Escoamento Carlos Ruberto Fragoso Jr. Marllus Gustavo F. P. das Neves CTEC - UFAL Hidrologia.
Elementos de Análise Numérica Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior Prof. Marllus Gustavo Ferreira...
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Elementos de Análise Numérica
Prof. Carlos Ruberto Fragoso JúniorProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Solução de problemas de Engenharia Sem computador Com computador
Formulação
SoluçãoInterpretação
FormulaçãoSolução
Interpretação
Antes Problemas com equações conhecidas, mas sem condições de serem trabalhadas
Tópicos
Aproximação ou Ajuste de curvas Integração numérica Derivadas numéricas Raízes de equações Sistemas de equações lineares Sistemas de equações não lineares
Aplicações em Recursos Hídricos Raizes da equação de manning
Canal prismático Canal com seção dada em tabela
Equação de remanso Solução da equação para encontrar x ideal para
muskingun cunge (propagação de vazões) Solução da propagação de reservatório usando
Newton
Aproximação ou ajustes de curvas Três aplicações
Extrair informações de dados problemas de previsão de população, por exemplo
Estudo de Leis ou funções que relacionem duas variáveis ambientais largura do rio em função da área da bacia de aporte; área impermeável em função da densidade habitacional, volume em função da cota em um reservatório,...
Achar funções mais simples de se trabalhar do que a função proposta
Aproximação ou ajustes de curvas Duas classes de métodos
Interpolação consideramos os dados precisos a curva de ajuste coincidirá com os pontos dados
Método dos quadrados mínimos leva-se em consideração erros introduzidos na obtenção dos dados
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Dados
Interpolação
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Quadrados mínimos0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Interpolação linear
A forma mais simples de interpolação é a interpolação linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta
Aproximação
cota
volu
me
)()()()()( 001
010 xx
xxxfxfxfxf
x
Interpolação quadrática
Encontra uma parábola que aproxima 3 dados consecutivos
Aproximação
cota
volu
me
)()( 102010 xxxxbxxbbxf
x
De forma geral Temos n+1 pontos (x0,y0), ..., (xn, yn), onde x0 ≠ x1 ≠ ... ≠ xn
Conhecemos y0 = f(x0), ..., yn = f(xn) Gostaríamos de encontrar o polinômio p(x) tal que p(x0) =
f(x0), ..., p(xn) = f(xn) polinômio interpolador
AproximaçãoInterpolação
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
9 pontos
A função f é conhecida em todos eles
O que a matemática garante?
AproximaçãoInterpolação
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
O que a matemática garante? Seja f(x) uma função conhecida nos n+1 pontos
distintos x0, x1, x2,..., xn. Existe um único polinômio p(x), de grau menor ou igual a n, tal que
p(xi) = f(xi) para i = 0, 1, 2, ..., n
Parábola (n = 2) mínimo 3 pontosPolinômio de grau 8 mínimo de 9 pontos
AproximaçãoInterpolação
Splines Funções polinomiais “por partes” Splines
As “partes” fazem parte de uma partição devido aos pontos interpolados
Ao se escolher, por exemplo, Splines cúbicos (ordem 3), fazemos uma “colagem” de polinômios de grau 3 em cada subintervalo do intervalo que caracteriza a partição
Aproximação
Splines Interpolação numérica
Splines Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos
para suavizar linhas de gráficos
Interpolação numérica
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
Existem rotinas prontas em praticamente qualquer linguagem para interpolação com polinômios e splines Calculadora, Matlab, Excel, etc…
Splines Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.
Interpolação numérica
Quadrados mínimos Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam
razoavelmente um conjunto de dados. Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário
respeitar todos os pontos. A idéia é minimizar os erros com uma função simples.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Ajuste – exemplo em simulação Relação entre largura de um rio e área de drenagem obtida a partir de seções transversais em locais de postos fluviométricos da ANA
Quadrados mínimos
0.4106baciario A3.2466 B
Utilizada para calcular os parâmetros do modelo Muskingum Cunge em locais sem dados
0
50
100
150
200
250
300
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
Área da bacia (km2)
Larg
ura
do ri
o (m
)
Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma equação pré-determinada aos dados de medição de vazão.
