efeito de malhas anisotrópicas bidimensionais sobre o desempenho ...

FABIANE DE OLIVEIRA

EFEITO DE MALHAS ANISOTRÓPICAS BIDIMENSIONAIS SOBRE O DESEMPENHO DO MÉTODO MULTIGRID GEOMÉTRICO

Tese apresentada como requisito parcial para a obtenção do título de doutor em Engenharia Mecânica no Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFPR, na área de concentração de Fenômenos de Transporte e Mecânica dos Sólidos. Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Marchi. Co-orientador: Prof. Dr. Marcio Augusto Villela Pinto.

CURITIBA

2010

Oliveira, Fabiane de Efeito de malhas anisotrópicas bidimensionais sobre o desempenho do método multigrid geométrico / Fabiane de Oliveira. – Curitiba, 2010. 204 f. : il. ; graf., tab. Orientador: Carlos Henrique Marchi Co-orientador: Marcio Augusto Villela Pinto Tese (doutorado) – Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.

1. Sistemas lineares. 2. Dinâmica dos fluidos. 3. Métodos de redes múltiplas (Analise numérica). I. Marchi, Carlos Henrique. II. Pinto, Marcio Augusto Villela. III. Título. CDD 003.74

A Deus, por tudo.

Aos meus pais e irmã.

Aos meus padrinhos e primos.

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Carlos Henrique Marchi e ao meu co-

orientador Prof. Dr. Marcio Augusto Villela Pinto por terem aceitado me orientar neste

trabalho e por todo o conhecimento recebido.

Agradeço também, a todos meus professores pelos conhecimentos por eles

transmitidos.

Agradeço aos membros da banca examinadora, Cezar Otaviano Ribeiro Negrão,

Francisco Marcondes, Luciano Kiyoshi Araki e Viviana Cocco Mariani pelo tempo

dispendido na leitura deste trabalho e pelas importantes sugestões apontadas.

Agradeço ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica (PG-MEC) da

Universidade Federal do Paraná (UFPR) pela oportunidade de cursar o doutorado e ao

Departamento de Matemática e Estatística da Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

pela licença concedida para a dedicação ao curso.

Agradeço à minha família pelo apoio e incentivo durante a realização deste curso.

Agradeço aos meus amigos que direta ou indiretamente me ajudaram no

desenvolvimento deste trabalho, de uma forma especial aos amigos do LENA.

A todos aqueles que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho.

RESUMO

O objetivo deste trabalho é reduzir o tempo de CPU (Central Processing Unit) necessário

para resolver problemas difusivos bidimensionais, discretizados com malhas anisotrópicas. Os

modelos matemáticos considerados referem-se a três problemas bidimensionais lineares de

condução de calor, governados pelas equações de Laplace e Poisson, com condições de

contorno de Dirichlet. O método de diferenças finitas é usado para discretizar as equações

diferenciais com esquema de diferença central (CDS) de segunda ordem. Os sistemas de

equações algébricas são resolvidos usando-se os métodos Gauss-Seidel lexicográfico e red-

black, associados ao método multigrid geométrico com esquema de correção (CS) e ciclo V.

Foram resolvidos problemas com anisotropia geométrica, diversas malhas e razões de aspecto.

O número de iterações internas (ν) foi verificado em um intervalo de 1 a 3.000. A análise do

número de níveis foi realizada utilizando-se o número máximo de níveis )( máximoL e

1−máximoL 3,2, −− máximomáximo LL , 4−máximoL . São feitas comparações entre diversos

algoritmos de engrossamento: engrossamento padrão (EP), semi-engrossamento (SE), semi-

engrossamento completo (SEC), semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão (SE-

EP) e engrossamento padrão seguido de semi-engrossamento (EP-SE). Também são

realizadas comparações entre alguns operadores de restrição: injeção, meia ponderação e

ponderação completa. São propostos três tipos de restrição para problemas anisotrópicos:

meia ponderação geométrica, ponderação geométrica completa e ponderação parcial. O

processo de prolongação utilizado é a interpolação bilinear. Também foi investigado o efeito

sobre o tempo de CPU causado por: número de pontos na malha (N); número de iterações

internas no solver (v); e número de malhas (L). Verificou-se que: o algoritmo SE-EP é o mais

rápido entre os cinco algoritmos testados; e confirmou-se que, para problemas isotrópicos e

anisotrópicos, o solver Gauss-Seidel red-black com restrição por ponderação parcial resulta

em menor tempo de CPU em relação ao Gauss-Seidel lexicográfico.

Palavras-chave: Algoritmos de engrossamento. Diferenças finitas. Laplace. Operadores de

restrição. Multigrid geométrico. Poisson.

ABSTRACT

The purpose of this work is to reduce the CPU (Central Processing Unit) time necessary to

solve two-dimensional diffusive problems, discretized with anisotropic grids. The

mathematical models considered are related to three two-dimensional linear heat diffusion

problems, governed by Laplace and Poisson equations, with Dirichlet boundary conditions.

The differential equations are discretized by the finite difference method, with second order

approximations, given by central differences scheme (CDS) for derivatives. The systems of

equations are solved with the lexicographical and red-black Gauss-Seidel methods, associated

to geometric multigrid with correction scheme (CS) and V-cycle. For problems with

geometric anisotropic, several grids and aspect ratios are considered. The inner iterations are

verified for the interval between 1 and 3.000. The analyses for the number of levels are

accomplished using the maximum level number )( máximoL and

1−máximoL 3,2, −− máximomáximo LL , 4−máximoL . Comparisons among several semi-coarsening

algorithms are made: standard coarsening (EP), semi-coarsening (SE), full semi-coarsening

(SEC), semi-coarsening followed by standard coarsening (SE-EP) and standard coarsening

followed by semi-coarsening (EP-SE). Comparisons are also made among some restrictions

schemes: injection, half weighting and full weighting. Three restriction schemes for

anisotropic problems are proposed: geometric half weighting, geometric full weighting and

partial weighting. The prolongation process used is the bilinear interpolation. The CPU time

changes caused by the following effects are also studied: the number of nodes of a grid (N);

the number of inner iterations of the solver )(ν ; and the number of grids used (L). It was

verified that: the algorithm SE-EP is the fastest of the five algorithms tested; for isotropic and

anisotropic problems, red-black Gauss-Seidel solver with partial weighting restriction results

in smaller CPU time compared to lexicographical Gauss-Seidel.

Keywords: Coarsening algorithm. Finite difference. Geometric multigrid. Laplace. Poisson.

Restriction operators.

LISTA DE ALGORITMOS

Algoritmo 2.1: Procedimento de Gauss-Seidel lexicográfico para fuA = ............................40

Algoritmo 2.2: Procedimento de Gauss-Seidel red-black para fuA = . ................................41

Algoritmo 2.3: Ciclo V com esquema CS para várias malhas. ................................................51

Algoritmo 2.4: Multigrid com ciclo V, Esquema CS para diversas malhas e diversos ciclos. 52

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1: Discretização..........................................................................................................25

Figura 1.2: Exemplos de malhas estruturadas: (a) uniforme e (b) não-uniforme.....................27

Figura 1.3: Exemplo de malha não-estruturada........................................................................27

Figura 1.4: Ordenação lexicográfica. .......................................................................................27

Figura 1.5: Ordenação red-black. .............................................................................................28

Figura 2.1: Modos de Fourier. ..................................................................................................44

Figura 2.2: Comportamento da suavização do erro em métodos iterativos..............................44

Figura 2.3: Comportamento da suavização do erro em métodos iterativos..............................44

Figura 2.4: Processo de engrossamento e geração de malhas. .................................................45

Figura 2.5: Engrossamento padrão com razão de engrossamento r = 2. ..................................47

Figura 2.6: Restrição por injeção (Trottenberg et al. 2001). ....................................................47

Figura 2.7: Prolongação bilinear (Extraída de Trottenberg et al. 2001)...................................49

Figura 2.8: Diagramas: (a) ciclo V, (b) F, (c) dente-de-serra, (d) W. ......................................50

Figura 2.9: Anisotropia tipo I ( yx hh ≠ , yx NN = , yx CC ≠ ). .................................................56

Figura 2.10: Anisotropia tipo II ( yx hh = , yx NN ≠ e yx CC ≠ ). ............................................56

Figura 2.11: Anisotropia tipo III ( yx hh ≠ , yx NN ≠ , yx CC = ). ............................................57

Figura 2.12: Anisotropia tipo IV ( yx hh ≠ , yx NN ≠ , yx CC ≠ ). ............................................57

Figura 2.13: Algoritmos de engrossamento: a) EP, b) SE, c) SE-EP, d) EP-SE. .....................59

Figura 3.1: Domínio bidimensional de cálculo para a equação de Laplace. ............................62

Figura 4.1: Erros envolvidos nos métodos de engenharia (adaptada de Marchi e Schneider,

2004).................................................................................................................................68

Figura 4.2: Ordem efetiva e ordem aparente para a temperatura no nó central. ......................72

Figura 4.3: Ordem efetiva e ordem aparente para a temperatura média...................................72

Figura 4.4: Ordem efetiva e ordem aparente para a norma ∞l . ................................................73

Figura 4.5: Ordem efetiva e ordem aparente para a norma 1l . .................................................73

Figura 4.6: Ordem efetiva e ordem aparente para a temperatura média em uma malha

anisotrópica.......................................................................................................................74

Figura 4.7: Erro numérico para a equação de Laplace senoidal. ..............................................75

Figura 4.8: Erro numérico para a equação de Laplace linear. ..................................................75

Figura 4.9: Erro numérico para a equação de Poisson. ............................................................76

Figura 4.10: Comportamento da norma 2l do resíduo em função do número de ciclos V para

uma maha 8193x8193.......................................................................................................77

Figura 4.11: Norma infinito ( ∞l ) do erro numérico versus número de incógnitas para o método

multigrid. ..........................................................................................................................78

Figura 4.12: Temperatura média versus número de incógnitas (N) para a equação de Laplace

senoidal.............................................................................................................................80

Figura 5.1: Exemplos de malhas: a) isotrópica e b) anisotrópica com Q = 2...........................88

Figura 5.2: Algoritmo semi-engrossamento completo (SEC). .................................................88

Figura 5.3: Tempo de CPU versus ν para E = 262.144, SE-EP, equação de Laplace senoidal e

1<Q .................................................................................................................................91

Figura 5.4: Tempo de CPU versus ν para E = 262.144, SE-EP, equação de Laplace senoidal e

1>Q . ...............................................................................................................................91

Figura 5.5: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144 e EP. ....................................93

Figura 5.6: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144 e SE. ....................................93

Figura 5.7: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144 e SEC. .................................94

Figura 5.8: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144 e EP-SE. ..............................94

Figura 5.9: Tempo de CPU versus ν para Q = 1, E = 262.144, EP e solver GS-LEX. ...........97

Figura 5.10: Tempo de CPU versus ν para Q = 1/64, E = 262.144, SE-EP............................99

Figura 5.11: Tempo de CPU versus ν para Q = 1/16, E = 262.144, SE-EP............................99

Figura 5.12: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144, SE-EP.............................100

Figura 5.13: Tempo de CPU versus ν para Q = 64, E = 262.144, SE-EP.............................100

Figura 5.14: Tempo de CPU versus número de níveis (L) para E = 262.144, EP e equação de

Laplace senoidal. ............................................................................................................102

Figura 5.15: Tempo de CPU versus número de níveis para E = 262.144, SE e equação de


Figura 5.16: Tempo de CPU versus número de níveis para E = 262.144, SEC e equação de


Figura 5.17: Tempo de CPU versus número de níveis para E = 262.144, EP-SE e equação de


Figura 5.18: Tempo de CPU versus número de níveis para E = 262.144, algoritmo SE-EP e

equação de Laplace senoidal. .........................................................................................104

Figura 5.19: Tempo de CPU versus razão de aspecto para diversas razões de aspecto,

144.262=E e equação de Laplace senoidal. .................................................................106


144.262=E e equação de Laplace linear. .....................................................................106


144.262=E e equação de Poisson................................................................................107

Figura 5.22: Tempo de CPU versus E para Q = 64 e equação de Laplace senoidal. .............108

Figura 5.23: Tempo de CPU versus E, para Q = 1/64 e equação de Laplace senoidal. .........108

Figura 6.1: Nó utilizado para a restrição por injeção. ............................................................116

Figura 6.2: Nós utilizados para a restrição por meia ponderação...........................................117

Figura 6.3: Nós utilizados para a restrição por ponderação completa....................................118

Figura 6.4: Tempo de CPU versus razão de aspecto para o algoritmo SE-EP, E = 262.144 para

as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson com 1010−=ε . ..................121

Figura 6.5: Tempo de CPU versus razão de aspecto o algoritmo SE-EP, E = 262.144 para as

equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson com 710−=ε . ........................122

Figura 6.6: Tempo de CPU versus número de elementos para 1≤Q , algoritmo SE-EP e

equação de Laplace senoidal com 1010−=ε . .................................................................123

Figura 6.7: Tempo de CPU versus número de elementos para 1≥Q , algoritmo SE-EP e

equação de Laplace senoidal com 1010−=ε . .................................................................123


equação de Laplace linear com 1010−=ε . .....................................................................124


equação de Laplace linear com 1010−=ε . .....................................................................124


equação de Poisson com 1010−=ε .................................................................................125


equação de Poisson com 1010−=ε .................................................................................125

Figura 6.12: Tempo de CPU versus EPν para Q = 1/64, E = 262.144, SE-EP ótimo e equação

de Laplace senoidal. .......................................................................................................132

Figura 6.13: Tempo de CPU versus EPν para Q = 64, E = 262.144, SE-EP ótimo e equação de


Figura 6.14: Tempo de CPU versus ν para Q = 1, E = 262.144, EP ótimo para as equações de

Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson. ...................................................................133

Figura 6.15: Tempo de CPU versus número de níveis (L) para E = 262.144, algoritmo SE-EP

ótimo e equação de Laplace senoidal. ............................................................................134


ótimo e equação de Laplace senoidal. ............................................................................134

Figura 6.17: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP,

64/1=Q e equação de Laplace senoidal........................................................................135

Figura 6.18: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP, Q =

64, equação de Laplace senoidal. ...................................................................................136

Figura 6.19: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo EP e equação

de Laplace senoidal e Q = 1. ..........................................................................................136

Figura 6.20: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para um problema isotrópico e


Figura 6.21: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para um problema anisotrópico

com Q = 1/64, e equação de Laplace senoidal. ..............................................................138

Figura A.1: Solução analítica da equação de Laplace senoidal..............................................156

Figura A.2: Solução analítica da equação de Laplace linear..................................................156

Figura A.3: Solução analítica da equação de Poisson. ...........................................................157

Figura A.4: Perfil da temperatura em x = 1/2.........................................................................157

Figura A.5: Perfil da temperatura em y = 1/2.........................................................................158

Figura D.1: Tempo de CPU versus ν para E = 4.194.304, SE-EP e equação de Laplace

senoidal...........................................................................................................................169

Figura D.2: Tempo de CPU versus ν para E = 67.108.864, SE-EP e equação de Laplace

senoidal...........................................................................................................................169

Figura D.3: Tempo de CPU versus ν para E = 262.144, SE-EP e equação de Laplace linear.

........................................................................................................................................170

Figura D.4: Tempo de CPU versus ν para E = 262.144, SE-EP e equação de Poisson. .......170

Figura D.5: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP e

536.65=E .....................................................................................................................172

Figura D.6: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP

e 144.262=E . ................................................................................................................173


304.194.4 =E . ...............................................................................................................174

Figura D.8: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo SE e

536.65=E .....................................................................................................................176


144.262=E ...................................................................................................................177

Figura D.10: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo SEC e

096.4=E .......................................................................................................................178


536.65=E .....................................................................................................................179


144.262=E ...................................................................................................................180

Figura D. 13: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo SEC e

576.048.1=E ................................................................................................................181

Figura D.14: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP-SE

e 536.65=E . .................................................................................................................183

Figura D.15: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP-SE

e 144.262=E . ...............................................................................................................184

Figura D.16: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace linear, algoritmo EP e

144.262=E ...................................................................................................................185

Figura D.17: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace linear, algoritmo SE e

144.262=E ...................................................................................................................185

Figura D.18: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace linear, algoritmo SEC e

144.262=E ...................................................................................................................186

Figura D.19: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace linear, algoritmo EP-SE e

144.262=E ...................................................................................................................186

Figura D.20: Tempo de CPU versus ν para a equação de Poisson, algoritmo EP e

144.262=E ...................................................................................................................187

Figura D.21: Tempo de CPU versus ν para a equação de Poisson, algoritmo SE e

144.262=E ...................................................................................................................187

Figura D.22: Tempo de CPU versus ν para a equação de Poisson, algoritmo SEC e

144.262=E ...................................................................................................................188

Figura D.23: Tempo de CPU versus ν para a equação de Poisson, algoritmo EP-SE e

144.262=E ...................................................................................................................188

Figura D.24: Tempo de CPU versus número de elementos para Q = 1/16 e equação de

Laplace linear. ................................................................................................................189

Figura D.25: Tempo de CPU versus número de elementos para Q = 16 e equação de Laplace

linear. ..............................................................................................................................189

Figura D.26: Tempo de CPU versus número de elementos para Q = 1/16 e equação de

Poisson............................................................................................................................190

Figura D.27: Tempo de CPU versus número de elementos para Q = 16 e equação de Poisson.

........................................................................................................................................190

Figura E. 1: Tempo de CPU versus EPν para Q = 1/6, E = 262.144 e SE-EP ótimo e equação

de Laplace linear.............................................................................................................195

Figura E. 2: Tempo de CPU versus EPν para Q = 16, E = 262.144 e SE-EP ótimo e equação

de Laplace linear.............................................................................................................196

Figura E. 3: Tempo de CPU versus EPν para Q = 1/16, E = 262.144 e SE-EP ótimo e equação

de Poisson. ......................................................................................................................196

Figura E. 4: Tempo de CPU versus EPν para Q = 16, E = 262.144 e SE-EP ótimo e equação

de Poisson. ......................................................................................................................197

Figura E.5: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP (padrão)

e SE-EP (ótimo) para Q = 1/16 e equação de Laplace linear. ........................................198


e SE-EP (ótimo) para Q = 16 e equação de Laplace linear. ...........................................198

Figura E. 7: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo EP versus EP

(ótimo) para Q = 1 e equação de Laplace linear.............................................................199


e SE-EP (ótimo) para Q = 1/16 e equação de Poisson. ..................................................200

Figura E.9: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP padrão

versus SE-EP (ótimo) para Q = 16 e equação de Poisson. .............................................200

Figura E.10: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo EP versus EP

(ótimo) para Q = 1 e equação de Poisson. ......................................................................201

LISTA DE TABELAS

Tabela 1.1: Comparação entre os métodos de solução de problemas em engenharia (adaptada

de Tannehill et al. 1997). ..................................................................................................24

Tabela 3.1: Problemas resolvidos.............................................................................................61

Tabela 3.2: Soluções analíticas para as equações em estudo. ..................................................62

Tabela 4.1: Comparação entre as normas obtidas no método singlegrid. ................................79

Tabela 4.2: Comparação entre as normas obtidas no método multigrid. .................................79

Tabela 4.3: Comparação entre as normas para uma malha 17x17. ..........................................81



Tabela 4.6: Comparação entre as normas para uma malha 129x129. ......................................83

Tabela 4.7: Comparação entre as variáveis de interesse para a anisotropia IV, razão de aspecto

1/16 e malha 4097x257 e equação de Laplace senoidal...................................................86

Tabela 5.1: Malhas utilizadas para determinar ótimoν para o algoritmo SE-EP para a equação

de Laplace senoidal. .........................................................................................................90

Tabela 5.2: ótimoν para o algoritmo SE-EP e equação de Laplace senoidal..............................92

Tabela 5.3: Malhas utilizadas para determinar ótimoν para os algoritmos: EP, SE, SEC e EP-SE

e equação de Laplace senoidal. ........................................................................................92

Tabela 5.4: ν com melhor desempenho médio para cada razão de aspecto, algoritmo SE e

equação de Laplace senoidal. ...........................................................................................95

Tabela 5.5: Parâmetros para o intervalo de ν com melhor desempenho médio para o algoritmo

de SE.................................................................................................................................95

Tabela 5.6: ν com melhor desempenho médio para cada razão de aspecto e equação de

Laplace senoidal. ..............................................................................................................96

Tabela 5.7: ν com melhor desempenho médio para cada razão de aspecto para as equações de

Laplace linear (LL) e Poisson (Po)...................................................................................98

Tabela 5.8: Malhas utilizadas para determinar ótimoL . ............................................................102

Tabela 5.9: Malhas utilizadas para análise de E. ....................................................................107

Tabela 5.10: Valor da ordem (p) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento. ...........109

Tabela 5.11: Valor da ordem (c) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento. ...........110

Tabela 5.12: Speed-up do SE-EP em relação aos algoritmos: EP, SE, SEC, EP-SE para a



equação de Laplace linear. .............................................................................................111


equação de Poisson.........................................................................................................111

Tabela 5.15: Speed-up do SEC em relação ao SE para as equações de Laplace senoidal,

Laplace linear e Poisson. ................................................................................................112

Tabela 6.1: Valores de c e p para Eq. (5.1) e algoritmo SE-EP. ............................................126

Tabela 6.2: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco SE, malha 2049x129 e Q = 1/16. ....128

Tabela 6.3: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco SE, malha 129x2049 e Q = 16. .......128

Tabela 6.4: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco EP, malha 2049x129 e Q = 1/16. ....128

Tabela 6.5: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco EP, malha 129x2049 e Q = 16. .......129

Tabela 6.6: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco EP, malha 513x513 e Q = 1. ...........129

Tabela 6.7: Parâmetros para os algoritmos SE-EP padrão e SE-EP ótimo. ...........................130

Tabela 6.8: Parâmetros para os algoritmos EP e EP ótimo. ...................................................130

Tabela 6.9: Speed-up do SG: GS-RB em relação SE-EP ótimo para a equação de Laplace

senoidal...........................................................................................................................139

Tabela 6.10: Valores de c e p para Eq. (5.1) e algoritmo SE-EP ótimo. ................................140

Tabela 6.11: Valores de c e p para SE-EP padrão e SE-EP ótimo e equação de Laplace

senoidal...........................................................................................................................140

Tabela 6.12: Speed-up do SE-EP padrão em relação SE-EP ótimo. ......................................140

Tabela C. 1: Soluções analíticas para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e

Poisson............................................................................................................................161

Tabela C. 2: Resultados numéricos para as variáveis de interesse referentes à equação de



Laplace linear. ................................................................................................................162


Poisson............................................................................................................................163

Tabela C. 5: Cálculo de h para a discretização dos modelos numéricos. ...............................164

Tabela C. 6: Ordem efetiva ( )Ep , ordem aparente ( )Up para a aproximação numérica da

temperatura no nó central para a Equação de Laplace senoidal. ....................................164

Tabela C. 7: Ordem efetiva ( )Ep , ordem aparente ( )Up para a aproximação numérica da

temperatura média e Equação de Laplace senoidal. .......................................................165

Tabela C. 8: Ordem efetiva ( )Ep , ordem aparente ( )Up para a norma ∞l e Equação de


Tabela C. 9: Ordem efetiva ( )Ep , ordem aparente ( )Up para a norma 1l média para a

Equação de Laplace senoidal..........................................................................................165

Tabela C. 10: Equação de Poisson para a temperatura no nó central. ....................................166

Tabela C. 11: Equação de Poisson para a temperatura numérica média. ...............................166

Tabela C. 12: Equação de Poisson para norma ∞l . ................................................................167

Tabela C. 13: Equação de Poisson para norma 1l média........................................................167

Tabela D.1: Malhas utilizadas para a determinação do ótimoν . ...............................................168

Tabela D.2: ótimoν para o algoritmo SE-EP e equação de Poisson. ........................................171

Tabela D.3: ótimoν para cada razão de aspecto, algoritmo EP e equação de Laplace senoidal.

........................................................................................................................................175

Tabela D.4: Parâmetros para o intervalo recomendado de ν, Q = 16, EP, e equação de Laplace

senoidal...........................................................................................................................175

Tabela D. 5: ótimoν para cada razão de aspecto, algoritmo SEC e equação de Laplace senoidal.

........................................................................................................................................182

Tabela D.6: ótimoν para cada razão de aspecto, algoritmo EP-SE e equação de Laplace

senoidal...........................................................................................................................182

Tabela D.7: Malhas utilizadas para análise de E para as equações de Laplace linear e Poisson.

........................................................................................................................................189

Tabela D.8: Valor da ordem (p) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento para a

equação de Laplace linear...............................................................................................191

Tabela D.9: Valor do coeficiente (c) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento para a

equação de Laplace linear...............................................................................................191

Tabela D.10: Valor da ordem (p) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento para a


Tabela D.11: Valor do coeficiente (c) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento para a


Tabela E.1: Malhas utilizadas para análise da influência do número de elementos (E) no

tempo de CPU.................................................................................................................194

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CDS Central Differencing Scheme – Esquema de Diferença Central

CFD Computational Fluid Dynamics – Dinâmica dos Fluidos Computacional

CPU Central Processing Unit – Unidade Central de Processamento

CS Correction Scheme – Esquema de Correção

CV Coeficiente de Variação

EP Engrossamento padrão

EP-SE Engrossamento padrão seguido de semi-engrossamento

FW Full weighting - Ponderação completa

SE Semi-engrossamento

SEC Semi-engrossamento completo

SE-EP Semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão

SG Singlegrid

FAS Full Approximation Scheme – Esquema de Aproximação Completa

FMG Full Multigrid

GHW Geometric half weighting - Meia ponderação geométrica

GFW Geometric full weighting - Ponderação geométrica completa

GS-LEX Gauss-Seidel lexicográfico

GS-RB Gauss-Seidel red-black

HW Half weighting - Meia ponderação

I Injection – Injeção

MG Multigrid

MSI Modified Strongly Implicit Method

LL Laplace linear

LS Laplace senoidal

PW Partial weighting – Ponderação parcial

Pó Poisson

TDMA Tridiagonal Matrix Algorithm

LISTA DE SÍMBOLOS

ija Coeficientes da matriz A

A Matriz dos coeficientes

xC Comprimento do domínio 2D na direção x

yC Comprimento do domínio 2D na direção y

C Coeficiente do ajuste de curvas

D Desvio de um ponto em relação à média

e Erro

E Número de elementos

xE Número de elementos na malha na direção x

yE Número de elementos na malha na direção y

Ed Erro de discretização

πE Erro de iteração

f Vetor independente no sistema linear

xh Tamanho da malha na direção x

yh Tamanho da malha na direção y

hhI 2 Operador de restrição

hhI 2 Operador de prolongação

I Contador na direção coordenada x

maxITE Número máximo de iterações externas ou ciclos.

