ESTIMACIÓN DE MODELOS ARIMA
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Paro y empleo registrado
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Estimacin de modelos ARIMA:Paro y empleo registrado
El objetivo de este trabajo es realizar un repaso de la metodologa ARIMA de
series temporales aplicndola a dos variables econmicas fundamentales, empleo y
paro. En general se considera que estos modelos predicen muy bien a corto plazo, pero
es discutible que puedan hacerlo de forma aceptable a medio y largo plazo. Al no tener
relacin alguna con la teora econmica difcilmente pueden captar el efecto de las
nuevas condiciones de la coyuntura econmica, sobre todo cuando se producen cambios
o puntos de inflexin del ciclo econmico, como ocurre en la economa espaola
actualmente.
El anlisis de los modelos ARIMA exige no slo un conocimiento terico
suficiente y una destreza prctica, sino tambin la posibilidad de disponer de algnprograma de ordenador para la realizacin de los clculos necesarios. Nosotros
utilizaremos el programa GRETL, programa de econometra gratuito que se puede bajar
de Internet. En el curso virtual (presentacin de la asignatura) se puede descargar el
programa. Iremos viendo paso a paso como se utiliza el programa y repasando la teora
de los modelos ARIMA, es decir repasaremos lo estudiado en los seis primeros
captulos del libro.
En general, para identificar, estimar y validar un modelo ARIMA se deben
seguir los siguientes pasos:
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Recomendamos que el alumno vaya siguiendo mediante el programa GRETL los
distintos pasos que vamos realizando para adquirir competencia en el manejo del
programa y obtener, de esta manera, una mayor comprensin terica y prctica.
Tambin recomendamos que al analizar los distintos correlogramas de las series se
tenga a mano el anexo I de este documento (forma que toma el Correlograma para laidentificacin de modelos ARIMA) de manera que pueda comprender por qu se elije
un tipo de modelo determinado y no otro. El anexo II muestra como se calcula el
correlograma (Funciones de Autocorrelacin Total y Parcial) de cualquier serie de
tiempo, los alumnos deben de comprender y saber calcularlas manualmente.
Analizaremos las variables paro y empleo en Espaa durante los ltimos 27 aos
(hasta diciembre de 2009, es decir, estimaremos el modelo ARIMA entre enero 1982 y
diciembre de 2009 y haremos una prediccin para 2010). La actualidad del tema es
evidente, la coyuntura econmica muestra una actividad econmica caracterizada por
una grave crisis del sector financiero internacional que en Espaa se ha manifestado
esencialmente en una fuerte crisis de liquidez. El panorama nacional se agrava con elfuerte endeudamiento de las familias y las empresas, el extraordinario dficit por cuenta
corriente y la cada de la actividad en general (aumento del paro y disminucin del
empleo) pero especialmente del sector de la construccin.
Primero nos planteamos qu datos utilizar. Tradicionalmente se ha utilizado el
paro y el empleo registrado. Pero actualmente se utiliza la Encuesta de Poblacin Activa
(EPA) que para algunos autores son de mayor calidad. Aqu utilizaremos las fuente de
la Seguridad Social (paro y afiliaciones registradas en la Seguridad Social) que tienen la
ventaja de tener periodicidad mensual, la EPA es trimestral, y tambin de ser una
estadstica cuyos datos se publican con anterioridad, es decir, tenemos datos ms
actualizados para el anlisis de coyuntura. El alumno interesado en el tema puederealizar el anlisis de las series de la EPA que tambin se pueden descargar de la misma
base de datos que utilizaremos.
La base de datos utilizada es la del Banco de Espaa (www.bde.es). Entrando en
Boletn estadstico y Series temporales completas, grabamos en disco la carpeta
be.zip, que contiene multitud de ficheros de datos. Tambin la carpeta contiene el
fichero denominado Catlogo en el que se describen todas las series de tiempo que
contiene la base de datos y los ficheros donde se encuentran cada una de ellas. Los
ficheros son del tipo .csv que se pueden leer mediante Excel. Para visualizar los datos
correctamente (en Excel) seleccionamos, en el fichero catalogo y la primera columna
completa, entramos en el men datos texto en columnas y seleccionamos laopciones delimitadoscomafinalizar.
Los Afiliados a la Seguridad Social, es decir el empleo registrado, se encuentra
en el fichero be2419.csv y el paro registrado en be2415.csv. Las afiliaciones
comienzan en enero de 1982, el paro en 1939. Para tener ambas variables en el mismo
fichero utilizaremos el periodo que va de enero de 1982 a febrero de 2010. Para utilizar
estos datos en el programa Gretl primero crearemos un fichero Excel con ambas series
temporales, ello se consigue simplemente creando un fichero nuevo de Excel con los
datos de afiliaciones y paro en las dos primeras columnas (desde enero de 1982 hasta
febrero de 2010, mediante el procedimiento de copiar y pegar) adems en la primera fila
de ambas columnas pondremos los nombres de ambas columnas (afiliados y paro
http://www.bde.es/http://www.bde.es/http://www.bde.es/http://www.bde.es/ -
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en nuestro caso, que luego utilizaremos como nombre de las variables) y finalmente
grabamos el fichero para luego utilizarlo (afiliados.xls).
Gretl
Al abrir el programa Gretl aparece su ventana principal, en la opcin Archivodel men podemos seleccionar la opcin Nuevo conjunto de datos si queremos grabar
los datos manualmente o Abrir datos si queremos trabajar con datos grabados
anteriormente en otra sesin o importar datos. Puesto que vamos a importar los datos de
Excel, seleccionamos en el men: Archivo Abrir datos Importar
Excel buscamos el fichero Afiliados.xls Afiliados.xls. El programa
pregunta si comenzar a copiar en la fila 1 y columna 1 okLos datos han sido
interpretados como sin fechaDesea interpretarlos como serie de tiempo Mensual
introducir la fecha de la primera observacin (en este caso enero de 1982) y
finalmente en la ventana aparecern las dos variables.
