MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA -...

Matemática Financeira Aplicada Célio Tavares ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA ........................................................ 4

1.1 – Introdução ............................................................................................. 4

1.2 – Conceitos básicos da Matemática Financeira ................................... 4

1.2.1) Valor do dinheiro no tempo ........................................................... 4

1.2.2) Capital inicial, montante e prazo .................................................. 5

1.2.3) Operação Financeira ....................................................................... 5

1.2.4) Fluxo de Caixa ............................................................................ 5

1.2.5) Juros e Taxa de Juros .................................................................... 8

1.3 – Regime de capitalização dos juros ..................................................... 8

1.3.1) Juros Simples ................................................................................... 8

1.3.2) Juros Compostos ............................................................................. 9

1.4 – Planilha de financiamento: Amortização, juros e saldo devedor. ......................................................................................................................... 13

1.4.1) Sistema Price ................................................................................. 13

1.4.2) Sistema de Amortizações Constantes: SAC .............................. 14

Exercícios propostos .................................................................................... 17

1.5 – Funções Financeiras Básicas do Excel e da HP 12C ...................... 19

1.5.1) As funções PGTO – TAXA – VF – VP do Excel .......................... 19

1.5.2) As teclas n – i – PV – PMT – FV da HP-12C ........................... 19

1.5.3) Cálculo da taxa de juros de uma série de pagamentos iguais ..................................................................................................................... 20

1.5.4) Cálculo do valor presente de uma série de pagamentos iguais ..................................................................................................................... 21

1.5.5) Cálculo do valor da prestação numa série de pagamentos iguais ........................................................................................................... 23

1.5.6) Cálculos envolvendo o valor futuro de uma série uniforme ... 24

1.5.7) Funções Financeiras Adicionais: as funções VPL e TIR .......... 25

1.6 – Taxas de Juros ................................................................................ 30

1.6.1) Taxas Proporcionais – Juros simples ......................................... 30


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1.6.2) Taxas Equivalentes – Juros compostos ..................................... 30

1.6.3) Taxa efetiva ou Taxa real ............................................................ 32

1.6.4) Taxas Nominais ............................................................................. 32

1.6.5) Taxa Over ....................................................................................... 33

1.6.6) Rendimento Real ........................................................................... 34

1.7 – Cálculo da taxa anual de juros para prestações diferentes e períodos não uniformes no Excel .............................. 36

1.8 – Desconto de duplicatas ............................................................... 37

1.8.1) Taxa de desconto .......................................................................... 37

1.9 – Recupere o capital investido em seu curso ......................... 39

1.10 – Quanto pedir de desconto nas compras a vista? ............ 40

Exercícios resolvidos e comentados ...................................................... 42

Exercícios propostos .................................................................................... 54


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MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

1.1 – Introdução Um dos princípios básicos de aplicação do capital deixa claro que O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO tem que ser considerado sempre. A Matemática Financeira é a ferramenta utilizada para levar em consideração o valor do dinheiro no tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes entre diferentes alternativas de investimentos. Além de ser a ferramenta usada para a análise da viabilidade de projetos, a Matemática Financeira tem outras aplicações importantes nas empresas, tais como:

Calcular o valor de uma prestação de um financiamento;

Calcular o saldo devedor de um financiamento;

Calcular o preço a vista de um financiamento proposto;

Calcular a taxa efetiva de juros de um empréstimo ou aplicação financeira;

Decidir qual o melhor financiamento entre vários;

Decidir se é melhor alugar ou comprar um equipamento;

Calcular quanto você deve poupar mensalmente para atingir um determinado

objetivo;

Saber quanto você deve ter hoje para cobrir gastos futuros.

A MATEMÁTICA FINANCEIRA É A FERRAMENTA IDEAL PARA A OTIMIZAÇÃO DAS TOMADAS DE DECISÕES NAS EMPRESAS

1.2 – Conceitos básicos da Matemática Financeira 1.2.1) Valor do dinheiro no tempo Como existem inúmeros investimentos disponíveis no mercado financeiro podemos dizer que todo o capital aplicado em qualquer investimento merece receber uma remuneração (o que constitui o conceito de valor do dinheiro no tempo) que pode ser maior ou menor, dependendo do tipo de investimento e o seu risco associado. Quanto maior o risco, maior deverá ser a remuneração do capital investido. Todo capital que não está sendo remunerado perde o que poderia estar recebendo sob a forma de juros em uma aplicação financeira, o que configura uma medida de custo de oportunidade perdido. Nenhum administrador pode, por seu livre arbítrio, deixar qualquer capital sem alguma forma de remuneração, pois existe o custo de oportunidade perdido.


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1.2.2) Capital inicial, montante e prazo Capital inicial é o valor que você aplica (ou pega emprestado) hoje, também chamado de valor presente. Montante é o valor dessa aplicação (ou de sua dívida) no futuro, com a inclusão dos juros devidos, também chamado de valor futuro. O prazo de uma aplicação (n) é o número de períodos da aplicação, que pode ser medido em dias, meses, anos etc. 1.2.3) Operação Financeira Operação Financeira é o nome genérico que o mercado usa para referir-se a operações de empréstimos, financiamentos, desconto antecipado de duplicatas, aplicação em fundos de investimentos. Em resumo, são as transações que efetuamos no dia-a-dia, sejam de aplicação ou de captação. Toda operação financeira tem pelo menos dois lados, o lado do investidor e o lado do tomador. Por exemplo, quando você deposita na poupança, você é o investidor e a instituição do depósito é o tomador, que recebe seu investimento. Você deposita hoje (saída de caixa) um valor presente também chamado de principal e espera receber (entrada de caixa) no futuro, um valor futuro também chamado de montante, que deve ser igual à soma de seu investimento inicial (valor presente) mais os juros dessa aplicação. 1.2.4) Fluxo de Caixa Denomina-se fluxo de caixa de uma empresa, de um investimento ou de uma pessoa, ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. Podemos representar o fluxo de caixa através do seguinte diagrama: Recebimento (+)

Pagamento (-) Exemplos sobre representação de um fluxo de caixa: 1) Uma pessoa depositou em uma aplicação financeira R$ 12.000,00 e retirou R$ 14.347,42 após 12 meses. 14.347,42


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0 12 12.000,00

2) Uma empresa fez um investimento inicial em um equipamento industrial no valor de R$ 850.000,00 e obteve as seguintes receitas e despesas anuais relativas ao equipamento:

Ano Receita – R$ Despesas – R$ Resultado – R$ 1 285.000 199.500 85.500 2 310.000 217.000 93.000 3 300.000 210.000 90.000 4 250.000 315.000 - 65.000 5 365.000 255.500 109.500 6 380.000 266.000 114.000 Alem disso, no final do sexto ano a empresa resolveu vender o equipamento por R$ 500.000,00, já descontados os impostos e as despesas de transporte.

85.500 93.000 90.000 109.000 614.000 0 1 2 3 4 5 6

850.000 65.000

3) Você comprou um eletrodoméstico cujo valor a vista era R$ 2.500,00, mas pagou seis parcelas de R$ 453,30, sendo uma entrada e as restantes com 30 dias de prazo entre elas.

453,30 0 5


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2.500,00

4) Você fez um financiamento em um banco no valor de R$ 25.000,00 para comprar um veículo a vista. O financiamento será pago em 24 parcelas mensais iguais a R$ 1.724,68.

1.724,68 0 1 24

25.000,00 5) Uma empresa adquiriu um terreno cujo valor a vista era R$ 100.000,00, mas resolveu pagá-lo em parcelas mensais da seguinte maneira: Entrada: R$ 20.000,000 – 1ª parcela: R$ 21.360,00 – 2ª parcela: R$ 21.200,00 – 3ª parcela: R$ 20.800,00 e 4ª parcela: R$ 20.400,00.

20.000 21.360 21.200 20.800 20.400 0 1 2 3 4

100.000 6) Uma pessoa fez um financiamento em um banco no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 12 parcelas de R$ 1.034,84. Além das parcelas o banco descontou, no ato da liberação do crédito, uma taxa de cadastro de R$ 650,00 e mais R$ 285,00 relativos a impostos e comissões.

935,00 1.034,84 0 1 12

10.000,00


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1.2.5) Juros e Taxa de Juros Juro é o valor que se paga ao investidor por sua aplicação (investimento), durante um determinado período de tempo (prazo). A taxa de juros, como indica o próprio nome, é uma taxa, geralmente expresso em base percentual, por exemplo, 10% ao ano. Para calcularmos os juros, precisamos da taxa de juros pactuada entre as partes, do valor da operação e do prazo. Exemplo: Se uma aplicação para uma taxa de juros é 10% ao ano e o valor do principal aplicado é R$ 1.000,00, então os juros de um ano desta aplicação serão R$ 100,00. O montante final será então R$1.100,00, ou seja juros mais o principal Juro é a diferença entre o montante obtido no futuro (valor futuro ou F) e o capital inicial aplicado (valor presente, principal ou P) de uma aplicação.

JUROS = F – P

No nosso exemplo: J = 1.100,00 – 1.000,00 = 100,00 Podemos também dizer que a taxa de juros é a relação entre o valor dos juros e o principal aplicado:

TAXA JUROS (i) = JUROS / PRINCIPAL

No nosso exemplo: %101,01000100 i

Unidade de medida das Taxas de Juros: As taxas de juros são fixadas através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia. Devemos nos lembrar de colocar sempre todos os valores nas mesmas unidades de tempo. Isto é, se temos taxas de juros em anos e o número de períodos em meses, devemos colocar o tempo em anos, ou então colocar os juros em meses.

1.3 – Regime de capitalização dos juros

Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. 1.3.1) Juros Simples Nessa categoria, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial. (Juros simples são aqueles calculados em função do capital inicial.)


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Exemplo: Considere uma aplicação de R$ 100,00 que lhe renderá juros simples com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de quatro anos? Montagem da tabela da evolução do capital aplicado ao longo do tempo: Prazo 0 1 2 3 4 Aplicação inicio período 100 100 110 120 130 Juros 10 10 10 10 Total final período 110 120 130 140

A formula que relaciona o capital inicialmente aplicado (valor presente ou P) com o montante (valor futuro ou F) no regime de capitalização simples é:

F = P (1 + i n) Onde i é a taxa de juros e n o numero de períodos da aplicação. 1.3.2) Juros Compostos Nessa categoria, os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no início de cada respectivo período. Exemplo Considere uma aplicação de R$ 100,00 que renderá juros compostos com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de quatro anos? Montagem da tabela da evolução do capital aplicado ao longo do tempo: Prazo 0 1 2 3 4 Aplicação inicio período 100 100 110 121 133,1 Juros 10 11 12,1 13,31 Total final período 110 121 133,1 146,41 A formula para o cálculo do montante (valor futuro F), dados o capital inicial (valor presente P), a taxa de juros (i) e o prazo de aplicação (n) no regime de capitalização composta é:

F = P x (1 + i)n (Fórmula da Capitalização) Usaremos a fórmula da capitalização quando temos um valor presente e queremos levá-lo a valor futuro. Podemos também obter a fórmula para o cálculo do capital inicial (valor presente P), dados o montante (valor futuro F), a taxa de juros (i) e o prazo de aplicação (n) no regime de capitalização composta:


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P = _F__ (Fórmula da Descapitalização)

(1 + i)n

Usaremos a fórmula da descapitalização quando temos um valor futuro e queremos trazê-lo a valor presente. Veja no gráfico a evolução de um valor aplicado a uma taxa de juros com capitalização simples e com capitalização composta.

Comparando a evolução de um valor aplicado a uma taxa de juros com capitalização simples e com capitalização composta, podemos concluir facilmente que o dinheiro cresce mais na capitalização composta.

Juros Simples e Juros Compostos

1000

1500

2000

2500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Juros Simples

Juros Compostos


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Podemos também montar a equação de equilíbrio do fluxo de caixa:

X1 X2 Xn

0 1 2 n

P

P = X1 + X2 + . . . + Xn .

(1 + i ) (1 + i )2 (1 + i )n

Com as fórmulas do valor presente, do valor futuro e a equação de equilíbrio do fluxo de caixa, podemos resolver os principais problemas da Matemática Financeira no regime de juros compostos. Exemplos: 1)Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 2.850,00 por um prazo de oito meses, a uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Calcular o saldo no final da aplicação. Solução Temos um valor presente e queremos levá-lo a valor futuro e para isso usaremos a fórmula da capitalização: F = P x ( 1 + i)n onde: P = 2.850, n = 8 e i = 0,015 em decimal (1,5 / 100), então: F = 2.850 x ( 1 + 0,015)8 → F = 3.210,50 Então, se aplicarmos hoje R$ 2.850,00 por um período de oito meses, a uma taxa de 1,5% ao mês, teremos R$ 3.210.50 ao final dos oito meses. 2) Quanto preciso aplicar hoje para no final de vinte e quatro meses obter uma quantia de R$ 20.000,00, sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês. Solução Temos um valor futuro e queremos trazê-lo para valor presente e para isso usaremos a fórmula da descapitalização:


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P = _F__ onde: F = 20.000, n = 24 e i = 0,02 em decimal (2 / 100), então: (1 + i)n P = _20.000__ → P = 12.434,43 (1 + 0,02)24 Então, para obtermos a quantia de R$ 20.000,00 daqui a vinte e quatro meses, temos que aplicar hoje R$ 12.434,43 a uma taxa de 2% ao mês. 3) O preço a vista de uma mercadoria é igual a R$ 3.250,00 e pode ser parcelado em três prestações mensais e iguais, sem entrada, com taxa de juros de 1,5% ao mês. Calcular o valor da parcela. Solução Trata-se de um problema de elaboração de um financiamento com prestações iguais (Sistema Price). Usaremos a equação de equilíbrio do fluxo de caixa: X X X

0 1 2 3

3.250,00 Como, neste caso, as parcelas são iguais, vamos representá-las por X. Então: 3.250 = ___X______ + _____X_________ + ____X______

onde: ( 1 + 0,015 ) ( 1 + 0,015 )2 ( 1 + 0,015 )3 3.250 = 0,9852 X + 0,9707 X + 0,9563 X ou 3.250 = 2,9122 X → X = 1.115,99 Logo, o valor presente de R$ 3.250,00 pode ser financiado em três prestações mensais de R$ 1.115,99, com taxa de juros de 1,5% ao mês.

