Estimativas inesperadas para o valor esperadow3.impa.br/~rimfo/apresentacoes/UFMG_coloquio.pdfResumo...
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Estimativas inesperadas para o valor esperado
Roberto Imbuzeiro Oliveira
Colóquio da Matemática - UFMG http://arxiv.org/abs/1509.05845
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MatthieuLerasle
(CNRS/Nice)
LucDevroye(McGill)
Colaboradores
GáborLugosi
(ICREA/UPF)
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Amostras e valores esperados
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Valores esperados
Qual é a altura média de um brasileiro?
Quantos anos de sobrevida, em média, depois de um transplante de coração?
Qual o gasto médio de energia elétrica das casas na sua vizinhança?
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Valores esperados
Matematicamente, estas são perguntas sobre valores esperados ou esperanças: médias possivelmente ponderadas sobre populações.
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Definição formal
Definicao:
Se P e medida de probabilidade sobre R,µP :=
RR xP(dx) = EP(X)
e o valor esperado ou esperanca de P.
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Para que esperanças?
Grande parte dos problemas da Estatística corresponde a estimar valores esperados, seja como fim em si, seja como meio para algum outro fim.
Estimativas quase ótimas tem aplicações nos mais variados campos.
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Estimar via amostras
Em geral supõe-se que a distribuição P não é conhecida, mas que é possível obter n amostras independentes e identicamente distribuídas de P.
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Estimar via amostras
Xn1 = (X1, . . . , Xn) =d Pn se
8A1, . . . , An ⇢ R mensuraveisP(
Tni=1{Xi 2 Ai}) =
Qni=1 P(Ai).
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Estimar via amostras
Nosso objetivo: como estimar o valor esperado a partir das amostras de modo a minimizar a chance de erros grandes.
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Definições e hipóteses
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Hipótese principal
Desvio padrão finito, o mesmo que segundo momento finito.
Um dos objetivos é comparar com a aproximação Gaussiana que vem do Teorema Central do Limite.
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Desvio padrão
Valor esperado:
µP = EP(X).
Desvio padrao:
a raız quadrada da variancia,�2P := EP[(X � µP)2].
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Estimadores e erroEstimador: uma funcao mensuravel
bEn : Rn ! R.
Desejo: | bEn(Xn1 )� µP| ⌧ 1.
Escala dos erros (Catoni)
Se Xn1 =d P
n, na melhor das hipoteses,
| bEn(Xn1 )� µP| ⇡ �P/
pn
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P desconhecida
Formalizamos isto dizendo que P é um elemento arbitrário de uma família de distribuições.
Maior interesse em famílias grandes (“não paramétricas”).
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Enunciado formalDados: Famılia P de distribuicoes sobre Rcom desvio padrao finito. Tamanho de amostra n.
Objetivo: Encontrar estimador
bEn,
�min,n menor possıvel e r = r(�) menor possıvel
tais que, se � 2 [�min,n, 1), P 2 P e Xn1 =d P
n:
P⇣| bEn(Xn
1 )� µP| > r(�) �Ppn
⌘ �.
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Enunciado formalDados: Famılia P de distribuicoes sobre Rcom desvio padrao finito. Tamanho de amostra n.
Objetivo: Encontrar estimador
bEn,
�min,n menor possıvel e r = r(�) menor possıvel
tais que, se � 2 [�min,n, 1), P 2 P e Xn1 =d P
n:
P⇣| bEn(Xn
1 )� µP| > r(�) �Ppn
⌘ �.
Queremos grande (não paramétrica)
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Enunciado formalDados: Famılia P de distribuicoes sobre Rcom desvio padrao finito. Tamanho de amostra n.
Objetivo: Encontrar estimador
bEn,
�min,n menor possıvel e r = r(�) menor possıvel
tais que, se � 2 [�min,n, 1), P 2 P e Xn1 =d P
n:
P⇣| bEn(Xn
1 )� µP| > r(�) �Ppn
⌘ �.
Problema não-assintótico
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Enunciado formalDados: Famılia P de distribuicoes sobre Rcom desvio padrao finito. Tamanho de amostra n.
Objetivo: Encontrar estimador
bEn,
�min,n menor possıvel e r = r(�) menor possıvel
tais que, se � 2 [�min,n, 1), P 2 P e Xn1 =d P
n:
P⇣| bEn(Xn
1 )� µP| > r(�) �Ppn
⌘ �.
