Mujica Topologia Geral

Notas de Topologia Geral

Jorge Mujica

Disciplina ministrada no IMECC-UNICAMPdurante o primeiro semestre de 2005

Sumario

1. Teoria de conjuntos................................................................12. Espacos metricos....................................................................43. Espacos topologicos................................................................74. Aderencia e interior de um conjunto......................................95. Sistemas de vizinhancas........................................................126. Bases para os abertos............................................................167. Subespacos............................................................................188. Funcoes contnuas.................................................................209. Produtos infinitos e o axioma da escolha.............................2310. O espaco produto...............................................................2511. O espaco quociente.............................................................2912. Convergencia de sequencias................................................3213. Convergencia de redes........................................................3414. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo............................3815. Convergencia de filtros.......................................................4216. Espacos de Hausdor..........................................................4717. Espacos regulares................................................................5018. Espacos normais.................................................................5219. Espacos completamente regulares.......................................5820. Primeiro e segundo axioma de enumerabilidade.................6321. Espacos compactos.............................................................6922. Espacos localmente compactos...........................................7623. A compactificacao de Alexandro......................................7924. A compactificacao de Stone-Cech.......................................8125. Espacos metrizaveis............................................................8426. Espacos conexos..................................................................8727. Componentes conexas.........................................................9128. Espacos conexos por caminhos............................................9329. Homotopia...........................................................................9630. O grupo fundamental..........................................................9931. O grupo fundamental do crculo unitario..........................103Bibliografia..............................................................................108

1. Teoria de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, diremos que A e subconjunto de B, e escreve-remos A B, se cada elemento de A pertence a B, ou seja se x 2 A implicax 2 B.

Diremos que A e igual a B, e escreveremos A = B, se A e B tem os mesmoselementos, ou seja se A B e B A.

A uniao, a intersecao, e a diferenca de dois conjuntos A e B e definida por

A [B = {x : x 2 A ou x 2 B},A \B = {x : x 2 A e x 2 B},A \B = {x : x 2 A e x /2 B}.

Se estamos considerando subconjuntos de um conjunto fixo X, entao o conjuntoX \A e chamado de complementar de A em X, e e denotado por Ac.

A uniao e a intersecao de uma famlia de conjuntos Ai (i 2 I) e definida por[i2I

Ai = {x : x 2 Ai para algum i 2 I},

\i2I

Ai = {x : x 2 Ai para todo i 2 I}.

Dado um conjunto X, P(X) denota o conjunto formado pelos subconjuntosde X, ou seja

P(X) = {A : A X}.; denota o conjunto vazio. N denota o conjunto dos numeros naturais, ou

seja o conjunto dos inteiros positivos. Z denota o conjunto dos inteiros. Qdenota o conjunto dos numeros racionais. R denota o conjunto dos numerosreais. C denota o conjunto dos numeros complexos.

O produto cartesiano XY de dois conjuntos X e Y e o conjunto dos paresordenados (x, y) tais que x 2 X e y 2 Y . O produto cartesiano X1 ... Xnde n conjuntos X1,...,Xn e o conjunto das n-uplas (x1, ..., xn) tais que xi 2 Xipara i = 1, ..., n. Escreveremos Xn em lugar de X ...X (n vezes).

Uma funcao ou aplicacao f de X em Y , denotada por f : X ! Y , euma regra que associa a cada elemento x 2 X um unico elemento f(x) 2Y . O conjunto X e chamado de domnio de f . O conjunto Y e chamado decontradomnio de f .

f e dita injetiva se f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. f e dita sobrejetiva separa cada y 2 Y existe x 2 X tal que f(x) = y. f e dita bijetiva se e injetiva esobrejetiva. Se f : X ! Y e bijetiva, a funcao inversa f1 : Y ! X e definidapor f1(y) = x se f(x) = y.

O grafico de f e o conjunto

Gf = {(x, y) 2 X Y : y = f(x)}.

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Dados A X e B Y , a imagem de A e a imagem inversa de B sao osconjuntos

f(A) = {y 2 Y : y = f(x) para algum x 2 A},f1(B) = {x 2 X : f(x) 2 B}.

Dadas duas aplicacoes f : X ! Y e g : Y ! Z, a aplicacao compostag f : X ! Z e definida por g f(x) = g(f(x)) para todo x 2 X.

Uma relacao R num conjunto X e um subconjunto R de X X. Comfrequencia escreveremos xRy se (x, y) 2 R.

Uma relacao R em X e dita reflexiva se xRx para todo x 2 X. R e ditasimetrica se xRy implica yRx. R e dita transitiva se xRy e yRz implicamxRz. Diremos que R e uma relacao de equivalencia se R e reflexiva, simetricae transitiva.

Exerccios

1.A. Se Ai X para cada i 2 I, prove as leis de De Morgan:

(a) X \[i2I

Ai =\i2I

(X \Ai).

(b) X \\i2I

Ai =[i2I

(X \Ai).

1.B. Seja f : X ! Y uma aplicacao. Dados B Y e Bi Y para cadai 2 I, prove que:

(a) f1([i2I

Bi) =[i2I

f1(Bi).

(b) f1(\i2I

Bi) =\i2I

f1(Bi).

(c) f1(Y \B) = X \ f1(B).

1.C. Seja f : X ! Y uma aplicacao. Dados A X e Ai X para cadai 2 I, prove que:

(a) f([i2I

Ai) =[i2I

f(Ai).

(b) f(\i2I

Ai) \i2I

f(Ai), com igualdade se f for injetiva.

(c) f(X \A) Y \ f(A) se f for injetiva.(c0) f(X \A) Y \ f(A) se f for sobrejetiva.

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1.D. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X ! Y e conjuntos A1, A2 Xtais que f(A1 \A2) 6= f(A1) \ f(A2).

(b) De exemplo de uma aplicacao f : X ! Y e um conjunto A X tal quef(X \A) 6= Y \ f(A).

1.E. Seja f : X ! Y uma aplicacao. Dados A X e B Y , prove que:(a) A f1(f(A)), com igualdade se f for injetiva.

(b) f(f1(B)) B, com igualdade se f for sobrejetiva.

1.F. (a) De exemplo de uma aplicacao f : X ! Y e um conjunto A X talque A 6= f1(f(A)).

(b) De exemplo de uma aplicacao f : X ! Y e um conjunto B Y tal quef(f1(B)) 6= B.

1.G. Sejam f : X ! Y e g : Y ! X aplicacoes tais que g f(x) = x paratodo x 2 X. Prove que f e injetiva e g e sobrejetiva.

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2. Espacos metricos

2.1. Definicao. Seja X um conjunto. Uma funcao d : X X ! R echamada de metrica se verifica as seguintes propriedades para x, y, z 2 X:

(a) d(x, y) 0;(b) d(x, y) = 0 se e so se x = y;(c) d(x, y) = d(y, x);(d) d(x, z) d(x, y) + d(y, z);A desigualdade (d) e chamada de desigualdade triangular. O par (X, d) e

chamado de espaco metrico. Com frequencia falaremos do espaco metrico X emlugar do espaco metrico (X, d).

2.2. Exemplos.(a) X = R, d(x, y) = |x y|.(b) X = Rn, d(x, y) =

qPnj=1(xj yj)2. Esta e a metrica euclideana.

(c) X = Rn, d(x, y) =Pn

j=1 |xj yj |.(d) X = Rn, d(x, y) = max{|x1 y1|, ..., |xn yn|}.Em (b),(c) e (d), x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn).

(e) Se X e um conjunto qualquer, entao a metrica d : X X ! R definidapor d(x, y) = 1 se x 6= y e d(x, y) = 0 se x = y, e chamada de metrica discreta.

(f) Seja (X, d) um espaco metrico, e seja S X. Entao S e um espacometrico com a metrica induzida dS , ou seja dS(x, y) = d(x, y) para todo x, y 2 S.

2.3. Definicao. Seja X um espaco metrico. Dados a 2 X e r > 0,consideremos os conjuntos

B(a; r) = {x 2 X : d(x, a) < r},B[a; r] = {x 2 X : d(x, a) r}.

O conjunto B(a; r) e chamado de bola aberta de centro a e raio r. O conjuntoB[a; r] e chamado de bola fechada de centro a e raio r.

2.4. Definicao. Seja X um espaco metrico. Um conjunto U X e ditoaberto em X se para cada a 2 U existe r > 0 tal que B(a; r) U . Um conjuntoF X e dito fechado em X se X \ F e aberto.

2.5. Exemplos. (a) Cada bola aberta e um subconjunto aberto.(b) Cada bola fechada e um subconjunto fechado.

Demonstracao. (a) Seja x 2 B(a; r). Usando a desigualdade triangular efacil verificar que

B(x; r d(x, a)) B(a; r),e portanto B(a; r) e aberto.

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(b) Para provar que B[a; r] e fechado, basta provar que X \B[a; r] e aberto.Seja x 2 X \B[a; r]. Usando a desigualdade triangular nao e dificil provar, porabsurdo, que

B(x; d(x, a) r) X \B[a; r],e portanto X \B[a; r] e aberto.

2.6. Proposicao. Seja X um espaco metrico. Entao:(a) ; e X sao abertos.(b) A uniao de uma famlia arbitraria de abertos e um aberto.(c) A intersecao de uma famlia finita de abertos e um aberto.

Demonstracao. (a) e claro.(b) Seja Ui aberto em X para cada i 2 I, e seja a 2

Si2I Ui. Entao a 2 Ui0

para algum i0 2 I. Como Ui0 e aberto, existe r > 0 tal que B(a; r) Ui0 . LogoB(a; r) Si2I Ui e Si2I Ui e aberto.

(c) Seja Ui aberto em X para cada i 2 I, sendo I finito. Seja a 2Ti2I Ui, ou

seja a 2 Ui para cada i 2 I. Para cada i 2 I existe ri > 0 tal que B(a; ri) Ui.Seja r = mini2Iri. Segue que B(a; r)

Ti2I Ui e

Ti2I Ui e aberto.

2.7. Corolario. Seja X um espaco metrico. Entao:(a) X e ; sao fechados.(b) A intersecao de uma famlia arbitraria de fechados e um fechado.(c) A uniao de uma famlia finita de fechados e um fechado.

Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 2.6 e as leis de De Morgan.

2.8. Definicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos metricos. Diremosque f e contnua num ponto a 2 X se dado > 0, podemos achar > 0 tal que

dX(x, a) < implica dY (f(x), f(a)) < ,

ou sejaf(BX(a; )) BY (f(a); ).

Diremos que f e contnua se for contnua em cada ponto de X. Denotaremospor C(X;Y ) o conjunto de todas as funcoes contnuas f : X ! Y . Se Y = R,escreveremos C(X) em lugar de C(X;R).

2.9. Proposicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaof e contnua num ponto a 2 X se e so se, para cada aberto V de Y contendof(a), existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) V .

Demonstracao. ()): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja > 0tal que BY (f(a); ) V . Por hipotese existe > 0 tal que f(BX(a; )) BY (f(a); ). Logo basta tomar U = BX(a; ).

((): Dado > 0, seja V = BY (f(a); ). Por hipotese existe um aberto Ude X contendo a tal que f(U) V . Seja > 0 tal que BX(a; ) U . Segueque f(BX(a; )) BY (f(a); ).

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2.10. Proposicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaoas seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contnua.(b) f1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .(c) f1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .

Demonstracao. (a) ) (b): Seja V um aberto de Y . Pela Proposicao 2.9,para cada a 2 f1(V ), existe um aberto Ua de X contendo a tal que f(Ua) V ,ou seja Ua f1(V ). Segue que

f1(V ) =[

{Ua : a 2 f1(V )}e aberto em X.

(b) ) (a): Basta provar que f e contnua em cada a 2 X. Seja a 2 X, eseja V um aberto de Y contendo f(a). Por hipotese f1(V ) e um aberto deX contendo a, e f(f1(V )) V pelo Exerccio 1.G. Pela Proposicao 2.9 f econtnua em a.

A equivalencia (b), (c) e consequencia direta do Exerccio 1.B(c).

Exerccios

2.A. Prove que as seguintes funcoes sao metricas em C[a, b]:(a) d(f, g) = sup{|f(x) g(x)| : a x b}.(b) d(f, g) =

R ba |f(x) g(x)|dx.

2.B. Seja X um espaco metrico.(a) Prove a desigualdade

|d(x, a) d(y, a)| d(x, y) para todo x, y, a 2 X.(b) Prove que, para cada a 2 X a funcao x 2 X ! d(x, a) 2 R e contnua.(c) Prove que a esfera

S(a; r) = {x 2 X : d(x, a) = r}e um subconjunto fechado.

