não é fechado.Faça uma construção geométrica.

84. Construa uma aplicação f : R → R diferenciável com a seguinte propriedade: para cada inteiro n ≥ 0,existe um valor regular b ∈ R tal que #(f−1(b)) = n.

85. Prove ou dê um contra-exemplo para o seguinte fato.

Sejam M e N variedades diferenciáveis de mesma dimensão compactas e conexas. Seja C o conjuntodos pontos críticos de uma aplicação diferenciável f : M → N . Então,{

#(f−1(q)) ∈ Z ; q ∈ N − f(C)}⊂ R

é um conjunto limitado.

86. Seja P (z) ; z ∈ C um polinômio. Mostre que se dPdz (a) ̸= 0 então, DP (a) : R2 → R2 é um

isomorfismo.

87. Seja P : R2 → R2 uma aplicação polinomial não nula, isto é, cada função coordenada de P é umpolinômio real a duas variáveis e P não é identicamente nulo. Mostre que P pode se anular numainfinidade de pontos.

88. Seja P (z) ; z ∈ C um polinômio de grau n ≥ 1. Mostre que #(P−1(z)

)= n exceto para um número

finito de valores de z ∈ C .

89. Sejam f : M → N um mergulho diferenciável. Mostre que se M é compacta e N é conexa então, Né compacta e f é um difeomorfismo.

90. Seja X um campo vetorial diferenciável definido num aberto U ⊂ Rn. Mostre que existe uma aplicaçãodiferenciável f : U ⊂ Rn → ( 0 ,∞) tal que o fluxo local de X está bem definido em{

(t, x) ∈ R × U ; −f(x) < t < f(x) e x ∈ U}.

91. Considere Sn ⊂ Rn+1 onde n é ímpar e n ≥ 1. Vimos que

X(x1, . . . , xn, xn+1) = (−x2, x1, . . . ,−xn+1, xn) para todo (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1

é um campo vetorial diferenciável em Sn sem singularidades. Descreva as curvas integrais de X edetermine seu fluxo.

92. Considere Sn ⊂ Rn+1 onde n é par e n ≥ 1. Mostre que

X(x1, . . . , xn, xn+1) = (−x2, x1, . . . ,−xn, xn−1, 0) para todo (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1

é um campo vetorial em Sn com apenas duas singularidades. Descreva suas curvas integrais e determineseu fluxo.

93. Sejam Mm e Nn variedades diferenciáveis com m ̸= n e seja f : M → N uma aplicação dife-renciável. Suponha que M é compacta e que b ∈ N é valor regular de f . Mostre que existe umavizinhança de b em N onde todos os pontos são valores regulares de f . Conclua que, também nessecaso, o conjunto dos valores regulares é um aberto de N .

94. Seja K ⊂ Rn um conjunto fechado.

(i) Mostre que existe uma aplicação f : Rn → [ 0 , 1 ] ⊂ R diferenciável tal que f−1(0) = F ;

(ii) Construa uma variedade diferenciável M ⊂ Rn+1 tal que M ∩ Rn = F . Aqui estamos identifi-cando Rn (resp. F ) com Rn × {0} ⊂ Rn+1 (resp. F × {0} ⊂ Rn+1).


Sugestão: Para o item (i) considere uma cobertura {Di}i∈Z+ de Rn\K por discos abertos e umafamília de aplicações diferenciáveis {fi}i∈Z+ tais que fi : Rn → [ 0 , 1 ] ⊂ R , Int

(supp(fi)

)⊂ Di e

todas as derivadas parciais de fi até ordem i é menor que 2−i.

95. Seja K ⊂ Rn um conjunto fechado. Mostre que existe um fluxo global diferenciável em Rn cujoconjunto de pontos fixos é K.

96. Sejam M uma variedade diferenciável e F ⊂ M um subconjunto fechado de M . Mostre que existeuma aplicação diferenciável f : M → R tal que f−1(0) = F .

97. Seja F ⊂ Rn um subconjunto fechado. Mostre que existe um campo vetorial diferenciável X em Rnsatisfazendo:

(i) Sing(X) = F ;

(ii) X tem fluxo global.

98. Sejam M uma variedade diferenciável e F ⊂ M um subconjunto fechado de M . Mostre que existeum campo vetorial diferenciável X em M satisfazendo:

(i) Sing(X) = F ;

(ii) X tem fluxo global.

99. Seja X um campo de vetores diferenciável numa variedade M . Mostre que existe f : M → R positivae diferenciável tal que o campo fX tem fluxo global.

Sugestão: Use uma partição da unidade !!

100. Uma superfície compacta de genus p é uma variedade 2-dimensional homeomorfa ao espaço obtidoremovendo o interior de 2p discos de dimensão 2 de S2 e colando p cilindros disjuntos aos seusbordos.

(i) Mostre que para cada inteiro não negativo p existe uma função polinomial fp : R3 → R tendo 0como valor regular e tal que f−1

p (0) é uma superfície de genus p.Para isso, considere funções da forma (F (x, y))2 + z2 − ϵ2 onde F (x, y) = 0 define uma curvafechada em R2 com p− 1 pontos de cruzamento.

(ii) Antes porém, analize os exemplos:

f0(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1f1(x, y, z) = (x2 + y2 − 4)2 + z2 − 1

f2(x, y, z) =[4x2(1 − x2) − y2

]2

+ z2 − 1/4

(iii) Qual é o grau mínimo para fp ?

NOTA:

A partir de agora, a palavra “variedade” significa:variedade diferenciável de classe C∞ eventualmente com bordo não vazio e

quando a variedade não tiver bordo isso será dito explicitamente.

101. Sejam M,N variedades onde ∂M = ∅ e ∂N ̸= ∅. Pergunta-se: o produto cartesiano M ×N é umavariedade ? Qual é o seu bordo? Se ∂M ̸= ∅ podemos concluir que M ×N é uma variedade ?

102. A curva plana cuja equação em coordenadas polares é r = exp(−θ) com θ ∈ R é uma variedade ? Ese incluirmos a origem, teremos uma variedade com bordo ?

103. Seja f : Mm → Nn uma aplicação diferenciável entre variedades, onde m < n. Mostre que a imagempor f de um conjunto de medida nula em M , tem medida nula em N .

104. Mostre que Rn tem medida de Lebesgue nula em Rn+1.


105. Sejam M e N variedades diferenciáveis tais que N ⊂M e dim(N) < dim(M). Mostre que N temmedida de Lebesgue nula em M .

106. Mostre que na definição de conjunto de medida de Lebesgue nula em Rn podemos trocar cubos com-pactos por:

(i) cubos abertos ;

(ii) conjuntos do tipo [x1 − a1, x1 + b1] × · · · × [xn − an, xn + bn] onde a1, b1, . . . , an, bn > 0 ;

(iii) discos fechados {x ∈ Rn ; ∥x− p∥ ≤ r} onde r > 0 e ∥ · ∥ é a norma usual em Rn ;

(iv) faça outras sugestões !!

