Joo Raimundo Feniasse

ESTUDO COMPLETO DE UMA FUNO

Licenciatura em ensino de Matemtica 4 ano

Universidade PedagogicaQuelimane2015

5

Joo Raimundo Feniasse

ESTUDO COMPLETO DE UMA FUNO

Didctica de Matemtica 4Licenciatura em ensino de Matemtica 4 ano

O trabalho pesquisa a ser entregue ao docente da cadeira com fins avaliativos.

Docente:Dr Tang

Universidade PedaggicaQuelimane2015ndice Introduo3Definio, domnio e contradomnio4Zeros e sinal de uma funo4Monotonia de uma funo5Periodicidade duma funo6Extremo duma funo6Teorema 1: Teorema do valor extremo7Extremos locais (Relativos )8Determinao dos extremos9Teorema 2: Primeiro teorema da derivada para valores de extremos locais9Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos:9Definio: Ponto critico9Concavidade9Concavidade e coeficiente angular da tangente10Sinal da Derivada Segunda10Pontos de Inflexo10Construo de Grficos10Exemplos do estudo completo duma funo11Assimptotas12Problemas de optimizao sobre extremos mximos14Problema de optimizao (mnimos)15Concluso17Bibliografia18

IntroduoNeste trabalho faz se abordagem das caractersticas duma funo de forma detalhada com mais enfoque a aplicao do conhecimento da derivao. do conhecimento que nem sempre fcil determinar certas caractersticas como os extremos sejam eles locais (relativos) ou globais (absolutos), neste trabalho apresentado uma abordagem deste contedo com recurso aos teoremas das derivadas primeira e segunda.A composio deste trabalho est alga maada basicamente pelo elemento do estudo completo duma funo e no final apresentado algumas tarefas de optimizao para estudo de extremos, com uma resolvida para cada situao.

Definio, domnio e contradomnioDados dois conjuntos A e B, umafunode A em B uma correspondncia que associa a cada elemento um e um s elemento (correspondncia unvoca). usual a notao

para representar uma funo de em . Para cada o correspondente elemento aimagemde por e usualmente representado por O conjunto A odomniode tambm representado por O conjunto B oconjunto de chegadade O conjunto das imagens dos elementos de por , isto , o conjunto

ocontradomniode , usualmente representado por . Naturalmente, tem-se que Uma funo est definida quando se conhece o seu domnio, o seu conjunto de chegada e o modo de identificar ou calcular a imagem de cada elemento do domnio.Ao definir uma funo real de varivel real f atravs de uma expresso designatria f(x), se no se indicar explicitamente o domnio de f deve sempre assumir-se que este o conjunto de todos os reais a tais que f(a) representa um nmero real. Por exemplo, quando se diz f a funo real de varivel real definida porno seu domnio tal significa que a funo

Zeros e sinal de uma funoSeja f umafuno real de varivel reale . Diz-se que a umzerode se positivaem se no negativaem a se negativaem a se no positivaem a se Diz-se que a funo positiva num subconjunto de se positiva em para cada . De igual modo se define funo no negativa, negativa e no positiva em A.

Grfico de uma funo Na figura encontra-se o grfico de uma funo real de varivel real, com domnio Observe-se que -2 e 2 so zeros da funo positiva em ]2,11/2[ no negativa em [2,11/2[ negativa em ]-2,2[ no positiva em [-2,2]Monotonia de uma funoSeja f umafuno real de varivel reale seja A um subconjunto de Df.Diz-se que f uma funocrescenteem A sef(a) > f(b) para cada a, bA tal que a > b f uma funocrescente em sentido latoem A sef(a)f(b) para cada a, bA tal que a > b f uma funodecrescenteem A sef(a) < f(b) para cada a, bA tal que a > b f uma funodecrescente em sentido latoem A sef(a)f(b) para cada a, bA tal que a > bDesigna-se tambm porestritamente crescenteeestritamente decrescenteem A uma funo crescente e decrescente em A, respectivamente.A funo f diz-se montona em A se for crescente em A ou se for decrescente em A.Quando A = Df, pode omitir-se a referncia a A. Neste caso, fala-se ento simplesmente de funo crescente, funo decrescente, funo montona, etc.

