Exercícios

de

Matemática Financeira

e

Informática de Gestão

Autor

Vítor M. Matos

–––––––––––––— Docentes: –––––––––––––—

Pedro Cosme Vieira Vítor M. Matospcosme@fep.up.pt vmatos@fep.up.pt

Matemática Financeira e Informática de GestãoCurso de Gestão

Faculdade de Economia da Universidade do PortoOutubro de 2009

1 Taxa de Juros, Capitalização, Desconto e Rendas

1.1 Enunciado dos Exercícios da Secção 1

Exercício 1 Admita que uma instituição de crédito ao consumo (i) prevê uma inflação de 2,3% aoano; (ii) pretende uma taxa anual de remuneração de 2,5%; (iii) e cobra uma taxa anual de juros de15%. Calcule qual a probabilidade de incumprimento estimada pela instituição.

Exercício 2 Uma dívida de 1000€ capitalizada durante dois anos à taxa de 10% ao ano atinge umvalor: a) Inferior a 1200€; b) Igual a 1200€; c) Superior a 1200€.

Exercício 3 Uma dívida de 1000€ capitalizada durante seis meses à taxa de 10% ao ano atinge umvalor: a) Inferior a 1050€; b) Igual a 1050€; c) Superior a 1050€.

Exercício 4 Calcule o valor que 1000€ terão daqui a dois anos e meio admitindo uma taxa de jurode 4% ao ano.

Exercício 5 Calcule a taxa de juro implícita num empréstimo de 1000€ o qual será saldado comapenas um pagamento de:

a) 1105€ passado um ano;b) 1105€ passado dois anos e três meses.

Exercício 6 Calcule quanto terá que depositar hoje para obter 1200€ daqui a 5 anos a uma taxa dejuro de 4% ao ano.

Exercício 7 Considere que receberá um prémio daqui a 4 anos no valor de 5000€ e outro daqui a 6anos no valor de 10000€. Para uma taxa de juro de 3% ao ano, calcule o valor actual do conjuntodos dois prémios.

Exercício 8 Se alguém considera que receber 1000€ hoje é equivalente a receber 2000€ daqui a 10anos, calcule a taxa de juro anual implícita na avaliação que indivíduo faz. O que pode dizer da taxade inflação?

Exercício 9 Considere que, a título de empréstimo, recebe hoje 1250€ e outros 1250€ daqui a seismeses. Sabendo que saldará a dívida com apenas um pagamento daqui 30 meses, calcule o valor dopagamento sabendo que taxa de juro é 5% por ano.

Exercício 10 Considere que deposita numa conta, no fim de cada mês, 100€ durante 15 meses.Calcule o valor em conta no final dos 15 meses admitindo que é remunerado à taxa de juro de 4% aoano.

Repita os cálculos para depósitos efectuados no início de cada mês.

Exercício 11 Considere que aluga um terreno vitaliciamente a 1800€ anuais, postecipados. Ad-mitindo uma taxa de juro de 9% ao ano, calcule o valor do terreno.

Exercício 12 Considere que contraiu um empréstimo no valor de 10000€ a uma taxa de juro de 8%ao ano e que salda a dívida efectuando pagamentos mensais, constantes e postecipados durante 10anos.

a) Calcule o valor das mensalidades;b) encontre uma expressão algébrica a dívida ao fim de n ∈ [1, 120] meses, Dn;c) Faça o gráfico de Dn em função de n. Compare com outros valores de juros, use, por exemplo,

4 e 12%.

Exercício 13 Considere que para comprar um bem no valor de 1000€ aceita efectuar 13 pagamentosde 85€. O primeiro no acto da compra e os seguintes em intervalos de um mês. Portanto, levaexactamente um ano a saldar a sua dívida.

a) Calcule a taxa de juro implícita no contrato;b) Compare o resultado da alínea (a) com o obtido no Exercício 5.a. Comente a diferença das

taxas apesar de, nos dois casos, o valor pago ser o mesmo, 1105€, assim como o tempo de duraçãodo contrato, 1 ano .

2

Exercício 14 Considere que contrai uma dívida no valor de 2000€ a uma taxa de juro de 9% aoano. Pelo contrato paga uma prestação anual (postecipada) constante durante n anos, sem que saldea dívida, pelo que no fim do contrato continuará devendo. Calcule o valor em dívida ao fim desses nanos se:

a) A prestação é de 200€ anuais e n = 10.b) A prestação é de 180€ anuais e n qualquer.

Exercício 15 Considere que recebe de um banco um empréstimo mensal, postecipado, no valor de200€ durante 3 anos. Após esses 3 anos, pagará uma renda de 200€ mensais, também postecipada,durante 4 anos. Calcule a taxa de juro implícita no contrato (use o Excel).

Exercício 16 Considere que recebe de um banco um empréstimo mensal, postecipado, no valor de200€ durante 3 anos. Calcule a taxa de juro implícita no contrato se após esses 3 anos pagarpostecipada (use técnicas analíticas, evitando ao máximo usar um computador):

a) Uma renda perpétua de 200€ mensais;b) Uma renda de 200€ durante outros 3 anos;c) Uma renda de 200€ durante 4 anos (note que este é o Exercício 15).

Exercício 17 (*) Considere que concede um empréstimo sobre o qual receberá juros ao fim de doisanos. Contudo, haverá duas capitalizações compostas, a primeira ao fim de um ano e a outra aofim de dois anos. Admita que o contrato lhe permite escolher as taxas de juro anuais praticadas emambos os anos, desde que satisfaçam a restrição da soma ser 10% ao ano. Diga que as taxas anuaisescolheria.

Exercício 18 Considere o depósito Sempre a Abrir, DSA, e o depósito Mais do Mesmo, DMM,ambos com capitalização mensal e sem possibilidade de levantamento do dinheiro antes do fim docontrato, que dura um ano. Na tabela abaixo são apresentadas as taxas anuais efectivas usadas emcada mês, para ambos os depósitos. Podemos constatar que a taxa média anual é igual a 3% ao anonos dois casos. Diga qual o depósito mais vantajoso para o depositante.

Taxas de juro anuais efectivasMês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov DezDSA 0.5% 0.5% 1.0% 1.0% 1.0% 1.0% 1.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0%D 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0% 3.0%

Exercício 19 Considere o seguinte contrato de crédito automóvel:Valor do automóvel: 37000€;Entrada: 12000€;Taxa de abertura de processo: 175€ (pago no acto da compra);Doze mensalidades de 600€ postecipadas seguidas de outras vinte e quatro de 800€;Taxa administrativa anual: 75€ no final de cada um dos três anos do contrato;No final do contrato existirá um do saldo remanescente em dívida no valor de 2500€.Calcule a TAEG do contrato.

1.2 Resolução dos Exercícios da Secção 1

Exercício 1:

Temos 1 + i =(1 + π)(1 + r)

1− p⇔ p = 1− (1 + π)(1 + r)

1 + i⇔

⇔ p = 1− 1.023× 1.0251.15

= 0.088 = 8.8%.

O risco de incumprimento é calculado em 8.8% ao ano.

Exercício 2:

A resposta correcta é a alínea c) pois (1 + i)n > 1 + ni para n > 1.

Exercício 3:

A resposta correcta é a alínea a) pois (1 + i)n < 1 + ni para 0 < n < 1.

Exercício 4:

V2.5 = V0(1 + 4%)2.5 = 1000× 1.042.5 = 1103€. O valor daqui a 2 anos e meio será 1103€.

3

Exercício 5:

Vn = V0 (1 + i)n ⇔ i =

(VnV0

) 1

n

− 1

a) n = 1, V1 = 1105, V0 = 1000 logo i =

(1105

1000

) 1

1

− 1 = 0.105 = 10.5% ao ano.

b) n = 2.25, V1 = 1300, V0 = 1000 logo i =

(1105

1000

) 1

2.25

− 1 = 0.04 54 = 4.54% ao ano.

Exercício 6:

Vn = V0 (1 + i)n ⇔ V0 = Vn (1 + i)−n

Com Vn = 1200 e n = 5 obtemos V0 = 1200× (1.04)−5 = 986.31€.O valor actual dos 1200€ é de 940.23€.

Exercício 7:

V0 = 5000× (1.03)−4 + 10000× (1.03)−6 = 12817€.O valor actual dos dois prémios é de 12817€.

Exercício 8:

• Resolução 1 (Valor Futuro):O valor futuro de 1000€, daqui a 10 anos, é 1000× (1 + i)

10 que deverá igual o valor os 2000€,logo: 1000× (1 + i)10 = 2000⇔ i = 21/10 − 1 = 7.2% ao ano.• Resolução 2 (Valor Actual):O valor actual dos 2000€ é 2000× (1 + i)−10 que deverá igual a 1000€, logo:

2000× (1 + i)−10 = 1000⇔ i =(12

)−1/10 − 1 = 7.2% ao ano.Podemos concluir que o indivíduo espera que a inflação média dos 10 anos seguintes seja inferior

à taxa de juro (7, 2% anuais).

