ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE ...Estratégias de resolução numérica de problemas de...

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 48, p. 101-119, 2009

ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE CONTATO

Dorival Piedade Neto1 & Sergio Persival Baroncini Proença 2

R e s u m o Os problemas de contato representam uma classe de problemas da Mecânica dos Sólidos para a qual a não-linearidade é introduzida pela alteração das condições de contorno, as quais só podem ser determinadas no decorrer do processo de resolução. O presente trabalho trata de problemas de contato, abordando aspectos de sua formulação e implementação numérica. Apresentam-se, em particular, as formulações de dois diferentes tipos de elemento de contato, bem como a aplicação de técnicas de otimização para o tratamento numérico das restrições decorrentes do contato. Algumas estratégias para resolução computacional desta classe de problemas foram implementadas num programa computacional de elementos finitos e seu desempenho é avaliado comparativamente por meio de exemplos numéricos. Palavras-chave: Problemas de contato. Método dos elementos finitos. Métodos de otimização. Elementos de contato.

NUMERICAL SOLUTION STRATEGIES FOR CONTACT PROBLEMS

A b s t r a c t Contact problems represent a class of Solid Mechanics problems for which the nonlinear behavior is caused by modifications of the boundary conditions during the solution process. The present work treats of contact problems addressing aspects of its formulation and numerical implementation. Specifically, the formulations of two different contact elements are presented, then discussing, in details, the numerical strategies to account for contact restrictions. Some alternatives for the computational solution of this class of problems, given by optimization techniques, were implemented in a finite element computational program. The performance of the numerical strategies and contact elements were compared and evaluated by numerical examples. Keywords: Contact problems. Finite element method. Optimization problem. Contact elements.

1 INTRODUÇÃO

Os problemas de contato representam uma classe de problemas da Mecânica dos Sólidos para a qual sólidos distintos interagem quando partes que os compõe tendem a ocupar simultaneamente a mesma posição do espaço. Como conseqüência natural altera-se as condições de contorno e, devido à impenetrabilidade, surgem forças de ação e reação entre os sólidos. Geralmente essas alterações só podem ser determinadas no decorrer do processo de resolução e, dessa forma, o regime de comportamento do sistema se caracteriza como não-linear. Neste trabalho as bases teóricas da Mecânica do Contato são brevemente revistas e o desempenho de algumas estratégias numéricas é avaliado mediante exemplos de aplicação.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Dorival Piedade Neto & Sergio Persival Baroncini Proença


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2 CONCEITOS GERAIS DA MECÂNICA DO CONTATO

Quando um sólido é modelado ao mesmo se aplicam condições de equilíbrio, de compatibilidade entre os campos de deslocamentos e deformações, e relações constitutivas, as quais relacionam os campos de deformações e de tensões. Quando o problema passa a ser composto por um sistema de sólidos distintos, condições adicionais surgem como conseqüência da eventual interação entre os mesmos. Para discutir o contato, tome-se o caso genérico de dois sólidos SA e SB com domínios ΩA e ΩB, conforme indicado na Figura 1.

Figura 1 – Modelos físico e matemático para um conjunto de dois sólidos.

Assim como no caso de um sólido isolado, o contorno dos mesmos é subdividido em uma parcela Γt sobre a qual se aplicam forças de superfície (Neumann) e uma parcela Γu onde se definem deslocamentos impostos (Dirichlet). Além delas, para ambos os sólidos, tem-se uma terceira região distinta indicada por Γc, sobre a qual se realiza o contato. Uma vez que, naturalmente, partes distintas dos sólidos não podem ocupar simultaneamente a mesma posição no espaço, a restrição que se aplica em Γc é dita de impenetrabilidade (Belytscho, Liu e Moran, 2003). Ainda segundo os mesmos autores, uma das dificuldades da abordagem dos problemas de contato decorre do fato de que a condição de impenetrabilidade não pode ser inserida diretamente no modelo matemático na forma de uma expressão analítica ou diferencial. Tal condição pode apenas ser representada em termos gerais como:

A BΩ Ω =∅I (1)

A alternativa para avaliar a ocorrência de penetração consiste em definir uma função g que indica o intervalo de distância entre os pontos das duas superfícies que concorrem em Γc. Tal função é definida de maneira a apresentar valor nulo quando do contato e valores positivos quando existirem folgas entre dois pontos de contato em potencial. Um valor negativo de g indica a penetração de uma superfície sobre a outra. Em termos teóricos tal possibilidade não é admissível, entretanto, pode ser relaxada dentro das etapas iterativas de correção dos algoritmos de resolução numérica. Outra conseqüência do contato, já comentada, é o aparecimento de forças de ação e reação entre os sólidos. Uma vez que, a depender do modelo físico adotado, não se admita a adesão das superfícies, o contato será do tipo unilateral e então passa a valer uma condição sobre a tensão normal à superfície (tcn) na região de contato, que, nessa hipótese, deve ser sempre de compressão.