J Contador na direção coordenada y

N Número de nós da malha

xN Número de nós na direção x

yN Número de nós na direção y

L Número de níveis

máximoL Número máximo de níveis

ótimoL Número ótimo de níveis

1l Norma 1l média

2l Norma 2l

∞l Norma infinito

P Ordem do solver

Ep Ordem efetiva

Up Ordem aparente

Q Razão de refino

Q Razão de aspecto

R Resíduo

R² Domínio real bidimensional

R Razão de engrossamento

S Segundos

S Desvio padrão amostral

PS Speed-up

CPUt Tempo de processamento

CPUt Tempo médio de processamento

T Temperatura

TA Temperatura analítica média

TN Temperatura numérica média

TN Temperatura numérica

U Solução exata do sistema

u Solução aproximada do sistema

uxx Derivada segunda de u em relação à x

uyy Derivada segunda de y em relação à y

x,y Variáveis do sistema coordenado cartesiano 2D

Letras gregas ε Tolerância

Φ Solução analítica exata da variável de interesse

φ Solução numérica da variável de interesse

κ Coeficiente de anisotropia física

ν Número de iterações internas

ótimoν Número ótimo de iterações internas

EPν Número de iterações internas para o bloco do engrossamento padrão

SEν Número de iterações internas para o bloco do semi-engrossamento

1ν Número de pré-suavização

2ν Número de pós-suavização

μ Número de ciclos internos ρ Constante para a solução da equação diferencial

hΩ Malha fina h2Ω Malha grossa com engrossamento padrão

Sub-índices 1 Malha fina

2 Malha grossa

3 Malha super-grossa

Símbolos ≈ Aproximadamente igual

<< Muito menor

>> Muito maior

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................23

1.1 GENERALIDADES EM DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL......23

1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.................................................................................29

1.3 RELEVÂNCIA DO PROBLEMA ...........................................................................33

1.4 OBJETIVOS.............................................................................................................34

1.5 DELINEAMENTO DESTE TEXTO .......................................................................36

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.................................................................................38

2.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO PARA SISTEMAS LINEARES ...........................38

2.1.1 Gauss-Seidel lexicográfico ...............................................................................39

2.1.2 Gauss-Seidel red-black.....................................................................................40

2.2 EQUAÇÃO RESIDUAL..........................................................................................41

2.3 MÉTODO MULTIGRID...........................................................................................42

2.3.1 A filosofia do método multigrid .......................................................................43

2.3.2 Restrição ...........................................................................................................46

2.3.3 Prolongação ......................................................................................................48

2.3.4 Ciclos ................................................................................................................49

2.3.5 Esquemas de correção ......................................................................................49

2.4 PROBLEMAS ANISOTRÓPICOS..........................................................................52

2.4.1 Introdução.........................................................................................................52

2.4.2 Tipos de anisotropia geométrica.......................................................................55

2.4.3 Algoritmos de engrossamento ..........................................................................58

2.5 RESUMO DO CAPÍTULO 2...................................................................................59

3 MODELOS MATEMÁTICOS E NUMÉRICOS ........................................................61

3.1 MODELOS MATEMÁTICOS ................................................................................61

3.2 MODELOS NUMÉRICOS ......................................................................................62

3.3 DADOS DE IMPLEMENTAÇÃO ..........................................................................65

4 VERIFICAÇÃO NUMÉRICA DO CÓDIGO COMPUTACIONAL........................67

4.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................67

4.2 ORDEM EFETIVA E ORDEM APARENTE .........................................................71

4.3 ERROS NUMÉRICOS.............................................................................................74

4.4 TESTES DE COERÊNCIA......................................................................................76

4.4.1 Definição da tolerância e da maior malha a ser utilizada .................................76

4.4.2 Erro de discretização ........................................................................................78

4.4.3 Comparação entre os erros máximos................................................................78

4.4.4 Análise da temperatura em função do número de incógnitas...........................80

4.5 COMPARAÇÃO COM A LITERATURA..............................................................80

4.6 PROBLEMAS ANISOTRÓPICOS..........................................................................83

4.7 CONCLUSÃO DO CAPÍTULO ..............................................................................84

5 ALGORITMOS DE ENGROSSAMENTO .................................................................87

5.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................87

5.2 RESULTADOS NUMÉRICOS................................................................................89

5.2.1 Estudo do número de iterações internas ( )ν ....................................................90

5.2.2 Estudo do número de níveis (L)......................................................................101

5.2.3 Comparação entre os algoritmos de engrossamento ......................................105

5.2.4 Influência do número de elementos (E)..........................................................107

5.2.5 Análise de complexidade para a equação de Laplace senoidal ......................109

5.3 CONCLUSÃO DO CAPÍTULO ............................................................................112

5.4 PARÂMETROS COM MELHOR DESEMPENHO MÉDIO ...............................114

6 SEMI-ENGROSSAMENTO SEGUIDO DE ENGROSSAMENTO PADRÃO .....115

6.1 OPERADORES DE RESTRIÇÃO ........................................................................115

6.1.1 Injeção (I) .......................................................................................................116

6.1.2 Meia ponderação (HW) ..................................................................................116

6.1.3 Ponderação completa (FW) ............................................................................117

6.1.4 Meia ponderação geométrica (GHW).............................................................118

6.1.5 Ponderação geométrica completa (GFW).......................................................119

6.1.6 Ponderação parcial (PW)................................................................................119

6.2 RESULTADOS NUMÉRICOS..............................................................................120

6.2.1 Razão de aspecto (Q)......................................................................................120

6.2.2 Número de elementos (E) ...............................................................................123

6.2.3 Análise de complexidade para o algoritmo SE-EP.........................................126

6.2.4 Análise dos parâmetros ótimos para o algoritmo dois estágios......................126

6.3 COMPARAÇÃO COM A LITERATURA............................................................141

6.4 CONCLUSÃO DO CAPÍTULO ............................................................................142

6.5 PARÂMETROS COM O MELHOR DESEMPENHO MÉDIO ...........................143

7 CONCLUSÃO...............................................................................................................144

7.1 CONCLUSÃO GERAL .........................................................................................144

7.2 CONTRIBUIÇÕES ................................................................................................145

7.3 PARÂMETROS COM MELHOR DESEMPENHO MÉDIO ...............................146

7.4 EXTRAPOLAÇÕES ..............................................................................................147

7.5 TRABALHOS FUTUROS.....................................................................................147

REFERÊNCIAS ...................................................................................................................149

APÊNDICE A: SOLUÇÕES ANALÍTICAS .....................................................................154

APÊNDICE B: MEDIDAS DE DISPERSÃO....................................................................159

APÊNDICE C: TESTES DE COERÊNCIA......................................................................161

APÊNDICE D: ALGORITMOS DE ENGROSSAMENTO ............................................168

D1. ESTUDO DO NÚMERO DE ITERAÇÕES INTERNAS (ν ): .................................168

D2. ESTUDO DA INFLUÊNCIA DO NÚMERO DE ELEMENTOS (E) .......................188

D3. ANÁLISE DE COMPLEXIDADE .............................................................................191

APÊNDICE E: SEMI-ENGROSSAMENTO SEGUIDO DE ENGROSSAMENTO

PADRÃO ...............................................................................................................................193

E1. MALHAS UTILIZADAS PARA A ANÁLISE DO NÚMERO DE ELEMENTOS ..193

E2. ESTUDO DOS SOLVERS E TIPO DE RESTRIÇÃO.................................................193

E3. ESTUDO DO NÚMERO DE ITERAÇÕES INTERNAS (ν) .....................................195

E4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ALGORITMOS ..........................................................197

APÊNDICE F: GERAÇÃO DE MALHAS........................................................................202

23

1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo introdutório é apresentado um estudo sobre as generalidades da

dinâmica dos fluidos computacional. A seguir é apresentada uma revisão bibliográfica do

método multigrid, a relevância do problema e os objetivos desta tese. Por último é

apresentado um delineamento do texto.

1.1 GENERALIDADES EM DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL

É cada vez mais crescente o emprego de métodos numéricos para a solução de

problemas em engenharia. Uma das áreas em que seu uso é muito difundido é a Dinâmica dos

Fluidos Computacional (CFD). Segundo Fortuna (2000), a CFD é uma área da computação

científica que estuda métodos computacionais para simulação de fenômenos que envolvem

fluidos em movimento com ou sem troca de calor, onde o interesse principal é obter as

distribuições de velocidade, pressão e temperatura na região de escoamento.

Três tipos de métodos podem ser empregados na solução de um problema de

engenharia: experimentais, analíticos e/ou numéricos. Cada método possui vantagens e

desvantagens dependendo das características do problema a ser resolvido. A Tab. 1.1,

adaptada de Tannehill et al. (1997), faz uma comparação entre estes tipos de métodos. Os

métodos analíticos e numéricos também podem ser denominados de métodos teóricos porque

ambos trabalham com modelos matemáticos (MALISKA, 2004).

Para determinar a solução de um modelo matemático por meio de um método

numérico encontram-se diversas fontes de erro, sendo classificado em (MARCHI, 2001):

erros de truncamento, erros de iteração, erros de arredondamento e erros de programação.

Estas fontes estão descritas a seguir:

• Erros de truncamento: resultam das aproximações numéricas feitas na discretização

das derivadas envolvidas no modelo matemático. Quando o erro da solução numérica

é gerado apenas por erros de truncamento da série de Taylor, ele é denominado de erro

de discretização.

24

Tabela 1.1: Comparação entre os métodos de solução de problemas em engenharia (adaptada de Tannehill et al. 1997).

Método Vantagens Desvantagens

Experimental - mais realístico. - equipamento exigido; - erros experimentais; - dificuldades de medição; - custo operacional.

Analítico - representação matemática do fenômeno real.

- restrita a geometria e problemas simples e lineares.

Numérico - não há restrição à linearidade; - não há restrição a geometrias e processos complicados; - evolução temporal do processo.

- erros de truncamento; - erros de modelagem; - custo computacional.

• Erros de iteração: segundo Ferziger e Peric (2002) o erro de iteração é a diferença

entre a solução exata das equações discretizadas e a solução numérica em uma

determinada iteração. Esse erro pode ser originado por diferentes fatores (MARTINS,

2002), como: o emprego de métodos iterativos para solução de equações discretizadas,

o uso de métodos segregados na obtenção de modelos constituídos por várias equações

diferenciais, ou ainda pela existência de não-linearidades no modelo matemático. Em

geral estes tipos de erros diminuem com o aumento do número de iterações. O erro de

máquina )( πE é obtido ao executar o programa até que os erros de iteração sejam

eliminados.

• Erros de arredondamento: são os erros que ocorrem devido à representação finita dos

números reais nas computações. Estes erros dependem do compilador (software)

usado para gerar o código computacional e do computador (hardware) empregado na

sua execução.

• Erros de programação: são inerentes ao programador e à utilização do código

implementado, incluindo basicamente (ROACHE, 1998): os erros resultantes do uso

incorreto de um modelo numérico na aproximação de um modelo matemático, os erros

gerados na implementação do modelo numérico em um programa computacional e os

erros cometidos no uso do programa computacional durante a obtenção da solução

numérica.

A idéia do método numérico é resolver as equações diferenciais, substituindo as

derivadas nela existentes por expressões algébricas envolvendo a função incógnita. Ao

25

contrário do método analítico que permite calcular os valores das variáveis dependentes em

um número infinito de pontos, a aproximação numérica fornece a solução em um número

discreto de pontos (pontos nodais ou nós) definido pela malha computacional, (MESQUITA,

2000). Em geral, se o sistema numérico for consistente, quanto maior for o número de pontos,

mais próxima estará a solução numérica da analítica. A Fig. 1.1 (a) representa um domínio

contínuo. O domínio discretizado é representado pela malha da Fig. 1.1 (b).

X x x X X x X X

Ω

x x x x x x x

a) Domínio contínuo b) Domínio discretizado

Figura 1.1: Discretização.

O passo seguinte está relacionado com a maneira de se obter as equações algébricas,

comumente denominado de discretização. Três classes merecem destaque, a saber:

• Elementos finitos (HUGHES, 2000; REDDYE e GARTLING, 1994);

• Diferenças finitas (FORTUNA, 2000; TANNEHILL et al., 1997);

• Volumes finitos (MALISKA, 2004; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007);

• Elementos de contorno (BREBBIA et al., 1984).

Na discretização pelo método das diferenças finitas (GOLUB e ORTEGA, 1992;

TANNEHILL et al., 1997) em problemas bidimensionais, o domínio

( ){ }yx CyCxRyx ≤≤≤≤∈ 0e0:, 2 é particionado em subconjuntos através de um número

de incógnitas (ou número de pontos), dado por yx NNN = onde xN e yN são os números de

pontos nas direções coordenadas x e y respectivamente (incluindo os contornos) e Cx e Cy

26

determinam o comprimento do domínio de cálculo. Isto introduz uma malha uniforme com os

pontos:

))1(,)1((),( yxji hjhiyx −−= , com 1−

=x

xx N

Ch e

1−=

y

yy N

Ch (1.1)

onde xNi ,...,1= , yNj ,...,1= e xh e yh são os incrementos de cada elemento nas direções

coordenadas x e y, respectivamente. Isto estabelece uma malha com elementos de tamanho xh

por yh que se denota por hΩ . Em problemas unidimensionais, dois nós consecutivos da

malha determinam um subintervalo, neste trabalho denominado por “elemento” (E). A

distância entre estes dois nós é definida por hx. Para problemas bidimensionais, hx e hy são os

comprimentos de cada elemento nas direções x e y, respectivamente. O número total de

elementos é dado por E. Embora este conceito não seja comumente empregado no método de

diferenças finitas, ele é muito adequado neste trabalho. A razão entre os comprimentos xh e

yh é denominada de razão de aspecto (Q) da malha e é definida por:

y

x

hh

Q = (1.2)

Se 1=Q , a malha chama-se isotrópica, caso contrário, anisotrópica (BRIGGS et al.,

2000; DENDY et al., 1989). Neste caso tem-se anisotropia de malha ou anisotropia

geométrica, termo que será definido com mais detalhes na seção 2.6.

Dependendo da distribuição dos pontos discretos no domínio, a malha pode ser

classificada em uniforme ou não-uniforme e estruturada ou não-estruturada conforme as Figs.

1.2 e 1.3, respectivamente.

Depois de particionado o domínio usa-se algum tipo de ordenação para identificar os

nós na malha: lexicográfica, red-black, backward entre outras. As ordenações lexicográfica e

red-black estão representadas nas Figs. 1.4 e 1.5, respectivamente. Os quadrados representam

os pontos vermelhos e os círculos os pontos pretos. A ordenação é feita apenas nos pontos

internos, pois para os modelos envolvidos nesta tese, a solução nos contornos é conhecida.

Mais detalhes sobre os tipos de ordenação podem ser encontrados em Trottenberg et al.

27

(2001) e Wesseling (1992). Em Wesseling (1992) a ordenação red-black é denominada de

white-black.

X x x X X X x X

x

X x x x x x x x

x

a) malha estruturada e uniforme. b) malha estruturada e não-uniforme em x.

Figura 1.2: Exemplos de malhas estruturadas: (a) uniforme e (b) não-uniforme.

Figura 1.3: Exemplo de malha não-estruturada.

Figura 1.4: Ordenação lexicográfica.

y y

28

Figura 1.5: Ordenação red-black.

A discretização da malha conduz a sistemas de equações algébricas do tipo:

fuA = (1.3)

onde A é uma matriz quadrada, f é o vetor independente e u é o vetor de incógnitas. A

estrutura da matriz A depende do método usado para discretizar o modelo matemático.

Várias técnicas numéricas têm sido estudadas para resolver o sistema com o menor

custo computacional possível e solução a mais próxima da exata. A resolução através de

métodos diretos não é recomendável, visto que na prática, a matriz dos coeficientes é muito

grande, por exemplo, da ordem de 106, 107 2N e o custo computacional da inversão da matriz

é alto (GOLUB e VAN LOAN, 1989).

Na medida em que o número de equações cresce, os métodos iterativos tornam-se

necessários, principalmente a fim de evitar o grande número de operações com zeros e

também devido ao espaço que seria necessário para o armazenamento da matriz cheia no uso

de um método direto. Isso acontece porque os métodos numéricos geram matrizes

extremamente esparsas. (KELLER, 2007).

Os métodos iterativos são mais adequados para problemas de grande porte (BURDEN

e FAIRES, 2008). Os métodos diretos geralmente têm um custo computacional (tempo) da

ordem de ( )3NO , onde N é o número de incógnitas. Neste caso, os métodos iterativos

clássicos são da ordem de ( )22NO (FERZIGER e PERIC, 2002).

29

O método multigrid (MG) refere-se à família de algoritmos iterativos utilizados para

resolver com eficiência equações diferenciais parciais discretizadas (ROACHE, 1998). O

objetivo do método multigrid é acelerar a convergência de um esquema iterativo

(TANNEHILL et al., 1997). O método multigrid é um dos métodos iterativos mais eficientes

e gerais conhecidos até hoje (HIRSCH,1988; TANNEHILL et al., 1997; YAN et al., 2007).

O método multigrid foi desenvolvido inicialmente para equações elípticas como a

equação de Poisson discretizada, mas tem sido aplicado com grande sucesso a uma variedade

de problemas como equações de Euler e Navier-Stokes discretizadas (GHIA et al., 1982).

Atualmente pode também ser aplicado em diversas áreas, tais como: engenharia do petróleo

(reservatório ou simulação de oleoduto), estudos ambientais (localização de poluição e

ciclones, previsão de tempo), entre outros.

Na próxima seção é feita uma revisão bibliográfica do método multigrid.

1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Os primeiros estudos na área de multigrid foram feitos por Fedorenko (1964) e

Bakhvalov (1966). Ambos investigaram a convergência de problemas de valor de fronteira de

segunda ordem. Fedorenko usou a equação de Poisson nos seus artigos enquanto Bakhvalov

trabalhou com a equação de advecção-difusão iniciando o estudo da convergência para as

equações elípticas.

Em meados da década de 70, Brandt (1977) foi o primeiro a reconhecer o potencial do

multigrid, apontando as suas vantagens. Brandt é conhecido como o pai dos métodos

multigrid e muitos consideram este artigo como sendo a origem do multigrid moderno

(CRAIG, 1996).

Segundo Craig (1996) uma grande quantidade de artigos foi publicada na década de

80, e assim o multigrid tornou-se um método de solução padrão em muitas áreas de aplicação.

Seu uso foi estendido para a solução de equações diferenciais em muitas áreas como, por

exemplo, equações diferenciais parabólicas e hiperbólicas. Várias ferramentas teóricas

tornaram-se comuns neste período, entre elas o multigrid algébrico (desenvolvido na

Universidade do Colorado em Denver), (CRAIG, 1996).

30

Na década de 90 uma parte da pesquisa sobre o método multigrid foi motivada por

profundas mudanças na área de matemática aplicada em geral, devido a três desenvolvimentos

computacionais: disponibilidade de computadores mais rápidos, surgimento da computação

paralela e a grande quantidade de informações através da internet.

Uma introdução aos métodos multigrid, com detalhes na análise de Fourier, o esquema

CS (esquema de correção), FAS (esquema de aproximação completa), FMG (full multigrid),

operadores, algoritmos, complexidade, propriedades variacionais, análise espectral,

aplicações, etc, pode ser encontrada nos livros de Briggs et al. (2000), Trottenberg et al.

(2001) e Wesseling (1992). Esses livros fazem uma introdução ao método multigrid e são

considerados literatura básica. No capítulo 2 desta tese é feito um estudo de seus conceitos

básicos.

O método multigrid pode ser aplicado na resolução de sistemas lineares e não-lineares,

bem como em malhas estruturadas (multigrid geométrico), e em malhas não-estruturadas

(multigrid algébrico). Wesseling e Oosterlee (2001) fazem uma revisão do desenvolvimento

do método multigrid geométrico, com ênfase nas aplicações em problemas de dinâmica dos

fluidos computacional descrevendo os estudos realizados em relação aos métodos empregados

na indústria, bem como a eficiência do multigrid obtido nas aplicações acadêmicas. Stüben

(2001) faz o mesmo para o multigrid algébrico.

No multigrid geométrico pode-se considerar diversos tipos de ciclos (ordem na qual as

malhas são visitadas): ciclo V, W, dente-de-serra, entre outros. Aplicações destes ciclos

podem ser encontradas em:

• Ciclo V: Briggs et al. (2000); Mesquita e De-Lemos (2004); Wesseling e Oosterlee,

(2001) e Yan et al. (2007).

• Ciclo W: Chisholm (1997) e Manzano (1999);

• Ciclo dente-de-serra: Fletcher (1991); Gerolymos e Vallet (2005); Zeeuw (1996) e

Zeeuw (2005).

O multigrid pode ter início na malha mais grossa, tendo em vista que a convergência é

melhor nestas malhas. Esse processo é denominado full multigrid. Diversos trabalhos com o

uso de full multigrid foram desenvolvidos. Entre eles pode-se citar: Chisholm (1997);

Hortmann et al. (1990) e Manzano (1999). Yan e Thiele (1998) propõem um algoritmo full

multigrid com esquema FAS modificado onde somente os resíduos são restritos para a malha

mais grossa e as soluções iniciais na malha grossa são tomadas do ciclo precedente.

31

Uma outra forma de acelerar a convergência do método multigrid é a análise e

otimização de parâmetros. Alguns parâmetros estudados são:

• Tipos de ciclos: Chisholm (1997), Mesquita e De-Lemos (2004);

• Iterações internas: Chisholm (1997), Mesquita (2000); Mesquita e De-Lemos (2004);

Pinto e Marchi (2006) e Rabi e De-Lemos (1998),

• Operadores de restrição: Chisholm (1997);

• Solvers: Pinto e Marchi (2006);

• Número de níveis: Pinto e Marchi (2006).

A literatura dispõe de diversas estratégias para determinar o momento de se mudar a

malha no método multigrid. Estas estratégias são denominadas de critério dinâmico e critério

de ciclo (RABI, 1998). O critério dinâmico consiste em monitorar a taxa de convergência da

solução numérica, a qual pode ser determinada pela razão das normas dos resíduos de duas

iterações sucessivas, por exemplo. O critério de ciclo consiste em especificar o número de

iterações internas em cada nível. O critério de ciclo pode ser encontrado em diversos

trabalhos: Briggs et al. (2000); Hortmann et al. (1990); Mesquita e De-Lemos (2004);

Trottenberg et al. (2001); Wesseling (1992); Yan et al. (2007) entre outros. Mais detalhes

sobre o critério dinâmico pode ser encontrado no artigo de Brandt (1977).

O método multigrid também pode ser aplicado em problemas anisotrópicos, ou seja,

com 1≠Q . A anisotropia aparece com freqüência na área de CFD, por exemplo, em

problemas de camada limite e escoamentos turbulentos. Aplicar o método multigrid com

engrossamento padrão (engrossamento em ambas as direções) faz com que as taxas de

convergência se degenerem, surgindo a necessidade de métodos mais eficazes para este tipo

de problema. Vários estudos têm dado ênfase para algoritmos de semi-engrossamento,

algoritmos que combina pontos ou células na direção de forte acoplamento. Mulder (1989) e

Naik e Van Rosendale (1993) utilizam o semi-engrossamento múltiplo no lugar do semi-

engrossamento padrão, e concluíram que o último apresenta melhores resultados. O semi-

engrossamento direcional combinado por relaxação por linhas foi desenvolvido por Dendy et

al. (1989). Radespiel e Swanson (1995) apresentam uma variante do semi-engrossamento para

as equações de Navier-Stokes. Oosterlee e Wesseling (1993) utilizaram semi-engrossamento

múltiplo na equação de difusão anisotrópica e equação de convecção-difusão. Larsson et al.

32

(2005) resolveram problemas anisotrópicos com semi-engrossamento condicional, mantendo

altas taxas de convergência com alta razão de aspecto.

Em Zhang (2002) são abordados problemas anisotrópicos acoplando-se a técnica de

semi-engrossamento seguida de engrossamento padrão intitulado como “partial

semicoarsening”. Foram feitas comparações para a equação de Poisson bidimensional com a

técnica denominada de engrossamento padrão (full coarsening). Zhang (2002) comparou estas

técnicas para as razões de aspecto 2/1=Q , 1/4, 1/8 e 1/16 (razões de aspecto modestas).

Zhang constatou que o algoritmo “partial semicoarsening” com os suavizadores red-black e

four-color Gauss-Seidel são eficientes para as anisotropias estudadas.

Pinto (2006) estudou problemas anisotrópicos envolvendo a equação de Laplace

bidimensional e os algoritmos: engrossamento padrão, semi-engrossamento, semi-

engrossamento seguido de engrossamento padrão e engrossamento padrão seguido de semi-

engrossamento. Pinto (2006) comparou estas técnicas para as razões de aspecto Q = 1/1.024,

1, 2, 16, 128, 1024 e 8192. Pinto constatou que o algoritmo semi-engrossamento seguido de

engrossamento padrão com suavizador Gauss-Seidel lexicográfico é eficiente para a

anisotropia estudada.

Segundo Susie (2007), Hutchinson e Raithby (1986) desenvolveram um novo método

multigrid baseado no método de correções por bloco de Settari e Aziz (1973). No método

multigrid de correções aditivas as equações da malha grossa são obtidas sem o uso de

operadores de restrição e interpolação fixos, ao invés disso é determinada uma correção

constante para cada bloco de células da malha grossa forçando que o somatório dos resíduos

seja zero após a correção ser aplicada. Este método apresenta muitas vantagens, podendo

citar-se que ao gerar as equações das malhas grossas não necessita de considerações especiais

para as condições de contorno, coeficientes anisotrópicos ou malhas irregulares.

Segundo Cordazzo (2006), estudos realizados por Elias et al. (1997), mostram a perda

de eficiência nos métodos iterativos quando as equações discretizadas têm coeficientes

anisotrópicos1. Isso acontece porque os métodos iterativos, além de reduzir com eficiência

apenas os erros cujo comprimento de onda são equivalentes ao tamanho da malha, fazem-no

preferencialmente na direção dos grandes coeficientes. Nesses casos a anisotropia dos

coeficientes origina diferentes escalas de tempo de propagação da informação, afetando

diretamente o comportamento da convergência. Os autores mostram que uma aglomeração

1 Esses coeficientes surgem devido à razão de aspecto da malha diferente da unidade e/ou a propriedades físicas diferentes em cada direção.

33

dos volumes de controle da malha refinada que vise reduzir a anisotropia dos coeficientes das

malhas grosseiras torna o método multigrid ainda mais eficiente. A razão é a diminuição da

variação das escalas de tempo de propagação da informação nas malhas grosseiras.

Fischer e Huckle (2006) fazem uma análise de problemas no contexto de sistemas

anisotrópicos. São geradas funções e suas curvas de nível, permitindo o desenvolvimento de

métodos multigrid para sistemas onde a anisotropia ocorre em direções arbitrárias e não ao

longo dos eixos coordenados. Fischer e Huckle (2008) dão continuidade a este estudo

incluindo o uso de técnicas de suavização sofisticadas que podem ser combinadas com

engrossamento padrão e semi-engrossamento. Gee et al. (2009) propõem um novo tipo de

prolongação para problemas anisotrópicos com o uso do método multigrid algébrico.

Em CFD, geralmente são resolvidos problemas com perturbações singulares, fortes

anisotropias, alta razão de aspecto, equações governantes que podem exibir um

comportamento em uma parte do domínio e outro em outra parte do domínio. Quanto mais

distante a razão de aspecto (Q) está da unidade, ou seja, 10 <<< Q ou 1>>Q (forte

anisotropia), mais se deteriora a razão de convergência do método multigrid (WESSELING e

OOSTERLEE, 2001), podendo até mesmo ocorrer divergência (LARSSON et al., 2005). Este

tipo de anisotropia é muito comum em problemas práticos de engenharia. Por exemplo, em

problemas de camada limite, onde a razão de aspecto (Q) pode ser da ordem de 310 , 410 ou

mais (WESSELING e OOSTERLEE, 2001); por isto a importância de se estudar algoritmos

eficientes para razões de aspecto distintas da unidade. Isto motiva o estudo das propriedades

do método multigrid geométrico, tanto em sua fundamentação como em aplicações, para que

se possam elaborar algoritmos mais eficientes para classes de problemas mais abrangentes.

1.3 RELEVÂNCIA DO PROBLEMA

A resolução de problemas de mecânica dos fluidos e transferência de calor através de

métodos numéricos requer um custo computacional demasiadamente alto e muitas vezes

inviável devido ao grande número de equações a serem resolvidas em cada passo iterativo. No

início dos cálculos a taxa de convergência é grande, passando a decair sensivelmente à

medida que o processo iterativo evolui. Existem muitos trabalhos de pesquisa que visam

34

melhorar a taxa de convergência dos métodos numéricos. Um método usado para melhorar a

taxa de convergência é o multigrid (BRIGGS et al., 2000).

A eficiência do método multigrid não tem sido totalmente alcançada em aplicações

realísticas da engenharia na área de CFD. (WESSELING e OOSTERLEE, 2001). Com a

crescente complexidade das aplicações em CFD, é crescente também a demanda por métodos

mais eficientes e robustos. Espera-se que esses métodos tenham uma boa redução do tempo

computacional, usem pouca memória e possam abordar não-linearidades e acoplamentos sem

grandes prejuízos em seu desempenho.

