ESTATÍSTICA APLICADA AULA 2 MEDIDAS DE POSIÇÃO X MEDIDAS DE DISPERSÃO.
ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL MEDIDAS DE DISPERSÃO.
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Estatística
• ELEMENTOS TÍPICOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO:
Medidas de posição
Medidas de variabilidade ou dispersão
Medidas de Tendência Central
• É um valor calculado para um grupo de dados• usado para descrever esses dados. • Tipicamente, desejamos que o valor seja
representativo de todos os valores do grupo• os dados observados tendem, em geral, a se
agrupar em torno dos valores centrais.
1 - MÉDIA ARITMÉTICA
• definida como a soma dos valores dividida pelo número de elementos.
• Sua aplicação é seguramente a mais usada• podem ser:
– Média para dados simples– Média para dados agrupados– Média para dados agrupados em classes.
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLES (X)
Exemplo: Dado um a idade de 5 crianças
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12
média - x = 4 + 6 + 8 + 10 +12
5
X = ∑xi n
sendo “ n “ o número de elementos Assim: X = 40 = 8 5 Portanto a idade média dessas 5 crianças é 8 anos.
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
• Exemplo: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
X = 1+1+1 + 2+2+2 + 3+3+3+3 + 5+5+5+5+5+5 + 6+6+6 + 9 20
X = 1 . 3 + 2 . 3 + 3 . 4 + 5 . 6 + 6 . 3 + 9 .1 = 3+6+12+30+18+9 3 + 3 + 4 + 6 + 3 + 1 20
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
• Quando o conjunto de dados para os quais precisamos calcular a média é mais extenso, temos a necessidade de agrupar os dados. Assim, a média desse grupo é calculado da seguinte forma:
X = (Xi . fi ) fi
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
Xi fi Xi . fi
1 3 3 X = Xi . fi
2 3 6 fi
3 4 12 X = 78 = 3,9 5 6 30 20 6 3 18 9 1 9 - 20 78Fonte: dados fictícios
1.3. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
IDADE DE ALUNOS Xi PM fi PM.fi
0 2.......... 1 3 1.3 = 6 2 4.......... 3 7 3.7 = 21 4 6.......... 5 6 5.6 = 30 6 8.......... 7 3 7.3 = 21 8 10.......... 9 1 9.1 = 9
total ......... 20 87 Fonte: Dados fictícios
X = (PM. Fi ) X = 87 X = 4,35
fi 20
2 – MEDIANA ( X )
• É o valor que se localiza no centro da distribuição
• é obtida a partir de seus valores centrais• Pode ser:
2.1 MEDIANA PARA DADOS SIMPLES2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM
CLASSES INTERVALARES
2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)
Há duas situações:
1) Quando o número de elementos pesquisados é ímpar
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
“ n “ o número de elementos ímparUma posição central - PP = n +1 P = 5 + 1 = 3ª posição => Xi = 8, portanto X = 8 2 2
~
posição central
Xi
~
2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)
2) Quando o número de elementos pesquisados é par
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
~
X1 X2
~
P1 P2 (2 Posições centrais)
~“ n = 6 número PAR de elementosDuas posições centrais - P1 e P2
P1 = n P1 = 6 = 3ª posição => X1 = 8, X = X1 + X2 = 8 + 10 2 2 2 2P2 = é a próxima P2 = 4ª posição => X2= 10, X = 9
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
1)Quando o nº de elementos é IMPAR Xi fi fac nº de elementos =
1 2 2 fi = 19 (ímpar) 2 3 5 3 4 9 uma posição
central 5 6 15 P = fi +1 =
19+1 6 3 18 2 2 9 1 19 P = 10ª posição - 19
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
Xi fi fac 1 2 2 2 3 5
3 4 9 5 6 15 6 3 18
9 1 19 Σ 19
Xi 1 1 2 2 2 3 3
posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
Xi 3 3 5 5 5 5 5 posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª
Xi 5 6 6 6 9 posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª
2.2. MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
~
1) Quando o nº de elementos é IMPAR Xi fi fac P = 10ª posição 1 2 2 2 3 5 3 4 9Xi = 5 6 15 6 3 18 X = 5 9 1 19 - 19
2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
2)Quando o nº de elementos é PAR
Xi fi fac nº de elementos = fi = 20(par) 1 2 2
2 3 5 3 4 9 duas posição centrais 5 6 15 P1 = fi = 20 = 10ª posição 6 3 18 2 2 9 2 20 P2 = é a próxima= 11ª posição - 20
2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
~
2)Quando o nº de elementos é PAR
Xi fi fac P1 = 10ª posição
1 2 2 P2 = 11ª posição
2 3 5 3 4 9X1= X2= 5 6 15 6 3 18 X = (X1+ X2) = 5 + 5 9 2 20 2 2 - 20 X = 5
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P” P = Fi P = 23 P = 11,5º posição 2 22º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE MEDIANA”
2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P” P = Fi P = 23 P = 11,5º posição 2 22º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE MEDIANA”
li
ls
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 Posição central -> P = 11,5º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 2
Limite superior da classe -> ls = 4
Amplitude da classe -> h = ls - li = 4 – 2 = 2
Freqüência da classe -> fi = 10
Freqüência acumulada anterior -> faa = 3
li
ls
P - faa . h fi+li=X
~
11,5 - 3 . 2 10+=
~X 2
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
li
ls
8,5 . 2 10+2=X
~
X = 2 + 0,85 . 2~
X = 2 + 1,70~
X = 3,70~
2 – MODA ( X )
• É o ponto de maior concentração de ocorrências de uma variável
• Coincide com o conceito vulgar da palavra, isto é, o que ocorre com maior freqüência
^
2.1 – MODA PARA DADOS SIMPLES ( X )
• Exemplo: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
O valor que apareceu maior número de vezes é o 5
portanto => X = 5
^
^
2.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS ( X )^
^
Maior valor de fiXi =
Xi = 5
Xi fi 1 2 2 3 3 4 5 6 6 3 9 1 - 19
2.3. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES – MODA DE CZUBER - Xcz
fmax
Xi PM fi
0 2.......... 1 3 2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6 6 8.......... 7 3 8 10.......... 9 1
total ......... 23
1º passo: Achar a classe onde se encontra a maior freqüência - fmax
^
2.3. MODA DE Czuber - XCZ
Xi PM fi
0 2.......... 1 3 2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6 6 8.......... 7 3 8 10.......... 9 1
total ......... 23 Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7
2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4
li
ls
^
fant
fpos
fmax
2.3. MODA DE Czuber - XCZ^
Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7
2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4Cálculo da moda de Czuber
Xcz = li + ___ 1 ___ . h
1 + 2
Xcz = 2 + __7__ . 2 = 2 + _7_ . 2 = 2 + 14 = 2 + 1,3 = 3,3 7 + 4 11 11
^
^
2.3. MODA DE KING - Xki
Xi PM fi
0 2.......... 1 3 2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6 6 8.......... 7 3 8 10.......... 9 1
total ......... 23 Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
li
ls
^
fant
fpos
fmax
Outras separatrizes
• A Mediana divide a distribuição em duas partes.
• É o atributo que está no meio da distribuição:– 50% dos valores acima da mediana– 50% dos valores abaixo da mediana
Outras separatrizes
QUARTIS ou QUARTILHOS• o Quartil divide a distribuição em 4 partes
de igual freqüência.• Seu cálculo é importante para as medidas de
dispersão e variabilidade• São três:
Outras separatrizes
Quartil• São três:• Q1 = quartil inferior ou primeiro quartil.
Tem 25% da distribuição abaixo de si• Q2 = é a mediana ou quartil mediano• Q3 = quartil superior ou terceiro quartil.