Exercício 9:

• Resolução 1 (Valores Futuros):Cálculo do valor dos empréstimos no mês 30 (i.e., no instante 30

12 = 2.5 anos).

1o empréstimo será capitalizado 30 meses: V F1 = 1250× (1.05)30/12 = 1412.202o empréstimo será capitalizado 24 meses: V F2 = 1250× (1.05)24/12 = 1378.10Soma dos valores futuros dos empréstimos: V F1 + V F2 = 2790. 30O pagamento deverá ser de 2790.30 de forma a saldar a dívida.• Resolução 2 (Valores Actuais):Cálculo do valor actual dos empréstimos e do pagamento (P ).1o empréstimo: V A1 = 1250

2o empréstimo será descontado 6 meses: V A2 = 1250× (1.05)−6/12 = 1219.90O pagamento será descontado 30 meses: PA = P × (1.05)−30/12Soma dos valores actuais dos empréstimos: V A1 + V A2 = 2469. 90O valor actual do pagamento terá que ser PA = 2469. 90 de forma a saldar a dívida, pelo que:PA = P × (1.05)−30/12 ⇔ P = 2469. 90× (1.05)30/12 = 2790. 30O pagamento deverá ser de 2790.30 de forma a saldar a dívida.

Exercício 10:

• Primeiro problema proposto:• Resolução usando computador:

Vamos calcular os valores futuros de cada depósito.A2 := 1 A3 := 2 Copiar até à linha 16B2 := 100 Copiar até à linha 16C2 := 15−A2 Copiar até à linha 16E2 := 0, 04 (ou 4%)F2 := (1 +E2)ˆ(1/12)− 1D2 := B2 ∗ (1 + $F$2)ˆC2 Copiar até à linha 16D17 := SOMA(D2 : D16)O valor em conta ao fim dos 15 meses será 1534,87€.

4

• Resolução usando duas rendas perpétuas:Se ianual = 4% então imensal = (1 + ianual)

1/12 − 1 = 0, 3274% ao mês.O valor descontado, início do primeiro mês, da totalidade das 15 prestações de 100€ é100× (1 + 0, 3274%)−1 + 100× (1 + 0, 3274%)−2 + ...+ 100× (1 + 0, 3274%)−15 = V0

onde V0 =100

0, 003274

(1− (1, 003274)−15

)= 1461, 43 — pela soma de duas rendas perpétuas.

Para sabermos o valor das 15 prestações ao fim dos 15 meses, basta capitalizarmos,V15 = V0(1 + 0, 003274)15 = 1534, 87.• Variação ao problema proposto:

• Resolução usando computador:Única alteração: C2 := 16−A2 que resulta num valor de 1539,89€.

• Resolução usando duas rendas perpétuas:Repare que o valor obtido pela fórmula V = P

i

(1− (1 + i)−N

)é a soma dos valores das N

prestações descontadas a um período antes da primeira prestação.Portanto, é necessário capitalizar 16 vezes o valor obtido pelas duas rendas perpétuas (V0), dado

que o intervalo de tempo que medeia entre um mês antes da primeira prestação e o final do 15o mês são16 meses. Assim, ao fim do 15o mês, com prestações antecipadas, temos 1461, 43×(1+0, 003274)16 =1539, 89€.

Exercício 11:

Para rendas perpétuas temos V = Pi , logo V = 1800

0.09 = 20000€.

Exercício 12:

a) cálculo da prestação:• Resolução usando uma renda limitada.

V = Pi

(1 + (1 + i)−n

)⇔ P = iV ×

(1− (1 + i)−n

)−1.

Com V = 10000, n = 120 e i = (1 + 0.08)1/12 − 1 = 0.6434% temos

P = 0.006434× 10000×(1− (1 + 0.006434)−120

)−1= 119. 86

Logo a prestação mensal é de 119.86€.• Resolução usando Excel usando valores actuais.A2 := 1 A3 := 2 Copiar até à linha 121D2 := 10000F2 := 100 (Ou outro valor)G2 := 0, 08 (ou 8%)B2 := $F$2 ∗ (1 + $G$2)ˆ(−A2/12) Copiar até à linha 121C2 := SOMA(B2 : B121)E2 := C2−D2

Ferramenta ObjectivoDefinir célula E2Para valor 0Por alteração da célula F2

5

• Resolução usando Excel usando conta corrente.A2 := 1 A3 := 2 Copiar até à linha 122B2 := 10000 B3 := E2 Copiar até à linha 122G2 := 0, 08 (ou 8%)F2 := (1 +G2)ˆ(1/12)− 1H2 := 100 (Ou outro valor)C2 := B2 ∗ $F$2 Copiar até à linha 121D2 := $H$2 Copiar até à linha 121E2 := B2 +C2−D2 Copiar até à linha 121Ferramenta ObjectivoDefinir célula E121Para valor 0Por alteração da célula G2Pelo que obtemos uma prestação de 119,86€ mensais.

b) Vamos calcular o valor da dívida inicial e o valor das primeiras n prestações daqui a n meses.

Temos V dívida inicialn = 10000(1 + 8%)n/12 e V p

n =119,86

1.081/12−1

(1− (1 + 8%)−n/12

)(1 + 8%)n/12.

Logo,Dn = V dívida inicialn −V p

n = 10000(1+8%)n/12− 119,86

1.081/12−1

(1− (1 + 8%)−n/12

)(1 + 8%)n/12 ⇔

⇔ Dn = 18629, 07− 8629, 07× (1 + 8%)n/12.c) Podemos usar a expressão da alínea (b) ou os valores da conta corrente da alínea (a), B2:B122,

para construir o gráfico. Refazemos os cálculos para os novos juros, notamos que quanto maior o juro:(i) mais lentamente a dívida diminui no início do contrato; (ii) mais rapidamente a dívida diminui nofinal do contrato; (iii) maior a dívida em qualquer momento do contrato.

Exercício 13:

a)• Resolução usando valores actuais.Calculamos o valor actual de todas as parcelas para uma taxa de juro qualquer e computamos a

sua soma.Descobrimos a taxa de juros implícita variando a taxa de juro de forma a que a soma dos valores

actuais seja igual à dívida inicial.A2 := 0 A3 := 1 Copiar até à linha 14B2 := 85 Copiar até à linha 14C2 := A2 Copiar até à linha 14E2 := 0, 30 (ou outro valor qualquer)

6

D2 := B2 ∗ (1 + $E$2)ˆ(−C2/12) Copiar até à linha 14D17 := SOMA(D2 : D14)Ferramenta ObjectivoDefinir célula D15Para valor 1000Por alteração da célula E2Descobre-se uma taxa implícita de 22,6% ao ano.

• Resolução usando conta corrente.Período a período iremos calcular o valor em dívida.G2 := 0 G3 := 1 Copiar até à linha 14H2 := 1000I2 := 85 Copiar até à linha 14J2 := H2− I2

K2 := 0, 30 (ou outro valor qualquer)J3 := J2 ∗ (1 + $K$2)ˆ(1/12)− I3 Copiar até à linha 14Ferramenta ObjectivoDefinir célula J14Para valor 0Por alteração da célula K2Descobre-se uma taxa implícita de 22,6% ao ano.

• Resolução usando duas rendas perpétuas.85i

(1− (1 + i)

13)é a soma do valor das parcelas um mês antes do primeiro pagamento.

85i

(1− (1 + i)

13)(1 + i) é a soma do valor das parcelas no momento do primeiro pagamento, ou

seja, no início do primeiro mês.Temos que resolver em ordem a i a equação 85

i ×(1− (1 + i)−13

)× (1 + i) = 1000. Esta equação

não tem solução algébrica, pelo que necessitamos resolvê-la numericamente. Podemos usar o excelconforme a figura a baixo para confirmar a taxa mensal de 1,71% e anual de 22,6%.

7

b) No exercício 5.a a taxa anual é bastante menor, 10,5% contra 22,6%. Isto acontece porque noExercício 5.a efectua-se apenas um pagamento no futuro, o que vale menos que um pagamento nopresente, ou seja, corresponde uma taxa de juro menor.

Exercício 14:

a) Vamos calcular os valores ao fim de 10 anos.Dívida inicial: D10 = 2000× 1.0910 = 4734, 73€.Valor das 10 prestações de 200: V10 = 200

0.09 ×(1− 1, 09−10

)× 1, 0910 = 3038, 59€.

O saldo daqui a 10 anos será D10 − V10 = 1696, 14€.b) De forma idêntica:Dívida inicial: D10 = 2000× 1.0910 = 4734, 73€.Valor das 10 prestações de 180: V10 = 180

0.09 ×(1− 1, 09−10

)× 1, 0910 = 2734, 73€.

O saldo daqui a 10 anos será D10 − V10 = 2000€.Concluímos que a dívida ao fim de 10 anos é igual à inicial. Mas isto não é estranho, pelo contrário,

dado que 2000 × 9% = 180 a prestação iguala o juro, ou seja, estamos na presença de uma rendaperpétua. Portanto, a dívida mantêm-se em 2000€ no fim de cada período.