4) Uma pessoa tem uma dívida de R$ 23.250,00 e está negociando pagar uma parcela de R$ 8.000,00 daqui a dois meses, outra parcela de R$ 10.000,00 daqui a quatro meses e uma última parcela daqui a seis meses. Calcular o valor dessa última parcela, sabendo que a taxa de juros é de 2,5% ao mês.

Solução Trata-se de um problema de elaboração de um financiamento com prestações diferentes. Usaremos a equação de equilíbrio do fluxo de caixa: 8.000 10.000 X


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0 2 4 6

23.250,00 Então: 23.250 = ___8.000 + ____10.0000______ + ____X______

onde: ( 1 + 0,025 )2 ( 1 + 0,025 )4 ( 1 + 0,025 )6 23.250 = 7.614,52 + 9.059,51 + 0,8623 X ou 6.575,97 = 0,8623 X → X = 7.626,09 Logo, o valor da terceira parcela é de R$ 7.626,09, com taxa de juros de 2,5% ao mês. Observação: Os problemas de montagem de planos de financiamento podem ser resolvidos com a utilização da equação de equilíbrio do fluxo de caixa. O problema é que quando o número de parcelas fica muito grande, a equação de equilíbrio do fluxo de caixa fica muito extensa. Por isso, vamos aprender a utilizar a calculadora financeira HP-12C e as funções financeiras do Excel mais adiante.

1.4 – Planilha de financiamento: Amortização, juros e saldo devedor.

O objetivo de montar uma planilha de financiamento é mostrar separadamente os juros, as amortizações, as prestações e o saldo devedor. Assim fazendo, podemos detalhar melhor todos os tipos de financiamento. Uma prestação contém juros (aluguel do dinheiro) e amortização (pagamento de uma parte do principal). Existem planos de financiamento com prestações iguais (sistema Price), que é o mais comum no comércio em geral. Existem também planos de financiamentos com amortizações iguais, que é o Sistema de Amortizações Constantes (sistema SAC), muito utilizado nos financiamentos de longo prazo. Na realidade, podemos criar outros tipos de planos de financiamento, dependendo do jeito que queremos amortizar o capital. 1.4.1) Sistema Price

Vamos compor a planilha de um financiamento com as seguintes condições: valor financiado: R$ 1.000,00; taxa de juros: 2,5% a/m; nº. de parcelas: seis; valor da

parcela: R$ 181,55.

Mês Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Saldo Final

1 1.000,00 25,00 156,55 181,55 843,45


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2 843,45 21,09 160,46 181,55 682,99

3 682,99 17,07 164,48 181,55 518,51

4 518,51 12,96 168,59 181,55 349,92

5 349,92 8,75 172,80 181,55 177,12

6 177,12 4,43 177,12 181,55 -

Vamos explicar detalhadamente os cálculos das duas primeiras linhas da tabela acima

1.000,00 – corresponde ao saldo devedor inicial no primeiro mês. 25,00 – corresponde ao juro relativo ao primeiro mês. (2,5% de R$1.000,00). 156,55 – corresponde à amortização (pagamento do capital) do primeiro mês. O valor é obtido através da fórmula:

Amortização = Prestação – Juros. 156,55 = 181,55 – 25,00). Deve-se observar que uma prestação contém juros e amortização. 181,55 – corresponde ao valor da prestação. Como o sistema é Price, as prestações são iguais. 843,45 – corresponde ao saldo devedor após o pagamento da primeira prestação. Seu valor é obtido através da fórmula:

Saldo Final = Saldo Inicial – Amortização. (843,45 = 1.000,00 – 156,55). Observe que, no cálculo do saldo final, não consideramos o valor do juro pago (R$25,00), pois este valor corresponde simplesmente ao aluguel do capital e não pode ser abatido da dívida, pois não se trata de amortização. 843,45 – corresponde ao saldo inicial do segundo mês. É claro que o saldo final do primeiro mês tem que ser igual ao saldo inicial do segundo mês. 21,09 – corresponde ao juro relativo ao segundo mês. (2,5% de R$ 843,45). Note que o saldo devedor não é mais R$ 1.000,00 e, sim, R$ 843,55. 160,46 – corresponde à amortização (pagamento do capital) do segundo mês. O valor é obtido através da fórmula:

Amortização = Prestação – Juros. (160,46 = 181,55 – 21,09) 181,55 – corresponde ao valor da prestação. Como o sistema é Price, as prestações são iguais. 682,99 – corresponde ao saldo devedor após o pagamento da segunda prestação. Seu valor é obtido através da fórmula:

Saldo Final = Saldo Inicial – Amortização. (682,99 = 843,45 – 160,46).

Observação: O restante da tabela segue o mesmo raciocínio. Agora é com você. Tente calcular os valores próximas linhas. É fazendo que se aprende. Mãos à obra! 1.4.2) Sistema de Amortizações Constantes: SAC


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Vamos compor a planilha de um financiamento com as seguintes condições: valor

financiado: R$ 3.000,00; taxa de juros: 2,5% a/m; número de parcelas: seis.

Neste sistema as prestações são variáveis, sempre vão caindo com o passar do tempo e as amortizações são constantes.

Mês Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Saldo Final

1 3.000,00 75,00 500,00 575,00 2.500,00

2 2.500,00 62,50 500,00 562,50 2.000,00

3 2.000,00 50,00 500,00 550,00 1.500,00

4 1.500,00 37,50 500,00 537,50 1.000,00

5 1.000,00 25,00 500,00 525,00 500,00

6 500,00 12,50 500,00 512,50 -

Vamos explicar detalhadamente os cálculos das duas primeiras linhas da tabela acima

3.000,00 – corresponde ao saldo devedor inicial no primeiro mês. 75,00 – corresponde ao juro relativo ao primeiro mês. (2,5% de R$ 3.000,00). 500,00 – corresponde à amortização (pagamento do capital) do primeiro mês. O valor é obtido por meio da fórmula:

Amortização = Valor Financiado / Nº de parcelas. (500,00 = 3.000,00 / 6). Lembre-se que, neste sistema de financiamento, as amortizações são iguais para todos os meses. Então, temos que amortizar os R$ 3.000,00 nas seis parcelas a pagar, que corresponde a R$ 500,00 por mês.

575,00 – corresponde ao valor da prestação. Que é obtido por meio da fórmula:

Prestação = Juros + Amortização. (575,00 = 500,00 + 75,00) 2.500,00 – corresponde ao saldo devedor após o pagamento da primeira prestação. Seu valor é obtido por meio da fórmula:

Saldo Final = Saldo Inicial – Amortização. (2.500,00 = 3.000,00 – 500,00). Observe que, no cálculo do saldo final, aqui também não consideramos o valor do juro pago (R$ 75,00), pois este valor corresponde simplesmente ao aluguel do capital e não pode ser abatido da dívida, pois não se trata de amortização. 2.500,00 – corresponde ao saldo inicial do segundo mês. É claro que o saldo final do primeiro mês tem que ser igual ao saldo inicial do segundo mês. 62,50 – corresponde ao juro relativo ao segundo mês. (2,5% de R$ 2500,00). Note que o saldo devedor não é mais R$ 3.000,00 e, sim, R$ 2.500,00.


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500,00 – corresponde a amortização (pagamento do capital) do segundo mês. Que é constante.

562,50 – corresponde ao valor da prestação. Que é obtido por meio da fórmula: Prestação = Juros + Amortização. (562,50 = 500,00 + 62,50). 2.000,00 – corresponde ao saldo devedor após o pagamento da primeira prestação. Seu valor é obtido por meio da fórmula:

Saldo Final = Saldo Inicial – Amortização. (2.000,00 = 2.500,00 – 500,00). Observação: O restante da tabela segue o mesmo raciocínio. Agora é com você. Tente calcular os valores próximas linhas. É fazendo que se aprende. Mãos à obra!


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Exercícios propostos Observação: Os exercícios de 1 a 8 devem ser resolvidos usando apenas os conceitos apresentados até aqui. 1) Uma empresa tem os seguintes valores a pagar: R$ 12.000,00 vencidos há dois meses, R$ 9.600,00 com vencimento daqui a cinco meses e R$ 15.000,00 com vencimento daqui a oito meses. Se a taxa de juros vigente é de 1,25% a/m, pede-se: 1.1) Qual seria o valor único para liquidar a dívida hoje? Resposta: R$ 34.904,71 1.2) Qual seria o valor único para liquidar a dívida daqui a três meses? Resposta: R$ 36.230,07 1.3) Se a empresa se dispuser a dar uma entrada hoje de R$ 12.000,00 e pagar uma parcela de R$ 12.000,00 daqui a três meses e mais uma parcela adicional daqui a seis meses, qual seria o valor dessa parcela? Resposta: R$ 12.221,50 1.4) Se a empresa preferir efetuar três pagamentos iguais (mesmo valor nominal) daqui a dois, três e quatro meses, qual deve ser o valor desses pagamentos? Resposta: R$ 12.075,03 2) O preço de uma mercadoria, para pagamento a vista, é R$ 22.500,00. O fornecedor se propõe a efetuar a venda a prazo, mas cobra uma taxa de juros de 1,75% a/m. 2.1) Se o comprador der uma entrada de R$ 8.000,00 e pagar uma segunda parcela de R$ 7.000,00 após três meses, qual será o valor da parcela adicional que deverá ser paga no final do sexto mês? Resposta: R$ 8.716,72 2.2) Se o comprador quiser pagar em três parcelas consecutivas mensais e iguais (30, 60 e 90 dias), qual será o valor dessas parcelas? Resposta: R$ 7.764,02 2.3) Se o comprador quiser pagar em três parcelas consecutivas mensais e iguais (entrada, 30 e 60 dias), qual será o valor dessas parcelas? Resposta: R$ 7.630,48 3) Uma pessoa fez um financiamento pelo sistema SAC que foi contratado nas seguintes condições: Valor financiado: R$ 48.000,00; taxa de juros: 2,5% a/m; número de parcelas: 24. Calcular o valor da sexta parcela, o total de juros pago, o total amortizado e o saldo devedor após o pagamento dessa sexta parcela. Resposta: Sexta parcela = R$ 2.950,00. Juros = R$ 6.450,00 Amortização: R$ 12.000,00 Saldo devedor: R$ 36.000,00 4) Idem exercício anterior considerando o financiamento pelo sistema Price com prestação igual a R$ 2.683,82. Resposta: Sexta parcela = R$ 2.683,82. Juros = R$ 6.624,67 Amortização: R$ 9.478,25 Saldo devedor: R$ 38.521,75 5) Um financiamento de R$ 180.000,00 com prazo total de 24 meses, sendo seis meses de carência (onde serão pagos apenas juros trimestrais) e 18 meses de amortização. Compor a planilha do financiamento e calcular o total de juros pago, sabendo que a taxa de juros é igual a 2% a/m, usando o sistema: 5.1) SAC Resposta: Juros = R$ 42.088,92 5.2) Price com prestação igual a R$ 12.006,38. Resposta: Juros = R$ 58.149,69 5.3) Podemos afirmar que o custo do financiamento Price é maior do que o SAC?