2.C. Seja X um espaco metrico, e seja S X, com a metrica induzida.(a) Dados a 2 S e r > 0, prove que BS(a; r) = S \BX(a; r).(b) Prove que um conjunto U S e aberto em S se e so se existe um aberto

V de X tal que U = S \ V .2.D. Seja X = R, e seja S = Z, com a metrica induzida. Prove que cada

subconjunto de S e aberto em S.

2.E. (a) De exemplo de uma sequencia de abertos de R cuja intersecao naoseja um aberto.

(b) De exemplo de uma sequencia de fechados de R cuja uniao nao seja umfechado.

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3. Espacos topologicos

3.1. Definicao. Seja X um conjunto. Chamaremos de topologia em Xuma famlia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(a) ; e X pertencem a .(b) A uniao de uma famlia arbitraria de membros de pertence a .(c) A intersecao de uma famlia finita de membros de pertence a .Os membros de sao chamados de abertos. O par (X, ) e chamado de

espaco topologico. Com frequencia diremos que X e um espaco topologico.

3.2. Exemplos.(a) Se (X, d) e um espaco metrico, entao segue da Proposicao 2.6 que os

abertos de (X, d) formam uma topologia d em X.

(b) Se X = Rn, entao a topologia d dada pela metrica euclideana

d(x, y) =

vuut nXj=1

(xj yj)2

e chamada de topologia usual.

(c) Seja X um conjunto qualquer, e seja a famlia de todos os subconjuntosde X. Claramente e uma topologia em X, chamada de topologia discreta.

(d) Seja X um conjunto qualquer, e seja = {;, X}. Claramente e umatopologia em X, chamada de topologia trivial.

3.3. Definicao. Diremos que um espaco topologico (X, ) e metrizavel seexistir uma metrica d em X tal que = d.

Notemos que a topologia discreta e sempre metrizavel, e vem dada pelametrica discreta.

3.4. Definicao. Dadas duas topologias 1 e 2 num conjunto X, diremosque 1 e mais fraca que 2, ou que 2 e mais forte que 1, ou que 2 e mais finaque 1 se 1 2.

A topologia trivial em X e mais fraca que qualquer outra topologia em X.A topologia discreta em X e mais fina que qualquer outra topologia em X.

3.5. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que um conjuntoF X e fechado se X \ F e aberto.

3.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao:(a) X e ; sao fechados.(b) A intersecao de uma famlia arbitraria de fechados e um fechado.(c) A uniao de uma famlia finita de fechados e um fechado.

Demonstracao. Basta aplicar as leis de de Morgan.

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Reciprocamente temos:

3.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja F uma famlia de subcon-juntos de X com as seguintes propriedades:

(a) X e ; pertencem a F .(b) A intersecao de uma famlia arbitraria de membros de F pertence a F .(c) A uniao de uma famlia finita de membros de F pertence a F .Seja = {X \ F : F 2 F}. Entao e uma topologia em X, e F coincide

com a famlia dos fechados de (X, ).

Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.

Exerccios

3.A. Prove que as metricas dos Exemplos 2.2(b), 2.2(c) e 2.2(d) definem amesma topologia em Rn.

3.B. Seja X = {a, b}, com a 6= b, e seja = {;, {a}, X}.

Prove que e uma topologia em X. O espaco (X, ) e chamado de espaco deSierpinski.

3.C. Seja X um conjunto, e seja

F = {X} [ {F X : F e finito}.Prove que F e a famlia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia cofinita. Voce reconhece esta topologia quando X e finito?

3.D. Seja X um conjunto, e seja

F = {X} [ {F X : F e enumeravel}.Prove que F e a famlia de fechados de uma topologia em X, conhecida comotopologia coenumeravel. Voce reconhece esta topologia quando X e enume-ravel?

3.E. Seja X um conjunto, seja A X, e sejaA = {;} [ {U : A U X}.

(a) Prove que A e uma topologia em X.(b) Descreva os fechados de (X, A).(c) Voce reconhece A quando A = ; e quando A = X?

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4. Aderencia e interior de um conjunto

4.1. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A X. Chamaremosde aderencia de A o conjunto

A =\{F X : F e fechado e F A}.

Claramente A e o menor subconjunto fechado de X que contem A.

4.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A! Atem as seguintes propriedades:

(a) A A.(b) A = A.(c) ; = ;.(d) A [B = A [B.(e) A e fechado se e so se A = A.

Demonstracao. (a) e obvio.

(b) Por (a) A A. E como A e um fechado contendo A, segue que A A.(c) Como ; e um fechado contendo ;, segue que ; ;.(d) Antes de provar (d) notemos que

A B implica A B.Como A A [ B e B A [ B, segue que A A [B e B A [B. LogoA [ B A [B. Por outro lado A [ B e um fechado contendo A [ B. LogoA [B A [B.

(e) e obvio.


4.3. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A 2 P(X) ! A 2 P(X)uma aplicacao com as seguintes propriedades:

(a) A A.(b) A = A.(c) ; = ;.(d) A [B = A [B.Seja F = {A X : A = A}. Entao F e a famlia de fechados de uma

topologia em X. A e a aderencia de A para cada A X.Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 3.7. E claro que X 2 F . E

segue de (c) que ; 2 F .Segue de (d) que a uniao de dois membros de F pertence a F .

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Antes de provar que qualquer intersecao de membros de F pertence a F ,provemos que

() A B implica A B.De fato usando (d) vemos que:

A B ) B = A [ (B \A)) B = A [ (B \A)) B A.Seja Ai 2 F para cada i 2 I. Entao

Ti2I Ai Ai, e portanto

Ti2I Ai

Ai = Ai para cada i 2 I. LogoT

i2I Ai T

i2I Ai, e segue queT

i2I Ai 2 F .Assim F e a famlia de fechados para uma topologia em X. Para provar

que A e a aderencia de A com relacao a , fixemos A X. Segue de (*) queA F = F para cada F 2 F tal que F A,

e portantoA

\{F 2 F : F A}.

Por outro lado segue de (a) e (b) que A 2 F e A A. Logo\{F 2 F : F A} A.

Isto prova que A e a aderencia de A.

4.4. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja A X. Chamaremosde interior de A o conjunto

A =[

{U X : U e aberto e U A}.

Claramente A e o maior subconjunto aberto de X que esta contido em A. Asvezes escreveremos

A em lugar de A.

4.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja A X. Entao:X \A = (X \A) e X \A = (X \A).

Demonstracao. Basta aplicar as leis de De Morgan.

Deixamos como exerccio as demonstracoes das duas proposicoes seguintes.Elas podem ser demonstradas diretamente, ou podem ser deduzidas das Proposicoes4.2 e 4.3 utilizando a Proposicao 4.5 e as leis de De Morgan.

4.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Entao a aplicacao A! Atem as seguintes propriedades:

(a) A A.(b) A = A.(c) X = X.(d) (A \B) = A \B.

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(e) A e aberto se e so se A = A.

4.7. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja A 2 P(X) ! A 2 P(X)uma aplicacao com as seguintes propriedades:

(a) A A.(b) A = A.(c) X = X.(d) (A \B) = A \B.Seja = {A X : A = A}. Entao e uma topologia em X. A e o

interior de A para cada A X.

Exerccios

4.A. Seja X um espaco topologico, com a topologia cofinita do Exerccio3.C.

(a) Descreva A para cada A X.(b) Descreva A para cada A X.4.B. Seja X um conjunto, seja A X, e seja A a topologia do Exerccio

3.E.(a) Descreva B para cada B X.(b) Descreva B para cada B X.4.C. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que (A \B) A \B para todo A,B X.(b) De exemplo de conjuntos A,B R tais que (A \B) 6= A \B.4.D. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que (A [B) A [B para todo A,B X.(b) De exemplo de conjuntos A,B R tais que (A [B) 6= A [B.4.E. Dado A X, chamaremos de fronteira de A o conjunto

@A = A \ (X \A).(a) Prove que A = A [ @A.(b) Prove que A = A \ @A.4.F. Para cada A N seja

A = {kn : n 2 A, k 2 N}.(a) Prove que a aplicacao A! A tem as propriedades da Proposicao 4.3, e

define portanto uma topologia em N.(b) Descreva os fechados de (N, ).(c) Descreva os abertos de (N, ).

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5. Sistemas de vizinhancas

5.1. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x 2 X.Diremos que um conjunto U X e uma vizinhanca de x se x 2 U. Ux denotao conjunto de todas as vizinhancas de x.

5.2. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio. Entao os con-juntos Ux tem as seguintes propriedades:

(a) x 2 U para cada U 2 Ux.(b) Se U, V 2 Ux, entao U \ V 2 Ux.(c) Dado U 2 Ux, existe V 2 Ux, V U , tal que U 2 Uy para cada y 2 V .(d) Se U 2 Ux e U V X, entao V 2 Ux.(e) Um conjunto U X e aberto se e so se U 2 Ux para cada x 2 U .Demonstracao. (a) Se U 2 Ux, entao x 2 U U .(b) Se U, V 2 Ux, entao x 2 U \ V = (U \ V ). Logo U \ V 2 Ux.(c) Dado U 2 Ux, seja V = U. Se y 2 V = U, entao U 2 Uy.(d) Se U 2 Ux e U V X, entao x 2 U V . Logo V 2 Ux.(e) Se U e aberto, entao U = U. Segue que U 2 Ux para cada x 2 U .

Reciprocamente suponhamos que U 2 Ux para cada x 2 U . Segue que U = U.Logo U e aberto.


5.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x 2 X sejaUx uma famlia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

(a) x 2 U para cada U 2 Ux.(b) Se U, V 2 Ux, entao U \ V 2 Ux.(c) Dado U 2 Ux, existe V 2 Ux, V U , tal que U 2 Uy para cada y 2 V .(d) Se U 2 Ux e U V X, entao V 2 Ux.Seja

= {U X : U 2 Ux para cada x 2 U}.Entao e uma topologia em X, e Ux e o sistema de vizinhancas de x em (X, )para cada x 2 X.

Demonstracao. Primeiro provaremos que e uma topologia em X.E claro que ; 2 . Para provar que X 2 , seja x 2 X, e seja U 2 Ux. Como

U X, segue de (d) que X 2 Ux. Logo X 2 .Seja Ui 2 para cada i 2 I, e seja x 2

Si2I Ui. Entao x 2 Ui para algum

i 2 I. Como Ui 2 , temos que Ui 2 Ux. Como Ui S

i2I Ui, segue de (d) queSi2I Ui 2 Ux. Logo

Si2I Ui 2 .

Sejam U, V 2 , e seja x 2 U \ V . Entao U, V 2 Ux, e segue de (b) queU \ V 2 Ux. Logo U \ V 2 .

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A seguir provaremos que cada vizinhanca de x pertence a Ux. Seja U umavizinhanca de x. Entao x 2 U. Como U 2 , segue que U 2 Ux. ComoU U , segue de (d) que U 2 Ux.

Finalmente provaremos que cada U 2 Ux e uma vizinhanca de x. SejaU 2 Ux, e seja V = {y 2 U : U 2 Uy}. Segue de (a) que x 2 U , e como U 2 Ux,vemos que x 2 V .

A seguir veremos que V 2 . Dado y 2 V , temos que U 2 Uy. Por (c) existeW 2 Uy, W U , tal que U 2 Uz para todo z 2 W . Segue entao de (a) queW V . Segue de (d) que V 2 Uy. Logo V 2 .

Como x 2 V e V 2 , segue que x 2 U. Logo U e uma vizinhanca de x.5.4. Definicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja x 2 X.

Diremos que uma famlia Bx Ux e uma base de vizinhancas de x se cadaU 2 Ux contem algum V 2 Bx.

5.5. Exemplos.(a) Seja X um espaco topologico, seja x 2 X, e seja

Bx = {U 2 Ux : U e aberto}.Entao Bx e uma base de vizinhancas de x.

(b) Seja X um espaco metrico, seja x 2 X, e sejaBx = {B(x; r) : r > 0}.

Entao Bx e uma base de vizinhancas de x.(c) Seja X um espaco metrico, seja x 2 X, e seja

Bx = {B[x; r] : r > 0}.Entao Bx e uma base de vizinhancas de x.

5.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, e seja Bx umabase de vizinhancas de x, para cada x 2 X. Entao:

(a) x 2 U para cada U 2 Bx.(b) Dados U, V 2 Bx, existe W 2 Bx tal que W U \ V .(c) Dado U 2 Bx, existe V 2 Bx, V U , tal que para cada y 2 V existe

W 2 By tal que W U .(d) Um conjunto U X e aberto se e so se para cada x 2 U existe V 2 Bx

tal que V U .Demonstracao. As afirmacoes (a), (b), (c) e (d) seguem diretamente das

afirmacoes (a), (b), (c) e (e) na Proposicao 5.2.


