Ensino Superior Matemática Básica Unidade 11.1 – Ângulos Trigonométricos Amintas Paiva Afonso.
Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso.
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Ensino Superior
Cálculo 1
2- Derivada- A Linguagem do Movimento
Amintas Paiva Afonso
A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva funções.
Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas derivadas.
Derivada, a linguagem
do movimento
Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas.
LEI DA QUEDA DOS CORPOS
A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático
- as derivadas.
Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?...
Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles.
Newton
(Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727)
Leibniz
(Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716)
Derivada, a linguagem
do movimento
() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter desfeito o coração de Leibniz”.
Derivada, a linguagem
do movimento
Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de
mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusivamente sociais,
abriram as portas ao espectacular desenvolvimento científico e
tecnológico que transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em
toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o sonho
pitagórico: explicar o mundo com a Matemática.
a
f(b)
x
y
O b
f(a)
f(b) - f(a)
b - a
Derivada, a linguagem
do movimento
Se uma função é representada graficamente por uma reta (função
afim) facilmente sabemos com que velocidade varia essa função.
Corresponde, é claro, ao declive da reta representativa da função.
Introdução
yx
f b f a
b am
yy
xx
tmv = tg =tmv = tg =
taxa média de variaçãotaxa média de variação
O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas…
a
f(b)
b
f(a) b - a
f(b) - f(a)
x O
y
E... se o gráfico da função não for uma reta?
Com que velocidade (rapidez) varia essa função?
Derivada, a linguagem
do movimento
yx
f b f a
b am
yy
xx
tmv =tmv =
Aplicação da Derivada na Geometria Analítica
Aplicação da Derivada na Geometria Analítica
O
ZOOM IN
x-x0
x0
f(x)
x
f(x0)
f(x) - f(x0)
x O
y
Vamos, então, estudar Derivadas!
Mas, vamos perceber melhor tudo isto com o estudo que vamos fazer a seguir.
E também isto!
E… quando tomamos o limite.
)).((')(
)()(
)('
)()(limlim)('
00
00
0
0
0
00
0
xxxfxfy
xxmxfy
mtgxf
xx
xfxf
y
yxf
xxx
Exemplos
Exemplo 1 – Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2, no ponto de abscissa 1/2.
4
1
2
1
2
1 :
2
1.
2
1'
2
1
)).((')(
2
00
fonde
xffy
xxxfxfyy(ºC)
x0 = 1 2
y
y
x(h)
1/4
x
01-4y-4x 2
1.1
4
1:tan
12
1.2
2
1' 2)('
2
1'
xy
toPor
fxxf
fdeCálculo
Exemplos
Exemplo 2 – Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = x2 + 1, no ponto de abscissa 1.
2 .1 2 m
: teremos(1),f'm e2x 02x (x)f'
como m, scalcularmo para Assim,
(2) m
1-m 1.m
: temos tangente,daangular ecoeficient o m de chamando tangente,
reta àlar perpendicu é normal reta a Como
:m em Cálculo
2111 :
(1) )1.()1(
:é equação sua n, normal reta daangular ecoeficient o m de Chamando
11
1
2
1
1
m
fonde
xmfy
y
x0 = 1
f(1) = 2
x0
0 5-2y x
)1(2
12
:(1) em m de valor este Levando
2
1-
:(2) em valor este doSubstituin
1
1
xy
m
Exemplo 3 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2.
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x
– Então temos que:
• A partir de x0 = 1h, a variável x aumentou de 2 unidades (horas) e passou para x = 3h.
x = x – x0 = 3 – 1 = 2
• A temperatura y = f(x) também sofre variação: passou de f(1) = 1ºC para f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades (ºC).
y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8
A razão y/x = 4ºC/h, significa que, entre 1h e 3h, a temperatura aumentou 4ºC por hora, em média.
Outros Exemplos
Temperatura de uma sala• Noção Intuitiva
– Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h.
x x f(x) x y y/ x
1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5
1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2
1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1
1h1seg 1,000277 1,00055 0,000277 0,00055 2,000360
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x
À medida que x se aproxima de zero, y/x se aproxima de 2.
x x f(x) x y y/ x
1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5
1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2
1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1
1h1seg1,000277
71,00055
50,000277
70,00055
52,000360
1
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x
Temperatura de uma sala
• Noção Intuitiva – Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de
x0 = 1h.
O limite da razão y/x, quando x 0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC.
(aproximadamente, pois se trata de limites)
hCxx
xx
x
xxxx
/º2)1(lim1
)1)(1(lim
1
1lim
11
2
1
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x
Temperatura de uma sala
Temperatura de uma sala
x
xfxxf
xxx
xfxxfxf
xx
)()(lim
)()(lim)(' 00
000
00
0
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
a) Se x x0, então x 0.
b) Se x = x - x0, então x = x + x0
c) f(x) = f(x + x0)
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x
Exemplo 4 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto x0 = 3, ou seja, f’(3).
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
3
)3)(3(2lim
3
)9(2lim
3
182lim)3('
1
2
1
2
3
x
xx
x
x
x
xf
xxx
Temos: x0 = 3; f(x0) = f(3) = 2.32 = 18
12)3(2lim)3('3
xfx
Exemplo 5 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ou seja, f’(2).
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
2)4(lim2
)4)(2(lim
2
86lim)2('
22
2
2
x
x
xx
x
xxf
xxx
Temos: x0 = 2; f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8
Exemplo 6 – Determinar a derivada da função f(x) = x no ponto x0 = 0, ou seja, f’(0).
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
xx
x
x
xf
xxx
1limlim
0
0lim)0('
000
Temos: x0 = 0; f(x0) = f(0) = 0 = 0
Nesse caso, dizemos que f(x) = x não tem derivada no ponto x0 = 0.
Exemplo 7 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores, sendo o custo mensal de produção dado por:
C(x) = 1500 + 220x (em reais).
a) Determine a derivada no ponto x0 = 100 motores.
b) Interprete o resultado obtido.
b) O resultado f’(x0) = 11, significa que a cada aumento de unidade de motor, há um aumento de 11 reais no custo mensal, a partir de 100 motores.
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
11)10)(10(
)10(220lim
100
37002201500lim)('
1001000
xx
x
x
xxf
xx
a) f(x0) = f(100) = 1500 + 220100 = 3700
Exemplo 8 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais.
Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.
O que significa isso?
Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.