Ensino Mdio: Teoria dos Conjuntos Introduo aos conjuntos Alguns conceitos primitivos Algumas notaes p/ conjuntos Subconjuntos Alguns conjuntos especiais Reunio de conjuntos Interseo de conjuntos Propriedades dos conjuntos Diferena de conjuntos Complemento de um conjunto Leis de Augustus de Morgan Diferena Simtrica

Introduo aos conjuntos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definio. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o portugus sob o ttulo (nada ingnuo de): Teoria Ingnua dos Conjuntos.Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleo de objetos. a. O conjunto de todos os brasileiros. b. O conjunto de todos os nmeros naturais. c. O conjunto de todos os nmeros reais tal que x-4=0. Em geral, um conjunto denotado por uma letra maiscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. Elemento: um dos componentes de um conjunto. a. Jos da Silva um elemento do conjunto dos brasileiros. b. 1 um elemento do conjunto dos nmeros naturais. c. -2 um elemento do conjunto dos nmeros reais que satisfaz equao x-4=0. Em geral, um elemento de um conjunto, denotado por uma letra minscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinncia: a caracterstica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. a. Jos da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. b. 1 pertence ao conjunto dos nmeros naturais. c. -2 pertence ao conjunto de nmeros reais que satisfaz equao x-4=0. Smbolo de pertinncia: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o smbolo que se l: "pertence". Para afirmar que 1 um nmero natural ou que 1 pertence ao conjunto dos nmeros naturais, escrevemos: 1 N Para afirmar que 0 no um nmero natural ou que 0 no pertence ao conjunto dos nmeros naturais, escrevemos: 0 N

Um smbolo matemtico muito usado para a negao a barra / traada sobre o smbolo normal.Algumas notaes para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } atravs de duas formas bsicas e de uma terceira forma geomtrica: Apresentao: Os elementos do conjunto esto dentro de duas chaves { e }. a. A={a,e,i,o,u} b. N={1,2,3,4,...} c. M={Joo,Maria,Jos} Descrio: O conjunto descrito por uma ou mais propriedades.

a. A={x: x uma vogal} b. N={x: x um nmero natural} c. M={x: x uma pessoa da famlia de Maria} Diagrama de Venn-Euler: (l-se: "Ven-iler") Os conjuntos so mostrados graficamente.

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A est contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A tambm esto em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A est propriamente contido em B, quando o conjunto B, alm de conter os elementos de A, contm tambm outros elementos. O conjunto A denominado subconjunto de B e o conjunto B o superconjunto que contm A.Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: um conjunto que no possui elementos. representado por { } ou por . O conjunto vazio est contido em todos os conjuntos. Conjunto universo: um conjunto que contm todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e tambm contm todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo representado por uma letra U. Na sequncia no mais usaremos o conjunto universo.Reunio de conjuntos

A reunio dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A

B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} ento A B={a,e,i,o,3,4}.Interseo de conjuntos

A interseo dos conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} ento A B=.

Quando a interseo de dois conjuntos A e B o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos so disjuntos.Propriedades dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunio de A e B, denotada por A B e a interseo de A e B, denotada por A B, ainda so conjuntos no universo. 2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A A=AeA A=A

3. Incluso: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A A B, B A B, A B A, A B B

4. Incluso relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A A

B equivale a A B equivale a A

B=B B=A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A A (B (B C) = (A C) = (A B) B) C C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A A B=B B=B A A

7. Elemento neutro para a reunio: O conjunto vazio o elemento neutro para a reunio de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A =A

8. Elemento "nulo" para a interseo: A interseo do conjunto vazio com qualquer outro conjunto A, fornece o prprio conjunto vazio. A =

9. Elemento neutro para a interseo: O conjunto universo U o elemento neutro para a interseo de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A U=A

10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

Os grficos abaixo mostram a distributividade.

Diferena de conjuntos

A diferena entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B. A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista grfico, a diferena pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, a diferena entre os conjuntos A e B, ou seja, o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B. CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, dado por:

Quando no h dvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento. Exemplos: c=U e Uc=.Leis de Augustus De Morgan

1. O complementar da reunio de dois conjuntos A e B a interseo dos complementares desses conjuntos. (A B)c = Ac Bc

2. O complementar da reunio de uma coleo finita de conjuntos a interseo dos complementares desses conjuntos. (A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc

3. O complementar da interseo de dois conjuntos A e B a reunio dos complementares desses conjuntos. (A B)c = Ac Bc

4. O complementar da interseo de uma coleo finita de conjuntos a reunio dos complementares desses conjuntos. (A1Diferena simtrica

A2

...

