EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer.,...

EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.

Capítulo 2Capítulo 2

FLAMBAGEM DE COLUNAS


Flambagem PrimáriaFlambagem Primária


Flambagem SecundáriaFlambagem Secundária


Equações Básicas – Teoria da ElasticidadeEquações Básicas – Teoria da Elasticidade

222

21

xw

xv

xu

xu

xx

y

w

x

w

y

v

x

v

y

u

x

u

y

u

x

vxy

212

2

2

1

1

xw

xw

Rz2212

2

2

1

1yzzzyy

yzzzzy

III

IMIM

E

xw

xw


O Método do Equilíbrio NeutroO Método do Equilíbrio Neutro


A Coluna Simplesmente Apoiada - HipótesesA Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses

1 . A p o i o s S i m p l e s

2 . C o l u n a P e r f e i t a m e n t e R e t a e C a r g a C e n t r a l

3 . M a t e r i a l E l á s t i c o L i n e a r

4 . E i x o s P r i n c i p a i s

5 . P e q u e n a s D e f o r m a ç õ e s " '1" 212 www


A Coluna Simplesmente ApoiadaA Coluna Simplesmente Apoiada

z, wP

x

P

P

w

My

P

x

P

P

L


Coluna Simplesmente Apoiada - SoluçãoColuna Simplesmente Apoiada - Solução

P

w

My

P

x

"wEIM yyy

0"" 0 PwEIwEIwPwMPwM y

EIP

kwkw 22 com , 0" kxBkxAxw cos sen )(

Lxxw e 0 em 00 00cos 0)0( BBw

kxAxw sen)(

0senou 0ou 0sen 0)( kLAkLALw

......3 ,2 ,1 onde , 0sen nnkLkL

Lxn

Axw

sen)( 2

22

L

EInP


O Comportamento da Coluna de EulerO Comportamento da Coluna de Euler

P

max

2

2

L

EIP

Equilíbrio Estável

Equilíbrio Instável

Equilíbrio Neutro

2

24

L

EIP


Coluna Bi-EngastadaColuna Bi-Engastada

P

P

P PM0

M0

M0

w

x

L

z , w

x

-EIw”


Coluna Bi-Engastada - SoluçãoColuna Bi-Engastada - Solução

P

PM0

w

x

-EIw”

EI

Pk

EI

MwkwMPwEIw 202

0 com , "ou 0"

P

MkxBkxAw 0cossen

0 e 00' , 00 Lwww

P

M- e 0 0 BA kx

P

Mw cos10

nkLLw 2kL 1cos 0)(

2

2

cr4

L

EIP

L

x

P

Mxw

2cos10


Coluna Equivalente de EulerColuna Equivalente de Euler

22

cr2L

EIP

A carga crítica de qualquer coluna pode ser obtida de uma coluna equivalente de Euler


Coluna em BalançoColuna em Balanço

L

P

Px

z, w

P

P

L

2L

Coluna

Equivalente

de Euler

22

cr2L

EIP

P


Coluna em Balanço - SoluçãoColuna em Balanço - Solução

22"ou " kwkwPPwEIw

kxBkxAw cossen

)cos1()( que modo de

; 0)0( ; 0 0)0('

kxxw

BwAw

2

12 0cos )(

nkLkLLw

2

2

cr 4L

EIP

Lx

xw2

cos1)(

w

P

P

P

EIw”

x

w

-EIw”


Coluna com Restrições ElásticasColuna com Restrições Elásticas

M

P

PM / L

M / L

z, w

k

P

P

L

x

M = k


Coluna com Restrições Elásticas - SoluçãoColuna com Restrições Elásticas - Solução

PM / L

P

M / L

w

x

-EIw”

EIL

Mxwkw

L

MxPwEIw 2 "ou 0"

