Estatística para os cursos de : economia, administração e ciênicas contábeis : volume 2 / ...

www.EditoraAtlas.com.br

EstatísticaEste volume é uma continuação natural do anterior, onde são enfocados: Estatística Descritiva,

Medidas sobre uma Distribuição, Principais Estimadores e Probabilidades.

O volume 2 conceitua variável aleatória e as principais distribuições de probabilidades necessárias

ao desenvolvimento da Inferência Estatística.

Após alguns comentários sobre Amostragens, apresenta os processos de Estimação por intervalo

e os Testes de Signifi cância para os principais parâmetros de populações.

Finalizando, apresenta alguns testes de Hipótese com base na Curva Característica da Operação. O

objetivo é mostrar a diferença entre testes de signifi cância e testes de hipótese e criar motivação

para o estudo desta importante ferramenta estatística.

APLICAÇÃO

Livro-texto para a disciplina Estatística/Estatística I dos cursos de Economia, Administração de

Empresas, Ciências Contábeis e outros cursos que usam a Estatística como ferramenta de análise.

EconomiaAdministração

Ciências Contábeis

Para os cursos de:

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EconomiaAdministração

Ciências Contábeis

Para os cursos de:

SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM O USO DO EXCEL

Terceira EdiçãoM

edeiros

•

Med

eirosG

onçalves

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Mu

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tic

a

Estatística

Os autores acumulam larga experiência

no ensino de Matemática, Estatística e

Pesquisa Operacional em cursos superio-

res de Economia, Administração e Ciên-

cias Contábeis.

Ermes Medeiros da Silva é licencia-

do em Matemática pela Faculdade de Fi-

losofi a, Ciências e Letras de Rio Claro-SP.

Elio Medeiros da Silva é bacharel e

licenciado em Matemática pela PUC-SP e

pós-graduado em Matemática Aplicada

pela USP e em Administração de Empre-

sas pela EAESP-FGV.

Valter Gonçalves é graduado em

Ciên cias Econômicas e Administração de

Empresas, pós-graduado em Engenharia

de Produção e Didática do Ensino Superior.

Afrânio Carlos Murolo é graduado

em Matemática, com especialização em

Estatística pela Unicamp, pós-graduado

em Administração de Empresas, Didática

do Ensino Superior e mestre em Engenha-

ria de Produção.

Outros livros dos autorespublicados pela Atlas

• Cálculo básico para cursos superiores

• Estatística: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis (vol. 1)

• Matemática: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis (2 volumes)

• Matemática básica para cursos superiores

• Pesquisa operacional: para os cursos de Administração e Engenharia

• Tabelas de estatística

Ermes Medeiros da Si lvaEl io Medeiros da Si lva

Val ter GonçalvesAfrânio Car los Murolo

6468.indd 1 26/09/2011 15:06:20

Ermes MedeirosElio Medeiros

Valter GonçalvesAfrânio Murolo

Estatística 2

Solução dos Exercícios Propostos

São Paulo

Editora Atlas S.A. – 2011

Material de Consulta do Professor

Terceira Edição

Portal Atlas

Índice dos Exercícios

Item 1.3 Exercícios propostos

Exercício 8 ........................ 6

Exercício 9 ........................ 7

Exercício 10 ...................... 8


Exercício 4 ........................ 9

Exercício 4 ...................... 10

Exercício 5 ...................... 11

Exercício 6 ...................... 12

Exercício 7 ...................... 13

Exercício 7 ...................... 14

Exercício 9 ...................... 15


Exercício 4 ...................... 16

Exercício 5 ...................... 17


Exercício 5 ...................... 18


Exercício 3 ...................... 19

Exercício 4 ...................... 20

Exercício 5 ...................... 21

Exercício 7 ...................... 22

Exercício 8 ...................... 23

Exercício 9 ...................... 24

Exercício 10 .................... 25

Exercício 12 .................... 26

Exercício 13 .................... 27

Exercício 14 .................... 28

Exercício 15 .................... 29


Exercício 1 ...................... 30


Exercício 9 ...................... 31

Exercício 10 .................... 32


Exercício 10 .................... 33


Exercício 2 ...................... 34

Exercício 3 ...................... 35

Exercício 4 ...................... 36

Exercício 5 ...................... 37


Exercício 4 ...................... 38

Exercício 1 – Listão ......... 39







Exercício 10 – Listão ....... 46








Estatística 2 | Ermes Medeiros da Silva | Elio Medeiros da Silva | Valter Gonçalves | Afrânio Carlos Murolo 4




Exercício 5 ...................... 56

Exercício 6 ...................... 57

Exercício 8 ...................... 58

Exercício 10 .................... 59


Exercício 4 ...................... 60

Exercício 5 ...................... 61


Exercício 6 ...................... 62

Exercício 8 ...................... 63

Exercício 9 ...................... 64


Exercício 5 ...................... 65

Exercício 8 ...................... 66

Exercício 9 ...................... 67


Exercício 9 ...................... 68

Exercício 10 .................... 69


Exercício 3 ...................... 70

Exercício 10 .................... 71


Exercício 6 ...................... 72

Exercício 8 ...................... 73

Exercício 9 ...................... 74


Exercício 3 ...................... 75

Exercício 4 ...................... 76

Exercício 7 ...................... 77

Exercício 8 ...................... 78


Exercício 5 ...................... 79

Exercício 6 ...................... 80


Exercício 8 ...................... 81

Exercício 9 ...................... 82


Exercício 3 ...................... 83

Exercício 6 ...................... 84

Exercício 9 ...................... 85


Exercício 1 ...................... 86

Exercício 2 ...................... 87

Exercício 3 ...................... 88

Exercício 5 ...................... 89

Exercício 6 ...................... 90


Exercício 1 ...................... 91

Exercício 3 ...................... 92

Exercício 4 ...................... 93

Exercício 6 ...................... 94

Exercício 8 ...................... 95

Exercício 9 ...................... 96


Exercício 1 ...................... 97

Exercício 2 ...................... 98

Exercício 3 ...................... 99

Exercício 4 .................... 100


Exercício 5 .................... 101

Exercício 6 .................... 102

Exercício 7 .................... 103

Exercício 8 .................... 104

Exercício 9 .................... 105

Exercício 10 .................. 106


Exercício 1 .................... 107

Exercício 3 .................... 108

Exercício 4 .................... 109

Exercício 5 .................... 110

Exercício 6 .................... 111

Exercício 7 .................... 112

Exercício 8 .................... 113

Exercício 9 .................... 114

Exercício 10 .................. 115


Exercício 2 .................... 116

Exercício 2 .................... 117

Exercício 3 .................... 118

Exercício 4 .................... 119

Exercício 5 .................... 120


Exercício 1 .................... 121

Exercício 2 .................... 122

Exercício 3 .................... 123

Exercício 4 .................... 124

Exercício 5 .................... 125

Exercício 6 .................... 126

Exercício 7 .................... 127

Exercício 8 .................... 128

Exercício 9 .................... 129

Exercício 10 .................. 130


Exercício 1 .................... 131

Exercício 2 .................... 132

Exercício 3 .................... 133

Exercício 4 .................... 134

Exercício 5 .................... 135

Exercício 6 .................... 136

Exercício 7 .................... 137

Exercício 8 .................... 138

Exercício 9 .................... 139

Exercício 10 .................. 140



Exercício 8

Estatística 2 Terceira Edição Medeiros, Medeiros, Gonçalves, Murolo

Item 1.3 – Ex. 8

Dados b = bola branca p = bola preta

Urna A contém 3b e 2p Urna B contém 5b e 1p

Solução

Espaço amostral: S ={ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,b b b p p p p b }

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

21 2 1

1

21 2 1

1

21 2 1

1

21 2 1

1

5 3 16 5 2

1 3 16 5 101 2 16 5 15

5 2 16 5 3

bP b b P P bb

bP b p P P pp

pP p p P P pp

bP p b P P pp

∩ = = × =

∩ = = × =

∩ = = × =

∩ = = × =

Função de probabilidade ( )

0 1 23 13 1 20 30 2

x

P x

21


Exercício 9


Item 1.3 – Ex. 9

Dados: b = bola branca A = urna A BA = bola branca da urna A

PA = bola preta da urna A B = urna B BB = bola branca da urna B

vB = bola vermelha da urna B.

Solução

Retirar uma bola da urna A. Espaço amostral: bA, pA, com ( ) 37

P bA = e ( ) 47

P pA = .

Retirar uma bola da urna B, após a transferência: Espaço amostral: bB, pB, vB.

a) A bola retirada da Urna A é branca: b) A bola retirada da urna A é preta

( ) 36

P bB = ( ) 26

P bB =

A probabilidade de ocorrer bola branca é então: ( ) 3 3 2 4 176 7 6 7 42

P bB = × + × =

Função de probabilidade: ( )

0 125 17x 42 42

x

P

10


Exercício 10


Item 1.3 – Ex. 10

Dados: B = peça boa D = peça defeituosa

Na urna: 3 peças boas e duas peças defeituosas

Solução

O experimento encerra quando retiramos a segunda peça com defeito ou quando retiramos a

terceira peça boa, o que ocorrer primeiro. A árvore de decisão pode ser a seguinte:

D BBDD ( ) 3 2 2 1 15 4 3 2 10

P BBDD = × × × =

D B BBDB ( ) 3 2 2 1 15 4 3 2 10

P BBDB = × × × =

B B BBB ( ) 3 2 1 15 4 3 10

P BBB = × × =

B D B B BDBB ( ) 3 2 2 1 15 4 3 2 10

P BDBB = × × × =

D BDBD etc

D BDD

B D DBBD

B DBBB

D B D DBD

D DD

O espaço amostral é equiprovável. A função de probabilidade será, então:

( ) 2 3 4 0,1 0,3 0,6

xP x



Exercício 4


Item 1.4 – Ex. 4

Dados: L = lucro por unidade vendida P(V) = expectativa de venda

La = lucro por unidade reaproveitada = Lucro − custo adicional

P(R) = expectativa de reaproveitamento

K = proporção na produção

A, B, C, D = modelos de fralda descartáveis

Solução

A B C D

L 0,04 0,08 0,02 0,10

P(V) 0,70 0,80 0,60 0,60

La 0,02 0,03 0,01 0,06

P(R) 0,30 0,20 0,40 0,40

L . P(V) + La . P(R) 0,034 0,07 0,016 0,084

K 0,50 0,30 0,10 0,10

( ) ( )( ). .K L P V La P R+ 0,017 0,021 0,0016 0,0084

( ) ( ) ( )( ). . 0,048 por unidade vendidaretorno K L P V La P Rµ = + =∑


Exercício 4


Item 1.4 – Ex. 4

Dados x = número de bolos vendidos no dia

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0,01 1 0,05 x=2 0,20 3 0,30

4 0,29 x=5 0,15

P x P x P P x

P x P

= = = = = = =

= = =

Solução

X 0 1 2 3 4 5

P(x) 0,01 0,05 0,20 0,30 0,29 0,15

Custo 50 50 50 50 50 50

Receita 0 20 40 60 80 100

Lucro 50− 30− 10− 10 30 50

L.P(L) 0,5− 1,5− 2− 3 8,7 7,5

L2 2500 900 100 100 900 2500

L2.P(L) 25 45 20 30 261 375

( ) ( )2 15,2 L 756LP L P LΣ = Σ =

( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2= 15,2 L 756 15,2 524,96L LP L L E E Lµ σΣ = = − = − =

( ) 22,91Lσ =


Exercício 5


Item 1.4 – Ex. 5

Dados: L = lucro na venda do automóvel

Solução

Dia 2ª. 3ª. 4ª. 5ª. 6ª.

