Estatística
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Estatística
• Dados valores (amostras) de variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, cuja distribuição conjunta é desconhecida, inferir propriedades desta distribuição.
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Estatística
• Situação mais comum: X1, X2, ..., Xn são i.i.d. (formam uma amostra aleatória simples), com distribuição comum F, conhecida a menos do parâmetro (estatística clássica paramétrica).
• Outras modalidades de inferência: não paramétrica, bayesiana
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Estimativa Pontual
• Estimar por meio de uma estatística),...,,(ˆ
21 nXXX
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Exemplo
• Os táxis em uma cidade são numerados de 1 a N, onde N é desconhecido. Estimar N, por meio de uma amostra dos números dos táxis que passam em um determinado ponto (por exemplo:
• Mais conveniente considerar a versão contínua: X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0, .
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Estimadores Razoáveis
•
•
X2ˆ1
),...,,max(ˆ212 nXXX
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Critérios para Avaliar Estimadores
• Vício (ou viés ou tendência ou bias)
– O estimador é não-viciado quando a tendência é igual a zero para todo .
• Erro médio quadrático
– O erro médio quadrático de um estimador não-viciado é igual à sua variância
)ˆ()ˆ( EB
2)ˆ()ˆ( EEMQ
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Exemplo
• Dos estimadores do exemplo anterior, qual é o melhor?
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Métodos de Estimação
• Método dos momentos
• Método da máxima verossimilhança
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Método dos Momentos
• Exprimir os momentos da distribuição em função dos parâmetros
• Igualar esses momentos às estimativas amostrais
• Obter os estimadores obtendo o valor dos parâmetros nas equações acima.
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Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0,
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Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(, 2)
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Método da Máxima Verossimilhança
• O estimador é escolhido de modo a maximimizar a função de verossimilhança
onde p(x, ) é a probabilidade (ou densidade) de se observar a amostra x1, x2, …, xn quando o parâmetro é igual a
),(logmaxarg),(maxargˆ
xx pp
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Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. Bernoulli ()
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Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(, 2)
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Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0,
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Qual é o melhor estimador?
• Sonho de consumo– Um estimador não viciado que possua menor
variância que qualquer outro, para todo valor de (ENVUMV).
– Há teoremas que permitem obter, em certos casos, estes estimadores.
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ENVUMV
• Um estimador não viciado que seja uma função de uma estatística suficiente e completa T(X1, …, Xn) é um ENVUMV.
• Essencialmente, uma estatística suficiente e completa é a que resulta ao escrever p(x, ) na forma h(x).g(T(x), ) na forma mais compacta possível.
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Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. Bernoulli ()
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Alguns ENVUMVs
Distribuição ENVUMV
Bernoulli ()
Normal (, 2)
Uniforme ()
Poisson ()
Exponencial ()
X̂
)max(1ˆ
iXn
n
11
)(,ˆ
2222
n
XnX
n
XXSX ii
X̂
X̂
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Observação
• Embora existam ENVUMVs para as distribuições clássicas, em geral sequer há estimadores não viciados.
• Por esta razão, o método geral para obtenção de bons estimadores é o método da máxima verossimilhança.
• Há teoremas que garantem que tais estimadores são assintoticamente não viciados e de mínima variância.