Exercícios de Geometria

Professor : Daniel Caetano de Figueiredo 01-

.............................................................................................................................. 02-

2

2

.............................................................................................................................. 03- No triângulo abaixo a soma das medidas x, y e z pode ser: a-25; b-27; c-29; d-31; e-33

.............................................................................................................................. 04- Calcular a área em negrito dada abaixo. ABCD é um quadrado de lado igual a 4 :

............................................................................................................................05- Um retângulo é dividido em quatro retângulos por intermédio de dois segmentos

paralelos aos seus lados. As áreas de três dos retângulos assim obtidos são mostradas na figura abaixo. Calcule a área do quarto retângulo.

..............................................................................................................................

3

3

06- Os lados de um hexágono eqüiângulo medem 10, 6, 12, 14, x e y nesta ordem. Calcule o perímetro deste hexágono:

.............................................................................................................................. 07- Seja ABC um triângulo eqüilátero cujo lado mede 2 e seja s' a circunferência inscrita em ABC. Demonstre que, para todo P ε r', teremos: PA2 + PB2 + PC2 = 5; .............................................................................................................................. 08- As medianas BM e CN de um triângulo ABC se cortam em um ponto P. O quadrilátero ANPM é circunscritível. Prove que o triângulo ABC é isósceles. .............................................................................................................................. 09- É dado um triângulo retângulo de catetos b e c e hipotenusa a . Sendo 2p o seu perímetro , calcule o raio da circunferência inscrita nesse triângulo, em função do que foi dado. .............................................................................................................................. 10- É dado o triângulo obtusângulo ABC , sendo A o ângulo obtuso, conforme a figura abaixo. Sabendo -se que a medida do lado BC é um número inteiro, determine o menor valor possível de a:

............................................................................................................................. 11- A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 15 cm e a altura relativa a ela mede 7,2 cm . calcule quanto mede o maior cateto; .............................................................................................................................. 12- O perímetro de um triângulo ABC é igual a 54 cm. A bissetriz do ângulo interno B divide o lado oposto em dois segmentos que medem 10 cm e 14 cm, respectivamente. Se o menor lado desse triângulo mede x cm, calcule o valor de 2x. ............................................................................................................................. 13- Na figura AD = BC. Determine o valor do ângulo x.

4

4

............................................................................................................................. 14- Na figura temos dois círculos de mesmo raio, com centros em O e O', tangentes entre si. Calcule a distância entre as retas paralelas r e s de modo que as duas regiões em negrito tenham a mesma área.

.............................................................................................................................. 15- Calcule o valor de x na figura abaixo:

.............................................................................................................................. 16- Determine o valor de a :

5

5

..............................................................................................................................

17- Seja S a área da figura em negrito. Calcule o valor de 70311.S . São dados:

a- o triângulo ABC é equilátero de lado igual a 20 cm; b- CD é igual a 12 cm; c- M é ponto médio de AB;

.............................................................................................................................. 18- Prove que, dado um triângulo qualquer de lados a, b e c, sua área pode ser dada pela

expressão S= )).().(.( cpbpapp −−− , onde p=2cba ++;

..............................................................................................................................19- Deduza a expressão que dá o lado do eneágono regular em função das diagonais a, b e c, com a < b < c; .............................................................................................................................. 20- Calcule o valor de x sendo r // s.

6

6

.............................................................................................................................. 21- Seja P um ponto do interior de um quadrado tal que as distâncias a três de seus vértices consecutivos sejam iguais a 1, 4 e 5, nessa ordem. Calcular a área deste quadrado. .............................................................................................................................. 22- Num triângulo isósceles , a base mede 10 cm e os lados iguais medem 13 cm . Existe um outro triângulo isósceles de lados iguais a 13 cm e a mesma área do primeiro. Calcule, em cm, a base desse triângulo. ..............................................................................................................................

23- Na figura abaixo, BC// DE, AB = 4 e BD=5. Seja ba a razão entre as áreas do triângulo

ABC e do trapézio BCED. Calcular o valor de a + b;

..............................................................................................................................

