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Fsica 2Fsica 2

ELETRICIDADE E MAGNETISMO

Jaime E. Villate

Fsica 2. Eletricidade e Magnetismo

Jaime E. VillateFaculdade de Engenharia

Universidade do Porto

http://www.villate.org/livros

Fsica 2. Eletricidade e MagnetismoCopyright c 2009, 2010 Jaime E. VillateE-mail: [email protected]

Verso: 9 de Maio de 2011

ISBN: 978-972-99396-2-4

Este livro pode ser copiado e reproduzido livremente, respeitando os termos da LicenaCreative Commons Atribuio-Partilha (verso 2.5 Portugal). Para obter uma cpia destalicena, visite http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/pt/ou envie uma carta para Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford,California 94305, USA.

Contedo

Prefcio vii

1. Carga e fora eltrica 1Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1. Estrutura atmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Eletrizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Propriedades da carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Fora entre cargas pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Campo eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Condutores e Isoladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Carga por induo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Potencial, corrente e fora eletromotriz 15Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1. Potencial eletrosttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Pilhas qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Fora eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Condutores e semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5. Corrente eltrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Potencial e campo nos condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7. Potncia eltrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Resistncia eltrica 33Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1. Caratersticas tenso-corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. Caraterstica de uma bateria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4. Cdigo de cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5. Resistividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6. Supercondutividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7. Associaes de resistncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

iv Contedo

Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Condensadores 51Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1. Capacidade de um condutor isolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2. Esfera condutora isolada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3.1. Condensador plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.2. Ultracondensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4. Energia eltrica armazenada num condensador . . . . . . . . . . . . . . . 604.5. Associaes de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Circuitos de corrente contnua 67Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1. Diagramas de circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2. Leis dos circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3. Dodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4. Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4.1. Descarga de um condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.4.2. Acumulao de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


6. O campo eltrico 83Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.1. Campo eltrico produzido por cargas pontuais . . . . . . . . . . . . . . . 846.2. Propriedades das linhas de campo eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3. Fluxo eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4. Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4.1. Campo de um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.4.2. Campo de um fio retilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4.3. Campo de uma esfera condutora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


7. Potencial eletrosttico 97Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.1. Potencial e campo eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.2. Potencial de cargas pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.3. Superfcies equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.4. Pontos crticos do potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Contedo v

7.5. Potencial e energia eletrosttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.6. Potencial nos condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.6.1. Potencial de uma esfera condutora . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8. O campo magntico 111Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.1. Fora magntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.2. Fora magntica sobre condutores com corrente . . . . . . . . . . . . . . 1158.3. Momento magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.4. Fora magntica sobre partculas com carga . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.5. Campo magntico de um fio com corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.6. Fora entre condutores com corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9. Induo eletromagntica 129Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.1. Campo eltrico induzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.2. Gerador de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.3. Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.4. Gerador de corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.5. Indutncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.6. Auto-indutncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.7. Circuito LR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.8. Motores de corrente contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.Circuitos de corrente alternada 145Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.1. Tenso alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.2. Tenso eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.3. Reatncia e impedncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14910.4. Associao de impedncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.5. Ressonncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.6. Converso de tenso alternada em tenso contnua . . . . . . . . . . . . . 156Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.Transstores e amplificadores 16111.1. Transstores bipolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.2. Amplificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

vi Contedo

11.3. Amplificador operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.4. Realimentao negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.5. Seguidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.6. Amplificador no inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.7. Amplificador inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.8. Derivador e integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

12.Ondas eletromagnticas e luz 17712.1. Equaes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17812.2. Campos induzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.3. Campo eletromagntico no vcuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18112.4. Ondas planas polarizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.5. Ondas harmnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18612.6. Espetro eletromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18712.7. Teoria ondulatria da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.8. Teoria corpuscular da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.9. Dodos emissores de luz (LED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Atividade prtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Perguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

A. Constantes e dados numricos 197

B. Formulrio 199

C. Crditos fotogrficos 201

Solues das perguntas e problemas 203

Bibliografia 215

ndice 217

Prefcio

O objetivo deste manual preparar os estudantes para que possam compreender o funciona-mento dos dispositivos eltricos e eletrnicos com que so confrontados na sua experinciaquotidiana e os que venham a aparecer no futuro.

Este livro foi escrito como texto de apoio para a disciplina de Fsica 2, do segundoano do Mestrado Integrado em Engenharia Informtica e Computao, na Faculdade deEngenharia da Universidade do Porto.

Durante vrios anos tenho lecionado um semestre de Eletromagnetismo, para alunos dosegundo ano de Engenharia. Nos ltimos anos temos introduzido algumas alteraes noprograma, para se enquadrar melhor com os novos programas do Ensino Secundrio eos novos planos de estudo do Mestrados Integrados em Engenharia. Uma abordagemabstrata, baseada no estudo das equaes de Maxwell, j no se enquadra dentro dessesnovos planos de estudo.

Por outra parte, a mudana rpida na tecnologia implica que alguns tpicos perdeminteresse e outros tornam-se mais importantes. Por exemplo, os livro tradicionais de FsicaUniversitria costumam abordar o funcionamento de um tubo de raios catdicos, mas nofalam dos cristais lquidos nem dos LED. Na poca em que foram escritos, os cristaislquidos e os LED provavelmente j tinham sido inventados mas no estavam a ser usadoscomercialmente, enquanto que qualquer aluno estaria familiarizado com o tubo de raioscatdicos do televisor. Hoje em dia a situao diferente; cada vez mais difcil encontrarmonitores ou televisores com tubos de raios catdicos, mas estamos rodeados de ecrs decristais lquidos (LCD) e dodos emissores de luz (LED). Tornou-se muito mais importantefalar de cristais lquidos e dodos emissores de luz do que o tubo de raios catdicos.

Pareceu-me necessrio tambm estender o programa tradicional da disciplina de Eletromag-netismo, para incluir alguns temas de Eletrnica. Para conseguir cobrir todo o programanum semestre, foi preciso prescindir de alguns temas. Assim, dada uma menor nfase teoria do campo eltrico; o clculo do campo e o potencial eletrosttico produzidospor uma distribuio contnua s considerado nos poucos casos em que existe algumasimetria.

Na sequncia da disciplina de Fsica 1, em que so usadas de forma intensiva as ferra-mentas de software, aqui tambm feito algum uso moderado do Sistema de lgebraComputacional Maxima e so usados alguns conceitos simples de sistemas dinmicos.

Nos quatro primeiros captulos feita uma introduo eletrosttica e eletricidade deforma prtica. O captulo 5 sobre teoria de circuitos de corrente contnua. Nos captulos6 e 7 so estudados o campo e o potencial eltrico de forma mais geral. Os captulos

viii Prefcio

8 e 9 esto dedicados ao campo magntico e a induo eletromagntica. O captulo10 tambm sobre teoria de circuitos, mas de corrente alternada. O tema do captulo11 so os amplificadores operacionais, comeando por uma introduo muito breve aostransstores. Finalmente, no captulo 12 so estudadas as ondas eletromagnticas e adualidade onda-partcula da luz.

Devo agradecer os meus alunos pela sua valiosa ajuda na correo de muitos erros egralhas e pelo seu entusiasmo e interesse que tm sido fonte de inspirao para escrevereste livro. So muitos alunos para indicar todos os seus nomes aqui. Agradeo tambm aosmeus colegas com quem temos leccionado as disciplinas de Fsica 1 e 2, Joo Carvalho eFrancisco Salzedas.

Jaime E. VillatePorto, Setembro de 2009

1. Carga e fora eltrica

A fotografia mostra a mquina de Wimshurst, inventada na dcada de 1880. J no sculoXVIII existiam outras mquinas eletrostticas usadas para gerar cargas eletrostticas,usando o atrito; a inovao introduzida pela mquina de Wimshurst foi a separaode cargas usando induo eletrosttica, em vez de atrito, conseguindo assim produzircargas muito mais elevadas por meios mecnicos. H muitos mecanismos envolvidos nofuncionamento da mquina de Wimshurst, que sero estudados nos prximos captulos:garrafa de Leiden, rigidez dieltrica, etc.

2 Carga e fora eltrica

Atividade prtica

Cole aproximadamente 15 cm de fita-cola num lpis ou caneta, de forma a que, segurandono lpis, possa aproximar a fita-cola de outros objetos para observar a fora entre a fita-colae os objetos. Aproxime a fita-cola sempre pelo lado que no tem cola, para evitar que fiquecolada, e tente evitar que toque outros objetos, para no perder a carga acumulada nela.

Figura 1.1.: Fora repulsiva entre pedaos de fita cola com cargas do mesmo sinal, e foraatrativa entre pedaos com cargas de sinais opostos.

Comece por observar a fora entre a fita-cola e outros objetos. O acetato do qual feitoa fita-cola adquire cargas eltricas facilmente. O simples fato de descolar um pedao dorolo, faz com que fique com alguma carga; outros objetos, como a mesa, um caderno, etc.,geralmente no tm qualquer carga eltrica.

Para observar a fora entre diferentes cargas eltricas, cole dois pedaos de fita cola mesa, cada um colado a um lpis que permita puxar a fita-cola, descolando-la da mesa e aseguir colocar o lpis por baixo dum livro na borda da mesa, ficando a fita-cola penduradalivremente para poder aproximar outros objetos dela. Observe a fora entre os dois pedaos.

Repita a experincia com quatro pedaos de fita-cola, dois deles colados mesa, e outrosdois colados por cima dos primeiros. Para cada par de pedaos, descole o conjunto damesa, enquanto descola os dois pedaos entre si. Em cada par de pedaos, o que estava porcima e o que estava por baixo ficam com cargas opostas (positiva ou negativa). Observe asforas entre as pedaos com cargas do mesmo sinal ou de sinais opostos. Observe tambma fora entre os pedaos de fita-cola com carga positiva ou negativa, e outros objetos semcarga.

1.1. Estrutura atmica

Toda a matria formada por tomos. Cada tomo tem um ncleo com dois tipos departculas, protes e neutres, muito perto uns dos outros. Entre os protes existe uma

1.1 Estrutura atmica 3

fora repulsiva designada de fora eltrica. Entre neutres no existe esse tipo de fora, eentre um neutro e um proto tambm no.

