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ISSN 2238-3077

Sistema de Avaliação Baiano da Educação - SABE

REvIStA PEdAgógIcAMatemática e suas tecnologias

2ª série do Ensino Médio e3ª série da Educação Profissional Integrada ao Ensino Médio

ENSINO MÉDIO

SEÇÃO 1

Avaliação: o ensino-aprendizagem como desafio

SEÇÃO 2

Interpretação de resultados e análises pedagógicas

SEÇÃO 3

Os resultados desta escola

SEÇÃO 4

desenvolvimento de habilidades

EXPERIÊNcIA EM FOcO

AvALIE ENSINO MÉdIO2012

Avalie Ensino Médio

ISSN 2238-3077

Sistema de Avaliação Baiano da Educação - SABE

Revista PedagógicaMatemática e suas tecnologias

2ª série do Ensino Médio e 3ª série da Educação Profissional Integrada ao Ensino Médio

Avalie Ensino Médio

govERnAdoR

JAQUES WAGNER

viCE-govERnAdoR

OTTO ALENCAR

SECRETáRio dA EdUCAção

OSVALDO BARRETO FILHO

SUBSECRETáRio

ADERBAL CASTRO MEIRA FILHO

CHEfE dE gABinETE

PAULO PONTES DA SILVA

SUPERinTEndÊnCiA dE AComPAnHAmEnTo E AvAliAção do SiSTEmA EdUCACionAl

ENI SANTANA BARRETTO BASTOS

CooRdEnAção dE AComPAnHAmEnTo, AvAliAção E infoRmAçÕES EdUCACionAiS

MARCOS ANTÔNIO SANTOS DE PINHO

CooRdEnAção dE AComPAnHAmEnTo E AvAliAção

FÁTIMA CRISTINA DANTAS MEDEIROS

EQUiPE TÉCniCA dA AvAliAção

ADINELSON FARIAS DE SOUZA FILHO

EDILEUZA NUNES SIMÕES NERIS

GUIOMAR FLORENCE DECOLO CARVALHO

ÍNDIA CLARA SANTANA NASCIMENTO

LINDINALVA GONÇALVES DE ALMEIDA

NEIRE GOES RIBEIRO BRIDE

RITA DE CÁSSIA MOREIRA TRINDADE

ROGÉRIO DA SILVA FONSECA

SANDRA CRISTINA DA MATA NERI

ENSINO MÉDIO

PREzAdoS(AS) EdUCAdoRES(AS),

É com muita satisfação que apresentamos à comunidade educacional a segunda edição das publicações

do Avalie Ensino médio, avaliação externa realizada em parceria com o Centro de Políticas Públicas e

Avaliação da Educação da Universidade de Juiz de fora (CAEd). nossa intenção é que estas publicações

sejam um canal de diálogo com as unidades escolares, como uma ferramenta importante à adoção de

medidas pedagógicas e administrativas que assegurem o direito subjetivo de aprender dos estudantes

do Ensino médio. As publicações são compostas de três volumes: Revista Pedagógica, Revista da gestão

Escolar e Revista do Sistema de Avaliação.

A Revista Pedagógica é destinada ao professor e traz informações sobre o resultado da escola e disciplina

avaliada, veiculando também a concepção, os fundamentos, os pressupostos da avaliação e alguns relatos

de experiências bem sucedidas.

na Revista da gestão Escolar são encontradas informações relativas aos resultados da escola nas

disciplinas avaliadas e dados contextuais direcionados aos gestores das instituições de ensino. A revista

traz, ainda, relato de práticas positivas de gestores no desenvolvimento do trabalho escolar.

A Revista do Sistema de Avaliação é destinada às equipes gestoras da Secretaria da Educação. Ela

contextualiza o histórico do programa, com uma linha do tempo, trazendo também resultados gerais e

por diretoria regional, assim como artigos sobre temas educacionais e impressões de dirigentes do órgão

central sobre a avaliação.

As publicações ora apresentadas deixam as marcas do processo vivenciado por diversas pessoas, em

diferentes espaços geográfi cos deste estado e fora dele, no desafi o de fazer da avaliação uma ferramenta

do processo de ensino, de aprendizagem e de gestão, por meio do Sistema de Avaliação Baiano da

Educação (SABE). Elas juntam-se a outras iniciativas do governo do Estado da Bahia na busca por uma

educação em que os estudantes e educadores ressignifi quem as suas aprendizagens, seus processos

formativos e se reafi rmem como sujeitos de direito, numa educação com características emancipatória

e inclusiva.

Osvaldo Barreto Filho, Secretário da Educação do Estado da Bahia

A Secretaria da Educação do Estado da Bahia tem desenvolvido ações voltadas para o

acompanhamento das unidades escolares e para a formação de professores, considerando os dados

produzidos pelas avaliações externas, para subsidiar o diálogo com os diversos atores envolvidos

com a educação e favorecer o desenvolvimento de propostas interventivas, contextualizadas e

sistemáticas que favoreçam o desenvolvimento da aprendizagem dos estudantes.

dentre as ações voltadas para o acompanhamento das unidades escolares foi criado, em 2011,

o PAiP (Projeto de monitoramento, Acompanhamento, Avaliação e intervenção Pedagógica)

na Rede de Ensino da Bahia com o objetivo de fortalecer o diálogo do órgão Central com

as unidades escolares, subsidiando os momentos de refl exão e planejamento de ações

interventivas, necessárias para a melhoria dos processos de ensino e da aprendizagem.

Para o desenvolvimento das ações do Paip foram constituídos núcleos de Acompanhamento Central

e Regional (nupaip), que são responsáveis pelo trabalho de acompanhamento e formação continuada

nas unidades escolares das 33 diretorias Regionais de Educação. As ações implementadas

possibilitam a construção de Planos de intervenção pelas unidades escolares com objetivos, metas

e atividades voltadas para a melhoria dos indicadores apresentados nos resultados do Avalie Ensino

médio.

os processos formativos realizados pelo nupaip promovem discussões regulares com gestores

e docentes acerca do idEB e sua composição, considerando os resultados das avaliações

externas e internas no Planejamento Pedagógico. implicam também a abordagem de temas para

serem estudados e debatidos nas Atividades Complementares - AC, acerca do idEB, avaliações

externas e avaliações da aprendizagem, currículo, processo de ensino e de aprendizagem e

diversidade, dentre outros, com orientações para a realização da AC no coletivo da unidade

escolar, utilizando as publicações do Avalie Ensino médio e outros documentos da Rede.

Para o fortalecimento da aprendizagem dos estudantes do Ensino médio foi criado também em

2011, o Programa Ensino médio em Ação (Em-Ação) que, por meio de material didático produzido

pela equipe de professores do estado da Bahia, oferece formação aos professores e suporte

pedagógico aos estudantes. As discussões do EM-Ação com os professores do Ensino Médio

utilizam também os resultados do Avalie. o programa, ao observar os resultados obtidos nesta

avaliação, executa algumas de suas ações, no sentido de suprir as lacunas conceituais dos

estudantes, orientando-os a prosseguir nos estudos e a ampliar os seus conhecimentos.

JUnToS vAmoS gARAnTiR AoS ESTUdAnTES o diREiTo dE APREndER

o Ensino médio com intermediação tecnológica - EmiTec é um dos programas estruturantes

da Rede Pública Estadual de Ensino que articula projetos e ações que visam à melhoria da

aprendizagem dos estudantes do Ensino médio, por meio da diversifi cação e inovação das

práticas curriculares.

o EmiTec visa assegurar a jovens e adultos que moram em localidades que não tem unidades

escolares de Ensino médio, o acesso, a permanência e a conclusão da educação básica,

possibilitando-lhes dar continuidade aos estudos em outro nível de ensino. Com essa ação é

possível suprir a carência de professores com qualifi cação em disciplinas específi cas das áreas

do conhecimento que compõem o Ensino médio na Bahia. Assim, o referido programa busca

garantir aos sujeitos o direito à educação, na localidade em que moram, respeitando os saberes

acumulados e a cultura local.

A metodologia básica do programa é a intermediação tecnológica e possibilita: aulas ao vivo

realizadas em uma moderna plataforma de telecomunicações, via satélite; interação em tempo

real; uso da Plataforma moodle (Ambiente virtual de Ensino) para oferecer suporte teórico e

metodológico aos professores especialistas e mediadores do Programa.

os resultados do Avalie têm contribuído para o redimensionamento da prática pedagógica e

favorecido a inclusão ou intensifi cação de pontos que os estudantes têm revelado a necessidade

de mais atenção ou que carecem de maior e melhor abordagem. Assim, esses dados repercutem

na metodologia que o professor escolhe para elaboração do seu material, provocando uma

ação mais refl exiva sobre o processo de ensino e de aprendizagem.

A Secretaria da Educação do Estado da Bahia também tem oportunizado aos professores

formação on-line sobre avaliação e apropriação dos resultados, bem como ofi cinas de

elaboração de itens e encontros presenciais para discussão dos resultados das avaliações,

com a intenção de aproximar os professores dos dados produzidos pelo Avalie e de revelar os

aspectos que precisam de mais atenção e que ainda não foram alcançados pelos estudantes,

bem como as condições para isso. Com esse objetivo, o Avalie tem desempenhado importante

papel revelador de difi culdades e de habilidades ainda não reveladas pelos estudantes e tem

auxiliado o replanejamento das estratégias a serem adotadas pelos professores para chegar até

os estudantes, considerando as condições apontadas na avaliação.

SuMáRIo

2. INtERPREtação dE RESultadoS E

aNálISES PEdagógIcaS PágINa 18

1. avalIação: o ENSINo-aPRENdIzagEM coMo dESafIo PágINa 12

EXPERIÊNcIa EM foco

PágINa 56

4. dESENvolvIMENto dE habIlIdadES PágINa 47

3. oS RESultadoS dESta EScola PágINa 45

1

um importante movimento em busca da qualidade da educação

vem ganhando sustentação em paralelo às avaliações tradicionais:

as avaliações externas, que são geralmente em larga escala e

possuem objetivos e procedimentos diferenciados daquelas

realizadas pelos professores nas salas de aula. Essas avaliações são,

em geral, organizadas a partir de um sistema de avaliação cognitiva

dos estudantes e aplicadas, de forma padronizada, a um grande

número de pessoas. os resultados aferidos pela aplicação de testes

padronizados têm como objetivo subsidiar medidas que visem

ao progresso do sistema de ensino e atendam a dois propósitos

principais: prestar contas à sociedade sobre a eficácia dos serviços

educacionais oferecidos à população e implementar ações que

promovam a equidade e a qualidade da educação.

a avaliação em larga escala deve ser concebida como instrumento

capaz de oferecer condições para o desenvolvimento dos estudantes

e só tem sentido quando é utilizada, na sala de aula, como uma

ferramenta do professor para fazer com que os estudantes avancem.

o uso dessa avaliação, de acordo com esse princípio, demanda o

Caro(a) Educador(a), a Revista Pedagógica apresenta os fundamentos, a metodologia e os resultados da avaliação,

com o objetivo de suscitar discussões para que as informações disponibilizadas possam ser debatidas e utilizadas

no trabalho pedagógico.

AvAliAção: o EnSino-APREndizAgEm Como dESAfio

12 Avalie Ensino médio 2012

seguinte raciocínio: por meio dos dados levantados, é possível

que o professor obtenha uma medida da aprendizagem de seus

estudantes, contrapondo tais resultados àqueles alcançados no

estado e até mesmo à sua própria avaliação em sala de aula. verificar

essas informações e compará-las amplia a visão do professor quanto

ao seu estudante, identificando aspectos que, no dia a dia, possam

ter passado despercebidos. desta forma, os resultados da avaliação

devem ser interpretados em um contexto específico, servindo para a

reorientação do processo de ensino, confirmando quais as práticas

bem-sucedidas em sala de aula e fazendo com que os docentes

repensem suas ações e estratégias para enfrentar as dificuldades

de aprendizagem detectadas.

a articulação dessas informações possibilita consolidar a

ideia de que os resultados de desempenho dos estudantes,

mesmo quando abaixo do esperado, sempre constituem uma

oportunidade para o aprimoramento do trabalho docente,

representando um desafio a ser superado em prol da qualidade

e da equidade na educação.