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6) Uma pessoa financiou um veículo no valor de R$ 78.600,00 a uma taxa de 1,42% ao mês, sem entrada, perfazendo 36 parcelas mensais de R$ 2.803,87. Entretanto, após o pagamento da 12ª parcela, a pessoa não conseguiu pagar as três parcelas seguintes e, por isso, resolveu vender o veículo com o repasse do financiamento. 6.1) Calcular o total de juros, o total amortizado e o saldo devedor após o pagamento da 12ª parcela. Resposta: Juros = R$ 11.734,36 Amortização: R$ 21.912,08 Saldo devedor: R$ 56.687,92 6.2) Calcular o saldo devedor atualizado considerando as três parcelas em atraso e a mesma taxa de juros. Resposta: R$ 59.137,28 6.3) A pessoa que assumiu o financiamento deseja liquidá-lo em quatro parcelas mensais, iguais e consecutivas (entrada, 30 dias, 60 dias e 90 dias). Calcular o valor das parcelas considerando a mesma taxa de juros. Resposta: R$ 15.098,46 7) Uma empresa adquiriu determinado equipamento cujo valor a vista era igual a R$ 80.000,00 e resolveu amortizá-lo da seguinte maneira: Entrada: R$ 20.000,00 – 30 dias: R$ 10.000,00 – 60 dias: R$ 20.000,00 e 90 dias: R$ 30.000,00. Calcular o valor das prestações, sabendo que a taxa de juros é igual a 2,5% a/m. Resposta: 30 dias: R$ 11.500,00 – 60 dias: R$ 21.250,00 – 90 dias: 30.750,00 8) Uma empresa assumiu um financiamento de R$ 51.523,00, com prazo de quarenta e oito meses, taxa de juros de 0,85% a/m e correção monetária de 0,50% a/m. A empresa pagou regularmente apenas as cinco primeiras parcelas que foram: R$ 1.356,90 – R$ 1.358,99 – R$ 1.361,08 – R$ 1.370,96 – R$ 1.373,07. Daí para frente a empresa não pagou mais nada, mas no décimo mês resolveu depositar em juízo seis parcelas mensais consecutivas de R$ 1.200,00. Calcular o saldo devedor após o depósito em juízo da ultima parcela. Resposta: R$ 48.075,14.


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1.5 – Funções Financeiras Básicas do Excel e da HP 12C 1.5.1) As funções PGTO – TAXA – VF – VP do Excel São funções muito úteis na prática financeira das empresas, com elas podemos calcular a prestação de uma série de pagamentos iguais a uma determinada taxa de juros, a taxa de juros embutida em um financiamento, o valor futuro de uma série de pagamentos iguais a uma determinada taxa de juros e o valor presente de uma série de pagamentos iguais. Estes são os principais problemas da Matemática Financeira, que veremos a seguir. Muito importante: Antes de utilizar quaisquer funções financeiras no Excel temos que montar o fluxo de caixa da operação em estudo para evitar mensagens de erro. Significado das funções financeiras básicas: Função PGTO valor dos pagamentos ou recebimentos por período. (Equivale a PMT

na HP)

Função TAXA taxa de juros por período. (Equivale a i na HP)

Função VF valor futuro do fluxo de caixa. (Equivale a FV na HP)

Função VP valor presente ou valor inicial do fluxo de caixa. (Equivale a PV na HP)

Nper número de períodos do fluxo de caixa. (Equivale a n na HP)

Obs.: o número de períodos e a taxa de juros devem estar na mesma unidade de tempo, se o número de períodos for mensal, a taxa de juros também deve ser mensal; por outro lado, se o número de períodos for diário, a taxa de juros deve ser diária.

Tipo define se a operação é com entrada ou sem entrada. 0 (sem entrada) e 1 (com entrada). 1.5.2) As teclas n – i – PV – PMT – FV da HP-12C São teclas muito úteis na prática financeira das empresas, com elas podemos calcular a taxa de juros embutida em um financiamento, o valor presente de uma série de pagamentos iguais, a prestação de uma série de pagamentos iguais a uma determinada taxa de juros e o valor futuro de uma série de pagamentos iguais a uma determinada taxa de juros. Estes são os principais problemas da Matemática Financeira, que veremos a seguir. Sempre que utilizarmos as teclas financeiras, temos que, antes, limpar as memórias da calculadora, utilizando a sequência de teclas: f CLX. Se, após a introdução dos dados do fluxo de caixa de uma operação financeira aparecer a mensagem ERROR 5, quer dizer que houve erro de sinal na introdução dos dados. para evitar o ERROR 5, utilizaremos o valor presente (PV) sempre com sinal negativo. Significado das teclas financeiras básicas:

Tecla n número de períodos do fluxo de caixa. (Equivale a Nper no Excel)

Tecla i taxa de juros por período. (Equivale a TAXA no Excel)

Obs.: o número de períodos e a taxa de juros devem estar na mesma unidade de tempo, se o número de períodos for mensal, a taxa de juros também deve ser mensal; por outro lado, se o número de períodos for diário, a taxa de juros deve ser diária.


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Tecla PV valor presente ou valor inicial do fluxo de caixa. (Equivale a VP no Excel)

Tecla PMT valor dos pagamentos ou recebimentos por período. (Equivale a PGTO

no Excel) Tecla FV valor futuro do fluxo de caixa. (Equivale a VF no Excel)

1.5.3) Cálculo da taxa de juros de uma série de pagamentos iguais Sendo dados o valor financiado, o número de prestações e o valor das prestações, podemos calcular a taxa de juros da operação. Fórmula do Excel: = TAXA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) No cálculo da taxa de juros o Excel as vezes exige uma estimativa, que deverá ser apresentada em porcentagem, por exemplo: 1%. É claro que o valor calculado da taxa de juros independe do valor da estimativa. Exemplos: 1) Uma mercadoria, cujo preço a vista, é igual a R$ 565,00 pode ser financiada em três pagamentos iguais, sem entrada, de R$ 213,33. Calcular a taxa de juros do financiamento. Fluxo de caixa: 213,33 0 1 3 565,00 Solução no Excel: = TAXA (3;213,33;-565;0;0;1%) ENTER 6,50%.

Portanto, a taxa de juros do financiamento é igual a 6,5% ao mês. Solução na HP Esta é uma operação financeira sem entrada, temos que certificar que a calculadora está preparada para operar nessa condição. Para isto, utilizaremos a sequência de teclas: g e 8, que corresponde ao modo END (sem entrada).

Seqüência de teclas: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). 565 CHS PV (insere o preço à vista, para a calculadora entender a linguagem do fluxo de caixa, sempre que utilizarmos a tecla PV, usaremos, antes, a tecla CHS, que significa sinal negativo e, em operações financeiras, indica saída de caixa) 3 n (insere o número de prestações) 213,33 PMT (insere o valor das prestações) i 6,50 (significa que a taxa mensal de juros do financiamento é igual a 6,5%)


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2) Uma mercadoria custa, a vista, R$ 750,00, mas pode ser financiada em quatro pagamentos iguais, com entrada (1 + 3), de R$ 212,00. Calcular a taxa de juros do financiamento. Fluxo de caixa: 212,00 0 3 750,00

Solução no Excel: = TAXA(4;212;-750;0;1;1%) ENTER 8,86%.

Portanto, a taxa de juros do financiamento é igual a 8,86% ao mês. Solução na HP Trata-se de uma operação financeira com entrada, temos que certificar que a máquina está preparada para operar nessa condição. Para isto, digitaremos a sequência de teclas: g e 7, que corresponde ao modo BEG (com entrada). Quando a calculadora estiver operando no modo BEG (com entrada), aparece a palavra BEGIN no visor. Caso não apareça a palavra BEGIN no visor, a calculadora está operando no modo END (sem entrada). Seqüência de teclas: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 7 (prepara a calculadora para operar no modo BEG (com entrada)). 750,00 CHS PV (insere o preço a vista) 4 n (insere o número de prestações) 212 PMT (insere o valor das prestações)

i 8,86 (significa que a taxa mensal de juros do financiamento é igual a 8,86%). 1.5.4) Cálculo do valor presente de uma série de pagamentos iguais Sendo dados, a taxa de juros, o número de prestações e o valor das prestações, podemos calcular o valor presente da operação. Fórmula do Excel: =VP(taxa;nper;pgto;vf;tipo) Exemplos:


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1) Uma mercadoria pode ser financiada em 8 pagamentos iguais, sem entrada, iguais a R$ 145,50. Sabendo que a taxa mensal de juros está em 5 %, calcular o valor a vista do financiamento.

Fluxo de caixa: 145,50 0 1 8 VP

Solução no Excel: = VP(5%;8;145,50;0;0) ENTER - 940,40 (saída de dinheiro)

Portanto, o valor a vista do financiamento é igual a R$ 940,40 Solução na HP Seqüência de teclas: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 8 (prepara a calculadora para operar no modo END, sem entrada) 145,50 PMT (insere o valor das prestações) 8 n (insere o número de prestações) 5 i (insere a taxa de juros)

PV - 940,40 (indica o valor à vista do financiamento).

2) Uma mercadoria pode ser financiada em 12 pagamentos iguais, com entrada (1 + 11), de R$ 236,50. Sabendo que a taxa mensal de juros está em 7%, calcular o valor que deve ser pago a vista pela mercadoria. Fluxo de caixa: 236,50 0 11 PV

Solução no Excel: = VP(7%;12;236,50;0;1) ENTER - 2.009,94 (saída de dinheiro) Portanto, o valor a vista do financiamento é igual a R$ 2.009,94 Solução na HP Seqüência de teclas: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 7 (prepara a calculadora para operar no modo BEG, com entrada)


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236,50 PMT (insere o valor das prestações) 12 n (insere o número de prestações) 7 i (insere a taxa de juros)

PV - 2.009,94 (indica o valor que deve ser pago a vista). 1.5.5) Cálculo do valor da prestação numa série de pagamentos iguais Sendo dados, o valor presente, a taxa de juros e o número de prestações, podemos calcular o valor das prestações da operação. Fórmula do Excel: = PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo) Exemplos: 1) Uma empresa assumiu uma dívida de R$ 38.550,00, sendo o pagamento em seis prestações mensais iguais, sem entrada, a uma taxa de juros igual a 4,5% a/m. Calcular o valor das prestações. Fluxo de caixa: PGTO 0 1 6 38.550,00

Solução no Excel: = PGTO(4,5%;6;-38550;0;0) ENTER 7.474,01 Portanto, o valor das prestações do financiamento é igual a R$ 7.474,01 Solução na HP Seqüência de teclas f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). 38550 CHS PV (insere o valor presente da dívida) 6 n (insere o número de prestações) 4,5 i (insere a taxa mensal de juros)

PMT 7.474,01 (indica o valor de cada prestação mensal) 2) Uma mercadoria é vendida, a vista, por R$ 218,36, calcular o valor das prestações para o pagamento em 5 parcelas iguais, com entrada (1 + 4), sendo a taxa de juros igual a 3% a/m.

Fluxo de caixa: PGTO 0 3


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218,36 Solução no Excel: = PGTO(3%;5;-218,36;0;1) ENTER 46,29

Portanto, o valor das prestações do financiamento é igual a R$ 46,29. Solução na HP Seqüência de teclas f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 7 (prepara a calculadora para operar no modo BEG - com entrada) 218,36 CHS PV (insere o valor presente da dívida) 5 n (insere o número de prestações) 3 i (insere a taxa mensal de juros)

PMT 46,29 (indica o valor de cada prestação mensal)

1.5.6) Cálculos envolvendo o valor futuro de uma série uniforme Em diversas situações necessitamos atualizar o valor de uma dívida, ou calcular o valor presente de uma duplicata que irá vencer daqui a alguns dias, ou então calcular a taxa efetiva obtida numa aplicação financeira, etc. Todas as situações citadas anteriormente, envolvem o valor futuro. Fórmula do Excel: =VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo) Exemplos: 1) Uma dívida no valor de R$ 3.450,00 com vencimento para hoje foi prorrogada por 22 dias. Sabendo que a taxa de juros diária é igual a 0,32%. Calcular o valor a ser pago daqui a 22 dias. Fluxo de caixa: FV

0 22

3.450,00 Solução no Excel: = VF(0,32%;22;0;-3450; 0) ENTER 3.701,22

Portanto, o valor futuro da dívida é igual a R$ 3.701,22. Solução na HP


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f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). 3450 CHS PV (insere o valor da duplicata hoje) 22 n (insere o número de dias da prorrogação) 0,32 i (insere a taxa diária)

FV 3.701,22 (indica o valor a ser pago) 2) Uma pessoa vai fazer doze depósitos mensais de R$ 1.350,00 a partir de hoje em uma aplicação financeira que rende 1,25% ao mês. Calcular o saldo que pessoa terá ao final dos doze meses. Fluxo de caixa: 1.350,00 0 12 FV

Solução no Excel: = VF(1,25%;12;1350;0; 1) ENTER - 17.578,51 Portanto, o valor futuro da aplicação é igual a R$ 17.578,51. Solução na HP f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 7 (prepara a calculadora para operar no modo BEG - com entrada) 1350 PMT (insere o valor dos depósitos, como é saída de dinheiro, deve-se colocar sinal negativo) 12n (insere o prazo) 1,25 i (insere a taxa diária) FV - 17.578,51 (indica o valor futuro da aplicação, ou seja, o saldo ao final dos

doze meses)

1.5.7) Funções Financeiras Adicionais: as funções VPL e TIR Nem sempre os valores dos pagamentos ou recebimentos, em cada período do fluxo de caixa, são iguais. Na prática financeira das empresas podemos estar diante de um fluxo de caixa deste tipo: 5.000 6.000 4.000 5.000 8.000 0 1 2 3 4 5


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20.000 Esse fluxo de caixa indica que houve um investimento (saída) inicial de R$ 20,000.00 e recebimentos (entradas) mensais de R$ 5.000,00 no fim do primeiro mês, R$ 6.000,00 no fim do segundo mês, R$ 4.000,00 no fim do terceiro mês, R$ 5.000,00 no fim do quarto mês e R$ 8.000,00 no fim do quinto mês. Significado das funções financeiras adicionais VPL – Calcula o valor líquido de um fluxo de caixa com base em uma taxa de juros e uma série de entradas e saídas de caixa. (Equivale a NPV na HP). TIR – Calcula a taxa interna de retorno de um fluxo de caixa. (Equivale a IRR na HP). 1.5.7.1) Cálculo do Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa Fórmula do Excel: = VPL(Taxa;valor1;valor2;...) + Valor 0 Exemplo: Uma indústria está analisando a viabilidade de adquirir equipamentos para a montagem de mais uma unidade de produção. O valor dos equipamentos é de R$ 500.000,00, com vida útil prevista para dez anos e valor de revenda estimado em R$ 25.000,00. As receitas líquidas anuais estão estimadas em R$ 200.000,00, por ano, durante os dois primeiros anos; R$ 210.000,00, por ano, nos três anos seguintes; R$ 95.000,00 no sexto ano; R$ 195.000,00 para os três anos seguintes e R$ 180.000,00 para o décimo ano. Para o final do sexto ano está prevista uma reforma geral nos equipamentos no valor de R$ 105.000,00. Calcular o valor atual do fluxo de caixa do investimento para uma taxa de juros de 30% a/a.

