Erica da Costa Reis Carvalho - UFJF · Erica da Costa Reis Carvalho Solu˘c~ao de problemas de...

Erica da Costa Reis Carvalho

Solucao de problemas de otimizacao com restricoes usando estrategias de

penalizacao adaptativa e um algoritmo do tipo PSO

Dissertacao apresentada ao Programade Pos-graduacao em ModelagemComputacional, da Universidade Federalde Juiz de Fora como requisito parcial aobtencao do grau de Mestre em ModelagemComputacional.

Orientador: Prof. D.Sc. Afonso Celso de Castro Lemonge

Coorientador: Prof. D.Sc. Heder Soares Bernardino

Coorientadora: Prof.a D.Sc. Patrıcia Habib Hallak

Juiz de Fora

2014

Erica da Costa Reis Carvalho

Solucao de problemas de otimizacao com restricoes usando estrategias de

penalizacao adaptativa e um algoritmo do tipo PSO

Dissertacao apresentada ao Programade Pos-graduacao em ModelagemComputacional, da Universidade Federalde Juiz de Fora como requisito parcial aobtencao do grau de Mestre em ModelagemComputacional.

Aprovada em 13 de Fevereiro de 2014.

BANCA EXAMINADORA

Prof. D.Sc. Afonso Celso de Castro Lemonge - Orientador

Universidade Federal de Juiz de Fora

Prof. D.Sc. Heder Soares Bernardino - CoorientadorUniversidade Federal de Juiz de Fora

Prof.a D.Sc. Patrıcia Habib Hallak - CoorientadoraUniversidade Federal de Juiz de Fora

Prof. D.Sc. Leonardo Goliatt da FonsecaUniversidade Federal de Juiz de Fora

Prof.a D.Sc. Beatriz de Souza Leite Pires de LimaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Dedico esta dissertacao a todos os meus familiares,

em especial meus pais Ana Paula e Fernando,

e ao meu namorado Bruno.

AGRADECIMENTOS

Agradeco a Deus, em primeiro lugar, pelas bencaos e por me dar a oportunidade de

compartilhar este momento com as pessoas que amo.

Aos meus pais Ana Paula e Fernando, pelo apoio incondicional ao longo destes anos e

em todas as etapas da minha vida. Amo voces!

Ao meu namorado Bruno, que esteve ao meu lado durante todo o curso. Obrigada

por cada gesto de carinho e apoio demonstrado.

Ao meu irmao Paulo Fernando, pelo carinho e alegria.

Ao vo Nilton e vo Nıdia, pelo exemplo de sucesso e sabedoria, apoio pessoal e

profissional.

A todos os meus familiares, em especial as tias Romilda, Helena, Vera e Maura e aos

tio Victor e Lucio.

As amigas e amigos de Prados, que mesmo longe estao sempre presentes e aos amigos

que conquistei ao longo do curso. Obrigada pelos finais de semana, pelas gargalhadas e

por proporcionarem momentos unicos e especiais.

Aos meus orientadores, prof. Afonso Lemonge, prof. Heder Bernardino e profa.

Patrıcia Hallak, por todo o empenho, paciencia e atencao. Obrigada por me conduzirem

com toda a experiencia, tornando possıvel a conclusao desta dissertacao.

Aos colegas de mestrado, Daniele, Rafaela, Ana Amelia, Rafael, Jonathan, Maicon,

Bernardo e Denis. Sinto que nos percorremos este caminho juntos, nos complementando

e nos fortalecendo. Obrigada pela rica troca e cumplicidade.

Aos professores, funcionarios e colegas do programa de pos-graduacao em Modelagem

Computacional.

A CAPES, a Universidade Federal de Juiz de Fora e a FAPEMIG (Projeto TEC

528/11) pelo apoio financeiro concebido.

A todos que de forma direta ou indireta contribuiram para a realizacao deste trabalho.

Grandes mentes falam sobre ideias. Mentes medianas falam sobre coisas.

Mentes pequenas falam sobre pessoas.

Eleanor Roosevelt

RESUMO

Nos ultimos anos, varias meta-heurısticas tem sido adotadas para a solucao de problemas

de otimizacao com restricoes. Uma dessas meta-heurısticas que se torna cada vez mais

popular e a Otimizacao por Enxame de Partıculas (Particle Swarm Optimization - PSO).

O PSO e baseado na metafora de como algumas especies compartilham informacoes e,

em seguida, usam essas informacoes para mover-se ate os locais onde os alimentos estao

localizados. A populacao e formada por um conjunto de indivıduos denominado partıculas

que representa possıveis solucoes dentro de um espaco de busca multidimensinal. Neste

trabalho, sao analisados problemas classicos de otimizacao com restricoes onde um

algoritmo PSO os trata como sendo sem restricoes atraves da introducao de um metodo

de penalizacao adaptativa (Adaptive Penalty Method - APM). O APM adapta o valor

dos coeficientes de penalizacao de cada restricao fazendo uso de informacoes coletadas da

populacao, tais como a media da funcao objetivo e o nıvel de violacao de cada restricao.

Diversos experimentos computacionais sao realizados visando avaliar o desempenho do

algoritmo considerando varios problemas testes encontrados na literatura.

Palavras-chave: Otimizacao por Enxame de Partıculas. Otimizacao com restricoes.

Metodos de penalizacao.

ABSTRACT

In recent years, several meta-heuristics have been adopted for the solution of constrained

optimization problems. One of these meta-heuristic that is becoming increasingly popular

is the Particle Swarm Optimization - PSO. PSO is based on the metaphor of how some

species share information and then use this information to move to the places where food

is located. The population is formed by a group of individuals called particles representing

possible solutions within a space multidimensional search. In this thesis, classical problems

of constrained optimization where a PSO algorithm treats them as being unconstrained

by introducing a method of adaptive penalty (Adaptive Penalty Method - APM) are

analyzed. The APM adjusts the value of the penalty coefficients of each constraint using

the information collected from the population, such as the average of the objective function

as well as the level of violation of each constraint. Several computational experiments are

conducted to assess the performance the algorithm tests considering various problems

found in the literature.

Keywords: Particle Swarm Optimization. Constrained optimization. Penalties

methods.

SUMARIO

1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Otimizacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 A formulacao do problema de otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Superfıcie de restricao em um espaco de projeto bidimensional . . . . 25

2.4 Otimizacao Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Alguns exemplos de otimizacao estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1.1 Problemas com restricoes explıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1.2 Problemas com restricoes implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Algoritmos de Otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.1 Determinısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.2 Probabilısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.2.1 Algoritmos Geneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.2.2 Recozimento Simulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2.3 Sistemas Imunologicos Artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2.4 Colonia de Formigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.2.5 Colonia de Abelhas Artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.2.6 Algoritmo Vaga-lume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.2.7 Algoritmo Cuckoo Search. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.2.8 Enxame de Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Otimizacao por Enxame de Partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2 Fator de aceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Atualizacao da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Topologia das partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Problemas com restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Penalizacao Estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Penalizacao Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Penalizacao Adaptativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4.1 Estrategias de penalizacao aplicadas ao PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5 Um Metodo de Penalizacao Adaptativa (APM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5.1 Variantes do APM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Experimentos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1 Implementacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2 Perfis de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3 Analise das variantes do APM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4 Suite de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4.1 Discussao da suite de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 Problemas classicos da engenharia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5.1 Mola Sob Tracao/Compressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5.2 Redutor de Velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.5.3 Viga Soldada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5.4 Vaso de Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.5.5 Viga Engastada e Livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.5.6 Discussao dos problemas de engenharia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.6 Problemas de otimizacao estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.6.1 Trelica de 10 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86





5.6.6 Discussao dos problemas de otimizacao estrutural . . . . . . . . . . . . . . 100

5.7 Analise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

APENDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

LISTA DE ILUSTRACOES

2.1 Minimizar f(x) e o mesmo que maximizar −f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Classificacao dos problemas de otimizacao, baseada na referencia [1]. . . . . . 23

2.3 Classificacao das tecnicas de otimizacao numerica, reproduzida de [1]. . . . . . 24

2.4 Superfıcie de restricao em um espaco de projeto bidimensional, adaptada de [2]. 26

2.5 Exemplo de um problema de otimizacao dimensional. . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Exemplo de um problema de otimizacao dimensional e geometrica. . . . . . . . 28

2.7 Exemplo de um problema de otimizacao dimensional, geometrica e topologica. 29

2.8 Pilar com secao transversal em forma de tubo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1 Topologia das partıculas: (a) Topologia global (b) Topologia local, baseada de

[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Descricao da funcao f , adaptada de [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.1 Um exemplo do uso da ferramenta Perfis de desempenho. . . . . . . . . . . . . 64

5.2 Perfis de desempenho das variantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3 Perfis de desempenho utilizando o melhor valor para 5000 avaliacoes. . . . . . 68

5.4 Perfis de desempenho utilizando a media para 5000 avaliacoes. . . . . . . . . 69

5.5 Perfis de desempenho utilizando o melhor valor para 50000 avaliacoes. . . . . 70

5.6 Perfis de desempenho utilizando a media para 50000 avaliacoes. . . . . . . . . 71

5.7 Perfis de desempenho utilizando o melhor valor para 500000 avaliacoes. . . . 71

5.8 Perfis de desempenho utilizando a media para 500000 avaliacoes. . . . . . . . 72

5.9 Mola sob tracao/compressao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.10 Redutor de velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.11 Viga Soldada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.12 Vaso de pressao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.13 Viga engastada e livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.14 Perfis de desempenho utilizando o melhor valor. . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.15 Perfis de desempenho utilizando a media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.16 Trelica de 10 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87





5.21 Perfis de desempenho utilizando o melhor valor. . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.22 Perfis de desempenho utilizando a media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

LISTA DE TABELAS

2.1 Alguns dos mais importantes registros historicos na area de otimizacao estrutural. 27

4.1 Variantes propostas por Garcia et al. [5] para o APM. . . . . . . . . . . . . . 59

5.1 Desempenho dos cinco problemas obtidos atraves dos algoritmos A, B e C. . . 64

5.2 Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho do algoritmos A, B

e C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho para as variantes. . 66

5.4 Detalhes sobre o conjunto de 24 funcoes teste extraıdo de [6]. O numero de

variaveis de projeto e indicado por n, ρ e a taxa estimada entre a regiao

factıvel e o espaco de busca, ni e o numero de restricoes de igualdade e ne

e o numero de restricoes de desigualdade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando o melhor

valor para 5000 avaliacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.6 Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando a media

para 5000 avaliacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


valor para 50000 avaliacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


para 50000 avaliacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


valor para 500000 avaliacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


para 500000 avaliacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.11 Resumo das areas normalizadas para a suite de funcoes envolvendo 5000, 50000

e 500000 avaliacoes da funcao objetivo com as metricas melhor e media. . 73

5.12 Resultados encontrados para o problema da mola sob tracao/compressao. . . . 74

5.13 Comparacao dos resultados para o problema da mola sob tracao/compressao. . 75

5.14 Resultados encontrados para o problema do redutor de velocidade. . . . . . . . 77

5.15 Variaveis de projeto e peso final para o problema do redutor de velocidade. . . 77

5.16 Resultados encontrados para o problema da viga soldada. . . . . . . . . . . . . 79

5.17 Melhores resultados encontrados para o problema da viga soldada usando

diferentes metodos. Estes resultados foram extraıdos da referencia [7].

asistemas imunologicos artificiais; brecozimento simulado; calgoritmos

evolucionarios; dalgoritmo vaga-lume; eotimizacao de forrageamento

bacteriana; fbusca harmonica; gbusca aleatoria; hbusca em sistema

carregado; imodelo socio comportamental; jalgoritmo de sociedade e

civilizacao; kprogramacao geometrica; levolucao diferencial; malgoritmo T-

cell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.18 Resultados encontrados para o problema do vaso de pressao. . . . . . . . . . . 81

5.19 Resultados estatısticos para o problema do vaso de pressao. Os resultados

foram extraıdos da referencia [7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.20 Resultados encontrados para o problema da viga engastada e livre. . . . . . . 83

5.21 Problema da viga engastada e livre. Os resultados foram extraıdos da Tabela

8 da referencia [8]. aestrategia de evolucao baseada em ranqueamento

de nicho, bcontınuo/aproximado, cdiscreto preciso, daproximacao discreta

linear, eaproximacao discreta conservativa, fmetodo de penalizacao

adaptativa, gclareira. Os autores sao: Chen e Chen [9], Lamberti e

Pappalettere [10], Thanedar e Vanderplaats [11], Erbatur et. al [12],

Lemonge e Barbosa [13] e Bernardino et. al [14]. . . . . . . . . . . . . . . . 84


valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.23 Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando a media. 86

5.24 Resultados encontrados para a trelica de 10 barras (caso contınuo). . . . . . . 88

5.25 Comparacao entre os resultados da literatura e o resultado encontrado neste

estudo para o problema da trelica de 10 barras (caso contınuo), com peso

final em lb. Os autores sao: Aragon et. al [15], Barbosa e Lemonge [13],

Bernardino et. al [14] Bernardino et. al [16], Runarsson e Yao [17] e Silva

et al. [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.26 Resultados encontrados para a trelica de 10 barras (caso discreto). . . . . . . . 89

5.27 Variaveis de projeto e peso total encontrados para o problema da trelica de

10 barras (caso discreto). Os autores sao: Krishnamoorty e Rajeev [19],

Lemonge e Barbosa [13], Galante [20] e Ghasemi et. al [21]. . . . . . . . . . 90

5.28 Agrupamento para a Trelica de 25 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.29 Carregamento para a trelica de 25 barras (em kips). . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.30 Resultados encontrados para o problema da trelica de 25 barras. . . . . . . . . 91

5.31 Comparacao com os resultados da literatura para a trelica de 25 barras, com

peso final em lb. Os autores sao: Krishnamoorty e Rajeev [19], Lemonge

e Barbosa [13], Zhu [22], Erbatur et. al [12], Wu e Chow [23] e Lemonge e

Barbosa [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.32 Agrupamento para a trelica de 52 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.33 Carregamento para a trelica de 52 barras (em kN). . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.34 Resultados encontrado para o problema da trelica de 52 barras. . . . . . . . . 94

5.35 Comparacao dos resultados para o problema da trelica de 52 barras, com peso

final em Kg. Os autores sao: Lee e Geem [24], Li et. al [25] e Kaveh e

Talatahari [26]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.36 Comparacao dos resultados para o problema da trelica de 52 barras, com

peso final em Kg. As colunas 1 a 4 desta tabela referem-se aos resultados

obtidos para as variantes de um algoritmo de colonia de formigas proposto

por Capriles et. al [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.37 Carregamento para a trelica de 60 barras (em kips). . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.38 Agrupamento para a trelica de 60 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97



final em lb. Os autores sao: Barbosa e Lemonge [28], Bernardino [29], Silva

et al. [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.41 Agrupamento para a Trelica de 72 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.42 Carregamento para a trelica de W e o peso final em lb 72 barras (em kips). . 100



final em lb. As solucoes marcadas com um asterisco nao sao rigorosamente

factıveis. Os autores sao: Venkaya [31], Gellatly e Berke [32], Schimit e

Farshi [33], Erbatur et. al [12] e Lemonge e Barbosa [13]. . . . . . . . . . . 101


valor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.46 Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando a media. 102

5.47 Analise das variantes envolvendo todos os experimentos utilizando o melhor

valor da funcao objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.48 Analise das variantes envolvendo todos os experimentos utilizando o valor da

media da funcao objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

A.1 Resultados encontrados para a funcao G1. Melhor valor conhecido: -15. . . . . 128

A.2 Resultados encontrados para a funcao G2. Melhor valor conhecido: -0.803619. 129


A.4 Resultados encontrados para a funcao G4. Melhor valor conhecido: -

30665.538671. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A.5 Resultados encontrados para a funcao G5. Melhor valor conhecido: 5126.496714.132

A.6 Resultados encontrados para a funcao G6. Melhor valor conhecido: -6961.813875.133

A.7 Resultados encontrados para a funcao G7. Melhor valor conhecido: 24.306209. 134



A.10 Resultados encontrados para a funcao G10. Melhor valor conhecido:

7049.248020. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

A.11 Resultados encontrados para a funcao G11. Melhor valor conhecido: 0.7499. . 138

A.12 Resultados encontrados para a funcao G12. Melhor valor conhecido: -1. . . . . 139

A.13 Resultados encontrados para a funcao G13. Melhor valor conhecido: 0.053941. 140




A.17 Resultados encontrados para a funcao G17. Melhor valor conhecido:

8853.539674. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144


18

1 Introducao

Os recursos naturais que o homem utiliza para sua sobrevivencia sao limitados ao

planeta onde vivemos. Por isso, a busca pela otimizacao deve estar presente a todo

momento. Processos de otimizacao sao amplamente utilizados para desenvolver solucoes

que exploram ao maximo a capacidade esperada de um objetivo. Nesse contexto, a

pesquisa de algoritmos adequados para obter as solucoes otimas torna-se relevante.

A otimizacao pode ser definida como o processo em que se busca encontrar pontos

de maximo ou de mınimo, descrita atraves de uma funcao chamada funcao objetivo que

contem as variaveis de decisao ou variaveis de projeto. Cada vez mais a otimizacao tem

sido utilizada em problemas de diversas areas de engenharia, quımica, fısica, matematica,

economia, entre outras areas das ciencias, onde os responsaveis pela tomada de decisoes

buscam na otimizacao ferramentas para maximizar desempenho e minimizar custos.

Uma variedade de meta-heurısticas tem sido desenvolvidas e aplicadas para resolver

uma infinidade de problemas de otimizacao. Uma dessas meta-heurısticas que vem

ganhando destaque e a Otimizacao por Enxame de Partıculas (do ingles, Particle Swarm

Optimization - PSO), que foi apresentada na decada de 90 pelos pesquisadores Kennedy

e Eberhart [34]. Eles desenvolveram uma tecnica inspirada no comportamento social de

enxames de partıculas, no caso inicial, inspirando-se no voo dos passaros. O algoritmo nao

exige conhecimento previo sobre o espaco de busca nem sobre a existencia de derivadas da

funcao objetivo e/ou das funcoes de restricao, bastando para sua aplicacao a existencia

de uma funcao de avaliacao dos indivıduos da populacao. Sua aplicacao e bastante vasta,

sendo utilizada em problemas em diversas areas, tais como engenharia, financas, medicina,

biologia, dentre outras.

O algoritmo PSO apresenta duas principais vantagens: tem rapida convergencia e usa

poucos parametros de controle. Contudo, o desempenho do algoritmo depende fortemente

dos seus parametros.

Na sua grande maioria os problemas de otimizacao apresentam restricoes e uma das

formas mais imediatas de tratar esses tipos de problemas e o uso de funcoes de penalizacao

[35]. As funcoes de penalizacao consistem em transformar um problema com restricoes em

um problema sem restricoes, de resolucao mais facil, cuja solucao e igual ou se relaciona de

19

alguma forma com a solucao do problema original. Essa mudanca tem como base a adicao

ou subtracao de algum valor na aptidao dos indivıduos. Contudo, a tarefa de se obter

uma funcao de penalizacao adequada nao e trivial e depende fortemente das estrategias

de penalizacao adotadas.

Dentre as varias tecnicas de penalizacao destacam-se [36]: estatica, dinamica e

adaptativa. A penalizacao estatica depende apenas da definicao de um fator externo

para a definicao do valor a ser somado ou multiplicado a funcao objetivo. A penalizacao

dinamica, em geral, tem seus coeficientes de penalizacao diretamente relacionados ao

numero de geracoes (no caso de um algoritmo genetico ou o instante do processo

evolutivo). A penalizacao adaptativa ajusta os valores dos coeficientes de penalizacao

ao longo do processo de evolucao.

O Metodo de Penalizacao Adaptativa (do ingles, Adaptive Penalty Method - APM) foi

desenvolvido por Barbosa e Lemonge [37] para o tratamento de problemas de otimizacao

com restricoes via um algoritmo genetico geracional. Tal estrategia tem demonstrado ser

eficiente e robusta [30, 38, 39, 40, 41]. O metodo descarta a necessidade de qualquer

parametro definido pelo usuario e baseia-se nas informacoes obtidas da populacao, tais

como a media da funcao objetivo e o nıvel de violacao de cada restricao. A ideia principal

do metodo esta na definicao dos parametros de penalizacao que sao mais rigorosos ou nao,

de acordo com o grau de dificuldade de cada restricao possa ser satisfeita.

Alem do metodo original Barbosa e Lemonge [4] desenvolveram 4 novas variantes.

Posteriormente, novas variantes foram desenvolvidas e as principais variacoes se dao no

calculo do valor da funcao objetivo e no calculo das violacoes dos indivıduos. Uma

combinacao dessas variacoes com algumas caracterısticas das variantes propostas por

Barbosa e Lemonge [4] originaram doze novas variantes que foram apresentadas por Garcia

et al. [5].

Essa dissertacao tem como objetivo explorar a capacidade do APM e suas

variantes acoplados ao PSO como ferramenta de otimizacao na busca de solucoes para

problemas de otimizacao com restricoes, envolvendo funcoes matematicas, problemas de

engenharia mecanica e estrutural tradicionalmente encontrados na literatura. Pretende-se

inicialmente fazer uma comparacao entre o APM e suas variantes a fim de obter aquelas

que apresentaram o melhor desempenho e utiliza-las na apresentacao dos resultados e

comparacao com outros algoritmos encontrados na literatura.

20

Silva [18] apresentou uma dissertacao que utiliza um PSO classico como algoritmo

evolucionario para o tratamento de problemas de otimizacao com restricoes atraves do

uso do APM e suas variantes preliminares.

Aqui, sao destacados aspectos complementares aos do trabalho apresentado em [18],

onde faz-se a introducao de novas variantes para o APM, um PSO modificado utilizando

uma estrategia para melhorar seu desempenho atraves da introducao de um operador de

loucura (CRPSO) [42], um numero maior de problemas testes utilizados nos experimentos

numericos e a utilizacao dos perfis de desempenho [43] como ferramenta que possibilita

obter uma analise mais detalhada e conclusiva de uma quantidade razoavel de resultados.

A presente dissertacao esta dividida em 6 capıtulos, incluindo esta introducao que

apresenta uma visao geral sobre o tema que sera tratado durante este texto. No capıtulo

2 e apresentado todo o embasamento teorico necessario para o entendimento do conceito

de otimizacao. Posteriormente, sao apresentados conceitos da otimizacao estrutural,

exemplos e aplicacoes. Ainda no capıtulo 2, e apresentado uma descricao sucinta de alguns

algoritmos de otimizacao encontrados na literatura. No capıtulo 3 e apresentada a tecnica

de busca utilizada neste trabalho, conhecida como PSO. Alguns conceitos importantes do

algoritmo sao abordados, como: historico, parametros, topologia e aplicacoes. O capıtulo

4 apresenta estrategias para o tratamento de restricoes em problemas de otimizacao com

restricoes encontradas na literatura. Em especial, e apresentado com detalhes o Metodo

de Penalizacao Adaptativa (APM) e suas variantes. No capıtulo 5 sao apresentados e

analisados os experimentos numericos, que incluem problemas de otimizacao oriundos

da matematica aplicada, engenharia mecanica e estrutural. Uma analise detalhada dos

resultados e feita atraves de uma ferramenta grafica conhecida como perfis de desempenho

(Performance Profiles). Finalmente, no capıtulo 6 sao apresentadas as consideracoes

finais, conclusoes do trabalho e propostas para trabalhos futuros.

21

2 Otimizacao

2.1 Introducao

A otimizacao e um ramo da matematica que se preocupa com a obtencao das

condicoes que dao o valor extremo de uma funcao (ou varias funcoes) sob determinadas

circunstancias. Em outras palavras, ela pode ser definida como o processo de encontrar o

valor maximo ou mınimo de uma funcao. Como pode ser visto na Figura 2.1 reproduzida

de [2], se um ponto x∗ corresponde ao valor mınimo da funcao f(x), o mesmo ponto,

tambem corresponde ao valor maximo do negativo da funcao, −f(x).

0

f(x)

-f(x)

f(x)

x*, máximo de -f(x)

x*, mínimo de f(x)

x*x

Figura 2.1: Minimizar f(x) e o mesmo que maximizar −f(x).

Para melhor entender a ideia dos problemas de otimizacao, pode-se fazer uma analogia

com a subida de uma montanha. Suponha que a forma da montanha e a funcao em questao

e se quer atingir o seu pico maximo. Em um ato intuitivo, a cada passo dado, inicialmente

procura-se uma direcao a seguir e depois e decidido o quanto andar. O quanto se anda

em um passo, vai depender de quao bem comportado e o terreno da montanha no local.

Por exemplo, se ha um buraco adiante (ponto de mınimo local) nao se quer passar por ele

ao final do passo, entao deve-se reduzir o passo, e escolher uma nova direcao para seguir

no passo seguinte, e assim por diante.

22

Segundo Rao [2], a existencia de metodos de otimizacao foi possıvel por causa

das contribuicoes de Newton e Leibnitz. Bernoulli, Euler, Lagrange e Weirstrass

fundamentaram o calculo das variacoes, que lida com a minimizacao de funcoes.

A otimizacao para problemas com restricoes tornou-se conhecida pelo nome de seu

inventor Lagrange, que introduziu os “Multiplicadores de Lagrange”comumente usados

em varias tecnicas de otimizacao. Cauchy fez a primeira aplicacao para o metodo da

descida mais ıngreme para resolver problemas de minimizacao sem restricoes. Apesar

destas contribuicoes, o progresso foi muito pouco ate meados do seculo XX, quando

os computadores digitais de alta velocidade foram utilizados para procedimentos de

otimizacao, estimulando a pesquisa de outros metodos.

2.2 A formulacao do problema de otimizacao

Um problema de otimizacao pode ser matematicamente definido como [44]:

Encontrar x que minimize f(x) (2.1)

sujeito a

gj(x) ≤ 0, j = 1, 2, ..., ng (2.2)

hk(x) = 0, k = 1, 2, ..., nh (2.3)

xLi ≤ xi ≤ xUi , i = 1, 2, ..., n (2.4)

onde x e o vetor das n variaveis de projeto, fi(x) e a funcao objetivo e gj(x) e hk(x) sao

as restricoes de desigualdade e igualdade, respectivamente. Os limites das variaveis sao

determinados atraves da Equacao 2.4, onde xLm e o limite inferior e xUm e o limite superior

da variavel xm. Nas outras expressoes, n, ng e nh sao o numero de variaveis de projeto,

numero de restricoes de desigualdade e igualdade, respectivamente.

Comumente, restricoes de igualdade sao transformadas em restricoes de desigualdade

da seguinte forma:

|hk(x)| − ε ≤ 0 (2.5)

onde ε e uma tolerancia geralmente na casa de 10−4.

Dependendo da escolha das variaveis de projeto, funcao objetivo e restricoes, varios

23

tipos de problemas de otimizacao podem ser criados. A partir disso, obtem-se uma

classificacao dos problemas de otimizacao, que pode ser observado com mais detalhes

atraves da Figura 2.2, baseada na referencia [1].

Classificação dos problemas de

otimização

Número de variáveis de projeto

Presença de restrições

Natureza das variáveis e dados

de entrada

Característica das restrições e da função objetivo

Tipo de variáveis de projeto

Única Variável

Multivariável

Único Objetivo

Multiobjetivo

Sem restrições

Com restrições

Discreta

Contínua

Mista

Linear

Probabilística

Determinística

Não-linear

Número de funções objetivo

Figura 2.2: Classificacao dos problemas de otimizacao, baseada na referencia [1].

A Figura 2.3, reproduzida de [1], apresenta uma classificacao completa e detalhada

das tecnicas de otimizacao. A tecnica a ser usada nesta dissertacao e a destacada em

negrito.