Exponencialmente pequeno!
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Enunciado formalDados: Famılia P de distribuicoes sobre Rcom desvio padrao finito. Tamanho de amostra n.
Objetivo: Encontrar estimador
bEn,
�min,n menor possıvel e r = r(�) menor possıvel
tais que, se � 2 [�min,n, 1), P 2 P e Xn1 =d P
n:
P⇣| bEn(Xn
1 )� µP| > r(�) �Ppn
⌘ �.
Escala dos erros (Catoni)
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Breve resumo dos resultados
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Resumo dos resultados
Em muitos casos dá para obter estimadores com erros de ordem sub Gaussiana (que é a melhor possível).
Isto vale para classes enormes, como a de todas as distribuições com desvio padrão 1.
O interessante é que os estimadores ótimos nunca são o estimador óbvio.
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Dados: Famılia P de distribuicoes sobre Rcom desvio padrao finito. Tamanho de amostra n.
Objetivo: Encontrar estimador
bEn,
�min,n menor possıvel e r = r(�) menor possıvel
tais que, se � 2 [�min,n, 1), P 2 P e Xn1 =d P
n:
P⇣| bEn(Xn
1 )� µP| > r(�) �Ppn
⌘ �.
Subgaussiano?
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Dados: Famılia P de distribuicoes sobre Rcom desvio padrao finito. Tamanho de amostra n.
Objetivo: Encontrar estimador
bEn,
�min,n menor possıvel e r = r(�) menor possıvel
tais que, se � 2 [�min,n, 1), P 2 P e Xn1 =d P
n:
P⇣| bEn(Xn
1 )� µP| > r(�) �Ppn
⌘ �.
Subgaussiano?r(�) = LP
p1 + ln(1/�)
�min,n = CP e�cP n.
LP , CP e cP so dependem de P.
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Um resultadoFamılia: P [�1,n,�2,n]
2 = distribuicoes com
desvio padrao no intervalo [�1,n,�2,n].
Teorema: Defina Rn := �2,n/�1,n.
Se supn Rn < +1, entao ha �min,n ⇡ e�cn,
e n0, L finitos tais que, para qualquer n � n0,
9 bEn com P✓| bEn(Xn
1 )� µP| >L�P
p1+ln(1/�)pn
◆ �
sempre que � 2 [�min,n, 1) e Xn1 vem de P [�1,n,�2,n]
2 .
Nada disso funciona se supn Rn = +1 e �min,n ! 0.
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Outro resultadoFamılia: P2+↵,⌘ = distribuicoes com
EP[|X � µP|2+↵] (⌘n �P)
2+↵.
Teorema: Para ↵ 2 (0, 2], existem c↵,⌘ ⇡ ⌘�2↵/(2+↵),
L > 0 e �min,n ⇡ e�c↵,⌘npara os quais
9 bEn com P✓| bEn(Xn
1 )� µP| >L�P
p1+ln(1/�)pn
◆ �
sempre que � 2 [�min,n, 1) e Xn1 vem de P2+↵,⌘.
Nada disso funciona se �min,n tem expoente muito menor.
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Mais resultados
Constantes quase ótimas no caso de curtose limitada.
Resultados de impossibilidade quando o desvio padrão é infinito.
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Observações
Artigo de Olivier Catoni (2013) é base. Propôs noção mais fraca de estimador e obteve resultados positivos e negativos.
Nossa contribuição: formulação mais forte e muitos resultados dos dois tipos, para diversas famílias.
Muita coisa continua em aberto.
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A média empírica não serve
ou: Chebyshev contra Gauss
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O estimador óbvio
bEn(Xn1 ) :=
1
n
nX
i=1
Xi, a media empırica.
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Propriedades
Melhor estimador possível para a família (paramétrica) de distribuições Gaussianas.
Muito ruim para famílias mais gerais, embora assintoticamente tudo seja Gaussiano.
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Caso Gaussiano
Distribuicao Gaussiana
com media µ e desvio padrao � > 0.
Pµ,�(A) :=
RA
e� (x�µ)2
2�2p2⇡ �
dx
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Caso Gaussiano
Função cumulativa da Gauss padrão.