Lucro 3.000 1.800 1.080 648 388,80

P(L) 0,5 0,3 0,1 0,05 0,05

L.P(L) 1.500 540 108 32,40 19,44

L2 9.000.000 3.240.000 1.666.400 419.904 151.165,44

L2.P(L) 4.500.000 72.000 166.640 20.995,20 7.558,27

( ) ( ). 2.199,84L L P Lµ = =∑

( ) ( ) ( ) 22 2 25.617.193,45 2.199,84 777.897,43L E L E Lσ = − = − =

( ) 881,98Lσ =


Exercício 6


Item 1.4 – Ex. 6

Dados: L = lucro no lançamento do produto

Solução

L 100.000 50.000− ∑

P(L) 0,8 0,2

L . P(L) 80.000 10.000− 70.000

L2 10.000.000.000 2.500.000.000

L2 . P(L) 8.000.000.000 500.000.000 8.500.000.000

( ) . ( ) 70.000L L P Lµ = =∑

( ) ( ) ( ) 22 2 2. 8.500.000.000 70.000 3.600.000.000L L P L L P Lσ = − = − =

( ) 60.000Lσ =


Exercício 7


Item 1.4 – Ex. 7

Dados: t = tempo de reparo do trem

Solução

t 5 15 ∑

P(t) 0,4 0,6

t . P(t) 2 9 11

( ) ( ). 11t t P tµ = =∑ minutos


Exercício 7


Item 1.4 – Ex. 7

Dados: v = vendas por visita

Solução

v 1.000 1.000 1.000 1.000 ∑

P(v) 0,8 0,8 0,8 0,8

v . P(v) 800 800 800 800 3.200

( ) ( ). 3.200v v P vµ = =∑


Exercício 9


Item 1.4 – Ex. 9

Dados: D = número de defeitos v = preço de venda

Solução

D 0 1 2 3 4 ∑

v 10 5 2,5 1,25 0,625

P(D) 0,9 0,05 0,03 0,01 0,01

v . P(v) 9 0,25 0,075 0,0125 0,00625 9,34

( ) ( ). 9,34v v P vµ = =∑



Exercício 4


Item 1.6 – Ex. 4

Dados: x = peso da caixa de papelão ( ) 200 gramasP x = ( ) 10 gramasxσ =

peso da unidade do produtoiy = ( ) ( )1.000 gramas 5 gramasy yµ σ= =

peso total da caixa cheiaz = i = 1,2,.....6

Solução

( ) ( ) ( ) ( )6 6 6 1.000 200 6.200 gramasi iz y x y xµ µ µ µ= + = + = × + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 26 36 36 25 100 1.000 gramasi iz y x y xσ σ σ σ= + = + = × + =

( ) 31,62 gramaszσ =


Exercício 5


Item 1.6 – Ex. 5

Dados: x = custo unitário ( ) 5 ( ) 0, 20x xµ σ= =

P = preço unitário ( ) 20 ( ) 1,5p pµ σ= =

Cf = custo fixo = 10.000

Solução

a) Custo 1.000 10.000 (Custo) 1.000 ( ) 10.000 15.000x xµ µ= + = + =

2 2 2(Custo) 1.000 ( ) 40.000xσ σ= =

(Custo) 200σ =

b) Receita 1.000 (Receita) 1.000 ( ) 20.000p pµ µ= = =

2 2 2(Receita) 1.000 ( ) 225.000pµ σ= =

(Receita) 1.500σ =

C) ( )Lucro 1.000 1.000 10.000 (Lucro) 1.000 ( ) ( ) 10000 5.000

p xp xµ µ µ

= − −

= − − =

2 2 (Lucro) (Receita Custo) 225.000 40.000 265.000 (Lucro) 1.513,27

σ σσ

= − = + ==



Exercício 5


Item 2.2 – Ex. 5

Dados: x = variável com distribuição de Bernoulli 2 ( ) 0, 24xσ = ( ) 0,5xµ >

Solução

2 ( ) 0, 24 1 1x p q p q q pσ = × = + = ⇒ = −

Substituindo: ( ) 21 0,24 ou 0, 24 0 0,4 ou 0,6p p p p p p− = − + − = ⇒ = =

Como ( ) 0,5 , a solução é ( ) 0,6x p xµ µ= > =



Exercício 3


Item 2.3 – Ex. 3

Dados: x = variável com distribuição binomial

S = valorizar ( ) 0, 4P S =

F = desvalorizar ou ficar estável ( ) 0,6P F =

Solução

a) ( )10 0,0001 (Tabela ou função da tabela Excel com 10 e 0, 4)P x n p= = = =

b) ( ) ( ) ( ) ( )8 8 9 10 0,123 (Tabela ou função da tabela Excel)P x P P P≥ = + + =

c) ( )0 0,06 (Tabela ou função da tabela Excel)P x = =


Exercício 4


Item 2.3 – Ex. 4


S = com defeito ( ) 0,30P S =

F = sem defeito ( ) 0,70 4P F n= =

Solução

a) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 0,3483 (Tabela ou função Excel)P x P x P x≥ = − = − = =

b) ( ) ( )1 2 0,3483P x P x> = ≥ =


Exercício 5


Item 2.3 – Ex. 5


S = defeito ( ) 0,02P S =

F = sem defeito ( ) 0,98 25P F n= =

Solução

( ) 2 23252 0,02 0,98 0,0754

2P x

= = × × =


Exercício 7


Item 2.3 – Ex. 7


S = não comparecer ( ) 0,1P S =

F = comparecer ( ) 0,9 22P F n= =

Solução

a) ( )1 0,3392P x ≤ =

b) ( )3 0,2080P x = = (Tabela ou função Excel)


Exercício 8


Item 2.3 – Ex. 8


S = candidato experiente

F = candidato não experiente

Solução

Expectativa de não ocorrer candidato experiente: ( ) ( )100100 1 0,9

0P x p p

= = − =

⇒ ( )101 0,9 0,0105p p− = ⇒ = .

Neste caso, ( ) 1 0,0105 0,9505P F q= = − = .


Exercício 9


Item 2.3 – Ex. 9

Dados: x = variável com distribuição normal

S = um acidente por dia ( ) 0,25P S =

F = nenhum acidente por dia ( ) 0,75P F =

Lucro por atendimento = 350

Tempo parado para retificar = 6 dias Tempo parado para trocar = 1 dia

Solução

Expectativa de ganho em cinco dias = 0,25 350 5 437,50× × =

Diferença de custo caso use a retífica = 500,00

Portanto ele deve usar a retífica, pois a expectativa de ganho em cinco dias de trabalho (usando a troca), não compensa a diferença de custo.


Exercício 10


Item 2.3 – Ex. 10


S = ser recebido ( ) 0,80 6P S n= =

Solução

a)( ) ( ) ( ) ( )4 4 5 6

0, 24576 0,393216 0,262144 0,9011P x P x P x P x≥ = = + = + = =

= + + =

b) ( )6 0,2621P x = =

c) ( )0 0,0001P x = =

(Use Tabela ou DISTRIBINOM do programa Excel)


Exercício 12


Item 2.3 – Ex. 12


S = cheque com problema ( ) 0,12P S =

F = cheque bom ( ) 0,88 10P F n= =

C = custo da mercadoria L = Lucro na venda

Solução

a) ( ) 0 10100 0,12 0,88 0,2785

0P x

= = × × =

b) ( ) 5 055 5 0,12 0,88 0,000025

5n P x = = = × × =

c) 0,5 pago 0,3L C=

com problema

Cheque 0,12 0,5 não pago L C= −

0,88

bom 0,3L C=

dinheiro 0,3L C=

c1) aceitando pagamento com cheque

( ) ( )( )

0,3 0, 2 0,8 0,12 0,3 0,5 0,5 00 0,88 0,3

0,2376

E L C C C C

E L C

= × + × − + × =

C2) não aceitando cheque para pagamento

( ) 0,75 0,3 0,225E L C C= × =

Conclusão: A esperança de lucro no caso de aceitar pagamento com cheque é maior do que ocorre quando o cheque não é aceito. O pagamento com cheque deve ser mantido.


Exercício 13


Item 2.3 – Ex. 13

Dados : x = variável com distribuição binomial

S = cliente com depósito na fila

n = 9

Solução

P(S) = probabilidade de um cliente ter depósito a fazer e de não ter hábito de usar o caixa automático para depósitos.

Portanto, ( ) 0,2 0,7 0,14P S = × =

( ) ( ) 0 991 1 0 1 0,14 0,86 0,7427

0P x P x

≥ = − = = − × × =


Exercício 14


Item 2.3 – Ex. 14


S = fazer pergunta ( ) 0,20P S =

30 minutos = tempo destinado a respostas

5 minutos = tempo para cada resposta

Solução

a) Ocorrer no máximo duas perguntas sem resposta, significa ocorrer no máximo oito perguntas, pois a capacidade de respostas é de seis em 30 minutos.

( ) ( ) ( ) ( )8 0 1 ... 8 0,9532P x P x P x P x≤ = = + = + = =

b) ( )6

06 0,2 0,8 0,9i n i

i

nP x

i−

=

≤ = × × =

∑

O número máximo é de 20 pessoas (Acompanhe na tabela ou simule na função DISTRIBINOM do Excel, com Núm_s = 6, Tentativas = simular, Probabilidade_s=0,20, cumulativo =verdadeiro ).


Exercício 15


Item 2.3 – Exercícios propostos Ex. 15


S = completar a ligação ( ) 0,70P S = n = 3

Solução

10 1: vai telefonar

3 5 0,5 2: não vai telefonar

1 0,973 6 0,5 20 3: completa a ligação

4 0,027 4: não completa

2 5 15 5: ônibus espera

0,5 6: não espera

6 0,5

25

Obs. A probabilidade de o ônibus esperar é 0,50, pois não temos nenhuma informação a respeito deste fato.

A probabilidade de a garota completar a ligação é:

( ) ( )1 1 0 1 0,027 0,973P x P x≥ = − = = − = (veja Tabela ou DISTRIBINOM do Excel)

Calculando-se com auxílio da árvore de decisão a expectativa de custo caso ela vá telefonar, obtemos:

( ) ( )10 20 0,5 0,973 15 25 0,5 0,027 15,135+ × × + + × × =

Caso ela não vá telefonar, o custo é 15, menor que no caso anterior.

Conclusão: não deve ir telefonar



Exercício 1




S = carro roubado ( ) 0,035 100P S n= =

Solução

a) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2P x P x P x P x≤ = = + = + = .

Como 30 e 0,05n p> < , usaremos a aproximação de Poisson.

3,5λ = roubos para 100 carros

( )3,5 03,50 0,0302

0!eP x− ×

= = =

( )3,5 13,51 0,105

1!eP x− ×

= = =

( )3,5 23,52 0,0,1850

2!eP x− ×

= = =

Portanto, ( )2 0,3209P x ≤ =

b) Prejuízo equivale a mais de 10 carros roubados.