SA SB ΩA ΩB

Γu A

Γt B

Γc

Γc

Γt A Γt B

Γu B

ΩA, ΩB Rn

Γ=Γt U Γu U Γc

Γc= ΓcA= ΓcBΓt A

(para SA e SB)

Estratégias de resolução numérica de problemas de contato


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Esta última condição sobre a tensão pode ser combinada com a restrição de impenetrabilidade gerando uma única condição, dita de complementaridade. A combinação acaba por levar em conta duas situações possíveis: i) Quando o contato ocorre g é nula e tcn apresenta valor negativo (compressão); ii) Quando não há ocorrência de contato, tcn é nula, e g apresenta valor positivo. Assim, a condição de complementaridade é representada pela seguinte expressão:

( ). ( ) 0, cn cg x t x x= ∀ ∈Γ (2)

Apesar das funções que compõem a Eq. (2) serem descontinuas quando analisadas isoladamente, é possível propor uma forma regularizada da Eq. (2) mediante aproximação, por exemplo, por uma hipérbole. Entretanto, uma aproximação de tal natureza permite valores positivos para a variável tcn, o que, conforme já discutido, não é admitido pelo modelo físico. O emprego de tal regularização demanda cuidados adicionais quando do procedimento de resolução, devendo se avaliar os sinais de tcn e g isoladamente. Independente da regularização ou não da condição de complementaridade, qualquer procedimento de resolução de um problema de contato deve contemplar a possibilidade de ativação de restrições sobre as variáveis envolvidas na região do contato. Nesse sentido, as conhecidas estratégias de otimização com restrição da programação matemática apresentam-se como alternativas consistentes para a solução deste tipo de problema, sendo prioritariamente utilizadas nas metodologias de resolução numérica que serão apresentadas no item 3.2.

3 TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE CONTATO

A modelação do comportamento estrutural dos sólidos é realizada neste trabalho mediante a aplicação de elementos finitos convencionais de chapa, os quais serão brevemente apresentados em 3.1. No item 3.2 são apresentados os métodos de otimização irrestrita e técnicas adotadas de restrição de variáveis. Entre elas destacam-se, inicialmente, as estratégias de otimização com variáveis canalizadas, nas quais o contato é simulado pela definição de intervalos admissíveis para algumas variáveis isoladamente (Rigo, 1999). Uma aplicação direta mostrada consiste no caso dos sólidos isolados sujeitos ao contato com anteparos rígidos retos, convenientemente posicionados em planos perpendiculares aos eixos dos sistemas de coordenadas de referência. No item 3.3 introduzem-se elementos finitos de contato que permitem a abordagem de situações gerais, com nível de complexidade mais elevado. Tais elementos, além de detectar o contato entre superfícies, introduzem no sistema as restrições decorrentes da interação entre os sólidos.

3.1 Modelagem dos sólidos por meio de elementos finitos

Para a modelagem bidimensional dos sólidos empregam-se elementos finitos de chapa clássicos, cuja formulação pode ser facilmente encontrada nas referências (Assan, 2003), (Savassi, 2000) e (Zienkiewicz e Taylor, 2000). Esses elementos permitem modelar tanto Estados Planos de Tensão (EPT) quanto Estados Planos de Deformação (EPD), (Timoshenko e Goodier, 1980). Utiliza-se aqui o seguinte conjunto de vetores para descrever a posição e deslocamento dos sólidos modelados: o vetor x é utilizado para indicar a posição inicial de um ponto, o vetor u reúne as



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componentes de deslocamento u e v, nas direções horizontal e vertical, respectivamente, e o vetor xu indica a posição atual de de tal ponto. Observa-se que numa etapa qualquer do processo físico: xu=x+u=(x+u,y+v). Para os elementos desenvolvidos adotou-se uma formulação isoparamétrica, segundo a qual as mesmas bases de funções de aproximação para os campos de deslocamento são empregadas para descrever a posição dos pontos do sólido. Foram formulados elementos triangulares e quadrilaterais com aproximação do primeiro e segundo grau, indicados na Figura 2.

Figura 2 – Elementos finitos implementados.

Integração numérica foi empregada quando necessário, sendo que para os elementos de domínios triangulares foram utilizadas as tabelas de Hammer (Cowper, 1972), enquanto que para os elementos de domínio retangular foram utilizados diretamente os pontos dados pela Quadratura de Gauss-Legendre.

3.2 Estratégias de otimização

Em termos matemáticos, otimização é a minimização (ou maximização) de uma função (objetivo) sujeita a restrições em suas variáveis. Em geral, os algoritmos clássicos de otimização têm como estrutura básica adotar uma estimativa inicial e iterativamente buscar soluções melhores, ou seja, que mais se aproximem do valor mínimo (ou máximo) da função objetivo, atendendo às restrições impostas pelo modelo. A forma geral dos algoritmos de resolução clássicos é:

1k k ku u dα+ = + (3)

Na Eq. (3) u é o vetor solução, que em cada iteração k é ‘aprimorado’ pela soma de um vetor d, que proporciona uma direção segundo a qual ocorre redução do valor objetivo. O escalar α é calculado de maneira que se atinja um ponto de mínimo na direção por ele indicada. Basicamente os métodos clássicos de otimização irrestrita se diferenciam por adotar estratégias distintas para a determinação do vetor d. A seguir serão indicados alguns desses métodos que foram implementados no programa desenvolvido. Uma descrição mais detalhada dos mesmos pode ser obtida em (Luenberger, 2005) e (Nocedal e Wright, 2006).

