Engenharia de Processos e Sistemas (EPS)

Equações não-lineares e optimização

Nuno Oliveira

nuno@eq.uc.pt

Departamento de Engenharia Química

Universidade de Coimbra

2013/14

Versão de terça-feira 15 Abril, 2014.

Contactos: Nuno Oliveira (DEQ/FCTUC) — coordenador.

nuno@eq.uc.pt, Tel. 914 006 725, 239 798 742.

Sítios web:

• Oficial: http://e-learn.engiq.pt/moodle/ (temporariamente indisponí-

vel).

• Edições anteriores (e backup): http://www.eq.uc.pt/~nuno/eps/.

Lista de divulgação: Correio electrónico: eps@e-learn.engiq.pt. O arquivo

de mensagens anteriores pode ser consultado em http://e-learn.engiq.pt/

mailman/listinfo/.

Conteúdo

1 Introdução 1

1.1 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Conteúdo e funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Conteúdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 “Background” dos formandos? . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos 11

2.1 Tarefas consideradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Tarefas de natureza conceptual . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2 Tarefas de natureza operacional . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Sistemas disponíveis (ferramentas) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Sistemas operativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Folhas de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Linguagens básicas de programação . . . . . . . . . . . . 21

2.2.4 Linguagens avançadas de programação . . . . . . . . . . 22

2.2.5 Linguagens para modelação e optimização . . . . . . . . 24

3 Solução de sistemas de equações não-lineares 29

3

4 Conteúdo

3.1 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Sistemas não-lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Métodos gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2 Método das substituições sucessivas . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Optimização não-linear 51

4.1 Optimização sem restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Condição necessária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.2 Condição suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Optimização com restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Implementação prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Optimização linear e discreta 61

5.1 Optimização linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.1 Modelos de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Optimização com decisões discretas . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.3 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4 Referências adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Optimização de sistemas descritos por equações diferenciais 65

6.1 Solução de modelos com equações diferenciais — revisão . . . . 69

6.1.1 Solução de problemas de valor inicial (PVI) . . . . . . . . 69

6.1.2 Solução de problemas às condições fronteira (PCF) . . . . 72

6.2 Exemplos de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Bibliografia 79

EPS — Programa EngIQ

Capítulo 1

Introdução

1.1 Objectivos

Fornecer aos estudantes uma visão geral sobre a área de Engenharia de Processos

e Sistemas— EPS (Process Engineering, 2014):

Desenvolvimento e aplicação de metodologias sistemáticas de solução de

problemas (descritos num formalismo matemático) no domínio da Enge-

nharia Química, e em particular de Engenharia de Processos e Produtos.

São exemplos de áreas de aplicação destas metodologias:

• Projecto de processos.

• Desenvolvimento de produtos.

• Concepção de estratégias de supervisão.

• Diagnóstico de funcionamento.

1

2 Introdução

• Optimização de unidades e operações existentes.

• Tratamento de dados e desenvolvimento de modelos.

• Desenvolvimento de estratégias de eficiência energética e ambiental.

Exemplos de aplicação muito diversificados podem ser encontrados em vários

tipos de fontes. Algumas (não exaustivas) são:

• artigos de revisão (Grossmann e Westerberg, 2000).

• referências fundamentais da área (Floudas, 1995; Biegler et al., 1997).

• publicações e conferências periódicas na área (Computers and Chemical

Engineering, 2014; Computer Aided Chemical Engineering, 2014).

• cursos na área (CAPD, 2014; CEPAC, 2011; Oliveira, 2003).

EPS — Programa EngIQ

1.1 Objectivos 3

Características fundamentais:

• A metodologia de procura de soluções favorece o estabelecimento de mé-

todos com carácter sistemático, com procedimentos aplicáveis a diversos

sistemas, suportados na informação disponível sobre estes.

• Os métodos de solução usados procuram, em geral, garantir a qualidade

das soluções encontradas (optimalidade).

• Asmetodologias aplicam-se igualmente a sistemas físicos (e.g., processos

químicos) e a operações (intangíveis) numa organização. Por isso são áreas

afins:

– Investigação operacional (“operations research”).

– Gestão de operações (Figura 1.1). Esta tarefa assume habitualmente

um lugar central de coordenação com outras funções organizacionais

(Figura 1.2).

Figura 1.1 Gestão de operações numa organização (Slack et al., 2013).

EPS — Programa EngIQ

4 Introdução

Figura 1.2 Relação central da gestão de operações com as outras funções numaorganização (Slack et al., 2013).

EPS — Programa EngIQ

1.1 Objectivos 5

• Nesta área, é frequente o reaproveitamento de elementos (problemas) exis-

tentes na definição de estratégias de solução (originando ferramentas).

• São também frequentemente integradasmetodologias diversas (a vários

níveis e com várias facetas).

• Pretende-se abranger neste tratamento todas as escalas dos sistemas quí-

micos, desde asmoléculas até às organizações globais (Figura 1.3). A apli-

cação integrada de diversas metodologias é a via para se atingir a gestão

óptima da cadeia de valor dos processos e produtos químicos.

Figura 1.3 Leque de escalas dos sistemas químicos (Grossmann e Westerberg,2000).

Alguns exemplos de aplicação na área de processos químicos podem ser encon-

trados em Oliveira (2003).

Este domínio é extremamente vasto. Consequentemente será necessário estabe-

lecer um compromisso nas matérias abordadas aqui (nos assuntos tratados e na

sua extensão).

EPS — Programa EngIQ

6 Introdução

1.2 Conteúdo e funcionamento

Necessário elemento de contacto por sítio.

1.2.1 Conteúdo

Ver Ficha da Unidade Curricular (FUC) e o plano de funcionamento.

1.2.2 Avaliação

A avaliação desta unidade curricular terá duas componentes: avaliação contí-

nua (40%) e projecto final (60%), incluindo a sua apresentação e discussão. Os

trabalhos deverão ser realizados em grupos de 2 alunos.

1. Avaliação contínua: 4 mini tarefas / fichas de problemas, nas áreas te-

máticas seguintes, com as datas tentativas de distribuição:

• Solução de equações / optimização contínua (Nuno Oliveira): 25 de

Janeiro.

• Optimização linear / discreta e incertezas (Fernando Bernardo): 7 de

Fevereiro.

• Modelação contínua / sistemas de equações diferenciais (José Paulo

Mota): 22 de Fevereiro.

• Modelação de base estatística e análise de dados (Marco Reis): 8 de

Março.

Opcionalmente estas fichas poderão ser resolvidas, no todo ou em parte,

durante as aulas (ao critério do docente).

As datas de entrega das resoluções destas tarefas são de 2 semanas após

a distribuição, excepto se estipulado em contrário. Caso estes prazos não

EPS — Programa EngIQ

1.2 Conteúdo e funcionamento 7

sejam exequíveis, os alunos deverão contactar o docente respectivo.

2. Projecto final: De acordo com os seus interesses técnico-científicos, cada

grupo deverá escolher uma área de aplicação, para aplicação de uma meto-

dologia de EPS na solução de um problema relevante. Esta aplicação deverá

corresponder a um problema de complexidade superior aos considerados

como exemplos nas aulas e resolvidos nas mini-tarefas, e permitir aferir o

domínio das matérias respectivas.

Prevê-se que os docentes desta unidade curricular disponibilizem apoio

tutorial na realização deste projecto.

Para a alocação dos temas, os alunos devem enviar a seguinte informação

ao docente coordenador da unidade curricular (até ao final da 2a¯ semana

de aulas):

• Constituição do grupo.

• Informação sobre background curricular / interesses científicos.

• Proposta sumária de 1 ou + tópicos (preferências) que gostariam de

analisar.

Mediante a informação recebida o docente coordenador validará as escolhas

realizadas, com possíveis adaptações das propostas recebidas, e indicará

os docentes que poderão fornecer apoio tutorial. A avaliação do projecto

compreenderá um relatório escrito e uma apresentação oral.

Data da apresentação: Sábado, 12 de Abril de 2014, 10h–13h (sessão

presencial na Universidade de Coimbra).

Notar ainda que:

• As classificações atribuídas aos elementos dos grupos reflectem as suas

contribuições individuais, podendo ser distintas dentro do mesmo grupo.

EPS — Programa EngIQ

8 Introdução

• Durante a discussão do projecto final, será efectuada uma apreciação do

trabalho desenvolvido ao longo do trimestre. Apesar de não ser o objectivo

desta discussão a realização de um exame oral, poderão ser abordados

outros tópicos e colocadas aos elementos dos grupos questões sobre di-

versas matérias abordadas nesta unidade curricular, para aferir o grau de

conhecimento de cada elemento do grupo.

• Na última semana de aulas será distribuída uma ficha de auto-avaliação

na disciplina, que deverá ser preenchida e entregue na sessão final de

apresentação dos projectos.

1.2.3 Bibliografia

• Geral: indicada na FUC.

• Notas do curso CIM2003 (Oliveira, 2003).

• Outras referências específicas indicadas em cada aula.

• Elementos adicionais e notas disponibilizados em cada aula.

1.2.4 “Background” dos formandos?

• Formação anterior.

• Programação.

• Métodos numéricos.

• Optimização.

• Modelação avançada.

• Opções em engenharia de sistemas.

• Experiência prática.

EPS — Programa EngIQ

1.2 Conteúdo e funcionamento 9

Conceitos-chave a reter

1. O domínio de Engenharia de Processos e Sistemas (EPS) tem como ob-

jectivo o desenvolvimento de metodologias sistemáticas de resolução de

problemas.

2. As suas aplicações abarcam todas as áreas dos Processos Químicos e a área

genérica de Operações, nas organizações.

3. Para o sucesso desta tarefa é necessário aprender a tratar com eficiência a

complexidade dos problemas resultantes das aplicações anteriores.

EPS — Programa EngIQ

Capítulo 2

Ferramentas básicas na solução de

problemas numéricos

2.1 Tarefas consideradas

• Conceptuais:

– Construirmodelos ou formulações matemáticas dos problemas em

análise.