PLMx

kxBkxAw cossen

; 0 0)0( BwkLP

MALw

sen 0)(

kLkx

Lx

PM

wsensen

kLkLkEIM

kLkLk

LPM

dxdw

tan11

sencos1

k

MLx , em

kLkLk

kEI

kLkLkEI

M

k

M

tan

11ou

tan

11

EILk

2

tan

kL

kLkL

2

21

cr LEIkL

P


Restrição Elástica – Casos ParticularesRestrição Elástica – Casos Particulares

kLkLkL

kLkL 0tan

tan 2

kL

kL

kL

kL

kLkL

1

lim

limtan 22

49.4kL 2

2

2cr7.0

2.20

L

EIL

EIP

Lx

Lx

PML

x

Lx

PM

xw 49.4sen02.149.4sen

49.4sen)(

Coluna Simplesmente Apoiada

Coluna Simplesmente Apoiada - Engastada


Coluna em Pórtico Coluna em Pórtico

P

P

L

x

z, w

L

EI

EI

M

4

4tan 2

kL

kLkL

4 4 4

L

EIk

LEI

M

829.3 kL 22

2cr82.0

66.14

L

EIL

EIP

Lx

Lx

PML

x

Lx

PM

xw 829.3sen635.0829.3sen

829.3sen)(


Comprimento EfetivoComprimento Efetivo

Condições de Contorno Carregamento

2.0 L

1.0 L

1.0 L

0.7 L

0.5 L

1.69 L

-

0.732 L

0.58 L

0.365 L

1.12 L

0.72 L

0.732 L

0.43 L

0.365 L

Fig. 2-9

-

Fig. 2-9

Fig. 2-9

Fig. 2-9

1.43 L

0.84 L

0.57 L

0.45 L

0.36 L

-

-

0.49 L

0.24 L

P P

P = qL q = cte

P = PA+ qL

q = cte

PA

q = cte e simétrico

P = qL/2 P = qL/2

P = qL q = cte


Comprimento EfetivoComprimento Efetivo


Coeficientes de EngastamentoCoeficientes de Engastamento

Restrições de Rotação

nas Extremidades:

a) Numa Extremidade

b) Iguais, em Ambas as Extremidades

2

2

2

2

' LEIc

LEI

Pcr

2

'

L

Lc


Coeficientes de EngastamentoCoeficientes de Engastamento

Restrições de

Rotação

Distintas nas

Extremidades


Métodos de EnergiaMétodos de Energia

O Método da Conservação da Energia

O Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total

Cálculo de Variações

O método de Rayleigh-Ritz

O método de Galerkin


O Método da Conservação da EnergiaO Método da Conservação da Energia

Trabalho das Forças Externas

dsdw

dxs

L

L’

PP

z, w

x, u

PWPdx

dxdw

dwdxds

21222 1



PWP dxdxdw

dwdxds

21222 1

dxdxdw

dxdxdw

dxdw

ds

242

21

1...81

21

1

dxdx

dwLdx

dx

dwdxdsL

LLL L2

'

0

2'

00

'

0 2

1'

2

1

LL' como ; 21

'2

'

0

dx

dxdw

LLL

dxwPdxdxdw

PWLL

P

2

0

2

0 '21

21

flexão

)( 0axial LuPdx

dxdu

PWL

P


Energia de DeformaçãoEnergia de Deformação

212

2

2

2

11

2

001

21

21

dxdw

dxwd

z

dxdw

dxdu

dxdu

dxdu

x

2

11

2

11 21

021

dxdw

dxdu

dxdw

dxdu

2

2

0 dxwd

zdxdu

x VV

dVEdVU 21

21 2


Energia de DeformaçãoEnergia de Deformação

dxdAzdx

wdEdxzdA

dxwd

dxdu

E

dxdAdxdu

EdVdx

wdz

dxdu

EU

A

L

A

L

A

L

V

2

0

2

02

2

0 2

2

0

0

2

0

2

2

2

0

21

21

21

yAAAIdAzzdAAdA 2 ; 0 ;

L

y

Ldx

dxwd

xEIdxdxdu

xEAU0

2

2

2

0

2

0

)(21

)(21

dxxEI

MdxwxEIU

LL

0

2

0

2flexão )(2

1")(

21 dxuxEAU

L

0

20axial ')(

21


O Método da Conservação de EnergiaO Método da Conservação de Energia

dxwP

dxxEIxM

dxwxEIWULLL

P

2

00

2

0

2

flexão flexão '2)(

)(21

")(21

dxw

dxxEIxM

dxw

dxwxEIP L

L

L

L

0

2

0

2

0

2

0

2

cr

'

)()(

'

")(

Lx

Lx

axw 1)(22

23

0

2

0

2

2

cr

12

3

4

1

2

LEI

La

aLEI

dxLx

La

dxLa

EIP

L

L

Exemplo

A comparação com o valor exato, 2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 21%.