Ajuste – exemplo em simulação
Quadrados mínimos
Integração numérica
Quando utilizar?
quando é necessário obter informações de área molhada e raio hidráulico de uma seção transversal de um rio, definida por pares de pontos x e y
Também surgem quando é necessário discretizar uma função analítica contínua, de forma que sua área seja mantida
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
Idéia básica da integração numérica aproximação da função por um polinômio
Integração numérica
Matlab Interpolação 1D função interp1
Métodos: 'nearest' - vizinho mais próximo, 'linear‘, 'spline' - spline cúbico ....
yi = interp1(x,Y,xi)
Integração numérica Procura-se desenvolver fórmulas de integração do tipo:
bxxxa
xfwdxxf
n
n
iii
b
a
...
)()(
10
0
Pontos de integração
Pesos da fórmula de integração
O uso desta técnica decorre do fato de: por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de
integrar, contrariamente a um polinômio; a única informação sobre f(x) ser um conjunto de
pares ordenados
Fórmulas de Newton-Cotes. Regra do Trapézio simples, x0=a e xn=b; Regra do Trapézio composta, x0=a e xn=b; Regra de Simpson , x0=a e xn=b.
Integração numérica
Integração numérica Fórmulas de Newton-Cotes Usam pontos de integração igualmente
espaçados (a,b) intervalo de integração
Usa-se um polinômio de grau n, escrito pela fórmula de Lagrange, que interpola os (n+1) pontos [xi, f(xi)] i = 0, 1, 2, …, n
nxx
nabh n 0
Integração numérica Fórmulas de Newton-Cotes
n
iii
b
a
xfwdxxf0
)()(
b
a niiiii
niib
aii dx
xxxxxxxxxxxxxxxxdxxlw
)(...)()(...)()(...)()(...)()(
1101
110
n = 1 fórmula dos trapézios
b
a
dxxxxxw
)()(
10
00
b
a
dxxxxxw
)()(
01
01
1
0
)()(2
)( 10
x
x
xfxfhdxxf
Regra do trapézio simples
x
f(x)
x0 x1
f(x1)
f(x0)
2ba ff
abI
Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio
1
0
102
x
x
xfxfhdxxf )()()(
Intervalo [a, b] relativamente pequeno aproximação do valor da integral é aceitável
Intervalo [a, b] de grande amplitude aproximação inadequada pode-se subdividí-lo
em n sub-intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear
Regra do trapézio simples
Fórmulas compostas ou fórmulas repetidas
Regra do trapézio composta Intervalo [a, b] de grande amplitude Soma da área de n trapézios, cada qual
definido pelo seu sub-intervalo
nxx
nabh n 0
Subintervalos de igual comprimento h
Fórmula:
Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim:
)()(...
)()()()()(
NN
x
x
xfxfh
xfxfhxfxfhdxxfm
1
2110
2
220
Nx
xNN xfxfxfxfxfhdxxf
0
1210 22
)()(...)()()()(
Regra do trapézio composta
Regra do trapézio composta
Regra do Trapézio Simples: 2 pontos (x0=0,0 e x1=4,0)
I=h/2*(y0+y1)=2x(1,00000+0,24254) = 2,48508 Regra do Trapézio Composta: 3 pontos (x0=0,0,x1
=2,0,x2 =4,0)
I=h/2(y0+2y1+y2)=1x(1,00000+2x0,44722+ 0,24254) = 2,1369
Regra do Trapézio Composta: 9 pontos I=(0,5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) =2,0936
x y=(1+x²)-1/2
0.0 1,00000
0.5 0,89445
1.0 0,70711
1.5 0,55475
2.0 0,44722
2.5 0,37138
3.0 0,31623
3.5 0,27473
4.0 0,24254A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2,0947
Exemplo: Estimar o valor de
4
0
2121 dxx /)(
Regra do trapézio composta
Matlab Regra do trapézio função trapz
Z = trapz(Y) calcula uma aproximação para a integral de Y (com espaçamento unitário)
Z = trapz(Y,X) calcula uma aproximação para a integral de Y, definida pelos pares X, Y
X=0:0.5:4Y=sqrt(1+X.^2);Y=Y.^(-1);Z = trapz(X,Y);
4
0
2121 dxx /)(
A regra utilizada é composta?
x
f(x)
x0 x1
f(x1)
f(x0)
ERRO! Erro
E = I – T
T - valor da integral numérica.