Segundo Trottenberg et al. (2001), experiências com métodos multigrid mostram que

as escolhas de parâmetros (estrutura da malha grossa, o suavizador, o número de iterações

internas em cada malha, ciclos e os esquemas de restrição e interpolação) podem ter uma forte

influência na eficiência do algoritmo. Não há regras gerais na escolha destes parâmetros,

porém certos valores podem ser recomendados para determinadas situações. A taxa de

convergência depende das escolhas feitas. Uma simples modificação no algoritmo pode

resultar em uma redução significante no tempo computacional o que justifica a importância de

estudar os diversos parâmetros do método multigrid.

A anisotropia geométrica ocorre com certa freqüência em problemas de dinâmica dos

fluidos computacional principalmente em problemas de camada limite. Nestes problemas,

aplicar o método multigrid com engrossamento padrão não conduz a resultados satisfatórios

(TROTTENBERG et al., 2001). Uma alternativa é usar técnicas de semi-engrossamento.

Vários estudos têm sido realizados em busca de técnicas de semi-engrossamento mais

eficientes: Cordazzo (2006); Dendy et al. (1989); Fischer e Huckle (2008); Gee et al. (2009);

Larsson et al. (2005); Mesquita e De-Lemos (2004); Mulder (1989); Naik e van Rosendale

(1993); Pinto e Marchi (2006); Radespiel e Swanson (1995); Zeeuw (1996) e Zhang (2002).

1.4 OBJETIVOS

Neste trabalho são investigados os seguintes parâmetros do método multigrid

geométrico: número de elementos, número de iterações internas (número de iterações do

método numérico a fim de suavizar as componentes de erro), número de níveis (número de

35

malhas percorridas), métodos de resolução de sistemas de equações algébricas (aqui

chamados de solvers), razões de aspecto e operadores de restrição.

Este trabalho tem por objetivo otimizar o método multigrid geométrico utilizado para a

resolução de problemas difusivos bidimensionais, discretizados com malhas isotrópicas e

anisotrópicas com alta razão de aspecto. Os objetivos gerais do trabalho são:

• Analisar os parâmetros do método multigrid em malhas isotrópicas e anisotrópicas;

• Minimizar o tempo de CPU para o método multigrid em malhas isotrópicas e

anisotrópicas para as equações de Laplace e Poisson.

Os objetivos específicos são:

• Fazer uma análise do número de suavizações e do número de níveis no ciclo V

multigrid;

• Verificar a influência da anisotropia no método multigrid;

• Implementar algumas técnicas de semi-engrossamento existentes na literatura;

• Propor uma nova técnica para resolver problemas anisotrópicos;

• Propor operadores de restrição para problemas anisotrópicos.

• Verificar o efeito dos parâmetros do método multigrid sobre o tempo de CPU.

No presente trabalho comparam-se cinco algoritmos de engrossamento para problemas

anisotrópicos: engrossamento padrão (EP) proposto por Brandt (1977); semi-engrossamento

(SE) proposto por Mulder (1989); semi-engrossamento completo (SEC) proposto neste

trabalho; engrossamento padrão seguido de semi-engrossamento (EP-SE) proposto por Pinto e

Marchi (2006); e semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão (SE-EP) proposto

por Zhang (2002). Também são realizadas comparações entre alguns tipos de restrições:

injeção, meia ponderação e ponderação completa. São propostos três tipos de restrição para

problemas anisotrópicos: meia ponderação geométrica, ponderação geométrica completa e

ponderação parcial.

O algoritmo multigrid adotado é o esquema de correção (Correction Scheme) com

ciclo V e prolongação por interpolação bilinear. Os modelos matemáticos considerados

referem-se a três problemas bidimensionais lineares de condução de calor, governados pelas

equações de Laplace e Poisson, com condições de contorno de Dirichlet. Neste trabalho são

36

estudadas equações lineares. Pretende-se, posteriormente fazer um estudo sobre as equações

não-lineares.

1.5 DELINEAMENTO DESTE TEXTO

Esta tese apresenta sete capítulos, referências bibliográficas e apêndices constituídos

da seguinte forma:

• No segundo capítulo encontra-se a fundamentação teórica. São descritos os métodos

de resolução para sistemas lineares utilizados, apresenta as características principais

do método multigrid e problemas anisotrópicos.

• No terceiro capítulo apresenta-se os modelos matemáticos e numéricos utilizados.

• No quarto capítulo é apresentada uma verificação do código computacional utilizado.

• No capítulo cinco é mostrada uma comparação entre os diversos algoritmos de

engrossamento.

• No capítulo seis é feita uma análise detalhada do algoritmo de semi-engrossamento

seguido de engrossamento padrão. São apresentados alguns operadores de restrição da

literatura e alguns são propostos.

• No sétimo capítulo é apresentada a conclusão do trabalho com as contribuições para a

literatura, parâmetros com melhor desempenho médio, extrapolações dos resultados e

recomendações para trabalhos futuros.

• O apêndice A apresenta as soluções analíticas obtidas para as equações envolvidas no

trabalho (Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson).

• O apêndice B mostra algumas medidas de dispersão.

• O apêndice C contém alguns dados complementares referentes ao quarto capítulo para

a verificação do código computacional: soluções analíticas, resultados numéricos para

as variáveis de interesse, cálculo de h, ordem efetiva, ordem aparente e erro numérico

para as equações envolvidas no trabalho.

• O apêndice D apresenta alguns dados complementares referentes ao capítulo cinco.

Estudo do número de iterações internas (v), estudo do número de elementos (E) e

análise de complexidade.

37

• O apêndice E contém alguns dados complementares referentes ao capítulo seis: as

malhas utilizadas, estudo dos solvers e operadores de restrição, estudo do número de

iterações internas (v) e uma comparação entre os algoritmos.

• O apêndice F apresenta a forma pela qual as malhas foram geradas.

38

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo é apresentada uma fundamentação teórica para o desenvolvimento do

método multigrid. São descritos os métodos para a resolução de sistemas lineares: Gauss-

Seidel lexicográfico e Gauss-Seidel red-black. São apresentadas as definições de equação

residual e os apectos principais do método multigrid.

2.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO PARA SISTEMAS LINEARES

Os métodos numéricos para a resolução de sistemas lineares podem ser divididos em

dois grupos: métodos diretos e métodos iterativos.

Os métodos diretos fornecem, através de um processo finito de passos previamente

conhecidos, a solução exata do problema, se esta existir, com exceção dos erros de

arredondamento (CUNHA, 2003). Entre os métodos diretos mais utilizados podem-se citar:

Eliminação de Gauss, TDMA (Tridiagonal Matrix Algorithm), fatoração LU e fatoração

Cholesky. Estes métodos apresentam algumas desvantagens em relação aos métodos

iterativos, tais como:

• Provocam o preenchimento de uma matriz esparsa, isto é, poderão surgir elementos

não-nulos em posições originariamente nulas;

• São sensíveis a erros de arredondamento, principalmente quando a matriz for mal-

condicionada;

• Tempo de processamento elevado, principalmente em sistemas de grande porte.

Para que um método seja consistente, é necessário que o erro de truncamento torne-se

desprezível para malhas numéricas bastante refinadas, ou seja, a equação discretizada deve

tender à equação original quando o espaçamento da malha tender a zero, (MALISKA, 2004)

dando origem a sistemas de grande porte onde os métodos iterativos são mais adequados.

Os métodos iterativos geram uma seqüência de vetores a partir de uma aproximação

inicial. Sob certas condições, esta seqüência converge para a solução exata, caso ela exista.

39

Podem resolver sistemas de grande porte e não provocam o preenchimento de matrizes

esparsas. Alguns dos métodos iterativos são: Jacobi, Gauss-Seidel, Fatoração LU incompleta,

MSI (Modified Strongly Implicit Method). Detalhes sobre métodos de resolução de sistemas

lineares (métodos diretos e métodos iterativos) podem ser encontrados em Burden e Faires

(2008) e Cunha (2003). Neste trabalho optou-se pelo método Gauss-Seidel como solver

padrão. O solver Gauss-Seidel tem sido bastante utilizado em trabalhos envolvendo o método

multigrid entre eles: Trottenberg et al., (2001); Zhang (2002); Fischer e Huckle (2008) entre

outros.

2.1.1 Gauss-Seidel lexicográfico

Matrizes pentadiagonais ocorrem com freqüência em dinâmica dos fluidos

computacional, principalmente em problemas bidimensionais onde são utilizadas

aproximações de segunda ordem para as derivadas com o uso do método das diferenças

finitas.

Com a equação diferencial governante para o caso bidimensional forma-se uma

equação algébrica para cada nó. Um exemplo para esquemas de 5 pontos está apresentado na

Eq. (2.1).

jijijijijijijijijijiji fuauauauaua ,1,1,1,1,,1,1,1,1,, =++++ ++−−++−− (2.1)

onde

1,,,1,1,,,, ;;; −++ ==== jis

jijie

jijin

jijip

ji aAaAaAaA ; jiw

ji aA ,1,1 +− = (2.2)

NjiSjiWjiiEjiPji uuuuuuuuuu ===== +−−+ 1,1,,,1, ;;;; (2.3)

O conjunto de equações na forma da Eq. (2.1) escrita para cada par ),( ji do domínio,

conduz a uma equação matricial da forma da Eq. (1.3). O método de Gauss-Seidel (BURDEN

e FAIRES, 2008) é um método iterativo usado para se resolver este tipo de sistema de

equações. Esse método resolve o sistema visitando equação por equação, iterativamente,

40

usando-se em um mesmo ciclo, os valores das variáveis já calculadas nesse ciclo iterativo.

Pode-se reescrever a Eq. (2.1) na forma:

ppNkNS

kS

kEe

kWw

kp AfuAuAuAuAu /)( ++++−= (2.4)

onde o super-índice k representa a k-ésima iteração e o sub-índice a posição do nó na malha

computacional. Para o método Gauss-Seidel com ordenamento lexicográfico, ou seja, de oeste

(W) para leste (E) e do sul (S) para o norte (N), pode-se considerar como conhecidas, na

mesma iteração, as variáveis Wu e Su . Para as variáveis Eu e Nu são utilizados os valores

obtidos na iteração anterior. O solver Gauss-Seidel lexicográfico utiliza a ordenação

lexicográfica apresentada por Wesseling (1992). O algoritmo 2.1 apresentado a seguir

descreve um procedimento para o solver Gauss-Seidel lexicográfico. Mais detalhes deste

algoritmo podem ser encontrados em Burden e Faires (2008) e Versteeg e Malalasekera

(2007).

Algoritmo 2.1: Procedimento de Gauss-Seidel lexicográfico para fuA = .

GAUSS-SEIDEL LEXICOGRÁFICO (k = 0, maxk e 0u )

1. Calcular 1+kpu pela Eq. (2.2) para todo P.

2. Faça k receber k+1.

3. Volte ao passo 1 até convergir ou até atingir maxk .

Fim

2.1.2 Gauss-Seidel red-black

Verifica-se na Eq. (2.4) que para atualizar cada ponto são necessários os quatro

vizinhos mais próximos. Se reorganizarmos a malha utilizando a ordenação red-black

definida na Fig. 1.5, a relaxação pode ser realizada simultaneamente nos pontos definidos

como vermelhos e pretos. Esta idéia beneficia a computação paralela, mas também pode

apresentar bons resultados em computadores seriais (Zhang, 1996). O solver Gauss-Seidel

red-black lexicográfico utiliza a ordenação red-black apresentada por Wesseling (1992). O

41

algoritmo 2.2 apresentado a seguir descreve um procedimento para o solver Gauss-Seidel red-

black. Mais detalhes deste algoritmo podem ser encontrados em Parter (1988) e Zhang (1996).

Algoritmo 2.2: Procedimento de Gauss-Seidel red-black para fuA = .

GAUSS-SEIDEL RED-BLACK (k = 0, maxk e 0u ) 1. Calcular 1+k

pu pela Eq. (2.4) para todos os pontos pretos (círculos da Fig. 1.5).

2. Calcular 1+kpu pela Eq. (2.4) para todos os pontos vermelhos (quadrados da Fig. 1.5).

3. Faça k receber k+1. 4. Volte ao passo 1 até convergir ou até atingir maxk . Fim

2.2 EQUAÇÃO RESIDUAL

Considere o sistema representado pela Eq. (1.3). Supondo que o sistema tenha solução

única u e seja u sua aproximação. O erro algébrico é dado por:

uue −= (2.5)

A magnitude do vetor do erro pode ser medida através de normas de vetores (BRIGGS

et al., 2000 e BURDEN e FAIRES, 2008). As normas mais utilizadas são a norma infinito

)( ∞l e a norma Euclidiana ou norma-2, definidas pelas Eqs. (2.6) e (2.7), respectivamente.

jNj ee ≤≤∞= 1max (2.6)

2

1

1

22

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ∑=

N

jjee (2.7)

onde je é a j–ésima componente do vetor erro.

42

O erro, assim como a solução exata, são geralmente desconhecidos. Uma forma de

verificar o quão próximo u está de u é através do resíduo, dado por:

uAfR −= (2.8)

Nota-se que 0≈e implica que 0≈R , porém 0≈R não implica que 0≈e . (BRIGGS

et al., 2000). Para matrizes bem condicionadas, se 0≈R implica em 0≈e .

O resíduo é uma medida de quanto a aproximação u falha ao satisfazer o problema

original. Sua norma pode ser medida pelas mesmas normas utilizadas para o erro. Lembrando

que fuA = e utilizando as definições de R e e , pode-se deduzir uma importante relação

entre o erro e o resíduo denominada de equação residual:

ReA = (2.9)

Esta equação residual nos informa que o erro satisfaz o mesmo conjunto de equações

com as variáveis u quando f é substituída pelo resíduo R . A equação residual tem uma

grande vantagem. Supondo que uma aproximação u seja determinada através de um método

iterativo, calcula-se o resíduo através da Eq. (2.8). Para melhorar a aproximação u , resolve-se

a equação residual para e e então calcula-se uma nova aproximação usando a definição do

erro:

euu += (2.10)

A equação residual é de grande importância no contexto do método multigrid.

2.3 MÉTODO MULTIGRID

Nesta seção pretende-se explorar o método multigrid e seus princípios fundamentais,

os operadores de transferência entre malhas, algoritmos e ciclos.

43

2.3.1 A filosofia do método multigrid

Uma técnica eficiente, usada para aliviar as fortes oscilações do resíduo em cada

malha é suavizá-los por um método de sub-relaxação (método iterativo). Um dos métodos

iterativos utilizados na literatura é o método multigrid. Este método tem como base a

observação das propriedades dos métodos iterativos. A taxa de convergência depende dos

autovalores da matriz de iteração associada ao método. O autovalor de maior magnitude é

denominado de raio espectral da matriz e determina quão rápida a solução é alcançada. O

autovetor associado a esse autovalor determina a distribuição do erro de iteração, variando

consideravelmente de método para método (FERZIGER e PERIC, 2002).

A maior parte dos métodos iterativos padrão (como por exemplo, o método de Gauss-

Seidel) apresenta propriedades de suavização de erros locais de alta freqüência (componentes

oscilatórias do erro), enquanto as baixas freqüências são mantidas praticamente inalteradas.

Deste modo as primeiras iterações deste processo, geralmente, têm rápida convergência,

caracterizando a presença de modos oscilatórios de erro. Porém, após algumas iterações o

processo torna-se lento, sinalizando a predominância de modos suaves (BRANDT, 1977,

BRIGGS, 2000).

Para ilustrar este procedimento, é apresentada a figura dos modos de Fourier extraída

de Briggs et al. (2000). Os modos de Fourier são dados por ( )nkjsenv j /π= com nj ≤≤0

e 1−≤ nk , onde j é a componente do vetor v, n é o número de elementos e k é o número de

ondas ou modos de Fourier. Na Fig. 2.1 podem ser observados os modos de Fourier para

1=k , k = 3 e 6=k . Os valores para k denotam quantos “meio-senos” constituem a curva no

domínio do problema. A notação indica um vetor que contém k ondas.

Nota-se na Fig. 2.1 que pequenos valores de k correspondem a ondas longas e suaves,

enquanto valores maiores de k referem-se a ondas mais oscilatórias. De acordo com Briggs et

al. (2000) e Trottenberg et al. (2001), os métodos iterativos, como Jacobi e Gauss-Seidel,

possuem propriedades de suavização, ou seja, são capazes de reduzir rapidamente as

componentes de erros oscilatórios (ou de alta frequência).

44

Figura 2.1: Modos de Fourier.

Figura 2.2: Comportamento da suavização do erro em métodos iterativos. Malha de 100 elementos (101 nós), (adaptada de Araki (2007)).

Figura 2.3: Comportamento da suavização do erro em métodos iterativos.

Malha de 25 elementos (26 nós), (adaptada de Araki (2007)).

-1,5000

-1,0000

-0,5000

0,0000

0,5000

1,0000

1,5000

2,0000

2,5000

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Posição [m ]

Solu

ção

Inicial 10 iterações 100 iterações

-1,00E+00

-5,00E-01

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

2,00E+00

2,50E+00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Posição [m ]

Solu

ção

Inicial 10 iterações 100 iterações

45

A idéia do método multigrid é cobrir um espectro maior de comprimentos de onda

através da iteração não apenas em uma única malha, mas em uma seqüência de malhas cada

vez mais grossas, ou seja, uma malha com menor quantidade de pontos que a malha original.

Nesta malha mais grossa o processo de relaxação é repetido até que as componentes de erro

tornem-se suaves. Quando isto ocorrer o problema é novamente transferido para uma malha

mais grossa e assim sucessivamente até chegar à malha mais grossa estabelecida inicialmente

ou na mais grossa possível.

A Fig. 2.4 ilustra uma seqüência de malhas que serão visitadas no processo de

engrossamento. Neste exemplo, considera-se uma malha de 33x33 nós (malha mais fina). O

processo de engrossamento foi realizado até atingir a malha 3x3 (a malha mais grossa

possível). A quantidade de malhas utilizadas recebe o nome de número de níveis e será

representado por L. No problema definido na Fig. 2.4 são considerados 5 níveis.

Figura 2.4: Processo de engrossamento e geração de malhas. Fonte: adaptada de http://www.mgnet.org/mgnet/tutorials/xwb/mg.html.

A taxa de convergência ideal (teórica) do método multigrid é independente do

tamanho da malha, isto é, independe do número de pontos da malha (FERZIGER e PERIC;

2002; ROACHE 1998). Para obter um bom desempenho do multigrid, diversos níveis de

malha devem ser usados (TANNEHILL et al., 1997). Pinto e Marchi (2007) e Santiago e

Marchi (2008) recomendam usar todos os níveis.

46

Com o problema representado em uma malha mais fina é necessário transferir as

informações da malha fina para a malha imediatamente mais grossa (operador de restrição) e

da malha grossa para a malha imediatamente mais fina (operador de prolongação). Estes

operadores são denominados de operadores de transferência entre malhas.

A transferência das informações para uma malha mais grossa é realizada através de

operadores de transferência de malhas, os quais serão definidos na subseção 2.3.2. A razão de

engrossamento, para o caso bidimensional, considerando malhas uniformes (os elementos

possuem o mesmo tamanho h), é definida como hHr = , onde h representa a dimensão dos

elementos da malha fina hΩ , H o tamanho do elemento da malha imediatamente mais grossa HΩ .

Diversas razões de engrossamento podem ser utilizadas ( 4,3,2 === rrr entre

outras). Brandt (1977) constatou que a razão r = 2 (caso onde a malha grossa tem o dobro do

espaçamento da malha fina, ou seja, hH 2= ) é a recomendável, por estar mais próxima da

razão de engrossamento ótima e ser mais conveniente e econômica para o processo de

interpolação, além de ser de mais fácil implementação. Briggs et al. (2000) afirmam que r ≠ 2,

em geral, não traz vantagens, sem especificar para quais problemas ou classes de problemas.

A Fig. 2.5 (a) representa uma malha fina original com 9== yx NN , onde xN e yN

representam indicam o número de nós nas direções x e y, respectivamente. Com o uso de

2=r , em ambas as direções, determina-se a malha imediatamente mais grossa com

5== yx NN representada na Fig. 2.5 (b). A malha mais fina é denotada por hΩ , significando

que cada elemento da malha tem comprimento h. Para o caso particular com razão de

engrossamento 2=r , tem-se que H = 2h, logo a malha imediatamente mais grossa pode ser

representada por h2Ω . O engrossamento pode ainda ser realizado em uma única direção

(semi-engrossamento) ou nas duas direções simultaneamente (engrossamento padrão).

2.3.2 Restrição

Os operadores que transferem informações da malha fina hΩ para a malha grossa h2Ω são denominados de operadores de restrição e são representados genericamente por h

hI 2 e

definidos por [ ] hhh

h uIu 22 = .

47

Entre os operadores de restrição conhecidos, um dos mais utilizados é o operador de

restrição por injeção (BRIGGS et al., 2000; TROTTENBERG et al., 2001; WESSELING,

1992).

X x x X X x X x

x x x x x X x x

a) Malha fina original ( hΩ ) b) Malha imediatamente mais grossa ( h2Ω )

Figura 2.5: Engrossamento padrão com razão de engrossamento r = 2.

12

1,12

1,2,22, −≤≤−≤≤= yxh

jihji

Nj

Niuu (2.11)

onde Nx e Ny são os números dos nós da malha fina nas direções coordenadas x e y,

respectivamente e os sub-índices estão no intervalo xNi ≤≤1 e yNj ≤≤1 .

A Fig. 2.6 extraída de Trottenberg et al. (2001), mostra o uso do operador de restrição

por injeção para o caso bidimensional.

Figura 2.6: Restrição por injeção (Trottenberg et al. 2001).

48

Outros operadores de restrição utilizados são meia ponderação e ponderação completa

que serão descritos na seção 5.2. Mais detalhes sobre os operadores de restrição podem ser

encontrados em Trottenberg et al. (2001).

2.3.3 Prolongação

Os operadores que transferem informações da malha grossa h2Ω para a malha fina hΩ são chamados de operadores de prolongação, também conhecidos como interpolação e

muito utilizados na Álgebra Linear. São representados genericamente por hhI 2 e definidos por

[ ] hhh

h uIu 22= . Uma forma de interpolação utilizada na literatura para problemas

bidimensionais é a interpolação bilinear (BRIGGS et al., 2000; FERZIGER e PERIC, 2002;

TANNEHILL et al., 1997; TROTTENBERG et al., 2001; WESSELING, 1992) dada por:

mmmmmmmmm

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+=

+=

=

++++++

++

++

hji

hji

hji

hji

hji

hji

hji

hji

hji

hji

hji

hji

hji

uuuuu

uuu

uuu

uu

21,1

21,

2,1

2,12,12

21,

2,12,2

2,1

2,2,12

2,2,2

41

2121

para ● para □ para ◊ para ○

Mmmmm.m (2.12)

onde i e j são índices da malha grossa com 121,121 −≤≤−≤≤ yx NjNi . A Fig. 2.7

extraída de Trottenberg et al. (2001) apresenta a malha fina com os símbolos referenciados na

Eq. 2.12.

Outros operadores de prolongação podem ser vistos em Wesseling (1992), como o

operador de interpolação quadrática ou o operador de prolongação de De Zeeuw (1990).

Neste trabalho foi utilizou-se prolongação por interpolação bilinear.

49

Figura 2.7: Prolongação bilinear (Extraída de Trottenberg et al. 2001).

2.3.4 Ciclos

A ordem na qual as malhas são visitadas é chamada de ciclo multigrid. Existe uma

generalização do ciclo V conhecida como ciclo μ (WESSELING, 1992). Desta generalização

pode-se obter outros tipos de ciclos. Devido aos seus formatos, são chamados de ciclo W,

ciclo dente-de-serra e ciclo F. A Fig. 2.8 apresenta alguns exemplos.

Nesta figura o símbolo • representa as suavizações realizadas em cada nível de malha

e os traços que os unem representam os operadores de transferência entre malhas (operador de

restrição e de prolongação).

2.3.5 Esquemas de correção

Dois tipos de esquemas podem ser usados com o método multigrid (BRIGGS et al.,

2000): esquema de correção (CS) e o esquema de aproximação completa (FAS). O esquema

CS transfere o resíduo para a malha imediatamente mais grossa e a Eq. (1.3) é resolvida

somente na malha mais fina. Nas malhas mais grossas resolve-se a equação do resíduo, Eq.

(2.7).

50

Figura 2.8: Diagramas: (a) ciclo V, (b) F, (c) dente-de-serra, (d) W.

O procedimento do esquema CS para várias malhas está descrito no algoritmo 2.3. Na

prática, 1ν e 2ν representam o número de suavizações realizadas no processo de restrição e

prolongação. Eles são chamados de pré e pós-suavização, respectivamente. Os super-escritos

h, 2h e 4h indicam a malha onde se definem os vetores ou matrizes. Os operadores hA2 , hA4 , hA8 ,... podem ser tomados por rediscretização (BRIGGS et al., 2000).

O esquema FAS transfere o resíduo e a solução, e a Eq. (1.3) é resolvida em todas as

malhas. O esquema de aproximação completa (FAS) recebe este nome pelo fato de que o

problema na malha grossa é resolvido para a solução e o resíduo e não apenas para o resíduo.

A característica básica do FAS é que ele restringe o resíduo e a solução para a malha grossa.

Isto nos permite a manipulação precisa de funções em malhas grossas. Mais detalhes sobre o

esquema FAS podem ser encontrados em Briggs et al. (2000).

O algoritmo 2.3 descreve o algoritmo para um único ciclo V. O procedimento a seguir

descrito no algoritmo 2.4 desenvolve diversas chamadas de CSMG percorrendo vários ciclos

V até se atingir um critério de parada ou alcançar o número máximo de ciclos escolhidos

maxITE .

51

Algoritmo 2.3: Ciclo V com esquema CS para várias malhas. (adaptado de Briggs et al. 2000).

CSMG ( )210 ,,,,, ννhfuu

Início

Esquema de Correção (CS)

1) Iterar ( )hhh fuA = 1ν vezes em hΩ com estimativa inicial hu0 ;

2) Calcular o resíduo: hhhh uAfR −= ;

3) Restringir o resíduo da malha hΩ para a malha h2Ω : hhh

h RIf 22 = ;

a. Iterar ( )hhh fuA 222 = 1ν vezes em h2Ω com estimativa inicial 020 =hu ;

b. Calcular o resíduo: hhhh uAfR 2222 −= ;

c. Restringir o resíduo da malha h2Ω para a malha h4Ω : hhh

h RIf 242

4 = ;

i. Iterar ( )hhh fuA 444 = 1ν vezes em h4Ω com estimativa inicial

040 =hu ;

ii. Calcular o resíduo: hhhh uAfR 4444 −= ;

iii. Restringir o resíduo da malha h4Ω para a malha h8Ω : hhh

h RIf 484

8 = ;

.

.

Resolver KhKhKh fuA = ;

.

.

iv. Corrigir hhh

hh uIuu 848

44 +← ;

v. Iterar ( )hhh fuA 444 = 2ν vezes em h4Ω com estimativa inicial hu 4 ;

d. Corrigir hhh

hh uIuu 424

22 +← ;

e. Iterar ( )hhh fuA 222 = 2ν vezes em h2Ω com estimativa inicial hu 2 ;

4) Corrigir hhh

hh uIuu 22+← ;

5) Iterar ( )hhh fuA = 2ν vezes com estimativa inicial hu .

Fim de CSMG

52

Algoritmo 2.4: Multigrid com ciclo V, Esquema CS para diversas malhas e diversos ciclos.

Escolher hu0 e maxITE

1. i = 1

Enquanto (não atingir a convergência) ou ( )maxITEi ≤ , faça:

2. CSMG ( )hfuu ,,,0

3. uu =0

4. i = i + 1

Fim

2.4 PROBLEMAS ANISOTRÓPICOS

2.4.1 Introdução

Segundo Montero et al. (2001), a anisotropia ocorre naturalmente no campo de

dinâmica dos fluidos computacional onde a simulação de fenômenos físicos de pequena

escala, tais como camadas limites com alto número de Reynolds causam uma malha altamente

alongada, conduzindo a uma lenta convergência em métodos multigrid.