Grfico de uma funofNa figura encontra-se o grfico de uma funo f real de varivel real, com domnio decrescente em [-2,0] e em [4,11/2[ e crescente em [0,4].

Periodicidade duma funo Afuno real de varivel realf diz-seperidicase existe um nmero real P diferente de 0 tal que para todo o Exemplo de funes peridicas so as funes trigonomtricasseno,co-senoetangente.

Extremo duma funoDefinio: Mximo absoluto, mnimo absolutoSeja uma funo de dominino . Ento tem o valor mximo absoluto em em um ponto se para qualquer .O valor mnimo absoluto em em um ponto se para qualquer .Mximo e mnimos absolutos so tambm chamados de extremos absolutos para diferenciar dos extremos locais.

Por exemplo, no intervalo fechado , a funo assume o valor mximo 1 (uma vez) e o valor mnimo 0 (duas vezes). No mesmo intervalo a funo assume o valor mximo 1 e o valor mnimo -1. Por outro lado temos que funes definidas pela mesma regra podem ter extremos diferentes, dependendo do domnio.Por exemplo, a funo .Funo Domnio Extremos absolutos em

Ausncia de mximo absolutoMnimo absoluto 0 quando

Mximo absoluto 4 quando Mnimo absoluto 0 quando

Mximo absoluto 4 quando Ausncia de mnimo absoluto

Ausncia de mximo absolutoAusncia de mnimo absoluto

Teorema 1: Teorema do valor extremoSe continua no intervalo fechado, ento assume tanto o valor mximo como o valor mnimo em . Ou seja h nmeros tais que e para qualquer .

Extremos locais (Relativos )Definicao.Uma funo tem um valor mximo local em um ponto interior do seu domnio se para qualquer em um intervalo aberto que contenha .Uma funo tem um valor mnimo local em um ponto interior do seu domnio se para qualquer em um intervalo aberto que contenha .

Determinao dos extremosTeorema 2: Primeiro teorema da derivada para valores de extremos locaisSe possui um valor mximo ou mnimo local em um ponto interior de seu domnio e se definida em ento,

O teorema diz que a primeira derivada da funo sempre zero em um ponto interior onde a funo tenha um valor extremo local e a derivada seja definida. Desta forma os nicos locais que a funo pode ter os valores extremos (relativos ou absolutos) so:1. Pontos interiores onde ;2. Pontos interiores onde no existe;3. Extremidades do domnio de .

Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos:

Seja derivvel em Se tal que existe e contnua em V(x) ento:a) Se o ponto mximo relativo.b) Se , o ponto mnimo relativo.Definio: Ponto criticoUm ponto interior do domnio de uma funo onde zero ou indefinida um ponto critico de .Assim os nicos pontos do domnio que uma funo pode tomar os valores extremos so os pontos crticos e as extremidades.Para determinar os pontos extremos absoluto de uma funo continua em intervalo finito procede o seguinte:1. Calcular em todos pontos crticos e extremidades;2. Toma-se o maior e o menor valor obtido.ConcavidadeDiz-se que uma curva tem concavidade para baixo quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros do relgio, ao percorre a curva da esquerda para a direita.Diz-se que uma curva tem concavidade para cima quando sua tangente se move no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio, ao percorre a curva da esquerda para a direita.

Concavidade e coeficiente angular da tangenteQuando a curva tem concavidade para cima, o coeficiente angular de sua tangente cresce quando aumenta de valor. Quando a curva tem concavidade para baixo, o coeficiente angular da sua tangente decresce quando aumenta de valor.

Sinal da Derivada SegundaA relao entre concavidade e coeficiente angular da tangente determina uma caracterizao simples de concavidade em termos de sinal da derivada segunda. Suponha que a derivada Segunda f seja positiva num intervalo. Logo, a derivada primeira f crescente no intervalo. Mas f o coeficiente angular da tangente, portanto, crescente e a curva do grfico de f tem concavidade para cima no intervalo. Por outro lado, se f negativo no intervalo, ento f decrescente e a curva do grfico de f tem concavidade para baixo no intervalo.Significado geomtrico do sinal da derivada Segunda:a) se f (x) > 0 quando a < x < b, ento, f tem concavidade para cima em a < x < b.b) se f (x) < 0 quando a < x < b, ento, f tem concavidade para baixo em a < x < b.