24

Técn

icas

de

otim

izaç

ão

Uni

dim

ensi

onal

Mul

tidim

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onal

Bus

ca E

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Pro

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Bra

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M)

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Mét

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ão d

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PL)

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Pro

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PL)

Fig

ura

2.3:

Cla

ssifi

caca

odas

tecn

icas

de

otim

izac

aonum

eric

a,re

pro

duzi

da

de

[1].

25

2.3 Superfıcie de restricao em um espaco de projeto

bidimensional

Na Figura 2.4, adaptada de [2], mostra-se um espaco de busca hipotetico em duas

dimensoes onde percebe-se a definicao de duas regioes sendo uma factıvel e outra infactıvel.

Algumas informacoes sao encontradas nessa ilustracao como, por exemplo, as

definicoes das restricoes do espaco de busca e as caracterısticas das diversas solucoes

(pontos) quanto a sua factibilidade ou infactibilidade.

As restricoes g4(x) e g5(x) sao conhecidas como restricoes de fronteira ou laterais que

definem os limites das variaveis. Nesta ilustracao nenhum ponto factıvel pode ter valor

menor que que g4(x) ou menor que g5(x). Alem dessas restricoes, presentes em todos os

problemas de otimizacao, podem existir outras como as g1(x), g2(x) e g3(x) que muitas

vezes restringem consideravelmente o espaco de busca dificultando significadamente a

localizacao de um ponto factıvel. Um exemplo de ponto factıvel e o que se encontra no

interior da regiao factıvel como mostra a Figura 2.4 e, por outro lado, mostra-se tambem

um ponto infactıvel mais a esquerda desta ilustracao.

Os pontos factıveis que encontram-se sobre as restricoes sao chamados de pontos de

fronteiras admissıveis e que, tambem por outro lado, podem estar sobre as restricoes e nao

serem factıveis, como tambem ilustra a figura. Quando uma solucao factıvel esta sobre

uma fronteira diz-se que a restricao definida por esta fronteira esta ativa e situacoes como

esta tambem sao ilustradas na Figura 2.4.

26

x2

x1

Região infactível

Região factível

Restrição g3(x) = 0



Restrição lateralg5(x) = 0

Restrição lateralg4(x) = 0

Ponto infactível

Ponto factível

Pontos factíveis sobre as restrições

Pontos de fronteiras infactíveis

Figura 2.4: Superfıcie de restricao em um espaco de projeto bidimensional, adaptada de[2].

2.4 Otimizacao Estrutural

Espera-se da otimizacao estrutural uma ferramenta que automatiza todo o processo de

criacao de uma concepcao estrutural de forma mais independente possıvel da experiencia

dos projetistas. Evidentemente, a experiencia do projetista nao deve ser desprezada,

pois e de extrema importancia e pode ser enriquecida com as solucoes contra-intuitivas,

exequıveis, apontadas pelos processos de otimizacao.

O conceito de otimizacao estrutural e mais antigo do que se pensa. De acordo com

Gandomi et al. [1], o primeiro cientista a aplicar esse conceito foi Maxwell em 1869.

Ele formulou uma teoria que estabeleceu a base para o desenvolvimento de projetos de

minimizacao de peso de estruturas. Baseada na teoria de Maxwell, uma nova formulacao

para a minimizacao de peso de estruturas reticuladas foi proposta por Michell em 1904.

Historicamente, os problemas classicos de otimizacao estrutural, ainda hoje estudados

exaustivamente, datam do inıcio da decada de setenta e estes tiveram papel significativo no

desenvolvimento das tecnicas de otimizacao. Os problemas classicos de otimizacao foram

formulados envolvendo trelicas e porticos planos, grelhas, placas e cascas, geralmente

27

considerando o aco como material. As dimensoes do problema quanto ao numero

de variaveis, complexidade da funcao objetivo e restricoes dependia dos recursos

computacionais disponıveis a epoca. As funcoes objetivo, em quase sua totalidade, diziam

respeito a um unico objetivo que era a minimizacao do peso da estrutura e as restricoes

relacionadas as tensoes e deslocamentos para casos estaticos de carregamento [48].

Alguns, entre tantos trabalhos nesta area estao listados na Tabela 2.1 [48].

Tabela 2.1: Alguns dos mais importantes registros historicos na area de otimizacaoestrutural.

Ano Registro historico1950 Artigo de Heyman sobre projeto em regime plastico usando o mınimo de

material (Quarterly of Applied Mathematics)1954 Teorema do Peso Minımo de Foulkes (Proc. of the Royal Society of

London)

1973 Livro editado por Gallagher e Zienkiewicz sobre Projeto Otimo deEstruturas

1979 Livro sobre Projeto Otimo Aplicado do Arora (Applied Optimal Design)1981 Relatorio Tecnico de Comite sobre Otimizacao do ASCE: Recent

Developments and Applications, Editado por Ovadia Lev

1997 Relatorio Tecnico do Comite sobre Projeto Otimo de Estruturas: Guiapara Otimizacao Estrutural (incluindo a uma lista de temas, sistemas, emateriais), editado por Jasbir S. Arora

2002 Relatorio Tecnico do Comite sobre Projeto Otimo de Estruturas:Avancos Recentes Em Projeto Otimo de Estruturas, editado por ScottA. Burns

2004 ATC-63 Projeto e Relatorio sobre Quantificacao do Desempenho deEdifıcios e Parametros de Resposta (modelos de arquetipo para avaliacaode desempenho)

2007 PEER Otimizacao de Edifıcios Altos2008 Otimizacao considerando aspectos de sustentabilidade, meio ambiente e

economia de energia

Um problema de otimizacao estrutural pode ser formulado de diversas maneiras

podendo-se variar os seus objetivos e suas restricoes. A tıtulo de ilustracao, na otimizacao

de projetos de estruturas reticuladas como as trelicas (barras conectadas por nos), existem

tres classificacoes:

• Dimensional: utiliza como variavel de projeto um parametro de um elemento

estrutural. No caso de trelicas, a variavel de projeto e a area da secao transversal.

A Figura 2.5 ilustra a solucao, onde e possıvel observar as diferentes areas otimizadas

das barras da estrutura.

28

Figura 2.5: Exemplo de um problema de otimizacao dimensional.

• Geometrica (ou de forma): para esse tipo de otimizacao, a forma da estrutura pode

ser alterada, porem o numero de barras e suas conectividades devem ser mantidos.

Um exemplo de otimizacao geometrica e dimensional pode ser observado atraves

da Figura 2.6. Nota-se que os nos de apoio e os nos carregados mantiveram-se

inalterados e ainda, as areas das secoes transversais tambem foram consideradas

variaveis no processo de otimizacao . Neste caso, tem-se uma otimizacao geometrica

e dimensional.

Figura 2.6: Exemplo de um problema de otimizacao dimensional e geometrica.

• Topologica: na otimizacao topologica permite-se alterar a conectividade bem como

a quantidade de barras .A Figura 2.7 ilustra um exemplo de otimizacao dimensional,

geometrica e topologica.

A otimizacao estrutural tem sido bastante aplicada ao longo dos anos. Lemonge et

al. [49] utilizaram estruturas reticuladas envolvendo o dimensionamento das variaveis de

projeto atraves do agrupamento de membros, Shimoda et al. [50] aplicaram metodos

de otimizacao estrutural geometrica em estruturas de cobertura, Rong e Liang [51]

apresentaram um conjunto de metodos de otimizacao para otimizacao topologica. Dentre

outros exemplos que podem ser encontrados na literatura.

29

Figura 2.7: Exemplo de um problema de otimizacao dimensional, geometrica e topologica.

2.4.1 Alguns exemplos de otimizacao estrutural

Em problemas de otimizacao estrutural, as restricoes podem ser explıcitas ou implıcitas

dependendo do problema. Essas restricoes, na maioria das vezes, estao associadas as

tensoes, deslocamentos, frequencias de vibracao, entre outras.

2.4.1.1 Problemas com restricoes explıcitas

Pilar em forma de tubo

O objetivo deste exemplo e dimensionar um pilar com secao transversal em forma de

tubo [52] de comprimento L, conforme ilustrado na Figura 2.8. O pilar deve suportar

uma carga normal de intensidade P sem provocar tensoes normais superiores a maxima

permitida e flambagem.

L

2 R

t

Figura 2.8: Pilar com secao transversal em forma de tubo.

30

As variaveis de projeto do problema sao:

• a espessura da parede do tubo t;

• o raio medio da secao transversal R;

• a tensao normal, que e dada por σ = PA

, onde A e a area da secao transversal do

pilar.

• a carga maxima de flambagem, dada por π2 EI4L2 , onde E e o modulo de elasticidade

longitudinal do material e I e o momento de inercia da secao transversal.

A funcao objetivo e definida como:

f(R, t) = ρAL = 2ρπRLt

onde R e o raio medio da secao transversa, ρ e o peso especıfico do material e t a espessura

da parede e assumindo que o pilar seja considerado um tubo com paredes finas (R >> t),

tem-se:

• area de secao transversal A = 2πRt

• momento de inercia da secao transversal l = πR3t

A primeira restricao do problema e a tensao normal σ, que nao pode ultrapassar o

limite maximo σmax:

σ =P

2πRT≤ σmax

e a carga maxima aplicada nao pode ultrapassar a carga maxima de flambagem:

π3ER3t

4L2≥ P

Valores maximos e mınimos sao definidos para as variaveis de projeto, como seguem:

Rmin ≤ R ≤ Rmax tmin ≤ t ≤ tmax

O problema de minimizacao do pilar em forma de tubo e escrito formalmente como:

min f(R, t) = ρAL = 2ρπRLt

31

sujeito aP

2πRT≤ σmax

π3ER3t

4L2≥ P

Rmin ≤ R ≤ Rmax, tmin ≤ t ≤ tmax

2.4.1.2 Problemas com restricoes implıcitas

Para a otimizacao de problemas de otimizacao estrutural em que as restricoes sao

funcoes implıcitas nao-lineares das variaveis de projeto, por exemplo, aqueles que envolvem

estruturas reticuladas, no caso dimensional, onde procura-se um conjunto x que representa

a obtencao da solucao de um sistema de equacoes.

Este sistema de equacoes, e formulado conforme a Equacao 2.6, e representa a equacao

de equilıbrio da estrutura em sua forma discretizada:

K(x)ul = fl, 1 ≤ l ≤ nl (2.6)

onde nl e o numero de casos de carregamento que a estrutura e submetida e K(x) e a

matriz de rigidez positiva definida e simetrica da estrutura derivada de uma formulacao

de elementos finitos [53], conforme Equacao 2.7.

K =n

Aj=1

kj (2.7)

onde A e o operador usado para acumular a matriz Kj da j-esima barra e n e o numero

total de barras.

O vetor de deslocamento e tensao do l-esimo caso de carregamento e representado por

ul e σl, respectivamente.

Para cada caso de carregamento, o sistema e solucionado no campo de deslocamento

de acordo com a Equacao 2.8.

ul = [K(x)]−1fl (2.8)

A tensao da j-esima barra para o l-esimo carregamento e calculada de acordo com a Lei

de Hooke (Equacao 2.9).

σj,l = Eδ(ul) (2.9)

32

onde δ e a deformacao linear especıfica na direcao longitudinal da barra.

Assim, com os deslocamentos dos nos e a tensao de cada barra, as restricoes podem

ser finalmente verificadas. Lembrando que, ilustrou-se aqui, apenas o caso em que as

restricoes implıcitas envolveram somente deslocamentos e tensoes. No caso mais geral,

elas podem incluir tensoes de flambagem, cargas crıticas, frequencias de vibracao e, assim

por diante.

2.5 Algoritmos de Otimizacao

Os algoritmos usados em um problema de otimizacao podem ser classificados baseados

na natureza determinıstica ou nao-determinıstica [54].

2.5.1 Determinısticos

Os algoritmos determinısticos sao aqueles que dada uma determinada entrada, sempre

irao produzir a mesma saıda. A solucao e dependente do ponto de partida fornecido e com

isso, o algoritmo pode convergir para uma solucao que nao e necessariamente a solucao

otima global.

Os problemas determinısticos podem ser classificados em duas classes:

• Programacao linear: onde a funcao objetivo e as restricoes sao funcoes lineares

das variaveis de projeto. Um exemplo classico da programacao linear e o Metodo

Simplex [55].

• Programacao nao-linear: e quando a funcao objetivo e/ou pelo menos uma das

restricoes envolvidas nao sao funcoes lineares. Alguns exemplos sao: Metodo de

Programacao Quadratica Sequencial, Metodo das Direcoes Viaveis, Metodo do

Gradiente Reduzido, entre outros.

2.5.2 Probabilısticos

Os metodos de otimizacao baseados nos algoritmos probabilısticos em geral usam

somente a avaliacao da funcao objetivo e introduzem no processo de otimizacao parametros

estocasticos. Essa classe de algoritmos possui vantagens em relacao aos algoritmos

determinısticos: a funcao objetivo e as restricoes nao precisam estar explicitadas; nao

33

ha restricao quanto ao ponto de partida dentro do espaco de busca da solucao; trabalham

adequadamente com variaveis contınuas e discretas ou uma combinacao delas. Contudo,

sua principal desvantagem e o custo computacional elevado.

Alguns exemplos de algoritmos probabilısticos, discutidos a seguir, sao: Algoritmos

Geneticos, Recozimento Simulado, Sistemas Imunologicos Artificiais, Colonia de

Formigas, Colonia de Abelhas Artificial, Algoritmo Vaga-lume, Algoritmo Cuckoo Search

e Enxame de Partıculas.

2.5.2.1 Algoritmos Geneticos

O Algoritmo Genetico (AG), foi desenvolvido por John Holland [56, 57], e seus

colaboradores nos anos de 60 e 70. O algoritmo e classificado com um metodo

probabilıstico de busca inspirado na teoria de selecao natural de Charles Darwin e

nos mecanismos da genetica. Acreditava-se que seria possıvel a implementacao de um

algoritmo espelhado no processo de evolucao encontrado na natureza.

Um AG usa uma nomenclatura muito proxima da utilizada em genetica das populacoes

para definir seus componentes e operadores. Uma populacao inicial de cromossomos e

gerada e cada cromossomo representa uma possıvel solucao para o problema. A populacao

e avaliada, e o cromossomo recebe seu valor de fitness (aptidao). Os cromossomos sao

selecionados para a proxima geracao, de acordo com a teoria de Darwin, e transferem

suas caracterısticas para seus descendentes atraves da reproducao (crossover e mutacao).

Todo esse processo e repetido ate que seja encontrada uma solucao satisfatoria.

Existem varias formas de se representar uma possıvel solucao para o problema a

ser resolvido por um AG. A representacao binaria e uma das mais utilizadas pela sua

simplicidade e por poder ser facilmente utilizada em uma grande quantidade de problemas.

Outras formas de representacao sao: real, permutacao de sımbolos, arvores, entre outros.

Em relacao a estrategia de reposicao das populacoes nos AGs, destacam-se dois tipos:

geracional, onde toda a populacao e substituıda a cada geracao, ocasionando grande

variabilidade do material genetico entre as geracoes; e steady-state, onde somente uma

parcela da populacao (geralmente 2 indivıduos) e substituıda a cada iteracao.

Os AGs sao aplicados a uma grande diversidade de problemas [58, 59, 60], tais como:

otimizacao estrutural, otimizacao de funcoes multimodais e com restricoes, processamento

de imagem, controle de sistemas, entre muitos outros.

34

2.5.2.2 Recozimento Simulado

O Recozimento Simulado ou Simulated Annealing (SA) e uma tecnica de busca local

probabilıstica, originaria da termodinamica que faz analogia entre o processo fısico do

resfriamento de um metal em estado de fusao e o problema de otimizacao. A tecnica

foi inicialmente desenvolvida por Kirkpatrick et al. [61] e e amplamente utilizada na

metalurgia.

O algoritmo simula um processo termico para obtencao de estados de baixa energia

em um solido. Primeiramente, a tecnica se inicia com um aumento da temperatura do

solido para um valor maximo, fazendo com que ele se funda. Em um segundo momento, e

realizado lentamente o resfriamento ate que o resultado final seja uma massa homogenea.

Embora o metodo tenha sido desenvolvido para problemas discretos, ele pode ser usado

para problemas contınuos da mesma maneira, como sao usados os AGs. O algoritmo

de recozimento simulado foi aplicado para diferentes tipos de problemas de otimizacao

estrutural [62, 63, 64].

2.5.2.3 Sistemas Imunologicos Artificiais

Os Sistemas Imunologicos Artificiais (SIA) [65], sao uma meta-heurıstica que tem

constituıdo uma grande fonte de inspiracao para a elaboracao de solucoes em sistemas

computacionais e tem despertado bastante interesse nos pesquisadores da area de ciencia

da computacao.

Vantagens dos SIAs em relacao a outras abordagens evolutivas classicas podem ser

destacadas: sao capazes de manter a diversidade da populacao sem nenhum mecanismo

adicional; o tamanho da populacao a cada geracao pode ser automaticamente definido de

acordo com a demanda da aplicacao; e as solucoes otimas tendem a ser preservadas.

Algumas propriedades dos sistemas imunologicos sao de grande interesse e fazem com

que o sistema seja escalavel, robusto e flexıvel, tais como: unicidade, deteccao distribuıda,

deteccao imperfeita, deteccao de anomalias e memoria.

Existem muitas aplicacoes em que os sistemas imunologicos podem ser utilizados,

como: seguranca computacional, aprendizagem de maquina, reconhecimento de padroes,

robotica, industrias, entre outras.

35

2.5.2.4 Colonia de Formigas

O algoritmo de otimizacao conhecido como Ant Colony Optimization (ACO) foi

introduzido por Dorigo e seus associados no comeco da decada de 90 [66, 67] e imita o

comportamento cooperativo de uma colonia de formigas. As formigas utilizam o feromonio

para guardar um caminho enquanto elas se movimentam. Isso acontece quando elas saem

de sua colonia e caminham aleatoriamente na busca de alimento. Quando o alimento e

encontrado, as formigas retornam a colonia deixando um rastro de feromonio para que as

outras formigas da colonia possam encontrar o alimento.

Cada solucao candidata do algoritmo ACO e representada por uma formiga. Cada

formiga escolhe uma rota e deposita uma certa quantidade de feromonio em cada rota

percorrida. As melhores rotas seriam identificadas pela quantidade de feromonio.

A otimizacao por colonia de formigas pode ser aplicada em diversos problemas [68,

69, 70], principalmente em problemas que envolvem procura de caminho em grafos.

2.5.2.5 Colonia de Abelhas Artificial

Artificial Bee Colony (ABC) ou Colonia Artificial de Abelhas foi inicialmente

introduzida por Karaboga [71] em 2005 e e um algoritmo de inteligencia coletiva baseado

no comportamento de uma colonia de abelhas. As abelhas se organizam e desenvolvem

uma inteligencia coletiva que aumenta o seu desempenho no meio ambiente em que vivem.

Tres caracterısticas dessas colonias sao particularmente de interesse no desenvolvimento

de algoritmos [72]: auto-organizacao, adaptacao e divisao do trabalho.

O algoritmo ABC inicia com uma populacao de abelhas gerada aleatoriamente. As

abelhas sao classificadas em tres grupos: abelhas operarias campeiras (scout), abelhas

operarias (employed) e abelhas seguidoras (recruited). As campeiras sao responsaveis por

procurar fontes de alimentos. A partir do momento que uma abelha campeira explora

uma fonte de alimento, ela se torna uma abelha operaria. Quando a fonte de alimento se

esgota, a abelha operaria volta a ser uma abelha campeira. E as seguidoras sao as abelhas

que ajudam as operarias a explorar a fonte de alimento.

Algumas variacoes e aplicacoes do algoritmo ABC podem ser facilmente encontradas

na literatura [73, 74, 75, 76].

36

2.5.2.6 Algoritmo Vaga-lume

O algoritmo firefly (FA) e um algoritmo de otimizacao baseado na observacao da luz de

vaga-lumes piscando. O algoritmo foi proposto em 2008 por Yang [77] e foi recentemente

aperfeicoado usando mapas caoticos [78].

O algoritmo baseado em vaga-lumes utiliza tres regras: todos os vaga-lumes sao

considerados assexuados, de modo que um vaga-lume sera atraıdo por outros vaga-lumes,

independente do seu sexo; a atracao e proporcional ao seu brilho, assim, para quaisquer

dois vaga-lumes piscando, o menos brilhante ira se mover em direcao ao mais brilhante. Se

todos os brilhos forem iguais, os vaga-lumes se movem aleatoriamente. Por fim, o brilho

de um vaga-lume e afetado ou determinado pela funcao objetivo.

O algoritmo Firefly e aplicado em diversos problemas, como por exemplo, a otimizacao

de funcoes multimodais [79], problemas de otimizacao nao-linear ruidosos [80], dentre

outros.

2.5.2.7 Algoritmo Cuckoo Search

O algoritmo Cuckoo Search (CS) e baseado no comportamento reprodutivo de certas

especies de cucos e foi desenvolvido em 2009 por Yang e Deb [81].

O CS utiliza tres regras idealizadas: cada cuco coloca um ovo de cada vez e o despeja

em um ninho escolhido aleatoriamente; os melhores ninhos com alta qualidade de ovos

irao transitar para as proximas geracoes; o numero de ninhos e fixo e o ovo colocado por

um cuco e descoberto por um passaro hospedeiro com uma probabilidade pa ∈ [0,1].

O metodo e considerado simples e eficiente [82]. Comparando-o com outras meta-

heurısticas populacionais, o algoritmo possui apenas um parametro para ser determinado

e pode ser aplicado com sucesso em problemas de otimizacao em engenharia [83].

2.5.2.8 Enxame de Partıculas

A otimizacao atraves de enxame de partıculas (PSO) e uma meta-heurısticas bastante

conhecida e foi inicialmente proposta por Kennedy e Eberhart [34] em 1995. Essa meta-

heurıstica e a tecnica utilizada nessa dissertacao e e apresentada com mais detalhes no

Capıtulo 3.

37

3 Otimizacao por Enxame de

Partıculas

3.1 Introducao

A Otimizacao por Enxame de Partıculas (Particle Swarm Optmization - PSO) e um

algoritmo da area de otimizacao inspirado na natureza e introduzido por Kennedy e

Eberhart [34] que se baseia no comportamento social de grupos de indivıduos, como os

passaros e os peixes.

A busca por alimentos e a relacao entre passaros ao longo do voo podem ser modeladas

como um mecanismo de otimizacao. Fazendo uma analogia, o termo partıcula foi adotado

para simbolizar os passaros e representar as possıveis solucoes do problema a ser resolvido.

A regiao sobrevoada pelos passaros e equivalente ao espaco de busca e encontrar o local

com comida ou o ninho, corresponde a encontrar a solucao otima.

Para que o bando de passaros sempre se aproxime do objetivo, ao inves de se perder

ou nunca alcancar o alvo utiliza-se a fitness ou aptidao, funcao que avalia o desempenho

das partıculas. Para alcancar o alvo, sejam os alimentos ou os ninhos, os passaros fazem

uso de suas experiencias e da experiencia do proprio bando.

O PSO passou por muitas mudancas desde a sua introducao em 1995. Os pesquisadores

aprendem sobre a tecnica, derivam novas versoes, desenvolvem novas aplicacoes e estudam

sobre os efeitos dos varios parametros do algoritmo.

Comparado com outras tecnicas de computacao evolutiva, tais como os Algoritmos

Geneticos, o PSO e de implementacao facil, convergencia rapida e existem poucos

parametros para serem ajustados [42], alem de nao possuir operadores de crossover e

mutacao. O algoritmo tem sido aplicado com sucesso em diversas areas, tais como:

otimizacao de funcoes, treinamento de redes neurais artificiais, controle de sistemas

nebulosos e outras areas onde os AG podem ser aplicados. Em contra-partida, o PSO,

assim como as outras meta-heurısticas, pode apresentar uma convergencia prematura

alcancando-se apenas mınimos locais.

O algoritmo PSO possui uma populacao formada por partıculas iniciadas

38

aleatoriamente, onde cada uma representa uma possıvel solucao para o problema de

otimizacao. Essas partıculas sao representadas por uma posicao xi e uma velocidade

vi. As partıculas tambem possuem valores de aptidao e voam em um espaco do problema

D dimensional, aprendendo com a informacao historica de todas as partıculas. Utilizando

a informacao coletada no processo de busca, as partıculas tem a tendencia de voar em

direcao a melhor area ao longo deste processo. A velocidade vi e a posicao xi da partıcula

i sao apresentados nas Equacoes 3.1 e 3.2, respectivamente.

vi(t+ 1) = vi(t) + c1 · r1(xpbest − xi) + c2 · r2(xgbest − xi) (3.1)

xi(t+ 1) = xi(t) + vi(t+ 1) (3.2)

onde vi(t) e a velocidade de cada partıcula, t e a iteracao atual, c1 e c2 sao constantes de

aceleracao para controlar a influencia da informacao cognitiva e social, respectivamente

e r1 e r2 sao numeros randomicos reais entre 0 e 1 com distribuicao uniforme. O ındice

pbest e a melhor posicao de cada partıcula ate entao e gbest a melhor posicao entre todas

as partıculas do enxame. A posicao xi(t) e a posicao atual da partıcula, xi(t+ 1) e a nova

posicao desta partıcula e vi(t+ 1) e a nova velocidade da partıcula.

O conjunto inicial de partıculas xi e gerado de forma aleatoria e espalhado pelo espaco

de busca conforme a Equacao 3.3

xLi ≤ xi ≤ xUi , i = 1, ..., n (3.3)

onde xLi e xUi contem os limites inferior e superior das posicoes das partıculas,

respectivamente e n e o numero de partıculas. As dimensoes das partıculas sao

determinadas pelo problema a ser otimizado, de acordo com o numero de variaveis de

projeto.

O algoritmo basico de otimizacao por enxame de partıculas pode ser descrito

brevemente utilizando os passos observados no Algoritmo 1.

39

Algoritmo 1: Pseudocodigo do algoritmo PSO.

para i← 0 ate tamanhoEnxame facainicializa xi e vi aleatorios;inicializa pBesti;

fiminicializa gBest;enquanto nao atingir condicao de parada faca

para i← 0 ate tamanhoEnxame facacalcula fitness da partıcula i;atualiza vi de acordo com a Equacao 3.1;atualiza xi de acordo com a Equacao 3.2;pBesti ← melhor entre xi e pBesti ;

fimgBest← melhor entre pBest e gBest ;

fimretorna gBest ;

3.2 Parametros

O algoritmo PSO basico possui um numero pequeno de parametros para serem

determinados pelo usuario. Os parametros c1 e c2 na Equacao 3.1 podem mudar

radicalmente o comportamento do algoritmo, provocando uma possıvel instabilidade. Eles

sao comumente definidos com o valor 2. O numero maximo de iteracoes e normalmente

usado como criterio de parada.

A velocidade das partıculas e limitada atraves de uma velocidade maxima denominada

vmax. Se vmax e grande, facilita a exploracao global. Por outro lado, se vmax for muito

pequena facilitara a exploracao local. Shi e Eberhart [84] apresentaram experimentos

utilizando vmax fixa e observou-se que o ajuste de velocidade maxima pode ser eliminado

pois apresenta problemas: a velocidade maxima ideal e particular do problema e nenhuma

regra especıfica e conhecida. Dessa forma, dois novos parametros denominados inercia

e fator de aceleracao, foram introduzidos com a finalidade de tentar amenizar tais

problemas. Eles sao discutidos nas subsecoes 3.2.1 e 3.2.2, respectivamente.

3.2.1 Inercia

Motivados pelo desejo de controlar melhor a exploracao global e local, reduzir a

importancia da vmax ou elimina-la completamente, Shi e Eberhart [84, 85] propuseram um

parametro denominado inercia w. A determinacao adequada do valor de w proporciona

40

um equilıbrio entre a exploracao global e local, e resulta em uma quantidade de iteracoes

menores para encontrar uma boa solucao.