Em problemas bidimensionais a anisotropia é caracterizada pelos coeficientes dos

termos xxu e yyu , os quais podem diferir por ordens de magnitude. Considere problemas

bidimensionais, tais que:

• A equação diferencial tenha coeficientes constantes para as derivadas parciais, porém

distintos, nas direções coordenadas. Neste caso define-se como sendo anisotropia

física ou anisotropia de coeficientes. Os coeficientes dos operadores discretos variam

ao longo do domínio.

• A discretização da malha tenha elementos com tamanho constante, porém distintos,

nas direções coordenadas. Neste caso define-se como sendo anisotropia geométrica

ou anisotropia de malha.

53

Um modelo que exemplifica estas duas situações pode ser dado por:

fugwuwguwg yyxyxx =+−−++− 2222 )1(2 κκκ (2.13)

onde 2

0),(),cos( πααα ≤≤== senwg e 10 <<< κ ou 1>>κ , ou seja κ distinto da

unidade.

Para o caso particular onde 0=α , a expressão dada pela Eq. (2.13) torna-se:

fuu yyxx =−− κ (2.14)

e diz-se que a anisotropia está alinhada com o eixo de coordenada x.

Para o caso particular onde 2πα = , a Eq. (2.13) torna-se:

fuu yyxx =−−κ (2.15)

e diz-se que a anisotropia está alinhada com o eixo de coordenada y.

Exemplo de anisotropia geométrica: A equação de Poisson fuu yyxx =−− , discretizada em

uma malha com tamanho constante xh na direção x e κx

yh

h = na direção y, com κ distinto

da unidade. Neste caso a razão de aspecto (Q) é redefinida por:

κ==y

x

hh

Q (2.16)

Exemplo de anisotropia física: A equação diferencial dada pela Eq. (2.14) discretizada em

uma malha de tamanho h em ambas as direções ( )hhh yx == , com κ bem distinto da

unidade. Nesse caso a razão de aspecto (Q), é redefinida em função das equações Eq. (2.13),

Eq. (2.14) e Eq. (2.15) por:

54

κ=Q (2.17)

Os dois casos são exemplos de problemas anisotrópicos, ou seja, problemas onde o

acoplamento entre os pontos vizinhos é muito forte em alguma das direções (anisotropia

física) ou quando a discretização é baseada em malhas com razão de aspecto distinta da

unidade (anisotropia geométrica).

Nesta tese escolheu-se como ponto de partida a anisotropia geométrica. Pretende-se

posteriormente realizar um estudo com a anisotropia física utilizando as técnicas já estudadas

na anisotropia geométrica.

Toma-se como problema modelo o caso onde 0=α , ou seja, anisotropia alinhada na

direção x, dado pela Eq. (2.14). Neste caso tem-se dois tipos de anisotropia em função de κ :

• 1º tipo: Para 10 <<< κ o forte acoplamento está na direção x.

• 2º tipo: Para 1>>κ o forte acoplamento está na direção y.

Se 1=κ tem-se um problema isotrópico. As taxas de convergência de problemas

envolvendo 0≈κ se deterioram com o uso do método multigrid com o engrossamento

padrão (TROTTENBERG et al., 2001). Por exemplo, considere um caso extremo com 0=κ

na Eq. (2.14). Neste caso tem-se um problema unidimensional (equação de Poisson)

representado por

fuxx =− (2.18)

Portanto, os métodos de relaxação suavizarão as componentes de erro apenas na direção x, o

que significa que o controle do erro na direção y será totalmente aleatório.

Existem diversas estratégias para resolver problemas que envolvem este tipo de

anisotropia. Quando a anisotropia é conhecida antecipadamente pode ser utilizado um

suavizador implícito por bloco para melhorar a eficiência do multigrid (TROTTENBERG et

al., 2001). Usualmente isto é feito aplicando um solver implícito em direções de forte

acoplamento. De um modo geral a natureza da anisotropia não é conhecida antecipadamente.

Assim não há nenhum modo de saber quais variáveis estão acopladas (TROTTENBERG et

55

al., 2001). No caso em que a natureza da anisotropia não é conhecida pode-se utilizar a

técnica de semi-engrossamento direcional (MULDER, 1989).

Em problemas bidimensionais o problema de alinhamento pode ser superado usando

relaxação por linha, mas possui como desvantagem a linearização global do resíduo

restringindo-se a domínios simples (TROTTENBERG et al., 2001).

Outro modo de resolver o problema é usando semi-engrossamento, que consiste em

combinar pontos ou células na direção de forte acoplamento. Por exemplo, considere um

problema onde o forte acoplamento esteja na direção x. Como a boa convergência do método

multigrid é esperada na direção x, deve-se executar o método multigrid empregando-se

relaxação por pontos, mas com um engrossamento apenas na direção x. A este processo dá-se

o nome de “semi-engrossamento”. Neste caso, a restrição dá-se por um tipo especial de

engrossamento onde é tomado duas vezes o espaçamento na direção x (caso seja adotada a

razão de engrossamento padrão 2=r ) e com o espaçamento original na direção y. Na

subseção 2.4.3. será feita uma descrição mais detalhada sobre os algoritmos de semi-

engrossamento.

Briggs et al. (2000) e Wesseling (1992) afirmam que a estratégia de semi-

engrossamento não é tão rápida quanto o engrossamento padrão. No semi-engrossamento os

pontos são reduzidos pela metade durante o engrossamento e no engrossamento padrão, são

reduzidos por um quarto no processo de engrossamento. Mas mesmo assim, em problemas

anisotrópicos, aplicar o método multigrid com engrossamento padrão não conduz a resultados

satisfatórios o que justifica o fato de utilizar estratégias de semi-engrossamento

(TROTTENBERG et al., 2001).

2.4.2 Tipos de anisotropia geométrica

A anisotropia geométrica pode ser dividida em quatro tipos, caracterizadas pelo

tamanho da malha ( )yx hh , , comprimento do domínio de cálculo ),( yx CC e número de nós

( )yx NN , nas direções x e y, respectivamente. Neste trabalho elas serão denominadas por

anisotropia tipo I, II, III e IV de acordo com as suas características a seguir. A anisotropia

tipo II é denominada anisotropia no domínio de cálculo.

• Anisotropia tipo I: yx hh ≠ , yx NN = , yx CC ≠ .

56

• Anisotropia tipo II: yx hh = , yx NN ≠ , yx CC ≠ .

• Anisotropia tipo III: yx hh ≠ , yx NN ≠ , yx CC = .

• Anisotropia tipo IV: yx hh ≠ , yx NN ≠ , yx CC ≠ .

As Figs 2.9 a 2.12 exemplificam estas anisotropias.

Figura 2.9: Anisotropia tipo I ( yx hh ≠ , yx NN = , yx CC ≠ ).

Figura 2.10: Anisotropia tipo II ( yx hh = , yx NN ≠ e yx CC ≠ ).

yh

xC

yC

xh

E

yC

xC

E yh

xh

57

Figura 2.11: Anisotropia tipo III ( yx hh ≠ , yx NN ≠ , yx CC = ).

Figura 2.12: Anisotropia tipo IV ( yx hh ≠ , yx NN ≠ , yx CC ≠ ).

Neste trabalho optou-se pelo estudo da anisotropia tipo III. Este tipo de anisotropia já

foi utilizada em alguns trabalhos, como por exemplo, Pinto (2006) e Zhang (2002). Desta

forma, os resultados obtidos nesta tese podem ser comparados com os obtidos naqueles

xh

yh

xC

E

yC

xh

yhE

xC

yC

E

58

trabalhos. Posteriormente pretende-se estudar outros tipos de anisotropia com as técnicas

utilizadas para a anisotropia tipo III.

2.4.3 Algoritmos de engrossamento

Algoritmos que envolvem engrossamento e semi-engrossamento podem ser

implementados de diversas maneiras. Algumas destas abordagens estão descritas a seguir.

• Engrossamento padrão (EP): apresentado por Brandt (1977). Realiza o engrossamento

simultaneamente em ambas as direções. O procedimento padrão do engrossamento é

dobrar o tamanho do elemento em cada direção. O procedimento utilizado neste

algoritmo está apresentado na Fig. 2.12a.

• Semi-engrossamento (SE): apresentado em Mulder (1989). Realiza o engrossamento

em apenas uma das direções coordenadas, onde isto seja possível ou desejado. O semi-

engrossamento é realizado até que a malha torne-se isotrópica. Pode ser aplicado em

problemas anisotrópicos nos quais seja conhecida a direção de forte acoplamento. O

procedimento utilizado neste algoritmo, para o semi-engrossamento em x, está

apresentado na Fig. 2.12b.

• Semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão (SE-EP): apresentado em

Zhang (2002). Aplica-se o semi-engrossamento até que a malha torne-se isotrópica, e

a seguir aplica-se o engrossamento padrão. O procedimento utilizado neste algoritmo,

para o semi-engrossamento em x, está apresentado na Fig. 2.12c.

• Engrossamento padrão seguido de semi-engrossamento (EP-SE): proposto por Pinto e

Marchi (2006). Aplica-se primeiro o engrossamento padrão e a seguir o semi-

engrossamento. O procedimento utilizado neste algoritmo, para o semi-engrossamento

em x, está apresentado na Fig. 2.12d.

59

a) 8x4 4x2

b) 8x4 4x4

c) 8x4 4x4 2x2

d) 8x4 4x2 2x2

Figura 2.13: Algoritmos de engrossamento: a) EP, b) SE, c) SE-EP, d) EP-SE.

2.5 RESUMO DO CAPÍTULO 2

Neste capítulo foi apresentada a fundamentação teórica para o estudo do método

multigrid. Foram descritos os métodos para a resolução de sistemas lineares: Gauss-Seidel

60

lexicográfico e Gauss-Seidel red-black. Definiu-se equação residual e na seqüência foram

apresentados os aspectos principais do método multigrid: a filosofia do método, operadores de

restrição e de prolongação, tipos de ciclos, esquemas de correção (CS e FAS). Também foi

apresentada uma introdução a problemas anisotrópicos com as definições de anisotropia física

e geométrica, tipos de anisotropia geométrica e ilustrado o funcionamento dos algoritmos de

engrossamento.

61

3 MODELOS MATEMÁTICOS E NUMÉRICOS

Este capítulo descreve os modelos matemáticos e numéricos utilizados neste trabalho e

os dados de implementação. Utilizou-se as equações de Laplace e Poisson. Trottenberg et al.

(2001) recomendam a utilização de equações simples, como por exemplo, Laplace e Poisson

para a análise de parâmetros ótimos.

3.1 MODELOS MATEMÁTICOS

Os modelos matemáticos considerados neste trabalho referem-se a três problemas

bidimensionais lineares de condução de calor, governados pelas equações de Laplace e

Poisson bidimensionais (INCROPERA e DEWITT,1998):

fyT

xT

=∂∂

+∂∂

2

2

2

2

(3.1)

onde x e y são as direções coordenadas (variáveis independentes); T representa a variável

dependente (temperatura). Os termos fonte (f) e as condições de contorno de Dirichlet nos

domínios }1y0e10:),{( 2 ≤≤≤≤∈ xRyx , conforme Fig. 3.1 estão na Tab. 3.1.

Tabela 3.1: Problemas resolvidos.

Equação Termo Fonte Condições de Contorno Laplace linear 0=f yyTxxT

xTyT==

==),1(,)1,(

,0)0,(),0(

Laplace senoidal 0=f )()1,(

0),1()0,(),0(xsenxT

yTxTyTπ=

===

Poisson

)]1()61()1()61[(2 222222 xxyyyxf −−+−−−=0)1,(),1(0)0,(),0(

====

xTyTxTyT

62

0 1

Figura 3.1: Domínio bidimensional de cálculo para a equação de Laplace.

As soluções analíticas para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson

estão apresentadas na Tab. 3.2. Mais detalhes sobre obtenção dessas soluções encontram-se

no apêndice A.

Tabela 3.2:Soluções analíticas para as equações em estudo.

Equação Solução Analítica Laplace linear ( ) xyyxT =,

Laplace senoidal ( ) ( ) ( )

( )πππ

senhysenhxsenyxT =,

Poisson ( ) )()(, 2442 yyxxyxT −−=

3.2 MODELOS NUMÉRICOS

A discretização do domínio será descrita somente para a equação de Laplace senoidal.

Para as equações de Laplace linear e Poisson ela é feita de forma análoga, variando apenas o

termo fonte e os contornos. A discretização é feita com malhas uniformes e malhas

estruturadas anisotrópicas, onde o domínio ( ){ }10e10:, 2 ≤≤≤≤∈ yxRyx é particionado

em subconjuntos através de um número de incógnitas (ou número de pontos), dado por

x

T(x,y)

1y

63

yx NNN = onde xN e yN são os números de pontos nas direções coordenadas x e y,

respectivamente (incluindo os contornos).

Para cada um dos )2(.)2( −− yx NN pontos interiores da malha, a Eq. (3.1) é

discretizada com o método das diferenças finitas (MDF) com diferença central (CDS)

(BURDEN e FAIRES, 2008; TANNEHILL et al., 1997). Este método consiste em aproximar

diretamente cada termo da equação diferencial separadamente dos demais. Portanto, a

aproximação do primeiro termo da Eq. (3.1) é dada por:

( )

2,1,,1

,2

2 2

x

jijiji

ji hTTT

xT +− +−

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ (3.2)

e para o segundo termo, tem-se:

( )

21,,1,

,2

2 2

y

jijiji

ji hTTT

yT +− +−

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ (3.3)

onde Ti,j é a solução numérica em cada nó ( )ji yx , .

Substituindo as equações Eq. (3.2) e Eq. (3.3) na Eq. (3.1) obtém-se:

( ) ( )

022

21,,1,

2,1,,1 =

+−+

+− +−+−

y

jijiji

x

jijiji

hTTT

hTTT

(3.4)

Rearranjando os termos da Eq. (3.4) tem-se:

1,21,2,112,12,22

111122+−+− ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ji

yji

yj

xji

xji

yx

Th

Th

Th

Th

Thh

(3.5)

ou ainda:

jijijijijijijijijijiji bTaTaTaTaTa ,1,1,1,1,,1,1,1,1,, =++++ ++−−++−− (3.6)

Considerando-se as equações Eq. (3.5) e Eq. (3.6), tem-se:

64

0;22;1;1,22,21,1,2,1,1 =+=−==−== +−+− ji

yxji

yjiji

xjiji b

hha

haa

haa (3.7)

Estes coeficientes são válidos para os nós internos da malha, que envolvem:

⎩⎨⎧

−=−=

1,...,3,21,...,3,2

y

x

NjNi

(3.8)

Para a determinação dos coeficientes nos nós do contorno da malha utilizou-se

condições de contorno de Dirichlet, em coordenadas cartesianas, resultando em:

CCjijijijijiji Tbaaaaa .,1,1,,1,1, ;0;1 ====== +−+− (3.9)

onde CCT . representa as temperaturas nos contornos.

tem-se ( ) 0),0(),1()0,1(,)1,( ==== yTyTTxsenxT π , onde T representa os valores

conhecidos da temperatura em cada nó dos contornos, que envolvem:

⎩⎨⎧

==

y

x

NjNi

e1e1

(3.10)

Se T e f são denotados por ( ) t

Ni TTT ,...,= e ( ) tNfff ,...,1= , respectivamente,

onde f é o vetor independente formado pelos termos bp, então o sistema da Eq. (3.6) pode ser

representado por um sistema de equações algébricas do tipo:

fTA = (3.11)

onde a matriz dos coeficientes A é pentadiagonal N por N, simétrica e definida positiva

(Briggs et al., 2000), T é um vetor de incógnitas e f o termo fonte. Uma matriz A é definida

positiva se ela é simétrica e se 0>Axxt para todo vetor n-dimensional 0≠x , (BURDEN e

Faires, 2008).

65

3.3 DADOS DE IMPLEMENTAÇÃO

Os dados desta seção definem as características básicas do método multigrid padrão

utilizado nesta tese. Novos parâmetros utilizados serão definidos ao longo do texto. O sistema

de equações algébricas representado pela Eq. (3.11) é resolvido com o método multigrid

geométrico, conforme descrito por Wesseling (1992), usando-se o esquema de correção CS.

Conforme Fletcher (1991), o esquema de aproximação completa FAS é de 5% a 10% mais

caro, em relação ao tempo de CPU, que o CS por restringir o resíduo e a solução para as

malhas mais grossas. O tipo de ciclo utilizado é o V, pois o W é cerca de 50% mais caro em

relação ao número de operações envolvidas (HIRSCH, 1988).

Utiliza-se restrição por injeção e prolongação através de interpolação bilinear

(TROTTENBERG et al., 2001). Entre os operadores de restrição conhecidos (BRIGGS et al.,

2000 e TROTTENBERG et al. 2001), o mais comum é o operador de restrição por injeção. O

operador de restrição por injeção também é utilizado em diversos trabalhos entre eles

Gerolymos e Vallet (2005) e Pinto (2006). O operador de prolongação bilinear também é

muito utilizado na literatura. Entre eles pode-se citar: BRIGGS et al. (2000); FERZIGER e

PERIC (2002); TANNEHILL et al. (1997); TROTTENBERG et al. (2001) e WESSELING

(1992). A razão de engrossamento de malhas (r) usada é a padrão, ou seja, 2=r . (BRANDT,

1977 e BRIGGS et al., 2000).

O suavizador ou solver considerado é o método de Gauss-Seidel lexicográfico (GS)

descrito em Burden e Faires (2008). No presente trabalho, o número de iterações internas

feitas em cada malha é representado por ν .

O número de vezes que o ciclo V é repetido é denominado de iterações externas. O

critério de convergência usado para interromper as iterações externas é a norma 2l do resíduo

adimensionalizada pela norma 2l do resíduo na estimativa inicial (norma freqüentemente

utilizada na literatura), dada por:

2

22 )0(

)(R

itRl = (3.12)

onde R(it) é o resíduo na iteração atual e R(0) o resíduo na estimativa inicial. Neste trabalho,

para simplificar a notação esta norma será denotada por norma 2l . Entre os trabalhos que

66

usam esta norma pode-se citar: BRIGGS et al. (2000); CHISHOLM (1993);

TROTTENBERG et al. (2001); ZHANG (2002) e WESSELING (1992). O processo iterativo

é interrompido quando a norma 2l é menor ou igual à tolerância ( )1010−=ε . Esta tolerância

também já tem sido usada em outros trabalhos entre os quais pode-se citar Zhang, (2002).

Mais detalhes sobre a escolha da tolerância encontram-se na subseção 4.4.1.

Em todas as simulações, considerou-se um número de níveis de malha L tal que

máximoLLl ≤≤≤1 , onde l é o número do nível de uma malha em particular; e máximoL

representa o número máximo possível de malhas que se pode usar para uma dada malha mais

fina, com a malha mais grossa tendo apenas um nó interno. Por exemplo, se N = 513x513 nós

as malhas são de 513x513, 257x257, 129x129, 65x65, 33x33, 17x17, 9x9, 5x5 e 3x3 nós;

neste exemplo, portanto, 9=máximoL .

O foco deste trabalho é a minimização do tempo de CPU ( )CPUt . Entende-se por

tempo de CPU o tempo gasto para realizar a geração de malhas, atribuir a estimativa inicial,

calcular os coeficientes e resolver o sistema linear representado pela Eq. (3.11) até atingir a

tolerância estabelecida com base no critério de convergência. Este tempo é medido em

segundos (s) usando-se a sub-rotina CPU_TIME do Fortran 2003. Em algumas simulações o

tempo de CPU foi muito pequeno, menor do que um segundo. Quando isto ocorre aumenta-se

a imprecisão da função CPU_TIME. Por este motivo, criou-se um processo no qual as

simulações de um mesmo problema são repetidas até que o tempo seja superior a um valor

fixo. O procedimento foi realizado da seguinte forma: Para todas as malhas cujo tempo de

CPU foi inferior a 10 segundos, acrescentou-se ao programa principal um ciclo externo. Este

ciclo faz com que o número de simulações se repita automaticamente até que seja obtido um

tempo de CPU igual ou superior a 10 segundos. Nestes casos, o tempo de CPU de uma

simulação é uma média do tempo obtido em todas as repetições. Esse procedimento foi

adotado para reduzir a incerteza da sub-rotina CPU_TIME na medida do tempo de CPU.

O valor ótimo de um parâmetro é determinado quando a solução do problema é obtida

no menor tempo de CPU quando os demais parâmetros estão fixos. Assim, denota-se por

ótimoν o número de iterações internas no solver que resulta no menor tempo de CPU e por

ótimoL o número de níveis de malhas que resulta no menor tempo de CPU.

67

4 VERIFICAÇÃO NUMÉRICA DO CÓDIGO COMPUTACIONAL

Este capítulo apresenta uma análise do código computacional empregado na obtenção

dos resultados numéricos obtidos neste trabalho. Esta análise foi feita através do estudo de

erros numéricos. São analisadas as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson em

malhas isotrópicas e a equação de Laplace senoidal em malhas anisotrópicas. O objetivo deste

capítulo é verificar a coerência do código computacional utilizado na tese.

A seção 4.1. apresenta uma introdução do capítulo com definições de interesse.

Apresenta também alguns detalhes numéricos utilizados nas simulações. A seção 4.2 faz um

estudo das ordens efetiva e aparente e na seção 4.3 o estudo dos erros numéricos. A seção 4.4

apresenta alguns testes para mostrar a coerência do código computacional. Primeiramente

verificou-se qual a maior malha a ser utilizada sem o uso de memória de HD (hard disk) e a

tolerância máxima que pode ser utilizada. Na seqüência foi realizado um estudo do erro de

discretização e uma comparação entre os erros máximos obtidos com os métodos em estudo.

Realizou-se também, uma análise da temperatura em função do número de incógnitas. A

seção 4.5 apresenta algumas comparações dos resultados obtidos pelo código computacional e

os resultados obtidos na literatura. Na seção 4.6 é apresentado um estudo dos algoritmos de

engrossamento para problemas anisotrópicos.

4.1 INTRODUÇÃO

Para determinar a solução de um modelo matemático por meio de um método

numérico encontram-se diversas fontes de erros. Estes erros estão ligados ao processo de

análise e resolução do problema. Há dois grupos de métodos empregados para a solução de

um problema, os métodos experimentais e os métodos teóricos. Os métodos teóricos podem

ser divididos em analíticos e numéricos (MARCHI, 2001). A Fig. 4.1 apresenta a divisão

entre os métodos de solução e os erros gerados em cada um deles.

68

Figura 4.1: Erros envolvidos nos métodos de engenharia (adaptada de Marchi e Schneider,

2004).

Como este trabalho trata de soluções numéricas de equações diferenciais parciais, os

erros experimentais, apresentados na Fig. 4.1, não são descritos aqui, uma vez que estão sendo

considerados apenas métodos de soluções numéricas de problemas, ou seja, métodos teóricos.

A magnitude aceitável para o erro numérico depende, dentre outros fatores, da finalidade da

solução numérica, dos recursos financeiros envolvidos, do tempo permitido para realizar as

simulações e dos recursos computacionais disponíveis. Sabendo-se que as soluções numéricas

contêm erros, é importante estimá-los pelos seguintes motivos (MARCHI, 2001):

• Quando o erro é maior do que o aceitável, compromete-se a confiabilidade do

uso da solução numérica;

• Quando o erro é menor do que o necessário, há desperdício de recursos

computacionais, isto é, de tempo de processamento e de quantidade de

memória;

• Para validar e desenvolver modelos matemáticos que visem explicar

fenômenos físico-químicos ainda não modelados adequadamente e cujas

soluções analíticas são desconhecidas; um exemplo típico é a modelagem de

escoamentos turbulentos;

• Para otimizar o uso da malha, isto é, adaptá-la visando homogeneizar o nível

de erro no domínio de cálculo; e

• Para evitar interpretações equivocadas.

69

A diferença entre a solução analítica exata (Φ ) de uma variável de interesse e a sua

solução numérica (φ ) é denominado por Ferziguer e Peric (2002) de erro da solução numérica

(Ed), ou simplesmente erro numérico, isto é:

( ) φφ −Φ=numéricoErro (4.1)

O valor do erro numérico independe de resultados experimentais, mas só pode ser

obtido quando a solução analítica de um modelo matemático é conhecida. Porém, em termos

práticos, isto é, para soluções numéricas de modelos matemáticos cuja solução analítica é

desconhecida, não é possível obter o erro numérico. Nestes casos é necessário estimar qual

seria o valor da solução analítica. Assim, em vez do erro numérico calcula-se o erro estimado

que também é chamado de incerteza por Mehta (1996) e Chapra e Canale (1994). Mais

detalhes sobre incerteza podem ser encontrados em Marchi (2001).

O erro numérico é causado por várias fontes de erro, conforme definido na seção 1.1.

Quando o erro da solução numérica é gerado apenas por erros de truncamento da série de

Taylor, ele é denominado de erro de discretização (Ed).

As estimativas dos erros de discretização, gerados pelos erros de truncamento podem

ser divididas em dois grupos: estimativas a priori e a posteriori da solução numérica (SZABÓ

e BABUSKA, 1991).

As estimativas de erro a priori proporcionam uma análise qualitativa do erro de

discretização antes mesmo de se obter uma solução numérica. O objetivo de uma estimativa a

priori é obter a ordem assintótica da equação diferencial discretizada. Com esta estimativa,

antes de se obter qualquer solução numérica, é possível prever o comportamento assintótico

do erro de discretização com relação ao refinamento da malha e à ordem aparente2. Também é

possível avaliar qual é o efeito da redução do tamanho dos elementos da malha sobre o erro de

discretização (Ed) da solução numérica (MARCHI, 2001).

As estimativas de erro a posteriori são usadas para estimar a magnitude do erro de

discretização. Existem vários métodos que podem ser empregados. Eles podem ser divididos

em dois grandes conjuntos. No primeiro, as estimativas de erro são baseadas na solução

numérica obtida numa única malha; em geral, o método dos elementos finitos se enquadra

neste conjunto. No segundo conjunto, as estimativas de erro são baseadas nas soluções

numéricas obtidas em malhas múltiplas, em geral, os métodos de diferenças finitas e de

2 A ordem aparente é definada posteriormente na Eq. 4.3.

70

volumes finitos se enquadram neste conjunto. Alguns estimadores deste tipo são: delta,

Richardson, GCI, multicoeficientes e convergente (MARCHI, 2001). Detalhes de como se

determinar a estimativa a priori podem ser obtidos em Marchi (2001).

Neste trabalho foram consideradas as ordens efetiva e aparente dos erros de

discretização. Para a obtenção da ordem efetiva é necessário o erro verdadeiro (solução

analítica menos a solução numérica) em duas malhas. Para a obtenção da ordem aparente são

necessárias três soluções numéricas. Estas duas ordens permitem verificar a posteriori se a

ordem assintótica, obtida da discretização das equações diferenciais, ou seja, obtida a priori

da solução numérica, é atingida. Será analisada também a queda do erro numérico (diferença

entre solução analítica e numérica), com o refino da malha.

A ordem efetiva )( Ep é definida como a inclinação local da curva do erro de

discretização (Ed) da solução numérica φ versus o tamanho (h) dos elementos da malha num

gráfico em escala logarítmica. Seu cálculo permite verificar na prática, isto é, a posteriori das

soluções numéricas, se à medida que h é reduzido, a ordem do erro de discretização das

soluções numéricas tende à ordem assintótica dos erros de truncamento. A ordem efetiva

pode ser calculada por:

( )( )( )q

EdEd

pE log

log1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=φφ

(4.2)

onde 1φ e 2φ são as soluções numéricas obtidas em malhas fina e grossa, respectivamente e q

é a razão de refino de malha, dada por: 12 hhq = .