Tem 75% da distribuição abaixo de si
Quartil
• 1º quartil - Q1 = assume a posição P1q = Σfi 4• 2º quartil – Q2 = assume a posição P2q = 2. Σfi
4 • 3º quartil - Q3 = assume a posição P3q = 3.Σfi
4
1º QUARTIL – Q1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO QUARTIL “ P1q ” P1q = Fi P1q = 23 P 1q = 5,75º posição 4 42º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO QUARTIL – Q1”
1º QUARTIL – Q1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 Posição 1º quartil -> P 1q= 5,75º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 2
Limite superior da classe -> ls = 4
Amplitude da classe -> h = ls - li = 4 – 2 = 2
Freqüência da classe -> fi = 10
Freqüência acumulada anterior -> faa = 3
li
ls
P1q - faa . h fi+li=Q1
5,75 - 3 . 2 10+=Q1 2
1º QUARTIL – Q1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
li
ls
2,75 . 2 10+2=Q1
Q1 = 2 + 0,55
Q1 = 2,55
3º QUARTIL – Q3
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO TERCEIRO QUARTIL “ P3q ” P3q = 3. Fi P3q = 3. 23 P 3q = 17,25º posição 4 42º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O TERCEIRO QUARTIL – Q3”
3º QUARTIL – Q3
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 faa 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 Posição central -> P 3q= 17,25º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 4
Limite superior da classe -> ls = 6
Amplitude da classe -> h = ls - li = 6 – 4 = 2
Freqüência da classe -> fi = 6
Freqüência acumulada anterior -> faa = 13
li
ls
P3q - faa . h fi+li=Q3
17,25 - 13 .2 6+=Q3 4
3º QUARTIL – Q3
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
li
ls
4,25 . 2 13+4=Q3
Q3 = 4 + 0,65
Q3 = 4,65
Outras separatrizes
Decil• Dividem a distribuição em 10 partes de
igual freqüência.• São nove• o quinto decil é a mediana.
Decil
• 1º decil - D1 = assume a posição P1d= Σfi 10• 2º decil – D2 = assume a posição P2d = 2. Σfi
10
• 9º decil - D9 = assume a posição P9d = 9.Σfi 10
1º DECIL – D1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO DECIL “ P1d ” P1d = Fi P1d = 23 P 1d = 2,3º posição 10 102º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO DECIL – D1”
1º DECIL – D1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 Posição 1º DECIL -> P 1d= 2,3º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 0
Limite superior da classe -> ls = 2
Amplitude da classe -> h = ls - li = 2 – 0 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 0
li
ls
P1d - faa . h fi+li=D1
2,3 – 0 . 2 3+=D1 0
1º DECIL – D1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
2,3 . 2 3+0=D1
D1 = 1,53
9º DECIL – D9
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONO DECIL “ P9d ” P9d = 9. Fi P9d = 9. 23 P9d = 20,70º posição 10 102º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O NONO DECIL – D9”
9º DECIL – D9
li
ls
P9d - faa . h fi+li=D9
20,7 - 19 .2 3+=D9 6
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 faa 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P 9d= 20,7º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 6
Limite superior da classe -> ls = 8
Amplitude da classe -> h = ls - li = 8 – 6 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 19
9º DECIL – D9
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 faa 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1,7 . 2 3+6=D9
D9 = 6 + 1,13
D9 = 7,13
Outras separatrizes
Centil ou Percentil• Dividem a distribuição em 100 partes de
igual freqüência.• São noventa e nove• o qüinquagésimo centil é a mediana.
Percentil - Ci
• 1º percentil - C1 = assume a posição P1c= Σfi 100• 2º percentil – C2 = assume a posição P2c = 2. Σfi
100
• 99ºpercentil - C99 = assume a posição P99c =99.Σfi 100
10º PERCENTIL – C10
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO DÉCIMO PERCENTIL “ P10c ” P10c = 10 . Fi P10c = 10 .23 P 10c = 2,3º posição
100 1002º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O Décimo Percentil – C10”
10º PERCENTIL – C10
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 Posição 10º percentil -> P 10c= 2,3º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 0
Limite superior da classe -> ls = 2
Amplitude da classe -> h = ls - li = 2 – 0 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 0
li
ls
P10c - faa . h fi+li=C10
2,3 – 0 . 2 3+=C10 0
10º PERCENTIL – C10
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
2,3 . 2 3+0=C10
C10 = 1,53
90º percentil – C90
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23 1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONAGÉSIMO PERCENTIL “ P90c ” P90c = 90. Fi P90c = 9. 23 P90c = 20,70º posição 100 1002º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A
CLASSE QUE PERTENCE O nonagésimo percentil – C90”
90º PERCENTIL – C90
li
ls
P90c - faa . h fi
+li=C90
20,7 - 19 .2 3+=C90 6
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 faa 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P 90c= 20,7º posiçãoLimite inferior da classe -> li = 6
Limite superior da classe -> ls = 8
Amplitude da classe -> h = ls - li = 8 – 6 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 19
90º PERCENTIL – C90
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 6 8.......... 7 3 22 8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1,7 . 2 3+6=C90
C90 = 6 + 1,13
C90 = 7,13
Relações Quartil Decil Percentil Mediana
D1 = C10
Q1 = = C25
Q2 = D5 = C50 = X
Q3 = = C75
D9 = C90
~
Outras médiasMÉDIA DE INTERVALOÉ a média entre a menor e a maior observação em um
conjunto de dados.