O novo parametro w e introduzindo na Equacao 3.1, conforme Equacao 3.4 [84].

vi(t+ 1) = w · vi(t) + c1 · r1(xpbest − xi) + c2 · r2(xgbest − xi) (3.4)

Como o vetor de velocidades e inicializado aleatoriamente, comecar o algoritmo com

valores maiores para w gera uma busca mais abrangente. E ao longo das iteracoes, o

valor de w vai sendo reduzido gradativamente possibilitando que as partıculas encontrem

a solucao de forma mais rapida. A sugestao proposta por Eberhart e Shi [86] foi utilizar

uma variacao linear da inercia com um valor inicial de 0.9 e final de 0.4, conforme Equacao

3.5.

wi = (wini − wfim)(N − i)N

+ wfim (3.5)

onde wini e wfim sao os valores inicial e final, respectivamente, N e o numero total de

iteracoes e i e a iteracao atual.

Posteriormente, Ratnaweera e Halgamuge [87] apresentaram uma extensao da proposta

de Eberhar e Shi [86], onde os coeficientes c1 e c2 tambem variam ao longo das iteracoes.

As Equacoes 3.6 e 3.7 apresentam a formula para o calculo de c1 e c2, respectivamente.

c1i = (c1final − c1inicial)i

N+ c1inicial (3.6)

c2i = (c2final − c2inicial)i

N+ c2inicial (3.7)

As modificacoes no calculo dos coeficientes trouxeram ganhos significativos no

desempenho do algoritmo [88, 87].

Naturalmente, outras estrategias podem ser adotadas para ajustar o valor da inercia.

Chatterjee e Siarry [89] adotaram uma proposta que pretende melhorar a velocidade de

convergencia do algoritmo e refinar a busca no espaco multidimensional. A Equacao 3.8

apresenta esse esquema, denominado variacao nao linear da inercia.

wi =

[(N − i)q

N q

](wini − wfim) + wfim (3.8)

41

onde q e o expoente de nao linearidade, wini e wfim sao os valores inicial e final,

respectivamente, N e o numero total de iteracoes e i e a iteracao atual.

3.2.2 Fator de aceleracao

Uma nova estrategia, inicialmente estudada por Kennedy [90], denominada fator de

aceleracao, foi introduzida com a finalidade de controlar a convergencia das partıculas

e eliminar de vez o parametro vmax. Esse fator, denominado k, pode ser observado na

Equacao 3.9.

k =2

φ− 2 +√φ2 − 4φ

(3.9)

onde φ > 4.

E comum determinar φ com o valor de 4.1 [90] e, assim, a constante k e

aproximadamente 0.7298.

Existem diferentes maneiras para a implementacao desse fator. Clerc e Kennedy [91]

utilizaram uma maneira muito simples, multiplicando k por todos os outros parametros,

conforme mostra a Equacao 3.10.

vi(t+ 1) = k (vi(t) + c1 · r1(xpbest − xi) + c2 · r2(xgbest − xi)) (3.10)

3.3 Atualizacao da velocidade

Novas estrategias para o PSO com o objetivo de melhorar o desempenho e a

competitividade do algoritmo tem sido propostas na literatura [92, 93]. Uma das

modificacoes estudadas e a maneira com que as velocidades das partıculas sao atualizadas.

A atualizacao da velocidade e um fator muito importante nos algoritmos PSO pois e ela

que determina a velocidade de voo das partıculas no espaco de busca.

Um algoritmo PSO denominado Craziness based Particle Swarm Optimization -

CRPSO, e introduzido por Kar et al. [42], tem como objetivo melhorar o comportamento

do algoritmo no que diz respeito a convergencia prematura e problemas de mınimos locais.

A proposta introduz uma nova expressao para o calculo da velocidade vi associado com

numeros aleatorios e um operador craziness. E ainda, um parametro r2 e introduzido

para tentar controlar o equilıbrio entre a busca global e local. A nova expressao para a

42

velocidade pode ser observada atraves da Equacao 3.11.

vi(t+ 1) = r2 · sign(r3) · vi(t) + (1− r2)c1 · r1(xpbest − xi) +

(1− r2)c2(1− r1)(xgbest − xi)(3.11)

onde r1, r2 e r3 sao numeros aleatorios entre 0 e 1 gerados com distribuicao uniforme e

sign(r3) e uma funcao definida como:

sign(r3) =

−1, r3 ≤ 0.05

1, r3 > 0.05(3.12)

Em alguns casos raros, pode ocorrer que apos o posicionamento das partıculas, sua

posicao pode ser modificada pela Equacao 3.2. Porem, um passaro nao pode, devido a

inercia, ir em direcao a uma regiao em que se pensa ser viavel para a busca de alimento.

Em vez disso, o passaro pode ser conduzido para uma regiao que esta na direcao oposta

que ele deveria “voar” a fim de alcancar as regioes viaveis. Com essa finalidade, sign(r3)

e introduzido na expressao.

Em um cardume de peixes ou um bando de passaros, um peixe ou um passaro muitas

vezes muda a sua direcao. Essa caracterıstica pode ser descrita como sendo um fator

de loucura e e modelada na tecnica usando um operador denominado craziness. O

operador craziness e introduzido na tecnica para assegurar que uma partıcula possa ter

uma probabilidade pre-definida de loucura com o objetivo de manter a diversidade entre

elas [42]. Desse modo, apos a atualizacao da velocidade (Equacao 3.11), o operador

craziness e introduzido e a velocidade e novamente atualizada, conforme Equacao 3.13.

vi(t+ 1) = vi(t+ 1) + P (r4) · sign(r4) · vcrazinessi (3.13)

onde r4 e um numero aleatorio real entre 0 e 1 gerado com distribuicao uniforme, vcrazinessi

e um valor aleatorio definido uniformemente dentro do intervalo [vmini , vmaxi ], P (r4) e

sign(r4) sao definidos, respectivamente, nas Equacoes 3.14 e 3.15.

P (r4) =

1, r4 ≤ Pcr

0, r4 > Pcr(3.14)

43

sign(r4) =

−1, r4 ≥ 0.5

1, r4 < 0.5(3.15)

onde Pcr e uma probabilidade pre-definida de loucura.

O operador craziness possui uma similaridade com o operador de mutacao dos

algoritmos geneticos, uma vez que aumenta a diversidade do enxame [42]. Com esse

operador, e possıvel explorar locais anteriormente nunca explorados, fazendo com que

aumente as chances de encontrar o otimo global.

Esta tecnica de atualizacao da velocidade, denominada CRPSO, foi introduzida no

algoritmo PSO desenvolvido para esta dissertacao. O Algoritmo 2 descreve os passos do

PSO com a introducao do operador craziness.

Algoritmo 2: Pseudocodigo do algoritmo PSO com o operador craziness.

para i← 0 ate tamanhoEnxame facainicializa xi e vi aleatorios;inicializa pBesti;

fiminicializa gBest;enquanto nao atingir condicao de parada faca

para i← 0 ate tamanhoEnxame facacalcula fitness da partıcula i;atualiza vi de acordo com as Equacoes 3.11 e 3.13;atualiza xi de acordo com a Equacao 3.2;pBesti ← melhor entre xi e pBesti ;

fimgBest← melhor entre pBesti e gBest ;

fimretorna gBest ;

3.4 Topologia das partıculas

Outro componente importante que influencia diretamente no desempenho do algoritmo

e a topologia de comunicacao entre as partıculas. A topologia de comunicacao determina

como as partıculas do enxame trocam informacoes, o que influencia na avaliacao da

velocidade dessas partıculas. As principais topologias utilizadas sao: global e local.

Na topologia global o enxame esta organizado de modo que todas as partıculas estejam

44

conectadas entre si. A Figura 3.1 (a) ilustra essa topologia, denominada gbest. A topologia

global proporciona uma convergencia mais rapida, ja que a informacao da melhor posicao

e disseminada rapidamente entre todas as partıculas do enxame. Em contrapartida, ela

pode nao garantir a qualidade da solucao obtida, pois as partıculas podem prender-se em

mınimos locais.

Na topologia local, ilustrada pela Figura 3.1 (b), o enxame esta organizado em formato

de anel e cada partıcula possui geralmente dois vizinhos. Embora a troca de informacao

entre as partıculas seja mais lenta do que a global, este tipo de topologia, denominada

lbest, prove uma melhor qualidade de solucoes em comparacao com a topologia global.

Entretanto, outros tipos de topologia podem ser utilizadas, tais como: Von Neumann

[94], arvore [95], roda [96], grafos [3], entre outros.

(a) (b)

Figura 3.1: Topologia das partıculas: (a) Topologia global (b) Topologia local, baseadade [3].

3.5 Aplicacoes

A Otimizacao por Enxame de Partıculas tem sido aplicada em grande quantidade

de problemas. A seguir, segue uma lista com alguns problemas que foram solucionados

usando o algoritmo PSO, ou com uma combinacao do algoritmo com outra tecnica de

busca.

Uma aplicacao usando o PSO como o algoritmo de busca pode ser observada em [97]

45

onde aborda-se o problema de planejamento de caminho do robo em ambientes com muitos

terrenos.

O volume crescente de dados a serem analisados em grandes redes impoe novos

desafios para um sistema de deteccao de invasao. Desde que os dados em redes de

computadores cresceram rapidamente, a analise dessa grande quantidade de dados tem

que ser feita dentro de um perıodo razoavel de tempo. Pensando nisso, Aljarahma e

Ludwig [98] propuseram um sistema de deteccao de invasao baseado em um algoritmo

de clusterizacao paralelo atraves de um PSO utilizando a metodologia MapReduce. Os

resultados experimentais em um conjunto de dados reais de invasao demonstraram que

o sistema de deteccao melhorou significativamente os aspectos de invasao e as taxas de

falso alarme.

Um PSO hıbrido foi desenvolvido por Yu et al. [99] envolvendo a combinacao de um

PSO com um AG para um modelo ideal de estimativa de demanda de energia (PSO-

GA EDE) para a China. Os coeficientes das tres formas do modelo (linear, exponencial

e quadratica) sao otimizados pelo PSO-GA usando fatores, tais como PIB, populacao,

estrutura economica, taxa de urbanizacao e estrutura de consumo de energia. O modelo

PSO-GA EDE proposto alcancou maior precisao e confiabilidade do que metodos simples

de otimizacao, tais como: AG, PSO, ACO.

Um novo metodo de otimizacao baseado na combinacao de um PSO com um

algoritmo de busca de vizinhanca variavel (Variable Neighborhood Search - VNS), proposto

por Hamta et al. [100], foi desenvolvido para resolver problemas multi-objetivos de

balanceamento de linhas de montagem. Os resultados computacionais indicaram que

o algoritmo proposto foi superior, nao so a qualidade da solucao mas tambem no tempo

de execucao, quando comparado com algoritmos da literatura.

Uma aplicacao de algoritmo de otimizacao por enxame de partıculas em um sistema

de modelagem de carga baseado em medicao e apresentado por Rodriguez-Garcia et al.

[101]. A modelagem de carga composta com base em medicoes e formulado como um

problema de otimizacao, o que minimiza a diferenca entre a medicao e a resposta de um

modelo simulado. O PSO e usado para estimativa de parametros do modelo de carga.

Os resultados mostraram a capacidade do modelo de carga composta para representar o

comportamento da carga apos os disturbios, e tambem as capacidades de otimizacao do

PSO para a obtencao de estimativas de parametros adequados de carga.

46

Camp et al. [102] aplicaram um PSO hıbrido em um projeto de baixo peso de trelicas.

A eficiencia do algoritmo hıbrido e demonstrada com varios exemplos e comparacoes com

outros metodos classicos de otimizacao. Gomes et al. [103] aplicaram um algoritmo PSO

para a otimizacao de forma e dimensao com restricoes de frequencia. O metodo alcancou

bons resultados comparado a outros metodos da literatura.

Kaveh e Talatahari [104] implementaram uma metodologia denominada HPSACO

(Heuristic Particle Swarm ACO). A abordagem hıbrida baseia-se no esquema de busca

harmonica, um PSO e um ACO com o objetivo de encontrar modelos otimos para

diferentes tipos de estruturas. A eficiencia do HPSACO foi demonstrada com testes em

estruturas trelicadas com domınio de busca contınuo e discreto e em estruturas reticuladas

com domınio de busca discreto.

Um algoritmo PSO hıbrido (HPSO) baseado em um esquema de busca harmonica e

em um PSO padrao foi desenvolvido por Li e Liu [105] e aplicado em estruturas espaciais

com variaveis contınuas e discretas. A eficiencia do algoritmo e testada em estruturas

em conchas. Posteriormente, o HPSO foi testado em estruturas trelicadas com variaveis

discretas por Li et al. [106].

Perez e Behdinan [107] apresentaram um PSO para problemas de otimizacao estrutural

com restricoes. O efeito de diferentes parametros de configuracao e funcionalidade do

algoritmo sao apresentados pelos autores. A eficiencia da abordagem e ilustrada com

tres problemas de otimizacao estrutural e os resultados mostraram a capacidade da

metodologia proposta para a obtencao de melhores solucoes para os problemas abordados.

47

4 Problemas com restricoes

4.1 Introducao

A modelagem matematica tem sido utilizada para o estudo e compreensao de muitos

problemas e fenomenos reais, na engenharia, economia, medicina, entre outras areas. Os

problemas de otimizacao com restricoes sao abundantes e a abordagem mais comum em

algoritmos evolutivos para lidar com restricoes e o uso de penalidades [108].

As funcoes de penalizacao foram originalmente propostas por Courant [109] na decada

de 40 e posteriormente expandida por Carroll e Fiacco [110, 111]. A ideia principal

e transformar problemas de otimizacao com restricoes em problemas sem restricoes

adicionando (ou subtraindo) um certo valor na funcao objetivo baseado na quantidade

de violacao das restricoes presente em uma determinada solucao. Assim, os metodos de

penalizacao permitem a resolucao de problemas com restricoes por metodos tipicamente

utilizados em problemas sem restricoes.

A forma geral de uma funcao de penalizacao, segundo Mezura-Montes e Coello [35],

pode ser definida como:

F (x) = f(x) + p(x) (4.1)

onde F (x) e a funcao objetivo expandida a ser minimizada, f(x) e a funcao objetivo

original e p(x) e o valor da penalizacao que pode ser calculada pela Equacao 4.2.

p(x) =

ng∑j=1

rj ·max(0, gj(x))2 +

nh∑k=1

ck · |hk(x)| (4.2)

onde rj e ck sao constantes positivas chamadas de fatores de penalizacao, ng e o numero

de restricoes de desigualdade e nh e o numero de restricoes de igualdade.

As tecnicas de penalizacao podem ser classificadas como multiplicativas ou aditivas.

No caso das multiplicativas, um fator de penalizacao positivo maior que 1 e utilizado

com o intuito de aumentar o valor da fitness dos indivıduos infactıveis em problemas de

minimizacao. No caso das aditivas, uma funcao de penalizacao e adicionada a funcao

objetivo dos indivıduos infactıveis. O metodo mais usado para as penalizacoes aditivas e

48

definido pela Equacao 4.1, tal que

p(x) =

0, se x factıvel

k∑m

j=1(vj(x))β, caso contrario(4.3)

O parametro β da Equacao 4.3 usualmente definido como 2, m e o numero total de

restricoes de desigualdade e igualdade e k e o parametro de penalizacao. Vale lembrar

que as restricoes de igualdade sao transformadas em restricoes de desigualdade. O valor

do parametro k pode ser definido por um processo de tentativa e erro geralmente custoso,

sendo difıcil de ser ajustado adequadamente. A violacao vj(x) e definido conforme a

Equacao 4.4.

vj(x) =

|hj(x)|, para restricoes de igualdade

max[0, gj(x)], caso contrario.(4.4)

As tecnicas de penalizacao aditivas podem ser divididas em dois tipos: exterior e

interior. No caso das tecnicas exteriores, inicia-se em uma regiao infactıvel e move-se em

direcao a uma regiao factıvel. Nas tecnicas interiores, o termo de penalizacao e escolhido

de modo que o seu valor seja pequeno em pontos distantes da fronteira e maiores em

pontos perto da fronteira.

Ainda que a implementacao de uma funcao de penalizacao seja considerada bastante

simples, essas funcoes exigem um ajuste cuidadoso de seus fatores de penalizacao a fim

de determinar o rigor das penalizacoes a serem aplicadas e, tambem, sao altamente

dependentes do problema [112]. Uma das dificuldades dos metodos de penalizacao e

encontrar parametros de penalidade convenientes de forma que a solucao x corresponda,

de alguma forma, ao mınimo (maximo) do respectivo problema com restricoes.

As tecnicas de manipulacao de restricoes baseadas em funcoes de penalizacao mostram

muita diversidade na maneira de se definir os fatores de penalizacao. Coello [36] destaca

algumas delas: estatica, dinamica e adaptativa.

4.2 Penalizacao Estatica

As penalidades do tipo estatica permanecem constantes durante todo o processo

evolutivo. A funcao objetivo penalizada seria, entao, a funcao objetivo da solucao

candidata mais uma “multa” (para problemas de minimizacao).

49

Em 1994, Homaifar [113] propos a primeira abordagem para o uso de penalizacao

estatica, onde o usuario define varios nıveis de violacao e um coeficiente de penalizacao

e escolhido para cada um de tal forma que esse coeficiente aumenta a medida que os

nıveis de violacao tambem aumentam. A Equacao 4.5 representa a funcao de penalizacao

estatica para um problema com m restricoes (restricoes de igualdade sao transformadas

em restricoes de desigualdade).

F (x) = f(x) +m∑i=1

Rk,i ·max[0, gi(x)2] (4.5)

onde F (x) e a funcao objetivo penalizada, f(x) e a funcao objetivo sem penalizacao, Rk,i

sao os coeficientes de penalizacao da restricao i e k = 1, 2, ..., l, sendo l o numero de nıveis

de violacao das restricoes definidas.

Outras abordagem foi proposta em 1996 por Hoffmeister e Sprave [114], e propoe o

uso de uma funcao de penalizacao conforme a Equacao 4.6, onde a aptidao F (x) e dada

por:

F (x) = f(x) +

√√√√ m∑i=1

H(−gi(x))gi(x)2 (4.6)

onde

H(y) =

1, y > 0

0, y ≤ 0(4.7)

Algumas desvantagens podem ser observadas para a penalizacao estatica:

• O numero de parametros pode aumentar proporcionalmente ao numero de restricoes;

• Pode ocorrer de se penalizar uma determinada solucao candidata com violacoes

pequenas da mesma forma que se penaliza uma outra solucao com violacoes maiores.

Isto pode levar uma partıcula proxima ao otimo a se afastar, dificultando a busca

da solucao desejada.

4.3 Penalizacao Dinamica

As penalizacoes dinamicas vieram como alternativa de suprir a dificuldade do usuario

em determinar os coeficientes de penalizacao, uma desvantagem das penalizacoes estaticas.

50

Nas penalizacoes dinamicas, o perıodo ou instante do processo evolutivo esta diretamente

envolvido com os coeficientes de penalizacao.

Um metodo pioneiro utilizando esse tipo de abordagem foi proposto por Joines e Houck

[115] em 1994. Os indivıduos sao avaliados conforme a Equacao 4.8.

F (x) = f(x) + (C · t)α · SV C(β,x) (4.8)

onde as constantes C, α e β sao definidas pelo usuario e SV C(β,x) e definida como:

SV C(β,x) =

ng∑i=1

Dβi (x) +

nh∑j=1

Dj(x) (4.9)

Di(x) e Dj(x) podem ser definidos conforme as Equacoes 4.10 e 4.11, respectivamente.

Di(x) =

0, gi(x) ≤ 0

|gi(x)|, caso contrario.1 ≤ i ≤ ng (4.10)

Dj(x) =

0, −ε ≤ hj(x) ≤ ε

|hj(x)|, caso contrario.1 ≤ j ≤ nh (4.11)

4.4 Penalizacao Adaptativa

Nas funcoes com penalizacao adaptativa, os parametros de penalizacao sao atualizados

ao longo do processo de evolucao, de acordo com informacoes coletadas da populacao.

Assim, eles podem ser alterados baseando-se nas geracoes, no grau de violacao das

restricoes do problema, na funcao objetivo, entre outros.

Um metodo de penalizacao adaptativa que tem seu fator de penalizacao alterado a

cada geracao foi proposto por Bean e Hadj-Alouane [116]. A funcao objetivo e dada

conforme a Equacao 4.12.

F (x) = f(x) + λ(t)

[ng∑j=1

g2j (x) +

nh∑k=1

|hk(x)|

](4.12)

51

onde λ e atualizado a cada geracao t da seguinte maneira:

λ(i+ 1) =

1β1λ(i), se bi for sempre factıvel

β2λ(i), se bi nunca for factıvel

λ(i), caso contrario.

(4.13)

onde bi e o melhor elemento da geracao i, β1 6= β2 e β1, β2 > 1. Neste metodo, o

parametro de penalizacao da geracao i + 1 diminui quando os melhores indivıduos das

ultimas geracoes sao factıveis, aumenta se esses indivıduos sao infactıveis ou nao sofrem

nenhuma alteracao.

Em 1993, Smith e Tate [117] propuseram uma abordagem que mais tarde foi refinada

por Coit e Smith [118] e Coit et al. [119], em que a magnitude da penalizacao e

dinamicamente modificada de acordo com a fitness da melhor solucao encontrada ate

o momento. A funcao objetivo penalizada e definida conforme a Equacao 4.14.

F (x) = f(x) + (Bfactivel −Btodos)n∑i=1

(gi(x)

NFT (t)

)k(4.14)

onde Bfactivel e o melhor valor da funcao objetivo da geracao t, Btodos e o melhor valor geral

da funcao objetivo nao penalizada da geracao t, gi(x) e o valor acumulado da violacao

da restricao i, k e uma constante que determinada a severidade da penalizacao e NFT ,

denominado como Limiar de Viabilidade mais Proximo (Near Feasibility Threshold), e

definido como o limiar da distancia da regiao factıvel e infactıvel do espaco de busca.

Hamida e Schoenauer [120] propuseram uma abordagem que utiliza mecanismos de

adaptacao ao nıvel da populacao. Primeiro, uma funcao de penalizacao adaptativa cuida

dos coeficientes de penalizacao de acordo com a proporcao de indivıduos factıveis na

populacao atual. Em seguida, uma estrategia de selecao/seducao e usada para combinar

os indivıduos factıveis com os infactıveis e, portanto, explorar a regiao ao redor da fronteira

do domınio factıvel. Por fim, a selecao e ajustada para favorecer um determinado numero

de indivıduos factıveis.

Foi desenvolvida por Lin e Wu [121] uma estrategia de penalizacao adaptativa para

a manipulacao de problemas de otimizacao com restricoes sem a necessidade da busca

por valores apropriados de fatores de penalizacao. O metodo e baseado na ideia de que a

solucao otima e quase sempre localizado na fronteira entre os domınios factıvel e infactıvel.

A estrategia ajusta automaticamente o valor do parametro de penalizacao usado para cada

52

restricao de acordo com a razao entre o numero de violacoes de uma restricao especıfica

e o numero de restricoes satisfeitas.

Uma funcao de penalizacao auto-adaptativa proposta por Tessema e Yen [122] para

a solucao de problemas de otimizacao com restricoes via algoritmo genetico utiliza uma

nova funcao objetivo denominada valor de distancia d(x).

Inicialmente o metodo calcula o menor e o maior valor de fitness denominados fmin e

fmax, respectivamente. Assim, o valor da fitness de cada indivıduo e atualizado subtraindo

fmin conforme Eq. 4.15.

f ′(x) = f(x)− fmin (4.15)

onde f(x) e o valor da funcao objetivo e f ′(x) e a nova funcao objetivo normalizada

conforme a Equacao 4.16

f ′′(x) =f ′(x)

fmax − fmin(4.16)

onde f ′′(x) e o valor da funcao objetivo normalizado.

Realizada essas duas transformacoes, a funcao aptidao vai estar entre 0 e 1. A violacao

da restricao de cada indivıduo infactıvel e a media das violacoes normalizadas, conforme

a Equacao 4.17.

v(x) =1

m

x∑j=1

cj(x)

c maxj(4.17)

e cj(x) e definido como:

cj(x) =

max(0, g(x)), j = 1, ..., k

max(0, |h(x)| − ε), j = k + 1, ...,m(4.18)

onde ε e o valor de tolerancia (10−4 ou 10−5) e m e o numero total de restricoes.

Portanto, o valor de distancia d(x) utilizado para ordenar os indivıduos e formalizado

conforme a Equacao 4.19.

d(x) =

v(x), se rf = 0√f ′′(x)2 + v(x)2, caso contrario

(4.19)

53

onde

rf =numero de indivıduos factıveis

tamanho da populacao(4.20)

Uma nova abordagem denominada ADP (Automatic Dynamic Penalisation), foi

desenvolvida por Montemurro et al. [123] para o tratamento de problemas de otimizacao

com restricoes. A ideia do metodo consiste na possibilidade de explorar a informacao

contida na populacao, na geracao atual, a fim de orientar a busca por todo o domınio

dando uma avaliacao adequada aos coeficientes de penalizacao.

Recentemente, um livro intitulado “Constraint-Handling in Evolutionary

Optimization”, que apresenta varios algoritmos e tecnicas para resolver problemas

de otimizacao com restricoes em varias areas da engenharia, matematicva, quımica,

fısica, e assim por diante, foi editado por Mezura-Montes [124]. Os temas apresentados

neste livro mostram os destaques das pesquisas atuais e as tendencias futuras na area de

tratamento de restricoes em computacao evolucionista como, por exemplo: (i) A geracao

de mecanismos especiais que focam a busca das fronteiras do espaco de busca factıvel e a

importancia de solucoes infactıveis nos processos evolutivos; (ii) Tratamento de restricoes

na otimizacao multi-objetivo; (iii) Controle de parametros otimos para informar o

usuario maneiras adequadas de ajustar os mesmos; (iv) Algoritmos hıbridos, como busca

global-local, combinacao de heurısticas baseadas em abordagens e uso de metodos de

programacao matematica com o objetivo de melhorar o potencial da busca em espacos de

busca com restricoes; (v) A exploracao de novas abordagens bioinspiradas como enxame

de partıculas, colonia de formigas, sistemas imunologicos artificiais, evolucao diferencial,

entre outros e (vi) Tecnicas para tratamento de restricoes com nıvel razoavel de robustez

com um pequeno numero de avaliacoes da funcao objetivo.

4.4.1 Estrategias de penalizacao aplicadas ao PSO

Varios autores notaram o quao importante e conseguir o equilıbrio adequado entre

a tecnica de diversidade de controle, a tecnica de manipulacao de restricoes e as

caracterısticas particulares dos algoritmos de busca. A principal desvantagem de um

algoritmo PSO e sua convergencia prematura, que pode ser aumentada por tecnicas

de manipulacao de restricoes que supervalorizam as partıculas infactıveis [125]. Com

o objetivo de tentar amenizar esses problemas, muitas abordagens sao encontradas

54

na literatura combinando estrategias de manipulacao da diversidade com tecnicas de

manipulacao de restricoes.

Em 2001, Ray e Liew [126] apresentaram uma estrategia de compartilhamento de

informacoes multinıvel dentro de um enxame para a manipulacao de problemas de

otimizacao mono-objetivo com e sem restricoes.

Foi apresentado por Hu et al. [127] um algoritmo PSO modificado para problemas

de otimizacao com restricoes em engenharia. O algoritmo e iniciado com um grupo de

solucoes factıveis e uma funcao de factibilidade e usada para verificar se as solucoes recem-

exploradas satisfazem todas as restricoes. Assim, todas as partıculas devem manter apenas

as solucoes factıveis.