A ordem aparente )( Up permite verificar na prática, isto é a posteriori das soluções

numéricas, se à medida que h é reduzido, a ordem da incerteza das soluções numéricas tende à

ordem assintótica dos erros de truncamento, ordem esta que é um resultado teórico, obtido a

priori das soluções numéricas. A ordem aparente pode ser calculada por:

( )qpU log

log21

32⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=φφφφ

(4.3)

71

onde 1φ , 2φ e 3φ são as soluções numéricas obtidas para as malhas consideradas fina, grossa e

super grossa, respectivamente e q é a razão de refino de malha, dada por:

)()( 2312 hhhhq == (refino uniforme).

Neste capítulo foram consideradas quatro variáveis de interesse para a análise da

ordem efetiva, ordem aparente e erro numérico: temperatura numérica no nó central

( )( )5,0;5,0T ; temperatura numérica média ( )TN obtida pela regra do trapézio; norma ∞l do

erro numérico dada por ∞

−TNTA e norma 1l do erro numérico dada por NTNTA /1

− .

Onde TA e TN são as temperaturas analíticas e numéricas respectivamente. As normas ∞l e 1l

do erro numérico foram utilizadas somente para a verificação do código computacional.

Foram consideradas as equações de Laplace senoidal e linear conforme definidas na

seção 3.1. A discretização foi feita através do método das diferenças finitas e com condições

de contorno de Dirichlet. Para as simulações deste capítulo utilizou-se o solver Gauss-Seidel

red-black, restrição por ponderação completa e interpolação bilinear. Foram realizadas 3

iterações internas, ou seja, ν = 3. Foi utilizado um número de iterações externas

suficientemente grande, de forma que o erro de máquina seja atingido. Foram obtidos

resultados para as malhas 3x3, 5x5, 9x9, 17x17, 33x33, 65x65, 129x129, 257x257, 513x513,

1025x1025, 2049x2049, 4097x4097 e 8193x8193 nós. A Tab. C.5, apresentada no apêndice

C, mostra o cálculo de h utilizado nas discretizações, juntamente com o número de níveis, nós

e elementos correspondentes.

4.2 ORDEM EFETIVA E ORDEM APARENTE

Nesta seção faz-se um estudo das ordens efetivas, aparentes e do erro de discretização

(Ed), obtidos para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson. Foram

utilizadas malhas isotrópicas, com razão de aspecto Q = 1. Utilizando-se os parâmetros

definidos na seção 3.1 foram determinados os resultados analíticos e numéricos obtidos para

cada equação e cada variável de interesse. Estes resultados encontram-se nas Tabs. C.1 a C.4,

apresentadas no apêndice C. Com estes valores foram calculadas as ordens efetiva e aparente

para cada uma das variáveis de interesse.

72

Para a equação de Laplace linear as ordens efetiva e aparente não têm seus valores

tendendo para a ordem teórica. Este comportamento para o problema linear é esperado, pois

não se tem a presença de erros de discretização, a solução analítica é igual a solução

numérica, o que afeta o cálculo das ordens para o erro numérico. (FERZIGER E PERIC,

2002). As tabelas com os resultados obtidos para cada variável de interesse e equações de

Laplace senoidal e Poisson encontram-se no apêndice C (Tabs. C.5 a C.13).

As Figs. 4.2 a 4.5 mostram os gráficos da ordem efetiva e da ordem aparente para cada

variável de interesse para as equações de Laplace senoidal e Poisson.

1E-4 1E-3 0,01 0,1

1,984

1,986

1,988

1,990

1,992

1,994

1,996

1,998

2,000

2,002

h

Ord

em e

fetiv

a e

orde

m a

pare

nte

Ordem efetiva (Laplace senoidal) Ordem efetiva (Poisson) Ordem aparente (Laplace senoidal) Ordem aparente (Poisson)

Figura 4.2: Ordem efetiva e ordem aparente para a temperatura no nó central.

1E-4 1E-3 0,01 0,1

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

h

Ord

em e

fetiv

a e

apar

ente


Figura 4.3: Ordem efetiva e ordem aparente para a temperatura média.

73

1E-4 1E-3 0,01 0,11,92

1,93

1,94

1,95

1,96

1,97

1,98

1,99

2,00

2,01

h

Ord

em e

fetiv

a e

apar

ente


Figura 4.4: Ordem efetiva e ordem aparente para a norma ∞l .

1E-4 1E-3 0,01 0,11,95

2,00

2,05

2,10

2,15

2,20

2,25

2,30

2,35

h

Ord

em e

fetiv

a e

apar

ente


Figura 4.5: Ordem efetiva e ordem aparente para a norma 1l .

As ordens efetiva e aparente foram calculadas também para a equação de Laplace

senoidal em malhas anisotrópicas. Considerou-se a razão de aspecto 16=Q e como variável

de interesse a temperatura média. A Fig. 4.6 apresenta um gráfico com as normas efetiva e

74

aparente para a temperatura média. Verifica-se na figura que tanto a ordem efetiva como a

ordem aparente tendem para 2, conforme o esperado.

1E-3 0,01 0,11,95

2,00

2,05

2,10

2,15

2,20

2,25

h

Ord

em e

fetiv

a e

apar

ente

Ordem efetiva (Laplace senoidal) Ordem aparente (Laplace senoidal)

Figura 4.6: Ordem efetiva e ordem aparente para a temperatura média em uma malha

anisotrópica.

A ordem efetiva é calculada com o uso da solução analítica (com base no erro

verdadeiro) e deve tender a 2 com o refino da malha. Na estimativa a priori esta ordem

também é 2. Esse comportamento ocorre para todas as variáveis de interesse conforme pode-

se verificar nas Figs. 4.2 a 4.5 para as equações de Laplace senoidal e Poisson. A ordem

aparente é calculada com base na solução numérica, também deve tender à 2, com o refino da

malha. Esse comportamento ocorre para todas as variáveis de interesse. Para a equação de

Laplace senoidal e malhas anisotrópicas a norma efetiva e aparente também tendem a 2

conforme pode ser visto na Fig. 4.6.

4.3 ERROS NUMÉRICOS

Esta seção faz um estudo dos erros numéricos obtidos para as equações de Laplace

senoidal, Laplace linear e Poisson. As Tabs. C.5 a C.12 do apêndice C apresenta os erros

75

numéricos obtidos para cada equação e cada variável de interesse. As Figs. 4.7 a 4.9

apresentam os erros numéricos obtidos para todas as variáveis de interesse e equações de

Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson, respectivamente.

1E-4 1E-3 0,01 0,110-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

h

|Err

o nu

mér

ico|

Temperatura no nó central Temperatura média Norma infinito Norma l1 média

Figura 4.7: Erro numérico para a equação de Laplace senoidal.

1E-4 1E-3 0,01 0,1

1E-18

1E-17

1E-16

1E-15

1E-14

h

|Err

o nu

mér

ico|


Figura 4.8: Erro numérico para a equação de Laplace linear.

76

1E-4 1E-3 0,01 0,1 11E-10

1E-9

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1

h

|Erro

num

éric

o|


Figura 4.9: Erro numérico para a equação de Poisson.

Nas Figs. 4.7 e 4.9 verifica-se que para as equações de Laplace senoidal e Poisson o

erro numérico tende a zero à medida que a malha é refinada, conforme o esperado. Na Fig.

4.8, referente à equação de Laplace linear, verifica-se que para as variáveis, norma ∞l e

norma 1l , o erro numérico aumenta à medida que a malha é refinada. Este comportamento é

atribuído a influência dos erros de arredondamento, já que a equação de Laplace linear não

apresenta erros de discretização. O erro numérico para a temperatura numérica no nó central e

para a temperatura numérica média só foi obtido em um único ponto. Para estas variáveis,

estes valores também sofrem influência dos erros de arredondamento. Observa-se na Fig. 4.8

que os erros numéricos são bem próximos de zero.

4.4 TESTES DE COERÊNCIA

4.4.1 Definição da tolerância e da maior malha a ser utilizada

Durante a execução das simulações foi monitorada a memória computacional

empregada na resolução do problema tendo como objetivo a determinação do maior problema

que pode ser resolvido sem o uso de memória virtual. Para a obtenção da memória empregada

77

para a resolução da equação de Laplace senoidal foi utilizado o Gerenciador de Tarefas do

Windows, onde o uso de memória pode ser observado. Concluiu-se que, para a maior malha

isotrópica, o maior problema a ser resolvido possui 67.108.864 elementos, ou seja, em um

problema isotrópico corresponde a uma malha 8193x8193. O computador utilizado para as

simulações desta tese possui 8 GB de memória RAM. Para a malha 8193x8193, utilizou-se 3

GB de memória RAM. Ao se utilizar mais um nível, ou seja, para uma malha 16384x1638, já

seriam necessários 12 GB de memória RAM, o que ultrapassaria a memória disponível.

Para determinar a tolerância a ser utilizada nas simulações utilizou-se a maior malha

possível (8193x8193). O processo iterativo foi executado até que o erro de máquina fosse

atingido, isto é, até que o resíduo comece a oscilar em torno de um valor. A Fig. 4.10

apresenta o comportamento da norma 2l do resíduo para uma malha 8193x8193. Verifica-se

que a norma começa a decrescer nos primeiros ciclos e começa a estabilizar em torno de 1510− . O valor mínimo da tolerância a ser empregada nas simulações deve ser de pelo menos

uma ordem de grandeza maior do que a norma 2l , arredondando-se para cima. Neste caso,

como 2l = 1510− , o valor mínimo a empregar para a tolerância será 1410− , que arredondando

resulta em 1310− . Desta forma, a tolerância a ser recomendada para a equação de Laplace

senoidal deve ser 1310−≥ , pois com este valor, garante-se que o resíduo não ficará oscilando

em torno do erro de máquina. Por garantia foi utilizada uma tolerância um pouco maior

( =ε 10-10), considerando-se que a oscilação da norma 2l em problemas anisotrópicos pode

ocorrer antes que a tolerância de 1310− seja atingida.

0 10 20 30 40 501E-15

1E-12

1E-9

1E-6

1E-3

Número de ciclos

Nor

ma

l 2

Figura 4.10: Comportamento da norma 2l do resíduo em função do número de ciclos V para

uma maha 8193x8193.

78

4.4.2 Erro de discretização

Algumas simulações foram realizadas a fim de verificar se a solução numérica do

problema melhora ao utilizar um maior número de nós. Para isto o programa foi executado até

atingir o erro de máquina. A Fig. 4.11 apresenta a norma infinito do erro numérico em função

do número de incógnitas para o método multigrid e solvers Gauss-Seidel lexicográfico (GS-

LEX) e Gauss-Seidel red-black (GS-RB). Verifica-se que, para ambos os solvers, a norma

infinito diminui à medida que se aumenta o tamanho do problema.

100 101 102 103 104 105 106 107 108 1091E-9

1E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1

N

Nor

ma

infin

ito

GS-LEX GS-RB

Figura 4.11: Norma infinito ( ∞l ) do erro numérico versus número de incógnitas para o método multigrid.

4.4.3 Comparação entre os erros máximos

O objetivo desta seção é comparar o erro máximo obtido pelos métodos singlegrid e

multigrid com o uso da norma ∞l para o erro numérico e das normas 1l e a norma 2l . A

norma 1l será usada somente nos testes de coerência. A norma 2l será utilizada como critério

de parada e está definida na Eq. 3.12. O erro foi medido através da norma infinito definida

pela diferença entre a temperatura numérica e a temperatura analítica. Utilizou-se uma

79

tolerância de =ε 1010− e uma malha 17x17 nós, para ambos os métodos (singlegrid e

multigrid) e solvers (GS-LEX e GS-RB).

A Tab. 4.1 apresenta uma comparação entre as normas para o método singlegrid e

solvers GS-LEX e GS-RB. Verifica-se que a norma ∞l é igual para ambos os solvers e que a

diferença entre a norma 2l encontra-se na décima segunda casa decimal, sendo bem próximas

da tolerância estabelecida ( 1010−=ε ).

Tabela 4.1: Comparação entre as normas obtidas no método singlegrid.

NormaSolver

∞l 2l

GS-LEX 1,1088415789510253E-03 9,960225E-11 GS-RB 1,1088415722596556E-03 9,872027E-11

A Tab. 4.2 apresenta uma comparação entre as normas obtidas para o método

multigrid e solvers GS-LEX e GS-RB. Verifica-se que a norma ∞l é igual para ambos os

solvers e que a diferença entre a norma 2l encontra-se na décima primeira casa decimal,

sendo bem próximas da tolerância estabelecida ( 1010−=ε ).

Posteriormente comparou-se as normas dos métodos singlegrid e multigrid.

Analisando as Tabs. 4.1 e 4.2 conclui-se que a diferença entre as normas ∞l encontram-se na

décima casa decimal (igual a tolerância pré-estabelecida). Isto ocorre para os métodos

multigrid e singlegrid e com ambos os solvers em estudo. Pode-se concluir que as normas não

apresentam diferenças significativas. O mesmo procedimento também foi realizado para a

norma 1l e os resultados encontrados foram similares.

Tabela 4.2: Comparação entre as normas obtidas no método multigrid.

NormaSolver

∞l 2l

GS-LEX 1.1088416700695825E-03 4,517291E-12 GS-RB 1.1088416700695825E-03 1,478271E-11

80

4.4.4 Análise da temperatura em função do número de incógnitas

Esta seção tem como objetivo comparar as soluções numéricas com a solução analítica

obtida para a equação de Laplace senoidal. As soluções numéricas foram obtidas através dos

métodos singlegrid e multigrid, ambos com o uso dos solvers Gauss-Seidel lexicográfico e

Gauss-Seidel red-black. Para estas simulações utilizou-se como critério de parada o erro de

máquina. A Fig. 4.12 apresenta o gráfico das temperaturas médias em função do número de

variáveis. Cada curva representa uma temperatura média (analítica e numéricas) obtidas

através dos métodos singlegrid e multigrid e com os solvers Gauss-Seidel lexicográfixo (GS-

LEX) e Gauss-Seidel red-black (GS-RB). Verifica-se que à medida que se aumenta o número

de nós na malha discretizada, as temperaturas numéricas médias se aproximam cada vez mais

da temperatura analítica média. Verifica-se também que as temperaturas numéricas médias

são as mesmas para todos os métodos e solvers utilizados.

101 102 103 104 105 106 107 1080,185

0,186

0,187

0,188

0,189

0,190

0,191

Analítica MG - GS-RB MG - GS-LEX SG - GS-RB SG - GS-LEX

Tem

pera

tura

méd

ia

N

Figura 4.12: Temperatura média versus número de incógnitas (N) para a equação de Laplace senoidal.

4.5 COMPARAÇÃO COM A LITERATURA

Esta seção tem como objetivo comparar os resultados obtidos pelo programa a ser

utilizado nesta tese com os resultados obtidos por Briggs et al. (2000). Utilizou-se a equação

81

de Poisson 2D definida na seção 3.1. O termo fonte é o mesmo utilizado por Briggs, definido

na Tab. 3.1. Foram considerados os seguintes parâmetros no método multigrid: restrição por

ponderação completa, solver Gauss-Seidel red-black, ciclo V com ν = 2 na restrição e ν = 1 na

prolongação. O critério de parada é baseado na norma 2l . Executou-se 15 iterações externas

(ciclos V) para cada malha.

As Tab. 4.3 a 4.6 apresentam os resultados obtidos através dos dois programas para

malhas 17x17, 33x33, 65x65 e 129x129, respectivamente (malhas utilizadas por Briggs et al.,

2000). A primeira coluna apresenta o número de ciclos utilizados. A segunda e a terceira

coluna “Briggs” apresentam os resultados obtidos por Briggs et al. (2000), a quarta e a quinta

coluna “Tese” apresentam os resultados obtidos através do programa utilizado nesta tese. As

colunas referentes à “taxa” mostram a taxa de variação do resíduo em dois ciclos

consecutivos, obtida através da razão entre a 2l obtida no ciclo atual e o ciclo anterior.

Verifica-se também que a diferença entre as normas obtidas através dos dois programas não

são significativas, exceto para a o resíduo na aproximação inicial de uma malha 33x33

referente à Tab. 4.4. Ao comparar as taxas obtidas verifica-se que ambos os programas

convergem rapidamente.

Tabela 4.3: Comparação entre as normas para uma malha 17x17.

Brigss Tese Ciclos V 2l taxa 2l taxa

0 6,75E+02 - 1,63E+01 - 1 4,01E+00 0,01 9,13E-02 0,01 2 1,11E-01 0,03 5,94E-03 0,07 3 3,96E-03 0,04 4,05E-04 0,07 4 1,63E-04 0,04 2,85E-05 0,07 5 7,45E-06 0,05 2,05E-06 0,07 6 3,75E-07 0,05 1,51E-07 0,07 7 2,08E-08 0,06 1,13E-08 0,07 8 1,24E-09 0,06 8,50E-10 0,08 9 7,74E-11 0,06 6,48E-11 0,08 10 4,99E-12 0,06 4,97E-12 0,08 11 3,27E-13 0,07 3,84E-13 0,08 12 2,18E-14 0,07 2,98E-14 0,08 13 2,33E-15 0,11 3,10E-15 0,10 14 1,04E-15 0,45 1,68E-15 0,54 15 6,61E-16 0,64 1,31E-15 0,78

82



0 2,60E+03 - 3,39E+01 - 1 1,97E+01 0,01 9,85E-02 0,00 2 5,32E-01 0,03 6,93E-03 0,07 3 2,06E-02 0,04 5,05E-04 0,07 4 9,79E-04 0,05 3,76E-05 0,07 5 5,20E-05 0,05 2,85E-06 0,08 6 2,96E-06 0,06 2,19E-07 0,08 7 1,77E-07 0,06 1,69E-08 0,08 8 1,10E-08 0,06 1,32E-09 0,08 9 7,16E-10 0,07 1,04E-10 0,08 10 4,79E-11 0,07 8,22E-12 0,08 11 3,29E-12 0,07 6,52E-13 0,08 12 2,31E-13 0,07 5,31E-14 0,08 13 1,80E-14 0,08 6,88E-15 0,13 14 6,47E-15 0,36 5,89E-15 0,86 15 5,11E-15 0,79 5,30E-15 0,90



0 1,06E+04 - 6,90E+01 - 1 7,56E+01 0,01 1,00E-01 0,00 2 2,07E+00 0,03 7,26E-03 0,07 3 8,30E-02 0,04 5,39E-04 0,07 4 4,10E-03 0,05 4,09E-05 0,08 5 2,29E-04 0,06 3,16E-06 0,08 6 1,39E-05 0,06 2,47E-07 0,08 7 8,92E-07 0,06 1,95E-08 0,08 8 5,97E-08 0,07 1,55E-09 0,08 9 4,10E-09 0,07 1,24E-10 0,08 10 2,87E-10 0,07 9,96E-12 0,08 11 2,04E-11 0,07 8,03E-13 0,08 12 1,46E-12 0,07 6,73E-14 0,08 13 1,08E-13 0,07 2,17E-14 0,32 14 2,60E-14 0,24 2,11E-14 0,97 15 2,30E-14 0,88 2,06E-14 0,98

83



0 4,16E+04 - 1,39E+02 - 1 2,97E+02 0,01 1,01E-01 0,00 2 8,25E+00 0,03 7,36E-03 0,07 3 3,37E-01 0,04 5,51E-04 0,07 4 1,65E-02 0,05 4,20E-05 0,08 5 8,99E-04 0,05 3,26E-06 0,08 6 5,29E-05 0,06 2,56E-07 0,08 7 3,29E-06 0,06 2,03E-08 0,08 8 2,14E-07 0,07 1,63E-09 0,08 9 1,43E-08 0,07 1,31E-10 0,08 10 9,82E-10 0,07 1,06E-11 0,08 11 6,84E-11 0,07 8,71E-13 0,08 12 4,83E-12 0,07 1,16E-13 0,13 13 3,64E-13 0,08 8,46E-14 0,73 14 1,03E-13 0,28 8,24E-14 0,97 15 9,19E-14 0,89 8,35E-14 1,01

4.6 PROBLEMAS ANISOTRÓPICOS

Esta seção tem por objetivo verificar se os diferentes algoritmos de engrossamento

(EP, SE, EP-SE e SE-EP) utilizados nesta tese, produzem os mesmos resultados numéricos.

As variáveis de interesse consideradas são: temperatura numérica no ponto ( )5,0;5,0T ,

temperatura numérica média ( )TN , norma infinita do erro numérico ( ∞l ) e norma 1l do erro

numérico. Utilizou-se a norma 1l do erro numérico apenas nos testes de coerência. O domínio

de cálculo com yx CC ≠ também só foi utilizado nos testes de coerência. Nas demais

simulações utilizou-se sempre o domínio unitário, ou seja, 1== yx CC .

Para estas simulações foi utilizado o tipo de anisotropia geométrica mais geral

(Anisotropia tipo IV) com yx NN ≠ , yx CC ≠ e yx hh ≠ , definida na seção 2.4.2. Esta

anisotropia é a única que possui todos os parâmetros diferentes, ou seja, se o programa estiver

coerente para esta anisotropia, também estará coerente para as demais anisotropias, que são

casos particulares desta.

84

Os testes foram realizados para a equação de Laplace senoidal. Os parâmetros fixos

para o método multigrid são: solver Gauss-Seidel red-black com 10 iterações internas,

restrição por ponderação completa, prolongação por interpolação bilinear. O programa foi

executado até atingir o erro de máquina.

Os testes consistem em: dada uma razão de aspecto verificar se variáveis de interesse

consideradas apresentam os mesmos resultados para os quatro algoritmos em estudo. Foi

utilizado domínio retangular, ou seja, xC = 256 e yC =1 com xN = 4097 e yN = 257 e um

problema com 1.048.576 elementos e razão de aspecto 1/16.

A Tab. 4.7 traz uma comparação entre as variáveis de interesse para este problema.

Para fins de comparação também são apresentadas a temperatura analítica média )(TA e

temperatura analítica no ponto ( )5,0;5,0TA . Verifica-se que os resultados obtidos em todas as

variáveis de interesse são bem próximos. Portanto, um problema anisotrópico pode ser

resolvido corretamente com qualquer um dos quatro algoritmos de engrossamento em estudo.

4.7 CONCLUSÃO DO CAPÍTULO

Este capítulo apresentou uma análise do código computacional empregado na

obtenção dos resultados numéricos obtidos neste trabalho. Esta análise foi feita através do

estudo dos erros numéricos. Foram analisadas as equações de Laplace senoidal, Laplace linear

e Poisson em malhas isotrópicas e a equação de Laplace senoidal em malhas anisotrópicas. O

objetivo deste capítulo foi verificar a coerência do código computacional empregado nesta

tese.

Para o cálculo da ordem efetiva, ordem aparente e erro numérico utilizou-se o solver

Gauss-Seidel red-black com ν = 3. Trottenberg et al. (2001) sugere utilizar 321 ≤+= ννν .

Foram consideradas quatro variáveis de interesse: temperatura no nó central, temperatura

numérica média, norma ∞l do erro numérico e norma 1l do erro numérico para as equações

Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson. Verificou-se que, para todas as equações, o erro

numérico tende a zero. A ordem efetiva e a ordem aparente tendem a 2 , coincidindo com a

ordem assintótica definida a priori, para todas as variáveis de interesse nas equações de

85

Laplace senoidal e Poisson. Conclui-se que a ordem assintótica dos erros de truncamento

foram atingidas para todas as variáveis e equações em estudo.

Através do teste de coerência aplicado na equação de Laplace senoidal verificou-se

que a maior malha possível (sem o uso de memória virtual) possui 8.193 x 8.193 nós.

A comparação entre as normas (norma ∞l do erro numérico e norma 2l do erro

numérico) obtidas para a equação de Laplace senoidal foi feita comparando os algoritmos

singlegrid e multigrid e os solvers Gauss-Seidel lexicográfico e Gauss-Seidel red-black.

Verificou-se que as normas obtidas não apresentam diferenças significativas. Concluiu-se

também que a norma ∞l e as normas 1l e 2l estão bem próximas à tolerância pré-estabelecida.

Para a equação de Laplace senoidal, método multigrid e solvers Gauss-Seidel

lexicográfico e red-black, foi verificado que a norma ∞l do erro numérico diminui à medida

que se aumenta o tamanho do problema. As temperaturas numéricas para diversas malhas

foram obtidas através dos métodos: singlegrid e multigrid com Gauss-Seidel lexicográfico e

Gauss-Seidel red-black. Todos os métodos vão até o erro de máquina. Observa-se que à

medida que se aumenta o número de nós na malha discretizada a temperatura numérica média

se aproxima cada vez mais da temperatura analítica média. As temperaturas numéricas são

iguais, ao se utilizar os métodos singlegrid e multigrid com os solvers Gauss-Seidel

lexicográfico e red-black. Verificou-se também que as temperaturas numéricas estão bem

próximas da temperatura analítica, atingindo a tolerância estabelecida.

Os resultados obtidos foram comparados com os obtidos por Briggs et al. (2000) para

a equação de Poisson. Foram utilizados para esta análise o método multigrid com solver

Gauss-Seidel red-black com ν = 2 na restrição e ν = 1 na prolongação, restrição por

ponderação completa e norma 2l . Verificou-se que a convergência obtida pelo programa está

bem próxima da obtida por Briggs et al. (2000).

A análise do programa envolvendo problemas anisotrópicos e diversos algoritmos de

engrossamento foi realizada utilizando o método multigrid com os seguintes parâmetros:

solver Gauss-Seidel red-black e restrição por ponderação completa. Verificou-se que não há

diferença significativa entre os resultados obtidos para todas as variáveis de interesse e todos

os algoritmos. Portanto, um problema anisotrópico pode ser resolvido corretamente com o uso

dos quatro algoritmos de engrossamento em estudo.

Conclui-se que o código computacional utilizado nesta tese está coerente e apresenta

bons resultados.

86

Tabela 4.7: Comparação entre as variáveis de interesse para a anisotropia IV, razão de aspecto 1/16 e malha 4097x257 e equação de Laplace senoidal.

Variáveis de interesse EP SE EP-SE SE-EP

TA 3,1830589150270650E-01 3,1830589150270650E-01 3,1830589150270650E-01 3,1830589150270650E-01

TN 3,1830587595920062E-01 3,1830587595905996E-01 3,1830587595920046E-01 3,1830587595920062E-01

( )5,0;5,0TA 4,9999058775942240E-01 4,9999058775942240E-01 4,9999058775942240E-01 4,9999058775942240E-01

( )5,0;5,0T 4,9999058775989025E-01 4,9999058775955629E-01 4,9999058775998184E-01 4,9999058775989025E-01

∞l 5,2724491439448684E-13 1,5054624213917123E-13 5,7942539655186920E-13 5,2724491439448684E-13

1l 1,9892714354973051E-13 5,7629090208828183E-14 1,9840250336510515E-13 1,9892714354973051E-13

87

5 ALGORITMOS DE ENGROSSAMENTO

Neste capítulo o método multigrid geométrico é aplicado a três problemas

bidimensionais lineares de condução de calor, governados pelas equações de Laplace e

Poisson, com condições de contorno de Dirichlet dada pela Eq. (3.1) descritas detalhadamente

na seção 3.1. Este capítulo tem por objetivo apresentar os testes utilizados para verificar qual

o melhor algoritmo de engrossamento para problemas isotrópicos e anisotrópicos. Ele também

apresenta o estudo de alguns parâmetros do método multigrid. O estudo preliminar está

limitado a alguns tamanhos de problemas e razões de aspecto, entretanto um estudo mais

detalhado será apresentado no capítulo 6.

O presente capítulo está dividido da seguinte forma: A primeira seção apresenta uma

introdução a problemas anisotrópicos e define os algoritmos de engrossamento utilizados

neste trabalho. A seção 5.2 apresenta os resultados numéricos obtidos: estudo do número de

iterações internas (v), número de níveis (L), comparação entre os algoritmos de

engrossamento, número de elementos (E) e a análise de complexidade. As últimas seções

apresentam a conclusão do capítulo e os parâmetros com melhor desempenho médio.

5.1 INTRODUÇÃO

Para as três equações em estudo consideram-se malhas anisotrópicas (BRIGGS et al.,

2000; DENDY et al., 1989), onde a razão de aspecto Q é distinta da unidade, ou seja,

anisotropia devido aos elementos da malha serem altamente alongados (anisotropia

geométrica). A Fig. 5.1 apresenta um exemplo de malha isotrópica e anisotrópica com Q = 2.

