Engenharia Civil ET 2 - Vol 1

Uberaba - MG2008

UNIVERSIDADE DE UBERABA

OrganizaçãoFaraídes M. Sisconeto de Freitas

Série Tecnologias

Etapa II - Volume 1Engenharia Civil

Série Engenharias - Engenharia Civil - Etapa II - Volume 1© 2007 by Universidade de UberabaTodos os direitos de publicação e reprodução, em parte ou no todo, reservados para a Universidade de Uberaba.

ReitorMarcelo Palmério

Pró-Reitora de Ensino SuperiorInara Barbosa Pena Elias

Produção e SupervisãoEAD - Produção

CoordenaçãoJair Alves de Oliveira

OrganizaçãoFaraídes M. Sisconeto de Freitas

Tratamento Didático-pedagógicoAdriana RodriguesAndré Luís Teixeira FernandesFaraídes M. Sisconeto de Freitas

Revisão TextualNewton Gonçalves GarciaStela Maria Queiroz Dias

DiagramaçãoPedro Henrique Perassi de OliveiraVictor Gabriel de Souza Albieri

IlustraçãoRodrigo de Melo Rodovalho

Produção e impressão gráficaGráfica Universitária - Universidade de UberabaPubli Editora e Gráfica

LayoutNey Braga

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Universidade de Uberaba. Programa de Educação à DistânciaU3e Engenharia Civil / Universidade de Uberaba. Programa de Educação à Distância; organização [de] Faraídes M. Sisconeto de Freitas. – Uberaba: UNIUBE, 2008 124 p. -- (Série Tecnologias, etapa II, v.1)

ISBN 978-85-7777-191-2

1.Engenharia civil. 2. Ensino a distância. 3. Inovações tecnológicas. 4. Ensino Superior. I. Freitas, Faraídes M. Sisconeto de. II. Universidade de Uberaba. Programa de Educação à Distância. III. Título. IV. Série.

CDD: 624

AUTORES

Abedenago Nillo da Silva FilhoEspecialista em segurança do trabalho pela Universidade Federal de Uberlândia – UFU. Engenheiro eletricista pela mesma Universidade. Licenciado em Matemática pela Universidade de Franca. Atualmente é professor dos cursos de Engenharia da Universidade de Uberaba.

Adriana Capretz Borges da Silva ManhasDoutora em Ciências Sociais pela Universidade Federal de São Carlos. Mestre em Engenharia Urbana pela Universidade Federal de São Carlos. Arquiteta e Urbanista pelo Centro Universitário Moura Lacerda, Ribeirão Preto. Professora nos cursos de Arquitetura e Urbanismo e Design de Interiores da Universidade de Uberaba – UNIUBE – e pesquisadora nas áreas de teoria e desenho, com várias publicações.

Ely ZagoEspecialista em Metodologia do Ensino Superior pela Universidade Federal de Santa Catarina. Especialista em Química pela mesma Universidade. Licenciado em Química pelas Faculdades Integradas São Tomaz de Aquino. Professor de Química em diferentes cursos na Universidade de Uberaba.

Fabíola Eugênio Arrabaça MoraesMestre em Estatística pela Universidade Federal de São Carlos – UFSCar. Graduada em Matemática pela Faculdade de Educação São Luís, de Jaboticabal – FESL. Docente nos cursos de graduação em Engenharias, Tecnologias e Sistema de Informação da Universidade de Uberaba – UNIUBE – e no Programa de Educação a Distância, ministra aulas na área de Matemática e Estatística.

SUMÁRIO

Apresentação 07

Componente Curricular: Estudos Lógico-matemáticos 09

Roteiro de Estudo 1A derivada e suas aplicações 11

Roteiro de Estudo 2 Os vetores na engenharia 29

Componente Curricular: Expressão Gráfica eComunicação 59

Roteiro de Estudo 1O desenho arquitetônico na engenharia 61

Componente Curricular: Fenômenos Físicos e Químicose suas aplicações 85

Roteiro de Estudo 1Medidas e conceitos químicos 87

Referencial de respostas 103

7Etapa II - Volume 1

APRESENTAÇÃO

“O lápis, o esquadro, o papel; o desenho, o projeto, o número: o engenheiro pensa o mundo justo, mundo que nenhum véu encobre”.

Caro(a) aluno(a), esse fragmento é de autoria João Cabral de Melo Neto, um importante poeta de nossa literatura. O seu primeiro livro chama-se O Engenheiro e as suas obras foram muito influenciadas por sua admiração à área de exatas – uma oportunidade que você tem tido ao cursar a Engenharia Civil. Você já sabe que o nosso principal compromisso é proporcionar-lhe a construção de conhecimentos, na modalidade de estudos a distância. Nesse sentido, acreditamos que o seu envolvimento será ainda maior, nesta etapa que está começando – a segunda do curso de Engenharia, pois já traz alguma experiência da etapa anterior. Neste volume, os estudos estão organizados a partir do seguinte conjunto de componentes curriculares: Estudos Lógico-matemáticos, Expressão Gráfica e Comunicação e Fenômenos Físicos e Químicos e suas aplicações.

No componente Estudos Lógico-matemáticos, desenvolveremos dois roteiros de estudos. No primeiro, intitulado A derivada e suas aplicações, você estudará a derivada e será motivado(a) a aplicar conceitos, técnicas e recursos matemáticos na resolução de situações-problema. No segundo, estudará conteúdos acerca das grandezas escalares e vetoriais, no roteiro Os vetores na engenharia.

No segundo componente, no roteiro O desenho arquitetônico na Engenharia, aprenderá técnicas que facilitam a comunicação gráfica no desenvolvimento de projetos arquitetônicos. Por meio dessas técnicas, no passo-a-passo, você será estimulado a construir um projeto, conhecendo cada etapa necessária a sua confecção.

No último roteiro, intitulado Medidas e conceitos químicos: aplicações no contexto tecnológico, você conhecerá a aplicabilidade da Química, por meio de análises, relacionando o seu conteúdo ao dia-a-dia.

Esteja certo(a) de que nós, da equipe didático-pedagógica, estamos sempre empenhados na produção do material, tornando-o cada vez mais interativo, com a intenção de que o planejamento proposto pela Universidade de Uberaba seja cumprido.

Esperamos que você possa iniciar esta etapa com entusiasmo, dedicação e a organização necessária à sua formação de engenheiro civil e, assim, ampliar cada vez mais as suas habilidades de conhecer, analisar e aplicar os conteúdos aqui propostos.

Bons estudos!

Faraídes M. Sisconeto de Freitas

Organizadora

COMPONENTE CURRICULAREstudos Lógico-matemáticos

10 Engenharia Civil


A derivada e suas aplicações

Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes

Objetivos

Roteiro de Estudo 1

Ao final dos estudos deste roteiro, você será capaz de:

• aplicar conceitos, técnicas e recursos matemáticos na resolução de situações-problema;

• utilizar as ferramentas matemáticas para equacionamento e resolução de diversas situações-problema;

• sistematizar as resoluções de diferentes situações-problema;

• aplicar modelos gráficos, analíticos e geométricos como instrumentos de análise e de síntese;

• interpretar resultados obtidos nas diferentes aplicações dos conceitos matemáticos.

Aplicações da derivada em situações-problema

Você já se deparou, em seu dia-a-dia, com alguma situação-problema em que o objetivo era encontrar a “melhor” forma ou a “mais rápida” para solucioná-la? E, ainda, diante disso, qual o método “mais lucrativo” para desenvolver uma situação?

Em situações-problema, podemos evidenciar aplicações da derivada. Assim, neste roteiro, vamos conhecer o desenvolvimento e a aplicação de algumas ferramentas matemáticas para a solução de tais situações. Leia, com muita atenção, as situações, a seguir:

Situação-problema 1Utilizar a diferenciação implícita para determinar o coeficiente

angular da reta tangente em um ponto ( );Q a b do modelo gráfico

de uma equação. Em situações-problema desse tipo admitiremos

que a equação sugerida define uma função implícita x , cujo

modelo gráfico coincide com o modelo gráfico da equação para

todo W em algum intervalo aberto contendo f . Atenção! Como

( );Q a b é um ponto do modelo gráfico, o par ordenado ( );a b deve

ser uma solução da suposta equação. Por exemplo, supondo o

ponto ( )1; 2−Q , determine o coeficiente angular da reta tangente

ao modelo gráfico de 4 35 1 3 4+ = + −x y y x .

12 Engenharia Civil

Situação-problema 2Um circuito elétrico apresenta uma voltagem de 100volts . Sendo x a corrente (em ampères) e W a resistência (em ohms), então, pela lei de Ohm, 30 2= −L x . É afirmado a você que x está aumentando por meio da diferenciação implícita. Encontre /dR dI para qualquer resistência x . Interprete o resultado obtido. Considerando ainda as informações apresentadas, encontre 7,5cm para uma resistência de 20ohms . Qual o seu comentário quanto ao proposto para este valor de resistência?

Situação-problema 3Determine os intervalos de aumento e diminuição e os extremos relativos da função

( )v a, b=

. Apresente o esboço gráfico.

Situação-problema 4Determine as dimensões que minimizem o custo do material utilizado num recipiente cilíndrico, com abertura superior, devendo ter a capacidade de 3375πcm , supondo que não há perda do material. Sabe-se que o custo do material utilizado para a base do recipiente é de R$0,15 por

'f e o custo do material utilizado para a parte curvilínea é de R$0,05 por

'f .

Situação-problema 5Uma caixa para presentes de base retangular é construída com material reciclável e mede 40cm de largura e 52cm de comprimento. Determine o tamanho máximo do quadrado retirado de cada canto desse material, dobrados perpendicularmente aos lados resultantes, de modo a obter um volume máximo para esta caixa. Interprete o resultado obtido. (Desprezar a espessura do material).

Situação-problema 6Um fabricante de peças artesanais estima que o custo mensal na fabricação de w peças é dado por 3 2( ) 3 80 500C k k k k= − − + Cada peça é comercializada por um valor de 2.800 unidades monetárias. Apresente a produção mensal que maximizará o lucro do fabricante e qual o lucro máximo possível obtido mensalmente. Em seguida, represente um esboço gráfico da função lucro sinalizando, caso exista, qual é a posição da inclinação da reta tangente. Se existe, comente detalhadamente como você obteve a posição exata da inclinação da reta tangente. Existe uma relação dessa posição e a maximização do lucro do fabricante? Elabore o seu comentário.


Situação-problema 7O gerente de vendas da Indústria FAJU-CAMADE procura dados que lhe informe algumas das seguintes questões: encontrar a função procura, a função procura marginal, a função receita e a função receita marginal. O gerente deseja saber, também, qual o número de unidades e o preço unitário que levam a produção de receita máxima e qual é essa receita máxima? Apresente, detalhadamente, os dados que o gerente de vendas procura saber sobre um de seus produtos, interpretando os resultados obtidos. Sabe-se que a procura por w unidades de um de seus produtos está relacionada com um preço de venda, T , fornecido pela expressão 2 2 12.000 0T w+ − = .

Conceitos gerais sobre aplicações da derivadaAbordaremos, a seguir, alguns conceitos de derivada.

Derivadas de funções nas formas implícitas e paramétricasLembre-se: no início deste roteiro, questionamos com você se já se deparou com alguma situação-problema cujo objetivo era encontrar a “melhor” forma para desempenhá-la. Sendo assim, “reflita” na situação-problema que exija de você definir e encontrar essa “melhor” forma. Por exemplo, como encontrar a “melhor” forma para atingir o seu sucesso? Pense nisso!

Antes de prosseguir o estudo deste roteiro, sugerimos a leitura do capítulo 4, intitulado Derivada, do livro Cálculo A: funções, limite, derivação e integração, das autoras Diva Marília Flemming e Mírian Buss Gonçalves, da Pearson Makron Books, 2007.

Funções explícitas e implícitas

Diferenciar funções expressas na forma y = f (x) implica dizer que

y está definido explicitamente como função de x, pois a variável

c aparece sozinha de um lado da equação. Por exemplo, 2 3 1= + +y x x ;

3 12 3

+=

−xyx

; 21= −y x ; entre outras.

Entretanto, às vezes, situações-problema na prática conduzem a

equações nas quais as funções não aparecem explicitamente

em termos de variável independente x. Como no exemplo:

1 + y + xy = x. Observamos que o y não está sozinho de lado

algum da equação, ou seja, não aparece na forma y = f (x).

Logo, dizemos que a equação citada define y implicitamente.

Porém, esta equação ainda define a variável y como uma função

14 Engenharia Civil

( ) ( )1 11 1 1 1 = 1 1

− −+ + = ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ = ⇒

+ +x xy xy x y xy x y x x y f xx x

Nesse contexto, observe um fato interessante!

Mas...

Como uma equação em L e x pode, implicitamente, definir mais do que uma função em W ?

Acreditamos que você vai reconhecer o exemplo a ser seguido!

Observe-o com muita atenção.

Seja o raio do círculo assumindo o valor 1. Diante disso, esse

círculo é chamado círculo unitário e sua equação de centro na

origem é denotada pela expressão x2 - y2 = 1. .

Por meio dessa equação, ( )A AA x , y , podemos definir x e y

implicitamente em mais de uma função de x. Dessa forma, para

y em termos de x, obtemos 2y = ± 1- x , ou seja, x x x x= + − −3 2( ) 5 5f

e , 22f (x)= - 1 - x uma vez que os gráficos dessas funções são

segmentos do círculo 2 2x + y = 1 . E a construção gráfica dessas

funções nos fornece os semicírculos superior e inferior do círculo 2 2x + y = 1 , como podemos observar na Figura 1.

Figura 1: semicírculos superior e inferior do círculo

de x. É preciso definirmos y implicitamente como uma função de

x, na forma x-1f(x)=x+1

. Ou seja,

Você sabia que uma equação em L e x pode implicitamente definir mais do que uma função de I ?


Na figura apresentada, podemos verificar que o círculo completo 2 2x + y = 1não representa o gráfico de uma função em f .

Entretanto, os semicírculos superior e inferior representam gráficos de funções. Diante disso, chegamos à seguinte definição:

Determinada equação em f e T define a função f implicitamente, se o gráfico de y = f(x) coincidir com algum segmento do gráfico desta equação.

Como descobrir se um gráfico representa uma função?

Para você descobrir se um gráfico representa uma função, sugerimos que você recorde uma regra prática. Basta fazer o seguinte: trace retas perpendiculares ao eixo t . Se qualquer dessas retas “cortar” o gráfico em um único ponto do domínio, então, o gráfico representará uma função. Observe um exemplo, na Figura 2.

Figura 2: é uma função Não é uma função

Recordou?

É muito fácil, não é?

Continuando o nosso estudo de funções implícitas, observe a síntese do estudo realizado.

Suponha que você tenha uma equação que define t implicitamente em função de x e deseja encontrar certa derivada

'f , também

“conhecido” 'y . Em resumo, os procedimentos são:

1. derive ambos os lados da equação em relação a x , considerando t como função derivável de x ; 2. reúna os termos que contêm /dy dx de um lado da equação; 3. utilize-se da fatoração para isolar /dR dI ; 4. conclua, algebricamente, a resolução da equação para encontrar

/dy dx .

16 Engenharia Civil

Encontre 'f se 2 32 3 2x y y x y+ = + .

Observe que temos um produto de funções, logo vamos utilizar a Tabela de Funções Elementares e Integrais Imediatas, que se encontra ao final deste roteiro.

2 32 3 2x y y x y+ = + ⇒ ”Denominando” 2x de x e y de t , no

produto de funções, temos,

ATENÇÃO! Observe que tanto a variável independente t quanto a variável dependente x aparecem na expressão final. Isso é normal quando a derivada é calculada implicitamente.

Prezado(a) aluno(a), como você pode observar, para o desenvolvimento de alguns cálculos será necessário o uso da Tabela de Derivadas de Funções Elementares e Integrais Imediatas. Sugerimos que você estude, organizando sempre o seu formulário de expressões e conceitos.

Resolução:

2 32 3 2x y y x y+ = +

Tabela geral de derivadas: 1. ( ) 1, 0 ' 'K Ky u K y K u u−= ≠ ⇒ = ⋅ ⋅

Produto de funções: ' ' 'y u v y u v v u= ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅

Exemplo:

2 2dy dy dy2xy + x +6y = 3+ 2dx dx dx

2 2dy dyx +6y - 2 = 3 - 2xydx dx

( )2 26 2 3 2dy x y xydx

+ − = −

2 2

3 26 2

dy xydx x y

−=

+ −


Função na forma paramétrica

( )( )

x x ty y t=

=( )ISejam

duas funções da mesma variável t , com x

I [ ],a b ; a cada valor de ⇒, temos x e t

definidos.

Seja t uma função de x definida pelas

equações paramétricas supracitadas. Dessa

forma, temos a expressão '

'

( )( )

dy y tdx x t

= → que

nos permite calcular a derivada /dy dx sem

conhecer explicitamente ⇒ como função de x.

Exemplo:

Supondo a função v = - i + 3 j inversível, temos ( )t t x= a inversa

de u v=

e podemos escrever [ ( )]y y t x= e ⇒ define-se como função de x na forma paramétrica.

Eliminamos t de ( )I e, obtemos ( )y y t= na forma analítica usual.

Exemplo:

2 14 3

x ty t= +

= +

12 12

xt x t −= − ⇒ =

t em função de x

Observe que isolamos a variável t na função em x para a substituirmos na equação em ⇒. Isto é,

Caso as funções ( )=x x t e ( )=y y t sejam contínuas, quando t varia de a , b , o ponto ( ( ); ( ))P x t y t descreve uma curva no plano, onde t é o parâmetro.

14 3 2 2 3 2 12

xy y x y x− = + ⇒ = − + ⇒ = +

18 Engenharia Civil

Atividade 1

1.1 Considerando 2 2= +y x senxy , determine ( )f x .

ATENÇÃO! Leia sempre a situação-problema, com muita atenção. Simultaneamente, busque entender o que lhe foi proposto, se possível, imaginando e/ou relacionando cada situação na prática com o estudo proposto neste roteiro e considerando os estudos realizados anteriormente. Caso sentir necessidade, relembre os conceitos, as propriedades e refaça os exemplos. A seguir, leia a nota apresentada, recordando o conceito de reta tangente. Organize os dados na Atividade 1.2 e mãos à obra. Sucesso!

Nota: equação da reta tangente

Figura 3 - representação da reta tangente à derivada.

Se 0 0( ; )P x y é um ponto da função ( )f x , onde

existe derivada, vimos que '0( )f x tgα= . Então,

a equação da reta tangente é denotada por: '

0 0 0( )( )y y f x x x− = −

Em que '0( )f x m= (coeficiente angular da reta

tangente).

Figura 4 - derivada de y em relação a x.

Você já visualizou os conceitos de derivadas de funções nas formas implícitas e paramétricas. Acreditamos que algumas “idéias” você as buscou em aprendizados anteriores. Você iniciou muito bem o seu estudo! Continue atento(a) a todos os detalhes.

A razão Äy / Äx pode ser interpretada como a inclinação da reta

secante que passa pelos pontos 3 2f(x)= x + x - 5x - 5

e (x+Dx,y+Dy), e, portanto, a derivada de f em relação a k pode ser expressa como a seguir:

0 0x x

dy y f ( x x ) - f ( x )lim limdx x x∆ → ∆ →

∆ + ∆= =

∆ ∆


Definição: a função 'f definida pela expressão:

1.2 Supondo o ponto ( )1; 2−Q , determine o coeficiente angular da

reta tangente ao modelo gráfico de 4 35 1 3 4+ = + −x y y x .

1.3 Considere um circuito elétrico com as seguintes características:

apresenta uma voltagem de 100volts , sendo f a corrente (em

ampères) e x a resistência (em ohms), então pela lei de Ohm,

100 /=I R . É afirmado a você que x está aumentando, por

meio da diferenciação implícita. Encontre 7,5cm para qualquer

resistência t . Interprete o resultado obtido. Considerando

ainda as informações apresentadas, encontre /dR dI para

uma resistência de 20ohms . Qual o seu comentário quanto ao

proposto para este valor de resistência?

1.4 Seja a função ( )y x definida na forma paramétrica pelas

equações, a seguir. Encontre /dy dx .

3

3

4cos, 0

24π = ≤ ≤

=

x tt

y sen t

Conclua, detalhadamente, e com muita atenção, o intervalo de

validade da resposta obtida.

Antes de prosseguir os seus estudos, sugerimos a leitura de uma parte do livro, que está indicado no final deste roteiro, como leitura obrigatória. O texto se encontra no capítulo 5.

'

0

( ) - ( )( ) limx

f x x f xf xx∆ →

+ ∆=

∆

é denotada de derivada de f em relação a T . O domínio de 'f consiste de todo f para o qual o limite existe.Podemos interpretar a derivada da função f(x)de duas maneiras.