– Implementar computacionalmente estes modelos numa linguagem

ou sistema.

• Operacionais:

– Resolver sistemas de equações NL.

– Resolver problemas deoptimização. Esta pode originar diversos tipos

de formulações (problemas), que podem ser resolvidos por técnicas

11

12 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos

(algoritmos) distintos.

• Funcionais:

– Análise de sistemas (e.g., diagnóstico).

– Síntese de sistemas ou de procedimentos (e.g., projecto de unidades,

ou de metodologias de gestão e supervisão).

2.1.1 Tarefas de natureza conceptual

Osmodelos dos sistemas em análise constituem sempre a base para as tarefas

anteriores. As suas natureza e origem podem contudo ser bastante distintas:

• Empírica (estatística) ou data-driven— baseada em observações (dados)

do processo.

• Mecanística (fundamentalista)—baseada emprincípios e leis físico-químicos

básicos.

Cada uma destas classes de modelos possui vantagens e desvantagens; por

esta razão nenhuma destas abordagens é em geral superior à outra. É possível

encontrar aplicações onde uma destas metodologias é claramente preferível.

Apesar de a utilização dos modelos mecanísticos ser em geral mais alargada na

descrição de processos químicos, neste domínio (tal como noutros domínios

científicos), a aplicação de abordagens de modelação de base estatística tem

vindo a aumentar, e deu origem a um novo domínio científico denominado

“data science”, que congrega técnicas e abordagens de vários outros domínios

científicos como estatística, aprendizagem computacional, etc. (Data science,

2014).

Muitas universidades oferecem presentemente cursos nestas áreas, alguns do

tipo MOOC1. Estimativas recentes apontam que este domínio poderá movimen-1MOOC —Massive Open Online Course.

EPS — Programa EngIQ

2.1 Tarefas consideradas 13

tar em breve recursos financeiros semelhantes aos de um segmento industrial

tradicional. Uma lista de tópicos actuais nesta área, indexada continuamente de

acordo com a sua popularidade pode ser encontrada em DataTau (2014).

Exemplo 2.1: Cinética de uma reacção química:

Duas formas alternativas de estruturas de modelos para representar velo-

cidades de reacção química:

v = a0T + a1 lnT + a2C2A versus v = A0e−Ea/RTCA

Ambas têm sido usadas com sucesso por alunos deste programa doutoral!

2.1.2 Tarefas de natureza operacional

Sistemas de equações não-lineares:

f (x) = 0; x , f ( · ) ∈ Rn (2.1)

Notação:

α ,β ∈ R; a,x ∈ Rn; A,B ∈ Rn×m

Caso linear: A ·x = b

Este é considerado um problema simples (elementar), sendo portanto frequente-

mente integrado (i.e., considerado como subproblema) na resolução de proble-

mas mais complexos.

Conceitos fundamentais:

EPS — Programa EngIQ

14 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos

• no¯ de graus de liberdade:

nGDL = nVARS − nEQs (2.2)

• Existência e unicidade de soluções (linear vs. não-linear).

• Graus de dificuldade na pesquisa das soluções:

Muitos problemas numéricos são decompostos numa sucessão de problemas

mais simples; Por exemplo, é muito frequente a solução de sistemas lineares de

equações (ou a iteração— aproximação destes problemas).

O problema (2.1) pode também ser generalizado através da solução de um sistema

misto de equações e desigualdades

f (x) = 0, д(x) ≤ 0

ainda com x ∈ Rn , e com f ( · ) ∈ Rm , д( · ) ∈ Rp . Neste caso as restrições quecompõem д(x) podem ser divididas em 2 grupos: as activas na solução x∗ e as

inactivas; as primeiras tornam-se igualdades, e as últimas podem ser ignoradas;

esta propriedade será revisitada na parte de optimização.

EPS — Programa EngIQ

2.1 Tarefas consideradas 15

Exemplo 2.2: Uso de formulação de transportes no projecto de re-

des de recuperação de calor

O diagrama de uma rede de transportes com re-expedição —

“transshipment problem” pode ser representado através do grafo:

→ Optimização linear (LP)

Nesta aplicação é reaproveitada a formulação de um problema simples

(estudado previamente), para resolver e conhecer as propriedades das solu-

ções de um outro problema mais complexo (projecto óptimo de redes de

transferência de calor), decomposto em várias tarefas. Uma destas tarefas

(entender os fluxos de calor numa rede) pode ser interpretada como um

problema de transportes com re-expedição (Papoulias e Grossmann, 1983).

Formulações de optimização:

minx

ϕ(x)

s.a h(x) = 0д(x) ≤ 0

• ϕ(x)→ função objectivo: avalia o mérito das soluções alternativas.

• h(x) = 0, д(x) ≤ 0→ restrições do problema.

• x → variáveis de decisão.

EPS — Programa EngIQ

16 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos

Embora as variáveis do problema x necessitem serem todas especificadas (em

conjunto), nem todas correspondem a graus de liberdade do problema:

nGDL = no. variáveis de decisão−no. restrições activas (igualdades na solução)

Em geral pretende-se que nos sistemas operados nGDL = 0 (i.e., estes estejam

completamente especificados).

Tipicamente ϕ( · ) ∈ R, senão estamos na presença de um problema de optimiza-

çãomultiobjectivo. Em geral x , д, e h são vectores.

A optimização multiobjectivo não é tratada explicitamente aqui. Algumas abor-

dagens são consideradas no Capítulo 4.

Também é possível a inclusão de variáveis discretas (binárias, inteiras) nestes

problemas. Esta possibilidade alarga consideravelmente o tipo de problemas

que podem ser abordados, mas requer técnicas de solução bastante distintas

(Capítulo 5).

2.2 Sistemas disponíveis (ferramentas)

Como utilizá-las:

• Procurar usar sempre os sistemas (ferramentas) mais específicos para a tarefa

em causa. Em geral estes permitemmaiores produtividades, menor esforço,

melhor qualidade de solução.

Exemplo: construção de estradas.

• Útil conhecer (dominar) 1 leque alargado de ferramentas de uso possível

num dado tipo de problemas.

• Útil conhecer ferramentas de uso geral, utilizáveis em muitas classes de

problemas (garantia de resposta).

EPS — Programa EngIQ

2.2 Sistemas disponíveis (ferramentas) 17

Objectivo: Cada aluno (praticante) deve estar familiarizado e ser proficiente

com pelo menos uma ferramenta de cada um dos tipos anteriores.

2.2.1 Sistemas operativos

Sistemas mais comuns: Microsoft Windows, MacOSX, Linux.

• Usar sempre o mais conveniente.

• MacOSX, Linux partilham base comum (UNIX):

– muitos servidores, quase todos da lista TOP500 (2014) são Linux-

based.

– muitas facilidades de programação e muitas ferramentas no domínio

público.

Exemplo: na shell (emulador de terminal — texto):

ls | wc

simul | tee result.txt

– Muita usada a shell (terminal) → necessário conhecer comandos a

usar.

– Quase todas as ferramentas podem ser escolhidas (e personalizadas),

e.g., shells, ambientes gráficos.

– Possível experimentar estes ambientes, usando máquinas virtuais

(emuladores), e.g., VirtualBox, VmWare.

2.2.2 Folhas de cálculo

Programas mais comuns: Microsoft Excel, LibreOffice / OpenOffice.

Características fundamentais:

EPS — Programa EngIQ

18 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos

• Manipulações simples de dados, visualização, introdução e apresentação

de dados (organização).

• Desaconselhável em programação (elaborada), ou folhas com dependências

complexas (por exemplo, difícil de validar / remover erros).

• Constitui ummeio natural de entrada / saída de dados, incluindo interfaces

com outros programas (e.g., bases de dados, outros sistemas, simuladores).

• O solver permite resolver sistemas de equações (L/NL) e optimização (L/NL):

O método numérico básico (versões anteriores do Microsoft Excel) é

o GRG - generalized reduced gradient → robustez numérica intermédia

(anos 70).

O Microsoft Excel 2010 incorpora solversmais variados (e.g., multistart,

evolucionários).

Exemplo 2.3: Simplificação de um problema de optimização por eli-

minação de variáveis

Considere o problema inicial:

minx1,x2

ϕ(x1,x2) = x21 + x22

s.a 3x1 + 2x2 = 4(2.3)

Da igualdade é possível eliminar

x2 = (4 − 3x1)/2 (2.4)

e substituir este resultado na função objectivo ϕ(x1,x2), originando umproblema de optimização sem restrições:

minx1

ψ (x1) = a + bx1 + cx21 (2.5)

EPS — Programa EngIQ

2.2 Sistemas disponíveis (ferramentas) 19

As condições de optimalidade deste tipo de problemas são mais fáceis de

manipular — Secção 4.1. Depois de obtida a solução óptima x∗1 de (2.5),

esta pode ser substituída na equação (2.4) para obter x∗2. O vector (x∗1,x∗2)é a solução do problema original (2.3).

Os métodos do tipo RG (“reduced gradient”) aplicam uma abordagem

conceptualmente semelhante ∼ solução incremental.

• Existe muita documentação (Web, livros) disponível relativamente à utili-

zação dos solvers.

• Outros solversmais específicos estão também disponíveis para o Microsoft

Excel (caixas negras), por exemplo:

@Risk (Palisade Corporation)→ simulação probabilística de cenários.

Exemplo 2.4: Modelo probabilístico de previsão de vendas

Considere um modelo bastante elaborado, que relaciona:

Procura Diesel = f (EVD, IDesempenho,Brent, . . .)

Neste modelo EVD ≡ Câmbio Euro / USD.

Nota: Este modelo pode, por exemplo, ter sido obtido por regressão de

dados de mercado, verificados em períodos anteriores e, apesar de ter a

forma anterior, pode ser estruturado em dados, e não possuir a forma de

uma equação explícita.

Exemplos de curvas de distribuição probabilística dos dados de entrada,

para utilização no modelo anterior são indicados na Figura 2.1. Os resul-

tados produzidos estão indicados na Figura 2.2.