Pontos de InflexoO ponto no qual ocorre a variao de concavidade da funo denomina-se ponto de inflexo. Se a derivada segunda definida no ponto de inflexo, seu valor tem que ser zero. Os pontos de inflexo podem ocorrer onde a derivada segunda indefinida.Os pontos nos quais a derivada segunda da funo nula ou indefinida denominam-se pontos crticos de segunda ordem.

Construo de GrficosDevemos seguir os seguintes passos, para obter o grfico da funo a) Explicite o domnio;b) Calcule a derivada primeira e, em seguida, as coordenadas dos pontos crticos de primeira ordem, igualando a zero e resolvendo a equao em . No esquea de incluir tambm valores de x para os quais a derivada indefinida. Substitua estes valores de na funo obtendo as coordenadas y dos pontos crticos.c) Calcule a derivada segunda Procede-se como no passo anterior.d) Estude o sinal da primeira derivada e determine onde crescente ou decrescente. Destaque os pontos Mximo e Mnimo.e) Estude a concavidade de verificando o sinal da segunda derivada. Destaque os pontos de inflexo.f) Determine as equaes das assntotas verticais e obliquas e as intersees com os eixos coordenados.g) Construa o grfico.

IntervalosSinal de Sinal de Crescente ou DecrescenteConcavidadeFormato de Curva

++CrescentePara cima

-+DecrescentePara cima

+-CrescentePara baixo

--DecrescentePara baixo

Exemplos do estudo completo duma funo Consideremos as seguintes funes:1. em todo o seu domnio

Faamos o estudo completo.Comeando pela funo Domnio: o conjunto dos nmeros reais ou seja Contradomnio: o conjunto dos nmeros reais ou seja Zeros da funo:

Encontramos uma das razes , aplicamos de seguida a regra de Rufin e teremos o seguinte:

Os zeros da funo so neste caso

Variao do sinal

Monotonia, concavidade, mximo e mnimo

Os pontos crticos so: mnimo mximo

ponto de inflexo

Estudo da monotonia (teorema da derivada primeira)

Decrescente Crescente30,041Decrescente

Estudo da concavidade (teorema da derivada segunda)

2

0

Concavidade virada para cima 12Concavidade virada para baixo

AssimptotasDiz-se que a recta, ondeaR, umaassntota verticaldo grfico de uma funof (x) se e s seou ouou.Estas quatro situaes possveis para uma mesma assntota vertical ficam bem identificadas num quadro de variao da funo.Diz-se que a recta, onde, umaassmptota horizontaldo grfico de uma funof (x) se e s seou.Em termos geomtricos, a aproximao do grfico assntota pode fazer-se por cima da assntota, por baixo da assntota ou nem uma coisa nem outra. Pelo menos nos dois primeiros casos um registo adequado num quadro de variao permite identificar rapidamente em qual das situaes se est.Exemplo: Determine as assntotas verticais e horizontais (se existirem).

Antes de comear a calcular os limites de uma funo com a finalidade de encontrar as assntotas verticais e horizontais, importante calcular o domnioD da funo, pois isto nos dar informaes importantes sobre as assntotas verticais.

Encontrando o domnioD da funof(x):O denominador da fraco deve ser diferente de zero, logo temos: Logo o domnio da funo ser Sabendo quex=2no pertence ao domnio da funo, podemos calcular o limite da funof(x)quandoxse aproxima de 2 com a finalidade de verificar se existe uma assntota vertical neste ponto., poisquandopela direita e, poisquandopela esquerda.Como consequncia, temos que a rectax=2 uma assntota vertical da funof (x) .Agora para tentar encontrar assntotas horizontas devemos calcular o limite da funof(x)quandoxtende a.