Alguns métodos de otimização irrestrita

Método do Gradiente

ISOT3

1 2

3

ISOQ4

1 2

4 3

ISOQ8

1 2

4 3

5

68

7

ISOT6

1 2

3

4

56

Aproximação 2º grau Aproximação 1º grau



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Este método baseia-se no fato do vetor gradiente apontar no sentido de maior variação positiva da função objetivo, e toma para d a mesma direção com sentido oposto àquele do gradiente. O método proporciona uma trajetória de busca em ‘ziguezague’ com taxa de convergência que se reduz muito próximo do ponto de mínimo. Método dos Gradientes Conjugados O método dos gradientes conjugados associa d com uma seqüência de direções de busca ditas conjugadas, diferentes daquelas do gradiente, mas que proporcionam grandes melhorias de convergência com relação ao método anterior. Devido à facilidade de implementação e taxa de convergência, este método é também empregado para a resolução de grandes sistemas de equações. Método de Newton O método de Newton parte de uma aproximação do segundo grau para a função objetivo, recaindo em um sistema de equações envolvendo a matriz hessiana e o vetor gradiente em um dado ponto, o qual sendo resolvido resulta no vetor d. Uma vantagem do método é que nas vizinhanças da solução o mesmo apresenta taxa de convergência quadrática, enquanto o método dos gradientes apresenta taxa linear. Métodos do tipo quase Newton Trata-se de uma classe de métodos que se baseiam no método de Newton, utilizando, entretanto, aproximações da matriz hessiana para a resolução do sistema do qual resulta d. No presente trabalho foram utilizadas duas variantes do Método: DFP, proposto por Davidson, Fletcher e Powell, e BFGS, atribuído a Broyden, Fletcher, Goldfarb e Shanno. Sua taxa de convergência é dita superlinear, sendo intermediária à linear e à quadrática.

Estratégias de restrição de variáveis

Quando o problema de otimização apresenta condições limitantes sobre o conjunto de variáveis, tem-se formalmente um problema de otimização restrita. Neste caso, a estratégia de resolução consiste em transformar o problema para uma forma de otimização irrestrita, construindo uma nova função objetivo que incorpora as restrições com o auxílio do método dos multiplicadores de Lagrange ou do método da penalização, por exemplo. O primeiro faz uso de variáveis λL, que constituem os multiplicadores que dão nome ao método. Tais variáveis multiplicam a restrição que se quer impor, e tal produto é somado à função objetivo. A nova função objetivo, ao ser minimizada, passa a atender a restrição imposta em forma de igualdade. Devido à similaridade entre as parcelas que envolvem os multiplicadores e a condição de complementaridade, nos problemas de contato os multiplicadores λL têm o mesmo significado físico que tcn. O segundo método não introduz novas variáveis ao sistema, simplesmente a nova função é construída somando-se à função objetivo uma função quadrática que representa a restrição multiplicada por um fator de penalização λP. Na medida em que ao fator se atribua um valor tendendo ao infinito, o peso da parcela adicional faz com que a solução para o problema com a nova função irrestrita tenda a se igualar àquela seria obtida para o problema original atendendo à restrição. No caso da penalização também é possível atribuir um significado físico ao fator de penalização quando da sua aplicação em problemas de contato. De fato, λP equivale à rigidez de uma mola de dimensões infinitesimais que liga os pontos de contato; quanto maior é essa rigidez, maior é a restrição imposta à variação de distância entre os pontos de contato.



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No presente trabalho esses dois métodos foram ainda associados à estratégia dos conjuntos ativos (Luenberger, 2005), aplicada com sucesso por (Rigo, 1999) aos problemas de contato unilateral em estruturas compostas por barras prismáticas. A estratégia dos conjuntos ativos parte da premissa que em nenhum momento a busca do ponto ótimo extrapole os limites da região factível. Quando o método de otimização utilizado aponta para um ponto fora dos limites da região factível, a estratégia determina a adoção de um passo α adequado, de tal modo a alcançar a posição limite daquela região, ativando, a partir daí, uma restrição de igualdade e continuando a busca num espaço de dimensão reduzida. Cada vez que uma restrição correspondente a um limite da região factível é ativada procede-se da mesma maneira, até que se atinja o ponto de mínimo do espaço reduzido. Os problemas de otimização com variáveis canalizadas constituem uma classe particular onde as restrições se traduzem por intervalos de valores factíveis impostos a algumas varáveis. Tal forma de restrição constitui a maneira mais simples de simular o contato em sólidos sujeitos à ação de vínculos unilaterais pontuais. Para casos mais gerais, como os problemas de contato entre corpos deformáveis, outras técnicas mostram-se necessárias.