5.7. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Para cada x 2 X sejaBx uma famlia nao vazia de subconjuntos de X com as seguintes propriedades:

13

(a) x 2 U para cada U 2 Bx.(b) Dados U, V 2 Bx, existe W 2 Bx tal que W U \ V .(c) Dado U 2 Bx, existe V 2 Bx, V U , tal que para cada y 2 V existe

W 2 By tal que W U .Seja

= {U X : para cada x 2 U existe V 2 Bx tal que V U}.Entao e uma topologia em X e Bx e uma base de vizinhancas de x em

(X, ) para cada x 2 X.Demonstracao. Para cada x 2 X seja

Ux = {U X : U V para algum V 2 Bx}.E claro que as famlias Ux verificam as propriedades (a), (b), (c) e (d) daProposicao 5.3, e que

= {U X : U 2 Ux para cada x 2 U}.Pela Proposicao 5.3 e uma topologia em X e Ux e o sistema de vizinhancasde x em (X, ) para cada x 2 X. Segue que Bx e uma base de vizinhancas dex em (X, ) para cada x 2 X.

A proposicao seguinte e muito util. Ela caracteriza abertos, fechados, aderenciade um conjunto e interior de um conjunto em termos de bases de vizinhancas.

5.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico nao vazio, seja A X, eseja Bx uma base de vizinhancas de x, para cada x 2 X.Entao:

(a) A e aberto se e so se para cada x 2 A existe V 2 Bx tal que V A.(b) A e fechado se e so se para cada x /2 A, existe V 2 Bx tal que V \A = ;.(c) A = {x 2 X : V \A 6= ; para cada V 2 Bx}.(d) A = {x 2 X : V A para algum V 2 Bx}.Demonstraccao. Ja vimos (a) na Proposicao 5.6(d). (b) e consequencia

imediata de (a).

(c) Lembremos que

A =\{F X : F fechado, F A}.

Se x /2 A, entao por (b) existe V 2 Bx tal que V \ A = ;. Reciprocamentesuponhamos que exista V 2 Bx tal que V \A = ;. Entao x 2 V e A X \V X \ V . Como X \ V e fechado, segue que A X \ V . Logo x /2 A.

(d) Pela Proposicao 4.5, X \ A = (X \A). Se B denota o conjunto dadireita em (d), entao usando (c) segue que

x /2 A , x 2 (X \A), V \ (X \A) 6= ; para cada V 2 Bx

14

, V 6 A para cada V 2 Bx , x /2 B.

5.9. Definicao. Seja X um espaco topologico. Diremos que X satisfazo primeiro axioma de enumerabilidade se cada x 2 X admite uma base devizinhancas Bx que e enumeravel.

5.10. Exemplo. Cada espaco metrico satisfaz o primeiro axioma de enu-merabilidade.

Exerccios

5.A. Seja X um espaco topologico, seja A X, e seja Bx uma base devizinhancas de x para cada x 2 X. Prove que

@A = {x 2 X : V \A 6= ; e V \ (X \A) 6= ; para cada V 2 Bx}.5.B. Dados f 2 C[a, b] e r > 0, seja

U(f, r) = {g 2 C[a, b] : |g(x) f(x)| < r para todo x 2 [a, b]}.Prove que os conjuntos U(f, r), com r > 0 formam uma base de vizinhancas def no espaco metrico C[a, b] do Exerccio 2.A(a).

5.C. Dados f 2 C[a, b], A [a, b], A finito, e r > 0, sejaV (f,A, r) = {g 2 C[a, b] : |g(x) f(x)| < r para todo x 2 A}.

Prove que os conjuntos V (f,A, r), com A [a, b], A finito, e r > 0, formam umabase de vizinhancas de f para uma certa topologia em C[a, b]. Esta topologia emais fraca que a topologia do exerccio anterior.

5.D. Seja X um espaco topologico e seja A X. Diremos que um pontox 2 X e um ponto de acumulacao de A se dado U 2 Ux existe a 2 U \ A,com a 6= x. A0 denota o conjunto dos pontos de acumulacao de A. Prove queA = A [A0.

5.E. De exemplo de um conjunto A R tal que os seguintes conjuntossejam todos diferentes entre si:

A, A,A,

A,

A,

A,

A .

15

6. Bases para os abertos

6.1. Definicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Diremos que umafamlia B e uma base para se dado U 2 existe C B tal que

U =[

{V : V 2 C}.

6.2. Exemplos.(a) Os intervalos (a, b), com a < b em R, formam uma base para a topologia

usual em R.

(b) Se (X, d) e um espaco metrico, entao as bolas B(a; r), com a 2 X er > 0, formam uma base para a topologia d.

(c) Se (X, ) e um espaco topologico discreto, entao B = {{x} : x 2 X} euma base para .

6.3. Proposicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Uma famlia B e uma base para se e so se, dados U 2 e x 2 U , existe V 2 B tal quex 2 V U .

Esta proposicao e consequencia imediata da definicao.

6.4. Proposicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Uma famlia B euma base para se e so se, para cada x 2 X, a famlia

Bx = {V 2 B : x 2 V }e uma base de vizinhancas de x.

Esta proposicao e consequencia facil da proposicao anterior.

6.5. Proposicao. Seja (X, ) um espaco topologico, e seja B uma basepara . Entao:

(a) X =S{V : V 2 B}.

(b) Dados x 2 X e U, V 2 B tais que x 2 U \ V , existe W 2 B tal quex 2W U \ V .

Demonstracao. (a) e consequencia imediata da definicao de base. (b) econsequencia da Proposicao 6.4, junto com a Proposicao 5.6.


6.6. Proposicao. Seja X um conjunto, e seja B uma famlia de subcon-juntos de X com as seguintes propriedades:

(a) X =S{V : V 2 B}.

(b) Dados x 2 X e U, V 2 B tais que x 2 U \ V , existe W 2 B tal quex 2W U \ V .

Seja a famlia de todos os conjuntos da forma

U =[

{V : V 2 C}, com C B.

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Entao e uma topologia em X, e B e uma base para .Demonstracao. E claro que ; = S{V : V 2 ;} 2 . E X 2 por (a).Seja Ui 2 para cada i 2 I, ou seja

Ui =[

{V : V 2 Ci}, com Ci Bpara cada i 2 I. Entao [

i2IUi =

[{V : V 2

[i2I

Ci} 2 .

Finalmente sejam U1, U2 2 , ou sejaU1 =

[{V1 : V1 2 C1}, U2 =

[{V2 : V2 2 C2},

com C1, C2 B. EntaoU1 \ U2 =

[{V1 \ V2 : V1 2 C1, V2 2 C2}.

Segue de (b) que cada intersecao V1 \ V2 e uniao de membros de B. Segue queU1 \ U2 2 .

Temos provado qur e uma topologia em X. E claro que B e uma base para .

6.7. Definicao. Seja (X, ) um espaco topologico. Diremos que (X, )satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se existe uma base B para quee enumeravel.

6.8. Exemplo. R satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade: os inter-valos (a, b) com a < b racionais, formam uma base para os abertos.

Exerccios

6.A. Prove que o segundo axioma de enumerabilidade implica o primeiro.

6.B. Prove que os intervalos (a,1), com a 2 R, formam uma base parauma topologia 1 em R, mais fraca que a topologia usual. Prove que (R, 1)satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

6.C. Prove que os intervalos [a, b), com a < b em R, formam uma base parauma topologia 2 em R, mais fina que a topologia usual. (R, 2) e conhecidocomo a reta de Sorgenfrey.

6.D. Seja (X, ) um espaco topologico. Diremos que uma famlia C euma subbase para se as intersecoes finitas de membros de C formam uma basepara . Prove que os intervalos (a,1), com a 2 R, junto com os intervalos(1, b), com b 2 R, formam uma subbase para a topologia usual em R.

17

7. Subespacos

7.1. Definicao. Seja (X, ) um espaco topologico, e seja S X. E claroque a famlia

S = {S \ U : U 2 }e uma topologia em S, que chamaremos de topologia induzida. Diremos que(S, S) e um subespaco de (X, ), ou simplesmente que S e um subespaco de X.

7.2. Exemplos.(a) Z, com a topologia induzida por R, e um espaco topologico discreto.

(b) R e um subespaco de R2.

7.3. Proposicao. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Entao:(a) U e aberto em S se e so se U = S \ U1, sendo U1 aberto em X.(b) F e fechado em S se e so se F = S \ F1, sendo F1 fechado em X.(c) Se A S, entao AS = S \AX .(d) Se x 2 S, entao U e vizinhanca de x em S se e so se U = S \U1, sendo

U1 uma vizinhanca de x em X.

Demonstracao. (a) e a propria definicao.

(b) Usando (a) vemos que: F e fechado em S , S \ F e aberto em S ,S \ F = S \ U1, com U1 aberto em X , F = S \ (X \ U1), com U1 aberto emX , F = S \ F1, com F1 fechado em X.

(c) Usando (b) vemos que:

AS =\

{F : F fechado em S, F A}

=\

{S \ F1 : F1 fechado em X, F1 A} = S \AX .(d) Seja U1 uma vizinhanca de x em X. Entao existe um aberto V1 em X

tal que x 2 V1 U1. Logo x 2 S \ V1 S \ U1. Como S \ V1 e aberto em S,segue que S \ U1 e uma vizinhanca de x em S.

Reciprocamente seja U uma vizinhanca de x em S. Entao existe um abertoV de S tal que x 2 V U . Entao V = S \ V1, com V1 aberto em X. Seja

U1 = V1 [ (U \ V ).Entao

S \ U1 = V [ (U \ V ) = U.Como x 2 V1 U1, segue que U1 e uma vizinhanca de x em X.

18

Exerccios

7.A. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.(a) Se X tem a topologia discreta, prove que S tambem tem a topologia

discreta.(b) SeX tem a topologia trivial, prove que S tambem tem a topologia trivial.

7.B. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X. Se X emetrizavel, prove que S e metrizavel tambem.

Sugestao: Use o Exerccio 2.C.

7.C. Seja X um espaco topologico, seja S um subespaco de X, e seja x 2 S.(a) Se Bx e uma base de vizinhancas de x em X, prove que a famlia {S\U :

U 2 Bx} e uma base de vizinhancas de x em S.(b) Se X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz

o mesmo axioma.

7.D. Seja X um espaco topologico, e seja S um subespaco de X.(a) Se B e uma base para a topologia de X, prove que a famlia {S \ U :

U 2 B} e uma base para a topologia de S.(b) Se X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, prove que S satisfaz

o mesmo axioma.

19

8. Funcoes contnuas

8.1. Definicao. Seja f : X ! Y , sendoX e Y espacos topologicos. Diremosque f e contnua num ponto a 2 X se para cada aberto V de Y contendo f(a),existe um aberto U de X contendo a tal que f(U) V . Diremos que f econtnua se for contnua em cada pontos de X. Denotaremos por C(X;Y ) oconjunto de todas as funcoes contnuas f : X ! Y . Se Y = R, escreveremosC(X) em lugar de C(X;R).

8.2. Proposicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos topologicos.Seja Ba uma base de vizinhancas de um ponto a 2 X, e seja Bf(a) uma base devizinhancas de f(a). Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contnua em a.(b) Para cada V 2 Uf(a), existe U 2 Ua tal que f(U) V .(c) Para cada V 2 Bf(a), existe U 2 Ba tal que f(U) V .Demonstracao. (a) ) (b): Seja V 2 Uf(a). Seja V1 um aberto de Y

contendo f(a) tal que V1 V . Por (a) existe um aberto U1 de X contendo atal que f(U1) V1 V . E claro que U1 2 Ua.

(b) ) (c): Seja V 2 Bf(a). Por (b) existe U 2 Ua tal que f(U) V . SejaU1 2 Ba tal que U1 U . Entao f(U1) f(U) V .

(c) ) (a): Seja V um aberto de Y contendo f(a). Seja V1 2 Bf(a) tal queV1 V . Por (c) existe U1 2 Ba tal que f(U1) V1. Seja U um aberto de Xcontendo a tal que U U1. Entao f(U) f(U1) V1 V .

8.3. Proposicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos topologicos.Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e contnua.(b) f1(V ) e aberto em X para cada aberto V de Y .(c) f1(B) e fechado em X para cada fechado B de Y .

Demonstracao. Basta repetir a demonstracao da Proposicao 2.10.

8.4. Proposicao. Sejam f : X ! Y e g : Y ! Z, sendo X, Y e Z espacostopologicos. Se f e contnua num ponto a 2 X e g e contnua em f(a), entaog f e contnua em a.

