Enem - Apostila - Matemática e Suas Tecnologias

MatemáticaMatemática

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Mate

mática

Ao estudar o livro, o aluno está sendo conduzido pela mão do autor. Os exercícios lhe fornecem o ensejo decaminhar mais solto e, assim, ir ganhando independência. Para quem está convencido da importância de resolver osexercícios deste livro, um esclarecimento: eles variam em seus graus de dificuldade. Não se desencoraje se não conseguirresolver alguns deles. Volte a eles quando se sentir mais confiante. Matemática não se aprende passivamente; ler todos osexercícios e resolver quantos puder é uma tarefa essencial do leitor. Vamos iniciar pela teoria dos conjuntos.

Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos,chamados os seus elementos. Quando um objeto qualqueré um dos elementos do conjunto, dizemos que esseelemento pertence ao conjunto. Simbolicamente, temos:

X ∈ A (lê-se: X pertence ao conjunto A)

X ∉ A (lê-se: X não pertence do conjunto A)

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados para relacionarelemento com conjunto.

Dois conjuntos são iguais quando possuem osmesmos elementos. Indicamos por A = B (lê-se: o conjuntoA é igual ao conjunto B).

Quando um conjunto é desprovido de elementosrecebe o nome de conjunto vazio e é representado por{ } ou ∅.

O conjunto ao qual pertencem os elementos de todosos conjuntos que fazem parte de nosso estudo é chamadode conjunto universo.

Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A ésubconjunto de B se cada elemento do conjunto A é,também, um elemento do conjunto B. Indicamos por:

A ⊂ B (lê-se: A está contido em B)A ⊄ B (lê-se: A não está contido em B)B ⊃ A (lê-se: B contém A)B ⊃ A (lê-se: B não contém A)

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Os símbolos ⊂, ⊃, ⊄, ⊃ são utilizados pararelacionar conjunto e conjunto.

NÚMEROS NANÚMEROS NANÚMEROS NANÚMEROS NANÚMEROS NATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS

O surgimento dos números naturais se deu pelanecessidade da contagem para controle de bens dos sereshumanos. A noção de quantidade é da natureza de qualquerser racional. A quantidade é representada por símbolostambém chamados de algarismos. A cada uma dessasquantidades é associado um símbolo que representa umnúmero natural.

Desta forma, o conjunto dos números naturais é dadopor:

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O sistema de numeração decimal utiliza dezalgarismos para representar qualquer número e a cadaalgarismo é dado um peso que depende de sua posição norespectivo número.

Exemplo:

2 3 5

5.10º=53.101=302.102=200

ou 2 centenas, 3 dezenas e 5 unidades.

NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOSNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOSNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOSNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOSNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

É qualquer número natural não nulo e diferente daunidade que só pode ser dividido por 1 (unidade) e por sipróprio. Quando um número natural não nulo e diferenteda unidade não for primo é, então, denominado composto.

Exemplos de números primos:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53;59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97; ...

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: É importante lembrar que o número 1(unidade) não é primo.

DECOMPOSIÇÃO EM FADECOMPOSIÇÃO EM FADECOMPOSIÇÃO EM FADECOMPOSIÇÃO EM FADECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOSTORES PRIMOSTORES PRIMOSTORES PRIMOSTORES PRIMOS

Um número composto qualquer pode serdecomposto em fatores primos, utilizando-se, para tanto,as divisões sucessivas.

Conjuntos Numéricos e Operações IConjuntos Numéricos e Operações IConjuntos Numéricos e Operações IConjuntos Numéricos e Operações IConjuntos Numéricos e Operações I

→ Exemplo: 360 360 2180 2

90 245 315 3

Então: 360=23.32.5 5 51

EBR MATEMATICA MOD I AULA 01.pmd 23/3/2004, 12:021

Conjuntos Numéricos e Operações I

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a.bmdc {a; b}

DIVISORES DE UM NÚMERODIVISORES DE UM NÚMERODIVISORES DE UM NÚMERODIVISORES DE UM NÚMERODIVISORES DE UM NÚMERO

Após o número decomposto em fatores primostemos que obter todos os produtos possíveis utilizando,para isso, o dispositivo prático abaixo:

Exemplo: 90=2.32.5

2º

21

3º

31

32

5º

51

2º.3º.5º=12º.31.5º=32º.31.51=152º.3º.51=52º.32.5º=92º.32.51=45

MÍNIMO MÚLMÍNIMO MÚLMÍNIMO MÚLMÍNIMO MÚLMÍNIMO MÚLTIPLTIPLTIPLTIPLTIPLO COMUM (M.M.C.)O COMUM (M.M.C.)O COMUM (M.M.C.)O COMUM (M.M.C.)O COMUM (M.M.C.)

Obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou maisnúmeros naturais consiste em determinar, a partir daintersecção entre os conjuntos dos múltiplos, o menorelemento, desconsiderando o zero.

Exemplo: 36 e 2436=22.32

24=23.3mdc {36;24}= 22.3=12

É possível a determinação do máximo divisor comumde dois números naturais a partir da decomposição emfatores primos.

O mdc é obtido multiplicando-se os fatores primoscomuns com os menores expoentes.

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O mínimo múltiplo comum entre doisnúmeros naturais é igual ao quociente entre seu produto eo máximo divisor comum.

Exemplo: 12 e 18m(12)= {12; 24; 36; 48; 60...}m(18)= {18; 36; 54; 72; 90...}m(12) ∩ m(18)= {36; 72; ...}mmc {12; 18}= 36

É possível obter o mmc entre números naturais apartir de decomposição simultânea em fatores primos.

Exemplo: 12 e 18

12,18 26,9 23,9 31,3 31,1 Portanto, o mmc é dado pelo produto

mmc {12; 18}= 22.32=36

O mmc pode ainda ser obt ido a part ir dadecomposição em fatores primos separadamente dosnúmeros. O mmc será o produto de todos os fatoresprimos, considerados uma única vez e de maior expoente.

Exemplo: 12 e 1812= 22.318=2.32

mmc {12; 18}= 22.32=36

mmc {a; b}=

Exemplo: 90=21.32.51

número de divisores= (1+1).(2+1).(1+1)=2.3.2=12divisores

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SINÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois números são denominados primos entre si, seo único divisor comum for a unidade.

Exemplo: Os números 15 e 16 são primos entre si:d(15)= {1; 3; 5; 15}d(16)= {1; 2; 4; 8; 16}d(15) ∩ d(16)= {1}

MÚLMÚLMÚLMÚLMÚLTIPLTIPLTIPLTIPLTIPLOS DE UM NÚMEROOS DE UM NÚMEROOS DE UM NÚMEROOS DE UM NÚMEROOS DE UM NÚMERO

Múltiplo de um número natural é o produto dele porum outro número natural.

Portanto, o conjunto dos múltiplos é:

m(s)= {0; 5; 10; 15; 20; 25; ...}

Exemplo: 5.0=05.1=55.2=105.3=15

Exemplos: 36 e 24

d(36)= {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}d(24)= {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}d(36) ∩ d(24)= {1; 2; 3; 4; 6; 12}mdc {36; 24}=12

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.CMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.CMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.CMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.CMÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.....)))))

O máximo divisor comum entre dois númerosnaturais é obtido a partir da intersecção entre os conjuntosdos divisores dos dois números tomando o maior elementodo conjunto intersecção.

Portanto, o conjunto dos divisores é:d (90) = {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90}

Para obtermos a quantidade de divisores de um númerobasta tomarmos os expoentes dos fatores primos quecompõem o número, adicionarmos uma unidade a cadaexpoente e multiplicar os resultados.



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Mate

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Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A ordem das parcelas não altera a soma;2+3=3+2 (propriedade comutativa).

Do fato de não ocorrer a comutatividade em relaçãoà subtração foi necessário a criação do conjunto dosnúmeros inteiros.

ADIÇÃO DE NÚMEROS NAADIÇÃO DE NÚMEROS NAADIÇÃO DE NÚMEROS NAADIÇÃO DE NÚMEROS NAADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS:TURAIS:TURAIS:TURAIS:TURAIS:

A adição de dois números naturais sempre resultanum número natural. O símbolo “+++++” é utilizado pararepresentar a operação adição de números.

Exemplo: 2 + 3 = 5soma

parcelas

A soma na adição de várias parcelas pode ser obtidareunindo-se duas a duas em qualquer ordem:

1+3+5=1+(3+5)= (1+3)+5 (propriedadeassociativa).

O número zero é considerado elemento neutro daadição, pois qualquer número adicionado com zero resultapara a soma o próprio número:

7+0= 0+7=7 (elemento neutro da adição)

SUBTRAÇÃO DE NASUBTRAÇÃO DE NASUBTRAÇÃO DE NASUBTRAÇÃO DE NASUBTRAÇÃO DE NATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS

É a operação inversa da adição. É importante salientarque a subtração entre dois números naturais nem sempreresulta num número natural. O símbolo “-----” é utilizado pararepresentar a subtração de números.

Exemplo: 7 - 3 = 4diferençasubtraendominuendo

Obs.: A subtração de dois números naturais não écomutativa.

7-3=4 mas 3-7=-4logo 7-3 ≠ 3-7

MULMULMULMULMULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSNANANANANATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS

A multiplicação de naturais é a operação associada aadição de parcelas iguais. A multiplicação de númerosnaturais sempre resulta num número natural. O símbolo “.....”é utilizado para representar a multiplicação de números.

Exemplo: 3 . 5 = 15produtofatores

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A ordem dos fatores não altera o produto;3.5=5+5+5=15 ou 5.3=3+3+3+3+3=153.5= 5.3=15 (Propriedade Comutativa)

Distributividade em relação à operação de adição (ousubtração):

Numa expressão envolvendo multiplicação e adição(ou subtração) deve-se primeiro multiplicar:

3+2.4 = 3+8 = 11

Casos particulares seja a∈ N1.a=a.1=a (elemento neutro da multiplicação)0.a=a.0=0 (anulamento do produto)

3. (4+7) = 3.4+3.7

DIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSNANANANANATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS

É a operação inversa da multiplicação. É importantesalientar que nem sempre a divisão de dois números naturaisresulta um número natural. O símbolo ”:::::” é utilizado pararepresentar a divisão de números.

Exemplo: 18 : 6 = 3quocientedivisordividendo

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A divisão de dois números naturais não écomutativa.

18 : 6 ≠ 6 : 18

0:0 é indeterminado, pois qualquer número natural Kverifica a igualdade 0:0=K, pois K.0=0.

Casos Particulares: Seja a∈e Na:1=a pois a.1=aa:a=1 pois 1.a=a (a≠0)0:a=0 pois 0.a=0 (a≠0)a:0 não existe



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Quando a divisão não é exata.5:3 5 3

2 15 = 3 . 1 + 2 resto

quocientedivisordividendo

Quando o resto da divisão for nulo (igual a zero)dizemos que o número é divisível.POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NAPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NAPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NAPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NAPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NATURAISTURAISTURAISTURAISTURAIS

É o produto de fatores iguais. Seja o produto:

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =64

6 fatores

podemos representar por:expoente

26 = 64 potênciabase

A potenciação de um número natural sempre resultanum número natural.

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A potenciação não é comutativa:

25≠52

Casos Particulares: Seja a ∈ Na1=aa0=10a=0(a≠0)

Distributividade em relação à multiplicação e à divisão:Seja a ∈ N, b ∈ N e n ∈ N.

(a.b)n = an.bn

(a:b)n = an:bn

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Quando trabalhamos com raiz quadrada (raizde índice igual a 2) podemos omitir o índice.

16 = 16 =4

RADICIAÇÃO DE NÚMEROSNATURAIS

É a operação inversa da potenciação. É importantelembrar que a radiciação de um número natural nem sempreresulta num número natural. O símbolo ” ” é utilizadopara representar a operação de radiciação.

Exemplo: 243 = 3, pois 35 = 243raizradicandoradicalíndice

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Distributividade em relação à multiplicação e à divisão:Seja a ∈ N, b ∈ N e n ∈ N*.

Numa expressão númerica envolvendo potenciaçãoou radiciação, multiplicação ou divisão e soma ou subtração,deve-se resolver nesta ordem.

Exemplo:

a) 4 : 2+3.2+5==2:2+3.2+5==1+6+5=12

b) 23:4+3.6:2-1==8:4+3.6:2-1==2+18:2-1==2+9-1==11-1=10

n n n

n n n

a.b = a . b

a:b = a : b

NÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROSNÚMEROS INTEIROS

Fundamentada a idéia relativa aos números naturais,surgiram algumas questões. Como representar umadefasagem ou perda numa quantidade? Como representaruma diferença ou subtração?

O conjunto dos números inteiros foi criado pararesponder a estas perguntas.

Para representar o oposto de possuir uma certaquantidade vamos usar o símbolo “-”“-”“-”“-”“-” antes do númeronatural.

ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A adição de dois números inteiros resulta sempre umnúmero inteiro.

1º caso: A soma de dois números inteiros positivos éum número inteiro positivo.

5+7=12

2º caso: A soma de dois números inteiros negativosé um número inteiro negativo.

3º caso: A soma de um número inteiro positivo comum número inteiro negativo pode resultar num inteiropositivo ou num inteiro negativo ou ainda no zero.

-5+(-7)=-12

-5+7=25+(-7)=-25+(-5)=0



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Mate

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Portanto, na adição de números inteiros de sinaiscontrários, a soma terá o sinal correspondente ao sinal daparcela de maior valor absoluto (número sem o sinal).

SUBTRAÇÃO DE NÚMEROSSUBTRAÇÃO DE NÚMEROSSUBTRAÇÃO DE NÚMEROSSUBTRAÇÃO DE NÚMEROSSUBTRAÇÃO DE NÚMEROSINTEIROSINTEIROSINTEIROSINTEIROSINTEIROS

A subtração é a operação inversa da adição. Asubtração de dois números inteiros sempre resulta numnúmero inteiro. Vamos estabelecer o seguinte:

O sinal positivo, quando antecede os parênteses, nãoaltera o sinal do número dentro do mesmo.

O sinal negativo, quando antecede os parênteses,muda o sinal do número dentro do mesmo.

Exemplo: +7 = 7+(-7) = -7+(+3) = 3-(-7) = 7-(+7) = -7

MULMULMULMULMULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSINTEIROSINTEIROSINTEIROSINTEIROSINTEIROS

O produto de dois números inteiros é sempre umnúmero inteiro. Deve-se estar atento sempre ao sinal doproduto.

1º Caso: Se os dois fatores são positivos, então oproduto é positivo.

(+2).(+5)=2.5=10

2º Caso: Se os dois fatores são de sinais contrários,então o produto é negativo.

(+2).(-5)=2.(-5)=(-5)+(-5)=-5-5=-10(-2).(+5)=-(+2).(+5)=-(2.5)=-10

3º Caso: Se os dois fatores de uma multiplicação sãonegativos, então o produto será positivo.

(-2).(-5)=[-(+2)].(-5)=-[2.(-5)]=-[-10]=10

CCCCCONCLUSÃOONCLUSÃOONCLUSÃOONCLUSÃOONCLUSÃO

Teremos um produto positivo, caso os fatores sejamde mesmo sinal e um produto negativo, caso os fatoressejam de sinais diferentes.

+ . + = +

+ . - = -

- . + = -

- . - = +

DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROSDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROSDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROSDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROSDIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Como a divisão é a operação inversa da multiplicação,a análise de sinais feitos para o produto é a mesma para oquociente.

A divisão de dois números inteiros nem sempre admite umquociente inteiro. Por este motivo, foi criado o conjuntodos números racionais.

Exemplo: (-4):(-2)=2(-4):(2)=-2(4):(2)=2(4):(-2)=-2

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

É uma operação definida de maneira análoga dosnúmeros naturais, ou seja, com multiplicação sucessiva deum mesmo número.

1º Caso: Na potenciação de números inteiros, se abase é positiva, a potência é positiva.

23=2.2.2=8

2º Caso: Se a base é negativa, a potência é positiva seo expoente é par, e negativa, se o expoente é ímpar.

(-2)2=(-2).(-2)=4(-2)3=(-2).(-2).(-2)=-8

RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

É a operação inversa da potenciação de númerosinteiros. A radiciação de números inteiros nem sempreresulta num número inteiro.

EXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICAS

Uma expressão numérica envolvendo númerosinteiros e as operações definidas para os mesmos devemser efetuadas (resolvidas) respeitando-se uma ordem nasoperações e nos sinais gráficos (parênteses, colchetes echaves) utilizados para ordenar as operações. Quanto aossinais gráficos, eliminam-se na seguinte ordem:

1º) parênteses;2º) colchetes;3º) chaves.E quanto às operações, resolvem-se na seguinte

ordem:

1º) Potenciação ou Radiciação;2º) Multiplicação ou Divisão;3º) Adição ou Subtração.

Exemplos: 1) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1}=

=28+{13-[6-5+2]-1}==28+{13-3-1}==28+9=37



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2) {-22:4+[(-2+5)2:3]}=={-4:4+[(+3)2:3]}=={-1+[9:3]}=={-1+3}=2

3) -(-32:16)2:(8-2.3)-(-12):( 6 )2==-(-2)2:(8-6)-(-12):6==-(+4):2-(-2)==-2+2=0

4) -3.{-2+[-1+(-3)2:3]-1}==-3.{-2+[-1+9:3]-1}==-3.{-2+[-1+3]-1}==-3.{-2+2-1}==-3.{-1}==3

NÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAISNÚMEROS RACIONAIS

Nem sempre a divisão entre dois números inteirosresulta em um número inteiro. Surgiu, então, o conjuntodos números racionais, números que podem serrepresentados por uma razão entre dois inteiros.Intuitivamente explicamos a origem dos números racionaisa partir da divisão de um todo em várias partes.

Todo número racional é representado pelo quociente(razão ou divisão) entre dois números inteiros.

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Importante lembrar que não existe divisão porzero (denominador sempre diferente de zero) e que todonúmero racional na forma decimal é sempre representadopor uma dízima periódica ou por uma divisão exata.

Exemplo: =0,5 (divisão exata)

=0,3333... (dízima periódica)

2 partes

2 numerador5 denominador

5 partes

Q={ p Z, q Z, q 0} ∈ ≠∈pq

NÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAISNÚMEROS IRRACIONAIS

São todos os números que não possuem razão.Números que não podem ser representados na forma deuma fração.

Exemplos: π=3,1415926...2=1,4142135...3=1,7320508...e=2,7182818...

Observe a construção:

Todo número irracional não pode ser representadopor um quociente entre dois inteiros.

Observe, agora, o diagrama a seguir:

NÚMEROS REAISNÚMEROS REAISNÚMEROS REAISNÚMEROS REAISNÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais é definido como uniãoentre os conjuntos dos números racionais e irracionais, ouseja:

É importante lembrar que associamos a cada númeroreal um ponto de uma reta.

-2 221,7320508...1,4142135...

2

3

3 3

1

10-1-

I={x p Z, q Z, q 0}∈ ≠≠ ∈pq

N QZ I

R = Q I

13

12

0

0

0

0

1

1

1

1

2

2

2

2

3...

3...

3

3

N

I

R

-1

-1

-1

-2

-2

-2

...-3

-3

-3

Q

Z

e p-p -e

N Z Q R e R⊂ I⊂ ⊂ ⊂



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Mate

mática

Quando pensamos em números quaisquer e suas utilizações estamos falando sobre diversos momentosdo cotidiano de qualquer pessoa. Quando vamos a uma feira temos os preços, os pesos, quantidade deprodutos ou quando compramos um imóvel, o valor, a metragem, a quantidade de cômodos, entre outrasutilizações.

INTERVINTERVINTERVINTERVINTERVALALALALALOSOSOSOSOS

Intervalo aberto é um subconjunto do conjunto dosnúmeros reais x, tais que:

a<x<b

ou seja, números que estão entre a e b.

Intervalo Fechado é o subconjunto do conjunto dosnúmeros reais x, tais que:

a≤x≤b

a b

(a;b)=]a;b[={x R a<x<b}∈

0 10 10 10 10 1 Sendo A={x ∈ N 3 ≤ x <10} e B= {x∈Z -4≤x≤5}obtenha as operações:

a) A∪BOperação de união entre A e B. Devemoscolocar todos os elementos que pertencem aA ou a B.

A={3,4,5,6,7,8,9}B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}A∪B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A∪B={x∈ Z -4 ≤ x <10}

b) A∩BOperação de intersecção entre A e B. Devemostomar todos os elementos que pertencemsimultaneamente a A e a B.

A∩B={3,4,5}

c) A-BOperação de diferença entre A e B. Devemostomar todos os elementos que pertencem a A,mas não pertencem a B.

A-B={6,7,8,9}

ou seja, números de a até b.

Intervalos infinitos são subconjuntos do conjunto dosnúmeros reais x, tais que:

Obs.: no infinito o intervalo sempre é aberto.

d) B-AIdem ao anterior

B-A={-4,-3,-2,-1,0,1,2}

0 20 20 20 20 2 Considere os conjuntos A={x ∈ R 3≤ x <10}e B={x∈ R -4 ≤ x ≤ 5} oper.:

a) A∪BA=[3;10) B=[-4;5]

3 10A

-4 5B

-4 10A B∪

A B=[-4;10)∪

x ≥ a ou x ≥ a

x > a ou x < a

a b

[a;b]={x R a x b}∈ ≤ ≤

a

[a; )∝

a

(a; )∝

a

(- ;∝ a]

(- ;∝ a)

a

a

a



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Mate

máti

ca

d) B-A

0 30 30 30 30 3 Determime o valor da expressão:

b) A∩B

c) A-B

3 10A

-4 5B

A B∩

A B=[3;5]∩

3 5

3 10A

-4 5B

A-B

A-B=(5;10)

5 10

-4 5B

B-A

B-A=[-4;3)

-4 3

3 10A

0 10 10 10 10 1 Sendo A={x ∈ N 2≤x≤9} e B={x∈Z -3≤x<7}obtenha:

a) A∪Bb) A∩Bc) A-Bd) B-A

0 20 20 20 20 2 Dados os intervalos reais A=(-4;5) e B=[-6;3)obtenha:

a) A∪Bb) A∩Bc) A-Bd) B-A

0 30 30 30 30 3 Complete com V para verdadeiro ou F para falso:

a) ( ) Z ⊂ Nb) ( ) N ⊂ Qc) ( ) Q ∪ I = Rd) ( ) N ∩ Z = Q

e) ( ) N ∩ Z = Nf) ( ) N ∪ Z =Zg) ( ) Z ∪ Q = Nh) ( ) Z ∩ Q =Zi) ( ) Z ∪ Q = Q

0 40 40 40 40 4 Associe aos conjuntos dados na primeiracoluna seus respectivos nomes da segundacoluna.

(a) R=(-∞;∞) ( ) Reais não negativos(b) R +=[0;∞) ( ) Reais(c) R *=(0;∞) ( ) Reais negativos(d) R -=(-∞;0] ( ) Reais não positivos(e) R*=(-∞;0) ( ) Reais positivos

0 50 50 50 50 5 Some os itens corretos:

(01) (08)

(02) (16)

(04) (32)(64)

1+15

+ 13

: 35

- 115

=

1+3+515

: ==9-115

1+815

: ==8

15

1+815

. ==158

1+1= 2=

∈ -2 N

02 =013 ∈ I

∈ -1 R

∈ R304 ∈ Q3

∈ -8 R3

+

-



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Mate

mática

0 60 60 60 60 6 Uma pesquisa foi realizada junto a 930 pessoasa respeito da prática dos esportes futebol e vôlei. Foiconstatado que o volei era praticado por 340 pessoase que 65 praticavam ambos os esportes. Foiconstatado ainda que 15 pessoas não praticavamnenhum desses esportes. O número de pessoas quepraticavam apenas futebol é:

a) 565 b) 525 c) 535 d) 510 e) 575

0 70 70 70 70 7 Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 deleslêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêemo jornal B. O valor de n é:

a) 245 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183

0 10 10 10 10 1 (OSEC-SP) Sejam A e B os seguintes subcon-juntos de R:

A={x∈ R 2 ≤ x ≤ 5}B={x ∈ R x>4}Então podemos afirmar que:

a) A - B ⊂ Bb) A - B ⊂ Ac) B - A ⊂ Ad) A - B = {x ∈ R 2 < x <4}e) B -A = {x ∈ R x ≥ 5}

0 20 20 20 20 2 (FGV-SP) Sejam os intervalos A=(-∞; 1],B=(0;2] e C=[-1; 1]. O intervalo C∪(A∩B) é:

a) (-1; 1]b) [-1; 1]c) [0;1]d) (0;1]e) (-∞; -1]

0 30 30 30 30 3 (CEFET-PR) Se P={x∈ R -3 ≤ x<-2}Q=]-2;-1] e S={x ∈ R x ≥-3}(P∪Q) - (Q∩S) é igual a:

a) {x∈ R -3≤x≤-1 e x≠2}b) {x∈ R -3≤x≤-2}c) {x∈ R -2≤x≤-1}d) {x∈ R -3≤x<-2}e) {x∈ R -2<x≤-1}

0 40 40 40 40 4 (ACAFE-SC) Dados os conjuntos:A={x∈ N 2≤x≤5}B={x∈ R x é ímpar e 1≤x<7}C={x∈ R 0<x≤3}O conjunto-solução de (A-B) ∪ (B-C) é:

a) {1; 2}b) {2; 4; 5}c) {0; 1; 3; 5; 7}d) {1; 2; 3; 4; 5}e) {0; 4; 5}

0 50 50 50 50 5 (UF-VIÇOSA-MG) Assinale a a l ternat ivaincorreta. Dados os conjuntos:A={x x é um número real}B={x x é um número racional}C={x x é um número primo}Então:

a) C ⊂ Bb) S ∈ (B∩C)c) B ⊂ Ad) 6∈(A∩B∩C)e) 7∈(A∩C)

0 60 60 60 60 6 (PUC-RS) Se M=(-∞;3), N=[-1,∞) eP=[-2; 10), então P-(M∩N) é o intervalo:

a) [-2;1)b) [-2;3)c) [-1; 10 )d) (-∞;-1]∪(3;∞)e) [-2;1)∪[3; 10 )

0 70 70 70 70 7 (FATEC-SP) Sejam a e b números irracionais:I) a.b é um número irracionalII) a+b é um número irracionalIII) a-b pode ser um número racional, pode-seconcluir que:

a) as três são falsas;b) as três são verdadeiras;c) somente I e III são verdadeiras;d) somente a I é verdadeira;e) somente I e II são falsas.

0 80 80 80 80 8 (PUC-SP) Um número racional qualquer:

a) tem sempre um número finito de ordens (casas)decimais;

b) tem sempre um número infinito de ordens (casas)decimais;

c) não pode expressar-se em forma decimal exata;d) nunca se expressa em forma de uma decimal

inexata;e) nenhuma das anteriores.



10

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ca

0 90 90 90 90 9 (EFOA-MG) Seja R o conjunto dos números reais,N o conjunto dos números naturais e Q o conjuntodos números racionais. Qual a afirmativa falsa?

a) Q ∪ N ⊂ Rb) Q ∩ N ⊂ Rc) Q ∪ N = Rd) Q ∩ R =Qe) Q ∩ R ≠ ∅

(FCC-BA) Consultadas 500 pessoas sobre ase m i s s o r a s d e T V a q u e h a b i t u a l m e n t eassistem, obteve-se o resultado seguinte: 280pessoas ass i s tem ao cana l A , 250 a s s i s t e mao canal B e 70 assistem a outros canais dist intosde A e B. O número de pessoas que assistem a Ae não assistem a B é:

a) 30 b) 150c) 180 d) 200e) 210

(VUNESP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20, de história. O número de alunos destaclasse que gostam de matemática e de história é:

a) exatamente 16;b) exatamente 10;c) no máximo 6;d) no mínimo 6;e) exatamente 18.

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1 01 01 01 01 0


1

Mate

máticaVeremos neste capítulo as operações entre números racionais (fracionários), a potenciação e radiciação de números

reais.

ADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAISADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAISADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAISADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAISADIÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

A soma de dois números racionais é sempre umnúmero racional.

1º Caso: Mesmo denominador:

A fração resultante terá para numerador o valor dasoma dos numeradores, e para denominador, o mesmovalor dos denominadores das parcelas.

2º Caso: Denominadores diferentes:

Todas as frações devem ser reduzidas a um únicodenominador. Isto é feito obtendo-se o mmc entre osdenominadores.

mmc {3; 5; 4}=60

1) Colocamos um traço único de fração;

2) Localizamos o mmc dos denominadores como sendoo novo denominador;

3) Dividimos o novo denominador pelosdenominadores antigos e, respectivamente, multiplicamospelos numeradores obtendo, então, os novosnumeradores;

4) Por fim, fazemos a adição dos novos numeradores.

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Um número inteiro ou natural possui comodenominador, quando escrito na forma de fração, o número 1.

Exemplo:

A operação de subtração de números racionais éanáloga à operação de adição.

MULMULMULMULMULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSTIPLICAÇÃO DE NÚMEROSRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAIS

O produto de dois números racionais é sempre umnúmero racional. O produto é obtido multiplicando-senumerador por numerador e denominador pordenominador.

Exemplo:

DIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSDIVISÃO DE NÚMEROSRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAIS

A operação de divisão de números racionais é a inversada operação de multiplicação. Para dividir dois númerosracionais, representados através de frações, repete-se aprimeira fração multiplicando-a pela fração inversa da segunda.

Exemplo:

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROSPOTENCIAÇÃO DE NÚMEROSRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAIS

A potenciação de números racionais é feita através damultiplicação sucessiva de um mesmo número racional.Na prática, a potência de uma fração é obtida a partir dapotência do numerador e do denominador.

Exemplo:

Conjuntos Numéricos e Operações IIConjuntos Numéricos e Operações IIConjuntos Numéricos e Operações IIConjuntos Numéricos e Operações IIConjuntos Numéricos e Operações II

53

23

73

5+23

+ = =

23

15

34

9760

40+12+4560

+ + = =

25

37

635

2 . 35 . 7

. = =

43

52

43

25

815

: .= =

23-4=-

23

3= =

23

3

3827

-4=- 41


Conjuntos Numéricos e Operações II

2

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RADICIAÇÃO DE NÚMEROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROSRADICIAÇÃO DE NÚMEROSRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAISRACIONAIS

A radiciação de números racionais é a operação inversada potenciação. A raiz de um número racional é obtida apartir da raiz do numerador e do denominador.

Exemplo:

EXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICASEXPRESSÕES NUMÉRICAS

As expressões numéricas devem ser resolvidas demaneira análoga às expressões numéricas envolvendonúmeros inteiros.

MÓDULO DE UM NÚMEROMÓDULO DE UM NÚMEROMÓDULO DE UM NÚMEROMÓDULO DE UM NÚMEROMÓDULO DE UM NÚMERO

Módulo ou valor absoluto de um número real qualqueré a distância do mesmo ao zero, também denominadoorigem.

É o maior valor entre o número considerado e o seuoposto. Identificamos o módulo de um número x ∈ R por:

Exemplo: a) 3 = 3 b) -7 = 7

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Propriedades do Módulo: Seja x ∈ R e a ∈ R.

a) x ≥ 0b) x = a ⇔ (x=a ou x=-a) (a>0)c) x < a ⇔ -a < x < a (a>0)d) x > a ⇔ x > a ou x < -a (a>0)

POTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROPOTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROPOTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROPOTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROPOTENCIAÇÃO DE UM NÚMEROREALREALREALREALREAL

– Definição:

Dado um número real “a” qualquer sendo “n” umnúmero natural, define-se por “a potência n” o produto de apor a n vezes, ou seja:

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: - Se a base é negativa e o expoente é par, entãoa potência é positiva;- Se a base é negativa e o expoente é ímpar, então apotência é n negativa.