107. Seja A ⊂ Rn un conjunto saturado por retas passando pela origem de Rn, onde n ≥ 2 . Mostre queA tem medida de Lebesgue nula em Rn se, e somente se, a projeção radial de A\{0} sobre a esferaSn−1 tem medida de Lebesgue nula em Sn−1.

108. Faça uma versão do Teorema da Função Inversa para variedades com bordo.

109. Sejam Mm, Nn variedades diferenciáveis com ∂Mm ̸= ∅ e m > n . Sejam f : Mm → Nn umaaplicação diferenciável e p ∈ ∂M tal que Df(p)

∣∣Tp(∂M)

é sobrejetora. Mostre que:

(i) existe um aberto U ∋ p em Mm e um sistema de coordenadas (U,ψ) tomando valores no aberto(−a , a )m−n−1 × (−a , a )n × [ 0 , a ) de Hm com ψ(p) = 0 ;

(ii) existe um aberto V ∋ f(p) em Nn e um sistema de coordenadas (V, ϕ) tomando valores noaberto (−a , a )n de Rn com ϕ(f(p)) = 0;

satisfazendo as condições:

(iii) f(U) ⊂ V ;

(iv) o representante de f nesse par de sistemas de coordenadas é a projeção:

(x, y, t) ∈ (−a , a )m−n−1 × (−a , a )n × [ 0 , a ) π−−−→ y ∈ (−a , a )n.

110. Mostre que uma variedade M é conexa se, e somente se, é conexa por caminhos.

111. Mostre que uma variedade M é conexa se, e somente se, Int(M) é conexo.

112. Sejam f : M → N aplicação diferenciável e p ∈ M . Suponha que Df(p) é sobrejetora e quep ∈ Int(M). Mostre que f(p) ∈ Int(N).

113. Seja f : M → R uma aplicação diferenciável. Suponha que ∂M = ∅ e que a , b ∈ R são valoresregulares de f com a < b. Mostre que f−1([ a , b ]) é uma variedade diferenciável com bordo e que∂f−1([ a , b ]) = f−1(a) ∪ f−1(b).

114. Seja M uma variedade com ∂M ̸= ∅. Mostre que existe uma variedade N difeomorfa a M e tal queM ( N .

115. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta com ∂M ̸= ∅. Mostre que existe uma variedade N ⊂ Rkdifeomorfa a M e tal que M ⊂ Int(N).

Sugestão: Tente algo parecido com a construção da vizinhança colar do bordo.

116. Seja Mn ⊂ Rk uma variedade compacta, com bordo não-vazio. Mostre que existe uma variedadeNn ⊂ Rk sem bordo e tal que M ⊂ N .

117. Sejam M,N variedades sem bordo e f : M → N uma aplicação diferenciável onde N é conexa.

(i) Suponha, nesse item, que o conjunto dos valores regulares de f é aberto em N . Se b e b′ sãovalores regulares e estão próximos, podemos garantir que f−1(b) e f−1(b′) são difeomorfas?

(ii) Suponha que M é compacta. O que podemos dar como resposta para a pergunta do item anterior?

(iii) E se M é compacta e f é sobrejetora, o que podemos dar como resposta para a pergunta doprimeiro item?


(iv) E se M é compacta e f é uma submersão?

118. Sejam Mn ⊂ Rk uma variedade, U ⊂ Hn um aberto e ϕ : U ⊂ Hn → M uma parametrizaçãodo aberto ϕ(U) de M . Use o processo de ortogonalização de Gram-Smidt para construir, via ϕ, umafamília Z1, . . . , Zn de campos vetoriais diferenciáveis ortonormais em ϕ(U) .

119. Sejam M ,N e P variedades diferenciáveis e sejam f : M → N e g : N → P difeomorfismoslocais. Mostre que (g ◦f)∗(X) = (g∗ ◦f∗)(X) para todo campo vetorial diferenciável X na variedadeP .

120. Sejam U ⊂ Rn aberto e (ht)t∈[0,1] uma isotopia diferenciável onde cada ht : U → ht(U) é umdifeomorfismo sobre o aberto ht(U) ⊂ Rn. Seja X um campo vetorial diferenciável definido no abertoV =

∪t∈[0,1] ht(U) ⊂ Rn. Mostre que a aplicação

(x, t) ∈ U × [ 0 , 1 ] F−−−→ F (x, t) = (ht)∗(X) ∈ Rn

é diferenciável.

121. Seja M uma variedade com bordo. Em analogia com o que fizemos em sala, definamos: um fluxodiferenciável em M é uma aplicação ϕ : R ×M →M diferenciável, satisfazendo:

(i) ϕ(0, x) = x para todo x ∈M ;

(ii) ϕ(s+ t, x) = ϕ(s, ϕ(t, x)) para todo x ∈M e s, t ∈ R.

Mostre que:

(iii) um tal fluxo se restringe a um fluxo em ∂M ;

(iv) existe um único campo vetorial diferenciável X em M que é tangente ao bordo de M e cujofluxo global associado é ϕ.

122. Seja M uma variedade compacta com ∂M ̸= ∅ e seja X um campo vetorial diferenciável em M queé tangente a ∂M . Mostre que X admite um fluxo global.

123. Sejam f, g : M → N aplicações diferenciáveis entre variedades. Mostre que o subconjunto de Nformado pelos pontos que são, simultaneamente, valores regulares de f e g é denso em N . O que sepode dizer quando trocamos f, g por uma família (fα)α∈Λ de aplicações diferenciáveis ?

124. Seja Mn ⊂ Rk uma variedade de dimensão 0 ≤ n < k. Mostre que M tem medida de Lebesgue nulaem Rk.

125. Sejam f : M → N e g : N → P aplicações diferenciáveis entre variedades de mesma dimensão. SejaΘ o seguinte conjunto

Θ = {z ∈ P ; z ∈ R(g) e g−1(z) ⊂ R(f)}

onde R(f) denota o conjunto dos valores regulares de f .

(i) Mostre que o conjunto P − Θ tem medida de Lebesgue nula em P ;

(ii) Esse resultado continua verdadeiro quando as variedades não têm a mesma dimensão?

(iii) E se assumirmos que elas não têm a mesma dimensão mas são compactas e sem bordo ?

126. Sejam M,N variedades diferenciáveis e f : M → N uma aplicação diferenciável.

(i) Mostre que quase todo ponto de Int(N) é valor regular de f ;

(ii) Mostre que quase todo ponto de Int(N) é valor regular de f e de f∣∣∂M

.

127. Sejam Mn uma variedade compacta, conexa, sem bordo e f : Mn → Rn+1 uma aplicação diferenciá-vel tal que f(Mn) não contém a origem de Rn+1.

