K F A solista dos anjos interpreta a Psicologia da vida urbana
Estatística O que é: É um conjunto de técnicas de pesquisa na qual se coleta, organiza e...
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EstatísticaO que é:
É um conjunto de técnicas de pesquisa na qual se coleta, organiza e interpreta dados colhidos entre um grupo aleatório de pessoas.
Divisão da estatística:Estatística geral
Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a todas as fases do estudo dos fenômenos de massa. A estatística geral ainda pode ser dividida em dois subgrupos:
1. Estatística descritivaDiz respeito à coleta, organização, classificação, apresentação e descrição dos dados a serem observados.
2. Estatística indutiva
Visa tirar conclusões sobre a população a partir de amostras. Refere-se à maneira de estabelecer conclusões para toda uma população observando apenas parte dela.
Conceitos:
PopulaçãoÉ todo o conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica comum observável.
AmostraÉ uma parte da população que será avaliada por um critério comum.
Dados estatísticosSão os valores associados às variáveis de pesquisas.
Formas de organizar dados estatísticos
• Tabela
• Gráfico
Frequências
1. O número de vezes em que a variável ocorre é chamado frequência absoluta e é indicado por ni
2. Definimos frequência relativa ( fi ) como a
razão entre a frequência absoluta (ni) e o
número total de observações (n) , ou seja:
n
nf ii
Velocidade Freqüência
Absoluta
F.A
Freqüência Relativa (simples)
F.R
Freqüência absoluta
acumulada
F.A.A
Freqüência Relativa
acumulada
F.R.A
60|---- 70
70|---- 80
80|---- 90
90|---- 100
Total
9
6
3
O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os motoristas foram multados em uma determinada via municipal.
2
20
72 63 78 61 92 83 67 65 79 6574 89 96 74 63 87 64 75 68 68
45%
30%
15%
10%
9
15
1820
45%
75%
90%
100%
Velocidade Freqüência
Absoluta
F.A
Freqüência Relativa (simples)
F.R
Freqüência absoluta
acumulada
F.A.A
Freqüência Relativa
acumulada
F.R.A
60|---- 70
70|---- 80
80|---- 90
90|---- 100
Total
9
6
3
Com base na tabela, responda:
2
20
45%
30%
15%
10%
9
15
1820
45%
75%
90%
100%
a) Quantos Motoristas foram multados com velocidade de 80km/h a 90km/h?
b) Qual é o percentual de Motoristas multados com velocidade de 70km/h a 80km/h?
c) Quantos Motoristas foram multados com velocidade abaixo de 90km/h?
d) Qual o percentual de Motoristas multados com uma velocidade abaixo de 80km/h?
3
30%
18
75%
(PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a esse candidato?
a) 42° b) 168° c) 90° d) 242° e) 84°
1500 360o
350 xo
x = 84°
MEDIDAS DE TENDÊNCIASão as medidas estatísticas que descrevem a tendência
que os dados têm de agrupamento em torno de certos valores
MÉDIA MEDIANA MODA
MEDIDAS DE DISPERSÃO
São as medidas estatísticas que descrevem o comportamento de um grupo de valores em torno das medidas de tendência central
DESVIO MÉDIO VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO
MédiasMédia Aritmética Simples
Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:
n
x...xxx n21
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana:
X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14
7 7
Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final:
Média Aritmética Ponderada
(UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova.
Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi:
7,322321
2.(6,2)2.x3.(7,5)2.(7,3)1.(6,5)
56 + 2x = 73 x = 8,5
Média Geométrica
Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra
nn21 ......x.xxx
66.4.9x 3
Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9.
A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja:
63.12h
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria?
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00.
1,1287413 2).(1,07)(1,2).(1,1x
Salário Final
7%
12%
20%R$100,00
% de aumento
Salário Inicial
R$120,00
R$120,00 R$134,4
R$134,4 R$143,08
Salário Final
12,8741%R$100,00
% de aumento
Salário Inicial
R$112,8741
R$112,8741 R$127,405624512,8741%
12,8741%R$127,4056245 R$143,08
Percentual médio de aumento: 12,8741%
Outros Conceitos•Rol
Consiste na organização dos dados em ordem crescente.
Exemplo: Notas obtidas em uma prova de matemática no primeiro ano do ensino médio:
E = {1,3,1,9,10,7,6,3,4,1,8,8,10,2,2}
Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.
Mediana (Md)
É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados.
Exemplo: Determine a mediana do Rol abaixo:
Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10.
7 elementos
7 elementos
Como o elemento 4 ocupa a posição central, dizemos que ele é a mediana dos dados coletados acima.
IMPORTANTE!!!!
Caso o número de elementos do Rol for par, calculamos a mediana pela média aritmética dos dois elementos centrais.
Moda (Mo)É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados.
Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício anterior, posto que aparece três vezes no Rol.
AmplitudeÉ a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dadosEx.: Os valores seguintes representam o número de gols marcados pela seleção brasileira nas últimas 5 copas do mundo.
11, 14, 18, 10, 9
Amplitude = 18 – 9 = 9
Variância
Desvio Padrão:
É a raiz quadrada da variância
VDp
Bim 1º 2º 3º 4º
notas 5 8 6 9
É a média aritmética dos quadrados dos desvios.
Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de matemática nos 4 bimestres:
Média aritmética = 7
4
9685
Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2 nota 2: 8 – 7 = 1 nota 3: 6 – 7 = - 1
nota 4: 9 – 7 = 2
2,54
21)(1(-2)V
2222
1,582,5Dp
Quanto mais próximo de zero é o desviopadrão, mais homogênea (regular) é a amostra.
Candidatos que obtém menor desvio padrão são considerados mais regulares.
Bim 1º 2º 3º 4º
notas 5 8 6 9
DÉSVIO MÉDIO
É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios.
DESVIO PADRÃO - SÉ a medida de dispersão mais geralmente
empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como : a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por S .
• A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma população de dados não-agrupados.
VARIÂNCIA - S²
É o desvio padrão elevado ao quadrado. A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.
Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo.
N 1 N 2 N 3 N 4Paulo 5 2 5 8João 4 8 3 5
Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular?
Média aritmética = Paulo
54
8525
Média aritmética = João
54
5384
Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3 nota 3: 5 – 5 = 0 nota 4: 8 – 5 = 3
Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1João nota 2: 8 – 5 = 3 nota 3: 3 – 5 = -2 nota 4: 5 – 5 = 0
4,54
232023)(20PauloVariância
2,124,5VPadrãoDesvio
3,54
2022)(232(-1)JoãoVariância
1,873,5VPadrãoDesvio
Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.
A população mundial esta ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
(ENEM-2010)Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:a) 490 e 510 milhões.b) 550 e 620 milhões.c) 780 e 800 milhões.d) 810 e 860 milhões.e) 870 e 910 milhões.
y = 363. e0,03x
y = 363. e0,03. 30 y = 363. e0,3. 3
y = 363. (e0,3)3
y = 363. 1,353
y = 363. 2,46y 893 milhões