Revista Pedagógica 13

o SABEo Sistema de avaliação baiano da Educação foi criado em 2007 e tem seguido o propósito de

fomentar mudanças em busca de uma educação de qualidade. Em 2012, o avalie Ensino Médio

avaliou os estudantes da 2ª série do Ensino Médio e da 3ª série da Educação Profi ssional Integrada

ao Ensino Médio (EPI) das escolas estaduais da bahia nas áreas de conhecimento de linguagem,

códigos e suas tecnologias, Matemática e suas tecnologias, ciências humanas e suas tecnologias

e ciências da Natureza e suas tecnologias. Na linha do tempo a seguir, pode-se verifi car a trajetória

do avalie Ensino Médio e, ainda, perceber como se tem consolidado as informações sobre o

desempenho dos estudantes.

2008 2009 2010

ABrAnGÊnciA: 233 unidades escolares exclusivas de Ensino Médio e seus anexos.

SÉrie AVALiAdA: 1ª série do Ensino Médio

DisciPLinAs enVoLVidAs: interdisciplinar, com base na Matriz do Enem – 2008.

PArticiPAntes: estudantes, professores e gestores.

ProdUtos: boletins individuais para os estudantes, relatórios pedagógicos por escolas, por diretoria regional e relatório geral e técnico para a SEc.

ABrAnGÊnciA: 233 unidades escolares exclusivas de Ensino Médio e seus anexos.


ÁreAs enVoLVidAs: linguagens, códigos e suas tecnologias, ciências humanas e suas tecnologias, ciências da Natureza e suas tecnologias e Matemática e suas tecnologias, com base na Matriz do Enem – 2009.


ProdUtos: boletins individuais para os estudantes, relatórios pedagógicos por escolas, por diretoria regional, relatório geral e técnico para a SEc e revista pedagógica do professor.

ABrAnGÊnciA: 233 unidades escolares exclusivas de Ensino Médio.


ÁreAs enVoLVidAs: linguagens, códigos e suas tecnologias, ciências humanas e suas tecnologias, ciências da Natureza e suas tecnologias e Matemática e suas tecnologias.

foi utilizada a avaliação do Enem 2010.


233

unidades escolares

233

unidades escolares

233

unidades escolares

AvAliE EnSino mÉdio TRAJETóRiA

2012

ABrAnGÊnciA: 1.006 unidades escolares.

SÉries AVALiAdAs: 1ª série do Ensino Médio e 2ª série da Educação Profi ssional Integrada ao Ensino Médio







2011

(*) O

nú

me

ro d

e e

stu

da

nte

s a

valia

do

s é

re

fere

nte

à d

isci

plin

a d

e L

íng

ua

Po

rtu

gu

esa

.

1.006

unidades escolares

1.011

unidades escolares


AvAliE EnSino mÉdio TRAJETóRiA

2012









2011

(*) O

nú

me

ro d

e e

stu

da

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valia

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fere

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isci

plin

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Po

rtu

gu

esa

.

1.006

unidades escolares

1.011

unidades escolares


o diagrama a seguir apresenta, passo a passo, a lógica do sistema de avaliação de forma sintética,

indicando as páginas onde podem ser buscados maiores detalhes sobre alguns conceitos apresentados.

Para ter acesso a toda a Coleção e a outras informações sobre a avaliação e seus resultados, acesse o site www.avalieba.caedufjf.net.

(Matriz de Referência) Página 20

Esse recorte se traduz em habilidades consideradas essenciais que formam a Matriz de Referência para avaliação.

Para realizar a avaliação, é necessário definir o conteúdo a ser avaliado. Isso é feito por especialistas, com base em um recorte do currículo e nas especialidades educacionais.

A avaliação em larga escala surge como um importante instrumento para reflexão sobre como melhorar o ensino.

A educação apresenta um grande desafio: ensinar com qualidade e de forma equânime, respeitando a individualidade e a diversidade.

A AvAliAção EdUCACionAl Em lARgA ESCAlA

(Composição dos cadernos) Página 24


Os resultados da avaliação oferecem um diagnóstico do ensino e servem de subsídio para a melhoria da qualidade da educação.

As informações disponíveis nesta Revista devem ser interpretadas e usadas como instrumento pedagógico.

A análise dos itens que compõem os testes elucida as habilidades desenvolvidas pelos estudantes que estão em determinado Padrão de Desempenho.

Com base nos objetivos e nas metas de aprendizagem estabelecidas, são definidos os Padrões de Desempenho.

As habilidades avaliadas são ordenadas de acordo com a complexidade em uma escala, através da qual é possível verificar o desenvolvimento dos estudantes.

(Intervalos da Escala de Proficiência)Página 25

(Composição dos cadernos) Página 24

Através de uma metodologia especializada, é possível obter resultados precisos, não sendo necessário que os estudantes realizem testes extensos.

(Os Resultados desta Escola) Página 45

(Itens) Página 37

(Padrões de Desempenho) Página 34

(Experiência em foco) Página 56


2

mATRiz dE REfERÊnCiA

Para realizar uma avaliação, é necessário definir o

conteúdo que se deseja avaliar. Em uma avaliação

em larga escala, essa definição é dada pela

construção de uma MatRIz dE REfERÊNcIa,

que é um recorte do currículo e apresenta as

habilidades definidas para serem avaliadas. No

brasil, os Parâmetros curriculares Nacionais

(PcN) para o Ensino fundamental e para o Ensino

Médio, publicados, respectivamente, em 1997 e

em 2000, visam à garantia de que todos tenham,

mesmo em lugares e condições diferentes, acesso

a conhecimentos considerados essenciais para o

exercício da cidadania. cada estado, município e

escola tem autonomia para elaborar seu próprio

currículo, desde que atenda a essa premissa.

diante da autonomia garantida legalmente em

nosso país, as orientações curriculares da bahia

apresentam conteúdos com características

próprias, como concepções e objetivos

educacionais compartilhados. desta forma, o

estado visa a desenvolver o processo de ensino-

aprendizagem em seu sistema educacional com

qualidade, atendendo às particularidades de seus

estudantes. Pensando nisso, foi criada uma Matriz

de Referência específica para a realização da

avaliação em larga escala do avalie Ensino Médio.

a Matriz de Referência tem, entre seus fundamentos,

os conceitos de competência e habilidade. a

coMPEtÊNcIa corresponde a um grupo de

Esta seção traz os fundamentos da metodologia de avaliação externa do Avalie Ensino médio 2012, a matriz de Referência,

a Teoria de Resposta ao item (TRi), os intervalos da Escala de Proficiência e os Padrões de desempenho.

inTERPRETAção dE RESUlTAdoS E AnáliSES PEdAgógiCAS


AUTO ESCOLA

CARTEIRA DE HABILITAÇÃO

habilidades que operam em conjunto para a obtenção

de um resultado, sendo cada habIlIdadE entendida

como um “saber fazer”.

Por exemplo, para adquirir a carteira de motorista

para dirigir automóveis é preciso demonstrar

competência na prova escrita e competência na

prova prática específica, sendo que cada uma

delas requer uma série de habilidades.

a competência na prova escrita demanda

algumas habilidades, como: interpretação de

texto, reconhecimento de sinais de trânsito,

memorização, raciocínio lógico para perceber

quais regras de trânsito se aplicam a uma

determinada situação etc.

a competência na prova prática específica, por

sua vez, requer outras habilidades: visão espacial,

leitura dos sinais de trânsito na rua, compreensão

do funcionamento de comandos de interação

com o veículo, tais como os pedais de freio e de

acelerador etc.

É importante ressaltar que a Matriz de Referência

não abarca todo o currículo; portanto, não deve ser

confundida com ele nem utilizada como ferramenta

para a definição do conteúdo a ser ensinado em sala de

aula. as habilidades selecionadas para a composição

dos testes são escolhidas por serem consideradas

essenciais para o período de escolaridade avaliado e

por serem passíveis de medição por meio de testes

padronizados de desempenho, compostos, na maioria

das vezes, apenas por itens de múltipla escolha. há,

também, outras habilidades necessárias ao pleno

desenvolvimento do estudante que não se encontram

na Matriz de Referência por não serem compatíveis

com o modelo de teste adotado. No exemplo anterior,

pode-se perceber que a competência na prova escrita

para habilitação de motorista inclui mais habilidades

que podem ser medidas em testes padronizados do

que aquelas da prova prática.

a avaliação em larga escala pretende obter

informações gerais, importantes para se pensar a

qualidade da educação, porém, ela só será uma

ferramenta para esse fim se utilizada de maneira

coerente, agregando novas informações às já

obtidas por professores e gestores nas devidas

instâncias educacionais, em consonância com a

realidade local.


(M08369SI) Uma impressora funcionando em modo normal imprime 1 000 folhas durante 40 minutos. Nessas condições, quantas folhas essa impressora imprime em 2 horas?A) 50B) 333C) 3 000D) 4 000

mATRiz dE REfERÊnCiA dE mATEmáTiCA E SUAS TECnologiAS AvAliE BA 2012 EnSino mÉdio

domínio dESCRiToR 1Em

2Em

3Em

i. ESPAço E foRmA

d1 - Resolver problemas que envolvam a localização de pontos no plano cartesiano. X X X

d2 - Reconhecer triângulos semelhantes usando os critérios de semelhança. X X X

d3 - Reconhecer o seno, o cosseno e a tangente como razões entre os lados de um triângulo retângulo. X X X

d4 - identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. X X

d5 - Reconhecer figuras tridimensionais por meio de suas características (prismas, pirâmides, cones ou esferas). X

d6 - Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas. X X X

d7 - Resolver problemas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). X X X

d8 - Resolver problemas utilizando as propriedades dos polígonos (soma dos ângulos internos, números de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares).

X X

d9 - Resolver problemas que envolvam a distância entre dois pontos no plano cartesiano. X

d10 - identificar a equação da reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação. X

ii. gRAndEzAS E mEdidAS

d11 - Resolver problemas utilizando relações entre diferentes unidades de medida. X X X

d12 - Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. X X X

d13 - Resolver problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas. X X X

d14 - Resolver problemas envolvendo medida da área total e/ou lateral de um sólido (prisma, pirâmide, cone, cilindro e esfera). X X

d15 - Resolver problemas envolvendo noção de volume. X X

iii. nÚmERoS E oPERAçÕES / álgEBRA E fUnçÕES

d16 - Reconhecer números reais representados em diferentes contextos. X X X

d17 - Reconhecer intervalos de crescimento/decrescimento, ponto(s) de máximo/mínimo, e/ou zeros de funções reais representadas em um gráfico.

X X X

d18 - identificar a representação algébrica ou gráfica que modela uma situação descrita em um texto. X X X

d19 - identificar a representação algébrica de uma função do 1º grau a partir dos dados de uma tabela. X

d20 - Resolver problemas com números reais, envolvendo os diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

X X X

d21 - identificar a representação algébrica ou gráfica de uma função do 1º grau, conhecendo alguns de seus elementos. X


d23 - Associar o gráfico de uma função exponencial à sua representação algébrica ou vice-versa. X X

d24 - Resolver problemas que envolvam porcentagem. X X X

d25 - Resolver problemas que envolvam variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. X X X

d26 - determinar a solução de um sistema de equações do 1º grau. X

d27 - Resolver problemas que envolvam função do 1º grau. X X X

d28 - Resolver problemas reconhecendo a progressão aritmética como uma função do 1º grau definida no conjunto dos números inteiros positivos.

