EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer.,...

EST 41 / AE 213 - ESTABILIDADE DE ESTRUTURAS AERONÁUTICAS – Autor: Prof. Paulo Rizzi - Eng. Aer., Ph. D.

Capítulo 3Capítulo 3

FLAMBAGEM TORSIONAL

DE COLUNAS


Flambagem Torsional de ColunasFlambagem Torsional de Colunas


Torsão de St. VenantTorsão de St. Venant

dzd

GJT

iiitbJ 3

31


Torsão Não-UniformeTorsão Não-Uniforme

3

3

dzd

ETw

Restrição ao empenamento resulta num sistema auto-equilibrado de tensões axiais: Bi-momento

3

3

dzd

Edzd

GJT wSV TTT


Energia de Deformação de TorsãoEnergia de Deformação de Torsão

Torsão de St. Venant

TddU SV 21

dzGJT

dUdzGJT

d SV

2

21

dzdzd

GJdU SV

2

21

dzdzd

GJUL

SV

2

021

Torsão Não-Uniforme

dzdzd

EUL

W

2

0 2

2

21

3

3

dzd

ETw

Torsão Total

dzdzd

Edzdzd

GJULL

2

0 2

22

0 21

21


Cinemática da Flambagem TorsionalCinemática da Flambagem Torsional

A b dAV dz

dzvd

dzud

dzvdudds

212221222 1

LSdz

dzvd

dzud

Sds0

22

01

21

21

L

b dzdzvd

dzud

LS0

22

21


Potencial da Carga AxialPotencial da Carga Axial

cos ; sen rbra

xryr cossen e

xbya e

xvvyuu ;

L

b dzdzd

dzdv

xdzd

dzdu

ydzd

yxdzdv

dzdu

0

222

22

2221

L

AdAdz

dz

d

dz

dvx

dz

d

dz

duy

dz

dyx

dz

dv

dz

duV

0

222

22

222

1


Potencial Total para Flambagem TorsionalPotencial Total para Flambagem Torsional

L

AdAdz

dz

d

dz

dvx

dz

d

dz

duy

dz

dyx

dz

dv

dz

duV

0

222

22

222

1

A AAA

ArdAyxAxxdAAyydAAdA ; ; ; ; 20

2200

Ldz

dzd

dzdv

xdzd

dzdu

ydzd

rdzdv

dzduP

V0 00

22

0

22

222

dzdzd

EΓdzdzd

GJdzdz

vdEIdz

dzud

EIULLL

x

L

y

2

0 2

22

0

2

0 2

22

0 2

2

21

21

21

21


Flambagem Flexo-TorsionalFlambagem Flexo-Torsional

0

0

0

2

2

02

2

02

22

02

2

2

2

2

2

02

2

2

2

2

2

2

2

02

2

2

2

2

2

dzvd

Pxdz

udPy

dzd

Prdzd

GJdzd

dzd

Edzd

dzd

Pxdz

vdP

dzvd

EIdzd

dzd

Pydz

udP

dzud

EIdzd

x

y

Equações de Euler - Equilíbrio


Flambagem Flexo-TorsionalFlambagem Flexo-Torsional

0ou 0''')'"()''(

0ou 0'')'"(

0ou 0'')'"(

0'ou 0"

0'vou 0"

0'ou 0"

002

0

0

0

vPxuPyPrEGJ

vPxPvvEI

uPyPuuEI

E

vEI

uuEI

y

y

x

y

Possíveis Condições de Contorno


Solução para Coluna Simplesmente ApoiadaSolução para Coluna Simplesmente Apoiada

sen ; sen ; sen 121 Lz

CLz

CvLz

Cu

Lzdzd

dzvd

dzud

Lzvu

e 0 em 0

e 0 em 0

2

2

2

2

2

2

0320312

2

22

0232

2222

221

2

221

CC 4

PxCCPyCCPL

EGJ

rrCP

L

EIP

L

EI

L

πVU

o

xy

2

2

22

2

2

2 1 ; ;

LE

GJr

PL

EIP

L

EIP

o

yy

xx

0320312

023

22

21

2

22CC 4

PxCCPyCCPPrCPPPPL

πVU xy

Rayleigh-Ritz



0

se, somente e se , be, sejam quequaisquer

0

321

321

33

22

11

CVU

CVU

CVU

CCC

CC

VUC

CVU

CC

VUVU

0

0

0

0

0

3

2

1

2000

0

0

C

C

C

PPrPxPy

PxPP

PyPP

x

y

020

20

2

20

20

2

r

yPPP

r

xPPPPPPPPP xyxy

PPPP yxcr ,,min

2

2

22

2

2

2 1 ; ;

LE

GJr

PL

EIP

L

EIP

o

yy

xx



20

20

20

2

2

20

0

2

20

1

20

20

2022

012

23

ou centróide, ao relação empolar giração de raio o é onde e

1

onde , 0

yxrA

IIr

r

PPPr

ra

PPPPPr

ra

PPPrPyPxr

a

aPaPaP

yx

yx

yxyx

yxxy

320211

223

1

2

2279541

; 331

; cos

34

cos,32

cos,3

cosmin onde

, 3

2

aaaaHaaDDH

S

aDSPcr


Coluna de Seção com um Eixo de SimetriaColuna de Seção com um Eixo de Simetria

020

20

2

rxP

PPPPPP xy

2

0

0

2

2

1 com

421

r

xk

PkPPPPPk

P

L

EIPP

xxxFT

yycr


Flambagem Inelástica e Outras C. de ContornoFlambagem Inelástica e Outras C. de Contorno