MÉDIA DAS JUNTAS ou MidhingeÉ a média entre o primeiro e o terceiro quartil.
XXMENOR MENOR + X+ XMAIORMAIOR
22Média de Intevalo =Média de Intevalo =
Outras médiasOutras médias
XXMENOR MENOR + X+ XMAIORMAIOR
22Média de Intevalo =Média de Intevalo =
QQ1 1 + Q+ Q33
22MidhingeMidhinge = =
Medidas de Dispersão
• As Medidas de Tendência Central:– representam de certa forma uma determinada
distribuição de dados– só elas não são suficientes para caracterizar a
distribuição.• Para uma análise estatística mais exata é
necessária a verificação da flutuação dos valores em torno de sua média aritmética
Medidas de Dispersão
• Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual com 5 alunos.
• GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6• GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10
• Média do grupo “A”: 5• Média do grupo “B”: 5
Medidas de Dispersão
• Os dois grupos apresentam a mesma média• O comportamento dos 2 grupos são bem
distintos. GRUPO “A”: valores são mais homogêneos GRUPO “B”: valores são dispersos em
relação à média
Medidas de Dispersão
• Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas:– a) Amplitude Total– b) Amplitude Interquartil– c) Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-interquartílico– d)Desvio Médio– e) Variância– f) Desvio Padrão
a) Amplitude Total - R
– é a diferença entre o maior e o menor valor observados.
R = Limite superior - Limite Inferior
• Exemplo 5: Idade de 20 alunos: Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
R = 9 – 1 = 8
b) Amplitude Interquartil – AIQou IQR ( InterQuartile Range )
é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.
AIQ ou IQR = Q3 - Q1
– Supera a dependência dos valores extremos– Abrange 50% dos valores centrais,
eliminando os 25% dos valores mais baixos e os 25% dos valores mais altos
c) Desvio Quartílico ouAmplitude Semi-interquartílicoé a diferença entre o terceiro quartil e o
primeiro quartil.
Dq = Q3 - Q1
2
d) Desvio Médio - DM
é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.
DM = Σ Xi – X_ n
Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável n = nº elementos
X = média aritmética
d) Desvio Médio - DM
Exemplo 6: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média X = = = 4
b) Montar a tabela a seguir:
ΣΣ Xi Xinn
40401010
d) Desvio Médio - DMXi Xi - x Xi – x 2 2 – 4 = - 2 2 2 2 – 4 = - 2 2 3 3 – 4 = - 1 1 3 3 – 4 = - 1 1 3 3 – 4 = - 1 1 DM = = 4 4 – 4 = 0 0 4 4 – 4 = 0 0 DM = 1,56 4 4 – 4 = 0 0 5 5 – 4 = 1 110 10 – 4 = 6 6 Σ 14
ΣΣ Xi – x_ Xi – x_ n - 1n - 1
1414 99
d) Variância - 2
– é a média dos quadrados dos afastamentos entre as os valores da variável e sua média aritmética
– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
d.1) Variância - 2 – dados simples
Exemplo 7: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média X = = = 4
b) Montar a tabela a seguir:
ΣΣ Xi Xinn
40401010
d.1) Variância - 2 – dados simplesXi Xi - x ( Xi – x )2 2 2 – 4 = - 2 22 = 4 2 2 – 4 = - 2 22 = 4 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 2 = = 4 4 – 4 = 0 02 = 0 4 4 – 4 = 0 02 = 0 4 4 – 4 = 0 02 = 0 2 = = 5,33 5 5 – 4 = 1 12 = 110 10 – 4 = 6 62 = 36 Σ 48
ΣΣ ( Xi – x ) ( Xi – x )22
n - 1n - 1
4848 99
d.2) Variância - 2 – dados agrupados
Xi fi Xi . fi Xi - x ( Xi – x )2 ( Xi – x )2 . fi 2 2 2 . 2 = 4 2 – 4 = -2 (-2)2 = 4 4 . 2 = 8 3 4 3 . 3 = 9 3 – 4 = -1 (-1)2 = 1 1 . 3 = 3 4 3 4 . 3 = 12 4 – 4 = 0 02 = 0 0 . 3 = 0 5 1 5 . 1 = 5 5 – 4 = 1 12 = 1 1 . 1 = 110 1 10 . 1 = 10 10 - 4 = 6 62 = 36 36 . 1 = 36