�(r) :=
Z r
�1
e
� x
2
2dxp
2⇡
�
�1(1� �) ⇠
p2 ln(1/�) for � ⌧ 1.
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Caso GaussianoTeorema (Catoni):
Fixe � > 0, � 2 (0, 1);r(�) := �
�1(1� �) ⇡
p2 ln(1/�).
Entao para qualquer estimador
bEn
supXn1 =dPµ,�
P⇣±(
bEn(Xn1 )� µ) > �p
nr(�)
⌘� �.
Igualdade quando o estimador e a media empırica.
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Assintótica?
Teorema Central do Limite (De Moivre/Laplace/Kolmogorov/Lindberg/…): Quando n cresce, o comportamento da média empírica se aproxima cada vez mais do caso Gaussiano.
No entanto, em termos não-assintóticos, a média empírica está bem longe do caso Gaussiano.
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Chebyshev
Desigualdade de Chebyshev:P�2 :=todas as P com �P = � > 0.
Dados qualquer � 2 (0, 1) e qualquer P 2 P�2 ,
se Xn1 = P
n, entao:
P⇣�� 1
n
Pni=1 Xi � µP
�� > �Ppn �
⌘ �.
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Chebyshev
Desigualdade de Chebyshev:P�2 :=todas as P com �P = � > 0.
Dados qualquer � 2 (0, 1) e qualquer P 2 P�2 ,
se Xn1 = P
n, entao:
P⇣�� 1
n
Pni=1 Xi � µP
�� > �Ppn �
⌘ �.
Para Gaussianas seria
⇡�P
pln(1/�)pn
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Chebyshev
Desigualdade de Chebyshev:P�2 :=todas as P com �P = � > 0.
Dados qualquer � 2 (0, 1) e qualquer P 2 P�2 ,
se Xn1 = P
n, entao:
P⇣�� 1
n
Pni=1 Xi � µP
�� > �Ppn �
⌘ �.
Catoni: este é o comportamento ótimo da média empírica para esta
família de P’s.
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Não-assintótica?
Chebyshev é essencialmente a melhor desigualdade para a média empírica se você supõe apenas desvio padrão finito.
O mesmo vale sob hipóteses mais fortes (por exemplo 3os e 4os momentos finitos).
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Há alguém melhor que a média empírica?
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Um pouco de história
Catoni foi o primeiro a formular o problema de estimadores ótimos, com uma definição um pouco diferente de estimador.
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Exemplo de resultadoDados: P�
2 = todas as distribuicoes
com desvio padrao �.
Teorema (Catoni):
Se �min,n = e�"n/4, L =
p2 + ",
8�min,n < � < 1 9 bEn,� tal que,
para toda P 2 P�2 , se Xn
1 =d P
n,
P⇣| bEn(Xn
1 )� µ| > Lpln(2/�) �p
n
⌘ �.
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Exemplo de resultadoDados: P�
2 = todas as distribuicoes
com desvio padrao �.
Teorema (Catoni):
Se �min,n = e�"n/4, L =
p2 + ",
8�min,n < � < 1 9 bEn,� tal que,
para toda P 2 P�2 , se Xn
1 =d P
n,
P⇣| bEn(Xn
1 )� µ| > Lpln(2/�) �p
n
⌘ �.
Desvio padrão conhecido.
Pode trocar por cota pro 4o. momento (curtose).
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Exemplo de resultadoDados: P�
2 = todas as distribuicoes
com desvio padrao �.
Teorema (Catoni):
Se �min,n = e�"n/4, L =
p2 + ",
8�min,n < � < 1 9 bEn,� tal que,
para toda P 2 P�2 , se Xn
1 =d P
n,
P⇣| bEn(Xn
1 )� µ| > Lpln(2/�) �p
n
⌘ �.
Constante L quase ótima!
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Exemplo de resultadoDados: P�
2 = todas as distribuicoes
com desvio padrao �.
Teorema (Catoni):
Se �min,n = e�"n/4, L =
p2 + ",
8�min,n < � < 1 9 bEn,� tal que,
para toda P 2 P�2 , se Xn
1 =d P
n,
P⇣| bEn(Xn
1 )� µ| > Lpln(2/�) �p
n
⌘ �.
Estimador depende do do parâmetro de confiança
desejado!