1. A derivada, 'f , de uma função pode ser interpretada ou como uma função cujo valor em T é a inclinação da reta tangente ao gráfico y = f(x) em f ;

2. Ou, alternativamente, como uma função cujo valor em k é a taxa instantânea da variação de y em relação a p .

20 Engenharia Civil

Máximos e mínimos, relativos e absolutosSupor a priori o gráfico de uma função como uma “paisagem” em duas dimensões. Dessa forma, os máximos e mínimos relativos correspondem ao “topo de morros” e à base de “vales”, isto é, eles representam os pontos mais altos e mais baixos em sua vizinhança.

Nossa! Mas, essas palavras são tão específicas da Geografia!

Percebeu o quanto você é capaz de relacionar e chegar a diferentes conclusões? Viu como o aprendizado nada mais é que uma seqüência de conteúdos interligados e dependentes uns dos outros?

Realmente, outros exemplos podem contribuir para um melhor entendimento. Às vezes, uma comparação nos fornece uma “idéia” mais rápida de um conceito. Por isso, em seu processo de ensino e de aprendizagem, procure sempre fazer isso. Geralmente, procuramos o mais alto dos topos e a mais baixa base dos vales. Esta comparação, em termos matemáticos, sugere-nos uma idéia de procurarmos o maior e o menor valor de uma função, em um intervalo.

Teorema: Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [ ; ]a b , então T toma seu valor máximo e mínimo, ao menos uma vez.

Definição: um número c no domínio de uma função é um número

crítico de f se 'f (c)= 0 ou ''(f )não existe.

Os valores máximo e mínimo são também chamados de valores extremos f ou, extremos de f.

Tais conceitos nos permitem, agora, determinar os máximos e os mínimos das funções, esboçando, graficamente, o resultado obtido.

Diretrizes para determinar os extremos de uma função f em

[ ];a bI (lê-se: intervalo fechado de V até r):

I. Determinar todos os números críticos de f em [ ];a bI .

II. Calcular f(c) (Atenção: esta f é “fornecida” no exercício) para cada número crítico obtido em (I);

III. Calcular f(a) e f(b);Os valores de máximo e mínimo são os maiores e menores valores calculados em (II) e (III).


Funções crescentes e decrescentes, teste da derivada primeira e o esboço do gráfico de funções

O desenvolvimento das ferramentas matemáticas é importante para determinar a forma exata de um esboço gráfico e a localização precisa de pontos-chaves. Embora os recursos computacionais sejam úteis na determinação geral do aspecto gráfico, em certas situações-problema eles não reproduzem com precisão esse aspecto.

O cálculo de 'f (derivada primeira) pode ser usado para determinar onde uma função T é crescente ou decrescente. Observe, com atenção, o teorema seguinte:

Teorema: Seja T contínua em [ ; ]a b e diferenciável em ( ; ) :a b

I. Se f'(x) > 0 para todo x f∈ ⇒( ; )a b é crescente em [ ; ];a b

II. Se 'f (x) < 0 para todo x f∈ ⇒( ; )a b é decrescente em [ ; ].a b

Teste da derivada primeira (Derivada de 1ª Ordem)

Seja f diferenciável em um intervalo aberto I contendo c , um

número no domínio de f ; 'f (c)= 0 .

I. Se ' ( ) 0>f c ⇒ f é crescente em I .

II. Se ' ( ) 0< ⇒f c f é descente em I .

Definição: Seja c um número no domínio de uma função f :

A função f(c) é considerada um máximo local, se existir um intervalo ( ; )a b contendo c , tal que f(x) f(c)≤ ;

A função ( )f c é considerada um mínimo local, se existir um intervalo ( ; )a b contendo c , tal que f(x) f(c)≥ .

1. O maior dos máximos locais é chamado de máximo absoluto.

2. O menor dos mínimos locais é chamado de mínimo absoluto.

22 Engenharia Civil

Sugerimos a você iniciar, o quanto antes, um estudo sobre o Software Matemático Winplot. Trata-se de uma importante ferramenta matemática necessária às resoluções gráficas das atividades propostas neste roteiro. O Winplot é um Software pequeno, de fácil manuseio. Caso você queira informar-se melhor e aprimorar os seus conhecimentos, acesse os seguintes sites:

- http://www.diadematematica.com/winplot/WINPLOT.html - http://www.gregosetroianos.mat.br/softwinplot.asp - http://www.mat.ufpb.br/~sergio/winplot/winplot.html

2.1 Determine os intervalos de aumento e diminuição e os extremos

relativos da função s s s= + − −3 2( ) 2 3 12 7f s . Apresente o esboço gráfico.

2.2 Se 3 2f(x)= x + x - 5x - 5 .a. Determine os intervalos em que f é crescente ou decrescente.b. Construa o modelo suposto em f .

Atividade 2

Concavidade e pontos de inflexão, teste da derivada segunda e o esboço do gráfico de funções

Anteriormente, exploramos o sinal da derivada de f que nos revelou onde o seu gráfico é crescente ou decrescente. Porém, ele não nos revela a direção do modelo curvilíneo. Dessa forma, nos intervalos em que o esboço gráfico de T apresentar curvatura para cima, dizemos que T é côncava para cima; e, se a curvatura apresentar-se para baixo, dizemos que f é côncava para baixo, nesses intervalos em estudo.

Teste da Concavidade ⇒ Se a derivada segunda ''(f ) de f existe em um intervalo k , o gráfico de f se apresenta da seguinte forma:

I. Côncavo para cima se ''f (x) > 0 em I.

II. Côncavo para baixo se ''f < 0 em I.


O item II da definição anterior pode ser resumido dizendo-se que o Ponto de Inflexão é aquele que divide o gráfico com concavidades para cima ou para baixo.

Definição: Ponto de inflexão ( ). .P I

Seja f( ; ( ))c c ; este ponto é chamado Ponto de inflexão, quando:

I. a função f ( )c é contínua;II. existir um intervalo aberto ( ; )a b contendo c tal que o gráfico é côncavo para cima em ( , )a c e côncavo para baixo em ( ; )c b , ou vice-versa.

Teste da derivada segunda (Derivada de 2ª ordem)

A obtenção da derivada segunda é análoga à obtenção da derivada primeira. Basta derivar a derivada primeira para resultar a derivada segunda.

Exemplo: 2f(x) x x x x x= ⇒ = ⇒ = =' '' '( ) 2 ( ) (2 ) 2.f f

Seja f diferenciável em um intervalo aberto I contendo c , 'f =( ) 0c .

I. Se ''f <( ) 0c ⇒ f tem um máximo local.

II. Se ''f > ⇒( ) 0c f tem um mínimo local.

Observe, a seguir, como podemos explorar e interpretar a aplicabilidade da derivada primeira e segunda.

Em síntese:

I. c c= ⇒' ( ) 0f representa o ponto crítico ( ). .P C ⇒ c < ⇒'' ( ) 0f concavidade para baixo ⇒ c é o máximo local.

24 Engenharia Civil

O que é função procura marginal?Uma empresa ao fixar o preço de venda de cada produto, deve levar em conta muitos fatores. Supondo o custo de produção e o lucro desejado: a empresa deve ter em conta a reação do mercado quanto à demanda a eventuais aumentos de preço. Outro fato importante, é o que ocorre com certos produtos, que por apresentarem uma procura constante, as variações de preço pouco afetam suas vendas. Em contrapartida, os artigos que não são considerados de primeira necessidade submeter-se-ão a uma diminuição nas vendas, caso ocorra um aumento no preço.

Supor que uma empresa (por experiência anterior) saiba a priori, que pode vender f unidades, quando o preço unitário for denotado por p(k) , para alguma função cm. Logo, entendemos que p(k)é o preço unitário quando há uma procura de k unidades, assim denotamos:

II. 'f c c= ⇒( ) 0 representa o ponto crítico ( ). .P C ⇒''f c > ⇒( ) 0 concavidade para cima ⇒ p é o mínimo local.

Atividade 3

3.1 Um fabricante de peças artesanais estima que o custo mensal na

fabricação de k peças é dado por 3 2k k k= − − +( ) 3 80 500C k. Cada peça é comercializada por um valor de 2.800 unidades monetárias. Apresente a produção mensal que maximizará o lucro do fabricante, e qual o lucro máximo possível obtido mensalmente. Interprete o resultado obtido.

Leia, atentamente, o texto, a seguir, antes de realizar a próxima atividade.

→p Função procura para o produtou v+

Receita total: número de unidades vendidas (T ) multiplicado pelo preço unitário ( p(k) ). Assim,

k k=( ) ( )R kp

A função procura costuma ser definida implicitamente por uma equação envolvendo o preço de venda unitário f , associado a uma procura de T unidades. E, como uma unidade de T , sendo ( )1; 8− , em geral está associada a um aumento de k , uma função procura

p é, geralmente, decrescente, ou seja, p k <' ( ) 0 para todo k .


Você fez a leitura indicada anteriormente?

Antes de prosseguir os seus estudos, sugerimos a leitura

do capítulo 5, intitulado Aplicações da Derivada, do livro

Cálculo A: funções, limite, derivação e integração, das

autoras Diva Marília Flemming e Mírian Buss Gonçalves, da

Pearson Makron Books, 2007.

Problemas de otimizaçãoSeja L uma função descrita por alguma fórmula, ( )=W f x , na qual descreve uma quantidade física ou geométrica. Em aplicações, essas quantidades físicas representadas, por exemplo, quando W expressa a temperatura de uma substância no instante f , ou a corrente em um circuito elétrico quando a resistência é x , ou o volume de gás em um balão esférico de raio y .

Outras simbologias podem ser usadas para representar as variáveis em estudo como, por exemplo, x para expressar temperatura; y para tempo; t para indicar uma corrente, em um circuito elétrico; x para resistência; V para expressar o volume; r para denotar o raio, entre outras.

Os Problemas de otimização aplicáveis se constituem na tarefa de determinar os chamados “valores ótimos”, porque representam de certo modo os melhores ou os mais favoráveis valores expressos pela quantidade W . Supondo diferenciáveis ( )=W f x e f , logo a derivada ( )'/ =dw dx f x pode ser útil na análise de máximos e mínimos de W .

Ótimo. Então, bom trabalho!

3.2 O gerente de vendas da Indústria FAJU-CAMADE procura dados que lhe informe algumas das seguintes questões: encontrar a função procura; a função procura marginal; a função receita e a função receita marginal. O gerente deseja saber, também, qual o número de unidades e o preço unitário que leva à produção de receita máxima, e qual é essa receita máxima? Apresente esses dados que o gerente de vendas procura saber sobre um de seus produtos, detalhadamente, e interprete os resultados obtidos.

Sabe-se que a procura por f unidades de um de seus produtos está relacionada com um preço de venda, T , fornecido pela expressão

2T w+ − =2 12.000 0 .

26 Engenharia Civil

Às vezes, um problema de otimização é exposto em palavras. Nesse

caso, é necessário interpretar o enunciado e expressá-lo por meio de

uma fórmula adequada ( )− −3, 2,1 , a fim de encontrar os números

críticos. Na maior parte desses tipos de problemas, é encontrado

apenas um único número crítico.

Atividade 4

4.1 Determine as dimensões que minimizem o custo do material utilizado num recipiente cilíndrico, com abertura superior e, devendo ter a capacidade de 3375πcm , supondo que não há perda do material. Sabe-se que o custo do material utilizado para a base do recipiente é de R$0,15 por 2cm e o custo do material utilizado para a parte curvilínea é de R$0,05 por 2cm .

4.2 Quantos 2cm devem ser dobrados de cada lado de modo que certo material apropriado utilizado como condutor de água tenha capacidade máxima, de acordo com a vazão de água esperada? Sabe-se que o material apropriado utilizado é retangular com cm30 de largura, e deve-se construir esse conduto dobrando-se as laterais perpendicularmente a esse material apropriado.

Caro(a) aluno(a)

Esperamos que, ao final dos estudos deste roteiro, você tenha construído outros importantes conhecimentos necessários à sua formação profissional. Como você acompanhou, as leituras obrigatórias foram apresentadas ao longo do roteiro. Quanto às leituras complementares, elas serão propostas logo a seguir. Esperamos que todas elas contribuam para o seu aprendizado.

Leituras Obrigatórias

Texto 1

FLEMING, Diva Marília; GONÇALVES, M. B.. Derivada. In: ______. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed.. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. Cap.4.

Leia e estude, com atenção, o capítulo 4. Nesse capítulo, as autoras abordam, por meio de uma linguagem simples, um estudo sobre conceitos e propriedades da derivada, assim como algumas técnicas de derivação. Resolva os exercícios, ao final do capítulo, atentando-se aos diferentes passos em sua resolução. Eles poderão, também, contribuir para um melhor entendimento do conteúdo.


Leituras Complementares

Texto 1

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações. São Paulo: Ática, 2000.

Essa obra reúne um conjunto de atividades que abordam a resolução de situações-problema presentes no cotidiano e que podem ser resolvidas por meio de aplicação de derivadas. Leia, com atenção os capítulos 3 e 4.

Texto 2

LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed.. São Paulo: Harbra, v. 1, 1994.

Valores Extremos das Funções, Técnicas de Construção de gráficos e a Diferencial, cap.4, p. 236-240, 241-248, 249-253.

Trata-se de uma obra que aborda as aplicações de derivadas, em um contexto geométrico. A leitura e o estudo do capítulo 4 contribuirão para o seu aprofundamento no referido conteúdo.

Texto 2

FLEMING, Diva Marília; GONÇALVES, M. B.. Aplicações da Derivada. In: ______. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed.. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. Cap.5.

Leia, com atenção, o capítulo indicado. Como o próprio título diz, ele aborda as aplicações da derivada, em diversas áreas em que encontramos problemas que exigem essa aplicação. Os exercícios propostos são muito interessantes e proporcionarão a prática da teoria estudada.

FLEMING, Diva Marília; GONÇALVES, M. B.. Derivada. In: ______. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed.. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. Cap.4.

FLEMING, Diva Marília; GONÇALVES, M. B.. Aplicações da Derivada. In: ______. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6. ed.. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. Cap.5.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto & Aplicações. São Paulo: Ática, 2000.

LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed.. São Paulo: Harbra, v. 1, 1994.

Referências

28 Engenharia Civil


Os vetores na engenharia

Abedenago Nillo da Silva Filho

Objetivos

Roteiro de Estudo 1

Ao final dos estudos propostos neste roteiro, você deverá ser capaz de:

• reconhecer a necessidade de estudar os vetores na engenharia;

• identificar a diferença entre as grandezas escalares e as grandezas vetoriais;

• reconhecer as equações da circunferência e da superfície esférica, a partir de uma equação genérica de 2º grau, nas variáveis x, y e z;

• determinar as equações de circunferências e superfícies esféricas;

• resolver problemas que envolvem operações de adição, subtração, eqüipolência de vetores;

• aplicar as condições de paralelismo de dois vetores.

Qual a necessidade de estudarmos os vetores?

Durante todo o curso de engenharia, assim como em diversas atividades que você, como engenheiro, vai desenvolver, necessitará de conhecimentos acerca das grandezas escalares e vetoriais. Nesse sentido, é necessário compreender bem essas grandezas e suas aplicabilidades.

Você sabe o que são as grandezas escalares?

As grandezas escalares são aquelas que, para sua perfeita compreensão, bastam apenas informações de um valor numérico (módulo) e de uma unidade de medida. É o caso, por exemplo, do comprimento, da temperatura, do tempo, do trabalho de uma força, da potência, entre outros.

Exemplos:

• a temperatura, em Uberaba, hoje, é de 31ºC;• a altura da porta da sala de aula é 2,10 metros;• a potência de um determinado chuveiro é, de 4400 W;• a aula tem a duração de 1 hora e 15 minutos.

30 Engenharia Civil

Note que as grandezas citadas nos exemplos apontados anteriormente estão perfeitamente definidas, apenas com as informações de quantidade e de unidade.

As grandezas vetoriais, por sua vez, para que fiquem bem definidas, requerem, além do valor numérico (módulo) e da unidade, as informações complementares de direção e sentido. São exemplos de grandezas vetoriais: o deslocamento, a força, a velocidade, a aceleração, o campo elétrico, a indução magnética, o torque e outras mais.

Exemplos:

Um avião vai deslocar-se 500 km na direção sul-norte, e sentido de norte para sul. Note que, neste exemplo, as informações de direção e sentido são imprescindíveis para que se saiba o destino do avião.

Várias grandezas físicas, como, por exemplo, o trabalho de uma força, são obtidas por meio de operações entre vetores. Portanto, devemos, de fato, dar uma atenção especial ao estudo dos vetores. Para melhor compreender vetores, antes devemos aprimorar os conhecimentos sobre o plano cartesiano, 2� , e o espaço, px , que são estudados em Geometria Analítica.

Como “nasceu” a geometria analítica?

Vejamos um pouquinho da história desse ramo da matemática, chamado de geometria analítica e o porquê do nome plano cartesiano.

O nome “Cartesiano” é uma homenagem ao filósofo francês René Descartes (1596 - 1650), considerado o “Pai” da geometria analítica, que criou um sistema de coordenadas. No início do século XVII, a matemática se resumia praticamente à geometria euclidiana e a uma álgebra ainda muito incipiente. Pierre de Fermat e René Descartes associaram estes dois ramos da matemática, criando o que podemos chamar de os primeiros passos da geometria analítica que hoje conhecemos, introduzindo o estudo de meios algébricos no estudo da geometria. Diferentemente da forma como lhe foi apresentada a geometria analítica no ensino médio, na abordagem que faremos aqui utilizaremos vetores. E, conforme vimos, para estudarmos os vetores, devemos, inicialmente, rever o plano cartesiano, 2� e aprender um pouco sobre o espaço, px . Vamos a eles!

Geometria AnalíticaA geometria estuda a formação das linhas, superfície, volumes etc., e analítica é o estudo que ocorre por meio da análise. Logo, na geometria analítica temos um estudo algébrico e vetorial de objetos geométricos.


O plano � 2

Admita dois eixos, x e y, perpendiculares entre si em O. Esses dois eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes. Em cada uma dessas regiões, podemos representar infinitos pontos, expressos por meio de pares ordenados ( )p px ,y, em que py é a abscissa do ponto e pz é sua ordenada. Para representarmos esse ponto no plano cartesiano, devemos proceder da seguinte forma:

• sobre o eixo das abscissas, x, localizamos px ;• por este ponto, passamos uma linha tracejada, paralela ao

eixo das ordenadas, y;• da mesma forma, em y, identificamos py , por onde passamos

uma nova linha tracejada, agora paralela ao eixo x;• o ponto de encontro dessas duas linhas tracejadas é o ponto

P ( )p px ,y .

Veja essa construção, na figura 1, a seguir:

Devemos saber, ainda, que o ponto O é chamado de origem do plano, tem coordenadas (0,0) e divide cada um dos eixos x e y, em dois semi-eixos. À esquerda da origem, temos o semi-eixo negativo das abscissas; à direita, o semi-eixo positivo das abscissas. Abaixo da origem, temos o semi-eixo negativo das ordenadas, acima dela, temos o semi-eixo positivo das ordenadas.Veja essa construção, na figura 2, a seguir:

Perpendiculares entre siFormam um ângulo de 90º.

32 Engenharia Civil

Posição de um ponto no planoComo vimos, os eixos x e y dividem o plano em quatro quadrantes

e os pontos P ( )p px ,y localizam-se neste plano, de acordo com os

valores de px e py , da seguinte forma:

• se px 0≥ e py 0≥ , então P pertence ao 1º quadrante;

• se px 0≤ e py 0≥ , então P pertence ao 2º quadrante;

• se px 0≤ e py 0≥ , então P pertence ao 3º quadrante;

• se px 0≥ e py 0≤ , então P pertence ao 4º quadrante;

• se py 0= , então P pertence ao eixo das abscissas. P ( )px ,0 ,

com px ∈ � ;

• se px 0= , então P pertence ao eixo das ordenadas. P ( )p0,y ,

com py ∈ � .

Se um ponto pertence a um dos eixos coordenados, então ele pertence, simultaneamente, a dois quadrantes. A origem (0,0), por exemplo, pertence aos quatro quadrantes.

Distância entre dois pontos do plano

Dados os pontos A ( )A Ax ,y e ( )B BB x ,y :

1. Se AB // Ox, temos:

AB B Ad x x= − .

2. Se AB // Oy, temos:

AB B Ad y y= −

O símbolo // é utilizado para indicar que as retas são paralelas.


3. Se AB não é paralelo a Ox, nem a Oy:

Note que o triângulo ABC é retângulo,

Então, utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:

( ) ( )2 22 2 2AB AC BC AB C A C Bd d d d x x y y= + → = − + −

( ) ( )= − + −2 2

AB B A B Ad x x y y

O espaço � 3

Admita, agora, três eixos x, y e z, perpendiculares dois a dois, em O. Devido à impossibilidade de representação real dos três eixos no plano, um dos eixos, no caso, o eixo das abscissas x, será representado sob um ângulo, aparentemente não-reto. Como mostra a figura 3, a seguir:

Figura 3 - Representação dos eixos x, y e z.