X X X


d30 - Resolver problemas envolvendo função exponencial. X X X

domínio

o domínio agrupa por afinidade um conjunto de

habilidades indicadas pelos descritores.

item

o item é uma questão utilizada nos testes de uma

avaliação em larga escala e se caracteriza por avaliar uma

única habilidade indicada por um descritor da matriz

de Referência.

Elementos que compõem a matriz

Descritores

os descritores associam o conteúdo curricular a operações cognitivas,

indicando as habilidades que serão avaliadas por

meio de um item.

mATRiz dE REfERÊnCiA dE mATEmáTiCA E SUAS TECnologiAS2ª série do Ensino médio e 3ª série da Educação Profissional integrada ao Ensino médio


mATRiz dE REfERÊnCiA dE mATEmáTiCA E SUAS TECnologiAS - AvAliE BA 2012 - EnSino mÉdio

domínio dESCRiToR 1Em

2Em

3Em

i. ESPAço E foRmA

d1 - Resolver problemas que envolvam a localização de pontos no plano cartesiano. X X X

d2 - Reconhecer triângulos semelhantes usando os critérios de semelhança. X X X

d3 - Reconhecer o seno, o cosseno e a tangente como razões entre os lados de um triângulo retângulo. X X X

d4 - identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. X X

d5 - Reconhecer figuras tridimensionais por meio de suas características (prismas, pirâmides, cones ou esferas). X

d6 - Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas. X X X

d7 - Resolver problemas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). X X X

d8 - Resolver problemas utilizando as propriedades dos polígonos (soma dos ângulos internos, números de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígonos regulares).

X X

d9 - Resolver problemas que envolvam a distância entre dois pontos no plano cartesiano. X

d10 - identificar a equação da reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação. X

ii. gRAndEzAS E mEdidAS

d11 - Resolver problemas utilizando relações entre diferentes unidades de medida. X X X

d12 - Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. X X X

d13 - Resolver problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas. X X X

d14 - Resolver problemas envolvendo medida da área total e/ou lateral de um sólido (prisma, pirâmide, cone, cilindro e esfera). X X

d15 - Resolver problemas envolvendo noção de volume. X X

iii. nÚmERoS E oPERAçÕES / álgEBRA E fUnçÕES

d16 - Reconhecer números reais representados em diferentes contextos. X X X

d17 - Reconhecer intervalos de crescimento/decrescimento, ponto(s) de máximo/mínimo, e/ou zeros de funções reais representadas em um gráfico.

X X X

d18 - identificar a representação algébrica ou gráfica que modela uma situação descrita em um texto. X X X

d19 - identificar a representação algébrica de uma função do 1º grau a partir dos dados de uma tabela. X

d20 - Resolver problemas com números reais, envolvendo os diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação).

X X X



d23 - Associar o gráfico de uma função exponencial à sua representação algébrica ou vice-versa. X X

d24 - Resolver problemas que envolvam porcentagem. X X X

d25 - Resolver problemas que envolvam variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. X X X

d26 - determinar a solução de um sistema de equações do 1º grau. X


d28 - Resolver problemas reconhecendo a progressão aritmética como uma função do 1º grau definida no conjunto dos números inteiros positivos.

X X X


d30 - Resolver problemas envolvendo função exponencial. X X X

d31 - Associar o gráfico de uma função logaritmica à sua representação algébrica ou vice-versa. X X X

d32 - Associar o gráfico de uma função modular à sua representação algébrica ou vice-versa. X X

d33 - Resolver problemas que envolvam progressões aritméticas ou geométricas. X X

d34 - Resolver problemas de contagem envolvendo o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples ou combinação simples.

X X

d35 - determinar a solução de um sistema linear associando-o à uma matriz. X X

d36 - Resolver problemas envolvendo juros compostos. X

d37 - determinar, no ciclo trigonométrico, os valores de seno, cosseno e tangente de um arco no intervalo (0, 2π). X X

d38 - Relacionar as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores do 1º grau. X

iv. TRATAmEnTo dA infoRmAção

d39 - identificar informações apresentadas em tabelas ou diferentes tipos de gráficos. X

d40 - Resolver problemas envolvendo interpretação de informações apresentadas em tabelas ou diferentes tipos de gráficos. X X X

d41 - Resolver problemas que envolvam as medidas de tendência central. X X X

d42 - Resolver problemas que envolvam noções de probabilidade. X


TEoRiA dE RESPoSTA Ao iTEm (TRi)

Existem duas possibilidades de análise dos desempenhos dos estudantes em um teste.

uma primeira possibilidade, muito comum e mais empregada nas atividades docentes,

por ser uma ferramenta de fácil manuseio, consiste no cálculo do percentual de acerto

do estudante no teste, gerando a nota ou escore. Esse procedimento caracteriza a teoria

clássica dos testes – tct.

a maioria das análises realizadas a partir da tct é focada no escore obtido no teste.

assim, um estudante que responde a uma série de itens e recebe um ponto por cada item

corretamente respondido, obtém, ao final, um escore total (que é a soma destes pontos).

contudo, sob essa perspectiva, é possível ou até mesmo esperado que estudantes

obtenham notas mais altas em testes fáceis e notas mais baixas em testes difíceis. ou

seja, escores dos examinados dependem do teste utilizado (são "testes-dependentes").

Entretanto, nas avaliações educacionais em larga escala, cujo objetivo é fazer chegar

aos professores, aos elaboradores de políticas educacionais e ao público em geral

informações relativas à situação efetiva e às mudanças ocorridas, ou passíveis de

ocorrerem, no desempenho dos estudantes, o procedimento de análise da avaliação é

obtido através da teoria da Resposta ao Item – tRI. Nesta metodologia, o desempenho do

estudante, denominado proficiência, não é apenas uma nota, pois está relacionado ao seu

conhecimento em função de uma matriz de habilidades construída para o teste e alinhada

com ele. trata-se de um conjunto de modelos matemáticos em que a probabilidade de

acerto a um item é calculada em função da proficiência do estudante.

Para auxiliar na tarefa de acompanhar o desempenho dos estudantes, após os resultados da escola, há uma análise

representativa das habilidades relacionadas ao processamento do texto, abordando a perspectiva do seu ensino para

esta etapa e sugestões de atividades e recursos pedagógicos que podem ser utilizados pelo professor. A escolha desse

exemplo foi baseada em um diagnóstico que identificou algumas habilidades desta competência que apresentaram

baixo índice de acerto no Ensino médio nas avaliações educacionais realizadas em anos anteriores.


a teoria de Resposta ao Item (tRI) é, em termos gerais, uma forma de analisar e

avaliar os resultados obtidos pelos estudantes nos testes, levando em consideração

as habilidades demonstradas e os graus de dificuldade dos itens, permitindo a

comparação entre testes realizados em diferentes anos.

ao realizarem os testes, os estudantes obtêm um determinado nível de desempenho

nas habilidades testadas. Esse nível de desempenho denomina-se PRofIcIÊNcIa.

a tRI é uma forma de calcular a proficiência alcançada, com base em um modelo

estatístico capaz de determinar um valor diferenciado para cada item que o estudante

respondeu em um teste padronizado de múltipla escolha. Essa teoria leva em conta

três parâmetros:

• Parâmetro "A"

a capacidade de um item de discriminar, entre os estudantes avaliados, aqueles que

desenvolveram as habilidades avaliadas daqueles que não as desenvolveram.

• Parâmetro "B"

o grau de dificuldade dos itens: fáceis, médios ou difíceis. os itens estão distribuídos

de forma equânime entre os diferentes cadernos de testes, possibilitando a criação de

diversos cadernos com o mesmo grau de dificuldade.

• Parâmetro "C"

a análise das respostas do estudante para verificar aleatoriedade nas respostas: se for

constatado que ele errou muitos itens de baixo grau de dificuldade e acertou outros

de grau elevado – o que é estatisticamente improvável, o modelo deduz que ele

respondeu aleatoriamente às questões.

o avalie Ensino Médio utiliza a tRI para o cálculo de acerto do estudante. No final, a

proficiência não depende apenas do valor absoluto de acertos, depende também da

dificuldade e da capacidade de discriminação das questões que o estudante acertou e/ou

errou. o valor absoluto de acertos permitiria, em tese, que um estudante que respondeu

aleatoriamente tivesse o mesmo resultado que outro que tenha respondido com base

em suas habilidades. o modelo da tRI evita essa situação e gera um balanceamento

de graus de dificuldade entre as questões que compõem os diferentes cadernos e as

habilidades avaliadas em relação ao contexto escolar. Esse balanceamento permite a

comparação dos resultados dos estudantes ao longo do tempo e entre diferentes escolas.


CADERNO

iiii

iii

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiii

i i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i i

= 1 item

ao todo, são 12 modelos diferentes de cadernos.

3 blocos formam um caderno, totalizando 30 itens.

Na 2ª série do Ensino Médio e 3ª série da Educação Profissional Integrada ao Ensino Médio, em Matemática e suas tecnologias, são 90 itens,divididos em 9 blocos, com 10 itens cada.

ComPoSição doS CAdERnoS PARA A AvAliAção


inTERvAloS dA ESCAlA dE PRofiCiÊnCiA

detalhamento das habilidades presentes nos níveis de proficiência

uma escala é a expressão da medida de uma grandeza. É uma forma de apresentar resultados

com base em uma espécie de “régua” construída com critérios próprios.

Em uma Escala de Proficiência, os resultados da avaliação são apresentados em níveis, de modo

a conter, em uma mesma “régua”, a distribuição dos resultados do desempenho dos estudantes

no período de escolaridade avaliado, revelando, assim, o desempenho na avaliação. a média

de proficiência obtida deve ser alocada na descrição dos intervalos da Escala de Proficiência

no ponto correspondente, permitindo a realização de um diagnóstico pedagógico bastante útil.