Con el objetivo de poder realizar prediccin histrica reduzco el rango de datoshasta diciembre de 2009 (GRETL: en el men Muestra Establecer rango
reducir final hasta 2009.12ok)para realizar la estimacin entre enero de 1982 y
diciembre de 2009, es decir, como si slo tuviramos datos hasta diciembre de 2009.
Paro registradoEl Grfico 1 muestra el paro registrado (GRETL: en el men seleccionar Ver
GrficosGrfico de series temporaleselegir Parook)
Grfico 1
Paro registrado (1982.01-2009.12)
Se aprecia el fuerte crecimiento del paro hasta la segunda mitad de los ochenta
(crisis del petrleo y reconversin industrial); la cada hasta el noventa y dos (obras de
infraestructuras para las Olimpiadas y la Exposicin Universal de Sevilla); la crisis delnoventa y tres, con aumentos del paro hasta mediados de los noventa; la fuerte cada del
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paro hasta principios del nuevo milenio (entrada en el Euro, tipos de inters bajos,
desarrollo de todos los sectores y especialmente de la construccin); el nuevo milenio
presenta unos niveles de paro estables hasta el comienzo de la crisis actual donde el
paro se dispara desde el entorno de los dos millones de parados en 2008 a los cuatro
millones de 2010.
Para poder aplicar la metodologa ARIMA la serie debe ser estacionaria:
1. Bajo el supuesto de que una series histrica est compuesta por nvariables aleatorias. En sentido estricto esa serie es estacionaria si y slo
si las funciones de distribucin de frecuencias de esas n variables son
iguales, es decir, si para distintos momentos de tiempo se cumple que:
F(Zt)=F(Zt), representando t y t dos momentos diferentes de
tiempo (t t).
2. En sentido amplio, sin embargo, basta con que se cumplan las siguientescondiciones:
a. Media constante:E(Zt) = Zb. Varianza constante: var(Zt) =
2
De manera que lo primero que hay que hacer es ver si la serie del paro registrado
es estacionaria, el menos en sentido amplio. En el grfico 1 se aprecian ciclos que, en
principio, y puesto que estos movimientos parecen sistemticos, difcilmente son
compatibles con la definicin de estacionaridad (n variables aleatorias con igual
Funcin de Distribucin). Una forma prctica de ver si una serie es estacionaria o no, es
calcular las Funcin de Autocorrelacin Total y si los valores decrecen rpidamente, la
serie es estacionaria. El Correlograma del paro en niveles se reproduce en el grfico 2
(GRETL: en el men seleccionar la variable Paro con el ratnen el men pinchar
en VariableCorrelograma).
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Grfico 2
Correlograma del Paro en niveles
Donde la Funcin de Autocorrelacin decrece lentamente (parte superior del
grfico 2, denominado FAC), consecuentemente el paro en niveles no es estacionario.
La metodologa ARIMA asume que la forma de conseguir series estacionarias
consiste en diferenciar regular y/o estacionalmente. Una serie es integrada de orden cero
si es estacionaria [I(0)] e integrada de orden uno [I(1)] si es necesario una primera
diferencia regular para conseguirlo y as sucesivamente. Si consideramos la parte
regular y estacional conjuntamente entonces una serie por ejemplo I(1,1) es aquella que
se hace estacionaria, o integrada de orden cero [I(0)], realizando una primera diferencia
regular [d(Zt)=ZtZt-1] y otra estacional [d12(Zt)=ZtZt-12].
Puesto que el paro registrado no es estacionario en niveles probamos la primeradiferencia regular, es decir, comprobamos si el paro es integrado de orden uno [I(1)]
calculando la primera diferencia regular para ver si es estacionaria (GRETL: seleccionar
la variable Paro y en el men seleccionar Aadir Primeras diferencias de las
variables seleccionadas en la ventana se muestra la nueva variable en diferencias
d_Paro).
El grfico 3 muestra el paro en primeras diferencias (GRETL: en el menselecinar VerGrficosGrfico de series temporaleselegir d_Paro
ok).
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Grfico 3
Paro registrado en diferencias
Cuyo Correlograma se muestra en el siguiente grfico (GRETL: seleccionar la
variable d_Paro con el ratnen el men VariableCorrelograma).
Grfico 4
Correlograma del paro en diferencias (d_Paro)
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La Funcin de Autocorrelacin del paro registrado en diferencias decrecerpidamente en los desfases regulares (primeros desfases) pero de forma lenta en los
retardos estacionales (12, 24, 36 y 48), de manera que no es estacionario en la parte
estacional, o dicho de otra forma, el paro registrado no es una serie integrada de orden
uno [I(1)]. De manera que diferenciamos estacionalmente para comprobar si el paro esintegrado de orden uno estacional [I(0,1)].
Calculamos una diferencia estacional del paro reproducida en el grfico que se
muestra a continuacin (GRETL: seleccionar la variable Paro y en el men
Aadir Primeras diferencias estacionales de las variables seleccionadas en
la ventana aparece la nueva variable en diferencias estacionales sd_Paro).
Grfico 5
Diferencia estacional del paro (sd_Paro)
Donde se observa con claridad las crisis del periodo (mximos relativos):
principios de los ochenta, crisis del noventa y tres, crisis del noventa y seis, del dos mil
tres y sobre todo la actual. Su Correlograma (GRETL: seleccionar la variable
sd_Paro con el ratn y en el menVariableCorrelograma) es el siguiente.
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Grfico 6
Correlogarama del paro en diferencias estacionales (sd_Paro)
Presenta una Funcin de Autocorrelacin Total (FAC) que decrece lentamenteen la parte regular, la serie en diferencias estacionales no es estacionaria, el paro
registrado no es integrado de orden uno estacional [I(0,1)]. De manera que probamos si
el paro es integrado de orden uno regular y estacional [I(1,1)] calculando una diferencia
estacional a partir de la serie en diferencias regulares (GRETL: seleccionar la variable
d_Paro y en el men Aadir Primeras diferencias estacionales de las
variables seleccionadas en la ventana aparece la nueva variable en primeras
diferencias regulares y estacionales sd_d_Paro), cuyo grfico se reproduce a
continuacin (GRETL: Ver Grficos Grfico de series temporales
elegir sd_d_Parook).