2

2

20

2

2

2

2 1 ; ;

L

ΓEJG

rP

L

IEP

L

IEP t

ty

yty

x

xtx

O cálculo da carga crítica deve ser feito por um processo iterativo:

a) suponha a coluna falhando no regime elástico: E, G

b) use as Eqs. (3.38), (3.31) e (3.32) para achar Pcr

c) calcule as tensões normais e de cisalhamento: fn = Pc r/ A, fs = fn / 2

(lembra do círculo de Mohr? A tensão máxima de cisalhamento para um estado uniaxial de tensão normal é a metade desta!)

d) calcule Et e Gt aplicáveis nestes níveis de tensão (o modelo de

Ramberg-Osgood pode ser utilizado para este fim) e reinicie de b)

O processo pode ser terminado quando a diferença relativa entre cargas críticas calculadas em dois passos sucessivos for menor do que 2%.


Tratamento de Caso PráticoTratamento de Caso Prático


Constante Elástica em TorçãoConstante Elástica em Torção

WL

IEk

L

IEK

IE

MLL

LxL

IEM

x

st

stst

st

stst

stst

stst

st

st

stst

12

12

12

2 346

)(2

KM


Constante Elástica em Translação - kConstante Elástica em Translação - kxx

xttotal

totalx

KP

KP

stst

stst

stst

st

st

stt

EAPLL

EAP

LE

L

422

22

stst

st

IEPeL

12

stst

st

IE

LPee

12

2

2

2

312

3

12

eAIWLIAE

k

eAILIAE

K

ststst

stststx

ststst

stststx


Constante Elástica em Translação - kConstante Elástica em Translação - kyy

stst

st

IE

PL

48

3

33

48

48

st

ststy

st

ststy WL

IEk

LIE

K

cossen ; sencos yxyyxx kkkkkk


Estabilidade Flexo-Torsional GeneralizadaEstabilidade Flexo-Torsional Generalizada


Solução - SímbolosSolução - Símbolos

),

),

),

),

,

),(

),,

),,

,

,

20

20

2200

2

00

2 Nota vejam (in oempenament de Constante

m (in VenantSt. de torsão de Constante

N/m (lb/in tocisalhamen de tangente módulo

N/m (lb/in tangente módulo

1) Nota veja - nal(adimensio coluna da flambagem de modo do ondas-semi de número

m) (in, torsão em flambagem para coluna da efetivo ocompriment

m) (in, flexão em flambagem para coluna da efetivo ocompriment

m) (in, tocisalhamen de centro ao relação em polar giração de raio

m) (in, centróide ao relação em polar giraçao de raio

m in ltransversa seção da área

m (in inércia de principais momentos

N/rad) lb/rad, ocompriment de unidade por torsional rigidez

N/m (lb/in ocompriment de unidade por naltranslacio rigidez

m) (in, elásticas restrições das fixação de ponto do scoordenada

m) (in, tocisalhamen de centro do scoordenada

66

44

22

22

22

44

22

Γ

J

G

E

n

L

LL

yxrrr

A

IIrr

A

II

(k

kk

yx

yx

t

t

yx

yx

yx

yx

RR


Passos da SoluçãoPassos da Solução

),;; 1-1- m (in

Ln

Ln

Ln

ny

ynx

xn

),),; 222 /radm-N /radin-(lb N (lb 22

nn

xn

yyn

yn

xxn

kK

kK

kK

),1

; 22

0

22 N (lb ; nttnynytynxnxtxn ΓEJGr

PIEPIEP

N) (lb,

; ;

m-N in-(lb

xxQyyQr

PF

KPFKPF

xxKQyyKQ

RynRxnnn

xnynynynxnxn

RynynRxnxn

0020

00

1

),;


Passos da SoluçãoPassos da Solução

)N ,(lb

)N ,(lb

N) (lb,

33

22

nynxnynynxnxn

xnnnynynxnynxnxnxnynyn

nynxnxnynxnyn

FFFr

rQFQF

ra

FFFFFFr

rQQQFyQFx

ra

FFFr

rQyQxFyFx

ra

2022

20

2022

0021

20

0020

2022

1

221

221

,

; ;

32

3

4cos,

3

2cos,

3cosmin

cos227954

13

3

1

2

313

2021122

aDSP

S

D

HaaaaHaaD

cr


Seção Ponto-Simétrica ou com 2 Eixos de SimetriaSeção Ponto-Simétrica ou com 2 Eixos de Simetria

22

222

22

01

222

020

20

1,,min

,,min;

;0;0

nntt

yn

xynyt

xn

yxnxtcr

nynxncrnynxnxnnnynynxn

nynxnynxn

kΓEJG

r

kIE

kIEP

PPPPPFFaFPPFFFa

PFFaQQrryx

ou

4

4

44

;

;

ΓE

kLn

IE

kLn

IE

kLn

IE

k

t

yt

xyy

xt

yxx

xt

yxn


ExemploExemplo

974.04 ΓE

kLn

t

tt

1-

in 15708.020

1 t

n Ln

lbs

95461

22

2

nnttcr

kΓEJG

rP

psi 600761589.0

9546 A

PF cr

cr

ksi ksi 496760 tEf

ksi ksi 388530 tGf

ksi ksi 390010500 GGEE tt

É necessário iterar


Flambagem Lateral de VigasFlambagem Lateral de Vigas

2

2

1

L

ΓEJGIEL

CM ttyty

cr

Para vigas com seção ponto-simétrica ou com dois eixos de simetria

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