ATÉ 300 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

Neste nível, os estudantes:

• resolvem problemas de cálculo de área com base na contagem das unidades de

uma malha quadriculada;

• localizam objeto em um referencial de malha quadriculada a partir de

suas coordenadas;

• resolvem problema com números naturais de até dois algarismos, envolvendo

diferentes significados da adição.

dE 300 A 350 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

além das habilidades demonstradas nos níveis anteriores, neste nível, os estudantes:

• calculam adição com números naturais de três algarismos, com reserva;

• reconhecem a decomposição de um número considerando o seu valor posicional

na base decimal;

• reconhecem o valor posicional dos algarismos em números naturais;

• localizam números naturais na reta numérica;

• leem informações em tabela de coluna única;

• identificam quadriláteros.

dE 350 A 400 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850



• identificam a localização (lateralidade) ou a movimentação de objeto, tomando

como referência a própria posição;

• identificam a localização de um número natural representado por um ponto

especificado da reta numérica graduada em intervalos unitários;

• identificam figuras planas a partir de sua imagem pelos lados e pelo ângulo reto;

• identificam a forma ampliada de uma figura simples em uma malha quadriculada;

• calculam o resultado de uma subtração com números de até quatro algarismos,

com reserva;

• reconhecem a composição e decomposição de números naturais em dezenas e

unidades, considerando o seu valor posicional na base decimal;

• leem informações em tabelas de dupla entrada;

• resolvem problemas: relacionando diferentes unidades de uma mesma medida

para cálculo de intervalos (dias e semanas, horas e minutos) e de comprimento

(m e cm); e envolvendo soma de números naturais ou racionais na forma decimal,

constituídos pelo mesmo número de casas decimais e por até três algarismos;

• interpretam um gráfico de colunas, por meio da leitura de valores do eixo vertical;

• reconhecem a planificação de um cone e de um cubo a partir de sua imagem.

dE 400 A 450 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850


• estabelecem relações entre medidas de tempo (horas, dias, semanas) e efetuar

cálculos utilizando as operações a partir delas;

• calculam resultado de subtrações mais complexas com números naturais de quatro

algarismos e com reserva;

• efetuam multiplicações com números de dois algarismos e divisões exatas por

números de um algarismo;

• resolvem problemas simples de subtração de números decimais com mesmo

número de casas decimais;

• diferenciam, entre os diversos sólidos, os que têm superfícies arredondadas;

• reconhecem o princípio do valor posicional do sistema de numeração decimal;

• decompõem um número natural em suas ordens e vice-versa;

• localizam pontos usando coordenadas em um referencial quadriculado;

• identificam dados em uma lista de alternativas, utilizando-os na resolução de

problemas, relacionando informações apresentadas em gráfico e tabela;

• resolvem problemas simples envolvendo as operações, usando dados apresentados

em gráficos ou tabelas, inclusive com duas entradas;

• resolvem problema de subtração de números racionais escritos na forma decimal

com o mesmo número de casas decimais;


• identificam gráfico (barra/coluna) correspondente a uma tabela e vice-versa;

• localizam um ponto no plano cartesiano a partir de suas coordenadas apresentadas

através de um par ordenado;

• identificam o gráfico de setor correspondente a uma tabela e vice-versa.

dE 450 A 500 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850


• identificam os lados e, conhecendo suas medidas, calcular a extensão do contorno

de uma figura poligonal dada em uma malha quadriculada;

• identificam propriedades comuns e diferenças entre sólidos geométricos (número

de faces);

• comparam e calcular áreas de figuras poligonais em malhas quadriculadas;

• resolvem uma divisão exata por número de até dois algarismos e uma multiplicação

cujos fatores são números de até dois algarismos;

• localizam informações em gráficos de colunas duplas;

• resolvem problemas que envolvem a interpretação de dados apresentados em

gráficos de barras ou em tabelas;

• leem gráficos de setores;

• identificam a localização ou movimentação de objeto em representações gráficas,

situadas em referencial diferente ao do estudante;

• identificam o número natural que é representado por um ponto especificado da

reta numérica graduada em intervalos;

• identificam figuras planas, dentre um conjunto de polígonos, pelo número de lados;

• resolvem problemas envolvendo conversão de kg para g ou relacionando diferentes

unidades de medida de tempo (mês/trimestre/ano);

• resolvem problemas envolvendo o cálculo de intervalo de tempo transcorrido

entre dois instantes, dados horas inteiras, sem a necessidade de transformação

de unidades;

• resolvem problemas que envolvem subtração de números decimais com o mesmo

número de casas;

• identificam quadriláteros pelas características de seus lados e ângulos;

• calculam a medida do perímetro de figuras sem o apoio de malhas quadriculadas;

• identificam o gráfico de colunas que corresponde a uma tabela com números

positivos e negativos.

dE 500 A 550 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850



• calculam expressão numérica (soma e subtração), envolvendo o uso de parênteses

e colchetes;

• calculam o resultado de uma divisão por um número de dois algarismos, inclusive

com o resto;

• identificam algumas características de quadriláteros relativas aos lados e ângulos;

• identificam planificações de um cubo e de um cilindro dada em situação

contextualizada (lata de óleo, por exemplo);

• reconhecem alguns polígonos (triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos)

e círculos;

• resolvem problemas de composição ou decomposição mais complexos do que nos

níveis anteriores;

• reconhecem que a medida do perímetro de um polígono, em uma malha quadriculada,

dobra ou se reduz à metade, quando os lados dobram ou são reduzidos à metade;

• calculam porcentagens simples;

• reconhecem o gráfico de colunas correspondente a dados apresentados de

forma textual;

• identificam o gráfico de colunas correspondente a um gráfico de setores.

• resolvem problemas de intervalo de tempo que envolve horas e minutos, operando

com essas grandezas, inclusive com reserva;

• resolvem problemas realizando cálculo de conversão de medidas: de tempo (dias/

anos), de temperatura (identificando sua representação numérica na forma decimal),

comprimento (m/km) e de capacidade (ml/l);

• resolvem problemas de soma, envolvendo combinações, e de multiplicação,

envolvendo configuração retangular em situações contextualizadas;

• resolvem problemas envolvendo as operações de adição e subtração entre

números racionais na forma decimal, representando grandezas monetárias;

• associam uma trajetória representada em um mapa à sua descrição textual;

• localizam números inteiros e números racionais, positivos e negativos, na forma

decimal, na reta numérica;

• resolvem problemas de contagem em uma disposição retangular envolvendo mais

de uma operação;

• reconhecem e efetuar cálculos com ângulos retos e não retos;

• leem tabelas de dupla entrada e reconhecer o gráfico de colunas correspondente,

mesmo quando há variáveis representadas.

dE 550 A 600 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850


• identificam as posições dos lados de quadriláteros (paralelismo);


• identificam poliedros e corpos redondos, relacionando-os às suas planificações;

• resolvem problemas que envolvem proporcionalidade requerendo mais de

uma operação;

• reconhecem diferentes planificações de um cubo;

• calculam a medida do contorno (ou perímetro) de uma figura geométrica irregular

formada por quadrados justapostos desenhada em uma malha quadriculada;

• efetuam cálculos de números inteiros positivos que requerem o reconhecimento do

algoritmo da divisão inexata;

• localizam pontos no plano cartesiano e calcular volumes por meio de contagem

de blocos;

• identificam as coordenadas de pontos plotados no plano cartesiano;

• identificam equações e sistemas de equações de primeiro grau que permitem

resolver problemas;

• reconhecem o gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao

longo do tempo (com valores positivos e negativos);

• calculam o valor numérico de uma expressão algébrica, incluindo potenciação;

• identificam a localização aproximada de números inteiros não ordenados em uma

reta cuja escala não é unitária;

• solucionam problemas de cálculo de área com base em informações sobre os

ângulos de uma figura;

• resolvem problemas envolvendo o cálculo de uma porcentagem de uma

quantidade inteira;

• identificam as raízes de uma função real, dado o gráfico dessa função;

• determinam a moda de uma distribuição amostral simples.

• resolvem problemas utilizando multiplicação e divisão, em situação combinatória;

• resolvem problemas estimando medidas de grandezas, utilizando unidades

convencionais (l);

• resolvem problemas envolvendo as operações de adição e subtração com

reagrupamento de números racionais dado em sua forma decimal.

dE 600 A 650 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850


• identificam a localização (requerendo o uso das definições relacionadas ao conceito

de lateralidade) de um objeto, tendo por referência pontos com posição oposta à

sua e envolvendo combinações;

• realizam conversão e soma de medidas de comprimento e massa (m/km e g/kg);

• identificam mais de uma forma de representar numericamente uma mesma fração

e reconhecer frações equivalentes;


• identificam um número natural (não informado), relacionando-o a uma demarcação

na reta numérica;

• identificam elementos de figuras tridimensionais;

• identificam fração irredutível como parte de um todo sem apoio de figura;

• avaliam distâncias horizontais e verticais em um croqui usando uma escala gráfica

dada por uma malha quadriculada, reconhecendo o paralelismo entre retas;

• sabem que, em figuras obtidas por ampliação ou redução, os ângulos não se alteram;

• calculam o volume de sólidos a partir da medida de suas arestas;

• ordenam e comparar números inteiros negativos e localizar números decimais

negativos com o apoio da reta numérica;

• transformam fração em porcentagem e vice-versa;

• identificam a equação do primeiro grau adequada para a solução de um problema;

• identificam crescimento e decrescimento em um gráfico de função;

• identificam figuras geométricas por meio das coordenadas cartesianas de seus

vértices, apoiadas em representações gráficas;

• solucionam problemas envolvendo propriedades dos polígonos regulares inscritos

(hexágono), para calcular o seu perímetro;

• solucionam problemas envolvendo porcentagens diversas e suas representações

na forma decimal;

• solucionam problemas envolvendo o cálculo de grandezas diretamente

proporcionais e a soma de números inteiros.

• solucionam problemas envolvendo o cálculo de volume de um sólido geométrico.

• solucionam problemas envolvendo o cálculo de um valor assumido por uma

função afim.

dE 650 A 700 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850


• resolvem problemas calculando ampliação, redução ou conservação da medida

(informada inicialmente) de ângulos, lados e área de figuras planas;

• resolvem problemas localizando pontos em um referencial cartesiano;

• resolvem problemas envolvendo o teorema sobre a soma dos ângulos internos de

um triângulo;

• resolvem problemas envolvendo cálculo numérico de uma expressão algébrica em

sua forma fracionária;

• resolvem problemas envolvendo variação proporcional entre mais de

duas grandezas;

• resolvem problemas envolvendo porcentagens diversas (incluindo noção de juros

simples e lucro);


• resolvem problemas de adição e multiplicação, envolvendo a identificação de um

sistema de equações do primeiro grau com duas variáveis;

• classificam ângulos em agudos, retos ou obtusos de acordo com suas medidas

em graus;

• realizam operações e estabelecer relações utilizando os elementos de um círculo

ou circunferência (raio, diâmetro, corda);

• identificam a inequação do primeiro grau adequada para a solução de um problema;

• calculam expressões numéricas com números inteiros e decimais positivos

e negativos;

• solucionam problemas em que a razão de semelhança entre polígonos é dada, por

exemplo, em representações gráficas envolvendo o uso de escalas;

• efetuam cálculos de raízes quadradas e identificar o intervalo numérico em que se

encontra uma raiz quadrada não exata;

• leem informações fornecidas em gráficos envolvendo regiões do plano cartesiano;

• analisam gráficos de colunas representando diversas variáveis, comparando

seu crescimento;

• resolvem problema contextualizado cuja modelagem recai em uma equação do

primeiro grau;

• calculam a medida do perímetro de um polígono formado pela justaposição de

figuras geométricas;

• identificam as coordenadas de três pontos plotados no plano cartesiano, sendo

dois deles pertencentes a eixos coordenados;

• calculam o valor numérico de uma função e conseguem identificar uma função do

1° grau apresentada em uma situação-problema; identificar o gráfico de uma reta,

dada sua equação;

• identificam o gráfico de uma função do 2º grau, dada a forma algébrica dessa

função em uma situação-problema.

dE 700 A 750 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850


• resolvem problemas envolvendo ângulos, inclusive utilizando a lei angular de tales

e aplicando o teorema de Pitágoras;

• identificam propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais e

tridimensionais, relacionando as últimas às suas planificações;

• reconhecem a proporcionalidade entre comprimentos em figuras relacionadas por

ampliação ou redução;

• calculam volume de paralelepípedo;

• calculam o perímetro de polígonos sem o apoio de malhas quadriculadas;


• calculam expressões com numerais na forma decimal com quantidades de

casas diferentes;

• conseguem obter a média aritmética de um conjunto de valores;

• analisam um gráfico de linhas com sequência de valores;

• resolvem problemas utilizando propriedades dos polígonos (número de diagonais,

soma de ângulos internos, valor de cada ângulo interno ou externo), inclusive por

meio de equação do 1º grau;

• resolvem problemas envolvendo a conversão de metro cúbico em litro;

• resolvem problemas que recaem em equação do 2º grau;

• resolvem problemas de juros simples;

• resolvem problemas usando sistema de equações do primeiro grau;

• determinam a razão de semelhança entre dois triângulos, com apoio das figuras;

• resolvem uma equação exponencial por fatoração de um dos membros;

• identificam os zeros de uma função quadrática, dado o gráfico dessa função;

• identificam o intervalo de decrescimento de uma função afim definida por

várias sentenças;

• identificam figuras geométricas por meio das coordenadas cartesianas de seus

vértices, sem o apoio de representação gráfica.

dE 750 A 800 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850


• calculam o número de diagonais de um polígono;

• resolvem problemas utilizando propriedades de triângulos e quadriláteros;

• utilizam propriedades de polígonos regulares;

• calculam a área de figuras simples (triângulo, paralelogramo, retângulo, trapézio);

• aplicam as propriedades da semelhança de triângulos na resolução de problemas;

• reconhecem que a área de um retângulo quadruplica quando seus lados dobram;

• resolvem problemas com números inteiros positivos e negativos não explícitos

com sinais;

• efetuam uma adição de frações com denominadores diferentes;

• localizam frações na reta numérica;

• resolvem problemas envolvendo relações métricas no triângulo retângulo;

• usam as razões trigonométricas para resolver problemas simples;

• conhecem e utilizam a nomenclatura do plano cartesiano (abscissa, ordenada,

quadrantes) e conseguem encontrar o ponto de interseção de duas retas;

• identificam a função linear ou afim que traduz a relação entre os dados de uma tabela;

• resolvem problemas envolvendo funções afins e resolvem uma equação do 1° grau

que requer manipulação algébrica;


• resolvem equações exponenciais simples;

• identificam no gráfico de uma função, intervalos em que os valores são positivos ou

negativos e os pontos de máximo ou mínimo.