( )10 0,001P x > = ( Tabela ou DISTRBINOM do Excel)



Exercício 9



Dados: ( )Cov , 0,02x y = −

x y 2 3 4 a 0,2 5 0,3 b

Solução

x y 2 3 ( )iP x n=

4 a 0,2 0,2 a+ 5 0,3 b 0,3 b+

( )jP y y= 0,3 a+ 0,2 b+

1) 0,2 0,3 1 0,5 ou 0,5a b a b b a+ + + = ⇒ + = = −

( ) ( ) ( )4 0,2 5 0,3E x a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 4,8b a x a= − = −

( ) ( ) ( )2 0,3 3 0,2E y a b= × + + × + . Como ( )0,5 então, E 2,7b a y a= − = −

2) ( ) 8 15 5,4E x y a b= + + . Como ( )0,5 então, E 12,9 7b a x y a= − = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), 7 15 5,4 4,8 2,7 0,02Cov x y E x y E x E y a b a a= − = + + − − − = −

Então, 2 0,5 0,06 0,02 0,1 0, 4 ou 0, 4 0,1a a a e b a e b+ − = − ⇒ = = = =

.x y 8 10 12 15 ( )P x y a 0,3 0,2 b

( )x y P x y⋅ 8 a 3 2,4 15 b


Exercício 10



Dados: ( , ) 0,344x yσ = −

Solução

x y

1 3 5 ( )iP x x=

2 0,1 a 0,3 0,4 a+ 4 0,2 b 0,1 0,3 b+

( )jP y y= 0,3 a b+ 0,4

Do quadro, 0,7 1 0,3a b b a+ + = ⇒ = − . Mas ( ) ( ),, 0,344

( ) ( )Cov x y

x yx y

ρσ σ

= = −

x y⋅ 2 4 6 12 10 20 ∑ ( )x yσ ⋅ 0,1 0,2 a b 0,3 0,1

x y⋅ ( )x yσ⋅ ⋅ 0,2 0,8 6a 12b 3 2 6 12 6a b+ + ( )6 12 6 6 12 0,3 6 9,6 6a b a a a+ + = + − + = −

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 0, 4 4 0,3 0,3 3,2 2

0,3 3 0,3 5 0, 4 3, 2

, 9,6 6 3, 2 2 3,2 0,4 0,64

E x a a a

E y

Cov x y a a a

= × + + × + − = −

= + × + × =

= − − − × = −

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

22 2

2 2

222

2

( ) 4 0,4 16 0,6 3,2 2 4 0,8 0,96

( ) 0,3 9 0,3 2,5 0,4 3,2 2,76

0,4 0,64( , ) 0,344

0,4 0,8 0,96 2,76

x a a a a a

y

ax y

a a

σ

σ

σ

= × + + × − − − = − + +

= + × + × − =

−= = −

− + + ×

Assim, 20, 4664282 0,7732858 0,096578 0 0,32 ou 0, 20a a a a− + = ⇒ = =

Como 0,3b a= − , a solução é 0,20 e 0,10a b= =

x y

1 3 5

2 0,1 a 0,3 4 0,2 b 0,1



Exercício 10




( ) ( )60 0,05 45 0,15P x P x> = < =

Solução

1) ( ) ( ) ( )60 0,5 60 0,05 60 0,45P x P x P xµ µ> = − < < = ⇒ < < =

Desta forma, 60 1,64µσ−

= (veja Tabela)

2) ( ) ( ) ( )45 0,5 45 =0,15 45 0,35P x P x P xµ µ< = − < < ⇒ < < =

Assim também, 45 1,04µσ−

= − (veja Tabela)

De 1 e 2 vem: 1,64 60 e 1,04 45σ µ σ µ+ = − + = 2,68 15 =5,597σ σ= ⇒ e 50,82µ =

Portanto ( ): 50,82 ; 31,33x N



Exercício 2



Dados: ( ) ( )1 2500 ; 4 5 ; 0, 25x N x N= =

Solução

a) 1 2x x x= + 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 500 5 505x x x x xµ µ µ µ= + = + = + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 4 0,25 4,25x x x x xσ σ σ σ= + = + = + = , visto que x1 e x2

são

independentes.

Assim, ( ) 2,06xσ = e ( ): 505 ; 4,25x N

b) ( ) ( )501 0,5 501 505P x P x< = − < <

501 505 1,942,06

z −= = − de onde, ( )501 0,5 0,4738 0,0262P x < = − =


Exercício 3



Dados: ( ) ( )1 2230 ; 9 30 ; 25 x N x N= =

Solução

1 220x x x= +

( ) ( ) ( )1 2 1 2

2 2 21 2 1 2

( ) (20 ) 20 ( ) ( ) 20 230 30 4.630

20 400 400 9 25 3.625

x x x x xx x x x

µ µ µ µ

σ σ σ

= + = + = × + =

+ = + = × + =

Portanto, ( ) ( )60,21 e : 4.630 ; 3.625x x Nσ = .

( ) ( )4.660 0,5 4.630 4.660 0,5 0,1915 0,3085P x P x> = − < < = − = (veja Tabela)


Exercício 4



Dados: ( )1 : 70 ; 225x N

Solução

Carga: 110x x=

( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 2 21 1

( ) (10 ) 10 ( ) 10 70 700

10 100 100 225 22.500 x 150

x x xx x x

µ µ µ

σ σ σ σ

= = = × =

= = = × = ⇒ =

Assim, ( ): 700 ; 22.500x N

a) ( ) ( ) 880 700880 0,5 700 880 1, 20150

P x P x z −> = − < < = =

( )880 0,5 0,3849 0,1151P x > = − = (veja Tabela)

b) ( ) 7000,0002 (veja bela) 3, 48 ou 1.222 Kg150

aP x a a−> = ⇒ = =


Exercício 5



Dados: ( ) ( )1 2: 60 ; 25 : 26 ; 16x N x N

Solução

Lucro ( )1 21.000L x x= = −

( )1 2 1 2( ) (1.000 1.000 ) 1.000 ( ) 1.000 ( ) 1000 60 26 34.000L x x x xµ µ µ µ= − = − = − =

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 21 2 1 21.000 1.000 1.000 41.000.000L x x x xσ σ σ σ= − = + =

( ) 6.403,12Lσ =

a) 25,5% ( ) 0, 255 60.000 15.300de vendasµ = × =

( ) ( ) ( )15.300 0,5 15.300 34.000 0,5 0 3,28 0,9982P L P L P z> = + < < = + < < =

b) 50% do custo = 0,5 26.000 13.000× =

( ) ( ) ( )13.000 0,5 13.000 34.000 0,5 0 3,28 0,9995P L P L P z> = + < < = + < < =

c) ( ) ( ) ( )0 0,5 0 34.000 0,5 0 5,31 0P L P L P z< = − < < = − < < =



Exercício 4



Dados: S = completar a ligação na primeira tentativa

( ) 0,6P S = 42n =

Solução

Cálculo do número mínimo de sucessos: ( )1,5 3 42 90 24x x x+ − = ⇒ =

Portanto 24 ligações do tipo S e 18 ligações do tipo F completam 90 minutos.

a) ( ) ( ) ( )90min 24 24,5 , para usar a normal para aproximarP t P x P x≥ = ≤ ≅ < .

No caso, ( ) ( ): 0,6 42 ; 0,6 0,4 42 : 25,2 ; 10,08N N× × × =

24,5 25,2 0,2210,08

z −= = −

( )90min 0.5 0,0851 0,4149P t ≥ = − = (veja Tabela)

b) ( ) ( ) ( )120min 4 pois 1,5 3 42 120 4P t P x x x x= = = + − = ⇒ =

( ) 4 38424 0,6 0,4 0 ou pela normal

4P x

= = × × =

( ) ( ) ( )4 3,5 4,5 6,8 6,5 0P x P x P z= = < < = − < < − =


Exercício 1 – Listão


Item 5.6 – Listão Ex. 1

Dados: x = variável com distribuição binomial, conta o número de faróis fechados

S = encontrar farol fechado n = 4 ( ) 0,75P S =

Solução

Av 1 Av 2 Av 3 Av 4 Av 5

Posição às 9:50

Solução:

a) Para que o tempo empregado seja no máximo 10 minutos, ele deverá encontrar, no máximo, dois faróis fechados. ( ) ( )10min 2 0,2617 (ver Tabela binomial ou

DISTRBINOM do Excel)P t P x≤ = ≤ =

b) ( ) ( ) ( ) ( )10 13 2 2 3 0,4219 idemP t P x P x P x< < = > − ≤ = = =






S = ser imediatamente atendido

( ) 0,20 80P S n= =

Solução

a) ( ) 0, 2 80 16xµ = × =

( )2 0, 20 0,80 80 12,8xσ × × = ( ) 3,58xσ =

b)( )0,25 80 16

0,2080

× −=





Dados:

x =número de carros que chegam em 4 horas ( variável com distribuição Poisson)

8 clientes 4 horasλ =

Solução

a) 3 carros na fila requer 11 chegadas ( )11 0,184P x ≥ = (Tabela ou função

Poisson no Excel)

b) ( )8 . 8, 0,85 0,85

!

xeP xx

λ−

= ⇒ =∑

c) Na tabela ou na Poisson do Excel ( )( )

10 0,8159

11 0,8892

P x

P x

≤ =

≤ =

Para garantir o atendimento, tenho que pensar em 11 carros. Serão 10 carros atendidos e um carro na fila de espera.

Portanto, 4 60 minutos 24 minutos por carro10 carros

t ×= =





Dados: x = variável com distribuição de Poisson

1 defeito 80 metrosλ =

Solução

a) x = mede o número de defeitos em 520 metros da bobina. 520 6,5 defeitos para 520 m do plástico80

λ = =

( )5 = 0,3691P x ≤ (Tabela ou Poisson do Excel)

b) ( ) ( )0.0 0,99 0,99 ln 0,99

0!eP x e

λλλ λ

−−= = = ⇒ = ⇒ = −

0,01λ = defeitos para cada 500 m, ou seja, 1 defeito para cada 50.000 m.





Dados: x = quantidade de nutriente na mistura

x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3.

Solução

a) Ingredientes na mesma proporção: 1 2 31 1 13 3 3

x x x x= + + .

1 2 31 1 1 200 150 100( ) ( ) 150 por Kg3 3 3 3

x x x x gµ µ + += + + = =

( ) ( )2 2 2 2 21 2 3

1 1 1 1 12 6 10 31,113 3 3 9

x x x xσ σ = + + = + + =

( ) 5,58 g por Kgxσ =

b) Ingredientes na proporção de 2:3:5: 1 2 32 3 510

x x xx

+ +=

1 2 32 3 5 2 200 3 150 5 100( ) ( ) 135 g por Kg10 10

x x xxµ µ

+ + × + × + ×= = =

( )2 2 1 2 32 3 5 4 144 9 36 25 100 3410 100

x x xxσ σ

+ + × + × + × = = =

( ) 5,83 g por Kgxσ =





Dados: x = quantidade de nutriente na mistura

x i = quantidade de nutriente nos ingredientes, i = 1, 2, 3.

Solução

X i 200 150 100

( )iP x P1 0,5 –P1 0,5

( ) ( ) ( )1 1200 150 0,5 50 140i iiE x x P x P P= ⋅ = + − + =∑

1 150 15 P 0,30P = ⇒ = e 2 0, 20P =

As proporções são: 3:2:5.





Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina ( )

1

1

( ) 2 defeitos para 1.000 mx 0,4xµ

s=

=

X2= número de defeitos da segunda máquina ( )

2

2


s=

=

Solução

Número de defeitos para rolo de 400 m (200 m cada máquina): 1 20, 2 0,2x x x= +

1 2( ) (0, 2 0,2 ) 0,2 2 0,2 3 1 defeito por rolo de 400 mx x xµ µ= + = × + × =

( )2 2 21 20, 2 0,2 0,04 0,4 0,04 0,5 0,0164x xs + = × + × =

( ) 0,128 defeitos por rolo de 400 mxs =





Dados: x1= número de defeitos da primeira máquina ( )1

1


σ=

=

X2= número de defeitos da segunda máquina ( )2

2


σ=

=

Solução

a) Pior especificação: x = 0,4x2

2( ) (0, 4 ) 0,4 3 1,2 defeitos por rolo de 400 mx xµ µ= = × =

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 2 2 22

1 2

1 2

2 2 2 21 2

0, 4 0,4 0,5 0,04 x 0,2 def rolo de 400m

) Especificação: 0,7 0,4 0,3 0,4

( ) (0,7 0,4 0,3 0,4 ) 0,28 2 0,12 3 0,92 def rolo de 400 m

0,7 0,4 0,3 0,4 0,28 0,16 0,12 0,25

x x

b x x x

x x x

x x x

σ σ σ

µ µ

σ σ

= = × = =

= +

= + = × + × =

= + = × + × =

( )

0,016

def0,13 rolo de 400 mxσ =





Dados: x =número de peixes fisgados em um dia (variável com distribuição de Poisson).