I - valor da integral obtida pela integração de f(x)
Regra do trapézio composta
Erro da Regra do Trapézio Simples
Erro da Regra do Trapézio Composta
O erro final de uma fórmula repetida é obtido pela soma
dos erros parciais
b[ ]a, certo um para ),´´()´´()()(
fhfabfE1212
33
1212
3
1
3 )´´()´´()( ii
N
iN
fNhfhfE
Regra do trapézio composta
12:02
Exemplo: Seja ,
calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.
1
0
dxeI x
101 abh
1
0
102
x
x
xfxfhdxxf )()()(
859141,11
0
dxeI x
eedxeI x 01
0 21
Regra do trapézio composta
12:03
Estimativa do erro cometido:
2265230121
10121
10
3
,
),( ,)(
][máx
:Portanto
x
,xTR
TR
eE
eE
x
,xee
][máx
10
1
Regra do trapézio composta
Integração numérica
b
a niiiii
niib
aii dx
xxxxxxxxxxxxxxxxdxxlw
)(...)()(...)()(...)()(...)()(
1101
110
n = 2 fórmula de Simpson
b
a
hdxxxxx
xxxxw3)()(
)()(
2010
210
b
a
hdxxxxx
xxxxw3
4)()(
)()(
2101
201
b
a
hdxxxxx
xxxxw3)()(
)()(
1202
102
Regra de Simpson
x
f(x)
x0 x1
f(x1)
f(x0)
Aproxima pela área de um polinômio de grau 2x2
f(x2)
Fórmula
2x
0x210 )x(f)x(f4)x(f
3hdx)x(f
Considerando n sub-intervalos (n deve ser um número par):
nx
xnnn xfxfxfxfxfxfhdxxf
0
)()(4)(2)(2)(4)(3
)( 12210
Regra de Simpson composta
Regra de Simpson composta
Dividindo [0,1] em seis subintervalos, temos: h=1/6
Regra de simpsonS =1/18.[1+4(6/7+2/3+6/11)+2. (3/4+3/5)+1/2] = 0,69317
Valor da integral I = ln(2) = 0,69315
x y=(1+x)-1
0.0 1,00000
1/6 6/7
2/6 3/4
3/6 2/3
4/6 3/5
5/6 6/11
1 1/2
Exemplo: Estimar o valor de
1
0 x1dx
Regra de Simpson
Regra de Simpson- ErroErro da Regra de Simpson
b[ ]a, certo um para ),(90
)(5
IVfhfE
Diferenciação numérica Idéia básica da diferenciação numérica
Aproximar a derivada real em um ponto utilizando diferenciais pequenos.
Utilizando principalmente na discretização de equações diferenciais
Δxf(x)Δx)f(x
ΔxΔf
ΔxΔflimdx
df0Δx
1xxdxdf
x
f
01
01
xxff
xf
x0 x1
Diferenciação numérica
Diferenciação numérica Erros de truncamento As derivadas numéricas são apenas uma
aproximação razoável das derivadas analíticas
ΔtΔf
dtdf
É possível avaliar o erro cometido nesta aproximação utilizando as séries de Taylor
Séries de Taylor A série de Taylor permite estimar o valor de uma
função num ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo.
n3i2i
ii1i R...h3!)(xfh2!
)(xfh)(xf)f(x)f(x
Onde h é a diferença entre xi+1 e xi. A série de Taylor é infinita. A aproximação da derivada numérica é finita
O resto
11
)!1()(
nn
hn
fRn O resto é dado por
onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 e é um valor entre xi+1 e xi
Séries de Taylor
n3i2i
ii1i R...h3!)(xfh2!
)(xfh)(xf)f(x)f(x
Séries de Taylor e derivadasRnhxfhxfhxfxfxf ii
iii
...!3
)(!2
)()()()( 321
11 )()()( Rhxfxfxf iii
hR
hxfxfxf ii
i11 )()()(
A derivada numérica tem erro
de truncamento dado por Rn/hO valor do erro R1/h é da ordem de h O(h) pode-se expressar
)()()()( 1 hOh
xfxfxf iii
Erro da ordem de h quanto menor o passo (incremento), menor o erro da aproximação
Erros de arredondamento x truncamento
Erro de arredondamento soma das incertezas associadas à representação do sistema de numeração na máquina o computador utiliza uma representação binária com um número finito de bytes para representar os números reais
Erro de truncamento aquele associado ao truncamento de um processo infinito como o processo infinito não se conclui, somos forçados a adotar uma aproximação obtida após a execução de alguns passos
Tipos de derivadas numéricas
O(h)h)f(x)f(x)(xf 1ii
i
O(h)h)f(x)f(x)(xf i1i
i
)O(hh2)f(x)f(x)(xf 21i1i
i
Progressiva forward
Regressiva backward
Centrada Centered
Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da derivada numérica centrada é menor do que os outros.