O Método da Conservação de EnergiaO Método da Conservação de Energia

Lx

Lx

axw 1)(

A comparação com o valor exato, 2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 1,3%.

dxw

dxEI

Pw

dxw

dxxEIxM

dxw

dxwxEIP L

L

L

L

L

L

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

''

)()(

'

")(

22

2

0

2

0

2

0

20

2

cr

10

30

3

1

1'

LEI

EILaL

a

dxEI

Lx

Lx

dxLx

La

dxEIw

dxwP

L

L

L

L


O Método de Conservação de EnergiaO Método de Conservação de Energia

12)(

23

Lx

Lx

Lx

axw

22

3

2

0

2

0

2

cr

882.9

3517

1572

'

")(

LEI

La

La

EI

dxw

dxwxEIP L

L

22

2

0

20

2

cr

871.9

639 31

3517

'

LEI

EILa

La

dxEIw

dxwP

L

L

Erro de 0,13%

Erro de 0,014%


O Princípio do Valor Estacionário do Potencial TotalO Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total


u u

We We

P

... ... 21 2 eee WWuPuPW

iiS zyxV zyxe DPdSwvudVwXvXuXW

Se o corpo é elástico linear, o trabalho

é dado pela expressão We = ½ P u.



F F

Energia de Deformação

... ... 21 2 FFeF

dVdddUV xyxyyyyyxxxx

xx xyyy

......0 00

zxzxzxxxxxxxuuu ..... ; ... ;



Energia de Deformação

zxzxyyyyxxxx

zxzx

yyyy

xxxx

FFFF

...

...

etc. , pois , yy

xxxx

yyσFF

dVUv zxzxyzyzxyxyzzzzyyyyxxxx


Energia de Deformação - Particularização

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

zz

yy

xx

E

221

221

221

1

1

1

211

dVGEdVEU

VV

xyxx

21

122

1 222

2

dVGE

dVE

UVV xyxx

22

22

21

121

21

12E

G

Unidimensional


Energia de Deformação - Particularização

Estado Plano de Tensões 0 zxyzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

yyxxzzzxyz

E

E

1211

; 1211

; 21

2 ; 0

dVE

UV xyyyxxyyxx

21

212

2222

dVE

UV xyyyxxyyxx 122

21 222



O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: “um corpo elástico de dimensões finitas está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário” e pode ser expresso na forma

UWe VWe

0 aindaou 0ou VUVUVU

Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: “Uma estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários”.

Forças conservativas



Resumo – ExemploSeja, . A condição de equilíbrio é dada por . A natureza da equação do equilíbrio é dada por

M

k

v

p

vveq

Mínimo

estávelvkk

MgvvMgvkv

MgvkvVU

P

P

P

0

0

21

22

2

VU p

0p

Neutro Sela Ponto 0

Instável Máximo 0

Estável Mínimo 0

p2

g


Cálculo de VariaçõesCálculo de Variações

dxwwwxFIx

x ",',,

2

1Deseja-se achar o extremo de

0 ""

''w

F2

1

dxw

wF

wwF

wIx

x

wdxd

dxwd

wwdxd

dxdw

w 2

2

2

2

" e '

0 "'w

F2

12

2

dxw

dxd

wF

wdxd

wF

wIx

x

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

xvduuvudv



2

1

2

1

2

1 '''

x

x

x

x

x

xwdx

wF

dxd

wwF

dxwdxd

wF

2

1

2

1

2

1

2

12

2

2

2

"

'"

"

x

x

x

x

x

x

x

xwdx

wF

dxd

wwF

dxd

wwF

dxwdxd

wF

0'"

'"

'"

2

1

2

1

2

1

2

2

x

x

x

x

x

x

wdxwF

wF

dxd

wF

dxd

wwF

wF

dxd

wwF

I



0'"

'"

'"

2

1

2

1

2

1

2

2

x

x

x

x

x

x

wdxwF

wF

dxd

wF

dxd

wwF

wF

dxd

wwF

I

212

2

para 0'"

xxxwF

wF

dxd

wF

dxd

Equação

de Euler

0w ou ou e

ou , ou , em

0w ou ou e

ou , ou , em

0'"

0'0"

0'"

0'0"

2

1

wF

wF

dxd

wwF

xx

wF

wF

dxd

wwF

xx

Possíveis condições

de contorno


Cálculo de Variações - ExemploCálculo de Variações - Exemplo

k

kP

x

P

EI(x)