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Grfico 7
El paro en diferencias regulares y estacionales (sd_d_Paro)
Cuyo correlograma es (GRETL: seleccionar la variable sd_d_Paro con el
ratn y en el menVariableCorrelograma).
Grfico 8
Correlograma del paro diferenciado regular y estacionalmente (sd_d_Paro)
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La parte regular se asemeja a un AR(2) puesto que la Funcin deAutocorrelacin Total presenta dos valores significativamente distintos de cero mientras
que la Funcin de autocorrelacin parcial decrece rpidamente. En los desfases
estacionales la cuestin es diferente: el primer desfase estacional es significativo, la
Funcin de Autocorrelacin Parcial estacional decrece rpidamente1. De manera que elparo en diferencias regulares y estacionales es estacionario [I(1,1)] y parece responder a
un modelo AR(2) regular y MA(1)2estacional, es decir, un SARIMA(2,1,0)(0,1,1) que
se puede escribir de las siguiente forma:
(1-B)(1-B12)Wt=Zt= a1Zt-1+ a2Zt-2+ bVt-12+ Vt [1]
Cuya forma compacta es,
(1 - a1B - a2B2)Zt=(1+bB
12)Vt [2]
La estimacin del modelo se reproduce en el cuadro 1 (GRETL: en el men
seleccionar ModeloSeries de tiempoARIMAseleccionar como variable
dependiente sd_d_Paro seleccionar en la parte no estacional: orden AR = 2,
diferencia = 0 y orden MA = 0. Y en la parte estacional: orden AR = 0, diferencia = 0 y
orden MA = 1. Manteniendo la constante y seleccionar ok apareciendo una ventana
con la estimacin del modelo).
ARMA, usando las observaciones 1983:02-2009:12 (T = 323)Estimado usando el filtro de Kalman (MV exacta)Variable dependiente: sd_d_ParoDesviaciones tpicas basadas en la matriz de productos externos
Coeficiente Desv. Tpica Estadstico t Valor p
-----------------------------------------------------------------const 516.235 841.265 0.6136 0.5395phi_1 0.230043 0.0541967 4.245 2.19e-05 ***phi_2 0.201914 0.0543272 3.717 0.0002 ***Theta_1 0.857650 0.0395960 21.66 4.89e-104 ***
Media de la vble. dep. 1193.783 D.T. de la vble. dep. 57244.63media innovaciones 1831.765 D.T. innovaciones 44426.59Log-verosimilitud 3922.995 Criterio de Akaike 7855.991Criterio de Schwarz 7874.879 Crit. de Hannan-Quinn 7863.531
Cuadro 1
Estimacin del modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1) del paro
Todos los parmetros son significativos: a1(phi_1), a2(phi_2) y b1(Theta_1), eltrmino independiente se suele mantener por cuestiones de ajuste an cuando en este
caso no es significativo. La validacin del modelo se realiza comprobando que los
1En este sentido hay que recordar que aunque la parte regular parece que se ajusta ms a un AR(2) esto
no queda claro y poda tambin corresponder a un ARMA(1,1) regular, de manera que se recomienda
estimar tambin este modelo, y elegir el que mejor ajusta siguiendo el criterio de Akaike, esto es lo que seha hecho siguiendo el criterio de parsimonia (libro de texto pg. 143), resultando que el que mejor ajusta
es el AR(2) regular.
2Para la identificacin de los modelos ARIMA hay que tener siempre en cuenta la forma que toma el
Correlograma para cada modelo terico, en el ANEXO I de este trabajo se muestra la forma terica que
toman los distintos modelos ARIMA y en el ANEXO II se muestra como se calcula el Correlograma(Funcin de Autocorrelacin Total y Parcial).
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residuos son RB (Ruido Blanco). El grfico 9 muestra el Correlograma de las
discrepancias (GRETL: en el cuadro de la estimacin del modelo (cuardo 1) seleccionar
GrficosGrficos de residuosCorrelograma de los residuos).
Grfico 9
Correlograma de los residuos de modeloSARIMA(2,1,0)(0,1,1)del paro.
Que presenta una Funcin de Autocorrelacin (FAC) con slo un valor
significativo, mayor de ( 2 323 ) = 0.110, en el retardo 8 (0,146), el estadstico Box-
Pierce3en el retardo 50 es 36, con un p-valor del 0.932, lo que muestra unos residuos
cercanos a la imagen emprica de RB. De manera que podemos considerar el modelo
SARIMA(2,1,0)(0,1,1) para el paro registrado como validado.
Una vez estimado el modelo realizamos la prediccin para 2010, para ello
calculamos, a partir de la serie original la serie estacionaria en Excel. El cuadro 2
reproduce la serie original del paro a partir de enero de 2009 (se puede calcular en Excel
o a partir de la serie calculada por GRETL sd_d_paro), la columna Vt es la que
calcula por GRETL como residuos del modelo (GRETL: en la ventana de estimacin
del modelo elegir Guardar Residuos se genera una serie denominada
uhatxx que es la serie Vtdel cuadro 2).
3Ver pp. 203-204 del libro de texto.