(i) Mostre que existe uma reta em Rn+1 passando pela origem que intersecta f(Mn) em no máximoum número finito de pontos ;

(ii) A condição de Mn ser compacta é essencial para concluir o item (i) ?


(iii) A condição de Mn não ter bordo é essencial para concluir o item (i) ?

(iv) Voltando ao item (i) : é verdade que quase toda reta de Rn+1 passando pela origem intersectaf(Mn) em no máximo um número finito de pontos ? Explique !!

(iv) Será que existe uma cota superior para esse número finito de pontos detectado no item (i) quandoconsideramos apenas as retas que intersectam a imagem de f num número finito de pontos ?

128. Construa uma aplicação diferenciável f : S1 → R2 satisfazendo as condições:

(i) f(S1) não passa pela origem ;

(ii) existe uma infinidade de semiretas em R2, partindo da origem, que intersectam f(S1) numainfinidade de pontos.

129. Seja f : Mn → Nn uma aplicação diferenciável entre variedades compactas, conexas e sem bordo.Sabemos que para cada valor regular b ∈ N tem-se que #

(f−1(b)

)é finito. Pergunta-se: será que

existe ℓ ∈ Z+ tal que #(f−1(p)

)≤ ℓ para todo valor regular p ∈ N?

Comece analizando o caso de aplicações f : S1 → S1 e compare com o que foi feito em sala de aula.

130. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades de mesma dimensão com M compacta,sem bordo e N conexa. Mostre que deg2(f) ≡ 0 quando ∂N ̸= ∅ ou quando N é não compacta.

131. Seja En+k e Fn espaços vetoriais de dimensão n + k e n respectivamente, onde n, k ≥ 1. Fixemosorientações α e β em En+k e Fn respectivamente, e uma aplicação T : En+k → Fn linear esobrejetora. Assim, ker(T ) tem dimensão k. Podemos induzir uma orientação em ker(T ) da seguinteforma.

Fixe um complementar G ⊂ En+k para ker(T ) . Assim, T |G : G → Fn é um isomorfismo. Aorientação em ker(T ) é aquela que seguida da orientação (T |G)−1(β) dá a orientação α.

Mostre que a orientação em ker(T ) independe da escolha do complementar G.

132. Seja M uma variedade orientável, conexa e sejam α, β duas orientações sobre M . Mostre que seα(p) = β(p) para algum p ∈ M então, α(x) = β(x) para todo x ∈ M . Conclua que se M éorientável então, ela admite, exatamente, duas orientações.

133. Seja f : M → N um difeomorfismo local e seja p ∈M . Mostre que existem sistemas de coordenadasϕ e ψ, definidos em vizinhanças abertas de p e f(p) respectivamente, tais que ψ ◦ f ◦ ϕ−1 = Id ondea composição está bem definida.

134. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades sem bordo, onde M é orientável e sejab ∈ f(N) um valor regular para f . Mostre que f−1(b) é uma variedade diferenciável orientável.

135. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável entre variedades onde M é orientável e ∂M ̸= ∅. Sejab ∈ f(N) um valor regular para f e para f

∣∣∂M

. Mostre que f−1(b) é orientável.

136. Sejam M e N variedades diferenciáveis, sem bordo e tais que M é orientável e N é não-orientável.Pergunta-se: M ×N é não-orientável ?

137. Seja Mn ⊂ Rn+1 uma variedade diferenciável. Mostre que Mn é orientável se, e somente se, existeuma aplicação diferenciável X : Mn → Rn+1 tal que X(p) /∈ TpM

n para todo p ∈Mn. Interprete oresultado.

138. Seja Mn ⊂ Rn+1 uma variedade diferenciável. Mostre que Mn é orientável se, e somente se, existeuma aplicação contínua X : Mn → Rn+1 tal que X(p) /∈ TpM

n para todo p ∈Mn.

139. Faça uma versão desses dois últimos resultados trocando Rn+1 por uma variedade orientável de dimen-são n+ 1.

140. Considere a esfera Sn ⊂ Rn+1 com uma orientação. Note que TpSn = T−pS

n ⊂ Rn+1 para todop ∈ Sn. Mostre que as orientações induzidas em TpS

n e T−pSn são distintas.

141. Sejam M e N variedades diferenciáveis, sem bordo e tais que M e N são não-orientáveis. Pergunta-se: M ×N é orientável ?


142. Sejam f, g difeomorfismos isotópicos entre variedades orientáveis. Mostre que f preserva orientaçãose, e somente se, g também o faz.

Isso continua verdadeiro quando f e g são apenas C∞-homotópicas?

143. Sejam f, g difeomorfismos homotópicos entre variedades orientáveis, sem bordo e compactas. Mostreque f preserva orientação se, e somente se, g também o faz.

144. Seja f : U → Rn uma aplicação diferenciável definida num aberto U ⊂ Rn. Mostre que a aplicação

(x, t) ∈ U × [ 0 , 1 ] H−−−→ H(x, t) = tx+ (1 − t)f(x) ∈ Rn

é uma homotopia diferenciável de f à identidade. Ela é dita homotopia baricêntrica.

145. Sejam M ⊂ Rℓ uma variedade diferenciável compacta qualquer e N ⊂ Rk uma variedade diferenci-ável compacta, sem bordo e seja f : M → N uma aplicação contínua (resp. diferenciável). Mostreque existe ρ > 0 tal que se g : M → N é uma aplicação contínua (resp. diferenciável) tal que∥f(x) − g(x)∥ < ρ para todo x ∈ M então f e g são continuamente (resp. diferenciavelmente)homotópicas.

146. Seja f : U → V um difeomorfismo entre abertos de Rn que contêm a origem e tal que f(0) = 0 .Dê condições sobre Df(0) para garantir que existe um aberto W ⊂ U contendo a origem de tal formaque a homotopia baricêntrica defina uma isotopia diferenciável (ht)t∈[0,1] satisfazendo as seguintescondições:

(i) ht(0) = 0 para todo t ∈ [0, 1];

(ii) ht : W → ht(W ) é um difeomorfismo entre aberto de Rn e ht(W ) ⊂ V ;

(iii) h0 = f e ht = Id .

147. Sejam Mn+k e Nn variedades diferenciáveis sem bordo, com n, k ≥ 1 e seja f : M → N umaaplicação diferenciável. Suponha que M e N estão orientadas. É possível dar uma versão do Teoremada Forma Local das Submersões usando sistemas de coordenadas que preservam orientação ?

Isso também pode ser feito quando k = 0 ?

148. Sejam Mn e Nn+k variedades diferenciáveis sem bordo, com n, k ≥ 1 e seja f : M → N umaaplicação diferenciável. Suponha que M e N estão orientadas. É possível dar uma versão do Teoremada Forma Local das Imersões usando sistemas de coordenadas que preservam orientação ?