L

z, w

Coluna com suportes elásticos – Formulação do Problema

kz(x)

dxwPWV

dxwxkUwkU

wkUdxwxEIU

L

P

L

zkzk

k

L

2

0

0

22

22

0viga

'21

)(21

; )0(21

; )0('21

; ")(21


Coluna com Suportes Elásticos - FormulaçãoColuna com Suportes Elásticos - Formulação

0)( ''

''- "")()(

0

00

00

dxwwxkwkwwwk

dxwPwdxwwxEIVU

L

z

LL

0 )("")(

'''")('")(

0 2

2

00

00

dxwwxkPwwxEIdxd

wkwwwkwPwwxEIdxd

wwxEI

L

z

LL

0ou 0'")(ou , e

0ou , 0")(ou , em

0ou 0'")(ou , e

0ou , 0")('ou , 0 em

0 para 0)()(

δwPwwxEI

w' wxEILx

δwkwPwwxEI

w' wxEIwkx

LxwxkwPwxEI z


Problema de Auto-Valor de 4a. Ordem - SoluçãoProblema de Auto-Valor de 4a. Ordem - Solução

0ou 0'")(ou , e

0ou , 0")(ou , em

0ou 0'")(ou , e

0ou , 0")(ou , 0 em

0 para 0)(

δwPwwxEI

w' wxEILx

δwPwwxEI

w' wxEIx

LxwPwxEI

EIP

kCxCkxCkxCxw 24321 com cossen)(

0

0

0

0

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

C

C

C

C

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

0 det a


Problema de Auto-Valor: Caso EspecialProblema de Auto-Valor: Caso Especial

0")(

0''")(

BAxPwwxEI

APwwxEI

0 0)()(" , em

0 0)0()0(" , 0 em

ALwLwLx

Bwwx

LxPwwxEI 0 para 0"")( "

Coluna simplesmente apoiada

0)( 0)0(

0")(

Lww

PwwxEI

0

0" 0)('

0 0)0(" 0)0(

A

EI(x)wdxd

Lw

Bww

Lx

x

w

P

Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço

0)(' 0)0(

0")(

Lww

PwwxEI


Potencial de Cargas Concentradas e DistribuídasPotencial de Cargas Concentradas e Distribuídas

p x(x)

Pk

d

x

xk

Ponto de deslocamento horizontal nulo

dxwPdxwPWVkk x

k

x

k

2

0

2

0PkPk '21

'21

dxdwxpV

dwdxxpdwdxxpdWdV

L x

xx

x

)(' )( 21

)(')(21

)(')(21

0 0

2xpx

0

2x0

2pxpx

dxdwxpdxw'PVVVL xK

k

x

k

K

k

)(' )( 21

21

0 0

2x

10

2px

1Pk

k

dxdwxhPp

dxw'PPP

VL xK

k

xk )(' )(

2

0 0

2

1

0

10

2

1

1 k


O Método de Rayleigh-RitzO Método de Rayleigh-Ritz

dxdwxhPp

dxw'PPP

xwkxwkdxwxkdxwxEIVU

L xK

k

xk

M

m

LL

)(' )( 2

)(')(21

21

")(21

0 0

2

1

0

10

2

1

1

1

2mrm

2msm

2

0 z

2

0

k

)( 1j

xwcw(x) j

n

j

wj(x) são funções assumidas que neces-

sariamente têm de satisfazer as condições de contorno geométricas do problema.

ii

n

i i

ccc

VUVU os sejam quequalquer 0

1

ni

cVU

i

,...2,1 0


O Método de Rayleigh-RitzO Método de Rayleigh-Ritz

nic

VU

i

,...2,1 0

nidxdc

wwxh

Pp

dxcw

wPP

P

cxw

xwkcxw

xwkdxcw

wxkdxcw

wxEI

L x

i

K

k

x

i

k

M

m iii

LL

i

,...2,1 0 )('

)(' )( '

'

)(')('

)()(

"")(

0 01

0

10

11

1

mmrm

mmsm0 z0

k

nicbPcan

jjij

n

jjij ,...,2,1

11

1

cbPca 1

dxdwwxhP

pdxww

P

Pb

xwxwkxwxwk

dxwwxkdxwwxEIa

L x

jj

K

k

x

jik

ij

M

mjiji

ji

LL

jiij

)()( )(

)()()()(

)(

0 0

''