Composição do fluxo de caixa: Ano 0: saída de R$ 500.000 Ano 1: entrada de R$ 200.000 Ano 2: entrada de R$ 200.000 Ano 3: entrada de R$ 210.000 Ano 4: entrada de R$ 210.000 Ano 5: entrada de R$ 210.000 Ano 6: entrada de R$ 95.000 e saída de R$ 105.000 (reforma) = saída de R$ 10.000 Ano 7: entrada de R$ 195.000 Ano 8: entrada de R$ 195.000 Ano 9: entrada de R$ 195.000 Ano 10: entrada de 180.000 + entrada 25.000.00 (revenda) = entrada de R$ 205.000

Solução no Excel:

A B


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1 Fluxo de Caixa

2 Anos R$

3 0 (500.000)

4 1 200.000

5 2 200.000

6 3 210.000

7 4 210.000

8 5 210.000

9 6 (10.000)

10 7 195.000

11 8 195.000

12 9 195.000

13 10 205.000

14 VPL =VPL(30%;B4:B13)+B3

Ao digitar a fórmula do VPL no Excel e pressionar Enter aparece o resultado → 84.028,54 Então o valor presente líquido do investimento é igual a R$ 84.028,54. Solução na HP f FIN 500000 CHS g Cfo 200.000 g Cfj 2 g NJ 2100000 g Cfj 3 g Nj 10000 CHS g Cfj 195000 g Cfj 3 g Nj 205000 g Cfj f NPV → 84.028,54 A tecla NPV que é obtida pressionando a tecla f seguida da tecla PV nos informa o valor presente de um fluxo de caixa, ou seja, o saldo financeiro do fluxo de caixa (entradas - saídas) na data de hoje, considerando determinada taxa de juros. 1.5.7.2) Cálculo da taxa de retorno de um fluxo de caixa Fórmula do Excel: = TIR(valores;estimativa) Exemplo: Vamos aproveitar o fluxo de caixa do exemplo anterior e calcular a taxa interna de retorno do investimento. Solução no Excel:

A B

1 Fluxo de Caixa

2 Anos R$

3 0 (500.000)

4 1 200.000


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5 2 200.000

6 3 210.000

7 4 210.000

8 5 210.000

9 6 (10.000)

10 7 195.000

11 8 195.000

12 9 195.000

13 10 205.000

14 TIR =TIR(B3:B13)

Ao digitar a fórmula da TIR no Excel e pressionar Enter aparece o resultado → 36,41 Então a taxa interna de retorno do investimento é igual a 36,41% ao ano. Solução na HP A tecla IRR, que é obtida pressionando a tecla f seguida da tecla FV, nos informa a taxa de retorno de um fluxo de caixa. A taxa de retorno obtida estará na mesma unidade de tempo dos períodos do fluxo de caixa, por exemplo, se os recebimentos ou pagamentos forem mensais, a taxa de retorno será também mensal; se, por outro lado, os recebimentos e pagamentos forem anuais, taxa de retorno será também anual, e assim por diante. Vamos aproveitar o fluxo de caixa do exemplo anterior, que já está inserido na calculadora (a não ser que você limpou as memórias), e calcular a taxa de retorno do investimento. (Se você limpou as memórias da calculadora, digite novamente o fluxo de caixa anterior). Para obter a taxa de retorno do fluxo de caixa, basta digitar a tecla f seguida da tecla FV, tendo como resultado o valor 36.41, isto significa que a taxa de retorno anual (pois os períodos estão em anos) do investimento é igual a 36,41%, que, como já era de se esperar, maior que a taxa de juros anual. 1.5.7.3) Mensagem de erro da HP-12C no cálculo da TIR Exemplo: Os técnicos de uma indústria estão analisando a viabilidade da compra de uma máquina no valor de R$ 100.000,00, com vida útil de cinco anos e que tem capacidade de produção prevista para os próximos cinco anos. Como a partir do sexto ano a produção deverá crescer bastante a indústria terá que substituir a máquina por duas do mesmo porte ao final do quinto ano. O valor residual das máquinas é R$ 10.000,00. As receitas líquidas anuais para os próximos dez anos estão estimadas em R$ 45.000,00 para os cinco primeiros anos, R$ 70.000,00 para os dois anos seguintes e R$ 90.000,00 para os três últimos anos. Calcular a taxa interna de retorno dessas máquinas. Composição do fluxo de caixa Ano 0: saída de R$ 100.000,00 Anos 1ao 4: entrada de R$ 45.000,00 por ano Ano 5: saída de R$ 145.000,00 (R$ 45.000,00 + R$ 10.000,00 – R$ 200.000,00) Anos 6 ao 7: entrada de 70.000,00 por ano


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Anos 8 ao 9: entrada de 90.000,00 Ano 10: entrada de R$ 110.000,00 (R$ 90.000,00 + R$ 20.000) Solução no Excel:

A B

1 Fluxo de Caixa

2 Anos R$

3 0 (100.000,00)

4 1 45.000,00

5 2 45.000,00

6 3 45.000,00

7 4 45.000,00

8 5 (145.000,00)

9 6 70.000,00

10 7 70.000,00

11 8 90.000,00

12 9 90.000,00

13 10 110.000,00

14 TIR =TIR(B3:B13)

Ao digitar a fórmula da TIR no Excel e pressionar Enter aparece o resultado → 33,95 Então a taxa interna de retorno do investimento é igual a 33,95% ao ano. Nesse fluxo de caixa o Excel não apresentou mensagem de erro, mas se aparecer alguma mensagem de erro basta digitar a estimativa solicitada na fórmula da TIR do Excel. Solução na HP f FIN 100.000 CHS g Cfo 45.000 g Cfj 4 g NJ 145.000 CHS g Cfj 70.000 g Cfj 2 g NJ 90.000 g Cfj 2 g Nj 110.000 g Cfj f IRR → Error 3 A calculadora não conseguiu calcular a TIR diretamente e precisamos inserir uma estimativa para a TIR. Vamos inserir uma estimativa de 20% para a TIR. O valor da estimativa não influi no resultado. Faça o teste. CLX 20 RCL g PSE → 33,95% A mensagem de erro aparece em alguns fluxos de caixa que apresentam mais de uma inversão de entrada e saída de caixa, como ocorreu nos anos 0 para o ano 1 e no ano 5 para o ano 6. Nesse caso basta digitar CLX para limpar a mensagem de erro, inserir uma estimativa e digitar a seqüência de teclas RCL g PSE.


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1.6 – Taxas de Juros 1.6.1) Taxas Proporcionais – Juros simples Duas ou mais taxas são proporcionais quando aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante no regime de juros simples. As taxas de Juros Simples têm sua conversão de unidades de tempo por simples proporcionalidade. As taxas proporcionais são muito utilizadas em juros de mora e descontos bancários. Usaremos as seguintes notações: ia = taxa anual - is = taxa semestral - it = taxa trimestral - im = taxa mensal - id = taxa diária Exemplos: 1) Calcular a taxa mensal proporcional a 60% a/a. Usaremos o critério de proporcionalidade: im = ia / 12 então im = 60% / 12 onde: im = 5% 2) Calcular a taxa mensal proporcional a 0.20% a/d. Usaremos o critério de proporcionalidade: im = id x 30 então im = 0,20 x 30 onde: im = 6%

1.6.2) Taxas Equivalentes – Juros compostos Duas ou mais taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante no regime de juros compostos.

(1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1 + is)2 = (1 + ia) Exemplos: 1) Calcular a taxa anual equivalente a taxa de 3% ao mês Solução Usando a relação: (1 + im)12 = (1 + ia) então: (1 + 0,03)12 = 1 + ia aonde ia = 0,4258 ou 42,58% Na HP 12C f FIN 100 CHS PV (utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o montante) 3 i (que é a taxa mensal de juros) 12 n (para repetir 12 vezes a taxa mensal)


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FV → 142,58 (um investimento de 100 gerou um montante de 142,58, que corresponde a um ganho de 42,58 % ao ano). No Excel =VF(3%;12;0;-100;0) → 142,58 (um investimento de 100 gerou um montante de 142,58, que corresponde a um ganho de 42,58 % ao ano). 2) Calcular a taxa diária equivalente a 50% ao ano Solução Usando a relação: (1 + id)360 = (1 + ia) então: (1 + id)360 = 1 + 0,50 onde id = 0,0011ou 0,11% Na HP 12C f FIN 100 CHS PV (utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o montante) 150 FV ( representa o montante relativo a uma taxa de juros de 50 % ao ano) 360 n (para repetir 360 vezes a taxa diária) i → 0,11 (0,11% ao dia – representa a taxa diária de juros). No Excel: =TAXA(360;0;-100;150;1%) → 0,11% (0,11% ao dia – representa a taxa diária de juros). 3) Calcular a taxa trimestral equivalente a 1,75% ao mês Solução Usando a relação: (1 + im)12 = (1 + it)4 simplificando os expoentes: (1 + im)3 = (1 + it) então: (1 + 0,0175)3 = 1 + it onde it = 0,0534 ou 5,34% Na HP 12C f FIN 100 CHS PV (utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o montante) 1,75 i (que é a taxa mensal de juros) 3 n (para repetir 3 vezes a taxa mensal) FV → 105,34 (um investimento de 100 gerou um montante de 105,34, que corresponde a um ganho de 5,34 % ao trimestre). No Excel =VF(1,75%;3;0;-100;0) → 105,34 (um investimento de 100 gerou um montante de 105,34, que corresponde a um ganho de 5,34 % ao trimestre). 4) Calcular a taxa mensal equivalente a 20% ao ano Solução Usando a relação: (1 + im)12 = (1 + ia)


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então: (1 + im)12 = 1 + 0,30 resolvendo a equação, temos: im = 0,0153 ou 1,53% Na HP 12C f FIN 100 CHS PV (utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o montante) 120 FV ( representa o montante relativo a uma taxa de juros de 20 % ao ano) 12 n (para repetir 12 vezes a taxa diária) i → 1,53 (1,53% ao mês – representa a taxa mensal de juros). No Excel: =TAXA(12;0;-100;120;1%) → 1,53% (1,53% ao dia – representa a taxa mensal de juros). 1.6.3) Taxa efetiva ou Taxa real

É a taxa que cumpre com o princípio da equivalência de capitais, isto é, a taxa efetiva de uma operação é a taxa na qual se verifica que a soma algébrica dos capitais participantes da operação, descontados ou capitalizados em qualquer data, é sempre nula. A taxa efetiva é a taxa que deve ser considerada nos cálculos de viabilidade de projetos e também nos cálculos de captação ou aplicação de recursos financeiros. É a taxa que nos fornece o valor dos juros produzidos a serem efetivamente pagos ou recebidos. Taxas efetivas são expressas na mesma unidade de tempo da capitalização dos juros. Esta é a taxa que usamos para fazer nossas contas.

1.6.4) Taxas Nominais São as taxas expressas para um período inteiro, que não coincide com o período da capitalização. Por exemplo uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal significa que a taxa efetiva é 2% ao mês. Não usamos as taxas nominais para fazer nossos cálculos. Taxa nominal é aquela em que a unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em ano e é bastante utilizada no mercado, mas seu valor nunca poderá ser usado nos cálculos financeiros, pois não representam uma taxa efetiva. Exemplos: 1) Transformar para taxa efetiva a taxa nominal de 60% a/a capitalizada: 1.1) diariamente 1.2) mensalmente Solução 1.1) 60% ao ano, capitalizada diariamente: Taxa efetiva = 60% / 360 onde:


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Taxa efetiva = 0,1667 % a/d 1.2) 60% ao ano, capitalizada mensalmente: Taxa efetiva = 60% / 12 onde: Taxa efetiva = 5% a/m 2) Transformar para taxa nominal capitalizada mensalmente a taxa efetiva de 24% a/a Solução Inicialmente vamos transformar a taxa efetiva de 24% ao ano em taxa efetiva mensal: No Excel: =Taxa(12;0;-100;124;0;1%) → 1,8088 (a taxa efetiva mensal é 1,8088%) Agora, basta multiplicar a taxa efetiva mensal por 12: Taxa nominal = 1,8088 x 12 onde taxa nominal = 0,2171 ou 21,71% ao ano capitalizada mensalmente. Sugestão ao leitor: Tirar a prova, ou seja: transformar para taxa efetiva a taxa nominal de 21,71% ao ano, capitalizada mensalmente. Resposta: 24% ao ano. 1.6.5) Taxa Over É uma taxa nominal mensal, cuja proporcional diária, quando capitalizada segundo as regras da capitalização composta, pelo número de dias úteis contidos no período considerado de 30 dias corridos, equivale a uma taxa mensal efetiva.

inTO 11

3000

TO taxa over em porcentagem

n número de dias úteis da operação i taxa efetiva mensal da operação.