149. Seja f : Mn+1 → Nn uma aplicação diferenciável entre variedades sem bordo e orientadas. Seja Γuma componente conexa de f−1(b) onde b ∈ f(M) é um valor regular para f . Fixe uma orientaçãoem Γ e para cada p ∈ Γ coloque em TpM a seguinte orientação: fixe um complementar Ep para TpΓem TpM e transporte para Ep a orientação de Tf(p)N via Df(p). A nova orientação Θ(p) em TpMé dada pela orientação de TpΓ seguida da orientação de Ep. Mostre que:

(i) ou Θ(p) coincide com a orientação de M para todo p ∈ Γ;

(ii) ou Θ(p) não coincide com a orientação de M para todo p ∈ Γ.

150. Mostre que a aplicação inclusão de S1 em R2 − {0} não é diferenciavelmente homotópica a umaaplicação constante. Mostre que, de fato, ela não é C0-homotópica a uma aplicação constante.

151. Sejam M uma variedade conexa de dimensão n ≥ 2 e x1, . . . , xk ∈ Int(M) uma coleção de kpontos distintos. Mostre que, dados uma coleção y1, . . . , yk ∈ Int(M) de k pontos distintos, existe umdifeomorfismo f de M isotópico a identidade e tal que f(xi) = yi para todo k ∈ {1, . . . , k}.

152. Sejam Mn uma variedade conexa e x, y pontos distintos de Int(M), e sejam u, v pontos distintos deRn. Mostre que existe um sistema de coordenadas ϕ : U ⊂ M → ϕ(U) = Rn definido no aberto U etal que ϕ(x) = u e ϕ(y) = v.

153. Sejam M uma variedade conexa e p , q ∈ Int(M). Mostre que existe um fluxo global diferenciável emM cuja órbita que passa por p também passa por q.


154. Sejam M uma variedade conexa e p , q ∈ M . Mostre que existe um mergulho diferenciável γ , de[ 0 , 1 ] em M tal que γ(0) = p e γ(1) = q.

155. Sejam Mn uma variedade compacta, sem bordo e f : M → Rn+1 uma aplicação diferenciável tal que0 /∈ f(M). Mostre que existe uma reta passando pela origem que intersecta f(M) em no máximo umnúmero finito de pontos.

156. Sejam f : M → N e g : N → P aplicações diferenciáveis entre variedades diferenciáveis compactase sem bordo. Sabendo que p ∈ P é valor regular para g ◦ f podemos concluir que p é valor regularpara g ?

E se p estiver na imagem de g ◦ f ?

157. Sejam K ⊂ Rn um compacto e U ⊂ Rn um aberto não vazio. Construa um fluxo global diferenciável(ϕt)t∈R em Rn tal que ϕ1(K) ⊂ U .

158. Sejam f, g : M → Sk uma aplicação diferenciável onde k ≥ 1. Suponha que f(x) ̸= −g(x) paratodo x ∈M . Mostre que f e g são diferenciavelmente homotópicas.

159. Seja f : S2 → S2 uma aplicação diferenciável que é diferenciavelmente homotópica a identidade.

(i) Mostre que f possui um ponto fixo;

(ii) Generalize e prove esse resultado para esferas de dimensão par.

Sugestão: Faça uma homotopia de f à antípoda.

160. Prove o resultado acima para funções contínuas, continuamente homotópicas a identidade.

161. Sejam f : S2 → S2 um homeomorfismo isotópica à identidade e p ∈ S2 um ponto fixo de f . Mostreque f é isotópico a identidade por uma isotopia (ft)t∈[0,1] satisfazendo:

(i) ft(p) = p para todo t ∈ [ 0 , 1 ] ;

(ii) f0 = Id ;

(iii) f1 = f ;

(iv) Mostre também que esse resultado é verdadeiro quando f é um difeomorfismo e, nesse caso, aisotopia é uma isotopia diferenciável.

162. Generalize esse resultado para uma variedade M qualquer tendo p ∈ Int(M) como ponto fixo daaplicação f .

163. Sejam f : S2 → S2 um homeomorfismo isotópica à identidade e p, q ∈ S2 pontos fixos distintos def . Mostre que f é isotópico a identidade por uma isotopia (ft)t∈[0,1] satisfazendo:

(i) ft(p) = p e ft(q) = q para todo t ∈ [ 0 , 1 ] ;

(ii) f0 = Id ;

(iii) f1 = f ;

(iv) Mostre também que esse resultado é verdadeiro quando f é um difeomorfismo e, nesse caso, aisotopia é uma isotopia diferenciável.

164. Seja f : S2 → S2 uma aplicação diferenciável tal que f(x) ̸= −x para todo x ∈ S2. Mostre que fpossui um ponto fixo. Generalize e prove esse resultado para esferas de dimensão par.

165. Prove o resultado acima para funções contínuas.

166. Seja (ψt)t∈R um fluxo topológico numa variedade M e suponha que p ∈ M não é um ponto fixo dofluxo. Mostre que existe µ > 0 tal que a aplicação t ∈ (−µ , µ) 7→ ψt(p) ∈M é um megulho.

167. Seja Ψ = (ψt)t∈R um fluxo topológico numa variedade M compacta. Suponha que para cada n ∈ Z+

o fluxo possui uma órbita periódica de período menor ou igual a 1/n . Mostre que o fluxo possui umponto fixo.


168. Seja X um campo vetorial diferenciável numa variedade M compacta. Suponha que para cada n ∈ Z+

o campo vetorial X possui uma órbita periódica de período menor ou igual a 1/n . Mostre que Xpossui uma singularidade.

Cuidado !! O campo X pode não possuir um fluxo global.

169. Seja (ψt)t∈R um fluxo topológico em S2. Mostre que:

(i) para t suficientemente pequeno, o homeomorfismo ψt possui ponto fixo;

(ii) existe p ∈ S2 tal que ψt(p) = p para todo t ∈ R , isto é, o fluxo (ψt)t∈R possui ponto fixo;

(iii) É possível generalizar esse resultado para esferas de dimensão par ?

Sugestão: Use o exercício anterior.

170. Sejam M uma variedade diferenciável compacta sem bordo e (ht)t∈[0,1] uma homotopia diferenciávelda identidade. Mostre que ht : M →M é sobrejetora para todo t ∈ [ 0 , 1 ] .

171. Seja M uma variedade diferenciável com ∂M ̸= ∅ e seja f : M → M uma aplicação sobrejetora.Mostre que f é diferenciavelmente homotópica a uma aplicação diferenciável g : M → M que não ésobrejetora.

172. Sejam f, g : M → N aplicações diferenciáveis entre variedades onde M é compacta. Mostre que sef e g são continuamente homotópicas então elas são diferenciavelmente homotópicas.

173. Mostre que não existe uma retração contínua de Dn em Sn−1 onde Dn ⊂ Rn é o disco compactounitário na norma euclidiana usual de Rn e n ≥ 1.

174. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta e com bordo não vazio. Mostre que não existe uma retraçãocontínua de M sobre ∂M .