Figura 1.2.: tomo de Hlio com dois eletres e dois protes mais dois neutres noncleo.

volta do ncleo existem partculas muito mais pequenas, os eletres, com massa 2 000vezes menor que a do proto ou neutro, a uma distncia aproximadamente 100 000 maiorque o tamanho do ncleo. Entre dois eletres observa-se uma fora eltrica repulsiva damesma natureza e grandeza que a fora entre dois protes. Entre um proto e um eletroexiste tambm uma fora semelhante, da mesma grandeza, contudo, atrativa em vez derepulsiva. Por tanto, existem dois tipos diferentes de carga eltrica, a dos protes e a doseletres; a fora entre cargas semelhantes repulsiva, enquanto que a fora entre cargasdiferentes atrativa.

Um tomo com igual nmero de protes e de eletres (tomo neutro) no produz foraseltricas sobre outras partculas. Consequentemente, as duas cargas tm sido designadasde positiva e negativa; o fato de que as foras entre eletres ou protes tenham a mesmaintensidade, devido a que a carga de um eletro, exatamente igual do proto, emvalor absoluto, mas com sinal oposto. A carga total nula de um tomo neutro , por tanto,consequncia de que a soma das cargas dos eletres e protes seja nula. A convenoque foi adoptada historicamente que os eletres tm carga negativa e os protes cargapositiva.

A unidade usada para medir a carga o coulomb, indicado com a letra C. A carga dequalquer proto sempre igual e designada de carga elementar:

e = 1.6021019 C (1.1)

os eletres tm tambm todos a mesma carga, exatamente igual a e.


1.2. Eletrizao

preciso uma energia muito elevada para conseguir remover um proto, ou neutro, doncleo. Isso s acontece no interior das estrelas, na camada mais externa da atmosfera,onde chocam partculas csmicas com muita energia, ou nos aceleradores de partculas,onde os fsicos conseguem reproduzir as energias no interior de uma estrela. No entanto, mais fcil extrair eletres de um tomo, ficando um io positivo, com excesso de protes,ou transferir mais eletres para um tomo neutro, ficando um io negativo, com excesso deeletres.

Seda

Vidro

+

+

+

+

+

Figura 1.3.: Barra de vidro carregada esfregando-a com um pano de seda.

De fato, sempre que dois objetos diferentes entram em contato muito prximo, passameletres dos tomos de um dos objetos para o outro. O objeto que for mais susceptvel aperder eletres ficar eletrizado com carga positiva (n protes a mais) e o objeto que formenos susceptvel a perder os seus eletres ficar com a mesma carga, mas negativa (neletres a mais).

No caso da fita-cola, o contato prximo com outros objetos, devido cola, faz passareletres de um para o outro. A frio entre dois objetos faz tambm aumentar a passagemde eletres de um objeto para o outro, sendo usada como mtodo para eletrizar objetos. Osdiferentes materiais podem ser ordenados numa srie triboeltrica (tabela 1.1), em que osmateriais no topo da srie so mais susceptveis a ficar com carga positiva e os materiaisno fim da lista tm uma maior tendncia a ficar com carga negativa.

Por exemplo, se uma barra de vidro for esfregada com um pano de seda, a barra ficacarregada com carga positiva e a seda com carga negativa, porque o vidro est por cima daseda na srie triboeltrica. Mas se a mesma barra de vidro for esfregada com uma pelede coelho, a barra fica com carga negativa, e a pele com carga positiva, porque a pele decoelho est por cima do vidro na srie triboeltrica.

1.3 Propriedades da carga 5

Tabela 1.1.: Srie triboeltrica.

Pele de coelhoVidroCabelo humanoLChumboSedaAlumnioPapelMadeiraCobrePrataBorrachaAcetatoEsferoviteVinil (PVC)

1.3. Propriedades da carga

A carga eltrica uma propriedade intrnseca da matria, assim como a massa. A diferenada massa, existem dois tipos de cargas diferentes e existem partculas sem nenhuma carga.Duas propriedades muito importantes da carga eltrica so a sua quantizao e a suaconservao.

Quantizao da carga. Nas colises entre partculas a altas energias so produzidasmuitas outras novas partculas, diferentes dos eletres, protes e neutres. Todas aspartculas observadas tm sempre uma carga que um mltiplo inteiro da carga elementare (equao 1.1). Assim, a carga de qualquer objeto sempre um mltiplo inteiro da cargaelementar.

Nas experincias de eletrosttica, as cargas produzidas so normalmente equivalentes a umnmero muito elevado de cargas elementares. Por tanto, nesse caso uma boa aproximaoadmitir que a carga varia continuamente e no de forma discreta.

Conservao da carga. Em qualquer processo, a carga total inicial igual carga final.No caso dos fenmenos em que existe transferncia de eletres entre os tomos, isso claroque tenha que ser assim. No caso da criao de novas partculas no teria que ser assim,mas de fato em todos os processos observados nos raios csmicos, e nos aceleradores departculas, existe sempre conservao da carga; se uma nova partcula for criada, comcarga negativa, ser criada uma outra partcula com carga positiva.


1.4. Fora entre cargas pontuais

No sculo XVIII Benjamin Franklin descobriu que as cargas eltricas colocadas na superf-cie de um objeto metlico podem produzir foras eltricas elevadas nos corpos no exteriordo objeto, mas no produzem nenhuma fora nos corpos colocados no interior.

No sculo anterior Isaac Newton j tinha demonstrado de forma analtica que a foragravtica produzida por uma casca oca nula no seu interior. Esse resultado consequnciada forma como a fora gravtica entre partculas diminui em funo do quadrado dadistncia.

Concluiu ento Franklin que a fora eltrica entre partculas com carga deveria ser tambmproporcional ao inverso do quadrado da distncia entre as partculas. No entanto, umadiferena importante entre as foras eltrica e gravtica que a fora gravtica sempreatrativa, enquanto que a fora eltrica pode ser atrativa ou repulsiva:

A fora eltrica entre duas cargas com o mesmo sinal repulsiva. A fora eltrica entre duas cargas com sinais opostos atrativa.

Vrios anos aps o trabalho de Franklin, Charles Coulomb fez experincias para estudarcom preciso o mdulo da fora eletrosttica entre duas cargas pontuais1

q1 q2r

Figura 1.4.: Duas cargas pontuais, separadas por uma distncia r.

A lei de Coulomb estabelece que o mdulo da fora eltrica entre duas cargas pontuais diretamente proporcional ao valor absoluto de cada uma das cargas, e inversamenteproporcional distncia ao quadrado

F =k|q1||q2|

K r2(1.2)

onde r a distncia entre as cargas (figura 1.4), q1 e q2 so as cargas das duas partculas,k uma constante de proporcionalidade designada de constante de Coulomb, e K aconstante dieltrica do meio que existir entre as duas cargas. A constante dieltrica dovcuo exatamente igual a 1, e a constante do ar muito prxima desse valor; assim, seentre as cargas existir ar, K pode ser eliminada na equao 1.2. No sistema internacionalde unidades, o valor da constante de Coulomb :

k = 9109 N m2

C2(1.3)

Outros meios diferentes do ar tm constantes dieltricas K sempre maiores que o ar;consequentemente, a fora eltrica ser mais fraca se as cargas pontuais forem colocadasdentro de um meio diferente do ar.

1Uma carga pontual uma distribuio de cargas numa pequena regio do espao.

1.4 Fora entre cargas pontuais 7

Exemplo 1.1Trs cargas pontuais esto ligadas por fios que formam um tringulo retngulo, comomostra a figura. (a) Calcule a tenso no fio que liga as cargas de 7.4 nC e 9.3 nC. (b) Se acarga de 5.6 nC fosse retirada, a tenso calculada na alnea a aumentava ou diminua?

5.6 nC 9.3 nC

7.4 nC

1 cm

1.5 cm

Resoluo: (a) O diagrama de foras sobre a partcula de carga 7.4 nC (designada departcula nmero 3)

F13F23

T13T23

onde ~F13 e ~F23 so as foras eletrostticas produzidas pelas partculas 1 e 2, de cargas9.3 nC e 5.6 nC, respetivamente, e ~T13, ~T23 so as tenses nos fios que ligam a partcula 3a essas duas cargas. Para que a partcula permanea em equilbrio necessrio que:

F13 = T13 F23 = T23

Antes de fazer as contas, conveniente escrever o valor da constante k nas unidades usadasno problema (nC e cm):

k = 9109 N m2

C2= 9109 10

6N104cm2

1018nC2= 90

N cm2

nC2

Assim, admitindo ar volta das cargas, a tenso no fio que liga as cargas 1 e 3 :

T13 = F13 =k |q1| |q3|

r2=

907.49.312 +1.52

N = 1.9 mN

(b) O valor da tenso permanece igual, pois como mostramos na alnea anterior, T13 nodepende da fora F23 produzida pela partcula de 5.6 nC.


1.5. Campo eltrico

Uma forma diferente de explicar a fora eletrosttica entre duas partculas com cargaconsiste em admitir que cada carga eltrica cria sua volta um campo de foras que atuasobre outras partculas com carga. Se colocarmos uma partcula com carga q0 num pontoonde existe um campo eltrico, o resultado ser uma fora eltrica ~F ; o campo eltrico ~Edefine-se como a fora por unidade de carga:

~E =~Fq0

(1.4)

Consequentemente, o campo eltrico num ponto um vetor que indica a direo e o sentidoda fora eltrica que sentiria uma carga unitria positiva colocada nesse ponto.

De forma inversa, se soubermos que num ponto existe um campo eltrico ~E, podemoscalcular facilmente a fora eltrica que atua sobre uma partcula com carga q, colocadanesse stio: a fora ser ~F = q~E. Precisamos apenas de conhecer o campo para calcular afora; no temos de saber quais so as cargas que deram origem a esse campo. No sistemaSI, o campo eltrico tem unidades de newton sobre coulomb (N/C).

Como vimos, a fora eltrica produzida por uma carga pontual positiva Q sobre umasegunda carga de prova q0 positiva sempre uma fora repulsiva, com mdulo que diminuiproporcionalmente ao quadrado da distncia.

Assim, O campo eltrico produzido por uma carga pontual positiva Q so vetores comdireo e sentido a afastar-se da carga, como se mostra no lado esquerdo da figura 1.5.

Q

q0F

r

E

Q

E

Figura 1.5.: Campo eltrico produzido por uma carga pontual positiva Q e representaodo campo usando linhas de campo.