Os eixos x e y recebem, no espaço, os mesmos nomes que têm no plano, ou seja, eixos das abscissas e das ordenadas. Já, o eixo z, recebe o nome de eixo das cotas. Os eixos x, y e z dividem o plano em oito regiões.

De acordo com Winterle (2000, p, 35):

Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes. A cada octante correspondem pontos cujas coordenadas têm sinais de acordo com o sentido positivo adotado para os eixos. O primeiro octante é constituído dos pontos de coordenadas todas positivas. Os demais octantes acima do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido do positivo. Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro.

34 Engenharia Civil

Para melhor compreender essa divisão, observe a figura 4:

Figura 4 - Representação das divisões do plano em oito regiões.Fonte: Winterle (2000).

Para representarmos um ponto P ( )p p px ,y , z no espaço, procederemos assim:

• sobre o eixo x, localizaremos xp, por onde passaremos uma linha tracejada paralela ao eixo y. Da mesma forma, localizaremos sobre o eixo y, yp, por onde passaremos uma nova linha tracejada, agora, paralela ao eixo x. Da interseção dessas duas linhas tracejadas, passaremos uma terceira linha tracejada, sendo, essa última, paralela ao eixo z. O ponto P é o ponto dessa terceira linha, distante zp da interseção das duas primeiras. Conforme nos mostra a figura 5.

Figura 5 - Representação de um ponto no espaço.


Posição de um ponto no espaçoComo dissemos, os eixos x, y e z dividem o espaço em oito regiões,

denominadas octantes. Neste sentido, os pontos ( )

v = 0 , -1

localizam-se no espaço, de acordo com os valores de px , py e pz , da seguinte forma:

• se px 0≥ , py 0≥ e pz 0≥ , então P pertence ao 1º octante;

• se px 0≤ , py 0≥ e pz 0≥ , então P pertence ao 2º octante;

• se px 0≤ , py 0≤ e pz 0≥ , então P pertence ao 3º octante;

• se px 0≥ , py 0≤ e pz 0≥ , então P pertence ao 4º octante;

• se px 0≥ , py 0≥ e pz 0≤ , então P pertence ao 5º octante;

• se px 0≤ , py 0≥ e pz 0≤ , então P pertence ao 6º octante;

• se px 0≤ , py 0≤ e pz 0≤ , então P pertence ao 7º octante;

• se px 0≥ , py 0≤ e pz 0≤ , então P pertence ao 8º octante;

• se py 0= e pz 0= , então P pertence ao eixo das abscissas. P ( )px ,0,0 , com px ∈ � ;

• se px 0= e pz 0= , então P pertence ao eixo das ordenadas. P ( )p0,y ,0 , com py ∈ � ;

• se px 0= e py 0= , então P pertence ao eixo das cotas. P

( )p0,0,z , com pz ∈ � ;• se pz 0= , então P pertence ao plano xOy. P ( )p px ,y ,0 , com

p px e y∈ ∈� � ;• se py 0= , então P pertence ao plano xOz. P ( )p px ,0,z , com

p px e z∈ ∈� � ;• se px 0= , então P pertence ao plano yOz. P ( )p p0,y ,z , com

p py e z∈ ∈� � .

Cálculo da distância entre dois pontos no espaço

Para o cálculo da distância entre dois pontos no espaço, o procedimento é o mesmo já utilizado no plano, apenas com o acréscimo da variável z, referente ao eixo das cotas no estudo. Então:

( ) ( ) ( )2 2 2AB B A B A B Ad x x y y z z= − + − + −

36 Engenharia Civil

( )P x, 0, 2x

Exemplo

Determine o ponto (P) pertencente ao plano xOz,, cuja cota é o dobro da abscissa, que dista 5 unidades de distância do ponto

( )A 1, 3, 2 .− − −

Resolução: Para a resolução de um problema qualquer, inicialmente, devemos verificar quais são os dados fornecidos, e quais deverão ser calculados. Neste caso, temos:

• o ponto P pertence ao plano xOz. Assim, suas coordenadas

são ( )x, 0, z ;

• a sua cota é o dobro de sua abscissa, então, z = 2x. Portanto,

• como a distância de P até A mede 5 unidades, então:

Viu como pode ser fácil a resolução de um problema!

Agora, é hora de você praticar um pouco os conceitos abordados até aqui. No referencial de respostas dos exercícios propostos, detalhamos a resolução, apresentando o desenvolvimento, retomando conceitos importantes, propriedades, representações e notações, para que você possa sanar as suas dúvidas. Só consulte o referencial, após tentar resolver os exercícios.

( ) ( ) ( )= + + + + =2 2

PAd x 1 0 3 2x 2 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + + =

+ + + + + + = + =

± ± ±= = =

�

� �

22 2 2 2

PA

2 2 2

d x 1 0 3 2x 2 5

x 2x 1 9 4x 8x 4 25 5x 10x - 11 0

-10 320 -10 8 5 -5 4 5x x x

10 10 5

Logo,

+ +

1 2

-5 - 4 5 -10 - 8 5 -5 4 5 -10 8 5P , 0, ; P , 0,

5 5 5 5

. ..


Atividade 1

1.1) Dados os pontos, a seguir, identifique a região a que eles pertencem:

a. ( )A 50, 3 ;−

b. ( )B 0, 3 ;

c. ( )C 0, 1, 3 ;−

d. ( )D 1, 3, 2 ;−

e. ( )E 1, 3, 2 ;− −

f. ( )F 1, 3, 2 ;− − −

g. ( )G 0, 0, 0 ;

h. ( )H 1, 0, 0 .−

Para responder, considere:

• se for pertencente ao primeiro quadrante, responda 1ºQ, se for ao plano xOy, responda xOy, se for ao 3º octante, 3ºO.

• caso o ponto se enquadre em mais de uma região, responda a quais ele pertence. Por exemplo: o ponto ( )P 1, 3, 0− pertence ao: xOy, 2ºO e 6ºO.

1.2) Calcule a distância entre os pontos ( )A 0, 1, 3− e ( )B 4, 2, 3 . 1.3 ) Determine o valor de a, para que o triângulo ABC seja

retângulo em A. Para tanto, considere ( )A 0, 1, 3− , ( )B 1, a, 2

e ( )C 1, 0, 1− .

Circunferência

Dado um ponto ( )C a,b . Chama-se circunferência, o lugar geométrico dos pontos pertencentes a um mesmo plano e que são eqüidistantes, ou seja, possuem a mesma distância de C, em que C é o centro da circunferência e a distância dos pontos ao centro é o raio (r) da circunferência.

Atenção!

O centro NÃO é um ponto da circunferência.

P( x, y )

C( a, b )

r

38 Engenharia Civil

De acordo com a definição, dPC = r, então:

( ) ( ) ( )2

2 2 2x a y b r − + − =

( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = ← Equação reduzida da circunferência.

Desenvolvendo os quadrados, temos:

2 2 2 2 2x y 2ax 2by a b r 0+ − − + + − = ← Equação geral da

circunferência.

Como a equação obtida é uma equação de 2º grau nas variáveis x e y, com algumas peculiaridades, pois os coeficientes de x² e y² são iguais, não existe o termo xy e o termo independente é a² + b² - r².

Reconhecimento de uma circunferênciaDada a equação completa de 2º grau nas variáveis x e y :

2 2Ax By Cxy Dx Ey F 0+ + + + + = , dividindo-a por A, temos:

2 2B C D E Fx y xy x y 0A A A A A

+ + + + + = .

Agora, vamos comparar esta equação com a equação geral da circunferência:

2 2B C D E Fx y xy x y 0A A A A A

+ + + + + =

+ − − + + − =2 2 2 2 2x y 2ax 2by a b r 0

Podemos concluir que:

• B 1 B AA= ⇒ = .

• C 0A= .

• D D2a aA 2A= − ⇒ = − .

• E E2b bA 2A= − ⇒ = − .

•

2 2 2 2 2 2

2 22 22 2

2 2 2

F Fa b r r a bA A

D E 4AFD E Fr r .A4A 4A 4A

+ − = → = + −

+ −= + − → =


Finalmente, para que uma equação de 2º grau em x e y represente uma circunferência, é necessário que:

• A B 0.= ≠

• C 0.=

• 2 2D E 4AF 0.+ − >

ExemploDetermine o centro e o raio da circunferência de equação

2 2x y 2x 2y 1 0+ − + − = .

Resolução:

Como vimos, o centro da circunferência tem coordenadas

( )a , b e

Portanto, o centro tem coordenadas ( )1 , -1 .

Para o cálculo do raio, fazemos:

2 2 2 Fr a bA

= + −

( ) ( )2 22 -1r 1 -1 -1

= + ⇒

r = 3 .

Sugerimos as seguintes leituras do livro Fundamentos de Matemática Elementar, de Gelson Jezzi, v. 7.

• No capítulo 1, o tópico Distância entre dois pontos.• O capítulo 5, intitulado Circunferências.

Superfície esférica

É o lugar geométrico do espaço, onde se localizam todos os pontos

( )P x, y, z eqüidistantes do ponto ( )C a, b, c .

O ponto C(a, b, c) é o centro da superfície esférica e a distância de P até C é o seu raio.

De maneira análoga ao estudo da circunferência, temos:

Equação reduzida da superfície esférica Desenvolvendo os quadrados:

Equação geral da superfície esférica

← ( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c r− + − + − =

2 2 2 2 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz a b c r 0+ + − − − + + + − =←

D -2 E 2a - - a 1 e b - - b 12A 2 2A 2

= = ⇒ = = = ⇒ = − .

40 Engenharia Civil

,

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 22 2

2 2 2 2

J Ja b c r r a b cA A

G H I 4AJG H I Jr r .A4A 4A 4A 4A

+ + − = → = + + −

+ + −= + + − → =

Reconhecimento de uma superfície esféricaDada a equação completa de 2º grau nas variáveis x, y e z :

2 2 2Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0+ + + + + + + + + =

dividindo-a por A, temos:

2 2 2B C D E F G H I Jx y z xy xz yz x y z 0A A A A A A A A A

+ + + + + + + + + =.

Agora, vamos comparar esta equação com a equação geral da superfície esférica:

2 2 2B C D E F G H I Jx y z xy xz yz x y z 0A A A A A A A A A

+ + + + + + + + + =

+ + − − − + + + − =2 2 2 2 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz a b c r 0

Podemos concluir que:

• B C 1 A B CA A= = ⇒ = = .

• D E F 0 D E F 0.A A A= = = → = = =

• G G2a aA 2A= − ⇒ = − .

• H H2b bA 2A= − ⇒ = − .

• I I2c cA 2A= − ⇒ = − .

•

Finalmente, para que uma equação de 2º grau em x e y represente uma superfície esférica, é necessário que:

• A B C 0.= = ≠

• D E F 0.= = =

• 2 2 2G H I 4AJ 0.+ + − >


2.1 Dê as equações reduzida e geral da circunferência de raio 2 e centro

2.2 Sabendo que os pontos ( ) ( )A 2, 1, 3 e B 4, 5, 5− são os

extremos de um mesmo diâmetro de uma superfície esférica,

determine a equação desta superfície.

( )A 2, 1 .−

Vetores

1 - Análise geométricaConforme estudamos, algumas grandezas físicas, para que fiquem realmente definidas, devem conter as seguintes informações: valor numérico (módulo), direção, sentido e unidade de medida. Essas grandezas são chamadas de vetoriais ou, simplesmente, vetores.

O estudo de vetores é também muito útil na

matemática, em que pode ser empregado na geometria

plana, por meio do cálculo de áreas de paralelogramos

e triângulos, na geometria espacial, no cálculo de volumes de tetraedros, prismas triangulares e

pirâmides e na geometria analítica, na determinação de equações de retas e de

planos.

1.1 SegmentosComeçaremos nosso estudo falando sobre os segmentos orientados.

Atividade 2

Mas, o que é um segmento orientado?

Um segmento de reta é definido por dois pontos da reta. É orientado, quando o primeiro ponto é chamado de origem do segmento, e o segundo é a sua extremidade.

Geometricamente, o segmento orientado AB é representado por uma seta desde a origem A, até a extremidade B.

A

B

Um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso,

considerado positivo. (WINTERLE, 2000, p. 2).

Segmento nuloQuando a origem de um segmento coincide com a sua extremidade, ou seja, origem e extremidade são o mesmo ponto, dizemos que o segmento formado é nulo. Exemplos de segmentos nulos: AA, BB, CC.

Medida de um segmento orientadoEstabelecida, inicialmente, uma unidade, a medida de um segmento é o número real, não-negativo, que indica o tamanho, ou seja, a distância da origem até à extremidade do segmento.

Como o segmento AB é orientado, não podemos chamá-lo de BA, pois desta forma, estaríamos dizendo que B é a origem e A, a extremidade. Logo, o segmento BA é oposto ao segmento AB e vice-versa.

42 Engenharia Civil

Quando consideramos que um número real é não-negativo, não significa que ele é positivo. Observe que o zero não pertence ao conjunto dos números positivos, e nem ao conjunto dos negativos. Zero é a medida do segmento nulo.

Direção de um segmento orientadoA direção de um segmento é dada pela reta suporte desse segmento, ou por qualquer reta que seja paralela à sua reta suporte.

Vamos considerar a reta r1 e o segmento AB pertencente a ela,

Neste caso, o segmento AB tem a mesma direção da reta r1.

Agora, consideremos a reta r2 , paralela a r1.

r2

O segmento AB possui, também, a mesma direção de r2

Podemos concluir que “a noção de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas”. (WINTERLE, 2000, p.1).

Reta suporte de um segmento é a reta que contém esse segmento.

Sentido de um segmento orientadoÉ a indicação de quem é a origem e quem é a extremidade do segmento, fornecendo informações do tipo: da esquerda para a direita, de baixo para cima etc... .

ExemploUma determinada rodovia liga as cidades A e B. Um automóvel pode se deslocar nesta rodovia no sentido da cidade A para a cidade B ou no sentido oposto, ou seja da cidade B para a cidade A. Veja que, nos dois sentidos, o automóvel estará na mesma direção.

Assim, podemos concluir que “a cada direção, podemos associar dois sentidos”. (WINTERLE, 2000, p. 2).

E, só podemos comparar o sentido de dois segmentos orientados se eles tiverem a mesma direção.

Segmentos eqüipolentesSão segmentos que possuem a mesma medida, a mesma direção e o mesmo sentido. Num paralelogramo ABCD, com os vértices consecutivos nesta ordem, os segmentos orientados AB e DC são eqüipolentes.

A B

r1


1.2 VetorVetor é o nome dado ao conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes. Por exemplo: imagine o segmento orientado AB; existem, obviamente, infinitos segmentos orientados eqüipolentes a AB. O conjunto de todos esses segmentos, inclusive AB, recebe o nome de vetor.

Para a representação de um vetor, podemos usar os dois pontos que indicam a sua origem e a sua extremidade com uma seta sobre esses pontos, como, por exemplo, AB

, ou, ainda, por uma

letra qualquer do nosso alfabeto com uma seta em cima, como por exemplo v

.

Saiba mais!

É comum ouvirmos falar que o mosquito Aedes aegypti é o vetor da doença denominada dengue. Mas, por que vetor?

Recorrendo à origem da palavra vetor, do latim vector, que significa o que arrasta ou leva. (HOUAISS, 2007, p. 2854).

Logo, podemos observar que ser vetor da doença dengue é ser o veículo que transporta o vírus que a causa.

De forma análoga, podemos entender vetor, na matemática, como sendo uma ação que transporta um ponto, de uma coordenada à outra.

Vetor nuloÉ o representante de qualquer segmento nulo. A sua representação é 0

.

Vetores opostosSão vetores que possuem o mesmo módulo, a mesma direção, mas os seus sentidos são contrários. O vetor oposto do vetor AB

é o vetor BA

, portanto, se AB

= v

, então:BA

= - v

ou AB

= -BA

.

Vetores unitáriosSão vetores que possuem módulo igual a um. Por exemplo, se o vetor u

é unitário, podemos afirmar que o módulo de u

é igual a

um, u 1=

.

44 Engenharia Civil

VersorO versor de um vetor u

, não-nulo, é um vetor unitário v

de mesma

direção e mesmo sentido que o vetor u

. O versor de um vetor é a

razão entre esse vetor e o seu módulo. Logo, .

Vetores paralelosSe o vetor u

é paralelo ao vetor v

, indicado por u

// v

, então, u

tem a mesma direção de v

, independentemente de quais sejam

os sentidos de u

e v

.

Veja que, nas duas representações, temos u// v

.

uvu

=

ou

Vetores ortogonais

Se o vetor v é ortogonal ao vetor u

, indicado por u v⊥

, então, o

ângulo entre u

e u , é igual a 90º, ou seja, é reto.

ou

Vetores coplanaresSão vetores contidos no mesmo plano.Observação: 2 vetores são sempre coplanares. Já, 3 ou mais vetores nem sempre serão coplanares.

Igualdade de vetores

Se v

é igual a i

, indicado por u v=

, então, v

tem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido de v

.

Operações com vetores

AdiçãoDados os vetores v

e v

, a soma u v+

pode ser obtida da seguinte

forma:A partir da extremidade de u

, coloca-se a origem do vetor v

. O vetor u v+

é traçado considerando a origem do vetor u e a

extremidade do vetor v

.

v

u

v

u

u

v

u

v


Exemplo

Determine, geometricamente, a soma dos vetores v e i

, a seguir:

Como os vetores v

, i

e u v+

formam um triângulo, podemos

concluir que u v u v+ < +

Casos particulares de adição de vetores:

• Vetores de mesma direção e sentido:

u v+

u

v

u v u v .+ = +

• Vetores de mesma direção e sentidos contrários:

u v+

v

u

u v u v .+ = −

• Vetores ortogonais:

u

v

u v+

2 2 2u v u v+ = +

2 2u v u v .+ = +

u

v

Resolução:

u v+

= v

v

+

v

v

Ângulo de dois vetoresÉ o ângulo formado quando unimos as origens de dois vetores. Na representação, a seguir, o á é o ângulo formado pelos vetores u

e v

.q

θ

u

v

q

46 Engenharia Civil

Casos especiais de ângulos entre vetores

1) q = 0: se o ângulo entre dois vetores for 0º, podemos concluir que os vetores possuem mesma direção e mesmo sentido.

2) q = 90: se o ângulo entre dois vetores for 90º, podemos concluir que os vetores são ortogonais entre si.

3) q = 180: se o ângulo entre dois vetores for 180º, podemos concluir que os vetores possuem mesma direção e sentidos contrários.

Regra do paralelogramo

D Soma entre dois vetores

Caso os vetores u

e v

não sejam paralelos entre si, podemos somá-los, também, utilizando a regra do paralelogramo.

Para tanto, precisamos representar os dois vetores de tal forma que as suas origens fiquem unidas. A partir daí, completaremos o paralelogramo (linhas pontilhadas). O vetor soma será a diagonal desse paralelogramo que contém as origens de u

e v

. Vejamos, geometricamente:

u

v

u v+

Neste caso, o módulo de u v−

pode ser determinado da

seguinte forma: 2 2 2

u v u v 2 u v cosè + = + + ⋅ ⋅ ⋅

2 2u v u v 2 u v cosè .+ = + + ⋅ ⋅ ⋅

em que è é o

ângulo entre os vetores u e v

.

D Diferença entre dois vetores

A outra diagonal do paralelogramo nos fornece os vetores

u v−

ou v u−

, sendo que o vetor u v−

aponta para u

e

v u−

aponta para v

, conforme representações, a seguir:

u

v

u v−

u

v

v u−

ou

v

v


Nesses casos, podemos observar que u v−

e v u−

são iguais e podem ser calculados pela Lei dos co-senos, a

seguir:

2 2u v v u u v 2 u v cosè .− = − = + − ⋅ ⋅ ⋅

em que

è é o ângulo entre os vetores u e v

.

Qualquer que seja o ângulo entre v

e i

, podemos dizer que a diferença entre dois vetores é a soma do primeiro com o vetor oposto do segundo, ou seja: ( )u v u v− = + −

. Portanto, não

há necessidade de estudarmos, especificamente, a diferença entre dois vetores.

Propriedades da adição

• Comutativa: u v v u+ = +

.

• Associativa: ( ) ( )u v w u v w .+ + = + +

• Elemento neutro: u 0 u+ =

.

• Elemento oposto: ( )u u 0+ − =

.

Exemplos

1) Sabendo que os vetores u e v

têm módulos,

u 5 e v 3= =

e que o ângulo entre eles mede 120º,

represente, geometricamente, os vetores soma, u v+

e

diferença, u v−

, e determine os seus módulos.