175. Sejam f, g : M → N difeomorfismos entre variedades sem bordo e(Ht

)t∈[0,1]

uma isotopia diferen-ciável de f a g.

(i) Mostre que(Gt

)t∈[0,1]

definida por Gt = H−1t para todo t ∈ [0, 1] é uma isotopia diferenciável

de f−1 à g−1.

(ii) O resultado do item (i) continua verdadeiro quando f, g são homeomorfismos e trocamos isotopiadiferenciável por isotopia contínua ?

(iii) O resultado do item (i) continua verdadeiro, no caso diferenciável, quando trocamos variedadessem bordo por variedades com bordo ?

176. Mostre que a aplicação z ∈ C − {0} → z̄k ∈ C visto como aplicação diferenciável de S1 em S1 temgrau −k para todo inteiro k ∈ Z onde z̄ denota o complexo conjugado de z.

177. Seja f : Sn → Sn uma aplicação diferenciável e par, isto é, f(−p) = f(p) para todo p ∈ Sn. Mostreque se n ≥ 1 é ímpar então, o grau de f é par. O que podemos dizer quando n ≥ 1 é par?

178. Sejam f : M → M uma aplicação diferenciável e p ∈ M . Suponha que M é conexa, sem bordo emostre que f é diferenciavelmente homotópica a uma aplicação que tem p como ponto fixo.

E quando f é um difeomorfismo, podemos trocar homotopia por isotopia ?

Esse resultado continua verdadeiro quando M tem bordo ?

179. Use a projeção estereográfica para levantar as aplicações z ∈ C → zk ∈ C e z ∈ C → z̄k ∈ C aaplicações de S2 e calcule o grau dessas aplicações para k ≥ 1.

180. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável de dimensão n e seja X um campo vetorial em M . Mostreque X é um campo diferenciável se, e somente se: para cada parametrização φ : U →M onde U é umaberto de Rn, existem aplicações diferenciáveis ai : φ(M) → R com i ∈ {1, . . . , n} tais que

X(φ(x)) =n∑i=1

ai(φ(x))∂φ

∂xi(x) ; ∀x ∈ U.


181. Sejam M ⊂ Rk uma variedade diferenciável e X um campo vetorial diferenciável, definido numavizinhança de M em Rk. Mostre que o campo Y (dito projeção ortogonal de X em M ) que associa acada ponto x ∈M , a projeção ortogonal de X(x) no subespaço TxM ⊂ Rk é um campo diferenciávelem M .

182. Seja f : U → R uma aplicação diferenciável, onde U ⊂ Rn é aberto. Considere o campo vetorial ∇f(gradiente de f ) que quando não nulo é caracterizado pelas propriedades:

(i) ∇f(x) aponta na direção v (com ||v|| = 1 ) em que a taxa de variação∂f

∂v(x) é máxima;

(ii) ||∇f(x)|| é o valor da taxa máxima de variação.

Desenvolva a noção de campo gradiente associado a uma aplicação diferenciável f : M → R ondeM ⊂ Rk é uma variedade diferenciável sem bordo. Mostre que o gradiente de uma tal aplicaçãodiferenciável, num ponto x ∈ M , é a projeção ortogonal de ∇F (x) em TxM onde F é uma extensãodiferenciável qualquer de f .

183. Seja f : M → R uma aplicação diferenciável definida sobre a variedade M sem bordo. Mostre que sep ∈M é ponto de máximo ou de mínimo local para f então ∇f(p) = 0 .

184. Seja X um campo gradiente numa variedade M sem bordo. Mostre que X não pode ter órbitas periódi-cas.

185. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Mostre que existe uma família de compactos {Kj}j∈Z+

com as seguintes propriedades:

(i) K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ · · · ⊂M ;

(ii) M =∪∞j=1Kj .

186. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Mostre que existe uma família de compactos {Kj}j∈Z+

com as seguintes propriedades:

(i) Kj ⊂ Int(Kj+1) para todo j ≥ 1;

(ii) M =∪∞j=1Kj .

187. Mostre que no exercício anterior podemos escolher os compactos Ki como sendo variedades compactascom bordo de mesma dimensão que M .

188. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Mostre que existe uma aplicação f : M → (0, 1] dife-renciável, com a seguinte propriedade: dado ϵ > 0 , existe um compacto K ⊂ M tal que ||f(x)|| < ϵfora de K.

189. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Mostre que dado um campo vetorial diferenciável X emM é possível construir um campo vetorial diferenciável Y em M satisfazendo:

(i) os subespaços gerados por X e Y coincidem,

(ii) dado ϵ > 0 existe um compacto K ⊂M tal que ||Y (x)|| < ϵ fora de K.

190. Seja f : Sn → Rn uma aplicação diferenciável.

(i) Mostre que se n = 1 então f tem pelos menos dois pontos críticos;

(ii) Mostre que f tem uma infinidade de pontos críticos quando n ≥ 2.

191. Sejam f : S1 → R uma aplicação diferenciável e b ∈ R um valor regular para f . Mostre que:

(i) f−1(b) tem um número par de pontos;

(ii) se f−1(b) tem 2k pontos então, f tem pelo menos 2k pontos críticos.

192. Mostre que 0 ∈ R é valor regular do polinômio f(x, y, z) = [4x2(1 − x2) − y2]2 + z2 − 1/4 e façaum esboço de f−1(0).


193. Seja M ⊂ Rk uma variedade compacta. Mostre que toda aplicação contínua f : M → Sn podeser uniformemente aproximada por aplicações diferenciáveis, isto é, dado ϵ > 0 existe f : M → Sn

diferenciável tal que ∥f(x) − g(x)∥ < ϵ.

194. Demonstramos o seguinte resultado:

Seja f : M → N uma aplicação diferenciável e seja y ∈ N um valor regular para f e para f |∂M .Então f−1(y) é uma subvariedade de M e ∂f−1(y) = ∂M ∩ f−1(y).

O que se pode dizer de f−1(y) se retiramos a hipótese de y ser valor regular de f |∂M?

195. Mostre que toda matriz 3 × 3 com entradas reais e positivas tem um auto valor positivo. Este resultadopode ser generalizado para matrizes n× n?

Sugestão: Considere o triângulo ∆ = {x+ y + z = 1 ; x, y, z ≥ 0} e a aplicação de ∆ em ∆ obtidacompondo a aplicação linear associada a matriz com a projeção central sobre ∆ .... e aplique o teoremado ponto fixo de Brouwer.

196. Sejam f : M → N e g : N → P aplicações diferenciáveis, onde M,N,P são variedades conexas,compactas, de mesma dimensão e sem bordo. Mostre que existe um valor regular y ∈ P de g tal quetodo ponto de g−1(y) é valor regular de f .