3.3 Elementos de contato

No caso geral de problemas de contato, a abordagem simplificada por meio de variáveis canalizadas não se aplica, sendo o emprego de elementos finitos de contato a alternativa mais eficiente. Essencialmente, é necessário o desenvolvimento de rotinas de detecção de contato, capazes de avaliar a distância entre um ponto e um segmento, que representa a superfície de contato para o caso bidimensional. A condição de impenetrabilidade, que implica que a distância g detectada seja nula ou positiva, é então imposta por meio dos elementos de contato.

Estratégias de detecção de contato

No caso dos elementos adotados, as superfícies de contato são aproximadas por segmentos definidos por funções lineares (elementos ISOT3 e ISOQ4) ou quadráticas (elementos ISOT6 e ISOQ8). A Figura 3 ilustra as duas representações:

Figura 3 – Determinação da distância entre um ponto P e um segmento de curva definido com funções de forma

de 1º grau (a) e de 2º grau (b).

Em ambos os casos, a distância entre o ponto e o segmento 1-2 é dada pelo segmento P-N. Assim, para avaliação do contato deve-se, primeiramente, determinar a posição do ponto N.

P

N

1

2

(x1,y1)

(x2,y2)

(xN,yN)

(xP,yP)

P

N

1

2

(x1,y1)

(x3,y3)

(xN,yN)

(xP,yP)

3

(x2,y2)

êt

(a) (b)



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Para o caso de segmentos aproximados por funções lineares a obtenção da coordenada adimensional do ponto N (ξlN) pode ser conduzida por uma estratégia de identificação de segmentos onde há projeção do ponto, para o qual o valor da coordenada adimensional local deve estar no intervalo de -1 a 1.

No caso quadrático o vetor tangente pode variar ao longo do segmento, e ξlN é obtido por meio de uma equação não-linear que resulta da imposição da ortogonalidade entre P-N e esse vetor, a qual é dada por:

[ ] [ ]( ) . '( ) ( ) . '( ) 0P l l P l lx x x y y yξ ξ ξ ξ− + − = (4)

A fim de possibilitar a rápida identificação dos segmentos com projeção do ponto, adotou-se para a resolução da Eq. (4) o Método das Falsas Posições (Hamming, 1973), que já na primeira iteração consegue identificar se há raiz no intervalo inicial adotado (-1 a 1). No caso da utilização da estratégia dos conjuntos ativos, também é necessário calcular o escalar α (item 3.2), que garanta da impenetrabilidade em todos os instantes do processo iterativo. Para tanto, tome-se a situação ilustrada na Figura 4.

Figura 4 – Determinação do escalar α para um segmento de curva polinomial (a) de 1º grau e (b) de 2º grau.

Uma vez que o vetor u=(u,v) aplicado em P cruza o segmento 1-2, é evidente que existe um escalar α tal que:

( ) ( ) ( ), , ( ), ( )P P l lx y u v x yα ξ ξ+ = (5)

A expressão (5) resulta em um sistema de equações com incógnitas α e ξl, que por manipulação algébrica pode ser reduzido a uma equação apenas de ξl, e resolvida numericamente. Tendo-se determinado ξl, pode-se retornar a Eq. (5) e obter o valor de α. Uma vez definidas as técnicas de determinação da distância, podem ser formulados os elementos de contato. Cabe ressaltar que neste trabalho optou-se por tratar apenas do caso particular do contato de um sólido deformável com um anteparo indeformável, sem a consideração do atrito entre as superfícies, também conhecido como Problema de Signorini.

P

1

2

(x1,y1)

(x2,y2) (xP,yP)

P

1

2

(x1,y1)

(x3,y3)

(xP,yP)

3

(x2,y2)

(a) (b)

(xuP,yvP)

(u,v)

(xuP,yvP) (u,v)



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Elementos de contato do tipo ‘nó-segmento’

Este elemento se atrela a cada nó pertencente à região discretizada do contorno passível de entrar em contato com o anteparo, e por esse motivo são aqui referidos como elementos de contato do tipo ‘nó-segmento’. Basicamente sua formulação trata-se de uma generalização da abordagem por meio das variáveis canalizadas, sendo capaz de tratar conjuntamente as restrições sobre as componentes de deslocamento vertical e horizontal observadas em um dado nó. O elemento de contato é ativado quando em uma etapa do processo de resolução identifica-se que o nó ao qual está atrelado encostou ou penetrou na superfície de contato, condição que é detectada pelas estratégias discutidas anteriormente, aplicadas para a posição atual xu do ponto (nó) P. Identificado o ponto (N) do segmento com o qual o nó deve estar em contato na próxima etapa do processo iterativo, ativa-se no sistema resolvente a restrição que corresponde à condição de impenetrabilidade, por meio da função gPN, que calculada segundo indicado no item anterior resulta em:

( ) ( ) ( ). .PN P P N x P P N yg x u x n y v y n= − • = + − + + −uP N nx x ê (6)

Para o caso da utilização de multiplicadores de Lagrange como forma de considerar a restrição de impenetrabilidade, o termo adicional à função objetivo, relativo ao contato, possui primeira variação dada por:

c L PN L PNg gδ λ δ δλΠ = + (7)

Sendo λL aplicada a um único ponto, sua aproximação pode ser dada por uma constante. Desenvolvendo-se a Eq. (7) utilizando-se a Eq. (6), podem ser identificadas as componentes que devem ser adicionadas ao sistema global para levar em conta a situação de contato. Uma vez ativado um elemento de contato em certa iteração, nas próximas deve-se verificar o sinal do multiplicador de Lagrange associado, como forma de detectar uma eventual perda de contato no passo. Assim, um valor positivo para o multiplicador indica que o contato deve ser desativado e a correspondente restrição retirada do sistema. No caso de se utilizar o termo de penalização como forma de inserir a restrição de impenetrabilidade, δΠc resulta em:

c P PN PNg gδ λ δΠ = (8)

Desenvolvendo-se a Eq. (8) obtêm-se as componentes que devem ser adicionados ao sistema global para o caso da utilização do método da penalização. Deve-se ainda atentar que para este último caso a desativação de um dado elemento demanda o uso de uma etapa adicional de análise, uma vez que não existem variáveis associadas diretamente à força de contato, como no caso dos multiplicadores de Lagrange. No presente trabalho, a estratégia adotada para estimar a força de contato consiste num cálculo simples de reações nos vínculos unilaterais, empregando-se a matriz de rigidez do sistema livre das restrições de contato.

Elementos de contato ‘mortar’

Diferentemente dos elementos anteriores que se aplicam a nós isoladamente, os elementos de contato ‘mortar’ estão atrelados a um segmento do contorno discretizado do sólido que entrará em



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contato com o anteparo e derivam de uma técnica originalmente desenvolvida para compatibilizar redes de malhas não-coincidentes (Bernadi, Maday e Patera, 1994) apud (Fisher e Wriggers, 2005). Essencialmente o método emprega uma interpolação de tais multiplicadores ao longo do lado de um elemento (Wriggers, 2006). A função g também é interpolada ao longo do lado do elemento. No caso tratado de contato entre um sólido deformável e um anteparo indeformável, este último é tomado como referência, sendo dito superfície ‘mortar’, enquanto o lado do primeiro é referido como superfície ‘non-mortar’, conforme ilustrado na Figura 5.

Figura 5 – Lados de elementos finitos aos quais se aplicam elementos ‘mortar’ com funções de aproximação

linear (a) e quadrática (b), e seus respectivos anteparos.

Uma vez que o método também faz uso de integração numérica, a formulação considera pontos de integração de Gauss distribuídos na superfície ‘non-mortar’ (ξli) e seus respectivos pares de contato na superfície ‘mortar’ (ζli). No presente trabalho, para o caso linear adotam-se dois pontos de Gauss (Figura 5(a)) e três pontos de integração para o caso quadrático (Figura 5(b)). Para verificar a penetração, essencialmente assume-se que se a maior parte do elemento verifica a condição, então todo ele entra em contato com o anteparo. Uma forma de realizar tal controle consiste em estimar o sinal da área sobre a função g ao longo do elemento, o que pode ser obtido, por integração numérica sobre um domínio adimensional de referência por:

( , ) ( ) ( )

em l li li GL li li

ig gdS g w Jξ ζ ξ ξ

Γ= =∑∫

(9)

Se gm≤0, deve-se ativar a restrição. Quando da combinação do critério ilustrado na Eq. (9) com a estratégia dos conjuntos ativos, a técnica de avaliação do fator α deve ser relaxada, de forma a possibilitar a determinação de um valor único, que se aplica a todo o elemento, a partir da análise dos fatores correspondentes a cada um dos pontos de Gauss. Assim, neste trabalho, quando tal estratégia é utilizada, o valor do escalar α para um elemento ‘mortar’ é dado por αe=máx[αi], sendo αi os escalares α calculados nos pontos de Gauss (ξli) do elemento. Uma vez constatada a penetração ou contato com o anteparo, a restrição relativa ao elemento deve ser adicionada ao sistema. Devido à abordagem ao longo de uma face, a componente da primeira variação do funcional de energia é representada pela seguinte integral:

( )

cc L L lg g dSδ δλ λ δ

ΓΠ = +∫

(10)

non-mortar

(anteparo)

1 2

A B C

non-mortar

mortar

AB C D

E

1 3

2

(elemento) (elemento)

mortar

(a) (b)

ξl1 ξl2

ζl1 ζl2

ξl1 ξl2 ξl3

ζl1 ζl2 ζl3

(anteparo)



