Emparelhamento de Objectos Utilizando Técnicas de Optimização · excesso de forma satisfatória....

Emparelhamento de Objectos Utilizando Técnicas de Optimização

Luísa F. Bastos e João Manuel R. S. Tavares, Membro, IEEE

Resumo--Neste trabalho, o problema doemparelhamento de objectos (compostos por dados pontuais) é tratado como um problema de optimizaçãoglobal. Esta nova técnica é comparada com uma de índolelocal, previamente existente, o que permite verificar que os resultados melhoram significativamente. São também apresentadas duas metodologias, previamentedesenvolvidas, que permitem a quantificação das afinidades entre os dados pontuais dos objectos. Umadessas metodologias é baseada na análise modal da forma, enquanto a segunda utiliza o método dos elementos finitos e a análise modal. Habitualmente, as soluções de emparelhamento utilizadas permitem apenascorrespondências do tipo “um com um”. No entanto, existem situações em que este tipo de emparelhamento nãoé o mais adequado, pois pode implicar perda deinformação. Para tentar resolver este problema, foi desenvolvida uma solução aplicável a objectos do tipocontorno, que permite emparelhar satisfatoriamente os pontos em excesso, obtendo correspondências do tipo “um com vários” ou vice-versa.

Palavras Chave--Emparelhamento de Objectos, Visão Computacional, Método dos Elementos Finitos, Análise Modal e Métodos de Optimização.

I. INTRODUÇÃO

análise do movimento tem vindo a ser, nas duas últimasdécadas, uma importante área de investigação no

domínio da visão por computador. O problema da análise demovimento é tradicionalmente definido como a determinaçãodo movimento de um objecto a partir de uma sequência de imagens, a duas ou três dimensões (2D ou 3D), capturadas emdois ou mais instantes de tempo. Seguir o movimento, numasequência de imagens ou vídeo, é útil na determinação daposição e/ou outros parâmetros do movimento (oudeformação) de um objecto perceptível nessa sequência. Nesta secção são apresentadas diversas metodologias de emparelhamento utilizadas por outros investigadores (em A),e a metodologia de base considerada neste trabalho (em B).

Luísa F. Bastos e João Manuel R. S. Tavares são investigadores do Laboratório de Óptica e Mecânica Experimental, Instituto de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial, Porto PORTUGAL (e-mail: {lbastos, tavares}@fe.up.pt).

João Manuel R. S. Tavares é professor auxiliar do Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial, Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto, Porto, PORTUGAL.

A. Métodos de EmparelhamentoA utilização de modelos deformáveis e o envolvimento dos

dados por uma membrana [1] é uma das formas de lidar comas dificuldades associadas ao efeito da perspectiva e àpresença de outras deformações, não rígidas, que muitasvezes, por questões de simplificação, são modeladas comoruído. A ideia de utilizar modelação física de objectos temvindo a ser sugerida por vários autores, como por exemplo:utilizando membranas e tubos de borracha [2]; na área do seguimento de contornos 2D através de contornos activos [3];e na detecção e seguimento de pessoas e veículos emmovimento [4]. O conceito inicial dos contornos activosoriginou o desenvolvimento de modelos deformáveisespecializados para: o seguimento de lábios [5]; a pesquisa e reconhecimento de faces [6]; a interpretação de linguagemgestual [7, 8]; o emparelhamento elástico de dados de imagensmédicas [9-11]; a extracção de características dos lábios noauxilio da interpretação da voz humana [12]; etc. A utilizaçãoda análise modal foi apresentada em [13] para resolver oproblema da não unicidade associada à utilização de modelosdeformáveis, segundo princípios físicos. Neste domínio, existetambém uma família de métodos, designados por métodospróprios, baseados na decomposição da deformação do objecto numa base ortogonal e ordenada, que se divide em trêsclasses [14]: formas próprias, deformações próprias e imagenspróprias. Aplicações destas categorias podem ser encontradas, por exemplo, em: (formas próprias) [14, 15]; (deformaçõespróprias) [16-21]; (imagens próprias) [19, 22-32].

Os métodos de resolução do problema da determinação dascorrespondências incluem, normalmente, restrições queevitam emparelhamentos desadequados segundo os critériosconsiderados. Exemplos dessas restrições são: a ordem [33,34]; restrições epipolares (restrição de rigidez) [33, 34];unicidade [35]; visibilidades [36]; e proximidade [14]. Para determinar as correspondências utiliza-se, por exemplo, acorrelação entre as imagens (isto é, presume-se a similaridadedas imagens) [37-39]; a proximidade dos pontos [38, 40]; ou os amaciamentos dos campos de disparidade [33].

O problema de emparelhamento pode ser interpretadocomo um problema de optimização, em que a função objectivo pode depender, por exemplo, de qualquer relação mencionada no parágrafo anterior e as restrições têm que formar um espaço não vazio de soluções possíveis para o problema de optimização. Para resolver o problema de optimização pode ser usada programação dinâmica [33],

A

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 2, APRIL 2005 193

grafos [34, 41] e minimização convexa [38, 42]. Abordagens não óptimas incluem, por exemplo, algoritmos “gulosos”(greedy algorithms) [43], “recozimento simulado” (simulatedannealing) [44], “relaxamento” (relaxation) [35] e “procuraaleatória” (randomized search) [37].