1

0

10

''

1

1m

'm

'rmmmsm

0 z0

""

k


O Método de Rayleigh-Ritz: Caso EspecialO Método de Rayleigh-Ritz: Caso Especial

Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos correspondentes na expressão dos a ij). Se

a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, uma extremidade livre e a outra engastada, os podem ser

expressos em termos de em vez de . ija

ji ww e "" e ji ww

)(" que modo de ")(

xEIPw

wPwwxEI

caPcb 1

dxxEI

wwa

L jiij 0 )(

dxdwwxhP

pdxww

P

Pb

L x

jj

K

k

x

jik

ij )()( )( 0 0

''

1

0

10

''

1

k


Método de Rayleigh-Ritz: ExemploMétodo de Rayleigh-Ritz: Exemplo

P

L/2 L/2 L/2 L/2L

EI0

2EI0EI0 EI0

2EI0

Coluna de Seção Variável

x x

n

jj L

xjcxw

1 2)12(

sen)(

41

83

2sen

21

2sen

182

cos4

02/

2

0

2

0

2

011

2

0

22

2

11

EIL

dxLx

EIdx

Lx

EIa

Ldx

Lx

Lb

L

L

L

L

20

cr

18.4L

EIP 2

0exato-cr

135.4L

EIP

P P

Erro de 0,97%


Método de Rayleigh-Ritz - ExemploMétodo de Rayleigh-Ritz - Exemplo

Viga de Seção Variável - Solução com dois Termos

0

121

83

89

4

441

83

8detdet

0

2

0

00

2

EIPL

LEIPL

EIPL

EIPL

LaPb

01123.0775.370.13 2 30

PLEI

Isto dá , 2415.0 20

cr

14.4

L

EIP

exata em até três dígitos significativos


Método de GalerkinMétodo de Galerkin

dxwwwxFIx

x ",',,

2

1

0'"

'"

'"

2

1

2

1

2

1

2

2

x

x

x

x

x

x

wdxwF

wF

dxd

wF

dxd

wwF

wF

dxd

wwF

I

)( 1j

xwcw(x) j

n

j

0'"

'"

"

2

1

2

1

2

1

1j2

2

1j1j

'

x

x

n

jj

x

x

n

jj

x

x

n

jj

dxcwwF

wF

dxd

wF

dxd

cwwF

wF

dxd

cwwF

njdxwwF

wF

dxd

wF

dxd

wwF

wF

dxd

wwF

x

x j

x

x

j

x

x

j

,...1 0'"

'"

"

2

1

2

1

2

1

2

2

'


Método de GalerkinMétodo de Galerkin

njdxwwF

wF

dxd

wF

dxd

wwF

wF

dxd

wwF

x

x j

x

x

j

x

x

j

,...1 0'"

'"

"

2

1

2

1

2

1

2

2

'

Se os wj(x) satisfizerem todas as condições

de contorno, os dois primeiros termos da equação acima se anulam identicamente e

njdxwwedxwwF

wF

dxd

wF

dxd x

x j

x

x j ,...1 0)('"

2

1

2

12

2

Erro na satisfação da equação de Euler é feito ortogonal às funções de base wj(x) no domínio


Coluna Sujeita a Grandes DeflexõesColuna Sujeita a Grandes Deflexões

dw

dsdx

REI

Pw dsd

R1

0Pwdsd

EI

212

2

2

212

2

2

2

2

2

2

1

sen1cos1

cos sen

dsdw

dswd

dswd

dswd

dsd

dsd

dswd

dsdw


Coluna Sujeita a Grandes Deflexões -GalerkinColuna Sujeita a Grandes Deflexões -Galerkin