Exemplos: 1) Calcular a taxa efetiva mensal correspondente a taxa over de 3% em 21 dias úteis. Solução Aplicando a fórmula da Taxa Over: i 11

21

30003 Resolvendo a equação, temos: i = 0,0212 ou 2,12%

2) Calcular a taxa over para 23 dias úteis equivalente a uma taxa efetiva de 5% a/m. Solução Aplicando a fórmula da Taxa Over:


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05,01123

3000 TO

Resolvendo a equação, temos: TO = 6,37%

1.6.6) Rendimento Real

Rendimento real de uma aplicação ou captação de recursos é o rendimento descontado a taxa de inflação acumulada no período de captação ou aplicação.

111

fiRR

onde:

RR rendimento real de uma aplicação ou custo real de uma captação

i taxa efetiva no período de aplicação ou captação, em forma centesimal.

f taxa de inflação acumulada no período, em forma centesimal.

Exemplo: Uma empresa captou R$ 50.000,00 num banco e pagou R$ 82.500,00 após 6 meses. Sabendo que a inflação mensal no período foi, respectivamente, 2,5% - 1,75% - 2,80% - 3,20% - 2,80% e 3,00%, calcule o custo real no período e o custo mensal médio da captação. Solução i) Custo real da captação no período Taxa efetiva no período: i = (82.500 / 50.000) – 1 onde i = 0,65 ou 65% Taxa de inflação acumulada: f = [(1+0,025) x (1+0,0175) x (1+0,028) x (1+0,032) x (1+0,028) x (1+0,03)] – 1 onde f = 0,1716 ou 17,16 % no período

Aplicando a fórmula do rendimento real: 11716,01

65,01

RR onde RR =

0,4083 ou 40,83%. Então, podemos afirmar que o custo real da captação (descontada a inflação) foi de 40,83% no período ii) Custo mensal médio da captação Para calcularmos o custo mensal médio da captação basta transformarmos a taxa de 40,83% em seis meses para a taxa mensal Excel:


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=TAXA(6;0;-100;140,83;0;1%) → 5,87 (a taxa média mensal real da captação foi de 5,37% a/m)


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1.7 – Cálculo da taxa anual de juros para prestações diferentes e períodos não uniformes no Excel

Exemplo:

Uma empresa fez um financiamento na modalidade de conta garantida em 15/04/2010 no valor de R$ 12.500,00 e pagou nos valores relacionados nas datas abaixo:

A B

1 Data Valor

2 15/4/2010 (12.500,00)

3 28/4/2010 2.000,00

4 7/5/2010 2.500,00

5 15/5/2010 3.000,00

6 28/5/2010 3.000,00

7 5/6/2010 2.500,00

8 Taxa anual =XTIR(B2:B7;A2:A7;10%)

Ao digitar a fórmula da XTIR no Excel e pressionar ENTER aparece o resultado → 54,76% Então a taxa de juros cobrada pelo banco foi de 54,76% ao ano. Podemos transformar a taxa de 54,76% ao ano em taxa mensal: No Excel: =TAXA(12;0;-100;154,76;0;1%) ENTER → 3,71% Na HP-12C f FIN 12 n 100 CHS PV 154,76 FV i → 3,71 Então, a taxa cobrada pelo banco foi de 3,71% ao mês ou 54,76 % ao ano.


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1.8 – Desconto de duplicatas Quando uma empresa tem problemas em seu fluxo de caixa ela poderá realizar desconto de duplicatas para adiantar um recebimento futuro. Nessa operação a empresa antecipa o recebimento do dinheiro, que só teria disponível no futuro. 1.8.1) Taxa de desconto Uma instituição financeira realiza operações de empréstimo de acordo com os seguintes critérios: a) o prazo de operação é de n meses b) a taxa cobrada pela instituição é de d% a/m c) os juros são pagos antecipadamente Então, se o cliente desejar um empréstimo de R$ 10.000,00, durante três meses, a uma taxa de desconto de 2,5% a/m, deverá assinar uma nota promissória de R$ 10.000,00, com vencimento em três meses. Os juros da operação serão de 7,5% (2,5% x 3), ou seja, R$ 750,00 (7,5% de 10.000,00) O valor líquido recebido pelo cliente, na data da operação, será de R$ 9.250,00, uma vez que os juros são pagos antecipadamente.

Exemplos: 1) Uma empresa oferece as seguintes duplicatas para serem descontadas em um banco: Vencimento - dias Valor - R$ 30 5.250,00 60 4.350,00 Sabendo que a taxa de desconto foi acertada em 3.6% a/m e que o IOF é de 0.0083% ao dia, qual será o valor a ser creditado na conta dessa empresa? Solução Taxa diária proporcional a 3.6% a/m = 3.6/30 = 0.12% a/d Transformação da taxa diária de 0.12% em decimal: 0.12/100 = 0.0012 1ª duplicata

Desconto: 5250 ENTER 0.0012 x 30 x R$ 189.00

IOF no período: 0.0083 ENTER 30 x 0,249%

Valor do IOF: 5250 ENTER 0,249 % R$ 13.07

Crédito referente a 1ª duplicata: 5250 ENTER 189 - 13.07 - R$ 5,047.93

2ª duplicata

Desconto: 4350 ENTER 0,0012 x 60 x R$ 313,20

IOF no período: 0,0083 ENTER 60 x 0,498%


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Valor do IOF: 4350 ENTER 0,498 % R$ 21,66

Crédito referente a 2ª duplicata: 4350 ENTER 313,20 – 21,66 - R$ 4.015,14

Crédito Total: 5047,93 ENTER 4015,14 + R$ 9.063,07

Nas operações de desconto de duplicatas pode existir outro custo adicional que não foi considerado, que é a exigência de saldo médio a título de reciprocidade. No exemplo seguinte usaremos tal custo adicional. 2) Uma empresa oferece a um banco R$ 13.568,00 em duplicatas para desconto, todas com vencimento em 30 dias. Calcular o total do crédito a ser liberado na conta da empresa, sabendo que a taxa de desconto é de 4,5% a/m, o IOF é de 0,0083% a/d sobre o valor da operação e que a empresa deverá manter um saldo médio, em conta corrente, de 10% do valor liberado, a título de reciprocidade. Solução

Desconto: 13568 ENTER 0,045 x R$ 610,56

IOF no período: 30 ENTER 0,0083 x = 0,249% a/m

Valor do IOF: 13568 ENTER 0,249 % R$ 33,78

Valor a ser creditado: 13568 ENTER 610,56 – 33,78 - R$ 12.923,66

Deste total descontam-se 10%, que deverão ficar em conta corrente, restando R$ 11.631,29 (12923.66 ENTER 10 % - 11.631,29), que serão liberados para a

empresa. Trinta dias depois a empresa terá de volta os 10% (R$ 1.292,37) que ficaram em conta corrente. Deste modo, na verdade a empresa apresentou R$ 13.568,00 em duplicatas, mas recebeu R$ 1.292,37 na data do vencimento das mesmas. Para calcularmos o custo financeiro da operação temos que levar em conta que a empresa recebeu o adiantamento de R$ 11.631,29 em relação a apenas R$ 12.275,63 (R$ 13.568,00 menos R$ 1.292,37). Cálculo do custo financeiro mensal da operação – HP 12C f FIN (limpa as memórias da calculadora) 11631,29 CHS PV (insere o valor presente da operação) 1 n (insere o prazo, em meses) 12275,63 FV (insere o valor futuro da operação)

i 5,54 (indica o custo financeiro mensal, em porcentagem, da operação)


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1.9 – Recupere o capital investido em seu curso Creio que ninguém discorda que formar um profissional em uma faculdade particular custa muito caro no Brasil. Mas será que o retorno financeiro compensa o investimento? Geralmente, uma pessoa opta por fazer um curso superior porque a visão no país é que, se é ruim pagar faculdade, pior é ficar sem curso superior. Pesquisas realizadas recentemente comprovam que este pensamento é correto: “O Brasil é o país latino-americano com mais altos retornos – melhores salários – entre quem vai á universidade e os demais”. Quanto uma pessoa deve obter de retorno financeiro mensal para compensar o investimento? Esse retorno financeiro mensal deve ser entendido como o acréscimo mensal no salário que a pessoa vai passar a ter após a conclusão do curso superior. Exemplo: Vamos analisar a situação de um estudante de curso superior cujo custo com mensalidade, transporte e material escolar é igual a R$ 1.000,00 por mês e a duração do curso é dez semestres (60 meses). Inicialmente vamos calcular no Excel o valor futuro desses R$ 1.000,00 mensais colocados numa caderneta de poupança com rendimento médio mensal de 0,66% a/m. =VF(0,66%;60;-1000;0;0) → 73.323,84 Isso significa que se o estudante tivesse aplicado os R$ 1.000,00 mensais em uma caderneta de poupança por um período de 60 meses ele teria a quantia de R$ 73.323,84 no final do período. Como o estudante optou por investir os R$ 1.000,00 mensais no curso superior ele não tem o montante acima em sua conta. O importante agora é calcular quanto o recém formado deve ganhar a mais no seu salário para recuperar o capital investido em cinco anos: Fluxo de caixa: PGTO 0 1 60 73.323,84 No Excel: =PGTO(0,66%;60;-73323,84;0;0) → 1.483,94 Para recuperar os R$ 73.323,84 em cinco anos, o estudante deverá ter um rendimento médio mensal no período de R$ 1.483,94 acima do rendimento que ele teria se não


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tivesse feito o curso, ou seja, um aumento no seu salário de R$ 1.483,94 por ter feito o curso superior. Faça a adaptação para o seu caso particular. Usando o modelo acima você poderá calcular o rendimento mensal que precisa obter para recuperar o capital no prazo que desejar, de acordo com o seu gasto médio mensal e duração do seu curso. A metodologia acima poderá ser usada para qualquer tipo de curso. O recém formado em qualquer curso superior começa ganhando menos, mas os rendimentos vão aumentando com a experiência e com a elevação do nível de escolaridade, por isso usamos o termo rendimento médio mensal. Todo estudante deve montar um plano de ação, com as metas financeiras bem definidas, para a sua carreira profissional. Um dos objetivos desse plano de ação deve ser o retorno do capital investido mais rápido possível. Para ter sucesso no mercado de trabalho o profissional recém formado deve desde o início do curso procurar desenvolver algumas capacidades importantes, entre elas podemos citar: a capacidade para a aquisição autônoma e permanente da informação e do conhecimento; a capacidade empreendedora e de liderança; a capacidade para trabalho em equipe multidisciplinar e a capacidade de comunicação oral e escrita em mais de uma língua, uma delas sendo necessariamente o inglês. O estudo feito acima só levou em consideração a viabilidade econômico-financeira de se fazer um curso superior. Podemos citar outras vantagens reais, mas não mensuráveis, tais como: o desenvolvimento cultural da pessoa, a melhoria do ambiente e das condições de trabalho, mais oportunidades de trabalho etc.

1.10 – Quanto pedir de desconto nas compras a vista? É claro que o preço a prazo não pode ser igual ao preço a vista. Se você for pagar a vista tem o direito de reivindicar descontos. Exemplo: Vamos montar uma tabela de descontos que devem ser reivindicados para pagamentos a vista. Para isso vamos usar a taxa de desconto de 3 % ao mês, pois, pagando a vista, você não deve pagar riscos de inadimplência, custos operacionais do financiamento e impostos sobre este. Para iniciar a tabela vamos considerar o preço de uma mercadoria igual a R$ 100,00 que pode ser dividido em três prestações iguais com entrada, sendo R$ 33,33 cada prestação (100/3) Usando a taxa de juros de 3% ao mês vamos calcular no Excel o preço a vista correspondente: =VP(3%;3;33,33;0;1) ENTER → 97,11 Ou seja: para o pagamento a vista o valor seria R$ 97,11 ao invés de R$ 100,00, portanto devemos reivindicar um desconto de 2,89% Vamos considerar agora a mesma situação acima, mas se o financiamento for sem entrada: =VP(3%;3;33,33;0;0) ENTER → 94,28 Ou seja: para o pagamento a vista o valor seria R$ 94,28 ao invés de R$ 100,00, portanto devemos reivindicar um desconto de 5,72%


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Ou seja: para o pagamento a vista o valor seria R$ 97,11 ao invés de R$ 100,00, portanto devemos reivindicar um desconto de 2,89% Dando sequência à montagem da tabela vamos considerar o preço de uma mercadoria igual a R$ 100,00 que pode ser dividido em quatro prestações iguais com entrada, sendo R$ 25,00 cada prestação (100/4) Usando a taxa de juros de 3% ao mês vamos calcular no Excel o preço a vista correspondente: =VP(3%;4;25;0;1) ENTER → 95,72 Ou seja: para o pagamento a vista o valor seria R$ 95,72 ao invés de R$ 100,00, portanto devemos reivindicar um desconto de 4,28% Vamos considerar agora a mesma situação acima, mas se o financiamento for sem entrada: =VP(3%;4;25;0;0) ENTER → 92,93 Ou seja: para o pagamento a vista o valor seria R$ 92,93 ao invés de R$ 100,00, portanto devemos reivindicar um desconto de 5,72% Ou seja: para o pagamento a vista o valor seria R$ 97,11 ao invés de R$ 100,00, portanto devemos reivindicar um desconto de 7,07% Seguindo o mesmo raciocínio podemos montar a tabela abaixo que você de reproduzir e guarda-la na carteira, pois ela pode ser útil no momento de uma negociação.