Nota: Esta utilização é inteiramente como caixa negra (evitar, devido aos

riscos associados!).

EPS — Programa EngIQ

20 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos

→

Figura 2.1 Dados de entrada de previsão do preço do Brent e da procura —distribuições probabilísticas.

Figura 2.2 Exemplo de utilização do solver @Risk.

Nota: O estudo do efeito de incertezas nas soluções, e a optimização robusta

(analisando e controlando o efeito das incertezas) é um aspectomuito importante

na utilização prática das soluções obtidas, sendo por isso abordado mais à frente.

EPS — Programa EngIQ

2.2 Sistemas disponíveis (ferramentas) 21

2.2.3 Linguagens básicas de programação

Estas implementam sistemas capazes de realizarem cálculos numéricos e proces-

samento de dados arbitrários. Exemplos mais comuns: Fortran, C/C++, Visual-

Basic, Python, etc.

• A codificação directa da sequência de cálculos é da responsabilidade do

utilizador)→ linguagens imperativas.

• O Fortran continua a ser muito usado em cálculo numérico (eficiência,

bibliotecas anteriores muito extensas); actualmente tem funcionalidades

muito semelhantes à linguagem C, cuja evolução tem tentado acompanhar.

• C++, Python: object based (orientadas por objectos)→ programação mais

avançada. Amodularidade permite criar mais facilmente sistemas demaior

dimensão. A linguagem C++ é compilada (permitindo > velocidade), e a

linguagem Python é interpretada (mas existem outras alternativas).

• Estas linguagens são usadas em tarefas muito repetitivas, na manipulação

de sistemas de grandes dimensões, ou quando é necessário obter grande

eficiência numérica.

A programação neste tipo de linguagens recorre geralmente a bibliotecas, que

contêm código (organizado em funções ou rotinas), para a implementação de

tarefas específicas.

Bibliotecas numéricas→ NETLIB <http://www.netlib.org>.

Bibliotecas numéricas básicas mais comuns: BLAS, LAPACK. Frequentemente os

sistemas incluem versões optimizadas destas (e.g., Intel MKL).

EPS — Programa EngIQ

22 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos

2.2.4 Linguagens avançadas de programação

Estas são sobretudo + específicas do domínio de aplicação pretendido. Alguns

exemplos mais comuns são: MATLAB / Octave, Mathematica.

• Para além das funcionalidades das linguagens básicas, permitem a mani-

pulação matricial, e de outros objectos, e incluem sistemas gráficos.

• É possível estabelecer interfaces com outros sistemas e linguagens (depen-

dendo das facilidades do sistema operativo).

• Outros paradigmas (modelos) de programação são também tornados possí-

veis (e.g., programação baseada em listas, programação funcional).

• Permitem (incentivam) a programação interactiva → desenvolvimento

rápido de aplicações.

• A eficiência numérica pode ser inferior à da conseguida com linguagens

de programação básicas. No entanto, a optimização destas aplicações (por

exemplo através da vectorização) já permite eficiências comparáveis.

MATLAB / Octave

Existemmuitas referências disponíveis na Internet, e.g., Sigmon (1992); Selhofer

et al. (2008).

GNU Octave: <http://www.gnu.org/software/octave/>. John W. Eaton, Uni-

versidade de Wisconsin, ChemE!

O Octave possui (ainda) algumas diferenças importantes face a MATLAB (nome-

adamente interface gráfico — Java, e muitas bibliotecas adicionais); no entanto

mantém-se a compatibilidade como objectivo fundamental.

Os objectos básicos são matrizes. Alguns exemplos de comandos são:

EPS — Programa EngIQ

2.2 Sistemas disponíveis (ferramentas) 23

A = [ 1 2; 3 4];

b = [1 ; 2];

x = A\b (divisão à esquerda)

Testar outras funções sistema de ajuda (help), por exemplo:

eig(A)

Possíveis testes lógicos (if) e ciclos de iteração (for), etc., de forma semelhante

às linguagens básicas.

Mathematica

Esta linguagem foi concebida desde o início para permitir amanipulação simbólica

de objectos matemáticos. Permite por exemplo o uso de precisão infinita nos

cálculos efectuados.

Outra vantagem desta linguagem é a de incorporar muitas funcionalidades que

permitem a integração de vário modelos de programação (por exemplo, impera-

tiva, funcional, baseada em regras de substituição, etc.).

Uma descrição extremamente detalhada desta linguagem pode ser encontrada

em Wolfram (2003). A 1a¯ parte deste livro apresenta uma visão geral sobre o

sistema. Devido à extensão das modificações introduzidas em cada nova versão

do programa, esta referência deixou de ser no entanto actualizada. Uma outra

abordagem, de carácter mais pedagógico, é descrita por Wellin (2013). Blachman

(1992) apresenta uma introdução extremamente sucinta a este sistema. Por

seu lado, Wagner (1996) efectua uma discussão mais aprofundada das facilida-

des disponíveis neste sistema, incluindo uma comparação com os paradigmas

encontrados noutras linguagens de programação.

EPS — Programa EngIQ

24 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos

2.2.5 Linguagens para modelação e optimização

• GAMS: <http://www.gams.com/>.

• AMPL: <http://www.ampl.com/>.

• AIMMS: <http://business.aimms.com/>.

• LINDO: <http://www.lindo.com/>.

• FICO Xpress: <http://www.fico.com/>.

• lpsolve: <http://sourceforge.net/projects/lpsolve/>.

• Diversas bibliotecas numéricas e projectos deste tipo de carácter aberto

estão disponíveis através do projecto COIN-OR em <http://www.coin-or.

org/>. A sua utilização pressupõe uma boa familiaridade com os tipos de

modelos, e linguagens de programação (expert level).

Nestes sistemas apenas é necessário fornecer as equações que descrevemo

problema (i.e., a sua formulaçãomatemática). Evita-se assim a necessidade

de chamar rotinas / funções, ou verificar argumentos (parâmetros) de

passagem de informação entre estas. Quando são necessárias derivadas,

estas são obtidas directamente das equações do modelo. A mudança de

solver numérico é possível com a mudança de uma única opção no código

original.

EPS — Programa EngIQ

2.2 Sistemas disponíveis (ferramentas) 25

A linguagem GAMS será muito usada neste curso, pelo que será necessário

adquirir uma (boa) familiaridade com esta. Serão apresentados diversos

exemplos, com complexidade crescente. Está igualmente prevista uma

aula relativa a esclarecimento de aspectos de utilização avançada.

Esta linguagem possui bom suporte comercial, muitos manuais e exem-

plos (bibliotecas extensivas, etc.) → instalar versão de demonstração /

estudante.

• Solvers: bibliotecas numéricas para tipos específicos de sistemas.

• Como codificar os modelos matemáticos? (limitações e paradigmas dis-

tintos destas linguagens). Diversas formulações possíveis para o mesmo

problema possuem a mesma eficiência?

• Os modelos assim desenvolvidos são conjuntos de equações. Torna-se difícil

portanto a implementação de procedimentos.

Aqui considerados apenas alguns exemplos de aplicação; muitos outros podem

ser encontrados nas referências indicadas.

Fourer et al. (2003); Brooke et al. (2005) constituem referências adicionais para

este capítulo.

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26 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos

Exemplo 2.5: Problema de transportes

Este problema é considerado no Capítulo 2 do manual do GAMS (tutorial).

O grafo correspondente é:

A sua formulação matemática fica:

minxi j

∑i

∑j

ci jxi j

s.a∑i

xi j ≥ pj , ∀j∑j

xi j ≤ si , ∀i

xi j ≥ 0, xi j ∈ R

Este é um problema do tipo LP, com xi j ∈ R. A implementação em GAMS é

considerada no ficheiro trnsport.gms.

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2.2 Sistemas disponíveis (ferramentas) 27

Exemplo 2.6: Problema de atribuição (“assignment”)

Aqui é necessário usar variáveis binárias yi ∈ {0,1} para codificar decisões:

yi =

1, se opção i escolhida

0, se opção i não escolhida

A formulação matemática fica:

maxyi

∑i

viyi

s.a∑i

eiyi ≤ M

yi ∈ {0,1}

Este é umproblemado tipo ILP. A implementação em GAMS está noficheiro

mochila1.gms.

Nota: Os algoritmos necessários neste caso são bastante diferentes do

caso anterior: o conceito de derivada não existe com variáveis discretas,

mas em alternativa torna-se possível agora o estudo de combinações de

possibilidades (cenários), que são finitos.

Desafio: Como explorar o espaço de combinações de forma exaustiva, e

simultaneamente compouco esforço?→métodos de enumeração implícita,

abordados no Capítulo 5.

Conceitos-chave a reter

1. Osmodelos dos processos ou operações desempenham um papel crucial

nesta tarefa, porque expressam todas as relações de causa / efeito associa-

das aos sistemas em estudo. Consequentemente, as tarefas de

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28 Ferramentas básicas na solução de problemas numéricos

• desenvolvimento / aperfeiçoamento de modelos;

• manipulação de modelos;

são vitais na aplicação das metodologias de EPS, e são elas próprias objecto

de estudo nesta área.

2. Amanipulação eficaz destesmodelos requer a disponibilidade (e o domínio)

de ferramentas (sistemas computacionais) especializados.

3. Uma análise de graus de liberdade— equação (2.2) é essencial para clas-

sificar o tipo de problema em causa, apesar de nos sistemas operados se

pretender sempre atingir nGDL = 0 .

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Capítulo 3

Solução de sistemas de equações

não-lineares

Tal como visto anteriormente, a solução de sistemas de equações NL é uma tarefa

numérica muito frequente na manipulação de modelos:

Avaliação do modelo ' previsão do comportamento de um sistema para

um conjunto de condições específicas (nGDL = 0).

Objectivos: Compreender e dominar:

1. Quais os tipos de métodos que podem ser usados, e quando (óptica de

utilizador).

2. Quais os métodos mais eficazes num dado problema, e porquê. Qual o tipo

de esforço mínimo necessário para a solução de um problema deste tipo.