Em malhas anisotrópicas, quanto mais distinta da unidade é a razão de aspecto, mais o

desempenho do método multigrid se deteriora (WESSELING e OOSTERLEE, 2001), com

isso a taxa de convergência piora, podendo até mesmo ocorrer divergência (LARSSON et al.,

2005). Este tipo de anisotropia é muito comum em problemas práticos de engenharia, como

em problemas de camada limite, onde a razão de aspecto Q pode ser da ordem de 43 10,10 ou

mais (WESSELING e OOSTERLEE, 2001).

88

a b

Figura 5.1: Exemplos de malhas: a) isotrópica e b) anisotrópica com Q = 2.

O objetivo deste capítulo é verificar a influência da razão de aspecto no tempo de CPU

e a influência dos métodos de engrossamento para problemas anisotrópicos. Foi feita uma

comparação entre o tempo de CPU com o uso de alguns algoritmos de engrossamento. Os

algoritmos utilizados são: engrossamento padrão (EP); semi-engrossamento (SE); semi-

engrossamento seguido de engrossamento padrão (SE-EP); engrossamento padrão seguido de

semi-engrossamento (EP-SE) descritos na seção 2.4.3. Também é proposto um novo

algoritmo de engrossamento para problemas anisotrópicos, o algoritmo de semi-

engrossamento completo (SEC).

O semi-engrossamento completo (SEC) realiza o engrossamento em apenas uma das

direções coordenadas como o algoritmo SE, porém o engrossamento é realizado até a malha

mais grossa possível. Este algoritmo para o semi-engrossamento em x, está exemplificado na

Fig. 5.2.

8x4 4x4 2x4

Figura 5.2: Algoritmo semi-engrossamento completo (SEC).

O algoritmo proposto neste capítulo, SEC, confronta o algoritmo SE proposto por

Mulder (1989). O algoritmo SE de Mulder aplica o semi-engrossamento até as malhas

89

tornarem-se isotrópicas, nem sempre atingindo a malha mais grossa possível. O algoritmo

SEC realiza o engrossamento até a malha mais grossa possível, portanto a malha anisotrópica

torna-se isotrópica, voltando a ser anisotrópica conforme pode ser visto na Fig. 5.2. Deste

modo podem-se considerar dois elementos a serem considerados em sua formulação:

1) Realizar o engrossamento até a malha mais grossa possível mesmo que a malha volte a

ser anisotrópica.

2) Utilizar um menor número de malhas, na qual a malha mais grossa é uma malha

isotrópica, (isto é, o semi-engrossamento de Mulder (1989)).

No primeiro caso considera que o método multigrid converge rapidamente ao utilizar-

se o número máximo de níveis (PINTO et al., 2005). Já o segundo não se preocupa em utilizar

o número máximo de níveis, mas o número necessário para que a malha torne-se isotrópica.

Neste caso, continuar o engrossamento faz com que a malha volte a ser anisotrópica e a

convergência do método multigrid se deteriora em problemas anisotrópicos (WESSELING e

OOSTERLEE, 2001).

5.2 RESULTADOS NUMÉRICOS

Os algoritmos foram implementados na linguagem Fortran 2003, versão 9.1 da Intel

com precisão dupla. As simulações foram realizadas num microcomputador com processador

Intel Core 2 Duo de 2.66 GHz, 8 GB de RAM e sistema operacional Windows xp 64 bits.

Cerca de 2.000 simulações foram realizadas com as seguintes variantes: equações

(Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson); algoritmos (EP, SE, SEC, EP-SE, SE-EP);

número de elementos (4.096, 65.536, 262.144 e 1.048.576); razões de aspecto (Q = 1/64,

1/16, ¼, 1, 4, 16, 64) e número de níveis ( 4,3,2,1, −−−− máximomáximomáximomáximomáximo LLLLL ).

O número de iterações internas variou entre 1 a 3.000 com intervalos entre 1, 10, 100

ou 200, dependendo do tempo de CPU obtido em cada simulação e da variação entre o tempo

obtido entre duas simulações consecutivas.

Nesta seção, adota-se o número máximo possível de níveis, exceto no momento onde é

feita a análise do número de níveis. Os parâmetros considerados para a análise da anisotropia

são: yx hh ≠ , yx NN ≠ e 1== yx CC . São apresentados a seguir somente os resultados mais

representativos do estudo realizado.

90

5.2.1 Estudo do número de iterações internas ( )ν

A Tab. 5.1 mostra as dimensões das malhas finas ( )yx NNN x= e as respectivas

razões de aspecto (Q) utilizadas para determinar o número ótimo de iterações internas ( )ótimoν ,

primeiramente para a equação de Laplace senoidal e algoritmo SE-EP. Considerou-se malhas

com o mesmo número de elementos, por exemplo, a malha yx NN x = 4097x65 possui

4096x64 = 262.144 elementos; a malha yx NN x = 2049x129 possui 2048x128 = 262.144

elementos. O processo utilizado para a geração das malhas está apresentado no apêndice F1.

Foi utilizado o mesmo número de elementos para que fosse possível comparar a variação do

tempo de CPU em função da razão de aspecto. Não foi possível utilizar o mesmo número de

nós, pois quando este número é ímpar, não é possível escrevê-lo na forma a2 , onde +∈ *Za ,

forma necessária para a determinação de malhas com mesmo número de nós. O mesmo

processo se repete para as equações de Laplace linear e Poisson, outras razões de aspecto e

tamanhos de problemas.

Tabela 5.1: Malhas utilizadas para determinar ótimoν para o algoritmo SE-EP para a equação de Laplace senoidal.

Q Malhas

1/64 4097x65 16385x257 65537x1025 1/16 2049x129 8193x513 32769x2049

¼ 1025x257 4097x1025 16385x4097 4 257x1025 1025x4097 4097x16385 16 129x2049 513x8193 2049x32769 64 65x4097 257x16385 1025x65537

A Fig. 5.3 apresenta o tempo de CPU em função do número de iterações internas para

a equação de Laplace senoidal, algoritmo SE-EP, razões de aspecto menores que a unidade

( 64/1=Q , 1/16 e 1/4) em um problema com 262.144 elementos. Verifica-se que para as

razões de aspecto Q = 1/64 e 16/1=Q , ótimoν = 2. Para 4/1=Q tem-se ótimoν = 3. Ao utilizar

2=ν , para a razão de aspecto 4/1=Q o acréscimo no tempo de CPU será de 3%.

A Fig. 5.4 apresenta o tempo de CPU em função do número de iterações internas para

a equação de Laplace senoidal, algoritmo SE-EP, razões de aspecto maiores que a unidade

91

(Q = 4, 16 e 64) em um problema com 262.144 elementos. Verifica-se na Fig. 5.4 que para as

razões de aspecto maiores que a unidade ótimoν = 4.

0 2 4 6 8 10 120,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 ótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

Figura 5.3: Tempo de CPU versus ν para E = 262.144, SE-EP, equação de Laplace senoidal e 1<Q .

0 2 4 6 8 10 12

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Q = 4 Q = 16 Q = 64 ótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

Figura 5.4: Tempo de CPU versus ν para E = 262.144, SE-EP, equação de Laplace senoidal e 1>Q .

92

Observa-se nas Figs. 5.3 e 5.4 um valor diferenciado de ótimoν para Q < 1 e Q >1. Isto

é devido ao comportamento da equação de Laplace senoidal ser mais oscilatória em uma das

direções. Os gráficos para as equações de Laplace linear e Poisson, outros algoritmos e

tamanhos de problemas encontram-se no Apêndice D. A Tab. 5.2 apresenta o número ótimo

de iterações internas ( ótimoν ) para os dados da Tab. 5.1. Observa-se que para o algoritmo SE-

EP o tamanho do problema não influencia o ótimoν . Para a razão de aspecto Q = 1, não se

aplica o algoritmo SE-EP, pois sendo uma malha isotrópica não é necessário utilizar o SE.

Tabela 5.2: ótimoν para o algoritmo SE-EP e equação de Laplace senoidal.

Q E

1/64 1/16 1/4 4 16 64

262.144 2 2 2 e 3 4 4 4 4.194.304 2 2 2 4 4 4 67.108.864 2 2 2 4 4 4

Para a análise do ótimoν nos algoritmos EP, SE, SEC e EP-SE foram utilizadas malhas

com menor número de nós. Isto foi necessário devido ao fato destes algoritmos não

apresentarem boa convergência para problemas anisotrópicos, o tempo de CPU ser bem maior

comparado ao SE-EP e serem necessárias mais simulações para a determinação do ótimoν . As

malhas utilizadas estão descritas na Tab. 5.3.

Tabela 5.3: Malhas utilizadas para determinar ótimoν para os algoritmos: EP, SE, SEC e EP-SE e equação de Laplace senoidal.

Q Malhas

1/64 2049x33 4097x65 1/16 1025x65 2049x129

¼ 513x129 1025x257 1 257x257 513x513 4 129x513 257x1025 16 65x1025 129x2049 64 33x1025 65x4097

Para os algoritmos EP, SE, SEC, e EP-SE o ótimoν variou significativamente em

relação à razão de aspecto, além de apresentar valores muito altos. Procurou-se contemplar

várias iterações internas para a determinação do ótimo. Variou-se o v entre 1 a 3.000, com

intervalos de 1, 10, 100 ou 200 de acordo com o tempo de CPU obtido em cada simulação e

93

também considerando a variação de tempo entre duas simulações consecutivas. Em alguns

algoritmos verificou-se que o tempo de CPU é bem próximo para diversas iterações internas.

As Figs. 5.5 à 5.8 apresentam o tempo de CPU em função do número de iterações

internas para a equação de Laplace senoidal e para os diversos algoritmos. Apresenta-se um

gráfico para cada algoritmo de engrossamento: EP, SE, SEC e EP-SE, razão de aspecto

16=Q e um problema com 262.144 elementos. Os gráficos para as equações de Laplace

linear e Poisson, outros algoritmos e tamanhos de problemas encontram-se no Apêndice D.

100 150 200 250 3009

12

15

18

21

24

27

30

ν

Tem

po d

e C

PU

(s)

Figura 5.5: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144 e EP.

0 10 20 30 40 50 60180

190

200

210

220

230

240

250

ν

Tem

po d

e C

PU (s

)

Figura 5.6: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144 e SE.

94

0 20 40 60 80 10018

19

20

21

22

23

24

ν

Tem

po d

e C

PU (s

)

Figura 5.7: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144 e SEC.

100 200 300 400 500

10

12

14

16

18

20

22

ν

Tem

po d

e C

PU (s

)

Figura 5.8: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144 e EP-SE.

Verifica-se nas Figs. 5.5 à 5.8 que são necessárias muitas iterações internas para se

obter um menor tempo de CPU. Os gráficos apresentados não mostram todos os pontos

simulados, mas sim o intervalo no qual se encontra o ótimoν . Verifica-se também que poucas

iterações internas resultam em um tempo de CPU muito alto ou até mesmo a divergência.

95

Com isto pode-se concluir que os algoritmos EP, SE, SEC e EP-SE não são muito estáveis

para razões de aspecto diferentes da unidade, no que diz respeito ao valor do ótimoν .

Através da análise das tabelas e gráficos determinou-se um único ótimoν ou um

intervalo contendo o ótimoν . Por exemplo, para a equação de Laplace senoidal e algoritmo SE,

determinou-se um intervalo contendo o ótimoν para as malhas de 65.336 e 262.144 elementos.

Através da intersecção dos intervalos, obtida para cada tamanho de problema, determinou-se

um intervalo no qual se encontram os melhores desempenhos médios para o ν. Os intervalos

estão apresentados na Tab. 5.4.

Tabela 5.4: ν com melhor desempenho médio para cada razão de aspecto, algoritmo SE e equação de Laplace senoidal.

E

Q 65.536 262.144 ν

1/64 6050 ≤≤ν ≅ 60 6555 ≤≤ν 1/16 15010 ≤≤ν 9996 ≤≤ν 9996 ≤≤ν 1/4 19020 ≤≤ν ≅ 120 120 4 20040 ≤≤ν 3 3 3 16 20020 ≤≤ν 4020 ≤≤ν 4020 ≤≤ν 64 14010 ≤≤ν 7010 ≤≤ν 7010 ≤≤ν

Para cada intervalo apresentado na Tab. 5.4 determinou-se o tempo médio de CPU

( )CPUt , o desvio padrão amostral (s) e o coeficiente de variação (CV). Estes valores

encontram-se na Tab. 5.5. O apêndice B apresenta as definições de desvio padrão e

coeficiente de variação.

Tabela 5.5: Parâmetros para o intervalo de ν com melhor desempenho médio para o algoritmo de SE.

E Q

65.536 262.144

CPUt (segundos) s (segundos) CV CPUt (segundos) s (segundos) CV 1/64 5,117 0 0 79,672 0 0 1/16 18,62 0,165 0,89% 18,844 0 0 1/4 58,781 0 0 874,984 0 0 4 47,87 0,173 0,36% 574,891 0 0 16 12,699 0,177 1,39% 189,19 2,566 1,36%64 2,947 0,07 2,52% 43,31 0,844 1,95%

3 Não houve intersecção entre os intervalos. Ao se utilizar v = 3, o acréscimo no tempo de CPU para problemas de 65.536 elementos será de 10,7%, equivalente a 5,47 segundos.

96

Verifica-se na Tab. 5.5 que os coeficientes de variação (CV) são pequenos, menores

que 3%, significando que a variabilidade do tempo de CPU em relação à média é pequena.

Portanto, ao utilizar qualquer ν pertencente ao intervalo da Tab. 5.4, o acréscimo no tempo de

CPU será pequeno. Para Q = 4, não foi possível determinar um intervalo ótimo para os dois

tamanhos de problema. Pode-se utilizar ν = 3, com isso o acréscimo no tempo de CPU para

problemas de 65.536 elementos será de 10,7% equivalente a 5,47 segundos. Se utilizar-se o

intervalo 20040 ≤≤ν o acréscimo no tempo de CPU será bem maior: 26%. As tabelas para

os demais algoritmos encontram se no Apêndice D. Os valores de ν com melhor desempenho

médio para cada algoritmo e razão de aspecto encontram-se na Tab. 5.6.

Tabela 5.6: ν com melhor desempenho médio para cada razão de aspecto e equação de Laplace senoidal.

Algoritmo Q

EP SE SEC EP-SE SE-EP

1/64 44 ≅ 60 9070 ≤≤ν 5000 2 1/16 221 9996 ≤≤ν 6030 ≤≤ν 200 2 1/4 25 ≅ 120 6040 ≤≤ν 25 2 1 2 - - - - 4 14 3 8030 ≤≤ν 13 4 16 204200 ≤≤ν 4020 ≤≤ν 8020 ≤≤ν 170 4 64 10 7010 ≤≤ν 5020 ≤≤ν 2500 4

Agora vamos tratar dos problemas Laplace linear e Poisson. As malhas e razões de

aspecto a serem utilizadas para as equações de Laplace linear e Poisson foram escolhidas com

base nos resultados obtidos para a equação de Laplace senoidal. Para o algoritmo SE-EP

verificou-se que o ótimoν é o mesmo para qualquer tamanho de problema. Em relação à razão

de aspecto, o ótimoν varia em função desta ser menor, igual ou maior que a unidade.

Para os algoritmos EP, SE, SEC e EP-SE e equação de Laplace senoidal verificou-se

que o ótimoν não teve um comportamento padrão, sendo fortemente afetado pela razão de

aspecto e pelo algoritmo utilizado. Para comprovar este mesmo comportamento para as

equações de Laplace linear e Poisson optou-se pelo uso de malhas com 262.144 elementos e

razões de aspecto 1/16, 1 e 16.

A Fig. 5.9 apresenta uma comparação do número de iterações internas para o

algoritmo EP nas equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson. Analisou-se o caso

isotrópico, ou seja, Q = 1 em um problema com 262.144 elementos. Verifica-se que para as

equações de Laplace linear e Poisson ótimoν = 2. Para a equação de Laplace senoidal tem-se

97

3=ótimoν . Neste caso ao utilizar 2=ν o acréscimo no tempo de CPU será de

aproximadamente 0,004 segundo (2,8%), o qual pode ser considerado como uma imprecisão

da função CPU_TIME. Portanto, pode-se utilizar v = 2, para problemas isotrópicos resolvidos

com o algoritmo EP e equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0,2

0,4

0,6 Laplace Senoidal Laplace Linear Poisson νótimo

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν

Figura 5.9: Tempo de CPU versus ν para Q = 1, E = 262.144, EP e solver GS-LEX.

A Tab. 5.7 mostra o ν com melhor desempenho médio para as equações: Laplace

linear (LL) e Poisson (Po), para os algoritmos de engrossamento: EP, SE, SEC, EP-SE, SE-

EP e razões de aspecto: 1/16, 1 e 16. Para a razão de aspecto Q = 1 (problema isotrópico)

utilizou-se somente o EP, pois todos os outros algoritmos recaem no EP quando a razão de

aspecto é igual a 1. Verifica-se que os valores de ν com melhor desempenho médio são muito

altos, exceto para problemas isotrópicos. Verifica-se também que para problemas isotrópicos

resolvidos através do algoritmo EP, ótimoν = 2 para as equações de Laplace linear e Poisson.

Vale lembrar que o ótimoν para a Equação de Laplace senoidal também é igual a dois,

conforme Tab. 5.6. Para os problemas anisotrópicos o algoritmo que apresentou melhores

resultados foi o SE-EP. Para este algoritmo o ótimoν = 4 para a equação de Laplace linear. Para

a equação de Poisson 3=ótimoν .

98

Tabela 5.7: ν com melhor desempenho médio para cada razão de aspecto para as equações de Laplace linear (LL) e Poisson (Po).

EP SE SEC EP-SE SE-EP

Q LL Po LL Po LL Po LL Po LL Po 1/16 250 200 250 150 250 200 250 200 4 2

1 2 2 - - - - - - - - 16 250 200 150 300 250 200 250 200 4 3

As Figs. 5.10 a 5.13 fazem uma comparação do número ótimo de iterações internas

para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson com o uso do algoritmo SE-

EP, respectivamente. Foram consideradas quatro razões de aspecto: Q = 1/64 (Fig. 5.10),

16/1=Q (Fig. 5.11), Q = 16 (Fig. 5.12) e 64=Q (Fig. 5.13). Verifica-se nas Fig. 5.10 e

5.11 que para a equação de Laplace senoidal, 2=ótimoν para as razões de aspecto Q = 1/64 e

16/1=Q . Para a equação de Laplace linear, 4=ótimoν para as razões de aspecto Q = 1/64 e

16/1=Q . Para a equação de Poisson e razão de aspecto Q = 1/64, o ótimoν ocorre em dois

pontos 2=ν e 4=ν . Para a razão Q = 1/16, ótimoν = 3.

Na Fig. 5.12 e 5.13 verifica-se que para as três equações em estudo e razões de aspecto

16 e 64 o 4=ótimoν , exceto para a equação de Poisson com Q = 16.

Fazendo uma comparação entre os resultados obtidos para as duas razões de aspecto

apresentadas verifica-se que para todas as equações em estudo e razão de aspecto 64=Q

tem-se ótimoν = 4. Para a razão de aspecto Q = 1/64 o ótimoν varia de acordo com a equação.

Para a equação de Laplace linear o ótimoν para as razões de aspecto 1/64 e 64 são iguais. Isto

aconteceu devido à equação possuir a mesma oscilação em ambas as direções x e y. O gráfico

destas funções, no qual pode-se observar a diferença entre as oscilações de cada função

encontram-se no Apêndice A. Portanto, não importa se a razão de aspecto é maior ou menor

que a unidade, ela não influenciará no ótimoν . As equações de Laplace senoidal e Poisson não

possuem a mesma oscilação nas duas direções coordenadas, logo o ótimoν varia com a razão de

aspecto menor ou maior que a unidade.

99

0 2 4 6 8 10

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 Laplace Senoidal Laplace Linear Poisson ν

ótimoTe

mpo

de

CP

U (s

)

ν

Figura 5.10: Tempo de CPU versus ν para Q = 1/64, E = 262.144, SE-EP.

0 2 4 6 8 10

0,4

0,6

0,8

1,0


ótimo

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν

Figura 5.11: Tempo de CPU versus ν para Q = 1/16, E = 262.144, SE-EP.

100

0 2 4 6 8 100,4

0,6

0,8


ótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

Figura 5.12: Tempo de CPU versus ν para Q = 16, E = 262.144, SE-EP.

0 2 4 6 8 10

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Laplace Senoidal Laplace Linear Poisson νótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

Figura 5.13: Tempo de CPU versus ν para Q = 64, E = 262.144, SE-EP.

101

5.2.2 Estudo do número de níveis (L)

Com o ótimoν obtido para os problemas com 65.536 e 262.144 elementos e razões de

aspecto 1/64, 1/16, 1/4, 4, 16, 64 verificou-se o número ótimo de níveis para a equação de

Laplace senoidal.

Aqui máximoL representa o número máximo possível de níveis. Por exemplo, uma malha

com 024.1=E elementos e usando r = 2 possui L = 10, máximoL = L, isto é, usando-se a razão

de engrossamento r = 2, para resolver o problema na malha mais fina de 1.024 elementos (que

é o nível 1, o nível da malha mais fina hΩ ), pode-se usar no máximo mais 9 níveis adicionais,

além de E = 1.024, que são: 512 (que é o nível 2, o nível da malha imediatamente mais

grossa, ou seja, h2Ω ), 256 (nível 3, ou seja, h4Ω ), 128 (nível 4, ou seja, h8Ω ), 64 (nível 5, ou

seja, h16Ω ), 32 (nível 6, h32Ω ), 16 (nível 7, h64Ω ), 8 (nível 8, h128Ω ), 4 (nível 9, h256Ω ) e 2

(que é o nível 10, o nível da malha mais grossa que são dois elementos em cada direção com

um ponto interno, ou seja, h512Ω ).

Observou-se, que o número de níveis utilizado em diferentes direções podem mudar o

algoritmo de uma categoria para outra categoria. Por exemplo, para um problema de 2048x32

elementos e algoritmo EP-SE os números máximos de níveis são 11=xL e 5=yL . Ao

diminuirmos até o 4−máximoL teremos 7 níveis na direção x e somente um nível na direção y,

ou seja, o algoritmo neste caso é o SE e não mais o EP-SE. O objetivo destas simulações é

determinar o número ótimo de níveis para cada um dos algoritmos serão considerados

somente os número de níveis que não mudem de uma categoria para outra. A Tab. 5.8

apresenta as malhas utilizadas para a análise do ótimoL . Observou-se também que o máximoL

varia em função do algoritmo. Por exemplo, em uma malha com 262.144 elementos e razão

de aspecto 1/64 tem-se para o algoritmo de EP, máximoL = 12, tanto na direção x como na

direção y. Para estes mesmos dados o número máximo de níveis no algoritmo SE é de 7 níveis

na direção x e 1 um nível na direção y, pois o algoritmo SE engrossa em apenas uma direção e

somente até a malha torna-se isotrópica. Já para o algoritmo SEC, máximoL = 12 na direção x e

1 na direção y. Os algoritmos SE-EP e EP-SE têm no máximo 12 níveis na direção x e 6 na

direção y.

102

Tabela 5.8: Malhas utilizadas para determinar ótimoL .

Q Malhas 1/64 2049x33 4097x65 1/16 1025x65 2049x129 1/4 513x129 1025x257 1 257x257 513x513 4 129x513 257x1025 16 65x1025 129x2049 64 33x2049 65x4097

As Figs. 5.14 a 5.18 mostram a influência do número de níveis para a equação de

Laplace senoidal com 262.144 elementos, razões de aspecto (Q = 1/64, 1/16, 1/4, 1, 4, 16 e

64) e algoritmos (EP, SE, SEC, EP-SE e SE-EP). A razão de aspecto Q = 1 só é apresentada

na Fig. 5.14, pois para esta razão de aspecto utilizou-se somente o algoritmo EP. Em malhas

isotrópicas, ou seja, com Q = 1 não é necessário utilizar semi-engrossamento, já que o

objetivo do SE é tornar a malha isotrópica.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-1

100

101

102

103

L

Tem

po d

e C

PU (s

)

Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 1 Q = 4 Q = 16 Q = 64

Figura 5.14: Tempo de CPU versus número de níveis (L) para E = 262.144, EP e equação de

Laplace senoidal.

103

1 2 3 4 5 6 7

102

103

104

Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 4 Q = 16 Q = 64

Tem

po d

e C

PU (s

)

L

Figura 5.15: Tempo de CPU versus número de níveis para E = 262.144, SE e equação de Laplace senoidal.

6 7 8 9 10 11 12

101

102

Tem

po d

e C

PU (s

)

L

Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 4 Q = 16 Q = 64

Figura 5.16: Tempo de CPU versus número de níveis para E = 262.144, SEC e equação de Laplace senoidal.

104

4 5 6 7 8 9 10 11 12

100

101

102

Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 4 Q = 16 Q = 64

Tem

po d

e C

PU (s

)

L

Figura 5.17: Tempo de CPU versus número de níveis para E = 262.144, EP-SE e equação de

Laplace senoidal.

6 7 8 9 10 11 12

1

10

Tem

po d

e C

PU (s

)

L

Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 4 Q = 16 Q = 64

Figura 5.18: Tempo de CPU versus número de níveis para E = 262.144, algoritmo SE-EP e equação de Laplace senoidal.

Verifica-se nas Figs. 5.14 à 5.18 que os menores tempos de CPU ocorrem ao se

utilizar os níveis: máximoL , 1−máximoL e 2−máximoL . Observa-se também que tempo de CPU

aumenta à medida que se diminui o número de níveis. Pode-se verificar que quanto maior a

105

anisotropia, maior a influência do número de níveis sobre o tempo de CPU. Esta análise

também já foi realizada para outras equações nos trabalhos de Pinto et al. (2005); Pinto e

Marchi (2006) e Oliveira et al. (2006). Ambos concluíram que utilizar o número máximo de

níveis reduz o tempo de CPU. Portanto, para as equações de Laplace linear e Poisson optou-se

por utilizar o número máximo de níveis.

5.2.3 Comparação entre os algoritmos de engrossamento

As Figs. 5.19 a 5.21 apresentam uma comparação entre os diversos algoritmos para as

razões de aspecto Q = 1/64, 1/16, 1/4, 1, 4, 16 e 64 para as equações de Laplace senoidal,

Laplace linear e Poisson em uma malha com 262.144 elementos. Verifica-se nas figuras que,

para problemas anisotrópicos o algoritmo SE-EP de Zhang (2002) apresenta o menor tempo

de CPU entre os cinco algoritmos e para as razões de aspecto testadas. Pode-se notar que os

algoritmos EP e EP-SE ficam mais lentos à medida que se aumenta a razão de aspecto. Os

algoritmos SE e SEC são mais rápidos à medida que aumenta a razão de aspecto, mas nunca

melhores que o SE-EP. Em resumo, para os mesmos parâmetros (número de iterações

internas, razão de aspecto, número de níveis e tamanho do problema), dentre os cinco

algoritmos estudados tem-se que o tempo de CPU do algoritmo SE-EP é menor que o tempo

de CPU dos demais algoritmos (SE, SEC, EP-SE), exceto para problemas isotrópicos onde o

algoritmo EP apresenta bons resultados.

Zhang (2002) já havia constatado que o algoritmo partial semicoarsening (aqui

denominado de SE-EP) é mais rápido, se comparado ao EP para a equação de Poisson

bidimensional envolvendo razões de aspecto menores que a unidade (1/2, 1/4, 1/8 e 1/16) e

problemas com no máximo 1.048.576 elementos. Para o algoritmo SE-EP, também pode-se

verificar que a razão de aspecto não influencia significativamente o tempo de CPU, ao

contrário dos demais algoritmos. Pinto (2006) também fez esta mesma análise para a equação

de Laplace bidimensional envolvendo as razões de aspecto 1/1.024, 1, 2, 16, 128, 1024 e

8192.