ACimA dE 800 PonToS0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850


• reconhecem a proporcionalidade dos elementos lineares de figuras semelhantes;

• aplicam o teorema de Pitágoras em figuras espaciais;

• calculam a área total de uma pirâmide regular;

• calculam o volume de um cilindro;

• identificam a expressão algébrica que está associada à regularidade observada em

uma sequência de figuras;

• reconhecem que o produto de dois números entre 0 e 1 é menor que cada um deles

(interpretam o comportamento de operações com números reais na reta numérica);

• aplicam proporcionalidade inversa;

• associam o sinal do coeficiente angular ao crescimento/decrescimento de uma

função afim e interpretam geometricamente o coeficiente linear;

• reconhecem uma função exponencial dado o seu gráfico e vice-versa;

• distinguem funções exponenciais crescentes e decrescentes;

• resolvem problemas simples envolvendo funções exponenciais;

• identificam a representação algébrica de uma função do 1º grau, dado o coeficiente

linear e as coordenadas de um ponto da reta ou o coeficiente linear e a imagem de

um ponto;

• determinam a mediana de uma distribuição amostral simples;

• identificam a expressão algébrica correspondente ao gráfico de uma função do 2º

grau que possui uma única raiz real;

• identificam a razão correspondente ao seno ou a tangente de um ângulo, dados os

lados de um triângulo retângulo.


As competências e habilidades agrupadas nos Padrões não esgotam tudo aquilo que os estudantes desenvolveram

e são capazes de fazer, uma vez que as habilidades avaliadas são aquelas consideradas essenciais em cada

etapa de escolarização e possíveis de serem avaliadas num teste de múltipla escolha. Cabe aos docentes, através

de instrumentos de observação e registro utilizados em sua prática cotidiana, identificarem outras características

apresentadas por seus estudantes que não são contempladas pelos Padrões. isso porque, a despeito dos traços

comuns a estudantes que se encontram em um mesmo intervalo de proficiência, existem diferenças individuais que

precisam ser consideradas para a reorientação da prática pedagógica.

*o percentual de respostas em branco e nulas não foi contemplado na análise.

AvançadoBásicoCríticoMuito Crítico

PAdRÕES dE dESEmPEnHo ESTUdAnTil

os Padrões de desempenho são categorias

definidas a partir de cortes numéricos que

agrupam os níveis da Escala de Proficiência, com

base nas metas educacionais estabelecidas pelo

avalie Ensino Médio. Esses cortes dão origem a

quatro Padrões de desempenho – Muito crítico,

crítico, básico e avançado –, os quais apresentam

o perfil de desempenho dos estudantes.

desta forma, estudantes que se encontram em um

Padrão de desempenho abaixo do esperado para

sua etapa de escolaridade precisam ser foco de

ações pedagógicas mais especializadas, de modo

a garantir o desenvolvimento das habilidades

necessárias ao sucesso escolar, evitando, assim, a

repetência e a evasão.

Por outro lado, estar no Padrão mais elevado indica o

caminho para o êxito e a qualidade da aprendizagem

dos estudantes. contudo, é preciso salientar que

mesmo os estudantes posicionados no Padrão mais

elevado precisam de atenção, pois é necessário

estimulá-los para que progridam cada vez mais.

São apresentados, a seguir, exemplos de itens*

característicos de cada Padrão.


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

até 450 pontos

mUiTo CRíTiCo

Neste Padrão de desempenho as habilidades matemáticas que

se evidenciam são as relativas aos significados dos números nos

diversos contextos sociais.

constata-se que, neste Padrão, esses estudantes reconhecem

um número maior de figuras bidimensionais, além de identificar a

localização e movimentação de objetos em representações do

espaço, tomando como referência a própria posição.

No campo grandezas e Medidas, esses estudantes determinam

a medida da área de uma figura poligonal construída sobre uma

malha quadriculada, demonstrando também coordenarem as ações

de contar, bem como estabelecem relações entre as unidades de

medidas de comprimento (metro e centímetro) e entre as unidades

de medida de tempo.

No campo Numérico, eles demonstram compreender os algoritmos

da adição, subtração e multiplicação, além de reconhecer e utilizar

características do Sistema de Numeração decimal, tais como

princípio do valor posicional, escrita por extenso de números e

sua composição ou decomposição em dezenas e unidades. Eles,

também, identificam na reta numérica esses números.

Percebemos ainda neste Padrão que os estudantes já demonstram

conhecimentos básicos relativos à literacia Estatística. Eles

conseguem ler e interpretar informações elementares e explícitas

em um gráfico de colunas, por meio da leitura de valores do eixo

vertical, além de identificar um determinado gráfico de barras (ou

colunas) com a tabela de dados correspondentes e vice-versa.


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

de 450 a 550 pontos

CRíTiCo

Neste Padrão de desempenho, constata-se uma

ampliação das habilidades relativas aos quatro

campos da Matemática (geométrico, Medidas,

Numérico e tratamento da Informação).

No campo geométrico, esses estudantes

identificam propriedades comuns e diferenças

entre sólidos geométricos (número de faces);

identificam a localização ou movimentação de

objetos em representações gráficas, situadas

em referencial diferente da própria posição;

identificam quadriláteros pelas características de

seus lados e ângulos; identificam planificações de

um cubo e de um cilindro dada em uma situação

contextualizada; reconhecem e efetuam cálculos

com ângulos retos e não retos, além de associarem

uma trajetória representada em um mapa à sua

descrição textual e reconhecer alguns polígonos

e o círculo. Esses estudantes também identificam

pontos no plano cartesiano, dado o par ordenado.

No que tange os conhecimentos relativos a

grandezas e Medidas, os estudantes deste

Padrão determinam a medida do perímetro de

figuras em malhas quadriculadas, mas avançam na

direção de calcular essa medida para figuras sem

o apoio da malha. também realizam conversões

entre metros e quilômetros; comparam áreas

de figuras poligonais em malhas quadriculadas,

mas não conseguem determinar a medida da

área de uma figura sem o apoio da malha. No

trabalho com capacidade, estabelecem relações

entre litros e mililitros, mas ainda não conseguem

resolver problemas envolvendo a ideia de volume.

Em relação à grandeza tempo, esses estudantes

realizam transformações entre as unidades de

medida de tempo (dias, meses, anos); determinam

intervalos de tempo e realizam cálculos simples

com essas medidas.

Neste Padrão os estudantes demonstram atribuir

significado ao conjunto dos números racionais.

Eles compreendem o significado de fração;

localizam números racionais na forma decimal na

reta numérica; resolvem problemas envolvendo

porcentagem e subtração de decimais em diversos

contextos sociais, além de demonstrarem uma maior

compreensão das ações operatórias envolvendo o

algoritmo da divisão e da multiplicação de números

naturais de até dois algarismos.

ainda neste Padrão, os estudantes localizam

dados em tabelas de múltiplas entradas e leem

dados em gráficos de setores, demonstrando

um ganho neste Padrão em relação ao Padrão

anterior. além disso, com a compreensão da

relação existente entre dados e informações, são

capazes de resolver problemas que envolvem a

interpretação de dados apresentados em gráficos

de barra ou em tabelas.


(M08369SI) Uma impressora funcionando em modo normal imprime 1 000 folhas durante 40 minutos. Nessas condições, quantas folhas essa impressora imprime em 2 horas?A) 50B) 333C) 3 000D) 4 000

Este item avalia a habilidade de resolver um problema envolvendo

proporcionalidade simples e direta. o contexto é de uma impressora

que imprime determinado número de páginas em certo tempo,

demandando uma transformação de unidade de medida de tempo.

o item está situado no nível crítico da Escala de Proficiência e foi

considerado de dificuldade média pelos estudantes.

os estudantes que acertaram o item (51,7%) assinalaram a alternativa

c. Para acertá-lo, seria preciso, em primeiro lugar, transformar 2

horas em 120 minutos. após isso, o coeficiente de proporcionalidade

seria facilmente obtido pela divisão de 120 por 40 minutos, devendo

ser multiplicado pelo número de páginas (1 000).

os estudantes que escolheram a alternativa a como resposta (8,9%)

não conseguiram dar sentido à situação de proporcionalidade,

realizando operações aritméticas com os dados do problema: (1 000

: 40) x 2.

Já aqueles que marcaram a alternativa b (8%) reconheceram

uma situação de proporcionalidade, mas consideraram como

proporcionalidade inversa.

os estudantes que assinalaram a alternativa d (28,7%) também

não conseguiram atribuir sentido para a situação, buscando uma

operação aritmética a ser feita com dados do problema. aqui eles

provavelmente buscaram multiplicar o número de páginas (1 000)

pelo tempo de impressão (40), associando ao resultado 4 000.

52+48percentual de acerto

51,7%

A B C D

8,9% 8% 51,7% 28,7%


(M100020C2) Observe os triângulos que Tatiane desenhou.

Quais desses triângulos são semelhantes?A) I e II.B) I e IV.C) II e III.D) II e IV.E) III e IV.

Este item avalia a habilidade de reconhecer, em

um conjunto de quatro triângulos, um par de

triângulos semelhantes. apresentado em contexto

matemático, este item apresenta os triângulos com

indicação de ângulos e em diferentes disposições.

Ele está situado no nível crítico da Escala de

Proficiência e foi considerado de dificuldade

média pelos estudantes.

o item foi corretamente respondido por metade dos

estudantes (54,3%), que assinalaram a alternativa

b. Para isso, os estudantes poderiam reconhecer,

pelas medidas dos ângulos apresentados, que

a comparação seria feita apenas por pares de

triângulos, observando que apenas dois triângulos

(I e Iv) apresentavam lados homólogos de medidas

proporcionais (6 para 4 e 9 para 6).

os estudantes que escolheram a alternativa a

(10,3%) não conseguem reconhecer os elementos

associados à semelhança, sendo atraídos, talvez,

por triângulos de mesma posição no plano.

os estudantes que assinalaram a alternativa

c (11,2%) podem ter associado a semelhança à

presença de ângulos retos, sem considerar as

condições necessárias entre as medidas dos lados.

os estudantes que indicaram a alternativa d como

resposta (16,2%) não conseguiram dar sentido à

situação de semelhança, apontando dois triângulos

que apresentam medida 4 em um dos lados.

o mesmo pode ter ocorrido com os estudantes

que marcaram a alternativa E (7,4%), mas, neste

caso, a falta de sentido para o problema levou

esses estudantes a uma resposta aleatória.