CASOS PCASOS PCASOS PCASOS PCASOS PARTICULARESARTICULARESARTICULARESARTICULARESARTICULARES

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃOPROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃOPROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃOPROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃOPROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

Seja m ∈ N, n ∈ N, a ∈ R e b ∈ R, temos:

RADICIAÇÃO DE UM NÚMERORADICIAÇÃO DE UM NÚMERORADICIAÇÃO DE UM NÚMERORADICIAÇÃO DE UM NÚMERORADICIAÇÃO DE UM NÚMEROREALREALREALREALREAL

Definição:

Define-se como raiz de índice “n” de um número “a”o número “x” tal que xxxxx expoente nnnnn é igual a aaaaa, ou seja:

Exemplos:

1) 27 = 3, pois 33 = 27

2) 81 = ±3, pois (±3)4 = 81

3) 4 = ±2, pois (±2)2 = 4

4) -9 = não é definida em R

na = xexpoentepotênciabase

a = x x =a⇔n n

raiz

radicando

radical

índice do radical n ∈N*

3

4

2

2

2o

2-3

=

= =

1123

18

Exemplos:ao

a-n (a 0)¹

=

=

11an

1)

3)

4)

a .a =am n m+n

(a ) =am n m.n

(a.b) =a .bn n n

2)

5) =n

=am-naa

m

n

ab

ab

n

n

2 .2 =2 =23 4 3+4 7

(2 ) =2 =23 2 3.2 6

(2.3) =2 .35 5 5

=5

=2 =25-3 222

5

3

35

35

5

5

Exemplos:

obs:obs:obs:obs:obs:

827

3= 8

273

3

= 23

a.a.a....a = an

n vezes

⎫⎬⎭

x = x, se x ≥ 0 x, se x < 0⎨

1) 242 ≠ (24)

2, pois

242 = 2(4)2 = 216 e (24)2 = 24.2 = 28

2) (2+3)2 ≠ 22 + 32, pois

(2+3)2 = 52 = 25 e 22+32 = 4+9 = 13



3

Mate

mática

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Nos exemplos 2 e 3 os radicais têm índicespares, por isso que em cada um existem duas raízes reaissimétricas. Para não termos dupla interpretação,convenciona-se que em todo radical, cujo índice é umnúmero par, a raiz será positiva.

A raiz de índice n de um número a pode ser definidacomo sendo uma potência de a, onde o expoente é oinverso de n, ou seja:

Exemplos:

PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃOPROPRIEDADES DA RADICIAÇÃOPROPRIEDADES DA RADICIAÇÃOPROPRIEDADES DA RADICIAÇÃOPROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO

Seja m ∈ N*, n ∈ N*, a ∈ R e b ∈ R, temos:

Exemplos:

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DEADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DEADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DEADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DEADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DERADICAISRADICAISRADICAISRADICAISRADICAIS

Em uma soma ou subtração de radicais pode ocorrerque:

1) todos os radicais são semelhantes entre si;

2) os radicais dados não são semelhantes a princípio,tornando-se ao se retirar um ou mais fatores doradicando;

3) existem apenas alguns termos semelhantes entre si.É possível reduzir os radicais em uma soma a umradical apenas, desde que eles possuam o mesmoíndice e o mesmo radicando, isto é, sejamsemelhantes.

Exemplos:

1) 9 5 + 3 5 -4 5 = (9+3-4) 5 = 8 5

2) 5 40 - 3 10 = 5. 22.10 - 3 10=

=5.2. 10 - 3 10 = 10 10 - 3 10=

=(10-3) 10 = 7 10

3) 2 300 + 3 50 - 2 243=

=2. 102.3 +3. 52.2 - 2 92.3=

=2.10 3 + 3.5 2 - 2.9 3=

=20 3 - 18 3 + 15 2 = 2 3 + 15 2

MULMULMULMULMULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DETIPLICAÇÃO E DIVISÃO DETIPLICAÇÃO E DIVISÃO DETIPLICAÇÃO E DIVISÃO DETIPLICAÇÃO E DIVISÃO DERADICAISRADICAISRADICAISRADICAISRADICAIS

1º Caso: Se os radicais forem de mesmo índice aplicamosas propriedades anteriores.

2º Caso: Se os radicais forem de índices diferentes, deve-se, inicialmente, reduzi-los ao mesmo índice. Para isto, bastaobter o mmc entre os mesmos.

Exemplos:

1) 2 3 . 6 4 = 2.6. 3.4 = 12 12

2) 3 10000 : 3 10 = 3 10000:10 = 3 1000 = 3 103 =10

3) 3 5 2 . 2 3 mmc {5;2} = 10

5 2 = 10 22

2 3 = 10 35 logo,

35 2 . 2 3 = 3.10 22 . 10 35 = 310 22.35

PRODUTOS NOTÁVEISPRODUTOS NOTÁVEISPRODUTOS NOTÁVEISPRODUTOS NOTÁVEISPRODUTOS NOTÁVEIS

Existem produtos entre expressões algébricas quesão utilizados com freqüência. Vamos citar os principais:

a = a1nn

(x N)∈

1)

2)

3)

8

3

4

= 8

= 3

= (2 )3

= (2 )2 = 2 = 2 =21

= 3

= 2 = 21 = 213

11

13

12

22

333

1

1)

2)

4) = = =

3) = =

am

a

a 5a 5 5

5

a 2

b 3

a.b 5.7 35b 7

ab

23

= = =

23= am/n

. .

= 23/5n

n

n 3m 2n.m 3.2 6

3

n 4

n 4

n 3 3n 3

n 4

5

(a+b)2 = (a+b).(a+b)=a2+2.a.b+b2

(a-b)2 = (a-b).(a-b)=a2-2.a.b+b2

(a+b).(a-b)=a2-b2



4

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ca

Em nosso cotidiano podemos presenciar vários problemas envolvendo repetições de eventos, como porexemplo: de quanto em quanto tempo teremos o fenômeno do eclipse, seja lunar ou solar, ou de quanto emquanto tempo ônibus de linhas diferentes coincidem em chegar juntos ao terminal. São problemas relacionados àteoria do mínimo múltiplo comum.

Biólogos, químicos, astrônomos e muitos outros cientistas se utilizam de números cuja representação decimalé, no mínimo, assustadora. Por exemplo: os glóbulos vermelhos do sangue são algo em torno de 25 trilhões nocorpo humano, isto é, 25.000.000.000.000 de glóbulos ou 25.102 de glóbulos ou os físicos garantem que há27 quintilhões de moléculas em 1cm3 de ar atmosférico, isto é, 27.1018 de moléculas. Aí está a necessidade dateoria da potenciação. Além de existirem problemas físicos ou matemáticos que envolvem duas equações, cadauma apresentando duas incógnitas, daí a necessidade do estudo dos sistemas entre outras aplicações para osconteúdos referentes à teoria dos conjuntos.

0 10 10 10 10 1 Sendo a ∈ R, a>0, simplifique a expressão:

0 20 20 20 20 2 Achar o valor de cada potência:

a) (0,01)3=(1/100)3=1/1000000=0,000001= 10-6

b) 0,00000125=1,25.10-6

c) [29:(22.2)3]3=[29:(23)3]3=[29:29]3=13=1

d) 5.108.4.10-3=5.4.108.10-3=20.105=2.106

e) (1/2)-3+(1/2)-5=23+25=8+32=40

a

a a a + (a+1) a (a+1)2

(a+1)2 a +2a+12

a

a a 2

2 2

22

+ + + .=

= = =

= =

= =1a

a a a2

a a

1a

aa

aa

0 30 30 30 30 3

13+ 7 + 2 + 4 é igual a:

13+ 7 + 2 + 2 = 13+ 7 + 4 = 13+ 7+2 =

13+ 9 = 13 + 3 = 16 = 4



5

Mate

mática

0 10 10 10 10 1 Simplificando a expressão , obtém-se:

0 20 20 20 20 2 O número é igual a:

0 30 30 30 30 3 A expressão (5-5)5 é igual a:

a) -1 b) 5-25 c) (-25)5

125

d) 5-10 e) nda

0 40 40 40 40 4 A expressão 2x+2.2x-2 é igual a:

a) 2x b) 24c) 22x

d) 2x2-4 e) nda

0 50 50 50 50 5 Se p=[(2-4.35.27)2]3/4, então:

a) p=213/4.319/4

b) p=223/4.331/4

c) p=29/2.315/2

d) p=233/2.315/2

e) nda

0 60 60 60 60 6 O número de elementos distintos da seqüência24; 42; 4-2; (-2)4; (-2)-4 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

e) nda

0 70 70 70 70 7 Simplificando o número , vamos obter:

0 10 10 10 10 1 (ESPCEX) Efetue a operação (10-2)3. Qual oexpoente de base 10 resultante?

0 20 20 20 20 2 (CEFET-PR) Assinale a afirmativa correta:

a) 43 = (43)2

b) 43 ≠ (43)2

c) (43)2 = 49

d) (43)2 ≠ (42)3

e) 43 = 423

0 30 30 30 30 3 (UFBA) A expressão é igual a:

2

2

2

0 40 40 40 40 4 (ESSA) Calculando-se o valor da expressão:

, obteremos:

a) a16 b) a-15 c) a-16

d) a-16/15 e a15/16

0 50 50 50 50 5 (UEL-PR) A expressão (1/x+1/y)-1, para x≠-y≠0,é equivalente a:

a) x+y b) x-1+y-1 c) xy/x+yd) x-y/xy e) -1/x-1/y

0 60 60 60 60 6 (EPCAR) Se , então:

onde K é igual a:

a) 250 b) 72 c) -72d) zero e) 178

a a aa

+92

29

23+2 3+

a)

d)

b)

c)

c)2116

8518

1122

21112

18- -8 2

a) b) c) 0

d) 4 e) nda

18 18 - 6

2352

a) b) c)

d) e) nda

21 214 287

3

4

28

5000 500+

a) b) c)

d) e) nda

55102 2 5

2 5+

60 50 10+

50 5

-5 -6-7

3 2

2(-5) +(-6)

(-7)

3 2

2= =A Be

k49

=A-B



6

Mate

máti

ca

0 70 70 70 70 7 (UFAL) A expressão éigual a:

a) 0 b) 90 c) 10

d) 3 10 e) nda

(M.S. André-SP) Simplificando a expressão:

2n+4 - 2.2n obtém-se: 2.2n+3

a) 2n-1-1/8 b) 7/8 c) -2n+1

d) 1-2n e) 7/4

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10 . 1010+ 10-


1

Mate

mática

Nosso estudo, neste capítulo, é o das relações do ponto de vista matemático.Iniciamos pelo conceito de igualdade nas equações e resolução de sistemas passando então ao estudo das relações

mais importantes, que são chamadas de funções.

EQUAÇÕES DO 1º GRAUEQUAÇÕES DO 1º GRAUEQUAÇÕES DO 1º GRAUEQUAÇÕES DO 1º GRAUEQUAÇÕES DO 1º GRAU

Denomina-se equação do 1º grau na incógnita x, aqualquer expressão matemática que pode ser escrita(reduzida) na forma:

a.x+b = 0termo independente de xincógnitacoeficiente de x (a≠0)

Determinar a solução de uma equação significa obter,através de propriedades ou processos algébricos, o valorda incógnita x que verifica a igualdade.

Exemplo:

1) 2.x - 5 =7

Fazendo uma analogia da igualdade com uma balançatemos que manter a igualdade, incluir uma mesmaquantidade em ambos os lados para mantermos o equilíbrio.

Somamos 5 em ambos os membros.

Equações e Funções do 1º GrauEquações e Funções do 1º GrauEquações e Funções do 1º GrauEquações e Funções do 1º GrauEquações e Funções do 1º Grau

2x - 5 = 7

2x - 5 + 5 = 7 + 5

Incluindo um mesmo peso em ambos os lados(membros) da balança (igualdade) chegamos ao valor de xque satisfaz a equação e obtemos o conjunto solução.

REGRA PRÁTICA:REGRA PRÁTICA:REGRA PRÁTICA:REGRA PRÁTICA:REGRA PRÁTICA:

1) Todo número que está somando de um lado da igualdadepassa para o outro lado subtraindo;

2) Todo número que está subtraindo de um lado da igualdadepassa somando para o outro lado;

3) Todo número que está multiplicando de um lado daigualdade passa dividindo para o outro lado;

4) Todo número que está dividindo de um lado da igualdadepassa multiplicando para o outro lado.

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Atenção ao raciocínio da balança na utilizaçãoda regra prática.

2x = 12

2x = 122 2

x = 6

S={6}

Dividimos por 2 ambos os membros.


Equações e Funções do 1º Grau

2

Mate

máti

ca

1) Vamos usar a regra prática para resolver amesma equação:

2x-5=7 ⇒ 2x=7+5 ⇒ 2x=12⇒⇒ x=12/2 ⇒ x=6, logo S = {6}

2) x/3-5=-3 ⇒ x/3=-3+5 ⇒ x/3=2⇒⇒ x=2.3 ⇒ x=6, logo S = {6}

3) 5x-10=-6+3x ⇒5x-3x=-6+10⇒⇒2x=4 ⇒ x=4/2 ⇒ x=2, logo S= {2}

No caso de frações com denominadores diferentesdevemos reduzi-las a um mesmo denominador utilizandoo mmc e proceder da maneira anteriormente citada.

4) 3x/5+1/2=x/10 mmc {5; 2; 10} = 106x+5/10=x/106x+5=x6x - x=-55x=-5x=-5/5=-1, logo S={-1}

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºSISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºSISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºSISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºSISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1ºGRAUGRAUGRAUGRAUGRAU

Resolver um sistema de duas equações do 1º graucom duas incógnitas significa obter dois valores queverifiquem as duas equações simultaneamente, quandosubstituídos nas mesmas. A solução de um sistema assimconstituído é, portanto, um par de valores.

Vamos citar dois processos para a obtenção dasolução do sistema.

PROCESSO DE SUBSTITUIÇÃOPROCESSO DE SUBSTITUIÇÃOPROCESSO DE SUBSTITUIÇÃOPROCESSO DE SUBSTITUIÇÃOPROCESSO DE SUBSTITUIÇÃO

Consiste em isolar uma incógnita numa equação esubstituí-la na outra equação do sistema, recaindo-se numaequação do 1º grau.

Exemplo:

Substituindo novamente, temos:

y=1+2.(-1/8)

y=1-1/4⇒y=3/4, portanto S= {(-1/8, 3/4)}

PROCESSO DE ADIÇÃOPROCESSO DE ADIÇÃOPROCESSO DE ADIÇÃOPROCESSO DE ADIÇÃOPROCESSO DE ADIÇÃO

Consiste em deixar nas duas equações os coeficientesde uma mesma incógnita opostos. Desta forma, somam-se membro a membro as duas equações, recaindo-se emuma equação com uma incógnita.

Exemplo:

FUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EFUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EFUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EFUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EFUNÇÃO DO 1º GRAU (LINEAR EAFIM)AFIM)AFIM)AFIM)AFIM)

Def in içãoDef in içãoDef in içãoDef in içãoDef in ição

Dados dois conjuntos A e B, diremos que uma relaçãode A em B é uma função se, e somente se, nesta relaçãopara todo x com x∈A tivermos um único y, y∈B. E a funçãovai ser o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y).

f: A→B = {(x, y) / y=f(x) com x∈A e y∈B}e y é chamado de imagem da variável x através da função f.

DOMÍNIODOMÍNIODOMÍNIODOMÍNIODOMÍNIO, CONTRA, CONTRA, CONTRA, CONTRA, CONTRA-DOMÍNIO E-DOMÍNIO E-DOMÍNIO E-DOMÍNIO E-DOMÍNIO ECONJUNTO IMAGEMCONJUNTO IMAGEMCONJUNTO IMAGEMCONJUNTO IMAGEMCONJUNTO IMAGEM

-2x+y=1 y=1+2x2x+3y=2 substituindo, temos:

2x+3.(1+2x)=22x+3+6x=28x=2-3x=-1/8

2x+3y=8 multiplicado por 25x-2y=1 multiplicado por 3, obtemos

4x+6y = 1615x-6y = 3

19x = 19

x= 19 19

= 1

Substituindo na 1ª equação2x+3y=82.1+3y=83y=6y=2, portanto S = {(1, 2)}

Conjunto ImagemIm (f)

A Bf

f : A B (função de A em B);A (Conjunto Domínio, D (f) );B (Conjunto Contra-Domínio, C D (f) );

{

{



3

Mate

mática

E do subconjunto formado por todas as imagens doselementos do domínio através da função f(y=f(x)),chamadas de Conjunto Imagem(Im (f));

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O conjunto imagem é um subconjunto doContra-Domínio (Im (f) ⊂ ICID (f));

A projeção dos pontos do gráfico de uma função sobreo eixo das abscissas (eixo x) é o domínio da mesma;

A projeção dos pontos do gráfico sobre o eixo dasordenadas (eixo y) é a imagem da mesma;

Quando não for definido o domínio de uma funçãoreal, subentende-se, por convenção, que ele seja o conjuntode todos os números reais para os quais seja possível definira função.

CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTOCRESCIMENTO OU DECRESCIMENTOCRESCIMENTO OU DECRESCIMENTOCRESCIMENTO OU DECRESCIMENTOCRESCIMENTO OU DECRESCIMENTODE UMA FUNÇÃODE UMA FUNÇÃODE UMA FUNÇÃODE UMA FUNÇÃODE UMA FUNÇÃO

a) Função Crescente ⇒ x1>x2 ⇒ f(x1) > f(x2)b) Função Decrescente ⇒ x1>x2 ⇒ f(x1) < f(x2)c) Função Constante ⇒ x1>x2 ⇒ f(x1) = f(x2)

A B

Relaçãonão é função

A B

Relaçãonão é função

VERIFICAÇÃO AVERIFICAÇÃO AVERIFICAÇÃO AVERIFICAÇÃO AVERIFICAÇÃO ATRATRATRATRATRAVÉS DOVÉS DOVÉS DOVÉS DOVÉS DODIAGRAMA DE VENNDIAGRAMA DE VENNDIAGRAMA DE VENNDIAGRAMA DE VENNDIAGRAMA DE VENN

y

x0Domínio

y

x0

Imagem

A Bf

funçãof: A B

Verificação através do Gráfico:y

x0

REPRESENTA UMA FUNÇÃO



4

Mate

máti

ca

y

x0

NÃO REPRESENTA UMA FUNÇÃO

No gráfico de uma função quando traçamos retasparalelas do eixo y o gráfico é cortado em apenas um ponto.

No diagrama de setas (Venn) quando é função temosuma única seta saindo de todos os elementos.

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: Numa função f: A→B, onde x∈A e y∈B, x échamado de variável independente, ao passo que y échamada variável dependente de x (y=f(x)).

FUNÇÃO CONSTFUNÇÃO CONSTFUNÇÃO CONSTFUNÇÃO CONSTFUNÇÃO CONSTANTEANTEANTEANTEANTE

f: A→Bf(x)=k, onde k é uma constante pertencente a B.

y

x0

k

x y

-2-1012

22222

Tabela de Valores

Exemplo:

f: R → Rf (x) = 2

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O gráfico sempre é uma reta paralela ao eixoy, quando o domínio é R.

FUNÇÃO DO 1º GRAUFUNÇÃO DO 1º GRAUFUNÇÃO DO 1º GRAUFUNÇÃO DO 1º GRAUFUNÇÃO DO 1º GRAU

f: A→Bf (x) = ax+b(a≠0)Se x=0 então y=b, valor no qual o gráfico corta

o eixo y.Se y=0 então x=x1, raiz ou zero da função.

x0

2

Gráfico

-1-2 1 2

x0

y

(0, b)

(x , 0)1

a>0

x0

y

(x , 0)1

a<0

(0, b)

Função Crescente

Função Decrescente



5

Mate

mática

x y

-2-1012

-4-3-2-10

x0

y

(1;-1)(0;-2)

(2;0)

(-1;-3)(-2;-4)

Com freqüência, estabelecemos relações que podem envolver pessoas, objetos, grandezas, etc...Na física, quando estudamos o movimento de um móvel, estabelecemos relações entre distâncias percorridas

e o tempo gasto para percorrê-las.Na biologia, é freqüente estudarmos o crescimento de bactérias em um determinado meio de cultura, analisando a

relação entre a variação da quantidade de bactérias em um dado intervalo de tempo.Na geografia, relações são estabelecidas entre crescimento da população de uma dada região em determinado

período de tempo.

0 10 10 10 10 1 Seja a função linear representada no gráfico abaixo,determine sua lei de formação.

0 20 20 20 20 2 Resolva o sistema:

2(x+1)-3(y+2)=x4y+4=2x-5

2x+2-3y-6=x4y+4=2x-5

x-3y=4-2x+4y=-9Isolando x na 1ª equação:x=3y+4Substituindo na 2ª equação:-2x+4y=-9-2(3y+4)+4y=-9-6y-8+4y=-9-2y=-1y=1/2Substituindo na 1ª equação:

x=3y+4x=3.1/2+4x=11/2, portantoS={(11/2, 1/2)}

x0

y

(2;0)

(0;1)

(x, y) y=ax+b

(0, 1) 1=a.0+b

(2, 0) 0=a.2+b

b=1

2a+b=0

2a+1=0

a=-1/2, logo

y=-1/2x+1

→→ →

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O gráfico é sempre uma reta.

Exemplos:

01) f: R→ Rf(x) = x -2

02) f: R→ Rf(x) = -x +2

x0

y

(1;1)(0;-2)

(2;0)

(-1;3)

(-2;-4)

x y

-2-1012

43210

{{{



6

Mate

máti

ca

0 10 10 10 10 1 A soma das duas soluções da equação:

a) zero b) 1 c)

d) 5 e) 6

0 20 20 20 20 2 A solução do sistema 2x-y=3x+y=3 é:

a) x=1 , y=1b) x=2 , y=1c) x=1 , y=2d) x=1 , y=0e) nda

0 30 30 30 30 3 O gráfico abaixo é o da reta y=ax+b, quando:

a) a<2b) a<0c) a=0d) a>0e) a=2

0 40 40 40 40 4 Uma reta tem equação 3x-y+6=0. Assinale oponto que pertence à reta dada:

a) (0, 6)b) (-1; -2)c) (-1; 3)d) (1; 0)e) (2; 1)

x0

y

0 50 50 50 50 5 Se f(x)=7x+1, então f(12) - f(9) é igual a:3

a) -1 b) 3 c) 5d) 7 e) nda

0 60 60 60 60 6 Seja a função linear y=ax-4. Se y=10 para x=-2, entãoo valor de y para x=-1 é:

a) 3 b) 4 c) -7d) -11 e) nda

0 70 70 70 70 7 A raiz da equação 2(x+1)=3.(2-x) é um númeroracional:

a) menor que -1;b) compreendido entre -1 e 0;c) compreendido entre 0 e 1;d) maior que 1;e) nda.

0 80 80 80 80 8 A solução da equação é:

a) 1/2b) -1/2c) 2d) -2e) nda

0 10 10 10 10 1 (UGF-RJ) A solução da equação 5(x+3)-2(x-1)=20 é:

a) 3b) 1c) 0d) 9e) nda

0 20 20 20 20 2 (UFMT) O número que somado aos seus 2/3resulta 30 é:

a) ímpar; b) primo;c) divisor de 30; d) múltiplo de 9;e) nda.

0 30 30 30 30 3 (FIB-RJ) Resolva a equação:

a) {-1; 3}b) {-1; 4}c) {1; -4}d) {1; 3}e) nda

0 40 40 40 40 4 (UEPG-PR) A função f: R→ R, tal que f(x)=ax+b,a≠0 é representada graficamente por uma:

a) parábola; b) hipérbole; c) reta;d) elipse; e) nda.

{

44 - 3

4 -x

=x é

2(x+3) (2x-1) 163 2+5. =5x+

17 8

x-23x

2x-12

5x+26+ =



7

Mate

mática

0505050505 (FMJ-RJ) A razão entre dois números é 3/8. Se a soma domaior com o dobro do menor é 42, o maior deles é:

a) 9b) 15c) 24d) 30e) nda

0 60 60 60 60 6 (FUVEST-SP) O dobro de um número mais sua terçaparte, mais a sua quarta parte somam 31.Determine o número:

0 70 70 70 70 7 (UFGO) Diminuindo-se 6 anos da idade de minhafilha, obtêm-se os 3/5 de sua idade. A idade de minhafilha, em anos, é:

a) 10 b) 15 c) 12d) 18 e) nda

(CATANDUVA-SP) Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando você tiver a idadeque eu tenho a soma das nossas idades será 72 anos. A minha idade é:

a) 24 anos;b) 32 anos;c) 8 anos;d) 40 anos;e) nda.

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

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...................................................................................................................................................................................................


1

Mate

máti

ca

Estudaremos, agora, as equações do 2º grau de coeficientes reais. A resolução das equações do 2º grau temimportância fundamental para o estudo das funções do 2º grau que veremos no próximo capítulo.

EQUAÇÕES DO 2º GRAUEQUAÇÕES DO 2º GRAUEQUAÇÕES DO 2º GRAUEQUAÇÕES DO 2º GRAUEQUAÇÕES DO 2º GRAU

Uma equação em “x” é dita do 2º grau, quando podeser escrita na forma:

Equações do 2º GrauEquações do 2º GrauEquações do 2º GrauEquações do 2º GrauEquações do 2º Grau

portanto S={2, 3} duas raízes reais e distintas.

a.x +b.x+c=02

termo independente de xcoeficiente de xcoeficiente de x (a 0)onde x é a incógnita

2 ≠

x= (Fórmula de Bhaskara)- b ± b -4.a.c2

2.a

Como o ∆<0 (discriminante é negativo) dizemosque a equação não possui raízes reais, S=∅.

portanto S={2} duas raízes reais e iguais (raiz dupla).

1) x2-5x+6=0∆= b2-4.a.c∆= (-5)2 -4.1.6 = 25 - 24 = 1

a=1b=-5c= 6

b 2a

± ∆

5 2± 1

5 + 2

1 62

5 - 2

1 42

-(-5) 12.1

±x=

x=

x =1 = = 3

x =2 = = 4

x=⇒

⇒

⇒

2) x2-4x+4=0∆=b2-4.a.c∆=(-4)2-4.1.4=16-16=0

a =1b=-4c = 4

3) x2+x+1=0

∆=b2-4.a.c∆=(1)2-4.1.1∆=-3

a =1b=1c =1

A expressão b2-4.a.c, normalmente indicada pela letragrega ∆ (delta maiúscula), é chamada de discriminante daequação.

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: ∆= b2-4.a.c

1) ∆>0 ⇔ A equação possui duas raízes reais edistintas.

2) ∆=0 ⇔ A equação possui duas raízes reais eiguais (ou uma raiz dupla).

3) ∆<0 ⇔ A equação não possui raízes reais.

Exemplo:

Aplicação da fórmula de Bhaskara para resoluçãodas equações do 2º grau:

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar,através de processos algébricos, o valor ou valores de “x”que verificam a igualdade correspondente à equação.

A partir dos coeficientes a, b e c da equação genéricado 2º grau ax2+bx+c=0 (a¹0) é possível demonstrar aexistência de uma relação (estabelecida através de umafórmula) entre as raízes (valores de x que verificam aigualdade) e aqueles coeficientes, ou seja:

b± ∆2a

4 ± 02

4 + 02

62

4 - 02

42

-( -4)± 02.1x=

x=

x =1 = = 2

x =2 = = 2

x=⇒

Þ

⇒

⇒


Equações do 2º Grau

2

Mate

mática

EQUEQUEQUEQUEQUAÇÕES INCOMPLETAÇÕES INCOMPLETAÇÕES INCOMPLETAÇÕES INCOMPLETAÇÕES INCOMPLETAS:AS:AS:AS:AS:

A equação do 2º grau ax2+bx+c=0 será chamadaincompleta se, e somente se, pelo menos um doscoeficientes b ou c for nulo. O conjunto solução dessasequações pode ser obtido sem o uso da fórmula estudadaanteriormente, como veremos nos exemplos a seguir.

Exemplos:

1) Quando o coeficiente c=0:

x2-2x=0 a=1b=-2c=0

Podemos utilizar a fórmula, mas faremos de um modoparticular.

x2-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ ⇒ x=0 ou x-2=0 ⇒ x=2, portanto

S = {0; 2}.

2) Quando o coeficiente b=0:

x2-4=0 a=1b=0c=-4

Podemos utilizar a fórmula, mas faremos de um modoparticular.

x2-4=0 ⇒ x2=4 ⇒ x=± 4 ⇒ x=±2,portanto S = {-2; +2}.

A fórmula resolutiva para uma equação do 2º grau foi apresentada pela primeira vez no livro do matemáticohindu Bhaskara que nasceu no ano de 1114. O caminho seguido por Bhaskara para deduzir a fórmula consistiuem completar um quadrado perfeito.

Dada a equação ax2+bx+c=0, a≠0, vamos multiplicar ambos os membros por 4a:

4a2x2+4abx+4ac=0

Vamos subtrair 4ac de ambos os membros:

4a2x2+4abx+4ac-4ac=0-4ac

Vamos adicionar b2 a ambos os membros:

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

Fatorando o 1º membro:

(2ax+b)2=b2-4ac

Indicando o 2º membro por ∆ (delta):

Se ∆ >0, teremos 2ax+b=±

Isolando x do 1º membro:

Obtendo, assim, a fórmula.

b 2a

± ∆x=

∆



3

Mate

máti

ca

0 10 10 10 10 1 Resolver a equação 2x2-5x+1=0.

a=2b=-5c=1∆=b2-4ac=25-8=17

0 20 20 20 20 2 Resolver a equação x2-8x+15=0.

a=1b=-8c=15∆=b2-4ac=(-8)2-4.1.15=4

Resolver as equações:

0 10 10 10 10 1 x2-6x+9=0

0 20 20 20 20 2 x2+1=0

0 30 30 30 30 3 x2-9x+14=0

0 40 40 40 40 4 x2-4x+5=0

0 50 50 50 50 5 -x2+9=0

0 60 60 60 60 6 -x2+7x-10=0

0 70 70 70 70 7 -x2+16x=0

0 10 10 10 10 1 (UFES) A equação x2-10x+25=0 tem asseguintes soluções no conjunto dos númerosreais:

a) Somente 5b) Somente 10c) -5d) 5 e 10e) nda

0202020202 (UCM-SP) As raízes da equação 2x2-10-8x=0 são:

a) {1; 5}b) {2; 3}c) {-1; 5}d) {-1; -5}e) nda

0 30 30 30 30 3 ( P U C - S P ) U m a d a s r a í z e s d a e q u a ç ã o0 ,1 x 2-0,7x+1=0 é:

a) {0,2}b) {0,5}c) 7d) 2e) nda

0 40 40 40 40 4 (FIB-RJ) Resolva a equação:

a) {-1; 3}a) {-1; 4}a) {1; -4}a) {1; -3}a) nda

-(-5)± 172.2

5± 174

5+ 174

5- 174

5+ 174

5- 174

x=

S= ,

x =1

x =2

=-(-8)± 4

2.18 ± 2

4x=

S={5,3}

x =51

x =32

=

x-23x

2x-12

5x+26+ =



4

Mate

mática

0 50 50 50 50 5 (FUVEST-SP) Se x(1-x)=1/4 então:

a) x=1b) x=1/2c) x=0d) x=1/4e) nda

0 60 60 60 60 6 ACAFE-SC) O conjunto-solução da equação

a) {-1/8}b) {0}c) {-8}d) {-2}e) Æ

0 70 70 70 70 7 ( UFSE) A equação , em R, é

verdadeira se x2 for igual a:

a) 0b) 1c) 4d) 1 ou 4e) nda

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

(URCAMP-RS) Um valor de x na equação ax2-(a2+3)x+3a=0 é: (a ≠ 0)

a) 3ab) a/3c) -a/3d) 3/ae) -3/a

x-32

12

+ =-3

2-x2+x

2x2-x- =1 sendo x ¹-2 e x ¹ 2 é:


1

Mate

máti

ca

É comum em nossa vida diária ordenarmos elementos de um conjunto, formando uma seqüência. Por exemplo, oconjunto dos meses do ano, o conjunto dos dias da semana, as letras do alfabeto, o conjunto dos números naturais, etc.