106

1/64 1/16 1/4 1 4 16 64

0,1

1

10

100

1000

SE SEC EP EP-SE SE-EP

Tem

po d

e C

PU (s

)

Q


144.262=E e equação de Laplace senoidal.

1/64 1/16 1/4 1 4 16 640,1

1

10

100

SEC EP EP-SE SE-EP

Tem

po d

e C

PU (s

)

Q

Figura 5.20: Tempo de CPU versus razão de aspecto para diversas razões de aspecto, 144.262=E e equação de Laplace linear.

107

1/64 1/16 1/4 1 4 16 640,1

1

10

100

1000 SE SEC EP EP-SE SE-EP

Tem

po d

e C

PU (s

)

Q


144.262=E e equação de Poisson.

5.2.4 Influência do número de elementos (E)

Esta seção faz uma análise da influência do número de elementos sob o tempo de CPU

para a equação de Laplace senoidal. A Tab. 5.9 apresenta as malhas utilizadas para este

estudo.

Tabela 5.9: Malhas utilizadas para análise de E.

Q Malhas 1/64 513x9 2049x33 4097x65 8193x129 1/16 257x17 1025x65 2049x129 4097x257 1/4 129x33 513x129 1025x257 2049x513 1 65x65 257x257 513x513 1025x1025 4 33x129 129x513 257x1025 513x2049 16 17x257 65x1025 129x2049 257x4097 64 9x513 33x2049 65x4097 129x8193

As Figs. 5.22 e 5.23 apresentam o tempo de CPU em função da razão de aspecto para

os algoritmos EP, SE, SEC, SE-EP e EP-SE e a equação de Laplace senoidal para as razões de

108

aspecto Q = 64 e Q = 1/64, respectivamente. Verifica-se que para todos os algoritmos e razões

de aspecto em estudo o tempo de CPU aumenta à medida que aumenta o tamanho do

problema. Nota-se também que para razões de aspectos distintas da unidade o algoritmo SE-

EP teve o melhor desempenho para todos os valores E. Isto já era esperado, pois a idéia do

algoritmo SE-EP é primeiramente tornar a malha isotrópica onde o multigrid com EP

apresenta bons resultados. Os resultados obtidos para as equações de Laplace linear e Poisson

foram similares e encontram-se no Apêndice D.

104 105 106

10-2

10-1

100

101

102

103


Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura 5.22: Tempo de CPU versus E para Q = 64 e equação de Laplace senoidal.

104 105 106

10-2

10-1

100

101

102

103


Tem

po d

e C

PU (s

)

Número de elementos

Figura 5.23: Tempo de CPU versus E, para Q = 1/64 e equação de Laplace senoidal.

109

5.2.5 Análise de complexidade para a equação de Laplace senoidal

Para as malhas e razões de aspecto definidas na Tab. 5.9 fez-se uma análise da

complexidade dos algoritmos EP, SE, SEC, SE-EP e EP. Calculou-se o expoente p, obtido

pelo método dos mínimos quadrados, para a função dada por

pCPU NcNt =)( (5.1)

onde p representa a ordem do solver associado ao método empregado e c é um coeficiente

que depende de cada método e cada solver. N é o número de incógnitas do sistema e CPUt o

tempo de CPU.

Para o método multigrid ideal, 1=p , significando que o esforço computacional cresce

linearmente com o tamanho da malha (BRANDT, 1977; HIRSCH, 1988 e TROTTENBERG

et al., 2001). Assim, para um dado hardware e compilador, quanto menor for p, mais eficiente

é o algoritmo. As Tab. 5.10 e 5.11 apresentam ordens de p os coeficientes c dos ajustes de

curvas, respectivamente obtidos para os algoritmos em estudo. As malhas utilizadas na

construção das Tabs. 5.10 e 5.11 estão apresentadas na Tab. 5.9. Os espaços não preenchidos

nas Tabs. 5.10 e 5.11 referem-se às simulações cujo tempo de CPU foi muito alto e por este

motivo não foram realizadas.

Tabela 5.10: Valor da ordem (p) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento.

Algoritmos

Q

SE

SEC

EP

EP-SE

SE-EP

1/64 1,55 1,14 - - 1,04 1/16 1,83 1,36 1,04 1,04 1,04

¼ 1,97 1,61 1,03 1,03 1,05 1 - - 1,04 - - 4 1,97 1,61 1,04 1,04 1,05 16 1,92 1,36 1,05 1,05 1,06 64 1,70 1,19 - - 1,06

Na Tab. 5.10 observa-se que os menores valores de p ocorrem para os algoritmos EP,

EP-SE e SE-EP. Estes algoritmos são mais rápidos em relação ao SE e SEC por utilizarem um

número maior de níveis. Na Tab. 5.11 pode-se constatar que entre os algoritmos EP, EP-SE e

SE-EP, os coeficientes c são menores no algoritmo SE-EP. Portanto ele apresenta os menores

110

tempos de CPU conforme foi verificado nas Figs. 5.17 e 5.18. Para as equações de Laplace

linear e Poisson os resultados foram similares e podem ser encontrados no Apêndice D.

Na Tab. 5.10 observa-se também que os menores valores de p para os algoritmos SE e

SEC estão próximos de 1,5. Para o SE isto ocorre devido ao uso de poucos níveis. Por

exemplo, para uma malha de 2049x513, o SE engrossa somente a malha mais refinada. Para a

direção x tem-se 3 níveis (2049, 1025, 513). Na direção y tem-se um único nível com 513

variáveis. Portanto, na direção y aplicou-se singlegrid em uma malha bem refinada, logo a

taxa de convergência diminui ficando próxima à do singlegrid.

Tabela 5.11: Valor da ordem (c) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento.

Algoritmos

Q

SE

SEC

EP

EP-SE

SE-EP

1/64 2,48E-07 9,50E-06 - - 1,07E-061/16 2,91E-08 1,24E-06 3,89E-05 3,79E-05 1,07E-061/4 1,66E-08 1,61E-07 2,72E-05 2,71E-05 8,16E-071 - - 3,24E-07 - - 4 1,60E-08 1,45E-07 2,23E-05 2,27E-05 7,97E-0716 7,53E-09 1,08E-06 2,96E-05 2,89E-05 7,63E-0764 3,05E-08 4,57E-6 - - 7,54E-07

As Tabs. 5.12 à 5.14 apresentam o speed-up do algoritmo SE-EP em relação aos

algoritmos EP, SE, SEC e EP-SE para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e

Poisson em malha com 262.144 elementos. As malhas utilizadas nas Tabs. 5.12 à 5.14 estão

apresentadas na Tab. 5.9.

Definição 5.1: Speed-up é uma medida utilizada para determinar o aumento de velocidade

obtido durante a execução de um programa utilizando um algoritmo “A” em relação a sua

execução utilizando um algoritmo “B” (GALANTE, 2006). O speed-up é dado pela fórmula:

)Balgoritmo()Aalgoritmo(

CPU

CPUP t

tS = (5.2)

Por exemplo, para calcular o speed-up do algoritmo SE-EP em relação ao EP divide-

se o tempo de CPU do algoritmo A, neste caso EP pelo tempo de CPU do algoritmo (B) SE-

EP. Para a razão 1/64 tem-se 79,184426,0719,78

)EPSE()EP(

==−

=CPU

CPUP t

tS . Isto significa que o

111

algoritmo SE-EP é cerca de 180 vezes mais rápido que o EP para a malha e razão de aspecto

especificados.

Tabela 5.12: Speed-up do SE-EP em relação aos algoritmos: EP, SE, SEC, EP-SE para a equação de Laplace senoidal.

Q SE SEC EP EP-SE

1/64 184,79 21,69 1397,41 858,57 1/16 663,33 64,75 53,43 55,19 1/4 2786,57 273,70 4,41 4,53 4 1524,91 182,76 2,22 2,22 16 445,57 43,61 23,27 23,67 64 100,33 12,13 555,08 348,04

Tabela 5.13: Speed-up do SE-EP em relação aos algoritmos: EP, SE, SEC, EP-SE para a equação de Laplace linear.

Q SE SEC EP EP-SE

1/64 113,17 23,21 - - 1/16 481,35 46,30 38,94 39,32 1/4 2022,64 197,98 26,54 26,34 4 1904,43 193,34 24,51 24,95 16 452,36 44,46 36,58 36,62 64 111,05 22,03 - -

Tabela 5.14: Speed-up do SE-EP em relação aos algoritmos: EP, SE, SEC, EP-SE para a equação

de Poisson.

Q SE SEC EP EP-SE 1/64 162,50 21,91 - - 1/16 703,33 65,51 46,00 46,08 1/4 2725,26 247,33 44,61 26,28 4 2572,11 244,37 24,35 25,23 16 656,31 63,09 42,60 42,79 64 157,87 21,20 - -

Nas Tabs. 5.12 a 5.14 foram comparados o algoritmo SE-EP com os algoritmos EP,

SE, SEC e EP-SE. Verificou-se que para todas as razões de aspecto em estudo o algoritmo

SE-EP foi muito mais rápido comparado aos demais. Esta melhora no tempo de CPU foi entre

2 a 2.786 vezes, o que comprova a vantagem do uso deste algoritmo para problemas

anisotrópicos e para as razões de aspecto estudadas. Isto já era esperado, pois a idéia do

algoritmo SE-EP é transformar a malha anisotrópica em uma malha isotrópica, onde o método

multigrid converge bem. Os demais algoritmos mantêm a anisotropia, o que faz com que a

convergência do método multigrid se deteriore. Também observou-se que o speed-up varia de

112

acordo com a equação, isto ocorre devido o fato do tempo de CPU não ser o mesmo para

todas as equações.

A Tab. 5.15 apresenta o speed-up do algoritmo SEC em relação ao SE para as

equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson para uma malha anisotrópica com

262.144 elementos. O speed-up foi calculado através da Eq. (5.2). Neste caso o algoritmo “A”

é o SE e o algoritmo “B” SEC. Verifica-se que o algoritmo SEC é cerca de 10 vezes mais

rápido que o SE para as razões de aspecto em estudo para os casos estudados. O algoritmo de

SEC aplica o semi-engrossamento até a malha mais grossa possível, utilizando assim um

maior número de níveis do que o algoritmo de SE. Como já foi visto na seção 5.2.2, quanto

maior o número de níveis, menor o tempo de CPU. Portanto o algoritmo SEC apresenta um

menor tempo de CPU em relação ao SE.

Tabela 5.15: Speed-up do SEC em relação ao SE para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson.

Q Laplace senoidal Laplace linear Poisson

1/64 8,52 4,88 7,42 1/16 10,24 10,40 10,74 1/4 10,18 10,22 11,02 4 8,34 9,85 10,53 16 10,22 10,17 10,40 64 8,27 5,04 7,45


Neste capítulo foram resolvidos numericamente três problemas bidimensionais

lineares de condução de calor, governados pelas equações de Laplace e Poisson, com

condições de contorno de Dirichlet. Utilizou-se o esquema de aproximação CDS e o esquema

de correção CS do método multigrid geométrico. Foram apresentados cinco algoritmos

utilizados em problemas anisotrópicos: Engrossamento padrão (EP), semi-engrossamento

(SE), semi-engrossamento completo (SEC), engrossamento padrão seguido de semi-

engrossamento (EP-SE) e semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão (SE-EP).

Com base nos resultados obtidos neste capítulo, verificou-se que, para as equações e razões de

aspecto estudadas:

113

1) Para os mesmos parâmetros (v, Q, L e E) o algoritmo SE-EP apresentou um melhor

desempenho, isto é, um menor tempo de CPU entre os cinco algoritmos analisados

para os problemas anisotrópicos. A melhora no tempo de CPU ao utilizar-se SE-EP

está entre 2 a 2.786 vezes.

2) A variação da razão de aspecto resulta em grande variação do ótimoν para os algoritmos

EP, SE, SEC e EP-SE. Para o algoritmo SE-EP o ótimoν permanece constante em todas

as razões de aspecto.

3) A variação da razão de aspecto afeta significativamente o tempo de CPU para os

algoritmos EP, SE, SEC e EP-SE. Para o algoritmo SE-EP, a razão de aspecto não

influencia significativamente o tempo de CPU, desde que seja utilizado o mesmo

número de elementos.

4) Para todos os algoritmos de engrossamento analisados, máximoL apresenta um melhor

desempenho médio para qualquer razão de aspecto e qualquer tamanho de problema.

Quanto maior a anisotropia, maior a influência do número de níveis no tempo de CPU.

5) O ótimoν para cada equação varia de acordo com a oscilação da função. As equações de

Laplace linear e Poisson possuem a mesma oscilação nas direções x e y, portanto o

ótimoν é igual para todas as razões de aspecto. Para a equação de Laplace linear

4=ótimoν e para Poisson ótimoν = 3. A equação de Laplace senoidal é mais oscilatória

na direção y, portanto o ótimoν varia em função da razão de aspecto, sendo ótimoν = 2

para razões de aspecto menores que a unidade e ótimoν = 4 para razões de aspecto

maiores que a unidade.

6) O comportamento qualitativo dos parâmetros estudados, com exceção do ótimoν , é o

mesmo para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson.

7) Para os mesmos parâmetros (v, Q, L e E) o algoritmo SEC apresentou um melhor

desempenho, isto é, um menor tempo de CPU em relação ao SE para as malhas e

razões de aspecto estudadas. A melhora no tempo de CPU ao utilizar-se SEC está

entre 5 a 11 vezes.

114

5.4 PARÂMETROS COM MELHOR DESEMPENHO MÉDIO

Com base nos resultados obtidos neste capítulo obteve-se os seguintes parâmetros com

melhor desempenho médio que podem ser utilizados para problemas iguais ou similares aos

estudados.

Problemas bidimensionais lineares isotrópicos:

• Algoritmo: EP.

• Número de iterações internas: 2=ν .

• Número de níveis: máximoLL = .

Problemas bidimensionais lineares anisotrópicos:

• Algoritmo: SE-EP.

• Número de iterações internas: Para a equação de Laplace senoidal 2=ν para

problemas com razões de aspecto menores que a unidade e 4=ν para razões de

aspecto maiores que a unidade. Para a equação de Laplace linear 4=ν e para Poisson

3=ν , independente da razão de aspecto.

• Número de níveis: máximoLL = .

115

6 SEMI-ENGROSSAMENTO SEGUIDO DE ENGROSSAMENTO PADRÃO

O capítulo 5 apresenta um estudo de cinco algoritmos de engrossamento para

problemas com anisotropia geométrica: engrossamento padrão (EP), semi-engrossamento,

semi-engrossamento completo (SEC), engrossamento padrão seguido de semi-engrosamento

(EP-SE) e semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão (SE-EP). Dentre eles, o

algoritmo SE-EP foi o que apresentou melhor desempenho. O objetivo deste capítulo é fazer

um estudo mais detalhado deste algoritmo através da análise de outras malhas e razões de

aspecto. Também são analisados alguns parâmetros do método multigrid como solvers, tipos

de restrição, número de níveis e número de iterações internas visando uma otimização do

algoritmo. São utilizadas para isto, as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson

com condições de contorno de Dirichlet dadas pelas Eqs. (3.1) descritas detalhadamente na

seção 3.1.

Este capítulo está dividido da seguinte forma: a primeira seção apresenta os tipos de

restrição utilizados. A segunda seção apresenta os resultados numéricos obtidos: razão de

aspecto, número de elementos, análise de complexidade e uma análise dos parâmetros ótimos

(solvers, restrição e iterações internas). As últimas seções apresentam a conclusão do capítulo

e os parâmetros com melhor desempenho médio.

6.1 OPERADORES DE RESTRIÇÃO

Neste trabalho foram utilizados seis operadores de restrição: injeção (I), meia

ponderação (HW), ponderação completa (FW), meia ponderação geométrica (GHW),

ponderação geométrica completa (GFW) e ponderação parcial (PW). As restrições por

injeção, meia ponderação e ponderação completa podem ser encontradas na seção 2.3.3 do

livro TROTTENBERG et al., (2001). As restrições por ponderação geométrica, ponderação

geométrica completa e ponderação parcial são propostas neste trabalho para serem utilizadas

em problemas anisotrópicos. Apresenta-se a seguir a definição e a notação estêncil (stencil)

para cada tipo de restrição.

116

6.1.1 Injeção (I)

Entre os operadores de restrição conhecidos, um dos mais utilizados é o operador de

restrição por injeção (BRIGGS et al., 2000; TROTTENBERG et al., 2001; WESSELING,

1992). A restrição por injeção restringe apenas o ponto central (P) para a malha mais grossa.

A Fig. 6.1 apresenta uma malha correspondente a este processo. O ponto central (P) que será

injetado tem peso um. Sua notação estêncil é dada pela Eq. (6.1).

Figura 6.1: Nó utilizado para a restrição por injeção.

H

h

HhI

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000010000

(6.1)

6.1.2 Meia ponderação (HW)

A restrição por meia ponderação também é encontrada na literatura (BRIGGS et al.,

2000; TROTTENBERG et al., 2001; WESSELING, 1992). A restrição por meia ponderação

utiliza o ponto central (P) e também os quatro pontos vizinhos N, W, E e S. A Fig. 6.2

117

apresenta a malha correspondente a este processo. O ponto central (P) que será restrito tem

um peso maior em relação aos demais. Sua notação estêncil é dada pela Eq. (6.2).

Figura 6.2: Nós utilizados para a restrição por meia ponderação.

H

h

HhI

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

010141010

81 (6.2)

6.1.3 Ponderação completa (FW)

A restrição por ponderação completa pode ser encontrada em Briggs et al. (2000);

Trottenberg et al. (2001) e Wesseling (1992). A restrição por ponderação completa é feita

através de uma média ponderada entre o ponto central (P) e todos os pontos vizinhos (N, W,

E, S, NW, NE, SW e SE). Os pontos N, S, E e W recebem um peso maior em relação aos

demais, com exceção de P) conforme pode ser visto na Eq. (6.3). A Fig. 6.3 apresenta a malha

correspondente a este processo e a notação estêncil é dada pela Eq. (6.3).

118

H

h

HhI

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

121242121

161 (6.3)

Figura 6.3: Nós utilizados para a restrição por ponderação completa.

6.1.4 Meia ponderação geométrica (GHW)

É uma versão modificada da restrição por meia ponderação utilizada para problemas

anisotrópicos. No estêncil apresentado na Eq. (6.2) verifica-se que os pesos correspondentes

aos pontos N, S, L e W são iguais. Para problemas isotrópicos isto se justifica pelo fato de que

as distâncias entre cada ponto e o ponto central são iguais. Isto já não ocorre em problemas

anisotrópicos (Fig. 6.2). Logo, a idéia da meia ponderação geométrica é atribuir pesos de

acordo com a distância entre cada ponto e o ponto central, considerando a anisotropia da

malha dada pelo fator Q. Seu estêncil é dado por:

H

h

H

h

QQQ

QI

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

+=

00122100

441 (6.4)

119

onde y

x

hh

Q = , com xh e yh indicando o tamanho da malha nas direções x e y respectivamente.

Note que para o problema isotrópico, ou seja, 1=Q , tem-se a restrição por HW.

6.1.5 Ponderação geométrica completa (GFW)

É uma versão modificada da restrição por ponderação completa utilizada para

problemas anisotrópicos. Considera-se o peso de acordo com a anisotropia como em GHW.

Seu estêncil está apresentado pela Eq. (6.5). Note que para o problema isotrópico, ou seja,

1=Q , tem-se a restrição por FW.

H

h

H

h

QQQQ

QQQ

QI

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

2242

2

)26(21 (6.5)

6.1.6 Ponderação parcial (PW)

A ponderação parcial utiliza pesos somente na direção em que é realizado o

engrossamento. Apresenta-se a seguir os estênceis para o engrossamento na direção x e na

direção y, respectivamente:

H

h

H

hI⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000121000

41 e

H

h

H

hI⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

010020010

41 (6.6)

120

6.2 RESULTADOS NUMÉRICOS

Os dados de implementação foram os mesmos definidos na seção 3.3. Cerca de 1.000

simulações foram realizadas com as seguintes variantes: algoritmo SE-EP; equações: (Laplace

senoidal, Laplace linear e Poisson); tipos de restrição: (injeção, meia ponderação, ponderação

completa, meia ponderação geométrica, ponderação geométrica completa e ponderação

parcial); número de elementos E = (4, 16, 64, 256, 1.024, 4.096, 16.384, 65.536, 262.144,

1.048.576, 4.194.304, 16.777.216 e 67.108.864); razões de aspecto Q = (1/16.384, 1/4.096,

1/1.024, 1/256, 1/64, 1/16, 1/4, 1, 4, 16, 64, 256, 1.024, 4.096 e 16.384). A tabela com as

malhas utilizadas encontra-se no apêndice E.

Nesta seção, adotou-se o número máximo possível de níveis. São apresentados a

seguir os resultados mais representativos do estudo realizado.

6.2.1 Razão de aspecto (Q)

A Fig. 6.4 apresenta o tempo de CPU para o algoritmo SE-EP, diversas razões de

aspecto e equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson para problemas com

262.144 elementos. As simulações foram realizadas para todas as razões de aspectos definidas

na seção 6.2. Observa-se que algumas delas não estão representadas graficamente. Isto

ocorreu devido o fato de que para algumas razões de aspecto não foi possível atingir a

tolerância estabelecida. Verifica-se que o menor tempo de CPU é obtido em problemas

isotrópicos. Verifica-se também que o tempo de CPU varia de acordo com a razão de aspecto.

Para a equação de Laplace senoidal e razões de aspecto menores que a unidade o tempo de

CPU aumenta à medida que aumenta a anisotropia. Para as razões de aspecto maiores que a

unidade o tempo de CPU aumenta até 16≈Q e depois começa a diminuir, porém sempre é

maior que o isotrópico. Na equação de Laplace linear e razões de aspecto menores que a

unidade o tempo de CPU aumenta até 64/1≈Q . Para razões de aspecto maiores que a

unidade o tempo de CPU aumenta até 16≈Q e depois começa a diminuir. Para a equação de

Poisson o tempo de CPU aumenta à medida que aumenta a anisotropia, independentemente da

razão de aspecto ser maior ou menor que a unidade.

121

1/16384 1/4096 1/1024 1/256 1/64 1/16 1/4 1 4 16 64 256 1024 4096 163840,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Q

Tem

po d

e C

PU (s

)

Laplace senoidal Laplace linear Poisson

Figura 6.4: Tempo de CPU versus razão de aspecto para o algoritmo SE-EP, E = 262.144 para as

equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson com 1010−=ε .

Para a equação de Laplace linear esperava-se que o tempo de CPU fosse o mesmo para

as razões de aspecto simétricas, por exemplo, )16/1()16( === QtQt CPUCPU . A diferença

entre o tempo de CPU para as razões de aspecto simétricas ocorreu devido a imprecisão da

função CPU_time. Observou-se nas simulações que o número de ciclos (iterações externas)

realizado para as razões de aspecto simétricas é sempre o mesmo.

Verificou-se que com um 1010−=ε , não foi possível resolver o problema para todas as

razões de aspecto nas equações de Laplace linear e Poisson. Isto aconteceu devido o fato da

norma 2l começar a oscilar antes que esta tolerância fosse atingida. Utilizando uma tolerância

um pouco maior, 710−=ε , foi possível fazer uma análise mais geral, envolvendo todas as

razões de aspecto em estudo. A Fig. 6.5 apresenta o tempo de CPU obtido com esta

tolerância. Os demais parâmetros utilizados são os mesmos da Fig. 6.4.

122

1/16384 1/4096 1/1024 1/256 1/64 1/16 1/4 1 4 16 64 256 1024 4096 163840,1

0,2

0,3

0,4

Q

Tem

po d

e C

PU (s

)

Laplace senoidal Laplace linear Poisson

Figura 6.5: Tempo de CPU versus razão de aspecto o algoritmo SE-EP, E = 262.144 para as

equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson com 710−=ε .

Na Fig. 6.5 pode-se verificar que o menor tempo de CPU é obtido em problemas

isotrópicos. Verifica-se também que o tempo de CPU varia de acordo com a razão de aspecto.

Para todas as equações em estudo verifica-se que o tempo de CPU aumenta até certo ponto e

começa a decrescer para problemas muito anisotrópicos. De uma forma geral, pode-se

concluir que o algoritmo SE-EP apresenta os menores tempo de CPU para razões de aspecto

bem próximas da unidade ou muito distintas da unidade. Para as razões de aspecto

intermediárias o tempo de CPU é maior. Isto pode ser explicado pelo fato de que para

problemas anisotrópicos com malhas levemente alongadas )10( ≈< Q , o algoritmo SE-EP

comporta-se de forma muito semelhante ao problema isotrópico, onde o método multigrid

apresenta bons resultados. Por outro lado, para problemas anisotrópicos com malhas

fortemente alongadas )1( >>Q , o algoritmo SE-EP comporta-se de forma semelhante aos

problemas unidimensionais, devido à predominância do semi-engrossamento; e neste caso o

método multigrid também apresenta bons resultados.

As conclusões obtidas através da Fig. 6.5 são mais conclusivas, pois a tolerância foi

atingida para todas as razões de aspecto. Desta forma o comportamento do tempo de CPU em

função da razão de aspecto pode ser observado como um todo.

123

6.2.2 Número de elementos (E)

As Figs. 6.6 e 6.7 mostram a influência do número de elementos e da razão de aspecto

no tempo de CPU para o algoritmo de SE-EP para a equação de Laplace senoidal. A Fig.6.6

apresenta as razões de aspecto da forma 1≤Q e a Fig. 6.7 as razões 1≥Q .

100 101 102 103 104 105 106 107 108 10910-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Q = 1/1024 Q = 1/256 Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 1

Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura 6.6: Tempo de CPU versus número de elementos para 1≤Q , algoritmo SE-EP e equação de Laplace senoidal com 1010−=ε .

100 101 102 103 104 105 106 107 108 10910-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Q = 1 Q = 4 Q = 16 Q = 64 Q = 256 Q = 1024 Q = 4096 Q = 16384

Tem

po d

e C

PU

(s)

E

Figura 6.7: Tempo de CPU versus número de elementos para 1≥Q , algoritmo SE-EP e equação de Laplace senoidal com 1010−=ε .

124

Nas Figs. 6.6 e 6.7 verifica-se que a razão de aspecto não influencia significativamente

no tempo de CPU. Observa-se também que o tempo de CPU aumenta em função do tamanho

do problema. Os resultados obtidos para as equações de Laplace linear e Laplace senoidal

foram similares e estão apresentados nas Figs. 6.8 à 6.11. Para os gráficos referentes as

equações de Laplace senoidal e Poisson utilizou-se um número menor de razões de aspecto.

Isto foi necessário devido ao fato da tolerância não ser atingida para todas as razões de

aspecto em estudo. A partir de um certo número de iterações a norma 2l começa a oscilar

antes que a tolerância seja atingida.

100 101 102 103 104 105 106 107 108 10910-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Q = 1/16384 Q = 1/4096 Q = 1/1024 Q = 1/256 Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 1

Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura 6.8: Tempo de CPU versus número de elementos para 1≤Q , algoritmo SE-EP e equação de Laplace linear com 1010−=ε .

100 101 102 103 104 105 106 107 108 10910-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

Q = 1 Q = 4 Q = 16 Q = 64 Q = 256 Q = 1024 Q = 4096 Q = 16384

Tem

po d

e C

PU

(s)

E

Figura 6.9: Tempo de CPU versus número de elementos para 1≥Q , algoritmo SE-EP e equação de Laplace linear com 1010−=ε .

125

100 101 102 103 104 105 106 10710-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Q = 1/1024 Q = 1/256 Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 1

Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura 6.10: Tempo de CPU versus número de elementos para 1≤Q , algoritmo SE-EP e equação de Poisson com 1010−=ε .

100 101 102 103 104 105 106 107 10810-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Q = 1 Q = 4 Q = 16 Q = 64 Q = 256 Q = 1024 Q = 4096

Tem

po d

e C

PU

(s)

E


equação de Poisson com 1010−=ε .