Uma forma mais conveniente de representar esse campo vetorial consiste em desenharalguma linhas de campo, como foi feito no lado direito da figura 1.5. Em cada ponto, alinha de campo que passa por esse ponto aponta na direo do campo. O mdulo do campo maior nas regies onde as linhas de campo esto mais perto umas das outras.

1.5 Campo eltrico 9

Para calcular o valor do campo eltrico produzido pela carga pontual Q num ponto, coloca-se uma carga de prova q0 nesse ponto e divide-se a fora eltrica pela carga q0. Usando alei de Coulomb, equao 1.2, obtemos o mdulo do campo eltrico produzido pela cargaQ:

E =k |Q|

r2(1.5)

onde r a distncia desde a carga Q, que produz o campo, at o ponto onde se calcula ocampo. O sinal da carga Q indicar si o campo repulsivo (Q > 0) ou atrativo (Q < 0).

O campo eltrico criado por uma nica carga pontual muito fraco para ser observado.Os campos que observamos mais facilmente so criados por muitas cargas; seria precisosomar vetorialmente todos os campos de cada carga para obter o campo total. No captulo6 retomaremos esse assunto; por enquanto, estaremos mais preocupados em estudar osefeitos produzidos pelo campo eltrico.

As linhas de campo eltrico produzidas por um sistema de muitas cargas j no sero retas,como na figura 1.5, mas podero ser curvas, como no exemplo da figura 1.6.

Figura 1.6.: Exemplo de um campo eltrico representado pelas linhas de campo.

Exemplo 1.2A fora sobre uma carga de prova de 5 nC, num determinado ponto igual a 2104 Ne tem a direo do eixo dos x. Calcule o campo eltrico nesse ponto. Qual seria a forasobre um eletro no mesmo ponto?

Resoluo: A partir da fora calcula-se o campo:

~E =~Fq0

=2104 N

5 nC~ex = 4104~ex

(NC

)A fora sobre um eletro no mesmo ponto seria:

~F =e~E =1.601019 C4104~ex (NC) =6.41015~ex (N)


1.6. Condutores e Isoladores

Em alguns materiais, como nos metais, o eletro mais externo em cada tomo livre de semovimentar pelo material; existe assim uma nuvem muito densa de eletres (eletres deconduo), com densidade constante se o material for homogneo. Esse tipo de material designado de condutor.Se o condutor for colocado numa regio onde existe campo eltrico, como a nuvemeletrnica tem carga negativa, desloca-se em sentido oposto s linhas de campo. Assim,acumulam-se eletres num extremo, ficando com excesso de carga negativa, e no extremooposto aparece uma carga do mesmo valor mas com sinal positivo (falta de eletres).Essa acumulao de cargas no condutor cria um campo interno oposto ao campo externo;quando os dois campos se anularem, o movimento da nuvem eletrnica cessar.

No lado esquerdo da figura 1.7 mostra-se o que acontece quando aproximamos uma barra,com carga positiva, a uma esfera condutora isolada. A nuvem eletrnica aproxima-seda barra. Se a barra tivesse carga negativa, a nuvem eletrnica afastava-se dela. Nosdois casos, o resultado a induo de carga de sinal oposto perto da barra, e carga domesmo sinal na regio mais afastada da barra. A carga total da esfera continua a ser nula.Se a esfera no estivesse sobre um suporte isolador, as cargas do mesmo sinal da barraabandonavam a esfera, passando atravs do suporte para a terra.

++

+

++

++

++

++

++ +

Figura 1.7.: Efeito de uma barra com carga sobre uma esfera condutora (esquerda) e umaesfera isoladora (direita).

Nos materiais isoladores, os eletres esto ligados a cada tomo. Quando uma cargaexterna colocada perto do material, os eletres e protes de cada tomo deslocam-sena direo das linhas de campo mas em sentidos opostos, sem sair do tomo. Assimcada tomo deforma-se criando um pequeno dipolo eltrico; nomeadamente, um sistemacom carga total nula, mas com as cargas positivas e negativas separadas por uma pequenadistncia.

O lado direito da figura 1.7 mostra a deformao de alguns dos tomos de uma esferaisoladora, quando aproximada uma barra com carga positiva. Independentemente dosinal da carga da barra, em cada tomo as cargas de sinal oposto s carga da barra estaromais perto da barra e a as cargas do mesmo sinal estaro mais afastadas; portanto, a fora

1.7 Carga por induo 11

resultante da carga externa sobre cada tomo neutro ser sempre atrativa, independente-mente do sinal da carga externa. Assim, um material isolador sempre atrado por umobjeto externo com carga, independentemente do sinal dessa carga.

1.7. Carga por induo

Um mtodo usado para carregar dois condutores isolados, ficando com cargas idnticasmas de sinais opostos, o mtodo de carga por induo ilustrado na figura 1.8.

Os dois condutores isolados so colocados em contato. A seguir aproxima-se um objetocarregado, como se mostra na figura 1.8. O campo eltrico produzido pelo objeto carregadoinduz uma carga de sinal oposto no condutor que estiver mais prximo, e uma cargado mesmo sinal no condutor que estiver mais afastado. A seguir, separam-se os doiscondutores mantendo o objeto carregado na mesma posio. Finalmente, retira-se o objetocarregado, ficando os dois condutores carregados com cargas opostas; em cada condutor ascargas distribuem-se pela superfcie, devido repulso entre elas, mas as cargas dos doiscondutores j no podem recombinar-se por no existir contato entre eles.

+++

++

++

+++

++

++

+

+ +

Figura 1.8.: Procedimento usado para carregar dois condutores com cargas iguais mas desinais opostos.

Na mquina de Wimshurst, usa-se esse mtodo para separar cargas de sinais opostos. Oscondutores que entram em contato so duas pequenas lminas metlicas diametralmenteopostas sobre um disco isolador, quando passam por duas escovas metlicas ligadas a umabarra metlica (figura 1.9). As duas lminas permanecem em contato apenas por algunsinstantes, devido a que o disco roda.

Se no momento em que duas das lminas de um disco entram em contato uma lminado disco oposto estiver carregada, essa carga induzir cargas de sinais opostos nas duaslminas que entraram em contato. Essas cargas opostas induzidas em duas regies do discoinduzem tambm cargas no disco oposto, porque nesse disco tambm h uma barra queliga temporariamente as lminas diametralmente opostas.

Em cada disco, aps induzirem cargas no disco oposto, as cargas saltam para dois coletoresligados a duas garrafas metlicas; uma das garrafas armazena carga positiva e a outra


Figura 1.9.: Mquina de Wimshurst.

carga negativa. Quando as cargas acumuladas nas garrafas forem elevadas produz-se umadescarga eltrica entre as pontas de duas barras ligadas s garrafas, ficando descarregadas.Essa descarga eltrica um pequeno trovo com uma fasca bastante luminosa.

Os dois discos rodam em sentidos opostos e as duas barras que estabelecem o contato emcada disco e os dois coletores esto colocados de forma a que na rotao de cada lmina nodisco, primeiro seja induzida uma carga que a seguir induz carga oposta no disco oposto elogo passe para o coletor, ficando descarregada e pronta para iniciar outro ciclo.

A cada ciclo as cargas induzidas aumentam, porque cada lmina induzida pelas cargas devrias lminas no disco oposto. Para iniciar o processo basta com que uma das lminastenha acumulado alguma pequena carga por contato com outro corpo como, por exemplo,o ar volta. A localizao inicial dessa lmina com carga determinar qual das garrafasacumula carga positiva e qual negativa.

Perguntas

1. Uma barra com carga positiva colocadaperto de uma folha de papel com carganula. A fora sobre o papel ser:

A. Atrativa.

B. Repulsiva.

C. Nula.

D. Depender da barra ser condutora ouisoladora.

E. Atrativa se o papel estiver seco ounula se estiver hmido.

2. O que faz com que um condutor eltricoseja diferente de um isolador :

1.7 Carga por induo 13

A. Ter mais eletres do que protes.

B. Ter mais protes do que eletres.

C. Ter mais eletres do que o isolador.

D. Ter molculas que se deformam maisfacilmente.

E. Ter alguns eletres livres.

3. Trs cargas so colocadas sobre o eixo x:uma carga q1 =6.0 C em x=2,0 m,uma carga q2 = +4.0 C em x = 0 m euma carga q3 =6.0 C em x =+2.0 m.Calcule o mdulo da fora sobre a cargaq3.

A. 2.4102 N.B. 1.7102 N.C. 0.

D. 2.7102 N.E. 3.4102 N.

4. Temos trs esferas condutoras, isoladas,idnticas, uma delas com carga Q e asoutras duas sem carga. Se as 3 esferasforem colocadas em contato, cada umadelas tocando as outras duas, e a seguir

forem separadas:

A. Todas ficam sem carga.

B. Cada uma delas fica com carga Q.

C. Duas delas ficam com carga Q/2 eoutra com carga Q/2.

D. Cada uma delas fica com carga Q/3.

E. Uma delas fica com carga Q e outracom carga Q.

5. Uma esfera metlica montada num su-porte isolador liga-se terra com um fiocondutor e a seguir aproxima-se da esferauma barra de plstico com carga positiva.A ligao da esfera a terra retirada e aseguir afasta-se a barra de plstico. Comque carga fica a esfera metlica?

A. Nula.

B. Positiva.

C. Negativa.

D. Diferente de zero, mas no possvelsaber o sinal.

E. Positiva num extremo e negativa noextremo oposto.

Problemas

1. Quando uma lmina de acetato, eletrizada por frio, se aproxima a 1 cm de pequenospedaos de papel sobre uma mesa, estes ascendem colando-se ao acetato. Cada pedaode papel aproximadamente um quadrado com 0.5 cm de lado, cortados de uma folhade papel de 80 g/m2. Faa uma estimativa da ordem de grandeza da carga do acetato,admitindo que uma carga idntica e de sinal oposto induzida em cada pedao de papel.

2. Duas cargas q1 e q2 tm a carga total q1 +q2 = 10 C. Quando esto a uma distnciade 3 m, o mdulo da fora exercida por uma das cargas sobre a outra igual a 24 mN.Calcule q1 e q2, se: (a) Ambas forem positivas. (b) Uma for positiva e a outra fornegativa.

3. Admita que, num tomo de hidrognio, a distncia entre o proto no ncleo e o eletro de 5.31011 m. Calcule o campo eltrico devido ao ncleo, no ponto onde est oeletro.