Note que esta alínea é identica ao Exercício 11, apenas com valores 10 vezes inferiores.c) De forma idêntica:Dívida inicial: D10 = 2000× 1.0910 = 4734, 73€.Valor das 10 prestações de 150: V10 = 150

0.09 ×(1− 1, 09−10

)× 1, 0910 = 2278, 94€.

O saldo daqui a 10 anos será D10 − V10 = 2455, 70€.Como pagamos menos que o juro a dívida aumenta.

Exercício 15:

Vamos basear a resolução no valor actual de todas as parcelas, sendo negativas as que se recebedo banco e positivas as que se entregam ao banco.

A2 := 1 A3 := 2 Copiar até à linha 85B2 := −200 Copiar até à linha 37B38 := 200 Copiar até à linha 85E2 := 0.01 (Ou outro valor)C2 := B2 ∗ (1 + $E$2)ˆ(−A2/12) Copiar até à linha 85D2 := SOMA(C2 : C85)Ferramenta ObjectivoDefinir célula D2Para valor 0Por alteração da célula E2Pelo que a taxa de juro é de 8,63% ao ano.

Exercício 16:

Representamos a taxa de juros anual por i e a taxa mensal por j, logo j = (1 + i)1/12 − 1, ou,i = (1 + j)12 − 1. Nos cálculos vamos usar j.

No primeiro passo da resolução vamos calcular o valor da dívida acumulada após se receber as 36prestações do empréstimo, chamaremos essa dívida de D36.

Nota: Geralmente usamos o instante inicial como o tempo de referência para todas as capitaliza-ções/descontos; neste exercício vamos tomar como referência o fim do 36o mês.

Valor actual da totalidade dos empréstimos recebidos é V EmprActual =

200j

(1− (1 + j)−36

).

O valor da dívida no fim do 36o mês é D36 = V EmprActual (1 + j)36 = 200

j

(1− (1 + j)−36

)(1 + j)36 .

a) Sabemos que a partir do fim do 37o mês pagamos uma prestação mensal perpétua de 200€,logo temos D36 =

200j .

8

Das duas expressões para D36 tiramos200j

(1− (1 + j)−36

)(1 + j)36 = 200

j ⇔ (1 + j)36 − 1 = 1⇔ j = 21/36 − 1 = 1. 944%.Logo a taxa anual é i = (1 + 0, 01944)12 − 1 = 26, 0%.b) Pagamos 36 prestações de 200€ a partir do final do 37o mês, então o valor destas prestações

no fim do 36o mês é dado por:V 36prest36 = 200

j

(1− (1 + i)−36

)

Dado que saldamos a dívida temos:D36 = V 36prest

36 ⇔ 200j

(1− (1 + j)−36

)(1 + j)36 = 200

j

(1− (1 + j)−36

)⇔ (1 + j)36 = 1⇔

⇔ j = 11/36 − 1 = 0.Portanto, também i = 0%.Este resultado não é surpreendente, dado que, apesar do desfasamento temporal, paga-se um valor

exactamente igual ao que se recebeu, 36×200€, o que só acontece com juros nulos. Mas surpreendenteé o facto de obtermos o resultado certo com uma resolução errada, pois para j = 0 as expressões deD36 e V 36prest

36 não fazem sentido dado que incluem uma divisão por zero. Quando o juro é zero ovalor actual e futuro é sempre o mesmo, por isso, n prestações P valem nP em qualquer instantepresente ou futuro. Pelo que a resolução correcta para j = 0 é D36 = V 36prest

36 pois D36 = 36× 200 eV 36prest36 = 36× 200.c) Pagamos 48 prestações de 200€ a partir do final do 37o mês, então o valor destas prestações

no fim do 36o mês é dado por:V 48prest36 = 200

j

(1− (1 + j)−48

)

Dado que saldamos a dívida temos:D36 = V 48prest

36 ⇔ 200j

(1− (1 + j)−36

)(1 + j)36 = 200

j

(1− (1 + j)−48

)⇔

⇔ (1 + j)36 + (1 + j)−48 = 2⇔ (1 + i)3 + (1 + i)−4 = 2.Esta equação não tem solução algébrica, pelo que a solução só pode ser encontrada numericamente,

por exemplo, usando Excel. Mas há um problema adicional, existem mais de uma solução para(1 + i)3 + (1 + i)−4 = 2, vejamos:• Escolhendo A2 := 2%A1 := (1 + $A$2)ˆ3 + (1 + $A$2)ˆ(−4)Ferramenta ObjectivoDefinir célula A1Para valor 2Por alteração da célula A2

De onde obtemos i = 0% — este resultado não é válido, apesar de claramente (1 + 0)3 +(1 + 0)−4 = 2. Repare que se j = 0% deveríamos usar D36 = 36×200 = 7200 e V 36prest

36 = 48×200 =9600, de onde fica claro que D36 �= V 36prest

36 .

• Escolhendo A2 := 20% e voltando a fazerFerramenta ObjectivoDefinir célula A1Para valor 2Por alteração da célula A2obtemos i = 8, 63%, tal como no Exercício 15.

9

Nota: Existe ainda uma solução de juro negativo inferior a −100% (i = −179, 5%) que obviamentenão tem relevância financeira. Repare que se capitalizar uma vez uma dívida com um juro inferiora −100% a dívida transforma-se em crédito (porque troca de sinal), o que não tem qualquer sentidoeconómico. Contudo, a Matemática capta este absurdo.

Exercício 17:

A capitalização ao fim de 2 anos será C2anos = (1 + i1) (1 + i2) = 1 + i1 + i2 + i1 × i2.Temos i1 + i2 = 0.1, ou seja i2 = 0.1− i1.Substituindo obtemos C2anos = 1.1 + i1 (0.1− i1) =

i=i11.1 + 0.1i− i2.

Dado que C2anos é uma parábola voltada para baixo, o seu máximo de ocorre quando C ′

2 = 0,i.e., 0.1− 2i2 = 0⇔ i = 0.05.

Portanto, o mais vantajosas seriam ter duas taxas iguais a 5% ao ano, i.e., i1 = i2 = 5%/ano.A maior taxa final é obtida com o maior equilíbrio entre as taxas, por exemplo:- para i1 = 5%/ano e i2 = 5%/ano obtemos uma taxa de juro (1+0.05)2− 1 = 0.102 5 = 10.25%;- para i1 = 7%/ano e i2 = 3%/ano obtemos uma taxa de juro (1 + 0.07)(1 + 0.03) − 1 =

0.102 1 = 10.21%;- para i1 = 10%/ano e i2 = 0%/ano obtemos uma taxa de juro (1+0.1)(1+0)− 1 = 0.10 = 10%;- para i1 = 20%/ano e i2 = −10%/ano obtemos uma taxa de juro (1 + 0.2)(1 − 0.1) − 1 =

0.08 = 8%.

Exercício 18:

Para o DSA temos um juro anual de:(1.005)2/12 (1.01)5/12 (1.02)1/12 (1.04)1/12 (1.06)1/12 (1.08)1/12 (1.10)1/12 − 1 = 2. 95%.Para o DMM temos um juro anual de (1 + 0.03)12/12 − 1 = 3, 00%.

Exercício 19:

Vamos calcular o valor actual de todos os pagamentos, abatimentos à dívida e taxas. O totaldesses valores actuais tem que ser igual à dívida (valor do automóvel).

A2 := 0 A3 := 1 Copiar até à linha 38B2 := 12000 C2 := 175B3 := 600 Copiar até à linha 14B15 := 800 Copiar até à linha 38C14 := 75 C26 := 75 C38 := 75D2 := B2 +C2 Copiar até à linha 38J2 := 0.01 (Ou outro valor)I2 := (1 + J2)ˆ12− 1E2 := D2 ∗ (1 + $J$2)ˆ(−A2) Copiar até à linha 37F2 := SOMA(E2 : E85)G2 := 2500 ∗ (1 + $J$2)ˆ(−36)H2 := 37000− F2−G2

Ferramenta ObjectivoDefinir célula H2Para valor 0Por alteração da célula J2A TAEG aparece na célula G2, logo é 9,8%.

10

2 Preços Constantes e Correntes, VAL, TIR e q de Tobin

2.1 Enunciado dos Exercícios da Secção 2

Exercício 20 Comente a consistência da tabela abaixo que apresenta o preço de um bem entre 2005e 2008 em preços constantes de 2005 e 2007.

Ano 2005 2006 2007 2008Base 2005, Pn

2005 100 120 140 160Base 2007, Pn

2007 60 80 100 120

Exercício 21 Considere a evolução do preço de um bem tal como dado pela tabela com dois tramosapresentada abaixo. Construa a tabela de base 100 para o ano 2008.