54+46A B C D E

10,3% 54,3% 11,2% 16,2% 7,4%

percentual de acerto

54,3%


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

de 550 a 650 pontos

BáSiCo

as habilidades pertinentes ao campo geométrico

aparecem neste Padrão, demonstrando que os

estudantes identificam elementos de figuras

tridimensionais, resolvem problemas envolvendo

as propriedades dos polígonos regulares, além

de identificarem figuras geométricas por meio

das coordenadas cartesianas de seus vértices,

apoiadas em representações gráficas.

os estudantes demonstram também neste

Padrão determinar a medida do perímetro de

figuras em malhas quadriculadas com ou sem

esse suporte, inclusive com figuras compostas

por outras figuras. também sabem determinar

a medida do perímetro do hexágono regular,

e estabelecem relações entre metros e

quilômetros. conseguem determinar a medida

da área de quadrados e retângulos, mas não de

outras figuras planas.

Em relação ao conceito de volume, esses estudantes

conseguem determinar a medida do volume do

cubo e do bloco retangular pela contagem de

cubos ou pela multiplicação das medidas de

suas arestas. fazem estimativas utilizando o litro

como unidade e realizam conversões entre litro

e mililitro e também relacionam as unidades de

massa: grama e quilograma.

Evidencia-se também neste Padrão uma maior

expansão do campo Numérico. os estudantes

localizados neste Padrão de desempenho

demonstram compreender o significado de

números racionais em situações mais complexas,

que exigem deles uma maior abstração em relação

a esse conhecimento. Eles resolvem problemas

com números racionais envolvendo as operações

aritméticas fundamentais, estabelecem relações

entre frações próprias e impróprias, além de

resolverem problemas envolvendo porcentagem

ou o conceito de proporcionalidade. No que tange

o conhecimento algébrico, os estudantes neste

Padrão demonstram calcular o valor numérico de

uma expressão algébrica e identificar equações e

sistemas de equações de primeiro grau que permite

resolver um problema, e ainda, identificam as raízes

de uma função real, dado o gráfico dessa função.

o ganho, desse nível, no campo tratamento da

Informação consiste basicamente na familiarização

com outros tipos de gráficos e não somente os

de barras, de colunas ou de setores. o gráfico

de linhas passa a ser reconhecido como a forma

gráfica mais apropriada para apresentar uma

sequência de valores ao longo do tempo. Esses

estudantes também determinam a moda de uma

distribuição amostral simples.


(M090762A9) Para a festa da escola, Rosana levou 4 garrafas de refrigerante, com 1,5 L cada uma.Quantos copos de 300 mL, totalmente cheios, poderão ser servidos com essa quantidade de refrigerante?A) 20B) 12C) 6D) 5

Este item avalia a habilidade de resolver um problema envolvendo

a ideia de capacidade, demandando a conversão de unidades de

medida. o contexto trata da quantidade de copos, com capacidade

expressa em mililitros, que podem ser servidos com quatro garrafas

de refrigerante, com capacidade expressa em litros. o item está

situado no nível básico da Escala de Proficiência e foi considerado

de dificuldade média pelos estudantes.

Menos da metade dos estudantes acertou o item (41,6%), assinalando

a alternativa a. Para isso, os estudantes precisariam primeiramente

colocar as duas medidas de capacidade na mesma unidade, por

exemplo, em mililitros. Em seguida, bastaria dividir a medida de

capacidade de quatro garrafas (6 000 mililitros) pela medida de cada

copo (300 mililitros), obtendo 20 copos como resultado.

os estudantes que indicaram a alternativa b como resposta (25,3%)

não conseguiram dar sentido ao problema, buscando tão somente

realizar uma operação aritmética com dados do problema (4 x 3 = 12).

o mesmo parece ter ocorrido com os estudantes que escolheram a

alternativa c (16,5%). Nesse caso, eles determinaram a quantidade

de refrigerante de quatro garrafas (6 litros), mas não dividiram pela

capacidade de cada copo.

Já aqueles que assinalaram a alternativa d (14,7%) realizaram

corretamente a conversão de medidas e efetuaram a divisão, mas não

consideraram um dos elementos do enunciado, trabalhando com os

valores correspondentes a uma garrafa, ao invés de quatro garrafas.


41,6%

A B C D

41,6% 25,3% 16,5% 14,7%


Este item avalia a habilidade de resolver um problema de

porcentagem, em situação de determinação de uma taxa percentual.

o contexto relaciona as moradias previstas para serem construídas

com o número de moradias efetivamente construídas. Este item está

situado no nível básico da Escala de Proficiência e foi considerado

difícil pelos estudantes.

apenas 19,5% dos estudantes acertaram o item, assinalando a

alternativa c. Para isso, bastaria reconhecer que o número de

moradias construídas (3 000) corresponde a um quarto do número

de moradias previstas (12 000) e associar um quarto a 25%.

os estudantes que escolheram a alternativa a como resposta

(15,4%) não compreenderam o sentido do problema e simplesmente

repetiram um dos dados do enunciado (12 000), colocando-o na

forma percentual.

Já os estudantes que adotaram a alternativa b como resposta

(32,1%) provavelmente compreenderam a situação de porcentagem

envolvida no item, mas associaram a fração a 3/2.

os estudantes que assinalaram as alternativas d e E também não

conseguiram atribuir sentido para o problema. os que marcaram

a alternativa d (10,1%) simplesmente associam a resposta a um dos

dados do problema (3 000), e aqueles que marcaram a alternativa E

(0,7%) associam à soma de valores adaptados (12 + 30).

(M120132A9) Das 12 000 moradias previstas em um programa habitacional, apenas 3 000 foram construídas. Qual é o valor percentual das moradias construídas nesse programa habitacional?A) 12%B) 18%C) 25%D) 30%E) 42%

32+68A B C D E

15,4% 32,1% 19,5% 10,1% 0,7%


19,5%


0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850

acima de 650 pontos

AvAnçAdo

as habilidades matemáticas características deste

Padrão envolvem a resolução de problemas

envolvendo o campo algébrico e geométrico.

No campo geométrico há um avanço significativo,

os estudantes resolvem problemas envolvendo: as

relações métricas do triângulo retângulo, propriedades

dos polígonos regulares, lei angular de tales, triângulos

semelhantes usando os critérios de semelhança. Eles

também identificam sólidos correspondentes a uma

planificação dada e reconhecem figuras geométricas

por meio das coordenadas cartesianas de seus

vértices, sem o apoio de representação gráfica.

No que tange o campo grandezas e medidas,

eles, também conseguem determinar a medida

da área de quadrados e retângulos e de outras

figuras planas, tais como triângulo, paralelogramo

e trapézio. Em relação ao conceito de volume,

esses estudantes conseguem determinar a

medida do volume do cubo e do paralelepípedo

pela multiplicação das medidas de suas arestas,

e realizam conversões entre metro cúbico e litro.

Neste Padrão os estudantes demonstram resolver

problemas envolvendo equação do 2° grau; identificam

o gráfico de uma função quadrática dada a forma

algébrica dessa função e os zeros de uma função

do 2º grau dado o seu gráfico, além de identificar a

expressão algébrica correspondente ao gráfico de

uma função do 2º grau que possui uma única raiz

real. Resolvem problemas envolvendo o sistema de

equações do 1° grau e modelagem de inequação do 1°

grau e problemas envolvendo juros simples, além de

localizar frações na reta numérica. Esses estudantes

identificam o intervalo de decrescimento de uma

função afim definida por várias sentenças; identificam

a representação algébrica de uma função do 1º grau

dado o coeficiente linear e as coordenadas de um

ponto da reta ou o coeficiente linear e a imagem de

um ponto, bem como a razão correspondente ao

seno ou a tangente de um ângulo, dados os lados de

um triângulo retângulo.

No nível avançado, os estudantes utilizam o

raciocínio matemático de forma mais complexa,

conseguindo identificar e relacionar os dados

apresentados em diferentes gráficos e tabelas para

resolver problemas ou fazer inferências. analisam

gráficos de colunas representando diversas

variáveis e conseguem calcular a média aritmética

de um conjunto de valores e determinar a mediana

de uma distribuição amostral simples. Embora o

cálculo da média aritmética requeira um conjunto de

habilidades já desenvolvidas pelos estudantes em

séries escolares anteriores, que utilizam, na prática,

essa ideia para compor a nota bimestral ou em outros

contextos extra-escolares, esse conceito básico de

estatística, combinado com o raciocínio numérico, só

é desempenhado pelos estudantes neste nível.


Este item avalia a habilidade de determinar elementos da imagem de

uma função afim, a partir de elementos de seu domínio. apresentado

em contexto matemático, a tarefa traz quatro valores do domínio de

uma função afim e a sua lei de formação.

os estudantes que assinalaram a alternativa d, 18,4%, compreenderam

a ideia de que os elementos do conjunto podem ser obtidos pela

substituição dos elementos do domínio na lei de formação da

função. com isso, obtiveram os valores 4, 8, 12 e 16 para os termos

da sequência apresentada no item.

os estudantes que escolheram a alternativa a, 31,5%, não

conseguiram elaborar sentido para o problema, repetindo tão

simplesmente os valores dos elementos do domínio que constam

no enunciado.

Já aqueles que adotaram a alternativa b, 24,1%, como resposta,

compreenderam a ideia de que os elementos do domínio e sua

relação com elementos da imagem, mas consideraram a sequência

iniciando com o valor zero.

os estudantes que assinalaram as alternativas c, 18,5%, e E, 6,6%,

provavelmente foram atraídos pela expressão algébrica, que se

assemelha à expressão dos números pares. aqueles que marcaram

a alternativa c iniciaram a sequência dos números pares a partir

do valor 4, enquanto os estudantes que marcaram a alternativa E

iniciaram a sequência pelo número 6.

28+72A B C D E

31,5% 24,1% 18,5% 18,4% 6,6%


18,4%

(M110146E4) Considere a função afim f(x) = 2x + 2, cujos elementos do domínio correspondem aos termos da sequência (1, 3, 5, 7,...). As imagens da função f formam a sequência (f(1), f(3), f(5), f(7),...). Quais são os quatro primeiros termos da sequência (f(1), f(3), f(5), f(7),...)?A) 1, 3, 5 e 7.B) 2, 6, 10 e 14.C) 4, 6, 8 e 10.D) 4, 8, 12 e 16.E) 6, 8, 10 e 12.


(M090314A9) Para lavar um carro com a mangueira aberta, em 30 minutos, gasta-se 540 litros de água. Quantos litros de água podem ser economizados ao se lavar um carro gastando 10 minutos a menos?A) 500 litros.B) 360 litros.C) 180 litros.D) 80 litros.

Este item avalia a habilidade de resolver um problema de

proporcionalidade simples e direta. o contexto envolve a

quantidade de água utilizada para lavar um carro, e o coeficiente

de proporcionalidade é um número inteiro. Este item está situado

no nível avançado da Escala de Proficiência e foi considerado difícil

pelos estudantes.

o item foi corretamente resolvido por 41,4% dos estudantes,

que assinalaram a alternativa c. Poderia se estabelecer que, se

para uma lavagem de 30 minutos gastam-se 540 litros de água,

para 10 minutos seria gasta a terça parte, o que corresponde a

180 litros (540 : 3 = 180).

os estudantes que escolheram a alternativa a como resposta

(15,5%) não conseguiram dar sentido ao problema e buscaram uma

operação aritmética a ser efetuada com os dados do enunciado:

540 – (30 + 10).