Quando os elementos de um conjunto são representados na forma ordenada, caracterizando a seqüência, escrevem-se os mesmos entre parênteses e não entre chaves.

Exemplo: A=(janeiro, fevereiro, ..., dezembro)

Note que cada elemento destes conjuntos ocupa uma determinada posição dentro da seqüência, e pode serrepresentado por uma letra minúscula seguida de um índice. Este índice é um número natural e correspondente à posiçãodo elemento na seqüência.

a1= janeiro (primeiro termo)a2= fevereiro (segundo termo)

. .

. .

. .

a12= dezembro (décimo segundo termo)

Seqüências, cujos elementos são números, são denominadas de seqüências numéricas. Elas podem ou não ter umalei de formação. Nosso interesse principal é o trabalho com dois tipos especiais de seqüências: Progressões Aritméticase Progressões Geométricas.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PPROGRESSÃO ARITMÉTICA (PPROGRESSÃO ARITMÉTICA (PPROGRESSÃO ARITMÉTICA (PPROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.).A.).A.).A.).A.)

Definição:É uma seqüência de números ou expressões algébricas

na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido do termoanterior acrescentando-se uma mesma constantedenominada razão.

Exemplos:

(1, 4, 7, 10, 13, ...) P.A. de razão igual a 3(1, -2, -5, -8, ...) P.A. de razão igual a -3(2, 2, 2, 2, ...) P.A. de razão igual a zero(r, 3r, 5r, 7r, ...) P.A. de razão igual a 2r

CLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A..A..A..A..A.

– P.A. Crescente (razão positiva)– P.A. Decrescente (razão negativa)– P.A. Estacionária (razão nula)

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A razão de uma P.A. é identificada pela letra r eé obtida fazendo-se a diferença entre um termo e seuantecedente, por exemplo:

r = a2 - a1 (segundo termo menos primeirotermo)

r = a3 - a2 (terceiro termo menos segundotermo)

Progressões AritméticasProgressões AritméticasProgressões AritméticasProgressões AritméticasProgressões Aritméticas

FÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERAL

Esta relação permite a obtenção de qualquer termo daseqüência conhecendo-se a razão e o 1º termo.

a2 = a1 + ra3 = a2 + r = a1 + 2ra4 = a3 + r = a1 + 3ra5 = a4 + r = a1 + 4r...

an = an-1+r = a1 + (n-1).r

an = a1 + (n-1).r (fórmula do termo geral)

Exemplo:

Calcular o 26º termo da P.A. (-4, 1, 6, ...)r = 1 - (-4) = 5an = a1 + (n-1).ra26 = a1 + (26-1).ra26 = -4 + 25.5a26 = 121


Progressões Aritméticas

2

Mate

mática

PROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA P.A..A..A..A..A.

1) Em qualquer P.A., todo termo, excetuando-se o primeiroe o último, é a medida aritmética entre o antecedente e oconseqüente:

Exemplo:

(2, 5, 8, 11, 14, 17, ...)

2) Em qualquer P.A., a soma de dois termos eqüidistantesdos extremos é igual à soma dos extremos:

Exemplo:

(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20)

a2+a6=a1+a7a3+a5=a1+a7

3) Em qualquer P.A. em que o número de termos é ímpar,o termo médio é a média aritmética dos extremos:

Exemplo:

(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20)

TM=2+20=112

SOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA P.A..A..A..A..A.

A soma dos n primeiros termos de uma P.A. podeser determinada por:

Exemplo:

Calcular a soma dos 200 primeiros números naturaispares.

a1=0r=2

a200=a1+(200-1).ra200=0+199.2a200=398

NOTNOTNOTNOTNOTAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIAL

Nos problemas envolvendo três números em P.A.,utiliza-se um artifício que permite a diminuição do númerode incógnitas. Se os números desconhecidos estão em P.A.,então:

a1=x-ra2=xa3=x+r

Exemplo:

Determine os ângulos internos de um triângulo,sabendo-se que estão em P.A. de razão 20º.

(x-r), x, x+r)Si=180º (soma dos ângulos internos do

triângulo)x-r+x+x+r=180º3x=180ºx=60º(60º-20º, 60º, 60º+20º) ou seja(40º, 60º, 80º)

a +a2

k-1 k+1a =k

(a +a )2

1 nTM=

(a +a ).n2

1 nS =n

(a +a ).n2

1 n

(0+398).2002

S =n

S =n =39800

2+825=

11+528=

8+14211=

ak+an-k+1=a1+an (k<n)



3

Mate

máti

ca

0 10 10 10 10 1 Determinar a quantidade de múltiplos de 3 com doisalgarismos:

a1=12 an=99 r=3

an=a1+(n-1).r99=12+(n-1).399=12+3n-399=9+3n90=3nn=30, logo existem 30 múltiplos.

0 20 20 20 20 2 Numa P.A., o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. A razãodessa progressão é:

an+n=2a1+(n-1).r+n=21+(n-1).r+n=2(n-1).r=1-n

-(n-1)(n-1)r= =-1

Uma das muitas histórias contadas sobre a precocidade do matemático alemão Carl Friedrich Gaussrelata a sua experiência, quando ele tinha apenas 10 anos e freqüentava o terceiro ano primário, por voltado ano 1787.

Seu professor, Buttner, propôs à turma o seguinte problema: eles deveriam calcular a soma de todosos números inteiros, de 1 a 100.

Gauss, brilhantemente, resolveu o problema proposto em apenas alguns minutos e justificou suaresposta da seguinte forma:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 + 51 + ... + 97 + 98 + 99 + 100

50 + 51 = 101 ; 1 + 100 = 101 ; 2 + 99 = 101 ; ...

Ele somou o primeiro número com o último, o segundo com o penúltimo, o terceiro com oantepenúltimo e percebeu que os resultados obtidos eram iguais a 101. Observou também que os 100números, somados dois a dois, tem-se um total de 50 somas.

Desta forma, concluiu que a resposta seria obtida, multiplicando-se o valor de cada soma (101) pelototal de somas obtidas (50).

Então, a soma dos números inteiros de 1 a 100 foi dada por 50.101=5050. Note que a seqüênciade 1 a 100, proposta pelo professor, representa uma P.A. de razão 1.

De um modo geral, a partir deste raciocínio de Gauss, surgiu a fórmula da soma dos termos de umaP.A.



4

Mate

mática

0 10 10 10 10 1 N a s e q ü ê n c i a , o s v a l o r e s d e x , y, z ,

a) 1, 9/8, 5/4b) 1/4, 3/8, 5/4c) 5/4, 9/8, 7/4d) 9/4, 13/8, 11/4e) 11/4, 9/8, 13/4

0 20 20 20 20 2 O valor de x para que (x+3, 2x+4, 4x+3) sejamtermos consecutivos de uma P.A. é:

a) -5b) -2c) 0d) 2e) 5

0 30 30 30 30 3 O terceiro termo de uma P.A. é 11 e a razão é 4. Asoma dos 20 primeiros termos é:

a) 790b) 800c) 810d) 820e) 830

0 40 40 40 40 4 Três números estão em P.A. A soma destes númerosé 15 e o seu produto 105. Qual a diferença entre omaior e o menor:

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

0 50 50 50 50 5 Em uma P.A. de nove termos, a soma a1+a9 vale 20.Então, a soma dos nove termos da progressão vale:

a) 75b) 80c) 85d) 90e) 95

0 60 60 60 60 6 Os termos da equação 5+x+ ... +30=105 formamuma P.A. Então o valor de x é:

a) 6b) 15c) 15/2d) 10e) 5/2

0 70 70 70 70 7 A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é n2+2n.O décimo termo dessa P.A. vale:

a) 17b) 18c) 19d) 20e) 21

0 10 10 10 10 1 (UFPA) Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2, 2x+1) é umaP.A., determinar o valor de x:

a) -2b) 0c) 2d) 4e) 6

0 20 20 20 20 2 (CESGRANRIO) Em uma P.A. de 41 termos e derazão 9, a soma do termo do meio com o seuantecedente é igual ao último termo. Então, o termodo meio é:

a) 369 b) 189 c) 201d) 171 e) 180

0 30 30 30 30 3 (UFRN) O número de múltiplos de 7 entre 50 e 150é:

a) 9b) 12c) 14d) 16e) 23

0 40 40 40 40 4 A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., naqual o primeiro termo é igual a razão e a3+a8=18

12

58

34

78( , , , ,x, y, z,...)respectivamente



5

Mate

máti

ca

0 60 60 60 60 6 (FGV-SP) A soma dos 50 primeiros termos de umaP.A. na qual a6+a45=160 é:

a) 3480b) 4000c) 4200d) 4320e) 4500

0 70 70 70 70 7 S e j a ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a k , . . . a 5 0 ) u m aprogressão aritmética. Se a2=14, a5-a3=18 eak=239, então k é igual a:

a) 26b) 27c) 28d) 29

(FUVEST-SP) Em uma Progressão Aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são:

1-a, -a, 11-a. O quarto termo desta P.A. é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

0 50 50 50 50 5 (PUC-RS) A soma dos n primeiros termos da

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

1n

1+nn2

2+nn2P.A.= , , ,... é:

3n-12n

4+2nn2

n+12

nn+1

1n2

a)

b)

c)

d)

e)


1

Mate

mática

FÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERALFÓRMULA DO TERMO GERAL

Esta relação permite a obtenção de qualquer termo daseqüência conhecendo-se a razão e o 1º termo.

a2 = a1 . qa3 = a2 . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = a1 . q3

.

.

.

an = an-1.q = a1 . qn-1

an = a1 . qn-1 (fórmula do termo geral)

Exemplo:Calcular o 12º termo da P.G. (1/2, -1, 2, -4)

an = a1 . qn-1

a12 = a1 . q12-1

a12 = 1/2.(-2)11=-1024

PROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDPROPRIEDADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA PADES DE UMA P.G..G..G..G..G.

1) Em uma P.G. o valor absoluto de cada termo,excetuando-se os extremos, é a média geométrica entreos termos antecedentes e conseqüentes.

ak = ak-1.ak+1

Exemplo:

(-2, -4, -8, -16, ...)

-4 = (-2).(-8)

2) Em uma P.G., o produto de dois termos eqüidistantesdos extremos é igual ao produto dos extremos.

ak.an-k+1=a1.an (k<n)

Exemplo:

(2, 4, 8, 16, 32, 64)

a2.a5=a1.a6 a3.a4=a1.a6

I I

Vamos continuar nosso estudo sobre seqüências agora estudando as progressões geométricas.

DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoÉ uma seqüência de números ou expressões algébricas

na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido do termoanterior, multipl icando-se uma mesma constantedenominada razão.

Exemplos:

(1, 10, 100, 1000, ...) P.G. de razão igual a 10(1, 1/2, 1/4, 1/8, ...) P.G. de razão igual a 1/2(1, -2, 4, -8, ...) P.G. de razão igual a -2(a, a2, a3, a4, ...) P.G. de razão igual a a

CLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA PCLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G. DE.G. DE.G. DE.G. DE.G. DERAZÃO IGUAL A RAZÃO IGUAL A RAZÃO IGUAL A RAZÃO IGUAL A RAZÃO IGUAL A qqqqq

PPPPP.G. CRESCENTE.G. CRESCENTE.G. CRESCENTE.G. CRESCENTE.G. CRESCENTE

1º Caso: (a1>0 e q>1)2º Caso: (a1<0 e 0<q<1)

PPPPP.G. DECRESCENTE.G. DECRESCENTE.G. DECRESCENTE.G. DECRESCENTE.G. DECRESCENTE

1º Caso: (a1<0 e q>1)2º Caso: (a1>0 e 0<q<1)

PPPPP.G. EST.G. EST.G. EST.G. EST.G. ESTAAAAACIONÁRIACIONÁRIACIONÁRIACIONÁRIACIONÁRIA

(q=1)

PPPPP.G. OSCILANTE.G. OSCILANTE.G. OSCILANTE.G. OSCILANTE.G. OSCILANTE

(q<0)

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: A razão q de uma P.G. é obtida fazendo-se oquociente entre um termo e seu antecedente.

Progressões GeométricasProgressões GeométricasProgressões GeométricasProgressões GeométricasProgressões Geométricas

aa

2

1

aa

3

2

aa

4

3q= (q 0)≠= = = ...

I I

12

q = = -2-1


Progressões Geométricas

2

Mate

máti

ca

3) Em uma P.G. em que o número de termos é ímpar, ovalor absoluto do termo médio é a média geométrica dosextremos:

⏐TM⏐= a1+an

Exemplo:

(-2, -4, -8, -16, -32)

⏐-8⏐= (-2).(-32)

SOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA PSOMA DOS TERMOS DE UMA P.G..G..G..G..G.

A soma dos n primeiros termos de uma P.G. podeser determinada por:

LIMITE DA SOMA DOS TERMOSLIMITE DA SOMA DOS TERMOSLIMITE DA SOMA DOS TERMOSLIMITE DA SOMA DOS TERMOSLIMITE DA SOMA DOS TERMOS

Em uma P.G. decrescente, onde o número de termostende ao infinito e o termo an tende a zero, é possível obter-se o limite da soma dos infinitos termos desta P.G., atravésda relação:

Exemplos:

Calcular a soma dos termos das P.Gs.

PRODUTO DOS TERMOSPRODUTO DOS TERMOSPRODUTO DOS TERMOSPRODUTO DOS TERMOSPRODUTO DOS TERMOS

O produto dos n primeiros termos de uma P.G. podeser determinado por:

P= ± ⏐(a1.an)n⏐

Obs.:Obs.:Obs.:Obs.:Obs.: O produto será positivo se o número determos negativos for par, ou se não existirem termosnegativos;

O produto será negativo se o número de termosnegativos for ímpar.

Exemplo:

Calcular o produto dos termos da P.G.(1, 2, 4, ..., 256) q=2/1=2

an=a1.qn-1

256=1.2n-1

28=2n-1

n-1=8n=9

Pn= ± ⏐(a1.an)n⏐

P9=+ ⏐(1256)9⏐

P9= (1256)9

P9= (28)9

P9= 272=236

NOTNOTNOTNOTNOTAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIALAÇÃO ESPECIAL

Nos problemas que envolvem três números em P.G.,utiliza-se um artifício que permite a diminuição do númerode incógnitas. Se três números desconhecidos estão emP.G., então:

a1=x/qa2=xa3=x.q

Exemplo:

Determinar três números em P.G., sabendo-se queo produto dos mesmos é 64 e a soma é 14:

a q-aq-1n 1

a (q -1)q-1

1n

S =n

S =n

(q 1)≠

(q 1)≠

OU

a1-q

1S =∞ (n ; a 0)→∞ →n

a1-q

1

11-1/2

12-1/2

11/2

S =∞

S =∞S =∞ = = = 2

a q-aq-1n 1

1024.2-12-1

12

14

18

21

1/21

12

S =n

1, , , , ...

S =n =2047

q=

q=

=2

=

1)

2)

(1,2,4, ..., 1024)

xq

xq, x, x.q .x.x.q=64

x =643

x= =4643



3

Mate

mática

0 10 10 10 10 1 Obtenha a fração geratriz da dízima periódica0,555...

São duas P.Gs. possíveis: (2, 4, 8) ou (8, 4, 2).

No século passado, o cientista Malthus afirmou que “enquanto as populações crescem em progressãogeométrica, a produção de alimentos cresce em progressão aritmética”; causou muita polêmica e preocupação dosestudiosos da época. Hoje sabemos que Malthus estava errado.

0 20 20 20 20 2 Sabendo-se que numa P.G. o 1º termo é 1 e o 6ºt e r m o é 3 2 , a s s i n a l e a a l t e r n a t i v a q u ecorresponde ao produto dos 6 pr imeirostermos desta progres-são:

Pn= (a1.an)n

P6= (a1.a6)6= (1.32)6=(32)3=(25)3=215

0 10 10 10 10 1 O limite da soma dos termos de uma P.G. é 1 e oprimeiro termo é 2/3. O terceiro termo destaprogressão é:

a) 2/27b) 1/9c) -1/9d) 2/9e) 6

0 20 20 20 20 2 Se em uma P.G. a soma do terceiro com o quin-to termo vale 45 e a soma do quarto com o sextovale 135, então a razão é igual a:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

0 30 30 30 30 3 A seqüência (2x+5, x+1, x/2, ...) com x∈ R éuma P.G. de termos positivos. O décimo terceirotermo dessa seqüência é:

a) 2b) 3-10

c) 3d) 310

e) 312

0 40 40 40 40 4 O número de termos da progressão (1, 3, 9, ...)compreendidos entre 100 e 1000 é:

a) 2b) 4c) 6d) 8e) maior que 8

9q

9q

, 4, 4.q

+4+4.q=14

4+4q-4q =14q2

10 100-648

±q=

4

4 10 68±

12

q=

q=2

q=



4

Mate

máti

ca

00000 55555 Para que a P.G. (a; aq; aq2; aq3; ...) seja crescenteé necessário e suficiente que:

a) q>1b) a<0 e 0<q<1c) a>0d) q>0e) nda

0 60 60 60 60 6 Numa P.G. de termos positivos, o primeiro termoé igual à razão e o segundo termo é 3. Qual é o oitavotermo da progressão?

a) 81b) 37

c) 27 3d) 273e) 333

0 70 70 70 70 7 A soma da série geométrica1/102+1/104+1/106+... é:

a) 1/9999b) 1/9c) 1/999d) 1/99e) 1/99999

0 10 10 10 10 1 (UFCE) Seja G= 3 π. 9 π .27 π ... O valor de G é:

a) πb) πc) π/2d) 1

0 20 20 20 20 2 ( U F R S ) A c a d a b a l a n ç o u m a f i r m a t e mapresentado um aumento de 10% em seucapital. A razão da progressão formada pelos capitaisnos balanços é:

a) 10b) 11/10c) 1/10d) 10/11e) 9/10

0 30 30 30 30 3 (CESGRANRIO) Os três primeiros termos de umaP.G. são a1= 2, a2= 3 2 e a3 = 6 2. Oquarto termo é:

a) 1/ 2 b) 1 c) 8 2d) 9 2 e) 1/2

0 40 40 40 40 4 (UFSE) Seja uma P.G. ilimitada de razão 1/8 e cujo 2ºtermo é 4. A soma dos infinitos termos dessaprogressão é:

a) 256/7b) 128/7c) 64/7d) 32/7e) 4/7

0 50 50 50 50 5 (CEFET-PR) A solução da equação2x+x/2+x/4+x/8 + ... = 6 em IR é:

a) 2b) 1/2c) 2d) 2 2e) 2/2

0 60 60 60 60 6 (UFPA) A soma da série infinita1+1/5+1/25+1/125 +... é:

a) 6/5b) 7/5c) 5/4d) 2e) 125

0 70 70 70 70 7 (PUC-SP) Somando-se um mesmo número a 1,3 e 2, nesta ordem, obtém-se uma P.G. O númerosomado é:

a) 4/3b) -7/3c) 5/3d) 2/3e) nda



5

Mate

mática(UEPG-PR) Sabe-se que o número de bactérias em um meio de cultura duplica de hora em hora. Se, ao final da

1ª hora, existem 2 bactérias nesse meio, qual o número de bactérias ao final de 10 horas?

a) 1024 b) 5130 c) 2048 d) 2046 e) 1023

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

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..................................................................................................................................................................................................

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1

Mate

máti

ca

Vamos continuar o estudo das funções com as funções do 2º grau.

FUNÇÃO DO 2º GRAU OUFUNÇÃO DO 2º GRAU OUFUNÇÃO DO 2º GRAU OUFUNÇÃO DO 2º GRAU OUFUNÇÃO DO 2º GRAU OUQUADRÁTICAQUADRÁTICAQUADRÁTICAQUADRÁTICAQUADRÁTICA

f: A → Bf(x)=ax2+bx+c(a≠0)

Funções do 2º Grau ou QuadráticaFunções do 2º Grau ou QuadráticaFunções do 2º Grau ou QuadráticaFunções do 2º Grau ou QuadráticaFunções do 2º Grau ou Quadrática

Se y=0 então x=x1 e x=x2 raízes ou zero da função.Se x=0 então y=0 ponto onde a função corta o eixo y.

Vértice: ou yv=f(xv)-b2ax =V

-4a∆y =V

∆>0 ∆=0 ∆<0

a>0

a<0

Obs.: O gráfico sempre é uma parábola.

y

x

(0, c)

x1 x2xv

y1

0

y

x

(0, c)

y =0v

0x =x =xv 1 2

y

x

(0, c)

yv

0 xv

y

x(0, c)

yv

0 xv

x1 x2

y

x

(0, c)

y =0v

x =x =xv 1 2

y

x

(0, c)

y1

xv


Funções do 2º Grau ou Quadrática

2

Mate

mática

Exemplos:

01) f(x)=x2-5x+6Igualando a zero, temos através da fórmula de

Bhaskara:x1=2

x2-5x+6=0x2=3

Tabela de Valores

Gráfico

Vértice

02) f(x)=-x2+5x-4Igualando a zero, temos através da fórmula de

Bhaskara:

x1=1

-x2+5x-4=0x2=4

Tabela de Valores

Gráfico

Vértice

O físico, astrônomo e matemático Galileu, em 1604, utilizando um plano inclinado, observou que, duranteo movimento dos corpos em queda livre, a relação entre o tempo e a distância percorrida era dada por: para cadavalor de tempo corresponde uma distância, que equivale a 33 vezes o quadrado de t. Dizemos então que adistância varia quadraticamente em relação ao tempo. Relação como esta representa uma função do 2º grau ouquadrática.

y

x

(0, 6) (3, 0)(2, 0) 5/2

(5/2, -1/4)-1/4

x y230

5/2

006

-1/4

x y140

5/2

00-49/4

y

x(0, -4)

(4, 0)(1, 0) (5/2, 9/4)

0

{ {

-b2a

-52.1

52

52

552

252

14

25-50+244

254

xV =

= +6= +6= =-- -2

= =

y =f(x )V V

-b2a

-52.(-1)

52xV = = =

-D4a

94

[5 -4.(-1).(-4)]4.(-1)

2

y =V = =−∆



3

Mate

máti

ca

0 10 10 10 10 1 Determine as coordenadas do vért ice dasparábolas abaixo:

0 20 20 20 20 2 Ache o conjunto imagem das funções:

0 10 10 10 10 1 A função quadrática y=(m2-4)x2-(m+2)x-1estádefinida quando:

a) m=4b) m≠4c) m≠±2d) m=±2e) nda

0 20 20 20 20 2 A parábola passa pelo ponto (1, 0). Então, a+b+c éigual a:

0 30 30 30 30 3 Se f(x)=x2+1/5, então f(2/5) é igual a:

a) 3/5b) 9/5c) 9/25d) 6/25e) nda

0 40 40 40 40 4 A função quadrática y=(m-3)x2-(m-2)x-1está definidaquando:

a) m=±3b) m≠3c) m=2d) m=±2e) m=3

0 50 50 50 50 5 As coordenadas do vértice da função y=x2-2x+1são:

a) (-1; 4)b) (-1; 1)c) (1; 0)d) (0; 1)e) nda

y

x0

-4

y

x01

-b2a

-b2a

02.1

-(-2)2.1

22

xV

xV

V (0,1)

V (1,0)

=

=

=f(0)=0 +1=12

=f(1)=1 -2.1+1=02

=

=

=1

==1

y =f(x )V V

y =f(x )V V

a)

b)

y=x +12

y=x -2x+12

a) y=x -42

Im(f)={ R/y³-4∈

-4a∆y =V =-4

Im (f) = {y ∈ IIIIIR⎥ y ≥ - 4}

b) y=x +2x+12

Im(f)={ R/y 0∈ ≤

-4a∆y =V =0

Im (f) = {y ∈ IIIIIR⎥ y ≤ 0}



4

Mate

mática

0 60 60 60 60 6 O gráfico da função f, de IR em IR, definida por f(x)=-2x2-x, é uma parábola cujo vértice é o ponto:

a) (-1/4; 1/2)b) (1/4; -1/2)c) (-1/4; -1/8)d) (1/4; 1/8)e) (-1/4; 1/8)

0 70 70 70 70 7 O gráfico da função quadrática y=x2+px+q tem umasó intersecção com o eixo dos x. Então os valores dep e q obedecem à relação:

a) q=p2/4b) q2=p/2c) q≠p2/4d) q2=4pe) q2=4q

0 10 10 10 10 1 (UNB-DF) Os valores que anulam a funçãoy=x2-5x+6 são:

a) positivos;b) negativos;c) pares;d) ímpares;e) nda.

0 20 20 20 20 2 (UEL-PR) A imagem da função f: IR → IR definida porf(x) =-x2+x-2 é:

a) (-∞; -2]b) [2; ∞)c) (-∞; 7/4]d) [7/4; ∞)e) (-∞; -7/4]

0 30 30 30 30 3 (PUC-BA) A parábola da equação y=2x2-3x+1 cortao eixo das abscissas nos pontos:

a) (0, 0) e (3, 0)b) (0, 1) e (0, 2)c) (0, 1) e (0, 1/2)d) (1, 0) e (1/2, 0)e) (2, 0) e (1, 0)

0 40 40 40 40 4 (MACK-SP) O ponto (k; 3k) pertence à curva dadapor f(x) =x2-2x+k; então, k pode ser:

a) -2b) -1c) 2d) 3e) 4

0 50 50 50 50 5 (PUC-SP) O grá f i co da função quadrát icaf(x)=x2+ax+3 passa pelo ponto P (1; 2), logo:

a) a=1b) a=3c) a=-1d) a=-2e) nda

0 60 60 60 60 6 (OSEC-SP) Se o gráfico da função y=ax2+bx+c(sendo a, b e c números reais) for tangente ao eixo x,então pode-se afirmar que:

a) b2>4acb) b2<4acc) b=4acd) 4ac=b2

e) nda

0 70 70 70 70 7 (UFES) Sendo y=ax2+bx+c, com a≠0 e x ∈ IR,considere ∆= b2-4ac, não havendo intersecção dográfico de y com o eixo das abscissas, quando:

a) ∆>0b) ∆<0c) ∆≥0d) a intersecção não depende de ∆e) nda

(FGV-SP) O lucro de uma empresa é dado por L(x)=100(10-x)(x-2), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que:

a) o lucro é positivo qualquer que seja o valor de x;b) o lucro é positivo para x maior que 10;c) o lucro é positivo para x entre 2 e 10;d) o lucro é máximo para x igual a 10;e) o lucro é máximo para x igual a 3.



5

Mate

máti

ca

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................


Gabarito

1

Mate

mática


Exercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de AplicaçãoExercícios de Aplicação

01- a) A∪B = {x ∈ Z | -3≤ x ≤ 9}b) A∩B = {x ∈ Z | 2 ≤ x ≤ 6}c) A-B = {x ∈ Z | 7 ≤ x ≤ 9}d) B-A = {x ∈ Z | -3 ≤ x ≤ 1}

02- a) [-6;5)b) (-4;3)c) [+3;+5)d) [-6;-4]

03- a) Fb) Vc) Vd) Fe) Vf) Vg) Fh) Vi) V

04- ( b )( a )( e )( d )( c )

05- 98 (02; 32; 64)06- e07- c

Questões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de Vestibularesestibularesestibularesestibularesestibulares

01- b02- b03- d04- b05- d06- e07- e08- e09- c10- c

DesafioDesafioDesafioDesafioDesafio

Letra d



01- a02- c03- b04- c05- c06- b07- d


01- -602- b03- c04- e05- c06- a07- d


Letra b



01- c 02- b03- b 04- c05- d 06- a07- c 08- a


01- b02- d03- e04- c05- c06- 1207- b


Letra b



01- S = { 3 }02- S = ∅03- S = {2; 7}04- S = ∅05- S = {+3; -3}06- S = {2; 5}07- S = {0; 16}


01- a 02- c03- d 04- e05- b 06- b07- d


Letra d

EBR MATEMATICA MOD I GAB.pmd 23/3/2004, 12:031

Gabarito

2

Mate

máti

ca



01- a02- d03- d04- a05- d06- d07- e


01- c02- b03- c04- 9005- a06- b07- b


Letra b



01- a02- c03- b04- a05- b06- a07- d


01- b02- b03- b04- a05- c06- c07- b


Letra a



01- c02- a03- c04- b05- c06- e07- a

Questões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de VQuestões de Vestibularestibularestibularestibularestibular

01- a02- e03- d04- e05- d06- d07- b


Letra c

EBR MATEMATICA MOD I GAB.pmd 23/3/2004, 12:032

Equações Exponenciais

Matem

átic

a

PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS

Definição: Potência de um número é o produto

de fatores iguais a esse número.

Sendo “a“ um número real qualquer e “n“ um número

natural, temos que:

Ex.: 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243

Representação: onde:

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

I) PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA

BASE

“Conserva-se a base e soma-se os expoentes.”

Ex.: 42 . 46 = 42 + 6 = 48

II) DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

“Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.”

Ex.: 57 : 53 = 57 - 3 = 54

III) POTÊNCIA DE UM PRODUTO

“Distribui-se a potência entre cada fator.”

Ex.: ( )5 5 1253 3 3 3⋅ = ⋅ = ⋅x x x

IV) POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE

“Faz-se o mesmo que para a propriedade anterior.”

∀ ≠b 0

Equações ExponenciaisEquações ExponenciaisEquações ExponenciaisEquações ExponenciaisEquações Exponenciais

Vamos apresentar neste módulo, equações especiais, diferentes das que estamos habituados a resolver, pois agora

a incógnita aparece no expoente. São as equações exponenciais.

Resolver uma equação continua sendo encontrar os valores da incógnita que tornam a equação verdadeira. No caso

da equação exponencial, para resolvê-la, procuraremos obter sempre uma igualdade de duas potências de mesma base,

pois sabemos que, se duas potências de mesma base são iguais, então, seus expoentes também são iguais. Por exemplo,

para resolver a equação 3x = 243, podemos decompor o número 243, em fatores primos e escrevê-lo em forma de

potência, assim:

logo, como as potências têm bases iguais, seus expoentes também o devem ser,e portanto x = 5

Porém, como iremos trabalhar com potências, creio ser interessante relembrarmos algumas propriedades que

envolvem a potenciação. Vamos a elas:

533

2433

==

x

x

a a a a an

n fatores

= ⋅ ⋅ ⋅. ....

1 24 34

a pn =

→→→

potência

expoente

base

p

n

a

CASOS PARTICULARES E

CONSEQÜÊNCIAS DA

DEFINIÇÃO

1 1

2 1 1

3 0 0 0

4

51

0

0

1

)

)

) ,

)

) ,

a

n

a a

aa

a

n

n

nn

=

=

= ∀ ≠

=

= ∀ ≠−

a a am n m n⋅ = +

nmn

m

aa

a −=

a

b

a

b

n n

n

=

1)

2)

3)

4)

5)

( )a b a bn n n⋅ = ⋅

1

af.matematica parte 1.pmd 7/10/2004, 9:59 AM2


Matem

átic

a

Com base neste método, podemos identificar as

equações exponenciais em 4 tipos principais.