4. O campo eltrico na atmosfera terrestre da ordem dos 150 N/C e dirigido para ocentro da Terra. Calcule a relao entre o peso de um eletro e o mdulo da fora eltricaoposta exercida pelo campo eltrico da atmosfera (a massa do eletro encontra-se noApndice A e admita que a acelerao da gravidade 9.8 m/s2).

5. Trs cargas pontuais esto ligadas por dois fios isoladores de 2.65 cm cada um (verfigura). Calcule a tenso em cada fio.

3.2 nC 5.1 nC 7.4 nC

Figura 1.10.: Problema 5.

6. Entre duas placas paralelas de cargas opostas existe um campo eltrico uniforme.Um eletro libertado na superfcie da placa carregada negativamente ser aceleradouniformemente, a partir do repouso, em direo da placa carregada positivamente (opeso do eletro pode ser desprezado em comparao com a fora eltrica e admitimosque as placas encontram-se dentro de um tubo com vcuo). Sabendo que a distnciaentre as placas de 2.0 cm e que cada eletro libertado demora 15 s at atingir a placapositiva, calcule: (a) o mdulo do campo eltrico (a massa do eletro encontra-se noapndice A) e (b) a velocidade com que os eletres batem na placa positiva.

7. Um sistema de trs cargas pontuais est em equilbrio (a fora eletrosttica sobre cadacarga zero). Sabendo que duas das cargas so q e 2q, separadas por uma distncia d,calcule o valor e a posio da terceira carga.

8. Calcule a fora eltrica resultante que atua sobre cada uma das cargas representadas nafigura, e o campo eltrico produzido pelas 3 cargas no ponto P.

1 cm

1 cm

5 nC 9 nC

7 nC

1 cm

3 cm

P

Figura 1.11.: Problema 8

2. Potencial, corrente e foraeletromotriz

Uma forma simples de sentir o efeito da corrente eltrica consiste em colocar uma colherpor baixo da lngua e um pedao de folha de alumnio por cima. Quando se junta a folha dealumnio colher, sente-se um sabor amargo na lngua, produzido pela passagem de cargaseltricas atravs da lngua. Esse fenmeno foi descoberto por Alessandro Volta, no fimdo sculo XVIII. importante que o metal da folha seja diferente do metal da colher; ascolheres so geralmente feitas de ao ou de prata. Na nossa lngua existem ies positivos enegativos; um dos metais ter uma maior tendncia a atrair os ies negativos e no outrometal os ies positivos sero atrados, criando um fluxo de cargas atravs dos dois metais.

Volta reparou que o mesmo efeito podia ser obtido colocando dois metais diferentes, dentrode um lquido com uma soluo qumica. Algumas combinaes de metais produziammelhores resultados. Conseguiu intensificar mais o efeito colocando alternadamente vriosdiscos de cobre e de zinco, separados por discos de papel humedecidos com gua salgada;assim construiu a primeira pilha apresentada na foto acima.

16 Potencial, corrente e fora eletromotriz

Atividade prtica

Para montar circuitos eltricos de forma rpida pode ser usada uma placa de teste, tambmdesignada de breadboard (figura 2.1). Cada furo da placa tem o tamanho padro usadonos terminais dos elementos de circuitos eletrnicos. Os furos esto agrupados em vriosgrupos de 5 furos vizinhos. Os 5 furos em cada um desses grupos esto interligados entresi e isolados dos outros grupos; na figura 2.1 mostra-se um grupo de furos interligados.Para estabelecer a conexo entre dois terminais de dois dispositivos diferentes, basta ligaros dois terminais em dois furos que esteja interligados.

Figura 2.1.: Multmetro e placa de teste.

Ligue os terminais de um porta-lmpada placa de teste e ligue uma pilha de forma quea lmpada acenda. A seguir use um multmetro para medir a diferena de potencial e acorrente na lmpada.

Observe que o multmetro (figura 2.1) tem uma entrada identificada por COM que deverser usada para qualquer medio. A segunda entrada a ser usada poder ser a que estidentificada por V, se for medir diferenas de potencial, ou a que est identificada porA, caso pretenda medir a intensidade da corrente. O comutador do multmetro deverser deslocado para uma das escalas identificas com o smbolo V se estiver a medirdiferenas de potencial ou para uma das escalas identificadas com o smbolo A paramedir correntes.

Quando estiver a medir uma corrente, poder obter maior preciso se usar a entrada mA,em vez de A, mas antes de o fazer dever conferir que a corrente no ultrapassa 200 mA,para no queimar o fusvel do multmetro.

Para medir a diferena de potencial na lmpada, ligam-se as duas entradas do multmetroaos terminais do porta-lmpadas. Para medir a intensidade da corrente na lmpada, deverquebrar a ligao da pilha a um dos terminais da lmpada, e ligar os dois cabos domultmetro de forma a fechar novamente o circuito.

2.1 Potencial eletrosttico 17

2.1. Potencial eletrosttico

As variveis (vetoriais) de estado de uma partcula, so a sua posio~r e a velocidade~v.Assim, o espao de fase tem seis dimenses: (x, y, z, vx, vy, vz). Se a partcula tem massam e carga q, e a nica fora que atua sobre a partcula a fora eltrica, as equaes demovimento so:

d~vd t

=qm~E

d~rd t

=~v (2.1)

em que ~E o campo eltrico na posio~r.

Essas duas equaes vetoriais podem ser combinadas para eliminar o tempo t, e obter umaterceira equao de movimento, que relaciona a posio com a velocidade:

~v d~v = qm~E d~r (2.2)

As solues da equao 2.2 so as trajetrias no espao de fase, (~r,~v). Integrando os doislados da equao, desde um ponto inicial (~r0,~v0) at um ponto final (~r,~v) no espao defase, obtm-se:

12

mv2 12

mv20 = q~r

~r0

~E d~r (2.3)

A expresso no lado esquerdo o aumento da energia cintica, e a expresso no ladodireito o trabalho realizado pela fora eltrica.

A fora eletrosttica sempre uma fora conservativa. Isso implica que existe uma funoV (x,y,z), que permite escrever o integral no lado direito da equao 2.2 assim:

~r~r0

~E d~r =V0V (x,y,z) (2.4)

onde V0 = V (x0,y0,z0). A funo V o potencial eletrosttico. Assim, em funo dopotencial, a equao de movimento 2.2 assume uma forma mais simples:

12

mv2 +qV =12

mv20 +qV0 (2.5)

O termo:U = qV (2.6)

a energia potencial eltrica da partcula. No sistema internacional de unidades, aunidade do potencial eltrico V o joule sobre coulomb, unidade essa que designada devolt e denota-se com a letra V:


1V = 1JC

(2.7)

A equao 2.5 a lei de conservao da energia mecnica, que neste caso estabelece que asoma da energia cintica mais a energia eltrica de uma partcula permanece constante.Essa equao tambm mostra que a unidade SI do campo eltrico que, como vimos nocaptulo anterior, N/C, tambm pode ser escrita como V/m.

de salientar que, devido a que a carga q pode ser positiva ou negativa, a energia eltricaU de uma partcula com carga negativa ser maior nos pontos onde o potencial for menor,enquanto que as partculas com carga positiva tero maior energia nos pontos onde opotencial for maior. Consequentemente, a equao 2.5 implica que, dentro de um campoeltrico, as partculas com carga positiva so aceleradas para a regio com menor potenciale as partculas com carga negativa so aceleradas para a regio com maior potencial.

A lei da conservao da energia mecnica (equao 2.5) s vlida para cargas que sedeslocam no vcuo. As cargas que se deslocam dentro de um material condutor, como ummetal, ou dentro de um isolador, como o ar, esto sujeitas a foras dissipativas que fazemdiminuir rpidamente a energia mecnica, at a carga ficar em repouso.

Exemplo 2.1Duas lminas condutoras paralelas, dentro de um tubo com vcuo, tm cargas iguais masde sinais opostos. O potencial na lmina com carga negativa constante, igual a 100 V, eo potencial na lmina com carga positiva tem o valor constante de 250 V. A lmina comcarga negativa feita dum material radioativo que emite radiao beta (eletres que saemdos ncleos). Num instante emitida uma partcula de radiao beta com velocidade inicialde mdulo 300 m/s que atrada pela outra lmina. (a) Calcule o modulo da velocidadecom que a partcula beta bate na lmina com carga positiva. (b) Se a distncia entre asduas lminas for 5 cm, calcule o mdulo do campo eltrico mdio entre as lminas.

Resoluao: (a) Como o campo segue o sentido da fora eltrica sobre uma carga de provapositiva, as linhas de campo eltrico apontaro desde a lmina positiva at a negativa.Podemos admitir que as linhas de campo so paralelas s lminas:

+

+

+

+

+

V = 100 V V = 250 V

v0

Como a partcula beta se desloca no vcuo, existir conservao da energia mecnica:

12

mv20 +qV0 =12

mv2f +qV f

2.2 Pilhas qumicas 19

onde, em unidades SI, v0 = 300, V0 = 100 e Vf = 250. A massa m e a carga q da partculade radiao beta so os valores para o eletro: m = 9.11 1031 e q = 1.60 1019.Assim, a lei da conservao da energia d:

4.1010261.601017 = 4.551031 v2f 4.001017

e, resolvendo para v f , obtemos a velocidade com que a partcula bate na lmina positiva:

v f = 7.26106ms

repare no valor elevado, aproximadamente 2.4% da velocidade da luz e no fato de que no preciso saber em que direo foi disparada a partcula.

(b) O campo eltrico mdio calcula-se admitindo que seja constante. Seguindo um percursoparalelo s linhas de campo, desde a lmina positiva at a negativa, o integral de linha naequao 2.4 calculado assim:

0.050

E ds = 250100 0.05E = 150

e, portanto, E = 3000 V/m.

2.2. Pilhas qumicas

Um dos avanos mais importantes na histria da eletricidade foi a inveno das pilhasqumicas, que permitem fornecer a energia necessria para manter um fluxo constante decargas num condutor, contrariando as foras dissipativas.

O bilogo italiano Luigi Galvani (1737-1798) fez vrias experincias com cargas eletrost-ticas e rgos de animais. A figura 2.2 mostra o laboratrio de Galvani, com um geradoreletrosttico usado para produzir descargas eltricas nas pernas de uma r. Enquanto faziaas experincias, descobriu que quando tocava com uma faca na perna de uma r, no instanteem que era produzida uma descarga eltrica num gerador eletrosttico prximo dele, aperna da r morta encolhia-se bruscamente, como se a r estivesse viva.