Ano 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008Base 1999 100 103 105 108Base 2003 97 100 105 104 106 109 115

Exercício 22 Considere que, num certo país, o índice de preços (IP) e o preço de um certo bem emeuros (PB) seguem a tabela abaixo.

a) Calcule a taxa de inflação acumulada entre Janeiro de 2008 e Agosto de 2008.b) Calcule a taxa de inflação homóloga de todos os meses de 2008.c) Calcule a taxa de inflação média de 2008.d) Determine o preço real do bem em Dezembro de 2008 na base de Janeiro 2007, P 12/20081/2007 .

e) Determine o preço real do bem em Janeiro 2007 na base de Dezembro de 2008, P 1/200712/2008.

2007 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov DezIP 112.3 112.4 113.0 112.9 113.1 113.4 113.6 113.9 113.8 114.2 114.8 115.2

PB (€) 80.30 80.50 80.30 81.00 81.90 82.60 84.10 84.60 84.70 85.20 85.80 86.902008 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov DezIP 116.0 116.1 116.3 116.4 117.0 117.2 117.8 118.3 118.6 118.9 119.5 120.2

PB (€) 88.20 89.40 90.20 91.20 93.70 95.20 97.00 97.80 98.40 98.90 99.10 99.40

Exercício 23 Com base na tabela (fictícia) de Índice de Preços apresentada abaixo, calcule:a) a taxa de inflação média de 2005; b) Taxa de inflação acumulada de 2005.

IP Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez2004 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 1612005 161 161 161 161 161 161 161 161 161 161 161 161

Exercício 24 Considere a tabela abaixo onde temos o IPC numa dada base (desconhecida) e o preçode um bilhete de comboio. Complete a tabela preenchendo os espaços em branco e ignorando os queestão cortados.

11

2006 2007 2008IPC 157,0 168,0 184,8

Inflação –—Preço Corrente 8,00 8,80 10,12

% de Aumento do Preço Corrente –—Preço Constante Base 2006Preço Constante Base 2008

% de Aumento do Real Preço –— –—

Exercício 25 Para um juro anual de 5% e inflação anual de 2%, calcule o valor actual de 9 depósitosanuais postecipados no valor de 3000€ a preços constantes de hoje.

Exercício 26 Considere que em 2009 fez um planeamento de investimento dado pela tabela abaixo,cujos valores estão em milhares de euros em preços correntes.

a) Para uma taxa de juro de 5% ao ano, calcule o VAL do investimento.b) Considere que lhe propõem que abdique do seu plano de investimento a troco de dois pagamen-

tos de 2000€, um em 2012 e outro em 2015. Sabendo que não tem mais nenhuma prespectiva deinvestimento confiável, diga, justificando, se aceitaria a oferta.

Ano 2010 2011 2012 2013 2014 2015Entregas 10 15 10 5 0 0

Recebimentos 0 0 5 15 15 15

Exercício 27 Considere que em 2009 fez um planeamento de investimento dado pela tabela do Exer-cício 26, mas agora admita que os valores estão em milhares de euros em preços constantes de 2009.Calcule o VAL do investimento para uma inflação de 3% ao ano e:

a) uma taxa de juro anual de 3%+ 5% = 8%;b) uma taxa de juro anual i tal que 1 + i = (1 + 3%) (1 + 5%).

Exercício 28 Suponha o plano de investimento do Exercício 26 e calcule o TIR do investimento.

Exercício 29 Considere um projecto multianual em que o valor actual dos investimentos é de 150milhões de euros enquanto que o valor actual das receitas previstas é de 180 milhões de euros.

Exercício 30 Considere que investe hoje um valor V e que receberá no final de cada um dos cincoanos seguinte 1000€ (preços correntes). Para uma taxa de juro de 8% ao ano e um q de Tobin iguala 1.12, calcule o valor V .

Exercício 31 Considere a tabela abaixo onde I são os valores programados de investimento, R sãoos valores dos recebimentos estimados, ambos a preços constantes de 2009, e Inf é a taxa de inflaçãoesperada.

a) Calcule o valor dos investimentos e recebimentos em valores correntes.b) Considere que uma equipa de estudos estima que, para se cobrir o risco, a taxa de juro terá que

ser de 15%. Encontre o q de Tobin levando em conta a estimativa feita pela equipa.c) Calcule o TIR do investimento.

Investimentos e Recebimentos em 1000€Ano 2010 2011 2012 2013 2014 2015I 23 32 40 15 8 3R 4 8 17 35 47 48Inf 3.1% 4.3% 5.0% 2.9% 1.7% 1.3%

2.2 Resolução dos Exercícios da Secção 2

Exercício 20:

• Em qualquer tabela, os valores entre duas bases têm que manter uma proporção constante. Na

deste exercício também, logo, qualquer que seja o ano n a razãoPn2005

Pn2007

tem que ser a mesma. Podemos

verificar que isso não acontece, note:

i)P 20052005

P 20052007

= 10060 = 1, 67; ii)

P 20062005

P 20062007

= 12080 = 1, 50; iii)

P 20072005

P 20072007

= 140100 = 1, 40; iv)

P 20082005

P 20082007

= 160120 = 1, 33.

Logo a tabela está toda errada.

12

• Uma forma equivalente de identificar o erro basea-se no cálculo do valor de um tramo baseadono valor outro tramo. Por exemplo, temos P 20062005 = 120. Então, 120 teria que ser o valor obtivo em

P 20062005 = P 20062007

Pk2005

Pk2007

para qualquer ano k, contudo P 20062007

P 20052005

P 20052007

= 133. 33 �= 120 (só para k = 2006

bateria certo, por cancelamento).• Uma terceira forma. Tomemos os anos de 2005 e 2006, pela base 2005 houve um aumento de

20% entre os dois anos, de 100 para 120. Contudo, na base 2007 o aumento foi de 60 para 80, queresulta em 80−60

60 = 33.3%. Qualquer outro par de anos resulta em absurdo semelhante na taxa decrescimento.

Exercício 21:

A tabela dá-nos os valores Pn1999 para n ∈ {1999, ..., 2002} e Pn

2003 para n ∈ {2002, ..., 2008}.Queremos saber Pn

2005 para n ∈ {1999, ..., 2008}.Primeiro, completamos a tabela para uma das bases. Há menos cálculos a fazer para a base 2003.Os valores entre as bases de 2003 e 1999 têm que manter a proporção constante, ou seja, qualquer

que seja o ano n a razãoPn2003

Pn1999

tem que ser a mesma. Dado que só conhecemos esta razão para

2002, temosPn2003

Pn1999

=P 20022003

P 20021999

⇔ Pn2003 =

P 20022003

P 20021999

Pn1999. Ou seja, os valores da base de 1999 têm que ser

multiplicados porP 20022003

P 20021999

= 97108 para se obter os da base 2003.

Assim, para n ∈ {1999, ..., 2001} fazemos:P 19992003 =

97108 × 100 = 89.8; P 20002003 =

97108 × 103 = 92. 5; P 20012003 =

97108 × 105 = 94. 3.

Agora acerta-se o 100 para o ano 2005, i.e.,Pn2005

Pn2003

=P 20052005

P 20052003

⇔ Pn2005 =

P 20052005

P 20052003

Pn2003 =

100104P

n2003.

Temos:Ano 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Base 2003 89.8 92.5 94.3 97 100 105 104 106 109 115Base 2005 86.3 88.9 90.7 93.3 96.2 101.0 100.0 101.9 104.8 110.6

Exercício 22:

a) A inflação acumulada até Agosto de 2008 é πac =IPAgo/2008IPDez/2007

− 1 = 118.3115.2 − 1 = 2. 69%.

b) Tabela das inflações homólogas de 2008:

Jan: 116.0112.3 − 1 = 3.29% Fev: 116.1

112.4 − 1 = 3. 29% Mar: 116.3113 − 1 = 2.92% Abr: 116.4

112.9 − 1 = 3.10%

Mai: 117.0113.1 − 1 = 3.45% Jun: 117.2

113.4 − 1 = 3.35% Jul: 117.8113.6 − 1 = 3.70% Ago: 118.3

113.9 − 1 = 3.86%

Set: 118.6113.8 − 1 = 4.22% Out: 118.9

114.2 − 1 = 4.12% Nov: 119.5114.8 − 1 = 4.09% Dez: 120.0

115.2 − 1 = 4.17%c) Pela alínea (b) sabemos as inflações homólogas, logo, a inflação média é:

π =3.29 + 3.29 + 2.92 + 3.10 + 3.45 + 3.35 + 3.70 + 3.86 + 4.22 + 4.12 + 4.09 + 4.17

12= 3.63%

d) P12/20081/2007 = P 12/2008 × IP 1/2007

IP 12/2008= 99.40 × 112.3

120.2 = 92.87€, pelo que em Dez/2008 está mais

caro do que em Janeiro de 2007 cujo preço era 80.30€.

e) P1/200712/2008 = P 1/2007 × IP 12/2008

IP 1/2007= 80.30 ×

(112.3120.2

)−1= 85.95€, pelo que em Jan/2007 estava

mais barato do que em Dezembro de 2008 cujo preço era 99.40€.