3. Quais os cuidados a ter na formulação matemática deste tipo de problemas.

29

30 Solução de sistemas de equações não-lineares

(Nota: Este assunto é partilhado com os problemas de optimização, sendo

considerado no capítulo seguinte).

4. Quais os sistemas (ferramentas) que nos podem ajudar na resolução deste

tipo de problemas.

Estes objectivos são também comuns aos métodos descritos no Capítulo 4, dedi-

cado à optimização não-linear. Existem diversos aspectos de proximidade entre

a solução de sistemas de equações e a optimização, que serão evidenciados no

decurso destes capítulos.

3.1 Sistemas de equações lineares

Sistemas lineares (L) são muito comuns, por exemplo como subtarefas de outros

métodos numéricos:

A ·x = b , com A ∈ Rn×n , x ,b ∈ Rn

A unicidade da solução está garantida neste caso, se car(A) = n (i.e., A for

não-singular).

Estão disponíveis métodos directos (e.g., eliminação Gaussiana) ou iterativos (e.g.,

Gauss-Seidel), para a solução destes sistemas (Oliveira, 2006).

A expressão geral destes métodos iterativos é:

xk+1 = f (xk )

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3.2 Sistemas não-lineares 31

x1 = f (x0) ← fornecido

x2 = f (x1)x3 = f (x2)...

Garantias de convergência?

Por vezes métodos iterativos podem ser preferíveis, e.g.:

• Matrizes esparsas.

• Sistemas de grandes dimensões.

• Apenas solução parcial (aproximação) desejada.

Bibliotecas básicas que permitema solução deste tipo de problemas: BLAS, LAPACK

(NETLIB).

Em geral, é possível a solução de problemas deste tipo de larga escala (e.g., 106

variáveis), sem dificuldades de maior.

3.2 Sistemas não-lineares

A forma geral destes problemas é:

f (x) = 0 , com f , x ∈ Rn

A maioria dos modelos em engenharia são deste tipo.

Exemplo: CSTR (RCPA), ondeC(T ) eT (C) simultaneamente (balanços de massae energia).

Neste caso não há em geral garantias de existência de soluções para este tipo

de sistemas. Quando as soluções existem, elas podem ser múltiplas (quais as +

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32 Solução de sistemas de equações não-lineares

interessantes?).

Diversos métodos básicos podem ser usados na solução deste tipo de sistemas:

3.2.1 Métodos gráficos

Se apenas uma variável no sistema, a localização pode ser feita graficamente

(Figura 3.1). Devem no entanto ser usadas algumas precauções na utilização

deste método!

Figura 3.1 Localização das soluções de uma equação através do método gráfico.

Este método pode também ser aplicado com 2 equações / variáveis, usando

gráficos 3D. Para sistemas de maior dimensão a aplicação deste método requer a

eliminação de algumas variáveis a partir de algumas equações (caso a caso).

Exemplo 3.1: Demonstração da multiplicidade de estados estacio-

nários num RCPA

Por eliminação de variáveis (C) a partir do balanço de massa, e substitui-

ção dos termos resultantes no balanço energético, é possível identificar

2 contribuições nesta equação: f1(T )— calor adicionado / removido na

entrada e saída, e f2(T )— calor gerado por reacção química (Figura 3.2).

As possíveis soluções (estados estacionários do sistema) correspondem

aos pontos onde f1(T ) = f2(T ).

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3.2 Sistemas não-lineares 33

Figura 3.2 Identificação da multiplicidade de estados estacionários num RCPA.

3.2.2 Método das substituições sucessivas

Neste caso pretende-se transformar o sistema inicial f (x) = 0 num sistema equi-

valente, da forma x = д(x), afim de possibilitar a aplicação do método iterativo

xk+1 = д(xk )

Existe frequentemente mais do que uma maneira de conseguir isto. Quando

isto acontece, nem todos os métodos do tipo anterior são igualmente eficientes.

Vários exemplos são considerados em seguida.

Exemplo 3.2: Substituições sucessivas — caso simples

Uma equação do tipo x − exp(−x) = 0 pode ser rearranjada como

x − exp(−x) = 0 ⇒ xk+1 = exp(−xk )

Nota: As raízes deste sistema podem ser facilmente localizadas pelo

método gráfico.

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34 Solução de sistemas de equações não-lineares

Figura 3.3 Diagrama de fabrico considerado no Exemplo 3.3.

Exemplo 3.3: Simulação de diagramas de fabrico

Considere o diagrama de fabrico apresentado na Figura 3.3.

Se a corrente 6 ≡ corrente quebrada→ origina correntes x6a e x6b , durante

a aplicação deste método.

Os balanços ao processo (por exemplo, mássicos) podem ser escritos

como:n2 = n1 + n6a

n3 = f1(n2,u1)n4 = f2(n3,u2)n6b = n4 − n5

⇒ n6b = д(n1,n6a) (3.1)

• ni — quantidades da corrente i (e.g., caudais).

• uj — parâmetros da unidade j.

• fj —modelo matemático da unidade j.

O sistema de equações (3.1) deve ser considerado como alternativa à

solução simultânea de todas as equações do sistema:

f (n,u) = 0

Este problema é claramente de maior dimensão, e consequentemente

mais difícil de resolver (tipicamente).

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3.2 Sistemas não-lineares 35

Deve ser notado que a avaliação destes modelos correspondentes a cada

bloco pode requerer a solução de outros conjuntos de equações (e.g.,

modelos termodinâmicos de equilíbrio), ou a aplicação de outros métodos

numéricos (e.g., modelos diferenciais de contacto). No entanto, serão

sempre problemas de menor complexidade do que a solução do modelo

global do processo, e daí a atractividade deste procedimento.

Neste processo de solução, é necessário iterar (3.1) até se atingirn6b = n6a .

Cada iteração envolve a resolução do modelo completo do processo, con-

siderando no entanto apenas as equações de cada unidade (ou ponto de

mistura / separação) individualmente. Por isso torna-se importante a

convergência rápida destes métodos.

Este procedimento é muito comum, sendo por exemplo utilizado por

defeito pelo ASPEN One, uma vez que requer pouco esforço adicional, para

além da iteração das correntes.

Esta abordagem é descrita como sequencial-modular, em alternativa à

abordagem de solução simultânea, onde omodelo completo da instalação

é considerado em conjunto.

São necessários procedimentos adicionais para decidir quais as correntes

que devem ser quebradas (iteradas). No caso anterior, as correntes 2, 3, e

4 também servem.

A metodologia de solução sequencial utilizada no exemplo anterior apresenta

algumas semelhanças com a estratégia seguida na simplificação do problema de

optimização considerada no Exemplo 2.3.

Problema 3.1

Verificar a afirmação anterior (correntes 2, 3 e 4), indicando o procedi-

mento de cálculo a ser seguido. Compare o esforço em cada caso.

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36 Solução de sistemas de equações não-lineares

Exemplo 3.4: Raízes de equações polinomiais

No caso de funções polinomiais, são possíveis em geral vários rearranjos

do tipo

x5 − 4x2 − 4 = 0 → xk+1 = ±5√· · ·

Embora isso não simplifique habitualmente a expressão obtida, uma

regra heurística para estes casos indica que se deve tentar isolar do lado

esquerdo a maior potência da expressão polinomial (porquê?).

Existem algumas questões a responder para usar este método com segurança:

1. Quando converge? (propriedades globais).

2. Se convergir, qual a sua rapidez de convergência? (propriedades locais).

Teorema 3.1: Convergência do MSS

Para o método das substituições sucessivas (MSS) correspondente à aplica-

ção da fórmula iterativa xk+1 = д(xk ) convergir, é necessário que a funçãoд tenha as características de função contractiva (“contractive mapping”).

Se ‖д′(x)‖ < 1 então д(x) é uma aplicação contractiva, e o método MSS anteriorconverge (condição suficiente) — Figura 3.4.

Para esta análise, é necessário rever os conceitos de normas vectoriais (Oliveira,

2006):

• Com vectores, as normas representam essencialmente os conceitos de

distância ou tamanho de vectores.

• Paramatrizes (A), as normas traduzemo conceito de amplificação associada

ao operador linear correspondente y = A ·x .

Rapidez de convergência: Quando ‖д′(x)‖ → 0 a convergência torna-se mais

rápida.

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3.2 Sistemas não-lineares 37

Figura 3.4 Ilustração da aplicação de um método iterativo correspondente auma aplicação contractiva.

Questão fundamental: como escolher д(x)? Resposta complexa→ considerar

outros tipos de métodos.

3.2.3 Método de Newton

Método muito conhecido na sua aplicação unidimensional. Para x ∈ R:

xk+1 = xk −f (xk )f ′(xk )

Em problemas multidimensionais (x ∈ Rn):

f (xk ) , 0

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38 Solução de sistemas de equações não-lineares

Expansão em série de Taylor:

f (xk + h) = f (xk ) + ∇f (xk )T︸ ︷︷ ︸J Tk

·h + · · · = 0 (3.2)

JTk ≡ Jacobiano do sistema.

Resolvendo (3.2) em ordem a h resulta o método iterativo de Newton:

JTk ·hk = −fk (3.3)

Depois faz-se

xk+1 = xk + hk (3.4)

Nesta equação fk ≡ f (xk ).

Consequentemente torna-se necessário resolver um sistema de equações lineares

por iteração no método de Newton (A ·x = b).

Este método iterativo pára quando ‖hk ‖ ≤ ϵ1 e ‖fk ‖ ≤ ϵ2. Em geral é necessário

usar vários destes critérios simultaneamente.

Revisão de operadores diferenciais: Considerando uma função escalar ϕ( · ) ∈ Re uma função vectorial f ∈ Rn é possível definir as suas derivadas de 1a¯ ordem

forma semelhante, usando operadores diferenciais apropriados:

• Gradiente:

∇ϕ =

∂∂x1∂

∂x2...

∂∂xn

ϕ =

∂ϕ∂x1∂ϕ∂x2...

∂ϕ∂xn

∈ Rn (3.5)

Aplicável a funções escalares, origina um vector.