Mais tarde conseguiu o mesmo efeito, sem precisar do gerador eletrosttico, espetandodois fios de metais diferentes na perna da r; quando juntava os dois fios, a perna da rencolhia-se. Galvani atribuiu o efeito a uma eletricidade de origem animal.

O fsico italiano Alessandro Volta (1745-1827) demonstrou que a origem da eletricidadeobservada por Galvani no eram os organismos vivos, mas que o contato entre doismetais diferentes dentro de qualquer soluo qumica produz um fluxo de cargas eltricas(corrente), que nos seres vivos causa alguns efeitos: a contrao dos msculos ou um saboramargo quando colocamos dois fios de metais diferentes na nossa lngua.


Figura 2.2.: Laboratrio de Luigi Galvani.

Em 1800 Volta construiu a primeira pilha, colocando alternadamente discos de zinco e decobre, separados entre si por discos de carto molhado numa soluo cida. Repetindo amesma sequncia de discos vrias vezes, conseguia produzir fluxos de carga mais elevadose sentir os seus efeitos, por exemplo, colocando as suas mos dentro de dois recipientescom gua salgada, ligados aos dois terminais da pilha; quando a pilha era formada pormais de 20 grupos de discos de cobre e zinco, o choque eltrico nas suas mos tornava-sedoloroso.

2.3. Fora eletromotriz

Uma pilha qumica est composta por duas barras condutoras, designadas de eltrodos,embebidas dentro de uma soluo qumica ( eletrlito). O eletrlito pode ser lquido ouslido; o importante que tenha ies positivos e negativos; por exemplo, um sal numasoluo qumica dissociado em ies positivos e negativos.

necessrio tambm que os condutores dos dois eltrodos sejam diferentes, para que umdeles seja mais ativo do que o outro. Se dois metais so colocados, em contato, dentrode um eletrlito, um deles sofre corroso esse metal que sofre corroso diz-se que omais ativo dos dois. Diferentes materiais condutores podem ser ordenados numa sriegalvnica, em que os metais mais ativos aparecem no topo da lista. Por exemplo, a

2.3 Fora eletromotriz 21

Figura 2.3.: Volta apresenta a sua inveno, a pilha qumica, a Napoleo.

tabela 2.1 mostra a srie galvnica quando o eletrlito usado for gua do mar. A ordem natabela galvnica pode ser diferente para diferentes eletrlitos.

A corroso do metal mais ativo (o que aparecer primeiro na tabela 2.1) resulta da combi-nao dos ies negativos do eletrlito com os tomos desse metal, ficando o metal comexcesso de carga negativa. Os eletres circulam pela ligao entre os dois condutores, forado eletrlito, passando para o eltrodo menos ativo (figura 2.4). Esses eletres atraem osies positivos para o metal menos ativo; a reao dos ies positivos do eletrlito com omaterial do eltrodo menos ativo introduz carga positiva nesse eltrodo.

9 V+

e

e

A

B

Figura 2.4.: Numa pilha qumica ligada a um condutor externo, saem eletres do eltrodonegativo e entram no eltrodo positivo.

Assim, o eltrodo que corresponder ao condutor mais ativo ser o eltrodo negativo dapilha, e o condutor menos ativo ser o eltrodo positivo. Por exemplo, na pilha de Volta, oeltrodo positivo o disco de cobre e o eltrodo negativo o disco de zinco.

O potencial eltrico maior no eltrodo positivo do que no negativo. Se ligarmos umcondutor entre os dois eltrodos da pilha, os eletres de conduo seram deslocados para


Tabela 2.1.: Srie galvnica (em relao gua do mar). Os condutores mais ativos estocolocados no incio da tabela e os menos ativos no fim.

MagnsioZincoAlumnioChumboFerroCobreTungstnioPrataOuroPlatinaGrafite

o terminal positivo (maior potencial). Nesse percurso, a energia mecnica desse eletresdiminui, j que parte dessa energia dissipada em calor, devido s colises com os tomosdo material.

Consequentemente, os eletres que entram do eltrodo negativo para o condutor, tm maiorenergia mecnica do que os eletres que saem do condutor e entram no eltrodo positivo.Essa diferena de energias, dever ser igual diferena entre as energias qumicas dasreaes nos dois eltrodos, que a causa para a passagem de cargas entre e condutor e oseltrodos.

A energia necessria para a reao qumica de corroso do metal no eltrodo negativo menor que a energia necessria para a reao entre o eletrlito e o metal do eltrodopositivo. Assim, os eletres livres do eltrodo negativo tm maior energia mecnica doque os eletres livres do eltrodo positivo.

Designa-se por fora eletromotriz da pilha (ou de forma abreviada, fem), diferenaentre a energia de um eletro no eltrodo negativo, menos a energia de um eletro noeltrodo positivo, dividida pelo valor absoluto da carga do eletro. Representaremos a femcom a letra . Esse valor est determinado pelas energias associadas s reaes qumicasentre o eletrlito e os eltrodos; quanto mais afastados estiverem na srie galvnica os doiscondutores usados para os eltrodos, maior ser essa fem. A fem tem as mesmas unidadesdo potencial.

A tabela 2.2 mostra os materiais usados para os eltrodos e o eletrlito em vrios tiposde pilhas produzidas industrialmente. O eltrodo da pilha onde h acumulao de cargaspositivas do eletrlito indicado com um sinal positivo (maior potencial) e o eltrodo ondeh acumulao de cargas negativas (menor potencial) indicado com um sinal negativo. Oeltrodo negativo, ou nodo, ser o metal que tiver uma maior tendncia a ser corrodopelo eletrlito, atraindo ies negativos (oxidao) e o eltrodo positivo, ou ctodo ser o

2.4 Condutores e semicondutores 23

metal que atrai os ies positivos do eletrlito (reduo).

Tabela 2.2.: Alguns tipos de pilhas usados frequentemente.

Tipo ctodo nodo eletrlito fem

seca carbono zinco dixido de mangans/cloreto de amonio

1.5 V

alcalina carbono dixido demangans

hidrxido de potssio 1.5 V

de mercrio xido de mercrio zinco hidrxido de sdio 1.35 Vde xido de prata xido de prata zinco hidrxido de sdio 1.35 VNiCd xido de nquel cdmio hidrxido de potssio 1.2 VNiMH xido de nquel liga metlica hidrxido de potssio 1.2 Vde ies de ltio xido de ltio e co-

baltocarbono ltio 3.7 V

As pilhas nas trs ltimas linhas da tabela 2.2 so recarregveis; isto , as reaes qumicasnos eltrodos so reversveis e se usarmos uma fonte externa para contrariar o sentidonormal do fluxo das cargas, a carga total do eletrlito aumenta e os sais acumulados noseltrodos diminui, ficando a pilha num estado semelhante ao inicial. Numa pilha que noseja recarregvel, a inverso da corrente aquece a pilha com o perigo de poder explodir esem ser recarregada.

2.4. Condutores e semicondutores

Vimos no captulo anterior que num condutor slido existe uma nuvem muito densa deeletres de conduo, que no esto ligados a nenhum tomo em particular. Por exemplo,os tomos de cobre no seu estado neutro tm 29 eletres volta do ncleo; 28 desseseletres esto fortemente ligados ao tomo, enquanto que o ltimo eletro encontra-senuma rbita mais distante do ncleo e sai com maior facilidade para a nuvem de eletresde conduo.

Um pequeno deslocamento da nuvem de eletres de conduo faz acumular um excessode cargas negativas num extremo e cargas positivas no extremo oposto. As cargas positivasso tomos com um eletro a menos em relao ao nmero de protes. Quando se ligaum fio condutor aos eltrodos de uma pilha, a nuvem eletrnica atrada pelo eltrodopositivo e repelida pelo eltrodo negativo; estabelece-se no condutor um fluxo contnuo deeletres desde o eltrodo nega tivo para o positivo.

Os semicondutores so materiais semelhantes aos isoladores, sem cargas de conduo, masque podem adquirir cargas de conduo passando a ser condutores, atravs de diversosmecanismos: aumento da temperatura, incidncia de luz, presena de cargas eltricas


externas ou existncia de impurezas dentro do prprio material.

Atualmente os semicondutores so construdos a partir de silcio ou germnio. Os tomosde silcio e de germnio tm 4 eletres de valncia. Num cristal de silcio ou germnio,os tomos esto colocados numa rede uniforme, como a que aparece na figura 2.5: os 4eletres de valncia ligam cada tomo aos tomos na sua vizinhana.

Figura 2.5.: Rede cristalina num cristal de silcio ou de germnio.

Os tomos de arsnio tm 5 eletres de valncia. Se forem introduzidos alguns tomos dearsnio num cristal de silcio, cada um desses tomos estar ligado aos tomos de silcio narede por meio de 4 dos seus eletres de valncia; o quinto eletro de valncia ficar livrecontribuindo para uma nuvem de eletres de conduo. Obtm-se assim um semicondutortipo N, capaz de conduzir cargas de um lado para outro, atravs do mesmo mecanismoque nos condutores (nuvem de eletres de conduo).

Os tomos de glio tm trs eletres de valncia. Nos semicondutores tipo P existemalguns tomos de glio dentro de um cristal de silcio (ou germnio); os 3 eletres devalncia de cada tomo de glio ligam-no rede, ficando um buraco onde um tomo desilcio tem um eletro de valncia que no est ligado a outro eletro de um tomo vizinho.Esses buracos tambm podem ser usados para transportar corrente; os eletres podemdeslocar-se para um tomo de glio na vizinhana, onde exista um desses buracos.

Na figura 2.6 representam-se dois blocos semicondutores dos dois tipos, N e P. Cada bloco um cristal de silcio ou de germnio; os crculos representam os tomos de arsnio ede glio introduzidos no cristal. Esses tomos encontram-se fixos na rede, em quantoque os eletres de conduo, no semicondutor N, e os buracos no semicondutor P, podemdeslocar-se entre os stios onde existam outros tomos de arsnio ou de glio.