TIPO 1

Resolução: “Decomposição da a e b em fatores

primos, igualando as bases.”

Exemplo:

TIPO 2

Resolução: “Faz-se ,para a

obtenção de resolvendo então a

equação quadrática resultante e obtendo equações

exponenciais do Tipo 1 para encontrar x.”

EXERCÍCIO RESOLVIDO:

Resolva a equação

Resolução:

TIPO 3

Equações em que nos expoentes incógnitos

figuram adições ou subtrações.

Resolução: “Utilize principalmente as propriedades de

potência I e II.”

V) POTÊNCIA DE POTÊNCIA

“Conserva-se a base e multiplica-se os expoentes.”

Ex.: ( )6 6 6 466562 3 2 3 6= = =.

VI) POTÊNCIA FRACIONÁRIA

“Transforma uma potência em uma raiz, ou vice-versa.”

Ex.:

ATENÇÃO!

≠

Ex.: ( )2 22 3 23

≠

2 2

64 256

6 8≠≠

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

MÉTODO DA REDUÇÃO A UMA BASE

COMUM

Como já observamos na Introdução deste módulo,

para resolvermos equações exponenciais comumente nos

atemos à reduzir os termos da equação em questão a uma

base comum. Para conseguirmos isso, apl icamos

transformações convenientes baseadas nas propriedades de

potências que acabamos de rever.

A idéia consiste em reduzirmos as potências a uma

mesma base a (0<a≠1), igualando seus expoentes então.

( )am n

amn

ba x =

( )

2

63

22

22

648

63

63

===

=

=

x

x

x

x

x

22 yy xx =⇒= αα02 =++ cbyay

0.. 2 =++ cba xx αα

0224 =−− xx

1 é equação da solução a Logo,

1222

2

31

1.2

2.1.411

020222

logo ,2 temos,2 então tomando

022202220224

2

22

22

2x2

=

-1=

=⇒=⇒=⇒

±=

---±--=

=--⇒=--

==

=--⇒=--⇒=--

x

Não Servey2

xy1

y

y

yy

yy

x

xx

xx

xxxxx

( )a am n m n= .

n mn

m

aa = 55 35

3

6444 ==

10 ≠<=⇒= acbaacb

01

2



Matem

átic

a

TIPO 4

Equações onde os índices das potências estão

na forma de radicais.

Resolução: “Transforma-se os radicais em potências

fracionárias através da propriedade VI.”


Resolva a equação

Resolução:


Resolva a equação

Resolução:

3063333211=++-

++- xxxx

{ }3

Logo

333273

34

9183

306.33.34

3063

3.273.93.33

3063.93.333

3

3063.33.333

3

3063333

3

21

1

==

=⇒=⇒=

=

=

=++-

=++-

=++-

=++-

xS

x

xx

x

x

xxxx

xxx

x

xxx

x

x+2x+1xx-1

3 112 48 −+ = xx

( )( )

−==

−=

−=−−=−

−=+

−=+

=

=

=

=

−+

−+

−+

−+

16

11 então,

16

11

1116

92218

229183

2236

22

22

42

48

3

2236

3

1236

3

1123

3 112x

xS

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

CONHECENDO MELHOR O INIMIGO.

Um tema muito debatido é a velocidade com que um país deve combater uma epidemia que se aproxima

de suas fronteiras.

O Ebóla, o Antraz, a SARS, e muitos outros problemas de saúde trazem preocupação constante a

pesquisadores do mundo todo.

Um dos métodos utilizados para o combate a grandes epidemias está em conhecer os fatores que a

envolvem, tais como o tempo que um parasita leva para se multiplicar de número, ficando então com perigo de

contaminação.

Você sabia que muitos parasitas possuem a capacidade de se reproduzirem exponencialmente?

Através da observação de colônias controladas de diversos parasitas, pesquisadores medem o tempo em

que um parasita torna-se perigoso, e com isso geram funções que determinam o tempo necessário para o

combate a uma epidemia. Vamos simular esse procedimento.

Imagine que iniciando com um único parasita, ele seja capaz de dobrar o seu número a cada 5 minutos, ou

seja, após 5 minutos já são 2 parasitas, após 10 minutos são 4, após 15 minutos, são 8 e assim por diante.

Sabendo que esse parasita torna-se perigoso quando atinge um número superior a 2048 espécimes, quando

tempo tem um cientista para combater o contágio deste parasita sem risco de contaminação?

02

03

3



Matem

átic

a

Determine o valor de x nas equações exponenciais a

seguir:

a) 2x=128

b) 1 x = 125

5

c) 9x=27

0 2 Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 9x+3x=90

b) 52x+5x+6=0

c) 4x-20.2x+64=0

0 3 Encontre a solução das seguintes equações exponenciais:

a)

b)

c)

parasita. ocombater paraminutos55possui cientista o portanto,

55115

2220482

logo

indivíduos2 minutosn

......................................................

indivíduos28 minutos15

indivíduos24 minutos10

indivíduos22minutos5

indivíduo1minutos0

1155n

5n

515

510

55

=⇒=⇒=⇒=

→

=→

=→

=→

→

nn

n

Solução:

50555512=+-

+- xxx

0 4 Solucione as equação exponenciais a seguir:

a)

b)

0 5 Determine os valores de x que satisfazem a equação

0 6 Resolva a equação exponencial

0 7 Resolva a equação exponencial

+

+

=

xx

xx

1

1

3

813

2

2

2

33

33=

-

+

-

-

xx

xx

xx 5100010.100 =

01

02

03

04

05

06

07

24022223323133=+++

+++ xxxx

2042.34.54.21212

=---+++ xxxx

2 235220525.5

---=-

x xx xx

6 351 32124.8

++ --=

xx xx

4



Matem

átic

a

0 1 (FATEC) O valor de x, tal que

a) 0,05

b) -0,05

c) 0,5

d) -0,5

e) 0,005

0 2 (FUVEST-SP) Dado o sistema:

pode-se dizer que x+y é igual a:

a) 18

b) -21

c) 27

d) 3

e) -9

0 3 (UFSC) Encontre o valor de x na equação

0 4 (UFMG) O valor de x que satisfaz a equação

é tal que:

a) 1 < x ≤ 2

b) 2 < x ≤ 3

c) 3 < x ≤ 4

d) 4 < x ≤ 5

e) 5 < x ≤ 6

410.1010

-0,2=

x

=

=

39

82

y-9y

x+1x

77555511=++

-+ xxx

162.6224

=-xx

0 5 (MACKENZIE – SP) Se 4x = 3 e 4y = 9, então

vale:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

0 6 (ITA-SP) A soma das raízes reais positivas da equação:

a) 0

b) 2

c) - 2

d) 2 2

e) 4

0 7 (UFSM) Sabendo que o valor

de é:

a) -3

b) 2

c) 3

d) 8

e) 16

(0,125)-4x+2y

042.54

22

=+-xx

27

3

11

=

-x

212 - x

8553 222.48

+-+++=

xxxcbxax1. (IME – RJ) Suponha que a equação seja válida para todo número

real x, em que a, b, e c são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a:

a) 5/3

b) 17/3

c) 28/3

d) 12

e) -10

01

02

03

04

05

06

07

5



Matem

átic

a

6

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

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Logaritmos

Matem

átic

a

DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de

1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N,

dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é

expresso simbolicamente da seguinte forma:

Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de

logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o

logaritmo.

Exemplos:

a) log28 = 3 porque 23 = 8.

b) log41 = 0 porque 40 = 1.

c) log39 = 2 porque 32 = 9.

d) log55 = 1 porque 51 = 5.

Em matemática se convenciona que quando a base

do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão

logar itmo decimal e na representação simból ica

escrevemos somente log N ao invés de log10

N. Assim é

que quando escrevemos logN=x, devemos concluir pelo

que foi exposto, que 10x=N.

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo

inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar

os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos

logaritmos, podem-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras

transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-

se dizer que o nome LOGARITMO É UMA NOVA DENOMINAÇÃO PARA EXPOENTE, conforme veremos a seguir.

Façamos o seguinte, sabemos que 52 = 25 , onde 5 é a base, 2 o expoente e 25 a potência, na linguagem dos

logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Não parece simples? E realmente é simples, veja:

Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log 5

25 = 2

Outros exemplos:

LogaritmosLogaritmosLogaritmosLogaritmosLogaritmos

Também existe um sistema de logaritmos

chamado neperiano (em homenagem a John Napier, seu

criador), cuja base é o número irracional e = 2,7183...

e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM

= ln M. Esse sistema de logaritmos, também conhecido

como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação

no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:

a) log100 = 2 porque 102 = 100.

b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.

c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.

d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.

e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...

f) ln 7 = loge7

Vale a pena ressaltar que, pela definição de

logaritmo, conclui-se que somente os números reais

positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as

expressões log3(-9) , log

20 , etc.

NbxN xb =⇔=log

01loglog18

2625loglog62525

481loglog813

216loglog164

8

0

25

2

3

4

4

2

==

==

==

== l o g41 6 = 2

l o g38 1 = 4

log25

625=2

l o g81 = 0

1

af.matematica parte 2.pmd 7/13/2004, 2:41 PM2

Logaritmos

Matem

átic

a

3. LOGARITMO DE UMA POTENCIA

Temos a seguinte fórmula:

Exemplo: log5256 = 6.log

525

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1. Simplifique a expressão logarítmica

, sabendo que

Solução:

Encontre o valor de x, sabendo que log 2 = 0,301 e

log 3 = 0,477, em x = log 720

log 625

a) 1,208

b) 1,084

c) 0,278

d) 1

e) 2,879

CONSEQÜÊNCIAS

IMEDIATAS DA DEFINIÇÃO

São de rápida demonstração as seguintes

conseqüências da definição de logaritmos:

1. O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:

2. O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja:

3. Se logbM = log

bN então podemos concluir que

M=N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de

exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos

(equações logarítmicas).

4. Um número b elevado ao logaritmo de M na base

igual a b é igual ao logaritmando M, ou seja:

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

DOS LOGARITMOS

1. LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos

logaritmos dos fatores, ou seja:

Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 .

(Observe que como a base não foi especificada, sabemos

que ela é igual a 10.)

2. LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo de uma fração ordinária é igual à diferença

entre os logaritmos do numerador da fração e do

denominador, ou seja:

Exemplo: log0,02 = log 2/100 = log2 - log100

2

3

2.

log

=

C

BAx

.1log5log,2log -=== CeBA

101log 0 == bporqueb

bbporquebb == 11log

Mb Mb =log

NMNM bbb loglog).(log +=

NMN

Mbbb logloglog −=

MKM bK

b log.log =

( )( )

( )

( )( ) 301.35.22.2

log.3log.2log.2

log.3loglog.2

log.log.2

.log.2

.log

2

32

3

22

3

2

=--+

=-+=

-+

=-

==

=

CBAx

CBA

CBA

C

BA

C

BAx

01

02

2


Logaritmos

Matem

átic

a

4. COLOGARITMO

Chamamos de cologaritmo de um número positivo

N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de

N, também na base b. Ou seja:

Exemplo: colog10 = -log10

Solução:

Resposta: Letra B.

NNco bb loglog −=

( ) ( )

084,1796,2

033,3

699,0.4

1477,0.3301,0.2

301,01.4

12log33log2

2log10log.4

18log9log

2

10log.4

18.9log

5log.4

10log72log

5log

10.72log

625log

720log4

≅=++

=

-

++=

-

++=

+

=+

===

x

x

MUDANÇA DE BASE

Às vezes, para a solução de problemas, temos a

necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos,

ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e

desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta

mudança de base, muito importante na solução de

exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a

seguir:

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Encontre o valor de log25

12510:

Solução:

NUNCA É DEMAIS UTILIZARMOS...

01 Na resolução de problemas, é sempre muito mais

conveniente mudar um log de uma base maior para uma

base menor, pois isto simplifica os cálculos.

152

3.10125log

:

25525525log

3551255125log

25log

125log.10125log.10125log

1025

25

35

5

525

1025

==

=⇒=⇒=⇔=

=⇒=⇒=⇔=

==

temos

yy

e

xx

como

yy

xx

Nem só de frio se treme.

A escala Richter é usada, desde 1935, para medir a intensidade de um terremoto através da fórmula

=k

EI 3log.

3

2, em que E é a energia liberada pelo terremoto; k, uma constante, sendo E e k

medidas em kWh – quilowatt-hora.

Sabendo-se que, em duas cidades, X e Y, foram registrados terremotos que tiveram intensidades

logaN =

logbN

logba

4log

16log16log

2

24 =

8log

64log64log

5

58 =

Exemplos:

a)

b)

02 Duas conseqüências importantes da fórmula de

mudança de base são as seguintes:

a)

b

NNb

log

loglog =

b) logba . log

ab = 1

Exemplos:

a) log37 . log

73 = 1

3


Logaritmos

Matem

átic

a

12loglog2

3.8log.

3

28

6loglog2

3.4log.

3

24

333

333

=

⇒

=⇒

=

=

⇒

=⇒

=

k

E

k

E

k

E

e

k

E

k

E

k

E

xxy

xxx

Já sabemos pela definição de logaritmos que se log b N = x então bx = N Logo,

Dividindo membro a membro as expressões acima, ficamos com

Concluímos pois, que a alternativa correta é a de letra E.

Curiosidade: Sabe-se que um terremoto medindo 5 graus na escala Richter pode ser destrutivo.

Assim sendo, pelo enunciado do problema acima, a cidade Y, provavelmente foi destruída.

123

63

312log

36log

=⇒=

=⇒=

k

E

k

EComo

e

k

E

k

EComo

xx

xx

xyy

x

y

x

y

x

y

x

x

x

EEE

E

E

E

E

E

E

k

k

E

k

E

k

E

.33

133

3

3.

3

3

66

6126

12

6

12

6

=⇒=⇒=⇒

=⇒=⇒=

--

iguais a, respectivamente, 4 e 8 na escala Richter e sendo Ex a energia liberada em X e E

y a energia

liberada em Y, pode-se afirmar:

A) Ey = 2E

x

B) Ey = 28E

x

C) Ey = 32E

x

D) Ey = 33E

x

E) Ey = 36E

x

Solução:

Temos que IX = 4 e I

Y = 8, pelo enunciado do problema.

Substituindo na fórmula do enunciado, vem

4


Logaritmos

Matem

átic

a

0 1 Calcule pela definição os seguintes logaritmos

a)

b)

0 2 Calcule mais alguns logaritmos:

a)

b)

c)

0 3 Calcule a soma nos seguintes casos:

0 4 Desenvolva, aplicando as propriedades de logaritmos:

a)

61005,09

25,15,1100

1,0log8log27

1log

64,0log9

4log001,0log

333 +−=

−+=

S

S

3 2

3

3.

.log

ac

ba

( )cba log2log3log.4

1 −−

9log.8log.7log.6log.5log.4log.3log.2log 109876543

01

02

03

04

0 5 Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é

dado abaixo:

a)

0 6 Sendo log2=0,301 e log3=0,477 , calcule

os seguintes logaritmos:

a) log 6

b) log 5

c) log 720

0 7 Determine o valor de:

05

06

07

log21

8

log0,25

32

log813

log0,010,001

log0,225

5


Logaritmos

Matem

átic

a

0 1 (UFBA) Sendo log2 = 0,301 e x = 53. , então

o logx é:

a) 2,997

b) 3,398

c) 3,633

d) 4,398

e) 5,097

0 2 (UEFS) O produto das raízes da equação

log(x2 -7x + 14) = 2log2 é:

a) 5

b) 7

c) 10

d) 14

e) 35

0 3 (UCSal) Se 12n+1=(3n+1) . 8 , então logn2 é igual a:

a) -2

b) -1

c) 1/2

d) 1

e) 2

0 4 (UEMT) O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:

a) (-3/2,4)

b) (-4,3/2)

c) (-4,2)

d) (3/2,4)

e) (3/2,10)

44000 0 5 (UFAC) Determine o valor de x que satisfaz à equação

log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1.

0 6 (UFSM) Existe um número x diferente de 10, tal que o

dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades

o logaritmo decimal de x-9. Determine x.

0 7 (PUC-SP) O logaritmo, em uma base x, do número

y = 5 + x é 2. Então x é igual a:

a) 3/2

b) 4/3

c) 2

d) 5

e) 5/2

0 8 (PUC-PR) Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x2 - y2)

é igual a:

a) 100

b) 2

c) 25

d) 12,5

e) 1000

Sugestão: observe que x2 - y2 = (x - y) (x + y)

01

02

03

04

05

06

07

08

( )a

a

b

bb

ax log

loglog

=( )

b

b

a

aa

by log

loglog

=(UECE) Sejam a, b ∈ R, maiores do que 1. Seja e

Então podemos afirmar que o produto xy é igual a:

a) 0,5

b) -1

c) 1

d) -0,5

e) n.d.a.

2

6


Matrizes

Matem

átic

a

Denominamos matriz real do tipo m x n (leia: m por n) a toda tabela formada por m.n números reais dispostos em

m linhas e n colunas.

Algumas matrizes:

Representamos matrizes através de letras maiúsculas, tais como, A, B, C, etc. Os elementos de uma matriz são

representados por letras minúsculas acompanhadas de um índice duplo que se refere à posição ocupado pelo elemento

na matriz. O primeiro número do índice representa as linhas e o segundo representa as colunas, aij.

IGUALDADE DE MATRIZES

Dizemos que duas matrizes A e B são iguais se

todos os elementos da matriz A são iguais aos elementos

da matriz B, ou seja:

Observe os exemplos abaixo:

1. Se e , temos A=B se

x = 1, y = 2, z = 3, a = 6, b = 5 e c = 4.

2.Verificar se existem valores de x e y que tornam verdadeira a

igualdade de matrizes ( )

−=

−+

1

23

1

42 yx

xy

yx

yx

:

Resolução:

( )

121

3

1

1

42

3

2

==⇒

=−=+

⇒

=−

=−=

=+

yexyx

yx

yx

yx

xy

yx

MATRIZ TRANSPOSTA

Definimos a transposição de matrizes como sendo:

O que verificamos no exemplo que segue

1.Se

−−−=

222

1063A , qual é a matriz transposta de A:

Resolução:

MatrizesMatrizesMatrizesMatrizesMatrizes

OPERAÇÕES COM MATRIZES.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Também podemos definir a subtração de matrizes

como sendo:


1.Sendo

−=

=

21

14

52

31BeA , calcule A + B e A - B:

Resolução:

PROPRIEDADES

Sejam A, B, C e 0, matrizes de ordem m x n.

I.Propriedade Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

II.Propriedade Comutativa: A + B = B + A

III.Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A

IV.Existência do Oposto: Qualquer que seja a matriz A, podemos

encontrar uma matriz B tal que A + B = 0. Indicamos a matriz

oposta de A por -A.

MULTIPLICAÇÃO DE UM

NÚMERO POR UMA MATRIZ


1.Sendo

−=

05

13A , calcule 6A.

Resolução:

−=

−=

030

618

05

13.66A

jeibaBAtemosbBeaASe ijijmxnijmxnij ∀∀=⇔=== ,:

2x 3 real matriz

331

0

1

22 x 2 real matriz

35

4

02-3 x 2 real matriz

1041

852

−

−−

π

−−−

=210

26

23tA

−=

−−−−−

=

−−

=−

=

+−+++

=

−+

=+

33

23

25)1(2

1341

21

14

52

31

71

45

25)1(2

1341

21

14

52

31

BA

BA

.,)()( jeiabondebAtemosaASe ijijmxnijmxnij ∀∀=== αα

=

456

321B

=

cba

zyxA

matriz real 2 x 3 matriz real 2 x 2 matriz real 3x 2

.,, jeiabondebAentãoaASe jiijnxmijt

mxnij ∀∀===

jeibadondedBA ijijijmxnij ∀∀−==− ,)(

1


Matrizes

Matem

átic

a

Resolução:

33. 3535 ==⇒= serCBA xrxsx

Essa carne é orgânica, ou não?

PROPRIEDADES

A multiplicação de um número real por uma matriz

goza das seguintes propriedades:

Essas propriedades valem quaisquer sejam os

números a e b reais e quaisquer que sejam as matrizes A e

B do tipo m x n.

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Para calcular o produto AB de duas matrizes A e B

iremos efetuar as multiplicações de cada linha de A por

Seja então: 01 , calcule A.B:

Resolução:

Considere o produto 3535 . xrxsx CBA = e

descubra a ordem da matriz B.

Joga-se pesticida nas plantas para eliminar insetos

daninhos. Entretanto, parte do pesticida é absorvida pela

planta, que por sua vez são comidas pelos animais

herbívoros. Os pesticidas são absorvidos pelos herbívoros

que comem estas plantas. Para determinarmos a

quantidade de pesticida absorvida por um herbívoro, vamos

proceder da maneira descrita a seguir.

Suponha que temos três tipos de pesticidas e quatro

tipos de plantas. Denotando por aij a quantidade do

pesticida i (em miligramas) que foi absorvida pela planta j,

observamos a matriz a seguir:

Suponha agora, que temos três herbívoros e

denotemos bij como o número de plantas do tipo i que

um herbívoro do tipo j come por mês. Esta informação

esta representada pela matriz:

todas as colunas de B. Assim, o produto AB só vai existir se

numa linha de A e numa coluna de B houver a mesma

quantidade de elementos. Isto ocorre quando o número

de colunas de A é igual ao número de linhas de B.

A matriz produto AB, se existir, terá tantas linhas

quantas tivermos na matriz A e tantas colunas quantas

tivermos na matriz B.

01

20 12 8

28 15 5

30 12 10

40 16 20

B

=

herbívoro1 herbívoro2 herbívoro3

Planta1 Planta2

Planta3

Planta4

2 3 4 3

3 2 2 5

4 1 6 4

A

=

Planta1 Planta2 Planta3 Planta4

Pesticida1 Pesticida2 Pesticida3

20 12 82 3 4 3

28 15 153 2 2 5

30 12 104 1 6 4

40 16 20

AB

=

herbívoro1 herbívoro2 herbívoro3

A.B=

364

376

448

165

170

201

161

174

187

pesticida1pesticida2pesticida3

=

=

1

3

3

2

1

4

013

521BeA 02

( )( )

AAIV

AAIII

AAAII

BABAI

==

+=++=+

.1.

).(.

.

).(.

αββαβαβαααα

. se existe só AB produtoo. pnBA pxqmxn =⇒

mxnpxqmxn ABBA ⇒.

++++

=

=

=

=

dscqdrcp

bsaqbrap

sr

qp

dc

baBA

sr

qpBe

dc

baA

..

Seja então:

=

++++++++

=

=

=

=

1213

1416

1.03.13.32.01.14.3

1.53.23.12.51.24.1

1

3

3

2

1

4

.013

521.

1

3

3

2

1

4

013

521

BA

BeA

2


Matrizes

Matem

átic

a

01 Dentre as matrizes abaixo, classifique-as em diagonais,

simétricas ou anti-simétricas:

Resolução:

São diagonais: C, F

São simétricas: B, C, D, F, G, I

São anti-simétricas: E, H, I

O elemento (i,j) do produto A.B irá fornecer a quantidade de pesticida do tipo i que o animal do tipo j absorveu.

Por exemplo, se i=2 e j=3, o elemento (2,3) da matriz produto A.B corresponde à quantidade de pesticida 2

absorvida pelo herbívoro 3.

Encontre a quantidade de pesticida absorvida pelos herbívoros da situação acima:

Ou seja, dentre as informações obtidas podemos notar que o herbívoro 2 absorve em um mês 201 miligramas

do pesticida 3, ou ainda, que o herbívoro 1 absorve 1188 miligramas de pesticida durante um mês. Fica a pergunta

então: Essa carne é orgânica, ou não?

=

−++−+−−+

=

−−

−−

00

00

)4(46)6(

2)2()3(3

23

23.

22

11

PROPRIEDADES

A multiplicação de entre matrizes goza das seguintes

propriedades:

I. Propriedade Associativa: Considerando Amxn

, Bnxp

e Cpxq

,

vale a igualdade (AB)C = A.(BC)

II. Propriedade distributiva à direita: Quaisquer que sejam as

matrizes A e B do tipo mxn e a matriz C do tipo nxp, vale

a igualdade (A + B)C = AC + BC.

III. Propriedade distributiva à esquerda: Quaisquer que sejam

as matrizes A do tipo mxn, B e C do tipo nxp, vale a

igualdade A(B + C) = AB + AC.

Vale observarmos que, para o cálculo com matrizes,

a propriedade comutativa normalmente não é válida e a lei

do cancelamento não é válida, pois é possível encontrarmos

um produto A.B = 0, sendo A ≠ 0 e B ≠ 0. Observe o

exemplo abaixo.

=

−−−

=

=

−=

−=

=

−=

=

=

000

000

000

011

101

110

012

104

240

300

030

001

03

30

02

20

100

010

21

13

13

21

IHGF

EDCBA

01

−=

=

−=⇒

=+

−−

−=⇒

=+−

−=⇒

=+−=+

==

=⇒

==

⇒

⇒

==+

⇒

==+

⇒

==+

⇒

=+−=+

=+−=+

=+−=+

⇒

=

−

−

22

5

22

111

1

11

2

:

22

511

1

145

2.

5

2

145

2

14

025

11

2

22

1.4

22

1

4

122

4

1220

4

124.5

4

125

04

125

: temossistemas, dos um cada Resolvendo

14

025

04

125

10

01.

41

25

1A

Logo

d

b

dd

db

db

db

db

db

a

c

ca

c

ca

cc

ca

cc

ca

ca

ca

ca

db

dbe

ca

ca

dc

ba

02 Obtenha a inversa da matriz

−=

41

25A , caso exista.

Resolução:

02

MATRIZES ESPECIAIS

I. Matriz diagonal:

( ) jiseaaA ijnij ≠=⇔= ,0 diagonal matriz é

II. Matriz simétrica:

tAAA =⇔ simétrica matriz é III. Matriz anti-simétrica:

tAAA −=⇔ simétrica-anti matriz é IV. Matriz Identidade: Chamamos matriz identidade

de ordem n e representamos por In à matriz

quadrada de ordem n em que os elementos

da diagonal principal são iguais a 1 e os demais

elementos da matriz são iguais a 0.

V. Matriz inversa: Uma matriz quadrada de ordem n é

chamada de matriz inversível se existir uma matriz B tal

que A.B = B.A = In. Quando existe a matriz B, ela é

chamada de matriz inversa de A e a indicamos por A-1.

3


Matrizes

Matem

átic

a

Dadas as matrizes

calcule, se existir:

a) A + B b) B + C c) C - A

d) A + D e) B - C f) D - C

Sendo

−

−−=

=224

310

211

120

431

021

BeA , calcule A + Bt:

Se

−=

−=

=2

2

5

1

2

1

,

2

0

3

CeBA , calcule A + 2B - 3C:

Complete o quadro colocando o tipo m x n de cada

matriz (se existir):

Matriz A Matriz B Matriz A.B

2 x 3 3 x 4 _______

5 x 2 2 x 2 _______

3 x 3 3 x 1 _______

2 x 4 3 x 4 _______

5 x 3 3 x 5 _______

3 x 5 5 x 3 _______

1 x 3 3 x 4 _______

3 x 2 2 x 5 _______

05 Considere as matrizes

=

−=

2

4

3

2

0

1

711

132BeA

A soma dos elementos da primeira linha de A. B é:

a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

06 Sendo −

100

02

1

2

1

02

1

2

1

A= , calcule A.At. Você pode concluir

que A é inversível? Em caso afirmativo, qual é a

inversa de A?

07 Se A é matriz 3x4 e B uma matriz nxm, então:

a) Existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3.

b) Existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3.

c) Existe AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3.

d) Existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B.

e) Existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

02

03

04

01

05

06

07

−=

=

−=

−=

1

2

30

11

85

20,

22

31,

41

23DeCBA ,

4


Matrizes

Matem

átic

a

05 (UNICAMP-SP) Considere as matrizes:

( )( )( ) AxBCcCiii

bpordefinidaxbBii

jiapordefinidaxaAi

ij

ji

ijij

ijij

==

==

−==−

,.

.,,.

.,,.

234

43

O elemento c32

é:

a -7 b) -4 c) -2

d) 0 e) 2

06 (ITA-SP) Se 2

1 0

0 1I

=

, mostre que é válida a

igualdade 2 2. .I D D I= :

DICA: Utilize para este exercício uma matriz genérica de

ordem 2 a b

Dc d

=

.

0 1 (FUVEST-SP) Calcular os elementos da matriz A2x3

,

sabendo que aij=2i+J

02 (CESGRANRIO) Dada a matriz A = (aij)3x3

em que

<≥+

=jise

jisejiaij ,0

, calcule a diferença entre o p r o d u t o

dos elementos da diagonal principal e o da diagonal

secundária.

03 (UNI-BH - MG) Se

=

+++++++

500

530

531

00

0

fe

feded

cbabaa

,

qual é o valor da expressão abc + def ?

04 (IME-RJ) Sabe-se que a matriz

−−+

=765

21

1

z

ay

cbx

M é uma

matriz anti-simétrica. Calcule o valor da expressão

(x + y + z).(a + b + c).

02

01

03

04

05

06

5


Matrizes

Matem

átic

a

07 (UNIOESTE - PR) Seja [ ]3

3 2 2a x e b

x

− = − =

.

Se a.b = [17], encontre o valor de x.

a) x=2

b) x=-2

c) x= 2

d) x=0

e) não é possível calcular o valor de x.

01 (VUNESP-SP) Um fabricante de móveis faz cadeiras e mesas, cada uma das quais passa por um processo

de montagem e outro de acabamento. O tempo necessário para esse processo é dado (em horas) pela

matriz

O fabricante tem uma fábrica em Salt Lake City e outra em Chicago. As taxas por hora para cada um dos

processos são dadas (em dólares) pela matriz

Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?

07

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

6


Determinantes

Matem

átic

a DeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantesDeterminantes

"O trabalho com determinantes é uma maravilha, quem poderia imaginar modo mais interessante de transformarmos

grandes tabelas em simples números reais".

(Vandermounde)

DETERMINANTE DE 2ª ORDEM

Definimos o determinante de uma matriz quadrada

de 2ª Ordem como sendo:

=dc

baA

bcaddc

baA −==det

231585).3(4.245

32det =+=−−=

−=A

Parte 1

Um mundo cheio de segredos

Com o passar dos tempos, verifica-se, cada vez mais, que é na informação que se esconde o real valor

de tudo. Sempre demonstrou ser um grande problema transmitir informações com a segurança de não cair em

mãos erradas. A matemática, através da criptografia, foi uma ferramenta encontrada como segura para a

transmissão de informações, pois consiste primariamente em se construir uma chave de tradução e um código

de transmissão que, quando recebido pelo destino, possa ser traduzido.

Utilizando-nos deste raciocínio, escrevemos algo para você através de um código, veja:

Você consegue traduzir o que esta escrito acima?

