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Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre TRIÂNGULOS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n10c. 2006

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – TRIÂNGULOS

1. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E ÂNGULOS ADJASCENTES À BASE DE 75° E 45°.

Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base.

Primeiro transporte o ângulo de 75° para o vértice A.

Em seguida, transporte o ângulo de 45° para o vértice B, encontrando assim o vértice C do triângulo.




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Temos então o triângulo ABC.

2. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO RETÂNGULO EQÜIVALENTE AO TRIÂNGULO DO EX. 1.

Seja a base AB a altura H do triângulo do exercício 1. Levante por A uma perpendicular r à base AB.




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Depois a partir de A, marque a altura H na reta r encontrando assim o vértice C.

Ligue B a C formando assim o triângulo ABC.

O triângulo ABC possui a mesma área que o triângulo do exercício 1. Ele possui a mesma área porque as bases e as alturas são iguais e é um triângulo retângulo porque possui um ângulo reto CÂB.




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3. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO EQÜIVALENTE AO TRIÂNGULO DO EX. 2.

Seja a base AB e a altura do triângulo do exercício 2. Levante por A uma reta r perpendicular à base AB.

Marque na reta r a altura H encontrando assim o ponto C.

Em seguida, trace por C uma reta s paralela à base do triângulo.




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Marque um ponto C' qualquer na reta s e ligue-o ao vértice A.

Depois ligue C' ao vértice B.

O triângulo ABC' possui a mesma área que o triângulo do exercício 2 porque possui a mesma base e a mesma altura. O triângulo ABC' é obtusângulo porque possui um ângulo obtuso.




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4. ENCONTRAR O BARICENTRO, ORTOCENTRO, INCENTRO E CIRCUNCENTRRO DO TRIÂNGULO DO EX. 3.

Seja o triângulo ABC.

BARICENTRO

Ligue o vértice C ao ponto médio do lado oposto. Depois ligue os outros dois vértices aos pontos médios do lado oposto. Na interseção estará o baricentro O1.

ORTOCENTRO

Levante por A uma perpendicular ao lado BC. Levante pelos outros vértices perpendiculares a cada lado. Na interseção das perpendiculares marque o ortocentro O.




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INCENTRO

Trace a bissetriz do ângulo CÂB (u). Depois trace as bissetrizes dos outros dois ângulos. Na interseção encontrarás o Incentro O2.

CIRCUNCENTRO

Trace a mediatriz do lado BC. Depois trace as mediatrizes dos outros lados. Na interseção das mediatrizes estará o circuncentro O3.




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5. CIRCUNSCREVER E INSCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA NO TRIÂNGULO O EX. 3.

Seja o triângulo ABC. Trace as bissetrizes x, v e u. Coloque o compasso na intersecção das bissetrizes (O2) e trace a circunferência inscrita.

Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseção das mediatrizes O3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita. Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque a ponta seca do compasso na interseção das mediatrizes O3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.

Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseção das mediatrizes O3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.




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6. ENCONTRAR A RETA DE "EULER" DO TRIÂNGULO DO EX. 3.

Seja o triângulo ABC. Encontre o ortocentro, o baricentro e o circuncentro do triângulo. Note que esses três centros do triângulo ficam alinhados.

Então trace agora uma reta que passe por esses três centros.




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7. ENCONTRAR O TRIÂNGULO "ÓRTICO" DO TRIÂNGULO DO EX. 3.

Seja o triângulo ABC. Trace as alturas s, r e t, encontrando assim o ortocentro. Marque os pontos P, N, M na interseção das alturas com os lados. O triângulo órtico é formado pelos pontos PMN.

8. CONSTRUIR O ARCO CAPAZ DE UM SEGMENTO E UM ÂNGULO DADOS.

Trace o segmento AB. Construa o ângulo (65°, por exemplo) com vértice no ponto A ou B. Trace a mediatriz do segmento AB. Agora, trace o ângulo dado na extremidade e para o lado de baixo do segmento AB. Trace uma reta perpendicular ao lado do ângulo em B, encontrando o ponto O onde a perpendicular corta a mediatriz.