12:16
Tipos de derivadas numéricas
)()()(2)()(' 22
11 hOh
xfxfxfxf iiii
Derivada segunda:
Rnhxfhxfhxfxfxf iiiii
...
!3)(
!2)()()()( 32
1
Rn...h!3
)x(fh!2
)x(fh)x(f)x(f)x(f 3i2iii1i
12:17
Tipos de derivadas numéricas
x
f
regressiva
analítica
progressiva
x0 x1 x2centrada
Exemplo derivada numérica
A celeridade cinemática de propagação de perturbações no escoamento é calculada por
onde c é a celeridade, Q é a vazão e A é a área da seção transversal
dAdQc
Exemplo derivada numérica Considerando uma seção prismática regular
nSRAQ
21
32
h dhdA
dhdQ
c
hAA
hQQ
chhh
hhh
dAdQc
Exemplo derivada numérica Considerando uma seção qualquer
dAdQc
nSRAQ
21
32
dhdA
dhdQ
c
hAAhQQ
chhh
hhh
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
h
Tabelas deA; R e Q em função de h
interpolação
Raízes de equações Recursos hídricos surgem muitas
equações de difícil solução analítica, com termos implícitos e não lineares
Os métodos aqui apresentados são iterativos estabelecemos uma expressão (função de iteração) que, aplicada repetidas vezes, a partir de uma aproximação inicial conhecida, produz uma sequencia de aproximações que convergem para a solução do problema.
Raízes de equações Determinação da aproximação inicial para
o caso de uma única função do cálculo diferencial e integral: Se y = f(x) é uma função contínua e muda de
sinal no intervalo [a,b], isto é, se f(a) . f(b) < 0 existe pelo menos um ponto c E [a,b] tal que f(c) = 0. Se, além disso, f’(x) não muda de sinal em [a,b] c é a única de f(x) neste intervalo
O ponto médio do intervalo pode ser uma aproximação inicial método da bisseção
Métodos numéricos para encontrar raízes de equações Bissecção Falsa posição Newton-Raphson Secantes
Raízes de equações
f(x)
x
raiz
No método de bissecção é necessário fornecer duas estimativas iniciais (limites do intervalo) de valor de x que “cercam” a raiz
Dadas as duas estimativas iniciais xu e xl, uma primeira estimativa para a raiz é dada por:
Raízes de equações
F(x)
x 2lu
rxxx
Método de bissecção
Método de bissecção
2lu
rxxx
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja exatamente entre xu e xl
Se f(xr).f(xl) negativo, entãoBusca entre xr e xl
Se não, busca entre xr e xu
Raízes de equações
Busca entre xr e xu
Busca termina de acordoCom critério de parada
Critérios de parada
Incremento de x menor que um dado limite Diferença entre f(x) no ponto testado e zero é
menor do que um dado limite
Raízes de equaçõesMétodo de bissecção
Método de falsa posiçãoRaízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Método de falsa posiçãoRaízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Método de falsa posiçãoRaízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Método de falsa posiçãoRaízes de equações
F(x)
x
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos
Bissecção e falsa posição sempre encontram a raiz, mas podem ser demorados
Além disso, exigem que sejam dadas duas tentativas iniciais com sinais contrários da função
Raízes de equações
Problemas dos métodos anteriores
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
Combina duas ideias básicas muito comuns em aproximações numéricas: Linearização substituir (numa certa
vizinhança) um problema complicado por sua aproximação linear que, por via de regra, é mais facilmente resolvida
Iteração um processo iterativo, ou aproximações sucessivas repetição sistemática de um certo procedimento até que seja atingido um grau de aproximação desejado
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
Linearização de uma função valor de f em x3
f(x)
xx1 x2
x3
f(x3)
Quanto mais próximo eu tomo um ponto de x3, mais a reta se aproxima da curva
Δx)f(x)L(x 23 Coef. angular da reta L(x)
que passa em x2 :
Este coef. angular também é dado por f’(x2)
L(x3)
f(x2)
7:36
x2 x3
f(x3)
Δx)(xf')f(x)L(x 223
Método de Newton-Raphson
Raízes de equações
f(x2)
xL(x3)
Δx)(xf')f(x)L(x 223
Δx)f(x)L(x)(xf' 23
2
Δx)(xf')f(x)f(x 223
Para que x3 seja a raiz
Δx)(xf')f(x0 22
)(xf')f(x-xx
2
223
Pela série de Taylor
Rnhxfhxfhxfxfxf iiiii
...