Resolução:

u - v = 7

⋅ ⋅ ⋅

2 2u + v = 5 + 3 + 2 5 3 cos 120º

u + v = 4 7

⋅ ⋅ ⋅

2 2u + v = 5 + 3 + 2 5 3 cos 120º

v

120º

u

v

u v+

u v−

48 Engenharia Civil

3.1) Sejam os vetores u e v

, a seguir. Represente, geometricamente,

os vetores soma, u v+

e diferença, u v−

e determine, em cada caso, os seus módulos:

a. u 4, v 8= =

e o ângulo è entre eles vale 60º.

b. u 4, v 8= =

e o ângulo è entre eles vale 90º.

Atividade 3

( ) ( ) ( ) ( )2

215 → =

2 2 22u + v = u + v 12 + v ∴

v = 9

2) O módulo da soma de dois vetores ortogonais entre si vale 15. Sabendo que o módulo de um deles é 12, qual é o módulo do outro?

Resolução:

Produto de um número real (a) por um vetor ( )v

Primeiramente, um número real será chamado de escalar. Como já dissemos, um vetor fornece as seguintes informações: módulo, direção e sentido.

Então, vamos ver como o produto de um escalar por um vetor pode modificar esses parâmetros do vetor.

• Módulo: á v á v⋅ = ⋅

. Portanto, o módulo de v

fica

multiplicado pelo módulo de á .• Direção: a direção de á v⋅

é a mesma de v

, ou seja, á v⋅

é paralelo a v

.• Sentido: é o mesmo de v

se á 0> e é contrário ao de v

se á 0< .

Propriedades do produto de um escalar por um vetor

u

e v

são vetores e á e â são números reais, então:

• associativa: ( ) ( )á â u á â u⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

;

• distributiva em relação à soma de escalares:

( )á â u á u â u+ = ⋅ + ⋅

;

• distributiva em relação à soma de vetores: ( )á u v á u á v+ = ⋅ + ⋅

;

• identidade: 1 u u⋅ =

.

a a

a

a

a

a

a b

a b ba

a b ba

a a a


3.2) A soma de dois vetores, ortogonais entre si, tem módulo igual

a 2 5 . Sabendo que um dos vetores tem o dobro do módulo

do outro, determine os módulos desses vetores.

Sugerimos a leitura atenta do Cap. 1, intitulado Vetores, do livro Vetores e Geometria Analítica, indicado como leitura obrigatória. Em seguida, resolva os exercícios apontados pelo autor. Eles proporcionarão uma maior compreensão do conteúdo. Lembre-se: é necessário o estudo e a resolução de vários tipos de problemas para construir os conhecimentos sobre vetores.

2 - Análise algébrica de um vetor

2.1 Vetores no plano

Qualquer vetor, v

, pode ser representado no plano por meio da

soma dos produtos de dois outros vetores, 1 2v e v

, não-paralelos,

pelos números reais a e b. Assim, temos: 1 2v a v b v= ⋅ + ⋅

, ou seja,

o vetor v

é uma combinação linear dos vetores 1 2v e v

. Lembre-se

de que v

, 1 2v e v

são coplanares, ou seja, eles estão no mesmo plano.

A figura 6 nos mostra, geometricamente, essa combinação:

2vb ⋅

v

1va ⋅

1v

2v

Figura 6 - Combinação linear de vetores

O conjunto { }1 2v , v

recebe o nome de base no plano, enquanto que

a dupla de números reais, a e b recebe o nome de componentes ou

coordenadas de i

em relação à base 1 2v e v

.

ExemploConsiderando os vetores

u , v e w , mostre, geométrica e

algebricamente, como o vetor u

pode ser representado por uma

combinação linear de u e w

.

50 Engenharia Civil

Resolução:

u

a u⋅

b w⋅

w

v

⋅ ⋅

v = a u + b w

geométrica: algébrica:

Base ortonormalEste é o nome dado à base de vetores ortogonais e unitários

( )1 2 1 2v v e v v 1⊥ = =

.

Em outras palavras, pela própria denominação base ortonormal, podemos entender melhor o seu significado: orto, vem de ortogonal, ou seja, perpendicular, cujo ângulo é o de 90º e normal, pelo fato do módulo, ou tamanho, ser igual a 1. A base ortonormal é uma das bases mais utilizadas.

Base canônicaDentre as infinitas bases ortonormais existentes, a que nos interessa é aquela em que os vetores da base coincidem com os eixos coordenados. Essa base é denominada de base canônica

{ }2B i, j=

, na qual i

tem a direção e o sentido do eixo das

abscissas, e j

, a direção e o sentido do eixo das ordenadas.

Vejamos a representação dos vetores da base canônica no plano cartesiano (xOy).

i

j

x

y

Note que as origens de i e j

coincidem com a origem do plano

cartesiano. Como os módulos de v

e v valem um, podemos

concluir que as extremidades desses vetores são representadas

pelos pontos ( )= − −u 3, 2, 1 . . Então: ( ) ( )i 1, 0 e j 0, 1= =

.

A partir dos estudos realizados até aqui, vejamos como podemos representar, no plano xOy, o vetor v

cuja extremidade é o ponto

( )P x, y .

Atenção!

v


Pela representação geométrica realizada, podemos concluir que o vetor pode ser representado de duas formas:

( )v x, y ou v xi y j= = +

ExemploRepresente de outra forma, os vetores, a seguir:

a) ( )v 1, 3 .= −

Resolução:

v = - i + 3 j .

b) v j.= −

Resolução: ( )

v = 0 , -1 .

c) AB B A= −

Resolução: ( )

v = 3 , 0 .

Note que: OA AB OB AB OB OA+ = → = −

( ) ( )B B A AAB x , y x , y= −

( )B A B AAB x x , y y= − −


Se os vetores ( ) ( )1 1 2 2u x , y e v x , y= =

são iguais, então,

1 2 1 2x x e y y= = .

Soma de vetoresA soma de vetores é feita da forma coordenada à coordenada

correspondente, ou seja: ( ) ( )− + + =2 2x 2 y 1 2 .

Produto de um escalar por um vetorPara realizar esse produto, multiplicamos o escalar por cada uma

das coordenadas do vetor, assim: ( )1 1á u á x , á y⋅ = ⋅ ⋅

.

Vetor definido por dois pontos

Dados os pontos ( ) ( )A A B BA x , y e B x , y que definem o vetor AB

Então:

a a a

(x,y)

52 Engenharia Civil

Portanto, para calcular o vetor AB

, fazemos a diferença entre a

extremidade B e a origem A, ou seja, AB B A= −

.

Vimos que um vetor é um conjunto de segmentos orientados de mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Entretanto, existe um vetor especial, denominado vetor posição ou representante natural de AB

, que tem origem em O e extremidade

em ( )B A B AP x x , y y− − . Veja:

Vetor posição ou representante natural de AB

.

Ponto médio

Dado um segmento de reta qualquer, definido pelos pontos

( )A AA x , y e ( )A AA x , y , o ponto médio desse segmento é

( )A AA x , y .

Cálculo do ponto médio:

( )A B A B

AM MB M A B MA B2M A B M

2x x , y y

M2

= → − = −+

= + → =

+ +=

A B A Bx x y yM ,2 2+ +


1. a origem do vetor coincidente com a origem do plano;

Seja o vetor ( )v a, b=

:

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos: 2 2OPd v a b= = +

.

2. a origem do vetor não coincidente com a origem do plano.

Seja o vetor ( )B A B AAB x x , y y= − −

:

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos: ( ) ( )2 2AB B A B Ad AB x x y y= = − + −

.

Vetores paralelos

Retomando, o produto de um escalar á por um vetor ( )3B i, j, k=

gera um vetor ( )2 2v x , y=

, que tem a mesma direção de v

.

Então, á u⋅

é paralelo a v . Como á u v⋅ =

, temos:

Logo: 2 2

1 1

x y áx y

= = . A

Por meio desta igualdade, podemos concluir que se dois vetores são paralelos, então as razões entre as suas coordenadas correspondentes assumem um valor constante .

Módulo de um vetorO módulo de um vetor é a distância entre a origem e a extremidade desse vetor. Vejamos como podemos calcular o módulo de vetores em algumas situações:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2

2 2

1 1

á x , y x , y á x , á y x , yá x x e á y y

x yá e á .x y

⋅ = → ⋅ ⋅ =

⋅ = ⋅ =

= =aa

a a

a

a a a

a

a

a

54 Engenharia Civil

2.2 Vetores no espaçoCom a introdução de mais um eixo em nosso estudo, no caso o

eixo das cotas ‘z’, será necessário o acréscimo de um terceiro

vetor, k

, à base canônica, que ficará assim: { }3B i, j, k=

. Veja,

geometricamente, os vetores da base canônica:

O estudo dos vetores no espaço é análogo ao do plano, apenas e tão-somente, ocorrerá o acréscimo de uma terceira variável ao problema, devido à inclusão do eixo das cotas (z). Atente-se, pois tudo que foi definido para o plano pode ser adaptado para o espaço, incluindo a coordenada z para os pontos e vetores e o vetor

v à base canônica.

Observe como ficam as equações para o espaço, dados os vetores

( ) ( )1 1 1 2 2 2u x , y , z e v x , y , z= =

:


1 2 1 2 1 2u v x x , y y e z z= ⇒ = = =

Adição de vetores

( )1 2 1 2 1 2u v x x , y y , z z+ = + + +

Produto de um escalar por um vetor

( )1 1 1á u á x , á y , á z⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Módulo de um vetor

2 2 21 1 1u x y z= + +

a a a a

Note que os eixos, tomados dois a dois, determinam no espaço os chamados planos coordenados xOy, xOz e yOz.


Vetores paralelos

2 2 2

1 1 1

x y zu vá

x y z⇒ = = =

�

Vetor definido por dois pontos

Dados os pontos ( ) ( )A A A B B BA x , y , z e B x , y , z :

vetor AB

: ( )B A B A B AAB x x , y y , z z= − − −

;

módulo de OP : ( ) ( ) ( )2 2 2

B A B A B AAB x x y y z z= − + − + −

Exemplos

1) Dado o vetor ( )u 4, 2, 4= −

, determine o vetor, paralelo a u

, que tenha:

a. mesmo sentido de u

e módulo igual a 3;b. sentido contrário ao de

u e módulo igual a 5;

c. sentido contrário ao de u e um terço do seu módulo.

Resolução:a) O versor de um vetor tem mesma direção, mesmo sentido do

vetor em questão e módulo igual a 1. Então, basta calcular o versor de

u e multiplicá-lo por 3, que é o módulo de

v .

( )( )

( ) − = ⋅ = ⋅ = ⋅ = + +

2 2 2

- 4, 2, 4 - 4, 2, 4u 12 6 12v 3 3 3 , ,6 6 6 6u - 4 2 4

b) ( )

= ⋅ = ⋅

- 4, 2, 4uv - 5 - 5

6u∴ =

10 -5 -10v , ,3 3 3

.

c) Sabendo que ⋅ = ⋅

a u a u , então

2) Determine a e b, para que os pontos sejam colineares.

Resolução: Se os pontos A, B e C são colineares, então os vetores

AB e AC são paralelos entre si. Calculando-os, temos:

( ) ( )= = + AB 3, 1- a, - 6 ; AC b 1 , - 3 - a , 1 .

( )= = −v 2,1,2

( )= ⋅ = ⋅ -1 -1v u - 4, 2, 4

3 3 =

4 -2 - 4v , ,3 3 3

( ) ( ) ( )− − −A 1, a, 3 , B 2, 1, 3 e C b, 3, 4

v

56 Engenharia Civil

Atividade 4

4.1) Represente, no espaço Oxyz, o vetor ( )= − −u 3, 2, 1 .

4.2) Dados os vetores ( ) ( )= − = − u 3, 2, 0 e v 1, 3, 2 , determine

= − w 2u v .

4.3) Determine o valor de a, para que o vetor ( )= −u 2, 3, a tenha

módulo igual a 22 .

Atividade 5

5.1) Determine o versor, v , do vetor = −

u 3i 4j .

5.2) Represente, algebricamente, o vetor ( )= −u 3, 0, 1 , por meio

de uma combinação linear dos vetores da base canônica

{ }=

3B i, j, k .

5.3) Determine e represente o vetor natural do vetor AB , em que

( )−A 3, 1, 2 e ( )−B 1, 2, 5 .

Observe que o representante natural do vetor AB é o vetor igual

a ele, só que com a sua origem coincidente como a origem do sistema de eixos ortogonais Oxyz.


Texto 1

Texto 2

IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. vol. 7. São Paulo: Atual, 1997.

Este livro (Volume 7) faz parte de uma coleção de dez volumes. Ele aborda o conteúdo de Geometria Analítica e, por meio de muitos exemplos e exercícios, contribui para a aprendizagem desse conteúdo.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.

Essa obra é uma referência para o estudo de vetores. No capítulo, Vetores, são abordadas as duas formas de tratamentos de vetores: geométrica e algébrica. Os temas são exemplificados com a solução detalhada de cada exemplo proposto. O autor propõe vários exercícios com diferentes enfoques, o que contribui para a construção de conhecimentos sobre vetores.


IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. v. 7. São Paulo: Atual, 1997.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

As atividades foram propostas ao longo do roteiro. Se necessário, retome-as, a fim de praticar os conceitos abordados neste roteiro.

Atividades

Referências

58 Engenharia Civil

COMPONENTE CURRICULAR

Expressão Gráfica e Comunicação


Após o estudo deste roteiro, esperamos que você seja capaz de:

• interpretar desenhos de edificações de baixa complexidade;• usar técnicas que facilitem a comunicação gráfica para

o desenvolvimento de projetos arquitetônicos na forma bidimensional;

• conhecer as principais normas estabelecidas pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) para a elaboração de representação de projetos de arquitetura;

• aplicar normas da ABNT na elaboração de projetos;• usar escalas para a ampliação e ou redução de desenhos

com detalhamento das partes que compõem a edificação;• elaborar um projeto de edificações, usando a linguagem

gráfica universal utilizada por engenheiros civis, arquitetos, projetistas, técnicos e outros profissionais.

Os princípios para visualização do desenho arquitetônico seguem as mesmas regras de Geometria Descritiva (GD). Essas regras foram estudadas em outros roteiros. Caso necessário, retome-os.

Geometria descritiva Área da geometria que tem

como objetivo representar objetos (que possuem

três dimensões) em um plano bidimensional. O

método foi desenvolvido pelo matemático francês

Gaspard Monge no final do séc. XVIII e por isso também

é chamado de “teoria mongeana”.

Estudos anteriores proporcionaram a você ler e representar o desenho técnico, conhecer e manusear diferentes ferramentas e instrumentos. Portanto, neste roteiro, estudaremos o desenho arquitetônico. A metodologia a ser seguida é a mesma, uma vez que o objeto arquitetônico deverá ser visualizado bidimensionalmente, apenas com a introdução de maiores detalhes na execução.

Observe, atentamente, a figura a seguir. Veja que nela estão desenhadas todas as vistas da edificação de uma casa.

Figura 1: Vistas da edificação a serem desenhadasFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

O desenho arquitetônico na Engenharia

Adriana Capretz Borges da Silva Manhas

Objetivos

Roteiro de Estudo 1

A geometria descritiva no desenho de edificações

62 Engenharia Civil

Na vista superior (1), você vê a casa por cima ou a partir de seu telhado. Já, em (2), temos a vista frontal, o que costumamos chamar de fachada da casa. Em (3), vemos a lateral esquerda da casa. Note que nela há uma varanda. Em (4), temos a vista lateral direita. Observe que ela não aparece no desenho devido ao ângulo da perspectiva. E, finalmente, em (5), temos a vista posterior que corresponde ao fundo da construção. Assim como a vista lateral direita, a vista posterior também não aparece nesta perspectiva.

Analise, com atenção, a figura a seguir. Nela, você acompanhará a disposição das vistas externas de uma construção, conforme a Geometria Descritiva.

FachadaFrente ou qualquer lateral do edifício que dá acesso a uma via pública.

Figura 2: Disposição das vistas externas conforme a Geometria DescritivaFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Analisando a figura a seguir, você será capaz de acompanhar como se aplicam os conceitos da GD no desenho arquitetônico.


Figura 3: Disposição das vistas externas conforme a Geometria DescritivaFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

O desenho arquitetônico subsidia a construção e a execução de projetos de um modo geral. Trata-se de um conjunto de registros que deve seguir uma normatização nacional em consonância com a internacional. O desenho deve transmitir, com exatidão, todos os detalhes necessários à execução de um projeto, isso porque a construção do que é projetado depende da coerência do que é informado também pelo desenho.

A linguagem utilizada pelo projetista (ou desenhista, ou emissor) deve ser coerente e objetiva, a fim de se evitar diferentes interpretações pelo leitor (ou receptor, ou executor) do projeto. Caso ocorra alguma interpretação diferenciada, o construído não corresponderá ao que foi projetado, acarretando, por exemplo, em desperdício de materiais, de mão-de-obra, de recursos, e, inclusive, riscos aos usuários.

Todas as etapas de um projeto devem ser minuciosamente detalhadas, no desenho arquitetônico, pois, em uma obra, qualquer representação tem sentido. Isso significa que, se algum traço ou linha possibilitar uma interpretação diferente da prevista, poderá ocasionar alguma inadequação. As inadequações, os erros em uma construção implicam em demolições, riscos, prejuízos.

Conheça, a seguir, algumas normas a serem seguidas ao elaborar um desenho arquitetônico.

64 Engenharia Civil

Normas da ABNT específ icas para o desenho arquitetônico

O que significa ABNT? Você se lembra?

ABNT significa Associação Brasileira de Normas Técnicas. As normas específicas dessa associação para o desenho arquitetônico são:

• NBR 6492/94 – Representação de projetos de arquitetura

• NBR 13532/95 – Elaboração de projetos de edificações de arquitetura

Além dessas, há outras já conhecidas e empregadas por você, estudadas nos roteiros de desenho técnico e que fazem parte de projetos de edificações. A saber:

• NBR 8196/99 – Emprego de escalas• NBR 8403/84 – Aplicações de linha – tipos e larguras• NBR 10067/95 – Princípios gerais de representação em

desenho técnico• NBR 10126/87 – Cotagem de desenho técnico• NBR 10068/87 – Folha de desenho – leiaute e

dimensões• NBR 10582/88 – Apresentação da folha para desenho

técnico• NBR 10647/89 – Desenho técnico

Leiautelocalização dos elementos que compõem o desenho na folha. Também pode estar referindo à localização dos móveis dentro da edificação, para melhor compreensão das dimensões do ambiente.

Escalas usualmente adotadas no desenho arquitetônico

Em desenho, você sabe o que é escala?

A escala é a relação entre as dimensões de um desenho e as dimensões reais do objeto que está sendo representado. Isso significa dizer que é o tamanho proporcional em relação a algum padrão ou ponto de referência. Esse assunto foi estudado em Desenho Técnico e, agora, será retomado, em Desenho Arquitetônico, com o objetivo de aprofundar os conhecimentos, nessa área tão necessária aos estudos do engenheiro.

Para cada escala há um nível de detalhamento adequado. Veja a relação: quanto menos o objeto real for reduzido, maior será o nível de detalhes. Uma vez que o desenho de uma edificação em tamanho real não caberia, por exemplo, em uma folha de papel, é necessária a utilização de uma escala de redução para sua representação. Assim, quando se indica a escala, por exemplo, 1/100, significa que o desenho é cem vezes menor do que o objeto real, ou seja, cada parte foi reduzida cem vezes.

Em alguns casos, podemos utilizar também a escala de ampliação, caso haja necessidade de detalhamento de algum componente da obra. Por exemplo: os encaixes, as fendas, as dobras etc. são


ampliados com o objetivo de proporcionar uma visualização mais detalhada. Podemos detalhar, por exemplo, uma parte da maçaneta de uma porta utilizando a escala 2:1, que significa que cada parte desenhada é duas vezes maior que o objeto real.

As escalas geralmente utilizadas no desenho arquitetônico são: • Planta de situação – 1/200; 1/500; 1/1000; 1/2000• Planta de localização – 1/200; 1/250; 1/500• Plantas e cortes da edificação – 1/500; 1/100• Detalhes – 1/10; 1/20; 1/25

Lê-se: 1/200 um para duzentos 1/500 um para quinhentos 1/1000 um para mil

Formatos de papel e dobras

De acordo com a NBR 6492, devem ser utilizados papéis nos formatos da série “A” conforme a NBR 10068, tendo o maior tamanho delimitado pelo formato A0 e o menor tamanho delimitado pelo formato A4, para evitar problemas de manuseio e arquivamento, que, em geral, é feito em pastas no formato A4.