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Cuadro 2
Prediccin 2010 de la serie estacionaria
Paro registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)
Obs.Wt
Parodparo
dWt=(Wt-Wt-1)dd12paro
(dd12Wt=dWt-dWt-12) Vt
Prediccin12
t tdd W Z
ene-09 3327801 198838 66460 59345 7333
feb-09 3481859 154058 100652 90762,2 10111
mar-09 3605402 123543 137899 86599,3 51524
abr-09 3644880 39478 1936 9407,1 -7254
may-09 3620139 -24741 -39799 -23281,9 -16298
jun-09 3564889 -55250 -92099 -58140,4 -33738
jul-09 3544095 -20794 -57286 -6754 -50311
ago-09 3629080 84985 -18100 60406,6 -78288
sep-09 3709447 80367 -15000 43853,5 -58634
oct-09 3808353 98906 -93752 13454,5 -106992nov-09 3868946 60593 -110650 -18291,3 -92141
dic-09 3923603 54657 -85037 20593,7 -105413
ene-10 4048493 124890 -73948 18337,0 -92285
feb-10 4130625 82132 -71926 39581,3 -111507
mar-10 -105233
abr-10 -22075
may-10 20484
jun-10 50380
jul-10 6309
ago-10 -51291
sep-10 -37095
oct-10 -11023
nov-10 16204
dic-10 -17146
La ltima columna es la prediccin que hemos calculado aplicando la ecuacin del
modelo estimado, es decir, a partir de [1] tenemos que,
Zt= 516,235 + 0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-20,85765Vt-12 [3]
Como slo disponemos de datos de enero y febrero de 2010, slo podemos
comparar la prediccin en estos dos meses, en ambos la prediccin subestima el paro.
La prediccin en niveles se realiza a partir de [1], el modelo estimado es
(1-B)(1-B12)Wt=Zt= 516,235 + 0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-20,85765Vt-12+Vt
operando en la parte izquierda de la ecuacin tenemos,
(1-B12-B+B13)Wt=Zt=516,235 + 0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-20,85765Vt-12+Vt
WtWt-12Wt-1+Wt-13=Zt=516,235+0,230043Zt-1+ 0,201914Zt-20,85765Vt-12+Vt
el paro en niveles a partir deZtes,
Wt=Zt+ Wt-12+ Wt-1Wt-13 [4]
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De manera que podemos calcular, a partir de [4], la prediccin del paro enniveles hasta diciembre de 2010 que se reproduce en el cuadro 3. Para ello recurrimos a
Excel. La segunda columna muestra el paro registrado (Wt) en niveles hasta febrero de
2010, la tercera es la prediccin de la serie estacionaria (ltima columna del cuadro 2)
hasta diciembre de 2010, aplicando la ecuacin [4], se llega a la prediccin del paro enniveles hasta diciembre de 2010.
Cuadro 3
Prediccin 2010 del paro en niveles
Paro registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)
ObsWt
ParoZt
estimadaWt
estimada
ene-10 4048493 -92285 4030156
feb-10 4130625 -111507 4091044
mar-10 -105233 4148935abr-10 -22075 4166339
may-10 20484 4162081
jun-10 50380 4157212
jul-10 6309 4142727
ago-10 -51291 4176420
sep-10 -37095 4219692
oct-10 -11023 4307575
nov-10 16204 4384372
dic-10 -17146 4421883
Podemos calcular, a partir de la ecuacin [1], el paro estimado en niveles hasta
diciembre de 2009 (GRETL: en el men seleccionar Modelo Series de tiempoARIMA seleccionar como variable dependiente Paro seleccionar en la
parte no estacional: orden AR = 2, diferencia = 1 y orden MA = 0. Y en la parte
estacional: orden AR = 0, diferencia = 1 y orden MA = 1. Manteniendo la constante y
seleccionar ok apareciendo una ventana con la estimacin del modelo en la
ventana de estimacin del modelo seleccionar Grficosgrfico de la variable
estimada y observada). El grfico 11 muestra el paro registrado y estimado en niveles.
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Grfico 11
Paro registrado y estimacin [modeloSARIMA(2,1,0)(0,1,1)]
Donde se observa a simple vista el buen ajuste del modelo.
El grfico 12 muestra la prediccin del paro en 2010 y los observados.
Grfico12
La prediccin subestima el paro efectivo hasta abril (aunque se puede considerar
una prediccin aceptable hasta este mes), a partir de mayo la prediccin sobrestima lo
realmente sucedido. En este sentido hay que recordar que los modelos ARIMA son
especialmente adecuados para predecir a corto plazo, lo que ocurre en este caso si
consideramos slo los 4 primeros meses.
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Empleo (Afiliaciones a la Seguridad Social)
Los economistas consideramos, en general, que el empleo es ms adecuado para
el anlisis de la evolucin de la economa que el paro puesto que mayor empleo implica
necesariamente mayor produccin, mientras que en el paro influyen otras circunstanciasno relacionadas directamente, como la incorporacin de la mujer al mercado de trabajo,
la emigracin, etc.
El grfico 12 muestra el empleo registrado (GRETL: en el men seleccionar
Ver Grficos Grfico de series temporales elegir Afiliaciones
ok).
EL grfico 12 muestra una tendencia creciente si consideramos todo el periodo.Tambin se aprecia la ralentizacin de la primera mitad de la dcada de los ochenta
(crisis del petrleo), la crisis del noventa y tres y la crisis actual.
Grfico 12
Empleo (afiliaciones a la Seguridad Social)
Puesto que la serie no es estacionaria [I(0)], Calculamos su primera diferenciapara ver si es integrada de orden uno [I(1)], su grfico se muestra a continuacin
(GRETL: seleccionar la variable Afiliados y en el men Aadir Primeras
diferencias de las variables seleccionadasen la ventana principal aparece la nueva
variable en diferencias d_Afiliados).
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Grfico 14
Primera diferencia del empleo
Que presenta una varianza creciente a lo largo del periodo (heterocedasticidad),
en definitiva la serie en primeras diferencias no es estacionaria.
En muchas ocasiones aplicando logaritmos se consigue evitar laheterocedasticidad. De manera que transformamos la serie original en logaritmos
(GRETL: seleccionar la variable Afiliados y en el menAadirLogaritmosde las variables seleccionadasen la ventana principal aparece la nueva variable en
logaritmos l_Afiliados). El siguiente grfico muestra el empleo en logaritmos.