3 1 5 1 4 7 2 8 10 5

3 2 5 2 1 3 1 2 5 2

−− − − −


01 Encontre o determinante da matriz :

Resolução:

−45

32

01

1


Determinantes

Matem

átic

a

Parte 2

Se você ainda não desvendou a mensagem codificada da Parte 1 do HIPERTEXTO, ou se já desvendou, confira

abaixo o que utilizamos para a codificação:

1. Numeramos o alfabeto, colocando valores de 1 a 26 para cada uma das letras;

A = 1 B = 2 C = 3 D = 4 E = 5 F = 6 G = 7 H = 8 I = 9

J = 10 K = 11 L = 12 M = 13 N = 14 O = 15 P = 16 Q = 17 R = 18

S = 19 T = 20 U = 21 V = 22 W = 23 X = 24 Y = 25 Z = 26

2. Estabelecemos que cada valor para uma letra seria obtido através da resolução de um determinante de

ordem 2;

3. Construímos o número de determinantes necessário para codificar todas as letras de cada palavra;

Veja o exemplo:

Creio que agora você consiga traduzir o que codificamos na primeira parte, vamos a ele:

resolvendo os determinantes 2x2, temos:

9 5 19 4 5Convertendo os valores obtidos pelas letras respectivas:

9 5 19 4 5

I E S D EOu seja, a palavra codificada é IESDE.

DETERMINANTE DE 3ª ORDEM

O modo prático para calcularmos o determinante

de matrizes quadradas de 3ª Ordem consiste em utilizarmos

a Regra de Sarrus. Vamos a ela:

REGRA DE SARRUS:

16 1 26

, 16 1 26, :

4 0 1 2 13 1

1 4 1 3 13 1

16 1 26

PAZ

P A Z

ou seja a palavra PAZ é codificada para então

P A Z

= = =

−

3 1 5 1 4 7 2 8 10 5

3 2 5 2 1 3 1 2 5 2

−− − − −

3 1 5 1 4 7 2 8 10 5

3 2 5 2 1 3 1 2 5 2

−− − − −

3 1 5 1 4 7 2 8 10 5

3 2 5 2 1 3 1 2 5 2

−− − − −

Seja uma matriz A de 3ª Ordem.

1. Repetimos a primeira e a segunda linha (coluna) abaixo (à

direita) da matriz;

2. Multiplicamos os três elementos da diagonal principal e

os das paralelas a esta diagonal;

3. Multiplicamos os três elementos da diagonal secundária

e os das paralelas a esta diagonal e trocamos os sinais

2


Determinantes

Matem

átic

a

destes produtos;

4. Somamos os resultados obtidos.

Observe:

ou ainda:


01 Encontre o determinante da matriz .

Resolução:

DETERMINANTE DE MATRIZ

NxN REGRA DE CHIÓ

Podemos definir o determinante de uma matriz

quadrada de ordem n, n>3, utilizando-nos de um

procedimento matemático denominado Regra de Chió:

REGRA DE CHIÓ (MATRIZ DE ORDEM N)

1. Escolhe-se o pivô (que precisa ser um número 1) e a

partir dele se exclui sua linha e coluna;

2. Subtraia de cada elemento da nova matriz o produto dos

elementos que pertenciam à sua linha e coluna e que

foram retirados.

3. Multiplique o determinante da nova matriz por (-1)i+j,

sendo i e j a posição do elemento pivô.

4. O determinante a ser calculado possui o mesmo valor da

matriz inicial e possui uma ordem a menos.

5. Se a ordem do determinante obtido for >3, repita os

passos de 1 a 4 até que obtenha ordem 3, resolvendo-

o então pela Regra de Sarrus.

Obs: Caso não haja nenhum elemento 1 (um) na matriz, divida

uma fila por algum elemento de modo que apareça o

elemento1 e não se esqueça de multiplicar esse elemento

ao resultado final do determinante.


Resolvendo agora o determinante de ordem 3 obtido

pela regra de Sarrus, obtemos:

PROPRIEDADES DE

DETERMINANTE

As seguintes propriedades são vál idas para

determinantes de qualquer ordem.

I) O determinante de uma matriz quadrada A e o da sua

matriz transposta At são iguais. det A = det At.

II) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto

dos elementos da diagonal principal.

a1

a2

a3

b1

b2

b3

c1

c2

c3

a1

a2

b1

b2

c1

c2

= a .1

b .2

c +3

( a .2

b .3

c +1

a .3

b .1

c )-

( + + )

2

a .3

b .2

c 1

a .1

b .3

c 2

a .2

b .1

c 3

a .3

b .2 1

c a .2

b .1 3

c a .1

b .2 3

c

a .1

b .3 2

c a .2

b .3 1

c

a .3

b .1 2

c

a1

a2

a3

b1

b2

b3

c1

c2

c3

= a .1

b .2

c +3

( a .2

b .3

c +1

a .3

b .1

c )-

( + + )

2

a .3

b .2

c 1

a .1

b .3

c 2

a .2

b .1

c 3

a .3

b .2 1

c

a .1

b .3 2

c

a1

a2

a3

b1

b2

b3

a .2

b .1 3

c

a .1

b .2 3

c

a .3

b .1 2

c

a .2

b .3 1

c

−−

113

205

132

42)1.5).3(2.1).2(3.0.1(

1.1.53).2).(3(1.0.2

113

205

132

=−+−+−+−−+=−

−

( )

41111

41721

188

3.113.323.41

5.115.325.41

3.143.313.44

.1

1231

1251

4134

1314

21

−−−−−−

−−=

−−−−−−−−−−−−−

−=

−−−−

+

172672352187231352544

41111

41721

188

1231

1251

4134

1314

=++−+−−

=−−−−−−

−−=

−−−−

4623).2(1.213

22

13

22

462)2.(31.212

32

12

32

−=−=−+=−

⇒

−=

−=−=−+=−

⇒

−=

tA

A

01

3


Determinantes

Matem

átic

a

O mesmo vale para a triangular superior, se utilizarmos a

propriedade anterior.

III) Quando multiplicamos uma linha ou coluna de uma matriz

quadrada A por um número real k, obtemos uma matriz

B tal que detB = k.detA. Em particular, podemos ampliar

esta propriedade para det(kA) = kn.detA , onde n é a

ordem de A.

IV) O determinante de uma matriz quadrada A pode ser

decomposto na soma dos determinantes de duas

matrizes B e C, sendo B e C iguais à matriz A exceto

numa coluna j e tal que a coluna j de A é igual à soma da

coluna j de B com a coluna j de C.

V) O determinante da matriz produto AB de duas matrizes

quadradas de mesma ordem, é igual ao produto dos

determinantes das matrizes A e B, isto é,

det(AB) = detA . detB.

VI) Quando trocamos de lugares entre si duas linhas ou duas

colunas de uma matriz quadrada, o determinante desta

matriz fica multiplicado por (-1).

VII) Um determinante é igual a zero quando:

a) Tem uma linha ou coluna formada só de zeros;

b) Tem duas linhas iguais ou duas colunas iguais;

c) Tem uma linha (coluna) proporcional a outra linha

(coluna);

d) Tem uma linha (coluna) igual à soma das outras linhas

(colunas) multiplicadas cada uma por uma constante.

VIII) Um determinante não se altera quando somamos a uma

linha (ou coluna) outra linha (coluna) multiplicada por uma

constante.

24)3).(1.(4.2

3000

3100

5140

1122

=−−=

−−

−

18.2724).2(10.8104

28

: teremos2,por linha 2a. a ndomultiplica

18.2362).2(5.852

28

: teremos2,por linha 1a. a ndomultiplica

18)1.(25.452

14

2==−+=−

==−+=−

=−+=−

z

y

x

c

b

a

zc

yb

xa

65

43

21

65

43

21

65

43

21

+=+++

)det().det(11)143(1542213

117).det(

16553

21)det(,1138

41

32)det(

2213

117.,

53

21,

41

32

BABA

BA

BABA

=−=−−−=−−

=

−=−=−

−==+=

−=

−−

=

−−

=

−=

9615)det(53

23

9156)det(35

32

=−=⇒

=

−=−=⇒

=

BB

AA

Para cada número x, considere as matrizes:

A = e B = .

Resolva o proposto a seguir:

a) O valor de x tal que det(A) = 1?

b) O valor de x tal que det(B) = 5?

−−−

1x1

11x

+12

01x

02 Resolva o determinante da abaixo:01

1ª

2ª

02

( )2 5 1

5 3 4 12 20 0 3 0 50 32 47 15

1 0 2

−= + + − − + + = − =

4


Determinantes

Matem

átic

a

0 3 Calcule o valor do determinante:

0 4 Considere a matriz .

Calcule o determinante da inversa de A.

0 5 Dadas as matrizes

resolver a equação (em IR):

−=102

316

012

A

0 6 Se A e B são matrizes de ordem 3 e det(A.B)= det (2Bt)

então:

a) det A = 2

b) det A = 8 necessariamente

c) det A = 6 ou det B = 0

d) det A = 8 ou det B = 0

e) n.r.a.

0 7 Resolva, utilizando-se da Regra de Chio, o determinante

a seguir:

=

−=100

010

001

111

112

101

IeA

0)det( =− xIA

04

05

06

21010

4

1

0

2

1550

2040

0010

4321

−−

−

03

07

01 (PUC-RS) De todas as matrizes de ordem 3 formadas

por 6 "zeros" e 3 "cincos", quantas possuem determinante

diferente de zero?

a) 0 b) 2 c) 4

d) 6 e) 8

0 2 (UNICAMP-SP) Dizemos que uma matriz real quadrada

A é singular se det A = 0, ou seja, se o determinante de

A é nulo; e não singular se det A ¹ 0. Mediante esta

definição, mostre que o produto de duas matrizes é uma

matriz singular se pelo menos uma delas for singular.

0 3 (UNITAU-SP) O valor do determinante

como produto de 3 fatores é:

a) abc.

b) a (b+c) c.

c) a (a-b) (b-c).

d) (a+c) (a-b) c.

e) (a+b) (b+c) (a+c).

01

02

2 3 5 5

4 0 8 2

6 7 3 2

2 5 4 3

−

− −

a a a

a b b

a b c

a b a b

b a b a

− −+

03

0 4 (UEL-PR) A soma dos determinantes

indicados a seguir é igual a zero:

=0

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b

b) se, e somente se, a = b

c) se, e somente se, a = - b

d) se, e somente se, a = 0

e) se, e somente se, a = b = 1

0 5 (UFSC-SC) Considere as matrizes

e n=det(AB). Calcule 7n:

04

05

10012

11345

11

A e B

= − − =

5


Determinantes

Matem

átic

a

0 6 (PUCCAMP-SP) Sejam as matrizes mostradas na figura

a seguir. O determinante da matriz A+B.C é:

a) -4 b) -2

c) 0 d) 1

e) 5

A= , B= e C=0 1

1 0

1 0

2 1

1 2

0 1

06 0 7 (UNIOESTE - PR) O valor de "a" para o qual o

determinante adiante se anula é:07

=

=100

010

001

00

10

00

Ie

c

b

a

M

0)det( =− IM λ aea 7.. 321321 =++= λλλλλλ

01 (FATEC-SP) Considere as matrizes reais em que a ≠ 0 e a, b, c

formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0. Sejam λ1, λ2, λ3 as raízes da equação

. Se então a2+b2+c2 é igual a:

a) 21/8

b) 91/9

c) 36/9

d) 21/16

e) 91/36

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

6


Sistema de Equações Lineares

Matem

átic

a

Atualmente é crescente a preocupação da população com sua alimentação. Jovens e adultos procuram a prática de

atividades físicas e a adesão a um programa de reeducação alimentar, para manter um peso saudável e prevenir doenças.

Quando é construída uma dieta hipocalórica, uma das preocupações está na presença de quantidades mínimas de

alguns componentes, tais como proteínas, carboidratos e lipídios.

Observe a tabela abaixo que traz a quantidade aproximada de proteínas, carboidratos e lipídios em uma refeição

hipocalórica sugerida.

Alimentos Porção (g) Proteínas (g) Carboidratos (g) Lipídios (g)

Arroz Cozido 50 1,2 16,2 1,5

Almôndegas com molho 50 7,6 3,6 6,4

Vagem refogada 50 1,5 4,8 0,1

Total necessário almoço 18 30 15

Ao pensar em uma refeição visando perda de peso, um nutricionista recomenda que se consuma verduras cruas à

vontade, mas a quantidade de outros alimentos possuem restrições. Vamos imaginar uma refeição contendo as preparações

citadas na tabela acima. Qual a quantidade a ser consumida de cada um dos itens da tabela, obedecendo aos totais de

proteínas, carboidratos e lipídios, para uma refeição saudável?

Para podermos responder a esta pergunta e a muitas outras questões importantes, possuímos uma ferramenta

matemática muito poderosa, são os Sistemas Lineares de Equações, vamos a eles.

Sistema de Equações LinearesSistema de Equações LinearesSistema de Equações LinearesSistema de Equações LinearesSistema de Equações Lineares

1. EQUAÇÕES LINEARES

Por uma equação linear, entendemos uma expressãoda forma bxaxaxa nn =+++ ...2211 onde

naaa ,...,, 21 e são constantes reais, sendo que

naaa ,...,, 21 são chamados coeficientes, é o termo

independente e nxxx ,...,, 21 são as incógnitas da equação.

A equação 342 =+−+ wzyx é linear, onde:

- 1, 2, - 4 e 1 são os coeficientes;

- x, y, z e w são as incógnitas;

- 3 é o termo independente.

OBS.: Note que uma condição necessária para que

uma equação seja linear é que possua todos os seus termos

do 1o. grau:

- 1253 =−+• zyx é linear;

- 0122 =+−• xx não é linear, e sim do 2o. grau.

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

Consideremos a equação 342 =+−+ wzyx A

4-upla ( )0,1,2,3=u é a solução da equação, pois

ou seja 33 =Entretanto, a 4-upla não é a solução da

equação pois ou seja , que

não é uma sentença verdadeira.

Podemos então definir a solução de uma equação linear

como sendo toda ênupla (n-

upla) (seqüência de n elementos) de números

, de forma que a sentença

seja verdadeira.

Quando uma equação linear possui termo independente

igual a zero, ela é chamada de Equação Linear Homogênea.

Exemplo:

é homogênea

não é homogênea

1



Matem

átic

a

2. SISTEMAS LINEARES

Todo sistema de equações formado apenas por

equações l ineares é dito Sistema de Equações

Lineares. Logo:

De modo geral, temos que um sistema linear de m

equações com n incógnitas é representado por:

onde:

· aij são os coeficientes;

É um sistema linear de

três Equações com três

incógnitas

É um sistema linear de

duas equações e três

incógnitas

· xj são as incógnitas;

· bi são os termos independentes.

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES

LINEARES

A solução de um sistema linear é toda solução que

seja comum a todas as equações lineares envolvidas no

sistema.

Exemplo:

é a solução do sistema proposto.

PLANEJANDO A PRODUÇÃO:

Uma indústria química produz dois tipos diferentes de produtos: A e B. Cada um deles é processado em duas

máquinas, X e Y. Neste processo, cada uma das máquinas é utilizada durante os seguintes períodos de tempo:

1. Uma tonelada de A requer 2 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y.

2. Uma tonelada de B requer 3 horas da máquina X e 2 horas da máquina Y.

A máquina está disponível 80 horas por semana, enquanto a máquina Y está disponível 60 horas por semana.

Como a administração da fábrica não quer manter as dispendiosas máquinas X e Y paradas, é preciso determinar

quantas toneladas de cada produto devem ser produzidas para que as máquinas sejam utilizadas de maneira ótima.

Supõe-se que a fábrica seja capaz de vender tanto quanto produza.

Para resolvermos este problema, sejam, respectivamente, a e b o número de toneladas de A e B a ser produzido.

O número de horas de utilização da máquina X, que deve ser igual a 80 horas, é dado por:

Da mesma forma, como a máquina Y será utilizada por 60 horas, temos:

Do ponto de vista matemático, nosso problema consiste em calcular valores não negativos de a e b

tais que:

Um dos métodos que já conhecemos para resolver este sistema linear é o Método da substituição, que consiste

em escolhermos uma das variáveis presentes no sistema de equações, isolá-la e então substituí-la nas demais equações.

Verifique a solução do sistema obtido acima:

2



Matem

átic

a

A =

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

..............................................

...

...

2211

22222121

11212111

podemos associar a ele uma matriz, chamada de matriz

completa de A:

mmnmm

n

n

b

...

b

b

a...aa

............

a...aa

a...aa

2

1

21

22221

11211

onde colocamos em cada linha, ordena-damente, os

coeficientes e o termo independente de todas as equações

lineares de A.

A:

também denominada de matriz incompleta ou matriz dos

coeficientes de A.


Efetue a construção da matriz completa e dos coeficientes

do sistema abaixo:

3. RESOLUÇÃO DE SISTEMA

(REGRA DE CRAMER)

Podemos escrever o sistema linear

A =

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

..............................................

...

...

2211

22222121

11212111

em sua forma matricial, utilizando-nos para isto da

matriz dos coeficientes

Ou seja, semanalmente, utilizando as máquinas X e Y, poderão ser produzidas 10 toneladas do produto A e 20

toneladas do produto B.

Ao considerarmos o sistema linaer:

01

3



Matem

átic

a

mnmm

n

n

a...aa

............

a...aa

a...aa

21

22221

11211

e de duas novas matrizes

colunas, formadas respectivamente pelas incógnitas e pelos

termos independentes:

A =

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

..............................................

...

...

2211

22222121

11212111

mnmm

n

n

a...aa

............

a...aa

a...aa

21

22221

11211

=

nn b

b

b

x

x

x

......2

1

2

1

. , ou de forma reduzida, bxA =. .

A=

nnnn

n

n

a...aa

............

a...aa

a...aa

21

22221

11211

=

nnnn

n

n

a...ab

............

a...ab

a...ab

A

2

2222

1121

1

=

nnnn

n

n

a...a

............

a...ba

a...ba

A

b

1

2221

1111

2

=

21

22221

11211

nnn

n

b... aa

...... ......

b... aa

b... aa

A


Resolva, utilizando-se da Regra de Cramer o sistema

3x3 abaixo:

17)det(

412

021

112

16)det(

242

101

312

15)det(

214

120

311

5)det(

212

121

312

422

02

132

33

22

11

=⇒

−=

=⇒

−=

−=⇒

−−

=

=⇒

−−

=

=++=−+=+−

AA

AA

AA

AAzyx

zyx

zyx

REGRA DE CRAMER

Se bAx = é um sistema de n equações lineares

em n incógnitas tal que 0)det( ≠A , então o sistema tem

uma única solução. Esta solução é dada por:

)det(

)det(,...,

)det(

)det(,

)det(

)det( 22

11 A

Ax

A

Ax

A

Ax n

n ===

onde Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da

jésima coluna de A pelas entradas da matriz dos termos

independentes.

S =

=+++

=+++=+++

nnnnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

..............................................

...

...

2211

22222121

11212111

01

4



Matem

átic

a

0 3 Resolva o sistema:

=++=++

=++

3734

2523

12

zyx

zyx

zyx

0 4 Determine m para que o sistema

=+=+−

=−+

22

03

12

zx

zyx

zymx

seja possível e determinado .

0 1 Resolva o sistema linear abaixo usando a regra de Cramer:

3 4 1)

3 9

x ya

x y

− = + =

0 2 Resolva o sistema linear abaixo utilizando a regra de

Cramer:

2 3

) 6

2 3

x y z

a x y z

x y z

− + = + + = − + =

01 03

02

04

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

Um sistema de equações lineares formado por

equações lineares homogêneas é chamado de Sistema

Linear Homogêneo.

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

HOMOGÊNEO

Se atribuirmos o valor zero (0) a cada incógnita de

um sistema linear homogêneo, sempre obteremos uma

sentença verdadeira, e portanto a n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é

uma solução desse tipo de sistema. Essa solução é chamada

de solução trivial do sistema.

Observe:

Observação: Um sistema linear homogêneo sempre

é possível, pois sempre admite 0 como solução, sendo

que se:

0)det( ≠A ⇒ é SPD.

0)det( =A ⇒ é SPI.


Retorne agora ao problema da dieta proposto na

introdução do capítulo e resolva o sistema de equações

implícito à ele.

Alimentos Porção (g) Proteínas (g) Carboidratos (g) Lipídios (g)

Arroz Cozido (x) 50 1,2 16,2 1,5

Almôndegas com molho (y) 50 7,6 3,6 6,4

Vagem refogada (z) 50 1,5 4,8 0,1

Total necessário almoço 18 30 15

Como desejamos descobrir a quantidade de cada

alimento que deverá ser ingeridos no almoço, obedecendo-

se às quantidades necessárias de proteína, carboidrato e

lipídios, equacionamos da seguinte forma:

40,153)det(

1,04,65,1

8,46,32,16

5,16,72,1

151,04,65,1

308,46,32,16

185,16,72,1

=⇒

=

=++=++

=++

AA

zyx

zyx

zyx

Logo:

64,98)det(

154,65,1

36,32,16

186,72,1

64,314)det(

1,0155,1

8,432,16

5,1182,1

92,184)det(

1,04,615

8,46,33

5,16,718

=⇒

=

=⇒

==⇒

=

CC

BBAA

DD

DDDD

Logo:

21,140,153

92,184 ==x 05,240,153

64,314 ==y 64,040,153

64,98 ==z

Ou seja, a quantidade de cada alimento a ser ingerida

será: 1,21 porções de arroz, 2,05 porções de almôndegas

com molho e 0,64 porções de vagem refogada.

Bom apetite!01

5



Matem

átic

a

0 5 (PUC-SP) Considere o sistema linear

Para que o sistema seja possível devemos ter:

a) k = 4

b) k = 3

c) k = 2

d) k = 1

e) k = 0

0 6 (FUVEST) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu

cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram

uma velha balança com defeito que só indicava

corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se

pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

1. Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;

2. Carlos e Andréia pesam juntos 123 kg;

3. Andréia e Bidu pesam juntos 66 kg.

Podemos afirmar que:

a) Cada um deles pesa menos que 60 kg.

b) Dois deles pesam mais de 60 kg.

c) Andréia é a mais pesada dos três.

d) O peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de

Carlos e de Bidu.

e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.

a) R$ 160,00

b) R$ 150,00

c.) R$ 120,00

d) R$ 100,00

e) R$ 80,00

0 3 (CESGRANRIO) Sabendo que y = 2 é solução do

sistema . O valor de m é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

0 4 (FATEC) O valor de m para que o sistema linear

seja impossível é:

01 (UECE) Seja o sistema linear

Calcule os valores de a para que o sistema seja impossível.

0 2 (FUVEST) Sejam X, Y e Z três artigos distintos que são

vendidos em certa loja. Sabe-se que: X custa tanto quanto

Y e Z juntos; o preço de Y é a diferença entre o dobro do

de X e 50 reais; o preço de Z é a diferença entre o triplo

do de Y e 80 reais. Nessas condições, pela compra dos

três artigos, sendo um único exemplar de cada tipo,

deverão ser desembolsados:

0 6 Resolva a equação matricial

=

− 8

2

2

115

632

741

z

y

x

.

0 7 Resolva o sistema homogêneo abaixo:

2 0

) 3 2 4 0

5 3 0

x y z

a x y y

x y z

− + = + − = + − =

0 5 Para que valor de b o sistema

2 6 2

3 5 2 6

3

x y z

x y z

x y z b

+ − = − − = + − =

apresenta o valor de x = 2

53− é:

(Sugestão: Utilize a Regra de Cramer apenas para a variável

x e iguale seu resultado com o fornecido.)

05

06

07

01

04

05

06

02

03

6



Matem

átic

a

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

01 (UNICAMP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se

que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$16,00.

Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso,

a quan-tidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.

a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.

b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.

7


Análise Combinatória

1

Matem

átic

aAnálise CombinatóriaAnálise CombinatóriaAnálise CombinatóriaAnálise CombinatóriaAnálise Combinatória

A análise combinatória se resume ao desenvolvimento de técnicas para determinar, sem enumeração direta, o

número de resultados possíveis de um certo experimento, ou o número de elementos em certo conjunto.

Os problemas de análise combinatória diferem entre si através de fatores como a ORDEM com que os elementos

se colocam ou a NATUREZA dos elementos envolvidos.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Se algum procedimento pode ser realizado de n1 maneiras diferentes; se, seguindo este, um segundo procedimento

pode ser realizado de n2 maneiras diferentes; se ainda, segundo este segundo, um terceiro pode ser realizado de n

3

maneiras diferentes, e assim por diante; então, o número de maneiras nas quais podemos realizar os procedimentos na

ordem dada é o produto n1, n

2, n

3...

UMA QUESTÃO DE CONTAGEM.

Você nunca se perguntou se existem duas placas de automóveis iguais? A resposta com certeza deve ser

que não existem, já que as placas individualizam os automóveis. Porém você deve ter observado (pois ainda

encontramos automóveis assim) que as placas antigamente eram formadas por duas letras seguidas por quatro

números e que atualmente as placas são compostas por três letras seguidas de quatro números. Essa mudança

foi efetuada para que existisse um número maior de possibilidades de placas de automóveis.

Suponhamos que a placa de um carro antigo contenha duas letras distintas, seguidas por três dígitos, com

o primeiro diferente de zero. Quantas placas poderiam ser impressas?

Solução:

A primeira letra pode ser apresentada de 23 maneiras diferentes, a segunda letra pode ser apresentada

de 22 maneiras diferentes (já que a letra impressa primeiro não pode ser escolhida para a segunda letra), o

primeiro dígito de 9 maneiras e cada um dos outros dois de 10 maneiras.

Ou seja, podem ser impressas 455.400 placas distintas de carro.

NOTAÇÃO FATORIAL

O produto dos inteiros positivos de 1 a n, inclusive,

aparece freqüentemente em matemática e, por isso, é

representado pelo símbolo especial n! (lê-se "n fatorial"):

n! = n. (n - 1).(n - 2).(n - 3). ... .3.2.1

Por definição, temos que 0! = 1! = 1

PERMUTAÇÕES E ARRANJOS

Um grupamento de um conjunto de n objetos, em

dada ordem, é chamado de permutação dos objetos

(tomados todos ao mesmo tempo). Um grupamento de

quaisquer r ≤ n destes objetos, em dada ordem, é chamado

de arranjo de n objetos, tomados r a r.



2

Matem

átic

a

Consideremos o conjunto de letras a, b, c, d. Então:

a) bcda, adcb e acbd são permutações das 4 letras (tomadas

todas ao mesmo tempo).

b) bad, adb, cbd e bca são arranjos das 4 letras, tomadas 3

a 3.

c) ad, cb, da e bd são arranjos das 4 letras, tomadas 2 a 2.

O número de permutações de n objetos será

representado por Pn, enquanto que o número de arranjos

de n objetos, tomados p a p elementos será representado

por pnp

n AouA ,

Podemos calcular o arranjo de n elementos tomados p a p

através da seguinte fórmula:

)!(

!

pn

nAp

n −=

Logo, podemos então deduzir que o número de

permutações de n elementos podem ser calculados como

arranjos de n elementos tomados n a n, portanto:

!!!0

!

)!(

!

)!(

!nPn

n

nn

nAP

pn

nA n

nnn

pn =⇒==

−==⇒

−=

0 1 Calcule o número de anagramas que podemos formar

com as letras da palavra SENTADO.

Solução:

0 2 Quantos números de 3 algarismos podemos formar

com os números do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}:

Solução:

COMBINAÇÕES

Suponha que temos uma coleção de n objetos. Uma

combinação destes n objetos tomados p a p, é qualquer

subconjunto de p elementos. Em outras palavras, uma

combinação é qualquer seleção de p dos n objetos, sem

considerar sua ordem.

Representamos uma combinação de n objetos

tomados p a p pela seguinte notação:

O número de combinações de n elementos tomados

p a p pode ser calculado por:

De um grupo de 8 pessoas, quantas comissões podem

ser formadas com 3 delas?

Cada comissão é essencialmente uma combinação das

8 pessoas, tomadas 3 a 3. Assim, podem ser formadas:

2105.6.7!4

!4.5.6.7

)!37(

!7

:portanto arranjo,

de problema um configura que o ,importante é

algarismos os Dispomos que com ordem a Logo,

312 e 231 132, 321, 213, 123,

:distintos números seguintes osformar podemos

3,e 2 1, algarismosos tomarmosse queObserve

3

7===

-=A

possíveis anagramas5040

1.2.3.4.5.6.7!7

: temosdistintas, letras 7 possuí

SENTADO palavra a Como

7 ===P

)!(!

!

pnp

nC p

n

-=

56!5.1.2.3

!5.6.7.8

)!38(!3

!838 ==

-=C

01

02

03

Como a palavra SENTADO

possui 7 letras distintas, temos:

P7= 7.6.5.4.3.2.1 =

5040 anagramas possíveis



3

Matem

átic

a

Simplifique:

a)

b)

0 2 Se não são permitidas repetições, quantos números de

3 dígitos podem ser formados com os algarismos 2, 3,

5, 6, 7 e 9? Quantos destes números são menores que

400? Quantos são pares? Quantos são múltiplos de 5?

0 3 De quantas maneiras um grupo de 7 pessoas pode se

dispor em uma fila com 7 cadeiras? E ao redor de uma

mesa circular?

0 4 De quantas maneiras uma comissão formada de 3

homens e 2 mulheres pode ser escolhida dentre 7

homens e 5 mulheres?

0 5 Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos

formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que

contenham 2 letras a, b e c?

=+

!

!2

n

n

n

n=

- )!1(

!

01 a) 1692 b) 1572 c) 1520

d) 1512 e) 1392

0 6 Doze professores, sendo 4 de matemática, 4 de geografia

e 4 de inglês, participam de uma reunião com o objetivo

de formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo

3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se

compor essa comissão é:

a) 36 b) 108 c) 12

d) 48 e) 64

0 7 Nove pessoas desejam subir à cobertura de um edifício,

dispondo, para isso, de dois elevadores, um com 4

lugares e outro com 5 lugares. O número de formas de

distribuí-las nos elevadores é:

a) 630 b) 252 c) 180

d) 378 e) 126

0 1 (UFPB) Numa empresa existem 10 diretores dos quais

6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem

as suspeitas, será formada uma comissão especial com

5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O

número de possíveis comissões é:

a) 66 b) 72 c) 90

d) 120 e) 124

0 2 (UFMT) Seis refrigerantes devem ser distribuídos entre

2 pessoas, de modo que cada pessoa receba 3

refrigerantes. O número de formas de se fazer isso é:

a) 12 b) 18 c) 24

d) 15 e) 20

0 3 (ITA-SP) No saguão de um teatro, há um lustre com 10

lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como

medida de economia de energia elétrica, o gerente desse

teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas,

simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a

necessidade. Nessas condições, de quantos modos

distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre?

a) 664 b) 792 c) 852

d) 912 e) 1044

0 4 (UNICAMP-SP) De quantas maneiras 3 rapazes e 2

moças podem sentar-se em uma fila?

De quantas maneiras eles podem se sentar em uma fila

se os rapazes devem ficar juntos e as meninas também?

De quantas maneiras eles podem se sentar em uma fila,

se somente as meninas devem sentar juntas?

0 5 (UF São Carlos - SP) Considere os números de 2 a 6

algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2,

4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e

começam com um dígito par?

a) 375 b) 465 c) 545

d) 585 e) 625

0 6 (UNEMAT - MT) Uma senha de uma rede de

computadores é formada por 5 letras escolhidas entre

as 26 do alfabeto (a ordem é levada em consideração).

a. Quantas senhas existem com todas as letras distintas, e

que comecem pela letra S?

02

03

04

05

06

07

01

02

03

04

05

06



4

Matem

átic

a

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

b. Quantas senhas são possíveis, de modo que haja pelo

menos letras iguais?

Observação: o resultado pode ser deixado indicado,

não sendo necessário fazer as contas.

0 7 (PUC - RS) Quantos números de seis algarismos distintos

podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos

quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes?

a) 144 b) 180 c) 240

d) 288 e) 360

0 8 (UFPR) Um homem tem oportunidade de jogar no

máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada ele ganha ou

perde um dólar. Começa com um dólar e parará de jogar

antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou de

ganhar três dólares, isto é, se tiver 4 dólares.