CÁLCULO DO DESCONTO A VISTA

Nº. de Percentual de desconto

parcelas Com entrada Sem entrada

3 2,89% 5,72%

4 4,28% 7,07%

5 5,66% 8,41%

6 7,00% 9,71%

7 8,33% 11,00%

8 9,62% 12,25%

9 10,89% 13,49%

10 12,14% 14,70%

12 14,56% 17,05%

18 21,30% 23,59%

24 27,32% 29,44%

30 32,71% 34,67%

36 37,54% 39,35%


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Exercícios resolvidos e comentados

01) Calcular o montante acumulado em seis meses, a uma taxa de juros de 2,5% a/m a partir de um principal de R$ 25.000,00. Solução Excel: =VF(2,5%;6;0;-25000;0) → 28.992,34 HP 12C: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). 2,5 i 6 n 25000 CHS PV FV → 28.992,34 Obs: A ordem de uso das teclas não influencia o resultado. 02) Uma loja de eletrodomésticos financia as compras em quatro prestações mensais iguais a uma taxa de 4,5% a/m. Calcular o valor da prestação para uma compra de R$ 2.560,00. 2.1) sem entrada 2.2) com entrada Solução 2.1) sem entrada Excel =PGTO(4,5%;4;-2560;0;0) → 713,58 HP 12C: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 8 (para certificar que a operação será sem entrada) 4,5 i 4 n 2560 CHS PV PMT → 713,58 2.2) com entrada Excel =PGTO(4,5%;4;-2560;0;1) → 682,86 HP 12C: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 7 (para certificar que a operação será com entrada – aparece a palavra BEGIN no visor)


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4,5 i 4 n 2560 CHS PV PMT → 682,86 03) Um financiamento foi concedido a uma taxa de 2,85% a/m para ser pago em doze prestações mensais e iguais a R$ 752,50. Calcular o valor do principal desse financiamento. Solução Excel =VP(2,85%;12;752,50;0;0) → (7.557,90) (Esse é o preço a vista do financiamento). O valor é negativo por questão de coerência do fluxo de caixa. HP 12C: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). g 8 (para certificar que a operação será sem entrada) 2,85 i 12 n 752,50 PMT PV → - 7.557,90) 04) Um automóvel custa a vista R$ 32.500,00 e pode ser financiado em vinte e quatro parcelas de R$ 2.056,00, sem entrada, Calcular a taxa de juro mensal cobrada nesse financiamento. Solução Excel =TAXA(24;2056;-32500;0;0;1%) → 3,65% (1% da fórmula refere-se a estimativa que o Excel pede para o cálculo da taxa de juros. A estimativa pode ser qualquer valor em porcentagem, que não afeta o resultado e nem sempre é necessário colocá-la). HP 12C: f FIN (limpa as memórias financeiras da calculadora). 24 n 2056 PMT 32500 CHS PV i → 3,65% 05) Uma pessoa dispõe de R$ 3.600,00 por mês para pagar as doze prestações mensais relativas a um financiamento cujo principal é de R$ 45.000,00. Calcular o valor que deve ser dado de entrada para que o financiamento seja contratado a uma taxa de 3,6% a/m.


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Solução Excel Cálculo do valor presente relativo às doze prestações de R$ 3.600,00: =VP(3,6%;12;3600;0;0) → (34.584,16) Então, o valor presente das doze parcelas do financiamento é igual a R$ 34.584,16. Como o financiamento é de R$ 45.000,00, precisamos dar uma entrada de R$ 10.415,84 (45.000,00 – 34.548,16) para quitá-lo. 06) Uma empresa fez um financiamento de R$ 323.000,00 para compra de um equipamento e pagou da seguinte maneira: R$ 8.075,00 de encargos financeiros na liberação do credito, quatro parcelas semestrais de R$ 19.525,29, três parcelas semestrais de R$ 57.520,88, três parcelas semestrais de R$ 50.172,64 e duas parcelas semestrais de R$ 45.273,82. Calcular a taxa efetiva semestral do financiamento. Solução Excel Vamos compor o fluxo de caixa do financiamento na ótica do banco. Lembre-se de que na data inicial houve uma saída de R$ 323.000,00 e uma entrada de R$ 8.075,00, que corresponde a uma saída resultante de R$ 314.925,00

A B

1 FLUXO DE CAIXA

2 Sem. R$

3 0

(314.925,00)

4 1 19.525,29

5 2 19.525,29

6 3 19.525,29

7 4 19.525,29

8 5 57.520,88

9 6 57.520,88

10 7 57.520,88

11 8 50.172,64

12 9 50.172,64

13 10 50.172,64

14 11

45.273,82

15 12 45.273,82

16 TIR =TIR(B3:B15)

Ao digitar a fórmula da TIR no Excel e pressionar Enter aparece o resultado → 6,49% Então a taxa interna de retorno do financiamento ou taxa efetiva do financiamento é igual a 6,49% ao semestre.


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Obs: 1) A unidade da taxa sempre acompanha a unidade do período. Se o período é semestral, a taxa também será semestral. 2) O Excel pede uma estimativa (qualquer valor em porcentagem), mas nem sempre há necessidade da estimativa, como nesse caso. A estimativa é importante quando houver alternância de valores positivos e negativos no fluxo de caixa. Caso haja necessidade da estimativa e ela não for inserida, aparecerá uma mensagem de erro. HP 12C: f FIN 314.925,00 CHS g CFo 19.525,29 g CFj 4 g Nj 57.520,88 g CFj 3 g Nj 50.172,64 g CFj 3 g Nj 45.273,82 g CFj 2 g NJ f IRR → 6,49% 07) Calcular os juros pagos, o total amortizado e o saldo devedor após o pagamento da 5ª prestação de um financiamento de R$ 7.500,00, com prazo de doze meses, pagamentos mensais e taxa de juros iguais a 1,5 % a/m. Solução Temos que compor a planilha do financiamento até a quinta parcela. Mas antes precisamos calcular o valor das prestações. Excel =PGTO(1,5%;12;-7500;0;0) → 687,60 Então, a prestação do financiamento é igual a R$ 687,60. Agora podemos montar a planilha do financiamento.

Mês Saldo Inicial Juros Amortização Prestação Saldo Final 0 7.500,00

1 7.500,00 112,50 575,10 687,60 6.924,90

2 6.924,90 103,87 583,73 687,60 6.341,17

3 6.341,17 95,12 592,48 687,60 5.748,69

4 5.748,69 86,23 601,37 687,60 5.147,32

5 5.147,32 77,21 610,39 687,60 4.536,93

Total 474,93 2.693,05 3.438,00

Após o pagamento da 5ª parcela foram pagos: Total de juros: R$ 474,93 Total amortizado: R$ 3.650,67 Tendo como saldo devedor: R$ 4.536,93 08) Um banco financia um determinado tipo de equipamento e cobra juros de 2,2% a/m. Uma empresa deseja financiar o equipamento no valor de R$ 280.000,00. Pede-se:


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8.1) o valor da prestação mensal para um prazo de 12 meses; 8.2) para que valor será reduzida a prestação mensal encontrada no item anterior, se o banco aceitar duas parcelas intermediárias de R$ 50.000,00 cada, sendo a 1ª ao final do 5º mês e a 2ª ao final do 10º mês. Solução 8.1) Prestação mensal Excel: =PGTO(2,2%;12;-280000;0;0) → 26.802,97 O valor da prestação mensal é igual a R$ 26.802,97 HP 12C: f FIN 2,2 i 12 n 280000 CHS PV PMT → 26.802,97 8.2) Parcelas intermediarias Vamos calcular o valor presente das duas parcelas intermediárias e abater no valor do financiamento Excel Valor presente da 1ª parcela intermediária no 5º mês: =VP(2,2%;5;0;50000;0) → (44.845,15) Valor presente da 2ª parcela intermediária no 10º mês: =VP(2,2%;10;0;50000;0) → (40.221,76) Total do valor presente das duas parcelas intermediárias: ......................................(85.066,91) Então o novo valor a ser financiado será: R$ 280.000,00 – R$ 85.066,91 = R$ 194.933,09 Vamos agora calcular o novo valor das prestações: =PGTO(2,2%;12;-194933,09;0;0) → 18.659,95 Então, o valor das prestações cai de R$ 26.802,96 para R$ 18.659,95 devido às duas parcelas intermediárias. 09) Uma construtora está vendendo um apartamento com entrada de R$ 20.000,00 e mais trinta e seis parcelas de R$ 2.500,00. Numa negociação, um cliente propõe pagar R$ 12.000,00 de entrada, mais trinta e seis parcelas mensais de R$ 1.800,00 e mais três parcelas intermediárias anuais. Calcular o valor das três parcelas iguais anuais e intermediárias de modo a quitar o valor do apartamento, sabendo que a taxa de juros é igual a 2% a/m.


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Solução Inicialmente vamos calcular o preço a vista do apartamento: =VP(2%;36;-2500;0;0) → 63.722,11 (valor presente das 36 parcelas) O preço a vista do apartamento é o valor presente das 36 parcelas somado com o valor da entrada: Preço a vista = R$ 63.722,11 + 20.000,00 = R$ 83.722,11 Vamos agora calcular o valor presente da proposta do cliente sem as parcelas intermediárias: =VP(2 %;36;-1800;0;0) → 45.879,02 (valor presente das 36 parcelas) O valor presente da proposta é o valor presente das 36 parcelas somado com o valor da entrada: Valor presente da proposta = R$ 45.879,02 + 12.000,00 = R$ 57.879,92 Portanto, para quitar o valor do apartamento o cliente ainda precisaria pagar a vista: R$ 83.722,11 (preço a vista) – R$ 57.879,92 (valor presente da proposta) = R$ 25.842,19 Esse valor será pago em três parcelas intermediárias anuais iguais. Cálculo das três parcelas intermediárias: Como as parcelas intermediárias são anuais precisamos transformar a taxa mensal dada em taxa anual Taxa mensal = 2% = 0,02 Vamos usar a relação: (1 + ia) = (1 + im)12, onde: ia = taxa anual e im = taxa mensal Então: ( 1 + ia) = ( 1 + 0,02)12 ou ia = ( 1 + 0,02)12 – 1 ou ia = 0,2682 ou ainda ia = 26,82% Finalmente, podemos calcular o valor das três parcelas intermediárias anuais: =PGTO(26,82%;3;-27282,05;0;0) → 13.597,19 Portanto, o valor das três parcelas anuais e intermediárias é R$ 13.597,19 A proposta do cliente fica assim: Entrada de R$ 12.000,00 + 36 de R$ 1.800,00 + 3 parcelas intermediárias amuais de R$ 13.597,19 Obs: Se calcularmos o valor presente da proposta acima temos que obter R$ 83.722,11, que é o preço a vista do apartamento. Tire a prova. 10) Um determinado valor foi aplicado pelo prazo de seis meses. A aplicação foi feita com taxas de juros variáveis, que são as seguintes: No primeiro mês à taxa de juros de 2% a/m, nos dois meses subseqüentes à taxa de juros de 2,5% a/m. e nos demais meses à taxa de juros de 1,5% a/m. Pede-se: 10.1) Qual é a taxa de juros obtida no período da aplicação? 10.2) Qual foi a taxa média mensal? Solução