Demonstracao. Utilizaremos a Proposicao 8.2. Seja W 2 Ugf(a). Comog e contnua em f(a), existe V 2 Uf(a) tal que g(V ) W . Como f e contnuaem a, existe U 2 Ua tal que f(U) V . Segue que g(f(U)) g(V ) W .

8.5. Corolario. Sejam f : X ! Y e g : Y ! Z, sendo X, Y e Z espacostopologicos. Se f e g sao contnuas, entao g f e contnua tambem.

8.6. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja S um subespacode X. Se f : X ! Y e contnua, entao a restricao f |S : S ! Y e contnuatambem.

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Demonstracao. Seja V um aberto de Y . Como f e contnua, f1(V ) eaberto em X. Segue que (f |S)1(V ) = S \ f1(V ) e aberto em S.

8.7. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos. Suponhamos que X =S1 [ S2, onde S1 e S2 sao ambos abertos ou ambos fechados. Seja f : X ! Yuma funcao tal que f |S1 : S1 ! Y e f |S2 : S2 ! Y sao contnuas. Entao f econtnua.

Demonstracao. Suponhamos S1 e S2 abertos. Seja V um aberto de Y .Como f |S1 e contnua, (f |S1)1(V ) = S1 \ f1(V ) e aberto em S1. Como f |S2e contnua, (f |S2)1(V ) = S2 \ f1(V ) e aberto em S2. Segue que

S1 \ f1(V ) = S1 \ U1 e S2 \ f1(V ) = S2(V ) \ U2,sendo U1 e U2 abertos em X. Como X = S1 [ S2, segue que

f1(V ) = (S1 \ f1(V )) [ (S2 \ f1(V )) = (S1 \ U1) [ (S2 \ U2)e aberto em X.

Deixamos como exerccio a demonstracao do caso em que S1 e S2 sao fecha-dos.

8.8. Definicao. Sejam X e Y espacos topologicos.(a) Diremos que f : X ! Y e um homeomorfismo se f e bijetiva e f e f1

sao contnuas.(b) Diremos que f : X ! Y e um mergulho se f e um homeomorfismo entre

X e o subespaco f(X) de Y .(c) Diremos que f : X ! Y e aberta se f(U) e aberto em Y para cada aberto

U de X.(d) Diremos que f : X ! Y e fechada se f(A) e fechado em Y para cada

fechado A de X.

O resultado seguinte e consequencia facil das definicoes e resultados anteri-ores.

8.9. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X ! Yuma funcao bijetiva. Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) f e um homeomorfismo.(b) f e contnua e aberta.(c) f e contnua e fechada.

Exerccios

X e Y denotam espacos topologicos.

8.A. Seja B uma base para a topologia de Y . Prove que uma funcao f :X ! Y e contnua se e so se f1(V ) e aberto em X para cada V 2 B.

8.B. Prove que uma funcao f : X ! Y e contnua se e so se f(A) f(A)para cada A X.

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8.C. Prove que cada funcao constante f : X ! Y e contnua.8.D. Prove que se f : X ! R e g : X ! R sao contnuas num ponto a 2 X,

entao as funcoes f + g e fg sao tambem contnuas em a.

8.E. Dado A X, a funcao caracterstica A : X ! R e definida porA(x) = 1 se x 2 A e A(x) = 0 se x /2 A. Prove que a funcao A e contnua see so se A e aberto e fechado.

8.F. Seja X = N, com a topologia do Exerccio 4.F. Prove que uma funcaof : X ! X e contnua se e so se, cada vez que m divide n, tem-se que f(m)divide f(n).

8.G. Diremos que um conjunto D X e denso em X se D = X. Sejaf : X ! R uma funcao contnua tal que f(x) = 0 para todo x num subconjuntodenso D X. Prove que f(x) = 0 para todo x 2 X.

8.H. Prove que os seguintes pares de intervalos sao homeomorfos entre si:(a) (a, b) e (0, 1).(b) (1,1) e (0, 1).(c) (/2,/2) e (1,1).Use (a), (b) e (c) para provar que todos os intervalos abertos de R sao

homeomorfos entre si.

8.I. Seja f : X ! R. Diremos que f e semicontnua inferiormente sef1(a,1) e aberto em X para cada a 2 R. Diremos que f e semicontnuasuperiormente se f1(1, b) e aberto em X para cada b 2 R. Prove que f econtnua se e so se f e semicontnua inferiormente e semicontnua superiormente.

8.J. Seja A X.(a) Prove que A : X ! R e semicontnua inferiormente se e so se A e

aberto.(b) Prove que A : X ! R e semicontnua superiormente se e so se A e

fechado.

22

9. Produtos infinitos e o axioma da escolha

9.1. Definicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de conjuntos.Chamaremos de produto cartesiano da famlia {Xi : i 2 I} o conjuntoY

i2IXi = {x : I !

[i2I

Xi : x(i) 2 Xi para cada i 2 I}.

Escreveremos xi em lugar de x(i) para cada x 2Q

i2I e i 2 I. Para cada j 2 Ia projecao j e definida por

j : x 2Yi2I

Xi ! xj 2 Xj .

Cada x 2Qi2I Xi e usualmente denotado por (xi)i2I .Mesmo que cada Xi seja nao vazio, nao e claro que o produto

Qi2I Xi seja

nao vazio. Isto e consequencia do axioma seguinte.

9.2. Axioma da escolha. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia deconjuntos disjuntos nao vazios. Entao existe uma funcao f : I ! Si2I Xi talque f(i) 2 Xi para cada i 2 I. A funcao f e chamada de funcao escolha.

9.3. Proposicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de conjuntosnao vazios. Entao o produto cartesiano

Qi2I Xi e nao vazio.

Demonstracao. Se os conjuntos Xi fossem disjuntos, a conclusao seriaconsequencia imediata do axioma da escolha. No caso geral definamos Yi =Xi {i} para cada i 2 I. E claro que {Yi : i 2 I} e uma famlia nao vazia deconjuntos disjuntos nao vazios. Pelo axioma da escolha existe uma funcao f :I ! Si2I Yi tal que f(i) 2 Yi para cada i 2 I. Podemos escrever f(i) = (xi, i),com xi 2 Xi para cada i 2 I. Se definimos x(i) = xi para cada i 2 I, entaox 2Qi2I Xi.

Temos provado que o axioma da escolha implica a Proposicao 9.3. Mas eclaro que a Proposicao 9.3 implica o axioma da escolha. Assim o axioma daescolha e a Proposicao 9.3 sao equivalentes.

Vamos ilustrar o uso do axioma da escolha com um exemplo do dia a dia.Seja I um conjunto infinito, e seja Xi um par de sapatos para cada i 2 I. Nestecaso nao precisamos do axioma da escolha para garantir que o produto

Qi2I Xi

e nao vazio. Se definimos x(i) como sendo aquele sapato em Xi que correspondeao pe direito para cada i 2 I, entao e claro que a funcao x : I ! Si2I Xi assimdefinida pertence a

Qi2I Xi. Por outro lado seja Yi um par de meias para

cada i 2 I. Como em geral nao ha como distinguir entre as duas meias de ummesmo par, nao temos como definir uma funcao y : I ! Si2I Yi que pertencaao produto

Qi2I Yi sem usar o axioma da escolha.

23

Exerccios

9.A. Prove que o axioma da escolha e equivalente a` afirmacao seguinte: Seja{Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de conjuntos disjuntos nao vazios. Entaoexiste um conjunto Y Si2I Xi tal que Y \Xi contem um unico elemento paracada i 2 I.

O exerccio seguinte mostra como conciliar a definicao usual de produtoscartesianos finitos, que vimos na Secao 1, com a definicao de produtos carte-sianos infinitos.

9.B. Sabemos que, dados n conjuntos X1, ..., Xn, o produto cartesiano X1...Xn e dado por

X1 ...Xn = {(x1, ..., xn) : xi 2 Xi para i = 1, ..., n}.Seja

(X1 ...Xn) = {x : {1, ..., n}! X1 [ ...[Xn : x(i) 2 Xi para i = 1, ..., n}.Ache uma aplicacao bijetiva entre X1 ...Xn e (X1 ...Xn).

24

10. O espaco produto

10.1. Proposicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, e seja X =

Qi2I Xi. Seja

B = {Yi2I

Ui : Ui e aberto em Xi para cada i 2 I}.

Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia dascaixas.

Demonstracao. E claro que B verifica as condicoes (a) e (b) da Proposicao6.6.

Se I = {1, ..., n} e Xi = R para cada i 2 I, entao e claro que a topologiadas caixas coincide com a topologia usual em Rn. Mas se I e um conjuntoinfinito, entao a topologia das caixas, mesmo sendo bastante natural, e poucoconveniente. Mais adiante veremos varias propriedades P tais que, embora cadaXi tenha a propriedade P, o produto

Qi2I Xi, com a topologia das caixas, nao

tem a propriedade P. Por essa razao a topologia usual no produtoQ

i2I Xi vemdada pela proposicao seguinte.


Qi2I Xi. Seja B a famlia de todos os

produtosQ

i2I Ui tais que:(a) Ui e aberto em Xi para cada i 2 I;(b) Ui = Xi para cada i 2 I \ J , com J I, J finito.Entao B e base para uma topologia em X, que chamaremos de topologia

produto.

Demonstracao. E facil verificar que B verifica as condicoes (a) e (b) daProposicao 6.6. E conveniente notar que cada U 2 B pode ser escrito na forma

U = (Yj2J

Uj) (Yi2I\J

Xi) =\j2J

1j (Uj).


Qi2I Xi. A topologia produto e a topologia

mais fraca em X tal que todas as projecoes j : X ! Xj sao contnuas.Demonstracao. Seja p a topologia produto. Se Uj e aberto em Xj , entao

1j (Uj) pertence a B, e e portanto aberto em (X, p). Logo j : X ! Xj econtnua para cada j 2 I.

Seja uma topologia em X tal que j : (X, ) ! Xj e contnua para cadaj 2 I. Provaremos que p . Para isso basta provar que cada U 2 B pertencea . Se U 2 B, entao

U =\j2J

1j (Uj),

25

com J finito e Uj aberto em Xj para cada j 2 J . Segue que 1j (Uj) e abertoem (X, ) para cada j 2 J , e dai U e aberto em (X, ).

A menos que digamos o contrario, sempre consideraremos o produto carte-siano

Qi2I Xi com a topologia produto.

10.4. Proposicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos, e seja X =

Qi2I Xi. Seja Y um espaco topologico, e seja g : Y !

X. Entao a funcao g e contnua se e so se a funcao composta j g : Y ! Xje contnua para cada j 2 I.

Demonstracao. A implicacao ) e imediata.(() Suponhamos que j g : Y ! Xj seja contnua para cada j 2 I. Para

provar que g : Y ! X e contnua, basta provar que g1(U) e aberto em Y paracada U 2 B. Se U 2 B, entao

U =\j2J

1j (Uj),

com J finito e Uj aberto em Xj para cada j 2 J . Logo

g1(U) =\j2J

g1(1j (Uj)) =\j2J

(j g)1(Uj).

Como j g : Y ! Xj e contnua para cada j, segue que g1(U) e aberto emY .

Os resultados anteriores motivam o conceito seguinte:

10.5. Proposicao. Seja X um conjunto, seja {Xi : i 2 I} uma famlia deespacos topologicos, e seja fi : X ! Xi para cada i 2 I. Seja

B = {\j2J

f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}.

Entao:(a) B e base para uma topologia w em X.(b) w e a topologia mais fraca em X tal que fi : X ! Xi e contnua para

cada i 2 I.(c) Se Y e um espaco topologico, entao uma funcao g : Y ! X e contnua

se e so se fi g : Y ! Xi e contnua para cada i 2 I.Diremos que w e a topologia fraca em X definida pela famlia de funcoes

{fi : i 2 I}.Demonstracao. Nao e difcil adaptar as demonstracoes dos resultados

anteriores.

10.6. Proposicao. Seja X um espaco topologico, que tem a topologiafraca definida por uma famlia de funcoes fi : X ! Xi (i 2 I). Seja S um

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subespaco topologico de X. Entao S tem a topologia fraca definida pela famliade restricoes fi|S : S ! Xi (i 2 I).

Demonstracao. Nos sabemos que

BX = {\j2J

f1j (Uj) : J finito, Uj aberto em Xj}

e base para a topologia de X, e que

BS = {S \\j2J


e base para a topologia de S. Como

S \\j2J

f1j (Uj) =\j2J

S \ f1j (Uj) =\j2J

(fj |S)1(Uj),

vemos que S tem a topologia fraca definida pela famlia de restricoes fi|S : S !Xi (i 2 I).