Grfico 15Empleo en logaritmos
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Del que se pueden hacer los mismos cometarios que de la serie en niveles(grfico 14): tendencia creciente, crisis de la primera mitad de los ochenta, crisis del
noventa y tres y ralentizacin actual. Puesto que la serie no es estacionaria en media
calculamos su primeras diferencias con el objetivo de contrastar si la primera diferencia
del empleo registrado en logaritmos es integrado de orden uno [I(1)] (GRETL:seleccionar la variable l_Afiliados y en el men Aadir Primeras
diferencias de las variables seleccionadasen la ventana principal aparece la nueva
variable en diferencias d_l_Afiliados). Cuyo grfico se muestra a continuacin.
Grfico 16
Primeras diferencias del empleo en logaritmos
Donde no se aprecia existencia de heterocedasticidad ni tendencia, su
Correlograma se muestra en a continuacin (GRETL: seleccionar la variable
d_l_Afiliados con el ratn y en el menVariableCorrelograma).
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Grfico 17
Correlograma de las primeras diferencias regulares del empleo en logaritmos
Cuya Funcin de Autocorrelacin Total (FAC) cae rpidamente en los primeros
desfases regulares pero tambin se observa una cada lenta en los retardos estacionales.
De manera que no es estacionaria en la parte estacional, el empleo en logaritmos no es
integrado de orden uno [I(1)]. Ensayamos una diferencia estacional para ver si el
empleo en logaritmos es integrado de orden uno estacional [I(0,1)].
Calculamos la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos (GRETL:
seleccionar la variable l_Afiliados y en el men Aadir Primeras
diferencias estacionales de las variables seleccionadas en la ventana principal
aparece la nueva variable en diferencias estacionales sd_l_Afiliados). Cuya grfica se
muestra a continuacin.
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Grfico 18
Primera diferencia estacional del empleo en logaritmos
Se observa, a partir de sus mnimos relativos la crisis de la primera mitad de los
ochenta, la del noventa y tres, y la actual. Su Correlograma (Seleccionar la variable
sd_l_Afiliados con el ratn y en el men Variable Correlograma) se
muestra a continuacin.
Grfico 19
Correlograma de la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos
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Que presenta una Funcin de Autocorrelacin Total que disminuye lentamente,de manera que la primera diferencia estacional del empleo en logaritmos no es
estacionaria. Calculamos la primera diferencia regular y estacional del empleo en
logaritmos con el objetivo de ver si el empleo en logaritmos es integrado de orden uno
regular y estacional [I(1,1)] (GRETL: seleccionar la variable d_l_Afiliados y en elmen Aadir Primeras diferencias estacionales de las variables
seleccionadas en la ventana principal aparece la nueva variable en diferencias
estacionales sd_d_l_Afiliados). Cuyo grfico se muestra seguidamente.
Grfico 20
Primeras diferencias regulares y estacionales del empleo en logaritmos
Cuyo Correlograma (GRETL: seleccionar la variable sd_d_l_Afiliados con elratn y en el menVariableCorrelograma)se reproduce seguidamente.
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Grfico 21
Correlograma de las primeras diferencias regulares y estacionales del empleo en
logaritmos
Correlograma que no es fcil de interpretar (sorprende que sea creciente los tresprimeros retardos tanto de la funcin de autocorrelacin parcial como total), en todo
caso el empleo en logaritmos es integrado de orden uno regular y estacional [I(1,1)]. El
primer desfase no es significativo mientras que el segundo y tercero si lo son. Los
desfases estaciones son significativos al menos los dos primeros (desfases 12 y 24) tanto
en la autocorrelacin parcial como total. Hemos llegado, mediante estimaciones
iterativas de diferentes especificaciones alternativas, siguiendo el criterio de Akaike
(pg. 178), al modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2) que se reproduce a continuacin (GRETL:
en el men seleccionar Modelo Series de tiempo ARIMA seleccionar
como variable dependiente sd_d_l_Afiliados
seleccionar en la parte noestacional: orden AR = 3, diferencia = 0 y orden MA =1. Y en la parte estacional: orden
AR = 0, diferencia = 0 y orden MA = 2. Tambin eliminar la constante y seleccionar
ok apareciendo una ventana con la estimacin del modelo).
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ARMA, usando las observaciones 1983:02-2009:12 (T = 323)Estimado usando el filtro de Kalman (MV exacta)Variable dependiente: sd_d_l_AfiliadoDesviaciones tpicas basadas en la matriz de productos externos
Coeficiente Desv. Tpica Estadstico t Valor p----------------------------------------------------------------phi_1 0.371055 0.118985 3.119 0.0018 ***phi_2 0.131039 0.0578205 2.266 0.0234 **phi_3 0.301385 0.0675287 4.463 8.08e-06 ***theta_1 0.398225 0.120043 3.317 0.0009 ***Theta_1 0.476254 0.0596572 7.983 1.43e-15 ***Theta_2 0.188983 0.0608877 3.104 0.0019 ***
Media de la vble. dep. 0.000092 D.T. de la vble. dep. 0.004192media innovaciones 8.46e-06 D.T. innovaciones 0.003446Log-verosimilitud 1370.121 Criterio de Akaike 2726.241
Criterio de Schwarz 2699.797 Crit. de Hannan-Quinn 2715.68
Cuadro 5
Estimacin del modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2)del empleo en logaritmos
Cuyos parmetros son significativos. La validacin del modelo, a partir del
Correlograma de los residuos se muestra a continuacin (GRETL: en el cuadro de la
estimacin seleccionar GrficosGrficos de residuosCorrelograma).
Grfico 22
Correlograma de los residuos del modelo SARIMA(3,1,1)(0,1,2)del empleo en
logaritmos
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Presenta valores significativos (mayores de 0.110 en trminos absolutos) en laFuncin de Autocorrelacin Total en los desfases 14, 23, 28, 32, 33, 39 y 45. El
estadstico Box-Pierce en el retardo 50 es 72, de manera que a pesar de que los primeros
retardos no son significativos el estadstico Box-Pierce indica que los residuos no son
RB.