( ) 7 peixes por diaxµ λ= =

Solução

( ) ( ) ( )não cumprir 12 1 12 1 0,0532 0,9468P P x P x= < = − ≥ = − = (Tabela ou Excel)





Dados: x = número de crianças com mais de 5 cáries

X = variável com distribuição de Poisson com

( ) 10xµ λ= = crianças com mais de 5 cáries cada 100 crianças

Solução

( )5 0,067P x ≤ = (Tabela ou função Poisson do Excel)





Dados: D = depósito efetuado

D: N (8.000 ; 1.0002)

Solução

a) ( ) ( ) 10.000 8.00010.000 21.000

P saldo positivo P D z −= ≥ = =

( ) ( )10.000 2 0,0228P D P z≥ = > = (veja Tabela ou DIST.NORM do Excel)

b) ( ) ( ) 5.000 8.000débito máximo de 5.000 5.000 31.000

P P D z −= ≥ = = −

( ) ( )5.000 3 0,9986P D P z≥ = > − =





Dados: x = mede o número de chamadas recebidas pela empresa

X = variável com distribuição de Poisson

50( ) 12 10 ligações por 12 minutos60

xµ λ= = × =

Solução

( )12 0,3033P x ≥ = (veja Tabela ou função POISSON no Excel)





Dados: ( ): 25 ; 12x N mede a valorização do terreno em %.

( ): 20 ; 4y N mede a valorização do investimento no mercado financeiro em %.

Solução

( ) ( )16 0 2,60 0,5 0,4953 0,5 0,9953P x P z≥ = < < + = + =

( ) ( )16 0 2 0,5 0,4772 0,5 0,9772P y P z≥ = < < + = + =

Nas condições apresentadas, o investimento em terreno é o preferido.





Dados: x = variável normal, representa as vendas por número do calçado, com ( ) 39xµ = .

Solução

Cálculo de ( )xσ para as condições do problema. Para 95% da área sob a curva normal,

devemos ter 1,96z = . Como x assume valores inteiros, devemos ter:

( ) ( )42,5 39 1,96 1,785xx

σσ

−= ⇒ = . Então, ( )2: 39 ; 1,785x N .

Considerando uma área de 70% sob a curva normal, teremos:

35% 1,04z⇒ = . Desta forma, 22

391,04 o que acarreta 40,85

1,785x

x−

= =

35% 1,04z⇒ = − . Desta forma, 11

391,04 o que acarreta 37,15

1,785x

x−

= − = .

Hipóteses para 70% de área, preservando os calçados com números mais vendidos:

1) De 36,5 a 40,5. Área 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 41, 42. 2) De 37,5 a 40,5. Área 60%. Inviável 3) De 37,5 a 41,5. Área de 71,87%. Abandonar calçados de números 36, 37, 42.

As hipóteses 1 e 3 são soluções para o problema.





Dados: x = representa a medida do molde.

( )2( ) ; 0, 2x N xµ=

Solução

Devemos procurar a média do molde para que 10% das peças moldadas fique acima de 30,5 Cm.

30,5 ( )10% 1,28 ou 1, 28 ( ) 30,2440,2

xz xµ µ−⇒ = = ⇒ =

Assim, o número de peças fundidas deve ser dado por: 30,244 30 61 peças

0,004n −= = .





Dados: vr = velocidade real do carro.

Vl = velocidade mostrada no velocímetro

Solução

Como o velocímetro marca velocidade ( vv) 5% a menos que a velocidade real vr,devemos ter:

0,95vl vr= ou 0,95

vlvr = . Na marca de 98 km/h no velocímetro teremos 98

0,95vr = .

Assim, 2; 20,95

vlvr N =

e no caso, 298 ; 20,95

vr N =

981000,95 1,58

2z

−= =

( ) ( )100 0,5 0 1,58 0,5 0,3413 0,9429P v P z> = + < < = + =





Dados: A primeira opção é formada por 3 trechos com tempos de percurso normais:

( ) ( ) ( )1: 1,5 ; 0,25 2 : 2,0 ; 0,16 3 : 0,5 ; 0,01T N T N T N

A segunda opção é formada por 4 trechos com tempos de percurso normais:

( ) ( ) ( ) ( )1: 1,0 ; 0,09 2 : 1,0 ; 0,04 3 : 1,0 ; 0,16 4 : 1,0 ; 0,10T N T N T N T N

Solução

A soma das normais que formam o primeiro trecho ( )1 2 3 : 4 ; 0,42T T T N+ +

A soma das normais que formam o segundo trecho ( )1 2 3 4 : 4 ; 0,39T T T T N+ + +

As opções apresentam a mesma média de 4 horas. Como a segunda opção apresenta menor variabilidade, é a mais confiável.



Exercício 5


Item 6.6 – Ex. 5

Solução

Consultando a Tabela para n = 8 graus de liberdade, encontramos o valor 17,53 associado à probabilidade 0,025.

Portanto, ( )2 17,53 1 0,025 0,975P χ ≤ = − =

No Excel a função DIST.QU com os parâmetros X: 17,53 e GRAUS_LIBERDADE: 8,

fornece ( )2 17,53 0,025P χ ≥ =


Exercício 6


Item 6.6 – Ex. 6

Solução

Consultando a Tabela para n = 25 graus de liberdade, obtemos na coluna 0,975 o valor

1 13,12K = e na coluna 0,025 o valor 2 40,65K =

No Excel a função INV.QUI fornece os valores com Probabilidade: 0,975 e 0,025 e GRAUS_LIBERDADE: 25


Exercício 8


Item 6.6 – Ex. 8

Solução

Consultando a Tabela para n = 10 graus de liberdade o valor 3,94, obtemos 0,950.

Portanto ( )2 ,94 0,95P χ = . Consultando o valor 20,48 obtemos 0,025. Portanto

( )2 20,48 0,025P χ > = .

Assim, ( )23,94 20,48 0,95 0,025 0,925P χ< < = − =


Exercício 10


Item 6.6 – Ex. 10

Solução

Consultando a Tabela da variável normal padrão o valor ( ) 0, 40,P z k< = obtemos o

valor 1,28z = . Portanto, ( )1,28 . 0,10P z > = .

Substituindo na fórmula de 2χ , obtém-se: ( )2

21, 28 2 40 1

51,6962

χ+ × −

= = .



Exercício 4


Item 7.2 – Ex. 4

Dados: x tem distribuição de Poisson com média ( ) 5xµ =

Amostra com 100n = elementos.

Solução

Como ( ) ( )2( ) 5 5 ou seja, 5x x xµ σ σ= ⇒ = =

Assim, ( ) 5x xµ = = e ( ) 5100

xσ =

Fazendo a aproximação da distribuição de Poisson pela distribuição normal: 5,5 5 2, 24

5100

z −= = .

Procurando na distribuição normal padrão o valor 2,24z = obtém-se 0,4875.

Portanto, ( ) ( )6 0,5 6 0,5 0,4875 0,0125P x P x≥ = − ≤ = − =


Exercício 5


Item 7.2 – Ex. 5

Dados: x = variável com distribuição normal, mede o rendimento dos títulos em uma carteira

de investimentos.

( )( ) 0,10 0,02x xµ σ= = Retirada amostra de 40 elementos (n = 40)

Solução

A distribuição amostral das médias de 40 elementos tem:

( ) ( ) 0,10x xµ µ= = e ( ) ( ) 0,02 0,0031640 40x

xσ

σ = = =

Queremos avaliar ( )0,09P x > . Neste caso 0,09 0,10 3,16

0,0240

z −= = −

Consultado a Tabela obtemos ( )0,09 0,4992 0,5 0,9992P x > = + =

(na função DIST.NORMAL do Excel com os parâmetros X: 0,09; Média: 0,10;

Desv_Padrão:0,0316 e Cumulativo: Verdadeiro, obtemos ( )0,09 0,0008P x < = )



Exercício 6


Item 7.3 – Ex. 6


Amostra com ( ) 2xσ = :

Classes Int classe fi

1 5 7 3 2 7 9 7 3 9 11 10 4 11 13 8 5 13 15 7 6 15 17 5

Solução

448 11,2040

i i

i

x fx

f= = =∑∑

( ) ( )2 2

( ) 1x x

P x z x x zn nα α

σ σµ α

− < < + = −

2 211,20 2,05 ( ) 11,20 2,05 0,9640 40

P xµ − < < − =

( )10,55 ( ) 11,85 0,96P xµ< < =


Exercício 8


Item 7.3 – Ex. 8

Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2 0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,90α− =

Solução

1 0,90 1,64zα− = ⇒ =

( ) ( )2 2

( ) 1x x

P x z x x zn nα α

σ σµ α

− < < + = −

0,4 0,42,40 1,64 ( ) 2,40 1,64 0,90100 100

P xµ − < < + =

( ) ( )2,33 ( ) 2,47 0,90P x P xµ< < = =


Exercício 9


Item 7.3 – Ex. 9

Dados: Amostra: n = 100; 2,40x = ; ( ) ( )2 0,16; 0,4x xσ σ= = ; 1 0,80α− =

Solução

( ) ( )2 2

( ) 0,80x x

P x z x x zn nα α

σ σµ

− < < + =

1 0,80 1,28zα− = ⇒ =

0,4 0,42,40 1,28 ( ) 2,40 1,28 0,80100 100

P xµ − < < + =

( )2,35 ( ) 2,45 0,80P xµ< < =

Conclusão: O preço máximo deve ser menor que 2,35 um/Kg



Exercício 5


Item 7.4 – Ex. 5

Dados: População: N=40 máquinas. Amostra: n=5 máquinas

( )4 0,15 4 0,6x xσ= = × = 1 0,98α− =

Solução

Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos usar o fator de correção

( ) ( )2 2

( ) 11 1

x xN n N nP x z x x zN Nn nα α

σ σµ α

− −− < < + = − − −

1 0,98 2,33zα− = ⇒ =

0,6 40 5 0,6 40 54 2,33 ( ) 4 2,33 0,9840 1 40 15 5

P xµ − −

− < < + = − −

( )3,41 ( ) 4,59 0,98P xµ< < =

a) A previsão mínima para o tempo de concerto é de 3,41 h e a previsão máxima é de 4,59 h.

b) Estimativa pontual: 4 40 160× = h


Exercício 8


Item 7.4 – Ex. 8

Dados: População: 80 unidades Amostra: 10 unidades 120 .x u m=

1 0,95α− =

( ) 20 . .x u mσ =

Solução

Como a amostra representa mais de 5% da população devemos usar o fator de

correção.

Erro padrão de estimativa:

( )2 1

x N ne zNnα

σ −=

− 1 0,95α− =

1,96z =

20 80 101,96 11,6780 110

e −= =

− ( )120 11,67 ( ) 120 11,67 0,95P xµ− < < + =

( )108,33 ( ) 131,67 0,95P xµ< < =

Se ele pode pagar no máximo 3% do valor dos títulos, com 95% de confiança ele pode

pagar entre 3% de 108,33 = 3,25 e 3% de 131,67=3,95

a) Sim, pode pagar 3,00

b) Não, pois não pode pagar mais que 3,95


Exercício 9


Item 7.4 – Ex. 9

Dados: x = variável normal, mede o tempo de emissão da nota fiscal

População: 100 NF Amostra: 40 NF com 20 minx =

Vamos considerar ( ) 0,30 20 6 minxσ = × ≅ .

Solução

Como a amostra representa mais de 5% da população, devemos aplicar o fator de correção. Dado 1 0,95α− = , temos

2

1,96zα = . Neste caso, o erro padrão de

estimativa é: ( )

2

6 100 401,96 1,451 100 140

x N ne zNnα

σ − −= = =

− −

( ) ( )20 1,45 ( ) 20 1,45 18,55 ( ) 21,45 0,95P x P xµ µ− < < + = < < =

O tempo médio mínimo para preenchimento manual é de 18,55 min, contra o tempo do computador de 12 min.

O ganho será, portanto 18,55 12 0,353118,55

tGt∆ −

= = = ou 35,31%.



Exercício 9


Item 7.6 – Ex. 9

Dados: x = variável normal, mede o preço de venda do produto. Amostra: 40 elementos com 26x = e ( ) 2s x = .

Solução

Para 1 0,90α− = , 0,10; 39 1,68t = . O erro padrão de estimativa é:

( )0,10; 39

21,68 0,5340

s xe t

n= = = .

Portanto, ( ) ( )26 0,53 ( ) 26 0,53 25,47 ( ) 26,53 0,90P x P xµ µ− < < + = < < = .

Como 50% de 25,47 é 12,73, o custo máximo para garantir certamente a viabilidade é de 12,73 u.m.