Logo existe uma assntota horizontal de equao.Portanto as assntotas so.Em termos do grfico teremos:

Problemas de optimizao sobre extremos mximos 1. Um projctil arremessado verticalmente de uma altura, dada em metros, sua alturas em funo do tempotsegundos aps o lanamento, dada por

Qual a altura mxima que o projctil atinge?Usando o teorema da derivada primeira tem se:Primeiro achar a derivada primeira Anulamos a derivada primeira: , ponto critico.Calculamos o valor da altura para tempo O que permite concluir que a altura mxima atingida pelo projctil de .2. Uma bola atirada de baixo para cima, na vertical, atinge a altura h, em metros, dada por ao fim de t segundos.Qual a altura mxima atingida pela bola e o tempo gasto nesse percurso?3. Um vendedor compra calas directamente da fbrica ao preo de 720,00 Mts a caixa com 12 calas. O valor de revenda sugerido pela fbrica e de 160,00 Mts a cala. A esse preo o vendedor costuma vender 30 caixas por ms. No entanto, a experincia do vendedor mostra que para cada 5,00Mts que oferece de desconto no preo sugerido da fbrica, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada cala para que seu lucro mensal seja o mximo possvel?

Problema de optimizao (mnimos)1. Durante vrias semanas, o departamento de trnsito da cidade de Quelimane vem registrando a velocidade dos veculos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e 18 horas, a velocidade mdia neste cruzamento dada aproximadamente por , onde t o nmero de horas aps o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 que o trnsito mais lento?Soluo:O objectivo determinar o mnimo absoluto da funo v(t) no intervalo . Para isso, inicialmente calculamos a primeira derivada e igualamos-na a zero para encontrar os pontos crticos:

Portanto, estes so os pontos crticos de , ambos pertencentes ao intervalo (1,6).Para verificar se so pontos de mximo ou mnimo locais, usamos o teste da segunda derivada: ponto de mximo local de ; ponto de mnimo local de v.Para determinar os pontos de mximo e mnimo globais (absolutos) de em [1,6], precisamos comparar os valores que assume nos pontos crticos, com os respectivos valores nos extremos do intervalo, pois como uma funo contnua definida em um intervalo fechado, pode assumir seus valores mximo e mnimo globais ou nos pontos crticos, ou nos extremos do intervalo. Assim, temos:

Com isso conclumos que t = 2 ponto de mximo global e t = 5 ponto de mnimo global de v no intervalo de interesse [1,6]. Isso significa que o trnsito mais lento as 17h, quando os carros passam pelo cruzamento a uma velocidade mdia de 32,5 km/h.2. Uma estao de rdio fez um levantamento dos hbitos dos ouvintes entre 17h e meia-noite. A pesquisa mostra que a percentagem de adultos sintonizados na estao horas aps as 17h Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem menos ouvintes sintonizados na estao?3. Um departamento de estradas de rodagem est planejando fazer uma rea de descanso para motoristas, beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser rectangular, com uma rea de 5.000 m2 e deve ser cercado nos trs lados que no do para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessria para a obra?

Concluso Deste trabalho pode-se tirar as seguintes concluses, no que diz respeito a uma funo e suas caractersticas foi possvel notar possvel debruar se dos valores extremos mximos ou mnimos, monotonia e concavidade a partir dos testes da primeira e da segunda derivada, o que torna muito mais fcil e eficaz a interpretao das tais caractersticas.Tambm aproveita do teste da derivada segunda para obteno do ponto de inflexo e por fim reunidos todas as caractersticas j pode se idealizar a possvel imagem da funo no sistema cartesiano ortogonal.

Bibliografia1. THOMAS, George B.; Calculo; editora Afiliada; So Paulo; 11 ed.; 2008.2. http://calculo.wikidot.com/1-4-derivadas-parte-6 acesso em 24/05/2015 11:17 pm.3. http://www.calculo.iq.unesp.br/PDF/Lista4resolucao.pdf acesso em 25/05/2015 9:35am.4. http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap101s4.html acessado em 23/05/2015 as 7:18 pm.