!3)(
!2)()()()( 32
1
iiiii xxxfxfxf 11 )()()(ii xxh 1se
Raízes de equaçõesMétodo de Newton-Raphson
0)( 1 ixfSupondo que (xi+1 é a raiz)
)()(
1i
iii xf
xfxx
Método de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo umalinha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Tentativa inicial
Raízes de equações
F(x)
xTentativa inicialderivada
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo umalinha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Raízes de equaçõesMétodo de Newton-Raphson
F(x)
xTentativa inicialderivada
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo umalinha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Raízes de equaçõesMétodo de Newton-Raphson
F(x)
x
derivada
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo umalinha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Raízes de equaçõesMétodo de Newton-Raphson
F(x)
x
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo umalinha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
Raízes de equaçõesMétodo de Newton-Raphson
Raízes de equaçõesMétodo de Newton-Raphson Critérios de parada quando f(xi) for
suficientemente próximo de zero ou quando a diferença de dois iterados torna-se muito pequena
Problemas do método de Newton-Raphson É melhor que a primeira estimativa não esteja longe
demais da raiz
x
Raízes de equações
x
Raízes de equaçõesProblemas do método de Newton-Raphson É melhor que a primeira estimativa não esteja longe
demais da raiz
Método das Secantes Um possível problema do método de Newton-
Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função
Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes
ii
iii xx
xfxfxf
1
1 )()()(
Raízes de equações
ii
iii xx
xfxfxf
1
1 )()()(
f(x)
xTentativa inicial
secante
)()(
)(
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Método das Secantes
Raízes de equações
Semelhança dos triângulos abaixo
f(x)
xTentativa inicial
secante
Método das Secantes
Raízes de equações
ii
iii xx
xfxfxf
1
1 )()()(
)()(
)(
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
f(x)
xTentativa inicial
secante
)()(
)(
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
Método das Secantes
Raízes de equações
Método das Secantes
Raízes de equações
Comparação de métodos Newton-Raphson é mais rápido, seguido do
método das secantes, da falsa posição e finalmente bissecção
Newton-Raphson e Secantes podem divergir
Secantes pode ser aplicado para funções em que é difícil obter derivadas (comuns em simulação hidrológica)
Mas podemos usar derivadas numéricas
Raízes de equações
Comparação de métodosRaízes de equações
Comparação de métodosRaízes de equações
Comparação de métodosRaízes de equações
Comparação de métodos Mesmo exemplo no excel Newton
Raízes de equações
Comparação de métodos Mesmo exemplo no excel Newton com
derivadas numéricas
Raízes de equações
Comparação de métodos Mesmo exemplo no excel Secante
Raízes de equações
Matlab
Exemplo Calcule o nível da água h se:
nSRAQ
21
32
h
Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 m
B
0)(2
13
2
n
SRAQhG
Raízes de equações
Raízes de equações
Exemplo
nSRAQ
21
32
h
BQ=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 mm=1,5
m
1
0)(2
13
2
n
SRAQhG
Raízes de equações
Calcule o nível da água h se:
Raízes de equações
Exemplo Calcule a vazão de um vertedor
23
22
2
2
gLh
QhLCQh
g=9,81 m/s2
h=20 cmL=10 mC=2
Raízes de equações
Exemplo Calcule o nível h para uma dada vazão Q
nSRAQ
21
32
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
0 20 40 60 80 100 120 140
h
Tabelas de A; R e Q em função de h
Q = 15 m3/sS = 0,001 m/mn = 0,02
0)(2
13
2
n
SRAQhG
Simples busca e interpolação da tabela
Raízes de equações
Outro exemplo: balanço hídrico de reservatório com vertedor
)()(
)(
hgVhfO
tfI
OIdtdV
2/3
shhLCQ
Equação de vertedor
Raízes de equações
Supondo um reservatório
23020030200
3020030200
30200
2/32/313856,03856,011
3856,03856,011
3856,0
st
sttttt
tttt
hhLChhLCIt
hhhh
thhhh
dtdV
hhV
Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito?