Exercício 10


Item 7.6 – Ex. 10

Dados: x = variável normal, mede o tempo gasto na visita ao cliente

Y = variável normal, mede a venda por cliente visitado

Amostra com 10 elementos de uma população com 65 elementos fornece:

90 s ( ) 13x x= = ( )650 100y s y= =

Solução

Intervalo de confiança de 80% para o tempo médio de visita:

0,1: 9 0,1: 913 65 10 13 65 1090 ( ) 90 0,80

65 1 65 110 10P t x tµ − −

− < < + = − −

( )84,74 ( ) 95,26 0,80P xµ< < =

Intervalo de confiança de 80% para a Vanda média por cliente:

0,1: 9 0,1: 9100 65 10 100 65 10650 ( ) 650 0,80

65 1 65 110 10P t x tµ − −

− < < + = − −

( )609,55 ( ) 690,45 0,80P yµ< < =

Número de clientes visitados por mês na previsão otimista: 80 60 5784,74×

=

Receita no mês com a previsão otimista: 57 690,45 39.355,65× =

Comissão no mês neste caso: 4% 39.355,65 1.574,23de =



Exercício 3


Item 7.7 – Ex. 3

Dados: x = variável normal População: N = 100 elementos ( ) 4xσ =

Erro padrão de estimativa máximo admitido: 2e =

Nível de confiança: 1 0,98α− =

Solução

( )

( ) ( ) ( )

22 2

22 2 2 2 2 2

2

2,33 4 100 181 2 100 1 2,33 4

z x Nn

e N z x

α

α

σ

σ× ×

= = =− + − + ×


Exercício 10


Item 7.7 – Ex. 10

Dados: x = variável normal, mede o rentabilidade de empresas de uma indústria

Amostra de n = 10 elementos fornece: ( )0,05 0,016x s x= =

Erro máximo permitido: 0,01e = Nível de confiança: 1 0,95α− =

Solução

( ) 22

2 2, 26 0,016 13,075 ou 14 elementos0,01

t s xn

e

α × × = = =



Exercício 6


Item 7.8 – Ex. 6

Dados: x = variável binomial. S = mulher. Amostra de n = 100 elementos forneceu:

ˆ 0, 40p = .

Nível de confiança 1 0,98α− = .

Solução

Para 2

1 0,98 devemos ter 2,33zαα− = = .

a)2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1pq pqP p z p p zn nα α α

− < < − = −

0, 4 0,6 0,4 0,60, 4 2,33 0,4 2,33 0,98100 100

P p × ×

− < < + =

( )0,2859 0,5141 0,98P p< < =

b) Não. A proporção pode ser maior que 50%.


Exercício 8


Item 7.8 – Ex. 8

Dados: x = variável binomial. S = bóia com defeito

Amostra de n = 50 bóias de população de N = 2.000 bóias:

Nível de significância: 0,04α =

Solução

Como a proporção de elementos da amostra 50 0,025 0,052.000

nN

= = < , não

usaremos o fator de correção.

2ˆ 0,0450

p = = e 0,022

2,05z zα = =

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1pq pqP p z p p zn nα α α

− < < + = −

0,04 0,96 0,04 0,960,04 2,05 0,04 2,05 0,9650 50

P p × ×

− < < + =

( ) ( )0,0168 0,0968 0,96 ou 0 0,0968 0,96P p P p− < < = < < =


Exercício 9


Item 7.8 – Ex. 9

Dados: x = variável binomial

Intervalo de confiança para a proporção de bóias defeituosas ao nível de

confiança de 96%: ( )0 0,0968 0,96P p< < =

Lucro por bóia vendida: 5 u.m.

Prejuízo por bóia vendida com defeito: 3.u.m

Solução

Valor esperado do lucro por bóia na pior hipótese, isto é, assumindo a proporção de defeituosas de 0,0968.

3−

0,0968 3 0,0968 5 0,9032 4,2256− × + × =

0,9032

5

Portanto, o lucro esperado para o lote na visão pessimista é: 2.000 4,2256 8.451,20× = u.m. o que supera a meta de 8.000 u.m.



Exercício 3


Item 7.9 – Ex. 3

Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2.

Amostra de n = 100 elementos forneceu ˆ 0, 42p = .


Erro máximo admitido: e = 0,06.

Solução

0,022

1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = =

2

22

2 2

ˆ ˆ2,05 0,42 0,58 284,37

0,06

z pqn

e

α

× × = = = ou n = 285 elementos

.


Exercício 4


Item 7.9 – Ex. 4

Dados: x = variável binomial. S = escolha da embalagem E2.

Amostra de n = 100 elementos forneceu ˆ 0, 42p = .



Solução

Para o nível de confiança 1 0,96α− = , 0,022

2,05z zα = = .

Se não há confiança no resultado do levantamento feito, devemos usar a proporção ˆ 0,50p =

(o que significa sem informação a respeito da proporção de sucessos e, em consequência a maior amostra para o nível de significância adotado).

2

22

2 2

ˆ ˆ2,05 0,50 0,50 291,84

0,06

z pqn

e

α

× × = = = ou n = 292 elementos.

.


Exercício 7


Item 7.9 – Ex. 7

Dados: x = variável binomial. S = indivíduo com sangue tipo O+.

Amostra de n = 50 elementos forneceu ˆ 0,32p = .



Solução

Para o nível de confiança de 0,96 teremos 0,022

2,05z zα = = .

Como a amostra representa 50 0,083 0,05600

= > dos elementos da população,

devemos usar o fator de correção.

( ) ( )

2

22

2 2 2

2

ˆ ˆ2,05 0,32 0,38 600 377,47

ˆ ˆ1 0,03 600 1 2,05 0,32 0,68

z pqNn

e N z pq

α

α

× × × = = =− + − + × ×

, ou seja 378

elementos.

.


Exercício 8


Item 7.9 – Ex. 8

Dados: x = variável Binomial. S = sair face 5 no lançamento do dado

Amostra de n = 10 elementos forneceu a proporção de sucessos :

2ˆ 0,2010

p = = . Nível de confiança: 1 0,90α− = .

Erro máximo permitido 0,02e = .

Solução

Para 1 0,90α− = devemos ter 0,052

1,64z zα = = .

2

22

2 2

ˆ ˆ1,64 0, 2 0,8 1075,84

0,02

z pqn

e

α

× × = = = ou seja n = 1.076 elementos.



Exercício 5


Item 7.10 – Ex. 5

Dados:

x1 = variável normal. Amostra de n1 = 30 elementos forneceu:

( )1 140 2,3x s x= =

x2 = variável normal. Amostra de n2 = 30 elementos forneceu:

( )2 250 4, 2x s x= =

Nível de confiança: 0,052

1 0,90 t 1,68tαα− = ⇒ = = .

Solução

Temos que calcular o número de graus de liberdade

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

2,3 4,230 30

2 2 46,062,3 4,230 30

30 1 30 11 1

s sn n

GLs sn n

n n

+ +

= − = − =

+++ ++ +

ou GL = 46

Erro padrão: 2 2

1 2

1 22

s se z

n nα= + = 2 22,3 4,21,68 1,47

30 30+ =

( ) ( )( )( )

1 2

1 2

50 40 1,47 ( ) ( ) 50 40 1,47 0,90

8,53 ( ) ( ) 11,47 0,90

P x x

P x x

µ µ

µ µ

− − < − < − + =

< − < =


Exercício 6


Item 7.10 – Ex. 6

Dados:

x1 = variável normal. Amostra de n1 = 20 elementos forneceu: ( )1 11.000 5x s x= =

x2 = variável normal. Amostra de n2 = 20 elementos forneceu: ( )2 2120 3x s x= =

Nível de confiança: 1 0,95α− = .

Solução

Temos que calcular o número de graus de liberdade da distribuição t:

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

5 320 20

2 2 32,395 320 20

20 1 20 11 1

s sn n

GLs sn n

n n

+ +

= − = − =

+++ ++ +

ou GL = 32

0,052

t 2,04tα⇒ = =

Erro padrão: 2 2

1 2

1 22

s se z

n nα= + = 2 25 32,04 1,82

20 20+ =

( ) ( )( )( )

1 2

1 2

1.000 120 2,66 ( ) ( ) 1.000 120 2,66 0,90

117,34 ( ) ( ) 1.122,66 0,90

P x x

P x x

µ µ

µ µ

+ − < − < + + =

< + < =



Exercício 8


Item 7.10 – Ex. 8

Dados: Q x1 = quantidade de pó de café usada x1 = custo correspondeste do café

Q x2 = quantidade de açúcar usado x2 = custo correspondente do açúcar

Após amostra de 30 elementos foram anotados

Insumos custos

( )( )

1 1

2 2

10 1, 2

13 3

Qx s Qx

Qx s Qx

= =

= =

( )( )

1 1

2 2

0,05 0,006

0,0117 s 0,0027

x s x

x x

= =

= =

Solução

Cálculo do número de graus de liberdade da distribuição t;

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

0,006 0,002730 30

2 2 41,06 410,006 0,0027

30 3030 1 30 11 1

s sn n

GL GLs sn n

n n

+ +

≅ − = − = ⇒ =

+++ ++ +

Portanto, 0,0025 ; 41 2,02t = .

Erro padrão: e = ( ) ( )2 2 2 2

1 2

1 22

0,006 0,00272,02 0,0024330 30

s x s xt

n nα + = + =

( )1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0,95P x x e x x x x eµ µ+ − < + < + + =

( )( )

1 2

1 2

0,05 0,0117 0,00243 ( ) ( ) 0,05 0,0117 0,00243 0,95

0,059 ( ) ( ) 0,064 0,95

P x x

P x x

µ µ

µ µ

+ − < + < + + =

< + < =

, é o intervalo de confiança de 95% para o custo do cafezinho.


Exercício 9


Item 7.10 – Ex. 9

Dados: Amostra da demanda d: 160, 140, 138, 157, 169, 150

Amostra da produção p: 160, 140, 120, 100, 150, 130


Solução

Demanda: 904 150,676

idd

n= = =∑ ( )

( )2

2 651,33 130,271 5

id ds d

n

−= = =

−∑

800 133,33

6ip

pn

= = =∑ ( ) ( )22 2.333,33 466,67

1 5ip p

s pn

−= = =

−∑

( ) ( )11,41 21,60s d s p= =

Cálculo dos graus de liberdade:

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

11,41 21,606 6

2 2 8,62 811,41 21,60

6 66 1 6 11 1

s sn n

GL GLs sn n

n n

+ +

≅ − = − = ⇒ =

+++ ++ +

0,052

1,86t tα = = . Erro padrão e =( ) ( )2 2 2 2

1 22

11,41 21,61,86 18,556 6

s d s pt

n nα + = + =

( ) ( )( ) ( ) 1P d p e d p d p eµ µ α − − < − < − + = −

( )150,67 133,33 18,55 ( ) ( ) 150,67 133,33 18,55 0,90P d pµ µ− − < − < − + =

( )1,21 ( ) ( ) 35,89 0,90P d pµ µ− < − < =

O intervalo mostra que não podemos afirmar que a demanda excede a produção em pelo menos 10 unidades.



Exercício 3


Item 7.11 – Ex. 3

Dados: x1 = variável binomial S = escolha da marca A de yogurte

X2 = variável binomial S = escolha da marca A de margarina

Amostra de n = 50 elementos mostrou: 1 2ˆ ˆ0, 26 0,30p p= =


Solução

0,052

1,64z zα = =

Erro padrão: 1 1 2 2

1 22

ˆ ˆ ˆ ˆ 0, 26 0,74 0,30 0,701,64 0,14750 50

p q p qe z

n nα× ×

= + = + =

( )2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −

( )1 20,30 0,26 0,147 0,30 0,26 0,147 0,90P p p− − < − < − + =

( )2 10,107 0,187 0,90P p p− < − < =


Exercício 6


Item 7.11 – Ex. 6

Dados: x1 = variável binomial S = usar carro próprio

Amostra 1 de n = 36 elementos fornece: 18ˆ 0,22236

p = =

X2 = variável binomial S = usar carro próprio


p = =


Solução

0,022

1 0,96 2,05z zαα− = ⇒ = =


1 22

ˆ ˆ ˆ ˆ 0, 22 0,78 0, 20 0,802,05 0,093936 400

p q p qe z

n nα× ×

= + = + =

( )2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −

( )1 20, 22 0,20 0,0939 0,22 0,20 0,0939 0,96P p p− − < − < − + =

( )2 10,170 0,214 0,96P p p− < − < =


Exercício 9


Item 7.11 – Ex. 9

Dados: x1 = variável binomial S = cliente da empresa A


p = =

X2 = variável binomial S = cliente da empresa A


p = =


Solução

0,052

1 0,90 1,64z zαα− = ⇒ = =


1 22

ˆ ˆ ˆ ˆ 0,325 0,675 0,50 0,501,64 0,1303180 70

p q p qe z

n nα× ×

= + = + =

( )2 1 2 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ 1P p p e p p p p e α− − < − < − + < −

( )1 20,50 0,325 0,13031 0,50 0,325 0,13031 0,90P p p− − < − < − + =

( )2 10,045 0,305 0,90P p p< − < =

Nesse nível de confiança, fica claro que a proporção certamente melhorou.



