INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO MARANHÃO UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL CURSO DE LICENCIATURA EM INFORMÁTICA DISCIPLINA: MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO PROFESSOR: RAIMUNDO OSVALDO VIEIRA

Dedução no Cálculo Proposicional: Exemplos Extras

Exemplo 1 (Extraído de ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002)

Demonstrar a validade do argumento � � �� � ��, � � � � | � � .

1 � � �� � �� (hipótese)

2 � � � � (hipótese)

3 �� � �� � �� � �� 1 Propriedade distributiva

4 � � � 3 Simplificação

5 2, 4 Modus ponens

6 � � 5 Adição

Exemplo 2 (Adaptado de ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002)

Demonstrar a validade do argumento “Se São Luís não fica no Maranhão, então Teresina não fica

no Piauí. Mas Teresina fica no Piauí. Logo, São Luís fica no Maranhão”.

p: São fica no Maranhão.

q: Teresina fica no Piauí.

Simbolicamente, temos: ¬� � ¬�, � | �.

A sequência de demonstração é a seguinte:

1 ¬� � ¬� (hipótese)

2 � (hipótese)

3 ¬¬� � ¬� 1 Reescrita da condicional

4 � � ¬� 3 Dupla negação

5 ¬¬� 2 Dupla negação

6 � 4, 5 Silogismo disjuntivo

Exemplo 3 (Extraído de ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002)

Demonstrar a validade do argumento � � �, � , � � �� � ¬� | � � �

1 � � � (hipótese)

2 � (hipótese)

3 � � �� � ¬� (hipótese)

4 �� � � � � � �� 2 Reescrita da bicondicional

5 � � 4 Simplificação

6 � � 1, 5 Silogismo hipotético

7 �� � �� � �� � ¬� 3 Propriedade distributiva

8 � � ¬ 7 Simplificação

9 ¬ � � 8 Propriedade comutativa

10 � � 9 Reescrita da condicional

11 � � � 6, 10 Silogismo hipotético

Exemplo 4 (Extraído de ALENCAR FILHO, Edgar de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002)

Demonstrar a validade do argumento � � �� � ��, � � , � � | �

1 � � �� � �� (hipótese)

2 � � (hipótese)

3 � � (hipótese)

4 � � � 2, 3 Silogismo hipotético

5 �� � �� � �� � �� 1 Propriedade distributiva

6 � � � 5 Simplificação

7 � � � 6 Propriedade comutativa

8 ¬¬� � � 7 Dupla negação

9 ¬� � � 8 Reescrita da condicional

10 ¬� � � 4, 9 Silogismo hipotético

11 ¬¬� � � 10 Reescrita da condicional

12 � � � 11 Dupla negação

13 � 12 Idempotência

Exemplo 5 (Extraído de ROSEN, Keneth H. Matemática Discreta e suas Aplicações. São Paulo: Mcgraw-Hill, 2009)

Mostre que ¬ �� � �¬� � ��� e ¬� � ¬� são logicamente equivalentes

¬ �� � �¬� � ��� � ¬ � � ¬�¬� � �� Aplicando lei de De Morgan

� ¬ � � �¬¬� � ¬�� Aplicando lei de De Morgan

� ¬ � � �� � ¬�� Aplicando dupla negação

� �¬� � �� � �¬� � ¬�� Propriedade distributiva

� F � �¬� � ¬�� �¬� � � � ��

� ¬� � ¬� Pois o valor lógico da expressão depende apenas do

valor lógico de ¬� � ¬�.