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Da Eq. (10) se obtém os termos a serem aplicados ao sistema de maneira a impor a restrição de contato. Nesse caso, os mesmos são obtidos por meio de integração numérica, sendo necessário desenvolver a formulação que representa λL(ξli) e g(ξli) nos pontos de Gauss ξli. Apesar de terem sido criados com base nos multiplicadores de Lagrange, também é possível desenvolver a formulação de elementos com base no método da penalização. Nesse caso, a primeira variação do funcional da energia relativa ao contato fica dada por:

cc P lg g dSδ λ δ

ΓΠ = ∫

(11)

Da Eq. (11) obtêm-se os termos a serem somados ao sistema para o caso do método da penalização. Quanto à avaliação da condição de tensão para desativação de elementos, no caso da formulação dos multiplicadores de Lagrange, a mesma é semelhante à efetuada nos elementos do tipo ‘nó-segmento’, adotando-se agora como referência o valor preponderante no elemento:

( ) ( ) ( )

eLm L l L li GL li li

idS w Jλ λ λ ξ ξ ξ

Γ= =∑∫

(12)

No caso do método da penalização, em lugar de λL na Eq. (12), toma-se o valor estimado da reação no anteparo, que pode ser obtido da mesma forma já apresentada para o elemento do tipo ‘nó-segmento’.

4 EXEMPLO NUMÉRICO

Para avaliar as estratégias numéricas de resolução, foi elaborado um código computacional de elementos finitos, desenvolvido na linguagem de programação FORTRAN, o qual permite o tratamento do contato tanto por estratégias de otimização com variáveis canalizadas quanto por meio dos elementos de contato apresentados no item 3.3. Para a resolução de sistemas originários do Método de Newton, foram utilizadas rotinas da biblioteca HSL, especificas para sistemas esparsos, desenvolvidas pelo Numerical Analysis Group, do Rutherford Appleton Laboratory, (Duff e Reid, 1983). Também é importante ressaltar que todas as figuras de resultados obtidos com o código computacional deste trabalho foram elaboradas por meio do Pós Processador do GMEC (Grupo de Mecânica Computacional do Departamento de Engenharia de Estruturas (SET) da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC)).

4.1 Problema de Hertz

Trata-se um problema clássico de contato, cuja solução analítica foi apresentada por Heinrich Hertz em 1881 no artigo ‘On the contact of elastic solids’ (Johnson, 2004). Nesta variante, o problema trata do contato entre um sólido deformável e um anteparo rígido, para o qual as características de geometria, restrições e força aplicada permitem a modelação como problema bidimensional em Estado Plano de Deformações (EPD). A Figura 6 ilustra o problema com valores numéricos (adimensionais) adotados para a resolução por meio do código computacional.



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Figura 6 – Exemplo de problema de contato de Hertz, com valores adotados para o raio(r), força distribuída(q),

Módulo de Elasticidade (E) e Coeficiente de Poisson (υ).

Para a modelação do sólido foram utilizadas redes de malha irregular, formadas tanto por elementos com 3 nós (ISOT3) quanto com 6 nós (ISOT6), com número total de grau de liberdade indicados na Tabela 1.

Tabela 1 – Características das redes utilizadas

Número de graus de liberdade ISOT3 ISOT6 Rede 01 66 70 Rede 02 156 202 Rede 03 320 434 Rede 04 858 1242

Utilizando-se para resolução inicialmente os métodos de otimização com variáveis canalizadas, obteve-se um confronto quanto à eficiência de cada um deles, para cada uma das estratégias de restrições de variáveis descritas no item 3.2, associadas ou não à estratégia dos conjuntos ativos, também discutida no mesmo item. A Tabela 2 apresenta os resultados de desempenho obtidos para as redes compostas por elementos do tipo ISOT6, tendo sido utilizada a indicação ‘L’ para Método dos Multiplicadores de Lagrange, ‘P’ para Método da Penalização e ‘+C.A.’ quando os mesmos foram associados à Estratégia dos Conjuntos Ativos. Também apresenta os mesmos resultados para a resolução por meio do processo iterativo de Gauss-Seidel (Proença, Savassi e Munaiar Neto, 1987), aplicável em problemas compatíveis com abordagem por variáveis canalizadas. Os casos indicado por ‘-’ não convergiram dentro do número máximo de iterações adotado (30.000 para Método dos Gradientes, Gradientes Conjugados e Processo Iterativo de Gauss-Seidel, e 1.000 para os Métodos do Tipo Quase-Newton).

r=8,00E=1000,00υ=0,3

q=30,00



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Tabela 2 – Parâmetros de eficiência (N.I. – Número de Iterações e T.P – Tempo de Processamento) dos métodos de otimização com variáveis canalizadas para redes com elementos ISOT6

Variáveis Canalizadas - ISOT6 Rede 1 Rede 2 Rede 3 Rede 4

N.I. T.P. (s) N.I. T.P. (s) N.I. T.P. (s) N.I. T.P. (s) M. Gradiente 8816 5,6381 - - - - - -