An)c = A1c

A2c

...

Anc

A diferena simtrica entre os conjuntos A e B o conjunto de todos os elementos que pertencem reunio dos conjuntos A e B e no pertencem interseo dos conjuntos A e B. A B = { x: x A B e x A B } O diagrama de Venn-Euler para a diferena simtrica :

Exerccio: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que: 1. A= se, e somente se, B=A B. 2. O conjunto vazio o elemento neutro para a operao de diferena simtrica. Usar o tem anterior. 3. A diferena simtrica comutativa. 4. A diferena simtrica associativa. 5. A A= (conjunto vazio). 6. A interseo entre A e B C distributiva, isto : A (B C) = (A B) (A C) 7. A B est contida na reunio de A C e de B C, mas esta incluso prpria, isto : A Aplicaes de relaes e funes O Plano Cartesiano Produto Cartesiano Relaes no plano Cartesiano Domnio e Contradomnio Relaes inversas Propriedades de Relaes Relaes de equivalncia Funes no plano Cartesiano Relaes que no so funes

B

(A

C)

(B

C)

Ensino Mdio: Relaes e FunesFunes constantes Funes quadrticas Funes cbicas Domnio, Contradomnio, Imagem Funes injetoras Funes sobrejetoras Funes bijetoras Funes pares e mpares Funes crescentes Funes compostas e Inversas

Funes afim e lineares Funo identidade

Operaes com funes Funes polinomiais e Aplicaes

Aplicaes das relaes e funes no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com grficos, tabelas e ilustraes. Estes, so instrumentos muito utilizados nos meios de comunicao. Um texto com ilustraes, muito mais interessante, chamativo, agradvel e de fcil compreenso. No s nos jornais ou revistas que encontramos grficos. Os grficos esto presentes nos exames laboratoriais, nos rtulos de produtos alimentcios, nas informaes de composio qumica de cosmticos, nas bulas de remdios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes grficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano. O Sistema ABO dos grupos sangneos explicado pela recombinao gentica dos alelos (a,b,o) e este um bom exemplo de uma aplicao do conceito de produto cartesiano. Uma aplicao prtica do conceito de relao a discusso sobre a interao de neurnios (clulas nervosas do crebro). Ao relacionarmos espao em funo do tempo, nmero do sapato em funo do tamanho dos ps, intensidade da fotossntese realizada por uma planta em funo da intensidade de luz a que ela exposta ou pessoa em funo da impresso digital, percebemos quo importantes so os conceitos de funes para compreendermos as relaes entre os fenmenos fsicos, biolgicos, sociais... Observamos ento que as aplicaes de plano cartesiano, produto cartesiano, relaes e funes esto presentes no nosso cotidiano.

Valores assumidos por uma ao numa Bolsa de ValoresO Plano Cartesiano

Referncia histrica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano so homenagens ao seu criador Ren Descartes (1596-1650), filsofo e matemtico francs. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, da vem o nome cartesiano. O plano cartesiano ortogonal constitudo por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os nmeros reais, obtm-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano formado por um par ordenado de nmeros, indicados entre parnteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto. O primeiro nmero indica a medidada do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo nmero indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b. Os dois eixos dividem o plano em quatro regies denominadas quadrantes sendo que tais eixos so retas concorrentes na origem do sistema formando um ngulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes so indicados no sentido anti-horrio, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil. Segundo Primeiro quadrante quadrante Quadrante sinal de x sinal de y Ponto no tem no tem (0,0) Primeiro + + (2,4)

Segundo Terceiro Quarto Terceiro quadrante quadrante QuartoProduto Cartesiano

+

+ -

(-4,2) (-3,-7) (7,-2)

Dados dois conjuntos A e B no vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. AxB = { (x,y): x A e y B } Observe que AxB BxA, se A no vazio ou B no vazio. Se A= ou B=, por definio: Ax==xB. Se A possui m elementos e B possui n elementos, ento AxB possui mxn elementos. Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, ter 12 pares ordenados e ser dado por: AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

Relaes no Plano Cartesiano

Sejam A e B conjuntos no vazios. Uma relao em AxB qualquer subconjunto R de AxB.

