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EXERCÍCIO LINEARIZAÇÃO ENTRADA-ESTADO

Manuel Ricardo Vargas Ávila Manuel06_20@hotmail.com

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

ELE222- Sistemas Não Lineares

RESUMO: O presente documento consiste em um

desenvolvimento dos exercícios propostos (Input-state linearization) na aula de sistemas não lineares. Linearização entrada-estado é uma das técnicas de controle mais conhecidas para lidar com os sistemas não lineares e é muito eficaz em problemas de controle na vida real.

PALAVRAS-CHAVE: Linearização, variáveis de

estado, difeomorfismo, LQR, Matlab.

1 BASE TEÓRICA

1.1 LINEARIZAÇÃO ENTRADA-ESTADO

DEFINIÇÃO1: Considerando o seguinte sistema

não-linear SISO1, representado no modelo state-space da forma:

( ) ( ) (1)

( )

Onde ( ) é o vetor de estados, ( ) é a

entrada, ( ) é a medição da saída, e e

definidas no domínio .A equação (1) é

linearizable entrada-estado si um difeomorfismo2 ( ) contem o origem e o troco

de variáveis ( ) (2)

A equação (2) transforma o sistema (1) em:

1 Sistema que tem uma entrada e uma saída

( ) ( ) (3)

( ( ))

Onde:

Controle linearizante

( )

( ) (4)

(A,B) controlável e ( ) não singular em .

A não linearidade do sistema pode ser eliminada pela equação (4), o qual pode estar definida em um

domínio e por tanto a linearização só será linear em aquele domínio.

Escrevendo ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))

Nós podemos reescrever (3) expressado nas novas

coordenadas:

( ) ( ) (5)

Mas, quando é possível obter um sistema dado na forma (3) ? A resposta é derivando a equação (2).

( ) ( ) (6)

E igualando a (3), nós concluímos que o

difeomorfimos deve satisfazer as seguintes condições:

( ) ( ) ( ) ( ) (7)

( ) ( ) (8)

2 É uma mudança de variáveis T tal que ( ) esta

definido no domínio , sua inversa ( ) está definida

em ( ).

Figura1 - Input-state linearization

2

Agora tendo:

( ) [

( )

( )

(

] (9)

A equação (7) é equivalente a:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

A equação (8) é equivalente a:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

A existência de que satisfazem (9) e

(10) é uma condição necessário e suficiente para que (1) seja linearizavel entrada-estado.

Exemplo (exercício 12.5 do libro NONLINEAR

SYSTEMS, Hassan K. Khalil, 2ed)

Considere o seguinte sistema:

Agora a partir da equação (1) :

( ) [

] ( ) [ ]

Nós devemos procurar uma função ( ) que satisfaça (10) e (11).

( ) [

] [

]

( ) [

] [

]

( ) [

] [

]

Nos podemos observar que ( ) não depende de e

, por tanto:

( )

Agora:

( )

( ) [

] [

]

( )

( )

( ) [

] [

]

( )

Por tanto:

( ) [

]

O sistemas nas novas variáveis de estados fica:

{

A representação do sistema nas novas variáveis de estados é:

Agora nós podemos escolher (4) para cancelar o termo não lineal da 2 e 3 equação:

3

( )

( ) ( )

Por tanto o sistema linearizado fica:

{

2 CONCLUSÕES

A linearização por realimentação tem 3 limitações. A primeira é que ela não pode ser usado para todos os sistemas não lineares (não todos os sistemas são linearizable feedback). A segunda limitação é que todos os estados do sistema devem ser acessíveis. A terceira é que a robustez da técnica não é garantida em presencia de incerteza.

Si o sistema não linear não tem a estrutura (20), isso não quer dizer que não é possível

fazer linearização por realimentação, pois a representação no espaço de estados não é única, é possível que um câmbio de variáveis o transforme.

3 REFERÊNCIAS

[1] Métodos Analíticos para a Síntesis de Controladores em

sistemas de potencia, tese de Doctorado, Alexandre Sanfelice Bazanella

[2] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, ,

1996.