Exercício 23:

Copiamos a tabela para o computador conforme a figura.B4 := B3/B2− 1 Copiar até à coluna MB5 := B3/$M$3− 1 Copiar até à coluna MN4 :=Media(B4:M4) Ou N4 := AV ERAGE(B4:M4)

13

Comentário: A taxa de inflação média relaciona o ano de 2005 com o de 2004, por isso o seu valoré positivo. Por outro lado, a taxa de inflação acumulada apenas traduz o crescimento durante o anode 2005 que, neste caso fictício, não existiu, logo obtemos 0% de taxa acumulada.

Exercício 24:

––––––––––– π2007 =168157 − 1 = 0, 070 π2008 =

184,8168 − 1 = 0, 100

––––––––––– i2007 =8,808,00 − 1 = 0, 100 i2008 =

10,128,80 − 1 = 0, 150

P 20062006 = 8, 00× 157,0157,0 = 8, 00 P 20072006 = 8, 80× 157,0

168,0 = 8, 22 P 20082006 = 10, 12× 157,0184,8 = 8, 60

P 20062008 = 8, 00× 184,8157,0 = 9, 42 P 20072008 = 8, 80× 184,8

168,0 = 9, 68 P 20082008 = 10, 12× 184,8184,8 = 10, 12

Por fim, r = 1+i1+π − 1 =

1,101,07 − 1 = 0, 00275.

Ou, o que é equivalente, P2007

2006

P2006

2006

− 1 = 8,228,00 − 1 = 0, 00275, ou ainda por P2007

2008

P2006

2008

− 1.Seria um erro pensar que o aumento do preço real de 2006 para 2007 seria 10% − 7% = 3%,

subtraindo a inflação do aumento do preço corrente.

2006 2007 2008IPC 157,0 168,0 184,8

Inflação (%/ano) –— 7,0 10,0

Preço Corrente 8,00 8,80 10,12% de Aumento do Preço Corrente –— 10,0 15,0

Preço Constante Base 2006 8,00 8,22 8,60

Preço Constante Base 2008 9,42 9,68 10,12

% de Aumento do Real Preço –— 2,75 –—

Exercício 25:

• Resolução transformando os valores constantes em correntes:Seja Cn o valor corrente do no depósito, então temos Cn = 3000 (1 + π)n.Temos que calcular os 9 valores correntes, com Excel é simples mas com calculadora não.Depois calculamos o valor actual, An, de cada valor corrente, i.e., An = Cn (1 + i)−n.Temos que calcular os 9 valores actuais e somá-los, mais uma vez, com Excel é simples mas com

calculadora não. Com Excel o valor actual dos 9 depósitos é calculado em 23422,53€:

• Resolução usando o juro real:Podemos notar que na resolução anterior fizemos

An = Cn (1 + i)−n= 3000 (1 + π)

n(1 + i)

−n= 3000

(1 + i

1 + π

)−n⇔

⇔ An = 3000 (1 + r)−n

, onde 1 + r =1 + i

1 + π.

Ou seja, o valor actual An pode ser calculado directamente a partir do valor constante, 3000€, seusarmos para descontar o valor do juro real r = 1+i

1+π − 1. No exercício temos i = 5% e π = 2% peloque r = 1.05

1.02 − 1 = 2, 941 2% por ano.Para calcular o valor actual de 9 depósitos usamos a expressão das rendas limitadas:V = 3000

r

(1− (1 + r)−9

)= 3000

0.02941 2 ×(1− (1.02941 2)−9

)= 23423.

Nota: Claramente é mais rápido e simples usar o juro real.

14

Exercício 26:

a) Vamos calcular os valores actuais dos saldos anuais.Copiar a tabela para o Excel conforme mostrado abaixo.H2 := 0.05B4 := B3−B2 Copiar até à coluna GB5 := 1 Preencher série +1 até à coluna GB6 := B4 ∗ (1 + $H$2)ˆ(−B5) Copiar até à coluna GH6 := SOMA(B6 : G6)O VAL do investimento é 3720€.

b) Os dois pagamentos têm valor actual 2000 × 1.05−3 + 2000 × 1.05−6 = 3220. 10€, pelo valemmenos do que o investimento. Não seria de aceitar.

Exercício 27:

a) Usamos a planilha do Exercício 26, inserimos uma nova coluna A, eliminamos a linha 6.I2 := 0.08 J2 := 0.03C6 := C4 ∗ (1 + $J$2)ˆC5 Copiat até à coluna HC7 := C6 ∗ (1 + $I$2)ˆ(−C5) Copiar até à coluna HI7 := SOMA(C6 : H6)Obtemos um VAL de 3880€, valor maior do que o obtido no Exercício 26.

b) 1 + i = (1 + 3%) (1 + 5%)⇔ 1 + i = 1 + 0.03 + 0.05 + 0.03× 0.05⇔ i = 8.15%A resolução é idêntica à da alínea (a) excepto na célula I2 := 0.0815.Obtemos um VAL de 3720€, valor igual ao obtido no Exercício 26.

Exercício 28:

Usando a mesma folha do Exercício 26 de Excel faz-se:Ferramenta ObjectivoDefinir célula H6Para valor 0Por alteração da célula H2Obtêm-se uma taxa de juro anual de 9,1% ao ano.

Exercício 29: q de Tobin é180

150= 1.20.

15

Exercício 30:

Para calcular o valor actual dos recebimentos, V AR, podemos usar a expressão da renda deduração limitada: V AR = 1000

0.08 ×(1− (1 + 0.08)−5

)= 3992.71

Como só existe uma entrega, feita no instante inicial, temos que o valor actual dos investimentos

é o próprio V . Assim, qTobin =V AR

V⇔ V =

V AR

qTobin=3992.71

1.12= 3564. 92

Exercício 31:

Copiar a tabela para o computador.a)C5 := 1 +C4D5 := C5 ∗ (1 +D4) Copiar até à coluna HC6 := C2 ∗ C5 Copiar até à coluna HC7 := C3 ∗ C5 Copiar até à coluna HOs valores correntes aparecem nas linhas 6 e 7.b)K9 := 0.15C8 := C1− 2009 Copiar até à coluna HC9 := C6 ∗ (1 + $K$9)ˆ(−C8) Copiar até à coluna HC10 := C7 ∗ (1 + $K$9)ˆ(−C8) Copiar até à coluna HI9 := SOMA(C9:H9)I10 := SOMA(C10:H10)J9 := I10/ I9O valor do q de Tobin é 1.063.

c)Ferramenta ObjectivoDefinir célula J9Para valor 1Por alteração da célula K10O TIR do investimento é de 18,8% ao ano.

16

3 Média e Desvio Padrão

3.1 Exercícios da Secção 3

Exercício 32 Considere que numa disciplina existem duas turmas, a turma A com 6 alunos e aturma B com 2 alunos. As classificações da turma A foram 10, 10, 11, 11, 12 e 12 enquanto que aturma B teve um 16 e um 18.

a) Calcule a média das classificações de cada uma das turmas, mA e mB;b) Calcule a média das classificações dos alunos da disciplina, µ (C);c) Calcule a média das classificações das turmas usando:

(i) a média aritmética simples, mS;(ii) a média aritmética ponderada pelo número de alunos de cada turma, mP .

d) Calcule o desvio padrão das classificações.

Exercício 33 Uma notícia de um jornal de distribuição grátis dizia algo como: o consumo médiode água na cidade do Porto é de 400 m3 por habitante e na cidade de Matosinhos é de 500 m3 porhabitante. Portanto, no conjunto das duas cidades, o consumo médio é de 450 m3 por habitante.Comente a notícia.

Exercício 34 Considere que a sua empresa vende em duas regiões, Norte e Sul, e que 75% dos seusvendedores se localizam na região Norte e apenas 25% na Sul. Se a faturação da região Norte é12000€ mensais por vendedor e no Sul 8000€ mensais por vendedor, calcule a facturação média porvendedor da sua empresa.

3.2 Resolução dos Exercícios da Secção 3

Exercício 32:

Vamos chamar ni às notas dos alunos na ordem dada, ou seja, n1 = 10, n2 = 10, n3 = 11, ...,n8 = 18.

a) mA =16

∑6i=1 ci =

10+10+11+11+12+126 = 11; mB =

12

∑8i=7 ci =

16+182 = 17.

b) µ (C) = 18

∑8i=1 ci =

10+10+11+11+12+12+16+188 = 12, 5.

ci) mS =mA+mB

2 = 11+172 = 14; cii) mP =

mA×6+mB×26+2 = 11×6+17×2

6+2 = 12, 5.Nota: No cálculo de mP poderíamos usar a proporção (ou %) de alunos em vez do seu número:mP =

11×0,75+17×0,250,75+0,25 = 11× 0, 75 + 17× 0, 25 = 12, 5

com a vantagem de a divisão ser por 1, logo desnecessária.Nota: É a média ponderada, mP , que iguala a média da disciplina, µ (C).

d) σ2 (C) = 18

∑8i=1 (ci − µ (C))2 = 1

8

((10− 12, 5)2 ... (18− 12, 5)2

)= 7, 5.