A relao mostrada na figura acima : R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) } Uma relao R de A em B pode ser denotada por R:A B. Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relaes em AxB: 1. R1={(1,3),(1,4)} 2. R2={(1,3)} 3. R3={(2,3),(2,4)}Domnio e Contradomnio de uma Relao

As relaes mais importantes so aquelas definidas sobre conjuntos de nmeros reais e nem sempre uma relao est definida sobre todo o conjunto dos nmeros reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relao R:A B, onde A e B so subconjuntos de R, da seguinte forma: O conjunto A o domnio da relao R, denotado por Dom(R) e B o contradomnio da relao, denotado por CoDom(R). Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R} Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R}

Representaes grficas de relaes em AxB: R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

Relaes Inversas

Seja R uma relao de A em B. A relao inversa de R, denotada por R1 , definida de B em A por: R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R } Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relao em AxB, definida por R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)} Ento: R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)} Observao: O grfico da relao inversa R-1 simtrico ao grfico da relao R, em relao reta y=x (identidade).

Propriedades de Relaes

Reflexiva: Uma relao R reflexiva se todo elemento de A est relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto , para todo x A: xRx. Exemplo: Uma relao reflexiva em A={a,b,c}, dada por: R = {(a,a),(b,b),(c,c)} Simtrica: Uma relao R simtrica se o fato que x est relacionado com y, implicar necessariamente que y est relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R. Exemplo: Uma relao simtrica em A={a,b,c}, : R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} Transitiva: Uma relao R transitiva, se x est relacionado com y e y est relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R ento (x,z) R. Exemplo: Uma relao transitiva em A={a,b,c}, : R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)} Anti-simtrica: Sejam x A e y A. Uma relao R anti-simtrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relao antisimtrica: Se x e y so elementos distintos do conjunto A ento x no tem relao com y ou (exclusivo) y no tem relao com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poder estar na relao desde que o par (y,x) no esteja. Exemplo: Uma relao anti-simtrica em A={a,b,c}, :

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }Relao de equivalncia

Uma relao R sobre um conjunto A no vazio chamada relao de equivalncia sobre A se, e somente se, R reflexiva, simtrica e transitiva. Exemplo: Se A={a,b,c} ento a relao R em AxA, definida abaixo, de equivalncia: R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }Funes no Plano Cartesiano

Referncia histrica: Leonhard Euler (1707-1783), mdico, telogo, astrnomo e matemtico suo, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemtica Pura e Aplicada, com destaque para a Anlise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idia de funo. Foi o responsvel tambm pela adoo do smbolo f(x) para representar uma funo de x. Hoje, funo uma das idias essenciais em Matemtica. Uma funo f de A em B uma relao em AxB, que associa a cada varivel x em A, um nico y em B. Uma das notaes mais usadas para uma funo de A em B, : f:A B Quatro aspectos chamam a ateno na definio apresentada:

O domnio A da relao. O contradomnio B da relao. Todo elemento de A deve ter correspondente em B. Cada elemento de A s poder ter no mximo correspondente no contradomnio B.

um

Estas caractersticas nos informam que uma funo pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que s

pode ser "cortada" uma nica vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta. Exemplo: A circunferncia definida por R={(x,y) R: x+y=a} uma relao que no uma funo, pois tomando a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes para a mesma abscissa x.

Neste caso Dom(R)=[-a,a] e CoDom(R)=[-a,a].Relaes que no so funes

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relao R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) } no uma funo em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que so 1 e 3.

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relao R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) } no uma funo em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A esto associados a elementos do segundo conjunto B.

Na sequncia, apresentaremos alguns exemplos importantes de funes reaisFunes afim e lineares

Funo afim: Sejam a e b nmeros reais, sendo a no nulo. Uma funo afim uma funo f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.

Exemplos: 1. f(x)=-3x+1 2. f(x)=2x+7 3. f(x)=(1/2)x+4

Se b diferente de zero, o grfico da funo afim uma reta que no passa pela origem (0,0).

Funo linear: Seja a um nmero real. Uma funo linear uma funo f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax.