Caso você queira conhecer um pouco mais sobre a Norma Técnica NBR 6492, da ABNT, acesse site http://ricardocasarino.files.wordpress.com/2008/02/nbr_06492_-_representacao_de_projetos_de_arquitetura.pdf

Desenhos que compõem o projeto arquitetônico

De acordo com a NBR 13532/95, os desenhos utilizados na representação de projetos arquitetônicos são:

1. Planta de situação: é a planta que indica os elementos de um projeto no contexto

mais amplo. Nessa planta, deve constar as informações completas sobre o projeto a ser construído.

Estas informações são: informações sobre o posicionamento do lote em relação à quadra, como a distância da esquina mais próxima, dados do terreno e da região que o cercam, ou seja, as curvas de nível, indicação do norte, vias de acesso ao conjunto, arruamento e logradouros adjacentes com os respectivos equipamentos urbanos, indicações de áreas a serem edificadas, denominação dos diversos edifícios ou blocos, construções existentes, demolições ou remoções futuras, áreas não edificáveis e escala (em geral, 1/1000).

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Escala: 1/1000Figura 4: Planta de situaçãoFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

2. Planta de locação (ou implantação): é a planta que indica a localização da edificação (ou grupo)

em um terreno. Deve conter as informações necessárias para sua localização no lote, incluindo o sistema de coordenadas referenciais do terreno e movimentação de terra, indicação dos pontos de redes externas de drenagem, hidráulica e elétrica, indicação do norte, das vias de acesso, vias internas, estacionamentos, áreas cobertas, platôs e taludes, marcos topográficos, cotas gerais do terreno e níveis principais; indicação dos limites externos das edificações (recuos e afastamentos).

CotasRepresentação gráfica da característica do desenho por meio de linhas, símbolos, notas e valores numéricos (a partir de uma determinada unidade de medida).

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Além da localização da edificação em um terreno, a planta de locação deve mostrar e cotar inclusive o portão da entrada principal. No entanto, na figura 5, ele não aparece, porque no projeto exemplificado, neste roteiro, não há muro, nem portão e nem grade.


3. Planta(s) da edificação: compreende a projeção ortogonal de uma seção efetuada

no objeto à cerca de 1m50 de altura, num plano horizontal. Ressaltamos que deve ser executada uma planta para cada pavimento ou uma do “pavimento-tipo”, caso esse pavimento se repita, em um edifício por exemplo.

Pavimento (ou piso): divisão horizontal de um

edifício, que compreende o espaço entre dois níveis

adjacentes.

Figura 6: Corte esquemático na edificação para a compreensão da origem da planta Fonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Etapas para a confecção de uma plantaAo confeccionar uma planta, é recomendável seguir as seguintes etapas:

• 1ª etapa:é demarcado o contorno do projeto, com traços finos (pois os excessos serão apagados posteriormente), seguindo para as paredes externas e principais divisões internas, através das linhas horizontais e verticais.

As espessuras usuais para as paredes são: 15 cm para paredes internas e 25 cm para paredes externas. Entretanto, não é uma regra. A espessura da parede varia de acordo com o tipo de material empregado na construção. Neste caso, todas as paredes serão desenhadas com 15 cm de espessura.

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Figura 7: Traços finos para demarcar o contorno e as paredes Fonte: Max Paulo Giacheto Manhas

• 2ª etapa:Ainda com traços finos, é marcada a projeção dos beirais, a posição e as dimensões das esquadrias, bem como os arcos que demarcam a abertura das portas.

Figura 8: Demarcação de beiral, de portas e de janelasFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Analise, com atenção, na planta, todas das demarcações feitas, a fim de acompanhar detalhadamente a projeção feita dos beirais, a posição das esquadrias e as aberturas das portas. São pormenores que precisam ser considerados ao confeccionar uma planta.


• 3ª etapa:Depois de todos os elementos principais demarcados, as linhas auxiliares devem ser apagadas. A linha do beiral deve ser pontilhada e as paredes devem ter as linhas duplicadas para indicar o revestimento, conforme mostrado na Figura 9. Posteriormente, são inseridos os textos, as louças sanitárias e as cotas. O desenho das louças pode ser feito com o auxílio de um gabarito, que é um instrumento de precisão que contém, já em escala, os modelos de louças das áreas molhadas.

A cotagem do desenho segue as normas da NBR10126. Você já conhece essas normas, porque elas já foram abordadas e aplicadas nos roteiros de desenho técnico. Em caso de dúvida, retome os referidos roteiros. Na terceira etapa, cada ambiente deve apresentar, sob o nome, a cota de nível e a área total em metros quadrados.

Figura 9: Representação de louças, de textos e de cotas na plantaFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Ressaltamos a necessidade de você acompanhar todos os detalhes que são acrescentados em cada etapa. Compare, por exemplo, as duas figuras anteriores. Veja que, gradativamente, os elementos são desenhados e em uma ordem coerente, o que facilitará a leitura pelo executor.

13,5

12

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Uma vez que a planta se constitui em uma representação de um “corte virtual” à cerca de 1m50 de altura, tudo o que está acima disso é representado com linhas tracejadas, pois está em projeção. Isso acontecerá com a linha do beiral e também com a janela do banheiro, que está acima de 1m50 de altura.

A planta mostrada na Figura 9 possui um único elemento do desenho, cujo traço aparece tracejado, mas não está em projeção: a parede que sustenta o tampo do balcão que separa a cozinha da sala indica que há uma parede de alvenaria sob o tampo. Ao lado dele, é necessária a indicação da altura acabada do balcão (h), que, neste caso, é de 1m10.

Os níveis das áreas molhadas (no caso, a cozinha e o banheiro) devem ser rebaixados cerca de um centímetro e meio em relação ao restante da edificação.

A planta apresenta a indicação das esquadrias, com os nomes abreviados, seguidos de uma numeração. Por isso, as pranchas que contém as plantas devem apresentar o Quadro de Esquadrias. Nele devem conter as seguintes informações:

• nome abreviado da esquadria: J para janela, P para porta. Segue-se o número para identificar, em ordem crescente;

• quantidade: total da esquadria indicada que será utilizado na obra;

• dimensões: largura x altura x peitoril (para janelas);

• movimento: forma de abertura da porta (giratória, que é a porta comum com dobradiças, basculante, pivotante, corrediça, de guilhotina etc.);

• material/acabamento: descrição do material que constitui a esquadria (madeira, ferro, alumínio, PVC etc) e tipo de acabamento da pintura (automotiva, verniz, fosco, brilhante etc.). Essa coluna pode apresentar um maior nível de detalhamento, com indicação dos códigos dos fabricantes dos produtos.

O quadro a seguir corresponde às esquadrias empregadas neste projeto. Leia-o, com atenção:

Quadro de esquadrias

Quantidade Dimensão Movimento Material / Acabamento

PM1 1 200X210 Corrediça 2 folhas Madeira com vidro / Verniz

PM2 3 80X210 Giratória Madeira / Verniz

PM3 1 70X210 Giratória Madeira / Verniz

JM1 2 150X110X100 Corrediça Madeira com vidro / Verniz

JM2 1 80X50X162 Basculante Madeira com vidro / Verniz

JM3 1 150X110X102 Corrediça Madeira com vidro / Verniz


4. Cortes: compreendem os planos verticais imaginários que mostram todos os elementos verticais da edificação.

Figura 11: Corte esquemático na edificação para compreensão de sua origemFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Figura 10: Representação das paredes cheias, utilizada em desenhos reduzidosFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Note que as paredes foram representadas com linhas duplas, indicando revestimento. Em escala igual ou menor que 1/100, as paredes são preenchidas e não há linhas duplas.

72 Engenharia Civil

Confecção dos cortesPara confeccionar os cortes, sugerimos a seguinte seqüência de etapas:

• 1ª etapa:Finalizado o desenho da planta, deve ser feita a demarcação do local a ser “cortado”. Em seguida, utilizando-se de um papel transparente (pode ser, por exemplo, o papel chamado arroz), coloca-se sobre a planta e para “puxar” as linhas de paredes que foram cortadas, ou seja, no local onde o corte foi demarcado, as paredes que aparecem na planta devem ser desenhadas em corte.

Analise a figura, a seguir:

Figura 12: Sobreposição do papel à planta para a execução do corteFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

• 2ª etapa:Em seguida, é feita a demarcação dos limites inferior e superior do corte. Essa demarcação se refere ao contrapiso, à laje de forro etc. Note que as lajes são desenhadas sobre as paredes. A partir das indicações dos níveis presentes na planta, as diferenças de altura interna como degraus e desníveis podem ser representadas.

• 3ª etapa:Após desenhadas as paredes e lajes, completa-se o desenho das esquadrias que, em cortes, são representadas iguais às plantas. Note-se que quando o corte é passado dentro do vão de uma porta, ela deve ser representada como se estivesse fechada.


• 4ª etapa:Por fim, é feita a inserção das louças sanitárias (que também podem ser desenhadas com auxílio de gabarito), dos textos e da cotagem (que seguem as normas utilizadas na planta, com diferença na representação do nível que, em corte, é feita a partir de um triângulo desenhado com o esquadro de 60o). Nenhuma dimensão horizontal deve ser cotada no corte.

No projeto arquitetônico, não é necessário representar e nem cotar as estruturas (fundações ou de telhado). Neste caso, apenas as estruturas principais do telhado foram desenhadas para efeito de demonstração. É preciso atentar-se para a representação das paredes que foram cortadas. Essa representação deve chegar à linha mais grossa que delimita o nível 0,0.

Uma vez que o corte é uma representação vertical, caso exista mais pavimentos, eles devem ser mostrados simultaneamente.

Você sabe quais são os tipos de cortes existentes?

Temos dois tipos de cortes. Eles podem ser transversais e longitudinais.

• Corte transversal: é aquele em que consiste na projeção de uma seção efetuada transversalmente, em ângulos retos, com o eixo menor do objeto.

• Corte longitudinal: consiste na projeção de uma seção

efetuada longitudinalmente, ou seja, segundo o eixo maior do objeto. A Figura 9 indica os cortes demarcados na planta e nomeados por “Corte A” (transversal) e “Corte B” (longitudinal).

Os elementos representados no corte são todos aqueles que são entendidos apenas a partir de sua altura. A saber: pé direito, embasamento, água do telhado, beiral, verga, peitoril. Veja a Figura 13:

Figura 13: Elementos de desenho representados no Corte A (transversal)Fonte: Max Paulo Giacheto Manhas

74 Engenharia Civil

Note que a varanda e o pilar, que sustentam a parte do telhado da construção, aparecem ao fundo, por meio de um traço mais fino. A varanda e o pilar podem ser vistos, mas não foram cortados.

O corte também deve mostrar a cumeeira, que é o encontro das águas do telhado e geralmente é o ponto mais alto da construção. Neste projeto, a cumeeira não aparece, pois está atrás do volume criado sobre o banheiro (onde será instalada uma caixa d’água).

Para localizar a cumeeira, basta prolongar, na planta, as duas linhas diagonais de inclinação do telhado.

O corte longitudinal mostra o rebaixamento do piso do banheiro em dois centímetros em relação ao restante da casa e de mais dois centímetros na área do chuveiro. Esta solução projetual facilita o escoamento de água para o ralo e a impede de invadir outros cômodos.

Sobre o banheiro é mostrada a caixa d’água apenas para efeito de demonstração. A sua instalação deve ser detalhada, juntamente com o barrilete. Isso aparecerá na planta complementar de instalações hidráulicas.

Figura 14: Elementos de desenho representados no Corte B (longitudinal)Fonte: Max Paulo Giacheto Manhas

O corte que deve ser executado primeiro é aquele que mostrará a cumeeira. Ele contém as informações acerca da altura do telhado. Neste caso, o primeiro corte realizado foi o transversal. A altura do telhado mostrada no segundo corte (neste caso, o longitudinal) é variável, pois vai depender do local onde o corte foi demarcado.

5. Fachadas ou elevações: constituem as “vistas externas” da edificação. Em geral, são quatro:

• frontal;• posterior;• lateral direita;• lateral esquerda.

Porém, há construções em que é necessário um número maior de vistas para sua compreensão. As elevações são desenhadas após os cortes, aproveitando as alturas designadas anteriormente. São indicadas, nesse momento, as especificações de materiais de revestimento, conforme mostram as figuras a seguir:


Figura 15: Elevação frontalFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Figura 16: Elevação posterior Fonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Figura 17: Elevação lateral direitaFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

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Figura 18: Elevação lateral esquerda Fonte: Max Paulo Giacheto Manhas

A vista superior se chama “planta de cobertura”. Mostra, externamente, os telhados, as lajes, as calhas, os rufos, as platibandas, caixa d’água e demais elementos construídos na cobertura da edificação. Nessa planta, deve conter, ainda, a demarcação da linha externa da construção em projeção, as setas com indicação do sentido de caimento das águas do telhado, o texto informando o tipo de telha empregado e a inclinação (especificada pelo fabricante para cada tipo de telha).

Platibanda: prolongamento de parede que serve para esconder o telhado.

Figura 19: Planta de coberturaFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Veja que, na figura 19, a planta de cobertura está indicando a altura da cumeeira, as duas águas do telhado e as especificações da telha utilizada (modelo cerâmica, mesclada, impermeabilizada, com inclinação de 35%). Mostra também a linha da platibanda e a caixa d’água com capacidade de 500 litros sobre a laje.


6. Detalhes ou ampliações: caso seja necessário, os detalhes ou ampliações devem ser representados em escala adequada para a visualização de todos os pormenores necessários para a execução da obra.

Além dos desenhos descritos, o projeto arquitetônico deve ser acompanhado de:

• programa de necessidades: documento que contém a relação dos setores que compõem o projeto, as necessidades de cada ambiente, além de características gerais e de requisições especiais de cada área;

• memorial justificativo: texto que apresenta o partido adotado e evidencia o atendimento às condições estabelecidas no programa de necessidades;

• discriminação técnica: memorial contendo a descrição de todos os materiais de construção a serem utilizados, bem como a indicação acerca de onde devem ser aplicados e as técnicas exigidas ao seu emprego;

• especificação: características, condições ou requisitos normatizados exigidos para as matérias-primas e materiais de construção;

• lista de materiais: levantamento quantitativo de todos os materiais utilizados no projeto, bem como as informações necessárias à sua aquisição;

• orçamento: consiste na avaliação detalhada dos custos dos serviços, dos materiais, da mão-de-obra e das taxas relativas à obra.

Carimbo ou quadro

De acordo com a NBR 6492, todas as pranchas (ou folhas) devem apresentar um carimbo que as identifique. Deve estar localizado no canto inferior direito de cada folha, contendo as seguintes informações:

• identificação da empresa e/ou do profissional responsável pelo projeto (pode ser uma logomarca);

• identificação do empreendimento e do título do desenho;• indicação seqüencial do projeto. Devem aparecer dois

números seguidos, sendo o primeiro referente ao número da folha atual e o segundo referente à quantidade total de folhas que compõem o projeto;

• escala do desenho. Em caso de vários desenhos na folha com escalas diferentes, deve-se escrever “escalas indicadas”, e cada desenho deve indicar a escala logo abaixo;

• data;• autor do desenho e do projeto;• espaço para observações.

78 Engenharia Civil

Não há um modelo rígido de carimbo ou quadro. Ele pode variar de acordo com o profissional ou com a empresa.

Vale salientar que apenas os carimbos inseridos nas pranchas para aprovação de projetos em prefeituras é que seguem padrões estabelecidos. Em geral, apresentam as mesmas informações que as apontadas neste roteiro. Nesses carimbos, podemos acrescentar um pequeno desenho com a localização do lote no terreno (como a planta de situação).

A Figura 20, a seguir, mostra um exemplo de carimbo ou quadro.

01/10

RUA. NONOONNO , 000 - 3333 3333 - UBERABA-MG.

PROJETO PARA RESIDÊNCIAIMPLANTAÇÃO E COBERTURA.

ESCALA: INDICADAS

OBSERVAÇÕES

AUTOR DO PROJETONONONONOONONONO NON ON NOONON

RESPONSÁVEL TÉCNICO

CREA - 0000 / D - VISTO MG. 0000

FOLHA

PROPRIETÁRIO:NONONONONONONOCGC- 00000000000/0000

DATA: 12/03/08

EMPRESA E / OU PROFISSIONAL RESPONSÁVEL PELO PROJETO

Figura 20: Carimbo ou quadroFonte: Max Paulo Giacheto Manhas

Antes de iniciar o desenho arquitetônico, deve-se estimar:

• o tamanho total de cada desenho, com base na escala escolhida;

• a forma dos diversos desenhos componentes do projeto a serem distribuídos nas pranchas.

O conjunto desses procedimentos servirá, também, para determinar o tamanho das folhas a serem utilizadas no projeto.


Considerando a realidade brasileira demonstrada pelo último censo do IBGE, segundo o qual, 14,4% da população apresentam algum tipo de deficiência e 8,5% da população são constituídos de idosos (e que ainda cresceu duas vezes e meia a mais que a de jovens), desde 2004 foi criado o programa Acessibilidade para todos, pela Secretaria Nacional de Transporte e da Mobilidade Urbana.

Esse programa visa propiciar acessibilidade a todos os cidadãos, incluindo pessoas com mobilidade reduzida como, por exemplo, portadores de necessidades especiais, idosos, crianças, gestantes, entre outros.

Caso você tenha curiosidade em conhecer um pouco mais sobre isso, sugerimos a leitura do Decreto n.o 5296, que regulamenta as Leis Federais, números 10.048/00 e 10.098/00. Nele, constam os novos padrões de medidas para os projetos de edificações. As novas medidas são indicadas para locais públicos. No entanto, é aconselhável a adoção desse padrão também para as residências, a fim de proporcionar maior conforto aos moradores.

Recentemente, algumas mudanças foram feitas nas normas de edificações.

Conheça o Brasil Acessível – Programa Brasileiro de Acessibilidade Urbana, disponível no site do Ministério das Cidades (www.cidades.gov.br), que inclui a NBR 9050/2004 – Acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos.

Neste roteiro, você encontrou algumas palavras que estão explicadas em um glossário localizado ao lado de cada uma delas. No entanto, você deparará com outras palavras, em locais outros que não o roteiro, e necessárias ao contexto do profissional da Engenharia. Por isso, apresentamos, a seguir, um glossário composto por mais algumas delas. Leia, com atenção, e, quando necessário, utilize-as.

Glossário arquitetônico

• Alçapão: porta horizontal que dá acesso a um porão.

• Anteprojeto: segundo NBR 10647, é constituído por desenhos empregados no estágio intermediário da elaboração do projeto, executado com a utilização de instrumentos e em escala adequada, sujeito a alterações. O anteprojeto já apresenta todas as soluções projetuais e o processo construtivo adotado para a aprovação do cliente antecede o projeto executivo.

• Corrimão: barra que serve de apoio para uma escada ou rampa.

• Croqui: esboço, desenho rápido, não obrigatoriamente feito em escala, mostrando as características gerais de um projeto, podendo servir para representar elementos existentes em obra.

80 Engenharia Civil

• Curva de nível: é a linha que interliga pontos de mesma altitude em uma superfície. Embora imaginária (não é vista no terreno), a curva de nível é representada em uma planta ou mapa topográfico.

• Escala gráfica: linha ou barra graduada que indica a proporção entre uma representação e o objeto representado.

• Espelho: face vertical do degrau de uma escada.

• Estudo preliminar: representação gráfica aplicada ao estágio inicial do projeto, contendo o partido, a idéia central e antecede o anteprojeto.

• Módulo: unidade de medida utilizada para regular as proporções de uma composição.

• Maquete: representação em miniatura de uma edificação ou de um objeto.

• Mezanino: pavimento baixo ou intermediário entre dois pisos.

• Patamar: topo da escadaria.

• Parede cega: parede sem aberturas, também conhecida por “empena cega”.

• Pérgula: estrutura de colunatas paralelas que sustenta uma cobertura de vigas.

• Piso (da escada): superfície horizontal da escada sobre a qual se apóia o pé.

• Porão: ambiente sob uma construção, subterrâneo ou não, utilizado para armazenagem de diversos produtos. Constitui-se, também, em um colchão de ar sob o piso, que contribui na ventilação da edificação.

• Projeto executivo: desenho final que apresenta todas as informações detalhadas necessárias à construção.

• Sótão: espaço abaixo da cobertura de uma edificação, entre o telhado e a laje de cobertura.

• Terraço: área aberta com revestimento de piso ligada à casa, que serve como ambiente de estar a céu aberto.

Caro(a) estudante

Neste primeiro roteiro de estudos, do componente curricular Expressão Gráfica e Comunicação, introduzimos os estudos sobre o desenho arquitetônico na Engenharia. Esperamos que ele tenha contribuído para a sua formação profissional em relação às normas técnicas na comunicação gráfica, ao uso de escalas na ampliação ou redução de desenhos e, ainda, que os conteúdos, aqui abordados, contribuam para que você possa elaborar projetos de forma coerente.