Em 2005, Munoz et al. [128] introduziram o algoritmo PESO (Particle Evolutionary

Swarm Optimization) para resolver problemas de otimizacao com restricoes. Com

o objetivo de controlar a convergencia prematura e a baixa diversidade, dois novos

operadores de perturbacao foram introduzidos: “c-perturbacao” e “m-perturbacao”. O

PESO obteve resultados superiores quando comparado a outros algoritmos PSO.

Aguirre et al. [125] desenvolveram em 2007 o algoritmo COPSO (Constrained

Optimization via Particle Swarm Optimization) para a solucao de problemas de

otimizacao com restricoes mono-objetivo. O COPSO inclui dois novos operadores de

perturbacao e uma estrutura de vizinhanca em anel. Varios experimentos em problemas

de engenharia mostraram que o COPSO e robusto, competitivo e rapido. No mesmo

ano, Li et al. [129] apresentaram um algoritmo denominado Heuristic Particle Swarm

Optimization (HPSO) para a otimizacao de estruturas conectadas por pinos. O algoritmo

e baseado em um PSO com congregacao passiva (PSOPC) [130] e um esquema de busca

harmonia (HS) [131]. Os resultados mostraram que o algoritmo HPSO pode efetivamente

acelerar a taxa de convergencia e atingir mais rapidamente a solucao otima comparado

aos outros algoritmos.

Uma outra abordagem para a manipulacao de restricoes via PSO, denominada

SiC-PSO (Simple Constrained Particle Swarm Optimization), adota uma estrategia de

manipulacao de restricoes simples inspirada na estrategia do Deb [132]. As partıculas

sao comparadas em pares no momento da escolha do pBest, gBest e lBest : (i) se duas

partıculas forem factıveis, e escolhida a que tem o melhor valor da funcao objetivo; (ii)

se duas partıculas forem infactıveis, e escolhida a que tiver menor grau de infactibilidade

55

e (iii) se uma partıcula e factıvel e a outra infactıvel, e escolhida a partıcula factıvel.

Mais detalhes da abordagem podem ser observados em [133]. O esquema proposto se

mostrou uma alternativa promissora pois obteve bons resultados com um numero baixo

de avaliacoes da funcao objetivo.

4.5 Um Metodo de Penalizacao Adaptativa (APM)

O metodo de penalizacao adaptativa, denominado APM (Adaptative Penalty Method),

foi originalmente desenvolvido por Barbosa e Lemonge [37] para aplicacao em problemas

com restricoes. O metodo nao requer nenhum parametro definido pelo usuario, nao

demanda o conhecimento do problema e usa informacao da populacao, tais como a media

da funcao objetivo e o nıvel de violacao de cada restricao para o calculo dos coeficientes

de penalizacao.

Em 2003, Barbosa e Lemonge [134] estudaram o comportamento dos parametros do

APM atraves de testes utilizando um algoritmo genetico. Finalmente em 2004, uma

pequena mas importante modificacao foi introduzida levando a sua forma atual. Assim,

a funcao de aptidao para um problema de minimizacao e definida como [135]:

F (x) =

f(x), se x e factıvel

f(x) +∑m

j=1 kjvj(x), caso contrario.(4.21)

onde

f(x) =

f(x), se f(x) > 〈f(x)〉

〈f(x)〉 , caso contrario.(4.22)

e 〈f(x)〉 e a media dos valores da funcao objetivo da populacao atual.

A Figura 4.1, adaptada de [4], apresenta solucoes factıveis e infactıveis. Dentre o

conjunto das 6 solucoes infactıveis (1, 2, ..., 6), os indivıduos 1, 2, 3 e 4 (representados

por cırculos abertos), tem seus valores de funcao objetivo menores que a media da funcao

objetivo da populacao e, de acordo com o metodo APM, o valor de f(x) e alterado para

a media da funcao objetivo 〈f(x)〉 para estas solucoes. Os indivıduos 5 e 6 tem o valor

da funcao objetivo pior do que o da media da populacao e, assim, f(x) = f(x).

56

Figura 4.1: Descricao da funcao f , adaptada de [4].

O parametro de penalizacao kj e definido para cada geracao como:

kj = | 〈f(x)〉 | 〈vj(x)〉∑ml=1[〈vl(x)〉]2

(4.23)

onde 〈vj(x)〉 e o somatorio das violacoes j de todos os indivıduos dividido pelo numero

de indivıduos da populacao (factıveis e infactıveis).

A ideia do metodo e que os valores dos coeficientes de penalizacao sejam distribuıdos de

tal forma que as restricoes mais difıceis de serem satisfeitas tenham o valor do coeficiente

de penalizacao relativamente mais alto.

O APM tem sido usado em varios trabalhos encontrados na literatura. Alguns deles

sao citados a seguir. Em [136], Young et al. propos uma nova implementacao com

destaques para modificacoes na populacao corrente de um AG, introduzindo diversidade,

para evitar convergencia prematura.

Gallet et al. [137] desenvolveu um AG com o objetivo de pre-dimensionar um painel

enrijecido da fuselagem de uma aeronave submetido a cargas de compressao. A restricoes

nao lineares foram tratadas com o uso do APM.

A implementacao de uma abordagem auto-adaptativa atraves de um AG para

aplicacoes em problemas de otimizacao com restricoes em eletromagnetismo foi

apresentada por Rocha e Fernandes em [39] onde o APM foi modificado para tal uso.

O APM tambem foi acoplado a outros algoritmos evolucionistas como por exemplo

57

a Evolucao Diferencial como maquina de busca acoplada ao APM e suas variantes

apresentada por Krempser et al. em [30]. Em [40] Venter e Haftka apresentaram

um algoritmo do tipo PSO usando uma formulacao bi-objetivo usando o APM para o

tratamento das restricoes.

Em [138] Barbosa et al. mostraram um estudo comparativo do desempenho do APM

e a tecnica do ranqueamento estocastico, usando uma estrategia evolucionista, proposto

por Runarsson e Yao [17]. Os metodos foram comparados usando-se a implementacao

dos mesmo em um AG simples basico sem muitos ingredientes. Um estudo comparativo

envolvendo um numero razoavel de tecnicas para tratamento de restricoes com aplicacao a

um problema de otimizacao envolvendo rotas de dutos submarinos foi apresentado em [139]

por Lucena et al. Algoritmos hıbridos aplicados em problemas de otimizacao decorrentes

da injecao de agua para a recuperacao de pocos de petroleo foram apresentados por

Oliveira et al. em [140] e o APM foi usado com sucesso para o tratamento das restricoes.

O projeto otimo de fundacoes onde a configuracao desejada envolveu a busca dos

melhores agrupamentos atraves de restricoes de cardinalidade usadas por Barbosa e

Lemonge em [141], foi proposto por Liu et al. em [142]. As restricoes do problema

foram tratadas com o APM. Yousefi et al. [41] usou o APM para tratar as restricoes

envolvidas em problemas de otimizacao de projetos de trocadores de calor compactos e o

PSO foi o algoritmo de busca adotado. Os mesmos autores deste ultimo trabalho usaram

o algoritmo chamado Busca Harmonica com o APM acoplado para resolver problemas de

otimizacao de elementos estruturais usados nestes mesmos trocadores em [143].

4.5.1 Variantes do APM

No ano de 2008 Barbosa e Lemonge [4] apresentaram 4 variacoes para o APM, que

sao descritas a seguir:

• Sporadic APM (APM Spor): o metodo (i) calcula as violacoes das restricoes vj na

populacao atual, (ii) atualiza os coeficientes de penalidade kj e (iii) os mantem por

uma quantidade fixa de geracoes;

• Sporadic Acumulation APM (APM Spor Acum): o metodo (i) acumula as violacoes

das restricoes por um numero fixo de geracoes, (ii) atualiza os coeficientes de

penalidade kj e (iii) os mantem por uma quantidade fixa de geracoes;

58

• Sporadic Monotonic APM (APM Spor Mono): nenhum coeficiente de penalizacao

kj pode ter seu valor reduzido ao longo das geracoes, ou seja, se knovoj < katualj entao

knovoj = katualj ;

• Damping APM (APM Damp) : o metodo e definido como knovoj = θknovoj + (1 −

θ)katualj , onde θ ∈ [0, 1].

Outras variantes para o APM foram propostas por Garcia et al. [5] e posteriormente

testadas por Carvalho et al. [144]. As variacoes sao enunciadas a seguir:

• Variacao 01: f(x) e modificada conforme a descricao a seguir:

f(x) =

f(x), se f(x) > bf(x)c

bf(x)c , caso contrario.(4.24)

em que bf(x)c e o valor da funcao objetivo do pior indivıduo factıvel da populacao

atual. Caso nao existam indivıduos factıveis, e utilizada a media da funcao objetivo;

• Variacao 02: no calculo do fator de penalizacao kj, que originalmente utilizava a

media da funcao objetivo, agora adota-se o valor da funcao objetivo do pior indivıduo

factıvel da populacao atual, conforme a Equacao que segue:

kj = | bf(x)c | 〈vj(x)〉∑ml=1[〈vl(x)〉]2

(4.25)

• Variacao 03: 〈vj(x)〉, que originalmente representava a media das violacoes de todos

os indivıduos em cada restricao, e entao definida como o somatorio das violacoes de

todos os indivıduos na restricao j dividido pelo numero de indivıduos que violam

essa restricao;

• Variacao 04: 〈f(x)〉, que representava a media da funcao objetivo, agora representa

o somatorio da funcao objetivo de todos os indivıduos da populacao atual dividido

pelo numero de indivıduos infactıveis, dada pela Equacao 4.26.

kj = | 〈〈f(x)〉〉| 〈vj(x)〉∑ml=1[〈vl(x)〉]2

(4.26)

59

• Variacao 05: a modificacao ocorre na determinacao de f(x). Utiliza-se o novo

valor da media da funcao objetivo 〈〈f(x)〉〉, conforme descrito na Variacao 04. A

formulacao pode ser observada pela Equacao 4.27.

f(x) =

f(x), se f(x) > 〈〈f(x)〉〉

〈〈f(x)〉〉, caso contrario.(4.27)

Na Tabela 4.1 sao apresentadas as variantes desenvolvidas por Garcia et al. [5] a partir

das variacoes 01 a 05, bem como algumas combinacoes entre elas.

Tabela 4.1: Variantes propostas por Garcia et al. [5] para o APM.

VariacoesMetodos

01 02 03 04 05APM Worst XAPM Worst 2 XAPM Worst 3 X XAPM Med XAPM Med 2 X X XAPM Med 3 X XAPM Med 4 X XAPM Med 5 XAPM Med 6 XAPM Med 7 X XAPM Med Worst X XAPM Med Worst 2 X X X

Portanto, quando referir-se ao metodo APM Med 3, por exemplo, serao consideradas

as seguintes modificacoes no metodo APM original:

• No calculo do parametro de penalizacao kj, 〈vj(x)〉 sera o somatorio das violacoes

de todos os indivıduos na restricao j dividido pelo numero de indivıduos que

violam essa restricao;

• Ainda no calculo do parametro de penalizacao kj, 〈f(x)〉, que antes representava a

media da funcao objetivo, agora representa o somatorio da funcao objetivo de todos

os indivıduos da populacao atual dividido pelo numero de indivıduos infactıveis.

Alem dessas variantes, foi modificado o Sporadic Monotonic APM, ja proposta em [4],

com a finalidade de testa-la sem o acumulo de violacoes. A nova variante, denominada

60

Monotonic APM (APM Mono), funciona da mesma maneira que o APM original sem

acumular violacoes, porem se knovoj < katualj entao knovoj = katualj .

61

5 Experimentos Numericos

5.1 Implementacao

Foi desenvolvido um algoritmo PSO em linguagem de programacao C utilizando os

mesmos parametros para todos os testes: codificacao real das variaveis, quantidade de

partıculas igual a 50, vcrazinessi = 0.001, c1 = c2 = 2.05, Pcr = 0.5, topologia de vizinhanca

global e tolerancia para restricoes de igualdade ε = 0.0001;

Os parametros utilizados para as variantes do APM sao: para a APM Damp θ recebe

o valor de 0.5 e para as variantes APM Spor Acum e APM Spor Mono o k e atualizado

a cada 10 geracoes.

Diversos experimentos computacionais foram realizados a fim de testar a eficiencia

do PSO juntamente com o APM e suas variantes. As funcoes utilizadas abrangem

problemas de otimizacao em matematica, engenharia mecanica e estrutural. Para os

problemas da matematica, foram utilizadas 24 funcoes conhecidas como G-Suite, ou suite

de funcoes. Os problemas de engenharia utilizados sao: Mola Sob Tracao/Compressao,

Redutor de Velocidade, Viga Soldada, Vaso de Pressao e Viga Engastada e Livre. Nos

testes envolvendo problemas de otimizacao estrutural, foram utilizadas 5 tipos de trelicas,

planas e espaciais, sendo elas: trelicas de 10, 25, 52, 60 e 72 barras.

Os testes foram feitos num total de 35 execucoes independentes e as solucoes

consideradas foram apenas as factıveis. Os resultados dos problemas propostos sao

apresentados em tabelas e os melhores resultados sao destacados em negrito. As tabelas

sao apresentadas da seguinte maneira:

• metodo: metodo utilizado para a busca da solucao do problema;

• melhor : e o melhor valor encontrado pelo metodo;

• mediana: e o valor central da distribuicao dos valores encontrados;

• media: e o valor da media aritmetica dos valores encontrados;

• pior : e o pior valor encontrado pelo algoritmo dentre todos os valores;

• dp: desvio padrao;

62

• nesf : numero total de execucoes que foram encontradas solucoes factıveis;

• na: numero de avaliacoes da funcao objetivo.

Uma analise preliminar envolvendo as variantes do APM, enunciadas no capıtulo 4,

e proposta com o objetivo de encontrar aquelas que obtiveram o melhor desempenho

em todos os experimentos e posteriormente utiliza-las na apresentacao dos resultados

e comparacoes com outros algoritmos encontrados na literatura. Foram testadas as 4

variantes propostas por Barbosa e Lemonge [4]: Sporadic APM (APM Spor), Sporadic

Acumulation APM (APM Spor Acum), Sporadic Monotonic APM (APM Spor Mono) e

Damping APM (APM Damp), as melhores variantes encontradas em Carvalho et al. [144]

e a variante denominada APM Worst.

Garcia et al. [5] propuseram 12 novas variantes para o APM, conforme introduzido

no capıtulo 4. Carvalho et al. [144] testaram cada variante proposta acopladas a um

algoritmo genetico geracional em um conjunto de problemas de engenharia mecanica e

estrutural. As melhores variantes encontradas em [144] foram: APM Med 3 e APM Med.

Portanto, as variantes que serao utilizadas na analise que sera apresentada na secao

5.3 sao: APM Spor, APM Spor Acum, APM Spor Mono, APM Damp, APM Worst,

APM Med 3, APM Med e o APM original.

5.2 Perfis de desempenho

A comparacao dos resultados da otimizacao dos problemas testes e realizada atraves

de uma ferramenta grafica conhecida como perfis de desempenho (do ingles, Perfomance

Profiles). Os perfis de desempenho foram propostos por Dolan e More [43] para

facilitar a interpretacao e visualizacao dos resultados obtidos em experimentos com grande

quantidade de dados.

A avaliacao experimental de algoritmos na pratica nao e nada trivial e apresenta

algumas dificuldades, tais como Silva [145]: a definicao de conjuntos de problemas

e heterogenea, a decisao de como representar e interpretar os resultados obtidos nos

experimentos e a determinacao de medidas de desempenho para avaliar o algoritmo.

Considere um conjunto P de problemas teste pj, com j = 1, 2, ..., np, um conjunto

de algoritmos ai com i = 1, 2, ..., na e tp,a > 0 uma metrica de desempenho (como, por

63

exemplo, tempo computacional, media, etc.). A razao de desempenho e definida como:

rp,a =tp,a

min{tp,a : a ∈ A}. (5.1)

O perfil de desempenho do algoritmo e definido como:

ρa(τ) =1

np|{p ∈ P : rp,a ≤ τ}| (5.2)

onde ρa(τ) e a fracao de problemas resolvidos pelo algoritmo com desempenho dentro de

um fator τ do melhor desempenho obtido, considerando todos os algoritmos.

Algumas propriedades em relacao ao melhor desempenho do algoritmo podem ser

observadas em Barbosa et al. [146]:

• Quando τ = 1, ρa(τ) e a fracao de problemas em que o algoritmo apresenta melhor

desempenho quando comparado com os demais algoritmos;

• Quando τ = ∞, ρa(τ) representa a fracao de problemas que o algoritmo consegue

resolver;

• ρa(1) e a porcentagem de problemas em que o algoritmo a tem melhor desempenho.

Considerando dois algoritmos E e F , se ρE(1) > ρF (1) entao, o algoritmo E resolve

uma quantidade maior de problemas que o algoritmo F .

Uma extensao dessa ferramenta para trabalhar com algoritmos estocasticos foi

proposta por Barreto et al. [147] e ficou conhecida como perfil de desempenho

probabilıstico. A ideia era de utilizar uma ferramenta que a princıpio foi desenvolvida para

ambientes determinısticos em algoritmos estocasticos, ja que estes trazem muita incerteza

devido aos diferentes desempenhos nas suas diversas execucoes. Outras aplicacoes

envolvendo os perfis de desempenho em problemas com restricoes, podem ser observadas

nas referencias [146, 148].

A seguir e apresentado um exemplo do uso dos perfis de desempenho onde sao

analisados tres algoritmos A, B e C para a solucao de 5 problemas P1, P2, P3, P4 e

P5. Os valores obtidos para cada problema em cada algoritmo e detalhado na Tabela 5.1.

A Figura 5.1 apresenta o grafico dos perfis de desempenho onde os algoritmos A e C

apresentaram o maior valor de ρ(1), o que significa que os metodos obtiveram o melhor

64

Tabela 5.1: Desempenho dos cinco problemas obtidos atraves dos algoritmos A, B e C.

P1 P2 P3 P4 P5A 10.5 2.9 15.9 0.7 7.7B 9.3 4.5 16.0 1.1 7.5C 12.9 2.2 13.6 2.0 6.5

desempenho em um numero maior de problemas. O algoritmo C apresentou o menor valor

de τ , tal que ρ(τ) = 1, e, portanto, e considerado o mais robusto. A Tabela 5.2 apresenta

as areas sob as curvas dos perfis de desempenho, onde o algoritmo C obtive o maior valor

de area e e considerado o metodo com o melhor desempenho global.

Figura 5.1: Um exemplo do uso da ferramenta Perfis de desempenho.

Tabela 5.2: Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho do algoritmos A,B e C.

Algoritmo C A B

Area 1 0.83449 0.82442

65

5.3 Analise das variantes do APM

A analise das variantes e feita utilizando todos os experimentos considerando o valor

da media da funcao objetivo. Os perfis de desempenho, introduzido na secao anterior,

e utilizado como ferramenta para obter uma analise mais detalhada e conclusiva do

grande volume de resultados. A Figura 5.2(a) no intervalo τ ∈ [1; 1.0000005] apresenta o

grafico dos perfis de desempenho, onde o APM apresentou o maior valor de ρ(1), o que

significa que o metodo obteve o melhor desempenho em um numero maior de problemas.

A Figura 5.2(b) apresenta o grafico dos perfis de desempenho onde o APM Med 3

apresentou o menor valor de τ , tal que ρ(τ) = 1, e, portanto, e considerado o mais

robusto. A Tabela 5.3 apresenta as areas sob as curvas dos perfis de desempenho, onde

o APM Med 3, APM Worst, APM e APM Spor Mono obtiveram os maiores valores de

area e sao considerados os metodos com o melhor desempenho global. Portanto, esses

metodos serao utilizados na apresentacao e comparacao dos resultados dos experimentos.

(a) (b)

Figura 5.2: Perfis de desempenho das variantes.

Nas secoes a seguir sao apresentados os resultados dos experimentos computacionais

dos quatro metodos divididos em tres conjuntos: suite de funcoes, problemas classicos da

engenharia e problemas de otimizacao estrutural. Ao final de cada secao e apresentado

uma analise considerando os melhores metodos para cada conjunto de problemas

utilizando como metricas o melhor valor e a media da funcao objetivo. O volume de

resultados apresentados e considerado grande. Dessa maneira, a secao 5.7 apresenta um

66

Tabela 5.3: Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho para as variantes.

Metodo AreaAPM Med 3 1APM Worst 0.9668

APM 0.9664APM Spor Mono 0.9663

APM Med 0.9333APM Spor 0.9118

APM Spor Acum 0.8536APM Damp 0.8313

resumo envolvendo todas as analises apresentadas nas secoes 5.4, 5.5 e 5.6, bem como a

variante que obteve o melhor desempenho em todos os experimentos analisados.

5.4 Suite de Funcoes

Um conjunto de problemas teste com 24 funcoes, denominado G-Suite e propostas por

Liang et. al [6], foi utilizado para analisar a eficiencia de cada metodo. O conjunto e

constituıdo de diferentes tipos de funcoes que envolvem restricoes de igualdade linear, de

desigualdade linear e, tambem, de desigualdade nao linear. Detalhes de cada uma das 24

funcoes testes sao apresentados em [6] e podem ser observados na Tabela 5.4.

Os experimentos foram realizados considerando tres nıveis de avaliacoes da funcao

objetivo: 5000, 50000 e 500000, comumente usados na literatura para estes experimentos.

As tres primeiras linhas de cada tabela apresentam os resultados encontrados para 5000

avaliacoes da funcao objetivo. As linhas 4, 5 e 6 apresentam os resultados para 50000

avaliacoes da funcao objetivo e as tres ultimas linhas apresentam os resultados para 500000

avaliacoes da funcao objetivo. As funcoes G20, G21 e G22 foram desconsideradas pois

nao foram encontradas solucoes factıveis para os problemas.

Devido ao grande numero de estudos encontrados na literatura com as funcoes G-Suite

e a grande quantidade de resultados, optou-se por nao fazer comparacoes com outros

resultados da literatura. O Apendice A apresenta os resultados encontrados para cada

funcao nos tres nıveis de avaliacao.

Os resultados com 5000 e 50000 avaliacoes para a funcao G5 na Tabela A nao sao

apresentados pois nenhum dos metodos obtiverem solucoes factıveis.

67

Tabela 5.4: Detalhes sobre o conjunto de 24 funcoes teste extraıdo de [6]. O numerode variaveis de projeto e indicado por n, ρ e a taxa estimada entre a regiao factıvel e oespaco de busca, ni e o numero de restricoes de igualdade e ne e o numero de restricoesde desigualdade.

Problema n Tipo da funcao ρ(%) ni neG01 13 quadratica 0.0111 9 0G02 20 nao linear 99.9971 2 0G03 10 polinomial 0.0000 0 1G04 5 quadratica 52.1230 6 0G05 4 cubica 0.0000 2 3G06 2 cubica 0.0066 2 0G07 10 quadratica 0.0003 8 0G08 2 nao linear 0.8560 2 0G09 7 polinomial 0.5121 4 0G10 8 linear 0.0010 6 0G11 2 quadratica 0.0000 0 1G12 3 quadratica 4.7713 1 0G13 5 nao linear 0.0000 0 3G14 10 nao linear 0.0000 0 3G15 3 quadratica 0.0000 0 2G16 5 nao linear 0.0204 38 0G17 6 nao linear 0.0000 0 4G18 9 quadratica 0.0000 12 0G19 15 nao linear 33.4761 5 0G20 24 linear 0.0000 6 14G21 7 linear 0.0000 1 5G22 22 linear 0.0000 1 19G23 9 linear 0.0000 2 4G24 2 linear 79.6556 2 0

5.4.1 Discussao da suite de funcoes

A Figura 5.3(a) apresenta o grafico dos perfis de desempenho no intervalo τ ∈

[1; 1.000005] para o suite de funcoes utilizando 5000 avaliacoes da funcao objetivo e o

melhor valor da funcao objetivo. E possıvel verificar que as curvas do APM e da variante

APM Worst apresentaram o maior valor de ρ(1), o que significa que os metodos obtiveram

o melhor desempenho em um numero maior de problemas. Na Figura 5.3(b) apresenta-se

o grafico dos perfis de desempenho onde os menores valores de τ , tal que ρ(τ) = 1 e

tambem do APM e APM Worst, fazendo desses metodos os mais robustos. A Tabela 5.5

apresenta as areas sob as curvas dos perfis de desempenho onde o APM e o APM Worst

novamente apresentam-se em primeiro e segundo lugar, respectivamente. Isso faz com

68

que eles sejam os metodos com o melhor desempenho global para este cenario.

(a) (b)

Figura 5.3: Perfis de desempenho utilizando o melhor valor para 5000 avaliacoes.

Tabela 5.5: Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando o melhorvalor para 5000 avaliacoes.

Metodo APM APM Worst APM Spor Mono APM Med 3

Area 1 0.99949 0.94474 0.94464

Utilizando agora o valor da media nas comparacoes, o grafico dos perfis de desempenho

e apresentado na Figura 5.4(a) no intervalo τ ∈ [1; 1.000005]. A variante APM Worst

obteve o melhor desempenho em um numero maior de problemas, ou seja, a curva de tal

metodo apresentou o maior valor de ρ(1). A variante APM Worst e o APM obtiveram

os menores valores de τ , tal que ρ(τ) = 1 conforme Figura 5.4 (b), sendo considerados os

mais robustos. A Tabela 5.6 apresenta as areas sob as curvas dos perfis de desempenho

com o APM Wosrt em primeiro e o APM em segundo lugar. Portanto, para o primeiro

nıvel de avaliacoes a variante APM Worst e o APM foram os metodos mais robustos.

Para o segundo nıvel de avaliacoes e utilizando o melhor valor, a variante APM Med 3

obteve o melhor desempenho em uma quantidade maior de problemas como pode ser

observado na Figura 5.5(a) no intervalo τ ∈ [1; 1.00000005]. As variantes que obtiveram

os maiores valores para τ , tal que ρ(τ) = 1 e sao consideradas as mais robustas para

69

(a) (b)

Figura 5.4: Perfis de desempenho utilizando a media para 5000 avaliacoes.

Tabela 5.6: Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando a mediapara 5000 avaliacoes.

Metodo APM Worst APM APM Spor Mono APM Med 3

Area 1 0.99992 0.94439 0.94437

este cenario foram APM Med 3 e APM Spor Mono, conforme Figura 5.5(b). A variante

que obteve o maior valor de area, conforme a Tabela 5.7, foi APM Med 3. Essa variante

tambem resolveu um numero maior de problemas, conforme mencionado anteriormente,

e, portanto, e considerada a variante como o melhor desempenho global. Contudo, o

APM Spor Mono ficou muito proximo alcancando o segundo lugar com um valor de area

de 0.99999.


Metodo APM Med 3 APM Spor Mono APM APM Worst

Area 1 0.99999 0.94736 0.94736

Utilizando ainda 50000 avaliacoes da funcao objetivo e nesse momento o valor da

media nas comparacoes, a variante que aparesentou o maior valor de ρ(1) foi APM Worst,

70

(a) (b)


conforme Figura 5.6(a) no intervalo τ ∈ [1; 1.000005], seguida do APM Med 3. A Figura

5.6(b) apresenta o grafico dos perfis de desempenho onde o metodo com o menor valor

de τ , tal que ρ(τ) = 1, e considerado o mais robusto. Nesse cenario, os metodos

APM Med 3 e APM Spor Mono obtiveram os maiores valores e sao considerados os mais

robustos. A Tabela 5.8 reforca o que foi concluıdo a partir da Figura 5.6(b) e apresenta

as variantes APM Med 3 e APM Spor Acum com os maiores valores de area, 1 e 0.99995,

respectivamente. Portanto, para o segundo nıvel de avaliacoes a variante considerada de

melhor desempenho e a APM Med 3.