Supuesto que los residuos se pudieran considerar RB, el modelo en notacincompacta es,
(1a1Ba2B2a3B
3)(1B)(1B12)Ln(Wt) = (1+b1B+b2B12+b3B
24)Vt
operando tenemos,
(1B)(1B12)Ln(Wt) =Zt= Vt+b1Vt-1+b2Vt-12+b3Vt-24+a1Zt-1+a2Zt-2+a3Zt-3(1B12B + B13)Ln(Wt) =Zt= Vt+b1Vt-1+b2Vt-12+b3Vt-24+a1Zt-1+a2Zt-2+a3Zt-3
y el modelo estimado es,
(1B12B+B13)Ln(Wt)=Zt=Vt-0,40Vt-1-0,48Vt-12-0,19Vt-24+0,37Zt-1+0,13Zt-2+0,30Zt-3
Estimado el modelo realizamos la prediccin para 2010, para ello calculamos, a
partir de la serie original, la serie estacionaria en Excel, el cuadro 7 reproduce la serie
original del empleo a partir de enero de 2009 (se puede calcular en Excel o a partir de la
serie calculada en GRETL sd_d_l_Afiliado), la columna Vtes la que calcula GRETL
como residuos del modelo (GRETL: en la ventana de estimacin del model elegir
Guardar Residuos se genera una serie denominada uhatxx que es la serie
Vtdel cuadro 7).
Cuadro 7
Prediccin 2010 de la serie estacionaria
Afiliados registrado SARIMA(2,1,0)(0,1,1)
Obs.Wt
AfiliadosLn(Wt)
dLn(Wt)dln(Wt)=ln(Wt)-
-ln(Wt-1)
dd12Ln(Wt)dd12Ln(Wt)=dLn(Wt)-
-dLn(Wt-12)Vt
Prediccin
12 ln t tdd W Z ene-09 18150678 16,7142185 -0,0084998 -0,0040778 -0,0006345 -0,0036334feb-09 18075777 16,7100833 -0,0041352 -0,0075399 -0,00326 -0,0037403
mar-09 17967287 16,7040633 -0,00602 -0,0088447 -0,004365 -0,003938abr-09 17955064 16,7033828 -0,0006805 -0,0017706 0,0004384 -0,0014779
may-09 18100171 16,7114319 0,00804919 0,00118264 0,006958 -0,0048668jun-09 17917981 16,7013153 -0,0101167 0,000216 -0,0003865 0,00036113jul-09 17958362 16,7035664 0,00225112 0,00303413 0,00354 0,00172091ago-09 17796399 16,6945067 -0,0090597 -0,0030696 0,0008793 -0,0032061sep-09 17791858 16,6942515 -0,0002552 0,01125313 0,005335 0,00460376oct-09 17870659 16,6986708 0,00441927 0,01139138 0,008891 0,0047416nov-09 17777153 16,6934247 -0,0052461 -0,0027403 -0,005734 0,00386092dic-09 17640018 16,6856806 -0,007744 0,01140938 0,004613 0,0078418
ene-10 17546714 16,6803773 -0,0053034 0,00319644 -0,0031786 0,00637507
feb-10 17550412 16,6805880 0,00021073 0,00434589 -0,000811 0,00515687mar-10 0,00891597abr-10 0,00496195
may-10 0,00071901jun-10 0,00625066jul-10 0,0023973ago-10 -8,375E-05sep-10 0,00230021
oct-10 -0,0018737nov-10 0,00341032dic-10 0,00022638
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podemos calcular la serie en niveles a partir de la serie estacionaria
Ln(Wt)Ln(Wt-12)Ln(Wt-1) + Ln(Wt-13) =Zt
Ln(Wt) =Zt+ Ln(Wt-12) + Ln(Wt-1)Ln(Wt-13) [5]
Wt= exp[Zt+ Ln(Wt-12) + Ln(Wt-1)Ln(Wt-13)] [6]
A partir de [6] calculamos la prediccin del empleo en niveles hasta diciembrede 2010. Para ello recurrimos a Excel. La segunda columna del cuadro 8 muestra los
afiliados registrados (Wt) en niveles hasta febrero de 2010, la tercera la prediccin de la
serie estacionaria (ltima columna del cuadro 7), hasta diciembre de 2010. Calculando
[6] se llega a la prediccin de los afiliados registrados en niveles (ltima columna del
cuadro 8).
Cuadro 8Prediccin 2010 del empleo en niveles
Afiliados SARIMA(3,1,1)(0,1,2)
ObsWt
AfiliadosZt
estimadaWt
estimada
ene-10 17546714 0,00637507 17602577
feb-10 17550412 0,00515687 17564651
mar-10 0,00891597 17601310
abr-10 0,00496195 17676831
may-10 0,00071901 17832506
jun-10 0,00625066 17763699
jul-10 0,0023973 17846465ago-10 -8,375E-05 17684030
sep-10 0,00230021 17720231
oct-10 -0,0018737 17765396
nov-10 0,00341032 17732812
dic-10 0,00022638 17600003
Podemos mostrar los afiliados observados y estimados en logaritmos, hasta
diciembre de 2009 (GRETL: en el men seleccionar Modelo Series de tiempo
ARIMA seleccionar como variable dependiente l_Afiliados seleccionar
en la parte no estacional: orden AR = 3, diferencia = 1 y orden MA = 1. Y en la parte
estacional: orden AR = 0, diferencia = 1 y orden MA = 2. Eliminando la constante y
seleccionando ok aparece la ventana con la estimacin del modelo en la
ventana de estimacin seleccionar Grficos grfico de la variable estimada y
observada). El grfico 23 muestra el empleo registrado y estimado en logaritmos.
