Equações do Plano
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Equações do PlanoEquações do PlanoSejam um ponto e os
vetores e não paralelos (LI). Então existe um único plano que passa por A e possui representantes de e .
: , ,AP u v R ��������������
: , ,P A u v R
: , ,P A u v R
3R
1 2 3( , , )u u u u
1 2 3( , , )v v v v0 0 0( , , )A x y z
u
v
u
v
u
v
PA
Equação Vetorial do Equação Vetorial do PlanoPlano
Equações Cartesianas do Plano
Equação Vetorial: Dados ,
, e , temos que a equação vetorial do plano é:
, ,P x y z
0 0 0, ,A x y z 1 2 3, ,v v v v
, ,P A u v R :
1 2 3, ,u u u u
0 0 0 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,x y z x y z u u u v v v
, R
Exercício
Determinar a equação vetorial do plano que passa pelos pontos A(3,0,-5), B(7,4,-7) e C(1,1,-1)
Equações Cartesianas
Equações ParamétricasConsiderando a equação vetorial do plano
Temos as equações paramétricas do plano dadas por:
0 0 0 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , ,x y z x y z u u u v v v
, R
0 1 1
0 2 2
0 3 3
, ,
x x u v
y y u v R
z z u v
:
Equações Cartesianas
Equação GeralDadas as condições iniciais temos que os
vetores e são coplanares, assim:
0 0 0
1 2 3
1 2 3
, , 0
x x y y z z
AP u v u u u
v v v
��������������
,AP u�������������� v
Equações Cartesianas
Equação Geral:
: 0ax by cz d
2 3
2 3
u ua
v v 3 1
3 1
u ub
v v
1 2
1 2
u uc
v v
0 0 0d ax by cz
Onde:
Exercícios
1. Dar representações geométricas dos seguintes planos.
1. Plano
2. Plano
3. Plano
4. Plano
5. Plano
1 : 3 4 2 12 0x y z
2 : 3 4 2 0x y z
3 : 4 2 12 0y z
4 : 4 2 0y z
5 : 2 12 0z
Exercício 1: Plano 1
x
y
z
Exercício 1: Plano 2
x
y
z
Exercício 1: Plano 3
x
y
z
Exercício 1: Plano 4
x
y
z
Exercício 1: Plano 5
x
y
z(0,0,6)P
Exercícios
2. Determine o plano que contém os pontos A(3,1,3), B(5,5,5), C(5,1,-2) e D(8,3,-6). Mostre ainda que as retas AB e CD são concorrentes.
3. Dados os pontos A(1,1,2), B(1,2,3) e C(-1,2,1), obtenhas as coordenadas de um ponto P tal que o segmento OP seja perpendicular ao plano ABC. Determine uma equação geral para o plano ABC.
4. Obtenha uma equação para o plano que contém os pontos A(1,1,1), B(3,5,2) e C(7,1,12).
5. Obtenha uma equação geral e uma vetorial para o plano que contém a origem do sistema coordenado e os pontos A(1,2,3) e B(2,-1,7).
Importante
1 2 3
1 2 3
x
i j k
u v u u u ai bj ck
v v v
Da Equação Geral do Plano temos que:
2 3
2 3
u ua
v v 3 1
3 1
u ub
v v
1 2
1 2
u uc
v v
: 0ax by cz d
Observe que o vetor abaixo pode ser também descrito através dos coeficientes, ou seja:
Importante
O que nos dá o vetor normal que é ortogonal aos vetores diretores do plano dado, simultaneamente, ou seja, ortogonal ao plano dado, assim temos que:
, ,n a b c
xn u v