Microeconomia I - Resolução Segundo Teste

Licenciaturas em Economia e Administração e Gestão de Empresas

17 de Junho de 2011 - 2 horas

Regente: Catarina ReisAssistentes: Maria Fernandes e Mário Meira

Grupo 1 - No mercado metalúrgico do país Longíssimo existe actualmente um monop-olista que transacciona ferro à tonelada. A procura de ferro é dada pela seguinte expressão

D(P ) = 40� 2P;

em que D(P ) simboliza as toneladas de ferro procuradas e P o respectivo preço em milharesde euros. Os custos do monopolista são dados por

CT (q) = 10q:

(a) Determine a escolha óptima do monopolista e o seu lucro. Represente gra�camente.(1 valor)

Solução: O lucro do monopolista é dado por

� = q(20� 0:5q)� 10q = 10q � 0:5q2:

A condição de primeira ordem para este problema é q = 10, o que implica que o preço éP = 15, e o lucro é � = 50:

Atraída pelos lucros elevados do monopolista (empresa 1), entra no mercado de ferrouma segunda empresa (empresa 2). Dado que o ferro transaccionado pelas duas empresasapresenta algumas diferenças em termos de composição, cada empresa passa a ter umaprocura própria dada por

D1(P1) = 20� 2P1 + P2D2(P2) = 16� 1:5P2 + P1:

As duas empresas têm estruturas de custos diferentes dadas por

CT1(q1) = 10q1

CT2(q2) = q22:

(b) Segundo as novas condições de mercado, determine os preços de equilíbrio e respectivasquantidades e lucros sabendo que as empresas decidem preços em simultâneo. (2 valores)

Solução: A empresa 1 escolhe o valor de P1 que maximiza o seu lucro

maxP1(20� 2P1 + P2)(P1 � 10):

1

A condição de primeira ordem é dada por 4P1 = 40 + P2:A empresa 2 escolhe o valor de P2 que maximiza o seu lucro

maxP2(16� 1:5P2 + P1)P2 � (16� 1:5P2 + P1)2:

A condição de primeira ordem é dada por 64 + 4P1 = 7:5P2:Juntando as duas condições de primeira ordem (que representam as curvas de reacção

das duas empresas que neste caso são positivamente inclinadas) podemos obter os preços deequilíbrio P1 = 14 e P2 = 16. As quantidades e lucros das empresas são dados por q1 = 8,q2 = 6, �1 = 32 e �2 = 60:

(c) Determine quais os preços a praticar se as empresas se decidirem coligar, de forma amaximizar o lucro conjunto do duopólio diferenciado. (2 valores)

Solução: As empresas agora escolhem P1 e P2 de modo a maximizar o lucro conjunto

maxP1;P2

(20� 2P1 + P2)(P1 � 10) + (16� 1:5P2 + P1)P2 � (16� 1:5P2 + P1)2:

As condições de primeira ordem são dadas por 8 + 5P2 = 6P1 e 54 + 5P1 = 1:5P2:Resolvendo, encontramos os seguintes preços P1 = 16:5 e P2 = 18:2. As quantidades e

lucros das empresas são dados por q1 = 5:2, q2 = 5:2, �1 = 33:8 e �2 = 67:6:

(d) Admita agora que as empresas vão existir para sempre, decidindo em simultâneo opreço que praticam em cada período. O factor de desconto das duas empresas é � < 1.Determine os valores de � para os quais o cartel encontrado na alínea (c) é sustentável.Comente. (2 valores)

Solução: De modo a sustentar o equilíbrio de colusão, utilizamos a ameaça de regressarao equilíbrio de Nash (que corresponde à solução da alínea (b) ) para sempre caso algumaempresa não cumpra o combinado. As empresas vão ser tentadas a desviar para a soluçãoque maximiza o seu lucro estático.Quando a empresa 2 escolhe P2 = 18:2, a escolha óptima de preço para a empresa 1

pode ser encontrada através da função de reacção encontrada na alínea (b) e é dada porP1 = 10 + 18:2=4 = 14:55, o que gera uma quantidade q1 = 9:1 e lucro �1 = 41:405: Assim,a empresa 1 coopera se