7

7

24- Calcule a área máxima de um retângulo inscrito num triângulo equilátero de lado 6 cm, estando a base do retângulo sobre um lado do triângulo.(Não pode ser usado Cálculo Diferencial para solucionar o problema). ................................................................................................................................................... 25- Na figura abaixo r e s são retas paralelas e A1, A2, A3 e A4 são semi-circunferências de raio 1. Determine a soma dos infinitos diâmetros das circunferências esboçadas na figura.

.................................................................................................................................................. 26- Considere o polígono estrelado de 5(cinco) pontas, conforme a figura. Encontre a soma dos ângulos internos desse polígono.

.................................................................................................................................................. 27- Determine a área de um hexágono convexo que está inscrito em uma circunferência e tem três lados consecutivos com comprimentos iguais a 3 cm e os outros três com comprimentos iguais a 2 cm. ................................................................................................................................................... 28- Dado um triângulo ABC qualquer conforme figura abaixo, prove que sua área pode ser dada pela expressão:

S = (2.ma.mb . sen α)/3 Onde ma e mb são medianas.

8

8

...................................................................................................................................................29- Prove que para qualquer triângulo inscrito em um círculo de raio R temos :

................................................................................................................................................... 30- Prove que para qualquer quadrilátero vale a expressão: A= (d1 . d2 . sen α)/2; onde d1 e d2 são diagonais e A é a superfície do quadrilátero.

................................................................................................................................................... 31- Calcule o número de quadrados existentes na figura abaixo:

9

9

.................................................................................................................................................. 32- Calcule o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces de um paralelepípedo retangular de dimensões a., b e c . .................................................................................................................................................. 33- Prove que toda reta que passa pelo centro de um hexágono regular divide-o em duas partes com a mesma área. ................................................................................................................................................... 34- Pega-se um cubo sólido de aresta 3m , conforme a figura. No centro de todas as foram feitas aberturas em forma quadrada de lado igual a 1 m até a face oposta e retiradas estas partes. Calcule o volume do corpo que restou após a retirada de todas as partes.

................................................................................................................................................... 35- Seja P um ponto no interior de um triângulo equilátero com distâncias a, b e c aos três lados, respectivamente. Determine a soma a + b + c em função da altura h do triângulo. .............................................................................................................................................. 36-Os pontos M, O, Q e L, N, P estão, nesta ordem, sobre os lados AB e AC de um triângulo isósceles ABC de base BC, marcados de B para A e de C para A.. Determinar, em graus, o valor do ângulo do vértice A do triângulo ABC, sabendo-se que CB= BL = LM= MN = NO = OP = PQ = QA. ...................................................................................................................................................

10

10

37-Um plano passando pelo vértice de um cone sólido circular reto e formando com a base deste cone um ângulo α = 45o , determina sobre esta base uma corda AB de comprimento igual a 2 3 cm . Se o arco AB corresponde a um ângulo central β = 60o , determine o raio r da base, a altura h e o volume do cone. ................................................................................................................................................... 38-

Respostas dos Exercícios Propostos:

01- 30o 02- 60o 03- e-33 04- 05- 15 06- 60 07- -------------- 08- ---------------- 09- p - a 10- 7 11- 12 cm 12- 25 cm 13- 10o 14- πR/4 15- 50

11

11

16- 10 17- 30 cm2 18- --------------- 19- (c2 - b2 )/a 20- 5o

21- 17 22- 24 cm 23- 24- (9 3 )/2 cm2 25- 6 - 2 2 26- 1440o 27- ( 37 3 )/4 28- ---------------- 29- ---------------- 30- ----------------

31- 32-

6.. cba

33- ...................... 34- 20 cm3 35- h

36- 12o 37- h=3cm, r =

2 3 e V=12π cm3

38- 39- 40-

41- 42- 43- 44- 45- 46- 47- 48- 49- 50-

Bom Trabalho!

DanCaeFig-setembro 2003

12

12