Raízes de equações
Raízes de equações
Como encontrar raízes de equações implícitas
2
30200302002/32/313856,03856,011
st
sttttt hhLChhLCI
thhhh
Método de bissecçãoMétodo de Newton-RaphsonMétodo das secantes
E se houver operação de comportas durante uma cheia?
Raízes de equações
Exemplo Na aplicação do método de Muskingum-Cunge para a simulação da
propagação de vazão em rios, utilizam-se sub-trechos, cujos comprimentos ideais podem ser encontrados resolvendo a equação abaixo:
2,08,00
00
0 8,0 xtccSB
Qx
Aplique considerando: Q0=100 m3/s c0=1,0 m/s B = 30 m S0=0,001 m/m t = 1 hora (3600 s)
00
05,2cSB
Qx
Use a equação abaixo paraa estimativa inicial
Raízes de equações
Solver do Excel
O solver pode ser utilizado para encontrar raízes de equações
Não está claro que método que Solver utiliza Chute inicial deve estar relativamente próximo da
raiz
Raízes de equações
Raízes de equações
Problema comum em engenharia; A utilização do método está liga a dois
condicionantes: (a) matriz de coeficientes, (b) eficiência da solução;
Classificação: Quanto ao tipo: (a) linear, (b) não linear; Quanto ao tipo de solução: (a) direta (ex. Gauss),
(b) iterativa (ex. Gauss-Seidel); Quanto à solução: (a) compatível e determinada;
(b) compatível e indeterminada; (c) incompatível.
Sistemas de equações - Introdução
Sistemas de equações lineares Pode ser definido como:
nnnn33n22n11n
3nn3333232131
2nn2323222121
1nn1313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa
Sistemas de equações lineares Em forma matricial:
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaaaaaaaaaa
Matriz do coeficientes
n
3
2
1
x
xxx
Vetor das incógnitasou vetor solução
n
3
2
1
b
bbb
Vetor das constantes
BXA
Sistemas de equações lineares Classificação quanto à solução:
Possível e determinado → Possui uma única solução. Solução trivial → Det(A) ≠ 0 e B = 0; Solução não trivial → Det(A) ≠ 0 e B ≠ 0
Possível e indeterminado → Possui infinitas soluções Det(A) = 0 e B = 0 ou B é múltiplo de uma coluna de A
Impossível → Não possui soluções Det(A) = 0 e B ≠ 0 e B não é múltiplo de nenhuma
coluna de A
Soluções de sistemas de equações lineares Método de Gauss (direto)
Método direto fornecem a solução do sistema após a realização de um n° finito de passos. Os erros são basicamente de arredondamento da máquina
Método de Gauss-Seidel (iterativo) Métodos iterativos baseiam-se na construção
de sequências de aproximações; em cada passo valores calculados anteriormente são usados para melhorar a aproximação
Método de Gauss
Consiste em transformar a matriz A em uma matriz triangular equivalente através das seguintes operações: Subtração de uma linha por outra multiplicada por
uma constante; Formação de uma matriz diagonal superior.
nnnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
~~...........
~~.......~
~~.......~~.......
33333
22323222
11313212111
Método de Gauss
375
Bexxx
X,922294242
A
3x9x2x27x2x9x45x2x4x2
3
2
1
321
321
321
Considere,
onde:
392272945242
Ae,
Método de Gauss
1o passo: Definir um multiplicador para cada linha baseado na primeira m2 = a21/a11; m3 = a31/a11
2o passo: Subtrair o produto do multiplicador da 2a e 3a linha pela 1a linha a’i,j=ai,j- mi . ai-1,j , onde i = 2,3 e j = 1,2,3
Método de GaussO multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1
3x9x2x27x2x9x45x2x4x2
321
321
321 (x 2)(-
5x2x4x2 321 3x2x 32 8x7x2 32
(x -1)(-)
Método de Gauss
3527bmbb
2222amaa
1429amaa
0aaaaamaa
122'2
13223'23
12222'22
1111
212111221
'21
2a linha:
Os multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1
3a linha:
8513bmbb
7219amaa
2412amaa
0aaaaamaa
133'3
13333'33
12332'32
1111
313111331
'31
Método de GaussApós estes passos, a matriz aumentada fica da seguinte forma:
87203210
5242
'b'a'a0'b'a'a0
baaaA
33332
22322
1131211
Repentindo os passos de 1 a 3, só que agora tomando comobase a linha 2:
Método de GaussCalculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2
8x7x23x2x5x2x4x2
32
32
321
(x 2)(-)
5x2x4x2 321 3x2x 32
14x3 3
Método de Gauss
14328bmbb
3227amaa
0aaaaamaa
'2
'3
'3
''3
'23
'3
'33
''33
'22'
22
'32'
32'22
'3
'32
''32
3a linha:
Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2
Após estes passos, a matriz aumentada agora tem a seguinte forma:
143003210
5242
ba00baa0baaa
A''
3''33
'2
'23
'21
1131211
Método de GaussEquivalente a:
14x33x2x5x2x4x2
3
32
321
Resolvendo o novo sistema, obtem-se:
83,31x33,12x
67,4x
1
2
3
Método diretos como o de Gauss tem a vantagem de fornecer a solução após um n° finito de passos e não dependem de condições de convergência
Podem ser inviáveis quando o sistema é muito grande ou mal condicionado
Método de Gauss
Método iterativo de Gauss-Seidel É um dos métodos mais comum e simples de
ser programado; O método converge somente sob certas
condições e normalmente conduz a um número maior de operações quando comparado com métodos diretos
Como qualquer método iterativo convenientes para sistemas grandes e esparsos que aparecem após discretização de EDPs
Método iterativo de Gauss-Seidel
n
1ij
kjj,i
1i
1j
1kjj,ii
i,i
1ki xaxab
a1x
A equação utilizada para iterações é a seguinte:
Pode-se utilizar um coeficiente para acelerar o processode convergência:
n
1ij
kjj,i
1i
1j
1kjj,ii
i,i
1ki xaxab
ax
Método iterativo de Gauss-Seidel
Seja o sistema de equações:
nnnn33n22n11n
3nn3333232131
2nn2323222121
1nn1313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa
Método iterativo de Gauss-SeidelObtemos o valor de x1 a partir da primeira equação, o valor de x2 a
partir da segunda equação e assim sucessivamente:
1k1n1nn
1k33n
1k22n
1k11nn
nn
1kn
knn3
k434
1k232
1k1313
33
1k3
knn2
k424
k323
1k1212
22
1k2
knn1
k414
k313
k2121
11
1k1
xaxaxaxaba1x
xaxaxaxaba1x
xaxaxaxaba1x
xaxaxaxaba1x
Método iterativo de Gauss-Seidel Ponto de partida
Conjunto de valores iniciais na falta de melhores informações, podemos usar x1 = x2 = ... = xn = 0
Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado
valor m; A seguinte condição atenta uma precisão adotada:
n
1j
n
1ijj,ii xab
Método iterativo de Gauss-Seidel Convergência do método:
Existe um critério de convergência, através de um teorema, que envolve autovalores de matrizes, o que nem sempre é trivial
Este teorema, no entanto, permite estabelecer outras condições de convergência de verificação mais simples O método converge se a matriz A é diagonalmente
dominante O método converge se a matriz A é uma matriz positiva
definida
Método iterativo de Gauss-Seidel Convergência do método:
matriz de coeficientes seja positiva definida Inspeção da diagonal principal (necessária):
Domínio da diagonal (suficiente):
Método dos menores principais (necessária e suficiente):
jipara,0a j,i
ij
i,ji,iij
j,ii,i aaeaa
0Ri
Método iterativo de Gauss-Seidel
3x9x2x27x2x9x45x2x4x2
321
321
321
Considere
Aplicando o método, tem-se
1k2
1k1
1k3
k3
1k1
1k2
k3
k2
1k1
x2x2391x
x2x4791x
x2x4521x
Método iterativo de Gauss-SeidelConsiderando o ponto de partida com Xk=(x1, x2, x3)=(0, 0, 0),
a primeira iteração fica:
815,0333,025,22391x
333,0025,24791x
5,20204521x
1k3
1k2
1k1
Adotando ɛ = 0.0001, após 244 iterações a solução converge para:
67,4x33,12x
83,31x
3
2
1
Método iterativo de Gauss-SeidelExercício para casa:
- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel.
Sistemas de equações não lineares Pode ser definido como:
0x,...,x,x,xf
0x,...,x,x,xf0x,...,x,x,xf0x,...,x,x,xf
n321n
n3213
n3212
n3211
onde f é uma função não linear em função de x1,x2,…,xn.