33:81

1� � � 41:405 + 32�

1� � ! � � 0:8086:

Quando a empresa 1 escolhe P1 = 16:5, a escolha óptima de preço para a empresa 2 podeser encontrada através da função de reacção encontrada na alínea (b) e é dada por P2 = 52=3,o que gera uma quantidade q2 = 6:5 e lucro �2 = 70:41(6): Assim, a empresa 2 coopera se

67:61

1� � � 70:41(6) + 60�

1� � ! � � 0:2704:

Para ambas cooperarem é necessário que � � max(0:8086; 0:2704) = 0:8086: Se � forinferior a este valor as empresas são demasiado impacientes e vão querer desviar para au-mentarem o seu lucro de curto prazo, o que signi�ca que a solução de conluio não pode serimplementada.

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Grupo 2 - Considere o seguinte jogo estático

P2L C R

U 4; 2 1; 0 5; 0

P1 M 0; 1 2; 4 5; 0

D 0; 7 0; 6 6; 6

(a) Existem estratégias dominantes ou dominadas neste jogo? É possível resolver o jogoatravés da eliminação sucessiva de estratégias dominadas? (1 valor)

Solução: Não há estratégias dominantes. R é dominada por L. Depois de eliminarmosR, D é dominada por U . Não é possível eliminar mais nenhuma estratégia, pelo que não sepode resolver o jogo através de eliminação sucessiva de estratégias dominadas.

(b) Determine todos os equilíbrios de Nash deste jogo. (1.5 valores)

Solução: Há dois equilíbrios de Nash em estratégias puras: (U;L) e (M;C).Para encontrar o equilíbrio em estratégias mistas, podemos excluir as estratégias que

foram dominadas na alínea (a). O jogador 1 joga U com probabilidade p e M com proba-bilidade 1 � p. O jogador 2 joga L com probabilidade q e C com probabilidade 1 � q. Acondição de indiferença para o jogador 1 implica que q = 1=5 e para o jogador 2 que p = 3=5.

(c) Considere que este jogo é jogado sequencialmente, com o jogador 1 e jogar primeiro,e o jogador 2 a jogar após observar a escolha do jogador 1. Represente o jogo na sua formaextensiva e determine o equilíbrio perfeito em subjogos. (1.5 valores)

Solução: O equilíbrio perfeito em subjogos é dado por s1 = U e s2 = (L;C; L).

(d) Considere agora que os jogadores repetem o jogo estático duas vezes, com a segundajogada a ocorrer depois de os jogadores observarem o resultado da primeira jogada. Numequilíbrio perfeito em subjogos, é possível implementar (D;R) como resultado da primeirajogada? Se sim, com que estratégias? Se não, porquê? (2 valores)

Solução: É possível implementar (D;R) como resultado da primeira jogada com asseguintes estratégias.s1 = D no primeiro período, M no segundo período se jogador 2 escolheu R no primeiro,

U no segundo período se jogador 2 não escolheu R no primeiro.s2 = R no primeiro período, C no segundo período se jogador 2 escolheu R no primeiro,

L no segundo período se jogador 2 não escolheu R no primeiro.Podemos veri�car que estamos sempre a jogar Nash estático no segundo período. Resta

apenas veri�car que a escolha do primeiro período é óptima, o que pode ser feito através daseguinte matriz, que antecipa a jogada do período seguinte de acordo com a estratégia

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P2L C R

U 8; 4 5; 2 7; 4

P1 M 4; 3 6; 6 7; 4

D 4; 9 4; 8 8; 10

Claramente, (D;R) é um equilíbrio de Nash deste jogo.

Atenção: se o equilíbrio do segundo período (M;C) apenas for jogado apenas após (D;R),não teríamos um EPS, como pode ser comprovado escrevendo a matriz para esse caso.

Grupo 3 - Responda a cada uma das seguintes questões.