197. Sejam γ : R → R2 uma curva diferenciável e K ⊂ ( 0 ,∞) definido por: r ∈ K se, e somente se, ocírculo x2 + y2 = r2 tangencia γ em algum ponto. Mostre que K tem medida nula em R.

Sugestão: Comece fixando uma semireta pela origem e busque uma projeção sobre essa semireta aolongo dos círculos centrados na origem.

198. Seja C um círculo megulhado diferenciavelmente em R4. Mostre que existe um subespaço H dedimensão 3 de R4 tal que, a projeção ortogonal de C em H é um mergulho.

Sugestão: Comece procurando H de tal forma que a projeção ortogonal de C sobre H é uma imersão.Depois procure se livrar das auto-interseções!!

199. Seja ϕ : [ 0 ,∞) → [ 0 , π ] uma aplicação satisfazendo as seguintes condições:

(i) ϕ é diferenciável;

(ii) ϕ(0) = 0 e ϕ(r) = π para todo r ≥ 1;

(iii) ϕ é monótona crescente em [ 0 , 1 ];

(iv) ϕ(n)(0) = 0 = ϕ(n)(π) para todo n ≥ 1.

Considere a aplicação f : R2 → S2 definida por

f(x, y) =

(x sin(ϕ(x2+y2))√

x2+y2, y sin(ϕ(x2+y2))√

x2+y2, cos(ϕ(x2 + y2))

)quando (x, y) ̸= (0, 0)

(0, 0, 1) quando (x, y) = (0, 0).

Mostre que f é diferenciável.

200. Sejam n ≥ 1. Construa uma aplicação f : Rn → Sn satisfazendo as seguintes condições:

(i) f é de classe C∞;

(ii) f(x) = (0, . . . , 0,−1) ∈ Sn para todo x ∈ Rn tal que ∥x∥ ≥ 1;

(iii) f : {x ∈ Rn ; ∥x∥ < 1} → Sn − {(0, . . . , 0,−1)} é um homeomorfismo.

201. Sejam Mn+1, Nn variedades diferenciáveis com ∂Mn+1 ̸= ∅ e seja f : Mn+1 → Nn uma aplicaçãodiferenciável. Mostre que deg2(f) = 0 .

202. Construa, para cada ν ∈ Z2 e n ≥ 1 , uma aplicação f : Sn → Sn diferenciável, distinta das aplica-ções constantes, da identidade e da antípoda, tal que deg2(f) = ν.

203. Seja M uma variedade diferenciável compacta, conexa, sem bordo e de dimensão n ≥ 1. Construa,para cada ν ∈ Z2 e n ≥ 1 , uma aplicação f : M → Sn diferenciável tal que deg2(f) = ν.


204. Sejam f : M → N e g : N → P aplicações de classe C∞, onde M,N,P são variedades conexas,compactas, de mesma dimensão e sem bordo.

(i) Mostre que deg2(g ◦ f) ≡ deg2(g) × deg2(f);

(ii) Suponha que M,N,P são orientáveis e mostre que deg(g ◦ f) = deg(g) × deg(f).

205. Relacione o grau de Brouwer (resp. o grau módulo 2) de aplicações diferenciáveis f, g com o grauBrouwer (resp. o grau módulo 2) da aplicação (x, y) →

(f(x), g(y)

).

206. Sejam Mn ⊂ Rk , Nn ⊂ Rℓ variedades compactas, orientadas, sem bordo, conexas e seja f : M → Numa aplicação diferenciável. Mostre que existe δ > 0 com a seguinte propriedade: se g : M → N éuma aplicação diferenciável tal que ∥f(x) − g(x)∥ < δ para todo x ∈M então, deg(f) = deg(g).

207. Sejam M ,N variedades orientadas, conexas, de mesma dimensão com M compacta e sem bordo. Sejaf : M → N uma aplicação diferenciável, e sejam h1 : M →M e h2 : N → N difeomorfismos.

(i) Mostre que deg(f) = deg(h2 ◦ f ◦ h−11 ) quando h1, h2 preservam orientação ou quando h1, h2

revertem orientação;

(ii) Mostre que deg(f) = −deg(h2 ◦ f ◦ h−11 ) quando h1, h2 nos outros casos.

208. É possível provar um resultado semelhante ao do exercício anterior para grau módulo 2 ?

209. Seja Mn+1 ⊂ Rk uma variedade compacta, conexa, orientada, cujo bordo é constituído de duas com-ponentes conexas N1 e N2. Seja Nn ⊂ Int(Mn+1) uma variedade compacta, sem bordo e que separaM em duas componentes conexas: uma contendo N1 e a outra contendo N2. Seja F : M → Pn umaaplicação diferenciável. Mostre que, tomando orientações convenientes em Ni e N tem-se que

deg(f∣∣Ni

) = deg(f∣∣N

)

onde i = 1, 2 e Pn é uma variedade orientada, sem bordo e conexa.

210. Seja M ⊂ Rk uma variedade diferenciável. Uma isotopia diferenciável (Ht)t∈[0,1] de M em Rk éuma aplicação diferenciável H : [ 0 , 1 ] ×M → Rk satisfazendo:

(i) H(0, x) = x para todo x ∈M ;

(ii) Ht é um difeomorfismo sobre sua imagem Mt = Ht(M) para todo t ∈ [ 0 , 1 ].

Agora considere isotopias (Ht)t∈[0,1] e (Gt)t∈[0,1] de M ⊂ Rk e N ⊂ Rℓ respectivamente, ondeM,N são variedades compactas, sem bordo, orientadas e conexas. Seja ft : Mt → Nt uma família deaplicações tal que a aplicação

F (t, x) := H−1t ◦ ft ◦Ht(x) para todo x ∈M e t ∈ [ 0 , 1 ].

Coloque em Mt, Nt as orientações induzidas pelas orientações de M e N respectivamente, e mostreque deg(ft) = deg(f0) para todo t ∈ [ 0 , 1 ]. Interprete o resultado.

211. É possível provar um resultado semelhante ao do exercício anterior para grau módulo 2 ?

212. Mostre que todo polinômio complexo p de grau n ≥ 1 dá origem à uma aplicação diferenciávelP : S2 → S2 que tem grau n.

Qual seria o grau de P se trocássemos p por uma função racional (quociente de dois polinômios)?

213. Considere a aplicação P : z ∈ C − {0} 7→ C dada por P (z) = 1/zn e definamos uma aplicaçãocontínua F : S2 → S2 pela expressão

F (x) :=

(0, 0,−1) quando x = (0, 0, 1)h−1

+ ◦ P ◦ h+(x) quando x ∈ S2 − {(0, 0, 1), (0, 0,−1)}(0, 0, 1) quando x = (0, 0,−1)

onde h+ : S2 − {(0, 0, 1)} → C é a projeção estereográfica e n ∈ Z+. Mostre que deg(F ) = −n .


214. Seja p : C → C um polinômio de grau maior ou igual a 1 . Enuncie e resolva um exercício semelhanteao anterior onde a aplicação P é dada por P (z) = 1/p(z) .