Exercício 1


Item 7.12 – Ex. 1

Dados: x = variável normal, mede o número de peças defeituosas com ( )2 16xσ = .

Amostra de n = 51 elementos fornece: ( )2 14s x =


Solução

Para o nível 1 0,98α− = com n = 51 e Graus de liberdade 1 50n − = teremos (Tabela

ou função INV.QUI do Excel) Probabilidade: 0,98 e GL: 50 21 29,71χ⇒ =

Probabilidade: 0,02 e GL = 50 22 76,15χ⇒ =

( )( ) ( ) ( )( )2 22

2 22 1

1 11

s x n s x nP xσ α

χ χ − −

< < = −

( )214 50 14 50 0,9876,15 29,71

P xσ× × < < =

( )( )29,19 23,56 0,98P xσ< < =


Exercício 2


Item 7.12 – Ex. 2

Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto

Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 4s x =


Solução




( )( ) ( ) ( )( )2 22

2 22 1

1 11

s x n s x nP xσ α

χ χ − −

< < = −

( )216 80 16 80 0,95101,89 60,39

P xσ× × < < =

( )( )212,56 21,20 0,95P xσ< < =


Exercício 3


Item 7.12 – Ex. 3

Dados: x = variável normal, mede a receita das vendas

Amostra de n = 12 elementos fornece: 45 62 ... 60 5212

ixx

n+ + +

= = =∑

e ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 45 52 ... 60 52

59,451 11

ix xs x

n− − + + −

= = =−

∑


Solução

Para o nível 1 0,95α− = com n =12 e Graus de liberdade 1 11n − = teremos (Tabela



( )( ) ( ) ( )( )2 22

2 22 1

1 11

s x n s x nP xσ α

χ χ − −

< < = −

( )259,45 11 59,45 11 0,9521,92 3,82

P xσ× × < < =

( )( )229,84 171,20 0,95P xσ< < =


Exercício 5


Item 7.12 – Ex. 5

Dados: x1 = variável normal, mede o peso das aves

Amostra de n = 30 aves fornece: ( )1,8 e s 0, 2x Kg x Kg= =


Solução




( )( ) ( ) ( )( )2 22

2 22 1

1 11

s x n s x nP xσ α

χ χ − −

< < = −

( )20,04 29 0,04 29 0,9042,56 17,71

P xσ× × < < =

( )( )20,027 0,065 0,90P xσ< < =


Exercício 6


Item 7.12 – Ex. 6

Dados: x1 = variável normal, mede a TIR do projeto

Amostra de n = 81 elementos fornece: ( ) 0,2s x Kg=


Solução




( )( ) ( ) ( )( )2 2

2 22 1

1 11

s x n s x nP xσ α

χ χ

− − < < = −

( )0,04 29 0,04 29 0,9849,59 14,26

P xσ × ×

< < =

( )( )0,153 0,285 0,98P xσ< < =



Exercício 1


Item 8.3 – Ex. 1

Dados: x = variável normal com ( )2 3xσ =

Amostra de n = 20 elementos fornece: 50x =


Solução

Teste 0 : ( ) 53: ( ) 53a

H xH x

µµ

= ≠

Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = −

( )( ) 50 53 7,75

320

cx xz

xn

µσ− −

= = = −

Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 10%α = .


Exercício 3


Item 8.3 – Ex. 3

Dados: x1 = variável normal com ( )( ) 6 e 0,5x xµ σ= =

Amostra de n = 15 elementos fornece: 4x = ( ) 1s x =


Solução

Teste 0 : ( ) 6: ( ) 6a

H xH x

µµ

= <

Para o nível 0,05α = (Tabela ou função INV.NORMP do Excel) retorna 1,64tz = −

( )( ) 4 6 15,49

0,515

cx xz

xn

µσ− −

= = = −

Como c tz z< , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .


Exercício 4


Item 8.3 – Ex. 4

Dados: x = variável normal com ( ) 18xµ =

Amostra: 12 elementos, forneceu 17x = e ( ) 3s x = . Nível de

significância: 0,10α =

Solução

Teste 0 : ( ) 18: ( ) 18a

H xH x

µµ

= ≠

Para o nível 0,10α = (Tabela ou função INVT do Excel) com Probabilidade: 0,10 e

Graus_liberdade: 11 retorna o valor 1,80tt = −

( )( ) 17 18 1,15

312

cx xt

s xn

µ− −= = = −

Como c tt t> , aceitamos 0H ao nível de significância 10%α = .


Exercício 6


Item 8.3 – Ex. 6

Dados: x1 = variável normal

Amostra: 12, 16, 15, 14, 17, 10, 9, 15, 13, 16.


Solução

137 13,710

ixx

n= = =∑ ( ) ( )2

2 64,10 7,1221 9

ix xs x

n−

= = =−

∑ ( ) 2,67s x =

Teste 0 : ( ) 15: ( ) 15a

H xH x

µµ

= <


Graus_liberdade: 9 retorna o valor 1,83tt = −

( )( ) 13,7 15 1,54

2,6710

cx xt

s xn

µ− −= = = −



Exercício 8


Item 8.3 – Ex. 8

Dados: x = variável normal com ( ) 4xµ =

Amostra: 25 elementos, forneceu 5x = e ( ) 1,2s x = . Nível de

significância: 0,05α =

Solução

Teste 0 : ( ) 4: ( ) 4a

H xH x

µµ

= >


Graus_liberdade: 24 retorna o valor 1,71tt =

( )( ) 5 4 4,17

1,225

cx xt

s xn

µ− −= = =

Como c tt t> , rejeitamos 0H ao nível de significância 5%α = .


Exercício 9


Item 8.3 – Ex. 9

Dados: x = variável normal, mede o IRR do projeto em %.

Amostra de 40 elementos


Solução

( ) ( ) 20,70i ix E x P x= =

( ) ( ) ( ) 22 2 432,20 428,49 3,71is x E x E x= − = − = ( ) 1,93s x =

No caso, o pior erro é a taxa ser menor que 21%.

Teste 0 : ( ) 21: ( ) 21a

H xH x

µµ

= <


Graus_liberdade: 39 retorna o valor e 1,68tt = −

( )( ) 20,70 21 0,98

1,9340

cx xt

s xn

µ− −= = = −


x 18 20 22 24 Soma p(x) 0,2 0,4 0,25 0,15

x.p(x) 3,6 8 5,5 3,6 20,7 x*2.p(x) 64,8 160 121 86,4 432,2



Exercício 1


Item 8.4 – Ex. 1

Dados: x = variável binomial S = mulher em cargo administrativo p = 0,15

Amostra de n = 200 elementos obteve: 40ˆ 0,20200

p = =

Nível de significância: 0,05.

Solução

Teste 0` : 0,15: 0,15a

H pH p

= >

Ao nível 0,05α = , 1,64tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,95)

ˆ 0, 20 0,15 1,98ˆ ˆ 0,15 0,85

200

cp pz

pqn

− −= = =

×

Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a proporção de mulheres

aumentou.


Exercício 2


Item 8.4 – Ex. 2

Dados: x1 = variável binomial S = peça defeituosa p = 0,03


p = =


Solução

Teste 0` : 0,03: 0,03a

H pH p

= >


ˆ 0,04 0,03 0,83ˆ ˆ 0,03 0,97

200

cp pz

pqn

− −= = =

×

Como c tz z< , aceitamos a afirmação do vendedor.


Exercício 3


Item 8.4 – Ex. 3

Dados: x = variável binomial S = indivíduo com renda inferior a dois salários mínimos

Amostra de n =60 elementos obteve: ˆ 0, 41p =

Nível de significância: 0,05

Solução

Teste 0` : 0, 40: 0,40a

H pH p

= >


ˆ 0, 41 0,40 0,16ˆ ˆ 0,40 0,60

60

cp pz

pqn

− −= = =

×

Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, a porcentagem é ainda de

40%.


Exercício 4


Item 8.4 – Ex. 4

Dados: x1 = variável binomial S = animal morto p = 0,10

Amostra de n = 100 animais forneceu: 4ˆ 0,04

100p = =


Solução

Teste 0` : 0,10: 0,10a

H pH p

= <

Ao nível 0,05α = , 1,64tz = − (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,05)

ˆ 0,04 0,10 2ˆ ˆ 0,10 0,90

100

cp pz

pqn

− −= = = −

×

Como c tz z< , rejeitamos a hipótese nula. O índice de mortalidade diminuiu.


Exercício 5


Item 8.4 – Ex. 5

Dados: x = variável binomial S = resposta positiva ao plano de férias p = 0,20


p = =


Solução

Teste 0` : 0, 20: 0,20a

H pH p

= >


ˆ 0,30 0,20 1,77ˆ ˆ 0,20 0,80

50

cp pz

pqn

− −= = =

×

Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 6% podemos afirmar que o

número de respostas favoráveis aumentou.


Exercício 6


Item 8.4 – Ex. 6

Dados: x1 = variável binomial S = projeto viável p = 0,50

Amostra de n = 31 elementos forneceu: ˆ 0,60p =


Solução

Teste 0` : 0,50: 0,50a

H pH p

= >

Ao nível 0,10α = , 1, 28tz = (Tabela ou INV.NORMP com PROBABILIDADE: 0,90)

ˆ 0,60 0,50 1,11ˆ ˆ 0,50 0,50

31

cp pz

pqn

− −= = =

×

Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de significância de 0,10, a proporção

é ainda de 50%, o que contradiz a expansão da economia.


Exercício 7


Item 8.4 – Ex. 7

Dados: x = variável binomial S = financiamento a pequena empresa p = 0,20


p = =


Solução

Teste 0` : 0, 20: 0,20a

H pH p

= >


ˆ 0,30 0,20 1,58ˆ ˆ 0,20 0,80

40

cp pz

pqn

− −= = =

×

Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que a

política foi bem sucedida.


Exercício 8


Item 8.4 – Ex. 8

Dados: x1 = variável binomial S = inseticida eficiente p = 0,70

Amostra de n = 120 elementos obteve: 32ˆ ˆ0,27 0,73120

q p= = =


Solução

Teste 0` : 0,70: 0,70a

H pH p

= >


ˆ 0,73 0,70 0,72ˆ ˆ 0,70 0,30

120

cp pz

pqn

− −= = =

×

Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. A toxicidade está controlada ao nível de 70%.


Exercício 9


Item 8.4 – Ex. 9

Dados: x1 = variável binomial S = pagamento à vista p = 0,76


p = =


Solução

Teste 0` : 0,76: 0,76a

H pH p

= >


ˆ 0,778 0,76 0,57ˆ ˆ 0,76 0,24

180

cp pz

pqn

− −= = =

×

Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que a

política foi bem sucedida.


Exercício 10


Item 8.4 – Ex. 10

Dados: x1 = variável binomial S = favorável à pena de morte p = 0,52


p = =


Solução

Teste 0` : 0,52: 0,52a

H pH p

= >


ˆ 0,56 0,52 1,79ˆ ˆ 0,52 0, 48

500

cp pz

pqn

− −= = =

×

Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. A proporção de favoráveis aumentou após a

divulgação do crime.