10.7. Definicao. Seja fi : X ! Xi para cada i 2 I. Diremos que a famlia{fi : i 2 I} separa os pontos de X se dados x 6= y em X, existe i 2 I tal quefi(x) 6= fi(y).

A proposicao seguinte da condicoes necessarias e suficientes para que umespaco topologico seja homeomorfo a um subespaco de um espaco produto.

10.8. Proposicao. Seja fi : X ! Xi para cada i 2 I, sendo X e cada Xiespacos topologicos. Seja

: x 2 X ! (fi(x))i2I 2Yi2I

Xi.

Entao e um mergulho se e so se se verificam as seguintes condicoes:(a) A famlia {fi : i 2 I} separa os pontos de X.(b) X tem a topologia fraca definida pela famlia {fi : i 2 I}.A aplicacao e chamada de avaliacao.

Demonstracao. Notemos que i = fi, para cada i.()) Por hipotese e um homeomorfismo entre X e o subespaco (X) deQ

i2I Xi.Como e injetivo, e claro que {fi : i 2 I} separa os pontos de X.Pela Proposicao 10.6 (X) tem a topologia fraca definida pela famlia de

restricoesi|(X) : (X)! Xi.

Como : X ! (X) e um homeomorfismo, segue que X tem a topologia fracadefinida pela famlia de funcoes

(i|(X)) = fi : X ! Xi.

27

(() Como {fi : i 2 I} separa os pontos de X, e claro que e injetivo.Segue de (b) que i = fi : X ! Xi e contnua para cada i 2 I. Logo

: X !Qi2I Xi e contnua. Para provar que e um mergulho provaremos que : X ! (X) e aberta. Por (b) a famlia

B = {\j2J


e uma base para X. Seja U =Tj2J f

1j (Uj) 2 B. Entao

U =\j2J

(j )1(Uj) =\j2J

1(1j (Uj)).

Como e injetiva,

(U) =\j2J

(1(1j (Uj))) =\j2J

(X) \ 1j (Uj) = (X) \\j2J

1j (Uj).

Logo (U) e aberto em (X), como queramos.

Exerccios

10.A. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia de espacos topologicos, e seja X =Qi2I Xi. Prove que cada projecao i : X ! Xi e uma funcao aberta.10.B. Prove que as projecoes canonicas em R2 nao sao funcoes fechadas.

10.C. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de espacos topologicos naovazios, e seja X =

Qi2I Xi. Prove que cada Xi e homeomorfo a um subespaco

de X.

10.D. Um espaco topologico X e dito nao trivial se tiver pelo menos doispontos, e trivial em caso contrario. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia deespacos topologicos nao vazios. Suponhamos que exista J , ; 6= J I tal queXi e trivial para todo i 2 I \ J . Prove que

Qi2I Xi e homeomorfo a

Qj2J Xj .

10.E. Se i < i para cada i 2 I, prove que o produtoQ

i2I [i,i] ehomeomorfo ao produto [0, 1]I .

10.F. Seja S um subespaco de um espaco topologico X. Prove que a topolo-gia de S coincide com a topologia fraca definida pela inclusao S ,! X.

28

11. O espaco quociente

11.1. Proposicao. Seja X um espaco topologico, seja Y um conjunto, eseja : X ! Y uma aplicacao sobrejetiva. Entao a colecao

= {V Y : 1(V ) e aberto em X}e uma topologia em Y , que chamaremos de topologia quociente definida por .

A demonstracao e simples e e deixada como exerccio.

11.2. Definicao. Diremos que : X ! Y e uma aplicacao quociente seX e um espaco topologico, : X ! Y e uma aplicacao sobrejetiva e Y tem atopologia quociente definida por .

11.3. Proposicao. Seja : X ! Y uma aplicacao quociente. Entaoa topologia quociente e a topologia mais fina em Y tal que a aplicacao econtnua.

A proposicao e consequencia imediata da definicao de .

11.4. Proposicao. Seja : X ! Y uma aplicacao quociente e seja Z umespaco topologico. Entao uma funcao g : Y ! Z e contnua se e so se a funcaocomposta g : X ! Z e contnua.

Demonstracao. A implicacao ) e imediata. Para provar a implicacaooposta, sejaW um aberto de Z. Como g e contnua, temos que (g)1(W ) =1(g1(W )) e aberto em X. Segue que g1(W ) e aberto em Y .

11.5. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja : X ! Yuma aplicacao sobrejetiva e contnua. Se e aberta ou fechada, entao a topologia de Y coincide com a topologia quociente .

Demonstracao. Suponhamos que seja aberta. Como e contnua, eclaro que . Para provar que , seja V 2 . Entao 1(V ) e abertoem X. Como e aberta e sobrejetiva, segue que V = (1(V )) 2 .

Quando e fechada, a demonstracao e parecida.

11.6. Exemplo. Seja

S1 = {(x, y) 2 R2 : x2 + y2 = 1}e seja

: t 2 [0, 2]! (cost, sent) 2 S1.Claramente e sobrejetiva e contnua. Usando resultados de compacidade emRn nao e difcil provar que e fechada. Logo S1 tem a topologia quocientedefinida por .

11.7. Proposicao. Seja X um espaco topologico. Seja D uma famlia desubconjuntos disjuntos de X cuja uniao e X. Seja

D = {A D :[{A : A 2 A} e aberto em X}.

29

Entao D e uma topologia em D. Diremos que D e uma decomposicao de X.Dado x 2 X seja P (x) o unico elemento de D que contem x. A aplicacaoP : X ! D assim definida e chamada de aplicacao decomposicao.

Demonstracao. E claro que ;,D 2 D.Se Ai 2 D para cada i 2 I, entao

Si2I Ai 2 D, pois[

{A : A 2[i2I

Ai} =[i2I

[{A : A 2 Ai}

e aberto em X.Se A,B 2 D, entao A \ B 2 D, pois[

{C : C 2 A \ B} = ([{A : A 2 A}) \ (

[{B : B 2 B})

e aberto em X. Para provar a igualdade anterior e necessario observar que seA,B 2 D e A \B 6= ;, entao A = B.

11.8. Proposicao. Toda aplicacao decomposicao P : X ! D e umaaplicacao quociente.

Demonstracao. Se A D, e claro queP1(A) = {x 2 X : P (x) 2 A} =

[{A : A 2 A}.

Segue queD = {A D : P1(A) e aberto em X}.

Logo D e a topologia quociente definida por P .

Reciprocamente temos o resultado seguinte.

11.9. Proposicao. Seja : X ! Y uma aplicacao quociente. Entao existeuma aplicacao decomposicao P : X ! D e existe um homeomorfismo f : Y ! Dtal que f = P .

Demonstracao. Seja

D = {1(y) : y 2 Y }.Como e sobrejetiva, e claro que D e uma decomposicao de X. Seja P : X ! Da aplicacao canonica. Seja f : Y ! D definida por f(y) = 1(y) para caday 2 Y . E claro que f e bijetiva. Como f((x)) = 1((x)) contem x, segueque f((x)) = P (x) para cada x 2 X.

Como f = P e contnua, segue que f e contnua. E como f1 P = econtnua, segue que f1 e contnua.

11.10. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja uma relacao deequivalencia em X. A decomposicao D formada pelas classes de equivalenciadefinidas pela relacao e denotada por X/ e e chamada de espaco de iden-tificacao de X modulo .

30

11.11. Exemplos.(a) Ja vimos que o crculo unitario S1 e um quociente do intervalo [0, 2].

AquiD = {{x} : 0 < x < 2} [ {{0, 2}}.

Para x, y 2 [0, 2], tem-se que x y se x y e um multiplo inteiro de 2.(b) Seja X = [0, 2] [0, 2]. Dados (x1, y1), (x2, y2) 2 X, definamos

(x1, y1) (x2, y2) se x1 x2 e um multiplo inteiro de 2 e y1 = y2. Entao e uma relacao de equivalencia em X e o espaco de identificacao X/ ehomeomorfo ao cilindro S1 [0, 2]. A aplicacao quociente vem dada por

: (x, y) 2 [0, 2] [0, 2]! ((cosx, senx), y) 2 S1 [0, 2].(c) SejaX = [0, 2][0, 2]. Dados (x1, y1), (x2, y2) 2 X definamos (x1, y1)

(x2, y2) se x1x2 e um multiplo inteiro de 2 e y1 = y2 ou se x1 = x2 e y1 y2e um multiplo inteiro de 2. Neste caso X/ e homeomorfo ao toro S1 S1.A aplicacao quociente vem dada por

: (x, y) 2 [0, 2] [0, 2]! ((cosx, senx), (cosy, seny)) 2 S1 S1.(d) Seja X = [0, 2] [0, 2]. Dados (x1, y1), (x2, y2) 2 X definamos

(x1, y1) (x2, y2) se x1 x2 e um multiplo inteiro de 2 e y1 + y2 = 2.Neste caso X/ e homeomorfo a` fita de Mobius.

Exerccios

11.A. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja : X ! Y uma aplicacaosobrejetiva. Prove que e condicao necessaria e suficiente para que seja umaaplicacao quociente que B seja fechado em Y se e so se 1(B) e fechado emX.

11.B. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja : X ! Y uma aplicacaocontnua. Se existir uma aplicacao contnua : Y ! X tal que (y) = ypara todo y 2 Y , prove que e uma aplicacao quociente.

11.C. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja : X ! Y uma aplicacaoquociente.

(a) Prove que e aberta se e so se 1((U)) e aberto em X para cadaaberto U de X.

(b) Prove que e fechada se e so se 1((A)) e fechado em X para cadafechado A de X.

11.D. Seja X = [0, 1], com a topologia induzida por R. Seja Y = {0, 1}, eseja : X ! Y a funcao caracterstica do intervalo [1/2, 1].

(a) Prove que a topologia quociente em Y vem dada por = {;, Y, {0}}.Y e o espaco de Sierpinski, que encontramos no Exerccio 3.B.

(b) Prove que nao e aberta nem fechada.

31

12. Convergencia de sequencias

12.1. Definicao. Seja X um espaco metrico. Diremos que uma sequencia(xn)1n=1 X converge a um ponto x 2 X se dado > 0 existe n0 2 N tal qued(xn, x) < para todo n n0. Neste caso escreveremos xn ! x.

12.2. Proposicao. Seja X um espaco metrico, e sejam A X e x 2 X.Tem-se que x 2 A se e so se existe uma sequencia (xn)1n=1 A que converge ax.

Demonstracao. Pela Proposicao 5.8 x 2 A se e so se A \B(x; ) 6= ; paracada > 0.

()) Se x 2 A, entao existe xn 2 A\B(x; 1/n) para cada n 2 N. Segue quexn ! x.

(() Suponhamos que exista (xn)1n=1 A tal que xn ! x. Entao, dado > 0existe n0 2 N tal que d(xn, x) < para todo n n0. Segue que A\B(x; ) 6= ;para todo > 0. Logo x 2 A.

12.3. Corolario. Seja X um espaco metrico, e seja A X. Entao A efechado se e so se, cada vez que (xn)1n=1 A e xn ! x, entao x 2 A.

12.4. Proposicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos metricos. Entaof e contnua num ponto a 2 X se e so se, cada vez que xn ! a em X, entaof(xn)! f(a) em Y .

Demonstracao. ()) Se f e contnua em a, entao, dado > 0, existe > 0tal que f(B(a; )) B(f(a); ). Se xn ! a, existe n0 2 N tal que d(xn, a) < para todo n n0. Segue que d(f(xn), f(a)) < para todo n n0. Logof(xn)! f(a).

(() Se f nao e contnua em a, entao existe > 0 tal que para cada > 0tem-se que f(B(a; )) 6 B(f(a); ). Em particular para cada n 2 N existexn 2 B(a; 1/n) tal que f(xn) /2 B(f(a); ). Segue que xn ! a em X, masf(xn) 6! f(a) em Y .

12.5. Definicao. SejaX um espaco topologico. Diremos que uma sequencia(xn)1n=1 X converge a um ponto x 2 X se dado U 2 Ux existe n0 2 N talque xn 2 U para todo n n0. Neste caso escreveremos xn ! x.

Na definicao anterior podemos trocar o sistema de vizinhancas Ux por qual-quer base de vizinhancas Bx.

12.6. Definicao. Seja (xn)1n=1 uma sequencia em X. Chamaremos desubsequencia de (xn)1n=1 qualquer sequencia da forma (xnk)1k=1, sendo (nk)

1k=1

uma sequencia estritamente crescente em N.

Exerccios

X e Y denotam espacos topologicos.

12.A. Se (xn)1n=1 converge a x, prove que qualquer subsequencia (xnk)1k=1

32

tambem converge a x.