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3.2 Sistemas não-lineares 39

• Jacobiano:

J ≡ ∇f T =

∂∂x1∂

∂x2...

∂∂xn

[f1 f2 · · · fn

]=

∂f1∂x1

∂f1∂x2

· · ·∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · ·∂f2∂xn

....... . .

...

∂fn∂x1

∂fn∂x2

· · ·∂fn∂xn

∈ Rn×n

Aplicável a funções vectoriais, origina uma matriz.

Uma descrição mais detalhada do método de Newton para sistemas de equações

pode ser encontrada em Oliveira (2006).

Convergência do método de Newton:

Tal como nos métodos de substituições sucessivas com a fórmula iterativa gené-

rica xk+1 = д(xk ), para avaliarmos a utilidade prática do método de Newton (3.3),necessitamos de caracterizar as suas propriedades de convergência.

• Rapidez (propriedades locais): convergência quadrática (bastante rápida) —

mais detalhes em Oliveira (2006):

‖x∗ − xk+1‖‖x∗ − xk ‖2 ≤ c

Por exemplo:

ek = ‖x∗ − xk ‖ = 10−2

ek+1 = 10−4

ek+2 = 10−8

ek+3 = 10−16, etc.

• Propriedades globais (domínio de convergência)— quais as estimativas ini-

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40 Solução de sistemas de equações não-lineares

ciais que podem ser usadas com sucesso?

Na análise das propriedades globais é conveniente construir uma analogia entre

solução de sistemas de equações e optimização sem restrições através dos 2 proble-

mas semelhantes:

f (x) = 0 e minx

ϕ(x) = 12f T(x). f (x) = 1

2

∑x

f 2i (x)

Ilustração unidimensional (1D):

f (x) = 0 minx

12

∑x

f 2i (x)

Nas notas manuscritas mostra-se que no método de Newton dado pela equa-

ção (3.3), hk é sempre uma direcção de descida garantida para ϕ(x) anterior.

Isto permite assegurar a convergência global do método de Newton, desde que

o passo dado nesta direcção não seja demasiado grande!

Para isso é conveniente modificar a equação (3.4) adaptando o tamanho do passo

a usar

xk+1 = xk + αhk (3.6)

onde α ∈ R é um parâmetro ajustável, que tem que ser escolhido (adaptado)

durante a aplicação do método iterativo.

A equação (3.6) define também uma estratégia para solução de problemas de

optimização, partilhada por muitos métodos numéricos:

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3.2 Sistemas não-lineares 41

1. Escolher a direcção de pesquisa a investigar (hk oudk ), específica dométodo

usado.

2. Escolher o tamanho do passo α apropriado nesta direcção.

Nota: Em alternativa é possível pensar na aplicação dos passos anteriores em

ordem inversa: fixar 1o¯ o tamanho do passo apropriado (olhando por exemplo,

para o progresso conseguido nas últimas iterações), e escolhendo depois a di-

recção mais apropriada. Esta estratégia é usada por exemplo nos métodos de

regiões de confiança (descrito mais à frente).

O procedimento anterior torna bastante importante a fase de pesquisa linear

como componente (comum) da aplicação de métodos iterativos:

Mesmo com x ∈ Rn este passo é sempre uma pesquisa linear!

O passo apropriado (α) deve ser escolhido tendo em conta:

• Amaior rapidez de convergência dométodo. Por exemplo, no caso dométodo

de Newton deve ser usado α = 1, sempre que possível.

• A garantia da propriedade de descida de ϕ(x).

• Este passo não conduz à localização exacta do óptimo de ϕ(x). Por outrolado, qualquer novo ponto de ϕ(x) investigado ao longo desta linha requeruma nova avaliação da função objectivo, o que pode ser pesado. Desta

forma são habitualmente privilegiados métodos de pesquisa linear inexacta:

o mínimo de ϕ(x) na direcção dk não é localizado; apenas são excluídas as

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42 Solução de sistemas de equações não-lineares

regiões sombreadas na Figura anterior (gamas de α perigosas).

Escolha do passo mais apropriado: pesquisa linear inexacta (Armijo, 1966) —mais

detalhes nas folhas manuscritas:

1. Propor inicialmente α = 1 (valor máximo usual).

2. Avaliar ϕ(xk + αdk ).

3. Se progresso suficiente, i.e.

ϕ(xk + αdk ) suficientemente menor que ϕ(xk )

aceitar α , e terminar a pesquisa.

4. Caso contrário, propor um novo valor de α por interpolação quadrática /

cúbica de ϕ, usando os valores já conhecidos (anteriores) de ϕ(xk + αdk ), evoltar ao passo 2.

Considerando Φ(α) ≡ ϕ(xk + αdk ) os valores anteriores da função que podem ser

usados para interpolação são:

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3.2 Sistemas não-lineares 43

Ψ(0)→ ϕ(xk )Ψ(1)→ ϕ(xk + dk )Ψ′(0)→ derivada direccional de ϕ(x) na origem.

. . .o último valor de Ψ(α), a partir da 2a¯ iteração.

Algoritmo do Método de Newton globalizante:

1. Fixar x0.

2. Avaliar fk ≡ f (xk ), Jk .

3. Resolver JTk hk = −fk , obtendo dNewt,k ≡ hk . Se dNewt,k não estiver definida,

modificar o sistema linear anterior, e obter a solução deste.

4. Encontrar αk apropriado através de uma pesquisa linear inexacta (testar

sempre α = 1, inicialmente). Depois, fazer:

xk+1 = xk + αkdNewt,k

5. Se ‖dNewt,k ‖ ≤ ϵ1 e ‖fk ‖ ≤ ϵ2, terminar. Caso contrário voltar ao passo 2 coma estimativa actualizada xk+1.

Devido às suas múltiplas vantagens, o método de Newton anterior é muito

usado para resolver sistemas de equações diferenciais. Este pode ser aplicado

como método numérico dentro de outro método numérico (por exemplo, em

optimização, ou na resolução de equações diferenciais); daí ser importante tentar

preservar a sua eficiência numérica.

Apesar das vantagens anteriores, a aplicação do método de Newton anterior

(puro) nem sempre é possível, ou conveniente. No entanto, dadas as vantagens

anteriores, é possível considerar diversas modificações no algoritmo base para

ultrapassar este problema:

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44 Solução de sistemas de equações não-lineares

Aproximação de Jk por diferenças finitas: Esta modificação é usada quando as

derivadas de f (x) não podem ser calculadas facilmente. Por exemplo f (x) podecorresponder a um programa de simulação tipo caixa negra, que não é possível

alterar, nem conhecer. Outras vezes as derivadas de f (x) podem ser calculadas,

mas o esforço é demasiado grande.

Neste caso as derivadas necessárias são aproximadas por diferenças finitas

f ′(xk ) = f (xk + ϵ) − f (xk )ϵ

(3.7)

com ϵ pré-especificado. A fórmula anterior produz uma aproximação de 1a¯õrdem.

Podem ser usadas outras fórmulas de aproximação, com erros e esforços requeri-

dos distintos. Mais detalhes sobre estes métodos estão disponíveis em Oliveira

(2006).

• O número de avaliações da função objectivo cresce substancialmente neste

caso. Por exemplo, quando (3.7) é usada, são necessárias n + 1 avaliações

da função f (x) ∈ Rn (verificar).

• O parâmetro ϵ deve ser escolhido criteriosamente para minimizar os erros

resultantes da aplicação da equação (3.7), e sobretudo para evitar a sua

aplicação catastrófica Oliveira (2006).

• Como resultado da observação anterior, as propriedades de convergência

do método base podem ser perdidas, neste caso, no todo ou em parte.

Substituição de tangentes por secantes: Método descrito em Oliveira (2006).

Necessário obedecer sempre à equação das secantes:

Bk (xk − xk−1)︸ ︷︷ ︸sk

= (f (xk ) − f (xk−1))︸ ︷︷ ︸yk

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3.2 Sistemas não-lineares 45

Esta equação tem a mesma estrutura que a equação (3.3), usada como base no

método de Newton; apenas a estrutura é diferente (secantes agora):

Quando x ∈ Rn a matriz Bk não está definida unicamente.

Método de Broyden (actualização mínima — cauteloso):

Bk = Bk−1 +(yk − Bk−1sk )sTk

sTk sk

Mais detalhes e exemplo de aplicação em Oliveira (2006).

Para além destasmodificações nométodo de Newton, baseado na estratégia (3.6),

é possível usar uma metodologia de solução diferente.

Métodos de regiões de confiança Nesta classe de métodos, ao contrário de (3.6),

é usada uma estratégia distinta:

1. Em função do sucesso conseguido nas últimas iterações (nos métodos

anteriores seria o α . . . ), propor (i.e., fixar) um passo expectável: δk → raio

de confiança actual, a considerar nesta iteração. Deste modo, força-se a

que:

‖xk+1 − xk ‖2 ≤ δ

2. Determinar a melhor solução do problema (direcção) dentro da região de

confiança actual.

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46 Solução de sistemas de equações não-lineares

3. Com base no progresso obtido na última iteração (esperado versus real),

actualizar o raio de confiança.

A versão deste método para resolução de sistemas de equações não-lineares é

aplicada como:

minx

‖f (x)‖2s.a ‖h‖2 ≤ δ

A aplicação destes métodos resulta, geralmente, em problemas de optimização

com restrições de estrutura especial, que podem ser tratadas facilmente.

Estes métodos consideram explicitamente que os modelos aproximados de f (x)(por exemplo a aproximação linear no método de Newton) apenas são válidos

numa vizinhança do ponto actual. Consequentemente, se a solução apontada

por estes modelos aproximados estiver fora do raio de confiança actual, estas

soluções devem ser evitadas.

Detalhes adicionais sobre estas matérias podem ser encontradas em Dennis Jr. e

Schnabel (1983); Nocedal e Wright (2006).

Exemplos de aplicação

Alguns exemplos simples são apresentados em Oliveira (2006). Outros exemplos

(TPCs anteriores):

1. Determinação da temperatura de flash de umamistura com 3 hidrocarbone-

tos. Considerar P = 1 atm, modelos de propriedades físicas ideais, equação

de Antoine para a pressão de vapor. Admitir que a fracção vaporizada

(molar) é 1/2.