σ (C) =√7, 5 = 2, 74.

Nota: Como calculamos a variância de uma população a divisão é feita pelo número total deelementos da população, no caso 8 notas.

Exercício 33:

O consumo médio por habitante tem que ser calculado com uma média ponderada pela populaçãode cada cidade. Portanto, a notícia só será verdadeira se as duas cidades tiverem o mesmo númerode habitantes (o que não acontece).

Nota: Já li noutro jornal um erro ainda mais clamoroso, dizendo algo como: o consumo médiodas duas cidades é de 500 + 400 = 900 m3 por habitante.

Exercício 34:

R: 12000× 0.75 + 8000× 0.25 = 11000€ mensais por vendedor.

4 Variáveis Aleatórias

4.1 Enunciado dos Exercícios da Secção 4

Exercício 35 Considere novamente o Exercício 32 supondo que se escolhe um aluno aleatoriamente.Assim, C ="classificação do aluno escolhido" é uma variável aleatória e pode tomar os valores 10,11, 12, 16 e 18.

17

a) Construa a tabela de probabilidades da variável aleatória C;b) Calcule o valor médio de N , µ (C), e o desvio padrão de N , σ (C).

Exercício 36 Considere a variável aleatória X ="Pontos conseguidos pelo piloto Barrichello numgrande prémio (GP)". Na tabela seguinte apresentamos a probabilidade associada a cada valor que Xpode tomar.

Valor de X : p 0 1 2 3 4 5 6 8 10Probabilidade: P (X = p) 25% 2% 3% 4% 6% 10% 20% 20% 10%

a) Calcule a média de pontos conseguida pelo Barrichello em cada (GP), µ (X).b) Encontre a função Probabilidade Acumulada, A (p), ou seja, a função que nos dá a probabilidade

de ganhar até, inclusive, p pontos num GP;c) Usando a função Probabilidade Acumulada calcule a probabilidade da pontuação do Barrichello

ser maior que 5 e menor ou igual a 8 pontos.

Exercício 37 Num inquérito para estudar os hábitos de consumo dos alunos do primeiro ano deGestão perguntou-se a 6 alunos quantos telémóveis celulares tinha cada um. As respostas foram 1, 2,1, 0, 4 e 1. Estime a média e o desvio padrão da variável aleatória T ="Número de telemóveis deum aluno qualquer".

Exercício 38 Estime o valor médio e o desvio padrão de X sabendo quexi 1 2 3 4 5 6

Prob (X = xi) 20% 25% 20% 15% 10% 10%

4.2 Resolução dos Exercícios da Secção 4

Exercício 35:

a) A probabilidade associada a cada valor da variável C é dada pela razão entre o número dealunos cuja nota foi esse valor (casos favoráveis) e o número total de alunos (casos possíveis). Vamosusar c para representar os valores que a variável aleatória C pode tomar.

i 1 2 3 4 5Valor de C ci 10 11 12 16 18

Probabilidade P (C = ci) 2/8 2/8 2/8 1/8 1/8

Podemos optar por usar todas as notas entre 10 e 20:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Valor de C ci 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Probabilidade P (C = ci) 2/8 2/8 2/8 0/8 0/8 0/8 1/8 0/8 1/8 0/8 0/8

Nota: Por construção, a nossa variável aleatória C só pode tomar os valores 10, 11, 12, 16 e 18.Contudo, dizer que C pode tomar todos os valores entre 10 e 20 é equivalente, dado que associamosprobabilidade zero às classificações 13, 14, 15, 17, 19 e 20. Optar por uma ou outra formulação é umaquestão de gosto e/ou de simplicidade.

b) Os cálculos são idênticos aos das alíneas do Exercício 32, mas têm um aspecto diferente:µ (C) =

∑5i=1 ci × P (C = ci) = 10× 2

8 + 11× 28 + 12× 2

8 + 16× 18 + 18× 1

8 = 12, 5.σ2 (C) =

∑5i=1 (ci − µ (C))2 × P (C = ci) = (10− 12, 5)2 × 2

8 + ...+ (18− 12, 5)2 × 18 = 7, 5.

Portanto, σ (C) =√7, 5 = 2, 74.

Exercício 36:

a) µ (X) = 0× .25+1× .02+ 2× .03+3× .04+4× .06+5× .10+6× .2+8× .2+10× .1 = 4.74b) A (p) = P (X ≤ p) =

∑q=pq=0 P (X = q) = P (X = 0) + P (X = 1) ...P (X = p), logo

Valor de X : p 0 1 2 3 4 5 6 8 10Prob. acumulada: A (p) 25% 27% 30% 34% 40% 50% 70% 90% 100%

c) P (5 < X ≤ 8) = A (8)−A (5) = 90%− 50% = 40%.

Exercício 37:

Chamamos ti às observações feitas da variável desconhecida, T , ou seja, t1 = 1, t2 = 2, t3 = 1,t4 = 0, t5 = 4 e t6 = 1.

18

Para estimarmos a média de T usamos a média da amostra: 16

∑6i=1 ti =

1+2+1+0+4+16 = 1, 5.

Assim, dizemos que T = 1, 5.Para estimarmos o desvio padrão de T temos usamos o desvio padrão da amostra com a correcção

do denominador, onde a divisão é feita por 5, e não por 6:S2 = 1

5

∑6i=1

(ti − T

)= (1−1.5)2+(2−1.5)2+(1−1.5)2+(0−1.5)2+(4−1.5)2+(1−1.5)2

5 = 1, 9.S =

√S2 = 1, 39.

Nota: Esta correcção só é importante para números baixos.

Exercício 38:

µ (X) = 1× 0.20 + 2× 0.25 + 3× 0.20 + 4× 0.15 + 5× 0.10 + 6× 0.10 = 3.0σ2 (X) = 4× 0.20 + 1× 0.25 + 0× 0.20 + 1× 0.15 + 4× 0.10 + 9× 0.10 = 2. 5σ (X) =

√2. 5 = 1. 58

5 Funções de Variáveis Aleatórias

5.1 Enunciado dos Exercícios da Secção 5

Exercício 39 Considere uma variável aleatória X que pode tomar os valores 1, 2 e 4 com probabili-dades 1/2, 1/4 e 1/4.

a) Calcule o valor médio e o desvio padrão de X;b) Considere a variável aleatória Y = 2X + 1 e calcule o seu valor médio e o desvio padrão;c) Considere a variável aleatória Z = (X − 3)2 e calcule o seu valor médio e o desvio padrão.

Exercício 40 Um indivíduo tem 3 propostas de emprego e decide que vai depositar 10% do seu novosalário, todos os meses, durante 3 anos, numa conta que rende 3% ao ano. Considere a tabelaabaixo onde são apresentados os possíveis depósitos e a probabilidade do indivíduo aceitar o empregocorrespondente.

Depósito 150€ 160€ 180€Probabilidade 50% 20% 30%

a) Calcule o valor médio do depósito, µ (D);b) Calcule o valor da conta ao fim dos 3 anos, V (note que V é uma variável aleatória);c) Calcule o valor médio da conta ao fim dos 3 anos, µ (V );d) Compare µ (V ) com V (µ (D)).

Exercício 41 Um indivíduo deposita 100€ por mês, durante 3 anos, numa conta que capitalizamensalmente a uma taxa mensal i. Considere a tabela abaixo onde são apresentados os possíveisvalores do juro e a probabilidade associada.

Juro mensal 0,5% 1,0% 2,0%Probabilidade 30% 20% 50%

a) Calcule o juro médio, µ (i);b) Calcule o valor da conta ao fim dos 3 anos, V (note que V é uma variável aleatória);c) Calcule o valor médio da conta ao fim dos 3 anos, µ (V );d) Compare µ (V ) com V (µ (i)).

5.2 Resolução dos Exercícios da Secção 5

Exercício 39:

Vamos chamar x1 = 1, x2 = 2 e x3 = 4.a) µ (X) =

∑3i=1 xiP (xi) = 1× 1

2 + 2× 14 + 4× 1

4 = 2.σ2 (X) =

∑3i=1 (xi − µ (X))

2P (xi) = (1− 2)2 × 1

2 + (2− 2)2 × 1

4 + (4− 2)2 × 1

4 =32 .

σ (X) =√

32 = 1, 22.

b)• Resolução geral (a menos indicada).Temos que Y pode tomar os valores y1 = 2x1 + 1 = 3, y2 = 2x2 + 1 = 5 e y3 = 2x3 + 1 = 9.As probabilidades são P (Y = yi) = P (X = xi) para i ∈ {1, 2, 3}.

19

Logo, µ (Y ) =∑3

i=1 yiP (yi) = 3× 12 + 5× 1

4 + 9× 14 = 5.

σ2 (Y ) =∑3

i=1 (yi − µ (Y ))P (yi) = (3− 5)2 × 12 + (5− 5)

2 × 14 + (9− 5)

2 × 14 = 6

σ (Y ) =√6 = 2, 45.