12.B. Seja A X.(a) Prove que, se existir uma sequencia (xn)1n=1 A tal que xn ! x, entao

x 2 A.(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.

Prove que, se x 2 A, entao existe uma sequencia (xn)1n=1 A tal que xn ! x.12.C. Seja f : X ! Y , e seja a 2 X.(a) Prove que, se f e contnua em a, entao, cada vez que xn ! a em X,

tem-se que f(xn)! f(a) em Y .(b) Suponhamos que X verifique o primeiro axioma de enumerabilidade.

Prove que, se cada vez que xn ! a em X tem-se que f(xn)! f(a) em Y , entaof e contnua em a.

12.D. Seja X =Q

i2I Xi o produto cartesiano de uma famlia de espacostopologicos. Prove que xn ! x em X se e so se i(xn) ! i(x) em Xi paracada i 2 I.

12.E. Seja X = RR. Prove que fn ! f em X se e so se fn(t) ! f(t) emR para cada t 2 R.

12.F. Seja X = RR e seja M = {A : A R, A finito} X.(a) Prove que R 2M .(b) Prove que nao existe nenhuma sequencia (An)1n=1 M tal que An !

R.(c) Prove que X nao satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

12.G. Seja (xn)1n=1 uma sequencia emX e seja x 2 X. Se cada subsequenciade (xn)1n=1 admite uma subsequencia que converge a x, prove que (xn)1n=1converge a x.

33

13. Convergencia de redes

13.1. Definicao. Um conjunto , junto com uma relacao , e chamado deconjunto dirigido se verifica as seguintes propriedades:

(a) para todo 2 .(b) Se e , entao .(c) Dados , 2 , existe 2 tal que e .13.2. Exemplos.(a) N, com a relacao de ordem usual, e um conjunto dirigido.

(b) Seja X um espaco topologico, e seja x 2 X. Se definimos U V quandoU V , entao o sistema de vizinhancas Ux e um conjunto dirigido. De maneiraanaloga, qualquer base de vizinhancas Bx e um conjunto dirigido.

13.3. Definicao. Seja X um espaco topologico.(a) Chamaremos de rede em X qualquer funcao da forma x : ! X, sendo

um conjunto dirigido. Escreveremos x em lugar de x(), e falaremos da rede(x)2.

(b) Diremos que a rede (x)2 converge a um ponto x 2 X se dada U 2 Ux,existe 0 2 I tal que x 2 U para todo 0. Neste caso escreveremos x ! x.

E claro que a definicao em (b) nao muda se trocamos o sistema de vizinhancasUx por qualquer base de vizinhancas Bx.

13.4. Exemplos. Seja X um espaco topologico.(a) Cada sequencia em X e uma rede, e a convergencia de redes generaliza

a convergencia de sequencias.

(b) Seja x 2 X. Se escolhemos xU 2 U para cada U 2 Ux, entao (xU )U2Uxe uma rede em X que converge a x.

(c) Seja x 2 X, e seja Bx uma base de vizinhancas de x. Se escolhemosxU 2 U para cada U 2 Bx, entao (xU )U2Bx e uma rede em X que converge a x.

Notemos que, nos Exemplos 13.4(b) e 13.4(c) estamos usando a Proposicao9.3, ou seja o axioma da escolha.

O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.2.

13.5. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam A X e x 2 X.Tem-se que x 2 A se e so se existe uma rede (x)2 A que converge a x.

Demonstracao. Pela Proposicao 5.8, x 2 A se e so se U \A 6= ; para cadaU 2 Ux.

()) Se x 2 A, podemos escolher xU 2 U \ A para cada U 2 Ux. Entao arede (xU )U2Ux esta contida em A e converge a x.

34

(() Seja (x)2 uma rede em A que converge a x. Dado U 2 Ux, existe0 2 tal que x 2 U para todo 0. Em particular x0 2 U \ A. Segueque x 2 A.

O resultado seguinte generaliza a Proposicao 12.4.

13.6. Proposicao. Seja f : X ! Y , sendo X e Y espacos topologicos.Entao f e contnua num ponto x 2 X se e so se, para cada rede (x)2 queconverge a x em X, a rede (f(x))2 converge a f(x) em Y .

Demonstracao. Pela Proposicao 8.2, f e contnua em x se e so se, dadoV 2 Uf(x), existe U 2 Ux tal que f(U) V .

()) Suponhamos que f seja contnua em x. Seja (x)2 uma rede em Xque converge a x. Entao, dada V 2 Uf(x), existe U 2 Ux tal que f(U) V .Seja 0 2 tal que x 2 U para todo 0. Entao f(x) 2 f(U) V paratodo 0. Logo f(x)! f(x).

(() Suponhamos que f nao seja contnua em x. Entao existe V 2 Uf(x) talque f(U) 6 V para todo U 2 Ux. Se escolhemos xU 2 U tal que f(xU ) /2 Vpara cada U 2 Ux, entao xU ! x, mas f(xU ) 6! f(x).


Qi2I Xi. Entao uma rede (x)2 converge

a x em X se e so se a rede (i(x))2 converge a i(x) em Xi para cada i 2 I.

Demonstracao. ()) Se x ! x em X, entao i(x)! i(x) em Xi, paracada i 2 I, pois cada i e contnua.

(() Suponhamos que i(x) ! i(x) para cada i 2 I. Seja U uma vizi-nhanca aberta basica de x em X, ou seja

x 2 U =\j2J

1j (Uj), com J finito, Uj aberto em Xj .

Para cada j 2 J j(x) 2 Uj . Logo existe j 2 tal quej(x) 2 Uj para todo j .

Como e um conjunto dirigido existe 0 2 tal que 0 j para cada j 2 J .Segue que

x 2\j2J

1j (Uj) para todo 0.

Logo x ! x.13.8. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x)2 uma rede

em X. Diremos que x 2 X e um ponto de acumulacao de (x)2 se dadosU 2 Ux e 0 2 , existe 2 , 0, tal que x 2 U .

Se (x)2 converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de (x)2.

35

13.9. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja x : ! X umarede em X. Chamaremos de subrede de x : ! X qualquer rede da formax : M ! X, sendo M um conjunto dirigido, e sendo : M ! uma funcaocom as seguintes propriedades:

(a) 1 2 implica (1) (2) ( e crescente);(b) dado 2 , existe 2M tal que () ( e cofinal).A subrede x : M ! X sera denotada por (x())2M .13.10. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x)2 uma

rede em X. Entao x 2 X e um ponto de acumulacao de (x)2 se e so seexiste uma subrede de (x)2 que converge a x.

Demonstracao. (() Seja (x())2M uma subrede de (x)2 que con-verge a x. Sejam U 2 Ux e 0 2 dados. Por um lado existe 1 2 M tal que(1) 0. Por outro lado existe 2 2M tal que x() 2 U para todo 2.Seja 2M tal que 1 e 2. Segue que () (1) 0 e x() 2 U .Logo x e ponto de acumulacao de (x)2.

()) Seja x um ponto de acumulacao de (x)2. SejaM = {(, U) 2 Ux : x 2 U}.

Definamos (1, U1) (2, U2) se 1 2 e U1 U2. Claramente M e umconjunto dirigido. Definamos : M ! por (, U) = . Claramente(x())2M e uma subrede de (x)2. Provaremos que x() ! x. SejaU0 2 Ux. Como x e ponto de acumulacao de (x)2, existe 0 2 tal quex0 2 U . Entao (0, U0) 2 M e e claro que x 2 U0 para todo (, U) 2 M talque (, U) (0, U0). Ou seja x() ! x.

13.11. Definicao. Diremos que uma rede (x)2 em X e uma redeuniversal ou ultrarede se dado A X existe 0 2 tal que

{x : 0} A ou {x : 0} X \A.E claro que toda rede constante e uma rede universal, chamada de rede

universal trivial.

13.12. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja (x)2 uma redeuniversal em X. Se x e um ponto de acumulacao de (x)2, entao (x)2converge a x.

Demonstracao. Seja U 2 Ux. Como (x)2 e rede universal, existe0 2 tal que

{x : 0} U ou {x : 0} X \ U.Como x e ponto de acumulacao de (x)2, existe 0 tal que x 2 U . Segueque

{x : 0} U.

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Logo x ! x.

Exerccios

13.A. Se uma rede (x)2 converge a x, prove que qualquer subrede de(x)2 tambem converge a x.

13.B. Se x e ponto de acumulacao de uma subrede de (x)2, prove que xe ponto de acumulacao de (x)2.

13.C. Seja x um ponto de acumulacao de uma rede (x)2 no produtoX =

Qi2I Xi. Prove que i(x) e ponto de acumulacao da rede (i(x))2 em

Xi para cada i 2 I.13.D. Seja (x)2 uma rede em X, e seja x 2 X. Se cada subrede de

(x)2 admite uma subrede que converge a x, prove que (x)2 converge ax.

13.E. Prove que cada subrede de uma rede universal e uma rede universal.

13.F. Seja f : X ! Y . Se (x)2 e uma rede universal em X, prove que(f(x))2 e uma rede universal em Y .

37

14. O lema de Zorn e o teorema de Zermelo

14.1. Definicao. Chamaremos de relacao de ordem parcial num conjuntoX uma relacao em X com as seguintes propriedades:

(a) x x para todo x 2 X ( e reflexiva);(b) se x y e y x, entao x = y ( e antisimetrica);(c) se x y e y z, entao x z ( e transitiva).Neste caso diremos que X e um conjunto parcialmente ordenado.

Diremos que e uma relacao de ordem total se alem de verificar (a), (b) e(c), tambem verifica

(d) dados x, y 2 X, tem-se que x y ou y x.Neste caso diremos que X e um conjunto totalmente ordenado.

14.2. Exemplos.(a) Se X e um conjunto, entao a relacao de inclusao e uma relacao de ordem

parcial em P(X).(b) A relacao de ordem usual em R e uma relacao de ordem total.

14.3. Definicao. Seja X um conjunto parcialmente ordenado, e seja A X.

(a) Se existir a0 2 A tal que a0 a para todo a 2 A, diremos que a0 e oelemento mnimo de A. De maneira analoga definimos elemento maximo.

(b) Se existir a0 2 A tal que a = a0 sempre que a 2 A e a a0, diremosque a0 e um elemento minimal de A. De maneira analoga definimos elementomaximal.

(c) Se existir c 2 X tal que c a para todo a 2 A, diremos que A e limitadoinferiormente e que c e uma cota inferior de A. De maneira analoga definimosconjunto limitado superiormente e cota superior.

(d) Diremos que A e uma cadeia em X se A e totalmente ordenado sob arelacao de ordem parcial induzida por X.

(e) Diremos que A e bem ordenado se cada subconjunto nao vazio de Apossui um elemento mnimo.

14.4. Exemplos.(a) N, com a ordem usual, e um conjunto bem ordenado.(b) R, com a ordem usual, e um conjunto totalmente ordenado, que nao e

bem ordenado: o intervalo aberto (a, b) nao possui elemento mnimo.

14.5. Lema de Zorn. Seja X um conjunto parcialmente ordenado naovazio tal que cada cadeia em X e limitada superiormente. Entao X possui pelomenos um elemento maximal.

14.6. Teorema de Zermelo. Cada conjunto nao vazio pode ser bemordenado.

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14.7. Teorema. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:(a) O axioma da escolha.(b) O lema de Zorn.(c) O teorema de Zermelo.

Demonstracao. (b)) (c): Seja X um conjunto nao vazio. Seja F a famliade todos os pares (A,A) tais que ; 6= A X e (A,A) e um conjunto bemordenado. E facil verificar que F e um conjunto parcialmente ordenado naovazio se definimos (A,A) (B,B) quando:

(i) A B;(ii) se x, y 2 A, entao x A y se e so se x B y;(iii) se x 2 A e y 2 B \A, entao x B y.Provaremos que cada cadeia em F e limitada superiormente. De fato, seja

{(Ai,Ai) : i 2 I} uma cadeia em F , e seja A =Si2I Ai. Dados x, y 2 A

definamos x A y se x, y 2 Ai e x Ai y. E facil verificar que a relacao A estabem definida, e e uma relacao de ordem parcial em A. Afirmamos que (A,A)e um conjunto bem ordenado. Seja ; 6= B A, e seja

J = {j 2 I : B \Aj 6= ;}.Notemos que A coincide com Ai em Ai para cada i 2 I. Como (Ai,Ai)e bem ordenado para cada i 2 I, segue que todos os conjuntos B \ Aj , comj 2 J , tem o mesmo elemento mnimo, que denotaremos por b0. Segue que b0 eo elemento mnimo de B. Logo (A,A) e bem ordenado, ou seja pertence a F .Agora e claro que (A,A) e uma cota superior da cadeia {(Ai,Ai) : i 2 I}.