0

1

212

2

2

wEIP

dsdw

dswd

0 ... 43

21

142

2

2

w

EIP

dsdw

dsdw

dswd

021

12

2

2

w

EIP

dsdw

dswd

Lsj

ww(s)n

j

sen

1j

Ls

Lw(s)w

Ls

Lw(s)w

Ls

ww(s)

sen" ; cos' ; sen2

111

Ls

Lw

PP

Ls

Lw

Ls

Lw

EIL

PLs

Lwse

E

22

21

2

1

22

212

2

1

cos21

1sen

cos21

1sen)(



0cossen21

sen1

0sen)(

0

222

21

22

1

0

dsLs

Ls

Lw

Ls

PP

Lw

dsLs

se

L

E

L

24

12cos1

41

cossen ; 2L

sen0

2

0

22

0

2 LLdxdx

Lx

dxLx

Lx

dxLx LLL

0161

12

cossen21

sen12

210

222

21

2

L

wPPL

dxLx

Lx

Lw

Lx

PP

E

L

E

12

21

EPP

Lw



31

91

13821

EPP

Lw

0 ... 43

21

142

2

2

w

EIP

dsdw

dsdw

dswd

Ls

ww(s)

sen1


Coluna Carregada ExcentricamenteColuna Carregada Excentricamente

EIP

kekwkw

wePEIw

222 onde , "

ou 0"

ekxBkxAxw cossen)(

kLkL

eALw

eBw

sencos1

0)(

0)0(

1sen

sencos1

cos)( kxkL

kLkxexy

1

2sec1

2sec

EPP

ekL

e


Coluna Carregada ExcentricamenteColuna Carregada Excentricamente

Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente


Coluna com Forma ImperfeitaColuna com Forma Imperfeita

EIPkwkwkw 20

22 com , "

kxBkxAxwc cossen)(

1

0 sen)(n

n Lxn

wxw

dxL

xmxw

Lw

L

m 0

0 sen)(2

1

22 sen"n

n Lxn

wkwkw

1

sen)(n

np Lxn

cxw



111 2

2

22

2

2

PP

n

w

Ln

k

w

kL

n

kwc

E

nnnn

Lxn

PP

n

wkxBkxAxw

n E

n sen

1cossen)(

1 2

1

22 sen"n

n Lxn

wkwkw

Lxn

wAxwn

nn

sen)(

1

1

1

2

PP

nA

En

L

xnwAxwxwxw

nnnT

sen1)()()(

10



L

xnw

n

Aw

L

xwxw

Lxw

nn

nT sen

1)()()(

1

0

P/PE A1 A2 A3

0.00.40.80.9

0.951.0

0.00.6674.009.5020.0

0.00.1110.250.290.330.33

0.00.0470.080.110.120.13

E

T

PPw

LLw

1)2(


Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)


Forma Imperfeita – Teoria Não-LinearForma Imperfeita – Teoria Não-Linear

0212

2

2

1

wEIP

wEIP

dsdw

dswd

E

ET

PPPP

LLw

34122)2/(


Colunas Imperfeitas - ObservaçõesColunas Imperfeitas - Observações

1) A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições tendendo a zero, até que P = PE ;

2) Em P = PE as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem

rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade; 3) Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavel-mente até que P se aproxime de PE. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se

aproxima de PE , seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero;

4) As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P PE ;

5) As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual a curvatura é aproximada por d2w/dx2 ; 6) Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.


Colunas Imperfeitas - ConclusõesColunas Imperfeitas - Conclusões

A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma análise não-linear relativamente complicada.

Um critério alternativo de estabilidade que pode ser enunciado como “a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema levemente imperfeito tendem a infinito”. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas laterais).

Em placas e cascas a carga de colapso pode ser sensivelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob pequenas deformações.


Flambagem Inelástica de ColunasFlambagem Inelástica de Colunas


Flambagem Inelástica de ColunasFlambagem Inelástica de Colunas

as fibras do lado côncavo comprimem, portanto segundo o módulo tangente Et , e as fibras do lado

convexo estendem, portanto segundo o módulo de elasticidade E . Uma situação de carga constante durante a flambagem (como aquela da teoria linearizada de Euler para flambagem elástica) exige que haja reversão de tensões no lado convexo.

todas as fibras continuam comprimindo ao se dar a flexão, de modo que o módulo efetivo para a seção é o módulo tangente Et. Isto só é possível, se a carga

continua aumentando durante a flambagem;

?