A seguir, apresentamos as leituras obrigatórias e complementares, para que você possa, ainda mais, aprofundar os seus estudos nessa área tão necessária à sua vida profissional.


CHING, Francis. Dicionário visual de arquitetura. São Paulo: Martins Fontes, 2000.

Esse Guia constitui o mais completo e didático glossário de arquitetura. É ricamente ilustrado. Mesmo sendo denominado um dicionário, ele é mais dinâmico do que um dicionário convencional. Sua divisão não se dá por ordem alfabética, mas a partir dos elementos que compõem os temas de cada capítulo, como: desenho, história, linguagem arquitetônica, telhado, piso, paredes, janelas etc. Trata-se de uma obra que contém explicações e exemplos de termos arquitetônicos, que são enriquecidos pelos desenhos.

MONTENEGRO, Gildo. Desenho arquitetônico. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

A partir de ampla experiência como professor de desenho arquitetônico, Gildo Montenegro escreveu esse livro, que tem sido utilizado nos cursos de arquitetura e engenharia civil há trinta anos. De uma forma didática e divertida, com desenhos de sua própria autoria, ele sugere um roteiro para a elaboração do projeto arquitetônico e chama a atenção para os erros mais freqüentes no desenho.

NEUFERT, Ernst. Arte de projetar em arquitetura: princípios, normas e prescrições sobre construção, instalações, distribuição e programa de necessidades, dimensões de edifícios, locais e utensílios. Barcelona: Gustavo Gili, 1987.

Esta obra é essencial na biblioteca de arquitetos, engenheiros ou projetistas de edificações, pois apresenta as especificações acerca de dimensões, materiais e funcionamento de todos os tipos de construções, bem como das partes que as compõem, não havendo a necessidade de sua leitura contínua, constituindo-se em um guia de leitura agradável, com uma linguagem acessível.

OBERG, L. Desenho arquitetônico. Rio de Janeiro: Ao livro técnico, 1992.

O Professor Lamartine Oberg foi o pioneiro do desenho arquitetônico profissional no Brasil, criador deste método há mais de quarenta anos e que ainda continua atual. Apresenta diversos exemplos de projetos de arquitetura e projetos complementares (instalação hidráulica, elétrica e sanitária) domiciliares, além de detalhes construtivos (escadas, telhados, compartimentos), perspectivas e um breve dicionário visual de estilos.


Texto 1

Texto 2


Texto 1

Texto 2

82 Engenharia Civil

Considere o desenho, a seguir. Insira nele duas linhas de cotas de cada lado e indique suas dimensões. A primeira linha de cota (próxima ao desenho) deve conter as dimensões internas e as espessuras de paredes, e a segunda linha deve mostrar o total.

2.1 Para realizar esta atividade sobre especificações de materiais, é necessária a leitura do Capítulo 12: As etapas do desenho, de MONTENEGRO (1996), indicada na leitura obrigatória.

2.2 A seguir, é feita a descrição dos materiais de acabamentos que foram empregados em uma construção:

• na varanda, foi utilizado piso em cerâmica PEI5, tamanho 20x20cm, com assentamento reto. A parede teve revestimento em reboco com pintura látex. O teto foi rebocado e recebeu pintura látex;

• na sala de estar, foi utilizado assoalho de madeira ipê, assentado em diagonal. A parede teve revestimento em reboco com pintura látex. O teto foi rebocado e recebeu pintura látex;

• a cozinha possui piso em cerâmica antiderrapante PEI5, tamanho 30x30cm, com assentamento reto. A parede foi revestida com azulejo (revestimento cerâmico), tamanho 20x20 e assentamento reto. O teto foi rebocado e recebeu pintura látex;

• no quarto, foi utilizado assoalho de madeira ipê, assentado em diagonal. A parede teve revestimento em reboco com pintura látex. No teto, foi fixado um forro em madeira ipê;

• o banheiro possui piso em cerâmica antiderrapante PEI5, tamanho 30x30cm, com assentamento reto. A parede foi revestida com azulejo (revestimento cerâmico), tamanho 20x20 e assentamento reto. O teto foi rebocado e recebeu pintura látex.

Atividades

Atividade 1

Atividade 2


A partir das informações dadas, elabore um quadro de Especificação de Materiais de Acabamento. Insira, na planta, a simbologia correspondente às informações.

3.1 Para realizar a atividade seguinte, você necessita ler o capítulo 11, intitulado Símbolos Gráficos, de MONTENEGRO (1996), também indicado na leitura obrigatória.

3.2 Complete a planta, a seguir, inserindo portas e janelas de acordo com os tipos indicados:

a. porta pivotante;b. porta de abrir;c. porta de correr – 4 folhas;d. porta de correr – 2 folhas;e. janela de correr; f. janela guilhotina;g. janela basculante alta (acima de 1m50);h. janela basculante.

3.3 Represente, em corte, uma janela tipo guilhotina. Dimensões: 0,80x0,50x1,60m

Considere: LxAxP (largura, altura e peitoril).

3.4 Represente uma porta comum (de abrir) em corte, lembrando que as portas são representadas abertas apenas em planta. Dimensões: 0,80x2,10m.

Atividade 3

CHING, Francis. Dicionário visual de arquitetura. São Paulo: Martins Fontes, 2000.

MONTENEGRO, Gildo. Desenho arquitetônico. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

NEUFERT, Ernst. Arte de projetar em arquitetura: princípios, normas e prescrições sobre construção, instalações, distribuição e programa de necessidades, dimensões de edifícios, locais e utensílios. Barcelona: Gustavo Gili, 1987.

OBERG, L. Desenho arquitetônico. Rio de Janeiro: Ao livro técnico, 1992.

Referências

COMPONENTE CURRICULARFenômenos Físicos e Químicos e Suas Aplicações

86 Engenharia Civil


Caro(a) aluno(a)

Após o estudo deste roteiro, você será capaz de:

• descrever os conceitos de matéria e substâncias químicas presentes em nosso cotidiano;

• reconhecer transformações químicas e físicas;• selecionar métodos de separação de misturas referentes às

propriedades dos materiais;• relacionar o conteúdo de Química e sua aplicabilidade no

contexto profissional;• identificar produtos e subprodutos derivados da construção

civil e industrial;• utilizar medidas e conceitos químicos na resolução de

problemas.

Você já visitou uma indústria, uma construção civil? Já trabalhou em uma delas? Você conhece algum canteiro de obra?

Então, atente-se para as explicações, a seguir, a fim de entender a abordagem da Química que você irá acompanhar durante todo o seu curso.

Ao chegar em um canteiro de obra de uma indústria em funcionamento, tudo o que você ver tem relação com a Química. Por exemplo: em uma construção, o principal material é, geralmente, o cimento, que misturado à areia, à brita e à ferragem, possibilita a execução da fundação de colunas e de vigas que sustentam toda a estrutura.

Mas, o que é o cimento e qual é a sua composição química?

Medidas e conceitos químicos: aplicações no contexto tecnológico

Ely Zago

Objetivos

Roteiro de Estudo 1

As paredes de nossas casas são feitas com tijolos, unidos por uma massa feita com água, areia e cimento. Os cimentos mais comuns são resultados de uma grande mistura composta por:

• Óxido de cálcio (CaO) 64.2%• Sílica (SiO2) 21.2%• Alumina (Al2O3) 4.9%• Óxido férrico (Fe2O3) 2.7%• Anidrido sulfúrico (SO3) 2.6%• Óxido de magnésio (MgO) 2.2%• Óxido de potássio (K2O) 0.4%• Óxido de sódio (Na2O) 0.2%• Cloro (Cl) 0.01%

A aplicabilidade da Química

88 Engenharia Civil

AquecimentoAumento de temperatura.

Geralmente, as embalagens são de papel. Elas protegem os produtos contra a umidade do ar, de choques mecânicos, entre outros. Esses produtos são comercializados para servir de cola entre partes pequenas, tais como os tijolos, e a indústria que prepara o cimento ou o concreto é denominada Usina.

Por meio dessas informações, acreditamos que você percebeu claramente uma entre tantas outras possibilidades da presença da Química em materiais que, muitas vezes, são utilizados em nosso cotidiano.

Dessa maneira, em qualquer curso de Engenharia, a Química, como indústria paralela, estará presente, direta ou indiretamente. Assim, estudar a Química é fundamental, a fim de acompanhar a sua aplicabilidade, na indústria da construção civil ou de manufaturados, na análise de produtos, na determinação de rendimento e as contaminações químicas, físicas e biológicas.

A Química está presente em cada passo da produção, desde os cálculos dos projetos e escolha dos componentes de um determinado planejamento até o armazenamento dos produtos, passando por extração, ebulição, evaporação, fermentação, ferrugem e secagem.

Portanto, neste roteiro, vamos abordar conceitos importantes relativos a essa ciência, a fim de proporcionar a você a construção de conhecimentos necessários à sua formação como profissional da Engenharia.

EbuliçãoTransformação do líquido em vapor por aquecimento.

EvaporaçãoConseqüência da ebulição. Transformação do líquido em gás.

FermentaçãoReação química provocada por um fermento.

FerrugemTambém denominada corrosão ou oxidação. É a transformação de um produto em outro pela ação do tempo, pois, em geral, reage com o oxigênio do ar atmosférico.

SecagemQuando uma espécie de produto, em conseqüência de perda de água, sofre um endurecimento.

Para você entender esses processos, abordaremos os conceitos de matéria, substâncias, transformações químicas e físicas, métodos de separação de misturas, noções sobre identificação de substâncias e sistema métrico (massa, volume e densidade).

SubstânciaÉ qualquer espécie de matéria homogênea de composição química aproximadamente definida.

VolumeEspaço ocupado por um corpo.

DensidadeÉ a proporção entre a massa (calculada em grama - gr), pelo espaço que o corpo ocupa. O volume é medido em cm3 (centímetros cúbicos).

Antes de apresentar esses conteúdos químicos, vamos recordar alguns conceitos matemáticos ou unidades métricas e as relações entre as medidas de volume, os algarismos significativos e a unidade de distância.

Vejamos alguns exemplos:

NOTAÇÃO EXPONENCIAL OU CIENTÍFICA

1000,0 L = 1,0 X 103 L.6,02 X 1023 Átomos = 602.000.000.000.000.000.000.000 Átomos1,0 L = 1,0 x 10-3 metros cúbicos.

Todos esses produtos são colocados tecnicamente juntos e, após aquecimento em grandes fornos, resultam os diferentes cimentos, que, posteriormente, são embalados.

Você sabe por que um copo cheio com álcool é mais leve do que um copo com o mesmo volume de água? E, ainda: por que uma lata de refrigerante diet flutua na água e a lata comum não?


A notação científica é comumente utilizada para representar números muito grandes ou muito pequenos.

Como se lê a notação:1000,0 L = 1,0 X 103 L. (mil litros é igual à potência litros ou, simplesmente, um vezes dez elevado a três litros).

Veja que o nome notação exponencial vem do fato de transformarmos um número em um produto, em que um dos fatores é uma potência de base 10. Ex. 103 ,1023,10-3

O número só será bem compreendido com a unidade de medida correta. Por exemplo: imagine que alguém solicitou a você um orçamento com quantidades e valores. Você deverá informá-lo, por exemplo: 200 m3 (duzentos metros cúbicos) de areia, ou seja, deve ser apresentada a quantidade (200) e a unidade de medida correspondente (m3).

RELAÇÕES ENTRE AS UNIDADES DE MEDIDA

1,0 litro (L) = 1000 cm3 ou mL = 1,0 x 103 cm3 ou mL = 1,0 dm3 = 10,0 dL = 0,001 m3

m3 = metros cúbicoscm3 = centímetros cúbicosmL = mililitrodL = decilitro1000,0 L = 1,0 m3

PRINCIPAIS MEDIDAS DE DISTÂNCIA

1,0 Km = 1000,0 m = 1,0 x 103 m = 100.000 cm = 1,0 x 105 cm.

PRINCIPAIS MEDIDAS DE TEMPERATURAS

0ºC = 273 KºC : graus CelsiusO kelvin (símbolo K) é uma unidade de temperatura e é uma das sete unidades-base do Sistema Internacional - SI - (Quadro 1). A escala de temperaturas Celsius é hoje definida em função do kelvin.

Quadro 1 - Sistema Internacional de Unidade, SINOME DA UNIDADE SÍMBOLO GRANDEZA FÍSICA

Quilograma kg MassaMetro m ComprimentoSegundo s TempoAmpère A Corrente elétricaKelvin K TemperaturaMol mol Quantidade de substânciaCandela cd Intensidade luminosa

90 Engenharia Civil

Faça, com atenção, a atividade proposta.

Atividade 1

Se tivermos 1,02 L de garapa, mais 1,22 L, mais 1,61 L, mais 1,09 L e mais 2,08 L, todos do mesmo precioso líquido, qual a quantidade total do produto teremos?

Vamos passar agora ao estudo da Química. Iniciaremos com os estados físicos da matéria, e depois, as suas transformações físicas e químicas.

A matéria e seus estados físicos

Se você já acompanhou a seqüência na produção de álcool ou açúcar, deve ter observado os três estados físicos da matéria: o sólido (cana), o líquido (caldo) e o gasoso (vapor de água).

No estado sólido, as partículas que formam a matéria estão muito próximas umas das outras. Portanto, a força de atração entre elas é maior que a força de repulsão. Quanto à forma geométrica, os sólidos têm um formato definido e um volume fixo.

No estado líquido, a distância entre as partículas é maior do que a dos sólidos. Quanto à forma geométrica, os líquidos não têm um formato definido e seu volume é constante.

PartículaPorção de matéria com pequenas dimensões.

No estado gasoso, a distância entre as partículas é variável e maior do que a dos líquidos. Quanto à forma geométrica, os gases não possuem forma nem volume definidos. Quanto ao volume dos gases, este está relacionado direta e inversamente proporcional às condições de temperatura e pressão. Esses conteúdos serão estudados em outros roteiros.

Transformações físicas da matériaQualquer substância pode apresentar-se nos três estados físicos da matéria, como, por exemplo, a água. Para melhor esclarecer, percebemos que ela não deixa de ser água se estiver no estado de vapor, líquido ou sólido (gelo). Ela não altera sua identidade. Portanto, a água será sempre água.

Para cada uma das transformações físicas da matéria, atribuímos um nome. Observe, a seguir:

SÓLIDO transformando-se em LÍQUIDO FUSÃOLÍQUIDO transformando-se em VAPOR VAPORIZAÇÃOVAPOR transformando-se em LÍQUIDO CONDENSAÇÃOLÍQUIDO transformando-se em SÓLIDO SOLIDIFICAÇÃOVAPOR transformando-se em SÓLIDO e vice-versa SUBLIMAÇÃO


Para facilitar a compreensão, analise a Figura 1.

Figura 1 - Transformações físicas da matéria

As transformações físicas da matéria podem ser exemplificadas por meio do gelo, da água e da água fervendo. São três estados físicos diferentes da mesma matéria.

Atividade 2Citamos, anteriormente, um exemplo de transformação da matéria: o gelo, a água e o vapor de água. Nesta atividade, gostaríamos de que você, por meio de observações do cotidiano, exemplificasse os seguintes termos:

a) sublimação;b) fusão;c) evaporação;d) solidificação;e) condensação.

Transformações químicas

Nas transformações químicas, as substâncias perdem suas identidades, ou seja, algumas substâncias são destruídas e outras novas são formadas. Para entender melhor essas transformações, leia, com atenção, a informação a seguir:

Para a produção de álcool e de açúcar, o resíduo (bagaço) era considerado, até pouco tempo, como um grande problema para o meio ambiente, em função da enorme quantidade gerada. Hoje, já não é tanto problema, pois está sendo queimado, para produzir calor e ferver a água até obtê-la sob a forma de vapor. O vapor serve para movimentar turbinas que produzem energia elétrica.

Observe que o bagaço foi transformado em gás carbônico, fumaça, vapor de água e calor. Considerando o bagaço como matéria orgânica, podemos representar essa transformação química da seguinte forma:

MATÉRIA ORGÂNICA + O2 CO2 + C + H2O + CALOR.

92 Engenharia Civil

Melhorando a informação:

A matéria orgânica (bagaço) é o combustível. O O2 (oxigênio do ar atmosférico) é o comburente. O CO2 é o gás carbônico. O C (carbono) é a fumaça. O H2O é a água e o calor é o calor mesmo.

As matérias que estão à esquerda da seta, nesta representação, são denominadas de reagentes. Os que estão à direita da seta, os produtos.

A representação feita anteriormente nada mais é do que uma transformação química. Ela é denominada reação química. Portanto, toda transformação química é uma reação química. As reações químicas serão estudadas em outro momento de nosso curso.

Atividade 3A reação química do álcool nos automotores é dada pela seguinte reação:

Álcool (CH3CH2OH) + O2 CO2 + C + H2O + CALOR

a) Onde está concentrada a maior quantidade de energia? No primeiro ou no segundo membro da reação?

b) Está correta a representação da fumaça na combustão do álcool pelo átomo de carbono (C)?Átomo

Menor partícula existente cujas partículas principais são os elétrons, os prótons e os nêutrons.

Matéria

Matéria é tudo que tem existência física real, é a essência. A maioria dos estudiosos define como sendo “tudo que ocupa um lugar no espaço” e nós acrescentamos a essa definição a palavra massa. Portanto, a matéria ocupa um lugar no espaço e tem uma massa. Podemos citar, como exemplo: o ar que respiramos, o caldo da cana etc.

E você sabe o que não é matéria?

Eis alguns exemplos: o pensamento, o som, as leis, o valor nominal do salário, entre outros.

Vimos que na definição de matéria aparece a palavra massa. É muito difícil conceituar essa palavra, pois habitualmente o seu uso pode ter vários significados, que vão desde algo de pequeno porte (uma massa de pão) até algo grande em número (a massa do planeta terra). Na Química, massa é a medida de uma quantidade de matéria.

A composição de uma tinta qualquer (à base de água) é a maior quantidade de água, e, em menor quantidade, de sólidos e outros produtos. Se, por evaporação, eliminamos a água, vamos ter os sólidos em maior quantidade. Observe que estamos limitando, separando e identificando os produtos que formam a tinta. A água na tinta nada mais é que uma substância que a constitui. O mesmo pode-se dizer dos sólidos ou outros produtos que compõem a tinta. Portanto, a água ou o sólido é uma porção limitada da matéria, isto é, uma substância.


Você deve estar agora com algumas dúvidas.

Massa é igual a peso? E o que forma a substância?

Esclarecendo a primeira dúvida:

Claro que peso não é igual a massa! Veja o exemplo, a seguir:

Temos duas bolas, uma de isopor e outra de ferro, ambas com dez (10) centímetros de diâmetro. Portanto, elas têm o mesmo volume. Você pede para um amigo chutar uma. Em primeiro lugar, a de isopor. Depois a outra, a de ferro. Certamente você, após o chute da segunda bola, vai ouvir de seu amigo alguns palavrões. Sabe por quê? Porque a bola de ferro tem mais massa que a de isopor.

Quanto ao peso das bolas, formadas por substâncias diferentes, nada mais é do que a força gravitacional que as atraem para o centro da terra. Esse peso depende da massa de cada uma das bolas. Se a massa da bola de ferro é maior, seu peso também será maior. Se medirmos a massa dessas bolas no pólo norte ou sul, (o planeta Terra é achatado nos pólos, portanto, mais próximo do centro da Terra), as bolas apresentarão um peso maior. As bolas estarão mais próximas do centro da Terra. Se pesarmos essas bolas na cidade de Uberaba, por exemplo, elas pesarão menos do que em Santos.

Agora, você deve estar com outra dúvida: onde vamos aplicar esses conhecimentos?

Na indústria de alumínio, o minério é comprado por massa (tonelada). Se uma tonelada de minério na cidade de Uberaba tem uma massa, em Santos, a mesma massa, porém, tem um peso superior a de uma tonelada. Isso significa lucro para o comprador (usina) e prejuízo para o produtor.

DiâmetroSegmento de uma reta que

liga dois pontos de uma circunferência passando

pelo centro da mesma.

Força gravitacionalForça natural dos planetas

que atraem tudo para o seu centro.

ToneladaMedida padrão de massa

correspondente a mil quilos.

Esclarecendo a segunda dúvida:

Vamos aprofundar esse conteúdo mais adiante. No entanto, cabe aqui um esclarecimento: o que é substância. Substância é a essência. É a propriedade única de um produto puro. Por exemplo: água filtrada e destilada. São quase cem por cento água.

Atividade 4

As relações entre ensino e de aprendizagem exigem muita reflexão e exemplos com base no cotidiano. Observando o contexto em que você passa o seu dia, dê exemplos de:

• matéria;• substância;• massa;• peso.

Você sabe que as substâncias são classificadas em puras ou misturas?

94 Engenharia Civil

Substância pura

Há dois tipos de substância pura: os elementos e os compostos.