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10.1) Taxa de juros no período Vamos considerar que foi aplicada a quantia de R$ 100,00 e calcular o saldo da aplicação: Saldo no final do 1º mês: 100 x 1,02 = 102 Saldo no final do 3º mês: 102 x (1,025)2 = 107,16 Saldo no final do 6º mês: 107,16 x (1,015)3 = 112,05 (saldo final da aplicação) Cálculo da taxa de juros no período: Para cada R$ 100,00 (valor presente) aplicados durante seis meses a pessoa resgatou R$ 112,05 (valor futuro), então: =TAXA(6;0;-100;112,05;0;1%) → 1,91% Portanto, a pessoa teve um rendimento de 1,91% nos seis meses de aplicação. 10.2) Taxa média mensal Precisamos transformar a taxa de 1,91 % nos seis meses para a taxa mensal. Vamos usar a relação: (1 + i6) = (1 + im)6, onde i6 é a taxa nos seis meses e im a taxa mensal Então: ( 1 + 0,0191) = ( 1 + im)6 ou im = (1,0191) 1/6 – 1 ou im = 0,0032 ou ainda im = 0,32% Portanto, a taxa media da aplicação foi igual a 0,32% ao mês. 11) Uma empresa tem os seguintes valores a pagar: R$ 12.500,00 daqui a três meses, R$ 18.500,00 daqui a oito meses e R$ 24.000,00 daqui a dez meses. Se a taxa de juros vigente é de 1,5% a/m, pede-se: 11.1) Qual seria o valor único para liquidar a dívida daqui a seis meses? 11.2) Se a empresa se dispuser a pagar uma parcela de R$ 18.000,00 daqui a dois meses e uma parcela adicional daqui a dez meses, qual seria o valor desta parcela? 11.3) Se a empresa preferir efetuar dois pagamentos iguais (mesmo valor nominal) daqui a três e cinco meses, qual deve ser o valor destes pagamentos? Solução 11.1) Pagamento único daqui a seis meses Inicialmente, vamos calcular o valor presente da dívida: R$ 12.500,00 – 3 meses: =VP(1,5%;3;0;-12500;0) → 11.953,96 R$ 18.500,00 – 8 meses: =VP(1,5%;8;0;-18500;0) → 16.422,66 R$ 24.000,00 – 10 meses: =VP(1,5%;10;0;-24000;0) → 20.680,01 Total do valor presente da dívida: .................................. 49.056,63 Agora basta calcular o valor futuro da dívida daqui a seis meses: =VF(1,5%;6;0;-49056,63;0) → 53.640,64 Então, o valor da dívida daqui a seis meses é igual a R$ 53.640,64


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11.2) Parcela adicional daqui a dez meses Vamos calcular o valor presente da parcela adicional de R$ 18.000,00 daqui a 2 meses: R$ 18.000,00 – 2 meses: =VP(1,5%;2;0;-18000;0) → 17.471,91 Abatendo o valor presente da parcela adicional no valor presente da dívida, temos: R$ 49.056,63 – R$ 17.471,91 = R$ 31.584,72. Esse é o novo valor presente da dívida, que será pago daqui a dez meses. Então, vamos calcular o valor futuro: R$ 31.584,72 – 10 meses: =VF(1,5%;10;0;-31584,72;0) → 36.655,36 Então o valor da parcela adicional daqui a dez meses é igual a R$ 36.655,36 11.3) Dois pagamentos iguais Vamos representar a situação pelo fluxo de caixa abaixo: X X 0 3 5 PV Sabendo que PV (valor presente da dívida) é igual a R$ 49.056,63 e que a taxa de juros é de 1,5% a/m, podemos montar a seguinte equação de equilíbrio do fluxo de caixa: 49.056,63 = ____X_____ + ____X_____ onde X = 26.030,81 (1 + 0,015)3 (1 + 0,015)5 Então, a empresa irá pagar duas parcelas iguais no valor de R$ R$ 26.030,81, no terceiro e quinto mês. 12) O preço de uma mercadoria, para pagamento a vista, é R$ 6.800,00. O fornecedor se propõe a efetuar a venda a prazo, mas cobra uma taxa de juros de 2,5% a/m. Se o comprador der uma entrada de R$ 2.800,00 e pagar uma segunda parcela de R$ 2.500,00 após seis meses, qual deve ser o valor da parcela adicional que deverá ser paga no final do décimo mês? Solução Vamos representar a situação pelo fluxo de caixa abaixo: 2.500,00 X


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0 6 10 PV Nesse caso, o valor PV (valor presente da dívida) é igual a R$ 4.000,00 (R$ 6.800,00 – R$ 2.800,00). Podemos montar a seguinte equação de equilíbrio do fluxo de caixa: 4.000,00 = ____2.500_____ + ____X_____ onde X = 2.360,81 (1 + 0,025)6 (1 + 0,025)10 Então, o valor da parcela adicional a ser paga no décimo mês é R$ 2.360,81 13) Uma empresa deseja tomar um financiamento de R$ 72.000,00 a uma taxa de 1,5% a/m. Durante os três primeiros meses serão pagos apenas os juros correspondentes. A partir do quarto mês será iniciada a amortização em nove parcelas mensais, pelo sistema SAC. Compor a planilha desse financiamento. Solução

Mês Saldo Inicial

Juros Amortização

Prestação Saldo Final

0 72.000,00

1 72.000,00 1.080,00 - 1.080,00 72.000,00

2 72.000,00 1.080,00 - 1.080,00 72.000,00

3 72.000,00 1.080,00 - 1.080,00 72.000,00

4 72.000,00 1.080,00 8.000,00 9.080,00 64.000,00

5 64.000,00 960,00 8.000,00 8.960,00 56.000,00

6 56.000,00 840,00 8.000,00 8.840,00 48.000,00

7 48.000,00 720,00 8.000,00 8.720,00 40.000,00

8 40.000,00 600,00 8.000,00 8.600,00 32.000,00

9 32.000,00 480,00 8.000,00 8.480,00 24.000,00

10 24.000,00 360,00 8.000,00 8.360,00 16.000,00

11 16.000,00 240,00 8.000,00 8.240,00 8.000,00

12 8.000,00 120,00 8.000,00 8.120,00 -

Total 8.640,00 72.000,00 80.640,00

14) Um banco comercial ofereceu a uma empresa as seguintes condições para uma operação de desconto de duplicatas: a) Taxa de desconto de 2,5% a/m cobrada antecipadamente; b) despesas diversas de 1% e IOF de 0,12% a/m sobre o valor de face dos títulos, cobrados no ato da liberação do crédito; c) saldo médio de 10% do valor de face dos títulos, pelo prazo da operação. A empresa cliente tem duplicatas a receber no prazo de 75 dias e necessita de um credito de R$ 20.000,00 para o pagamento de uma dívida vencida. Pergunta-se: 14.1) Qual o valor de face das duplicatas a serem descontadas?


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14.2) Qual é o custo efetivo mensal e anual da operação? Solução 14.1) Valor de face = F Valor a ser creditado = R$ 20.000,00 Vamos calcular o desconto, o IOF, as despesas diversas e o saldo médio em função do valor de face das duplicatas: Desconto: 0,025 x (75/30) x F → 0,0625F IOF no período: 0,0012 x (75/30) x F → 0,0030F Despesas diversas: 0,01F Saldo médio: 0,10F Agora podemos montar a equação: Valor a ser creditado = Valor de face – total de descontos 20.000,00 = F – (0,0625F + 0,0030F + 0,01F + 0,10F) onde: 20.000,00 = 0,8245F → F = 24.257,13 Então, a empresa deve apresentar o banco R$ 24.257,13 em duplicatas com prazo de 75 dias. 14.2) Custo efetivo da operação Setenta e cinco dias depois a empresa terá de volta os 10% de saldo médio (24.257,13 x 10% = R$ 2.425,71) que ficaram em conta corrente. Deste modo, na verdade a empresa apresentou R$ 24.257,13 em duplicatas, mas recebeu R$ 2.425,71 na data do vencimento das mesmas. O fluxo de caixa na visão do banco fica assim: 21.831,42 (24.257,13 – 2.425,71) 0 75 20.000,00 Cálculo do custo financeiro mensal da operação – HP 12C f FIN (limpa as memórias da calculadora) 20000 CHS PV (insere o valor presente da operação) 75 ENTER 30 : n (insere o prazo, em meses) 21831,42 FV (insere o valor futuro da operação)

i 3,57(indica o custo financeiro efetivo mensal, em porcentagem, da operação) 15) Uma empresa apresenta a um banco as seguintes duplicatas para serem descontadas: Duplicata Valor - R$ Prazo - dias 01 3.200,00 62


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02 6.450,00 68 03 3.670,00 78 04 4.350,00 66 05 5.360,00 76

23.030,00 Sabendo que a taxa de desconto é igual a 2,2% a/m e que o IOF é igual a 0,12 % a/m, calcular: 15.1) O valor que será liberado em conta. 15.2) A taxa efetiva da operação. Solução 15.1) Valor que será liberado em conta Inicialmente, temos que calcular a media ponderada dos prazos:

Xp =

n

i

n

i

PiXiPi11

/

onde: Xi são os valores em R$ e Pi são os prazos em dias Logo:

7666786862765360664350783670686450623200

xxxxxXp

→ 70,24

Então, a operação de desconto corresponde a uma duplicata no valor de R$ 23.030,00 com prazo médio de 70,24 dias. Podemos também calcular a media ponderada diretamente ma HP-12C: f CLX 62 ENTER 3200 ∑+ 68 ENTER 6450 ∑+

78 ENTER 3670 ∑+

66 ENTER 4350 ∑+

76 ENTER 5360 ∑+

g 6 (xw) → 70,24 Obs.: A ordem é muito importante, como queremos calcular o prazo médio, devemos digitar: prazo (dias) ENTER peso (R$) relativo a cada prazo. Agora podemos calcular o valor a ser creditado na conta da empresa: Desconto: 0,022 x (70,24/30) x 23.030 → 1.186,26 IOF no período: 0,0012 x (70,24/30) x 23.030 → 64,71 Podemos montar a equação: Valor a ser creditado = Valor de face – total de descontos Valor a ser creditado = 23.030,00 – (1.186,26 + 64,71)


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Valor a ser creditado = R$ 21.779,03 15.2) Taxa efetiva da operação. A empresa entregou ao banco R$ 23.030,00 em duplicatas com prazo médio de vencimento em 70,24 dias e recebeu hoje R$ 21.779,03. Cálculo da taxa efetiva da operação no Excel =TAXA(70,24;0;-21779,03;23030;0;1%) → 0,0795% ao dia ou se quisermos a taxa em mês, temos que colocar o prazo em meses: (70,24/30) = 2,3413 =TAXA(2,3413;0;-21779,03;23030;0;1%) → 2,41% ao mês Na HP-12C F FIN limpa os registros 70,24 ENTER 30 : n insere o prazo em meses 21779,03 CHS PV insere o valor presente 23030 FV insere o valor futuro i → 2,41 calcula a taxa efetiva mensal de juros.


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Exercícios propostos 09) Uma mercadoria tem um preço a vista igual a R$ 1.800,00 e pode ser financiada em seis parcelas iguais, sem entrada, no valor de R$ 332,28. Calcular a taxa de juros do financiamento. Resposta: 3,0% ao mês. 10) Um veículo, no valor de R$ 25.000,00 a vista, pode ser financiado com entrada de 40% e mais vinte e quatro parcelas de R$ 750,00. Calcular a taxa de juros do financiamento. Resposta: 1,51% ao mês. 11) Uma pessoa fez um financiamento em um banco no valor de R$ 5.000,00 para pagar em doze parcelas de R$ 458,00. Além das parcelas o banco descontou, no ato da liberação do crédito, uma taxa de cadastro de R$ 220,00 e mais R$ 85,00 relativos a impostos e comissões. Calcular a taxa de juros do financiamento, que corresponde dão Custo Efetivo Total – CET do financiamento. Resposta: 2,51% ao mês. 12) Uma pessoa deve a um banco um financiamento no qual faltam quatro parcelas de R$ 1.485,00 para terminar. O problema é que a pessoa não consegue mais pagar as parcelas e deseja renegociar a dívida para pagar em dez parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros é igual a 3,5% a/m, calcule o valor das dez parcelas da renegociação. Resposta: R$ 655,86 13) Uma pessoa fez um financiamento em um banco no valor de R$ 10.000,00 para pagar em doze parcelas de R$ 990,00. Após pagar a quinta parcela a pessoa deseja renegociar o saldo devedor em doze parcelas novamente, pois o valor da parcela está pesando muito no seu orçamento. Calcule o valor da nova parcela, usando a mesma taxa de juros do financiamento inicial. Resposta: R$ 616,30 14) Um automóvel tem o preço a vista igual a R$ 50.000,00 e pode ser financiado com uma entrada de R$ 15.000,00 e mais doze parcelas de R$ 3.300,00. Uma pessoa deseja comprar o automóvel financiado, mas só admite assumir prestação no valor de R$ 2.500,00. Entretanto, pode dar um valor maior de entrada. Calcular o valor da nova entrada para que a pessoa consiga financiar o veículo. Resposta: R$ 23.484,85 15) Uma loja vende uma mercadoria por R$ 750,00, que pode ser paga com R$ 150,00 de entrada e mais quatro de R$ 150,00, “sem juros”. Entretanto, se você quiser pagar a vista tem 7% de desconto. Calcular a taxa mensal de juros cobrada pela loja. Resposta: 3,77% ao mês.

