Evidência e Credibilidade:Teste Bayesiano de significância para

Hipóteses precisas

Evidência e Credibilidade:Teste Bayesiano de significância para Hipóteses

precisas

Objetivo Definições Cálculo do teste Exemplo Comentários Bibliografia

Objetivo

Apresentar uma medida de evidência bayesiana (bayesiana porque trabalha com priores e posteriores) para hipótese nula precisa.

A intenção é dar uma alternativa bayesiana para testes de significância.

Definições

Hipóteses precisas: Temos uma hipótese precisa quando Ho (que chamamos

de hipótes nula) apresenta um valor fixo. Exemplo: Ho : = 0.3 vs H1: 0.3 ,

(onde representa a média de uma população) P-valor: medida de evidência dos dados ,dado que a hipótese

nula é verdadeira Probabilidade posteriori: probabilidade condicional de (parâmetro da

distribuição) depois que observamos os dados .

Definições

Fator de Bayes:O fator de Bayes consiste na divisão entre a razão das

densidades posteriores de 0 e 1 pela razão das priores 0 e 1 .Essa medida é usada em favor da hipótese nula, como veremos abaixo:

B= (0/x)/(1/x)

0 / 1

Definições

Confiabilidade de um conjunto:

Seja C um subconjunto de tal que, C= : (/x) K(),onde K() é a maior constante tal que, P(C/x) 1-

P(C/x)= c (/x)d ,caso contínuo e

= (/x) , caso discreto C P(C/x) é a medida de confiabilidade do conjunto C.

Definições

Medida de evidência bayesiana - Ev (H) É uma medida de evidência dos dados a favor da

hipótese nula, ou seja, quanto podemos acreditar que a hipótese nula proposta pelo teste é verdadeira.

Ev (H)=1 – K*

Cálculo de Ev (H)

Definimos o teste de hipótese: Ho : = 0 vs H1: 0 , 0 Rn,

- representa a média de uma população X - espaço paramétrico Observamos uma amostra aleátoria de tamanho n da

população X = (x1 , x2 ,...... , xn )

Consideramos como uma variável aleatória e definimos uma priori para que chamamos de 0

Cálculo de Ev (H)

Depois de observar os dados calculamos a função densidade posteriori , (/x).Discutiremos nesse trabalho testes de hipótese precisa sob absoluta continuidade do modelo de probabilidade posteriore.

Definimos um conjunto T como sendo um subconjunto do espaço paramétrico,cuja a densidade posteriori é maior que .

Cálculo de Ev (H)

Calculamos a confiabilidade de T : K*= T (/x),

(integramos em todo cuja posteriore é maior que )

Calculamos f* (f*=f(*) ) que é o máximo da densidade posteriore sob a hipótese nula, ou seja, encontramos o * que maximiza a posteriore de , o valor f* será o definido anteriormente.

Cálculo de Ev (H)

Temos então o nosso T como o conjunto tangente à hipótese nula,cuja confiabilidade é K*, ou seja , temos o conjunto dos ’s, cuja posteriore é maior que f*= .

Calculamos Ev (H)=1- K* e podemos concluir que : se temos T com alta probabilidade, significa uma baixa probabilidade para a região da hipótese nula.

Cálculo computacional de Ev (H)

Calculamos a medida de evidência em dois passos:

1. Calculamos * que maximiza a posteriori sob a hipótese nula .

2. Calculamos K*= (/x) , onde (/x) é igual a zero para todo , cuja (/x) f(*) ou .

Exemplo

Mostraremos um teste de proporção:

Seja uma variável aleatória X com distribuição binomial (20,) , seja “S” o número de sucessos observados.

O espaço paramétrico será = 0 1

Usaremos como priori Pr =p=0.5 e a densidade Uniforme para sob a hipótese alternativa.

Teste : H0: = 0.5 vs H1: 0.5

Avaliaremos a medida de evidência apresentada no trabalho, o fator de Bayes, p-valor e PP(probabilidade posteriori de H0)

ExemploTabela de resultados:

Comentários

•A Medida de evidência em relação a Hipótese nula Ev(H) traz

grandes vantagens por ter ser cálculo baseado nos dados da

amostra, ou seja, dados observados, porém devemos levar em

consideração a definição da priori dos parâmetros que deve ser

adequada.

•O p-valor tem a restrição de supor que a hipótese nula é

verdadeira e não temos garantias para esta suposição.

Comentários

•O valor da probailidade posteriori está diretamente ligada a

priori definida para o parâmetro, tendo como vantagem ser uma

medida calculada depois de observar os dados.

•O fator de Bayes quando definimos uma priori igual a 1 pode ser

considerada como uma razão de verossimilhanças que é bem aceito

pela teoria frequentista,caso contrário precisamos definir prioris

adequadas.

Bibliografia

•James O. Berger: Statistical Decision Theory and Bayesian

Analysis.

•Carlos alberto de Bragança Pereira and Julio Michael Ster:

Evidence and Credibility-Full Bayesian Significance Test for

Precise.

•José M Bernardo and Raúl Rueda: Hypotheses Bayesian Hypothesis

testing.