(a) Considere a função de utilidade esperada dada por u(w) = w� com � > 0. Determinese o agente é avesso, neutro, ou propenso face ao risco, e represente gra�camente a funçãoutilidade. (1.5 valores)

Solução: A aversão ao risco pode ser analisada com base na segunda derivada da funçãoutilidade. Para esta função, é dada por u00(w) = �(�� 1)w��2:Se 0 < � < 1, a função é concava e a segunda derivada é negativa, o que signi�ca que o

agente é avesso ao risco.Se � = 1, a função é linear e a segunda derivada é igual a zero, o que signi�ca que o

agente é neutro face ao risco.Se � > 1, a função é convexa e a segunda derivada é positiva, o que signi�ca que o agente

é propenso ao risco.

(b) Um consumidor tem função de utilidade esperada dada por u(c) = ln c. É-lhe oferecidaa oportunidade de apostar no resultado do lançamento de uma moeda que sai cara comprobabilidade � e coroa com probabilidade 1� �. Se o consumidor apostar x, o retorno daaposta será 2x se sair cara e �x se sair coroa. Sabendo que a riqueza inicial do consumidor éw, determine o valor óptimo de x. Qual o valor mínimo de � para que o consumidor arrisqueum montante positivo? Comente. (2 valores)

Solução: O consumidor escolhe x de modo a maximizar a sua utilidade esperada

maxx� ln(w + 2x) + (1� �) ln(w � x):

A condição de primeira ordem é

2�

w + 2x=1� �w � x ! x =

w

2(3� � 1):

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O indivíduo arrisca uma fracção constante da sua riqueza. O montante arriscado vai serpositivo se � > 1=3. Quando � < 1=3, a lotaria tem valor esperado negativo, o que signi�caque um agente avesso ao risco nunca vai investir nela.

(c) Explique porque é que existe um problema de assimetria de informação no mercadodos carros usados. Descreva uma possível solução para esse problema. (1.5 valores)

Solução: No mercado de carros usados os donos actuais dos carros têm mais informaçãoacerca do estado do carro do que os potenciais compradores, o que gera um problema deselecção adversa. Dado que os compradores de carros não sabem o estado do carro, vão estardispostos a pagar o mesmo por todos os carros. Assim, os donos de carros de boa qualidadenão vão querer vender, o que faz com que transacções bené�cas não ocorram. É possívelmitigar o problema através da existência de garantias que permitam aos donos dos carrosbons sinalizar a qualidade do seu veículo. No entanto, tipicamente há custos associados aesta garantia, o que signi�ca que não será possível atingir o �rst best.

(d) Uma empresa quer contratar um trabalhador para desenvolver um projecto que podegerar um resultado de 80 ou 20. Se o trabalhador exercer esforço elevado, a probabilidade deum bom resultado é de 75%. No entanto, se o trabalhador exercer um esforço reduzido, estaprobabilidade passa a ser apenas de 25%. A função de utilidade do trabalhador é dada poru =

pw � e; em que w é o salário recebido pelo agente. O custo de exercer esforço elevado

é dado por e = 2, enquanto que o custo de exercer esforço reduzido é e = 0. A empresa nãoobserva a escolha de esforço do trabalhador, mas pode oferecer um contrato em que o saláriopago depende do resultado do projecto. Se o trabalhador não aceitasse o contrato, teria umautilidade de reserva de u = 3: Determine qual o contrato óptimo que induz esforço elevado.Comente. (2 valores)

Solução: Dado que o agente é avesso ao risco, se o esforço fosse observável, o contratoóptimo teria salário constante (seguro completo). No entanto, com esforço não observável,um salário constante induziria esforço baixo. Assim, para induzir esforço elevado é necessárioveri�car a seguinte condição, em que wh designa o salário com resultado elevado e wl designao salário quando o resultado é baixo

0:75pwh + 0:25

pwl � 2 � 0:25

pwh + 0:75

pwl:

Para o trabalhador aceitar o contrato, é necessário que a utilidade esperada seja superiorà utilidade de reserva

0:75pwh + 0:25

pwl � 2 � 3:

No contrato óptimo ambas as restrições são activas, o que signi�ca que a solução é dadapelo seguinte sistema de equações

pwh =

pwl + 4

0:75pwh + 0:25

pwl = 5:

Resolvendo, obtemos wl = 4 e wh = 16. A diferença entre o salário nos dois estados danatureza induz esforço elevado pois com esforço elevado é mais provável que o projecto sejabem sucedido, o que dará um maior salário ao trabalhador.

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