Um elemento é uma substância simples, fundamental e elementar. São elementos: o sódio, o bromo, o oxigênio e mais 112 outros (Figura 2). Um elemento não pode ser separado ou decomposto em substâncias mais simples. Sua representação é uma abreviação designada por símbolos químicos.

O símbolo consiste em uma ou duas letras retiradas do nome do elemento. A primeira letra é sempre maiúscula e a letra seguinte, sempre minúscula (H,Se,S, O, Br, Pb). Todos os elementos estão dispostos na Tabela Periódica.

Tabela periódica dos elementos químicosÉ a disposição sistemática dos elementos em função de suas propriedades (Figura 2).

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13


Um composto ou substância pura composto(a) é constituído de dois ou mais elementos combinados em uma relação definida. Trata-se de substâncias mais complexas que os elementos. Um composto pode ser separado ou decomposto em substância mais simples ou até mesmo em elementos. Os compostos são representados por fórmulas químicas. A fórmula de um composto é a combinação dos símbolos de seus elementos.

Veja alguns exemplos, a seguir: H2O, H2SO4, NaCl, C12H22O11, C6H12O6 e outras milhares e milhares de fórmulas de compostos.

FórmulaConjunto de letras, números

e outros sinais, que representam uma molécula.

Mistura

Uma mistura consiste em duas ou mais substâncias fisicamente misturadas que podem ser identificadas visualmente ou não. Uma substância pode ser homogênea ou heterogênea.

• Substância homogênea: quando não se consegue distinguir visualmente cada componente da mistura.

• Substância heterogênea: quando é possível distinguir visualmente cada um dos componentes da mistura.

O caldo da cana, por exemplo, é formado por água, açúcar e outras substâncias em menor quantidade. Portanto, trata-se de uma mistura. Se dessa mistura, separamos o açúcar para ser estudado isoladamente, ele passa a ser denominado sistema. Sistema é uma espécie ou um conjunto de espécie de matéria isolada para investigação ou estudo.

Atividade 5

Tente representar, por meio de desenhos, os conjuntos de substâncias (misturas), a seguir:

• água e óleo;• álcool e água;• óleo e água;• garapa e açúcar.

Mas, como vamos separar uma substância de outras substâncias?

Para fazer esse esclarecimento, vamos estudar também ponto de fusão, ponto de ebulição e densidade.Vamos começar pela densidade. Certo?A densidade é a propriedade da materia correspondente à massa por volume, ou seja, a proporção existente entre a massa de um corpo e seu volume. Dessa forma, pode-se dizer que a massa volúmica mede o grau de concentração de massa em determinado volume.

Ponto de fusãoTemperatura definida de transformação do sólido

para o líquido.

Ponto de ebuliçãoTemperatura definida de transformação do líquido

para o sólido.

O cheiro, o sabor, a cor, o peso e o volume das substâncias são características físicas e químicas das substâncias. Pode-se também determinar a sua densidade, ou seja, a relação entre a massa e o volume da matéria.

96 Engenharia Civil

• Propriedades intensivas: são aquelas que não dependem da quantidade de matéria. Por exemplo: cor, odor, temperatura (T), pressão (p) e densidade (d).

• Propriedades extensivas: são aquelas diretamente proporcionais à quantidade de matéria da substância presente na amostra. Por exemplo: massa (m) e volume (V).

A densidade não é apenas o resultado de uma divisão entre a massa e o volume de uma substância. Esse conceito é amplo e está também relacionado a outros que servem até para a identificação de substâncias. Por exemplo, o empacotamento

EmpacotamentoUnir o máximo. Por exemplo: comprimido.

dos átomos diferencia um quilograma de palha de um quilograma de chumbo. Seus volumes são diferentes.

Quanto maior o valor da densidade de um material, menor volume ele ocupará e maior será o valor de sua massa. O ferro, por exemplo, possui uma densidade igual a 7,9 g/cm3, indicando que em um volume de 1cm3 cabe uma massa de 7,9 g. Não há nenhuma substância com densidade igual. Portanto, é um método muito bom para identificação de substância.

A densidade pode ser definida também como massa específica porque indica a quantidade de cada material que cabe em um determinado volume, especificamente.

A fórmula para cálculo da densidade é simples e objetiva:

m (g) d = V (cm3)

Veja, a seguir, algumas curiosidades!

O álcool, o éter, a gasolina, a madeira ou qualquer outro produto que tem densidade menor que 1 g/cm3 é comercializado por volume. Qualquer outro produto que tem densidade maior que um é comercializado pela massa.

Na indústria sucroalcooleira, por exemplo, a densidade pode ser utilizada na determinação da quantidade de açúcar na própria cana, isto é, o bagaço da cana tem densidade menor que um, enquanto o açúcar tem densidade maior que um. Portanto, a densidade pode ser utilizada para determinar a porcentagem de açúcar na cana.

As informações anteriores são as propriedades das substâncias que podem ser classificadas em intensiva e extensiva.

Onde vamos aplicar, por exemplo, a densidade na usina de açúcar e álcool?


Já na indústria metalúrgica, a preparação do aço inox, a qual se denomina de liga metálica, é uma mistura de 2 a 17% de Cromo, 5% de carbono (em certos casos até 1% de carbono) com ferro e, pode atingir diversos graus de dureza pela variação das condições de aquecimento e resfriamento. Esses aços, após resfriamento rápido de alta temperatura, mostram uma estrutura caracterizando alta dureza. São dificilmente atacados pela corrosão atmosférica no estado temperado e se destacam pela dureza. Diante disso, percebemos, mais uma vez, que pode-se utilizar a densidade para determinar a qualidade do aço inox, pois, cada componente tem um valor distinto.

Atividade 6

Responda, com atenção, às questões propostas.

6.1 O cimento é mais ou menos denso que a água?6.2 O açúcar é mais ou menos denso que a água?6.3 Uma lata de refrigerante diet é mais ou menos densa que a

água?6.4 Uma lata de refrigerante comum (não diet) é mais ou menos

densa que a água?6.5 O leite é mais ou menos denso que a água?6.6 Por que o gelo flutua na água?

O objetivo dessa questão é desafiar você, com sua criatividade e por meios práticos, a deduzir uma resposta. São experimentos fáceis de serem realizados e podem ser executados em sua própria casa.

Atividade 7Densímetro é o aparelho para medir a densidade, principalmente de líquido. O problema é que, no laboratório da usina onde você trabalha, ele está quebrado. Você tem, à sua disposição, um canudinho de tomar refrigerante ou suco e uma rolha de cortiça. Usando esse material, monte um densímetro alternativo.

Ponto de fusão e ponto de ebulição

Já sabemos que fusão é a transformação da matéria sólida em matéria líquida.

Para a matéria mudar seu estado físico de sólido para líquido, é necessário um aquecimento para aumentar a distância entre as partículas que a constituem. Esse aquecimento tem um valor para cada substância, isto é, a temperatura. Portanto, o valor dessa temperatura é único para cada produto e é denominado de ponto de fusão. Um exemplo clássico e conhecido de todos é o ponto de fusão da água pura, que ocorre a 0ºC.

Se o calor for aumentando, isto é, se a temperatura subir, as substâncias mudam novamente seu estado físico, transformando-se em gases. A temperatura única para cada substância é denominada de ponto de ebulição. Utilizando a água pura como exemplo, a 100ºC ela ferve, isto é, muda do estado físico para o gasoso.

98 Engenharia Civil

Observe outros exemplos na Tabela 1.

Tabela 1 - Exemplos de pontos de fusão e ebulição de algumas substânciasPRODUTO PONTO DE FUSÃO PONTO DE EBULIÇÃO

Ferro 1.535 ºC 2.885 ºCAlumínio 660.1 ºC 2.450 ºC

Água 0 ºC 100 ºCÁlcool - 114,5 ºC 78,3 ºC

Oxigênio - 218,4 ºC - 183 ºC

Atividade 8

Nos gráficos cartesianos, a seguir, estão representados os três estados físicos da água (H2O), isto é, sólido, líquido e gasoso e, também, as mudanças dos estados físicos, ou seja, do sólido para o líquido (fusão), do líquido para o gasoso (ebulição).

Observando atentamente os gráficos, a seguir, indique, em cada um deles, os três estados físicos da água e, ainda, o ponto de fusão, o ponto de ebulição com as respectivas temperaturas.


Processos de separação de misturas

A maioria dos materiais presentes na natureza é formada por misturas de substâncias. Portanto, é muito difícil obter uma substância cem por cento pura. As análises de laboratório, na construção civil, são determinações: dureza, qualitativas e quantitativas dos produtos fabricados e, posteriormente, utilizados.

Para determinar o método de purificação das misturas, a escolha é feita dependendo do tipo de mistura a ser separada e, por se tratar de uma empresa, o quanto se pode gastar nos processos de purificação.

Temos vários métodos de separação utilizados nos processos industriais. Dentre eles, destacamos:

• Destilação simplesÉ muito utilizada quando se quer separar uma mistura homogênea, por exemplo: na água do mar quando queremos separar o seu componente sal. Esse processo se baseia na diferença do ponto de ebulição dos componentes da mistura.

Como é feita a separação dos componentes?

A mistura é aquecida até a ebulição. Nessa etapa ocorre a vaporização de um dos componentes da mistura. Em seguida, o vapor produzido será transportado para condensadores, onde será resfriado. Assim, ele retorna para o estado físico líquido.Esse método é muito recomendado na obtenção de álcool hidratado, bebidas, assim como pelas indústrias farmacêuticas, entre outras.

• Destilação fracionadaÉ o processo de separação de mistura utilizado quando os componentes forem líquidos. Um bom exemplo é a separação dos componentes do petróleo.

• EvaporaçãoPara a separação do sal de cozinha da água do mar, esse processo também é utilizado. A evaporação é usada quando se tem interesse somente na parte sólida da mistura.

• FiltraçãoVários procedimentos caseiros são considerados como filtrações. Por exemplo: coar o café, filtrar a água etc.

• DecantaçãoÉ o processo utilizado para separar componentes de mistura heterogênea, ou seja, uma mistura constituída por sólido e líquido, ou uma mistura de líquido e líquido. Muitos são os exemplos encontrados em nosso cotidiano. Entre eles destacamos: a separação da água com a terra, a separação da água com o óleo, da água com a gasolina etc.

100 Engenharia Civil

• Separação de metais ferrosos de não ferrososNa indústria metalúrgica, esse processo de separação é muito utilizado para separar metais que são atraídos por imã de metais que não são atraídos. Por exemplo: separação do pó de alumínio do pó de ferro. O pó de ferro é completamente atraído pelo imã.

ImãObjeto que produz campos magnéticos e atrai metais como ferro, níquel e cobalto.

Sugerimos, a seguir, leituras consideradas obrigatórias e outras como complementares. Realiza-as, com atenção, a fim de aprofundar os seus conhecimentos e alcançar os objetivos propostos neste roteiro.

RUSSEL, John Blair. Química geral. São Paulo: Makron Books, 1994. v.1.

• Leia os capítulos iniciais dessa obra.

Nesta obra, o autor Russel – professor de Química da Universidade do Estado de Humboldt, Canadá, narra os aspectos da realidade física que são revelados pela Química, estabelecendo um extensivo e adequado fundamento teórico e uma discussão sistemática acerca desses aspectos.

PERUZZO, T. M.; CANTO, E.L do. Química na abordagem do cotidiano. São Paulo: Moderna, 2002. v.1.

Trata-se de uma obra referência para os estudos da Química. Os autores abordam os conceitos químicos de maneira clara e utilizam-se de exemplos do cotidiano, o que proporciona um fácil entendimento.

SPARAPAN, Elisabete R. F.; TADDEI, Luciana. Interações e transformações: Química para o ensino médio: Livro de Laboratório. São Paulo: Edusp, v.1, p. 47-49

É uma obra muito utilizada no Ensino Médio. Nela, os autores desenvolveram boas técnicas para serem utilizadas em laboratório. Uma vez sendo de caráter prático, essa obra contribui para os experimentos nos laboratórios, durante as oficinas.

• CentrifugaçãoQuando a sedimentação da mistura heterogênea é muito lenta, ela pode ser centrifugada em aparelhos denominados centrífugas.Um exemplo desse processo é o controle da matéria gorda do leite que a indústria de laticínios utiliza, isto é, retira-se toda gordura do leite e, após tratamento com temperatura, a mesma gordura volta para o leite conforme determinação do ministério da saúde.


Texto 1

Texto 2


Texto 1


Texto 2BROWN, Theodore L.; LEMAY, H. Eugene; BURSTEN, Bruce E.; BRUDGE, Julia R.. Química: a Ciência Central. 9. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005. p. 383-386.

O autor aborda conceitos de forças interatômicas e intermoleculares que, discutidas, facilitam o entendimento da diferença estrutural de gases, líquidos e sólidos.

Atividades

As atividades foram inseridas ao longo do roteiro. Se necessário, retome-as a fim de praticar os conteúdos abordados.

Referências

RUSSEL, John Blair. Química geral. São Paulo: Makron Books, 1994. v.1.

PERUZZO, T. M.; CANTO, E.L do. Química na abordagem do cotidiano. São Paulo: Moderna, 2002. v.1.

SPARAPAN, Elisabete R. F.; TADDEI, Luciana. Interações e transformações: Química para o ensino médio: Livro de Laboratório. São Paulo: Edusp, v.1, p. 47-49.

BROWN, Theodore L.; LEMAY, H. Eugene; BURSTEN, Bruce E.; BRUDGE, Julia R.. Química: a Ciência Central. 9. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005. p. 383-386.


REFERENCIAL DE RESPOSTAS

COMPONENTE CURRICULAREstudos Lógico-matemáticos

Roteiro de Estudo1A derivada e suas aplicações

Atividade 1 - p. 18

1.1 2 2= +y x senxy →Tabela Geral de Derivadas: 7

( )1; 14−Produto de funções: y u.v y' = u'.v + v'.u= ⇒

Nota: atenção ao derivar cada uma das variáveis, x e y ;

pois, ao derivarmos x , considere y constante e vice-versa,

ao derivar t , considere x constante.

2 2 cos cos= + +

dy dyy x xyy xy xdx dx

2 cos 2 cos− = +

dy dyy xy x x xyydx dx ( )2 cos 2 cos− = +

dy y x xy x y xydx

2 cos2 cos

+=

−dy x y xydx y x xy

1.2 Seja ( );Q a b um ponto do modelo gráfico e o par ordenado

( );a b uma solução da suposta equação. Para verificarmos

isso, basta substituirmos o ponto dado na equação.

O ponto ( )1; 2−Q pertence ao modelo

gráfico? Fazendo 1=x e 2= −y temos,

.

Portanto, confirmamos a afirmação citada. E, diferenciando

implicitamente a equação dada, podemos determinar o

coeficiente angular da reta tangente no ponto ( )1; 2−Q , isto é,

o valor da derivada para 1=x e 2= −y .

( ) ( ) ( ) ( )4 34 35 1 3 4 5 1 1 2 3 2 4 1 6 6+ = + − ⇒ + = − + − − ⇒ =x y y x


Assim, no ponto ( )1; 2−Q ' 17 0,5929

= = − ≅ −dy ydx

. E, para

representar a equação da reta tangente a esta curva no ponto

( )1; 2−Q , utilizamos a expressão ( )0 0− = −y y m x x . Então,

( )0 0− = −y y m x x

1.3 Dados fornecidos:

Voltagem em um circuito elétrico: 100volts

Corrente (em àmperes): I

Resistência (ohms): R

Pela lei de Ohm: 100 /=I R

Sabe-se, também, que a resistência está aumentando ( )↑R

Perguntas: Encontrar /dR dI para qualquer resistência?

Diferenciando implicitamente 100 /=I R , temos

100=

dIdR R

→Tabela Geral de Derivadas: Quociente de

funções:

Considerando ; 100 e = = =y I u v R temos,

4 3 3 35 1 3 4 5 0 4 3 12 5 12 4 3+ = + − ⇒ + = + − ⇒ + = +dy dy dy dyx y y x y x x ydx dx dx dx

( )3 33

5 125 12 4 3 5 12 4 34 3+

+ = + ⇒ + = + ⇒ =+

dy dy dy x dyx y x ydx dx dx y dx

( )( )33

5 12 15 12 17 0,594 3 294 2 3

++= ⇒ = ⇒ = − ⇒ ≅ −

+ − +

dy x dy dy dydx y dx dx dx

3

5 124 3+

=+

dy xdx y

1=x 2= −y,para e

Encontrar /dR dI para uma resistência de 20ohms ?

( ) ( )17 17 17 29 58 17 172 1 229 29 29 29 29

17 29 75 0

x y xy x y

x y

− − +− − = − − ⇒ + = − + ⇒ =

⇒ − − + =

2

u u'.v - v'.uy = y' =v v⇒

Assim,


negativo é indicativo que a corrente I está decrescendo à

medida que a resistência R está aumentando.

Considerando, ainda, as informações apresentadas, /dI dR

para uma resistência de 20ohms

é expressa substituindo esse valor pedido na expressão

encontrada anteriormente. Isto é:

2 2

100 100 1 0,2520 4

= − ⇒ = − ⇒ = − ≅ −dI dI dIdR R dR dR

Portanto, para uma resistência 20=R ohms , a corrente I está

decrescendo à taxa de 1/4 de àmpere por ohms .

1.4 3

3

4cos, 0

24π = ≤ ≤

=

x tt

y sen t

( )( )

( )( )

( )'3' 2

'' 23

4 12 cos12cos cos4cos

= = = = − = −−

sen ty tdy sen t t sent tg tdx x t tsent tt

Observe que temos um produto-quociente com termos semelhantes, daí simplificamos.

Nota: Razão Trigonométrica: ( )cos

=senttg t

t

Como sabemos, a análise do intervalo de validade das

respostas é muito importante. Pois, observamos que ( )'x t deve

ser diferente de zero, pois está operando como denominador

da expressão anterior. Logo, concluímos que para fazer as

simplificações indicadas, devemos considerar 0≠t e 2π

≠t

, pois 0 0=sen e 2 2Ax By Cxy Dx Ey F 0+ + + + + =

. Notamos que apesar de

x pertencer ao intervalo 02π

≤ ≤t , efetivamente estão

excluídos os valores de supracitados. t

2 2

100 0 1 100 100⋅ − ⋅= ⇒ = ⇒ = −

dI R dIIR dR R dR R

Interpretando o resultado obtido, podemos dizer que o sinal


Atividade 2 - p. 22

2.1 Em análise, as Diretrizes I e II → Como ( )f s é um polinômio;

( )f s está definida para todo f . A derivada primeira é expressa

por:

s s s= + − −3 2( ) 2 3 12 7f s

( )' 2 2( ) 6 6 12 6 2f s s s s s= + − = + −

Pela expressão na forma fatorada de ( )'f s , podemos

observar:

( )' 0=f s , quando 2= −s e 1=s → raízes da função ou

números críticos.

Diretriz III → Agora, marque os números críticos, -2 e 1, numa

reta real. Como já mencionado, ( )f s é um polinômio; o seu

domínio é toda a reta. Logo, os números críticos particionam a

reta, nos seguintes intervalos: ( ); 2−∞ −I , ( )2;1−I e ( )1;+∞I .

Avalie ( )'f s para os valores de “teste” em cada um destes

intervalos para determinar onde a função f está subindo ou

descendo. Por exemplo,

( )' 2 2( ) 6 6 12 6 2= + − = + −f s s s s s → Para 3= −s temos,

( ) ( )( ) ( )2' '( 3) 6 3 3 2 6 9 3 2 24 0 ( 3) 0− = − + − − = − − = > ⇒ − > →f f

A função f é crescente em ( ); 2−∞ −I .

( ) ( )( ) ( )2' '(0) 6 0 0 2 6 2 12 0 (0) 0= + − = − = − < ⇒ < →f f

A f u n ç ã o f é d e c r e s c e n t e e m ( )2;1−I .

( ) ( )( ) ( )2' '(2) 6 2 2 2 6 4 2 2 24 0 (2) 0= + − = + − = > ⇒ > →f f

A função f é crescente em ( )1;+∞I .

Ilustrando os intervalos de crescimento e decrescimento.


Notamos que as setas sugerem que há um máximo relativo

quando 2= −s e um mínimo relativo, quando 1=x (“Teste da

derivada primeira”).

Diretriz IV → Substituindo os números críticos encontrados,

-2 e 1, na função f fornecida na Atividade, encontramos os

pontos críticos ( ). .P C . Isto é,

3 2( ) 2 3 12 7f s s s s= + − − → Para 2= −s

( ) ( ) ( )3 2( 2) 2 2 3 2 12 2 7 ( 2) 13− = − + − − − − ⇒ − =f f

3 2( ) 2 3 12 7f s s s s= + − − → Para 1=x

( ) ( ) ( )3 2(1) 2 1 3 1 12 1 7 (1) 14= + − − ⇒ = −f f → ( ). . 1; 14−P C

Logo, ( )2;13− e ( )1; 14− representam os pontos críticos

( ). .P C ou singulares de f .