Se os extremos do um fio semicondutor do tipo P forem ligados aos eltrodos de uma pilha.Os buracos perto do eltrodo negativo sero preenchidos com eletres fornecidos por esseeltrodo; esses eletres podero saltar para outros buracos vizinhos e assim sucessivamente.Os eletres deslocam-se no sentido do eltrodo negativo para o positivo, mas saltam apenasde um buraco para o vizinho. No entanto, os buracos deslocam-se todo o percurso desde oeltrodo positivo at o negativo. semelhante circulao de automveis hora de ponta,

2.4 Condutores e semicondutores 25

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

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+

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+

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+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Semicondutor tipo N Semicondutor tipo P

Figura 2.6.: Os dois tipos de semicondutores.

quando h filas compatas; os automveis conseguem apenas deslocar-se uma pequenadistncia no sentido da estrada, mas aparecem buracos na fila, que se deslocam rapidamenteno sentido oposto.

Assim, quando ligamos um fio semicondutor entre os eltrodos da pilha, o resultado omesmo, independentemente do tipo de semicondutor: passagem de cargas positivas doeltrodo positivo para o negativo, e passagem de carga negativa do eltrodo negativo parao positivo.

Figura 2.7.: Um detetor de fumo tem uma cmara de ionizao (cilindro preto) onde apassagem de cargas devida produo de partculas alfa, com carga positiva,de uma amostra radioativa. A presena de fumo reduz o fluxo dessas cargas.

Nos condutores lquidos, gasosos ou em p existem cargas de conduo tanto negativascomo positivas. J vimos por exemplo o caso do eletrlito de uma pilha, onde existem iespositivos e negativos. Num gs ionizado tambm existem ies positivos e negativos quese podem deslocar dentro do gs. Quando existir uma fem entre dois pontos desse tipode condutores, os ies positivos e negativos deslocam-se em sentidos opostos. O efeitoresultante, em termos de conduo de cargas, produzido pelo movimento dos dois tipos deies o mesmo: entram cargas negativas no eltrodo positivo e entram cargas positivas noeltrodo negativo.

Numa lmpada fluorescente, uma fora eletromotriz usada para ionizar o gs. A ionizao


do gs produz ies positivos e eletres livres (ver figura 2.8). Se num determinado instanteo eltrodo A estiver a maior potencial que o eltrodo B, os ies positivos deslocar-se-o deA para B, e os eletres de B para A. A passagem dessas partculas produz colises commolculas do gs que produzem mais ies e luz. Assim, uma vez aquecida, precisa umadiferena de potencial menor para manter o fluxo de cargas na lmpada.

A

B

io positivo

electro

I

I

Figura 2.8.: Ies positivos e eletres livres dentro de uma lmpada fluorescente. No pontoo eltrodo A est a maior potencial que o eltrodo B.

2.5. Corrente eltrica

A corrente eltrica, designada por I, o fluxo das cargas de conduo dentro de ummaterial. A intensidade da corrente a taxa de transferncia da carga, igual carga dQtransferida durante um intervalo infinitesimal d t dividida pelo tempo:

I =dQd t

(2.8)

Por conveno, usa-se o sentido da transferncia de cargas positivas para definir o sentidoda corrente eltrica. Assim, se as cargas de conduo forem eletres, como acontece nummetal, o sentido da corrente ser oposto ao sentido do movimento dos eletres. Por exemplo,o fio metlico na figura 2.9 transporta corrente eltrica de B para A. Num determinadointervalo de tempo, a carga dos eletres transportados de A para B Q; isso implicaque a carga dos protes que se combinaram com os eletres em B foi Q, e essa tambma carga dos protes que ficaram em A aps a partida dos eletres. Consequentemente, equivalente considerar que houve transporte de carga Q de A para B, ou transporte decarga Q de B para A. A corrente I definida no sentido do transporte da carga positiva.Na lmpada fluorescente da figura 2.8, o movimento dos dois tipos de partculas faz comque a carga positiva aumente em B e diminua em A, isto , h corrente de I A para B, nosentido indicado pelas setas na figura.

A carga total transferida durante um intervalo de tempo o integral da corrente I, nesseintervalo:

2.6 Potencial e campo nos condutores 27

A

B

electro

Q

Q

Figura 2.9.: Fio metlico a conduzir uma corrente I de B para A.

Q =

t2t1

I dt (2.9)

No sistema internacional de unidades a unidade usada para medir a corrente eltrica oampere, designado pela letra A, que equivale transferncia de uma carga de um coulombcada segundo:

1 A = 1Cs

(2.10)

2.6. Potencial e campo nos condutores

Consideremos um condutor cilndrico e retilneo com os dois extremos ligados aos termi-nais de uma bateria. Entre os extremos do condutor existir uma diferena de potencial.Se A for o extremo que est ligado ao terminal negativo e B o extremo ligado ao terminalpositivo, o potencial ser maior em B do que em A: VB >VA.

As cargas de conduo no condutor deslocam-se na direo do campo eltrico; no mesmosentido do campo, se forem cargas positivas, ou no sentido oposto se forem negativas.Assim, as linhas de campo eltrico devero ser retas paralelas ao eixo do cilindro, comose mostra no lado esquerdo da figura 2.10. Portanto, o campo tem mdulo E constante esegue a direo do deslocamento ds ao longo do condutor; o integral de linha que define adiferena de potencial, na equao 2.4, pode ser calculado facilmente:

AB

E ds =VBVA VBVA = E s (2.11)

onde s o comprimento do condutor. Assim, o mdulo do campo no condutor igual


diferena de potencial entre os seus extremos, dividida pelo seu comprimento:

E =Vs

(2.12)

O resultado anterior tambm mostra que o campo aponta sempre desde o ponto com maiorpotencial at o ponto com menor potencial, j que para obtermos um resultado positivo,tivemos que integrar desde B at A.

A

B

A

B

I

I

EE

VB > VA

Figura 2.10.: Corrente e campo eltrico em dois condutores diferentes, ligados mesmadiferena de potencial.

Se o condutor na figura 2.10 for um semicondutor tipo N, as cargas de conduo negativasdeslocam-se no sentido oposto ao campo e, portanto, a corrente no sentido do campo. Seo semicondutor for do tipo P, as cargas de conduo positivas deslocam-se no sentido docampo e a corrente tambm no sentido do campo. Consequentemente, independentementedo tipo de condutor ou semicondutor, a corrente ser sempre na direo e sentido do campoeltrico, nomeadamente, desde o extremo com maior potencial para o extremo com menorpotencial.

Se o condutor no for retilneo, como no lado direito da figura 2.10, as linhas de campo jno so retas mas seguiro a direo do condutor. Isso implica que o campo vetorial ~E no constante, mas se o condutor for homogneo, as separao entre as linhas ser sempreigual, indicando que o mdulo E do campo constante. Nessas condies, o integral delinha do campo pode ainda ser calculado como foi feito na equao 2.11 e o resultado 2.12tambm vlido.

Assim, quanto mais comprido for o fio condutor que liga os pontos A e B, com potenciaisfixos VA e VB, menor ser o campo eltrico. A intensidade da corrente depende do mdulodo campo eltrico e da rea da seo transversal do fio; quanto maior for o mdulo docampo, mais rpido ser o movimento da nuvem de cargas de conduo e maior ser acorrente; quanto maior for a rea da seo transversal, mais grosso ser o fio e o movimentoda nuvem de cargas de conduo produzir uma corrente maior. Na figura 2.10, a corrente maior no condutor do lado esquerdo porque o comprimento menor e a rea da seotransversal maior. No prximo captulo estudaremos com mais pormenor essa relao.

2.7 Potncia eltrica 29

2.7. Potncia eltrica

O transporte de cargas de conduo num condutor implica dissipao, geralmente na formade calor, fenmeno esse designado de efeito Joule. Mas existem outros mecanismos dedissipao de energia mecnica em que essa energia transformada em outros tipos deenergia. Por exemplo, no caso de uma lmpada parte da energia mecnica dissipada emcalor e outra parte transformada em luz.

Consequentemente, se num condutor circula uma corrente desde um extremo A at outroextremo B, a energia mecnica das cargas de conduo dever ser menor em B do que emA e a diferena de potencial no condutor ser V =VBVA (o potencial dever ser maiorem B do que em A).

Se a corrente for estacionria (igual em todas as partes do condutor), a energia cintica dascargas de conduo, por unidade de volume, permanece constante ao longo do condutor, ea diminuio da energia mecnica devida unicamente diminuio da energia potencialeltrica U . De acordo com a equao 2.6, por cada quantidade infinitesimal de carga dQque for transferida no condutor, a energia eltrica dissipada ser:

dU = V dQ (2.13)

A potncia dissipada em cada instante obtm-se dividindo dU pelo intervalo de tempod t que demorou o transporte da carga dQ; portanto, obtemos o seguinte resultado para apotncia instantnea dissipada:

P = V I (2.14)

Usando as definies do volt e do ampere, podemos conferir que o produto dessas duasunidades de fato o watt (W), que a unidade SI de potncia.

Para manter a corrente no condutor, ser preciso que a mesma potncia P dissipada nocondutor seja fornecida pela bateria que est a estabelecer a diferena de potencial V .Assim, a potncia fornecida pela bateria tambm V I, em que V a diferena depotencial entre os terminais da bateria. Numa bateria ideal essa diferena de potencial constante e igual ao valor da fem, ; a potncia fornecida por uma bateria ideal :

P = I (2.15)

Como veremos no prximo captulo, numa bateria real V diminui em funo da corrente.

Exemplo 2.2Num condutor ligado a uma pilha ideal com fem de 1.5 V, circulam 1016 eletres deconduo durante 2 segundos. Calcule: (a) A corrente mdia. (b) A energia fornecida pelapilha durante esse intervalo. (c) A potncia mdia fornecida pela pilha. (d) Se a cargainicial da pilha for 3 A h e se fosse possvel manter a mesma corrente mdia at a pilhadescarregar totalmente, quanto tempo demorava a pilha a descarregar?


Resoluo: (a) A carga transferida o valor absoluto da carga dos 1016 eletres:

Q = 10161.601019 = 1.60103 C

e a corrente mdia :

Im =Q t

=1.60103

2= 0.8 mA

(b) A energia fornecida pela pilha igual energia eltrica dissipada no condutor:

U = V Q = 1.51.60103 = 2.4 mJ

(c) A potncia mdia fornecida igual a essa energia, dividida pelo intervalo de tempo:

Pm =U t

=2.4103

2= 1.2 mW

(d) A carga que a pilha perde cada segundo metade da carga calculada na alnea a:Q = 0.8 103 C. Como um coulomb igual a 1 As, passando para unidades deampere-hora (Ah) :

Q =0.8103

3600A h = 2.22107 A h

e o tempo total que era possvel manter a mesma corrente mdia era:

t =3

2.22107= 1.35107 s 156 dias

Perguntas

1. A fora eletromotriz de uma pilha qu-mica:

A. independente das reaes qumicasno seu interior.

B. Depende do tamanho da pilha.

C. Depende da sua carga mxima.

D. independente do tamanho dos el-trodos.

E. Nenhuma das outras respostas.

2. Se o custo da energia eltrica fosse de 10cntimos por kilowatt-hora, quanto cus-taria manter uma torradeira de 660 W afuncionar durante meia hora?

A. 15 cntimos.

B. 12 cntimos.

C. 6.9 cntimos.

D. 3.3 cntimos.

E. 1.7 cntimos.

2.7 Potncia eltrica 31

3. A corrente num condutor aumenta linear-mente desde um valor inicial de 3 A, emt = 0, at o valor final 6 A, em t = 3 h.A carga total transportada pelo condutordurante esse perodo :

A. 48.6 kC

B. 32.4 kC

C. 64.8 kC

D. 97.2 kC

E. 16.2 kC

4. Uma pilha AA tem uma carga total de 8Ah. Se for ligada a uma resistncia pro-duzindo uma corrente mdia de 50 mAdurante 50 horas, com que percentagemda sua carga ficar aps as 50 horas?

A. 31 %

B. 50 %

C. 21 %

D. 69 %

E. 131 %

5. Se cada segundo 4.0 1018 eletres e1.5 1018 protes atravessam a seotransversal de um tubo de descarga dehidrognio, a corrente mdia no tubo :

A. 0.40 A

B. 0.56 A

C. 0.88 A

D. 1.5 A

E. 4.0 A

Problemas

1. Um eletro acelerado no vcuo, a partir do repouso, atravs de uma diferena depotencial de 220 V. Calcule a velocidade final do eletro (a massa do eletro encontra-seno apndice A).

2. Num tubo de raios X os eletres so acelerados por meio de um campo eltrico. Oseletres so libertados do repouso, deslocam-se no vcuo atravs de uma regio ondeexiste uma diferena de potencial de 4 kV, e chocam com um alvo emitindo radiaoX. (a) Calcule a energia e a velocidade com que chocam os eletres no alvo. (b) Se avariao de potencial se estender por uma distncia de 8 dm, calcule o campo eltricomdio.

3. Uma bateria de automvel tem uma carga mxima de 250 Ah, que corresponde cargadisponvel quando a bateria est carregada a 100%. (a) Depois de algum uso, a bateriadescarrega-se at 60%. Qual a carga, em coulombs, com que fica a bateria? (b) Pararecarreg-la, a bateria foi ligada a um carregador de 12 V. Inicialmente a corrente nocarregador foi 7 A, e ao fim de 6 horas diminuiu at 3 A. Admitindo que a correntediminuiu linearmente, com que percentagem da sua carga mxima fica a bateria no fimdas 6 horas?

4. Uma calculadora pode funcionar com um adaptador que fornece 40 mA, a 3 V, oucom duas pilhas AA cada uma com 1.5 V e carga mxima de 8 Ah. Admitindo que acalculadora utiliza a mesma potncia quando funciona a pilhas ou com o adaptador, porquanto tempo poder funcionar antes de ser preciso mudar as pilhas?

5. Numa casa, o fusvel do fogo eltrico na caixa de fusveis de 30 A. Qual a potnciamxima que pode ter o fogo? (admita diferena de potencial de 230 V).


6. Uma pilha recarregvel, de Ni-MH, tem uma diferena de potencial de 1.2 V, e umacarga mxima de 2300 mAh. Calcule a energia mxima que pode armazenar a pilha.

Figura 2.11.: Problema 6

7. A corrente num cabo varia de acordo com a funo I = 20+3t2, onde I mede-se emamperes e t em segundos. (a) Que carga transporta o cabo desde t = 0 at t = 10 s? (b)Qual o valor da corrente constante que transporta a mesma quantidade de carga nomesmo intervalo de tempo?

8. Num condutor ligado a uma pilha com fem de 1.5 V, circulam 1016 eletres de conduodurante 2 segundos. Calcule:

(a) A intensidade da corrente mdia.

(b) A energia fornecida pela fem durante esse intervalo.

(c) A potncia mdia fornecida pela fem.

(d) Se a carga inical da pilha era de 3 Ah, com que carga fica aps os 2 segundos?9. Para manter uma temperatura de 20 graus num quarto, durante um dia de inverno, foi

estimado que ser precisa uma energia de 132 kJ cada minuto. Para fornecer essaenergia ser usado um aquecedor eltrico, ligado tenso de 220 V disponvel na casa.

(a) Calcule a intensidade da corrente que dever circular pelo aquecedor.

(b) Se o custo da energia eltrica for de 12 cntimos por kwh, calcule o custo demanter ligado o aquecedor durante 10 minutos.

3. Resistncia eltrica

"Falando de uma maneira geral, os efeitos da corrente no corpo humano so os seguintes:

com menos do que 0.01 A: sensao de formigueiro ou nada se sente; 0.02 A: sensao de dor e fica-se agarrado; 0.03 A: perturbaes respiratrias; 0.07 A: grandes dificuldades respiratrias; 0.1 A: morte devido a fibrilao; mais do que 0.2 A; no existe fibrilao mas verificam-se queimaduras muito graves

e cessa a respirao.

A gama intermdia que vai de 0.1 a 0.2 A , por estranho que parea, a que origina amaior parte das mortes nas situaes comuns, porque a este nvel de intensidade inicia-se afibrilao do corao, que consiste numa contrao muscular espasmdica e incontroladado corao. A quebra da corrente sangunea da resultante origina rapidamente a morte.Acima de 0.2 A o corao simplesmente pra, e as medidas normais de primeiros socorrospodem restabelecer o seu funcionamento. Mas o nico processo para deter a fibrilao um outro choque eltrico controlado. Por isso, correntes entre 0.1 e 0.2 A so mais mortaisdo que correntes mais intensas. A intensidade que passa por uma vtima geralmentedeterminada pela resistncia da pele que vai de cerca de 1000 para peles molhadasat 500 000 para peles secas. A resistncia interna menor do que a da pele, estandocompreendida entre 100 e 500 . Para voltagens superiores a cerca de 240 V, geralmenteresulta a perfurao da pele pela corrente."

Jearl Walker, O Grande Circo da Fsica Walker (1975).

34 Resistncia eltrica

Atividade prtica

Um potencimetro (figura 3.1) uma resistncia varivel com trs terminais. Entre os doisterminais nos extremos existe uma resistncia fixa. O terminal do meio est ligado a umcontato mvel; quando se roda a barra do potencimetro, a resistncia entre o terminal domeio e um dos terminais nos extremos, varia desde zero at o valor da resistncia fixa.

Figura 3.1.: Potencimetro.

Com o ohmmetro confira o valor da resistncia entre os dois extremos e entre o terminalcentral e um dos extremos, enquanto roda a barra do potencimetro.

Ligue uma pilha entre os dois extremos do potencimetro; obtm-se assim um divisorde voltagem pois a diferena de potencial entre um dos extremos do potencimetro e oterminal no meio varia entre zero e a voltagem mxima da pilha, quando se faz rodara barra. Confira com o voltmetro a variao da diferena de potencial no divisor devoltagem, entre 0 e um valor perto de 9 V.

Ligue uma resistncia ao divisor de voltagem. Variando a diferena de potencial no divisor,entre 0 e o valor mximo, encontre os valores da corrente na resistncia, para vrios valoresda diferena de potencial. Faa um grfico com a corrente no eixo dos x e a diferenade potencial no eixo dos y; esse grfico designa-se por caraterstica tenso-corrente. Odeclve da reta obtida dever ser igual ao valor da resistncia.

3.1. Caratersticas tenso-corrente

A potncia eltrica que dissipa um elemento de um circuito, por exemplo, uma lmpada, igual ao produto da diferena de potencial e a corrente no elemento: P = I V . Duaslmpadas diferentes podem ter diferentes valores da potncia, com o mesmo valor davoltagem. Por exemplo, existem lmpadas pequenas de 12 V com potncias de 1 W e de2 W; isso indica que para o mesmo valor da diferena de potencial, a corrente na lmpadade 2 W o dobro do que a corrente na lmpada de 1 W.

Cada elemento de circuito tem uma curva caraterstica que mostra os valores resultantesda corrente, I, para diferentes valores da diferena de potencial, V . A figura 3.2 mostra

3.2 Lei de Ohm 35

algumas dessas curvas caratersticas, para trs elementos de circuito diferentes.

I

V

I

V

I

V(a) (b) (c)

Figura 3.2.: Caratersticas tenso-corrente de trs dispositivos diferentes.

3.2. Lei de Ohm

Em alguns condutores (o caso a na figura 3.2), designados de ohmicos, a curva carate-rstica uma reta que passa pela origem. Essa relao linear entre I e V expressa-sematemticamente com a Lei de Ohm:

V = RI (3.1)

Onde R uma constante chamada resistncia, que corresponde ao declve da caratersticatenso-corrente. Um condutor ohmico designa-se simplesmente de resistncia. A figura3.3 mostra o diagrama usado para representar nos circuitos uma resistncia.

R

Figura 3.3.: Diagrama de circuito para uma resistncia.

Nos materiais no ohmicos (b e c na figura 3.2) o declve no constante, o que indica quea resistncia diferente para diferentes valores da diferena de potencial.

No sistema internacional de unidades, a unidade usada para medir a resistncia o ohm,designado pela letra grega omega maiscula, ,. Uma resistncia de 1 ohm umaresistncia em que uma voltagem de 1 volt produz uma corrente de 1 ampere:

1 = 1VA

(3.2)

Usando a lei de Ohm, a potncia dissipada por efeito Joule numa resistncia (P= I |DeltaV )pode ser escrita em funo do valor da resistncia:

P = RI2 =V 2

R(3.3)


assim, a especificao da potncia de um dispositivo eltrico tem implcito um valor dadiferena de potencial (tenso) que dever ser usado para o seu correto funcionamento.Quanto maior for essa potencia nominal, menor ser a resistncia do dispositivo.

Figura 3.4.: A resistncia de cada eletrodomstico igual ao quadrado da diferena depotencial qual dever ser ligado, dividido pela sua potncia nominal.

3.3. Caraterstica de uma bateria

Uma pilha ou bateria fornece energia eletrosttica, devido s reaes qumicas entre oseltrodos e o eletrlito, mas tambm dissipa alguma energia em calor, devido passagemde cargas pelos eltrodos e pelo eletrlito. Assim, a caraterstica da bateria a soma dafuno constante V = mais a caraterstica de uma resistncia r (figura 3.5).

I

V

Figura 3.5.: Caraterstica tenso-corrente de uma bateria.

A ordenada na origem o valor da fem, e o declive a resistncia interna da pilha. Assim,o diagrama de circuito correspondente dever incluir uma fem ligada em srie com uma

3.3 Caraterstica de uma bateria 37

resistncia (ver figura 3.6). A barra mais fina e mais comprida, na representao grfica dafem, representa o eltrodo positivo, e a barra mais curta e grossa o eltrodo negativo.

r

Figura 3.6.: Circuito equivalente para uma bateria.

No lado em que I negativa no grfico 3.5, quer dizer que a corrente entra na bateria peloeltrodo negativo e sai pelo eltrodo positivo. Esse o modo normal de funcionamentodas baterias; nessas condies a bateria funciona como gerador, as cargas de conduoganham energia potencial na passagem pela bateria. A bateria fornece potncia eltrica;parte dessa potncia fornecida pelas reaes qumicas dissipada em calor dentro daprpria bateria.

No lado em que I positiva no grfico 3.5, a corrente entra na bateria pelo eltrodo positivoe sai pelo eltrodo negativo. As cargas perdem energia potencial durante a sua passagempela bateria. Assim, dever existir outra bateria externa que fornece energia s cargas deconduo e que mantem a diferena de potencial entre os eltrodos por cima do valor dafem. Diz-se que a bateria est a funcionar como receptor. costume representar a corrente na bateria em valor absoluto. Assim, os dois modos defuncionamento da bateria aparecero no mesmo quadrante da caraterstica tenso-corrente(figura 3.7). Nos dois ramos, o valor absoluto do declive igual resistncia interna r.

I

V

receptor

gerador

Figura 3.7.: Os dois ramos da caraterstica tenso-corrente de uma bateria.

Na figura 3.8 mostram-se os dois modos de funcionamento usando o diagrama de circuitoda bateria. No modo de gerador, a diferena de potencial entre os eltrodos :

Vgerador = r I (3.4)

o sentido da corrente implica que as cargas de conduo ganham energia na passagem pelafem, mas dissipam alguma dessa energia na resistncia interna. A potncia total fornecidapela bateria a potencia fornecida pela fem (I), menos a potncia dissipada na resistnciainterna (I2r).


r

I

+

gerador

r

I

+

receptor

Figura 3.8.: Sentido da corrente numa bateria, nos dois modos de operao.

No modo de receptor, a diferena de potencial entre os eltrodos :

Vreceptor = + r I (3.5)

neste caso, as cargas de conduo perdem energia na fem e na resistncia interna. Apotncia total dissipada na bateria ser a soma da potncia dissipada na fem (I), mais apotncia dissipada na resistncia interna (I2r). A parte da potncia dissipada devida fem,poder ser usada para inverter as reaes qumicas entre os eltrodos e o eletrlito, se abateria for recarregvel; caso contrrio, essa potncia tambm dissipada em calor.

3.4. Cdigo de cores

As resistncias usadas com frequncia nos circuitos eletrnicos so pequenos cilindros decarbono, com um isolamento cermico.

Usam-se 4 riscas de cores para indicar o valor da resistncia (figura 3.9). Trs das riscasesto mais juntas; as duas primeiras dessas riscas (a primeira a que estiver mais pertode um extremo) combinam-se para produzir um nmero com dois algarismos; cada corcorresponde a um algarismo (ver tabela 3.1). A terceira risca indica a ordem de grandezadesse nmero, em ohms, usando a mesma relao entre cores e algarismos usada nas duasprimeiras riscas. A quarta risca diz qual a tolerncia (erro relativo) desse valor; os valorescorrespondentes a cada cor aparecem na tabela 3.1.

Figura 3.9.: Circuito impresso (PCB) incluindo algumas resistncias e imagem amplifi-cada de uma resistncia.

Por exemplo, no caso apresentado na figura 3.9, as riscas so laranja, preta, azul e prateada,que conduzem ao valor: 30106 (10%).

3.5 Resistividade 39

Tabela 3.1.: Cdigo de cores usado para as resistncias.

Cor Algarismo Tolerncia

Preto 0Castanho 1 1%Vermelho 2 2%Laranja 3Amarelo 4Verde 5 0.5%Azul 6 0.25%Roxo 7 0.1%Cinza 8 0.05%Branco 9Dourado 5%Prateado 10%Nenhum 20%

3.5. Resistividade

A resistncia de um condutor ohmico devida s colises entre as cargas de conduoe os tomos ou ies. As cargas de conduo so aceleradas pela fora eletrosttica, masdevido s colises acabam por atingir uma velocidade mdia constante. A resistncia determinada pela relao que existir entre a velocidade mdia atingida e a diferenade potencial (por unidade de comprimento) que produz o movimento. Os fatores quedeterminam o valor da resistncia so: a natureza do material, o tamanho do condutor e atemperatura.

Para estudar a influncia do tamanho do condutor, consideremos dois cilindros idnticos,de comprimento L e rea transversal A, cada um com resistncia R, ligados em srie ou emparalelo (figura 3.10).

No primeiro caso, como se tivessemos um nico cilindro de comprimento 2L, se acorrente for I, a diferena de potencial ser RI +RI, nomeadamente, a resistncia dosistema 2R. Assim, duplicando o comprimento duplica-se a resistncia: a resistncia diretamente proporcional ao comprimento do condutor.

No segundo caso, como se tivessemos um nico condutor de comprimento L e reatransversal 2A. Nesse caso, se a diferena de potencial em cada um dos cilindros for V ,a corrente em cada cilindro ser V/R e a corrente total ser 2V/R, que corresponde corrente num sistema com resistncia R/2. Assim, duplicando a rea transversal, aresistncia diminui a metade: a resistncia inversamente proporcional rea da seotransversal.


2R

R__

2

L

L

L

L

A

A

AA

Figura 3.10.: Dois cilindros metlicos ligados em srie e em paralelo.

Assim, a resistncia de um condutor com comprimento L e rea transversal A :

R = LA

(3.6)

onde a constante de proporcionalidade, , a resistividade do material, que depender datemperatura, e da natureza do material.

Nos condutores ohmicos, a resistividade aumenta com a temperatura, em forma quaselinear (figura 3.11), quando a temperatura no estiver perto do zero absoluto (273C)

T

proporcional a T5

proporcional a T

Figura 3.11.: Variao da resistividade em funo da temperatura.

Define-se o coeficiente de temperatura:

=(20)/20

T 20(3.7)

onde 20 o valor da resistividade a 20C, e T a temperatura, medida em graus cen-tgrados. Cada material tem um coeficiente de temperatura diferente; se soubermos o

3.5 Resistividade 41

coeficiente de temperatura e a resistividade a 20C, poderemos calcular a resistividade aoutras temperaturas. A tabela 3.2 mostra os valores medidos da resistividade a 20C e docoeficiente de temperatura de vrios metais.

Tabela 3.2.: Resistividade e coeficiente de temperatura de alguns metais.

Metal 20(n m) Coeficiente de temperatura (C1)

Alumnio 28 0.0039Cobre 17 0.0039Chumbo 220 0.0043Ferro 100 0.0050Nquel-crmio 1000 0.0004Prata 16 0.0038Tungstnio 55 0.0045

Exemplo 3.1Um fio de cobre de raio 0.0815 cm e comprimento de 40 cm transporta uma correntede 1 A. Calcule o campo eltrico dentro do fio e a diferena de potencial nos extremos,quando a temperatura for de 30C.

Resoluo: A resistividade do fio calcula-se usando os valores para o cobre na tabela 3.2:

(30C) = 1.7108(1+0.003910) = 1.766108 m

A resistncia do fio :

R(30C) =(30C)L

A=

1.7661080.4(0.000815)2

= 3.39 m

A diferena de potencial obtm-se a partir da lei de Ohm:

V = I R = 3.39 mV

Como a seo transvesal do fio constante, o mdulo do campo eltrico tambm deve serconstante e, portanto, pode ser calculado como:

E =Vs

=3.390.4

= 8.475mVm


3.6. Supercondutividade

Em 1911, o fsico holands Heike Kamerlingh Onnes (1853-1926) descobriu que a resisti-vidade de alguns condutores diminui drasticamente quando a temperatura se aproxima dozero absoluto (273C). O grfico da figura 3.12 mostra os valores medidos por Onnespara a resistividade do mercrio, perto dos 4 graus Kelvin (269C)

T /K

2 4 6

Tc = 4.2 K

Mercrio

Figura 3.12.: Resistividade do mercrio, a baixas temperaturas.

Por baixo da temperatura crtica (4.2 K no caso do mercrio) a resistividade nos super-condutores diminui num fator de aproximadamente 1012, tornando-se praticamente nula.Isso implica a possibilidade de manter uma corrente a circular no supercondutor, durantealguns anos, sem existirem fontes de fora eletromotriz!

Nas experincias de levitao magntica coloca-se um man sobre um material super-condutor (figura 3.13). O man induz no supercondutor correntes eltricas que produzemum campo magntico oposto ao campo do man; em condies normais, essas correntesdesaparecem rapidamente devido a efeitos dissipativos no supercondutor. No entanto, se o

Figura 3.13.: Levitao magntica de um man cbico sobre um disco de material super-condutor.

3.7 Associaes de resistncias 43

sistema arrefecido at a temperatura ser menor que a temperatura crtica do supercon-dutor, as correntes persistem e o disco eleva-se no ar devido repulso magntica (efeitoMeissner).

Essas experincias tm a dificuldade de no ser fcil atingir temperaturas to baixas emant-las durante algum tempo. Mas hoje em dia j foram descobertos materiais comtemperaturas crticas muito mais elevadas, embora ainda na ordem dos 150 C..O princpio da levitao magntica j est a ser aplicado comercialmente nos comboiosmaglev em Xangai e Japo (figura 3.14). O comboio possui barras supercondutorasem vez de rodas, e os carris so substitudos por uma calha onde vrios eletro-manesproduzem campos magnticos no momento em que o comboio passa perto deles. Alevitao magntica reduz drasticamente o atrito entre o comboio e a calha, sendo precisouma fora propulsora muito m

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