Flambagem Inelástica de Colunas - HistóricoFlambagem Inelástica de Colunas - Histórico

1759 - Teoria de Euler Início S IXX Ensaios mostram que teoria de Euler é não conservativa para colunas curtas 1845- Lamarle mostra que teoria de Euler vale no regime elástico1889- Considère e Engesser, independentemente, mostram que teoria de Euler vale para

colunas esbeltas; vale também para colunas curtas se E é substituído por um módulo

efetivo Engesser – módulo tangente Considère – módulo duplo (ou reduzido)1910 Von Karman re-deriva a teoria do módulo duplo e ensaios a substanciam – a teoria do módulo duplo passa a ser aceita universalmente (30 anos)


Flambagem Inelástica de Colunas - HistóricoFlambagem Inelástica de Colunas - Histórico

Anos 1940 Extenso programa de ensaios em colunas em liga de alumínio pela indústria aeronáutica

mostra a carga mais próxima àquela dada pelo módulo tangente do que Von Karman Críticos culpam as imperfeições iniciais e pobre controle sobre as condições de contorno pelas cargas menores obtidas nestes ensaios

Indústria passa a utilizar a teoria do módulo tangente porque as condições dos testes eram típicas de condições operacionais

1947 Shanley resolve a questão


Modelo de ShanleyModelo de Shanley

rígida


Flambagem Inelástica - ConclusõesFlambagem Inelástica - Conclusões A carga do módulo reduzido satisfaz o critério clássico de estabilidade – coluna reta e fletida coexistindo sem aumento de carga; A carga do módulo reduzido corresponde a um ponto de equilíbrio instável e realizável em laboratório somente em condições especiais; o seu cálculo é complicado Carga máxima está entre os valores fornecidos pelas teorias dos módulos tangente e duplo Carga máxima está mais perto do valor dado pela teoria do módulo tangente Engenheiro está interessado na carga última sob imper- feições e não no ponto de bifurcação A carga do módulo tangente é conservativa para colunas retas ou com pequenas imperfeições; cálculo simples

USAR A TEORIA DO MÓDULO TANGENTE


Teoria do Módulo TangenteTeoria do Módulo Tangente

2

2

2

2

cr' L

IEc

L

IEP tt

O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depender do módulo: Et deve ser utilizado ao invés de E.

2

2

2

2

c'

L

Ec

L

EF tt

AI

AI 2


Módulo Tangente: Uso de Ramberg-OsgoodMódulo Tangente: Uso de Ramberg-Osgood

17.0731

1

nt

FFnE

E


Uso do Modelo de Ramberg-OsgoodUso do Modelo de Ramberg-Osgood2

2

7.01

7.0

22

7.01

7.0

7.0

73

1

1'

73

1

1

LFEc

FFnLF

E

FFnF

Fn

c

n

c

c

7.0

c

F

F

'1 7.0 L

E

FB

Função de


Flambagem Inelástica – Formulas EmpíricasFlambagem Inelástica – Formulas Empíricas

n

co

LFF

'c

2tr

2

tr

c'

'

L

ELFF

n

co

21

tr22

21

' ;

21

2

nFEL

nFEn

E

con

con

coco

co FEL

FEL

FFn3'

; '385.0

1 1 c

co

coco F

ELE

LFFFn

2' ;

4

'1 2 2

2

c

Parábola de

Johnson

Fórmula da Reta

3tr

21-n

tr '

2'

L

ELn


Exemplo 1Exemplo 1

A figura mostra um membro forjado de seção em I, de 30 in de comprimento, que é utilizado como um mebro em compressão. Consi-derando que o coeficiente de engastamento para flexão em torno do eixo x-x é 1 e aquele para flexão em torno do eixo y-y é 1.5, ache as tensões e cargas admissíveis se o membro é manufaturado dos seguintes materiais:

Caso 1: Liga Al 7079-T6 forjado ma- Nualmente; temp. ambiente; Caso 2: como no Caso 1, mas sujeito a ½ hora na temp. 300o F; Caso 3: como no Caso 2, mas 600o F; Caso 4: Aço Inox 17-4 PH, forjado ma- nualmente; temp. ambiente


Exemplo 1Exemplo 1

Cálculo de Ix: Considere inicialmente considerada um

retângulo de dimensão 2.5” x 2.75” e subtraia as contribuições das porções (1) e (2):(no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais)

42

33

in 03.3325.0

375.12

25.025.14

25.175.0121

2 - 2.75 5.2 121

xI

2in 375.42

25.025.1425.175.0275.25.2 A

in 83.0375.403.3 x


Exemplo 1Exemplo 1Cálculo de Iy:

432

233

in 58.136

25.125.0325.1

25.12

25.025.14-

875.075.025.175.025.1121

2 - 2.5 75.2 121

yI

in 60.0375.458.1 y

Para falha em torno do eixo

3683.030' in 30130' : xLcLLx

4160.06.24' in 6.245.130' : yLLy Para falha em torno do eixo

Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L’/ = 41.