Exercício 1


Item 8.5 – Ex. 1

Dados: x1 = variável normal com ( )21 5xσ =

Amostra de n = 20 elementos forneceu 1 32x =

X2 = variável normal com ( )22 5xσ =

Amostra de n = 20 elementos forneceu: 2 33,5x =

Nível de significância: 0,03α = .

Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − ≠

Cálculo de tt :

Cálculo de zt . Tabela com 0,0152

2,17z zα = = (ou INV.NORMP, com Probabilidade

0,985)

Cálculo de ct : 1 2

2 21 2

1 2

32 33,5 2,125 520 20

cx x

ts sn n

− −= = = −

++

Como c tt t> , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 3%, podemos afirmar que as

populações apresentam a mesma média.


Exercício 3


Item 8.5 – Ex. 3


Amostra de n = 25 elementos forneceu: ( )1 150 4x s x= =

X2 = variável normal

Amostra de n = 30 elementos forneceu: ( )2 248 3x s x= =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − ≠

Cálculo de tt :

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

4 325 30

: 2 2 45,364 325 30

25 1 30 11 1

s sn n

Gls sn n

n n

+ +

− = − =

+++ ++ +

GL = 45

0,05 ; 45 2,01t =


2 2 2 21 2

1 2

50 48 2,064 325 30

cx x

ts sn n

− −= = =

++

Como c tt t> , rejeitamos a hipótese nula. As médias populacionais são diferentes.


Exercício 4


Item 8.5 – Ex. 4

Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano

Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )1 150.000 4.000x Km s x Km= =

X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano

Amostra de n = 40 pneus forneceu: ( )2 253.000 5.000x Km s x Km= =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − <

Cálculo de tt :

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

4.000 5.00040 40

: 2 2 76,234.000 5.000

40 4041 411 1

s sn n

Gls sn n

n n

+ +

− = − =

+++ +

GL = 76

0,05 ; 76 1,67t = −


2 2 2 21 2

1 2

50.000 53.000 2,964.000 5.000

40 40

cx x

ts sn n

− −= = = −

++

Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Os pneus usados em ônibus urbanos

desgastam mais rapidamente.


Exercício 5


Item 8.5 – Ex. 5

Dados: x1 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso urbano

Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )1 1166min 23minx s x= =

X2 = variável normal, mede a vida útil de pneus em uso interurbano

Amostra de n = 10 alunos forneceu: ( )2 2151min 16minx s x= =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − >

Cálculo de tt :

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

23 1610 10

: 2 2 17,623 1610 10

10 1 10 11 1

s sn n

Gls sn n

n n

+ +

− = − =

+++ ++ +

GL = 17

0,05 ;17 1,74t = (Tabela com p = 10 e GL = 17 ou INVT com Probabilidade 0,10 e

Graus_Liberdade 17)


2 2 2 21 2

1 2

166 151 1,6923 1610 10

cx x

ts sn n

− −= = =

++

Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que os

métodos apresentam a mesma eficiência.


Exercício 6


Item 8.5 – Ex. 6

Dados: x1 = variável normal, mede o consumo dos homens

Amostra de n = 20 homens forneceu: ( )1 1650 60x g s x g= =

X2 = variável normal, mede o consumo das mulheres

Amostra de n = 10 mulheres forneceu: ( )2 235 50x g s x g= =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

1: ( ) ( ) 021: ( ) ( ) 02a

H x x

H x x

µ µ

µ µ

− = − <

Cálculo de tt :

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

60 5020 10

: 2 2 23,5960 5020 1021 111 1

s sn n

Gls sn n

n n

+ +

− = − =

+++ +

GL = 23

0,10 ; 23 1,32t = −


2 2 2 21 2

1 2

50.000 53.000 2,964.000 5.000

40 40

cx x

ts sn n

− −= = = −

++

Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As mulheres consomem mais que a metade

do consumo dos homens.


Exercício 7


Item 8.5 – Ex. 7

Dados: x1 = variável normal, mede o número de cáries dos alunos do grupo tratado com flúor. Amostra de n = 30 alunos forneceu: ( )1 11,8 0,5x s x= =

X2 = variável normal, mede o número de cáries do grupo sem o tratamento. Amostra de n = 500 pneus forneceu: ( )2 22, 2 0,6x s x= =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − <

Cálculo de tt :

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

0,5 0,630 50

: 2 2 72,090,5 0,630 50

30 1 50 11 1

s sn n

Gls sn n

n n

+ +

− = − =

+++ ++ +

GL = 72

0,05 ; 72 1,67t = −


2 2 2 21 2

1 2

50.000 53.000 2,964.000 5.000

40 40

cx x

ts sn n

− −= = = −

++

Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% podemos afirmar que o

tratamento com cloro diminuiu a incidência de cáries.


Exercício 8


Item 8.5 – Ex. 8

Dados: x1 = variável normal, mede o tempo de embalagem manual

Amostra de n = 60 embalagens forneceu: ( )1 14, 2 min 0,5 minx s x= =

X2 = variável normal, mede o tempo de embalagem automático

Amostra de n = 60 pneus forneceu: ( )2 24 min 1, 2 minx s x= =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − >

Cálculo de tt :

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

0,5 1,260 60

: 2 2 79,560,5 1,260 6061 611 1

s sn n

Gls sn n

n n

+ +

− = − =

+++ +

GL = 79

0,025 ; 79 1,99t =


2 2 2 21 2

1 2

4, 2 4 1,190,5 1,260 60

cx x

ts sn n

− −= = =

++

Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Automatizar a embalagem não melhora o

tempo deste serviço.


Exercício 9


Item 8.5 – Ex. 9

Dados: x1 = variável normal, mede o nível de vendas da região com desconto

Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1180 30x s x= =

X2 = variável normal, mede o nível de vendas da região sem desconto

Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )2 2170 30x s x= =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − >

Cálculo de tt :

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

30 3030 30

: 2 2 6030 3030 30

30 1 30 11 1

s sn n

Gls sn n

n n

+ +

− = − =

+++ ++ +

GL = 60

0,025 ; 60 2,00t =(Tabela com p = 0,05 e GL = 60 ou INVT com Probabilidade 0,05 e

Graus_liberdade 60)


2 2 2 21 2

1 2

180 170 1,2930 3030 30

cx x

ts sn n

− −= = =

++

Como c tt t< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 2,5% podemos afirmar que o

desconto não aumentou as vendas


Exercício 10


Item 8.5 – Ex. 10

Dados: x1 = variável normal, mede o volume de vendas do produto sem desconto

Amostra de n = 30 pontos de vendas forneceu: ( )1 1170 30x un s x un= =

X2 = variável normal, mede o volume de vendas após desconto

Amostra de n = 30 pneus forneceu: ( )2 2230 10x un s x un= =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − <

Cálculo de tt :

2 22 2 2 21 2

1 22 2 2 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

30 1030 30

: 2 2 35,8030 1030 3031 311 1

s sn n

Gls sn n

n n

+ +

− = − =

+++ +

GL = 35

0,025 ; 35 2,03t = −


2 2 2 21 2

1 2

170 230 10,3930 1030 30

cx x

ts sn n

− −= = = −

++

Como c tt t< , rejeitamos a hipótese nula. As vendas aumentaram com o desconto

concedido.



Exercício 2


Item 8.6 – Ex. 2

Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de homens que compram o

produto. Amostra de n = 80 homens forneceu: 28ˆ =0,35 80

p =

X2 = variável binomial mede a quantidade de mulheres que compram o

produto. Amostra de n = 100 mulheres forneceu: 40ˆ 0,40

100p = =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: 0: 0a

H p pH p p

− = − ≠

Para 0,050,10 1,64zα = = − .

1 2

1 2

ˆ ˆ

1 1c

p pz

pqn n

−=

+

onde 1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ 80 0,35 100 0,40 0,3880 100

n p n pp

n n+ × + ×

= = =+ +

0,35 0,40 0,691 10,38 0,62

80 100

cz −= = −

× +

Como 1,69 1,69cz− < < , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa

entre as proporções dois grupos ao nível de 10%.


Exercício 2


Item 8.6 – Ex. 2

Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de deprimidos entre motoristas de

taxi. S = motorista de taxi com depressão.

Amostra de n = 20 motoristas forneceu: 10ˆ =0,25 40

p =

X2 = variável binomial mede a quantidade de deprimidos entre pessoas pouco expostas ao trânsito. S = pessoa com depressão

Amostra de n = 10 pessoas forneceu: 8ˆ 0,2040

p = =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: 0: 0a

H p pH p p

− = − >

Para 0,030,03 1,88zα = = .

1 2

1 2

ˆ ˆ

1 1c

p pz

pqn n

−=

+

onde 1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ 40 0,25 40 0,20 0,22540 40

n p n pp

n n+ × + ×

= = =+ +

0,25 0,20 0,541 10,225 0,77540 40

cz −= =

× +

Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as

proporções de deprimidos dos dois grupos.


Exercício 3


Item 8.6 – Ex. 3

Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar

entre fumantes. Amostra de n1 = 50 motoristas forneceu: 18ˆ =0,16

50p =

X2 = variável binomial mede a quantidade de indivíduos com doença pulmonar

entre não fumantes. Amostra de n2 = 80 pessoas forneceu: 26ˆ 0,075

80p = =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: 0: 0a

H p pH p p

− = − >

Para 0,100,10 1, 28zα = = .

1 2

1 2

ˆ ˆ

1 1c

p pz

pqn n

−=

+

onde 1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ 50 0,16 80 0,075 0,1150 80

n p n pp

n n+ × + ×

= = =+ +

0,16 0,075 1,511 10,11 0,89

50 80

cz −= =

× +

Como c tz z> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que o uso

do cigarro aumenta a incidência de doenças pulmonares.


Exercício 4


Item 8.6 – Ex. 4

Dados: x1 = variável binomial, mede a quantidade de votos no interior

S = voto favorável ao candidato

Amostra de n = 200 eleitores forneceu: 90ˆ =0,45 200

p =

X2 = variável binomial mede a quantidade de votos na capital.

S = pessoa com depressão.

Amostra de n = 100 eleitores forneceu: 40ˆ 0,40

100p = =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − >

Para 0,040,04 1,75zα = = .

1 2

1 2

ˆ ˆ

1 1c

p pz

pqn n

−=

+

onde 1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ 200 0,45 100 0,40 0,4333200 100

n p n pp

n n+ × + ×

= = =+ +

0,45 0,40 0,8241 10,4333 0,5667

200 100

cz −= =

× +

Como c tz z< , aceitamos a hipótese nula. Não há diferença significativa entre as

proporções de eleitores favoráveis ao candidato na capital e no interior.


Exercício 5


Item 8.6 – Ex. 5

Dados: x1 = variável binomial, mede a venda de apartamentos entre casados.

S = venda efetiva.

Amostra de n = 200 motoristas forneceu: 25ˆ =0,125

200p =

X2 = variável binomial mede a venda de apartamentos entre solteiros.

S = venda efetiva

Amostra de n = 120 pessoas forneceu: 30ˆ 0,25

120p = =


Solução

Teste 0 1 2

1 2

: ( ) ( ) 0: ( ) ( ) 0a

H x xH x x

µ µµ µ

− = − <

Para 0,050,05 1,64zα = = − .

1 2

1 2

ˆ ˆ

1 1c

p pz

pqn n

−=

+

onde 1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ 200 0,125 120 0,25 0,172100 120

n p n pp

n n+ × + ×

= = =+ +

0,125 0,25 2,871 10,172 0,828

200 120

cz −= = −

× +

Como c tz z< ,rejeitamos a hipótese nula. A proporção de descasados que efetiva a

compra é maior.



Exercício 1


Item 8.7 – Ex. 1

Dados: x = variável normal

Amostra: n = 25 elementos fornece ( ) 4s x =


Solução

( )( )

20

2

: 15: 15a

H xH x

σσ

= ≠

22 ; 24 ; 0,025 39,36χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,025 e

Graus_liberdade 24)


Graus_liberdade 24)

( ) ( )( )

( )2 22

1 2

1 25 1 425,6

15n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 21,

2 22,t c tχ χ χ< < , aceitamos a hipótese nula. A variância não se diferencia

significativamente de 15.