• Resolução sabendo que Y é função afim de X, ou seja, Y = aX + b onde a, b ∈ R.µ (Y ) = µ (2X + 1) = 2µ (X) + 1 = 2× 2 + 1 = 5.σ (Y ) = σ (2X + 1) = |2|σ (X) = 2×

√32 + 0 =

√6 = 2, 45

c) Como Z não é função afim de X teremos que calcular µ e σ explicitamente (o que nos casos devariáveis contínuas é geralmente impossível).· Resolução usando os valores xi.µ (Z) =

∑3i=1 Z (xi) · P (xi) = 4× 1

2 + 1× 14 + 1× 1

4 =52 .

σ2 (Z) =∑3

i=1 (Z (xi)− µ (Z))2 P (xi) =(4− 5

2

)2 × 12 +

(1− 5

2

)2 × 14 +

(1− 5

2

)2 × 14 =

94

σ (Z) = 32 .

• Resolução usando os valores que Z pode tomar.Temos que Z pode tomar os valores z1 = (x1 − 3)2 = 4, z2 = (x2 − 3)2 = 1 e z3 = (x1 − 3)2 = 1,

i.e., Z só toma 2 valores, z1 = 1 e z2 = 4.As probabilidades são:P (Z = z1) = P (X = x2) + P (X = x3)⇔ P (Z = 1) = P (X = 2) + P (X = 4) = 1

2 .P (Z = z2) = P (X = x1)⇔ P (Z = 4) = P (X = 1) = 1

2 .

Logo, µ (Z) =∑2

i=1 ziP (zi) = 1× 12 + 4× 1

2 =52 .

σ2 (Z) =∑2

i=1 (zi − µ (Z))P (zi) =(1− 5

2

)2 × 12 +

(4− 5

2

)2 × 12 =

94 .

σ (Z) =√

94 = 1, 5.

Exercício 40:

a) µ (D) = 150× 0.50 + 160× 0.20 + 180× 0.30 = 161.b) Para um depósito mensal D obtemos, ao fim dos 3 anos, V (D) = D

i

(1− (1 + i)−36

)(1 + i)36,

onde i = (1 + 3%)1/12 − 1 = 0, 2466%.Repare que 1

i

(1− (1 + i)−36

)(1 + i)36 é apenas um número quando fixamos o i, entao V é função

afim de D, V (D) = 37, 598D, o que resulta em V (150) = 5640, V (160) = 6016 e V (180) = 6768.

Valor 5640€ 6016€ 6768€Probabilidade 50% 20% 30%

c) µ (V ) = µ (37, 6D) = 37, 6µ (D) = 37, 6× 161 = 6054.Como na alínea (b) calculamos as probabilidades associadas aos valores de V também podemos

fazer:µ (V ) = 5640× 0.50 + 6016× 0.20 + 6768× 0.30 = 6054€.

Exercício 41:

a) µ (i) = 0.005× 0.3 + 0.01× 0.20 + 0.02× 0.5 = 1, 35%.

b) Para um depósito mensal de 100 obtemos, ao fim dos 3 anos, V (i) = 100i

(1− (1 + i)

−36)(1 + i)

36.Note que V varia de uma forma bastante complexa com o valor de i.Calculando V (0, 5) = 3934, V (1, 0) = 4308 e V (2, 0) = 5199.

Valor 3934€ 4308€ 5199€Probabilidade 30% 20% 50%

c) µ (V ) = 3934× 0.30 + 4308× 0.20 + 5199× 0.50 = 4641€.e) Temos V (µ (i)) = 100

0.00135

(1− (1 + 0.00135)−36

)(1 + 0.00135)36 = 3686, enquanto que µ (V ) =

4641€, i.e., V (µ (i)) �= µ (V ).Nota: Dado que V (i) não é linear em i não há razão para V (µ (i)) ser igual a µ (V ).

20

6 Distribuição Normal

6.1 Enunciado dos Exercícios da Secção 6

Exercício 42 Suponha que compra 1200 Kg de pêras a 0,40 €/Kg e gasta 180€ no transporte. Pelasua experiência supõe que consegue vender toda a mercadoria a um preço que segue uma distribuiçãonormal com valor médio de 0,70 €/Kg com desvio padrão 0,30 €/Kg.

a) Descreva a variável Lucro (L);b) Calcule, usando um computador, a probabilidade de ter prejuízo;c) Calcule a probabilidade de ter lucro positivo mas inferior ao esperado (valor médio);d) Probabilidade de L ∈ [−100€, 500€];e) Probabilidade de L ser superior a 1000€.

Exercício 43 Considere que chegou a uma empresa cuja contabilidade está um caos. Após umaanálise estima que necessita de contrair um empréstimo a dois anos de valor desconhecido, mas quesegue uma distribuição normal de média 50000€ e desvio padrão 20000€. A melhor taxa de juro domercado é de 8% ao ano.

a) Descreva a variável aleatória P , prestação.b) Calcule a probabilidade da prestação mensal ser superior a 2500€ mensais.

Exercício 44 Considere que contrai um empréstimo de 100000€ durante 20 anos. Admita que ojuro segue uma distribuição normal de média 3% ao ano com desvio padrão 2 pontos percentuais.(Use computador.)

a) Descreva a variável P , prestação;b) Calcule o juro a que corresponde a prestação média;c) Estime a probabilidade da prestação mensal se situar entre 400€ e 700€.

6.2 Resolução dos Exercícios da Secção 6

Exercício 42:

a) Temos L = 1200× p− 1200× 0.3− 180 = 1200p− 540, onde o preço p = N (0.70; 0.30), logo:µ (L) = 1200µ (p)− 540 = 1200× 0.7− 540 = 300;σ (L) = |1200|σ (p) = 1200× 0.30 = 360.Assim, L tem distribuição normal com valor médio 300 e desvio padrão 360.b) Queremos saber Prob(L < 0), ou seja, queremos saber H (0) onde H (p) é a função acumulada

de L.No Excel fazemos= DIST.NORM(0; 300; 360;V ERDADEIRO) ou= NORMDIST (0; 300; 360;TRUE)

que resulta em 20,2%.c) Queremos saber Prob(0 < L < 300), ou seja, queremos saber H (300) − H (0). Por simetria

temos H (µ) = 1/2 logo Prob(0 < L < 300) = 50%− 20, 2% = 29, 8%.d) Queremos saber Prob(−100 < L < 500), ou seja, queremos saber H (500)−H (−100):Fazemos= NORMDIST (500; 300; 360;TRUE)−NORMDIST (−100; 300; 360;TRUE) = 57, 7%.e) Queremos Prob(1000 < L) = H (∞)−H (1000) = 1−NORMDIST (1000; 300; 360;TRUE) =

2, 6%.

Exercício 43:

Renda Limitada: V = Pi

(1− (1 + i)−24

)onde i = 1.08

1

12 − 1 = 0, 643% ao mês, logo:

P = V × 0.00643

1− 1.08−2 = 0, 0451VTemos que V = N (50000, 20000), logo P também segue uma distribuição normal, mas de média

µ (P ) = 0, 0451µ (V ) = 2255 e σ (P ) = 0, 0451σ (V ) = 902. Ou seja, P = N (2255, 902). Assim,Prob(P > 2500) = 1−NORMDIST (2500; 2255; 902;TRUE) = 39%.

Exercício 44:

Temos P =100000im

1− (1 + im)−300 . Como a relacão entre as duas variáveis aleatórias i e P não é linear,

não sabemos qual é a forma da distribuição de P , ou seja, P não segue uma distribuição normal.Mas podemos estimar o seu valor médio e desvio padrão.

Determinamos n intervalos para o juro i ∈ [imin, imax]. Quanto menor imin e maiores n eimax melhor será a estimativa numérica. Convêm que imin ≤ µ (i) − 2σ (i) e imax ≥ µ (i) + 2σ (i)

21

para garantirmos que pelo menos 95% são cobertos pela estimativa. Vamos escolher, por exemplo,imin = −2%, mesmo sabendo que é inverossímil, e imax = 10%, ou seja, i ∈ [µ (i)−3σ (i) ;µ (i)+3σ (i)];este é um intervalo simétrico relativamente ao valor médio, esta prática minimiza distorções no cálculode médias. Vamos usar uma amplitude de 0,2% para cada intervalo, ou seja, usamos 60 intervalos.Para cada intervalo tomamos o valor do meio como valor de referência.

Segue em Excel.A2 := −2% B2 := −1, 8%A3 := A2 + 0, 2% B3 := B2 + 0, 2%C2 := (A2 +B2)/2 D2 := (1 +C2)ˆ(1/12)− 1Copiar até à linha 61Calculamos a probabilidade do juro se situar em cada intervalo.E2 := NORMDIST (B2; 0, 04; 0, 02;TRUE)−NORMDIST (A2; 0, 04; 0, 02;TRUE).Copiar até à linha 61.Na coluna F , calculamos o peso de cada intervalo. Na G calculamos a prestação correspondente.