Metodo APM Med 3 APM Spor Mono APM Worst APM

Area 1 0.99995 0.894736 0.894736

No terceiro e ultimo nıvel de avaliacoes para o suite de funcoes e utilizando o melhor

valor, a variante APM Med 3 obteve o melhor desempenho em um numero maior de

problemas conforme grafico dos perfis de desempenho apresentado na Figura 5.7(a) no

intervalo τ ∈ [1; 1.000005] e obteve o menor valor de τ , tal que ρ(τ) = 1, conforme

Figura 5.7(b). Portanto, ela e considerada a variante mais robusta. Analisando a area

71

(a) (b)


sob as curvas dos perfis de desempenho atraves da Tabela 5.9, as variaveis APM Med 3

e APM Spor Mono obtiveram os maiores valores de area, respectivamente.

(a) (b)


Por fim, utilizando o valor da media nas comparacoes, a Figura 5.8(a) no intervalo

τ ∈ [1; 1.000000005] apresenta o metodo APM Med 3 juntamente com o APM Spor Mono

como aqueles que obtiveram o melhor desempenho em uma quantidade maior de

problemas. Na Figura 5.8(b) o APM Med 3 mostrou melhor desempenho apresentando

72


Metodo APM Med 3 APM Spor Mono APM APM Worst

Area 1 0.949340 0.94902 0.90404

o menor valor de τ , tal que ρ(τ) = 1 e e consideravel o metodo mais robusto. A Tabela

5.10 apresenta os valores das areas sob as curvas dos perfis de desempenho e comprova

a qualidade do metodo APM Med 3 para esse nıvel de avaliacao, com um valor de area

igual a 1. Essa variavel e portanto considerada a que possui o melhor desempenho global

para esse cenario.

(a) (b)



Metodo APM Med 3 APM APM Worst APM Spor Mono

Area 1 0.95185 0.92695 0.90824

73

Um resumo envolvendo as analises da suite de funcoes para os tres nıveis de avaliacao

da funcao objetivo 5000, 50000 e 500000 com as metricas melhor e media e apresentado

na Tabela 5.11. Observa-se que a variante APM Med 3 nao obteve um bom desempenho

para o primeiro nıvel de avaliacao, contudo, ela obteve o primeiro lugar nas outras 4

analises e e considerada a variante com o melhor desempenho global para essa classe de

problemas.

Tabela 5.11: Resumo das areas normalizadas para a suite de funcoes envolvendo 5000,50000 e 500000 avaliacoes da funcao objetivo com as metricas melhor e media.

5000 50000 500000

AreaMelhor Media Melhor Media Melhor Media

APM 1 0.99992 0.94736 0.89736 0.94902 0.95185APM Med 3 0.94464 0.94437 1 1 1 1APM Worst 0.99949 1 0.94736 0.894736 0.90404 0.92695

APM Spor Mono 0.94474 0.94439 0.99999 0.99995 0.949340 0.90824

5.5 Problemas classicos da engenharia

5.5.1 Mola Sob Tracao/Compressao

O objetivo do problema e minimizar o volume V da mola sob tracao ou compressao

[149], conforme ilustrada na Figura 5.9. As variaveis de projeto sao o numero de espirais

ativos da mola (N = x1 ∈ [2, 15]), o diametro de cada volta (D = x2 ∈ [0.25, 1.3]) e o

diametro do arame (d = x3 ∈ [0.05, 2]). O volume e as restricoes mecanicas sao dadas

por:

V = (x1 + 2)x2x23

g1(x) = 1− x23x1

71785x43

≤ 0

g2(x) =4x2

2 − x3x2

12566(x2x33 − x4

3)+

1

5108x23

− 1 ≤ 0

g3 = 1− 140.45x3

x22x1

≤ 0

g4(x) =x2 + x3

1.5≤ 0

74

onde

2 ≤ x1 ≤ 15 0.25 ≤ x2 ≤ 1.3 0.05 ≤ x3 ≤ 2

Figura 5.9: Mola sob tracao/compressao.

Adotou-se um valor de 36000 para o numero de avaliacoes da funcao objetivo. A

Tabela 5.12 apresenta os resultados encontrados para o problema. A variante APM Med 3

e APM Spor Mono obtiveram o melhor volume final igual a 0.01266. Contudo, os outros

dois metodos encontraram valores similares.

Tabela 5.12: Resultados encontrados para o problema da mola sob tracao/compressao.

Metodo Melhor Mediana Media dp Pior nesfAPM 0.01267 0.01311 0.01354 6.9509e-03 0.01742 35/35

APM Med 3 0.01266 0.01312 0.01389 9.1731e-03 0.01777 35/35APM Worst 0.01267 0.01288 0.01393 9.6090e-03 0.01777 35/35

APM Spor Mono 0.01266 0.01306 0.01392 8.6313e-03 0.01734 35/35

Na Tabela 5.13 e nas tabelas seguintes “Este estudo” significa o melhor resultado

obtido entre o APM e as variantes APM Med 3, APM Worst e APM Spor Mono. A

Tabela 5.13 apresenta uma comparacao dos valores encontrados para as variaveis de

projeto com diferentes resultados da literatura.

75

Tabela 5.13: Comparacao dos resultados para o problema da mola sob tracao/compressao.

Autores V d D NAragon et al. [15] 0.01267 0.05162 0.35511 11.3845Barbosa and Lemonge [150] 0.01268 0.05117 0.3443 12.0707Belegundu [151] 0.01283 0.05 0.3159 14.25Bernardino et al. [14] 0.01267 0.05166 0.35603 11.3296Bernardino et al. [16] 0.01267 0.05143 0.35053 11.6612Coello [152] 0.0127 0.05148 0.35166 11.6322Coello [153] 0.0127 0.05148 0.35166 11.6322Coello and Becerra [154] 0.01272 0.05 0.3174 14.0318Coello and Montes [155] 0.01268 0.05199 0.36397 10.8905Dos Santos Coelho [156] 0.01267 0.05151 0.35253 11.5389He and Wang [157] 0.01267 0.05173 0.35764 11.2445He et al. [158] 0.01267 0.05169 0.35675 11.2871Hedar and Fukushima [159] 0.01267 0.05174 0.358 11.2139Hu et al. [160] 0.01267 0.05147 0.35138 11.6087Huang et al. [161] 0.01267 0.05161 0.35471 11.4108Montes and Coello [162] 0.01270 0.05164 0.35536 11.3979Montes and Ocana [163] 0.01267 0.05183 0.35994 11.1071Parsopoulos and Vrahatis [164] 0.01312 – – –Ray and Liew [165] 0.01267 0.05216 0.36816 10.6484Ray and Saini [166] 0.01306 0.05042 0.32153 13.9799Runarsson and Yao [17] 0.01268 0.05164 0.35549 11.3758Zhang et al. [167] 0.01267 0.05169 0.35672 11.289Gandomi et al. [7] 0.01267 0.05169 0.35673 11.2885Este estudo 0.01266 0.05406 0.41655 8.48436

76

5.5.2 Redutor de Velocidade

O objetivo e minimizar o peso W de um redutor de velocidade [149], ilustrado na

Figura 5.10. As variaveis de projeto sao a largura da face (b = x1 ∈ [2.6, 3.6]), o modulo

dos dentes (m = x2 ∈ [0.7, 0.8]), o numero de dentes (n = x3 ∈ [17, 28]), o tamanho da

haste 1 entre os suportes (l1 = x4 ∈ [7.3, 8.3]) e o tamanho da haste 2 entre os suportes

(d2 = x7). A variavel x3 e inteira e as demais sao contınuas. As restricoes incluem

limitacoes da tensao de flexao e de superfıcie da engrenagem de dentes, deslocamento

transversal das hastes 1 e 2 gerado pela forca transmitida e as tensoes nas hastes 1 e 2.

O peso e as restricoes mecanicas podem ser dadas por:

W = 0.7854x1x22(3.3333x2

3 + 14.9334x3 − 43.0934)− 1.508x1(x26 + x2

7) + 7.4777(x36 + x3

7)

g1(x) = 27x−11 x−2

2 x−13 ≤ 1

g2(x) = 397.5x−11 x−2

2 x−23 ≤ 1

g3(x) = 1.93x−12 x−1

3 x34x−46 ≤ 1

g4(x) = 1.93x−12 x−1

3 x35x−47 ≤ 1

g5(x) =1

0.1x36

[(745x4

x2x3

)2

+ {16.9}106

]0.5

≤ 1100

g6(x) =1

0.1x37

[(745x5

x2x3

)2

+ {157.5}106

]0.5

≤ 850

g7(x) = x2x3 ≤ 40

g8(x) = x1/x2 ≥ 5

g9(x) = x1/x2 ≤ 12

g10(x) = (1.5x6 + 1.9)x−14 ≤ 1

g11(x) = (1.1x7 + 1.9)x−15 ≤ 1

onde

2.6 ≤ x1 ≤ 3.6 0.7 ≤ x2 ≤ 0.8 17 ≤ x3 ≤ 28

7.3 ≤ x4 ≤ 8.3 7.8 ≤ x5 ≤ 8.3 2.9 ≤ x6 ≤ 3.9

77

1l

l2

z1

z2 d

2

d1

Figura 5.10: Redutor de velocidade.

Para o redutor de velocidade tambem foram utilizadas 36000 avaliacoes da funcao

objetivo. A Tabela 5.14 apresenta os resultados encontrados para o problema, onde o

APM obteve o melhor peso igual a 2996.3592.

Tabela 5.14: Resultados encontrados para o problema do redutor de velocidade.

Metodo Melhor Mediana Media dp Pior nesfAPM 2996.3592 2996.3837 2998.8105 2.6529e+01 3007.4698 35/35

APM Med 3 2996.3622 2996.3780 2999.6083 3.4911e+01 3016.7808 35/35APM Worst 2996.3654 2996.3927 3002.1440 4.2637e+01 3016.7988 35/35

APM Spor Mono 2996.3631 3005.7006 3003.6417 4.4687e+01 3016.7882 35/35

A Tabela 5.15 apresenta os valores encontrados para cada variavel de projeto e o

seu peso final. Os resultados usando os metodos APM e SR (Stochastic Ranking) nao

sao fornecidos nas referencias [150] e [17] utilizadas nesta tabela, mas eles foram obtidos

usando as tecnicas nestas referencias.

Tabela 5.15: Variaveis de projeto e peso final para o problema do redutor de velocidade.

Metodo b m n l1 l2 d1 d2 PesoES [168] 3.5061 0.7008 17 7.4601 7.9621 3.3629 5.3089 3025.0051AIS-GA [14] 3.5000 0.7000 17 7.3000 7.8000 3.3502 5.2866 2996.3494AIS-GAC [14] 3.5000 0.7000 17 7.3000 7.8000 3.3502 5.2866 2996.3484AIS-GA [16] 3.5000 0.7000 17 7.3000 7.8000 3.3502 5.2866 2996.3483APM [150] 3.5000 0.7000 17 7.3000 7.8000 3.3502 5.2866 2996.3482SR [17] 3.5000 0.7000 17 7.3000 7.8000 3.3502 5.2866 2996.3481T-Cell et al. [15] 3.5000 0.7000 17 7.3000 7.8000 3.3502 5.2866 2996.3481Este estudo 3.5000 0.7000 17 7.3009 8.2999 3.3502 5.2868 2996.3592

78

5.5.3 Viga Soldada

O objetivo deste problema e minimizar o custo C(h, l, t, b) de uma viga soldada [149],

onde h ∈ [0.125, 10] e 0.1 ≤ l, t, b ≤ 10. A viga e ilustrada pela Figura 5.11. A funcao

objetivo e as restricoes sao como segue:

C(h, l, t, b) = 1.10471h2l + 0.04811tb(14.0 + l)

g1(τ) = 13, 600− τ ≥ 0

g2(σ) = 30, 000− σ ≥ 0

g3(b, h) = b− h ≥ 0

g4(Pc) = Pc − 6, 000 ≥ 0

g5(δ) = 0.25− δ ≥ 0

As expressoes para τ , σ, Pc e δ sao dadas por

τ =√

(τ ′)2 + (τ ′′)2 + lτ ′τ ′′/α τ′=

6000√2ht

α =√

0.25(l2 + (h+ t)2) σ =504000

t2b

Pc = 64746.022(1− 0.0282346t)tb3 δ =2.1952

t3b

τ′′

=6000(14 + 0.5l)α

2(0.707hl(l2/12 + 0.25(h+ t)2))

l h

t

F

b

Figura 5.11: Viga Soldada.

79

O numero de avaliacoes da funcao objetivo utilizada para esse problema foi de

320000. Os resultados obtidos podem ser visualizados na Tabela 5.16. O APM obteve

o melhor custo final 2.38113, seguido do APM Med 3, APM Worst e APM Spor Mono,

respectivamente.

Tabela 5.16: Resultados encontrados para o problema da viga soldada.



APM Spor Mono 2.38118 2.51280 3.14079 1.3686e+01 16.30031 35/35

Na Tabela 5.17, reproduzida de [7], sao apresentadas as variaveis de projeto e o custo

final para o problema usando diferentes metodos. O PSO se mostrou bastante competitivo

se comparado aos resultados apresentados na tabela.

5.5.4 Vaso de Pressao

O problema tem por objetivo a minimizacao do peso W de um vaso de pressao

cilındrico com duas tampas esfericas [149], ilustrado na Figura 5.12. Sao quatro as

variaveis de projeto (em in): a espessura do vaso de pressao (Ts), a espessura da tampa

(Th), o raio interno do vaso (R) e a altura do componente cilındrico (L). Dentre essas,

duas sao variaveis discretas (Ts e Th) e duas sao contınuas (R e L). E um problema

com restricoes nao-linear e com variaveis mistas (discretas e contınuas). O peso a ser

minimizado e as restricoes sao dadas por:

W (Ts, Th, R, L) = 0.6224TsThR + 1.7781ThR2 + 3.1661T 2

sR

g1(Ts, R) = Ts − 0.0193R ≥ 0

g2(Th, R) = Th − 0.00954R ≥ 0

g3(R,L) = πR2L+ 4/3πR3 − 1, 296, 000 ≥ 0

g4(L) = −L+ 240 ≥ 0

80

Tabela 5.17: Melhores resultados encontrados para o problema da viga soldada usandodiferentes metodos. Estes resultados foram extraıdos da referencia [7]. asistemasimunologicos artificiais; brecozimento simulado; calgoritmos evolucionarios; dalgoritmovaga-lume; eotimizacao de forrageamento bacteriana; fbusca harmonica; gbusca aleatoria;hbusca em sistema carregado; imodelo socio comportamental; jalgoritmo de sociedade ecivilizacao; kprogramacao geometrica; levolucao diferencial; malgoritmo T-cell.

Autores Metodo h l t b CustoLeite and Topping [169] GA 0.2489 6.1097 8.2484 0.2485 2.4000Deb [170] GA - - - - 2.38Deb [171] GA 0.2489 6.1730 8.1789 0.2533 2.4331Lemonge and Barbosa [13] GA 0.2443 6.2117 8.3015 0.2443 2.3816Barbosa and Lemonge [150] GA 0.2442 6.2231 8.2915 0.2444 2.3814Bernardino et al. [14] GA-AISa 0.2443 6.2202 8.2915 0.2444 2.3812Bernardino et al. [16] GA-AIS 0.2444 6.2183 8.2912 0.2444 2.3812Atiqullah and Rao [172] SAb 0.2471 6.1451 8.2721 0.2495 2.4148Hedar and Fukushima [159] SA 0.2444 6.2158 8.2939 0.2444 2.3811Liu [173] SA 0.2444 6.2175 8.2915 0.2444 2.3810Hwang and He [174] SA-GA 0.2231 1.5815 12.8468 0.2245 2.2500He et al. [158] PSO 0.2444 6.2175 8.2915 0.2444 2.3810Zhang et al. [175] EAc 0.2443 6.2201 8.2940 0.2444 2.3816Runarsson and Yao [17] EA 0.2758 5.0053 8.6261 0.2758 2.5961Montes and Ocana [163] BFOe 0.2057 3.4711 9.0367 0.2057 2.3868Lee and Geem [24] HSf 0.2442 6.2231 8.2915 0.2443 2.3807Siddall [176] RSg 0.2444 6.2819 8.2915 0.2444 2.3815Akhtar et al. [177] SBMi 0.2407 6.4851 8.2399 0.2497 2.4426Ray and Liew [165] SCAj 0.2444 6.2380 8.2886 0.2446 2.3854Ragsdell and Phillips [178] GPk 0.2536 7.1410 7.1044 0.2536 2.3398Silva et al. [18] PSO - - - - 2.3975Zhang et al. [167] DEl 0.2444 6.2175 8.2915 0.2444 2.3810Aragon et al. [15] TCAm 0.2444 6.2186 8.2915 0.2444 2.3811Este estudo PSO 0.2443 6.2186 8.2914 0.2443 2.3811

81

onde

0.00625 ≤ Ts, Th ≤ 5 (em passos constantes de 0.0625)

10 ≤ R,L ≤ 200

R

LST

R

hT

Figura 5.12: Vaso de pressao.

Adotou-se para este problema um valor de 80000 para o numero de avaliacoes da funcao

objetivo. A Tabela 5.5.4 apresenta os resultados encontrados para o vaso de pressao.

Observa-se que os 4 metodos analisados obtiveram o mesmo resultado 6059.7143.

Tabela 5.18: Resultados encontrados para o problema do vaso de pressao.



APM Spor Mono 6059.7143 6090.5263 6352.0563 2.5773e+03 7544.4925 35/35

A Tabela 5.19, reproduzida de [7], mostra os resultados da literatura para o problema

do vaso de pressao. Comparando-se os dados, e possıvel verificar que o resultado

encontrado nessa dissertacao para o problema se mostrou competitivo.

5.5.5 Viga Engastada e Livre

O problema corresponde em minimizar o volume V de uma viga engastada e livre [188],

sujeita a uma carga de P = 50000N. A viga e ilustrada pela Figura 5.13. As variaveis

de projeto sao dez e correspondem a altura (Hi) e a largura (Bi) da secao transversal

retangular de cada uma das cinco partes que compoem a viga. As variaveis B1 e H1 sao

inteiras, B2, B3, assumem valores discretos para serem escolhidos a partir de um conjunto

2.4, 2.6, 2.8, 3.1, H2 e H3 sao discretas e sao escolhidos dentro de um conjunto 45.0,

82

Tabela 5.19: Resultados estatısticos para o problema do vaso de pressao. Os resultadosforam extraıdos da referencia [7].

Autores Melhor Media Pior dpAkhtar et al. [177] 6171.00 6335.05 6453.65 -Aragon et al. [15] 6390.55 7694.06 6737.06 357Barbosa and Lemonge [179] 6059.71 6384.05 6447.20 419Bernardino et al. [14] 6060.13 6845.49 6385.94 -Bernardino et al. [14] 6059.85 7388.16 6545.12 124Cagnina et al. [180][33] 6059.71 - - -Coello [181] 6288.75 6293.84 6308.15 7.41Coello [152] 6177.25 - - 130.93Coello and Montes [155] 6059.95 6177.25 6469.32 130.93Deb [182] 6410.38 - - -Dos Santos Coelho [156] 6059.71 - - -Hadj-Alouane and Bean [183] 6303.50 8065.66 10569.70 821.30He and Wang [157] 6061.08 6147.13 6363.8 86.45He et al. [158] 6059.71 6289.93 - 305.78Homaifar et al.[184] 6295.11 8098.03 9528.07 831.69Huang et al. [161] 6059.73 6085.23 6371.05 43.01Joines and Houck [185] 6273.28 8092.87 10382.10 1017.99Lemonge and Barbosa [13] 6060.188 - - -Li and Chang [186] 7127.30 - - -Michalewicz and Attia [187] 6572.62 8164.56 9580.51 789.65Montes and Coello [162] 6059.75 6850 7332.88 426Montes and Ocana [163] 6059.73 6081.78 6150.13 67.24Runarsson and Yao [17] 6832.58 8012.61 7187.31 267Silva et al. [18] 6090.76 6261.08 6771.76 -Gandomi et. al. [7] 6059.71 6179.13 6318.95 137.223Este estudo 6059.71 6359.97 7544.49 2202.10

83

50.0, 55.0, 60.0 e, finalmente B4, H4, B5 e H5 sao contınuas. As variaveis sao dadas em

centımetros e o modulo de elasticidade Young do material e igual a 200 GPa. O volume

da viga e as restricoes do problema podem ser calculados como:

V (Hi, Bi) = 1005∑i=1

HiBi

gi(Hi, Bi) = σ ≤ 14000N/cm2 i = 1, ..., 5

gi+5(Hi, Bi) = Hi/Bi ≤ 20 i = 1, ..., 5

g11(Hi, Bi) = δ ≤ 2.7cm

onde δ e o deslocamento da extremidade da viga na direcao vertical.

500 cm

1 2 43 5

P

Hi

B i

Figura 5.13: Viga engastada e livre.

O numero de avaliacoes da funcao objetivo utilizada foi de 35000. A Tabela 5.20

apresenta uma comparacao entre o APM Worst, que obteve o melhor resultado 64578.229,

o APM e as outras duas variantes utilizadas neste estudo.

Tabela 5.20: Resultados encontrados para o problema da viga engastada e livre.



APM Spor Mono 64584.1326 68673.2969 70516.5469 4.2187e+04 106637.8329 35/35

A Tabela 5.21, extraıda de [8], compara os resultados encontradas das variaveis de

projeto e o volume final disponıveis na literatura com o resultado da melhor variante

obtida neste estudo.

84

Tab

ela

5.21

:P

roble

ma

da

vig

aen

gast

ada

elivre

.O

sre

sult

ados

fora

mex

traı

dos

da

Tab

ela

8da

refe

renci

a[8

].aes

trat

egia

de

evol

uca

obas

eada

emra

nquea

men

tode

nic

ho,

bco

ntı

nuo/

apro

xim

ado,

cdis

cret

opre

ciso

,dap

roxim

acao

dis

cret

alinea

r,eap

roxim

acao

dis

cret

aco

nse

rvat

iva,

fm

etodo

de

pen

aliz

acao

adap

tati

va,gcl

arei

ra.

Os

auto

res

sao:

Chen

eC

hen

[9],

Lam

ber

tie

Pap

pal

ette

re[1

0],

Than

edar

eV

ander

pla

ats

[11]

,E

rbat

ur

et.

al[1

2],

Lem

onge

eB

arb

osa

[13]

eB

ernar

din

oet

.al

[14]

.

Ref

eren

cia

Met

odo

na

b1

h1

b2

h2

b3

h3

b4

h4

b5

h5

Vol

um

e[9

]R

NE

Sa

112

000

360

3.1

552.

650

2.31

143

.108

1.82

234

.307

6426

9.59

RN

ES

212

000

360

3.1

552.

650

2.26

743

.797

1.84

934

.282

6432

2.43

RN

ES

312

000

360

3.1

552.

650

2.34

842

.804

1.78

334

.753

6429

9.11

RN

ES

412

000

360

3.1

552.

650

2.49

141

.51

2.11

333

.231

6541

6.90

[11]

C/R

Ub

-4

623.

160

2.6

552.

205

44.0

91.

751

35.0

373

555.

00P

Dc

-3

603.

155

2.6

502.

276

45.5

281.

7534

.995

6453

7.00

LA

Dd

-3

603.

155

2.6

502.

262

45.2

331.

7534

.995

6440

3.00

CA

De

-3

603.

155

2.6

502.

279

45.5

531.

7535

.004

6440

3.00

[12]

GA

110

000

360

3.1

552.

650

2.3

45.5

1.80

3564

558.

00G

A2

1000

03

603.

155

2.6

502.

2745

.25

1.75

3564

447.

00[1

3]G

A-A

PMf

3500

03

603.

155

2.6

502.

289

45.6

261.

793

34.5

9364

698.

56[1

4]A

IS-G

A35

000

360

3.1

552.

650

2.23

544

.395

2.00

432

.879

6555

9.60

AIS

-GA

-Cg

3500

03

603.

160

2.6

502.

311

43.1

862.

225

31.2

5066

533.

47FA

5000

03

603.

155

2.6

502.

205

44.0

911.

750

34.9

9563893.5

2E

ste

estu

do

PSO

3500

04

603.

155

2.6

502.

204

44.0

911.

749

34.9

9564

578.

229

85

5.5.6 Discussao dos problemas de engenharia

Para o conjunto de experimentos envolvendo os problemas de engenharia, uma analise

dos resultados obtidos e feita utilizando o melhor valor e a media da funcao objetivo.

Inicialmente, utilizou-se na analise o melhor valor da funcao objetivo. A Figura 5.14(a)

apresenta o grafico dos perfis de desempenho no intervalo τ ∈ [1; 1.000005], onde verifica-

se que o APM obteve o melhor desempenho em uma quantidade maior de problemas

em relacao as demais variantes. A Figura 5.14(b) que representa o grafico dos perfis de

desempenho onde os menores valores de τ , tal que ρ(τ) = 1 sao os metodos de melhor

desempenho, apresenta as quatro variantes como as mais robustas. Os valores das areas

sob as curvas dos perfis de desempenho podem ser observados na Tabela 5.22, onde o

APM Med 3 obteve o maior valor de area, seguido do APM Spor Mono. Assim, ambas

as variantes sao consideradas as que possuem o melhor desempenho global, ao passo que

elas chegaram em segundo lugar na analise obtida na Figura 5.14(a).

(a) (b)

Figura 5.14: Perfis de desempenho utilizando o melhor valor.

Tabela 5.22: Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando omelhor valor.

Metodo APM Med 3 APM Spor Mono APM Worst APM

Area 1 0.99641 0.98404 0.77373

86

A analise envolvendo o valor da media da funcao objetivo, apresenta o metodo APM

como aquele que obteve o melhor desempenho em um numero maior de problemas

e, portanto, possui o maior valor de ρ(1), conforme a Figura 5.15(a) no intervalo

τ ∈ [1; 1.005]. Na Figura 5.15(b) novamente todos os metodos obtiveram o menor valor

de τ , tal que ρ(τ) = 1. Por fim, a Tabela 5.23 que apresenta os valores das areas sob

as curvas dos perfis de desempenho, apresenta o APM Worst e o APM como os metodos

como melhor desempenho global, respectivamente.

(a) (b)

Figura 5.15: Perfis de desempenho utilizando a media.

Tabela 5.23: Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando amedia.

Metodo APM Worst APM APM Med 3 APM Spor Mono

Area 1 0.96866 0.94193 0.76332

5.6 Problemas de otimizacao estrutural

5.6.1 Trelica de 10 barras

A Trelica de 10 barras e um problema classico de otimizacao em trelicas, ilustrada pela

Figura 5.16 e amplamente estudada [135, 189, 190]. A funcao objetivo e bastante simples

87

e pode ser descrita da seguinte forma: encontrar o conjunto de areas da secao transversal

das barras (Ai, i = 1, ..., 10) que minimize o peso da estrutura, conforme a Equacao 5.3.

W (a) =n∑i=1

ρAiLi (5.3)

onde Li e o comprimento do i-esimo membro da trelica e ρ a densidade do material.

360 in 360 in

360 in

5

46

5

8

7 9

6

10

21 3 1

2

43

P P

Figura 5.16: Trelica de 10 barras.

As restricoes normalizadas do problema envolvem as tensoes em cada membro

apresentadas na Equacao 5.4 e de deslocamentos de cada no descritas na Equacao 5.5.

σiσ− 1 ≤ 0, i = 1, 2, 3, ...,m (5.4)

onde m e o numero de barras.

uju− 1 ≤ 0, j = 1, 2, 3, ..., n (5.5)

onde n e o numero de grau de liberdade da estrutura.

A tensao normal maxima σ e limitada em ±25 ksi e os deslocamentos u sao limitados

em 2 in nas direcoes x e y. A densidade do material e de 0.1 lb/in3, o modulo de

elasticidade e E = 104 ksi e as cargas verticais descendentes P = 100 kips sao aplicadas

nos nos 2 e 4.