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Centre o compasso em O e com abertura OB ou OA trace o arco capaz do ângulo de 65°. Veja na figura abaixo que foi escolhido aleatoriamente um ponto C do arco e dele partiram duas retas que passam por A e por B formando assim um ângulo ACB igual a 65°. Veja na figura abaixo que o ponto C do arco que é o vértice do ângulo ACB foi deslocado para a esquerda. Verifique que o ângulo permanece de igual valor (65°).

Conclui-se então, que este arco capaz é o lugar geométrico dos pontos que enxergam o segmento AB sob um ângulo de 65°.

9. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS a, Â, b (3,0; 30 °; 4,5).

São dados o ângulo de 30°, o lado b e o lado a. Desenhe o lado AB. Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A, e com qualquer abertura trace um arco que corte AB no ponto F. Coloque a ponta seca do compasso em F e com a mesma abertura corte o arco dado construindo assim o ângulo de 60°. Construa a bissetriz do ângulo de 60° encontrando assim a reta r que passa pelo lado do triângulo.

Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no ponto C.




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Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no ponto C.

Ligue C com B.




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10. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO (RETÂNGULO E ISÓSCELES) SENDO DADO A ALTURA 3 CM.

Seja h a altura do triângulo retângulo isósceles. Construa uma semi-reta Ar horizontal e na sua extremidade A levante uma perpendicular s.

Coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte as duas semi-retas As e Ar. Marque o vértice B em As.

Marque o vértice C em Ar.




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Temos então o triângulo ABC.

O triângulo ABC é retângulo isósceles.

11. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO SENDO DADA A ALTURA 3 CM.

Seja a altura h do triângulo eqüilátero. Inicie traçando uma semi-reta vertical Mr. Em seguida, marque na semi-reta Mr a partir de M a altura h dada, encontrando assim o vértice A do triângulo.




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Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com uma abertura qualquer trace um arco que corte a semi-reta Mr. Depois, com a mesma abertura no compasso, coloque a ponta seca onde o primeiro arco cortar a semi-reta Mr e corte o arco anterior em dois pontos.

Em seguida, trace as bissetrizes dos ângulos, obtendo assim dois ângulos de 30°.




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Agora, trace por M uma perpendicular à semi-reta Mr, encontrando assim os pontos B e C.

Temos então, o triângulo eqüilátero ABC.

12. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ISÓSCELES SENDO DADOS a, Â (3,0 ; 45°).

Seja o lado a e o seu ângulo oposto.




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Desenhe o lado a encontrando assim os vértices B e C do triângulo. Centre o compasso no vértice do ângulo de 45° e com abertura qualquer trace um arco que corte os dois lados do ângulo. Depois, com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso no vértice B e trace um arco que corte o segmento BC. Depois coloque a ponta seca do compasso onde o arco cortou o ângulo e com abertura igual á corda trace um arco. Em seguida, com a mesma abertura, coloque aponta seca do compasso onde o arco cortou o segmento BC e corte o arco. Ligue o ponto B ao cruzamento dos arcos, transportando assim o ângulo de 45°. Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B. Construa a mediatriz do segmento BC, encontrando assim o centro do arco capaz.

Coloque a ponta seca no ponto O e com abertura OB ou OC trace o arco capaz.




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Prolongue a mediatriz até o arco encontrando o vértice “A” do triângulo isósceles.

Temos então, o triângulo isósceles de lado a e ângulo oposto ao lado a igual a 45°.




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13. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS a, Â, b (3,0; 45°; 3,5).

Seja o ângulo de 45°, o lado b e o lado a do triângulo.

Desenhe o segmento BC (lado a). Construa um arco (qualquer raio) com centro no vértice do ângulo dado e outro de mesmo raio com centro no ponto B.

Construa outro arco no ângulo dado, com raio igual à corda do arco. Em seguida, construa novamente o mesmo arco no arco feito em B. Desta forma o ângulo de 45° foi transportado para o segmento AB.