215. Repita o exercício anterior no caso em que a aplicação P é o quociente de dois polinômios de graumaior ou igual a 1 .

216. Sejam M uma variedade conexa e f, g : M → Sk aplicações diferenciáveis tais que ∥f(x)−g(x)∥ < 2para todo x ∈M , onde k ≥ 1. Mostre que f é diferenciavelmente homotópica a g.

217. Sejam M uma variedade e f : M → Sk uma aplicação diferenciável onde dim(M) < k. Moste quef é diferenciavelmente homotópica a uma aplicação constante.

218. Mostre que toda aplicação diferenciável f : Sn → Sn tal que deg(f) ̸= (−1)n+1 deve ter um pontofixo.

219. Mostre que toda aplicação diferenciável f : Sn → Sn tal que deg(f) é impar, deve enviar algum parde pontos antípodas em um par de pontos antípodas.

220. Seja X um campo vetorial diferenciável no disco fechado Dn onde n ≥ 2 e suponha que X(p) /∈Tp∂D

n para todo p ∈ ∂Dn. Mostre que X possui uma singularidade no interior de Dn.

221. Seja Dn o disco fechado onde n ≥ 2 é par. Suponha que X é um campo vetorial diferenciável emDn tal que, ao longo do bordo do disco o campo X nunca é ortogonal a tal bordo.

(i) Mostre que X possui uma singularidade no interior do disco;(ii) Esse resultado continua verdadeiro quando trocamos campo vetorial diferenciável por campo veto-

rial contínuo ?

222. Mostre que o resultado acima continua verdadeiro se trocamos a diferenciabilidade do campo por conti-nuidade.

223. Seja X um campo vetorial diferenciável no disco fechado Dn onde n ≥ 2 é par. Suponha que

(i) X não se anula em ∂Dn;

(ii) X(p) ∈ Tp∂Dn para todo p ∈ ∂Dn.

Mostre que X possui uma singularidade no interior de Dn.

224. Mostre que o resultado acima continua verdadeiro se trocamos a diferenciabilidade do campo por conti-nuidade.

225. Seja k ∈ Z. Mostre que existem aplicações diferenciáveis f : Sn → Sn e tal que deg(f) = k.

226. Sejam Mn uma variedade compacta, conexa, sem bordo, orientável e k ∈ Z. Mostre que existemaplicações diferenciáveis f : Mn → Sn e tal que deg(f) = k.

227. Sejam Mn ⊂ Rk, Nn ⊂ Rℓ variedades compactas, conexas, sem bordo, orientadas, e f : M → Numa aplicação contínua. Mostre que existe δ > 0 tal que se g, h : M → N são aplicações diferenciá-veis tais que

∥f(x) − g(x)∥ , ∥f(x) − h(x)∥ < δ para todo x ∈M

então elas são homotopicamente diferenciáveis e, consequentemente, deg(h) = deg(g).Dessa forma, podemos definir o grau de f como sendo o grau das aplicações diferenciáveis arbitraria-mente próximas de f . Vimos que, como consequência do Teorema da Vizinhança Tubular e do Teoremade Aproximação de Weierstrass, tais aplicações existem.

228. Considere a aplicação f(x, y) = (y − x3, y) onde (x, y) ∈ R2. Mostre que

lim∥(x,y)∥→∞

∥f(x, y)∥ = ∞.

Agora, considere a aplicação F : S2 → S2 definida por

F (p) =

{h−1

+ ◦ f ◦ h+(p) quando p ̸= S2 − {(0, 0, 1)}(0, 0, 1) quando p = (0, 0, 1)

onde h+ é a projeção estereográfica definida em sala. Calcule o grau de F .


229. Seja f : Br(0) ⊂ Rn → Rm diferenciável e tal que f(0) = 0. Mostre que a aplicação

F (x, t) :=

{f(tx)/t quando x ∈ Br(0) e 0 < t ≤ 1Df(0) · x quando x ∈ Br(0) e t = 0

é contínua.

230. Para cada k ∈ Z , construa um campo vetorial diferenciável X definido numa vizinhança da origem deR2, tendo 0 ∈ R2 como única singularidade, e tal que Ind0(X) = k.

Faça isso para Rn com n ≥ 2.

231. Considere o campo vetorial

X(x1, . . . , xn, xn+1) = (−x2, x1, . . . , xn, xn−1, 0)

definido em Sn ⊂ Rn+1 onde n ≥ 1 é par. Calcule o índice das singularidades de X .

232. Considere o campo vetorial

X(x1, . . . , xn, xn+1) = (xn+1x1, . . . , xn+1xn,−(x21 + · · · + x2

n))

definido em Sn ⊂ Rn+1 onde n ≥ 1 . Calcule o índice das singularidades de X .

233. Sejam X um campo vetorial diferenciável definido numa variedade M e f : M → R uma aplicaçãodiferenciável. Considere um ponto p ∈ Int(M) tal que:

(i) X(p) ̸= 0 ;

(ii) p é um zero isolado de f .

Calcule Indp(fX) .

234. Sejam X um campo vetorial diferenciável definido numa variedade M e f : M → R uma aplicaçãodiferenciável. Considere um ponto p ∈ Int(M) tal que:

(i) p é uma singularidade isolada de X ;

(ii) p é um zero isolado de f .

Calcule Indp(fX) .

235. Seja F : U × [ 0 , 1 ] → V diferenciável e onde U, V ⊂ Rn são abertos. Suponha que para cadat ∈ [ 0 , 1 ] a aplicação Ft : U → V é um difeomorfismo sobre um aberto contido em V .

(i) Mostre que o conjunto

A ={(F (x, t), t) ∈ V × [ 0 , 1 ] ; (x, t) ∈ U × [ 0 , 1 ]

}é aberto em V × [ 0 , 1 ] ;

(ii) Mostre que a aplicação G : U × [ 0 , 1 ] → A definida por G(x, t) = (F (x, t), t) é um difeomor-fismo;

(iii) Conclua que a aplicação (y, t) ∈ A −−→ (Ft)−1(y) ∈ U × [ 0 , 1 ] é diferenciável.

236. Sejam M ⊂ Rk uma variedade e X : M → Rk uma aplicação não necessariamente contínua. Consi-dere uma sequência (pn)n≥1 de pontos em M tal que pn → p ∈M e suponha que X(pn) ∈ Tpn(M)para todo n ≥ 1. Mostre que se X(pn) tem limite quando pn → p então, tal limite pertence a TpM .

237. Seja X um campo vetorial diferenciável em Dn+1 ⊂ Rn+1 apontando para fora de Dn no bordo Sn

com um número finito de singularidades em Int(Dn+1). Mostre que a soma dos índices das singulari-dades de X vale 1 .