Para esse problema, dois casos de variaveis sao analisados: um com variaveis contınuas

e outro com variaveis discretas. Para o caso contınuo, as areas variam de 0.1 in2 a

88

33.50 in2. E para o caso com variaveis discretas, as areas das secoes transversais sao

escolhidas dentro de um conjunto que contem as 32 possibilidades que seguem (in2):

1.62, 1.80, 1.99, 2.13, 2.38, 2.62, 2.93, 3.13, 3.38, 3.47, 3.55, 3.63, 3.88, 4.22, 4.49, 4.59,

4.80, 4.97, 5.12, 5.74, 7.97, 11.50, 13.50, 14.20, 15.50, 16.90, 18.80, 19.90, 22.00, 26.50,

30.00, 33.50.

Em ambos os casos foram feitas 35 execucoes independentes e para o caso contınuo,

adotou-se um valor de 280000 avaliacoes da funcao objetivo. A Tabela 5.24 apresenta os

resultados obtidos para o caso contınuo considerando o APM, APM Med 3, APM Worst e

APM Spor Mono. O melhor valor para o peso final foi obtido pelo APM Wosrt 5060.9234

lbs.

Tabela 5.24: Resultados encontrados para a trelica de 10 barras (caso contınuo).



APM Spor Mono 5060.9379 5076.8950 5071.0983 5.4067e+01 5088.3651 35/35

A Tabela 5.25 apresenta os resultados encontrados na literatura para as variaveis de

projeto e o peso final da estrutura.

Para o caso onde as variaveis de projeto sao discretas, foram consideradas 90000

avaliacoes da funcao objetivo. A Tabela 5.26 apresenta os resultados encontrados para o

problema. Os quatro metodos analisados obtiveram o mesmo peso final 5509.7173.

A Tabela 5.27 apresenta os resultados encontrados na literatura para as variaveis de

projeto e peso final da trelica de 10 barras caso discreto. As solucoes apresentadas nas

referencias [19, 20, 21] sao infactıveis, conforme observado em [13].


O problema da trelica de 25 barras tem como objetivo minimizar o peso da estrutura

e e ilustrada conforme a Figura 5.17. As variaveis de projeto sao as areas das secoes

transversais ak. A estrutura e composta por barras de comprimento Lk, sendo k o ındice

das barras da estrutura e ρ e a massa especıfica do material.

89

Tabela 5.25: Comparacao entre os resultados da literatura e o resultado encontrado nesteestudo para o problema da trelica de 10 barras (caso contınuo), com peso final em lb. Osautores sao: Aragon et. al [15], Barbosa e Lemonge [13], Bernardino et. al [14] Bernardinoet. al [16], Runarsson e Yao [17] e Silva et al. [18].

Variaveis Ref.[15] Ref.[13] Ref.[14] Ref.[16] Ref.[17] Ref. [18] Este estudo1 31.23829 29.22568 29.78121 30.52684 30.01400 30.5431 30.64812 0.316625 0.10000 0.10031 0.10000 0.10000 0.1000 0.10003 23.61073 24.18212 22.55140 22.91574 26.14460 23.1906 23.31514 14.50669 14.94714 15.50462 15.48294 15.29260 15.1972 15.25285 0.316234 0.10000 0.10002 0.10000 0.10000 0.1000 0.10006 0.316464 0.39463 0.52377 0.54620 0.55610 0.5425 0.54537 8.135098 7.49579 7.52854 7.47594 7.43980 7.4581 7.45168 21.61828 21.92486 21.15708 21.01566 21.00560 21.0317 21.01469 21.22159 21.29088 22.21351 21.55362 21.93900 21.5483 21.370010 0.31634 0.10000 0.10018 0.10000 0.10000 0.1000 0.1000

Peso 5142.30 5069.086 5064.67 5061.16 5061.71 5060.876 5060.9234

Tabela 5.26: Resultados encontrados para a trelica de 10 barras (caso discreto).



APM Spor Mono 5509.7173 5540.4065 5700.1346 1.9561e+03 6654.2616 35/35

As barras da trelica sao agrupadas e cada grupo possui uma unica area A, a fim de

manter a simetria da estrutura. Assim, o objetivo e encontrar um conjunto de areas

ak = {A1, A2, ..., Ai} que minimize seu peso.

A trelica esta sujeita a restricoes de tensao em cada barra, que deve ter seu valor no

intervalo de [-40, 40] e deslocamentos maximos nos nos 1 e 2 limitados a 0.35 in. As areas

das secoes transversais devem ser escolhidas dentro de um conjunto com 30 opcoes (in2):

0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2.0,

2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 3.0, 3.2, 3.4.

A densidade do material das barras e de 0.1 lb/in3 e o modulo de elasticidade (Young)

e igual a 104 ksi. O agrupamento das barras e feito conforme Tabela 5.28 e o carregamento

aplicado sobre a estrutura e mostrado na Tabela 5.29.

A Tabela 5.30 apresenta uma comparacao dos resultados encontrados para o problema,

90

Tabela 5.27: Variaveis de projeto e peso total encontrados para o problema da trelicade 10 barras (caso discreto). Os autores sao: Krishnamoorty e Rajeev [19], Lemonge eBarbosa [13], Galante [20] e Ghasemi et. al [21].

Variaveis Ref.[19] Ref.[13] Ref.[20] Ref.[13] Ref.[13] Ref.[21] Este estudo1 33.50 26.50 33.50 30.00 33.50 33.50 30.002 1.62 1.62 1.62 1.62 1.62 1.62 1.623 22.00 26.50 22.00 22.00 22.90 22.00 33.504 15.50 16.90 14.20 16.90 14.20 14.20 16.905 1.62 1.80 1.62 1.62 1.62 1.62 1.626 1.62 1.62 1.62 1.62 1.62 1.62 1.627 14.20 13.50 7.97 11.50 7.97 7.97 7.978 19.90 22.00 22.90 22.00 22.90 22.90 18.809 19.90 19.90 22.00 22.00 22.00 22.00 22.0010 2.62 1.99 1.62 1.80 1.62 1.62 1.62

Peso 5613.58 5619.662 5458.3 5572.60 5490.738 5493.36 5509.7173


onde os quatro metodos analisados obtiveram o mesmo peso final 484.8541 lbs. A Tabela

5.31 apresenta uma comparacao dos resultados encontrados na literatura das variaveis de

91

projeto e o peso final da estrutura. Este estudo juntamente com os resultados da Ref.

[13] obtiveram o melhor valor dentre as demais referencias.

Tabela 5.28: Agrupamento para a Trelica de 25 barras.

Grupo ConectividadeA1 1-2A2 1-4, 2-3, 1-5, 2-6A3 2-5, 2-4, 1-3, 1-6A4 3-6, 4-5A5 3-4, 5-6A6 3-10, 6-7, 4-9, 5-8A7 3-8, 4-7, 6-9, 5-10A8 3-7, 4-8, 5-9, 6-10

Tabela 5.29: Carregamento para a trelica de 25 barras (em kips).

No Fx Fy Fz1 1 -10.0 -10.02 0 -10.0 -10.03 0.5 0 06 0.6 0 0

Tabela 5.30: Resultados encontrados para o problema da trelica de 25 barras.



APM Spor Mono 484.8541 485.0487 485.5626 7.2751e+00 490.9124 35/35


O objetivo dessa trelica e minimizar o peso das 52 barras conforme ilustrado na Figura

5.18. A densidade do material de composicao das barras e de 7.860 kg/m3 e o modulo de

elasticidade e igual a 2.07× 105 MPa. A trelica esta sujeita apenas a restricoes de tensao,

92

Tabela 5.31: Comparacao com os resultados da literatura para a trelica de 25 barras, compeso final em lb. Os autores sao: Krishnamoorty e Rajeev [19], Lemonge e Barbosa [13],Zhu [22], Erbatur et. al [12], Wu e Chow [23] e Lemonge e Barbosa [13].

Variaveis Ref.[19] Ref.[13] Ref.[22] Ref.[12] Ref.[23] Ref. [13] Este estudoA1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1A2 1.8 0.7 1.9 1.2 0.5 0.3 0.6A3 2.3 3.4 2.6 3.2 3.4 3.4 3.2A4 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1A5 0.1 1.8 0.1 1.1 1.5 2.1 2.1A6 0.8 1.0 0.8 0.9 0.9 1.0 1.0A7 1.8 0.3 2.1 0.4 0.6 0.5 0.2A8 3.0 3.4 2.6 3.4 3.4 3.4 3.2

Peso 546.01 486.743 562.93 493.80 486.29 484.854 484.854

definidas como 180 MPa. As barras estao agrupadas em 12 grupos conforme Tabela 5.32

e o carregamento para a trelica e observado na Tabela 5.33.

Os valores das areas transversais a serem escolhidas sao apresentadas em um

conjunto com 64 opcoes (em mm2): 71.613, 90.968, 126.451, 161.290, 198.064, 252.258,

285.161, 363.225, 388.386, 494.193, 506.451, 641.289, 645.160, 792.256, 816.773, 940.000,

1008.385, 1045.159, 1161.288, 1283.868, 1374.191, 1535.481, 1690.319, 1858.061, 1890.319,

1993.544, 2019.351, 2180.641, 2238.705, 2290.318, 2341.191, 2477.414, 2496.769, 2503.221,

2696.769, 2722.575, 2896.768, 2961.284, 3096.768, 3206.445, 3303.219, 3703.218, 4658.055,

5141.925, 5503.215, 5999.998, 6999.986, 7419.340, 8709.660, 8967.724, 9161.272, 9999.980,

10322.560, 10903.204, 12129.008, 12838.684, 14193.520, 14774.164, 15806.420, 17096.740,

18064.480, 19354.800 e 21612.860.

Os resultados encontrados para o problema sao apresentados na Tabela 5.34. Todos

os metodos obtiveram o mesmo peso final 1977.8997 kg. Uma comparacao com resultados

da literatura e apresentada nas Tabelas 5.35 e 5.36.


O problema da trelica de 60 barras tem como objetivo a minimizacao do peso da

estrutura. O modulo de elasticidade do material e de 104 ksi e a massa especıfica e igual

a 0.1 lb/in3. Pode-se observar atraves da Figura 5.19 o raio externo do anel que vale

100 in e o raio interno 90 in.

93


A trelica e submetida a tres casos de carregamento, observados na Tabela 5.37. O

numero de restricoes de tensao e deslocamento e de 198, onde a tensao maxima e de

10 ksi e os deslocamentos sao: 1.75 no no 4, 2.25 no no 13 e 2.75 no no 19. As barras sao

agrupadas conforme Tabela 5.38 e variam em um espaco de busca contınuo de 0.5 in2 a

5 in2.

Na Tabela 5.39 sao apresentados os resultados encontrados para o problema. O metodo

que obteve o melhor desempenho foi o APM, com um peso final de 291.2477 lbs. A Tabela

5.40 apresenta uma comparacao dos resultados encontrados na literatura para o problema,

onde o valor encontrado para este estudo foi superior aos demais.

94

Tabela 5.32: Agrupamento para a trelica de 52 barras.

Grupo BarrasA1 1, 2, 3 e 4A2 5, 6, 7, 8, 9 e 10A3 11, 12 e 13A4 14, 15, 16 e 17A5 18, 19, 20, 21, 22 e 23A6 24, 25 e 26A7 27, 28, 29 e 30A8 31, 32, 33, 34, 35 e 36A9 37, 38 e 39A10 40, 41, 42 e 43A11 44, 45, 46, 47, 48 e 49A12 50, 51 e 52

Tabela 5.33: Carregamento para a trelica de 52 barras (em kN).

No Fx Fy17 100.0 200.018 100.0 200.019 100.0 200.020 100.0 200.0

Tabela 5.34: Resultados encontrado para o problema da trelica de 52 barras.



APM Spor Mono 1977.8997 1984.3213 1993.4951 1.6879e+02 2089.6992 35/35


A trelica de 72 barras e um problema de otimizacao que objetiva a minimizacao do

peso da estrutura e e ilustrada pela Figura 5.20. Os valores das variaveis de projeto

variam de 0.1 in2 a 5 in2 e sao organizadas em 16 grupos conforme Tabela 5.41.

As restricoes do problema envolvem a tensao maxima permitida de cada barra no

intervalo de [-25,25] ksi e o deslocamento maximo permitido de 0.25 in nas direcoes x e

95

Tabela 5.35: Comparacao dos resultados para o problema da trelica de 52 barras, compeso final em Kg. Os autores sao: Lee e Geem [24], Li et. al [25] e Kaveh e Talatahari[26].

Variaveis HS [24] PSO [25] PSOC [25] HPSO [25] DHPSACO [26]A1 4658.055 4658.055 5999.988 4658.055 4658.055A2 1161.288 1374.190 1008.380 1161.288 1161.288A3 506.451 1858.060 2696.380 363.225 494.193A4 3303.219 3206.440 3206.440 3303.219 3303.219A5 940.000 1283.870 1161.290 940.000 1008.385A6 494.193 252.260 729.030 494.193 285.161A7 2290.318 3303.220 2238.710 2238.705 2290.318A8 1008.385 1045.160 1008.380 1008.385 1008.385A9 2290.318 126.450 494.190 388.386 388.386A10 1535.481 2341.930 1283.870 1283.868 1283.868A11 1045.159 1008.380 1161.290 1161.288 1161.288A12 506.451 1045.160 494.190 792.256 506.451Peso 1906.76 2230.16 2146.63 1905.49 1904.83

Tabela 5.36: Comparacao dos resultados para o problema da trelica de 52 barras, compeso final em Kg. As colunas 1 a 4 desta tabela referem-se aos resultados obtidos para asvariantes de um algoritmo de colonia de formigas proposto por Capriles et. al [27].

Variaveis RBAS RBAS+ RBASLU RBASLU, 2 Este estudoA1 4658.055 4658.055 4658.055 4658.055 2961.284A2 1161.288 1161.288 1161.288 1161.288 792.256A3 363.225 494.193 388.386 506.451 388.386A4 3303.219 3303.219 3303.219 3303.219 2290.318A5 940.000 940.000 940.000 940.000 641.289A6 494.193 494.193 641.289 506.451 161.290A7 2238.705 2238.705 2238.705 2238.705 1690.319A8 1008.385 1008.385 1008.385 1008.385 494.193A9 494.193 363.225 388.386 388.386 71.613A10 1283.868 1283.868 1283.868 1283.868 71.613A11 1161.288 1161.288 1161.288 1161.288 71.613A12 641.289 645.160 645.160 506.451 90.968Peso 1903.366 1903.549 1906.683 1899.350 1977.8997

96

49

45

43

41

52

2

34

5

6

7

8

9 10

11

12

1

13

14

1516

17

18

19

20

21 22

23

24

25

26

2728

29

30

31

32

3334

35

36

37

38

3940

42

44

46

47

48

50

5153

54

55

56

57

5859

60

3

4

17

6

5

4

8

9

10

11

12

13

14

1516

17

18

19

21

20

2223

24

x

y


Tabela 5.37: Carregamento para a trelica de 60 barras (em kips).

Carregamento No Fx Fy1 1 -10.0 0

7 9.0 02 15 -8.0 3.0

18 -8.0 3.03 22 -20.0 10.0

y. A densidade do material e de 0.1 lb/in3 e o modulo de elasticidade e igual a 104 ksi.

Para esse problema sao definidos dois casos de carregamentos que podem ser observados

na Tabela 5.42.

Na Tabela 5.43 observa-se os resultados encontrados para o problema considerando os

quatro metodos analisados. O APM Med 3 obteve o melhor valor para o peso final dentre

97

Tabela 5.38: Agrupamento para a trelica de 60 barras.

Grupo Barras Grupo BarrasA1 49 ao 60 A14 25 e 37A2 1 e 13 A15 26 e 38A3 2 e 14 A16 27 e 39A4 3 e 15 A17 28 e 40A5 4 e16 A18 29 e 41A6 5 e 17 A19 30 e 42A7 6 e 18 A20 31 e 43A8 7 e 19 A21 32 e 44A9 8 e 20 A22 33 e 45A10 9 e 21 A23 34 e 46A11 10 e 22 A24 35 e 47A12 11 e 23 A25 36 e 48A13 12 e 24




APM Spor Mono 291.8345 321.1936 322.1222 1.5402e+02 395.2332 35/35

os demais metodos. Contudo, os outros metodos obtiveram valores bem aproximados.

A Tabela 5.44, apresenta uma comparacao para a trelica de 72 barras com resultados

encontrados na literatura, onde as solucoes marcadas com um asterisco nao sao

rigorosamente factıveis. Este estudo obteve um valor superior para o peso final em relacao

as demais referencias.

98

Tabela 5.40: Comparacao dos resultados para o problema da trelica de 60 barras, compeso final em lb. Os autores sao: Barbosa e Lemonge [28], Bernardino [29], Silva et al.[30].

Variaveis Ref.[28] Ref.[29] Ref.[30] Este estudoA1 1.1202 1.1726 1.1628 1.16186A2 2.0219 2.0621 2.0741 2.05396A3 0.5087 0.5100 0.5000 0.55622A4 1.7272 1.7654 1.7550 1.56836A5 1.5205 1.6658 1.6937 1.42066A6 0.5263 0.5720 0.5831 0.56823A7 1.9032 1.9062 1.9866 1.92526A8 2.1275 1.9484 1.8817 1.90424A9 0.9882 1.0510 1.0210 1.11336A10 2.0527 1.7466 1.8557 1.49336A11 2.0527 1.6457 1.7946 1.49575A12 0.7243 0.5153 0.5001 0.80284A13 1.9604 2.0797 2.0715 2.06031A14 1.2302 1.2616 1.2532 1.30629A15 0.9970 1.1398 1.0677 1.00834A16 0.6055 0.6888 0.7102 0.54040A17 0.7287 0.7888 0.7795 0.50147A18 0.0938 1.0401 1.0434 0.94529A19 1.1158 1.1605 1.1508 1.14428A20 1.1686 1.1499 1.1600 1.19860A21 1.0674 1.0097 0.9856 1.15119A22 1.0630 1.0680 1.0803 1.08666A23 0.5879 0.8199 0.6282 0.50457A24 1.0674 1.0693 1.0245 1.02406A25 1.2679 1.2743 1.2642 1.26823Peso 311.875 310.880 309.969 291.2477

99


Tabela 5.41: Agrupamento para a Trelica de 72 barras.

Grupo BarrasA1 1, 2, 3 e 4A2 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12A3 13, 14, 15 e 16A4 17 e 18A5 19, 20, 21 e 22A6 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 e 30A7 31, 32, 33 e 34A8 35 e 36A9 37, 38, 39 e 40A10 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 e 48A11 49, 50, 51 e 52A12 53 e 54A13 55, 56, 57 e 58A14 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65 e 66A15 67, 68, 69 e 70A16 71 e 72

100

Tabela 5.42: Carregamento para a trelica de W e o peso final em lb 72 barras (em kips).

Carregamento No Fx Fy Fz1 1 5 5 -52 1 0 0 -5

2 0 0 -53 0 0 -54 0 0 -5




APM Spor Mono 379.65592 379.72484 381.10749 4.7899e+01 428.31708 35/35

5.6.6 Discussao dos problemas de otimizacao estrutural

Para o grupo de problemas de otimizacao estrutural a analise dos metodos tambem

e feita utilizando o melhor valor e a media da funcao objetivo. A Figura 5.21(a), no

intervalo τ ∈ [1; 1.000005], apresenta o grafico dos perfis de desempenho onde a variante

APM Med 3 apresentou o maior valor de ρ(1) e, portanto, obteve o melhor desempenho

em uma quantidade maior de problemas. Na Figura 5.21(b), todas as variante obtiveram

o menor valor de τ , tal que ρ(τ) = 1. A area sob as curvas dos perfis de desempenho e

apresentada na Tabela 5.45. O APM seguido da variante APM Spor Mono apresentaram

os maiores valores de area, 1 e 0.90334, respectivamente. O APM ficou em segundo lugar

na analise observada na Figura 5.21(a) e, portanto, e considerado o metodo com o melhor

desempenho global.

101

Tabela 5.44: Comparacao dos resultados para o problema da trelica de 72 barras, compeso final em lb. As solucoes marcadas com um asterisco nao sao rigorosamente factıveis.Os autores sao: Venkaya [31], Gellatly e Berke [32], Schimit e Farshi [33], Erbatur et. al[12] e Lemonge e Barbosa [13].

Variaveis Ref.[31] Ref.[32] Ref.[33] Ref.[12] Ref.[12]∗ Ref.[13] Este estudoA1 0.161 0.1492 0.1585 0.155 0.161 0.15500 0.15664A2 0.557 0.7733 0.5936 0.535 0.544 0.54534 0.54419A3 0.377 0.4534 0.3414 0.480 0.379 0.27496 0.40256A4 0.506 0.3417 0.6076 0.520 0.521 0.51853 0.57634A5 0.611 0.5521 0.2643 0.460 0.535 0.60365 0.51796A6 0.532 0.6084 0.5480 0.530 0.535 0.66607 0.51204A7 0.100 0.1000 0.1000 0.120 0.103 0.10159 0.10015A8 0.100 0.1000 0.1509 0.165 0.111 0.13008 0.10062A9 1.246 1.0235 1.1067 1.155 1.310 1.19954 1.26850A10 0.524 0.5421 0.5793 0.585 0.498 0.47368 0.51759A11 0.100 0.1000 0.1000 0.100 0.110 0.10059 0.10007A12 0.100 0.1000 0.1000 0.100 0.103 0.10945 0.10001A13 1.818 1.4636 2.0784 1.755 1.910 1.95307 1.91257A14 0.524 0.5207 0.5034 0.505 0.525 0.51653 0.50978A15 0.100 0.1000 0.1000 0.105 0.122 0.10000 0.10004A16 0.100 0.1000 0.1000 0.155 0.103 0.10105 0.10045Peso 381.2 395.97 388.63 385.76 383.12 387.036 379.65356

102

(a) (b)

Figura 5.21: Perfis de desempenho utilizando o melhor valor.

Tabela 5.45: Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando omelhor valor.

Metodo APM APM Spor Mono APM Med 3 APM Worst

Area 1 0.90334 0.84151 0.83257

Uma ultima analise e feita utilizando o valor da media da funcao objetivo. A Figura

5.22(a), no intervalo τ ∈ [1; 1.0005], apresenta os metodos APM Med 3 e APM Worst

como sendo os que obtiveram o melhor desempenho em uma quantidade maior de

problemas. Na Figura 5.22(b), todos os metodos obtiveram os menores valores de τ ,

tal que ρ(τ) = 1. O metodo que apresentou o maior valor de area, conforme Tabela 5.46,

foi o APM seguido do APM Worst.

Tabela 5.46: Area normalizada sob as curvas dos perfis de desempenho utilizando amedia.

Metodo APM APM Worst APM Spor Mono APM Med 3

Area 1 0.93372 0.93321 0.83987

103

(a) (b)

Figura 5.22: Perfis de desempenho utilizando a media.

5.7 Analise dos Resultados

A analise dos resultados para os tres nıveis de avaliacoes do suite de funcoes utilizando

o melhor valor da funcao objetivo mostra que a variante que obteve o melhor desempenho

foi a APM Med 3, classificada em primeiro lugar em 2 das 3 analises, seguida do APM com

uma ocorrencia. Em segundo lugar, aparece a variante APM Spor Mono que obteve o

melhor desempenho em 2 das 3 analises, seguida do APM Worst com uma ocorrencia.

Utilizando a media da funcao objetivo a variante que obteve o melhor desempenho

foi novamente a APM Med 3, com 2 ocorrencias em 3 analises, seguida do APM Wost

com uma ocorrencia. Em segundo lugar, aparece o APM em 2 das 3 analises, seguido

do APM Spor Mono. Assim, para o suite de funcoes a variante que obteve o melhor

desempenho nas duas metricas foi a APM Med 3.

Para o conjunto de problemas de engenharia a variante APM Med 3 obteve o

melhor desempenho na analise utilizando o melhor valor da funcao objetivo, seguida do

APM Spor Mono. Utilizando o valor da media da funcao objetivo, o APM Worst obteve

o melhor desempenho, seguido do APM.

No conjunto de problemas de otimizacao estrutural e, inicialmente, utilizando o

melhor valor da funcao objetivo o APM obteve o melhor desempenho, seguido do

APM Spor Mono. A analise utilizando o valor da media da funcao objetivo mostrou

o APM novamente com o melhor desempenho dentre as variantes analisadas, seguido do

104

APM Worst. Logo, o APM foi o metodo com o melhor desempenho nesse conjunto de

problemas.

Um resumo das analises envolvendo todos os experimentos com o objetivo de

determinar a variante com o melhor desempenho global em cada metrica e apresentado a

seguir. A Tabela 5.47 apresenta o numero de ocorrencias em que cada variante alcancou

o primeiro, segundo, terceiro e quarto lugar utilizando o melhor valor da funcao objetivo.

Observa-se que a variante APM Med 3 obteve o melhor desempenho global alcancando o

primeiro lugar em 3 das 5 analises. Em segundo lugar, destaca-se o APM Spor Mono e o

APM.

Tabela 5.47: Analise das variantes envolvendo todos os experimentos utilizando o melhorvalor da funcao objetivo.

APM APM Med 3 APM Worst APM Spor Mono1o lugar 2 3 0 02o lugar 0 0 1 43o lugar 2 1 1 14o lugar 1 1 3 0

O numero de ocorrencias que cada variante alcancou o primeiro, segundo, terceiro e

quarto lugar utilizando agora o valor da media da funcao objetivo e apresentado na Tabela

5.48. Observa-se que as variantes APM Worst e APM apresentaram o melhor desempenho

e a variante APM Spor Mono apresentou um desempenho inferior em relacao as demais

variantes.

Tabela 5.48: Analise das variantes envolvendo todos os experimentos utilizando o valorda media da funcao objetivo.

APM APM Med 3 APM Worst APM Spor Mono1o lugar 1 2 2 02o lugar 3 0 1 13o lugar 0 1 2 24o lugar 1 2 0 2

Com base nas analises observadas ao longo do capıtulo 5, conclui-se que a variante

que apresentou um desempenho satisfatorio em todos os experimentos alcancando um

numero maior de vezes o primeiro lugar e a APM Med 3 e, portanto, pode ser considerada

a variante com o melhor desempenho global.

105

6 Conclusoes

Na presente dissertacao foi abordado um algoritmo por enxame de partıculas,

conhecido como PSO, para o tratamento de problemas de otimizacao com restricoes. O

PSO vem sendo largamente estudado na literatura e e um tipo de inteligencia de enxame

inspirado no comportamento de bandos de passaros (chamados de partıculas) que fazem

uso da experiencia de cada um deles assim como da experiencia do proprio bando para

encontrar a melhor regiao do espaco de busca.

O PSO possui rapida convergencia e utiliza poucos parametros de controle. Em

contrapartida, uma deficiencia do algoritmo e que o mesmo pode alcancar apenas mınimos

locais, que foi tratado aqui atraves da introducao de um operador de loucura que tem

como objetivo manter a diversidade das partıculas.

As tecnicas de penalizacao sao frequentemente utilizadas para o tratamento de

problemas de otimizacao com restricoes por serem de facil implementacao e apresentarem

bons resultados. Neste trabalho utilizou-se um metodo de penalizacao adaptativa (APM)

e suas variantes APM Med 3, APM Worst e APM Spor Mono acoplados ao algoritmo

PSO para o tratamento de problemas de otimizacao com restricoes. O APM e livre de

parametros a serem definidos pelo usuario, trata restricoes de igualdade e desigualdade e

nao demanda o conhecimento explıcito da funcao objetivo ou restricoes.