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Porque isto não é bom
Se você quer confiança alta, sua única garantia é que a probabilidade de um erro enorme é baixa.
Não diz nada sobre a magnitude do erro em eventos mais típicos.
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Porque isto não é bom
Aplicações dos resultados de Catoni e outros semelhantes (Bubeck et al., Brownlees et al., Hsu/Sabato) sofrem por causa desta dependência.
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Resultados melhores?
De fato, nossos resultados são diferentes.
Mostramos que há estimadores independentes da confiança na maior parte das situações, mas não em todas.
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A mediana das médias
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Mediana das médias
Uma construção simples e surpreendente de estimadores sub-Gaussianos que dependem da confiança.
Funciona para todas as distribuições com desvio padrão finito.
Implícita em muitos artigos (Nemirovski/Yudin, Alon/Matias/Szégedy, Levin, Jerrum/Sinclair, Hsu…).
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Mediana das médiasDados: P2 = todas as distribuicoes
com desvio padrao finito.
Teorema (folclore):
Se �min,n = e�n/8, L = 2
p2e,
8�min,n < � < 1 9 bEn,� tal que,
para toda P 2 P2, se Xn1 =d P
n,
P⇣| bEn,�(Xn
1 )� µ| > Lp
1 + ln(1/�) �Ppn
⌘ �.
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Mediana das médiasDados: Xn
1 = (X1, . . . , Xn) =d P
n
Blocos: quebre {1, 2, 3, . . . , n} em blocos disjuntos
B1, . . . , Bb, todos de tamanho n/b. Aqui b ⇡ ln(1/�).
Tome as medias dos blocos: Y` :=bn
Pi2B`
Xi.
Mediana das medias: para calcular
bEn,�(Xn1 )
ordene Y1, Y2, . . . , Y` e tome o valor do meio.
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Análise
RµPµP � L�P
rb
nµP + L�P
rb
n
Intervalo
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Análise
RµPµP � L�P
rb
nµP + L�P
rb
n
Queremos: mediana de Y1, . . . , Yb no intervalo.
Suficiente: mais da metade dos Y` no intervalo.
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Análise
RµPµP � L�P
rb
nµP + L�P
rb
n
Y` =bn
Pi2B`
Xi com Xi i.i.d. P.
Logo E(Y`) = µP, Var(Y`) =b�2
Pn .
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Análise
RµPµP � L�P
rb
nµP + L�P
rb
n
Chebyshev) P(Y` 62 I) L�2, 1 ` b.
Blocos sao disjuntos, logo eventos independentes.
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Análise
RµPµP � L�P
rb
nµP + L�P
rb
n
Conclusao:
P(mais da metade das Y` fora de I)e cotada por probabilidade binomial.
Para L, b bem escolhidos,
P(Bin(b, L�2) e�b �
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Um de nossos resultados
![Page 59: Estimativas inesperadas para o valor esperadow3.impa.br/~rimfo/apresentacoes/UFMG_coloquio.pdfResumo dos resultados Em muitos casos dá para obter estimadores com erros de ordem sub](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022050308/5f70dc6d5548703a6c0a085b/html5/thumbnails/59.jpg)
Saber o desvio…Famılia: P [�1,n,�2,n]
2 = distribuicoes com
desvio padrao no intervalo [�1,n,�2,n].
Teorema: Defina Rn := �2,n/�1,n.
Se supn Rn < +1, entao ha �min,n ⇡ e�cn,
e n0, L finitos tais que, para qualquer n � n0,
9 bEn com P✓| bEn(Xn
1 )� µP| >L�P
p1+ln(1/�)pn
◆ �
sempre que � 2 [�min,n, 1) e Xn1 vem de P [�1,n,�2,n]
2 .
Nada disso funciona se supn Rn = +1 e �min,n ! 0.
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Saber o desvio…Famılia: P [�1,n,�2,n]
2 = distribuicoes com
desvio padrao no intervalo [�1,n,�2,n].
Teorema: Defina Rn := �2,n/�1,n.
Se supn Rn < +1, entao ha �min,n ⇡ e�cn,
e n0, L finitos tais que, para qualquer n � n0,
9 bEn com P✓| bEn(Xn
1 )� µP| >L�P
p1+ln(1/�)pn
◆ �
sempre que � 2 [�min,n, 1) e Xn1 vem de P [�1,n,�2,n]
2 .