Σ fi = 10 Σ fi = 40 Σ fi = 48
2 =
2 = = 5,33
ΣΣ ( Xi – x ) ( Xi – x )2 2 . fi. fi ΣΣ fi - 1 fi - 1
4848 99
d.2) Variância - 2 – dados agrupados em classes
Xi PM fi PM.fi PM-x ( PM–x )2 ( PM–x )2.fi 0 2..... 1 2 1.2 = 2 1-5= -4 (-4)2 = 16 16 . 2 = 322 4..... 3 4 3.4 = 12 3-5= -2 (-2)2 = 4 4 . 4 = 164 6..... 5 8 5.8 = 40 5-5= 0 02 = 0 0 . 8 = 06 8..... 7 6 7.6 = 42 7-5= 2 (2)2 = 4 4 . 6 = 248 10.... 9 1 9.1 = 9 9-5= 4 (4)2 = 16 16 . 1 = 16total .... 21 105 88
ΣΣ ( PM – x ) ( PM – x )2 2 . fi. fi ΣΣ fi - 1 fi - 1
ΣΣ ( PM.fi) ( PM.fi) ΣΣ fi fi
X = = 105 105 2121
X = 5
22 = = 8888 202022 =
22 = 4,4
d) Desvio Padrão -
– Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios
– É a mais utilizada– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
= 22
e) Desvio Padrão - – Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão
é nulo.– quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é
a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média
– MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores– MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores– MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores
f) Coeficiente de Variação - CV
CV = - desvio padrãoX X - média artitmética
– o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição
– Valor máximo é CV = 1 0 ≤ CV ≤ 1
Coeficiente de Variação - CV
– Quanto mais próximo de 1:mais heterogênea é a distribuiçãoOs valores estão mais dispersos
– Quanto mais próximo de 0:mais homogênea é a distribuiçãoOs valores da variável estão mais próximos em torno
da média
Coeficiente de Variação - CV
– Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais foram:• “a”: 60; 40; 50; 50• “b”: 70; 70; 30; 30• Qual foi mais regular ?
f) Coeficiente de Variação - CV
Na comparação de variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados:
1. expressos em diferentes unidades de medida
2. expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes.
f) Coeficiente de Variação - CV
Comparação de valores expressos em diferentes unidades de medida
Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia mais: PESO ou COMPRIMENTO
XPESO = 20 g XCOMPRIMENTO = 50 metros
PESO = 2 g COMPRIMENTO = 4 metros
f) Coeficiente de Variação - CV
XXPESOPESO
PESOPESOCVCVPP =
COMPRIMENTOCOMPRIMENTO
XXCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO
CVCVCC =
22 2020CVCVPP =
44 5050CVCVCC =
CVCVPP = 0,10
CVCVCC = 0,08
CVCVPESOPESO = 0,10 ≥ CVCVCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO = 0,08
PESO varia mais que o comprimentoPESO varia mais que o comprimento
f) Coeficiente de Variação - CV
expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes
Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo “ A ” ou “ B “ tem mais variação de rendimento em um
processo:
XA = 80 % XB = 50 %
A = 2 % B = 1 %
f) Coeficiente de Variação - CV AACVCVAA =XXAA
BBCVCVBB =XXBB
22 8080CVCVPP =
11 5050CVCVBB =
CVCVAA = 0,025
CVCVBB = 0,020
CVCVAA = 0,025 ≥ CVCVBB = 0,020O rendimento do Produto A varia mais que o O rendimento do Produto A varia mais que o rendimento do produto B no decorrer do processorendimento do produto B no decorrer do processo
Esquema dos 5 NúmerosBox – Plot ou
Gráfico Box-and-Whisker
Q3
3º Quartil
Q1
3º Quartil
X
Mediana
~
XMENOR XMAIOR
25% dos dados 25% dos dados25% 25%