Inicialmente as variantes do APM foram selecionadas e analisadas a fim de obter

aquelas que apresentaram o melhor desempenho. Em seguida, as variantes com o melhor

desempenho juntamente com o APM foram utilizadas na apresentacao dos resultados e

estes foram comparados com outros algoritmos encontrados na literatura.

Destaca-se que o objetivo principal desta dissertacao foi explorar a capacidade do APM

e suas variantes acoplados ao PSO como ferramenta de otimizacao na busca de solucoes

para problemas de otimizacao com restricoes, envolvendo funcoes matematicas, problemas

de engenharia mecanica e estrutural tradicionalmente encontrados na literatura.

Os resultados apresentados nos experimentos comprovaram a competitividade do APM

e suas variantes acoplados ao algoritmo PSO. No conjunto de problemas da matematica

conhecido como suite de funcoes, a variante APM Med 3 obteve o melhor desempenho

dentre as outras variantes alcancando resultados satisfatorios. No segundo grupo de

106

experimentos envolvendo problemas de engenharia, destacam-se as variantes APM Med 3

e APM Worst. Os resultados apresentados nesse grupo foram competitivos quando

comparados com resultados encontrados na literatura. Nos experimentos em problemas

de otimizacao estrutural, o APM obteve o melhor desempenho. Quando comparado com

outros metodos encontrados na literatura, o APM obteve resultados superiores em varios

problemas.

As sugestoes para trabalhos futuros sao:

• Estudo mais detalhado dos parametros do PSO, tais como a inercia, fator de

aceleracao e atualizacao da velocidade;

• Desenvolvimento de um PSO com uma topologia de vizinhanca local a fim de

compara-lo com o PSO com topologia global apresentado nesta dissertacao;

• Desenvolvimento de um PSO multiobjetivo acoplando, testando e adaptando o APM

para este tipo de problema;

• Testar a nova suite de funcoes disponibilizada na literatura [191], verificando o

desempenho das variantes destacadas nas analises conduzidas neste texto.

• Aplicacao do APM em problemas de otimizacao estrutural considerando restricoes

de frequencia de vibracao e restricoes de cardinalidade para agrupamento otimo das

barras;

• Acoplamento do PSO a plataformas comerciais para analises com maior

complexidade de problemas de otimizacao em engenharia.

107

REFERENCIAS

[1] GANDOMI, A. H., YANG, X.-S., TALATAHARI, S., ALAVI, A. H., Metaheuristic

applications in structures and infrastructures . Access Online via Elsevier, 2013.

[2] RAO, S. S., Engineering optimization: theory and practice. John Wiley & Sons, 2009.

[3] KURIHARA, T., JIN’NO, K., “Analysis of convergence property of PSO and

its application to nonlinear blind source separation”. In: Evolutionary

Computation (CEC), 2013 IEEE Congress on, pp. 976–981, 2013.

[4] BARBOSA, H. J., LEMONGE, A. C., “An adaptive penalty method for genetic

algorithms in constrained optimization problems”, Frontiers in Evolutionary

Robotics , v. 34, 2008.

[5] GARCIA, R. P., CARVALHO, E. C. R., MONTA, B. G., LEMONGE, A. C. C.,

BERNARDINO, H. S., BARBOSA, H. J. C., “Novas Variantes para o

Metodo de Penalizacao Adaptativo (APM) para problemas de otimizacao com

restricoes”, Simposio Brasileiro de Pesquisa Operacional - SBPO , 2013.

[6] LIANG, J., RUNARSSON, T. P., MEZURA-MONTES, E., CLERC, M.,

SUGANTHAN, P., COELLO, C. C., DEB, K., “Problem definitions and

evaluation criteria for the CEC 2006 special session on constrained real-

parameter optimization”, J. of Applied Mechanics , v. 41, 2006.

[7] GANDOMI, A., YANG, X.-S., ALAVI, A., TALATAHARI, S., “Bat algorithm for

constrained optimization tasks”, Neural Computing and Applications , pp. 1–

17, 2012.

[8] GANDOMI, A., YANG, X.-S., ALAVI, A., “Mixed variable structural optimization

using Firefly Algorithm”, Computers & Structures , v. 89, n. 23, pp. 2325 –

2336, 2011.

[9] T.Y. CHEN, H. C., “Mixed-discrete structural optimization using a rank-niche

evolution strategy”, Engineering Optimization, v. 41, n. 1, pp. 39–58, 2009.

108

[10] LAMBERTI, L., PAPPALETTERE, C., “Move limits definition in structural

optimization with sequential linear programming. Part II: Numerical

examples”, Computers & Structures , v. 81, pp. 215–238, 2003.

[11] THANEDAR, P., VANDERPLAATS, G., “Survey of discrete variable optimization

for structural design”, J Struct Eng, ASCE , v. 2, n. 121, pp. 215–238, 1995.

[12] ERBATUR, F., HASANCEBI, O., TUTUNCU, I., KILC, H., “Optimal design of

planar and space structures with genetic algorithms”, Computers & Structures ,

v. 75, pp. 209–224, 2000.

[13] LEMONGE, A., BARBOSA, H., “An adaptive penalty scheme for genetic algorithms

in structural optimization”, Int. J. Numer. Meth. Engng., v. 59, pp. 703–736,

2004.

[14] BERNARDINO, H., BARBOSA, H., LEMONGE, A., “A hybrid genetic algorithm

for constrained optimization problems in mechanical engineering”. In: 2007

IEEE congress on evolutionary computation (CEC 2007), pp. 646–653, IEEE

Press, New York: Singapore, 2007.

[15] ARAGON, V., VICTORIA, S., ESQUIVEL, S., COELLO, C., “A modified version

of a T-Cell Algorithm for constrained optimization problems”, International

Journal for Numerical Methods in Engineering , v. 84, n. 3, pp. 351–378, 2010.

[16] BERNARDINO, H., BARBOSA, H., LEMONGE, A., FONSECA, L., “A new hybrid

AIS-GA for constrained optimization problems in mechanical engineering.” In:

2008 IEEE congress on evolutionary computation (CEC 2008), pp. 1455–1462,

IEEE Service Center, Piscataway: Hong-Kong, 2008.

[17] RUNARSSON, T., YAO, X., “Stochastic ranking for constrained evolutionary

optimization”, IEEE Transactions on Evolutionary Computation, v. 4, n. 3,

pp. 284–294, 2000.

[18] SILVA, A. F., Analise de uma Tecnica de Penalizacao Adaptativa Aplicada ao

Algoritmo de Otimizacao por Enxame de Partıculas , Dissertacao (Mestrado),

Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2010.

109

[19] KRISHNAMOORTY, C., RAJEEV, S., “Discrete Optimization of Structures Using

Genetic Algorithms.” Journal of Structural Engineering , v. 118, n. 5, 1992.

[20] GALANTE, M., “Genetic Algorithms as an Approach to Optimize Real-World

Trusses.” Int. Journal for Numerical Methods in Engineering , v. 39, pp. 361–

382, 1996.

[21] GHASEMI, M., HINTON, E., WOOD, R., “Optimization of trusses using genetic

algorithms for discrete and continuous variables”, Engineering Computations ,

v. 16, pp. 272–301, 1997.

[22] ZHU, D., “An improved Templeman’s algorithm for optimum design of trusses with

discrete member sizes”, Engineering Optimization, v. 9, pp. 303–312, 1986.

[23] WU, S., CHOW, P., “Steady-State Genetic Algorithms for Discrete Optimization of

Trusses”, Computers & Structures , v. 56, n. 6, pp. 979–991, 1995.

[24] LEE, K., GEEM, Z., “A new meta-heuristic algorithm for continuous engineering

optimization: harmony search theory and practice”, Computer Methods in

Applied Mechanics and Engineering , v. 194, n. 36ı¿1238, pp. 3902 – 3933, 2005.

[25] LI, L., HUANG, Z., LIU, F., “A heuristic particle swarm optimization method for

truss structures with discrete variables”, Computers & Structures , v. 87, n. 7–8,

pp. 435–443, 2009.

[26] KAVEH, A., TALATAHARI, S., “A particle swarm ant colony optimization for truss

structures with discrete variables”, Journal of Constructional Steel Research,

v. 65, pp. 1558–1568, 2009.

[27] CAPRILES, P., FONSECA, L., BARBOSA, H., LEMONGE, A., “Rank-based

ant colony algorithms for truss weight minimization with discrete variables”,

Commmunications in Numerical Methods in Engineering , v. 23, pp. 553–575,

2007.

[28] BARBOSA, H., LEMONGE, A., “A New Adaptive Penalty Scheme for Genetic

Algorithms”, Information Sciences , v. 156, n. 3-4, pp. 215–251, 2003.

110

[29] BERNARDINO, H. S., Hibridizacao de Algoritmos Geneticos e Sistemas

Imunologicos Artificiais para Problemas de Otimizacao com Restricoes

em Engenharia, Dissertacao (Mestrado), Programa de Pos-Graduacao em

Modelagem Computacional, Universidade Federal de Juiz de Fora, 2008.

[30] SILVA, E., BARBOSA, H., LEMONGE, A., “An adaptive constraint handling

technique for differential evolution with dynamic use of variants in engineering

optimization”, Optimization and Engineering , v. 12, pp. 31–54, 2011.

[31] VENKAYYA, V. B., “Design of Optimum Structures”, Journal of Computers &

Structures , v. 1, n. 1-2, pp. 265–309, 1971.

[32] GELLATLY, R., BERKE, L., Optimal Structural Design, Tech. Rep. AFFDL-TR-

70-165, Air Force Flight Dynamics Lab., AFFDL, 1971.

[33] SCHIMIT, L., FARSHI, B., “Some Approximation Concepts in Structural Synthesis”,

AIAA Journal , v. 12, pp. 692–699, 1974.

[34] EBERHART, R., KENNEDY, J., “A new optimizer using particle swarm theory”.

In: Micro Machine and Human Science, 1995. MHS’95., Proceedings of the

Sixth International Symposium on, pp. 39–43, 1995.

[35] MEZURA-MONTES, E., COELLO COELLO, C. A., “Constraint-handling in

nature-inspired numerical optimization: past, present and future”, Swarm and

Evolutionary Computation, v. 1, n. 4, pp. 173–194, 2011.

[36] COELLO COELLO, C. A., “Theoretical and numerical constraint-handling

techniques used with evolutionary algorithms: a survey of the state of the

art”, Computer methods in applied mechanics and engineering , v. 191, n. 11,

pp. 1245–1287, 2002.

[37] BARBOSA, H. J., LEMONGE, A. C., “An Adaptive Penalty Scheme In Genetic

Algorithms For Constrained Optimiazation Problems.” In: GECCO , v. 2, pp.

287–294, 2002.

[38] GALLET, C., SALAUN, M., BOUCHET, E., “An example of global structural

optimisation with genetic algorithms in the aerospace field”. In: VIII

International Conference on Computational Plasticity , 2005.

111

[39] ROCHA, A., FERNANDES, E., “Self-Adaptive Penalties in the Electromagnetism-

like Algorithm for Constrained Global Optimization Problems”. In: Proceedings

of The 8 th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization,

pp. 1–10, 2009.

[40] VENTER, G., HAFTKA, R. T., “Constrained particle swarm optimization using a

bi-objective formulation”, Structural and Multidisciplinary Optimization, v. 40,

pp. 65–76, 2010.

[41] YOUSEFI, M., ENAYATIFAR, R., DARUS, A. N., ABDULLAH, A. H., “A robust

learning based evolutionary approach for thermal-economic optimization of

compact heat exchangers”, International Communications in Heat and Mass

Transfer , v. 39, n. 10, pp. 1605 – 1615, 2012.

[42] KAR, R., MANDAL, D., MONDAL, S., GHOSHAL, S. P., “Craziness based Particle

Swarm Optimization algorithm for FIR band stop filter design”, Swarm and

Evolutionary Computation, 2012.

[43] DOLAN, E. D., MORE, J. J., “Benchmarking optimization software with

performance profiles”, Mathematical Programming , v. 91, pp. 201–213, 2002.

[44] MEZURA-MONTES, E., COELLO, C. A. C., “Constrained optimization via

multiobjective evolutionary algorithms”, In: Multiobjective problem solving

from nature, pp. 53–75, Springer, 2008.

[45] MARTINEZ, J. M., SANTOS, S. A., “Metodos computacionais de otimizacao”,

Coloquio Brasileiro de Matematica, Apostilas , v. 20, 1995.

[46] FRIEDLANDER, A., Elementos de programacao nao-linear . Editora da UNICAMP,

1994.

[47] SOUSA, T. C. A., Metodos subgradientes em otimizacao convexa e diferenciavel ,

Dissertacao (Mestrado), Programa de Pos-Graduacao em Modelagem

Computacional, Universidade Federal de Juiz de Fora, 2008.

[48] ALIMORADI, A., FOLEY, C. M., PEZESHK, S., “Benchmark problems in

structural design and performance optimization: past, present and future–part

112

I”. In: 19th ASCE Conf. Proc., State of the Art and Future Challenges in

Structure. ASCE Publications , 2010.

[49] LEMONGE, A. C., BARBOSA, H. J., COUTINHO, A. L., BORGES, C. C.,

“Multiple cardinality constraints and automatic member grouping in the

optimal design of steel framed structures”, Engineering Structures , v. 33, n. 2,

pp. 433–444, 2011.

[50] SHIMODA, M., IWASA, K., TSUKADA, S., “Optimal Shape Design of Shell

Structures”, Proceedings of IV European Conference on Computational

Mechanics, ECCM 2010 , 2010.

[51] RONG, J. H., LIANG, Q. Q., “A level set method for topology optimization of

continuum structures with bounded design domains”, Computer Methods in

Applied Mechanics and Engineering , v. 197, n. 17, pp. 1447–1465, 2008.

[52] ARORA, J., “Introduction to optimum design. 1989”, .

[53] HUGHES, T. J., The finite element method: linear static and dynamic finite element

analysis . DoverPublications.com, 2012.

[54] KARGUPTA, H., GOLDBERG, D. E., “Black box Optimization: Implications of

SEARCH”, University of Illinois, Urbana-Champaign, 1995.

[55] BORGWARDT, K. H., The Simplex Method. A Probabilistic Analysis, Algorithms

and Combinatorics 1 . Springer-Verlag, Berlin, 1987.

[56] HOLLAND, J. H., “Genetic algorithms and the optimal allocation of trials”, SIAM

Journal on Computing , v. 2, n. 2, pp. 88–105, 1973.

[57] HOLLAND, J. H., “Adaption in natural and artificial systems”, 1975.

[58] JAMIESON, P., GHARIBIAN, F., SHANNON, L., “Supergenes in a genetic

algorithm for heterogeneous FPGA placement”. In: Evolutionary Computation

(CEC), 2013 IEEE Congress on, pp. 253–260, 2013.

[59] ELSAYED, S. M., SARKER, R. A., ESSAM, D. L., “A genetic algorithm for solving

the CEC’2013 competition problems on real-parameter optimization”. In:

Evolutionary Computation (CEC), 2013 IEEE Congress on, pp. 356–360, 2013.

113

[60] COSTA, E. O., FABRIS, F., RODRIGUES LOUREIROS, A., AHONEN, H.,

VAREJAO, F. M., FERRO, R., “Using GA for the stratified sampling of

electricity consumers”. In: Evolutionary Computation (CEC), 2013 IEEE

Congress on, pp. 261–268, 2013.

[61] KIRKPATRICK, S., JR., D. G., VECCHI, M. P., “Optimization by simmulated

annealing”, science, v. 220, n. 4598, pp. 671–680, 1983.

[62] BUREERAT, S., LIMTRAGOOL, J., “Structural topology optimization using

simulated annealing with multiresolution design variables”, Finite Elements

in Analysis and Design, v. 44, n. 12, pp. 738–747, 2008.

[63] LAMBERTI, L., “An efficient simulated annealing algorithm for design optimization

of truss structures”, Computers & Structures , v. 86, n. 19, pp. 1936–1953, 2008.

[64] PARK, H. S., WON SUNG, C., “Optimization of steel structures using distributed

simulated annealing algorithm on a cluster of personal computers”, Computers

& structures , v. 80, n. 14, pp. 1305–1316, 2002.

[65] DE CASTRO, L. N., TIMMIS, J., “An artificial immune network for multimodal

function optimization”. In: Evolutionary Computation, 2002. CEC’02.

Proceedings of the 2002 Congress on, v. 1, pp. 699–704, 2002.

[66] COLORNI, A., DORIGO, M., MANIEZZO, V., OTHERS, “Distributed optimization

by ant colonies”. In: Proceedings of the first European conference on artificial

life, v. 142, pp. 134–142, 1991.

[67] DORIGO, M., Optimization, learning and natural algorithms , Tese (Doutorado),

Politecnico di Milano, Italy, 1992.

[68] LUH, G.-C., LIN, C.-Y., “Structural topology optimization using ant colony

optimization algorithm”, Applied Soft Computing , v. 9, n. 4, pp. 1343–1353,

2009.

[69] ZHANG, Z. Q., LI, H. N., “Two-Level Optimization Method of Transmission Tower

Structure Based on Ant Colony Algorithm”, Advanced Materials Research,

v. 243, pp. 5849–5853, 2011.

114

[70] MAJUMDAR, A., MAITI, D. K., MAITY, D., “Damage assessment of truss

structures from changes in natural frequencies using ant colony optimization”,

Applied Mathematics and Computation, v. 218, n. 19, pp. 9759–9772, 2012.

[71] KARABOGA, D., “An idea based on honey bee swarm for numerical optimization”,

Techn. Rep. TR06, Erciyes Univ. Press, Erciyes , 2005.

[72] AKAY, B., KARABOGA, D., “A modified artificial bee colony algorithm for real-

parameter optimization”, Information Sciences , v. 192, pp. 120–142, 2012.

[73] GREENWOOD, G. W., CHOPRA, S., “A modified artificial bee colony algorithm for

solving large graph theory problems”. In: Evolutionary Computation (CEC),

2013 IEEE Congress on, pp. 713–717, 2013.

[74] NARASIMHA, K. V., KIVELEVITCH, E., SHARMA, B., KUMAR, M., “An

ant colony optimization technique for solving minamax Multi-Depot Vehicle

Routing Problem”, Swarm and Evolutionary Computation, 2013.

[75] WANG, H., WU, Z., ZHOU, X., RAHNAMAYAN, S., “Accelerating artificial bee

colony algorithm by using an external archive”. In: Evolutionary Computation

(CEC), 2013 IEEE Congress on, pp. 517–521, 2013.

[76] EL-ABD, M., “Local best Artificial Bee Colony algorithm with dynamic sub-

populations”. In: Evolutionary Computation (CEC), 2013 IEEE Congress on,

pp. 522–528, 2013.

[77] YANG, X.-S., Nature-inspired metaheuristic algorithms . Luniver Press, 2008.

[78] GANDOMI, A., YANG, X.-S., TALATAHARI, S., ALAVI, A., “Firefly algorithm

with chaos”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,

v. 18, n. 1, pp. 89–98, 2013.

[79] YANG, X.-S., “Firefly algorithms for multimodal optimization”, In: Stochastic

algorithms: foundations and applications , pp. 169–178, Springer, 2009.

[80] CHAI-EAD, N., AUNGKULANON, P., LUANGPAIBOON, P., “Bees and Firefly

algorithms for noisy non-linear optimization problems”. In: Proceedings of the

115

International Multi Conference of Engineering and Computer Scientists , v. 2,

2011.

[81] YANG, X.-S., DEB, S., “Cuckoo search via Levy flights”. In: Nature & Biologically

Inspired Computing, 2009. NaBIC 2009. World Congress on, pp. 210–214, 2009.

[82] ZHOU, Y., ZHENG, H., “A Novel Complex Valued Cuckoo Search Algorithm”, The

Scientific World Journal , pp. 6, 2013.

[83] YANG, X.-S., DEB, S., “Engineering optimization by cuckoo search”, International

Journal of Mathematical Modelling and Numerical Optimization, v. 1, n. 4,

pp. 330–343, 2010.

[84] SHI, Y., EBERHART, R. C., “A modified particle swarm optimizer”. In:

Evolutionary Computation Proceedings, 1998. IEEE World Congress on

Computational Intelligence., The 1998 IEEE International Conference on, pp.

69–73, 1998.

[85] SHI, Y., EBERHART, R. C., “Parameter selection in particle swarm optimization”.

In: Evolutionary Programming VII , pp. 591–600, 1998.

[86] EBERHART, R. C., SHI, Y., “Comparing inertia weights and constriction factors

in particle swarm optimization”. In: Evolutionary Computation, 2000.

Proceedings of the 2000 Congress on, v. 1, pp. 84–88, 2000.

[87] RATNAWEERA, A., HALGAMUGE, S. K., WATSON, H. C., “Self-organizing

hierarchical particle swarm optimizer with time-varying acceleration

coefficients”, Evolutionary Computation, IEEE Transactions on, v. 8,

n. 3, pp. 240–255, 2004.

[88] SHI, Y., EBERHART, R. C., “Empirical study of particle swarm optimization”. In:

Evolutionary Computation, 1999. CEC 99. Proceedings of the 1999 Congress

on, v. 3, 1999.

[89] CHATTERJEE, A., SIARRY, P., “Nonlinear inertia weight variation for dynamic

adaptation in particle swarm optimization”, Computers & Operations Research,

v. 33, n. 3, pp. 859–871, 2006.

116

[90] KENNEDY, J., “The behavior of particles”. In: Evolutionary programming VII , pp.

579–589, 1998.

[91] CLERC, M., KENNEDY, J., “The particle swarm-explosion, stability, and

convergence in a multidimensional complex space”, Evolutionary Computation,

IEEE Transactions on, v. 6, n. 1, pp. 58–73, 2002.

[92] MARTINS, A., OLUYINKA, A., “An Adaptive Velocity Particle Swarm

Optimization for high-dimensional function optimization”. In: Evolutionary


[93] PLUHACEK, M., SENKERIK, R., ZELINKA, I., “Investigation on the Performance

of a New Multiple Choice Strategy for PSO Algorithm in the task of Large

Scale Optimization Problems”. In: Evolutionary Computation (CEC), 2013

IEEE Congress on, 2013.

[94] BASTOS-FILHO, C. J., CARACIOLO, M. P., MIRANDA, P. B., CARVALHO,

D. F., “Multi-ring particle swarm optimization”. In: Neural Networks, 2008.

SBRN’08. 10th Brazilian Symposium on, pp. 111–116, 2008.

[95] ROSENDO, M., Um algoritmo de otimizacao por nuvem de partıculas para resolucao

de problemas combinatorios , Dissertacao (Mestrado), Programa de Pos-

Graduacao em Informatica, Setor de Ciencias Exatas, Universidade Federal

do Parana, 2010.

[96] KENNEDY, J., “Small worlds and mega-minds: effects of neighborhood topology on

particle swarm performance”. In: Evolutionary Computation, 1999. CEC 99.

Proceedings of the 1999 Congress on, v. 3, 1999.

[97] GENG, N., GONG, D., ZHANG, Y., “Robot path planning in an environment

with many terrains based on interval multi-objective PSO”. In: Evolutionary


[98] ALJARAH, I., LUDWIG, S. A., “MapReduce Intrusion Detection System based on

a Particle Swarm Optimization Clustering Algorithm”, .

[99] YU, S., WEI, Y.-M., WANG, K., “A PSO–GA optimal model to estimate primary

energy demand of China”, Energy Policy , v. 42, pp. 329–340, 2012.

117

[100] HAMTA, N., FATEMI GHOMI, S., JOLAI, F., AKBARPOUR SHIRAZI, M., “A

hybrid PSO algorithm for a multi-objective assembly line balancing problem

with flexible operation times, sequence-dependent setup times and learning

effect”, International Journal of Production Economics , v. 141, n. 1, pp. 99–111,

2013.

[101] RODRIGUEZ-GARCIA, L., PEREZ-LONDONO, S., MORA-FLOREZ, J.,

“Particle swarm optimization applied in power system measurement-based load

modeling”. In: Evolutionary Computation (CEC), 2013 IEEE Congress on, pp.

2368–2375, 2013.

[102] CAMP, C. V., MEYER, B. J., PALAZOLO, P. J., “Particle Swarm Optimization for

The Design of Trusses”. In: 004@ sBuilding on the Past, Securing the Future,

pp. 1–10, 2004.

[103] GOMES, H. M., “Truss optimization with dynamic constraints using a particle

swarm algorithm”, Expert Systems with Applications , v. 38, n. 1, pp. 957–968,

2011.

[104] KAVEH, A., TALATAHARI, S., “Hybrid algorithm of harmony search, particle

swarm and ant colony for structural design optimization”, In: Harmony Search

Algorithms for Structural Design Optimization, pp. 159–198, Springer, 2009.

[105] LI, L., LIU, F., “Harmony particle swarm algorithm for structural design

optimization”, In: Harmony Search Algorithms for Structural Design

Optimization, pp. 121–157, Springer, 2009.

[106] LI, L., HUANG, Z., LIU, F., “A heuristic particle swarm optimization method for

truss structures with discrete variables”, Computers & Structures , v. 87, n. 7,

pp. 435–443, 2009.

[107] PEREZ, R., BEHDINAN, K., “Particle swarm approach for structural design

optimization”, Computers & Structures , v. 85, n. 19, pp. 1579–1588, 2007.

[108] CORREIA, A., MATIAS, J., SERODIO, C., “Metodos de penalidade exacta para

resolucao de problemas de optimizacao nao linear”, Investigacao Operacional ,

v. 28, n. 1, pp. 17–30, 2008.

118

[109] COURANT, R., “Variational methods for the solution of problems of equilibrium

and vibrations”, Bull. Amer. Math. Soc, v. 49, n. 1, pp. 23, 1943.

[110] CARROLL, C. W., “The created response surface technique for optimizing

nonlinear, restrained systems”, Operations Research, v. 9, n. 2, pp. 169–184,

1961.

[111] FIACCO, A. V., MCCORMICK, G. P., “Extensions of SUMT for nonlinear

programming: equality constraints and extrapolation”, Management Science,

v. 12, n. 11, pp. 816–828, 1966.

[112] RUNARSSON, T. P., YAO, X., “Stochastic ranking for constrained evolutionary

optimization”, Evolutionary Computation, IEEE Transactions on, v. 4, n. 3,

pp. 284–294, 2000.

[113] HOMAIFAR, A., QI, C. X., LAI, S. H., “Constrained optimization via genetic

algorithms”, Simulation, v. 62, n. 4, pp. 242–253, 1994.

[114] HOFFMEISTER, F., SPRAVE, J., “Problem-independent handling of constraints

by use of metric penalty functions”. Citeseer, 1996.

[115] JOINES, J. A., HOUCK, C. R., “On the use of non-stationary penalty functions

to solve nonlinear constrained optimization problems with GA’s”. In:

Evolutionary Computation, 1994. IEEE World Congress on Computational

Intelligence., Proceedings of the First IEEE Conference on, pp. 579–584, 1994.

[116] BEAN, J. C., HADJ-ALOUANE, A., “A dual genetic algorithm for bounded integer

programs”, Ann Arbor , v. 1001, pp. 48109–2117, 1992.

[117] SMITH, A. E., TATE, D. M., “Genetic optimization using a penalty function”.

In: Proceedings of the 5th international conference on genetic algorithms , pp.

499–505, 1993.

[118] COIT, D. W., SMITH, A. E., “Penalty guided genetic search for reliability design

optimization”, Computers & industrial engineering , v. 30, n. 4, pp. 895–904,

1996.

119

[119] COIT, D. W., SMITH, A. E., TATE, D. M., “Adaptive penalty methods for genetic

optimization of constrained combinatorial problems”, INFORMS Journal on

Computing , v. 8, n. 2, pp. 173–182, 1996.

[120] HAMIDA, S. B., SCHOENAUER, M., “An adaptive algorithm for constrained

optimization problems”. In: Parallel Problem Solving from Nature PPSN VI ,

pp. 529–538, 2000.