Exemplos: 1. f(x)=-3x 2. f(x)=2x 3. f(x)=x/2 O grfico da funo linear uma reta que sempre passa pela origem (0,0).Funo Identidade

uma funo f:R R que para cada x em R, associa f(x)=x. O grfico da Identidade uma reta que divide o primeiro quadrante e tambm o terceiro quadrante em duas partes iguais.

Funes constantes

Seja b um nmero real. A funo constante associa a cada x R o valor f(x)=b.

Exemplos: 1. f(x)=1 2. f(x)=-7 3. f(x)=0 O grfico de uma funo constante uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).Funes quadrticas

Sejam a, b e c nmeros reais, com a no nulo. A funo quadrtica uma funo f:R R que para cada x em R, f(x)=ax+bx+c.

Exemplos: 1. f(x)=x 2. f(x)=-4 x

3. f(x)=x-4x+3 4. f(x)=-x+2x+7 O grfico de uma funo quadrtica uma curva denominada parbola.Funes cbicas

Sejam a, b, c e d nmeros reais, sendo a diferente de zero. A funo cbica uma funo f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax+bx+cx+d.

Exemplos: 1. 2. 3. 4. f(x)=x f(x)=-4x f(x)=2x+x-4x+3 f(x)=-7x+x+2x+7

O grfico da funo cbica do item (a), se assemelha a uma parbola tanto no primeiro como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) so positivos e no terceiro os valores de f(x) so negativos.Domnio, contradomnio e imagem de uma funo

Como nem toda relao uma funo, s vezes, alguns elementos podero no ter correspondentes associados para todos os nmeros

reais e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Domnio de uma funo f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relao f tem significado. Consideremos a funo real que calcula a raiz quadrada de um nmero real. Deve estar claro que a raiz quadrada de -1 no um nmero real, assim como no so reais as razes quadradas de quaisquer nmeros negativos, dessa forma o domnio desta funo s poder ser o intervalo [0, ), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os reais. Como nem todos os elementos do contradomnio de uma funo f esto relacionados, define-se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomnio que esto relacionados com elementos do domnio de f, isto : Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) } Observe que, se uma relao R uma funo de A em B, ento A o domnio e B o contradomnio da funo e se x um elemento do domnio de uma funo f, ento a imagem de x denotada por f(x).

Exemplos: Cada funo abaixo, tem caractersticas distintas. 1. f:R R definida por f(x)=x Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) 2. f:[0,2] R definida por f(x)=x Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4] 3. A funo modular definida por f:R R tal que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) e seu grfico dado por:

4. Uma semi-circunferncia dada pela funo real f:R R, definida por

Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu grfico dado por:

Funes injetoras

Uma funo f:A B injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto : x1 x2 implica que f(x1) f(x2) ou de forma equivalente f(x1)=f(x2) implica que x1=x2 Exemplos: 1. A funo f:R R definida por f(x)=3x+2 injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). 2. A funo f:R R definida por f(x)=x+5 no injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.

Funes sobrejetoras

Uma funo f:A B sobrejetora se todo elemento de B a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da funo deve ser exatamente igual a B que o contradomnio da funo, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). Exemplos: 1. A funo f:R R definida por f(x)=3x+2 sobrejetora, pois todo elemento de R imagem de um elemento de R pela funo. 2. A funo f:R (0, ) definida por f(x)=x sobrejetora, pois todo elemento pertecente a (0, ) imagem de pelo menos um elemento de R pela funo. 3. A funo f:R R definida por f(x)=2x no sobrejetora, pois o nmero -1 elemento do contradomnio R e no imagem de qualquer elemento do domnio.

Funes bijetoras

Uma funo f:A B bijetora se ela ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Exemplo: A funo f:R R dada por f(x)=2x bijetora, pois injetora e bijetora.Funes Pares e mpares

Funo par: Uma funo real f par se, para todo x do domnio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma funo par possui o grfico simtrico em relao ao eixo vertical OY.

Exemplo: A funo f(x)=x par, pois f(-x)=x=f(x). Observe o grfico de f! Outra funo par g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x). Funo mpar: Uma funo real f mpar se, para todo x do domnio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma funo mpar possui o grfico simtrico em relao origem do sistema cartesiano. Exemplo: As funes reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) so mpares, pois: f(x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o grfico para observar a simetria em relao origem.

Funes crescentes e decrescentes

Funo crescente: Uma funo f crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domnio de f, com x