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Grfico 23
Empleo registrado y estimacin en logaritmos, modeloSARIMA(3,1,1)(0,1,2)
Que muestra un buen ajuste, de manera que aunque no est claro si los residuos
son RB, podemos utilizar el modelo para predecir. El grfico 24 muestra la prediccin
del empleo para 2010 y el empleo observado en enero y febrero.
Cuadro 24
Prediccin del empleo en niveles para 2010 SARIMA(3,1,1)(0,1,2)
Se plantea una coyuntura en la que el empleo termina el ao en los mismos
niveles en que empez, comparando la prediccin con lo efectivamente ocurrido la
conclusin es que la prediccin en su conjunto se puede considerar adecuadasobrestimado el empleo pero en una cuanta aceptable.
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El alumno debe observar que en la parte regular de este modelo ARIMA(3,1,1),la suma de los componentes autorregresivo y medias mviles es 4, muy alejado de la
recomendacin de Anderson (p + q 2)(pg. 143 del libro). Hubiera sido mejor estimar
el modelo SARIMA(0,1,0)(0,1,2) y aadir dos autorregresivos de orden 2 y 3. En este
caso el criterio de Akaike mejora (-2742,589) y por tanto tambin el ajuste. Elcorrelograma de los residuos presenta valores significativos (mayores de 0.110 en
trminos absolutos) de la Funcin de Autocorrelacin Total en los mismos desfases que
el modelo anterior y el estadstico Box-Pierce en el retardo 50 es tambin 72, de manera
que tampoco en este modelo queda claro si los residuos son RB. En todo caso la
prediccin es muy parecida y desde el punto de vista didctico consideramos mejor el
modelo estimado anteriormente.
Conclusiones
Las evidencias empricas muestran que ambas variables son integradas de orden
uno regular y estacional [I(1,1)].
El paro se ajusta bien el modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1), es decir un AR(2) en la
parte regular y un MA(1) en la estacional cuyos residuos son una imagen emprica
cercana a ruido blanco. La prediccin es adecuada en los primeros 4 meses, alejndose a
partir del mes mayo de lo efectivamente ocurrido.
El modelo del empleo que mejor se ajusta es un SARIMA(3,1,1)(0,1,2). Los
residuos del modelo presentan dudas respecto a su validacin. El pronstico sobrestima
las cifras de empleo pero se comparta bastante bien, el pronstico de estancamiento del
empleo ha resultado cierto.
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ANEXO I (forma que toma el Correlograma para la identificacin de modelosARIMA)
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ANEXO II (CLCULO DEL CORRELOGRAMA)
Como sabis, los modelos ARIMA utilizan como herramienta para identificar y validar
sus modelos el Correlograma. A continuacin se muestra como se calculan las
Funciones de Autocorrelacin Total y Funcin Autocorrelacin Parcial de cualquier
serie temporal.
Funcin de Autocorrelacin.
En el libro de Econometra II se ilustra el proceso de clculo de la funcin de
autocorrelacin referida a los 12 nmeros de la serie original de manchas solares pg.
85 y siguientes.
La funcin de autocorrelacin se puede calcular a partir de los siguientes estadsticos:
1.
T
t t
uT
t utt
u
u
ZZT
ZZZZT
C
CR
1
2
1
0 1
1
2.
T
t t
uT
t utt
u
u
ZZT
ZZZZuT
C
CR
1
2
1
0 1
1
3.
T
t t
uT
t utt
u
u
ZZT
ZZZZuT
C
CR
1
2
1 21
0 1
1
donde: T
t tZ
TZ
11
1, y
uT
t utZ
uTZ
11
1
Asntticamente los tres estadsticos son iguales, pero cuando se trabaja con pocas
observaciones puede haber diferencias significativas.
Realizando la funcin de autocorrelacin a partir del estadstico 1.
T
t t
uT
t utt
u
u
ZZT
ZZZZT
C
CR
1
2
1
0 1
1
, y teniendo en cuenta los clculos intermedios
que se reproducen en el cuadro 1.
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Cuadro 1
Obs. Z(Zt-
43,28)(Zt-
43,28)2
Zt-1 (Zt-1-43,28)(Zt-43,28)
(Zt-1-43,28)Zt-2 (Zt-2-43,28)
(Zt-43,28)
(Zt-2-43,28)Zt-3 (Zt-3-43,28)
(Zt-43,28)
(Zt-3-43,28) Zt-10
(Zt-10-43,28)
(Zt-43,28)
(Zt-10-43,28)
1749 80,90 37,62 1415,01
1750 83,40 40,12 1609,35 80,90 37,62 1509,06
1751 47,70 4,42 19,51 83,40 40,12 177,18 80,90 37,62 166,14
1752 47,80 4,52 20,40 47,70 4,42 19,95 83,40 40,12 181,19 80,90 37,62 169,90
1753 30,70 -12,58 158,34 47,80 4,52 -56,83 47,70 4,42 -55,58 83,40 40,12 -504,80
1754 12,20 -31,08 966,17 30,70 -12,58 391,13 47,80 4,52 -140,39 47,70 4,42 -137,28
1755 9,60 -33,68 1134,57 12,20 -31,08 1046,99 30,70 -12,58 423,85 47,80 4,52 -152,14
1756 10,20 -33,08 1094,51 9,60 -33,68 1114,36 12,20 -31,08 1028,34 30,70 -12,58 416,30
1757 32,40 -10,88 118,45 10,20 -33,08 360,06 9,60 -33,68 366,59 12,20 -31,08 338,29
1758 47,60 4,32 18,63 32,40 -10,88 -46,98 10,20 -33,08 -142,81 9,60 -33,68 -145,40
1759 54,00 10,72 114,85 47,60 4,32 46,26 32,40 -10,88 -116,63 10,20 -33,08 -354,54 80,90 37,62 403,13
1760 62,90 19,62 384,81 54,00 10,72 210,23 47,60 4,32 84,68 32,40 -10,88 -213,49 83,40 40,12 786,96
Suma 519,40 7054,60 4771,39 1795,38 -583,17 1190,08
Media 43,28 587,88
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En definitiva utilizando este estadstico, la Funcin de Autocorrelacin es:
Desfase Ru
1
676.0
7054,60
4771,39
1
2
1
1 1
0
1
1
T
t t
T
t tt
ZZ
ZZZZ
C
CR
2
7054,60
1795.38
1
2
2
1 2
0
2
2 T
t t
T
t tt
ZZ
ZZZZ
C
CR 0.254
3
7054,60583,17-
1
2
3
1 3
0
33 T
t t
T
t tt
ZZ
ZZZZ
C
CR -0,083
.
