14/06/2012

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Escoamento permanente

gradualmente variado

Prof. Msc. Robison Negri

Definição

Um escoamento é definido como gradualmente variado quando

os seus parâmetros hidráulicos variam progressivamente ao longo

da corrente. Quando as características variam bruscamente, diz-

se que o escoamento é bruscamente variado.

Remanso Ressalto Hidráulico

Aplicações

• A construção de uma barragem em um canal de

fraca declividade provoca uma sobrelevação do

nível d’água que pode ser sentida a quilômetros

da barragem, a montante. A nova linha d’água é

chamada de curva de remanso.

• Sendo y a altura d’água numa seção qualquer de

um escoamento variado e y0 a altura d’água no

escoamento uniforme, a diferença y-y0 é chamada

de remanso.

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Exemplos de aplicação

Linha de inundação de uma barragem

Calcular a elevação do nível d’água ocasionada por uma

barragem, estimando a área de inundação de terrenos

ribeirinhos que deverão ser desapropriados pela

companhia executora ou proprietária da obra.

Escoamento Gradualmente Variado

O movimento é gradualmente variado quando:

1. as profundidades variam gradual e lentamente

ao longo do conduto

2. as grandezas referentes ao escoamento, em cada seção, não se modificam com o tempo,

3. as distribuições de pressões são

hidrostáticas, de forma que as fórmulas do

escoamento uniforme podem ser aplicadas com aproximação satisfatória.

Pode ser …… Acelerado

Retardado

212121 ;; yyVVQQ

Hipóteses Simplificadoras

• Declividade do canal é pequena, de modo que a

altura d’água medida perpendicular-mente ao

fundo do canal pode ser confundida com a altura

d’água medida na vertical;

• Canal é prismático, ou seja, qualquer seção é

constante em forma e em dimensões;

• Distribuição de velocidades em uma seção é fixa,

isto é, o coeficiente de Coriolis pode ser

considerado igual a um;

• Distribuição de pressões em uma seção é

hidrostática, ou seja, existe paralelismo entre as

linhas de corrente do escoamento.

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Linha de energia

Io

Plano de referência

z1

z2

y1

y2

g

V

2

2

1

g

V

2

2

2

12

2

222

2

111

22H

g

Vyz

g

Vyz

12H

Equação Diferencial da Linha d’água

2

2

2gA

Q

dx

d

dx

dy

dx

dz

dx

dH

Jdx

dH I

dx

dz

dx

dy

dy

dA

Ag

Q

gA

Q

dx

d

3

2

2

2 2

22

2

2

2gA

QyzH

2

22

22 gA

Q

g

VComo:

A Energia é:

Ajustando fisicamente a diferencial….

BdyBdA

dx

dy

gA

BQ

gA

Q

dx

d3

2

2

2

2

Resulta em…..

dx

dy

gA

BQ

dx

dyIJ

3

2

3

2

1gA

BQ

JI

dx

dy

21 rF

JI

dx

dy

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Equação Diferencial do Escoamento

Gradualmente Variado

21 rF

JI

dx

dy

• Não Têm solução explícita, ou seja, não é

integrável para se achar a solução y = f(x), exigindo métodos numéricos para sua resolução.

Análise das Soluções 21 rF

JI

dx

dy

Regime do

Escoamento

Relação LE e

Declividade

Resposta Linha d’água

Y0 < Yc Fr > 1 I>J I-J>0 dy/dx <0 Decresce

Y0 > Yc Fr < 1 I>J I-J>0 dy/dx >0 Sobe

Y0 = Yc Fr = 1 I>J I-J>0 dy/dx = ∞ Sobe

Verticalmente

Y0 = Yc Fr = 1 I<J I-J<0 dy/dx = ∞ Sobe

Verticalmente

Y0 < Yc Fr > 1 I<J I-J<0 dy/dx >0 Sobe

Y0 > Yc Fr < 1 I<J I-J<0 dy/dx <0 Decresce

Y0 < Yc Fr > 1 I=J I-J=0 dy/dx =0 Não se Altera

Y0 > Yc Fr < 1 I=J I-J=0 dy/dx =0 Não se Altera

Inclinação da Linha de Energia

Jdx

dH JRCAQ h

hRAC

QJ

22

2

Diferentes fórmulas para C

61

8

8

1 6/1

k

RgC

f

gC

Rn

C

h

hManning

Universal

Manning

Universal

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Analisando as linhas d’água

21 rF

JI

dx

dy

hRAC

QJ

22

2

3

22

2

gA

BQ

gy

VF

m

r

0

2

4

6

8

10

12

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

J

y (m)

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3y (m)

Fr

Analisando “J” e “Fr2”

Se y = y0 → J = I (escoamento uniforme)

Se y > y0 → J < I

Se y < y0 → J > I

Se y > yC → Fr2 < 1

Se y < yC → Fr2 > 1

Se y = yC → Fr2 = 1 (condições críticas)