L 167 0,0401 1260 0,9313 5201 8,4421 17241 99,4129 P 190 0,0401 705 0,5107 1813 2,9142 4426 24,6855

L+C.A. 282 0,0701 1617 1,1817 5796 9,4636 23641 136,9469 Gradientes Conjugados

P+C.A. 296 0,0701 1160 0,8412 3327 5,2776 10267 58,4240 L 4 0,0200 15 0,2103 18 0,6710 7 1,2117 P 6 0,0200 11 0,1502 12 0,4406 9 1,6524

L+C.A. 3 0,0000 5 0,0801 9 0,3205 16 2,6438 Newton

P+C.A. 3 0,0100 5 0,0701 9 0,3205 16 2,8441 L 127 0,5107 338 10,5852 832 113,4431 - - P 71 0,1803 158 3,2447 244 23,0531 434 325,6382

L+C.A. 141 0,5608 386 11,9872 - - - -

Quase-Newton

DFP P+C.A. 74 0,1903 165 3,4049 237 22,3121 410 312,4493

L 179 0,7210 - - 940 131,8195 - - P 71 0,1803 153 3,3048 228 21,0603 - -

L+C.A. - - - - - - - -

Quase-Newton BFGS

P+C.A. 71 0,1602 152 3,0344 228 21,2606 386 285,9111 Gauss-Seidel 349 0,0701 2362 1,6323 3349 5,1574 6123 37,6341

Para avaliar a precisão das estratégias em cada uma das redes, os valores obtidos foram confrontados com os resultados analíticos de referência, sendo apresentado na Figura 7, para fins ilustrativos, o resultado de compressão máxima na direção vertical obtido. Também são apresentados na mesma figura os resultados do pacote computacional ANSYS ® para os elementos equivalentes aos utilizados no programa desenvolvido. Cabe observar que, de um modo geral, todas as estratégias produziram valores numéricos praticamente idênticos, salvo em situações que serão descritas mais adiante.



113

Tensão σy máxima (compressão)

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

180,00

1 2 3 4

Rede

Ten

s ão σy

máx

ima

(val

or a

bsol

uto)

ISOT3 ISOT6 PLANE42 PLANE82 Analítico Figura 7 – Tensão de compressão máxima obtida para cada uma das redes.

Na segunda abordagem, a resolução do mesmo problema foi conduzida utilizando-se elementos de contato, tanto do tipo ‘nó-segmento’ quanto do tipo ‘mortar’. Nessa nova análise, observou-se que alguns dos resultados obtidos utilizando-se elementos ‘mortar’ mostraram-se inadequados, não conseguindo apresentar uma configuração de equilíbrio simétrica (esperada), mesmo para redes que apresentam simetria (Figura 8 (a)).

(a)

(b)

Figura 8 – Exemplo de diagrama de cores do deslocamento vertical v não-simétrico obtidos por meio do uso de elementos de contato ‘mortar’ (a),e resultado simétrico, obtido com o emprego da estratégia dos conjuntos ativos

(b).

A assimetria observada tem origem numérica, e uma vez que ocorreram apenas para tais elementos, evidenciam uma maior sensibilidade dessa estratégia a esse tipo de erro. É importante ressaltar, entretanto, que quando associados à estratégia dos conjuntos ativos, as respostas obtidas como os elementos ‘mortar’ foram idênticas as que foram obtidas por meio dos elementos do tipo ‘nó-segmento’, como ilustra a Figura 8 (b). Para finalizar, apresentam-se na Figura 9 os campos de tensão obtidos, para a rede 4 de elementos ISOT6 utilizando-se os elementos de contato do tipo ‘nó-segmento’.



114

(a)

(b)

(c)

Figura 9 – Campos de tensão obtido para a rede 04 de elementos ISOT6, com elementos de contato do tipo ‘nó-segmento’, (a) na direção x (σx); (b) na direção y (σy) e (c) de cisalhamento (τxy).

4.2 Viga em balanço sujeita a vínculos unilaterais

Trata-se do problema de uma viga em balanço sujeita à ação de uma força P, conforme ilustra a Figura 10, possuindo dois apoios sob sua face inferior que representam vínculos unilaterais, sendo a distância entre eles igual a 2,00 (valores adimensionais).



115

Figura 10 – Esquema estrutural e dimensões do problema da viga.

Dada a geometria retangular da viga optou-se pela discretização da estrutura com redes de elementos retangulares. Ainda, para problema, devido à observação do comportamento insatisfatório dos elementos ISOQ8 em testes preliminares, foram utilizados apenas redes com elementos do tipo ISOQ4, cujas características são apresentadas na Tabela 3.

Tabela 3 – Características das redes regulares, compostas por elementos ISOQ4

Rede Número de elementos Número de Nós Número de graus

de liberdade 01 320 (4x80) 405 810 02 720 (6x120) 847 1694 03 1280 (8x160) 1449 2898 04 2000 (10x200) 2211 4422

Numa primeira análise o problema foi resolvido por meio do método de Newton com variáveis canalizadas. Posteriormente o mesmo também foi resolvido utilizando os elementos de contato do tipo ‘nó-segmento’ e ‘mortar’. É importante observar nessa segunda abordagem também se utiliza o método de Newton para obter a solução do sistema. O número de iterações e tempo de processamento obtido em cada uma das situações relatadas é apresentada na Tabela 4.