10
7054,60
1190.08
1
2
10
1 3
0
10
3 T
t t
T
t tt
ZZ
ZZZZ
C
CR 0,169
Funcin de Autocorrelacin Parcial
La Funcin de Autocorrelacin Parcial coincide con el parmetro mnimo cuadrtico
autorregresivo de orden q, as el valor de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de la
serie Zt en desviaciones a las medias ser:
Zt = a11Zt-1 [1], donde a11 es el valor de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de
orden uno.
Zt = a1Zt-1 +a22Zt-2 [2], donde a22 es el valor de la Funcin de AutocorrelacinParcial de orden dos, obsrvese que a11 es distinto que a1.
..
Zt = a1Zt-1 + a2Zt-2 + + appZt-p [3], donde app es el valor de la Funcin de
Autocorrelacin Parcial de orden p.
De manera que se puede calcular la Funcin de Autocorrelacin parcial por MCO.
Tambin es posible calcular la Funcin de Autocorrelacin Parcial a partir de la
Funcin de Autocorrelacin (ecuaciones de Yule-Walker).
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Clculo de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de orden uno (a11).
Multiplicando [1] por Zt-1en ambos lados se tiene,
ZtZt-1= a11Zt-1Zt-1, y aplicando esperanzas,
E (ZtZt-1) = a11E(Zt-1Zt-1)
C1 = a11C0, y dividiendo por C0,
R1= a11, de manera que el Funcin de Autocorrelacin y la Funcin de Autocorrelacin
Parcial de orden uno coinciden.
Clculo de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de orden 2 (a22)
Multiplicando [2] por Zt-1 en ambos miembros se tiene,
ZtZt-1= a1Zt-1Zt-1+a22Zt-2Zt-1, y aplicando esperanzas,
E (ZtZt-1) = a1E(Zt-1Zt-1) +a22E(Zt-1Zt-2)
C1= a1C0+a22C1, y dividendo por C0,
R1= a1R0+a22R1 [4]
multiplicando [2] por Zt-2en ambos miembros,
ZtZt-2= a1Zt-1Zt-2+a22Zt-2Zt-2, y aplicando esperanzas,
E (ZtZt-2) = a1E(Zt-1Zt-2) +a22E(Zt-2Zt-2)
C2= a1C1+a22C0, y dividendo por C0,
R2= a1R1+a22R0 [5]
De manera que tenemos dos ecuaciones [4] y [5] y dos incgnitas (a1 y a22) sistema
de ecuaciones que en forma matricial se:
0 11 1
1 02 22
R RR a
R RR a , premultiplicando por la matriz inversa del segundo miembro
tenemos,1
0 11 1
1 022 2
R Ra R
R Ra R
[6]
de manera que podemos calcular a22conociendo R1 y R2.
Clculo de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de orden p(auu)
Multiplicando [3] por Zt-u en ambos miembros se tiene,
ZtZt-u= a1Zt-1Zt-u+a2Zt-2Zt-u+ +appZt-pZt-u, y aplicando esperanzas,
E (ZtZt-u) = a1E(Zt-1Zt-u) +a2E(Zt-1Zt-u)++E(appZt-pZt-u)
-
7/27/2019 ESTIMACIN DE MODELOS ARIMA
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Modelos ARIMA
Paro y empleo registrado
Econometra II
UNED
Cu= a1Cu-1+a2Cu-2+ +appCu-p, y dividendo por C0,
Ru= a1Ru-1+a22Ru-2++ appRu-p [7]
Dando valores a use obtienen las ecuaciones de Yule-Walker.
1
1 0 1 1 1
22 1 0 2 2
1 2 0
u
u
uu u u u
a R R R R
a R R R R
a R R R R
, que permiten calcular la Funcin de
Autocorrelacin parcial de orden u.
Clculo de la Funcin de Autocorrelacin Parcial de las manchas solares
Funcin de Aucorrelacin Parcial de orden 1 se calcula a partir de [1]
a11=R1; a11=0.676
La funcin de Aucorrelacin parcial de orden 2 se calcula a partir de [6]
1 1
0 11 1
1 022 2
1 0.676
1 0.676 0.676 0.6760.543 0.543
0.676 1 0.254 0.676 1 0.254
0.543 0.543
1.84162 1.24494 0.676
1.24494 1.84162 0.254
R Ra R
R Ra R
-0.374
Valores que coinciden con los del Correlograma calculado por el ordenador.
Sample: 1749 1760Included observations: 12
Autocorrelation PartialCorrelation
AC PAC Q-Stat Prob
. |***** | . |***** | 1 0.676 0.676 6.9865 0.008
. |** . | .***| . | 2 0.254 -0.374 8.0747 0.018
. *| . | . *| . | 3 -0.083 -0.142 8.2022 0.042
.***| . | .***| . | 4 -0.429 -0.435 12.065 0.017****| . | . | . | 5 -0.534 0.055 18.897 0.002****| . | . **| . | 6 -0.477 -0.212 25.277 0.000. **| . | . |* . | 7 -0.264 0.192 27.614 0.000. | . | . **| . | 8 -0.014 -0.204 27.623 0.001. |* . | . *| . | 9 0.096 -0.094 28.141 0.001. |* . | . *| . | 10 0.169 -0.101 30.532 0.001