Casos Particulares

21 rF

JI

dx

dy

0dx

dyJI

dx

dyFr 12

Escoamento Uniforme Escoamento Crítico

Classificação dos Canais Quanto à

Declividade

Canal de declividade fraca: I < Ic => y0 > yc

Canal de declividade forte ou rápida: I > Ic => y0 < yc

Canal de declividade crítica: I= Ic => y0 = yc

Canal de declividade Nula: I= zero => y0 = ∞

Canal de declividade Negativa: I< zero => y0 = Não Existe

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Classificação dos perfis

Dá-se o nome de remanso ao perfil da linha formada pela superfície livre do canal

Dependendo da declividade do fundo do canal pode-se ter 12 tipos de curvas para a linha d’água (superfície livre)

Os tipos de curva são determinados comparando-se a profundidade crítica com a normal em cada seção considerada

Escoamento Permanente Gradualmente Variado

Declividade

Profundidade

Descrição Curvas

Tipo Quantidade

Io< Ic yo> yc

Declividade fraca

(mild slope) M 3 curvas

Io> Ic yo< yc

Declividade forte (steep slope)

S 3 curvas

Io= Ic yo= yc Declividade Crítica C 2 curvas

Io= 0 Declividade nula

(horizontal) H 2 curvas

Io< 0 -

Declividade negativa

(aclive)

A 2 curvas

Tipos de Curvas de Remanso

Io>0

Escoamento Permanente Gradualmente Variado

(em canais com declividade fraca)

Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso

M1 y > yo > yc Subcrítico Elevação

M2 yc < y < yo Subcrítico Depressão

M3 y < yc < yo Supercrítico Elevação

1

2

3

Exemplo: M1

21 rF

JI

dx

dy

1Fryy

y

c

0

IJy0

)(

)(

dx

dy

Curva Crescente

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Exemplo: M2

21 rF

JI

dx

dy

1Fryy

y

c

0

IJy0

)(

)(

dx

dy

Curva Decrescente Exemplo: M3

21 rF

JI

dx

dy

1Fryy

y

c

0

IJy0

)(

)(

dx

dy

Curva Crescente

Escoamento Permanente Gradualmente Variado

(em canais com declividade forte)

Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso

S1 y > yo > yc Subcrítico Elevação

S2 yc < y < yo Subcrítico Depressão

S3 y < yc < yo Supercrítico Elevação

1

2

3

Exemplo: S1

21 rF

JI

dx

dy

1Fryy

y

c

0

IJy0

)(

)(

dx

dy

Curva Crescente

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Exemplo: S2

21 rF

JI

dx

dy

1Fryy

y

c

0

IJy0

)(

)(

dx

dy

Curva Crescente Exemplo: S3

21 rF

JI

dx

dy

1Fryy

y

c

0

IJy0

)(

)(

dx

dy

Curva Crescente

Escoamento Permanente Gradualmente Variado

(em canais com declividade crítica)

Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso

C1 y > yo = yc Subcrítico Elevação

- - Não existe esta zona

C3 y < yo = yc Supercrítico Elevação

1

2

3

Escoamento Permanente Gradualmente Variado

(em canais com declividade nula)

Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso

- Não existe esta zona

H2 y > yc Subcrítico Depressão

H3 y < yc Supercrítico Elevação

1

2

3

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Escoamento Permanente Gradualmente Variado

(em canais em aclive)

Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso

- Não existe esta zona

A2 y > yc Subcrítico Depressão

A3 y < yc Supercrítico Elevação

1

2

3

Perda de Carga Localizada

Deformabilidade da Superfície

Livre – Remanso de jusante à

montante.

Ganho de energia x equilíbrio.

Perda de Carga Localizada

Singularidades

1. Exemplo de caso: ressalto hidráulico

O ressalto hidráulico é uma desaceleração brusca do

escoamento em regime torrencial (supercrítico), passando ao

regime fluvial (subcrítico).

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Singularidades

1. Exemplo de caso: ressalto hidráulico

A soma das forças externas na direção do escoamento seja

igual à diferença entre os empuxos hidrostáticos das

extremidades do volume de controle.

Singularidades

1. Exemplo de caso: ressalto hidráulico

A partir da equação de conservação de energia, aplicada

entre as seções 1 e 2, calcula-se a perda de carga no ressalto

hidráulico:

Singularidades

1. RESSALTO HIDRÁULICO

A partir da equação de conservação de energia, aplicada

entre as seções 1 e 2, calcula-se a perda de carga no ressalto

hidráulico:

Singularidades

2. ALARGAMENTO DE SEÇÃO

A partir dos princípios de conservação de energia e da

quantidade de movimento, pode-se conduzir o seu

equacionamento.:

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Singularidades

3. ESTREITAMENTO DE SEÇÃO

A partir dos mesmos princípios:

Kest = coeficiente de perda de carga devido ao estreitamento de

seção que depende fundamentalmente da geometria da transição.

Singularidades

4. REBAIXAMENTO DE NÍVEL

A partir dos mesmos princípios:

Singularidades

4. PILARES DE PONTE

Singularidades

5. CONFLUÊNCIAS

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Singularidades

5. CONFLUÊNCIAS

Singularidades

6. BIFURCAÇÕES

Singularidades

7. EMBOQUES EM NÍVEL

Singularidades

7. EMBOQUES EM NÍVEL

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Singularidades

8. EMBOQUES A PARTIR DE VERTEDORES

Singularidades

9. MUDANÇA DE DIREÇÃO – CURVAS

10. MUDANÇA DE DECLIVIDADE