Ache o número de maneira nas quais o jogo pode se

desenrolar.

07

08

0 9 (FUVEST - SP) De quantas maneiras um professor pode

eleger um ou mais estudantes dentre um grupo de seis

elegíveis?

Resolução:

1 0 (UNICAMP - SP) Quantos sinais luminosos podem ser

formados com um display de 10 lâmpadas idênticas,

sabendo que os sinais devem possuir pelo menos 6

lâmpadas acesas?

Resolução

01 (IME - RJ) Seja ∑= −

=20

0

.)!20!.(

!20)(

n

nxnn

xf uma função real de variável real em que n! Indica o fatorial de

n. Considere as afirmações:

i. f(1) = 2

ii. f(- 1) = 0

iii. f(- 2) = 1

Podemos concluir que:

a) Somente as afirmações I e II são verdadeiras.

b) Somente as afirmações II e III são verdadeiras.

c) Apenas a afirmação I é verdadeira.

d) Apenas a afirmação II é verdadeira;

e) Apenas a afirmação III é verdadeira.

10

09


Gabarito

1

Matemática

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Questões de Vestibulares

01- a

02- c

03- 03

04- a

05- a

06- b

07- d

Desafio

Letra c

LOGARITMOS

Exercícios de Aplicação

01-

02-

( )5

2522232

4

1320,2532log

221

82

1

8log

52

0,25

2

-=⇒=-⇒=⇒

=

⇒=⇒=

-3=⇒=⇒=⇒=

-

-3

yy

y

xx

y

y

y

xx

2555

10

2252,025log

2

332

1010001,001,0001,0log

4

114333813log

22

2,0

3201,0

481

=⇒=⇒

=

⇒=⇒=

=⇒-=-⇒

=⇒=⇒=

=⇒=⇒=⇒=⇒=

-

--

z

z

yy

y

xxx

z

zz

yy

xx

03 -

( ) ( )

2

7

2

91

4

1

2

9

4

3

:4

1

6

1

3

210

101,01001,0log

2

9

2

3

32

285,08log

4

3

2

1

3

23

327

19

27

1log)

2

322

2

3

:

25

4

5

4

25

16

4

5

100

64

4

564,025,164,0log

22

3

2

3

9

45,1

9

4log

2

33210

10001,0100001,0log)

6

1

3

2

636100

2

3

335,0

2

1

3

23

9

2

25,1

2

5,1

3

2100

3

3

3

=+−=

−+

−−−=

−=⇒−=⇒

=⇒=⇒=

−=⇒=−⇒

=⇒=⇒=

−=⇒−=⇒

=

⇒=⇒=

−=−−−+−=

−=⇒

=

⇒=

⇒

=

⇒=⇒=

−=⇒

=

⇒=⇒=

−=⇒−=⇒

=⇒=⇒=

−

−

−

−

−

−

S

então

zz

z

yy

y

xx

xb

S

então

z

z

y

y

xx

xa

zz

yy

xx

zz

zz

yy

xx

04-

05-

cba

acba

acbaac

ba

333

3333

3 23

333 2

3

3

loglog3log3

1

log3

2loglog3log

.log.log.

.log

−+

=−−+

=−=

( ) ( )

423

4

1

2323

23

.log

.log

.log.

4

1

logloglog.4

1log2log3log.

4

1

cb

a

cb

a

cb

a

cbacba

=

=

=−−=−−

af.matematica parte 7 Gabarito.pmd 7/9/2004, 11:36 AM1

Gabarito

2

Matemática

06-

07-

Desafio

556,21954,0602,01477,0.2301,0.3

13log22log319log8log

19.8log10log72log10.72log720log

699,0301,012log10log2

10log5log

778,0301,0477,02log3log2.3log6log

=++=++=

=++=++

=+=+==

=−=−==

=+=+==

301,02log10log

2log

10log

9log

9log

8log

8log

7log

7log

6log

6log

5log

5log

4log

4log

3log

3log

2log

9log.8log.7log.6log.5log.4log.3log.2log 109876543

==

=


01- a

02- c

03- b

04- d

05- 04

06- 90

07- e

08- b

( ) ( )

)( )

( )( )

)( )

( )( )

( ) ( ) 1log.log.

loglog1

log.

log

loglog

log

log

log

loglog

loglog1

log.

log

loglog

log

log

log

loglog

.

logloglog

log

loglog

log

log

==

===

===

bab

ba

a

b

a

b

a

b

b

ab

b

a

b

a

b

a

a

b

abba

ab

b

b

ab

b

b

b

ab

ba

a

a

ba

a

a

a

ba

b

b

a

a

abb

a

aa

b

b

(

(

:

log

loglog

log

loglog

:

log

log

=

=

axy

temos

b

e

a

Como

axy

a

aa

b

bb

a

b


Gabarito

3

Matemática

MATRIZES


01 -

02 -

03 -

04 - Matriz A Matriz B Matriz A.B

2 x 3 3 x 4 2 x 4

5 x 2 2 x 2 5 x 2

3 x 3 3 x 1 3 x 1

2 x 4 3 x 4 Não existe

5 x 3 3 x 5 5 x 5

3 x 5 5 x 3 3 x 3

1 x 3 3 x 4 1 x 4

3 x 2 2 x 5 3 x 5

05 -

06 - a)

b) A matriz A é inversível e sua inversa é igual a sua

transposta.

07 - Alternativa correta: C, pois pela condição de existência

do produto de matrizes temos que existe AB e BA se, e

somente se, n = 4 e m = 3.

possível é não,103

11,possível é não

46

03,

67

51,

21

54

1

2

30

11

85

20,

22

31,

41

23

=−

−−=−=+

−=−

=+

=+

−=

=

−=

−=

CDCBDA

ACCBBA

DeCBA

−=

−−−

+

=+152

640

420

232

211

401

120

431

021tBA

−

−=

−−

−+

=−+2

10

14

2

2

5

3

1

2

1

2

2

0

3

32 CBA

24)2.14.33.2()2.10.31.2(

2

4

3

2

0

1

.711

132=+++++=⇒

−S

100

010

001

100000000

00002

1

2

10

2

1

2

1

00002

1

2

10

2

1

2

1

100

02

1

2

1

02

1

2

1

.

100

02

1

2

1

02

1

2

1

.AA t

=

++=+=+

=+++++−

=+++−++

=

−

−=


01 -

02 -

03 -

04 -

05 -

⇒

732.2

622.2

512.2

531.2

421.2

311.2

23

22

21

13

12

11

=+==+==+==+==+==+=

a

a

a

a

a

a

A=

765

543

00.0.6.4.2

0

0

633

422

211

31

13

33

22

11

==⇒

==

=+==+=

=+=

P

a

a

a

a

a

43.2.02.2.1

35

25

03

25

23

1

=+=+

=⇒=+=⇒=++

=⇒=+

=⇒=++=⇒=+

=

defabc

efe

ffed

ded

ccba

bba

a

( )( ) ( )( ) 3012.021.

0

2

2

0

1

1

33

2

22

0

1

11

3

22

011

320

21

1

:logo , então simétrica,-anti é

765

21

1

Se

=++++−=++++⇒

=====

−=

⇒

−==

+−=−==

−−=+

⇒

−−+

−=

−−+

⇒−=

−=

−−+

=

cbazyx

z

a

y

c

b

x

zz

a

yy

c

b

xx

zac

yb

x

z

ay

cbx

MM

MM

z

ay

cbx

M

t

t

24011

4).1(2.01.12

1.2

2).43(2).33(2).23(2).13(

,

....

:sejaou B, matriz da coluna 2 pelaA matriz da

linha terceirada produto o calculemos que basta ,c elemento o queremos Como

32

32

2423222132

423432332232123132

32

−=−++=

−+++=

−+−+−+−=

+++=

−−−−

c

c

c

Logo

babababac


Gabarito

4

Matemática

DETERMINANTES

Exercícios de aplicação

01 - a)

b)

02 -

03 - Aplicando a Regra de Chió para reduzirmos a ordem do

determinante, temos:

Resolvendo pela Regra de Sarrus

( ) ( )

( )

2

2:

1 11

1 1

1. 1 1 1

2 1 0

2 2 4.1.1

2.12 0

12

Solução

x

x

x x

x x

x

x x

−=

− −

− − + =

− + =

± − −=

±= ⇒ =

105 1 5 4

21

xx x

+= ⇒ + = ⇒ =

( )2 5 1

5 3 4 12 20 0 3 0 50 32 47 15

1 0 2

−= + + − − + + = − =

11 11

1 2 3 4 2

0 1 0 0 0

1. 1.0 4 0 2 1

0 5 5 1 4

0 1 0 1 2

0 0 5 0 0 20

a a

( )

−

= = = =−

−−−

−

= + − − + + =−

1 0 0 00 2 1

4 0 2 15 1 4

5 5 1 40 1 2

1 0 1 2

0 2 1

5 1 4

0 1 2

25−

06 -

07 -

2

2

1 0 1. 0. 1. 0..

0 1 0. 1. 0. 1.

1 0 .1 .0 .0 .1. .

0 1 .1 .0 .0 .1

a b a b b d a bID

c d a c b d c d

a b a b a b a bDI

c d c d c d c d

O que demonstra o que foi solicitado

+ + = = = + +

+ + = = = + +

[ ] [ ]

[ ]2

2 2

17

3

3 2. 2 17

9 4 17

13 17 4 4 2

a.b

x

x

x

x x x x

=

− − =

+ + =

+ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ±

( ) ( )

( )2

1det2

102

316

012

:det

1det1.det.

?

102

316

012

1

113

1

−=⇒−=−

=⇒=⇒=

=−

−

−−−

A

LogoA

AAAIAA

04 -

05 -

06 -

Resposta: Letra D

07 -

( )

3333

3

2121220

20

11

12

10

det

: temos,1 Tornando

0

111

112

101

det0

100

010

001

111

112

101

det0)det(

100

010

001

111

112

101

+=⇒−=−⇒−=⇒−=⇒

=−−+⇒=

−

=⇒

⇒=

−−−

−⇒

=

−

−⇒=−

=

−=

xxyy

yyy

y

y

y

y - x

x

x

x

xxIA

IeA

( ) ( ) 8det2det

det.2det.det

det.2det.det2detdet

3

3

3

=⇒=⇒

⇒=⇒

=⇒=

AA

BBA

BBABAB tt

( )

( )

11

1 2, :

2 3 5 5 1 3 5 5

4 0 8 2 2 0 8 22.

6 7 3 2 3 7 3 2

2 5 4 3 1 5 4 3

Re ,

2 3 5 5 1 3 5 56 2 12

4 0 8 2 2 0 8 22. 2. 1 . 2 12 17

6 7 3 2 3 7 3 28 9 8

2 5 4 3 1 5 4 3

2. 576 272 216 1152 918 32 2.1038 2076

Dividindo a coluna por teremos

aplicando a gra de Chió

+

− −

=

− − − −

− −− −

= = − − − =−

− − − −

= − − − + + + = =


Gabarito

5

Matemática

04 -

logo, para qualquer valor de a e b a soma será nula.

05 -

ou seja, n = 0 e portanto 70 = 1.

06 -

07 -


01 - Para que um determinante contendo 6 "zeros" e 3 "cincos"

seja diferente de "zero" é suficiente que possua uma da

suas diagonais formadas pelos números "cinco". Como

um determinante de ordem 3 possuí 6 diagonais

possíveis, esta será nossa resposta.

02 -

03 -

( )

0 aSeja a matriz singular A= e a matriz genérica B=

0 b

0 a . .. .

0 b . .

det . det .det , :

0 a . .det . det

0 b . .

c d

e f

temosque

c d a e a fAB

e f b e b f

como A B A B temos

c d a e a f

e f b e b f

= =

=

=

( )

0 a . .det .det det

0 b . .

,det ( ) 0,

det 0 . det . 0, . .

c d a e a f

e f b e b f

mas A então

a.e a.fO produto A B tem A B ou seja A B é SINGULAR

b.e b.f

=

=

= ⇒ =

( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 . .

a a a

a b b abc a b a b a b ab a c

abc a b ab a c a a b b ca b c

= + + − − − =

+ − − = − −

0 00 0 0 0

2 2

a b a b

b a b a b a

− −+ = ⇒ = ⇒ =

1 0 0 1 20 1 2

. 1 1 . 3 5 73 4 5

1 1 3 5 7

log

0 1 2

det( .) 3 5 7 0 21 30 30 0 21 0

3 5 7

AB

o

AB

= − − = − − −

= − − − = − − + + + =

( )

0 1 1 0 1 2 0 1 1 2 2 3. .

1 0 2 1 0 1 1 0 2 5 2 5

det . 10 9 1

A B C

A B C

+ = + = + =

+ = − =

14 32 42

1 2 0 2352 0 42 2352 2688 0 42 2688

28 84

:

268842 2688 0 64

42

a a

a

para anular devemos fazer

a a a

− = + − − + + = − +

− + = ⇒ = ⇒ =

Desafio

00

10

00

)det(

7..

0)det(

100

010

001

00

10

00 321321

−−

−=−

=++=

=−

=

=

c

b

a

IM

aea

IM

Ie

c

b

a

M

λλ

λλ

λλλλλλ

λ

( )( )( )

( )

( )

( )8

211641

8

1

,8

12

3

2

0677

01

....

:

0..,

42222222

2

22

322

23

2

1

=++=++=++

=⇒=

−=

=⇒=−+∴=++∴=++

≠=∴=∴=

==

===

⇒=−−−

qaqaacba

Logo

aq

convémnãoq

ou

q

qqaaqaqaacba

e

aq

aaaqaqaacba

enunciadoDo

aqc

aqb

a

cbaLogo

λ

λλ

λλλ


Gabarito

6

Matemática

ANÁLISE COMBINATÓRIA


01- a) n

b) n2 + 3n + 2

02-

I. 120

II. 40

III. 20

03-

I. 5040

II. 720

04- 350

05- d

06- e

07- e


01- a

02- e

03- b

04-

I. 5!

II. 24

III. 48

05- d

06- a) 25.24.23.22

b) 265-26.24.23.22

07- a

08- 4

09- 63

10- 1010

910

810

710

610 CCCCCT ++++=

Desafio

Letra b

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Exercícios de aplicação

1- x=3 y=2

2- x=9 y=12 z=9

5 5 5

3- sistema com infinitas soluções.

4- m = 5

6

5- b= 52

53

6- x=1 y=2 z=-1

7- x=y=z=0

Questões de vestibular

1- -1

2- e

3- b

4- m=2

5- a

6- e

Desafio

a) x+y+z=0,5

5x+20y+16z=5,75

x-3y+z=0

b) x=amendoim=250g

y=castanha de caju=125g

z=castanha do pará=125g

{


Linhas Trigonométricas

1

Matem

átic

aLinhas Trigonométricas

A palavra trigonometria tem origem na Grécia da palavra trigonos (triângulo) + metrûm (medida). Etimologicamente,

significa medida de triângulos.

Foi a necessidade de relacionar distâncias com ângulos que levou astrônomos e topográfos de diversos povos,

como babilônios, gregos, árabes e hindus, a criarem a trigonometria.

Os primeiros topógrafos foram provavelmente os egípcios. As constantes inundações provocadas pelas cheias do

rio Nilo obrigaram esse povo a demarcar freqüentemente as suas terras.

Por vezes, pensa-se que a origem da Trigonometria está exclusivamente ligada à resolução de situações de medição

de terrenos ou determinação de medidas sobre a superfície da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimento

científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seu desenvolvimento como ciência exata viesse

a exigir medições e cálculos de grande precisão. É neste contexto que o astrônomo grego Hiparco de Niceia (180-125

a.C.) é considerado o fundador da Trigonometria. Foi ele quem introduziu as medidas sexagesimais em Astronomia e

elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparco utilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer

calendários e na navegação.

A Hiparco, seguiram-se outros no estudo e desenvolvimento da trigonometria, como por exemplo Ptolomeu.

No séc.lII, os indianos e os árabes deram nova dimensão à trigonometria ao introduzirem a trigonometria esférica.

ARCOS E ÂNGULOS

ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

É cada uma das partes em que uma circunferência é

dividida por dois de seus pontos.

ÂNGULO CENTRALLigando os pontos A e B ao centro da circunferência

determina-se um ângulo AÔB (central), cuja medida é a

mesma do arco (AB).

GRAUÉ um arco unitário equivalente a 1/360 da

circunferência.

Dividindo-se a circunferência em 360 partes iguais,

cada uma corresponderá a um arco de 1º.

Importante: 1 volta = 360º

RADIANOÉ um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio

da circunferência que o contém.

Dividindo-se o comprimento da circunferência 2πR

pelo raio, determina-se o número de radianos que tem

uma volta.

1 volta =2πR 1 volta = 2π radianos

R

01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:071


2

Matem

átic

a

GRAUS:

1º Q

0<α<90º

2º Q

90º<α<180º

3º Q

180º<α<270º

4º Q

270º<α<360º

RADIANOS:

1º Q

0<α<π/2

2º Q

π/2<α<π

3º Q

π<α<3π/2

4º Q

3π/2<α<2π

AS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS

As linhas trigonométricas são, na verdade, os números

seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e

cossecante.

As funções trigonométricas só serão definidas após

o aprendizado das linhas trigonométricas.

SENO

Considerando um arco AM, a ordenada do ponto M

é o seno do arco AM.

sen AM = OM1

CONVERSÃO DE UNIDADES

Graus ↔ Radianos

360º = 2π rad

Exemplo:

Passe para graus 3π rad/2.

Solução:

360º – 2π rad

x –3

2

π rad

Regra de 3 simples.

360.3

2

π= x.2π

x=180 x 3

2x=270º

Assim 3

2

π rad = 270º

CIRCUNFERÊNCIA ORIENTADA

É uma circunferência cujo centro coincide com a

origem do sistema de coordenadas cartesianas com as

seguintes condições:

1) raio unitário (R=1);

2) um sentido positivo de percurso (anti-horário)

QUADRANTES

Os eixos x e y dividem a circunferência em quatro

partes iguais chamadas de quadrante.

01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:072


3

Matem

átic

a

VALORES NAS

EXTREMIDADES NOTÁVEIS

sen 0º=0

sen 90º=1

sen 180º=0

sen 270º=-1

sen 360º=0

Logo, concluímos que:

-1 ≤ sen x ≤ 1

COSSENO

Considerando um arco AM, a abscissa do ponto M é

o cosseno do arco AM.

cos AM = OM2

VALORES NAS

EXTREMIDADES NOTÁVEIS

cos 0º =1

cos 90º =0

cos 180º =-1

cos 270º =0

cos 360º =1

Assim temos que:

-1 ≤ cos x ≤ 1

TANGENTE

O eixo das tangentes é uma reta perpendicular à

circunferência trigonométrica no ponto A.

t: eixo das tangentes

DEFINIÇÃO

Seja AM um arco qualquer. Prolongando-se o raio

OM até que encontre o eixo das tangentes obtém-se um

ponto T.

Define-se como tangente do arco AM a medida

algébrica do segmento AT.

tg AM =AT

VALORES

tg 0º=0

tg 90º→

tg 180º =0

tg 270º →

tg 360º =0

Nas extremidades B e B' não existe tangente.

A

B’

01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:073


4

Matem

átic

a

COTANGENTE

O eixo das cotangentes é perpendicular à

circunferência trigonométrica no ponto B.

DEFINIÇÃO

Seja AM um arco qualquer. Prolongando-se o raio

OM até encontrar o eixo das cotangentes obtém-se um

ponto C.

Define-se como cotangente do arco AM a medida

algébrica do segmento BC .

cotg AM = BC

VALOREScotg 0º→ cotg 90º=0º

cotg 180º→ cotg 270º=0º

cotg 360º→

Nas extremidades A e A’ não existe cotangente.

SECANTE

O eixo das secantes é o mesmo eixo dos cossenos.

DEFINIÇÃO

Consideremos um arco qualquer AM. Pelo ponto

M, traçando-se uma tangente na circunferência, obtém-se

um ponto S, intersecção com o eixo dos cossenos.

A medida algébrica do segmento OS é a secante do

arco AM.

sec AM = OS

COSSECANTE

O eixo das cossecantes é o mesmo eixo dos senos.

DEFINIÇÃO

Consideremos um arco qualquer AM. Pelo ponto

M, traçando-se uma tangente na circunferência,

obtém-se um ponto C, intersecção com o eixo das

cossecantes.

A medida algébrica do segmento OC é a cossecante

do arco AM.

cossec AM = OC

01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:074


5

Matem

átic

a

0 1 Passe para radianos 135º.

Solução: 360 2πrad

135º x

360.x = 2πx135

x= 270

360

π

x= 3

4rad

π

Assim 135º= 3

4rad

π

O NÚMERO πππππ

Há mais de quatro mil anos, já era conhecido o fato de que o quociente entre o perímetro de uma circunferência

e o seu diâmetro é sempre o mesmo número, qualquer que seja a circunferência. Mas que número é este?

Os egípcios (2000 a.C.) usavam o valor 256/81, aproximadamente 3,16.

Os babilônios, quase na mesma época, usavam 25/8, aproximadamente 3,12.

O grego Arquimedes, século III a.C., obteve o valor 22/7, aproximadamente 3,14. Ele chegou a esse

resultado utlizando perímetros de polígonos regulares inscritos e circunscritos de 96 lados.

O grego Ptolomeu, 170 d.C., obteve o valor 377/120, aproximadamente 3,1416, utilizando polígonos de

720 lados.

O chinês Tsu Chiung-Chih, século V, obteve um valor entre 3,1415926 e 3,1415927. Até o século XV, essa

foi a melhor aproximação obtida.

No século XV, o árabe Al-Kashi obteve uma aproximação com 16 casas decimais.

No século XVII, o alemão Ludolph Van Ceuten obteve uma aproximação com 35 casas decimais.

No início do século XVIII (1706), William Jones indica essa constante com a letra grega π, inicial da palavra

grega periferia (π∈ρ∈ϕ∈ρ∈ια).

Em 1737, Leonard Euler consagra o uso da letra π, adotando-a em todos os seus livros.

Em 1761, Johann H. Lambert faz a primeira prova de que π tem infinitas casas decimais, não formando

período, isto é, π é irracional.

Finalmente, em 1854, π foi obtido com 500 casas decimais.

Daí em diante, π foi obtido com um número cada vez maior de casas decimais:

• 707 casas, em 1873;

• 808, em 1947;

• 100 000, em 1961;

• 1 000 000, em 1973;

• 10 000 000, em 1984;

• 200 000 000, em 1988;

• 1 000 000 000, em 1989.

0 2 O valor de N=40.sen90º+36 cos 0º

-19sen 270º é igual a:

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 6

Solução:

sen 90º=1, cos 0º=1, sen 270º=-1

Substituindo em N

01

N=4

N=76

19

02

N = 40 x 1 + 36 x 1

-19 x (-1)

01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:075


6

Matem

átic

a

0 1 O arco de 60º, em radianos, equivale a:

a) π b) 2π c) π/3

d) π/4 e) π/6

0 2 O arco de 4

3

π radianos em graus equivale a:

a) 30º b) 60º c) 90º

d) 240º e) 300º

0 3 O valor de N=16 sen90º+4 cos 0º

-5 sen 180º é igual a:

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

0 4 Sabendo que sen x=n-3, com n real, podemos dizer

que:

a) n ≤ 7

b) n ≤ 16

c) 4 ≤ n ≤ 2

d) -3 ≤ n ≤ 0

e) 2 ≤ n ≤ 4

0 5 Sendo que cos x=-n+3, com n real, então é verdade

que:

a) 2 ≤ n ≤ 4

b) -3 ≤ n ≤ -2

c) -4 ≤ n ≤ -2

d) n ≤ 5

e) n ≤ 1

0 6 O maior valor de N = 2-sen x é igual a:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

0 7 O menor valor de N=-10-2cos x é igual a:

a) -8

b) -12

c) -10

d) -7

e) 4

0 1 (FUVEST-SP) O menor valor 1

3-cosx, com x real, é:

a) 1/6

b) 1/4

c) 1/2

d) 1

e) 3

0 2 (UFRS) Sendo x um número real, o menor e o maior

valor possíveis da expressão 42

5-2sen(10x) são,

respectivamente:

a) 6 e 14

b) -21 e 42/5

c) -14/5 e 42/25

d) -42 e 42

e) -14 e -6

0 3 (F.E.E.Q-CE) É dada a expressão cosx=3m-6. Os

números reais n, de modo que existam arcos x

satisfazendo esta igualdade, são tais que:

a) 5/3 ≤ n ≤ 7/3

b) 1/3 ≤ n ≤ 10/3

c) -1/3 ≤ n ≤ 5/3

d) -7/3 ≤ n ≤ 5/3

e) -1 ≤ n ≤ 1

0 4 (UNIVALE-SC) Sendo sen x= e <x<2π π2n-1

6,o

menor valor inteiro de n é:

a) -3

b) -2

c) -1

d) 0

e) 1

0 3 Sabendo que sen x=n-2, com n real, podemos afirmar

que:

a) 4 ≤ n ≤ 5 b) 1 ≤ n ≤ 3 c) 7 ≤ n ≤ 9

d) n ≤ -2 e) n ≥ 7

Solução: -1≤ sen x ≤ 1

-1≤ n-2 ≤ 1

Isolando n, temos:

-1+2 ≤ n ≤ 1+2

1≤ n ≤ 3

03

01

02

03

04

05

06

07

01

02

03

04

01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:076


7

Matem

átic

a

(UNB-DF) Quanto mede em radianos um arco de 2º 15’ ?

Sugestão: transforme 15’ em graus.

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

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...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

0 5 (FEI-SP) Sabendo que sen x = 2n-3, com n real,

podemos dizer que:

a) -1 ≤ n ≤ 1

b) -1/2 ≤ n ≤ 1/2

c) 1 ≤ n ≤ 2

d) -3 ≤ n ≤ 3

e) -2/3 ≤ n ≤ 2/3

0 6 (UEPG-PR) O quadrante em que a tangente, a cotangente,

a secante e o cosseno são negativos é o:

a) 1º

b) 2º

c) 3º

d) 4º

e) nda

0 7 (PUC-PR) O valor numérico da expressão

y = cos 4x + sen 2x + tg 2x - sec 4x, para x=π/2 rad,

é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

05

06

07

01 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:077

Relações Trigonométricas

Matem

átic

a Relações Trigonométricas

Nesta aula, vamos relacionar as linhas trigonométricas de um mesmo arco, através das relações fundamentais e das

relações derivadas.

RELAÇÃO ENTRE SENO E

COSSENO

Aplicando Pitágoras, temos:

12 = sen2 x + cos2 x

sen2 x + cos2 x = 1

RELAÇÃO ENTRE TANGENTE

E COTANGENTE

Os triângulos OAT e OBC são semelhantes.

A tangente e a cotangente são linhas inversas.

cotg x

1

1

tg x=

1

tg xcotg x=

tg x

sen x

1

cos x=

sen x

cos xtg x=

cos x

sen xcotg x=

1

tg xcom a cotg x=

com cos x 0≠

com sen x 0≠

CONSEQÜÊNCIAS

Os triângulos OM2 M e OAT são semelhantes:

RELAÇÃO SECANTE E

COSSENO

Os triângulos OM2, M e OMS são semelhantes.

A secante e o cosseno são linhas inversas.

1

cos xsec x=

1

02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:352


Matem

átic

a

RELAÇÃO COSSECANTE-SENO

Os triângulos OM1, M e OMc são semelhantes.

A cossecante e o seno são linhas trigonométricas

inversas.

RELAÇÕES DERIVADAS

Para facilitar a resolução de muitos exercícios,

deduziremos duas relações derivadas das fundamentais.

Resumo:

SINAIS NOS QUADRANTES

1) seno e cossec + + - -

2) cosseno e secante + - - +

3) tg e cotg + - + -

ARCOS NOTÁVEIS

REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE

ARCOS

Seja α um arco do 1º Q

REDUÇÃO: 2º Q → 1º Q

O que falta para 180º

cossec x

1

1

sen x

1

sen x= cossec x =⇒

sen x

cos x

2

2

cos x

cos x

2

2

1

cos x2+ =

sen x + cos x =1 (:cos x 0)2 2 2 ≠

tg x + 1 = sec x2 2

sec2x=1+tg2x

cossec2 x = 1+cotg2x

sen x

sen x

2

2

cos x

sen x

2

2

1

sen x2+ =

sen x + cos x =1 (:sen x 0)2 2 2 ≠

1 + cotg = cossec x2 2

sen x

cos x

1

tg x

cos x

sen x

1

cos x

1

sen x

1) sen x + cos x =12 2

2) tg x =

3) cotg x =

4) cotg x =

5) sec x =

6) cossec x =

7) sec x = 1 + 1 tg x2 2

8) cossec x = 1 + 1 cotg x2 2

π2

0 < < 90º ou 0 < < α α

AM1 + AM

2 = 180°

α = 180 - arco (dado)

M

O

2

02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:353


Matem

átic

a

Exemplo:

120º → 1º Q

180º - 120º = 60º


AM3 - AM

1= 180º

α = arco (dado) -180º

o que passa de 180º

ExempIo:

240º → 1º Q

240º - 180º = 60º

QUAL A ORIGEM DA PALAVRA SENO?

A palavra seno é fruto de um antigo erro de tradução. Para os árabes, o que hoje conhecemos por seno era jiba,

cujo significado é meia corda.

Mas os árabes costumavam escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando que o leitor acrescentasse

as vogais. Assim, por exemplo, o símbolo jb podia ser lido como jiba ou jaib.

Quando os europeus traduziram os trabalhos árabes, por volta de 1150, no lugar de jiba (meia corda) escreveram

jaib, que significa baía ou enseada.

Em latim, enseada é sinus, que originou a palavra seno.Fonte: Matemática e Vida - Autores: Bongiovanni/ Vissoto/ Laureano - Editora Ática


AM1 + AM

4 = 360º

α= 360 - arco (dado)

O que falta para 360º

Exemplo:

330º → 1º Q

360º - 330º = 30º

0 1 Sendo cosx=12/13 (x ∈ 2º Q), calcule sen x:

Resolução:

0 2 Determine m ≠ 0, tal que sec x = m-1 e tgx= m .

sec2 x = 1 + tg2 x

m2 -2m + 1 = I + m

m2 -3m = 0

m1 = 0

m2

= 3

m =3

01 02

sen x + cos x =12 2

sen x + (12/13) =12 2

sen x + 144/169 =12

sen x = 1- 144/1692

sen x = 2

sen x = 2

como x 2º Q, então sen x = 5/13∈

169-144

169

5

13

3

02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:354


Matem

átic

a

0 3 Determine m para que as igualdades cossec x=2 - m e

cotg x= 1-m sejam verdadeiras.