B. Metodologia Utilizada O trabalho realizado e apresentado neste artigo pretende

melhorar a determinação das correspondências entre objectos constituídos por dados pontuais (nodos), optimizando a solução global.

Com a metodologia utilizada para emparelhar dois objectos é obtida uma relação entre os nodos destes. Essa relação é expressa numa matriz cujos elementos quantificam a afinidade entre cada par de nodos dos dois objectos. Para a construçãodessa matriz (de afinidade) podem ser utilizadas duas metodologias distintas, apresentadas na segunda secção deste artigo. A primeira metodologia apresentada (metodologiageométrica) é baseada na distância Gaussiana entre os nodosde cada objecto e na consequente utilização da análise modal.A segunda metodologia apresentada é baseada na utilização do método dos elementos finitos, de forma a atribuirpropriedades físicas aos objectos através da adopção demateriais virtuais, e também na análise modal.

Após a construção da matriz de afinidade que relaciona osdois objectos a emparelhar, as correspondências são determinadas através da semelhança dos deslocamentos de cada par de nodos, nos seus respectivos espaços modais.(Quanto menor é o valor de um elemento da matriz de afinidade, maior é a semelhança entre os deslocamentos dos nodos associados a esse elemento, e maior é a probabilidade dessa correspondência ser adequada.)

A solução previamente implementada para a determinaçãodas correspondências, baseada numa abordagem local,consistia em encontrar sequencialmente, na matriz deafinidade, o menor elemento em cada linha e emparelha-locom a coluna associada, se este fosse também o menorelemento da mesma e se o nível de confiança pré-estabelecidofosse respeitado. Esta metodologia tem como principaldesvantagem o facto de cada nodo de um objecto ser tratadoindividualmente e não como pertencente a um modelo global.Para ultrapassar esta desvantagem, foi implementado um novoalgoritmo para a determinação das correspondências, através da matriz de afinidade, baseado em técnicas de optimizaçãoglobal, apresentado na terceira secção. Esta nova abordagemmostrou melhorar significativamente os resultados obtidos.

Nos exemplos considerados neste trabalho, o número de dados pontuais dos objectos a emparelhar não é necessariamente o mesmo, o que está de acordo com a maiorparte das situações reais. Nestes casos, como na fase descritaanteriormente são permitidas apenas correspondências do tipo “um com um”, existirão nodos do objecto com o maiornúmero de elementos que obrigatoriamente não serãocorrespondidos. Para evitar esta perda de informação foi implementado um algoritmo aplicável a objectos do tipocontorno, que permite o emparelhamento dos nodos em

excesso de forma satisfatória. Esta solução é apresentada na quarta secção.

Na quinta secção são apresentados alguns resultados obtidos com as metodologias propostas e por último são apresentadas algumas conclusões e perspectivas de trabalho futuro.

II. METODOLOGIA BASE

Na metodologia base, anteriormente desenvolvida para adeterminação das correspondências entre dois objectos, é construída uma matriz que relaciona os dois conjuntos de pontos [14]. Essa matriz pode ser construída a partir de duas abordagens: (a) descrição modal da forma; ou (b) método dos elementos finitos e análise modal.

A. Descrição Modal da Forma Este método [14, 15] analisa individualmente cada objecto

para a extracção dos seus modos de forma e, seguidamente,utiliza-os para o estabelecimento das correspondências. Essencialmente os modos codificam a forma do objecto,baseando-se nas distâncias entre pontos.

Para uma compreensão intuitiva da abordagem utilizadaneste método considere-se um objecto com m pontos e suponha-se que se define um conjunto de m eixos que represente um sistema de coordenadas num espaço de dimensão . A cada ponto é então associada uma coordenada neste espaço de maior dimensão. Por exemplo, cada ponto émapeado a partir do seu espaço coordenado num hiperespaçode eixos. Este mapeamento é independente para cada objecto e, quando as formas dos objectos são similares, pontosque deverão ser associados irão coincidir no hiperespaço.

m

m

Considere-se em primeiro lugar o problema de determinaros modos de forma de um objecto com m pontos de coordenadas . Uma matriz quadrada de proximidade é construída, guardando as distâncias entre os pontos doobjecto. Para a construção da matriz de proximidade éutilizada a medida Gaussiana ponderada:

iX H

2 22 ,ijr

ijH e

onde 22ij i jr X X é a distância Euclidiana entre os pontos i e do objecto em questão. Evidentemente, a matrizj

H é simétrica ( ) e os seus elementos da diagonal

são unitários ( ). O parâmetro controla a interacção entre os pontos do objecto em questão. Para valores de reduzidos, cada ponto apenas tem conhecimento da sua vizinhança local, enquanto que, para valores de elevados, cada ponto é influenciado mais globalmente. Como as duas análises são processadas independentemente, o valor para pode ser diferente para os dois objectos t e ; isto é, e

respectivamente.

ij jir r

0iir

1t t

1tDe seguida, determinam-se os valores próprios e os

vectores próprios da matrizi

iE , resolvendo o sistemaH

194 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 2, APRIL 2005

generalizado [45]:

ii iH E E , . (1)1...i m

Os vectores próprios são de norma unitária e mutuamenteortogonais e, deste modo, formam uma base ortonormal. Poranalogia com as vibrações em sistemas mecânicos, cujosvectores próprios descrevem os modos de vibração [45], são apelidados de modos. A equação (1) pode ser reescrita na forma matricial como:

TH V D V .

A matriz diagonal D contém os valores próprios, todospositivos (pois a matriz é definida positivamente ao longo da sua diagonal) e de forma decrescente:

H

1 2, ,..., mdiagD com .1 2 ... m

A matriz modal V é ortogonal e tem os vectores próprioscomo os seus vectores coluna:

1 mE EV .

Cada linha da matriz V pode ser referida por um vectorlinha designado por vector característica:iF

1

m

FV

F,

contendo as m coordenadas modais de cada ponto i ,correspondendo à sua projecção nos m eixos modais do objecto.

Este processo de computação é executado para os doisobjectos e . Isto é, para o objecto t , constituído por

pontos, obtemos:t 1t

m

Tt t t tH V D V ,

enquanto para o objecto , constituído por n pontos,obtemos:

1t

1 1 1T

t t t tH V D V 1 .

Os vectores característica associados a cada ponto dos doisobjectos e são designados por e t 1t ,i tF , 1j tF .

A etapa final do método consiste na determinação de umamedida que relaciona os dois conjuntos de vectorescaracterística, resultando a matriz de afinidade Z . Nesta matriz, traduz a confiança no emparelhamento entre os

pontos do objecto t e do objecto . Na construçãodesta matriz de afinidade

ijZ

i j 1t

Z deverão ser notadas as seguintestrês observações [14]:

Devido aos objectos terem possivelmente diferentesnúmeros de pontos, o número de modos a considerar será diferente. A solução passa pela truncagem dos m n modosmenos significativos do objecto com mais pontos, onde os

menos significativos são indicados pelos valores própriosmais reduzidos. Desta forma as matrizes modais terãocolunas, ou modos, onde ; em realizações práticas poderão ser utilizados menos de k modos,conseguindo-se deste modo uma maior imunidade ao ruído.Efectivamente, com este procedimento são desprezadas ascomponentes dos vectores característica ao longo dos eixosmenos importantes.

k,min m nk

O sinal de cada vector próprio não é único, pois invertendoa sua direcção não se viola a ortonormalidade da base; assim,é necessário que ambos os conjuntos de eixos tenhamdirecções consistentes pois deseja-se comparar directamenteos vectores característica. Desta forma, deve-se utilizar umprocedimento de correcção do sinal. Resumidamente, umasolução passa por considerar como a base de referência e proceder à orientação de cada eixo de , um de cada vez, escolhendo para cada um a direcção que maximiza o alinhamento dos dois conjuntos de vectores característica.

tV

1tV

Na matriz de afinidade Z , um emparelhamento perfeito é indicado por 0 (zero), enquanto um valor igual a 2 (dois)indica um emparelhamento completamente falhado (deslocamentos no espaço modal segundo direcções opostas).Deste modo, os melhores emparelhamentos são indicadospelos elementos da matriz Z que são mínimos na sua linha e na sua coluna. Os valores são obtidos considerando a

distância Euclidiana entre os vectores característica: ijZ

2, ,i t j tij F FZ 1 .

A vantagem deste procedimento é a robustez à truncagemdos modos não necessários e o melhoramento da sensibilidade, devido a um aumento da gama de valores.

B. Método dos Elementos Finitos e Análise ModalNo âmbito deste trabalho, a grande vantagem da utilização

do método dos elementos finitos é a atribuição de umcomportamento físico aos objectos a emparelhar, através da consideração de um material virtual elástico, ao contrário da metodologia anteriormente apresentada (baseada apenas emcritérios geométricos) [14].

Podemos expor o sistema de equações do equilíbrio dinâmico do modelo de elementos finitos agrupados [14, 46]:

RM C K UU U ,

onde e são a primeira e segunda derivadas de em ordem ao tempo;

U U U

M , K e C as matrizes de massa,rigidez e amortecimento, e o vector de cargas; numa

base definida pelos vectores próprios de ,resolvendo o seguinte sistema:

R1M K

,K M (2)

onde, é a matriz dos vectores próprios ordenados porcoluna e em ordem crescente das frequências que lhes estãoassociadas; e é a matriz diagonal dos valores próprios,

BASTOS AND TAVARES : OBJECTS MATCHING USING OPTIMIZATION 195

também ordenados por ordem crescente. Na equação (2), para um objecto 2D constituído por m nodos, tem-se:

121

1 2212

e

T

TmTm

mTm

u

u

v

v

,

e para um objecto 3D constituído por m nodos:

1

21 1

1 323

1

e .

T

TmT

mTm mT

Tm

u

u

v

v

w

w

O vector coluna descreve o deslocamento modal para

cada nodo do modelo, devido ao modo de vibração i,enquanto os vectores e (e para objectos 3D) são os vectores característica e, em conjunto, descrevem a localização do nodo i no espaço modal.

i

iu iv iw

Os primeiros modos da matriz são os modos de corporígido (três em 2D e seis em 3D). Os restantes modosassociam-se a movimentos não rígidos, sendo os primeirosdeste tipo associados a deformações mais globais e os últimos(de elevada frequência) a deformações essencialmente locais [14].

Após a construção das matrizes t e 1t , para doismodelos de elementos finitos, t e , de dois objectos a emparelhar, define-se a matriz de afinidade [ [14, 19]determinada (tal como na metodologia geométrica) a partir da distância Euclidiana entre os vectores característica dos dois objectos considerados, da seguinte forma para objectos 2D e 3D, respectivamente:

1t]Z

2 2, 1, , 1t i t j t i t jij u u v vZ , ,

2 2, 1, , 1

2, 1,

t i t j t i t jij

t i t j

u u v vZ

w w,

, , 1,2, ,ijC i j n

.

Resumidamente, as vantagens da utilização do método dos elementos finitos são [14]: (a) a equação do movimento para o sistema global é obtida pelo agrupamento das equações decada elemento finito utilizado na modelação; e (b) a generalização de problemas 2D e 3D construídos com váriosmateriais e com fronteiras irregulares pode ser obtida comfacilidade. No entanto, o método geométrico (apresentado na

secção II.A) é computacionalmente mais simples e rápido [14].

III. PROBLEMA DE OPTIMIZAÇÃO

Os problemas de optimização são problemas demaximização ou minimização de funções de variáveis numdeterminado domínio, normalmente definido por um conjuntode restrições nas variáveis. O problema da determinação de correspondências (considerando apenas emparelhamentos dotipo “um com um”) pode ser escrito como um problema de afectação, que é um caso particular dos problemas de optimização. O problema de afectação clássico pressupõe a existência de n nodos no objecto t para emparelhar com nnodos no objecto , e o conhecimento do custo deafectação de cada nodo i em t com cada nodo j em ,

. Este custo de afectação é equivalente ao

valor do elemento da matriz de afinidade [ . Neste tipo de problemas, pretende-se determinar o modo dedistribuição dos emparelhamento, para que: Cada nodo em tseja emparelhado apenas com um nodo em ; Cada nodo em seja emparelhado apenas com um nodo em t ; Sejamminimizados os custos totais de afectação/emparelhamento.

1t1t

,i j ]Z

1t1t

Para a formulação de um problema desta natureza, consideremos:

se nodo for afecto ao nodocaso contrário

1 de de 10ij

i t j tx ,

com ., 1,2,...,i j n

Então, a formulação do problema de afectação clássico é a seguinte:

minimizar1 1

,n n

ij iji j

f C x

sujeito a:

[Ao nodo i de t é afecto apenas um nodo de ]:1t

11, com 1,2, ,

n

ijjx i n

n

j

,

[Ao nodo j de é afecto apenas um nodo de t ]:1t

11, com 1,2, ,

n

ijix j ,

e 0,1 , , .ijx i

Na metodologia proposta neste artigo [47, 48], para a determinação de correspondências de forma global, foramutilizados três métodos de optimização [47]: o métodoHúngaro, que é o método mais simples e conhecido para aresolução de problemas de afectação; o método Simplex para problemas de fluxo [49], que são problemas de optimizaçãomais gerais do que os problemas de afectação; e o métodoLAPm [50], que é um método especifico para a resolução de


problemas de afectação, criado com o intuito de tornar a sua resolução computacionalmente mais eficiente.

Após a obtenção da solução óptima do problema de optimização prossegue-se à rejeição dos emparelhamentos quefazem parte dessa solução, mas não respeitam o nível de confiança pré-estabelecido. Esta restrição é utilizada emambas as metodologias para a determinação das correspondências (local - “Sem Optimização” e global - “ComOptimização”) e previne a correspondência entre nodos quetenham uma fraca afinidade entre si. Esta restrição evita que dois objectos com diferenças significativas de, por exemplo,forma tenham um bom resultado de emparelhamento. Arelevância desta restrição é superior quando é utilizada a metodologia global (“Com Optimização”), visto que esta encontra sempre o número máximo de emparelhamentospossível, do tipo “um com um” (pois a solução obtida respeitaobrigatoriamente as restrições de igualdade do problema deafectação clássico).

IV. SOLUÇÃO PARA OS NODOS EM EXCESSO

Caso o número de nodos nos dois objectos a emparelharnão seja o mesmo, com a restrição habitual deemparelhamento do tipo “um com um” existemnecessariamente nodos em excesso que não serão emparelhados. A solução encontrada foi inicialmenteacrescentar nodos fictícios ao modelo com o menor número de elementos, solucionando-se assim o requisito da matriz dos custos [C] ter necessariamente de ser quadrada, no problemade afectação clássico. Após a fase de optimização, os nodosem excesso são correspondidos de forma adequada utilizando-se um critério de vizinhança. Desta forma são permitidascorrespondências do tipo “um com vários” e vice-versa para os nodos em excesso.

Este emparelhamento, baseado no critério de vizinhança,pode ser descrito resumidamente do seguinte modo: Para cada um dos nodos não emparelhados, o algoritmo implementadoenquadra-o entre os nodos vizinhos mais próximos, jácorrespondidos. A partir das correspondências desses nodos vizinhos no outro objecto, determina-se a melhorcorrespondência minimizando o custo, considerando que os nodos vizinhos devem permanecer vizinhos e não devemexistir correspondências cruzadas. Tal como na fase deoptimização, os emparelhamentos obtidos só serão considerados, se o nível de confiança pré-estabelecido forrespeitado.

A Fig. 1 esquematiza dois exemplos para facilitar acompreensão do algoritmo implementado com o objectivo de emparelhar nodos correspondidos com nodos fictícios. Estealgoritmo, denominado por ADCom, na versão actual da implementação desenvolvida, só pode ser aplicado a objectosdo tipo contorno, pois os critérios de vizinhança consideradossó são aplicáveis a estes.

Na Fig. 1 (a), o número de nodos do primeiro objecto ésuperior ao número de nodos do segundo. Nessa figura osnodos V1 e V3 foram emparelhados, na fase de optimização,com os nodos V4 e V5, respectivamente. Na mesma fase, o

nodo V2 foi emparelhado com um nodo fictício. O algoritmoADCom procura nos nodos entre V4 e V5, o que apresenta a maior afinidade com o nodo V2, emparelhando-os caso o nívelde confiança pré-estabelecido seja respeitado. Para estesnodos tem-se um emparelhamento do tipo “vários com um”.Na Fig. 1 (b), o número de nodos do primeiro objecto éinferior ao número de nodos do segundo. Neste caso, oprocedimento é idêntico, sendo a análise efectuada dosegundo objecto para o primeiro, resultando para estes nodos um emparelhamento do tipo “um com vários”.

(a) (b)Fig. 1. Exemplificação dos procedimentos do algoritmo ADCom.

Note-se que, para todos os algoritmos implementados, nãoé considerada nenhuma informação sobre a sequência de imagens original nem qualquer relação entre os objectos a emparelhar.

V. RESULTADOS

Nesta secção são apresentados alguns exemplos de resultados experimentais obtidos com os métodos propostosnesta comunicação. A comparação entre as duas metodologiasbase anteriormente desenvolvidas (geométrica e física) não vaiser apresentada neste documento, mas pode ser encontrada em[14].

Os algoritmos adoptados foram integrados numaplataforma de desenvolvimento e ensaio, que contém funçõespara processamento e análise de imagem e para computaçãográfica [14, 51].

Nos resultados expostos, será apenas apresentada acomparação entre a metodologia previamente desenvolvida para a determinação das correspondências, baseada numaabordagem local (“Sem Optimização”) e a nova metodologiaproposta, baseada numa abordagem global (“ComOptimização”). Não é apresentada uma análise discriminadados resultados obtidos por cada algoritmo de optimizaçãoconsiderado, pois tanto o número de emparelhamentos como o custo total associado foram sempre iguais, para as três técnicas de optimização. No entanto, na secção das conclusõesé comentada a eficiência desses algoritmos, em termos dotempo de execução requerido.

Os exemplos apresentados provenientes de imagenssintéticas, permitem verificar a qualidade dos resultadosobtidos, através da verificação da ordem dos nodos. Comobjectos do tipo contorno essa verificação torna-se tambémvisualmente facilitada.

Cada um dos exemplos apresentados é composto por doisconjuntos de dados pontuais, provenientes de imagens

Tipo “Vários com Um” Tipo “Um com Vários”

V1

V2

V3V5

V4 U30.9

0.25

U1

U2

U4

U5

0.30.7


distintas.O primeiro exemplo apresentado é composto por dois

conjuntos de dados pontuais de contornos sintéticos de uma“árvore”, com duas orientações distintas. Os dois objectos aemparelhar são apresentados na Fig. 2. Alguns resultadosnuméricos provenientes da determinação dascorrespondências utilizando a metodologia física, são apresentados na Tabela I e ilustrados na Fig. 3.

Fig. 2. Dados pontuais do exemplo 2D – tree1 (62 nodos) e tree2 (62 nodos),respectivamente.

(a) (b)Fig. 3. Emparelhamentos entre os objectos tree1 e tree2 utilizando o método:(a) “Sem Optimização”; (b) “Com Optimização”.

TABELA IRESULTADOS DO EXEMPLO 2D – TREE1 E TREE2.

Algoritmo de Emp. Nº Emp. (%) Custo Figura

“Sem Optimização” 59 (95%) 25.1491 3(a)“Com Optimização” 62 (100%) 27.8061 3(b)

Através da análise dos resultados obtidos, é possívelverificar que o custo total dos emparelhamentos é superiorquando é utilizado um método de optimização. No entanto,com estes métodos é obtido o maior número deemparelhamentos possível. Na Fig. 3 (b) encontra-seassinalada (com o auxílio de uma seta) uma zona onde existememparelhamentos que não foram encontrados com o algoritmo“Sem Optimização” (Fig. 3 (a)).

O segundo exemplo 2D é constituído por dois conjuntos sintéticos de dados pontuais do contorno de um “avião”, comdiferentes escalas e amostragens (Fig. 4). Nas Fig. 5, Fig. 6 e Fig. 7 são apresentados os resultados do emparelhamentoutilizando a metodologia geométrica e, respectivamente, asolução de índole local, a de optimização e a do algoritmoADCom. Na Tabela II são apresentados alguns resultadosnuméricos deste exemplo.

Fig. 4. Dados pontuais do segundo exemplo 2D – airplaneA (152 nodos) e airplaneB (126 nodos), respectivamente.

Fig. 5. Emparelhamento entre os objectos airplaneA e airplaneB usando a solução anterior (local).

Fig. 6. Emparelhamento entre os objectos airplaneA e airplaneB usando a solução proposta.

Na zona assinalada na Fig. 6 evidencia-se umemparelhamento obtido com o algoritmo “Com Optimização”,que não foi obtido com êxito com o algoritmo “SemOptimização” (Fig. 5). Para além deste emparelhamento,existe também um maior número de correspondências na Fig.6, nas zonas dos objectos com uma amostragem mais fina. As zonas assinaladas na Fig. 7 mostram correspondências visíveisdo tipo “vários com um”, obtidas pelo algoritmo ADCom.

Com o algoritmo “Sem Optimização” obtiveram-se 73%dos emparelhamentos. Já com o algoritmo “ComOptimização” obtiveram-se 100% dos emparelhamentospossíveis do tipo “um com um”. Com a aplicação do


algoritmo ADCom emparelharam-se todos os nodos emexcesso do objecto com o maior número de elementos.

Fig. 7. Correspondência dos nodos em excesso (algoritmo ADCom) do objecto AirplaneA.

TABELA IIRESULTADOS DO SEGUNDO EXEMPLO 2D – AIRPLANEA E AIRPLANEB.


“Sem Optimização” 92 (73%) 2.97082 5“Com Optimização” 126 (100%) 3.76136 6ADCom 152 (100%) 5.06493 7

Segue-se um exemplo real composto por dois contornos deum coração (Fig. 8). Nas Fig. 9, Fig. 10 e Fig. 11 e na Tabela III encontram-se os resultados da determinação das correspondências, utilizando a metodologia física e os algoritmos “Sem Optimização”, “Com Optimização” e ADCom.

Fig. 8. Dados pontuais do terceiro exemplo 2D – heart1 (32 nodos) e heart2(28 nodos), respectivamente.

Na Fig. 10 encontra-se assinalada a zona onde se obteveum emparelhamento com o algoritmo “Com Optimização”,que não foi obtido com êxito com o algoritmo “SemOptimização” (Fig. 9). As zonas assinaladas na Fig. 11mostram emparelhamentos visíveis do tipo “vários com um”.

Com o algoritmo “Sem Optimização” obtiveram-se 96%dos emparelhamentos. Já com o algoritmo “ComOptimização” obtiveram-se 100% dos emparelhamentospossíveis do tipo “um com um”. Com a aplicação do algoritmo ADCom emparelharam-se os quatro nodos emexcesso do objecto com o maior número de elementos(heart1).

Fig. 9. Emparelhamento entre os objectos heart1 e heart2 usando a soluçãoanterior (local).

Fig. 10. Emparelhamento entre os objectos heart1 e heart2 usando a solução proposta.

Figura 11: Correspondência dos nodos em excesso (algoritmo ADCom) do objecto heart1.

TABELA IIIRESULTADOS DO TERCEIRO EXEMPLO 2D – HEART1 E HEART2.


“Sem Optimização” 27 (96%) 2.08601 9Com Optimização” 28 (100%) 2.26018 10ADCom 32 (100%) 2.66535 11

O seguinte exemplo é constituído por dois objectos 3Dsintéticos, compostos por dados pontuais de uma “face”, comdiferentes resoluções (amostragens) (Fig. 12). Na Tabela IV encontram-se os resultados da determinação das correspondências, utilizando a metodologia geométrica e os algoritmos “Sem Optimização” e “Com optimização”. As ilustrações desses resultados encontram-se nas Fig. 13 e Fig.14.

Figura 12: Dados pontuais do primeiro exemplo 3D – francut1 (328 nodos) e francut2 (161 nodos) respectivamente.


Figura 13: Emparelhamentos entre os objectos francut1 e francut2 utilizando o método “Sem Optimização” (vista de frente e vista de trás, respectivamente).

Figura 14: Emparelhamentos entre os objectos francut1 e francut2 utilizando o método “Com Optimização” (vista de frente e vista de trás,respectivamente).

Os resultados da Tabela IV indicam que a metodologia deemparelhamento baseada em técnicas de optimização é maiseficiente do que a metodologia de cariz local, previamenteexistente, visto que consegue 100% dos emparelhamentospossíveis (do tipo “um com um”) entre os dois objectos. Comoconsequência do elevado número de correspondênciasencontradas, o custo total associado às correspondênciasdeterminadas é superior.

TABELA IVRESULTADOS DO PRIMEIRO EXEMPLO 3D – FRANCUT1 E FRANCUT2.

Algoritmo de Emp. Nº Emp. (%) Custo Figura“Sem Optimização” 109 (68%) 8.35145 13“Com Optimização” 161 (100%) 12.3884 14

No último exemplo apresentado são emparelhados doisobjectos (Fig. 15) extraídos de duas imagens reais obtidasnum exame de pedobarografia dinâmica [14, 52], em instantesde tempo diferentes. Alguns resultados numéricos obtidos na realização deste ensaio são apresentados na Tabela V. Nas Fig. 16 e Fig. 17 são apresentadas as imagens resultantes doemparelhamento dos dois objectos referidos. Neste exemplofoi utilizada a metodologia física, considerando que os objectos são compostos por borracha (material virtual).

Figura 15: Dados pontuais do segundo exemplo 3D – pe1 (117 nodos) e pe2(112 nodos) respectivamente.

Os emparelhamentos encontrados não são totalmentesatisfatórios, com nenhum dos métodos utilizados (sem ou com optimização). No entanto, o método “Com Optimização”

determina 100% das correspondências (sendo a maior partedestas satisfatórias), enquanto o método “Sem Optimização”determina apenas 29% das correspondências (sendo partedelas insatisfatórias).

Figura 16: Emparelhamentos entre os objectos pe1 e pe2 utilizando o método“Sem Optimização” (vista de frente e vista de trás, respectivamente).

Figura 17: Emparelhamentos entre os objectos pe1 e pe2 utilizando ummétodo “Com Optimização” (vista de frente e vista de trás, respectivamente).

TABELA VRESULTADOS DO SEGUNDO EXEMPLO 3D – PE1 E PE2.


“Sem Optimização” 32 (29%) 5.38808 16“Com Optimização” 112 (100%) 21.9715 17

VI. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS DEDESENVOLVIMENTOS FUTUROS

Os vários ensaios experimentais realizados, algunsreportados neste artigo, permitem a apresentação de algumasobservações e conclusões.

A metodologia proposta, para a determinação de correspondências entre dois objectos, que utiliza optimização,quando comparada com a metodologia anteriormentedesenvolvida, de cariz local, obteve sempre um númerosuperior de emparelhamentos satisfatórios.

O número de emparelhamentos obtido com a técnica de optimização é independente do algoritmo considerado (Húngaro, Simplex para problemas de fluxo ou LAPm).

O algoritmo que utiliza o método Húngaro mostrou-sepouco eficiente em termos do tempo de execução. Já oalgoritmo Simplex para problemas de fluxo, nos váriosexemplos experimentais efectuados, mostrou-se o maiseficiente. O algoritmo LAPm obteve um tempo de execuçãosuperior ao segundo (Simplex), mesmo sendo um algoritmomais específico para o tipo de problema em questão. Pensa-se que tal facto se deve ao intervalo em que se encontram os elementos da matriz de afinidade, [0; 2], pois quando estealgoritmo foi testado em [53] revelou-se o mais eficientequando considerado o intervalo [1; 100].

Em alguns ensaios experimentais efectuados notou-se que, para se obter resultados de emparelhamento satisfatórios, a escolha dos parâmetros da metodologia de base (geométricaou física), para a construção da matriz de afinidade, teve que ser “mais cuidada”, quando foi utilizado o método de emparelhamento previamente existente (de índole local).


Nesses mesmos exemplos, a aplicação do método de emparelhamento proposto neste artigo, baseado em técnicasde optimização, além de produzir bons resultados deemparelhamento, revelou-se menos sensível aos valores dos vários parâmetros considerados na metodologia global(utilizando a abordagem física ou geométrica). Tal sugere que com o método de emparelhamento proposto é possível tornar a metodologia global mais fácil de usar e adaptável a diferentesaplicações.

Em alguns dos exemplos considerados, o número de modosde vibração necessários na construção da matriz de afinidade para a obtenção de correspondências satisfatórias, utilizando o método proposto baseado em técnicas de optimização, foiinferior ao número de modos necessários com o método deemparelhamento local, previamente existente. Tal sugere que,com o método de emparelhamento proposto, o esforço computacional total exigido pela metodologia global poderá ser menor.

Em situações em que a metodologia local (“SemOptimização”) não apresenta um comportamento satisfatório [14], como é o caso dos objectos a emparelhar sofreremelevadas rotações ou deformações, a metodologia global(“Com Optimização”) também produz resultados insatisfatórios.

Nos vários ensaios realizados, o algoritmo implementadopara a determinação das correspondências dos nodos emexcesso obtém emparelhamentos satisfatórios, quandoaplicado a objectos do tipo contorno. Tal permite-nos concluirque o referido algoritmo poderá constituir uma base interessante para o desenvolvimento de novas soluções para a determinação de correspondências do tipo “um com vários” e vice-versa, e que a sua aplicabilidade deverá ser estendida a objectos mais complexos.

O emparelhamento do tipo “um com vários” ou vice-versapoderá ser apenas aplicado a parte de um objecto. Talaplicação poderá ser interessante em zonas em que ocorradilatação/contracção e/ou em zonas com amostragensdiferentes.

Na optimização das correspondências deverão ser consideradas nos trabalhos futuros as restrições de vizinhança e ordem, para além do nível de confiança já considerado. Paratal sugere-se a utilização do nível de confiança de cadaemparelhamento, para a escolha dos nodos que deverão “guiar” o decurso de tal processo.

O desenvolvimento de uma aplicação que determine as correspondências ao longo de sequências de imagens, é também uma tarefa a realizar. Nessa aplicação, deverão serincluídas restrições a considerar ao longo de toda a sequênciade imagens em estudo. Por exemplo, ao longo da mesma aordem dos nodos não deverá ser alterada em demasia.Também nesta aplicação deverá ser utilizada/integrada a informação que vai sendo obtida ao longo da sequência. Atítulo de exemplo, se o ponto A do objecto t está emparelhadocom o ponto B do objecto , então no objecto , o ponto a emparelhar com B, deverá estar na vizinhança desse.

1t 2t

Outra tarefa a considerar nos tempos futuros, será a

necessária e obrigatória validação da metodologia proposta emexemplos concretos e interessantes de aplicação.

VII. AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao Professor Doutor A. Volgenant, por disponibilizar o artigo e o código fonte do seu algoritmode optimização (LAPm) utilizado neste trabalho.

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IX. BIOGRAFIAS

Luísa F. Bastos licenciou-se emMatemática Aplicada à Tecnologia na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto em 2000.Em 2003 obteve o grau de Mestre em MétodosComputacionais em Ciências e Engenharia naFaculdade de Ciências e na Faculdade deEngenharia da Universidade do Porto.

Entre 2000 e 2001 trabalhou como bolseirade investigação no Departamento de MatemáticaAplicada da Faculdade de Ciências daUniversidade do Porto, em colaboração com a Medical Educcational Technology, Inc. (METI),onde desenvolveu trabalho na área de modelaçãomatemática da farmacocinética. Desde 2001

trabalha como bolseira de investigação no Laboratório de Óptica e Mecânica Experimental, do Instituto de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial, onde desenvolve trabalho na área de visão computacional.

João Manuel R. S. Tavares licenciou-se em Engenharia Mecânica, opção projecto demáquinas, na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto em 1992. Em 1995obteve o grau de Mestre em EngenhariaElectrotécnica e de Computadores, na área de especialização de Informática Industrial, namesma Instituição como bolseiro de Mestrado da Junta Nacional de Investigação Cientifica.Obteve o grau de Doutor em EngenhariaElectrotécnica e de Computadores, na mesmaInstituição em 2001 como bolseiro de Doutoramento da Fundação para a Ciência e a Tecnologia.

Desde 1995 e até 2000 é investigador no Instituto de Engenharia Biomédica, Grupo de Arquitecturas e Sistemas. A partir de 2001 é investigador sénior no Laboratório de Óptica e Mecânica Experimental, doInstituto de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial, e colaborador do Instituto de Engenharia Biomédica. Desde 2001 é Prof. Auxiliar do Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial da Faculdade deEngenharia da Universidade do Porto. Dos actuais interesses de investigaçãodestacam-se: análise de movimento de corpos rígidos e não rígidos utilizando visão computacional; visão 3D; computação gráfica. É membro da IEEE desde 1995.


José A. Segovia (M'97) nacido en Jaén, España, en 1980. Recibió el título de Ingeniero de Telecomunicación por la Universidad de Sevilla, Sevilla, España, en 2003. Desde 2004 es acreedor de una beca FPU otorgada por el Ministerio de Educación y Ciencia. En la actualidad es investigador de la Universidad de Sevilla y también de AICIA, una asociación de investigación sin ánimo de lucro. Sus líneas de investigación incluyen Microsistemas y Telemedicina.

Cristina López Tarrida, nacida en Sevilla, España, en 1979. En el año 2000 se incorporó al Departamento de Ingeniería Electrónica de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla, Sevilla, España, donde actualmente trabaja como Técnico Especialista y prepara la obtención del Título de Ingeniero Industrial de dicha Universidad. Sus líneas de investigación se centran en la aplicación de las nuevas tecnologías y telemetría en el ámbito de la Medicina (Telemedicina) y el desarrollo de sistemas

móviles orientados a la creación de ambiente inteligente en el entorno de usuario.

Juan Jesús Santana, nacido en Sevilla, España, en 1963. Es especialista en medicina del trabajo y académico de la academia de ciencias, siendo presidente de la compañía CARDIPLUS S.L., empresa dedicada a la telecardiología desde su fundación. Actualmente dirige proyectos en Europa, en Latinoamérica y en Oriente Medio.

Carlos D. Santana, nacido en Sevilla, España, en 1971. Recibió el titulo de Ingeniero Informático por la Universidad de Sevilla, España, en 2001. Desde el año 1998 hasta el año 2000 ha estado trabajando para el desarrollo y soporte de proyectos informáticos de la empresa ENDESA. Desde el año 2000 hasta la actualidad trabaja para la empresa CARDIPLUS S.L. como Director de Sistemas, desarrollando proyectos de Telemedicina.


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