A seguir, vamos analisar a intersecção em ( )f x no ponto

( )0;c , em que representa a constante da função fornecida, isto

é, ( )0; 5− ; porém as intersecções não são particularmente

fáceis de encontrar.

Graficamente temos,

→ ( ). . 2;13−P C

O gráfico de s s s= + − −3 2( ) 2 3 12 7f s


Nota: O recurso gráfico da função de f foi realizado pelo Software Matemático

Winplot.

Podemos observar que, no esboço gráfico, foram plotados os pontos

singulares ( )A 2, 1 .− e ( )1; 14− , junto com a intersecção em, ( )f s

, ( )0; 7− . Portanto, temos um máximo relativo em ( )2;13− e um

mínimo relativo em ( )1; 14− ; além de verificarmos a veracidade do

“teste da derivada primeira” para os intervalos de crescimentos e

decrescimento, conforme a ilustração citada.

2.2 a. Determine os intervalos onde f é crescente ou decrescente.

Em análise as Diretrizes I e II → ( )f x é um polinômio. A derivada

primeira é expressa por:

3 2f(x)= x + x - 5x - 5

' 2( ) 3 2 5= + −f x x x

( )' 0=f x , quando 53

= −x e 1=x → raízes da função ou números

críticos.

Diretriz III → Agora, marque os números críticos, -5/3 e 1, numa

reta real. Como já mencionado ( )f x é um polinômio; o seu domínio

é toda a reta. Logo, os números críticos particionam a reta nos

seguintes intervalos: ( ); 5/3−∞ −I , ( )5/3;1−I e ( )1;+∞I .

Avalie ( )'f x para os valores de “teste” em cada um destes intervalos

para determinar onde a função f está subindo ou descendo. Por

exemplo,

' 2( ) 3 2 5= + −f x x x → Para 2= −x temos,

' '( 2) 3 0 ( 2) 0− = > ⇒ − > →f f A função f é crescente em ( ); 5/3−∞ −I

.

' '(0) 5 0 (0) 0= − < ⇒ < →f f A função f é decrescente em ( )5/3;1−I .

' '(2) 11 0 (2) 0= > ⇒ > →f f A função f é crescente em ( )1;+∞I .


Ilustrando os intervalos de crescimento e decrescimento.

Notamos que as setas sugerem que há um máximo relativo

quando 5 / 3= −x e um mínimo relativo quando 1=x (“Teste

da derivada primeira”).

Diretriz IV → Substituindo os números críticos encontrados,

-5/3 e 1, na função f fornecida na Atividade encontramos os

pontos críticos ( ). .P C . Isto é,

x x x x= + − −3 2( ) 5 5f → Para 5 / 3= −x

( 5 / 3) 40 / 27 ( 5 / 3) 40 / 27 1,5− = ⇒ − = ≅f f

x x x x= + − −3 2( ) 5 5f → Para 1=x

(1) 8 (1) 8= − ⇒ = −f f → ( ). . 1; 8−P C

Logo, ( )5 / 3;1,5− e ( )1; 8− representam os pontos críticos

( ). .P C ou singulares de f .

A seguir, vamos analisar a intersecção em ( )f x no ponto

( )0;c , em que representa a constante da função fornecida, isto

é, ( )0; 5− ; porém as intersecções não são particularmente

fáceis de encontrar.

b. Construa o modelo suposto em L .

O gráfico de 3 2f(x)= x + x - 5x - 5

→ ( ). . 5 / 3;1,5−P C

Nota: O recurso gráfico da função de f foi realizado pelo Software

Matemático Winplot.


Podemos observar que no esboço gráfico foram plotados

os pontos críticos ( ). .P C ( )5 / 3;1,5− e ( )1; 8− , junto com a

intersecção em, ( )f x , ( )0; 5− . Portanto, temos um máximo

relativo em e ( )5 / 3;1,5− , um mínimo relativo em ( )1; 8− ; além

de verificarmos através do “teste da derivada primeira” os

intervalos de crescimento em ( ); 5/3−∞ −I e ( )1;+∞I ; e decrescimento

em ( )5/3;1−I conforme o gráfico de 3 2f(x)= x + x - 5x - 5 .

Atividade 3 - p. 24

3.1 Como podemos observar a receita obtida com a venda de

k peças artesanais é 2800k , a função h é expressa por

( ) 2800=R k k .

A função lucro P é representada pela diferença entre a função

receita R e a função custo h , ou seja,

( ) ( ) ( ) ( )3 22800 3 80 500= − = − − − +P k R k C k k k k k

( ) 3 23 2880 500= − + + −P k k k k

Diferenciamos para encontrar o lucro máximo ( )P k . Logo,

( )' 23 6 2880= − + +P k k k → Derivada 1ª

( ) ( )' 23 2 960= − − −P k k k

Fazendo ( )' 0=P k →Encontramos o número crítico

( )2 23 2 960 0 2 960 0− − − = ⇒ − − =k k k k

( )( )32 30 0⇒ − + =k k

1 32⇒ =k

2 30= − →k Não serve ao proposto. Então,

vamos verificar 1 32=k .

Fazendo a derivada 2ª da função lucro P , obtemos,

( )'' 6 6= − +P k k


Substituindo 1 32=k em ( )'' 6 6= − +P k k temos,

( ) ( ) ( )'' '' ''6 6 32 6 32 6 (32) 186 0= − + ⇒ = − + ⇒ = − <P k k P P

Dessa forma, pelo “teste da derivada 2ª”, obtemos o lucro

máximo se forem fabricadas e vendidas mensalmente 32

peças artesanais. E concluímos que o lucro máximo mensal é

obtido substituindo 1 32=k na função lucro ( )P k . Assim,

( )32 61.964=P

Portanto, o lucro máximo possível obtido mensalmente é de

R$61.964,00.

3.2 Como 2 2 12.000= − +T w e T é positivo podemos concluir

que a função procura p é expressa por

( ) 2 12.000= = − +T p w w

PERGUNTA: Qual o domínio de p ?

→ O domínio de p consiste em todos os valores de w , tais

que 2 12.000 0− + >w . Ou, de modo equivalente 2 12.000<w .

Isolando w , temos 0 6.000≤ <w

Graficamente, temos

Gráfico de ( )A 1, 3, 2 .− − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 23 2880 500 32 32 3 32 2880 32 500= − + + − ⇒ = − + + −P k k k k P


Analisando o esboço gráfico de ( )p w , concluímos que

teoricamente não haverá vendas caso o preço de venda for

12.000 109,54≅ . E, quando o preço de venda for próximo

de zero a procura está mais próxima de 6.000 unidades.

Como obter a função procura marginal? Basta derivar h .

Logo,

' 12 12.000

−=

− +p

w → “Sinal negativo!!!”

Interpretando o sinal negativo, concluímos que uma redução

no preço está associada a um aumento na procura.

Calculando a função receita R , temos,

( ) ( ) 2 12.000= = − +R w wp w w w → Diferenciando ambos

os lados em relação a R e simplificando os resultados,

obtemos a função receita marginal ( )'R w expressa por,

( )' 3 12.000

2 12.000− +

=− +

wR ww

Para encontrar o número de unidades e o preço unitário que

produzam receita máxima temos, 12.000 / 3 4000= = →w

Número crítico para a função receita

Observando a função receita marginal ( )'R w concluímos

que:

→ ( )'R w é positiva se 0 4.000≤ <w

→ ( )'R w é negativa se 4.000 6.000< <w

Portanto, a receita máxima será obtida quando se produzir e

vender 4.000 unidades. Esse valor corresponde a um preço

unitário de venda expresso por:

E para finalizar a receita máxima ( )R w , obtida com a venda de

4.000 unidades a um preço unitário de R$63,25 resulta em:

h

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4.000 63,25 253.000,00= ⇒ = ⇒ =R w wp w R w R w

( ) ( ) ( )( )

2 12.000 4.000 2 4.000 12.000

63,25

p w w p

p w

= − + ⇒ = − +

⇒ ≅


Atividade 4 - p. 26

4.1 Pergunta: Quais as dimensões que minimizam o custo do

material utilizado num recipiente cilíndrico, com abertura

superior, e devendo ter a capacidade de 3375πcm , supondo

que não há perda do material?

Planificando o cilindro reto, de base com raio R e altura h ,

obtemos a seguinte figura:

Refletir: Repare que a base do retângulo é exatamente

o comprimento da circunferência da base do cilindro

( )2πR ; como a área do retângulo ( )LS é o produto de

duas dimensões, isto é, lados 2πR e h ; temos que

2π=LS Rh . Concluindo, temos

R : denota o raio.

h : denota a altura.

BS : denota a área do círculo de raio R (área da base), sendo 2π=BS R .

LS : denota a área do retângulo de lados 2πR e h (área lateral).

TS : denota a área total do cilindro, sendo ( )2π= +TS R R h .

C : denota o custo do material

Suposição: não há perda de material

Custo por 2cm → Base do material: R$0,15

Parte curva: R$0,05

Assim,

Custo do recipiente: 15(área da base) + 5(área da parte lateral)

Logo,

( ) ( )215 5 2π π= +C R Rh

( ) ( )25 3 5 2π π= +C R Rh →Colocamos o termo 5π em

evidência

( )25 3 2π= +C R Rh → Observamos que podemos

expressar C como função de uma variável, R , isolando

h em termos de R .

→


O enunciado nos informou que o volume do recipiente, V , é 3375πcm , então,

2 2

2 22

375 375375 ππ π πππ

=⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

=

V bhV R h R h h h

R Rb R

Substituindo h por 2375 / R em C , temos

Atenção: O domínio de C é ( )0;∞ .

Pergunta: Como determinar os números críticos?

Resposta: Para determinar os números críticos basta diferenciar

C em relação a R (Derivada implícita). Portanto,

( ) 2 25015π = +

C R R

R→ Tabela Geral de Derivadas:

Quociente de funções:

Fazendo 0=

dCdR

→Encontramos o número crítico

⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22

375 7505 3 2 5 3 2 5 3π π π = + ⇒ = + ⇒ = +

C R R Rh C R R R C R RR R

( ) ( ) ( )3

2 2750 250 2505 3 5 3 15π π π + = + ⇒ = + ⇒ =

RC R R C R R C RR R R

( ) ( ) ( )3 3

2250 250 25015 15 15π π π + = ⇒ = + ⇒ = +

R RC R C R C R RR R R R

2' ''u u v v uy y

v v⋅ − ⋅

= ⇒ =

2 2

250 0* 1*250 250−= = ⇒ = −

Ry yR R R

'2 2

250 250( ) 15 2 15 2π π = = + − = −

dC C R R RdR R R

( )3

'2 2 2

250 2 250 25015 2 15 15 2π π π − = = − = = −

dC RC R R RdR R R R

( )'2

25015 2π = = −

dC C R RdR R

2

25015 2 0π − =

RR

2 32

3 3 3

250 2502 0 1252

125 5

R RR RR

R R

− = ⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =


E, por meio do Teste da derivada primeira, temos,

( )

( )

'

'

0, se 5

0, se 5

= < < = > >

dC C R RdRdC C R RdR

Teste da derivada primeira para 1= −R :

→Não serve ao proposto.

Teste da derivada primeira para 6=R :

( )

( )( )' '

22

250 250( ) (6) 15 2 15 2 6 15 12 6,956

π π π = = = − = − = −

dC C R C rdR r

( ) ( ) ( ) ( )' ' '(6) 15 12 6,95 6 15 5,05 6 237,98π π= − ⇒ = ⇒ ≅C C C

Substituindo 5=R em C , temos,

( ) ( )2 2250 25015 5 15 5 15 755

π π π = + ⇒ = + =

C R R CR

( ) ( )2 2505 15 5 15 75 5 3.534,295

π π = + = ⇒ ≅

C C

Portanto, pelo Teste da derivada primeira, segue que o custo

mínimo C do material utilizado é obtido quando o raio do

cilindro for de 5cm e o valor correspondente da altura for

2

375 375 1525

= = ⇒ =h h cmR

. Sendo assim, as dimensões

que minimizam o custo do material utilizado num recipiente

cilíndrico, com abertura superior, e devendo ter a capacidade

de 3375πcm , supondo que não há perda do material é 5=R cm

e 15=h cm .

( )( )

( )' '22

250 250( ) ( 1) 15 2 15 2 1 15 2 2501

π π π = = − = − = − − = − − −

dC C R C RdR R

( ) ( ) ( ) ( )' ' '( 1) 15 2 250 1 15 252 1 11.875,22π π− = − − ⇒ − = − ⇒ − ≅ −C C C

Podemos observar que o número 5 é o único número

crítico.


4.2 L : Largura da base do condutor de água.

x : valor em cm a ser dobrado em cada lado do

condutor.

30 2= −L x

Pergunta: Qual a capacidade máxima do condutor, de

acordo com a vazão de água esperada?

Refletindo: “Quando a retânguloA de lados x e 30 2− x for

máxima”.

Assim,

( ) ( )30 2= = −retânguloA f x x x

( ) 230 2= = −retânguloA f x x x

( )' 0= = →retânguloA f x Número(s) crítico(s).

' ' ( ) 0 30 4 0 2(15 2 ) 0= = ⇒ − = ⇒ − =retânguloA f x x x

2 0⇒ = →Falso

15 2 0 7,5⇒ − = ⇒ =x x

(único número crítico). Logo, 7,5=x cm .

Conclui-se que para obtermos um condutor de água com

capacidade máxima, de acordo com a vazão de água

esperada, devem ser dobrados 7,5cm de cada lado do

material utilizado.


Roteiro de Estudo 2Os vetores na engenharia

Atividade 1 - p. 37

1.1 a) 2ºQ ; b)1ºQ e 2ºQ ; c) yOz, 1ºO e 2ºO ; d) 2ºO ; e) 3ºO ; f) 7ºO ; g) eixo x, eixo y, eixo z, xOy, xOz, yOz, 1ºO, 2ºO, 3ºO, 4ºO,

5ºO, 6ºO, 7ºO e 8ºO ; h) eixo x, 2ºO, 3ºO, 6ºO e 7ºO

1.2 ( ) ( ) ( )= + + + =

=

2 2 2AB

AB

d 4 - 0 2 1 3 - 3 25

d 5.

1.3 Se o triângulo ABC é retângulo em A, então, o lado BC é a hipotenusa do triângulo, e AB e AC são os seus catetos. Então, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= +

− + − + − = + + + − + − + + −

+ = + + + + + + +

= +

= − ∴ = −

2 2 2BC AB AC

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

Por Pítagoras : d d d

2 a 1 1 a 1 1 1 1 2

5 a 1 a 2a 1 1 1 1 4

0 4 2a

2a 4 a 2

Atividade 2 - p. 41

2.1 Equação reduzida: , então, a equação

desta circunferência é: .

Desenvolvendo os quadrados, temos a equação geral:

− + + + + − =

+ − + + =

2 2

2 2

x 4x 4 y 2y 1 2 0x y 4x 2y 3 0

( ) ( )− + + =2 2x 2 y 1 2

( ) ( )− + − =2 2 2x a y b r


2.2 Se A e B são extremos de um mesmo diâmetro, então o ponto médio do segmento AB é o centro da superfície esférica e a metade de AB é o seu raio. Então:

( )

( ) ( ) ( )

+ + + − + + + ⇒

+ += = = ∴ =

− + − − =

A B A B A B

2 2 2AB

2 2 2

x x y y z z 2 4 1 5 3 5C , , C , ,2 2 2 2 2 2

C 1,3,4

Cálculo do raio :

d 6 4 2 56r r 142 2 4

finalmente,a equaçãodasuperfície será :

x 1 y 3 z 4 14

Atividade 3 - p. 48

( ) ( )+ = + → = +

=

= ∴ =

= =

222 2 2 2

2

2

u v u v 2 5 2 v v

20 5 v

v 4 v 2

Como u 2 v , então : u 4

3.1

3.2

+ = + + ⋅ ⋅ ⋅

+ = + =

2 2

a.

u v 4 8 2 4 8 cos60º

u v 128 ou u v 4 7

= +

= =

2 2

b.

u - v 4 8

u - v 80 ou u - v 4 5

Atividade 4 - p. 56

4.1 Represente, no espaço Oxyz, o ponto ( )− −3, 2,1 . O vetor u

é o vetor com origem na origem do espaço e extremidade no

ponto ( )− −3, 2,1 .

4.2 ( ) ( ) ( ) ( )

( )= ⋅ − − − = − − −

= − −

w 2 3, 2,0 1,3,2 6, 4,0 1,3,2

w 7, 7, 2


4.3 ( ) ( )= + + = → = +

= ∴ = ±

22 2 2 2

2

u -2 3 a 22 22 13 a

9 a a 3

Atividade 5 - p. 56

5.1

5.2 Um vetor pode ser representado de duas formas: por um

ponto, ( )=u x,y,z , ou por uma combinação linear dos vetores

da base canônica, = ⋅ + ⋅ + ⋅ u x i y j z k . Então:

= − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ + u 3 i 0 j 1 k ou u 3 i k

5.3 Vamos chamar o vetor natural do vetor AB de vetor

OP . Se

OP é o vetor natural de

AB , então:

Para a representação dos vetores, basta marcarmos no

sistema Oxyz os pontos A e B, origem e extremidade do vetor AB e o ponto P, extremidade do vetor

OP .

( )( )

( )

−= =

+ −

− = ∴ = −

22

3, 4vuv 3 4

3, 4 3 4u u ,5 5 5

( ) ( )( )

=

= − = − − −

= − −

OP AB

OP B A 1, 2,5 3, 1,2

OP 2, 1,3


COMPONENTE CURRICULARExpressão Gráfica e Comunicação

Roteiro de Estudo 1O desenho arquitetônico na engenharia

Atividade 1 - p. 82

2.1 Realizar a leitura solicitada.

2.2 O quadro com as especificações ficou, assim, determinado:

Atividade 2 - p. 82

2.3


3.1 Realizar a leitura solicitada.

3.2 Inseridas as portas e as janelas de acordo com os tipos indicados, a planta ficou, assim, determinada:

3.3 3.4

Atividade 3 - p. 83


Atividade 1 - p. 90

Esta operação de adição é muito simples e pode servir de exemplo para outra unidade, isto é, distância.

Preste atenção:

1,02 L de garapa 1,22 L 1,61 L 1,09 L 2,08 L de garapa Total (do volume) = 7,02 L de garapa.

Atividade 2 - p. 91Nessa atividade, você pode, por exemplo, citar:

a) Sublimação = naftalinab) Fusão = margarina no calorc) Evaporação = roupa no secadord) Solidificação = geloe) Condensação = água formada por fora do copo de

refrigerante

Atividade 3 - p. 92

Atividade 4 - p. 93

As relações de ensino e aprendizagem exigem muita reflexão e exemplos com base no cotidiano. Com base em suas observações em seu cotidiano, os exemplos podem ser:

• Matéria = mesa, cadeira, geladeira etc.• Substância = sacarose, cloreto de sódio etc.• Massa = 200 g de farinha de trigo.• Peso = uma força de 20 kN.

a) a maior quantidade de energia está concentrada no primeiro membro da reação.

b) a representação da fumaça na combustão do álcool pelo átomo de carbono (C) está correta.

COMPONENTE CURRICULARFenômenos Físicos e Químicos e Suas Aplicações

Roteiro de Estudo 1Medidas e conceitos químicos: aplicações no contexto tecnológico


Atividade 5 - p. 95

Você pode representar, por meio de desenhos, os conjuntos de substâncias (misturas) a seguir, da seguinte forma:

a)

b)

c)

d)

óleo

óleo

água

água

álcool e água

garapa e açúcar


Atividade 6 - p. 97

6.1 O cimento é mais denso que a água.6.2 O açúcar é menos denso que a água.6.3 Uma lata de refrigerante diet é menos densa que a água.6.4 Uma de refrigerante comum (não diet) é mais densa que a

água.6.5 O leite é mais denso que a água.6.6 O gelo flutua porque é menos denso que a água.

Atividade 7 - p. 97O densímetro poderá ser montado de forma alternativa como a apresentada, a seguir:

rolha de cortiça

canudinho de refrigerante

qualquer material mais pesado que a rolha.

Atividade 8- p. 98

Podemos indicar nos gráficos os três estados físicos da água e, ainda, o ponto de fusão, o ponto de ebulição, com as respectivas temperaturas, da seguinte forma:

(T)

0ºC

100ºCvapor de água

ponto de ebuliçãoestado líquido

Tempo (t)

ponto de fusãoestado sólido

(T)

0ºC

100ºC

vaporcondensação

líquido

solidificação

sólido

Tempo (t)

Engenharia Civil ET 2 - Vol 1

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