ESTUDO DA RETAEquaes

Equao da reta que passa por dois pontos

Considerando os pontos A(x1, y1) e B(x2 , y2 ) e P(x,y) um ponto genrico do plano cartesiano vamos estabelecer uma relao entre x e y que nos garanta que esse ponto pertena a reta que passa por AB ou seja que esses pontos sejam colineares.

Sejam os vetores Como eles esto sobre a mesma reta eles so paralelos, ento:

Desenvolvendo a equao da reta que passa por dois pontos.Eq. Geral da reta

EXEMPLOS: 1) Equao geral da reta: 2x + 3y 8 = 0

2) Escreva a equao da reta que passa pelos pontos A(1,3) e B(4,5).

3) Verificar se os pontos (1,3) e (-1,4) pertence a reta anterior.Basta substituir o ponto na equao da reta.2.1 -3.3+7=02-9+7=00 = 0 (V) , logo o ponto pertence a reta.2(-1)-3.4+7=0-2 12 + 7 = 07 = 0 (F) , logo o ponto no pertence a reta 4) Determine o ponto em que a reta 2x 3y 6 = 0 corta o eixo das abscissas.5) Determine o ponto em que a reta 3x 2y 6 = 0 corta o eixo das ordenadas.6) Qual ser o ponto da reta 5x + 3y 8 = 0 que possui abscissa igual a ordenada

EXERCCIOS:Determine a equao da reta que passa pelos pontos:(- 1,3) e (2, -7) b) (4,2) e (2,- 3) c) (3,4) e (3, -2) d) (0,0) e (5,2)

2) Uma reta dada pela equao 2x + y 6 = 0 . Determine o valor de m para que o ponto P(m-1;2) pertena a essa reta..

3) Determine a interseco da reta 2x + y 4 = 0 com os eixos coordenados.

4) Determine a equaes das retas r, s, t e u na figura.

Representao cartesiana de uma reta

EXERCCIOS:

Represente graficamente as retas:

a)x + y 1 = 0

b) 2x y + 2 = 0

2) Achar os pontos de interseco da reta 2x 3y 12 = 0 com os eixos coordenados e construir a reta.

Casos particularesAnulamento dos coeficientes da equaoDada a equao na forma geral Ax + By + C = 0Reta paralela ao eixo dos X

a equao do eixo dos X

Reta paralela ao eixo dos Y

a equao do eixo dos Y

Reta que passa pela origem

Equao reduzida da reta Eq. Reduzida da reta

Coeficientes da equao reduzidaOs coeficientes a e b da equao reduzida so:a- coeficiente angular

b coeficiente linear

EXEMPLOS:y = 3x + 1

y = - 2x + 1

Clculo do coeficiente angular da reta que passa por 2 pontosEx.: Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(1,2)

Equao da reta que passa por um ponto conhecendo-se o coeficiente angular

EXERCICIOS:1) Escreva a equao reduzida das retas que passa pelos pontos: a) A(2,1) e B(-1,-5). b) A(-5,2) e B(0,3) c) A(1,7) e B(-1,9)2) Escreva a equao da reta que passa pelo ponto P(2,-3) e tem coeficiente angular 5.3) Escreva a equao da reta que passa pela origem e tem coeficiente angular -1.4) Escreva a equao da reta que passa pelo ponto P(-3,2) e no tem declive.5) Escreva a equao que passa pelo ponto P(-2,-3) e tem coeficiente angular nulo.6)Determine o coeficiente angular e a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo dos Y, para cada uma das retas dadas pelas equaes abaixo:y = 2x + 3 b) y + x = 0 c) y + 2 = 0 d) 2x 3y + 1 = 0 e) x 3 = 0

VETOR NORMAL A UMA RETASeja uma reta r do plano cartesiano, de equao Ax + By + C = 0Os coeficientes de x e y so nessa ordem, as componentes de um vertor normal ( ortogonal) a reta r.O vetor - um vetor normal a reta r

Se P(x1 , y1) e Q(x2 , y2) so 2 pontos da reta temos:( Vamos fazer II I )

Ex.: Sendo a reta 2x 5y + 4 = 0 (2,-5) o vetor normal a reta.Posio relativa entre duas retas

Dada as equaes das retas r e s,r: Ax = By + C = 0 e s: Ax + By + C = 0 podemos reconhecer a posio das retas a partir dos coeficientes das equaes.

EXEMPLOS:

PONTO DE INTERSECO:

Aplicao: Sistema de equaes de duas retasConsiderando que:I- Duas retas concorrentes apresentam um nico ponto de interseco.II- Duas retas paralelas coincidentes apresentam infinitos pontos comuns.III- Duas retas paralelas distintas no apresentam ponto comum.Num sistema formado por equaes de duas retas, conclumos que:I- Retas concorrentes O sistema admite uma nica soluo Sistema possvel e determinado.II- Retas paralelas coincidentes O sistema admite infinitas solues Sistema possvel e indeterminado.III- Retas paralelas distintas O sistema no admite soluo Sistema impossvel.

EX.: Discuta os sistemas abaixo:

PARALELISMO

PERPENDICULARIDADE

Paralelismo e perpendicularismo (y = ax + b )

Obteno de uma reta paralela a uma reta dada.

Obteno de uma reta perpendicular a uma reta dada.

EQUAO SEGMENTRIA

Exerccios: 1) Escreva a equao das retas abaixo:

EQUAO PARAMTRICA

DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA