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Paulo B. Correia Unicamp 1
EM503 Metodos numericos
Design otimo
Paulo de Barros CorreiaDE FEM Unicamp
2 semestre de 2014
-
Aula 1: Introducao
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 2
-
Otimizacao
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 3
l Nocao informal
melhoramento
l Conceito formalmaxx{f(x) : x S}
-
Realidade e modelo
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 4
ProblemaReal
// ProgramaMatematico
Pacotes
SolucaoReal
Solucao
Otimaoo
-
Modelos basicos
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 5
l PL: programacao linear
F Lindo: www.lindo.com
F Gams: www.gams.com
F Excel: solver
l PNL: programacao nao-linear
F Lingo: www.lindo.com
F Gams: www.gams.com
F Excel: solver
l PD: programacao dinamica
F Modelos especficos
-
Atividades de engenharia
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 6
l Analise
l Projeto (design) otimizacaol Fabricacao
l Venda/compra
l Pesquisa/desenvolvimento
-
Modelos de otimizacao
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 7
l Conceitos basicos
l Pacotes computacionais
l Programacao linear: PL
l Programacao nao-linear: PNL
F Modelos sem restricoes
F Modelos com restricoes
-
Abordagem tradicional
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 8
Dados
Projeto inicial
Analise do sistema
Projeto ajustadooo
Avaliacao do desempenho
Projeto OK ?
S N
// Alteracoes
OO
Projeto final
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Abordagem por otimizacao: sntese
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 9
Variaveis, criterio, restricoes
Dados
Projeto inicial(otimizado)
Analise do sistema
Projeto otimizadooo
Avaliacao das restricoes
Convergencia OK ?
S N
// Alteracoes
OO
Projeto final
-
Problema de otimizacao: PNL
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 10
Max f(x) (funcao objetivo)s.a g(x) 0 (restricoes funcionais)
x X (restricoes implcitas)
-
Lata de conserva
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 11
l Criterio
F Minimizar a area total
l Restricoes
F Diametro
n Maior ou igual a 3,5 cm
n Menor ou igual a 8 cm
F Altura
n Maior ou igual a 8 cm
n Menor ou igual a 18 cm
F Capacidade
n Maior do que 400 cm3
-
Lata de conserva
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 12
Variaveis de decisao
l Diametro D
l Altura H
Criterio
l Area mnima
Restricoes
l Diametro D
l Altura H
l Volume V
-
Lata de conserva
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 13
Funcao objetivo
Min piDH +pi
2D2
Restricoes funcionais
V =pi
4D2H 400
Restricoes implcitas
3, 5 D 8, 08, 0 H 18, 0
-
Programacao nao-linear: PNL
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 14
Min piDH + pi2D2
s.a pi4D2H 400
3, 5 D 8, 08, 0 H 18, 0
-
Programacao linear: PL
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 15
Max cx
s.a Ax bx X
-
Logstica
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 16
Processamento diario de madeira
l Existem 2 florestas com capacidades limitadas
l Existem 2 centros de processamentos com capacidadeslimitadas
l O custo de transporte e conhecido
l A demanda diaria e conhecida
-
Logstica
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 17
Rede de transporte
200 a1 +3 GFED@ABCF1 //
&&MMMM
MMMM
MMMM
MMGFED@ABCC1 +3 b1 240
200 a2 +3 GFED@ABCF2 //
88qqqqqqqqqqqqqq GFED@ABCC2 +3 b2 300Demanda diaria
D = 300
-
Distancias
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 18
Km F1 F2 CapacidadeC1 24,0 20,5 240C2 17,2 18,0 300
Capacidade 200 200
-
Custos: $0,15/(km tora)
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 19
$ F1 F2 CapacidadeC1 3,600 3,075 240C2 2,580 2,700 300
Capacidade 200 200
-
Transporte
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 20
Min 3.6x11 + 3.075x12 + 2.58x21 + 2.7x22s.a x11 + x12 200
x21 + x22 200x11 + x21 240x12 + x22 300
x11 + x12 + x21 + x22 300x11 0, x12 0, x21 0, x22 0
-
Tanque termico esferico
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 21
Dados conhecidos
l Raio do tanque: r
l Diferenca de temperatura: T
l Resistividade termica do isolante: c1
l Custo do isolante: C2
l Custo do equipamento: C3
l Custo operacional: 6, 14457C4 (VP)
-
Tanque termico esferico
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 22
rt
Area: A = 4pir2
Isolamento: t
-
Tanque termico esferico
Aula 1: Introducao
vOtimizacao
vRealidade e modelo
vModelos basicos
vAtividades deengenharia
vModelos de otimizacao
vAbordagem tradicional
vAbordagem porotimizacao: sntese
vProblema deotimizacao: PNL
v Lata de conserva
v Lata de conserva
v Lata de conserva
vProgramacaonao-linear: PNL
vProgramacao linear:PL
v Logstica
v Logstica
vDistancias
vCustos: $0,15/(kmtora)
vTransporte
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
vTanque termicoesferico
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos de
Paulo B. Correia Unicamp 23
Formulacao
Min C2At+ C3G+ 6, 14457C4Gs.a A = 4pir2
G = 365 24 TAc1tt 0
-
Aula 2: Pacotes computacionais
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
vModelo LINGO
v Lata: modelo LINGO
v Lata: solucao LINGO
v Logstica: modeloLINGO
v Logstica: solucaoLINGO
vModelo LINDO
v Logstica: modeloLINDO
v Logstica: solucaoLINDO
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 10: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 11: Programacaonao-linear restrita
Paulo B. Correia Unicamp 24
-
Modelo LINGO
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
vModelo LINGO
v Lata: modelo LINGO
v Lata: solucao LINGO
v Logstica: modeloLINGO
v Logstica: solucaoLINGO
vModelo LINDO
v Logstica: modeloLINDO
v Logstica: solucaoLINDO
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 10: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 11: Programacaonao-linear restrita
Paulo B. Correia Unicamp 25
! Incio do modelo;
MODEL:
! Estrutura de dados;
SETS:
ENDSETS
! Inicializacao de parametros;
DATA:
ENDDATA
! Formulacao do problema
END
-
Lata: modelo LINGO
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
vModelo LINGO
v Lata: modelo LINGO
v Lata: solucao LINGO
v Logstica: modeloLINGO
v Logstica: solucaoLINGO
vModelo LINDO
v Logstica: modeloLINDO
v Logstica: solucaoLINDO
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 10: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 11: Programacaonao-linear restrita
Paulo B. Correia Unicamp 26
MODEL:
DATA:
H_MIN = 8 ;
H_MAX = 18 ;
D_MIN = 3.5 ;
D_MAX = 8 ;
CAP_MIN = 400 ;
PI = 3.141593 ;
ENDDATA
! Objetivo;
[OBJ] MIN = (PI * D * H) + (0.5 * PI * D2) ;
! Capacidade ;
0.25 * PI * D2 * H >= CAP_MIN;
! Altura;
H >= H_MIN;
H = D_MIN;
D
-
Lata: solucao LINGO
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
vModelo LINGO
v Lata: modelo LINGO
v Lata: solucao LINGO
v Logstica: modeloLINGO
v Logstica: solucaoLINGO
vModelo LINDO
v Logstica: modeloLINDO
v Logstica: solucaoLINDO
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 10: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 11: Programacaonao-linear restrita
Paulo B. Correia Unicamp 27
Optimal solution found at step: 6
Objective value: 300.5305
Variable Value Reduced Cost
H_MIN 8.000000 0.0000000E+00
H_MAX 18.00000 0.0000000E+00
D_MIN 3.500000 0.0000000E+00
D_MAX 8.000000 0.0000000E+00
CAP_MIN 400.0000 0.0000000E+00
PI 3.141600 0.0000000E+00
D 7.978836 0.0000000E+00
H 8.000000 0.0000000E+00
Row Slack or Surplus Dual Price
OBJ 300.5305 1.000000
2 0.3059313E-07 -0.5006631
3 0.0000000E+00 -0.3315666E-01
4 10.00000 0.0000000E+00
5 4.478836 0.0000000E+00
6 0.2116372E-01 0.0000000E+00
-
Logstica: modelo LINGO
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
vModelo LINGO
v Lata: modelo LINGO
v Lata: solucao LINGO
v Logstica: modeloLINGO
v Logstica: solucaoLINGO
vModelo LINDO
v Logstica: modeloLINDO
v Logstica: solucaoLINDO
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 10: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 11: Programacaonao-linear restrita
Paulo B. Correia Unicamp 28
MODEL:
SETS:
FLORESTA / F1, F2 / : CAP_F;
CENTRO / C1, C2 / : CAP_C;
ROTAS( FLORESTA, CENTRO) : DISTANCIA, VOLUME;
ENDSETS
DATA:
CAP_F = 200, 200 ;
CAP_C = 240, 300 ;
DISTANCIA = 24.0, 20.5, 17.2, 18.0;
CUSTO = 0.15;
DEMANDA = 300;
ENDDATA
! Objetivo;
[OBJ] MIN = @SUM( ROTAS: CUSTO * DISTANCIA * VOLUME);
! Floresta;
@FOR( FLORESTA( I): @SUM( CENTRO( J): VOLUME( I, J))
-
Logstica: solucao LINGO
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
vModelo LINGO
v Lata: modelo LINGO
v Lata: solucao LINGO
v Logstica: modeloLINGO
v Logstica: solucaoLINGO
vModelo LINDO
v Logstica: modeloLINDO
v Logstica: solucaoLINDO
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 10: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 11: Programacaonao-linear restrita
Paulo B. Correia Unicamp 29
Objective value: 823.5000
Variable Value Reduced Cost
CUSTO 0.1500000 0.0000000E+00
DEMANDA 300.0000 0.0000000E+00
CAP_F( F1) 200.0000 0.0000000E+00
CAP_F( F2) 200.0000 0.0000000E+00
CAP_C( C1) 240.0000 0.0000000E+00
CAP_C( C2) 300.0000 0.0000000E+00
DISTANCIA( F1, C1) 24.00000 0.0000000E+00
DISTANCIA( F1, C2) 20.50000 0.0000000E+00
DISTANCIA( F2, C1) 17.20000 0.0000000E+00
DISTANCIA( F2, C2) 18.00000 0.0000000E+00
VOLUME( F1, C1) 0.0000000E+00 0.5250000
VOLUME( F1, C2) 100.0000 0.0000000E+00
VOLUME( F2, C1) 200.0000 0.0000000E+00
VOLUME( F2, C2) 0.0000000E+00 0.1200000
Row Slack or Surplus Dual Price
OBJ 823.5000 1.000000
2 100.0000 0.0000000E+00
3 0.0000000E+00 0.4950000
4 40.00000 0.0000000E+00
5 200.0000 0.0000000E+00
6 0.0000000E+00 -3.075000
-
Modelo LINDO
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
vModelo LINGO
v Lata: modelo LINGO
v Lata: solucao LINGO
v Logstica: modeloLINGO
v Logstica: solucaoLINGO
vModelo LINDO
v Logstica: modeloLINDO
v Logstica: solucaoLINDO
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 10: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 11: Programacaonao-linear restrita
Paulo B. Correia Unicamp 30
! Incio do modelo: funcao objetivo
MIN
! Incio das restricoes
ST
! Final das restricoes
END
! Final do modelo
-
Logstica: modelo LINDO
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
vModelo LINGO
v Lata: modelo LINGO
v Lata: solucao LINGO
v Logstica: modeloLINGO
v Logstica: solucaoLINGO
vModelo LINDO
v Logstica: modeloLINDO
v Logstica: solucaoLINDO
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 10: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 11: Programacaonao-linear restrita
Paulo B. Correia Unicamp 31
Min 3.6 x11 + 3.075 x12 + 2.58 x21 + 2.7 x22
st
x11 + x12
-
Logstica: solucao LINDO
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
vModelo LINGO
v Lata: modelo LINGO
v Lata: solucao LINGO
v Logstica: modeloLINGO
v Logstica: solucaoLINGO
vModelo LINDO
v Logstica: modeloLINDO
v Logstica: solucaoLINDO
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Aula 9: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 10: Programacaonao-linear irrestrita
Aula 11: Programacaonao-linear restrita
Paulo B. Correia Unicamp 32
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 823.5000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X11 0.000000 0.525000
X12 100.000000 0.000000
X21 200.000000 0.000000
X22 0.000000 0.120000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 100.000000 0.000000
3) 0.000000 0.495000
4) 40.000000 0.000000
5) 100.000000 0.000000
6) 0.000000 -3.075000
NO. ITERATIONS= 2
-
Aula 3: Exemplos de formulacao
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 33
-
Apoio com 2 barras
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 34
h
s/2s/2
W
l
-
Apoio com 2 barras
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 35
-
Apoio com 2 barras: tubo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 36
l x1 altura h
l x2 afastamento s
l x3 diametro externo da barra 1
l x4 diametro interno da barra 1
l x5 diametro externo da barra 2
l x6 diametro interno da barra 2
-
Apoio com 2 barras: tubo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 37
AreaA1 =
pi
4(x23 x24); A2 =
pi
4(x25 x26)
Massa
M = l(A1 +A2) = (x21 + 0, 5x
22)pi
4(x23 x24 + x25 x26)
Tensao
1 =F1A1
; 2 =F2A2
-
Coluna tubolar
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 38
t
2RRo
Ri
P
l
Ro Ri
-
Coluna tubolar
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 39
l Carga crtica
Pcr =pi2EI
4l2
A = 2piRt
I = piR3t
l CriterioMinimizar massa
l E Modulo de Young
l I Momento de inercia
-
Despacho de carga
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 40
G1 G2 L
-
Despacho de carga
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 41
C1
C2P1
P2
C1 = 1 P1 + P 21
C2 = 1 + 0, 6P2 + P22
-
Despacho de carga
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 42
l RestricaoP1 + P2 L
l CriterioMinimizar custo
-
Canal de agua
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 43
1 m
2 m
H2 A3
H1
A1
A2/2A2/2
w
-
Canal de agua
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 44
l RestricoesA1 +A3 = 150m
2
A1 = A2
l CriterioMinimizar movimento de terra
-
Pneu
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 45
Um pneu de 100 Kg e fabricado usando Borracha (B), Oleo (O) eCarvao (C) como insumos. Ele deve conter no mnimo 25 Kg e nomaximo 60 Kg de Borracha, e no mnimo 50 Kg de Carvao. Asseguintes especificacoes de Dureza (D), Elasticidade (E) e Tensao(T ), expressas em unidades convenientes, devem ser atendidas:
25 D 3516 E12 T
Para os insumos dados em Kg, as seguintes expressoes foramobtidas experimentalmente
T = 12, 5 0, 1O 0, 001O2E = 17 + 0, 35B 0, 04O 0, 002B2D = 34 + 0, 1B + 0, 06O 0, 3C + 0, 001BO + 0, 005O2 + 0, 001C2
-
Pneu
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 46
Os custos dos insumos sao dados pela tabela
Insumo $/Kg
B 4O 1C 7
l Criterio: minimizar custo
-
Compressor: 3 estagios
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 47
A energia usada em um compressor de gas com tres estagios edada por
E = K
{p1pE
+
p2p1
+
pSp2 3
}
As pressoes de entrada (pE = 64) e de sada (pS = 1000) saoconhecidas.
l Criterio: mnimizar o consumo de energiapE
pS
p1p2
-
Trocador de calor
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras
vApoio com 2 barras:tubo
vApoio com 2 barras:tubo
vColuna tubolar
vColuna tubolar
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vDespacho de carga
vCanal de agua
vCanal de agua
vPneu
vPneu
vCompressor: 3estagios
vTrocador de calor
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
Aula 7: Simplex 2 fases
Aula 8: Exemplo deprogramacao linear
Paulo B. Correia Unicamp 48
l Raio mnimo dos tubos internos: 5cm
l Area maxima total dos tubos internos: 2.000cm3
Casco externo
Tubos internos
l Maximizar a area de troca
-
Aula 4: Conceitos de otimizacao
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 49
-
Problema de otimizacao
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 50
l Problema irrestritominx{f(x)}
l Problema restrito
minx{f(x) : x S}
-
Otimo global: mnimo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 51
O ponto x e um mnimo global de f(x) em S se
f(x) f(x) : x S
-
Otimo local: mnimo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 52
O ponto x e um mnimo local de f(x) na vizinhanca N se
f(x) f(x) : x N
N = {x : x S com ||x x|| < }
-
Otimos: global e local
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 53
OOf(x)
//x
-
Teorema de Weirstrass
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 54
l Se f(x) e contnua no conjunto S, compacto (fechado elimitado) e nao-vazio
l Entao f(x) tem um otimo global em S
-
Teorema de Weirstrass: exemplos
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 55
O Teorema de Weirstrass pode ser aplicado nestes dois casos?
l f(x) = 1/x , e S = {x : 0 < x 1}l f(x) = 1/x , e S = {x : 0 x 1}A recproca do Teorema nao e verdade.
-
Gradiente
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 56
T f(x) =
f(x)x1
f(x)x2...
f(x)xn
-
Matriz Hessiana
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 57
H =
2f(x)x21
2f(x)x1x2
2f(x)x1xn2f(x)x2x1
2f(x)x22
2f(x)x2xn...
.... . .
...2f(x)xnx1
2f(x)xnx2
. . . 2f(x)x2n
-
Exemplo A
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 58
f(x) = (x1 1)2 + (x2 1)2
T f(x) = 2(x1 1)
2(x2 1)
H =
2 0
0 2
-
Exemplo B
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 59
f(x) = x31 + x32 + 2x
21 + 3x
22 x1x2 + 2x1 + 4x2
-
Exemplo B
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 60
f(x) = x31 + x32 + 2x
21 + 3x
22 x1x2 + 2x1 + 4x2
T f(x) =[
3x21 + 4x1 x2 + 23x22 + 6x2 x1 + 4
]
H =
[6x1 + 4 11 6x2 + 6
]
-
Serie de Taylor
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 61
Expansao da funcao f(x) em torno do ponto x
f(x) = f(x) +f(x x) + 12(x x)TH(x x) +R
-
Autovalor e autovetor
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 62
l Qualquer vetor nao-nulo x que satisfaz
Ax = x
e um autovetor da matrix Ann
l O autovalor correspondente e dado pela solucao da equacaocaracterstica
|A I| = 0
-
Formas quadraticas
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 63
F (x) =1
2(x)TA(x)
Para x, a matriz A e dital Negativa definida se xTAx < 0
l Negativa semi-definida se xTAx 0l Positiva definida se xTAx > 0
l Positiva semi-definida se xTAx 0
-
Formas quadraticas
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
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Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 64
A matriz A e
l Negativa definida se seus autovalores forem estritamentenegativos, i < 0
l Negativa semi-definida se seus autovalores negativos, i 0l Positiva definida se seus autovalores forem estritamente
positivos, i > 0
l Positiva semi-definida se seus autovalores forem estritamentepositivos, i 0
-
Mnimo irrestrito
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 65
l Condicao necessaria de primeira ordem
f(x) = 0
l Condicao necessaria de segunda ordem
xTHx 0
-
Exemplo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 66
Minimizar a seguinte funcao
f(x) = x21 + 2x1x2 + 2x22 2x1 + x2 + 8
-
Exemplo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 67
Condicao necessaria de primeira ordem
f(x) [
2x1 + 2x2 22x1 + 4x2 + 1
]=
[00
]
x =[
52 32
]
-
Exemplo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
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Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 68
Condicao suficiente de segunda ordem
l Hessiana
H =
[2 22 4
]
l Autovalores
|H I| = 2 22 4
= 0
-
Exemplo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
vProblema deotimizacao
v Otimo global: mnimo
v Otimo local: mnimo
v Otimos: global e local
vTeorema deWeirstrass
vTeorema deWeirstrass: exemplos
vGradiente
vMatriz Hessiana
vExemplo A
vExemplo B
vExemplo B
vSerie de Taylor
vAutovalor e autovetor
vFormas quadraticas
vFormas quadraticas
vMnimo irrestrito
vExemplo
vExemplo
vExemplo
vExemplo
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Paulo B. Correia Unicamp 69
Condicao suficiente de segunda ordem
l Autovalores
(2 )(4 ) 4 = 0
2 6+ 4 = 0
= [35, 3 +
5] > 0
l EntaoxTHx > 0, x
-
Aula 5: Condicoes de otimalidade
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 70
-
Problema restrito: simples
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 71
O problema restrito de otimizacao pode ser expresso como:
Min f(x)s.a x
-
Exemplo: solucao interior
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 72
x
f(x)
< x < edf(x)
dx= 0
-
Exemplo: solucao no limite superior
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 73
x
f(x)
x = edf(x)
dx< 0
-
Exemplo: solucao no limite inferior
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 74
x
f(x)
x = edf(x)
dx> 0
-
Conjunto convexo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 75
P1P2
P1P2
P1P2
P1 P2
l O conjunto S e convexo se:
P1, P2 S, P = [P1 + (1 )P2] S, [0, 1]
-
Funcao convexa
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 76
6
-x
f(x)
x1 x2
f(x1)
f(x2)
l A funcao f(x) e convexa se:
f(x1) + (1 )f(x2) f(x1 + (1 )x2) : [0, 1]
-
Funcao convexa: exemplo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 77
f(x) = x21 + x22 1
f(x) =[
2x12x2
]
H =
[2 00 2
] {2, 2} > 0
Como H e positiva definida, entao f(x) e estritamente convexa.
-
Problema convexo de otimizacao
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 78
l Minimizacao
F Funcao objetivo convexa
F Conjunto factvel convexo
l Maximizacao
F Funcao objetivo concava
F Conjunto factvel convexo
-
Problema restrito
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 79
O problema restrito de otimizacao pode ser expresso como:
Min f(x)s.a h(x) = 0
g(x) 0
-
Exemplo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 80
Min (x1 1, 5)2 + (x2 1, 5)2s.a x1 + x2 2 0
x1 0x2 0
-
Condicao necessaria
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 81
l Restricoes de igualdade
hi(x) = 0, i = 1, ..., p
l Restricoes de desigualdade
gj(x) 0, j = 1, ..., q
-
Lagrangiano: igualdade
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 82
ProblemaMin f(x)s.a h(x) = 0
LagragianoL(x,v) = f(x) + vh(x)
onde v1,...,p sao os multiplicadores de Lagrange
-
Condicao necessaria: igualdade
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 83
LagrangianoL(x,v) = f(x) + vh(x)
Condicao necessaria de primeira ordem
L(x,v) = 0
-
Exemplo: tanque
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 84
Problema
Min R2 +Rls.a piR2l V = 0, (V conhecido)
LagrangianoL = R2 +Rl + v(piR2l V )
-
Exemplo: tanque
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 85
LR = 2R+ l + 2pivRl = 0
Ll = R+ pivR
2 = 0
Lv = piR
2l V = 0Solucao:
R =(V
2pi
)1/3; l =
(4V
pi
)1/3; v =
1piR
-
Lagrangiano: desigualdade
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 86
ProblemaMin f(x)s.a g(x) 0
-
Condicao necessaria: desigualdade
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 87
Condicao necessaria de primeira ordem
f(x) + ug(x) = 0ug(x) = 0
u 0
-
Desigualdade igualdade
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 88
Problema equivalente
Min f(x)s.a g(x) + s2 = 0
LagragianoL(x,v, s) = f(x) + u[g(x) + s2]
-
Desigualdade igualdade
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 89
Condicao necessaria de primeira ordem
L(x, s,u) = 0
-
Exemplo
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 90
ProblemaMin (x1 1, 5)2 + (x2 1, 5)2s.a x1 + x2 2 0.
l Lagrangiano acrescentando s2
L = (x1 1, 5)2 + (x2 1, 5)2 + u(x1 + x2 2 + s2)
-
Exemplo: com s2
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 91
Lx1
= 2(x1 1, 5) + u = 0Lx2
= 2(x2 1, 5) + u = 0Lu = x1 + x2 2 + s2 = 0Ls = 2us = 0
l Solucao 1: factvel
x1 = x2 = 1, u
= 1, s = 0
l Solucao 2: infactvel
x1 = x2 = 1, 5, u
= 0, s2 = 1
-
Exemplo: sem s2
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 92
Lx1
= 2(x1 1, 5) + u = 0Lx2
= 2(x2 1, 5) + u = 0
ug(x) = u(x1 + x2 2) = 0
u 0
l Solucao 1: factvel
x1 = x2 = 1, u
= 1
l Solucao 2: infactvel
x1 = x2 = 1, 5, u
= 0
-
Ponto regular
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
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Aula 5: Condicoes deotimalidade
vProblema restrito:simples
vExemplo: solucaointerior
vExemplo: solucao nolimite superior
vExemplo: solucao nolimite inferior
vConjunto convexo
vFuncao convexa
vFuncao convexa:exemplo
vProblema convexo deotimizacao
vProblema restrito
vExemplo
vCondicao necessaria
v Lagrangiano:igualdade
vCondicao necessaria:igualdade
vExemplo: tanque
vExemplo: tanque
v Lagrangiano:desigualdade
Paulo B. Correia Unicamp 93
O ponto x e regular se
{g1(x), ...,gp(x)} (LI)
g(x) (LI)
-
Aula 6: Programacao linear
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 94
-
Programacao linear
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 95
Max cxs.a Ax = b
x 0
-
Programacao linear
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 96
Max cxs.a A1x b1
A2x b2A3x = b3
x 0
-
Programacao linear
Aula 1: Introducao
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Aula 3: Exemplos deformulacao
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Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 97
Max cxs.a A1x + s1 = b1
A2x s2 = b2A3x = b3
x 0s1 0s2 0
-
Exemplo: producao
Aula 1: Introducao
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Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 98
Produto 1 Produto 2 Disponibilidade
Recurso 1 1 2 50Recurso 2 1 0 30Recurso 3 0 1 20
Lucro unitario 1 1
-
Producao: formulacao
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Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 99
Max x1 + x2 = zs.a x1 + 2x2 50
x1 30x2 20
x1, x2 0
-
Conceitos
Aula 1: Introducao
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Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 100
l Solucao factvel
l Solucao basica (vertice)
l Solucao otima
-
Solucoes factveis
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Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 101
//x1
OOx2
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
S
-
Solucoes basicas
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 102
//x1
OOx2
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
OOOO
S
-
Numero de solucoes basicas
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 103
Problema com m restricoes e n variaveis
Numero SB =n!
m!(nm)!Para m = 150 e n = 300
300!
150! 150! 1089
-
Solucao otima
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 104
//x1
OOx2
OOOO
OOOO
OOOO
O
??c
??
??
??
??
??
??
??c
S
-
Solucao
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 105
Ax = b
BxB +NxN = b, tal que B1
xB = B1bB1NxN
-
Solucao basica
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vProgramacao linear
vExemplo: producao
vProducao: formulacao
vConceitos
vSolucoes factveis
vSolucoes basicas
vNumero de solucoesbasicas
vSolucao otima
vSolucao
vSolucao basica
vSolucao basica factvel
vFuncao objetivo
vSolucao basica factvelotima
vMetodo simplex: A
vMetodo simplex: B
vMetodo simplex: C
Paulo B. Correia Unicamp 106
xN = 0
xB = B1b
-
Solucao basica factvel
Aula 1: Introducao
Aula 2: Pacotescomputacionais
Aula 3: Exemplos deformulacao
Aula 4: Conceitos deotimizacao
Aula 5: Condicoes deotimalidade
Aula 6: Programacaolinear
vProgramacao linear