1 - m ≥ 0 ⇒ m ≤ 1

0 1 Sendo sen x= 24/25 (x ∈ 2º Q), a cotg x é:

a) 7/24 b) -7/24 c) 24/7

d) -24/7 e) -2

0 2 Sendo cos x= -12/13 (x ∈ 3º Q), a tg x é:

a) 13/12 b) -12/5 c) -5/12

d) 12/5 e) 5/12

0 3 (FUVEST-SP) Se tg x = 3/4 (x ∈ 3º Q), o valor de cos

x - sen x é:

a) 7/5 b) -7/5 c) -2/5

d) 1/5 e) -1/5

0 4 Para que as igualdades sec x= m-3 e tg x= 2-m sejam

verdadeiras, m deve ser igual a:

a) 2 ou 3

b) 3

c) 2

d) 4 ou 5

e) 1

0 5 O valor de m para que as igualdades tg x = m + 3 e

1

7-mcotg x= sejam verdadeiras é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

0 1 (UFPI) Se sen x=2/3 e x é um arco do 1º

quadrante, então cos x é igual a:

a) 1/3

b) 5/9

c) 5/3

d) 5/3

cossec2 x= 1 + cotg2 x

4 - 4m + m2 = 1 + 1 - m

m2 - 3m + 2 = 0

m1 = 1

m2 = 2

como m ≤ 1, então m = 1

0 6 A expressão y=1+ tg x . cotg x é equivalente a:

a) 2

b) sen x

c) tg x

d) cos2 x

e) cotg2 x

0 7 A expressão y=1-sen x cos x cotg x é equivalente a:

a) tg2 x

b) cos2 x

c) sen2 x

d) sec2 x

e) cossec2 x

0 8 (U.F. UBERLÂNDIA) Sejam x, e ∈ R. Se

-4

3

1

cos x . cossec x2 2+y = - sec x

2

, então o valor

de y é:

a) 7

3

b) -1

3

c) -4

3

d) -7

3

e) -1

3

0 2 (UFES) Sabendo que 2

3 e que x está no 2º

quadrante, então o valor de tg x é:

a) - 6

b) - 2

c) 3

d) 2 3

e) nda.

03

01

02

03

04

05

06

07

08

01 02

4

02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:355


Matem

átic

a

0 3 (UFSC) Se cossec x = 5/4, x que pertence ao 1º

quadrante, então o valor da expressão 25 . sen2 x - 9 .

tg2 x é:

a) 0

b) 1

c) -1

d) 2

e) nda

0 4 (UGF-RJ) Determine a, de forma que se tenha

simultaneamente sen x=1/a e cos x= a+1/a:

0 5 (PUC-RS) Se tg a=1/2 e a ∈ [0, π/2[, então cos a é

igual a:

a) 3/2 b) 6/2 c) 6/3

d) 2 5/5 e) 5/2

(FGV-SP) A expressão sen x - cos x

sen x + cos x

3 3

é igual a:

a) 1

b) sen x+cos x

c) 1-sen x cos x

d) 2

e) 2/sen x

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

03

04

05

0 6 (FEEO-CE) Se 3

2

π , então sen

x vale:

a) 2 2/3 b) -2 2/3 c) 3 2/2

d) - 2/2 e) nda

0 7 (FGV-SP) Sabe-se que sen a= 25/24 .Então, o valor de

1 - cos a

1 + cos a com

3

2

π é:

a) 3/4 b) 4/3 c) 3/5

d) 5/4 e) 1/2

0 8 (UFMS) Dado cos x=4

5 e

π2

, calcular o valor

de sec x - cossec x

1 - cotg x

06

07

08

+

5

02 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:356

Funções Trigonométricas

1

Matem

átic

a

OPERAÇÕES COM ARCOS

sen (a + b) ≠ sen a + sen b

Exemplo:

sen (30º + 60º) ≠ sen 30º + sen 60º

sen 90º = 1

sen 30º + sen 60º =

Então, para se calcular os valores das linhas

trigonométricas dos arcos (a+ b) e (a -b), procede-se da

seguinte forma:

FÓRMULAS DE ADIÇÃO

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a

cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

FÓRMULAS DE SUBTRAÇÃO

sen (a - b) = sen a cos b -sen b cos a

cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b

ARCO METADE

As fórmulas do arco metade relacionam linhas

trigonométricas de um arco x com linhas trigonométricas

de um arco x

2.


Nesta aula, vamos efetuar operações com arcos e estudar as funções trigonométricas.

DADO COS X

Conhecendo-se cos x , ca lcular as l inhas

trigonométricas do arco x

2.

Cos x

2

Sen x

2

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÃO SENO

Seja AM um arco qualquer de circunferência

trigonométrica.

sen AM = OM1

ou

sen x = OM1

tg a + tg b

1 - tg a . tg b

tg a - tg b

1 + tg a . tg b

x

2

1 + cos x

2

x

2

1 - cos x

2

x

2

x

2x

2

x

2

1 - cos x

1 + cos x

1 + √ 3

2 2

tg (a + b) =tg a - tg b

1 - tg a . tg b

03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:431


2

Matem

átic

a

Chama-se função seno à função que associa a cada

número real x (arco) o número OM1=sen x.

GRÁFICO (SENÓIDE)

Valores do seno nas extremidades notáveis

sen 0º = 0 sen 0º = 0

sen 90º = 1 sen π/2 = 1

sen 180º = 0 sen π = 0

sen 270º = -1 sen 3π/2 = -1

sen 360º = 0 sen 2π = 0

Observa-se, no gráfico, que a função repete os seus valores.

sen π/2 = sen 5π/2 = 1 1

sen 0º = sen 2π = 0 2

A função que repete seus valores é chamada de periódica.

Note que no exemplo: 1

π/2+ 2π = 5π/2

Assim, a cada 2π na função repete os seus valores.

O período da função seno é 2π rad ou 360º

IMAGEM

-1 ≤ sen x ≤ 1

DOMÍNIO

É o conjunto dos arcos para as quais existe a função

seno.

D = R

FUNÇÃO COSSENO

cos x = OM2

Chama-se função cosseno a função que associa a

cada número real x (arco) o número OM2 = cos x.

GRÁFICO (COSSENÓIDE)

Valores do cosseno nas extremidades notáveis.

cos 0º = 1 cos 0º = I

cos 90º = 0 cos π/2 = 0

cos 180º = -1 cos π = -1

cos 270º = 0 cos 3π/2= 0

cos 360º = 1 cos 2π = 1

cos π/2 = cos 5π/2 = 0

cos 0º = cos 2π = 1

Período = 2π rad ou 360º

IMAGEM

-1 ≤ cos x ≤ 1

03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:442


3

Matem

átic

a

DOMÍNIO

Conjunto dos arcos para os quais existe cosseno.

D = R

FUNÇÃO TANGENTE

tg x = AT

Observação

Nas extremidades π/2 e 3π/2 não existe

tangente, logo:

x ≠ π/2 + Kπ (K ∈ Z)

Chama-se função tangente à função que associa a

cada número real x (arco) o número AT = tg x.

GRÁFICO (TANGENTÓIDE)

tg 0º= 0 tg 180º = 0

tg 90º→ tg 270º→tg (90º - ε) = ∞ tg (270º - ε) = ∞tg (90º + ε) = -∞ tg (270º + ε) = -∞

tg 0º = tg 180º = 0

Período = π rad ou 180º

IMAGEM

Im = R

DOMÍNIO

É o conjunto dos arcos para o qual existe a função

tangente.

Arco (x) ≠ 90º + 180k

ou

Arco (x) ≠ π/2 + kπ

03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:443


4

Matem

átic

a

ERATÓSTENES E O PERÍMETRO DA TERRA

Eratóstenes determinou o perímetro e o raio da Terra

Como Eratóstenes mediu a terra?

Era astrônomo e mestre em Alexandria. Estudando o trajeto das caravanas de camelos, percebeu que a

cidade de Syena (hoje Assuão) ficava sobre o meridiano de Alexandria, 800Km ao sul (as unidades usadas não eram

as atuais).

De Syena chegavam intrigantes relatos de que o Sol surgia no fundo de um célebre poço, no primeiro dia de

Verão.

Eratóstenes compreendeu que Syena ficava sobre o Trópico de Câncer onde o Sol incide verticalmente no

solstício de Verão.

A idéia genial de Eratóstenes foi medir o ângulo dos raios solares com um alto obelisco de Alexandria, à

mesma hora do mesmo dia em que o Sol "aparecia" no fundo do poço de Syena, aproximadamente 7º.

0 1 Calcule sen 75º.

sen (30º + 45º) = sen 30º cos 45º + sen 45º

cos 30º sen 75º =1

2

2

2

2

2

3

3

sen 75º = 2 + 6

4

0 2 Calcule tg 15º = tg (45º - 30º)

0 3 Se cossec x = 3/2 (x ε1º Q), calcule sen x/2.

x

2

1 - cos x

2

cálculo de cos x

1

cossec x

2

3sen x = sen x =;

Usando sen2 x+cos2 x = 1, temos que

01 03

02 5

3cos x =

x

2

3 - 5

6

x

2

1 -

2

5

3

03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:444


5

Matem

átic

a

0 1 (PUC-SP) Sendo 75º=45º+30º, o valor de sen 75º

é:

a) 3

4

b) 3 + 1

2

c)2

3

d)1

4

e)6 - 2

4

0 2 (UFOP-MG) Assinale a sentença falsa:

a) cotg2x = cossec2x - 1

b) tg x = sen x.sec x; x ≠ kπ + π/2 e k ≠ Z

c) sec2 x = tg2 x+1

d) sen 2x = 2.sen x.cos x

e) cos 2x = sen2 x - cos2 x

0 3 (UNIFOR-CE) Lembrando que cos 75º = cos

(45º+30º), o valor de cos 2985º é igual a:

a)2 - 6

4

b)6+ 2

4

c)6 - 2

4

d)6+ 2

2

e)6 - 2

2

0 1 Calcule sen 15º.

0 2 Calcule cos 15º.

0 3 Calcule cos 75º.

0 4 Calcule tg 75º.

0 5 Sendo sen x=-3/5 (x ∈ 4º Q), calcule cos x/2.

0 6 Sendo tg x=5/12 (x ∈ 3º Q), calcule sen x/2.

0 7 Sendo cossec x=25/24 (x ∈ 2º Q), calcule tg x/2.

0 8 Sendo sen a=5/13 (a ∈ 2º Q), cos b=4/5 (x ∈ 4º Q)

calcule sen (a + b).

0 4 (UFAL) Se cos 2x=1/2 e 3π/2<x<2π, qual é o valor

de sen x?

a) -1 b) -1/2 c) -1/4

d) 1/4 e) 1/2

0 5 (PUC-RJ) Se tg 3x=4, então tg 6x é igual a:

a) 8

b) -8/15

c) 3/4

d) -3/4

e) 5/8

0 6 (UF-PI) Se α é a medida de um arco do 1º quadrante

trigonométrico α2

1

3, então o valor do sen x é:

a)9

22b)

9

24c)

3

2

d) e)9

3

(UF-AL) Se x e y são tais que 0 ≤ x ≤ π/2 e 0 ≤ y ≤ π/2, sen

y=3/5 e cos x=3/4, então cos (x-y) é igual a:

a)9-9 7

20b) c)

d) e)

(UNIFOR-CE) Dado cos 37º= 0,8, conclui-se que cos

74º é:

a) 0,30

b) 0,28

c) 0,26

d) 0,25

e) 0,22

01

02

03

04

05

06

07

08

01

02

03

04

05

06

08

1

3

07

3(4+ )7

4

9+ 7

10

3(4+ )7

10

3(4- )7

20

03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:445


6

Matem

átic

a

(CEFET-PR) No intervalo [0, 6π], a equação trigonométrica cos 2x+2.sen2x+2=0:

a) possui três raízes reais e distintas;

b) possui duas raízes;

c) possui uma infinidade de raízes;

d) não possui raízes;

e) possui uma única raiz.

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03 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:446

Poliedros Convexos

1

Matem

átic

aPoliedros Convexos

Esta aula tem por objetivo relacionar os elementos dos poliedros convexos, através do teorema de Euler.

POLIEDROS CONVEXOS

DEFINIÇÃO E ELEMENTOS

Consideremos n (n ≥ 4) polígonos convexos, tais

que dois deles não estão num mesmo plano, o plano que

contém um polígono separa os outros num mesmo semi-

espaço e cada lado de um polígono é comum a dois

polígonos.

A intersecção dos semi-espaços formados por planos

que contêm cada polígono é a figura chamada poliedro

convexo.

Os vértices do poliedro convexo são os vértices

dos polígonos.

As arestas do poliedro convexo são os lados dos

polígonos.

As faces do poliedro convexo são os polígonos.

TEOREMA DE EULER

Em todo poliedro convexo, a soma do número de

vértices com o número de faces é igual ao número de

arestas aumentado de duas unidades.

V+F=A+2

V é o número de vértices do poliedro.

F é o número de faces do poliedro.

A é o número de arestas do poliedro.

TEOREMA DA SOMA DOS ÂNGULOS

A soma das medidas dos ângulos das faces de um

poliedro convexo é igual a S= 360º .(V - 2), onde V é o

número de vértices.

S=360º.(V-2)

POLIEDROS DE PLATÃO

Poliedro de Platão é todo poliedro convexo

que tem as faces com o mesmo número de arestas, em

cada vértice concorre o mesmo número de arestas e satisfaz

a relação de Euler.

Existem 5 classes de poliedros de Platão. Veja:

O p é o número de arestas que concorre num vértice.

Um poliedro convexo é regular se todas as faces são

polígonos regulares e congruentes e todos os ângulos

poliédricos são congruentes.

Todos os poliedros regulares são poliedros de

Platão.

04 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:491

Poliedros Convexos

2

Matem

átic

a

Observe cada poliedro e sua planificação:

TETRAEDRO REGULAR

4 faces triangulares

4 vértices

6 arestas

HEXAEDRO REGULAR

6 faces quadrangulares

8 vértices

12 arestas

OCTAEDRO REGULAR


6 vértices

12 arestas

DODECAEDRO REGULAR

12 faces pentagonais

20 vértices

30 arestas

ICOSAEDRO REGULAR


12 vértices

30 arestas

LEONHARD EULER

Euler nasceu em Basel, Suíça. Seu pai, um pastor, queria que o fiIho seguisse os passos dele e o enviou para a

Universidade de Basel para prepará-Io para o ministério, mas geometria se tornou logo o assunto favorito dele. Pela

intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento de seu pai para mudar para a matemática. Depois de não

conseguir uma posição de físico em Basel em 1726, ele se uniu a St. Academia de Ciência de Petersburg em 1727.

Quando foram retidos capitais da academia, ele serviu como médico-tenente na marinha russa de 1727 a 1730.

Tornou-se professor de Física na academia em 1730 e professor de Matemática em 1733, quando se casou e deixou

a casa de Bernoulli. A sua reputação cresceu depois da publicação de muitos artigos e de seu livro Mechanica (1736-

37), que apresentou extensivamente pela primeira vez a dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática.

Em 1741, Euler se juntou à Academia de Ciência de Berlim, onde ele permaneceu durante 25 anos. Em 1744

tornou-se o diretor da seção de matemática da academia. Durante sua permanência em Berlim, ele escreveu mais de

200 artigos, três livros em análise matemática e uma popularização científica, Cartas para Princesa de Alemanha (3

vols., 1768-72). Em 1755, foi eleito um membro estrangeiro da Academia de Ciência de Paris; durante sua carreira,

recebeu 12 desses prêmios bienais prestigiosos.

04 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:492

Poliedros Convexos

3

Matem

átic

a

0 1 Qual é o número de vértices do poliedro que tem 12

arestas e 6 faces?

Resolução:

F+V=A+2

6+V=12+2

6+V=14 ⇒ V=8

0 2 O número de arestas de um poliedro é o dobro do

número de faces. Sendo 10 o número de vértices, calcule o

número de arestas.

Resolução:

A=2F ⇒

F + V = A +2

+ 10 = A + 2

F+3=2A+4 A=16

0 1 O número de arestas de um poliedro é igual a 18 e o

número de faces é 8, então, o número de vértices é:

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 12

0 2 O número de arestas de um poliedro é o triplo do

número de faces. Sendo 12 o número de vértices, o

número de arestas é:

a) 15

b) 12

c) 10

d) 8

e) 6

0 3 O perímetro de um icosaedro regular de 4cm de arestas,

em centímetros, é:

a) 80

b) 90

c) 100

d) 120

e) 180

0 3 Qual é o perímetro de um dodecaedro regular de 30cm

de aresta?

Resolução:

O dodecaedro tem 30 arestas

perímetro=soma de todos os lados

2p=30xa=30x30

2p=900cm

0 4 Num poliedro convexo, o número de arestas é igual ao

número de faces mais cinco. Qual é o número de vértices

do poliedro?

0 5 A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro

convexo é de 1800º. Qual é o número de vértices do

poliedro?

0 6 Um poliedro convexo tem 4 faces triangulares. Calcule a

soma das medidas dos ângulos das faces do poliedro.

0 7 Calcule a soma das medidas dos ângulos internos das

faces do poliedro convexo que tem 3 faces

quadrangulares e 2 faces hexagonais.

01

02

03

01

02

03

04

05

06

07

A

2

F=A

2

04 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:493

Poliedros Convexos

4

Matem

átic

a

0 1 (PUC-PR) Quantas arestas tem um poliedro convexo

de faces triangulares em que o número de vértices é 3

5

do número de faces?

a) 60

b) 30

c) 25

d) 20

e) 15

0 2 (CESGRANRIO-RJ) Considere o poliedro regular de

faces triangulares que não possui diagonais. A soma dos

ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:

a) 180

b) 360

c) 540

d) 720

e) 900

0 3 (PUC-SP) O número de vértices de um poliedro

convexo que possui 12 faces triangulares é:

a) 4

b) 12

c) 10

d) 6

e) 8

0 4 (ITA-SP) Se um poliedro convexo possui 20 faces e 12

vértices, então o número de arestas desse poliedro é:

a) 12

b) 18

c) 28

d) 30

e) 32

0 5 (UFPA) Num poliedro convexo, o número de faces é 6

e o número de vértices é 8. Então, o número de arestas

é:

a) 8

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

0 6 (UNIRIO-RJ) Um geólogo encontrou numa de suas

explorações um cristal de rocha no formato de um

poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces

triangulares. O número de vértices desse cristal é igual a:

a) 35

b) 34

c) 33

d) 32

e) 31

0 7 (CESESP-PE) Considere os seguintes poliedros regulares:

A1: tetraedo

A2: dodecaedro

A3: icosaedro

Assinale, entre as seguintes alternativas, a falsa.

a) o poliedro A1 tem as faces triangulares

b) o poliedro A2 tem 12 faces

c) o poliedro A3 tem faces triangulares

d) o poliedro A2 tem as faces em forma de dodecaedro

e) o poliedro A3 tem 20 faces

(UNICAMP-SP) Dado um cubo de aresta l , qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das

faces do cubo?

01 05

02

06

03

07

04

04 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:494

Prismas

1

Matem

átic

aPrismas

ELEMENTOS

Bases são os polígonos Se S’.

Arestas laterais são os segmentos AA , BB, ...

Arestas das bases são os lados dos polígonos S e

S’: AB, AB, ...

Altura é a distância h entre os planos que contêm as

bases.

Faces laterais são os paralelogramos AA’B’B, ...

SECÇÃO TRANSVERSAL

Secção transversal de um prisma é o polígono

obtido pela intersecção de um plano paralelo às bases com

o prisma.

A secção transversal é um polígono congruente com

as duas bases.

SUPERFÍCIES

SUPERFÍCIE LATERAL

É a reunião das faces laterais. A área da superficie

lateral será simbolizada por Al.

SUPERFÍCIE TOTAL

É a reunião das faces laterais com as duas bases.

A área da superfície total será simbolizada por At.

Nesta aula vamos desenvolver o estudo dos prismas, destacando os prismas regulares.

PRISMA REGULAR

Prisma reto é todo prisma cujas arestas laterais são

perpendiculares às bases.

Prisma regular é um prisma reto, cujas bases são

polígonos regulares.

Num prisma regular:

A altura e as arestas laterais são congruentes.

As faces laterais são retângulos.

PARALELEPÍPEDO

Paralelepípedo é um prisma cujas bases e faces

são paralelogramos.

Paralelepípedo retângulo ou ortoedro:

É um prisma reto cujas bases são retângulos.

Cubo:

O cubo é o paralelepípedo retângulo de arestas e

medidas iguais.

As suas 6 faces são quadrados congruentes.

Exemplos:

DIAGONAL

A medida da diagonal de um paralelepípedo

retângulo de arestas medindo a, b e c é:

∆ BAD ⇒ d’2 = a2 + b2

∆ HDB ⇒ d2 = d’2 + c2

Substituindo-se vem:

d2 = a2 + b2 + c2

d= a2+b2+c2

Secção transversal

05 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:571

Prismas

2

Matem

átic

a

O estudo de áreas e volumes nos ajuda a explicar algumas situações do dia-a-dia como, por exemplo, por que

um bebê sente mais frio que um adulto. Para entender esse fato, pense em dois cubos de ferro maciço, um de aresta

3cm e o outro de aresta 6cm, ambos a uma mesma temperatura de 36º C.

No cubo temos:

d= a2 +a2 +a2= 3a2 ⇒ d=a 3

ÁREA TOTAL

A área total de um paralelepípedo retângulo cujas

arestas medem a, b e c é:

At=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)

A área total do cubo de aresta a é:

São quadrados de área a2:

At=6a2

VOLUME

A medida do volume de um prisma é o produto da

medida da área da base pela medida da altura.

V=B . h

No paralelepípedo retângulo, temos:

V = B . h

V = a. b . c

No cubo, temos:

V=a3

ÁREAS E VOLUME DE

PRISMAS REGULARES

ÁREA LATERAL (A�)

Al=2p

B.H

2pB= perímetro da base

H= altura do prisma

ÁREA TOTAL (AT)

At=2A

B+A

l

AB=ÁREA DA BASE

VOLUME

V=AB.H

05 Matematica.pmd 6/8/2004, 00:452

Prismas

3

Matem

átic

a

0 1 Calcule a área total de um cubo de arestas medindo

5cm.

Resolução:

At=6a2

a=5cm

At=6x52=6x25

At= 150cm2

0 2 Calcule a medida da diagonal de um cubo cuja aresta

mede 2cm.

Resolução:

db=a 2

db=2 2cm

D2=db2+a2

D2=(2 2)2+22

D2=8+4

D2=12 D=2 3cm

0 1 Calcule a área total de um cubo de arestas medindo

4cm.

0 2 Calcule a medida da diagonal de um cubo de arestas

medindo 6cm.

0 3 Calcule a área total de um prisma hexagonalregular de

aresta da base igual a 6cm e altura medindo 10cm.

Colocando-os em um ambiente de temperatura mais baixa, o cubo menor perderá calor mais rapidamente

que o maior. Na linguagem do cotidiano, dizemos que o menor se esfriará mais rapidamente que o maior. Isso

ocorre porque a razão da área total para o volume do cubo pequeno, 6.3

3

2

3 = 2, é maior que a razão correspondente

no cubo grande, 6.6

6

2

3 = 1, ou seja, a superfície em contato com o ambiente é relativamente maior no cubo

pequeno. O mesmo acontece com um bebê e um adulto. A razão da área para o volume do corpo de um bebê é

maior que a razão correspondente em um adulto; por isso, a criança tem maior dificuldade em manter o calor de

seu corpo e, portanto, sente mais frio.

Fonte: Matemática Volume Único - Autor: Manoel Paiva - Editora: Moderna

0 3 Calcule a área total de um prisma hexagonal

regular cuja aresta da base mede 4cm e a

altura mede 3cm.

Resolução:

At=2AB+A

L

AB=

4

6.l2 3

AB=

4

6.42

3

AB=29 3 cm2

AL=2p

b.H

AB=6.4.3

AL= 72 cm2

AT= 2A

B+A

L

AT=(29 3+72) cm2

0 4 Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de

papelão cúbicas de 20 cm de lado. Para que possam ser

melhor transportadas, essas caixas são colocadas, da

melhor maneira possível, em caixotes de madeira de 80

cm de largura por 120 cm de comprimento por 60 cm

de altura. O número de latas de palmito em cada caixote

é:

a) 576 b) 4608

c) 2304 d) 720

e) 144

01

02

03

01

02

03

04

b

05 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:573

Prismas

4

Matem

átic

a

0 5 Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma,

cuja base é um trapézio isósceles. Na figura a seguir, são

dadas as dimensões do prisma em metros. O volume

desse tanque em metros cúbicos é:

a) 50

b) 60

c) 80

d) 100

e) 120

0 6 Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas

medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e,

em seguida, o alumínio é moldado como um

paralelepípedo reto-retângulo de arestas 8 cm, 8 cm e x

cm. O valor de x é:

a) 16

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20

0 7 As medidas internas de uma caixa-d’água em forma de

paralelepípedo retângulo são 1,2m, 1 m e 0,7m. Sua

capacidade é de:

a) 8400 litros

b) 84 litros

c) 840 litros

d) 8,4 litros

e) n.d.a.

(1m3 = 1000 litros)

0 8 As dimensões de uma piscina olímpica são : 50m de

comprimento, 25m de largura e 3m de profundidade. O

seu volume, em litros, é:

a) 3750

b) 37 500

c) 375 000

d) 3 750 000

e) 37 500 000

0 1 (UFOP-MG) A área total de um cubo cuja diagonal mede

5 3 cm é:

a) 140cm2

b) 150cm2

c) 120 2cm2

d) 100 3cm2

e) 450cm2

0 2 (ITA-SP) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se

que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o

dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em

cm3, é:

a) 27 3

b) 13 2

c) 12

d) 54 3

e) 17 5

0 3 (PUC-RS) Na base de um prisma triangular regular com

altura de 8cm está inscrito um círculo de raio 2 3 cm. O

volume desse prisma, em centímetros cúbicos, é igual a:

a) 36 3

b) 72 3

c) 144 3

d) 288 3

e) 576 6

0 4 (UF-ES) Uma formiga mora na superfície de um cubo de

aresta a. O menor caminho que ela deve seguir para ir de

um vértice ao vértice oposto tem comprimento:

a) a 2

b) a 3

c) 3 a

d) (1+ 2)a

e) a 5

05 07

06

01

02

03

04

07

05 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:574

Prismas

5

Matem

átic

a

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

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0 7 (UNIFOR-CE) Um paralelepípedo retângulo é tal que a

maior aresta mede o quádruplo da outra e esta, por sua

vez, mede o dobro da menor aresta. Se a área total

desse paralelepípedo é 52 cm2, o seu volume é:

a) 8 cm3

b) 12 cm3

c) 16 cm3

d) 20 cm3

e) 22 cm3

(FEI-SP) As medidas das arestas de um paralepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3 e 4. Se sua

diagonal mede 2 29 cm, seu volume em cm3, é:

a) 24

b) 24 29

c) 116

d) 164

e) 192

0 5 (UECE) Um prisma reto tem por base um losango cujas

diagonais medem 8 cm e 4 cm, respectivamente. Se a

altura do prisma é de 6 cm, então o volume desse prisma,

em centímetros cúbicos, é:

a) 72

b) 86

c) 92

d) 96

0 6 (FMJ-SP) A base de um prisma reto e um triângulo

eqüilátero cujo lado mede 6 cm. Se a área lateral desse

prisma é 144 cm2 o seu volume é:

a) 24 3 cm3

b) 48 3 cm3

c) 72 3 cm3

d) 96 3 cm3

e) 112 3 cm3

05

06

07

05 Matematica.pmd 31/7/2004, 10:575

Pirâmides

Matem

átic

a Pirâmides

DEFINIÇÃO

Seja o plano α, o polígono convexo S e o ponto V

fora do plano α. Pirâmide é a reunião de todos os

segmentos com um extremo em V e outro extremo em S.

ELEMENTOS

Base é o polígono S.

Vértice é o ponto V.

Arestas laterais são os segmentos VA, VB, ...

Arestas de base são os lados do polígono S, no

caso AB, BC, ...

Altura é a distância h do vértice ao plano que contém

a base da pirâmide.

Faces laterais são os triângulos VAB, VBC, ...

SUPERFÍCIES

SUPERFÍCIE LATERAL

É a reunião das faces laterais. A área dessa Superfície

será simbolizada por Al.

A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande Pirâmide do Egito. Sua base tem aproximadamennte 230m de

aresta e sua altura é de 147m.

Com os conhecimentos desta aula, é possível calcular as áreas lateral, total e o volume da pirâmide de Quéops.

SUPERFÍCIE TOTAL

É a reunião das faces laterais com a base. A área dessa

superfície será simbolizada por At.

Observe a planificação desta pirâmide.

A área total é At = A

l + A

b.

Observação:

Por abuso de linguagem, quando for citada área

será área de uma superfície.

CLASSIFICAÇÃO

QUANTO AO POLÍGONO DA BASE

A pirâmide é triangular quando sua base é um triângulo.

A pirâmide é quadrangular quando sua base é um

quadrado.

A classificação depende do polígono da base.

1

06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:022

Pirâmides

Matem

átic

a

PIRÂMIDE REGULAR

Uma pirâmide é regular quando sua base é um

polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre a

base com o centro dessa base.

• As arestas laterais são congruentes.

• As faces laterais são tr iângulos isósceles

congruentes.

• Apótema da pirâmide é o segmento com

extremos no vértice com o ponto médio de um lado da

base. Representa-se por ap.

• Raio da base é o raio do círculo circunscrito à

base. Representa-se por R.

• Apótema da base é o apótema do polígono da

base. Representa-se por r.

Veja as relações métricas destes elementos da

pirâmide dada:

a) no triângulo retângulo VOA: a2l=h2+R2

b) no triângulo retângulo VOM: a2p=h2+a2

c) no triângulo retângulo VMB: a2l=a2

p+

l

2

2


Seja uma pirâmide V, cuja altura é H e a área da base é

S2.

Considere uma secção transversal paralela à base,

formando uma pirâmide menor de altura h e área de base

S1.

Os polígonos S1 e S

2 são semelhantes, e suas áreas

estão relacionadas com suas alturas, através da relação:

FÓRMULAS DAS PIRÂMIDES

REGULARES

ÁREA DA BASE (AB)

É a área do polígono formador.

ÁREA LATERAL (AL)

É a soma das áreas das faces laterais.

AL=p

B.a

p

pB= metade do perímetro da base

ÁREA TOTAL (AT)

AT=A

L+A

B

VOLUME

Dado um prisma de base B e altura h, demonstra-se

que é possível decompor o prisma em 3 pirâmides de

volumes iguais.

A medida do volume de uma pirâmide é a terça parte

do produto da área da superfície da base pela medida da

altura.

S

S

1

2

h

H

2

2=

B.h

3V=

2

06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:023

Pirâmides

Matem

átic

a

0 1 Calcular o volume da pirâmide quadrangular regular.

Resolução:

a= l

2A

B=l2

l=2a AB=62=36cm2

l=2.3A .H

3

BV=

l=6cm36x5

3V=

V=60cm3

0 2 Calcular a altura de uma pirâmide quadrangular regular

com apótema da base igual a 4cm e apótema da pirâmide

medindo 5cm.

Resolução:

Pitágoras

25=16+h2

h2=9

h=3cm

0 3 Calcular a área da superfície lateral de uma pirâmide

quadrangular regular, sabendo-se que o apótema da

pirâmide mede 10cm e a aresta da base mede 4cm.

Resolução:

A base:

AL=p

B.a

p

pB=2l ∴ p

B=2.4 ∴ p

B=8cm

Al=pB.a

p

Al=8x10 ⇒ AL=80cm2

A pirâmide de Quéops, ao ser terminada, media 148m e

233m na aresta da base. Atualmente ela tem cerca de 136m de

altura e a aresta da base mede 230m.

De quanto diminuiu o seu volume?

Antes: V1=

1

3 . (233)2.146 V

1=

Hoje: V2=

1

3 . (230)2.136 V

2=

Valores aproximados: V2

- V1=

0 1 Calcular o volume de uma pirâmide quadrangular regular,

sabendo-se que o apótema da base mede 8cm e a altura

mede 6cm.

0 2 Calcular a altura de uma pirâmide quadrangular regular

com apótema da base igual a 5cm e apótema da pirâmide

medindo 13cm.

01

02

03

01 02

3

06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:024

Pirâmides

Matem

átic

a

0 3 Calcular a área da superfície lateral de uma pirâmide

quadrangular regular, sabendo-se que o apótema mede

25cm e a aresta da base mede 10cm.