2. Escolher, a partir da literatura, uma sistema binário com um azeótropo

homogéneo (por exemplo, álcool + água, hidrocarboneto + álcool). Usando

EPS — Programa EngIQ

3.2 Sistemas não-lineares 47

o modelo NRTL, desenhar os diagramas de equilíbrio y − x e T − x − y, e

comparar estas previsões com os dados experimentais. Este modelo de

equilíbrio pode ser descrito como:

lnγi =LiMi+

∑j

x jGi j

Mj(τi j − Lj

Mj)

Li =∑k

xkτkiGki , Mi =∑k

xkGki

Gi j = exp(−αi jτi j )

τi j =(дi j − дii )

RT=

∆дi j

RT, i , j, e τi j = 0, i = j

Considerar a fase de vapor ideal, e usar o modelo NRTL para determinar

os coeficientes de actividade γi,L da fase líquida. Usar a equação de An-

toine para a pressão de vapor dos compostos puros. A equação base para

descrever o equilíbrio L-V será:

yiP = γi,LxiPsati (T )

Em Floudas et al. (1999), são referenciados métodos disponíveis para detec-

tar a presença de azeótropos nas simulações de equilíbrio de fases. Sandler

(2006) fornece uma descrição adicional deste tipo de modelos, e apresenta

muitos exemplos de aplicação (equilíbrios L-V, e L-L), alguns contendo

dados experimentais que podem ser usados para comparação com as previ-

sões do modelo. Oliveira (2013) apresenta exemplos de regressão de dados

de equilíbrio L-L descritos por este modelo, e discute aspectos práticos de

implementação.

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48 Solução de sistemas de equações não-lineares

Conceitos-chave a reter

1. A solução de sistemas de equações NL é uma tarefa muito comum na área

de EPS, correspondendo à manipulação de modelos com nGDL = 0.

2. Em geral este problema pode ou não ter soluções. Daí serem preferidos

métodos de aplicação simples, que possam produzir respostas completas

(quantas soluções podemos garantir, e onde).

3. Para problemas de pequena dimensão, é possível a aplicação demétodos

gráficos.

4. Para problemas com poucos graus de liberdade, a aplicação do método das

substituições sucessivas pode ser tornada semelhante ao uso dos métodos

gráficos anteriores (Exemplo 3.3).

5. Em sistemas com estrutura especial de interligação (por exemplo diagramas

de fabrico, ou outros esquemas de organização), a aplicação de métodos

de substituições sucessivas pode ser vantajosa, dado que apenas são con-

siderados modelos das unidades (ou blocos) individualmente. Assim, o

tamanho (número de variáveis e equações) considerados de cada vez é mais

reduzido (estratégia sequencial-modular).

6. A aplicação dos métodos de substituições sucessivas não está no entanto

limitada ao caso anterior. Ela é geral, desde que seja possível “inventar”

uma fórmula iterativa correspondente xk+1 = д(xk ), para a solução de umsistema f (x) = 0.

7. A aplicação do método das substituições sucessivas pode ou não convergir.

Isto depende da estrutura e propriedades de д( · ), sendo difícil em geral de

garantir (excepto em casos especiais).

8. A família dos métodos de Newton é usada como alternativa, dadas as

EPS — Programa EngIQ

3.2 Sistemas não-lineares 49

limitações anteriores. Esta classe de métodos traz uma série de vantagens

face às alternativas anteriores, mas requer a utilização de derivadas do

modelo, ou a sua aproximação.

9. A convergência local do método de Newton é quadrática, sendo bastante

rápida na proximidade da solução.

10. Os métodos de Newton podem ser modificados de forma a assegurarem

propriedades de convergência global. Esta extensão é efectuada con-

siderando a analogia com a resolução de um problema de optimização

equivalente, e impondo propriedades de descida no algoritmo resultante

(Capítulo 4).

Mesmo assim, devem ser aplicados vários cuidados especiais (práticos) na

formulação destes problemas, para garantir que os métodos numéricos

usados consigam efectivamente convergir para uma solução do problema

(Secção 4.3).

11. Tal como o método das substituições sucessivas, a aplicação de métodos de

Newton é geral, para qualquer problema do tipo considerado. Em particular,

no Exemplo 3.3, referente à simulação de um diagrama de fabrico, ométodo

de Newton pode ser aplicado de 2 formas distintas:

• Ao problema como um todo, considerando f (n,u) = 0 (estratégia desolução simultânea).

• Aoproblema reduzido, resultante da aplicação da estratégia sequencial-

modular.

12. A estratégia de resolução seguida depende da ferramenta utilizada. Por

exemplo o sistema ASPEN One é conhecido por utilizar tipicamente a es-

tratégia sequencial-modular; no entanto, outros simuladores de processos

químicos já recorrem com maior frequência a estratégias simultâneas, po-

dendo ser mais rápidos devido a este facto.

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50 Solução de sistemas de equações não-lineares

Os modelos formulados em linguagens de modelação como o GAMS ou o

AMPL são tipicamente considerados como modelos globais, que podem ser

resolvidos em simultâneo. No entanto, alguns solvers podem decompor

estes problemas em blocos (de forma transparente para o utilizador), e

trabalhar num espaço de variáveis de decisão de dimensão mais reduzida.

3.3 Problemas propostos

1. Descreva em detalhe as possibilidades de aplicação do método de Newton

ao Exemplo 3.3. Considere que as correntes têm 10 espécies químicas

distintas, e que o modelo de cada unidade tem cerca de 5 parâmetros.

Compare o tamanho dos problemas resolvidos em cada um dos casos, e o

espaço de memória correspondente.

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Capítulo 4

Optimização não-linear

Considerados aqui os problemas clássicos de optimização, com variáveis contí-

nuas (x ∈ Rn). O problema mais geral deste tipo pode ser formulado como:

minx

ϕ(x)

s.a h(x) = 0д(x) ≤ 0x ∈ Rn

(4.1)

Nota: Habitualmente é apenas considerada uma única função objectivo (de mé-

rito) ϕ(x) ∈ R; caso contrário resulta um problema de optimização multiobjectivo

(mais complexo, aqui não abordado).

Diversos critérios de optimização usados emsimultâneo podemser contraditórios

→ necessário estabelecer compromissos.

Apenas referidas 2 abordagens fundamentais distintas para optimização multi-

objectivo:

51

52 Optimização não-linear

• Redução a um objectivo único, por exemplo através de pesagem:

Φ(x) = w1 + ϕ1(x) +w2ϕ2(x)

Dificuldade: Quais os pesos apropriados a usar (e.g., 30% ou 40%)?

Nalguns cenários é também possível converter alguns objectivos em restri-

ções, por exemplo:

minx

ϕ1(x) ∧ ϕ2(x) → minx

ϕ1(x)

s.a д(x) ≤ 0 s.a ϕ2(x) ≤ ϵд(x) ≤ 0

• Tentar elucidar consequências de várias decisões possíveis, e deixar a es-

colha final dentro de um leque de decisões possíveis para o decisor. Nesta

abordagem são sobretudo esclarecidos os diferentes compromissos que

podem ser criados, em soluções distintas.

Aqui é possível nomeadamente caracterizar a superfície não-inferior (ou

de Pareto) do problema: face a qualquer outra solução candidata, os pontos

nesta superfície caracterizam-se por apenas ser possível melhorar um dos

objectivos, piorando um ou mais dos restantes:

EPS — Programa EngIQ

4.1 Optimização sem restrições 53

s1, s2 → soluções não-inferiores

s3 → candidato não óptimo

s4 → candidato inviável

As características do problema de optimização determinam os algoritmos de

solução que podem (devem) ser usados:

• Optimização contínua (x ∈ R).

• Optimização discreta emista (n ∈ N+0 , x ∈ R).

• Optimização de trajectórias (f (t), t ∈ [t0,tf ]).

Tipo Objectivo Restrições Variáveis

IP L L I

LP L L R

MILP L L I, R

NLP NL NL R

MINLP NL NL I, R

NIP NL NL I

4.1 Optimização sem restrições

Formulação correspondente:

minx

ϕ(x)

x ∈ Rn(4.2)

EPS — Programa EngIQ

54 Optimização não-linear

A solução deste problema x∗ satisfaz a propriedade local:

ϕ(x∗) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ B(x∗,δ ) (4.3)

Para identificar um máximo pode ser escrita uma condição semelhante.

A optimalidade é consequente uma condição local (óptimo local). Uma função

não-linearϕ(x) pode apresentar vários óptimos domesmo tipo (pontos extremos).O melhor destes pontos é denominado óptimo global.

x∗1, x∗2 → óptimos locais

x∗3 → óptimo global

EPS — Programa EngIQ

4.1 Optimização sem restrições 55

Nota: Apenas necessário saber minimizar (ou maximizar):

minx

ϕ(x) ⇔ maxx

−ϕ(x)

A condição (4.3) não é habitualmente usada directamente na pesquisa dos pontos

óptimos. Em vez disso usadas condições alternativas:

4.1.1 Condição necessária

Se ϕ(x) for diferenciável, então os pontos óptimos devem obedecer à condição de

estacionaridade:

∇ϕ(x∗) = 0

Deve ser recordada a definição de gradiente de uma função (equação 3.5). A

condição anterior corresponde a um sistema de equações não-lineares. Conse-

quentemente os problemas de resolução de sistemas de equações não-lineares e

de optimização sem restrições estão intimamente ligados!

A Figura anterior mostra que nem todos os pontos que satisfazem a condição

de estacionaridade são mínimos locais. Estes pontos devem antes ser conside-

rados candidatos; deste modo é necessário usar um critério adicional para a

EPS — Programa EngIQ

56 Optimização não-linear

caracterização completa destes pontos.

4.1.2 Condição suficiente

Considerando a condição (4.3), para x∗ ser um mínimo é necessário que a curva-

tura de ϕ(x) em x∗ seja positiva (função convexa):

x1

x2

ΦHx1,x2 L

Interpretação geométrica: crescimento em qualquer direcção, a partir de x∗.