Tabela 4 – Comparativo da eficiência da resolução utilizando elementos de contato com relação a otimização com variáveis canalizadas (V.C.)

Número de Iterações Tempo de Processamento (s) Rede mortar nó-segmento V.C.

Redemortar nó-segmento V.C.

01 8 6 6 01 0,4206 0,3305 0,2904 02 10 6 6 02 1,3519 0,8612 0,7911 03 10 7 7 03 2,9943 2,1531 2,0129 04 100 7 7 04 49,3309 3,6753 3,4349

Quanto aos valores obtidos por intermédio de cada um dos métodos, observou-se que os elementos ‘mortar’ apresentaram resultados mais distantes dos valores de referência, obtidos por meio do ANSYS®, como pode ser evidenciado nos resultados de deslocamento vertical máximo, indicado na Figura 11.

E=100,00; υ=0,3

P=30 50

95 10 85 10

A

A

A-A'

2,6410



116

Deslocamento máximo (para cima) - M. Newton + Mult. de Lagrange

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

1 2 3 4

Rede

Des

loca

men

to v

Método Mortar Método Nó-Segmento Método das Variáveis Canalizadas Referência Figura 11 – Convergência do valor de deslocamento máximo (para cima).

A causa do distanciamento das soluções obtidas com os elementos de contato ‘mortar’ se deve ao fato do mesmo tomar como referência o valor preponderante de tensão na interface do contato, permitindo assim a ocorrência de tensões de tração na mesma (Figura 12(a)), enquanto que nos elementos do tipo ‘nó-segmento’ o mesmo não ocorre (Figura 12(b)). O comportamento insatisfatório observado para o uso dos elementos ‘mortar’ nas redes de elementos ISOQ8 tem a mesma origem, não tendo sido observados para os elementos do tipo ‘nó-segmento’.

(a)

(b)

Figura 12 – Campos de tensão vertical obtidos utilizando elementos de contato ‘mortar’ (a) e do tipo ‘nó-segmento’ (b).

Para finalizar, apresentam-se na Figura 13 os campos de tensões obtidos para a rede 02 de elementos ISOQ4, com o uso de elementos de contato do tipo ‘nó-segmento’.



117

(a)

(b)

(c)

Figura 13 – Campos de tensões obtidos utilizando-se elementos de contato do tipo ‘nó-segmento’ (rede 02 – elementos ISOQ4), sendo (a) a tensão na direção horizontal (σx), (b) na direção vertical (σy) e (c) a tensão

cisalhante (τxy).

5 CONCLUSÕES

Quanto aos métodos de otimização com variáveis canalizadas: Dos métodos de otimização utilizados, o método de Newton apresentou desempenho incomparavelmente superior aos demais, em grande parte devido ao emprego das rotinas de resolução de sistemas esparsos citadas no item 4. Os métodos do tipo quase-Newton apresentaram taxa de convergência pequena quando utilizados para sistemas grandes, devido à esparsidade das aproximações da matriz de rigidez (hessiana) obtida por meio deles, que é bastante reduzida em relação à matriz exata utilizada no método de Newton. Apesar dos relatos positivos de (Rigo, 1999), que testou a estratégia dos conjuntos ativos para problemas de contato em barras sujeitas à ação de vínculos unilaterais, para os casos testados, que apresentam sistemas de dimensão maiores, a mesma demandou um número consideravelmente maior de iterações para obter a solução dos problemas. Deve-se atentar, porém, que no problema de Hertz a mesma foi capaz de solucionar problemas numéricos observados para o uso dos elementos de contato ‘mortar’, representando para esse caso uma solução mais estável. Quanto aos elementos de contato:



118

Os elementos de contato do tipo ‘nó-segmento’ apresentaram resultados satisfatórios e próximos aos resultados de referência adotados. Apesar disso, deve-se atentar para o fato de que o elemento ‘nó-segmento’ considera o contato apenas nos nós, o que em superfícies curvas pode representar uma aproximação grosseira a depender da discretização adotada, podendo violar a condição de impenetrabilidade entre nós. Em contraposição, em teoria os elementos ‘mortar’ são mais adequados para superfícies curvas, mas apresentaram resultados insatisfatórios. Entende-se que a principal causa desses resultados insatisfatórios decorre do critério de contato, baseado na consideração do valor preponderante da força no elemento, que acaba permitindo a ocorrência de tensões de tração em alguns trechos da superfície, sem desativação do contato. Essa situação pode proporcionar grandes diferenças tanto na distribuição local de tensões quanto na configuração deformada da estrutura. Assim, uma proposta para futuros trabalhos é uma alteração no critério de ativação/desativação adotado para os mesmos, de maneira a reduzir os efeitos inadequados constatados.

6 AGRADECIMENTO

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), pelo apoio financeiro concedido (bolsa de mestrado).

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