Pelo lema de Zorn, F possui pelo menos um elemento maximal (A,A).Segue da maximalidade de (A,A) que A = X. Logo (X,X) e um conjuntobem ordenado.

(c)) (a): Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de conjuntos nao vazios.Pelo teorema de Zermelo, existe uma boa ordenacao para

Si2I Xi. Para cada

i 2 I seja f(i) o elemento mnimo de Xi. Entao f 2Q

i2I Xi.

(a) ) (b): Esta e a implicacao mais difcil de provar. Seja X um conjuntoparcialmente ordenado nao vazio no qual cada cadeia e limitada superiormente.

Seja X a famlia de todas as cadeias de X. Entao X e um conjunto parcial-mente ordenado nao vazio, por inclusao de conjuntos.

A estrategia da demonstracao e trabalhar com a famlia de conjuntos X , quee parcialmente ordenada por inclusao, em lugar de trabalhar com o conjuntoparcialmente ordenado abstrato X. Depois de provar que X possui um elementomaximal, sera facil provar que X possui um elemento maximal.

O primeiro passo e caracterizar os elementos maximais de X . Para cadaC 2 X seja

C = {x 2 X : C [ {x} 2 X}.E claro que C C. Alem disso, C e maximal em X se e so se C = C.

39

Pelo axioma da escolha, existe uma funcao f : P(X) \ {;} ! X tal quef(A) 2 A para cada A 2 P(X) \ {;}.

Seja g : X ! X definida por:g(C) = C se C = C,

g(C) = C [ {f(C \ C)} se C 6= C.A funcao g esta bem definida, pois se C 6= C, entao f(C \C) 2 C \C, e portantoC [ {f(C \ C)} 2 X . Alem disso, C e maximal em X se e so se g(C) = C.

Diremos que uma famlia T X e uma torre se:(i) ; 2 T ;(ii) se C 2 T , entao g(C) 2 T ;(iii) se C e uma cadeia em T , entao S C 2 T .E claro que X e uma torre. E claro que a intersecao de uma famlia de torres

e uma torre. Seja T0 a intersecao de todas as torres de X . Entao T0 e a menortorre de X . Nosso proximo objetivo e provar que T0 e uma cadeia em X . Istovai nos dar muito trabalho.

Diremos que C 2 T0 e comparavel se dado D 2 T0, tem-se que C D ouD C.

Para provar que T0 e cadeia, basta provar que cada C 2 T0 e comparavel.Para provar que cada C 2 T0 e comparavel, basta provar que os conjuntos

comparaveis em T0 formam uma torre.E claro que ; e comparavel. E claro tambem que se C e uma cadeia de

conjuntos comparaveis, entaoS C e comparavel. O mais difcil vai ser provar

que se C e comparavel, entao g(C) e comparavel tambem.

Fixemos C 2 T0, C comparavel.Afirmamos que se D 2 T0 e D C, D 6= C, entao g(D) C. Como T0 e

torre, g(D) 2 T0. Como C e comparavel, tem-se que g(D) C ou C g(D),C 6= g(D). Mas C g(D), C 6= g(D) e impossvel, pois D C, D 6= C eg(D) = D ou g(D) = D [ {x}.

SejaU = {D 2 T0 : D C ou g(C) D}.

Afirmamos que U e uma torre. E claro que ; 2 U . E claro tambem quese D e uma cadeia em U , entao SD 2 U . Falta provar que se D 2 U , entaog(D) 2 U . Ha tres possibilidades:

(i) D C, D 6= C. Neste caso ja sabemos que g(D) C, e portantog(D) 2 U .

(ii) D = C. Neste caso g(D) = g(C), e portanto g(D) 2 U .(iii) g(C) D. Neste caso g(D) D g(C), e portanto g(D) 2 U .Como U e torre e U T0, segue que U = T0. Logo, dado D 2 T0 = U ,

tem-se que D C g(C) ou g(C) D. Logo g(C) e comparavel.

40

Temos provado assim que os conjuntos comparaveis de T0 formam uma torre.Segue que cada C 2 T0 e comparavel, e da T0 e uma cadeia em X .

Como T0 e torre, temos que C0 :=S T0 2 T0. Como T0 e torre, temos que

g(C0) 2 T0, e portanto g(C0) = C0. Logo C0 e maximal em X .Por hipotese existe m 2 X tal que c m para todo c 2 C0. Como C0 e uma

cadeia maximal, e claro que m 2 C0.Afirmamos que m e um elemento maximal em X. De fato seja n 2 X, com

m n. Como C0 e uma cadeia maximal, segue que n 2 C0. Logo n m, eportanto n = m. Isto completa a demonstracao.

Exerccios.

14.A. Seja X = {n 2 N : n 2}. Dados m,n 2 X, definamos m n se mdivide n.

(a) Prove que e uma relacao de ordem parcial em X.(b) Prove que, dada uma cadeia C X e um elemento n 2 C, existe apenas

um numero finito de elementos n1, ..., nk 2 C que dividem n.(c) Prove que cada cadeia C X e limitada inferiormente.(d) Identifique os elementos minimais de X.

14.B. Seja (X,) um conjunto totalmente ordenado com pelo menos doiselementos. Dados x, y 2 X, escreveremos x < y se x y e x 6= y.

(a) Prove que os conjuntos {x 2 X : a < x}, com a 2 X, junto com osconjuntos {x 2 X : x < b}, com b 2 X, formam uma sub-base para umatopologia em X, chamada de topologia da ordem.

(b) Prove que a topologia usual em R coincide com a topologia da ordemusual em R.

14.C. Seja E um espaco vetorial, E 6= {0}. Usando o lema de Zorn proveque cada subconjunto linearmente independente de E esta contido em algumabase de E.

14.D. Sejam E e F espacos vetoriais sobre o mesmo corpo, seja E0 umsubespaco vetorial de E, e seja T0 : E0 ! F uma aplicacao linear. Use o lemade Zorn para provar a existencia de uma aplicacao linear T : E ! F tal queTx = T0x para todo x 2 E0.

14.E. Seja A um anel comutativo com elemento unidade. Um conjuntoI A e chamado de ideal se verifica as seguintes condicoes:

(a) x y 2 I para todo x, y 2 I;(b) xy 2 I para todo x 2 I, y 2 A.Um ideal I 6= A e chamado de ideal proprio. Um ideal proprio que nao esta

contido em nenhum outro ideal proprio e chamado de ideal maximal. Use o lemade Zorn para provar que cada ideal proprio de A esta contido em algum idealmaximal.

41

15. Convergencia de filtros

15.1. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famlianao vazia F P(X) e um filtro em X se verifica as seguintes condicoes:

(a) A 6= ; para todo A 2 F ;(b) se A,B 2 F , entao A \B 2 F ;(c) se A 2 F e A B X, entao B 2 F .15.2. Definicao. Seja X um conjunto nao vazio. Diremos que uma famlia

nao vazia B P(X) e uma base de filtro em X se a famliaF = {A X : A B para algum B 2 B}

e um filtro em X. Neste caso diremos que F e o filtro gerado por B.E claro que todo filtro em X e uma base de filtro em X.

15.3. Proposicao. Seja X um conjunto nao vazio. Uma famlia naovazia B P(X) e uma base de filtro em X se e so se se verificam as seguintescondicoes:

(a) A 6= ; para todo A 2 B;(b) dados A,B 2 B, existe C 2 B tal que C A \B.Demonstracao. ()) Suponhamos que a famlia

F = {A X : A B para algum B 2 B}seja um filtro em X. E claro que B F , e portanto (a) vale. Para provar (b)sejam A,B 2 B F . Entao A \B 2 F , e dai A \B C para algum C 2 B.

(() Supondo (a) e (b) queremos provar que a famliaF = {A X : A B para algum B 2 B}

e um filtro em X.Seja A 2 F . Entao A B para algum B 2 B. Como B 6= ;, segue que

A 6= ;.Sejam A1, A2 2 F . Entao A1 B1 e A2 B2, com B1, B2 2 B. Existe

B3 2 B tal que B3 B1 \B2. Segue que A1 \A2 B1 \B2 B3, e portantoA1 \A2 2 F .

Finalmente sejam A1 2 F e A1 A2 X. A1 B1 para algum B1 2 B.Segue que A2 A1 B1, e portanto A2 2 F .

15.4. Exemplos.(a) Seja X um conjunto, seja ; 6= B X, e seja B = {B}. E claro que B e

uma base de filtro em X. O filtro gerado por B e a famlia F = {A : B A X}.

(b) Seja X um espaco topologico, e seja x 2 X. Entao o sistema de vizin-hancas Ux e um filtro em X. Qualquer base de vizinhancas Bx e uma base defiltro em X que gera o filtro Ux.

42

(c) A famlia B = {(a,1) : a 2 R} e uma base de filtro em R.15.5. Definicao. Uma base de filtro B em X e dita fixa se TB 6= ;, e livre

seTB = ;.Seja F o filtro gerado por B. E claro que F e fixo se e so se B e fixa.Os filtros ou bases de filtro dos Exemplos 15.4 (a) e 15.4 (b) sao fixos. A

base de filtro do Exemplo 15.4 (c) e livre.

15.6. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base de filtroem X. Diremos que B converge a um ponto x 2 X, e escreveremos B ! x, sedado U 2 Ux, existe B 2 B tal que B U .

E claro que um filtro F converge a x se e so se Ux F . E claro tambem queuma base de filtro B converge a x se e so se o filtro gerado por B converge a x.

Trabalhar com filtros ou com bases de filtro e equivalente. Em geral, escolhe-remos um ou outro, de maneira que os enunciados fiquem maissimples.

15.7. Exemplos. Seja X um espaco topologico, e seja x 2 X. Entaoo sistema de vizinhancas Ux converge a x. Qualquer base de vizinhancas Bxconverge a x.

15.8. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e sejam E X e x 2 X.Tem-se que x 2 E se e so se existe um filtro F em X tal que E 2 F e F ! x.

Demonstracao. Sabemos que x 2 E se e so se U\E 6= ; para todo U 2 Ux.(() Seja F um filtro em X tal que E 2 F e F ! x. Como F ! x, tem-se

que Ux F . Segue que U \ E 2 F , e portanto U \ E 6= ; para todo U 2 Ux.Logo x 2 E.

()) Suponhamos que x 2 E. SejaB = {U \ E : U 2 Ux}.

E claro que B e uma base de filtro em X, e que B ! x. Seja F o filtro geradopor B. E claro que E 2 F e F ! x.

15.9. Proposicao. Seja B uma base de filtro em X, e seja f : X ! Y umafuncao qualquer. Entao a famlia

f(B) = {f(B) : B 2 B}e uma base de filtro em Y .

Demonstracao: exerccio.

15.10. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X ! Y .Entao f e contnua num ponto x 2 X se e so se f(B) ! f(x) para cada basede filtro B em X que converge a x.

43

Demonstracao. Sabemos que f e contnua em x se e so se, dado V 2 Uf(x),existe U 2 Ux tal que f(U) V .

()) Suponhamos que f seja contnua em x, e seja B uma base de filtro emX que converge a x. Dada V 2 Uf(x), existe U 2 Ux tal que f(U) V . ComoB ! x, existe B 2 B tal que B U . Segue que f(B) f(U) V , e portantof(B)! f(x).

(() Suponhamos que f(B)! f(x) para cada base de filtro B que convergea x. Como em particular Ux ! x, tem-se que f(Ux) ! f(x). Logo, dadaV 2 Uf(x), existe U 2 Ux tal que f(U) V . Logo f e contnua em x.

15.11. Proposicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios, seja X =

Qi2I Xi, e seja B uma base de filtro em X.

Entao B converge a x em X se e so se i(B) converge a i(x) em Xi para cadai 2 I.

Demonstracao. ()) Se B ! x em X, entao i(B) ! i(x) em Xi, paracada i 2 I, pois cada i e contnua.

(() Suponhamos que i(B) ! i(x) em Xi para cada i 2 I. Seja U umavizinhanca aberta basica de x em X, ou seja

x 2 U =\j2J

1j (Uj), com J finito, Uj aberto em Xj .

Como j(B)! j(x), existe Bj 2 B tal que j(Bj) Uj , para cada j 2 J . SejaB 2 B tal que B Tj2J Bj . Entao

B \j2J

Bj \j2J

1j (Uj) = U.