Nada disso funciona se supn Rn = +1 e �min,n ! 0.
![Page 61: Estimativas inesperadas para o valor esperadow3.impa.br/~rimfo/apresentacoes/UFMG_coloquio.pdfResumo dos resultados Em muitos casos dá para obter estimadores com erros de ordem sub](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022050308/5f70dc6d5548703a6c0a085b/html5/thumbnails/61.jpg)
Intervalos de confiançaUse a mediana das médias. Obtenha um intervalo de confiança de comprimento sub Gaussiano.
bI�(Xn1 ) :=
bEn,�(Xn
1 )±L�2,n
p1+ln(1/�)pn
�
|bI�(Xn1 )| (const.)�P
p1 + ln(1/�)/
pn.
P(µP 2 bI�(Xn1 )) � 1� �.
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Um lema de intervalos
Lemma: I1, I2, . . . , IK random nonempty closed intervals.
Assume µ 2 R, P (µ 62 Ik) 2
�k, 1 k K.
Set
ˆK := min{k K : \Kj=kIj 6= ;}.
Let
bE :=midpoint of \Kj=K
Ij .
Then 81 k K : P⇣| bE � µ| > |Ik|
⌘ 2
1�k.
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Esboço da provaI1, I2, . . . , IK random nonempty closed intervals.Set K := min{k K : \K
j=kIj 6= ;}.Let bE :=midpoint of \K
j=KIj .
Assume 8j � k, µ 2 Ij .
Obtain, \Kj=kIj 6= ;, so K k.
Hence bE, µ 2 Ik under the assumption.
) P⇣| bE � µ| > |Ik|
⌘
Pj�k P (µ 62 Ij).
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Outros usos do lemaFamılia: P2+↵,⌘ = distribuicoes com
EP[|X � µP|2+↵] (⌘n �P)
2+↵.
Teorema: Para ↵ 2 (0, 2], existem c↵,⌘ ⇡ ⌘�2↵/(2+↵),
L > 0 e �min,n ⇡ e�c↵,⌘npara os quais
9 bEn com P✓| bEn(Xn
1 )� µP| >L�P
p1+ln(1/�)pn
◆ �
sempre que � 2 [�min,n, 1) e Xn1 vem de P2+↵,⌘.
Nada disso funciona se �min,n tem expoente muito menor.
Construa intervalos de confiança a partir de “quantis de médias.”
Cotas de Barry-Essen aparecem na análise.
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Resultados negativosFamılia: P [�1,n,�2,n]
2 = distribuicoes com
desvio padrao no intervalo [�1,n,�2,n].
Teorema: Defina Rn := �2,n/�1,n.
Se supn Rn < +1, entao ha �min,n ⇡ e�cn,
e n0, L finitos tais que, para qualquer n � n0,
9 bEn com P✓| bEn(Xn
1 )� µP| >L�P
p1+ln(1/�)pn
◆ �
sempre que � 2 [�min,n, 1) e Xn1 vem de P [�1,n,�2,n]
2 .
Nada disso funciona se supn Rn = +1 e �min,n ! 0.
![Page 66: Estimativas inesperadas para o valor esperadow3.impa.br/~rimfo/apresentacoes/UFMG_coloquio.pdfResumo dos resultados Em muitos casos dá para obter estimadores com erros de ordem sub](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022050308/5f70dc6d5548703a6c0a085b/html5/thumbnails/66.jpg)
Resultados negativosFamılia: P [�1,n,�2,n]
2 = distribuicoes com
desvio padrao no intervalo [�1,n,�2,n].
Teorema: Defina Rn := �2,n/�1,n.
Se supn Rn < +1, entao ha �min,n ⇡ e�cn,
e n0, L finitos tais que, para qualquer n � n0,
9 bEn com P✓| bEn(Xn
1 )� µP| >L�P
p1+ln(1/�)pn
◆ �
sempre que � 2 [�min,n, 1) e Xn1 vem de P [�1,n,�2,n]
2 .
Nada disso funciona se supn Rn = +1 e �min,n ! 0.
Distribuições de Poisson com variâncias pequenas e bem diferentes.
Com certa probabilidade (não muito baixa), as amostras se parecem muito e qualquer
estimador se confunde.