Exemplo 1Exemplo 1Caso 1:

Fc=50.5 ksi, donde P = 220 kips

Caso 2:

Fc=40.4 ksi, donde P = 177 kips

Caso 3:

Fc=6.1 ksi, donde P = 26.7 kips

sujeitando este membro a uma temperatura de 600o F durante ½ hora reduz a sua resistência de 220 kips à 26.7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande.


Exemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-OsgoodExemplo 2: Uso do Modelo de Ramberg-Osgood Caso 1: temp. amb.: Ec = 10500 ksi, F0.7 = 59.5 ksi, n = 26, Fcy = 59 ksi

A Fig. 2-41: Fc/F0.7 vs. B para n = 26:

O resultado é praticamente o mesmo obtido no exemplo anterior!

Caso2: ½ h. a 300oF: Ec = 9400 ksi, F0.7 = 46.5 ksi, n = 29, Fcy = 47 ksi

A solução numérica fornece Fc/F0.7 = 0.880. A solução via Fig. 2.41 é

ksi 6.50 85.0 982.04110500

5.591

7.0

cc F

FF

B

ksi 9.40 88.0 918.0419400

5.461

7.0

cc F

FF

B

2

7.0

21

7.0

7.0 '

73

1

1

LFE

FFnF

Fn

c

c Calculadora ou processo iterativo, resulta em Fc/F0.7 = 0.854, ou Fc =

50.8 ksi.


Exemplo 3Exemplo 3

64 ;4 42 dIdA

41

21 in 0491.0 ;in 7854.0 IA

A figura mostra uma coluna de seção variável, simplesmente apoiada. O membro é usinado de uma barra extrudada de 1 in de diâmetro, feita em liga Al 7075-T6. O problema consiste em achar a carga admissível para o membro. As propriedades da seção podem ser calculadas através das expressões

Desta forma, tem-se E1 = E2 = 10500 ksi

Porção 1: Porção 2: 4

22

2 in 0155.0 ;in 4418.0 IA


Exemplo 3Exemplo 3

0.7 12-2 Fig.

5.06030

; 17.30155.0105000491.010500

2

1

BLa

EIEI

kips 00.160

0491.010500722

1 L

BEIPcr


Exemplo 4Exemplo 4A figura mostra a coluna do exemplo anterior com as dimensões longitudinais encurtadas para 1/5 dos comprimentos originais. Não há alterações no que tange o material e seções transversais. Propriedades da extrusão Al 7075-T6: Ec = 10500 ksi, F0.7 = 72 ksi, n = 16.6,

Fcy = 70 ksiin 219.0 in 1875.0

;in 25.0 4

16

médio2

1

2

ddAI

P = Fc A = 33.5 x 0.7854 = 26.3 kips ;

f1 = 33.5 ksi e f2 = 26.3 / 0.4418 = 59.5 ksi

Com L’/r = 12 / 0.219 55, obtém-se Fc = 33.5 ksi. Portanto,

Acima do Limite de Proporcionalidade

Método Iterativo


Exemplo 4Exemplo 4Porção 1: f1 / F0.7 = 33.5 / 72 = 0.465 Et1 = E = 10.500 ksi

Porção 2: f2 / F0.7 = 59.5 / 72 = 0.826 Et2 = 0.735 E = 7.700 ksi

8.5 12-2 Fig. 5.0126

; 32.40155.077000491.010500

2

1 B

La

EIEI

Pcr = 5.8 x 10500 x 0.0491 / 122 = 20.8 kips.

P=26.3

Porção 1: f1 / F0.7 = 30.05 / 72 = 0.417 Et1 = E = 10.500 ksi

Porção 2: f2 / F0.7 = 53.42 / 72 = 0.742 Et2 = 0.735 E = 9.840 ksi

7.6 12-2 Fig. 5.0126

; 38.30155.098400491.010500

2

1 B

La

EIEI

Pcr = 6.7 x 10500 x 0.0491 / 122 = 24 kips.

P=23.6 f1 = 23.6 / 0.7854 = 30.05 ksi e f2 = 23.6 / 0.4418 = 53.42 ksi

2a. Iteração

EST 43 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer.,...

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