Sistemas de equações não lineares Método iterativo de Newton
Se baseia no método Newton-Rapson para solução de equações não lineares
Transforma o sistema não linear em um sistema linear (linearização), este resolvido a cada uma das várias iterações de modo que a solução do linear se aproxime daquela esperada (não linear)
Método iterativo de Newton Um sistema de equações não lineares:
0x,...,x,x,xf
0x,...,x,x,xf0x,...,x,x,xf0x,...,x,x,xf
n321n
n3213
n3212
n3211
pode ser expandido para série de Taylor de primeira ordem:
Método iterativo de Newton Resultando em um sistema de equações lineares:
0xxfx
xfx
xfx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf
0xxfx
xfx
xfx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf
0xxfx
xfx
xfx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf
0xxfx
xfx
xfx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf
n
k
n
n2
k
2
n1
k
1
nkn321n
1kn321n
n
k
n
32
k
2
31
k
1
3kn3213
1kn3213
n
k
n
22
k
2
21
k
1
2kn3212
1kn3212
n
k
n
12
k
2
11
k
1
1kn3211
1kn3211
onde Δxi = xik+1- xi
k
Método iterativo de Newton Em forma matricial:
n
n
2
3
2
2
1
n
n
3
3
3
2
3
1
3
n
2
3
2
2
2
1
2
n
1
3
1
2
1
1
1
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
Jacobiano (k)
n
3
2
1
x
xxx
Vetor das incógnitasou vetor solução (k+1)
nn
n2
2
n1
1
nn
nn
32
2
31
1
33
nn
22
2
21
1
22
nn
12
2
11
1
11
xxfx
xfx
xff
xxfx
xfx
xff
xxfx
xfx
xff
xxfx
xfx
xff
Vetor das Constantes (k)
k1kk BXJ
Método iterativo de Newton Ponto de partida
Conjunto de valores iniciais
Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado
valor m; Verifique se a seguinte condição atenda uma
precisão adotada:
n
1i
ki
1ki ff
Método iterativo de Newton Convergência do método:
É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida Inspeção da diagonal principal (necessária):
Domínio da diagonal (suficiente):
Método dos menores principais (necessária e suficiente):
jipara,0a j,i
ij
i,ji,iij
j,ii,i aaeaa
0Ri
Método iterativo de NewtonExercício para casa:
- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas não lineares pelo método iterativo de Newton.
Trabalho Desenvolver uma iteração, manualmente, do
sistema não linear resultante do chamado problema dos três reservatórios a seguir
Verifique as condições de convergência (matriz A diagonalmente dominante e positiva definida)
Utilize o método de Gauss-Sidel após a linearização do sistema não-linear
Prazo: 1 semana após esta aula
7:36
Trabalho o sistema abaixo é composto por 3
reservatórios. Não se sabe quais os valores de vazão nos trechos nem a cota piezométrica (CP) no ponto de convergência dos trechos. Para Determiná-los, desprezando as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas
7:36
trecho
L(m)
D(mm) f
AD 300 4000,03
DB 300 4000,03
DC 900 5000,02
AB
DC
100m
90m
80m
Trabalho Para resolver este problema, faz-se a
hipótese de que a CPD = 90, o que equivale a dizer que QDB = 0
Depois testa-se a hipótese Do resultado do teste, ou o problema
acaba ou se monta um sistema de equações não-lineares com 4 incógnitas.
A seguir o resumo do processo
7:36
Completando a tabela =0,0826f
AB
DC
100m
90m
80m
trecho
L(m)
D(m) f
AD 300 4000,03
0,00248
DB 300 4000,03
0,00248
DC 900 5000,02
0,00165
Trabalho
Hipótese CPD= 90m QDB=0 m3/sCalcular QAD e QDC. Por exemplo,
AB
DC
100m
90m
80m
Trabalho
Hipótese CPD= 90m QDB=0 m3/s
AB
DC
100m
90m
80m
trecho
H
Q (m3/s)
AD 10 0,37DB 0 0,00DC 10 0,46
QAD< QDC
QDB≠ 0
Trabalho
Sistema de equações
Resultado CPD=89,63m, QAD=0,38m3/s, QDB=0,07m3/s e QDC=0,45m3/s
Trabalho
Resultado
AB
DC
100m
90m
80m0,38 m3/s
0,07 m3/s
0,45m3/s
89,63m
Trabalho
Trabalho Para facilitar, chame:
CPD de x1
QAD de x2
QDB de x3
QDC de x4
7:36