[121] LIN, C.-Y., WU, W.-H., “Self-organizing adaptive penalty strategy in constrained

genetic search”, Structural and Multidisciplinary Optimization, v. 26, n. 6,

pp. 417–428, 2004.

[122] TESSEMA, B., YEN, G. G., “A self adaptive penalty function based algorithm for

constrained optimization”. In: Evolutionary Computation, 2006. CEC 2006.

IEEE Congress on, pp. 246–253, 2006.

[123] MONTEMURRO, M., VINCENTI, A., VANNUCCI, P., “The Automatic Dynamic

Penalisation method (ADP) for handling constraints with genetic algorithms”,

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 2012.

[124] MEZURA-MONTES, E., Constraint-handling in evolutionary optimization. v. 198.

Springer, 2009.

[125] AGUIRRE, A. H., ZAVALA, A. M., DIHARCE, E. V., RIONDA, S. B.,

“COPSO: Constrained Optimization via PSO algorithm”, Center for Research

in Mathematics (CIMAT). Technical report No. I-07-04/22-02-2007 , 2007.

[126] RAY, T., LIEW, K., “A swarm with an effective information sharing mechanism

for unconstrained and constrained single objective optimisation problems”. In:

Evolutionary Computation, 2001. Proceedings of the 2001 Congress on, v. 1,

pp. 75–80, 2001.

[127] HU, X., EBERHART, R. C., SHI, Y., “Engineering optimization with particle

swarm”. In: Swarm Intelligence Symposium, 2003. SIS’03. Proceedings of the

2003 IEEE , pp. 53–57, 2003.

[128] MUNOZ ZAVALA, A. E., AGUIRRE, A. H., VILLA DIHARCE, E. R.,

“Constrained optimization via particle evolutionary swarm optimization

120

algorithm (PESO)”. In: Proceedings of the 2005 conference on Genetic and

evolutionary computation, pp. 209–216, 2005.

[129] LI, L., HUANG, Z., LIU, F., WU, Q., “A heuristic particle swarm optimizer for

optimization of pin connected structures”, Computers & Structures , v. 85, n. 7,

pp. 340–349, 2007.

[130] HE, S., WU, Q., WEN, J., SAUNDERS, J., PATON, R., “A particle swarm

optimizer with passive congregation”, Biosystems , v. 78, n. 1, pp. 135–147,

2004.

[131] GEEM, Z. W., KIM, J. H., LOGANATHAN, G., “A new heuristic optimization

algorithm: harmony search”, Simulation, v. 76, n. 2, pp. 60–68, 2001.

[132] DEB, K., “An efficient constraint handling method for genetic algorithms”,

Computer methods in applied mechanics and engineering , v. 186, n. 2, pp. 311–

338, 2000.

[133] CAGNINA, L. C., ESQUIVEL, S. C., COELLO, C. A. C., “Solving Engineering

Optimization Problems with the Simple Constrained Particle Swarm

Optimizer”, Informatica (Slovenia), v. 32, n. 3, pp. 319–326, 2008.

[134] BARBOSA, H. J., LEMONGE, A. C., “A new adaptive penalty scheme for genetic

algorithms”, Information Sciences , v. 156, n. 3, pp. 215–251, 2003.

[135] LEMONGE, A. C., BARBOSA, H. J., “An adaptive penalty scheme for genetic

algorithms in structural optimization”, International Journal for Numerical

Methods in Engineering , v. 59, n. 5, pp. 703–736, 2004.

[136] YOUNG, C.-T., ZHENG, Y., YEH, C.-W., JANG, S.-S., “Information-Guided

Genetic Algorithm Approach to the Solution of MINLP Problems”, Industrial

& Engineering Chemistry Research, v. 46, n. 5, pp. 1527–1537, 2007.

[137] GALLET, C., SALAUN, M., BOUCHET, E., “An example of global structural

optimisation with genetic algorithms in the aerospace field”. In: Proceedings

of The VIII International Conference on Computational Plasticity COMPLAS

VIII, Barcelona, pp. 1–4, 2005.

121

[138] BARBOSA, H. J., LEMONGE, A. C., FONSECA, L. G., BERNARDINO, H. S.,

“Comparing two constraint handling techniques in a binary-coded genetic

algorithm for optimization problems”, Lecture Notes in Computer Science,

v. 6457, pp. 125–134, 2010.

[139] LUCENA, R., COUTINHO, D., LIMA, B., BAIOCO, J., ALBRECHT, C., JACOB,

B., “A comparative study of constraint-handling methodologies applied to

genetic algorithm for the optimization of submarine pipeline routes”. In:

Proceedings of 3rd International Conference on Engineering Optimization -

EngOpt 2012 , pp. 1–10, Rio de Janeiro, Brazil, 01 - 05 July 2012., 2012.

[140] OLIVEIRA, L., AFONSO, S., HOROWITZ, B., LEMONGE, A., “Constraints

Handling for Hybrid Algorithms in Waterflooding Optimization Problem”. In:

Proceedings of 3rd International Conference on Engineering Optimization -

EngOpt 2012 , pp. 1–8, Rio de Janeiro, Brazil, 01 - 05 July 2012., 2012.

[141] BARBOSA, H., LEMONGE, A., BORGES, C., “A genetic algorithm encoding

for cardinality constraints and automatic variable linking in structural

optimization.” Engineering Structures , v. 30, pp. 3708–3723, 2008.

[142] LIU, X., CHENG, G., WANG, B., LIN, S., “Optimum design of pile foundation

by automatic grouping genetic algorithms”, International Scholarly Research

Network ISRN Civil Engineering , v. 2012, pp. 1–16, 2012, Article ID 678329.

[143] YOUSEFI, M., ENAYATIFAR, R., DARUS, A. N., ABDULLAH, A. H.,

“Optimization of plate-fin heat exchangers by an improved harmony search

algorithm”, Applied Thermal Engineering , v. 50, n. 1, pp. 877 – 885, 2013.

[144] CARVALHO, E. C. R., MONTA, B. G., GARCIA, R. P., LEMONGE, A.

C. C., BERNARDINO, H. S., BARBOSA, H. J. C., “Variants of the

Adaptive Penalty Methods (APM) for Constrained Optimization Problems

Applied to Engineering Problems”, XXXIV Iberian Latin-American Congress

on Computational Methods in Engineering - CILAMCE , 2013.

[145] SILVA, F. B. S., Algoritmos geneticos para otimizacao de estruturas reticuladas

baseadas em modelos adaptativos e lagrangeano aumentado, Dissertacao

122

(Mestrado), Programa de Pos-Graduacao em Modelagem Computacional,

Universidade Federal de Juiz de Fora, 2011.

[146] BARBOSA, H. J., BERNARDINO, H. S., BARRETO, A. D. M. S., “Using

performance profiles to analyze the results of the 2006 CEC constrained

optimization competition”. In: Evolutionary Computation (CEC), 2010 IEEE

Congress on, pp. 1–8, 2010.

[147] BARRETO, A., BERNARDINO, H. S., BARBOSA, H. J., “Probabilistic

performance profiles for the experimental evaluation of stochastic algorithms”.

In: Proceedings of the 12th annual conference on Genetic and evolutionary

computation, pp. 751–758, 2010.

[148] BERNARDINO, H. S., BARBOSA, H. J., FONSECA, L. G., “Surrogate-assisted

clonal selection algorithms for expensive optimization problems”, Evolutionary

Intelligence, v. 4, n. 2, pp. 81–97, 2011.

[149] MEZURA-MONTES, E., COELLO, C. A. C., LANDA-BECERRA, R.,

“Engineering Optimization Using a Simple Evolutionary Algorithm”, , pp. 149–

1562003.

[150] BARBOSA, H. J. C., LEMONGE, A. C. C., “An Adaptive Penalty Scheme In

Genetic Algorithms For Constrained Optimiazation Problems”. In: GECCO

2002: Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference,

pp. 287–294, Morgan Kaufmann Publishers: New York, 9-13 July 2002.

[151] BELEGUNDU, A., A Study of Mathematical Programming Methods fos Structural

Optimization, Tech. rep., Dept. of Civil and Environmental Engineering,

University of Iowa, 1982.

[152] COELLO, C., “Self-adaptive penalties for GA based optimization”. In: Proceedings

of Congress on Evolutionary Computation, v. 1, pp. 573–580, 1999.

[153] COELLO, C., “Constraint-handling using an evolutionary multiobjective

optimization techinique”, Civil Engineering and Environmental Systems , v. 17,

n. 4, pp. 319–346, 2000.

123

[154] COELLO, C., BECERRA, R., “Efficient evolutionary through the use of a cultural

algorithm”, Engineering Optimization, v. 36, pp. 219–236, 2004.

[155] COELLO, C., MONTES, E., “Use of dominance-based tournament selection to

handle constraints in genetic algorithms”. In: Intelligent Engineering Systems

through Artificial Neural Networks (ANNIE2001), v. 11, St. Louis,Missouri.

[156] COELHO, L. S., “Gaussian quantum-behaved particle swarm optimization

approaches for constrained engineering design problems”, Expert Syst Appl ,

v. 37, n. 2, pp. 1676–1683, 2010.

[157] HE, Q., WANG, L., “An effective co-evolutionary particle swarm optimization for

engineering optimization problems”, Appl Artif Intell , v. 20, pp. 89–99, 2006.

[158] HE, S., PREMPAIN, E., WU, Q., “An improved particle swarm optimizer for

mechanical design optimization problems”, Engineering Optimization, v. 36,

n. 5.

[159] HEDAR, A., FUKUSHIMA, M., “Derivative-free filter simulated annealing

method for constrained continuous global optimization”, Journal of Global

Optimization, , n. 32.

[160] HU, X., EBERHART, R., SHI, Y., “Engineering optimization with particle swarm”.

In: Proceedings of 2003 IEEE swarm intelligence symposium, pp. 53–57, 2003.

[161] HUANG, F., WANG, L., LE, Q., “An effective co-evolutionary differential evolution

for constrained optimization”, Appl MathComput , v. 1, n. 186, pp. 340–356,

2007.

[162] MONTES, E., COELLO, C., “An empirical study about the usefulness of evolution

strategies to solve constrained optimization problems”, Int J Gen Syst , v. 37,

n. 4, pp. 443–473, 2008.

[163] MONTES, E., OCANA, B., “Bacterial foraging for engineering design problems:

preliminary results”. In: Proceedings of the 4th Mexican Congress on

Evolutionary Computation (COMCEV 2008), pp. 33–38, CIMAT, Mexico,

2008.

124

[164] PARSOPOULOS, K., VRAHATIS, M., “Unified particle swarm optimization for

solving constrained engineering optimization problems”. In: Lecture notes in

computer science (LNCS), v. 3612, pp. 582–591, 2008.

[165] RAY, T., LIEW, K., “Society and civilization: An optimization algorithm based

on the simulation of social behavior”, Evolutionary Computation, IEEE

Transactions on, v. 7, n. 4, pp. 386–396, 2003.

[166] RAY, T., SAINI, P., “Engineering design optimization using a swarm with an

intelligent information sharing among individuals”, Engineering Optimization,

v. 33, n. 3, pp. 735–748, 2001.

[167] ZHANG, M., LUO, W., WANG, X., “Differential evolution with dynamic stochastic

selection for constrained optimization”, Information Sciences , v. 178, n. 15,

pp. 3043 – 3074, 2008.

[168] MEZURA-MONTES, E., COELLO, C. A. C., LANDA-BECERRA, R.,

“Engineering Optimization Using a Simple Evolutionary Algorithm”. pp. 149–

156, 15th Intl. Conf. on Tools with Art. Intelligence, ICTAI, CA, USA, 2003.

[169] LEITE, J., TOPPING, B., “Improved genetic operators for structural engineering

optimization”, Advances in Engeneering Software, v. 29, n. 7-9, pp. 529–562,

1998.

[170] DEB, K., “An Efficient Constraint Handling Method for Genetic Algorithms”,

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , v. 186, n. 2-4,

pp. 311–338, June 2000.

[171] DEB, K., “Optimal design of a welded beam via genetic algorithms”, AIAA

Journal., v. 29, n. 11, pp. 2012–2015, 1991.

[172] ATIQULLAH, M., RAO, S., “Simulated annealing and parallel processing: an

implementation for constrained global design optimization”, Engineering

Optimization, v. 32, n. 5.

[173] LIU, J.-L., “Orthogonal simulated annealing with fractional factorial analysis to

solve global optimization problems”, Engineering Optimizatiom, , n. 37.

125

[174] HWANG, S.-F., HE, R.-S., “A hybrid real-parameter genetic algorithm for function

optimization”. N. 20, pp. 7–21, 2006.

[175] “An effective multiagent evolutionary algorithm integrating a novel roulette

inversion operator for engineering optimization”, Applied Mathematics and

Computation, v. 211, n. 2, pp. 392–416, 2009.

[176] SIDALL, J., Analytical decision-making in engineering design. Prentice-Hall,

Englewood Cliffs, 1972.

[177] AKHTAR, S., TAI, K., RAY, T., “A socio-behavioral simulation model for

engineering design optimization”, Engineering Optimzation, v. 34, n. 4, pp. 341–

354, 2002.

[178] RAGSDELL, K., PHILLIPS, D., “Optimal Design of a Class of Welded Structures

Using Geometric Programming”, Journal of Engineering for Industry , v. 98,

n. 3, pp. 1021–1025, 1976.

[179] BARBOSA, H., LEMONGE, A., “An Adaptive Penalty Method for Genetic

Algorithms in Constrained Optimization Problems”, In: IBA, H. (ed),

Frontiers in Evolutionary Algorithms , pp. 9–34, I-Tech, 2008.

[180] CAGNINA, L., ESQUIVEL, S., COELLO, C., “Solving engineering optimization

problems with the simple constrained particle swarm optimizer”, Informatica,

v. 32, pp. 319–326, 2008.

[181] COELLO, C., “Use of a self-adaptive penalty approach for engineering optimization

problems”, Computers in Industry , v. 41, n. 2, pp. 113–127, 2000.

[182] DEB, K., “GeneAS: A Robust Optimal Design Technique for Mechanical

Component Design”. In: Evolutionary Algorithms in Engineering Applications ,

pp. 497–514, Springer-Verlarg, Berlin, 1997.

[183] BEAN, J., ALOUANE, A., “A genetic algorithm for the multiple-choice integer

program”, Oper Res , v. 45, pp. 92–101, 1999.

[184] HOMAIFAR, A., LAI, S., QI, X., “Constrained optimization via genetic

algorithms”, Simulation, v. 62, n. 4, pp. 242–254, 1994.

126

[185] JOINES, J., HOUCK, C. R., “On the use of non-stationary penalty methods to

solve nonlinear constrained optimization problems with GAs”. In: Proc. of

1994 IEEE Conf. on Evolutionary Computation, pp. 579–585, Piscataway, New

Jersey: Institute of Electrical and Electronics Engineers, 1994.

[186] LI, H., CHANG, C., “An approximate approach of global optimization for

polynomial programming problems”, Eur J Oper Res , v. 107, n. 3, 1998.

[187] MICHALEWICZ, Z., ATTIA, N., “Evolutionary optimization of constrained

problems”. In: Proceedings of the 3rd annual conf on evolutionary programming ,

pp. 98–108, 1994.

[188] ERBATUR, F., HASANCEBI, O., TUTUNCU, I., KILIC, H., “Optimal design of

planar and space structures with genetic algorithms”, Computers & Structures ,

v. 75, n. 2, pp. 209–224, 2000.

[189] BERNARDINO, H. S., BARBOSA, H. J., LEMONGE, A. C., FONSECA, L.,

“A new hybrid AIS-GA for constrained optimization problems in mechanical

engineering”. In: Evolutionary Computation, 2008. CEC 2008.(IEEE World

Congress on Computational Intelligence). IEEE Congress on, pp. 1455–1462,

2008.

[190] ARAGON, V. S., ESQUIVEL, S. C., COELLO, C. A. C., “A modified version

of a T-Cell Algorithm for constrained optimization problems”, International

Journal for Numerical Methods in Engineering , v. 84, n. 3, pp. 351–378, 2010.

[191] LIANG, J., QU, B., SUGANTHAN, P., Problem Definitions and Evaluation Criteria

for the CEC 2014 Special Session and Competition on Single Objective Real-

Parameter Numerical Optimization, Tech. rep., Technical Report 201311,

Computational Intelligence Laboratory, Zhengzhou University, Zhengzhou

China and Technical Report, Nanyang Technological University, Singapore,

2013.

127

APENDICE A - Resultados G-Suite

Resultados encontrados para as funcoes G-Suite considerando os tres nıveis de

avaliacao da funcao objetivo, 5000, 50000 e 500000.

128

Tab

ela

A.1

:R

esult

ados

enco

ntr

ados

par

aa

fun

cao

G1.

Mel

hor

valo

rco

nhec

ido:

-15.

Met

odo

Mel

hor

Med

iana

Med

iadp

Pio

rnes

fna

AP

M-1

4.99

9916

-14.

9857

47-1

3.51

3761

1.10

6983

e+01

-7.0

0250

935

/35

5000

AP

MM

ed3

-14.

9999

18-1

4.9

99760

-14.7

28093

3.8

31314e+

00

-12.9

97032

35

/35

5000

AP

MW

orst

-14.9

99957

-14.

9987

78-1

3.46

0143

1.18

3127

e+01

-9.0

0139

235

/35

5000

AP

MSp

orM

ono

-14.

9999

44-1

4.99

9681

-14.

0573

007.

8583

76e+

00-1

1.99

9721

35

/35

5000

AP

M-1

4.99

9995

-14.

9999

83-1

4.59

9983

4.73

2876

e+00

-12.

9999

7135

/35

5000

0A

PM

Med

3-1

4.9

99997

-14.9

99984

-14.8

85699

2.7

46421e+

00

-12.9

99987

35

/35

5000

0A

PM

Wor

st-1

4.99

9992

-14.

9999

79-1

4.75

5784

4.04

9645

e+00

-12.

4530

5435

/35

5000

0A

PM

Sp

orM

ono

-14.

9999

94-1

4.99

9985

-14.

7714

113.

7645

31e+

00-1

2.99

9958

35

/35

5000

0

AP

M-1

4.9

99998

-14.

9999

92-1

4.7

71422

3.7

64498e+

00

-12.9

99991

35

/35

5000

00A

PM

Med

3-1

4.99

9997

-14.9

99993

-14.7

71422

3.76

4501

e+00

-12.

9999

8935

/35

5000

00A

PM

Wor

st-1

4.9

99998

-14.9

99993

-14.

5999

934.

7328

72e+

00-1

2.99

9987

35

/35

5000

00A

PM

Sp

orM

ono

-14.

9999

98-1

4.99

9992

-14.

6236

534.

5184

36e+

00-1

2.99

9986

35

/35

5000

00

129

Tab

ela

A.2

:R

esult

ados

enco

ntr

ados

par

aa

fun

cao

G2.

Mel

hor

valo

rco

nhec

ido:

-0.8

0361

9.

Met

odo

Mel

hor

Med

iana

Med

iadp

Pio

rnes

fna

AP

M-0

.623

216

-0.4

2951

8-0

.427

235

5.24

8323

e-01

-0.2

6529

835

/35

5000

AP

MM

ed3

-0.6

2842

4-0

.484628

-0.4

66756

4.9

36998e-0

1-0

.310252

35

/35

5000

AP

MW

orst

-0.6

75435

-0.4

7252

9-0

.461

551

5.56

4616

e-01

-0.2

9912

135

/35

5000

AP

MSp

orM

ono

-0.6

3524

9-0

.479

895

-0.4

6670

74.

6009

90e-

01-0

.279

513

35

/35

5000

AP

M-0

.630

207

-0.4

7623

2-0

.476

353

4.2

86699e-0

1-0

.318

167

35

/35

5000

0A

PM

Med

3-0

.731

990

-0.5

25771

-0.5

16027

6.10

2338

e-01

-0.3

43078

35

/35

5000

0A

PM

Wor

st-0

.710

287

-0.4

9994

1-0

.501

189

6.04

3827

e-01

-0.3

1452

335

/35

5000

0A

PM

Sp

orM

ono

-0.7

77343

-0.4

9236

0-0

.497

701

6.62

3740

e-01

-0.2

8753

635

/35

5000

0

AP

M-0

.771

002

-0.5

50075

-0.5

3166

46.

8411

86e-

01-0

.326

777

35

/35

5000

00A

PM

Med

3-0

.786159

-0.5

0273

7-0

.525

108

7.10

9076

e-01

-0.3

0733

935

/35

5000

00A

PM

Wor

st-0

.770

400

-0.5

4981

9-0

.542841

6.0

25362e-0

1-0

.322

065

35

/35

5000

00A

PM

Sp

orM

ono

-0.7

5150

9-0

.469

866

-0.5

0304

26.

3341

90e-

01-0

.332635

35

/35

5000

00

130

Tab

ela

A.3

:R

esult

ados

enco

ntr

ados

par

aa

fun

cao

G3.

Mel

hor

valo

rco

nhec

ido:

-1.0

0050

0.

Met

odo

Mel

hor

Med

iana

Med

iadp

Pio

rnes

fna

AP

M-0

.942513

-0.3

3471

1-0

.386

968

1.42

8892

e+00

-0.0

00000

16/3

550

00A

PM

Med

3-0

.846

017

-0.5

1097

6-0

.435

413

1.18

2529

e+00

-0.0

00000

14/3

550

00A

PM

Wor

st-0

.937

964

-0.6

39657

-0.5

60414

1.16

3313

e+00

-0.0

00000

17/3

550

00A

PM

Sp

orM

ono

-0.0

0896

4-0

.000

000

-0.0

0046

71.0

48240e-0

2-0

.000

000

35

/35

5000

AP

M-1

.000277

-0.8

9524

6-0

.827

518

9.87

0566

e-01

-0.3

61582

30

/35

5000

0A

PM

Med

3-0

.994

341

-0.8

8795

0-0

.826

004

1.00

4246

e+00

-0.0

5197

422

/35

5000

0A

PM

Wor

st-0

.997

906

-0.9

55321

-0.8

42447

1.04

3972

e+00

-0.1

2767

125

/35

5000

0A

PM

Sp

orM

ono

-0.0

6699

2-0

.001

467

-0.0

1075

21.0

50963e-0

1-0

.000

000

28/3

550

000

AP

M-1

.000

497

-1.0

0049

4-1

.000

441

1.09

1512

e-03

-0.9

9938

726

/35

5000

00A

PM

Med

3-1

.000499

-1.0

00496

-1.0

00487

1.1

58874e-0

4-1

.000409

29

/35

5000

00A

PM

Wor

st-1

.000

498

-1.0

0049

5-1

.000

329

3.03

9083

e-03

-0.9

9802

927

/35

5000

00A

PM

Sp

orM

ono

-0.9

9949

4-0

.758

967

-0.7

5003

19.

4620

13e-

01-0

.307

686

26/3

550

0000

131

Tab

ela

A.4

:R

esult

ados

enco

ntr

ados

par

aa

fun

cao

G4.

Mel

hor

valo

rco

nhec

ido:

-306

65.5

3867

1.

Met

odo

Mel

hor

Med

iana

Med

iadp

Pio

rnes

fna

AP

M-3

0665

.521

200

-306

65.4

5431

2-3

0665

.287

155

3.2

14469e+

00

-306

62.5

4050

035

/35

5000

AP

MM

ed3

-30665.5

33112

-30665.4

70744

-306

65.2

1245

35.

6775

76e+

00-3

0659

.950

413

35

/35

5000

AP

MW

orst

-306

65.5

1113

5-3

0665

.449

830

-30665.4

17291

5.80

8929

e-01

-30665.0

99098

35

/35

5000

AP

MSp

orM

ono

-306

65.5

1836

3-3

0665

.450

396

-306

65.0

6914

89.

2529

02e+

00-3

0656

.172

493

35/3

550

00

AP

M-3

0665

.538

580

-306

65.5

3790

4-3

0665

.537

920

2.37

9537

e-03

-306

65.5

3703

235

/35

5000

0A

PM

Med

3-3

0665.5

38614

-30665.5

38025

-30665.5

37993

2.19

6542

e-03

-30665.5

37038

35

/35

5000

0A

PM

Wor

st-3

0665

.538

541

-306

65.5

3782

8-3

0665

.537

826

2.0

59609e-0

3-3

0665

.536

943

35

/35

5000

0A

PM

Sp

orM

ono

-306

65.5

3857

9-3

0665

.537

977

-306

65.5

3789

12.

1886

43e-

03-3

0665

.537

066

35/3

550

000

AP

M-3

0665

.538

645

-30665.5

38531

-30665.5

38507

6.02

2388

e-04

-306

65.5

3825

935/35

5000

00A

PM

Med

3-3

0665

.538

659

-306

65.5

3849

8-3

0665

.538

477

5.68

6566

e-04

-306

65.5

3824

635

/35

5000

00A

PM

Wor

st-3

0665

.538

649

-306

65.5

3851

3-3

0665

.538

501

5.42

0882

e-04

-30665.5

38312

35

/35

5000

00A

PM

Sp

orM

ono

-30665.5

38662

-306

65.5

3850

7-3

0665

.538

504

5.2

68366e-0

4-3

0665

.538

276

35/3

550

0000

132

Tab

ela

A.5

:R

esult

ados

enco

ntr

ados

par

aa

fun

cao

G5.

Mel

hor

valo

rco

nhec

ido:

5126

.496

714.

Met

odo

Mel

hor

Med

iana

Med

iadp

Pio

rnes

fna

AP

M-

--

--

0/35

5000

00A

PM

Med

35147.0

87297

5147.0

87297

5147.0

87297

0.0

00000e+

00

5147.0

87297

1/3

550

0000

AP

MW

orst

--

--

-0/

3550

0000

AP

MSp

orM

ono

--

--

-0/

3550

0000

133

Tab

ela

A.6

:R

esult

ados

enco

ntr

ados

par

aa

fun

cao

G6.

Mel

hor

valo

rco

nhec

ido:

-696

1.81

3875

.

Met

odo

Mel

hor

Med

iana

Med

iadp

Pio

rnes

fna

AP

M-6

961.3

66893

-6956.1

31479

-695

2.26

5417

6.40

3016

e+01

-690

5.33

3790

33

/35

5000

AP

MM

ed3

-696

0.92

8189

-695

1.11

7622

-694

8.15

9811

5.91

0853

e+01

-690

7.94

0370

32/3

550

00A

PM

Wor

st-6

960.

8600

55-6

955.

4185

31-6

952.7

65660

4.2

10972e+

01

-6932.5

48301

32/3

550

00A

PM

Sp

orM

ono

-695

9.89

1297

-691

7.56

7858

-689

3.37

3598

4.56

0081

e+02

-650

0.22

4434

25/3

550

00

AP

M-6

961.

8090

34-6

961.

7962

93-6

961.

7938

565.

1463

32e-

02-6

961.

7663

0835

/35

5000

0A

PM

Med

3-6

961.

8072

48-6

961.7

98553

-6961.7

97424

3.8

71357e-0

2-6

961.7

79491

35

/35

5000

0A

PM

Wor

st-6

961.

8104

89-6

961.

7977

90-6

961.

7953

625.

7588

52e-

02-6

961.

7672

1635

/35

5000

0A

PM

Sp

orM

ono

-6961.8

10809

-696

1.78

2189

-696

1.78

2789

1.03

1371

e-01

-696

1.73

6478

35

/35

5000

0

AP

M-6

961.8

13569

-696

1.81

0918

-696

1.81

0778

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/35

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134

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135

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136

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137

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138

Tab

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/35

5000

00

139

Tab

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--

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AP

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AP

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146

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AP

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Erica da Costa Reis Carvalho - UFJF · Erica da Costa Reis Carvalho Solu˘c~ao de problemas de...

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