Exercício 2


Item 8.7 – Ex. 2


Amostra: n = 10 fornece ( ) 7s x =


Solução

( )( )

20

2

: 45: 45a

H xH x

σσ

= >


Graus_liberdade 9)

( ) ( )( )

( )2 22

1 2

1 10 1 79,80

45n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 2 29 2, tχ χ< , aceitamos a hipótese nula. A variância não se diferencia

significativamente de 45.


Exercício 3


Item 8.7 – Ex. 3

Dados: x = variável normal em porcentagem

Amostra: n = 10 fornece 8 7 ..... 7,5 7,5

10x + + += =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 8 7,5 ... 7,5 7,5

2,781 9

ix xs x

n− − + + −

= = =−

∑


Solução

( )( )

20

2

: 6, 25: 6,25a

H xH x

σσ

= <

21, 4,17tχ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,90 e

Graus_liberdade 9)

( ) ( )( )

( )22

1 2

1 10 1 2,784,00

6,25n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 2 29 1, tχ χ< , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que

o desvio-padrão é menor que 2,5%. O gerente tem razão.


Exercício 4


Item 8.7 – Ex. 4


Amostra: n = 40 fornece ( )2 6, 4s x =


Solução

( )( )

20

2

: 8, 2: 8,2a

H xH x

σσ

= <


Graus_liberdade 39)

( ) ( )( )

( )22

1 2

1 40 1 6,430,43

8,2n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 2 239 1, tχ χ> , aceitamos a hipótese nula. A rede local tem razão ao afirmar que

os preços apresentam grande variação.


Exercício 5


Item 8.7 – Ex. 5

Dados: x = variável normal

Amostra: n = 15 fornece ( ) 2,3s x =


Solução

( )( )

20

2

: 4: 4a

H xH x

σσ

= >

22 ;14 ; 0,10 21,06χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,10 e

Graus_liberdade 14)

( ) ( )( )

( )2 22

1 2

1 14 1 2,318,52

4n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 2 214 2, tχ χ< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que

a Prefeitura tem razão.


Exercício 6


Item 8.7 – Ex. 6

Dados: x1 = variável normal mede o comprimento das peças

Amostra: n = 20 fornece ( ) 2s x =


Solução

( )( )

20

2

: 7,84: 7,84a

H xH x

σσ

= <

21 ;19 ; 0,10 11,65χ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,90 e

Graus_liberdade 19)

( ) ( )( )

( )2 22

1 2

1 20 1 29,69

7,84n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 2 219 2, tχ χ< , rejeitamos a hipótese nula. A variação realmente diminuiu.


Exercício 7


Item 8.7 – Ex. 7

Dados: x = variável normal. Amostra: n = 40 fornece ( )2 6, 4s x = . Nível de

significância: 0,10

Solução

( )( )

20

2

: 144: 144a

H xH x

σσ

= >

x f x.f ( )2 .ix x f−

50 4 200 1653,772 60 7 420 747,4396 70 8 560 0,888711 80 6 480 560,6705 90 5 450 1933,895

30 2110 4896,667

.70,333

x fx

f= =∑∑

( ) ( )22 .

168,851

x x fs x

f−

= =−

∑∑

,

22 39,08tχ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,10 e

Graus_liberdade 29)

( ) ( )( )

( )22

1 2

1 30 1 168,8534,00

144n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 2 229 2, tχ χ< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que

a variação nas vendas não é maior que a afirmada.


Exercício 8


Item 8.7 – Ex. 8

Dados: x1 = variável normal mede o peso dos botijões de gás

( )( ) 13 0, 250x Kg x Kgµ σ= =

Amostra: n = 26 fornece ( ) 0,305s x Kg=


Solução

( )( )

20

2

: 0,0625: 0,0625a

H xH x

σσ

= >


Graus_liberdade 25)

( ) ( )( )

( )2 22

1 2 2

1 26 1 0,30537,21

0,250n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 2 219 2, tχ χ< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5% de significância,

concluímos que o produto está dentro da especificação.


Exercício 9


Item 8.7 – Ex. 9

Dados: x = variável normal.

Amostra: n = 10 fornece ( ) 1,6s x = . Nível de significância: 0,10

Solução

( )( )

20

2

: 4, 41: 4, 41a

H xH x

σσ

= <

2;1 4,17tχ = (Tabela ou INV.QUI do Excel, com Probabilidade 0,90 e

Graus_liberdade 9)

( ) ( )( )

( )2 22

1 2

1 10 1 1,65,22

4,41n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 2 29 1, tχ χ> , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% podemos afirmar que a

política não foi eficaz.


Exercício 10


Item 8.7 – Ex. 10

Dados: x1 = variável normal mede o volume das mercadorias ( ) 12x lσ =

Amostra: n = 25 fornece ( ) 10s x l=


Solução

( )( )

20

2

: 144: 144a

H xH x

σσ

= <


Graus_liberdade 24)

( ) ( )( )

( )2 22

1 2 2

1 25 1 1016,67

12n

n s xx

χσ−

− − ×= = =

Como 2 219 1, tχ χ> , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10% de significância

concluímos que a afirmação do funcionário não é correta.



Exercício 1


Item 8.8 – Ex. 1

Dados: x1 = variável normal. Amostra: n1 = 11 fornece ( )1 15s x =

x2 = variável normal. Amostra de n2 = 15 elementos fornece ( )2 10s x = .


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

2 20 1 2

2 21 2

: 0: 0a

H x xH x x

σ σσ σ

− = − >

( )11 1;15 1 ; 0,05 2,60F − − = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade:

0,05; Graus_liberdade1: 10; Graus_liberdade2: 14)

( )

2

210 ;14 ,15 2,2510cF ==

Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que as

populações apresentam a mesma variância.


Exercício 2


Item 8.8 – Ex. 2

Dados: x1 = variável normal.

Amostra: n1 = 11 fornece ( )1 15s x =

x2 = variável normal.

Amostra de n2 = 15 elementos fornece ( )2 10s x = .


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

2 20 1 2

2 21 2

: 0: 0a

H x xH x x

σ σσ σ

− = − >

( )11 1;15 1 ; 0,10 2,10F − − = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade:

0,10; Graus_liberdade1: 10; Graus_liberdade2: 14)

( )

2

210 ;14 ,15 2,2510cF ==

Como c tF F> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que a

variância de 1x é significativamente maior que a variância de 2x .


Exercício 3


Item 8.8 – Ex. 3


x2 = variável normal. Amostra de n2 = 9 elementos fornece ( )2 9,6s x = .


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

2 20 2 1

2 22 1

: 0: 0a

H x xH x x

σ σσ σ

− = − >

( )8 ;19 ; 0,025 2,96F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,025;

Graus_liberdade1: 8; Graus_liberdade2: 19)

( )

2

28 ;19 ,9,6 1,448cF ==

Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 2,5%, podemos afirmar que as

variâncias são iguais.


Exercício 4


Item 8.8 – Ex. 4

Dados: x1 = variável normal mede o peso de suínos

Amostra: n1 = 51 fornece ( )1 2, 4s x Kg=

x2 = variável normal mede o peso de suínos

Amostra de n2 = 51 elementos fornece ( )2 3,1s x Kg= .


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 20 1 2 0 2 1

2 2 2 21 2 2 1

: 0 : 0 ou

: 0 : 0a a

H x x H x xH x x H x x

σ σ σ σσ σ σ σ

− = − = − < − >

( )50 ; 50 ; 0,10 1, 44F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,10;


( )

2

250 ; 50 ,3,1 1,672,4cF ==


primeira ração é superior à segunda ração.


Exercício 5


Item 8.8 – Ex. 5

Dados: x1 = variável normal. Amostra: n1 = 10 fornece ( )1 1, 4s x =

x2 = variável normal. Amostra de n2 = 10 elementos fornece ( )2 0,9s x = .


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

2 20 1 2

2 21 2

: 0: 0a

H x xH x x

σ σσ σ

− = − >

( )9 ; 9 ; 0,10 2, 44F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,10;


( )

2

210 ;14 ,1, 4 2,420,9cF ==

Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 10%, podemos afirmar que as

populações apresentam a mesma variância.


Exercício 6


Item 8.8 – Ex. 6

Dados: x1 = variável binomial S = atitude favorável ao produto no mercado A

Amostra: n1 = 51 fornece 10ˆ51

p =

x2 = variável binomial S = atitude favorável ao produto no mercado C

Amostra de n2 = 100 elementos fornece 30ˆ

100p = .


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 20 1 2 0 2 1

2 2 2 21 2 2 1

: 0 : 0 ou

: 0 : 0a a



− = − = − < − >

( )99 ; 50 ; 0,05 1,39F = (Tabela Fisher ou função INVF do Excel, com Probabilidade: 0,05;


( )21 1 1 1

10 41ˆ ˆ 51 8,03951 51

s x n p q= = × × = ( )22 2 2 2

30 70ˆ ˆ 100 21100 100

s x n p q= = × × =

( )99 ; 50 ,21 2,61

8,039cF ==


variância dos indivíduos da classe A é menor.


Exercício 7


Item 8.8 – Ex. 7


x2 = variável normal. Amostra de n2 = 51 elementos fornece ( )2 7000s x = .


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

2 20 2 1

2 22 1

: 0: 0a

H x xH x x

σ σσ σ

− = − >



( )

2

210 ;14 ,7000 1,965000cF ==

Como c tF F> , rejeitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que o

primeiro grupo é mais eficiente que o segundo grupo.


Exercício 8


Item 8.8 – Ex. 8

Dados: x1 = variável normal mede o tempo para correr 200 m no grupo 1

Amostra: n1 = 21 fornece ( )1 6s x s=

x2 = variável normal mede o tempo para correr 200 m no grupo 2.

Amostra de n2 = 51 elementos fornece ( )2 4,5s x s= .


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

2 20 2 1

2 22 1

: 0: 0a

H x xH x x

σ σσ σ

− = − >



( )

2

250 ; 50 ,6 1,777

4,5cF ==

Como c tF F< , aceitamos a hipótese nula. Ao nível de 5%, podemos afirmar que não

há diferença significativa entre as homogeneidades dos dois grupos.


Exercício 9


Item 8.8 – Ex. 9

Dados: x1 = variável normal mede a TIR do projeto 1

Amostra:

1 21,13i i

i

x fx

f= =∑∑

( ) ( )21 5,57

1i i

i

x x fs x

f−

= =−

∑∑

X2 = variável normal mede a TIR do projeto 2

Amostra:

2 19,50i i

i

x fx

f= =∑∑

( ) ( )22 5,60

1i i

i

x x fs x

f−

= =−

∑∑


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 20 1 2 0 2 1

2 2 2 21 2 2 1

: 0 : 0 ou

: 0 : 0a a



− = − = − < − >



( )50 ; 50 ,5,60 1,005,57cF ==


existe diferença significativa entre as variâncias.

TIR 17 19 21 23 25 Freq 3 7 10 7 4

TIR 15 17 19 21 23 Freq 1 3 6 3 3


Exercício 10


Item 8.8 – Ex. 10

Dados: x1 = variável normal mede a TIR do projeto 1

Amostra:

1 8,88i i

i

x fx

f= =∑∑

( ) ( )21 4,94

1i i

i

x x fs x

f−

= =−

∑∑

X2 = variável normal mede a TIR do projeto 2

Amostra:

2 11,68i i

i

x fx

f= =∑∑

( ) ( )22 7,10

1i i

i

x x fs x

f−

= =−

∑∑


Solução

Teste

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 20 1 2 0 2 1

2 2 2 21 2 2 1

: 0 : 0 ou

: 0 : 0a a



− = − = − < − >



( )50 ; 50 ,7,10 1,444,94cF ==


existe diferença significativa entre as variâncias.

TIR 5 7 9 11 13 Freq 6 13 15 12 5

TIR 8 10 12 14 16 Freq 10 12 12 10 7

Estatística para os cursos de : economia, administração e ciênicas contábeis : volume 2 / ...

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