Já aqueles que adotaram a alternativa b como resposta (29%)

calcularam o gasto de água em 20 minutos e não a economia de

água feita com a redução de tempo.

os estudantes que assinalaram a alternativa d (12,1%) não conseguiram

compreender a situação, atribuindo uma resposta aleatória.


41,4%

A B C D

15,5% 29,0% 41,4% 12,1%


3

os resultados desta escola no Avalie Ensino médio 2012 são apresentados sob seis aspectos, sendo que quatro deles

estão impressos nesta revista. os outros dois, que se referem aos resultados do percentual de acerto no teste, estão

disponíveis no Portal da Avaliação, pelo endereço eletrônico www.avalieba.caedufjf.net. o acesso aos resultados no

Portal da Avaliação é realizado mediante senha enviada ao gestor da escola.

oS RESUlTAdoS dESTA ESColA


RESUlTAdoS diSPonívEiS no PoRTAl dA AvAliAção

• Percentual de acerto por descritor

apresenta o percentual de acerto no teste para cada uma das habilidades avaliadas.

Esses resultados são apresentados por dIREc, município, escola, turma e estudante.

• Resultados por estudante

É possível ter acesso ao resultado de cada estudante na avaliação, sendo informado

o Padrão de desempenho alcançado e quais habilidades ele possui desenvolvidas

em Matemática e suas tecnologias para a série avaliada. Essas são informações

importantes para o acompanhamento de seu desempenho escolar.

RESUlTAdoS imPRESSoS nESTA REviSTA

• Proficiência média

apresenta a proficiência média desta escola. É possível comparar a proficiência com as

médias do estado, da sua diretoria Regional de Educação (dIREc), e do seu município.

o objetivo é proporcionar uma visão das proficiências médias e posicionar sua escola

em relação a essas médias.

• Participação

Informa o número estimado de estudantes para a realização do teste e quantos,

efetivamente, participaram da avaliação no seu estado na sua dIREc, no seu município

e na sua escola.

• Percentual de estudantes por Padrão de desempenho

Permite acompanhar o percentual de estudantes distribuídos por Padrões de

desempenho na avaliação realizada pelo estado.

• Percentual de estudantes por nível de proficiência e Padrão de desempenho

apresenta a distribuição dos estudantes ao longo dos intervalos de proficiência no

estado, na dIREc e na sua escola. os gráficos permitem identificar o percentual de

estudantes para cada nível de proficiência em cada um dos Padrões de desempenho.

Isso será fundamental para planejar intervenções pedagógicas, voltadas à melhoria do

processo de ensino e à promoção da equidade escolar.


o artigo a seguir apresenta uma sugestão para o trabalho de uma competência em sala de aula. A proposta é que

o caminho percorrido nessa análise seja aplicado para outras competências e habilidades. Com isso, é possível

adaptar as estratégias de intervenção pedagógica ao contexto escolar no qual atua para promover uma ação

focada nas necessidades dos estudantes.

4

dESEnvolvimEnTo dE HABilidAdES


A APliCAção dE RElAçÕES E PRoPRiEdAdES dAS figURAS gEomÉTRiCAS no EnSino mÉdio

conhecimentos sobre “Espaço e forma”, um dos temas

desenvolvidos no ensino da Matemática, são fundamentais para o

desenvolvimento intelectual do estudante. o ensino dos conteúdos

geométricos corresponde a uma relação entre as situações práticas

e o conhecimento de definições e teoremas, que possibilita, ao

estudante, interpretar e aplicar seu raciocínio teórico e prático nas

situações em que se encontre. dentro desse tema, as habilidades

relacionadas à competência “aplicar Relações e Propriedades”,

ao serem apresentadas aos estudantes, muitas vezes mostram-se

desprendidas da realidade, sem uma integração significante com

outras disciplinas do currículo ou até mesmo com outros conteúdos

da disciplina Matemática.

Em estudos da área de Educação, vemos que uma parcela

considerável dos estudantes que ingressam em um curso superior

tem uma base insuficiente sobre o tema. os resultados das avaliações

em larga escala realizados pelo caEd também têm mostrado que,

de modo geral, o estudante não consegue desenvolver de forma

satisfatória as habilidades relativas a essa competência, pois os

itens de teste referentes a ela são pouco acertados. deste modo,

consideramos apropriado abordar alguns aspectos referentes ao

desenvolvimento desta competência, a qual representa uma lacuna

a ser preenchida na prática pedagógica dos professores.

apesar de o foco ser dado para a aplicação de relações e

de propriedades em Matemática, o desenvolvimento desta

competência inicia-se com o conhecimento dos entes geométricos

− ponto, reta e plano − e seus conceitos, formas e aplicações.

a aprendizagem de conceitos associados a medidas de ângulos


se faz igualmente essencial nesse trabalho, onde o estudante

deve, no decorrer do processo educacional, saber diferenciar

medidas de ângulos, calcular suas medidas e conhecer suas

respectivas nomenclaturas (agudo, reto, obtuso e raso). o estudo

de figuras planas poligonais e do círculo também se refere a esta

competência, no que diz respeito ao estabelecimento de relações

entre medidas de lados, ângulos, raio, diâmetro e corda, como

ainda os conceitos de semelhança. Para isso, o estudante deve

conhecer as figuras geométricas poligonais e o círculo, suas

propriedades e suas partes.

com conhecimentos sólidos dessas habilidades de menor

complexidade considera-se a possibilidade de trabalhar soma dos

ângulos internos de um triângulo, a abordagem da lei angular de

tales e, em seguida, a aplicação do teorema de Pitágoras. Esses

conteúdos matemáticos representam conceitos fundamentais para

o estudante no Ensino Médio que, em um grau de dificuldade mais

avançado, ainda desenvolverá conhecimentos acerca das relações

métricas no triângulo retângulo.

o aprendizado da geometria Espacial também representa certa

progressão no desenvolvimento cognitivo para esta competência.

Ela é trabalhada a partir de objetos manipulativos, planificações

e cálculo de volumes até a formalização de algumas relações e

propriedades, principalmente por meio da utilização da relação

de Euler (relacionado ao número de faces, vértices e arestas dos

polígonos). Na geometria analítica, o desenvolvimento refere-se à

identificação, por exemplo, da equação de uma reta e a sua equação

reduzida a partir de dois pontos dados, e reconhecer os coeficientes

linear e angular de uma reta dado o seu gráfico.

Em referência à trigonometria, são apresentados seus conceitos

e são feitas relações entre seus elementos e as razões

trigonométricas no triângulo retângulo, sempre tomando o

cuidado de abordar este procedimento em diversos contextos,

formalizando seus conceitos.


A aprendizagem em sala de aula: desenvolvimento de habilidades por meio de estratégias, hipóteses e resultados

de acordo com os Parâmetros curriculares estipulados para a

educação, o estudante do Ensino fundamental deve ter uma visão dos

diversos campos do conhecimento matemático, sendo que, no Ensino

Médio, ele utilizará esses conhecimentos e poderá desenvolvê-los

de modo mais amplo. Isso significa o desenvolvimento em um grau

de complexidade maior das capacidades de abstração, raciocínio,

resolução de situações -problema, bem como a compreensão e a

interpretação do contexto em que o estudante está inserido.

Sendo assim, buscamos repensar o desenvolvimento cognitivo

da habilidade Reconhecer aplicações das relações métricas do

triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou

espaciais1 relativa à competência “aplicar Relações e Propriedades”,

explicitando a progressão cognitiva e as atividades didáticas que

poderiam ser aplicadas neste contexto.

Nos estudos em Educação Matemática, percebemos a preocupação

com o aspecto sociocultural dos conteúdos, referente à necessidade

de contextualizar o conhecimento, buscando aspectos históricos e

sociais, e a relação de seus objetivos de ensino. Neste caso, cabe

ressaltar que não há uma proposta de abandono da compreensão

teórica ou da aquisição de técnicas, mas de buscar expandir o

conhecimento do estudante, com uma visão completa sobre o

conteúdo abordado.

o teorema de Pitágoras requer habilidades desenvolvidas desde

as séries iniciais do Ensino fundamental até o Ensino Médio,

onde inicialmente é dado um enfoque para a utilização de objetos

manipulativos e, após, são abordadas a formalização da fórmula

utilizada para resolução dos problemas.

a ordem de apresentação de tópicos de Matemática pode ser

diversificada, tanto pelos livros didáticos quanto pela estratégia

1 Em outras palavras, esta habilidade refere-se à capacidade que um estudante tem para reconhecer, em um dado problema com figuras geométricas planas ou espaciais, ocasiões nas quais serão usadas as relações métricas de um triângulo retângulo. Neste caso, com foco em problemas que requerem o uso do Teorema de Pitágoras.


didática do professor e, deste modo, procuramos apontar algumas

propostas de ensino que o educador poderá utilizar em sala de aula.

Em um dos primeiros momentos de desenvolvimento dessa

competência na escola, consideramos a importância em trabalhar

a condição de existência dos triângulos. assim, desde o 5º ano do

Ensino fundamental (Ef), por exemplo, pode-se disponibilizar diversos

materiais manipulativos – como no caso de “varetas” (figura 1) − com

medidas diferenciadas, para que os estudantes façam combinações

com três delas, percebendo, por meio da experimentação, que nem

sempre é possível formar uma figura triangular e que há elementos

que têm relação com a existência ou não de triângulos.

Figura 1

cabe notar, assim, que com as três varetas apresentadas no alto da

figura (figura 1) pode-se formar um triângulo, mas com as outras três

varetas, apresentadas na parte inferior desta mesma figura, não há a

possibilidade de combinação para a formação de um triângulo.

após a percepção de existência dos triângulos, podem ser

trabalhados os seus tipos (acutângulo, retângulo, obtusângulo),

utilizando, ainda, objetos manipulativos. Isso permite, ao estudante,

perceber que a condição de existência, abordada anteriormente,

não garante a construção do triângulo retângulo.

o “esquadro de cordas egípcio” (figura 2), recurso utilizado pelos

antigos egípcios e que pode ser apresentado na sala de aula, é um

rico material a ser utilizado na construção do triângulo retângulo,

possibilitando, ao estudante, verificar a relação de existência dessa


figura. os egípcios tinham o conhecimento do triângulo retângulo

com medidas de 3, 4 e 5 unidades de comprimento para cada lado.

com base nessa informação, eles usavam um pedaço de corda, na

qual davam nós com intervalos de mesmo distância. deste modo,

construíam um esquadro na forma do triângulo retângulo reservando

três, quatro e cinco espaços entre os nós para representar,

respectivamente, os três lados do triângulo. com este instrumento,

era possível verificar em diversas situações, se os elementos

medidos estavam “no esquadro” ou se possuíam ângulos maiores

ou menores que 90º (por exemplo: medidas de cantos de paredes

e mesas, medidas angulares de quadrados e outras figuras, entre

outros).

Figura 2

como apontado nos Parâmetros curriculares, o material concreto

deve ser desencadeador de conjecturas e processos que levem às

justificativas formais, e neste caso, mostramos que podemos pensar

nessa abordagem também para o teorema de Pitágoras.

após esse trabalho de reconhecimento do triângulo retângulo, o

estudante já apresenta condições para chegar à forma do teorema

(anos finais do Ef). vamos pensar em uma atividade!

Podemos solicitar, inicialmente, que o estudante construa um triângulo

com um ângulo de 90º. com base nesse triângulo, pede-se que sejam

feitos esboços de quadrados sobre os catetos e a hipotenusa desse

triângulo (figura 3), isto é, cada quadrado é construído sobre cada lado

do triângulo. Em seguida o estudante calcula as medidas dos lados do

triângulo (utilizando a régua ou outro instrumento de medidas) e as


medidas da área de cada quadrado, buscando relacionar os dados

encontrados. Esse procedimento pode ser repetido para outros

triângulos retângulos e registrados seus resultados (figura 4) até que

se possa apresentar alguma relação entre os dados encontrados

para cada triângulo. a observação das relações e experimentação

dos resultados podem ser aplicadas em outras situações a fim de

testar o modelo matemático encontrado nessa situação. Neste caso,

cabe ressaltar que procedimento aplicado e o modelo matemático

encontrado não se referem a uma prova do teorema de Pitágoras,

mas a uma suposição por meio de tentativa e teste.

