Estatística – Aula 08

IMES – FaficaCursos de Licenciaturas

Prof. MSc. Fabricio Eduardo Ferreirafabricio@fafica.br

Mediana1. Dados agrupados

Com intervalos de classeExemplo: Determine a mediana da seguinte distribuição de frequência.Estaturas

(cm)1 150 à 154 042 154 à 158 093 158 à 162 114 162 à 166 085 166 à 170 056 170 à 174 03

Estaturas (cm)

1 150 à 154 04 04

2 154 à 158 09 13

3 158 à 162 11 24

4 162 à 166 08 32

5 166 à 170 05 37

6 170 à 174 03 40

1) Primeiramente verificamos a metade do total de elementos;2) O 20º elemento encontra-se na terceira classe (de 14º a 24º);3) Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4, a mediana, a partir do limite inferior, será dada por:𝑀𝑑=158+ 20−1311 ∙4=¿¿158+ 711 ∙4=¿¿158+ 2811=¿

𝑀𝑑≅ 158+2,54=160,54

MedianaNa realidade, efetuamos a

seguinte operação:𝑀𝑑=𝑙∗+

(∑ 𝑓 𝑖

2−𝐹 𝑎𝑛𝑡)∙ h∗

𝑓 ∗

onde:• é o limite inferior da classe mediana;• é a frequência acumulada da classe anterior à

classe mediana;• é a frequência simples da classe mediana;• é a amplitude do intervalo da classe mediana.

Estaturas (cm)

1 150 à 154 04 04

2 154 à 158 09 13

3 158 à 162 11 24

4 162 à 166 08 32

5 166 à 170 05 37

6 170 à 174 03 40

𝑀𝑑=158+ 20−1311 ∙4

MedianaOutro exemplo: Determine a mediana da seguinte

distribuição de frequência.Class

es10 à 20

04

20 à 30

06

30 à 40

08

40 à 50

17

50 à 60

10

60 à 70

05

𝑀𝑑=40+ 25−1817 ∙10=¿¿ 40+ 717 ∙10=¿¿ 40+ 7017=¿

𝑀𝑑 ≅ 40+4,11=44,11

Classes

10 à 20

04 04

20 à 30

06 10

30 à 40

08 18

40 à 50

17 35

50 à 60

10 45

60 à 70

05 50

Moda É o valor que ocorre com maior frequência numa

série de dados.1. Dados não-agrupadosExemplo 1: Determine a moda da série cujos elementos são 2, 5, 7, 7, 7, 8, 8 e 9. O elemento que ocorre com maior frequência é o 7, então e a série é chamada unimodal.Exemplo 2: Determine a moda da série cujos elementos são 10, 10, 12, 15, 17, 17, 19, 20. Esta série apresenta dois elementos com maior frequência: 10 e 17, então ou ou e a série é chamada bimodal.Exemplo 3: Determine a moda da série cujos elementos são 1, 7, 8, 10, 15 e 16. Não há elemento com maior frequência, logo esta série não possui moda e é chamada de série amodal.

Moda2. Dados agrupados

Sem intervalos de classesNuma distribuição de frequência onde os dados se encontram agrupados mas não possuem intervalos de classe, a moda é o valor que possuir a maior frequência.Exemplo: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando como variável o número de filhos do sexo masculino.0 02

1 062 103 124 04

Na classe que possui a maior frequência (12) o valor atribuído à variável é 3. Logo esta é a moda .

Moda2. Dados agrupados

Com intervalos de classesA classe que possui a maior frequência é denominada classe modal. Logo, o valor dominante está compreendido entre os limites da classe modal.O método mais simples para o cálculo da moda é determinarmos o ponto médio da classe modal. Este valor é denominado moda bruta.Exemplo: Na seguinte distribuição, temos:

Estaturas (cm)

1 150 à 154 042 154 à 158 093 158 à 162 114 162 à 166 085 166 à 170 056 170 à 174 03

𝑀𝑜=𝑙∗+𝐿∗

2=¿¿158+162

2 =¿¿3202 =¿¿160

ModaFórmula de Czuber

Para o cálculo da moda, existem outros métodos mais elaborados como, por exemplo, o que faz uso da fórmula de Czuber.

𝑀𝑜=𝑙𝑀 𝑜+

∆1∆1+∆2

∙ h

onde:• é o limite inferior da classe modal;• é a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe

imediatamente anterior;• é a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe

imediatamente posterior,• é a amplitude do intervalo da classe modal..

ModaExemplo

Calcule a moda da seguinte distribuição de frequência:

𝑀𝑜=𝑙𝑀 𝑜+

∆1∆1+∆2

∙ h=¿

Classes

10 à 20

04

20 à 30

06

30 à 40

08

40 à 50

17

50 à 60

10

60 à 70

05

Antes de aplicarmos a fórmula podemos identificar suas variáveis:𝑙𝑀 𝑜

=40 ∆1=17−8=9 ∆2=17−10=7 h=10

¿ 40+ 99+7 ∙10=¿¿ 40+ 916 ∙10=¿¿ 40+ 9016=¿

𝑀 𝑜≅ 40+5,625=45,625