As colunas H e I são usadas no cálculo do valor médio e desvio padrão de P .E62 := SUM(E2 : E61) F2 := E2/$E$62G2 := 100000 ∗D2/(1− (1 +D2)ˆ(−300)) H2 := G2 ∗ F2I2 := (G2− $H$62)ˆ2 ∗E2Copiar até à linha 61

a)H62 := SUM(H2 : H61) I62 := (SUM(H2 : H61))ˆ(1/2)Temos µ (P ) ≃ H62 = 528, 65 e σ (P ) ≃ I62 = 104.Nota: Usamos os pesos para calcular a média e o desvio padrão. Se usássemos a probabilidade

seria o mesmo que atribuir a probabilidade residual, 0,27%, ao valor i = 0, o que causaria umadistorção sistemática. Em todo o caso, convém salientar que, ao usarmos os pesos, não atribuimosnenhum valor aos 0,27%, pelo que estamos a cometer um pequeno erro (inevitável dado que o cálculoé numérico).

b)J59 := 4% (Ou outro valor)J60 := 100000 ∗ J59/(1− (1 + J59)ˆ(−300))Ferramenta ObjectivoDefinir célula J60Para valor 528, 65Por alteração da célula J59Concluímos que a prestação média corresponde a 4, 09% > µ (i) = 4%. Contudo, fica claro que

P (µ (i)) = P (4%) = 523, 90 é muito próxima da prestação média, µ (P ) ≃ 528, 65.c)J47 = SUM(E20 : E47) = 83, 0%.Nota: Aqui usamos a probabilidade, pois se usássemos os pesos estaríamos a excluir a possibilidade

de i ser menor que −2% e maior que 10%.Nota 2: Usamos a soma das probabilidades associadas aos intervalos do [1, 6%; 1, 8%] até ao

[7, 0%; 7, 2%], pois são aqueles a que correspondem prestações no intervalo [400€, 700€]. Contudo,poderíamos refinar o cálculo tendo em conta os intervalos adjacentes. Por exemplo, sabemos que parai = 1, 5% a prestação é 399, 46€, pelo que seria razoável incluir quase metade da probabilidade dointervalo [1, 4%; 1, 6%] no nosso cálculo. Por simplicidade não o faremos.

22

7 Mais de uma Variável Aleatória

7.1 Enunciado dos Exercícios da Secção 7

Exercício 45 Considere a tabela seguinte que relaciona as notas e a idade dos alunos

N \ I [18,20] [21,25][0,10[ 20% 10% 30%[10,20] 10% 60% 70%

30% 70%

a) Calcule µ (N) e µ (I) ;b) Calcule σ (N), σ (I) e σ (N, I);c) Calcule o coeficiente de correlação linear, ρ (N, I);d) Recorde: A probabilidade de acontecer N sabendo que aconteceu I (probabilidade condicionada)

é dada por P (N |I) = P (N ∧ I)

P (I).

di) Sabendo I ∈ [18, 20] calcule o valor médio de N;dii) Sabendo I ∈ [21, 25] calcule o valor médio de N .diii) Comente o resultado com base na alínea (c).

Exercício 46 Repita o exercício 45 para a tabela abaixo.

N \ I [18,20] [21,25][0,10[ 20% 25% 45%[10,20] 50% 5% 55%

70% 30%

Exercício 47 Considere duas variáveis aleatórias, X e Y de desvio padrão σx e σy, respectivamente,cujo coeficiente de correlação linear é ρ.

Dadas as variáveis Z = X + Y e W = X − Y :a) Calcule σ2 (Z); qual o valor de ρ que minimiza o risco de Z?b) Calcule σ2 (W ); qual o valor de ρ que minimiza o risco de W?c) Aplique as alíneas (a) e (b) a situações reais.

Exercício 48 Suponha que compra um bem a preço pc = N (5€/Kg, 3€/Kg), gasta 1€/Kg em trans-porte e vende a pv = N (8€/Kg, 4€/Kg).

a) Descrever a variável lucro por Kg, L, sabendo que a correlação entre o pc e pv é 0, 8;b) Calcule a probabilidade de ter prejuízo.

7.2 Resolução dos Exercícios da Secção 7

Exercício 45:

a)µ (I) = 0.30× 19 + 0.70× 23 = 21. 8µ (N) = 0.30× 5 + 0.70× 15 = 12.0b)

σ2 (I) = 0.30× (19− 21.8)2 + 0.70× (23− 21.8)2 = 3. 36σ (I) =

√3. 36 = 1. 83

σ2 (N) = 0.20× (5− 12)2 + 0.80× (15− 12)2 = 17.0σ (N) =

√17 = 4. 12

σ (I,N) = 0.20 × (19− 21. 8) × (5− 12) + 0.10 × (23− 21. 8) × (5− 12) + 0.10 × (19− 21. 8) ×(15− 12) + 0.60× (23− 21. 8)× (15− 12) = 4. 4

c)

ρ (I,N) =σ (I,N)

σ (I)σ (N)= 4.4

1. 83×4 = 0.60

di) Sabendo que I ∈ [18, 20] temos:

1) P (N ∈ [0, 10[|I ∈ [18, 20]) = 0.20

0.30= 0.667

2) P (N ∈ [10, 20]|I ∈ [18, 20]) = 0.10

0.30= 0.333

23

Pelo que I ∈ [18, 20]⇒ µ (N) = 0.667× 5 + 0.333× 15 = 8. 33dii) Sabendo que I ∈ [21, 25] temos:

1) P (N ∈ [0, 10[|I ∈ [21, 25]) = 0.10

0.70= 0.143

2) P (N ∈ [10, 20]|I ∈ [21, 25]) = 0.60

0.70= 0.857

Pelo que I ∈ [21, 25]⇒ µ (N) = 0.143× 5 + 0.857× 15 = 13. 57diii) A correlação entre N e I é positiva, pelo que:

1) I aumenta ⇒ N em média aumenta;2) I diminui ⇒ N em média diminui.

Exercício 46:

a)µ (I) = 0.70× 19 + 0.30× 23 = 20. 2µ (N) = 0.45× 5 + 0.55× 15 = 10. 5b)

σ2 (I) = 0.70× (19− 20. 2)2 + 0.30× (23− 20. 2)2 = 3. 36σ (I) =

√3. 36 = 1. 83

σ2 (N) = 0.45× (5− 10. 5)2 + 0.55× (15− 10. 5)2 = 24. 75σ (N) =

√24. 75 = 4. 97

σ (I,N) = 0.20× (19− 20. 2)× (5− 10. 5)+0.25× (23− 20. 2)× (5− 10. 5)+0.50× (19− 20. 2)×(15− 10. 5) + 0.05× (23− 20. 2)× (15− 10. 5) = −4. 6

c)

ρ (I,N) =σ (I,N)

σ (I)σ (N)= −4.6

1. 83×4. 97 = −0.56di) Sabendo que I ∈ [18, 20] temos:

1) P (N ∈ [0, 10[|I ∈ [18, 20]) = 0.20

0.70= 0.285

2) P (N ∈ [10, 20]|I ∈ [18, 20]) = 0.50

0.70= 0.714

Pelo que I ∈ [18, 20]⇒ µ (N) = 0.285 × 5 + 0.714× 15 = 12. 14dii) Sabendo que I ∈ [21, 25] temos:

1) P (N ∈ [0, 10[|I ∈ [21, 25]) = 0.25

0.30= 0.833

2) P (N ∈ [10, 20]|I ∈ [21, 25]) = 0.05

0.30= 0.166

Pelo que I ∈ [21, 25]⇒ µ (N) = 0.833× 5 + 0.166× 15 = 6. 66diii) A correlação entre N e I é negativa, pelo que:

1) I aumenta ⇒ N em média diminui;2) I diminui ⇒ N em média aumenta.

Exercício 47:

a) σ2 (Z) = σ2 (X + Y ) = σ2x + 2ρσxσy + σ2y.Como σx e σy são positivos, o mínimo de σ2 (Z) é obtido para ρ = −1.b) σ2 (W ) = σ2 (X − Y ) = σ2x − 2ρσxσy + σ2y.Como σx e σy são positivos, o mínimo de σ2 (W ) é obtido para ρ = 1.c)1) Se comprarmos dois activos, por exemplo, acções de duas empresas, o risco diminui-se mais se

a correlação for negativa do que se for positiva.2) Se compramos um bem a um preço Y e vendemos a um preço X, diminui-se o risco se a

correlação entre os preços for positiva.

Exercício 48:

a) L = pv − pc − 1, pelo queµ (L) = µ (pv)− µ (pc)− 1 = 8− 5− 1 = 2€/Kg.σ2 (L) = σ2 (pv)− 2ρ (pv, pc)σ (pv)σ (pc) + σ2 (pc) = 16− 2× 0.8× 4× 3 + 9 = 5.8Logo, σ (L) =

√5. 8 = 2.41.

Como L é uma combinação afim de distribuições normais logo também L tem distribuição normal,no caso, L = N (2; 2, 41),

b) Prob(Prejuízo) =Prob(L < 0) = NORMDIST (0; 2; 2, 41;TRUE) = 20%.

24