238. Seja Mn ⊂ Rn uma variedade compacta, conexa e seja X um campo vetorial diferenciável, apontandopara fora de M no bordo e com um número finito de singularidades em Int(M). Mostre que a somados índices das singularidades de X vale χ(∂M)/2 quando n é ímpar.


239. Sejam Mn ⊂ Rn uma variedade compacta conexa e X um campo vetorial diferenciável em M talque:

(i) X não tem singularidades em ∂M e aponta para dentro de M ;

(ii) X possui um número finito de singularidades.

Mostre que a soma dos índices das singularidades de X vale:

(a) o grau da aplicação normal de Gauss quando n é ímpar;

(b) o negativo do grau da aplicação normal de Gauss quando n é par.

240. Seja π : M → N uma aplicação de recobrimento com k ∈ Z+ folhas entre variedade compactas,conexas e sem bordo. Mostre que χ(M) = k χ(N).

241. Seja Mn ⊂ Rn uma variedade compacta, com bordo e seja X um campo diferenciável em M . Supo-nha que X não se anula em nenhum ponto de ∂M , que X é tangente a ∂M e tem um número finito desingularidades em Int(M). Mostre que a soma das singularidades de X é o índice da aplicação normalde Gauss.

242. Sejam X,Y, Z campos diferenciáveis, definidos numa vizinhança da origem de R3 e linearmente in-dependentes em cada ponto. Suponha que seus fluxos locais (Xt)t∈(−ϵ,ϵ) , (Yt)t∈(−ϵ,ϵ) , (Zt)t∈(−ϵ,ϵ)comutam. Mostre que a aplicação

(t1, t2, t3)ψ−−−→ Xt1 ◦ Yt2 ◦ Zt3(0) ∈ R3

é um difemorfismo numa vizinhança da origem.

Generalize esse resultado para campos em variedades.

243. Seja X um campo vetorial diferenciável em S2 e suponha que X possui uma única singularidadeq ∈ S2. Mostre que

lim|t|→∞

Xt(p) = q para todo p ∈ S2

onde (Xt)t∈R denota o fluxo de X .

244. Seja X um campo vetorial diferenciável em R2 possuindo uma órbita periódica. Mostre que X possuipelo menos uma singularidade.

245. Seja X um campo vetorial diferenciável em S2 que possui uma órbita periódica. Mostre que X possuipelo menos duas singularidades.

246. Demonstre o Teorema de Lima em S2 para um número finito de campos vetoriais que comutam. Seráque podemos generalizá-lo para um número infinito de campos de vetores?

247. Seja M uma variedade conexa e p1, . . . , pk ∈ Int(M).

(i) Mostre que existe um subconjunto D ⊂ Int(M) difeomorfo a uma bola fechada de dimensão n etal que p1, . . . , pk ∈ Int(D);

(ii) Vimos que toda variedade compacta, sem bordo, admite um campo vetorial diferenciável com umnúmero finito de singularidades (via triangulação da variedade).Mostre que se M é compacta e sem bordo então, existe um campo vetorial diferenciável em Mcom uma única singularidade; qual é o índice dessa singularidade ?

(iii) Admita o seguinte resultado devido a Hopf:Se f : Sn → Sn é diferenciável e tem grau zero então, f é diferenciavelmente homotópica a umaaplicação constante.Use esse resultado para mostrar que se M é compacta, sem bordo e χ(M) = 0 então M possuium campo vetorial diferenciável, sem singularidades.

248. Sejam M uma variedade e (ϕt)t∈R um fluxo global diferenciável em M . Um subconjunto K de Mé dito invariante pelo fluxo quando ϕt(K) = K para todo t ∈ R.


(i) Seja (ϕt)t∈R um fluxo global diferenciável em R2 e seja K ⊂ R2 um compacto invariante por(ϕt)t∈R. Mostre que (ϕt)t∈R possui um ponto fixo;

(ii) Sejam (ϕt)t∈R e (ψt)t∈R dois fluxos globais diferenciáveis em R2 que comutam e seja K ⊂ R2

um compacto invariante por esses dois fluxos. Imitando a prova de Lima em S2, mostre que essesfluxos possuem um ponto fixo comum;

(iii) Generalize esse resultado para n fluxos.

249. Calcule χ(Sn) quando n ≥ 1 é par.

250. Calcule χ(Tn) quando n ≥ 1 .

251. Sejam X ,Y campos vetoriais diferenciáveis definidos em vizinhanças da origem de Rn e Rm respec-tivamente. Considere o campo vetorial

Z(x, y) =(X(x) , Y (y)

)definido numa vizinhança da origem de Rn × Rm.

(i) Suponha que a origem é singularidade não-degenerada para X e Y simultaneamente:

(i.a) Mostre que a origem é singularidade não-degenerada para Z;(i.b) Mostre que Ind(0,0)(Z) = Ind0(X) × Ind0(Y ) ;

(ii) Mostre que se a origem é singularidade isolada para X e Y simultaneamente então, ( 0 , 0 ) ésingularidade isolada para Z e temos:

Ind(0,0)(Z) = Ind0(X) × Ind0(Y ).

NOTA: Esse resultado permite calcular o índice do campo Z com facilidade, se conhecemos osíndices de X e Y . Fizemos isso na última aula do curso ao calcular os índices do campo vetorialconstruído a partir de uma triangulação sobre a variedade.

252. Sejam M,N variedades diferenciáveis compactas e sem bordo. Mostre que

χ(M ×N) = χ(M) × χ(N).

253. Sejam M ⊂ Rk uma variedade sem bordo, conexa, X um campo vetorial diferenciável em M . Su-ponha que existe uma variedade N ⊂ M compacta, sem bordo, conexa, de codimensão 1 e tal que Xé transversal a N , isto é, X(p) /∈ TpN ⊂ TpM para todo p ∈ M . Suponha também que para cadap ∈ N a órbita γp de X por p volta a intersectar N num tempo tp > 0. Denotemos por f : N → Na aplicação que a cada p ∈ N associa o ponto γp(tp) ∈ N onde tp > 0 é o menor tempo tal queγp(tp) ∈ N . Sabemos das equações diferenciais que tp é uma aplicação diferenciável e que f é umdifeomorfismos local.

(i) Mostre que f é um difeomorfismo, dito, aplicação de primeiro retorno;Nesse contexto a variedade N é dita uma seção transversal para X .

(ii) Mostre que M é compacta;

(iii) Mostre que toda órbita de X intersecta N para valores positivos e negativos de tempo;

(iv) Mostre que o fluxo global (φt)t∈R de X restrito a subvariedade N é um difeomorfismo local,i.e. a aplicação φ : R ×N →M é um difeomorfismo local;

(v) Pergunta-se: É possível, reparametrizando as curvas integrais de X construir um outro campovetorial diferenciável tal que o tempo de retorno τ(p) à subvariedade N é sempre 1 qualquer queseja o ponto p ∈ N ?

Exercicios topologia diferencial

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