Logo B ! x.15.12. Definicao. Seja X um espaco topologico, e seja B uma base de

filtro em X. Diremos que x 2 X e um ponto de acumulacao de B se U \B 6= ;para todo U 2 Ux e B 2 B, ou seja se x 2

T{B : B 2 B}.Se B converge a x, e claro que x e ponto de acumulacao de B. E claro que x

e ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acumulacao do filtro geradopor B.

15.13. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um filtro emX. Entao x e um ponto de acumulacao de F se e so se existe um filtro G Fque converge a x.

Demonstracao. (() Seja G um filtro em X tal que G F e G ! x. EntaoUx G, e da segue que U \A 6= ; para todo U 2 Ux e A 2 F . Logo x e pontode acumulacao de F .

()) Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F . SejaB = {U \A : U 2 Ux, A 2 F}.

44

E claro que B e uma base de filtro em X que converge a x. Seja G o filtro geradopor B. E claro que G F e G ! x.

15.14. Definicao. Diremos que F e um ultrafiltro em X se F e um filtromaximal em X, ou seja, cada vez que existir um filtro G em X tal que F G,tem-se que F = G.

15.15. Proposicao. Um filtro F em X e um ultrafiltro se e so se, dadoE X, tem-se que E 2 F ou X \ E 2 F .

Demonstracao. (() Suponhamos que, dado E X, tem-se que E 2 Fou X \ E 2 F . Suponhamos que exista um filtro G em X tal que F G eF 6= G. Seja E 2 G \ F . Segue que X \E 2 F G. Logo ; = E \ (X \E) 2 G,absurdo.

()) Seja F um ultrafiltro em X, e seja E X. Dado A 2 F , e claro queA \ E 6= ; ou A \ (X \ E) 6= ;. Consideremos dois casos.

Primeiro suponhamos que A \ E 6= ; para todo A 2 F . SejaB = {A \ E : A 2 F}.

E claro que B e uma base de filtro em X. Seja G o filtro gerado por B. E claroque F G e E 2 G. Como F e ultrafiltro, tem-se que F = G. Segue que E 2 F .

A seguir suponhamos que A0\E = ; para algum A0 2 F . Entao A0 X\E,e segue que X \ E 2 F .

15.16. Proposicao. Seja X um espaco topologico, e seja F um ultrafiltroem X. Se x e um ponto de acumulacao de F , entao F converge a x.

Demonstracao. Suponhamos que x seja ponto de acumulacao de F , ouseja U \A 6= ; para todo U 2 Ux e A 2 F .

Afirmamos que Ux F . De fato, suponhamos que exista U 2 Ux, comU /2 F . Teriamos que X \ U 2 F , e portanto U \ (X \ U) 6= ;, absurdo. LogoUx F , e portanto F ! x.

15.17. Proposicao. Cada filtro em X esta contido em algum ultrafiltro.

Demonstracao. Seja P a famlia de todos os filtros G em X tais queG F . P e um conjunto parcialmente ordenado por inclusao de conjuntos.Seja {Gi : i 2 I} uma cadeia em P. E claro que

Si2I Gi e um filtro em X, e

e portanto uma cota superior para a cadeia {Gi : i 2 I}. Pelo lema de Zorn Ppossui pelo menos um elemento maximal G. Segue que G e um ultrafiltro em Xque contem F .

Exerccios

15.A. Seja B uma base de filtro em X e seja f : X ! Y uma funcaoqualquer. Prove que a famlia

f(B) = {f(B) : B 2 B}

45

e uma base de filtro em Y .

15.B. Seja A uma base de filtro em X e seja B uma base de filtro em Y .(a) Prove que a famlia

C = {AB : A 2 A, B 2 B}e uma base de filtro em X Y .

(b) Prove que C ! (x, y) se e so se A! x e B ! y.15.C. Seja

B = {(a,1) : a 2 R}.Pelo Exerccio 6.B B e base para uma topologia em R. Pelo Exemplo 15.4 Be uma base de filtro em R. Prove que B ! x para cada x 2 R.

15.D. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita do Exerccio3.C. Seja

G = {A X : X \A e finito}.(a) Prove que G e um filtro em X.(b) Prove que G ! x para cada x 2 X.15.E. Seja (x)2 uma rede em X, e seja B = {B : 2 }, onde B =

{x : } para cada 2 .(a) Prove que B e uma base de filtro em X, que chamaremos de base de filtro

gerada por (x)2.(b) Prove que x ! x se e so se B ! x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de (x)2 se e so se x e ponto de

acumulacao de B.(d) Prove que (x)2 e uma rede universal se e so se o filtro gerado por B

e um ultrafiltro.

15.F. Seja B uma base de filtro em X, e seja = {(a,A) : a 2 A 2 B}.

(a) Prove que e um conjunto dirigido se definimos (a,A) (b, B) quandoA B. A rede x : ! X definida por x(a,A) = a e chamada de rede geradapor B, e e denotada por (x)2.

(b) Prove que B ! x se e so se x ! x.(c) Prove que x e ponto de acumulacao de B se e so se x e ponto de acu-

mulacao de (x)2.(d) Prove que o filtro gerado por B e um ultrafiltro se e so se (x)2 e uma

rede universal.

46

16. Espacos de Hausdor

16.1. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T0 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de um deles que naocontem o outro.

16.2. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T0.(b) Seja X um espaco topologico trivial, com pelo menos dois pontos. Entao

X nao e um espaco T0.

16.3. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T0 se e so se,dados a, b 2 X, com a 6= b, tem-se que {a} 6= {b}.

Demonstracao. ()) Seja X um espaco T0, e sejam a, b 2 X, a 6= b. Seexistir U 2 Ua tal que b /2 U , entao a 2 {a}, mas a /2 {b}. Se existir V 2 Ub talque a /2 V , entao b 2 {b}, mas b /2 {a}. Em ambos casos {a} 6= {b}.

(() Suponhamos que X nao seja um espaco T0. Entao existem a, b 2 X,com a 6= b, tais que b 2 U para cada U 2 Ua, e a 2 V para cada V 2 Ub. Logoa 2 {b} e b 2 {a}. Segue que {a} = {b}.

16.4. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco T1 sedados dois pontos distintos em X, existe uma vizinhanca de cada um deles quenao contem o outro.

E claro que cada espaco T1 e um espaco T0.

16.5. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco T1.(b) O espaco de Sierpinski e um espaco T0, mas nao e um espaco T1.

16.6. Proposicao. Um espaco topologico X e um espaco T1 se e so se cadasubconjunto unitario de X e fechado.

Demonstracao. ()) Seja X um espaco T1, e seja a 2 X. Para cada b 2 X,com b 6= a, existe V 2 Ub tal que a /2 V . Segue que X \ {a} e aberto, ou seja{a} e fechado.

(() Suponhamos que {a} seja fechado para cada a 2 X. Dados a, b 2 X,com a 6= b, sejam U = X \ {b} e V = X \ {a}. Entao U e V sao abertos, a 2 U ,b /2 U , b 2 V , a /2 V .

16.7. Definicao. Diremos que um espaco topologico X e um espaco deHausdor ou um espaco T2 se dados a, b 2 X, com a 6= b, existem U 2 Ua eV 2 Ub, com U \ V = ;.

E claro que cada espaco T2 e um espaco T1.

16.8. Exemplos.(a) Cada espaco topologico discreto e um espaco de Hausdor.(b) Cada espaco metrico e um espaco de Hausdor.

47

(c) Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Entao X e umespaco T1, mas nao e um espaco T2. Deixamos a demonstracao como exerccio.

16.9. Proposicao. Para um espaco topologico X as seguintes condicoessao equivalentes:

(a) X e Hausdor.(b) Cada rede convergente em X tem um limite unico.(c) Cada filtro convergente em X tem um limite unico.

Demonstracao. (a) ) (b): Suponhamos que X seja Hausdor, e seja(x)2 uma rede em X que converge a x e a y, com x 6= y. Sejam U 2 Ux eV 2 Uy, com U \V = ;. Como x ! x, existe 1 2 tal que x 2 U para todo 1. Como x ! y, existe 2 2 tal que x 2 V para todo 2. Seja 2 tal que 1 e 2. Entao x 2 U \ V , contradicao.

(b)) (a): Suponhamos que X nao seja Hausdor. Entao existem x, y 2 X,com x 6= y, tais que U \ V 6= ; para todo U 2 Ux e V 2 Uy. Seja xUV 2 U \ Vpara cada U 2 Ux e V 2 Uy. Segue que (xUV )(U,V )2UxUy e uma rede em Xque converge a x e a y, com x 6= y.

(a)) (c): Suponhamos que X seja Hausdor, e seja F um filtro em X queconverge a x e a y, com x 6= y. Sejam U 2 Ux e V 2 Uy, com U \ V = ;. ComoF ! x, tem-se que U 2 Ux F . Como F ! y, tem-se que V 2 Uy F . LogoU \ V 2 F , absurdo, pois U \ V = ;.

(c)) (a): Suponhamos que X nao seja Hausdor. Entao existem x, y 2 X,com x 6= y, tais que U \ V 6= ; para todo U 2 Ux e V 2 Uy. Seja

B = {U \ V : U 2 Ux, V 2 Uy}.

E claro que B e uma base de filtro em X. Seja F o filtro gerado por B. E claroque Ux F e Uy F . Logo F converge a x e a y, com x 6= y.

16.10. Proposicao. Cada subespaco de um espaco de Hausdor e umespaco de Hausdor.

Demonstracao. Seja X um espaco de Hausdor, e seja S um subespacode X. Sejam a, b 2 S, com a 6= b. Como X e Hausdor, existem abertos U1 eV1 em X tais que a 2 U1, b 2 V1 e U1\V1 = ;. Sejam U = S\U1 e V = S\V1.Entao U e V sao abertos em S, a 2 U , b 2 V e U \ V = ;.

16.11. Proposicao. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de espacostopologicos nao vazios. Entao o produto X =

Qi2I Xi e Hausdor se e so se

cada Xi e Hausdor.

Demonstracao. ()) Esta implicacao segue da Proposicao 16.10 e doExerccio 10.C.

(() Suponhamos que cada Xi seja Hausdor, e sejam a, b 2 X, com a 6= b.Escrevamos a = (ai)i2I , b = (bi)i2I . Como a 6= b, existe i 2 I tal que ai 6= bi.Como Xi e Hausdor, existem abertos Ui e Vi em Xi tais que ai 2 Ui, bi 2 Vi e

48

Ui \ Vi = ;. Sejam U = 1i (Ui) e V = 1i (Vi). Entao U e V sao abertos emX, a 2 U , b 2 V e U \ V = ;.

16.12. Proposicao. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdor.Sejam f e g duas funcoes contnuas de X em Y tais que f(x) = g(x) para todox num subconjunto denso D X. Entao f(x) = g(x) para todo x 2 X.

Demonstracao. Como X = D, para cada x 2 X, existe uma rede (xi)i2I D tal que xi ! x. Como f e g sao contnuas, segue que f(xi)! f(x) e g(xi)!g(x). Como f(xi) = g(xi) para todo i 2 I, e Y e Hausdor, a Proposicao 16.9garante que f(x) = g(x).

Exerccios

16.A. Seja X = N, com a topologia do Exerccio 4.F. Prove que X e umespaco T0, mas nao e um espaco T1.

16.B. Prove que cada subespaco de um espaco T0 (resp. T1) e um espacoT0 (resp. T1).

16.C. Seja {Xi : i 2 I} uma famlia nao vazia de espacos topologicos naovazios. Prove que o produto X =

Qi2I Xi e um espaco T0 (resp. T1) se e so se

cada Xi e um espaco T0 (resp. T1).

16.D. Sejam X e Y espacos topologicos, e seja f : X ! Y uma aplicacaosobrejetiva e fechada. Prove que se X e um espaco T1, entao Y tambem e umespaco T1.

16.E. Seja X um conjunto infinito, com a topologia cofinita. Prove que Xe um espaco T1, mas nao e um espaco T2.

16.F. Seja X um espaco de Hausdor. Dados n pontos distintos x1, ..., xn 2X, prove que existem n abertos disjuntos U1, ..., Un X tais que xj 2 Uj paraj = 1, ..., n.

16.G. Seja X um espaco topologico.(a) Prove que X e um espaco T1 se e so se, para cada a 2 X tem-se queT{U : U 2 Ua} = {a}.(b) Prove que X e um espaco T2 se e so se, para cada a 2 X tem-se queT{U : U 2 Ua} = {a}.16.H. Prove que um espaco topologico X e Hausdor se e so se o conjunto

D = {(x, x) : x 2 X} e fechado em X X.16.I. Sejam X e Y espacos topologicos, com Y Hausdor. Sejam f e g duas

funcoes contnuas de X em Y .(a) Prove que o conjunto {x 2 X : f(x) = g(x)} e fechado em X.(b) Use (a) p

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