Isto pode ser avaliado através das propriedades da matriz de 2a¯s derivadas de

ϕ(x∗):∇2ϕ(x) ≡ H (x∗) ≡

[∂2ϕ

∂xi ∂x j

]

Nota: A matriz H (x∗)— Hessiana em x∗ — é sempre simétrica, sendo constante

para um ponto x∗ especificado.

Para x∗ ser um mínimo local a matriz H (x∗) tem de ser positiva definida. Esta

propriedade pode ser avaliada, de forma equivalente, através de qualquer uma

das 2 condições seguintes:

1.

dT ·H (x∗) ·d > 0, ∀d ∈ Rn (qualquer direcção)

2.

λi (H (x∗)) > 0, onde |H − λI | = 0

EPS — Programa EngIQ

4.1 Optimização sem restrições 57

Como H é simétrica, os seus valores próprios λi são todos reais, devendo

neste caso ser todos positivos para que H seja positiva definida.

Porquê utilizar a matriz de 2a¯s derivadas? Considerando uma expansão de ϕ(x)

em série de Taylor, em torno de x∗:

ϕ(x) = ϕ(x∗) + ∇ϕ(x∗)(x − x∗) + 12(x − x∗)TH (x∗)(x − x∗) + · · ·

Esta série produz uma aproximação polinomial em torno do ponto x∗, para uma

função ϕ(x) arbitrária.

Para (x−x∗) pequeno (i.e., na vizinhança de x∗), o termo quadrático é o dominantena série anterior (potência de menor ordem, com coeficiente não nulo).

EPS — Programa EngIQ

58 Optimização não-linear

Todos os casos possíveis para a matriz Hessiana H (x∗):

Positiva definida dT ·H (x∗) ·d > 0Mínimo

Negativa definida dT ·H (x∗) ·d < 0Máximo

Positiva semi-definida dT ·H (x∗) ·d ≥ 0Mínimo degenerado

Negativa semi-definida dT ·H (x∗) ·d ≤ 0Máximo degenerado

Indefinida dT ·H (x∗) ·d ≷ 0Ponto de sela

Nota: SeH (x∗) = 0, deve ser usada a derivada par de ordem superior, procurando-se retirar conclusões semelhantes.

Convexidade: Oliveira (2003).

EPS — Programa EngIQ

4.2 Optimização com restrições 59

Exemplos práticos: Oliveira (2003).

4.2 Optimização com restrições

Detalhes adicionais sobre estas matérias podem ser encontradas em Nocedal e

Wright (2006).

Condições de optimalidade — Karush-Kuhn-Tucker: Oliveira (2003); KKT conditi-

ons (2014).

Exemplos de algoritmos de optimização — Oliveira (2003).

4.3 Implementação prática

4.4 Exemplos de aplicação

Os livros de texto na área de optimização incluem muitos exemplos de aplicação,

em áreas muito diversificadas.

Outras fontes de exemplos são as bibliotecas de exemplos incluídas com as

linguagens de modelação e optimização. No caso do sistema GAMS, a biblioteca

de modelos GAMS Model Library inclui muitos exemplos na área de Engenharia

Química, com alguns modelos na área da Refinação. A biblioteca é instalada com

o sistema, e pode ser consultada também na web, em <http://www.gams.com/

modlibs/>.

O sistema AIMMS disponibiliza um manual com muitos exemplos, analisados

em detalhe na sua formulação (Bisschop, 2012).

EPS — Programa EngIQ

Capítulo 5

Optimização linear e discreta

Devido às suas características especiais a formulação e solução de problemas

lineares e envolvendo decisões discretas (i.e., descontínuas) são analisadas em

separado, dado que habitualmente são utilizados algoritmos específicos nestes

casos.

5.1 Optimização linear

Gass (1970) considera a aplicação de metodologias de programação linear a um

conjunto de aplicações básicas, incluindo a ilustração gráfica da solução destes

problemas. Alguns problemas considerados são:

• O problema da dieta.

• A atribuição de tarefas.

• Diversos problemas de redes.

61

62 Optimização linear e discreta

5.1.1 Modelos de redes

Este tipo de problemas constitui uma aplicação extremamente importante dos

modelos de optimização linear, com inúmeras aplicações em todas as áreas de

Engenharia, nomeadamente na modelação de problemas que envolvem fluxos

(de massa, energia, etc.). Winston (2003); Taha (2007) descrevem os tipos mais

comuns de problemas de redes, com indicação de algoritmos mais específicos

para os diversos casos.

5.2 Optimização com decisões discretas

Na optimização discreta, é possível a formulação de modelos matematicamente

equivalentes, mas que requerem na prática um esforço de solução muito dis-

tinto. Isto pode acontecer mesmo com formulações lineares. Vários autores têm

chamado a atenção para este facto, enfatizando a conveniência da utilização de

formulações fortes, com relaxações lineares mais apertadas (Pataki, 2003; Trick,

2005).

Duas referências que dedicam grande ênfase à construção de modelos de optimi-

zação discreta são Williams (1999); Chen et al. (2010).

5.3 Exemplos de aplicação

As formulações de optimização linear e discreta têm imensas aplicações na área

de Investigação Operacional. Como tal, as referências desta área descrevem bem

os algoritmos considerados, e a sua aplicação a problemas característicos, como

o caso dos problemas de redes (Winston, 2003; Taha, 2007).

EPS — Programa EngIQ

5.4 Referências adicionais 63

5.4 Referências adicionais

Uma referência muito concisa da utilização de variáveis discretas na construção

de formulações de optimização pode ser encontrada em FICO (2009).

EPS — Programa EngIQ

Capítulo 6

Optimização de sistemas descritos

por equações diferenciais

Modelos envolvendo equações diferenciais sãomuito comuns em todas as áreas de

aplicação nos processos químicos (ver por exemplo, aplicações noutros módulos

do programa EngIQ).

Alguns exemplos são:

• Sistemas reaccionais (e.g., partículas de catalisador), leitos fixos.

• Operações de separação onde existam gradientes espaciais ou temporais

(e.g., transferência de massa ou calor num leito, tal como em destilação,

absorção ou extracção, processos com membranas).

• Unidades operadas em regime descontínuo, por exemplo reactores de poli-

merização.

• Intervalos de tempo associados a mudanças de regime, arranque e paragem

65

66 Optimização de sistemas descritos por equações diferenciais

de processos que funcionam essencialmente em contínuo (e.g., polime-

rização de etileno, mudança de alimentação numa coluna de destilação

atmosférica numa refinaria, etc.).

Tal como na aplicação dos métodos anteriores de optimização, os problemas

envolvendo estes sistemas podem surgir em tarefas de

• projecto;

• operação (controlo e supervisão);

• diagnóstico;

e portanto conjunto muito alargado de tarefas em EPS! Também como acontece

com os sistemas algébricos, a possibilidade de optimizar estes processos constitui

a principal “driving force” na construção de modelos deste tipo.

Exemplo 6.1: Mistura óptima de catalisadores:

O sistema químico

Ak1ak1b

Bk2 C

ocorre num reactor tubular com enchimento, a temperatura constante

(Jackson, 1968; Biegler, 2010). A 1a¯ reacção é catalisada pelo catalisador I,

sendo necessário também usar o catalisador II por causa da 2a¯ reacção. C

é a espécie química desejada, e o objectivo deste problema é determinar

a mistura óptima de catalisadores ao longo do reactor. Esta pode ser

representada poru(z) ∈ [0,1], sendou(z) a fracção de catalisador I presentena posição axial z.

EPS — Programa EngIQ

67

Este problema pode ser formulado como:

maxu(z)

C(L)

s.a modelo cinético

u(z) ∈ [0,1]

Uma solução possível consiste em usar catalisador I na secção inicial, e

depois encher o reactor com catalisador II no final (solução “bang-bang”).

No entanto, se o reactor for suficientemente longo, a conversão máxima

de B pode ser limitada neste caso pelo equilíbrio químico da 1a¯ reacção, e

a produção de B pode ser afectada. Neste caso a produção de C pode ser

melhorada usando uma mistura de catalisadores, por exemplo numa zona

intermédia do reactor.

A formulação anterior permite determinar o perfil óptimo de doseamento

de catalisadores a usar neste caso.

Algumas questões fundamentais (iniciais):

• Quais as principais diferenças entre esta classe de problemas e a optimiza-

ção clássica?

• Como expressar modelos diferenciais em linguagens de modelação (por

exemplo, em GAMS, ou no Microsoft Excel)?

Principais tipos de problemas desta categoria (Oliveira, 2003, p. 59):

1. Problemas de controlo óptimo→∞ graus de liberdade:

Exemplo: Problema do braquístocrono (trajectória para tmin):

EPS — Programa EngIQ

68 Optimização de sistemas descritos por equações diferenciais

Jacques e Johann Bernoulli (século XVIII, Suíça).

Objectivo: Determinar perfil ou trajectória óptima para problema especí-

fico:

miny(x )

ϕ (x ,y(x))

s.a modelo dinâmico

y(x) ∈ R

Solução é y(x) ≡ f (x) (ou f (t)) para x ∈ [a,b] (função contínua) ⇒ com

infinitos graus de liberdade→ necessária análise variacional.

2. Problemas de estimativa de parâmetros (ou estados) — e.g. como determinar

os parâmetros cinéticos no modelo considerado no Exemplo 6.1:

minθ

ϕ(czi ) ≡ resíduos (qualidade de ajuste)

s.a modelo cinético(θ )θ ∈ Rp

• Número de graus de liberdade é finito (θ ∈ Rp ).

• Principal problema: como lidar eficientemente com derivadas?

EPS — Programa EngIQ

6.1 Solução de modelos com equações diferenciais — revisão 69

6.1 Solução demodelos com equações diferenciais — re-

visão

Aqui apenas considerados métodos para a solução de problemas com equações

diferenciais ordinárias:

dx(t)dt= x ′(t) = f (x ,t), x(t0) = x0, x ∈ Rn (6.1)

Por vezes é também usada a nomenclatura x ′(t) ≡ x(t). O tratamento de equaçõesàs derivadas parciais é considerado noutras aulas do curso.