![Page 67: Estimativas inesperadas para o valor esperadow3.impa.br/~rimfo/apresentacoes/UFMG_coloquio.pdfResumo dos resultados Em muitos casos dá para obter estimadores com erros de ordem sub](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022050308/5f70dc6d5548703a6c0a085b/html5/thumbnails/67.jpg)
Porque R grande é ruim
Family: P [c/n,R c/n]Po
, Poisson random variables
with very small means c/n µP
Rc/n.
Recall mean=variance for Poisson!
Xn1
:= sample with mean c/n, SX := X1
+ · · ·+Xn.
Y n1
:= sample with mean Rc/n, SY := Y1
+ · · ·+ Yn.
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Porque R grande é ruim
Xn1 := sample with mean c/n, SX := X1 + · · ·+Xn.
Y n1 := sample with mean Rc/n, SY := Y1 + · · ·+ Yn.
Assume good estimator
bEn with constant L.
P⇣n bE(Y n
1 ) � Rc/2⌘� 1� e1�
Rc4L2
In particular, P⇣n bE(Y n
1 ) � Rc/2 | SY = Rc⌘⇡ 1.
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Porque R grande é ruim
Xn1 := sample with mean c/n, SX := X1 + · · ·+Xn.
Y n1 := sample with mean Rc/n, SY := Y1 + · · ·+ Yn.
Assume good estimator
bEn with constant L.
P⇣n bE(Y n
1 ) � Rc/2⌘� 1� e1�
Rc4L2
In particular, P⇣n bE(Y n
1 ) � Rc/2 | SY = Rc⌘⇡ 1.
Same for X as for Y! (Sample sum is sufficient statistic)
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Porque R grande é ruim
P⇣n bE(Xn
1 ) � Rc/2 | SX = Rc⌘⇡ 1.
So P⇣n bE(Xn
1 ) � Rc/2⌘� P (SX = Rc) ⇡ e�R lnRc
On the other hand, the prob. should be ⇡ e�R2 cL2
by the sub-Gaussian estimation property
)( for R large
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Outras ideias
Curtose limitada: técnicas de processos empíricos e desigualdades de concentração dão constantes quase ótimas.
Ideia do estimador: escolha estimadores preliminares da média e variância e trunque a amostra de acordo com eles! Mostre que, se os preliminares não são muito ruins, isso funciona bem.
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Conclusão
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Conclusão
Estudamos e obtivemos resultados sobre um problema que já devia ter sido resolvido há muito tempo.
Métodos bastante elementares levam a resultados surpreendentes.
Métodos menos elementares também são necessários…
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Em abertoConstantes ótimas na maioria dos casos (importante na prática).
Quais são os desvios ótimos dos estimadores para classes que não são sub-Gaussianas?
Estimadores de distribuição realmente indistinguível da Gaussiana, fora de eventos de probabilidade extremamente baixa.
Novas aplicações?
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Obrigado! (referências nos próximos slides)
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Artigos de Catoni
J.-Y. Audibert & O. Catoni. "Robust linear least squares regression.” Ann. Stat. 39 no. 5 (2011)
O. Catoni. "Challenging the empirical mean and empirical variance: A deviation study.” Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Statist. 48 no. 4 (2012) [nossa base]
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Mediana das médiasD. Hsu http://www.inherentuncertainty.org/2010/12/robust-statistics.html (Ver também Levin, L. "Notes for Miscellaneous Lectures.” arXiv:cs/0503039)
N. Alon, Y. Matias & M. Szégedy. "The Space Complexity of Approximating the Frequency Moments." J. Comput. Syst. Sci. 58 no. 1 (1999)
A. Nemirovski & D. Yudin. Problem complexity and method efficiency in optimization. Wiley (1983).
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AplicaçõesC. Brownlees, E. Joly & G. Lugosi. "Empirical risk minimization for heavy-tailed losses.” To appear in Ann. Stat.
S. Bubeck, N. Cesa-Bianchi & G. Lugosi. “Bandits with heavy tail.” IEEE Transactions on Information Theory 59 no. 11 (2013)
D. Hsu & S. Sabato. "Loss minimization and parameter estimation with heavy tails.” arXiv:1307.1827. Abstract in ICML proceedings (2014).