Q3

5

4a

b

c

3Q1

Q2 área dos

quadrados

cateto b cateto c hipot. a Q1 Q2 Q3

Figura 3 / Figura 4

Para aplicar este teorema em situações-problema, pode-se iniciar o

estudo com atividades de menor grau de complexidade até alcançar

as mais complexas. Por exemplo, o professor pode solicitar que o

estudante trabalhe situações em um triângulo retângulo que, dado a

medida de dois lados, pede-se para encontrar a medida do terceiro

lado. Isso permite iniciar a utilização do teorema como ferramenta

para resolução de problemas mais básicos, veja (Exemplo 1):

Exemplo 1

de acordo com as medidas indicadas na figura (figura 5), calcule x.

Figura 5


Esse tipo de situação pode ser dificultada de acordo com as variáveis

didáticas envolvidas (letras, rotação do triângulo, dados decimais), pois

o trabalho com o triângulo em uma posição não usual ou com dados não

inteiros interfere diretamente na dificuldade que o estudante encontrará

para resolver um dado problema.

Podemos notar que aplicar o teorema de Pitágoras para resolver

um problema representa uma das fases do desenvolvimento dessa

competência, pois o estudante, ao final do Ensino Médio, deverá

saber aplicar o teorema a qualquer situação semelhante. Ressaltamos,

portanto, que este trabalho pode ser iniciado com grau de complexidade

mais baixa, com a apresentação de problemas para estudantes do 8º

ano do Ef, veja o exemplo abaixo (Exemplo 2):

Exemplo 2

o portão de entrada de uma casa tem o formato retangular (abcd) com

3 metros de comprimento e 2,5 metros de altura. Para que o portão

não perca seu formato original, sugere-se pregar uma trave de madeira

na posição diagonal (ponto b ao d), percorrendo todo o portão, como

temos na figura a seguir:

Qual comprimento essa trave deve ter?

Entretanto, ao abordar este conteúdo com estudantes do 9º ano do

Ef, e todo o Ensino Médio, o grau de complexidade para resolução de

situações- problema − baseada no teorema de Pitágoras − vai crescendo,

culminando em aplicações semelhantes ao exemplo apresentado em

seguida (Exemplo 3).


Exemplo 3

como podemos perceber, a linguagem e o conjunto de habilidades

requisitadas em cada um desses dois problemas são diferenciados,

sendo mais fácil para o estudante resolver o Exemplo 1 do que o

Exemplo 2, sendo esses dois problemas, mais fáceis que o Exemplo 3.

com essas atividades, ressaltamos de forma implícita, o

desenvolvimento de habilidades importantes, tais como a soma

dos ângulos internos de um triângulo (em um trabalho posterior

a existência de triângulos) e a abordagem da lei angular de tales

(complementando o trabalho com o “esquadro de cordas egípcio”),

o que facilita o conhecimento e aplicação do teorema de Pitágoras.

cabe ressaltar ainda, a aplicação desse teorema com figuras

espaciais e relações métricas no triângulo retângulo, as quais

também utilizarão habilidades sobre semelhanças de triângulos e

teorema de Pitágoras.

o trabalho realizado pelo professor, associado aos aspectos

apontados por nós, seja na utilização de objetos manipulativos ou

utilização de conceitos relacionados à modelagem matemática

e à resolução de problemas, pode contribuir no desenvolvimento

de algumas habilidades relacionadas ao tema “Espaço e forma”.

Permitir a aplicação e uso de diversos recursos e metodologias na

sala de aula, permite, ao estudante, construir conceitos mais densos

e significativos relacionados, por exemplo, à aplicação do teorema

de Pitágoras.


AvAliAção E moniToRAmEnTo

a compreensão sobre a gestão de política pública

fica bem evidenciada pela pedagoga Rita de

cássia bastos de carvalho, atualmente exercendo

a função de coordenadora pedagógica da diretoria

Regional de alagoinhas (dIREc 03), ao afirmar que

“a educação é um campo profícuo de formação

para a cidadania moderna e que se configura

como um viés proficiente para o progresso e o

desenvolvimento socioeconômico do estado”.

desse modo, “a implantação de programas de

avaliação no sistema educacional, enquanto

políticas públicas, é fundamental para elaborar

diretrizes básicas, definir metas e estratégias,

diagnosticar os problemas que configuram a

realidade educacional e acompanhar os resultados

das ações técnicas, pedagógicas e de gestão de

recursos, contribuindo, assim, para potencializar a

qualidade da educação no estado ou município”.

conhecer os problemas do sistema educacional

para orientar com maior precisão as políticas

governamentais é uma proposição apresentada

pela professora Rita para a melhoria da qualidade

do ensino. Nesse sentido, a avaliação em larga

escala tem um papel importante enquanto “sistema

avaliativo padronizado e de amplo alcance, de

caráter diagnóstico e regulador, que orienta a

implementação de políticas educacionais voltadas

à melhoria da qualidade do ensino.”

a professora Rita ressalta a importância do avalie

Ensino Médio para “avaliar o desempenho dos

estudantes em diferentes áreas do conhecimento

e nível de escolaridade, subsidiando a formulação

e a implantação de políticas públicas no setor

educacional dos municípios baianos; bem como

monitorar os seus resultados, visando garantir o

direito do estudante a uma educação de qualidade”.

as políticas de monitoramento podem se tornar

mecanismos para a melhoria do ensino, na medida

em que as intervenções realizadas possibilitam

uma reflexão sobre a prática pedagógica e as

demandas apresentadas pelos estudantes possam

ser mediadas de acordo com a necessidade

de cada um. com relação às políticas de

monitoramento para a melhoria da qualidade da

educação, a professora Rita ilustra: “imagine uma

pessoa que está se sentindo mal e foi a uma clínica

médica saber o que estava se passando. assim

que o médico a consultou, diagnosticou que ela

estava com um problema de saúde e precisava

de tratamento imediato. com certeza, os cuidados

médicos com essa pessoa não se acabaram

a avaliação em larga escala possibilita a toda a comunidade escolar

perceber os resultados das ações desenvolvidas, por todos os atores que

atuam no cenário educacional.

EXPERiÊnCiA Em foCo


assim que foi diagnosticada a causa do mal-

estar. Pela natureza do ofício do médico e dada

à realidade do estado de saúde daquela pessoa,

há necessidade de todo um monitoramento da

evolução do seu estado clínico: a medicação

prescrita está fazendo efeito? o quadro clínico

evoluiu? há incidência grave de efeitos colaterais?

as causas foram de fato diagnosticadas? de

maneira análoga, ao pensarmos sobre a avaliação,

compreendemos que ações que acompanhem e

monitorem as questões relativas à evolução do

quadro do ensino público, visando superar os

problemas diagnosticados, em muito contribuirão

para melhorar a sua qualidade”.

a analogia apresentada pela professora Rita

demonstra o seu respeito à diversidade humana

e o conhecimento sobre as dificuldades,

as potencialidades e a necessidade de

acompanhamento ao processo de aprendizagem,

condições essenciais para que a mediação ocorra

de forma significativa.

a dIREc de alagoinhas vem implementando

um trabalho significativo com a utilização da

avaliação em larga escala, compreendendo que

“o processo de avaliação está relacionado à

produção de informações sobre determinada

realidade e é algo que está bastante presente no

cotidiano escolar”, conforme ressalta a professora

Rita. assim, continua ela, os resultados do avalie

são divulgados por meio de relatórios técnico-

pedagógicos para cada escola, dIREc e SEc, e

boletins individuais para os estudantes.

com a divulgação desses resultados, a dIREc 03

realiza uma reunião com os técnicos pedagógicos

do Nupaip Regional, os gestores escolares, os

coordenadores pedagógicos e os articuladores

das áreas de conhecimento. também são

realizadas oficinas separando os interessados por

áreas do conhecimento (linguagens, códigos e

suas tecnologias; Matemática e suas tecnologias;

ciências da Natureza e suas tecnologias e

ciências humanas e suas tecnologias), com o

objetivo de analisar e interpretar os resultados

para o replanejamento das ações pedagógicas

a serem definidas pelas escolas envolvidas no

processo de avaliação.

um exemplo do que vem acontecendo é a ac

colaborativa. conta a professora que “a ac

colaborativa surgiu como uma ação concreta

criada pela coordenação básica (codeb) da

dIREc 03, na direção da professora Rita de cássia

bastos de carvalho, e com apoio pedagógico do

Programa gestar II de alagoinhas – dIREc 03,

pela necessidade de ressignificar as atividades

complementares dos professores; instituir a cultura

de práticas colaborativas nas escolas e acompanhar,

avaliar e intervir no trabalho pedagógico. assim,

a ac colaborativa foi organizada para atender

a necessidade de propiciar diálogos com os

educadores, incentivando-os”. Elas acontecem

em dois turnos (matutino e vespertino), com carga

horária de oito horas e abordam temas sugeridos

pelos participantes, através do preenchimento de

uma ficha de avaliação.

a professora Rita nos lembra que a “avaliação

em larga escala possibilita a toda a comunidade

escolar perceber os resultados das ações

desenvolvidas, por todos os atores que atuam

no cenário educacional. Nesse contexto, a

publicização dos seus resultados se torna um

dos momentos de maior expectativa de gestores,

técnicos pedagógicos do Nupaip Regional,

funcionários, educadores, estudantes e as famílias

são as que revelam as mais sinceras expressões

do seu impacto”.


REiToR dA UnivERSidAdE fEdERAl dE JUiz dE foRAHENRIQUE DUQUE DE MIRANDA CHAVES FILHO

CooRdEnAção gERAl do CAEdLINA KÁTIA MESQUITA DE OLIVEIRA

CooRdEnAção TÉCniCA do PRoJEToMANUEL FERNANDO PALÁCIOS DA CUNHA E MELO

CooRdEnAção dA UnidAdE dE PESQUiSATUFI MACHADO SOARES

CooRdEnAção dE AnáliSES E PUBliCAçÕESWAGNER SILVEIRA REZENDE

CooRdEnAção dE inSTRUmEnToS dE AvAliAçãoRENATO CARNAÚBA MACEDO

CooRdEnAção dE mEdidAS EdUCACionAiSWELLINGTON SILVA

CooRdEnAção dE oPERAçÕES dE AvAliAçãoRAFAEL DE OLIVEIRA

CooRdEnAção dE PRoCESSAmEnTo dE doCUmEnToSBENITO DELAGE

CooRdEnAção dE dESign dA ComUniCAçãoJULIANA DIAS SOUZA DAMASCENO

RESPonSávEl PElo PRoJETo gRáfiCoEDNA REZENDE S. DE ALCÂNTARA

bahIa. Secretaria da Educação

avalie Ensino Médio – 2012/ universidade federal de Juiz de fora, faculdade de Educação, caEd.

v. 1 ( jan/dez. 2012), Juiz de fora, 2012 – anual.

aRaÚJo, carolina Pires; MElo, Manuel fernando Palácios da cunha e; olIvEIRa, lina Kátia Mesquita de; REzENdE, Wagner Silveira.

conteúdo: Revista Pedagógica – Matemática e suas tecnologias – 2ª série do Ensino Médio e Educação Profissional integrada ao Ensino Médio.

ISSN 2238-3077

cdu 373.3+373.5:371.26(05)

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