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Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B.

Trace a mediatriz do segmento BC.




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Marque o centro O onde a mediatriz intersecta a perpendicular.

Com centro em C e abertura igual ao lado b, trace um arco que corte o arco de centro O nos pontos A e A'.

Temos então, dois triângulos ABC e A'BC de lados b, a e ângulo oposto ao lado a igual a 45°.




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14. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, b, ma (7,0 ; 5,0 ; 3,5).

Seja o lado a, lado b e mediana do lado a do triângulo ABC. Trace o segmento BC (lado a).

Trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto Médio M. Em seguida, trace um arco com centro em C e raio igual ao lado b do triângulo.

Depois, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC (M) e com abertura igual à medida da mediana do lado a, trace um arco que corta o primeiro, encontrando assim o vértice A do triângulo.




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Ligue o vértice C ao vértice A.

Depois ligue o vértice A ao vértice B. Temos então o triângulo ABC de lados a e b e mediana ma.




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15. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ma, Â (6,5 ; 6,0 ; 45°).

Seja o segmento a, a mediana do lado a e o ângulo de 45°. Desenhe o segmento BC igual ao lado a. Trace a mediatriz do segmento AB encontrando assim o seu ponto médio.

Em seguida, trace um arco que corte o ângulo e depois trace o mesmo arco colocando a ponta seca do compasso no ponto B. Em seguida, transporte o ângulo de 45° para o ponto B.

Em seguida, levante uma perpendicular ao lado do ângulo pelo ponto B. Onde a perpendicular intersectar a mediatriz será o centro O.




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Agora, coloque a ponta seca do compasso no centro O e com raio OA ou OB trace arco capaz do ângulo dado.

Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio do segmento AB e com abertura igual à mediana trace um arco que corte o arco capaz nos pontos A e A'.




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Ligue os vértices A e A' aos vértices B e C obtendo assim os triângulos ABC e A'BC. Temos então os triângulos ABC e A',B,C.

16. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, hb, ma (7,0 ; 5,0 ; 6,0).

Seja o lado a, a altura do lado b e a mediana do lado a. Desenhe segmento BC (lado a).

Em seguida, trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto médio de BC. Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e com abertura igual à metade de BC trace um arco de 180° (arco capaz do ângulo de 90°). Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura igual à hb trace um arco que corte o arco anterior.




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Ligue os pontos B e C ao ponto onde o arco corta o anterior.

Depois, prolongue o cateto menor do triângulo. Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e com abertura igual à Ma trace um arco que corta a reta que passa por C no ponto A.




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Em seguida, ligue o ponto B ao ponto A.

Temos então, o triângulo ABC.

17. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ha, ma (6,0; 3,0; 5,0).

Seja o lado a, altura e medianas do lado a. Desenhe o lado a. Seja BC o lado a.




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Trace a mediatriz de BC encontrando assim o seu ponto médio Ma.

Trace uma paralela ao segmento BC a uma distância ha de BC. Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à mediana ma trace um arco que corte a paralela nos pontos A e A'.




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Ligue os vértices B e C aos pontos A e A' obtendo assim os triângulos ABC e A',B,C.

18. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, mb, mc (7,0 ; 6,0 ; 7,0).

Seja o lado a, a mediana do lado b e a mediana do lado c. Desenhe o segmento BC (lado a) e depois divida a mediana do lado b e a mediana do lado e em três partes iguais.

Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à 2/3 de mb trace um arco. Depois, coloque a pontas eca no vértice C e com abertura igual à 2/3 de mc trace outro arco.




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Ligue os vértices B e C à interseção dos arcos e prolongue. Marque no prolongamento de cada reta, a partir da interseção 1/3 de mb e 1/3 de mc..

Ligue os vértices B e C à extremidades das medianas dos lados e prolongue, encontrando assim o vértice A. A interseção das medianas é o baricentro do triângulo.




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BIBLIOGRAFIA

BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p.

MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.

RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

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