16) Uma pessoa dispõe de R$ 1.500,00 por mês para pagar as doze prestações mensais relativas a um financiamento cujo principal é de R$ 22.500,00. Calcular o valor que deve ser dado de entrada para que o financiamento seja contratado a uma taxa de 1,75% a/m. Resposta: R$ 6.390,68


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17) Numa licitação feita por um banco para oferecer a venda de um imóvel, as duas melhores propostas foram: Proposta 1: Entrada de R$ 23.500,00 e financiamento do restante em 36 parcelas mensais e iguais a R$ 3.806,36, mais uma parcela intermediária, para 180 dias, no valor de R$ 20.000,00. Proposta 2: Entrada de R$ 15.000,00 e financiamento do restante em 24 parcelas mensais e iguais a R$ 4.800,00 mais 3 parcelas semestrais intermediárias de R$ 15.000,00 cada uma. Sabendo que a taxa de juros é igual a 2,5 % a/m, verificar qual é a proposta mais vantajosa para o banco. Resposta: Proposta I – VP = R$ 130.409,51 Proposta II – VP = R$ 134.553,21 Melhor: Proposta II 18) Calcular os juros pagos, o total amortizado e o saldo devedor após o pagamento da 6ª prestação de um financiamento de um veículo no valor de R$ 28.500,00, com prazo de doze meses, pagamentos mensais iguais e taxa de juros iguais a 2% a/m. Resposta: Juros = R$ 2.765,26 Amortização = R$ 13.404,43 Saldo devedor = R$ 15.095,57 19) Uma empresa financiou um bem, cujo valor a vista é igual a R$ 120.000,00, para ser pago em doze prestações mensais de R$ 8.000,00 mais três parcelas trimestrais intermediárias iguais. Calcular o valor das parcelas sabendo que a taxa de juros é igual a 2,5% a/m. Resposta: R$ 14.638,65 20) Uma empresa assumiu um financiamento de R$ 250.000,00, com prazo de 36 meses e taxa igual a 2,5% a/m, pelo sistema SAC. 20.1) Calcular o total de juros pagos, o total amortizado e o saldo devedor após o pagamento 12ª prestação; Resposta: Juros = R$ 63.541,67 Amortização = R$ 83.333,33 Saldo: R$ 166.666,67 20.2) calcular o valor da 12ª prestação, a amortização e os juros contidos nela; Resposta: 12ª prestação = R$ 11.284,72 Amortização = R$ 6.944,44 Juros = R$ 4.340,28 21) Idem exercício anterior pelo sistema PRICE. Comparar os resultados obtidos. 21.1) Resposta: Juros = R$ 67.166,19 Amortização = R$ 60.188,54 Saldo: R$ 189.811,46 21.2) Resposta: 12ª prestação = R$ 10.612,89 Amortização = R$ 5.724,50 Juros = R$ 4.888,40 22) Um banco financia 80% do valor a vista de qualquer equipamento e cobra juros de 2,2% a/m. Uma empresa deseja financiar uma máquina no valor de R$ 250.000,00. Pede-se: 22.1) o valor da prestação mensal para um prazo de doze meses; Resposta: R$ 19.144,98 22.2) para qual valor será reduzida a prestação mensal encontrada no item anterior, se o banco aceitar duas parcelas intermediárias de R$ 50.000,00 cada, sendo a primeira ao final do terceiro mês e a segunda ao final do oitavo mês. Resposta: R$ 10.639,72


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23) Uma concessionária está vendendo um veículo com entrada de R$ 22.000,00, mais 36 parcelas de R$ 2.500,00. Uma pessoa pode dar R$ 15.000,00 de entrada e pagar 36 parcelas de R$ 1.800,00. Calcular o valor de três parcelas iguais anuais (12, 24 e 36 meses) de modo a quitar o valor do veículo, sabendo que a taxa de juros é igual a 2% a/m. Resposta: R$ 13.071,83 24) Um equipamento no valor de R$ 120.000,00 pode ser financiado em 24 parcelas de R$ 5.990,89. Para qual valor será reduzida a parcela mensal se o fabricante aceitar três parcelas semestrais intermediárias no valor R$ 16.000,00 cada uma? Resposta: R$ 3.981,27 25) Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 50.000,00 em um título de renda fixa com prazo de vencimento de doze meses. A taxa de juros foi de 2% ao mês. Quando faltavam quatro meses para o vencimento do título o investidor precisou negociá-lo no mercado, sendo que a taxa de juros que vigorava neste momento era 1,5% ao mês. Pede-se: 25.1) Qual o valor do resgate do título ao final do 12º mês? Resposta: R$ 63.412,09 25.2) Quanto recebeu o investidor original no momento em que negociou o título no mercado? Resposta: R$ 59.745,87 25.3) Qual é a taxa de juros mensal efetivamente obtida pelo investidor original? Resposta: 2,25% ao mês 25.4) Sabendo que as taxas de inflação nos oito meses de aplicação foram: 1,85%; 2,1%; 1,75%; - 0,62%; 1,2%; 0,32%; 0,54% e 0,36%. Calcular o rendimento real da aplicação. Resposta: 10,92% nos oito meses. 26) Um determinado valor foi aplicado pelo prazo de seis meses. A aplicação foi feita com taxas de juros variáveis, que são as seguintes: No primeiro mês à taxa de juros de 1,25% a/m, nos dois meses subseqüentes à taxa de juros de 1,5% a/m. e nos demais meses à taxa de juros de 1,8% a/m. Pede-se: 26.1) Qual é a taxa de juros obtida no período da aplicação? Resposta: 10,05% nos seis meses 26.2) Qual foi a taxa média mensal? Resposta: 1,61% ao mês 26.3) Sabendo que as taxas de inflação nos seis meses de aplicação foram: 0,58%; 0,85%; 0,75%; 1,05%; 1,16%; e 1,2%. Calcular o rendimento real da aplicação. Resposta: 4,10% nos seis meses. 27) Você tem duas notas promissórias para receber de uma pessoa. A primeira venceu há dois meses e seu valor nominal é R$ 5.300,00; a segunda vence daqui a três meses e o valor nominal é R$ 6.500,00. Se o devedor estiver disposto a liquidar integralmente a dívida hoje e você dispuser de uma alternativa de aplicação à taxa de juros de 1,25% a/m, qual o menor valor que você estaria disposto a receber em troca das duas notas promissórias? Resposta: R$ 11.695,55


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28) Uma empresa tem os seguintes valores a pagar: R$ 12.500,00 daqui a três meses, R$ 7.500,00 daqui a seis meses e R$ 10.000,00 daqui a doze meses. Se a taxa de juros vigente é de 1,5% a/m, pede-se: 28.1) Qual seria o valor único para liquidar a dívida daqui a três meses? Resposta: R$ 28.418,30 28.2) Se a empresa se dispuser a pagar uma parcela de R$ 8.000,00 hoje, uma parcela de R$ 10.000,00 daqui a três meses e uma parcela daqui a seis meses, qual seria o valor dessa parcela? Resposta: R$ 10.512,07 29) O preço de uma mercadoria, para pagamento a vista, é R$ 6.500,00. O fornecedor se propõe a efetuar a venda a prazo, mas cobra uma taxa de juros de 1,5% a/m. Se o comprador der uma entrada de R$ 2.000,00 e pagar uma segunda parcela de R$ 1.500,00 após três meses, qual deve ser o valor da parcela adicional que deverá ser paga no final do quinto mês? Resposta: R$ 3.302,44 30) Um imóvel está sendo vendido nas seguintes condições: R$ 50.000,00 no ato da compra; R$ 15.000,00 de hoje a 30 dias; três pagamentos trimestrais de R$ 5.000,00 cada, vencendo o 1º daqui a 120 dias; 60 prestações mensais de R$ 2.300,00 cada uma, ocorrendo o primeiro pagamento daqui a 90 dias. Dispondo de uma aplicação que pode render 1,5% a/m, até que preço pode ser interessante o pagamento a vista do imóvel? Resposta: R$ 166.220,03 31) Um investidor dispõe de duas alternativas para a aplicação do seu capital: Alternativa A – Aplicar em um título de renda fixa, cujo resgate ocorrerá no final de cinco anos, à taxa de juros de 0,95% a/m já descontado o imposto de renda. Alternativa B – Adquirir um terreno que, ao final de cinco anos, poderá ser vendido por um valor 50% superior ao da aquisição, com imposto de renda de 15% sobre o lucro. Durante os cinco anos o investidor deverá receber um aluguel mensal de 1 % do valor de aquisição do imóvel, mas deverá pagar 27,5% do aluguel recebido para o imposto de renda. Pede-se: 31.1) Qual deve ser a alternativa escolhida? Resposta: Alternativa B porque rende 1,21% a/m 31.2) Quanto deveria ser o valor de revenda do imóvel para que as duas alternativas fossem equivalentes? Resposta: cerca de 21% acima do valor de aquisição. 32) Uma empresa deseja tomar um financiamento de R$ 52.000,00 a uma taxa de 2,15% a/m. Durante o primeiro ano (carência) serão pagos apenas os juros trimestrais correspondentes. A partir do décimo terceiro mês será iniciada a amortização em vinte e quatro parcelas mensais. Compor o fluxo de caixa desse financiamento pelos sistemas: 32.1) PRICE 32.2) SAC 33) Uma empresa financiou um bem, cujo valor a vista é igual a R$ 500.000,00, para ser pago em doze prestações mensais de R$ 35.000,00, mais duas parcelas semestrais iguais. Calcular o valor das parcelas sabendo que a taxa de juros é igual a 1,5% a/m. Resposta: R$ 67.528,31.


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34) Uma pessoa financiou um veículo no valor de R$ 38.000,00 a vista em vinte e quatro parcelas mensais e iguais, sem entrada, a uma taxa de 1,25% ao mês. Entretanto, após o pagamento da décima parcela, a pessoa resolveu vender o veículo e repassar o financiamento. Pede-se calcular: 34.1) O total de juros pagos. Resposta: R$ 3.954,58. 34.2) O total amortizado. Resposta: R$ 14.470,35. 34.3) O saldo devedor. Resposta: R$ 23.529,65. 35) Desenvolver uma planilha para cada financiamento discriminado abaixo: Principal: R$ 20.000,00 Taxa de juros: 2,5% a/m Prazo: seis meses Plano A: pagamento mensal dos juros e amortização no final Plano B: prestações iguais Plano C: amortizações constantes 36) Uma pessoa fez um financiamento pelo sistema SAC que foi contratado nas seguintes condições: Valor financiado: R$ 48.000,00; taxa de juros: 2,25% a/m; número de parcelas: 12. 36.1) Montar a planilha do financiamento. 36.2) Após o pagamento da sétima parcela a pessoa deseja refinanciar o saldo devedor em doze parcelas pelo sistema PRICE e com mesma taxa de juros. Calcular o valor das parcelas. Resposta: Saldo devedor = R$ 20.000,00 Nova parcela = R$ 1.920,35 37) Uma empresa fez um investimento em uma máquina no valor de R$ 180.000,00 e obteve os seguintes resultados anuais: 1º ano: R$ 42.800,00 - 2º ano: 36.100,00 - 3º ano: 28.500,00 - 4º ano: 20.600,00 5º ano 13.200,00. Descontente com os resultados o administrador da empresa resolveu vender a máquina ao final do 5º ano por R$ 90.000,00. 37.1) Calcular a taxa de retorno do investimento. Resposta: 7,74% ao ano 37.2) Sabendo que o custo de capital da empresa é igual a 15% a/a, calcular o valor presente dos fluxos de caixa gerados pela máquina. Resposta: R$ 146.340,15 37.3) Compare o valor obtido no item anterior com o custo da máquina. O que você pode concluir? Resposta: O investimento apresentou uma destruição de riqueza de R$ 33.659,85

38) Um banco comercial ofereceu a uma empresa as seguintes condições para uma operação de desconto de duplicatas: a) Taxa de desconto de 2,1% a/m cobrada antecipadamente; b) despesas diversas de 1% e IOF de 0,12% a/m sobre o valor de face dos títulos, cobrados no ato da liberação do crédito; c) saldo médio de 10% do valor nominal dos títulos, pelo prazo da operação. A empresa cliente tem duplicatas no valor de R$ 25.560,00 a receber com prazo médio de 60 dias. Pede-se: 38.1) Qual o valor do crédito que será depositado na conta da empresa? Resposta: R$ 21.613,54


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38.2) Qual é o custo efetivo total mensal da operação? Resposta: CET = 3,17% ao mês 39) Uma empresa apresenta a um banco as seguintes duplicatas para serem descontadas:

Duplicata Valor - R$ Prazo - dias 01 1.200,00 22 02 2.450,00 36 03 2.670,00 42 04 6.350,00 60 05 10.590,00 70

Sabendo que a taxa de desconto é igual a 2,25% a/m, a taxa de administração é igual a 0,8% do valor de face e que o IOF é igual a 0,0083 % a/d, calcular o valor que será liberado em conta e o custo efetivo total da operação. Resposta: Valor liberado = R$ 21.950,14 CET = 3,04 % ao mês 40) Um banco comercial ofereceu a uma empresa as seguintes condições para uma operação de desconto de duplicatas: a) Taxa de desconto de 2,5% a/m cobrada antecipadamente; b) despesas diversas de 1% sobre o valor de face e IOF de 0,0083% a/d sobre o valor de face dos títulos, cobrados no ato da liberação do crédito; A empresa cliente tem duplicatas a receber com prazo médio 76 dias e necessita de um credito de R$ 56.500,00 para o pagamento de uma dívida. Calcular o valor de face das duplicatas a serem descontadas é o custo efetivo total mensal da operação. Resposta: Valor de face: R$ 61.401,92 CET = 3,33% ao mês

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