6.1.1 Solução de problemas de valor inicial (PVI)

IVP — “initial value problems”.

Aqui é considerada a solução de problemas do tipo da equação (6.1). Uma base

possível para o desenvolvimento de métodos de solução para estes sistemas é

a expansão em série de Taylor. Admitindo que a solução de (6.1) é contínua e

analítica no ponto tk , é possível escrever

x(tk+1) = x(tk ) + x ′(tk )h + x ′′(tk )h2

2+ · · · + x (p)(tk )h

p

p!+O(hp+1)

onde h = tk+1 − tk . Truncando a série no termo de ordem de h2, e substituindo

(6.1) na equação anterior obtém-se o método de Euler explícito:

x(tk+1) = x(tk ) + hf (xk ,tk ) (6.2)

Esta equação pode ser aplicada sucessivamente, a partir de uma condição inicial

EPS — Programa EngIQ

70 Optimização de sistemas descritos por equações diferenciais

x(t0) = x0:

x(t1) = x(t0) + hf (x0,t0)x(t2) = x(t1) + hf (x1,t1)x(t3) = · · ·

Uma aplicação alternativa do desenvolvimento em série de Taylor conduz ao

método de Euler implícito:

x(tk+1) = x(tk ) + hf (xk+1,tk+1) (6.3)

Tipicamente esta já é uma equação não-linear, cuja solução requer a aplicação

de ummétodo numérico para a solução de sistemas de equações não-lineares,

como os apresentados no Capítulo 3. Por exemplo para o 1o¯ passo de aplicação

do algoritmo tem-se:

x(t1) = x(t0) + hf (x1,t1) ⇔ x(t1) = д(x(t1))

Na aplicação destes métodos deve ser notada que a diminuição do passo h es-

colhido, para além de diminuir o erro da aproximação, de acordo com a equa-

ção (6.1), permite ainda atenuar a não-linearidade do modelo f (x ,t).

Métodos alternativos para a solução destes sistemas podem ser encontrados por

exemplo em Ascher et al. (1995). Um resumo comparativo das fórmulas iterativas

correspondentes a vários destes métodos é apresentado na Tabela 6.1. Tal como

nos métodos iterativos para a solução de sistemas de equações não-lineares e de

problemas de optimização, na escolha destes métodos deve ser balanceado:

• O esforço requerido em cada passo de aplicação de um destes métodos.

• Onúmero total de passos necessários para efectuar a integração de (6.1), em

EPS — Programa EngIQ

6.1 Solução de modelos com equações diferenciais — revisão 71

Tabela 6.1 Fórmulas iterativas, e ordens de aproximação de diversos métodosdisponíveis para a integração de problemas de valor inicial (Danaila et al., 2007).

x ∈ [a,b], relacionado com o tamanho máximo dos passos h que é possível

escolher em cada caso, para ser obtida uma dada precisão na solução.

EPS — Programa EngIQ

72 Optimização de sistemas descritos por equações diferenciais

6.1.2 Solução de problemas às condições fronteira (PCF)

BVP — “boundary value problems”.

Neste caso, ao contrário da equação (6.1), nem todas as condições são especi-

ficadas num único ponto (extremo) do domínio. Isto acontece por exemplo no

sistema:

u ′′(x) + u(x) = 0, x ∈ [a,b], u ∈ R

u(a) = 0u(b) = β

Nestes casos são necessários métodos de solução distintos dos anteriores.

Exemplo 6.2: Conservação de massa, numa partícula de catalisa-

dor:

Em coordenadas esféricas, num partícula de catalisador isotérmico, em

estado estacionário, considerando um modelo unidimensional:

1x

d

dx

(x2

dc

dx

)= 3ϕ2r (c) (6.4)

dc

dx

�����x=0= 0;

dc

dx

�����x=1= Bim(1 − c(1)) (6.5)

NOTA: Este modelo já está adimensionalizado.

Solução típica (qualitativa):

A condição fronteira em x = 1 pode ser substituída por outra equivalente.

EPS — Programa EngIQ

6.1 Solução de modelos com equações diferenciais — revisão 73

Como integrar este sistema?

Existem diferentes classes de métodos de solução, correspondentes a diferentes

estratégias de solução. Como principais abordagens temos:

1. “Shooting” — integração por tentativas: conversão em problema de valor

inicial (PVI) + iteração (solução de equações não-lineares).

Nota: Possível integração nos sentidos→ ou←.

Um problema frequente na aplicação dos métodos de integração por ten-

tativas é o aparecimento de modos instáveis, associados a pólos instáveis

(sistemas lineares). Neste caso, reverter o sentido da integração⇔ reverter

a estabilidade do sistema:

Consequentemente, os métodos de “shooting” são desapropriados quando

o modelo do sistema inclui simultaneamente modos estáveis e instáveis

(bastante comum).

2. Discretização ou aproximação: Nestas classes de métodos é obtida uma

aproximação local, que é formulada conjuntamente para um grupo de

pontos ou regiões individuais. Assim o perfil de solução completo é obtido

conjuntamente, requerendo em geral a solução de um problema de maior

dimensão numérica.

(a) Diferenças finitas (discretização): Aproximação de 1a¯ ordem (progres-

EPS — Programa EngIQ

74 Optimização de sistemas descritos por equações diferenciais

siva):dy

dx=y(x + h) − y(x)

h+O(h) (6.6)

Podem ser usadasmuitas outras aproximações, comerros de aproxima-

ção distintos. A Tabela 6.2 lista diferentes possibilidades de escolha, e

os erros de aproximação correspondentes, obtidas a partir de diversas

expansões em série de Taylor.

Neste caso o domínio contínuox ∈ [0,1] é aproximado por umconjuntofinito de pontos xi = 0 + i∆x , com i = 1,2, . . . ,N . A solução exacta y(x)é substituída pelo valor da solução numérica yi (xi ), obtida em cada

um dos pontos anteriores.

Quais os erros deste tipo de aproximação? Em particular, se h →

0 (N → ∞), a solução numérica convergirá para a solução exacta?

• Com N ↗, o erro na aproximação de cada diferença finita (em

cada ponto do domínio) não é necessariamente inferior!

• Existe um h (ou ∆x) óptimo para a aproximação numérica dada

pela equação (6.6): ver (Oliveira, 2006, p. 37).

• Consequentemente, existe um limitemínimopara o erro de solução

(ou de optimização), quando este tipo de métodos é usado. Este

limite depende da ordem de aproximação das diferenças finitas

usadas.

Em particular ϵ = O(h2) ou ϵ = O(h4) são comuns→ ver (Oliveira,

2003, p. 69).

(b) Volumes finitos (discretização): Neste método procede-se à partição

do domínio em elementos de volume (zonas), considerados suficiente-

mente pequenos para serem descritos como homogéneos.

As equações de conservação em cada volume elementar (balanços)

EPS — Programa EngIQ

6.1 Solução de modelos com equações diferenciais — revisão 75

Tabela 6.2 Tabela de diferenças finitas, para aproximação de várias derivadas(Hoffman, 2001).

EPS — Programa EngIQ

76 Optimização de sistemas descritos por equações diferenciais

podem ser deduzidas através de 2 abordagens distintas:

i. Integração espacial dos balanços diferenciais iniciais:$V

(· · · ,∂y

∂t,∂y

∂x, · · ·

)dV = 0 ⇒

dyidt= · · · , para cadaVi

ii. Reformulação da conceptualização física:

Exemplo: Permutador “double-pipe”:

• Necessário caracterizar fluxos (para métodos conservativos).

• O domínio pode ser aproximado de diferentes modos, usando

grelhas adaptativas, etc.→ Date (2005), p. 8.

O resultado é Ti (t), para i = 1,2, . . . ,N (coordenadas espaciais

eliminadas).

3. Método dos resíduos pesados (aproximação):

Ver a descrição em (Oliveira, 2003, p. 70).

ϕi (t) ≡ funções de base, escolhidas pelo utilizador (e.g., polinómios). Neces-sitam serem independentes, no domínio usado.

Em geral R(a,t) ≡ zN (t) − f (t ,u,zN ,θ ) , 0:

EPS — Programa EngIQ

6.2 Exemplos de aplicação 77

As equações de erro integral permitem uma “escolha óptima” (segundo

critérios específicos) dos coeficientes ai (Oliveira, 2003, p. 70).

Resultados com adaptação da dimensão dos elementos finitos (perfil de

combustão numa unidade de FCC):

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0

1

2

3

4

5

x

nCO

Final

Original

6.2 Exemplos de aplicação

Oliveira (2003) considera estas aplicações da optimização de modelos descritos

por equações diferenciais:

1. Controlo predictivo ou MPC — “model predictive control”. Esta metodologia

permite a supervisão de uma unidade, processo ou conjunto de processos,

podendo ser aplicada com diversos modelos, correspondentes a níveis de

EPS — Programa EngIQ

78 Optimização de sistemas descritos por equações diferenciais

detalhe bastante distintos. A sua aplicação permite a gestão óptima de um

complexo químico.

2. Optimização de catalisadores heterogéneos: aqui a distribuição não homo-

génea dos centros activos em partículas de diversas geometrias permite

aumentar o factor de eficiência correspondente, utilizando a mesma quan-

tidade total de metal.

A estimativa de parâmetros cinéticos em sistemas descritos por equações di-

ferenciais (e.g., em estado transiente, ou com variações espaciais) conduz, em

geral, a problemas deste tipo.

Chambel et al. (2011) descrevem a modelação e optimização de uma unidade

FCC, do tipo UOP, com um regenerador de elevada eficiência. O modelo utiliza

a técnica de colocação ortogonal em elementos finitos para a descrição dos

perfis espaciais deste tipo de unidades, em estado estacionário. O modelo foi

implementado no sistema GAMS, permitindo a sua utilização com um leque de

funções objectivo bastante diversificado.

EPS — Programa EngIQ

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