0 4 A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande

Pirâmide do Egito. Sua base tem 230m de aresta e sua

altura mede 147m. Calcular o volume da pirâmide.

0 5 Um enfeite de concreto tem a forma de uma pirâmide

quadrada. Sua base tem 15cm de aresta e sua altura é

20cm. Supondo que o enfeite é maciço, qual o volume

de concreto usado para fazer o enfeite?

0 6 Uma barraca de praia tem o formato de um pirâmide

hexagonal regular. A base tem aresta igual a 3m, e a altura

da pirâmide (barraca) mede 3m. Qual o volume de ar

nessa barraca?

0 7 Uma peça maciça de cristal tem o formato de um

tetraedro regular. A soma de todas as arestas da peça

mede 60cm, calcule o volume de cristal utilizado para a

produção da peça.

0 1 (UEL-PR) O número de vértices, arestas e faces de uma

pirâmide cuja base é um octógono é, respectivamente:

a) 9, 16 e 9

b) 9, 16 e 12

c) 10, 13 e 10

d) 10, 14 e 15

e) 12, 16 e 12

0 2 (UFMG) A área total de uma pirâmide regular, de altura

30mm e base quadrada de lado 80mm mede, em mm2:

a) 44 000

b) 56 000

c) 60 000

d) 65 000

e) 14 400

0 3 (ITA-SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular

regular de altura 4m e de área da base 64m2 vale:

a) 128m2

b) 64 2m2

c) 135m2

d) 60 2m2

e) 32( 2+1)m2

0 4 (UFRS) Considere uma pirâmide regular de base

quadrada, construída a partir do padrão plano abaixo.

Se a altura da pirâmide é o dobro do lado da base, o valor

de h no padrão é:

a) 17

2h= a b) h= a5

c) 22

2h= a d) h= a6

e)5

2h= a

0 5 (UNIFOR-CE) A aresta da base de uma pirâmide regular

hexagonal mede 4cm. Qual é o volume dessa pirâmide,

se sua altura mede 6 3 cm2 ?

a) 432cm3 b) 392cm3 c) 286cm3

d) 144cm3 e) 132cm3

0 6 (UF-SE) Uma pirâmide regular de base quadrada é tal

que o apótema da base mede 7 cm. Se o apótema da

pirâmide mede 25 cm, o seu volume, em centímetros

cúbicos, é:

a) 586 b) 768 c) 864

d) 1472 e) 1568

0 7 (UF-RN) A altura de uma pirâmide regular de base

quadrada é o triplo do lado da base. Se o volume dessa

pirâmide é 27 cm3, o lado da base mede:

a) 27 cm b) 9 cm c) 3 3 cm

d) 3 cm e) 1 cm

0 8 (UCSAL-BA) Uma pirâmide tem por base um hexágono

regular de lado 3 cm. Se sua altura é de 10 cm, seu

volume, em centímetros cúbicos, é:

a) 27 3

2

b) 45 3

2

c) 45 3

d) 135 3 e) 270 3

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06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:025

Pirâmides

Matem

átic

a

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...................................................................................................................................................................................................

(PUC-SP) O imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As

características dessa pirâmide são:

1ª) sua base é um quadrado com 100 m de lado;

2ª) sua altura é de 100 m.

Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m3, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em

média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias,

foi de:

a) 40 anos;

b) 50 anos;

c) 60 anos;

d) 90 anos;

e) 150 anos.

5

06 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:026

Cilindros

1

Matem

átic

aCilindros

Nesta aula, vamos desenvolver estudos sobre o corpo

redondo chamado cilindro.

Como efeito prático, vamos considerar o cilindro um

prisma de bases circulares.

ELEMENTOS DOS CILINDROS

• Bases são os círculos de centros O e O’ e raio r.

• Geriatrizes são os segmentos com extremos

nas circunferências de cada base e paralelos a OO’.

• Eixo é a reta que contém os centros O e O’.

• Altura é a distância h entre os planos determinados

pelas duas bases.

CLASSIFICAÇÃO

CILINDRO CIRCULAR OBLÍQUO

É o cilindro cujas geratrizes são oblíquas às duas bases.

CILINDRO CIRCULAR RETO

É o cilindro cujas geratrizes são perpendiculares às

duas bases. É também chamado cilindro de revolução.

SUPERFÍCIES DO CILINDRO

SUPERFÍCIE TOTAL

É a reunião de todas as geratrizes. A área dessa

superfície será simbolizada por Al.

SUPERFÍCIE TOTAL

É a reunião da superfície lateral com as superfícies

dos círculos das bases. A área dessa superfície será

simbolizada por At.

ÁREAS

ÁREA LATERAL

Seja um cilindro circular reto de raio r e altura h.

A superfície lateral desenvolvida num plano é um

retângulo.

Base: 2πr

Altura: h

Al=2πrh

ÁREA TOTAL

A área total é a soma da área lateral com a área das

duas bases. Sendo igual a r o raio da base, a área de cada

base vale B = πr2. Logo:

At=2πrh+2πr2 ⇒ A

t=2πr (h+r)

SECÇÃO MERIDIANA

É a intersecção do cilindro com um plano que contém

o eixo do cilindro.

Num cilindro circular reto, a secção

meridiana resulta num retângulo.

Prisma Cilindro

07 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:071

Cilindros

2

Matem

átic

a

CILINDRO EQÜILÁTERO

É um cilindro circular reto cuja secção meridiana é

um quadrado.

Note que h=g=2r

Área lateral:

Al=2πr.(2r)

Al=4πr2

Área total:

At=2πr (2r+r)

At=6πr2

VOLUME

Seja um cilindro e um prisma de bases equivalentes

de medida B e altura h.

O cilindro e o prisma têm a mesma medida de volume,

V=Bh.

Para o caso do cilindro, temos:

Área da base: B=πr2

Altura: h

V=πr2h

Cilindro eqüilátero: h=2r ⇒ V=2πr3

Introdução à escola pitagórica. Depois da escola jônica, fundada por Tales de Mileto (c. 624 - 546 a.C.), a

qual dera origem à filosofia grega, segue cronologicamente, pela ordem de antiguidade, a escola pitagórica, fundada

por Pitágoras de Samos (c. 570 - 496 a.C.).

A escola se diz pitagórica, no sentido de que foi fundada por Pitágoras, mas também se fez conhecida como

escola itálica, porque surgida na Itália.

A denominação escola itálica desde logo a localiza geograficamente e a diferencia claramente da escola

jônica. De outra parte, porém, não demorou a aparecer na própria Itália a escola eleática, ou de Elea.

Assim sendo, melhor se apresenta o nome escola pitagórica, até mesmo porque depois se difundiu para

todo o mundo helênico.

Dada a sua antiguidade, como vinda imediatamente após a escola jônica, integra-se o estudo da escola

pitagórica no contexto do tema - como pensavam os primeiros filósofos.

Imediatamente após aos pitagóricos, ainda no contexto de como pensavam os primeiros filósofos, cabe

examinar também a escola eleática, igualmente situada na Itália. Finalmente, não fogem a este contexto os primeiros

filósofos atomistas.

Numa introdução à escola pitagórica há a advertir sobre o que mais a diferenciou da escola jônica. Assim

fazendo, não somente distinguimos as duas escolas pela sua sucessão cronológica e pelo situamento geográfico,

mas também pelo seu significado interno.

O pitagorismo se destacou pelo seu racionalismo, em contraste com a moderação da escola jônica.

TalesPitágoras

07 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:072

Cilindros

3

Matem

átic

a

0 1 Calcular a área lateral de um cilindro circular reto de raio

da base igual a 2cm e altura 5cm.

Resolução:

AL=2πrh

AL=2π x 2x5

AL=20π cm2

0 2 A área da superfície lateral de um cilindro circular reto é

24π m2. Se a altura do cilindro mede 3m, calcule o

diâmetro da base do cilindro.

Resolução:

AL=2πrh

2πrh = 24π2π x R x 3 = 24πR=4m

diâmetro=2r ⇒ 8m

0 3 A base de um cilindro circular reto está circunscrita a um

hexágono regular de perímetro igual a 12cm. Sabendo

que a sua altura mede o triplo do raio da base, calcule a

área total do cilindro.

Resolução:

l=R

2π=12

6l=12 ∴ l= 2cm

R = 2 cm

h=3R ∴ h=6cm

AT=A

l + 2B

AT=2πrh + 2.πr2

AT=2π x 2 x 6 + 2π x 22

AT=24π + 8π

AT=32π cm2

0 1 Calcular a área lateral de um cilindro circular reto de raio

da base igual a 5cm e altura igual a 10cm.

0 2 A área da superfície lateral de um cilindro circular reto

mede 120π cm2. Se a altura do cilindro mede 10cm,

calcule o diâmetro da base do cilindro.

0 3 A área da base de um cilindro eqüilátero mede 36π m2.

Calcule o volume do cilindro.

0 4 Uma lata de óleo tem 8cm de diâmetro da base e 19cm

de altura. Quantos cm2 de material deve ser utilizado

para fabricar a lata de óleo?

0 5 Um bolo em forma de cilindro circular reto tem área total

igual a 720π cm2. Se a altura do bolo é igual a 3

5

do raio

da base, calcule o volume do bolo.

0 6 Um fabricante de doces vende seu produto em latas

cilíndricas ao preço de R$ 3,00 a lata. Ele deseja mudar

de embalagem, conforme as figuras, por quanto ele deverá

vender a nova lata?

0 7 (UNIFOR-CE) Fabrica-se uma embalagem de conserva

usando folha de flandres. A embalagem tem a forma de

um cilindro circular reto com altura de 10cm e raio da

base de 5cm. Qual é, aproximadamente, a área, em

centímetros quadrados, da folha de flandres usada em

cada embalagem? (Dado: π=3,14).

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07 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:073

Cilindros

4

Matem

átic

a

0 1 (UFV-MG) Para se construir uma lata de base circular,

sem tampa, com 20cm de diâmetro de base e 25cm de

altura, são gastos x cm2 de material. O valor de x é:

a) 400πb) 600πc) 300πd) 700πe) 500π

0 2 (UF-AM) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com

6 cm de diâmetro e 12 cm de altura. Quantos ml de

cerveja cabem nessa lata? (1 cm3 = 1 ml).

a) 367,38 ml

b) 339,12 ml

c) 250,33 ml

d) 150,72 ml

e) 108,57 ml

0 3 (UFGO) Para encher de água um reservatório que tem a

forma de um cilindro circular reto são necessárias 5 horas.

Se o raio da base é 3m e a altura 10m, o reservatório

recebe água à razão de:

a) 18πm3 por hora

b) 30πm3 por hora

c) 6πm3 por hora

d) 20πm3 por hora

e) n.r.a.

0 4 (UFSC) Uma panela caseira tem a forma de um cilindro;

sua altura é 15 cm e o diâmetro, 20 cm. Deve-se enchê-

Ia com cubos de gelo de 2 cm de aresta, de tal forma que

não transborde ao derreter o gelo. A quantidade máxima

de cubos de gelo necessária é, aproximadamente:

a) 985

b) 859

c) 589

d) 598

e) 895

0 5 (UFPE) Um contêiner, na forma de um cilindro circular

reto, tem altura igual a 3m e área total (área da superfície

lateral mais áreas da base e da tampa) igual a 20π m2.

Calcule, em metros, o raio da base deste contêiner.

0 6 (FAAP-SP) Um tanque de petróleo tem a forma de um

cilindro circular reto, cujo volume é dado por V= πR2H.

Sabendo que o raio da base e a altura medem 10 m,

podemos afirmar que o volume exato desse cilindro

(em m3) é:

a) 1000πb) 100π

c) 1000

3

π

d) 100

3

π

e) 200π

0 7 (UFPA) O reservatório “tubinho de tinta” de uma caneta

esferográfica tem 4mm de diâmetro e 10 cm de

comprimento. Se você gasta 5πmm3 de tinta por dia, a

tinta de sua esferográfica durará:

a) 20 dias

b) 40 dias

c) 50 dias

d) 80 dias

e) 100 dias

0 8 (CEFET -PR) Seja um cilindro de revolução de raio da

base 4m e altura 8m. Conservando-se a altura e

aumentando-se o raio da base, obtém-se um novo

cilindro cuja área lateral é igual à área total do primitivo.

Nestas condições, o raio da base aumentou:

a) 0,5 m

b) 1,0 m

c) 1,5 m

d) 2,0 m

e) 2,5 m

(ITA-SP) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com

a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro.

Então a área total do cilindro, em metros quadrados, vale:

a)3

4

π2

b)9 (2+ )

4

π πc) π(2+π)

d)π2

2e)

3 ( )

2

π π+1

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03

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07 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:074

Cones

1

Matem

átic

aCones

Nesta aula, vamos estudar o cone circular comparando com pirâmides.

O cone tem as características da pirâmide, observando-se que o cone tem base circular.

ELEMENTOS DO CONE

• Base é o círculo de centro O e raio r.

• Vértice é o ponto V.

• Geratrizes são os segmentos com extremos em

V e num ponto da circunferência de base.

• Altura é a distância h do vértice V ao plano da

base.

• Eixo é a reta determinada pelo vértice V e pelo

centro O do círculo.

CLASSIFICAÇÃO

CONE CIRCULAR OBLÍQUO

É o cone de eixo oblíquo ao plano da base.

CONE CIRCULAR RETO

É o cone de eixo perpendicular ao plano da base.

É também chamado cone de revolução.

SUPERFÍCIES

SUPERFÍCIE LATERAL

É a reunião de todas as geratrizes. A área dessa

superfície será simbolizada por Al.

SUPERFÍCIE TOTAL

É a reunião da superfície lateral com a superfície do

círculo da base. A área dessa superfície será simbolizada

por At.

ÁREAS

ÁREA LATERAL

Seja um cone circular reto de raio r e geratriz g. A

superfície lateral desenvolvida num plano é um setor circular.

No setor circular, temos:

Raio de setor: g

Comprimento do arco: 2πr

Asetor

=1

2g.2πr

Al =πrg

08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:121

Cones

2

Matem

átic

a

ÁREA TOTAL

A área total é a soma da área lateral com a área da

base.

A área da base é Ab = πr2. Logo, a área total vale:

At = πrg + πr2 ⇒ A

t= πr (g+r)

SECÇÕES


É a intersecção do cone com um plano paralelo à

base. Esta secção transversal é um círculo.

SECÇÃO MERIDIANA

É a intersecção do cone com um plano que contém o

eixo. Esta secção é um triângulo isósceles.

CONE EQÜILÁTERO

É um cone cuja secção meridiana é um triângulo

eqüilátero.

g=2r

Área lateral:

Al= πr. 2r = 2πr2

Área total:

At = 2πr2 + πr2 = 3πr2


Seja um cone de base contida no plano α e uma

secção transversal determinada pelo plano β paralelo a α.

Então, valem as relações:

1) r

R

d

h

g´

g= =

2) r

R

2

2

S

S1

2

d

h

2

2

g

g

2

2== =

S1 e S

2 são as áreas das bases dos cones.

VOLUME

Seja um cone e uma pirâmide de área de bases

equivalentes B e mesma altura h.

O cone e a pirâmide têm volumes iguais a V = B.h/3

Área da base: B = πr2

Altura: h

No cone eqüilátero: h = r 3

πr h

3

2

V=

πr3 3

3V=

`

08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:122

Cones

3

Matem

átic

a

PARA QUÊ ESTUDAR GEOMETRIA?

Vê lá que atrapalhação E para haver harmonia

Disparate e confusão É preciso Geometria,

Este mundo não seria Usá-la a todo o momento.

Se um dia de repente, Para a podermos estudar

Por loucura toda a gente Iremos utilizar

Esquecesse a Geometria. Olhos, mãos e pensamento.

O carpinteiro João Geometria é uma ciência

Não podia pôr no chão Quer amor e paciência

Uma mesa que servisse. Passa de avós para netos.

E a janela coitada, Suas principais funções:

Jamais era consertada Estudar formas e dimensões

Se um vidro se partisse. De todos os objetos.

Queria a gente uma jaqueta Mas no mundo há formas tantas

Não importa azul ou preta Nos cristais e nas plantas

Mas nem curta nem comprida. Nas pessoas, nos tostões!

Sem a Geometria apostas? E nenhuma é perfeita

Vinha com mangas nas costas Pois se a gente à lupa espreita

Nunca ficava à medida. Vê que há sempre imperfeições!

O operário na construção Formas simples e perfeitas

Do telhado ao rés-do-chão Que em Geometria aproveitadas

Que fazer já não sabia. Só na idéia são vividas.

A porta nunca fechava; Não são coisas reais

A parede desabava; Mas figuras ideais

A escada não existia. Com que as coisas são parecidas.

Andaria tudo torto

E até mesmo no desporto

Haveria muito azar.

No futebol, que cachola,

Não se conhecia a bola

Que se havia de chutar!

0 1 Um triângulo retângulo de catetos medindo 3cm e 4cm

gira em torno do cateto maior. Calcule a área lateral do

cone obtido.

Resolução:

Aplicando Pitágoras:

g2=32+42

g2=9+16

g2=25 ⇒ g=5cm

AL=πRg

AL=π x 3 x 5

AL= 15πcm2

De António José Crespo Monteiro

recolhido por Ana Patrícia Ferreira

01

08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:123

Cones

4

Matem

átic

a

0 1 Um triângulo retângulo de catetos medindo 6cm e 8cm

gira em torno do cateto menor. Calcule a área lateral do

cone obtido.

0 2 O diâmetro do círculo da base do cone mede 16cm e a

geratriz mede 10cm. Calcule a área total e o volume do

cone.

0 2 O diâmetro do círculo da base de um cone reto mede

12 cm e a geratriz mede 10 cm. Qual a medida do

volume do cone?

Resolução:

0 3 Um silo para armazenamento de cereais tem a forma da

figura abaixo.

0 3 Dois silos tem formas cilíndricas e cônicas, com mesmo

raio da base e mesma altura. Sabendo que o raio mede

3cm e altura 4cm, qual silo tem maior capacidade?

0 4 Dois silos para armazenamento de cereais tem formas

cilíndrica e cônica. Sabendo-se que os dois têm a mesma

altura e que o raio do cilíndrico é a terça parte do cônico,

qual tem a maior capacidade?

Qual a capacidade do silo em m3?

Resolução:

A capacidade é igual a soma dos volumes dos dois

sólidos.

VT=V

cilindro+V

cone

Vcilindro

=Ab.h

Vcilindro

=πR2h

Vcilindro

=π 32 x 2

Vcilindro

=18π cm3

Vcone

= A xh

3

b

Vcone

= πR h

3

2

Vcone

= πx3 x4

3

2

Vcone

= 36π3

Vcone

= 12π cm3

Capacidade do silo

VT=18π+12π

VT=30π cm3

2R (diâmetro da base)

2R=12 ∴ R=6 cm

Pitágoras:

102=62+h2

100=36+h2

h2=64

h=8 cm

V= 1

3 A

B.h

AB= πR2

V=1

3.πR2.h

V= 1

3π x 62. 8

V= 1

3 . 36 . 8

V= 96π cm3

02 03

01

02

03

04

08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:124

Cones

5

Matem

átic

a

0 1 (U. E. Londrina-PR) Um cone circular reto tem altura de

8cm e raio da base medindo 6cm. Qual é, em

centímetros quadrados, sua área lateral?

a) 20πb) 30πc) 40πd) 50πe) 60π

0 2 (UFPA) A medida da geratriz de um cone reto de 96πcm2 de área total e 6 cm de raio da base é:

a) 2 cm

b) 4 cm

c) 6 cm

d) 8 cm

e) 10 cm

0 3 (UNIRIO-RJ) Uma tulipa de chope tem a forma cônica,

como mostra a figura a seguir. Sabendo-se que sua

capacidade é de 100π ml, a altura h é igual a:

a) 20cm

b) 16cm

c) 12cm

d) 8cm

e) 4cm

0 5 Uma jarra, cujo interior tem a forma geométrica de um

cilindro circular reto, está cheia de água. Seu conteúdo

será transferido integralmente para copos, cujos interiores

têm a forma de um cone circular reto, com raio de base

igual a um terço do raio da base do cilindro e de altura

igual à altura do cilindro. Quantos copos serão totalmente

enchidos?

0 6 Uma peça de acrílico tem o formato de um cone circular

reto de 4cm de raio da base e altura 3cm. Qual o volume

de acrílico usado para produzir a peça?

0 7 Para se construir uma tenda em forma de cone, usa-se

um tecido que custa R$ 10,00 o metro quadrado.

Sabendo-se que o diâmetro da base da tenda mede 10m

e que a altura mede 12cm, quantos reais serão

necessários para construir a tenda, sem considerar o

piso?

0 4 (PUC-RS) Num cone de revolução, a área da base é

36π m2 e a área total é 96π m2. A altura do cone, em m,

é igual a:

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 12

0 5 (UF-MG) Um reservatório de água tem a forma de um

cone circular reto, de eixo vertical e vértice para baixo.

Quando o nível de água atinge a metade da altura do

tanque, o volume ocupado é igual a π. A capacidade do

tanque é:

a) 2πb) 8π/3

c) 4πd) 6πe) 8π

0 6 (UE-CE) Um cone circular reto de altura 3 2 tem

volume igual a 18 2π cm3. O raio da base desse cone,

em centímetros, mede:

a) 2

b) 2 2

c) 3

d) 3 2

0 7 (UCSAL-BA) A base de um cone circular reto de raio 12

cm e altura 10 cm está num plano α. Um plano β, paralelo

a α, intercepta o cone a uma distância de 5 cm de seu

vértice. A intersecção do cone e do plano β é uma

superfície cuja área, em centímetros quadrados, é igual a:

a) 25π b) 36π c) 40π

d) 42π e) 49π

05 07

06

01

02

03

04

05

06

07

08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:125

Equações Exponenciais Matem

ática

3

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

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....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

Cones

6

Matem

átic

a

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

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..................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

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...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

(PUC-SP) A altura e o raio da base de um cone circular reto medem 4cm e 15cm, respectivamente.

Aumenta-se a altura e diminui-se o raio da base desse cone, de uma mesma medida x, (x ≠ 0), para se

obter outro cone circular reto, de mesmo volume que o original. Determine x, em centímetros.

08 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:126

Esferas

1

Matem

átic

aEsferas

Há 2.200 anos, o matemático grego Eratóstenes (276-194 a. C.) calculou o perímetro de uma circunferência

máxima da Terra (Linha do Equador).

Atualmente estima-se em 40.000 km o período dessa circunferência máxima.

Através do estudo da esfera é possível resolver questões relativas ao planeta Terra.

DEFINIÇÃO

Seja um ponto O e um segmento de medida R. Esfera

é o conjunto de todos os pontos A do espaço, tais que a

medida do segmento OA é menor ou igual a R.

Superfície esférica é o conjunto dos pontos A tal

que a medida do segmento OA é igual a R.

SECÇÃO

A intersecção da esfera com todo plano que lhe seja

secante é um círculo. Veja a relação métrica determinada

por um plano secante numa esfera:

Raio da secção: r

Distância de O a α: d

Raio da esfera: R

R2=d2+r2

Quando a secção contém o centro da esfera, o círculo

obtido é chamado círculo máximo, pois seu raio é igual

ao raio R da esfera.

Seja um círculo obtido pela secção de um plano

secante. Pólos desse círculo são os extremos do diâmetro

perpendicular ao plano desse círculo.

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA

Seja uma esfera de raio R. Pode-se demonstrar que a

área de sua superfície esférica é:

S=4πR2

VOLUME

Seja uma esfera de raio R. Pode-se demonstrar que

seu volume é:

ÁREA DA CALOTA ESFÉRICA

AC=2πRh

ÁREA DA ZONA ESFÉRICA

ÁREA DO FUSO ESFÉRICO

AZ=2πRh

4 R

3

π 3

A=c

π αR

90

2

A=f

09 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:191

Esferas

2

Matem

átic

a

0 1 Determinar a área e o volume de uma esfera inscrita

num cubo de aresta a.

Resolução:

2R=a ∴ R = a

2

Área=?

A = 4πR2

A = 4πx a

2

2

= 4π x a

4

2

A = πa2

PLANETA TERRA

Sabendo-se que a circunferência máxima da Terra mede 40.000 km, calcule o raio da Terra.

Resolução:

2πR=40.000

R = 40.000

2 . 3,14

R = 40.000

6,28

O R é aproximadamente igual a 6370 km.

Pense agora nas seguintes questões relativas ao Planeta Terra:

qual é o seu volume e qual a área de sua superfície?

qual é a área coberta de água (em quilômetros quadrados) em sua superfície?

0 2 Calcular a área total e o volume de um cubo

inscrito numa esfera de raio R.

Resolução:

D=2R

D= diagonal do cubo

D=a 3

a 3=2R ∴

a

2

a

8

3

4 R

3

π 3

4

3

π

π6

a3

4

3

π

V=

V=

V=

=. .3

2R 3

3a=

2R

3a=

01 02

09 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:192

Esferas

3

Matem

átic

a

Volume

0 1 Uma vasilha tem forma de uma esfera de 3cm de raio.

Qual o volume, em cm3, de água que cabe na vasilha?

0 2 Uma certa massa de modelar custa R$ 100,00 o cm3.

Quantos reais serão necessários para modelar uma esfera

de 3cm de raio?

0 3 Para revestir uma esfera de um determinado material

gasta-se R$ 10,00 o cm2. Quanto se gasta para revestir

uma esfera de 6cm de raio?

0 4 (UF-AL) Quantos litros de ar cabem no interior de uma

esfera de raio 21 cm?

(Use: π =22

7 )

a) 38,808

b) 155,232

c) 388,08

d) 1 552,32

e) 3 880,8

0 5 Uma laranja perfeitamente esférica tem 12 gomos.

Sabendo-se que o raio da laranja mede 3cm, calcule o

volume de cada gomo em cm3.

0 6 Um ourives deixou como herança para seus 8 filhos

uma esfera maciça de ouro. Os herdeiros resolveram

fundir o ouro e, com ele, fazer oito esferas iguais. Cada

uma dessas esferas terá um raio igual a:

a) 1/2 do raio da esfera original;

b) 1/3 do raio da esfera original;

c) 1/4 do raio da esfera original;

d) 1/6 do raio da esfera original;

e) 1/8 do raio da esfera original.

0 7 Um determinado produto é embalado em forma de um

cilindro de raio 4cm e altura 10cm. O mesmo produto é

embalado em forma de uma esfera de 6cm de raio. Para

o consumidor, qual a embalagem mais vantajosa?

0 1 (UF-AL) Um cilindro eqüilátero de altura 25 cm está

inscrito em uma esfera. O volume dessa esfera, em

centímetros cúbicos, é:

a) 4π 3

b) 8π 3

c) 32π 6

d) 32π 3

e) 32π

0 2 (Unifor-CE) Um cilindro reto, conforme mostra a figura

abaixo.

Se a altura do cilindro é igual 3

2

do raio da esfera, a razão

entre os volumes do cilindro e da esfera é, nessa ordem:

a) 63 b) 13

128 32

c) 21 d) 9

64 32

e) 7

32

Área total

2R 3

3

4R .3

9

2

A =T

A =T

A =T

A =T

6.

6.

8R2

6a2

2

2R 3

3

2R 3

3

2R 3

3

4R .3

9

2

8R . 3

9

3

V=

V=

V=

V=

V=

a3

a2

.a

.

.

2

01

02

03

04

05

06

07

01 02

09 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:193

Esferas

4

Matem

átic

a

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................

0 3 (UNAMA-PA) Uma laranja de 12 gomos iguais

assemelha-se a uma esfera de raio R. A área da superfície

total de cada gomo é:

a) 4πR2

b) 3πR2

c) 2πR2

d) 4πR2

3

e) 3πR2

4

0 4 (CEFET-PR) A indústria de bolas de borracha Cilimbola

quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 bolas

com 3 cm de raio cada, conforme a figura.

A quantidade total de material utilizado para o fabrico da

embalagem, incluindo a tampa, em cm2, será de:

a) 126πb) 108πc) 127πd) 72πe) 90π

0 5 (PUC-SP) A área de um furo esférico cujo ângulo mede

π3

rad, em uma esfera de 12cm de raio, é:

a) 96πcm2

b) 69πcm2

c) 72πcm2

d) 64πcm2

e) n.r.a

0 6 (UFRS) Uma panela cilíndrica de 20cm de diâmetro está

completamente cheia de massa para doce, sem exceder

a sua altura, que é de 16cm. O número de doces, em

formato de bolinhas de 2cm de raio, que se pode obter

com toda a massa é:

a) 300

b) 250

c) 200

d) 150

e) 100

0 7 (UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h= 20 cm

e raio de base r= 2 m com esferas tangentes ao mesmo

e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e

exterior às esferas vale:

a) 102π cm3

3

b) 80π cm3

3

c) 40π cm3

d) 80π cm3

e) 20π cm3

(PUC-RS) A região R da figura está limitada por três semicírculos. Se R efetua uma volta completa em torno

do eixo dos x, ela gera um sólido de volume:

a) 12πb) 8πc) 4πd) 2πe) π

03

04

05

06

07

09 Matematica.pmd 31/7/2004, 11:194

Gabarito

1

Matemática

LINHAS TRIGONOMÉTRICAS


01- c 02- d

03- b 04- e

05- a 06- c

07- b


01- b 02- a

03- a 04- b

05- c 06- b

07- a

Desafio

Resposta: π80

radianos

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS


01- b 02- e

03- e 04- c

05- b 06- a

07- c 08- d


01- d 02- b

03- a 04- e

05- d 06- b

07- a 08- 15

Desafio

Resposta: c

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS


01-6 - 2

4

02-6+ 2

4

03-6 - 2

4

04- 2+ 3

05-10

-3 10

06-26

5 26

07-3

4

POLIEDROS CONVEXOS


01- e 02- a

03- d 04- 7

05- 7 06- 720º

07- 2520º


01- d 02- d

03- e 04- d

05- c 06- d

07- d

Desafio

Resposta: l3

6

08-65

56


01- e 02- e

03- b 04- b

05- b 06- b

07- e 08- b

Desafio

Resposta: d

PRISMAS


01- 96 cm2

02- 6 3 cm

03- (360+108 3) cm2

04- 576

05- c

06- d

07- c

08- d


01- b

02- d

03- d

04- b

05- d

06- c

07- c

Gaba Matematica.pmd 31/7/2004, 11:211

Gabarito

2

Matemática

PIRÂMIDES


01- 512 cm3

02- 12 cm

03- 500 cm3

04- 2592100m3

05- 1500 cm3

06-27 3

2m3

07-250 2

3 cm3


01- a 02- e

03- b 04- a

05- d 06- e

07- d 08- c

Desafio

Resposta: b

CILINDROS


01- 100π cm2

02- 12 cm

03- 432π cm3

04- 184π cm2

05- 2025π cm3

06- R$ 6,00

07- 471


01- b

02- b

03- a

04- c

05- 2m

06- a

07- d

08- d

Desafio

Resposta: b

CONES


01- 80π cm2

02- 80π cm2 e 128π cm3

03- cilíndrico

04- cônico

05- 27

06- 16π07- R$ 2041,00


01- e 02- e

03- c 04- c

05- e 06- d

07- b

Desafio

Resposta: x=5

Desafio

Resposta: e

ESFERAS


01- 113,04 cm3

02- R$ 11304,00

03- R$ 4521,80

04- a

05- 3π06- a

07- esférica


01- d 02- a

03- d 04- a

05- a 06- d

07- b

Desafio

Resposta: b

Gaba Matematica.pmd 31/7/2004, 11:212

Enem - Apostila - Matemática e Suas Tecnologias

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