126

6.2.3 Análise de complexidade para o algoritmo SE-EP

Esta subseção faz uma análise da complexidade do algoritmo SE-EP para as equações

de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson. As malhas utilizadas nesta análise são

apresentadas no Apêndice E. Calculou-se o coeficiente c e o expoente p, obtido pelo método

dos mínimos quadrados, para a função dada pela Eq. (5.1) apresentada na seção 5.2.5.

A Tab. 6.1 apresenta os coeficientes c e as ordens p dos ajustes de curvas obtidos para

o algoritmo SE-EP e as três equações em estudo. Verifica-se que todos os coeficientes p são

próximos de um, para todas as razões de aspecto, tanto em problemas isotrópicos como em

problemas anisotrópicos. Isto indica que o algoritmo SE-EP está bem próximo do método

multigrid ideal. Os espaços da tabela que não foram preenchidos referem-se a problemas onde

a tolerância estabelecida não foi atingida.

Tabela 6.1: Valores de c e p para Eq. (5.1) e algoritmo SE-EP.

Laplace senoidal Laplace linear Poisson Q c p c p c p

1/16384 - - 4,24E-07 1,09 - - 1/4096 - - 5,41E-07 1,08 - - 1/1024 9,93E-08 1,28 7,33E-07 1,06 1,29E-07 1,27 1/256 1,03E-06 1,03 9,12E-07 1,05 2,04E-07 1,23 1/64 9,54E-07 1,03 7,47E-07 1,06 4,12E-07 1,15 1/16 9,23E-07 1,03 7,48E-07 1,06 7,97E-07 1,08 1/4 6,43E-07 1,05 6,50E-07 1,06 4,93E-07 1,11 1 2,56E-07 1,06 2,51E-07 1,06 2,73E-07 1,06 4 5,82E-07 1,07 5,83E-07 1,07 4,26E-07 1,12 16 5,90E-07 1,08 5,99E-07 1,07 5,41E-07 1,10 64 5,52E-07 1,08 5,56E-07 1,08 4,53E-07 1,12 256 4,34E-07 1,09 4,29E-07 1,10 1,89E-07 1,20 1024 3,69E-07 1,10 3,66E-07 1,10 2,30E-06 0,92 4096 2,39E-07 1,13 2,42E-07 1,12 - - 16384 2,05E-07 1,13 2,13E-07 1,13 - -

6.2.4 Análise dos parâmetros ótimos para o algoritmo dois estágios

A idéia do algoritmo SE-EP é aplicar o semi-engrossamento até a malha tornar-se

isotrópica e em seguida aplicar o engrossamento padrão. Como são utilizados dois sub-

127

algoritmos diferentes (algoritmo dois estágios) dentro do algoritmo principal, os parâmetros

ótimos podem diferir para cada um deles se o estudo for feito separadamente. Nesta etapa do

trabalho fez-se o estudo dos seguintes parâmetros: solvers (Gauss-Seidel lexicográfico e red-

black) e tipo de restrição (injeção, meia ponderação, ponderação completa, meia ponderação

geométrica, ponderação geométrica completa e ponderação parcial), para cada algoritmo em

particular. Primeiramente foram fixados os parâmetros referentes ao EP: solver Gauss-Seidel

lexicográfico e restrição por injeção. Foi realizada uma seqüência de simulações com

variações do solver e do tipo de restrição para o SE. Desta forma, verificou-se para o solver

Gauss-Seidel lexicográfico qual tipo de restrição apresenta o menor tempo de CPU. O mesmo

processo foi repetido para o solver Gauss-Seidel red-black. Os parâmetros ótimos

determinados foram fixados neste bloco. Em seguida foi feita a mesma análise para o

algoritmo EP, determinado também qual o melhor solver e tipo de restrição para este bloco.

Tendo os parâmetros ótimos para cada bloco, estes foram fixados e na seqüência foi realizada

uma análise do número de iterações internas, número de níveis e complexidade do algoritmo

ótimo.

Estudo dos solvers e tipos de restrição

O estudo de solvers e tipos de restrição foi realizado para as equações de Laplace

senoidal, Laplace linear e Poisson. Para cada equação foram fixados os parâmetros referentes

ao EP: solver Gauss-Seidel lexicográfico e restrição por injeção. Foi realizada uma seqüência

de simulações variando o solver e o tipo de restrição para o bloco do SE. As Tab. 6.2 e 6.3

apresentam o tempo de CPU em segundos (s) obtido para as malha 2049x129 e 129x2049,

respectivamente. Para o solver GS-RB não utilizou-se restrição por injeção pois este solver

não converge quando associado à restrição por injeção devido ao raio espectral não ser

limitado (TROTTENBERG et al. (2001).

Verifica-se nas Tabs. 6.2. e 6.3, para todas as equações, que o menor tempo de CPU

foi obtido para o solver GS-RB e restrição por ponderação parcial. As restrições meia

ponderação geométrica e ponderação geométrica completa apresentam menor tempo de CPU

em relação à meia ponderação e a ponderação completa. Por exemplo, para a razão de aspecto

1/16 a meia ponderação geométrica é cerca de quatro vezes mais rápida que a meia

ponderação e a meia ponderação geométrica completa é cerca de três vezes mais rápida que a

128

ponderação completa, para esta mesma razão. No entanto elas perdem para a ponderação

parcial, sendo esta mais indicada para problemas anisotrópicos.

A seguir foi feita uma análise do algoritmo EP fixando-se para o SE os parâmetros

ótimos obtidos no passo anterior (GS-RB e PW). As Tabs. 6.4 e 6.5 apresentam o tempo de

CPU em segundos (s) obtido para as malha 2049x129 e 129x2049, respectivamente. Vale

lembrar que ao aplicar o EP a malha já é isotrópica, portanto são utilizados somente as

restrições I, HW e FW. Verifica-se nas Tabs. 6.4. e 6.5 que o menor tempo de CPU foi obtido

para o solver GS-RB. O tipo de restrição não influencia significativamente o tempo de CPU.

Tabela 6.2: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco SE, malha 2049x129 e Q = 1/16.

Laplace Senoidal Laplace Linear Poisson Restrição Solver Solver Solver

GS-LEX GS-RB GS-LEX GS-RB GS-LEX GS-RB I 0,411 - 0,476 - 0,424 -

HW 2,820 2,844 3,086 2,840 3,238 3,090 FW 16,328 10,766 9,469 5,711 7,109 4,438 PW 0,309 0,265 0,461 0,278 0,354 0,305

GHW 0,667 0,563 0,844 0,618 0,857 0,671 GFW 5,836 1,781 5,156 1,906 5,930 2,025

Tabela 6.3: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco SE, malha 129x2049 e Q = 16.


GS-LEX GS-RB GS-LEX GS-RB GS-LEX GS-RB I 0,431 - 0,432 - 0,470 -

HW 0,871 1,701 2,828 3,055 0,802 1,507 FW 3,258 6,797 8,805 6,078 3,396 4,854 PW 0,433 0,295 0,432 0,297 0,403 0,237

GHW 0,437 0,428 0,792 0,671 0,412 0,389 GFW 1,513 1,549 4,823 2,050 1,522 1,643

Tabela 6.4: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco EP, malha 2049x129 e Q = 1/16.


GS-LEX GS-RB GS-LEX GS-RB GS-LEX GS-RB I 0,263 0,260 0,279 - 0,316 -

HW 0,267 0,260 0,280 0,274 0,313 0,301 FW 0,265 0,261 0,335 0,277 0,301 0,304

129

Tabela 6.5: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco EP, malha 129x2049 e Q = 16.



HW 0,294 0,291 0,300 0,293 0,237 0,229 FW 0,297 0,292 0,359 0,294 0,282 0,233

Fazendo uma análise dos dois blocos do algoritmo SE e EP concluiu-se que o solver

GS-RB associado à restrição por ponderação parcial apresenta o menor tempo de CPU para

ambos os blocos. Em relação ao tipo de restrição para o SE o menor tempo de CPU obtido ao

utilizar restrição por ponderação parcial. Para o bloco EP o tipo de restrição não afeta

significativamente o tempo de CPU.

A análise também foi realizada para problemas isotrópicos. O algoritmo utilizado

neste caso é o EP. A Tab. 6.6 apresenta o tempo de CPU obtido para uma malha 513x513.

Verifica-se que o menor tempo de CPU é obtido com o uso do solver GS-RB e que o tipo de

restrição não afeta significativamente o tempo de CPU.

Tabela 6.6: Tempo de CPU (s) para a análise do bloco EP, malha 513x513 e Q = 1.



HW 0,154 0,079 0,151 0,078 0,144 0,077 FW 0,172 0,078 0,173 0,080 0,171 0,078

Os parâmetros ótimos obtidos para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e

Poisson, algoritmo EP e SE-EP, para problemas isotrópicos e anisotrópicos, respectivamente,

foram:

• Para problemas isotrópicos, ou seja, Q = 1, o solver que apresentou o menor tempo de

CPU foi o Gauss-Seidel red-black. O tipo de restrição não afeta significativamente o

tempo de CPU.

• Para problemas anisotrópicos, ou seja, Q ≠ 1, o solver Gauss-Seidel red-black

apresentou o menor tempo de CPU para os dois blocos do algoritmo (SE e EP). Para o

bloco do SE o melhor tipo de restrição foi a ponderação parcial. Para o bloco do EP o

tipo de restrição não afetou significativamente o tempo de CPU.

130

Verifica-se que o tempo de CPU utilizando os parâmetros ótimos é muito próximo

para as três equações em estudo. Neste trabalho denomina-se algoritmo ótimo o algoritmo que

utiliza o solver e o operador de restrição que obtiveram o menor tempo de CPU. Para

problemas isotrópicos ele é denominado de EP ótimo e para problemas anisotrópicos de SE-

EP ótimo. Os algoritmos EP e SE-EP com os parâmetros utilizados no capítulo 5 são

denotados por EP padrão e SE-EP padrão. A Tab. 6.7 apresenta os parâmetros (solvers,

restrição e ν ) utilizados nos algoritmos SE-EP padrão (utilizado como referência) e SE-EP

ótimo. A Tab. 6.8 apresenta os parâmetros (solvers, restrição e ν ) utilizados nos algoritmos

EP e EP ótimo.

Tabela 6.7: Parâmetros para os algoritmos SE-EP padrão e SE-EP ótimo.

SE-EP padrão SE-EP ótimo Solver GS-LEX GS-RB

Restrição Injeção PW para o SE FW para o EP

Número de iterações internas LS: ν = 2 para Q <1

ν = 4 para Q>1 LL: ν = 4 para ∀Q Po: ν = 3 para ∀Q

1

Tabela 6.8: Parâmetros para os algoritmos EP e EP ótimo.

EP EP ótimo Solver GS-LEX GS-RB

Restrição Injeção PW

Número de iterações internas 2 2

Os parâmetros referentes ao solver e tipo de restrição apresentados nas Tabs. 6.7 e 6.8

são os valores ótimos obtidos para os algoritmos SE-EP ótimo e EP ótimo. O número de

iterações internas utilixado foi o valor ótimo obtido para o algoritmo SE-EP. Na seqüência é

apresentada a análise do número de iterações internas para o algoritmo SE-EP.

131

Estudo do número de iterações internas (ν)

Nesta subseção é feita uma análise do ótimoν para os algoritmos SE-EP ótimo e EP

ótimo. Utilizam-se os parâmetros ótimos obtidos acima. Para o EP, optou-se pela restrição por

ponderação completa. Denota-se por EPν o número de iterações internas para o EP e SEν o

número de iterações internas para o SE. O ótimov é determinado através de uma combinação de

EPν e SEν . Verifica-se que para Q < 1 tem-se EPν = SEν = 1 e para Q > 1 tem-se EPν = 2 e

SEν = 1. Apesar dos valores de ν serem diferentes para Q > 1 também pode-se utilizar EPν =

SEν = 1, visto que o acréscimo no tempo de CPU é pequeno. Por exemplo, em uma malha de

262.144 elementos este acréscimo é de 0,14; 0,02 e 0,001 segundo para Q = 4, 16 e 64,

respectivamente.

As Fig. 6.12 e 6.13 apresentam o estudo do ν para o algoritmo SE-EP ótimo para a

equação de Laplace senoidal. Considera-se um problema com 262.144 elementos e razões

64/1=Q (Fig. 6.11) e Q = 64 (Fig. 6.12). Para as duas razões de aspecto, verifica-se que o

menor tempo de CPU é obtido para EPν = SEν = 1. O estudo do ν também foi realizado para

as razões de aspecto Q = 1/16, 1/4, 4 e 16. Os resultados obtidos foram similares.

Observou-se que para o algoritmo SE-EP ótimo, o ótimov é o mesmo para todas as

equações em estudo e para qualquer 1≠Q , ou seja, a oscilação da função devido as condições

de contorno não interfere em ótimov . Vale lembrar que para o algoritmo SE-EP padrão, o

ótimov varia de acordo com a equação. Também em relação ao algoritmo SE-EP quando a

oscilação da equação não for igual nas duas direções obtém-se um ótimov diferente para razões

de aspecto menores que a unidade e maiores que a unidade. O algoritmo proposto nesta tese,

SE-EP ótimo é mais estável possuindo um único ótimov para todas as equações e razões de

aspecto em estudo. Para o algoritmo EP ótimo também obteve-se o mesmo ótimov para todas as

equações em estudo.

132

1 2 3 4 5

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

νEP = 1 νEP = 2 νEP = 3 νEP = 4 νótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

νSE Figura 6.12: Tempo de CPU versus EPν para Q = 1/64, E = 262.144, SE-EP ótimo e equação de

Laplace senoidal.

1 2 3 40,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

νEP = 1 ν

EP = 2

νEP = 3 νEP = 4 νótimo

Tem

po d

e C

PU

(s)

νSE Figura 6.13: Tempo de CPU versus EPν para Q = 64, E = 262.144, SE-EP ótimo e equação de

Laplace senoidal.

A Fig. 6.14 apresenta o estudo do ν para o algoritmo EP ótimo para as equações de

Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson. Considera-se um problema com 262.144

elementos e uma malha isotrópica (Q = 1). Verifica-se que para todas as equações em estudo

o menor tempo de CPU é obtido para ν = 2.

133

0 2 4 6 8 10

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

ν

Tem

po d

e C

PU (s

)

Laplace senoidal Laplace linear Poisson νótimo

Figura 6.14: Tempo de CPU versus ν para Q = 1, E = 262.144, EP ótimo para as equações de

Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson.

Estudo do número de níveis (L)

Nesta seção é feita uma análise do número de níveis para a equação de Laplace

senoidal. Utiliza-se as mesmas malhas e razões de aspecto utilizadas no estudo do ótimoν .

O algoritmo SE-EP possui os seguintes parâmetros ótimos (solver GS-RB para ambos

os blocos; restrição por ponderação parcial para o bloco do SE e restrição por ponderação

completa para o bloco do EP).

A Fig. 6.15 apresenta o tempo de CPU versus número de níveis para a equação de

Laplace senoidal, algoritmo SE-EP ótimo e um problema com 262.144 elementos. Verifica-se

que os menores tempos de CPU ocorrem ao se utilizar um número maior de níveis:

1, −máximomáximo LL ou 2−máximoL . Utilizando estes números de níveis, a razão de aspecto não

afeta significativamente o tempo de CPU. Verifica-se que ao utilizar um número menor de

níveis a razão de aspecto interfere no tempo de CPU. Para Q = 1, utiliza-se o algoritmo EP,

mais adequado para problemas isotrópicos.

134

4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,1

1

10

Tem

po d

e C

PU (s

)

L

Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 1 (EP) Q = 4 Q = 16 Q = 64


ótimo e equação de Laplace senoidal.

A Fig. 6.16 apresenta o gráfico da Fig. 6.15 em uma escala linear. Desta forma pode-

se verificar que quanto mais anisotrópico for o problema ( 10 <<< Q e 1>>Q ), maior a

influência do número de níveis sobre o tempo de CPU.

4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

10

20

30

Tem

po d

e C

PU (s

)

L

Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 1 (EP) Q = 4 Q = 16 Q = 64


ótimo e equação de Laplace senoidal.

135

Comparação entre os algoritmos

Nas Figs. 6.17 e 6.18 são feitas comparações entre os algoritmos SE-EP padrão e SE-

EP ótimo para a equação de Laplace Senoidal. A Fig. 6.17 apresenta a razão de aspecto

64/1=Q e a Fig. 6.18 a razão Q = 64. Verifica-se que o algoritmo SE-EP ótimo obteve um

menor tempo de CPU em relação ao SE-EP padrão. Esta redução no tempo de CPU é em

média 2,3 vezes. Os resultados foram similares para outras razões de aspecto e para as três

equações em estudo. Os coeficientes angulares obtidos na linearização dos dados das Figs.

6.17 e 6.18 encontram-se na Tab. 6.11.

Na Fig. 6.19 faz-se uma comparação entre os algoritmos EP e EP ótimo para a

equação de Laplace senoidal e Q = 1. Verifica-se que o tempo de CPU do algoritmo EP ótimo

é menor em relação ao EP. Os resultados obtidos para as equações de Laplace linear e Poisson

são similares e encontram-se no Apêndice E.

104 105 1061E-3

0,01

0,1

1

SE-EP (padrão) SE-EP (ótimo)

Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura 6.17: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP, 64/1=Q e equação de Laplace senoidal.

136

104 105 1061E-3

0,01

0,1

1


Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura 6.18: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP, Q = 64, equação de Laplace senoidal.

104 105 106

1E-3

0,01

0,1

1

EP (padrão) EP (ótimo)

Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura 6.19: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo EP e equação de Laplace senoidal e Q = 1.

137

Singlegrid versus multigrid

Esta seção tem por objetivo comparar o desempenho dos métodos singlegrid (SG) e

multigrid (MG) em problemas isotrópicos e anisotrópicos. O estudo foi realizado para a

equação de Laplace senoidal. Primeiramente é feita a descrição dos parâmetros utilizados em

problemas isotrópicos. Para ambos os métodos, singlegrid e multigrid foram consideradas as

malhas N = 3x3, 5x5, 9x9, 17x17, 33x33, 65x65, 129x129, 257x257 e 513x513. Para o

método singlegrid foram utilizados os solvers GS-LEX e GS-RB. Para o método multigrid

foram consideradas duas variações: multigrid com algoritmo EP e EP ótimo. Os parâmetros

para o MG são os mesmos utilizados no capítulo 5 (GS-LEX e restrição por injeção) e os

valores ótimos obtidos: máximoL e 2=ν . Para o EP ótimo foram utilizados os parâmetros GS-

RB, restrição por ponderação completa, máximoL e 2=ν .

A Fig. 6.20 mostra os resultados obtidos para a equação de Laplace senoidal

considerando-se malhas isotrópicas. Verifica-se que o método EP (multigrid) é

significativamente mais rápido que o SG, cerca de sete mil vezes para uma malha 513x513

(comparando-se SG (GS-LEX) e EP). Analisando o método SG, foi verificado que para uma

malha 513x513, o SG (GS-RB) é cerca de três vezes mais rápido em relação ao SG (GS-

LEX). Para o método multigrid verificou-se que o EP ótimo é mais rápido que o EP padrão,

cerca de 2 vezes para uma malha 513x513. Pode-se concluir que o multigrid com EP é muito

mais rápido que o SG para problemas isotrópicos.

102 103 104 10510-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

SG: GS-LEX SG: GS-RB EP (ótimo) EP (padrão)

Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura 6.20: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para um problema isotrópico e equação de Laplace senoidal.

138

A seguir apresenta-se uma comparação dos métodos SG (GS-LEX e GS-RB) e MG

(SE-EP padrão e SE-EP ótimo) para a equação de Laplace senoidal e malhas anisotrópicas.

Foram utilizadas as razões de aspecto Q = 1/64, 1/16, 16 e 64 e as malhas N = 129x3, 257x5,

513x9, 1025x17 e 2049x33. Para o método SG foram considerados os mesmos parâmetros

definidos para problemas isotrópicos. Para o SE-EP ótimo foram utilizados o algoritmo SE-

EP, solver GS-RB, restrição por ponderação parcial para o SE e ponderação completa para o

EP, máximoL e 1=ν . A Fig. 6.21 mostra os resultados obtidos para a razão de aspecto

64/1=Q . Verifica-se que o método SE-EP ótimo é significativamente mais rápido que o SG

(GS-RB), cerca de nove mil vezes para uma malha 2049x33. Analisando o método SG foi

verificado que para uma malha 2049x33, o SG (GS-RB) é cerca de duas vezes mais rápido em

relação ao SG (GS-LEX). Verifica-se também que o algoritmo SE-EP ótimo é cerca de três

vezes mais rápido que o algoritmo SE-EP padrão para uma malha 2049x33. Pode-se concluir

que o método multigrid com SE-EP é muito mais rápido que o SG também para problemas

anisotrópicos.

102 103 104 105

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

SG: GS-LEX SG: GS-RB SE-EP ótimo SE-EP padrão

Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura 6.21: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para um problema anisotrópico com Q = 1/64, e equação de Laplace senoidal.

A eficiência do algoritmo SE-EP ótimo em relação ao SG: GS-RB pode ser verificada

através do speed-up. O speed-up foi calculado através da Eq. (5.2). Neste caso o algoritmo

139

“A” é o SG: GS-RB e o algoritmo “B” SE-EP ótimo, ou seja, )ótimoEPSE(

)RB-GS :SG(−

=CPU

CPUP t

tS . A

Tab. 6.9 apresenta o speed-up do método singlegrid com solver Gauss-Seidel red-black (SG:

GS-RB) em relação ao método multigrid (SE-EP ótimo) para problemas isotrópicos e

anisotrópicos e malhas com 256, 1.024, 4.096 e 16.384 elementos. Pode-se verificar que o

SE-EP ótimo é mais rápido em relação ao SG: GS-RB para todas as malhas em estudo. Tanto

para problemas isotrópicos como para problemas anisotrópicos. Verifica-se também que

ganho no tempo de CPU é maior para problemas anisotrópicos do que para problemas

isotrópicos. Os valores não preenchidos na Tab. 6.9 referem-se ao tempo de CPU muito

próximo de zero, onde não foi possível calcular o speed-up.

Tabela 6.9: Speed-up do SG: GS-RB em relação SE-EP ótimo para a equação de Laplace senoidal.

E Problema isotrópico (Q = 1) Problema anisotrópico (Q = 1/64)

256 - 645,62 1.024 - 1946,00 4.096 152 5578,00 16.384 470 22397,17 65.536 1952,23 93204,51

Análise de complexidade

Para as malhas e razões de aspecto definidas na Tab. 5.9 fez-se uma análise da

complexidade do algoritmo SE-EP ótimo e as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e

Poisson. Os espaços não preenchidos nas Tab.s 6.10 e 6.11 são referentes as simualções que

não atngiram a tolerância estabelecida. Calculou-se o coeficiente c e o expoente p, obtido pelo

método dos mínimos quadrados, para a Eq. 5.1. A Tab. 6.10 apresenta os coeficientes c e as

ordens p dos ajustes de curvas obtidos para os algoritmos em estudo. Verifica-se que todas as

ordens p são próximas de 1, para todas as razões de aspecto, o que indica que o algoritmo SE-

EP ótimo está bem próximo do método multigrid ideal.

140

Tabela 6.10: Valores de c e p para Eq. (5.1) e algoritmo SE-EP ótimo.

Laplace senoidal Laplace linear Poisson Q c p C p c p

1/64 5,75E-07 1,02 - - - - 1/16 5,47E-07 1,03 2,76E-07 1,07 5,35E-07 1,03

1 1,14E-07 1,09 9,70E-04 1,09 1,16E-07 1,09

16 2,38E-07 1,08 5,28E-07 1,03 2,35E-07 1,08

64 2,61E-07 1,07 - - - -

A Tab. 6.11 faz uma comparação entre o coeficiente c e a ordem p para a equação de

Laplace senoidal obtidos com os algoritmos SE-EP padrão e SE-EP ótimo. Verifica-se que

todas as ordens p são próximas de 1, para todas as razões de aspecto, o que indica que os dois

algoritmos (SE-EP padrão e SE-EP ótimo) estão bem próximos do método multigrid ideal.

Tabela 6.11: Valores de c e p para SE-EP padrão e SE-EP ótimo e equação de Laplace senoidal.

Q C p SE-EP padrão SE-EP ótimo SE-EP padrão SE-EP ótimo

1/64 1,24E-06 5,75E-07 1,02 1,02 1/16 1,51E-06 5,47E-07 1,00 1,03

1 3,32E-07 1,14E-07 1,04 1,09 16 7,67E-07 2,38E-07 1,06 1,08 64 4,07E-07 2,61E-07 1,11 1,07

A eficiência do algoritmo SE-EP ótimo em relação ao SE-EP padrão pode ser

verificada através do speed-up. O speed-up foi calculado através da Eq. (5.2). Neste caso o

algoritmo “A” é o SE-EP padrão e o algoritmo “B” SE-EP ótimo (com o número ótimo de

iterações internas), ou seja, )ótimoEPSE()padrãoEPSE(

−−

=CPU

CPUP t

tS . A Tab. 6.12 apresenta o speed-up

para uma malha com 262.144 elementos para algumas malhas definidas na Tab. 5.9. O

algoritmo SE-EP ótimo reduz o tempo de CPU em uma média 2,3 vezes em relação ao

algoritmo SE-EP padrão.

Tabela 6.12: Speed-up do SE-EP padrão em relação SE-EP ótimo.

Q Laplace senoidal Laplace linear Poisson 1/16 2,66 2,68 2,51

1 1,87 1,87 2,03 16 2,28 2,18 2,88

141

Através dos resultados obtidos nas simulações conclui-se que para problemas

isotrópicos ( )1=Q , o menor tempo de CPU é obtido com o uso do algoritmo EP, solver

Gauss-Seidel red-black e ν = 2. O tipo de restrição não afetou significativamente o tempo de

CPU. Para problemas anisotrópicos ( )1≠Q , o menor tempo de CPU é obtido com o uso do

algoritmo SE-EP, solver Gauss-Seidel red-black. Para o SE restrição por ponderação parcial e

para o EP restrição por ponderação completa e ν = 1, tanto para o SE como para o EP, ou

seja, o algoritmo SE-EP ótimo.

6.3 COMPARAÇÃO COM A LITERATURA

A literatura apresenta vários estudos envolvendo problemas anisotrópicos e algoritmos

de engrossamento. Zhang (2002) aborda problemas anisotrópicos acoplando-se a técnica de

semi-engrossamento seguida de engrossamento padrão (engrossamento em ambas as direções)

intitulado como “partial semicoarsening”. Foram feitas comparações para a equação de

Poisson bidimensional com a técnica denominada de engrossamento padrão (full coarsening).

Zhang (2002) comparou estas técnicas para as razões de aspecto =Q 1, 1/2, 1/4, 1/8 e 1/16

(razões de aspecto modestas) e as malhas com E = 4.096, 8.192, 16.384, 32.768, 65.536,

131.072, 262.144, 524.288 e 1.048.576. Zhang constatou que o algoritmo partial

semicoarsening com os suavizadores red-black e four-color Gauss-Seidel são eficientes para

as anisotropias estudadas.

Este trabalho confirma os resultados obtidos por Zhang para as equações de Laplace

senoidal, Laplace linear e Poisson, porém utilizando-se as razões de aspecto Q = 1/16384,

1/4096, 1/1024, 1/256, 1/64, 1/16, 1/4, 1, 4, 16, 64, 256, 1.024, 4.096, 16.384 e as malhas

4=E , 16, 64, 256, 1.024, 4.096, 16.384, 65.536, 262.144, 1.048.576, 4.194.304, 16.777.216

e 67.108.864. Também foram propostos outros tipos de restrição (meia ponderação

geométrica, ponderação geométrica completa e ponderação parcial) além de serem utilizados

os tipos de restrição já existentes na literatura (injeção, meia ponderação e ponderação

completa). Verificou-se também o solver, ν e tipo de restrição mais apropriados para cada

bloco do algoritmo SE-EP.

142


Neste capítulo foram resolvidos numericamente três problemas bidimensionais

lineares de condução de calor, governados pelas equações de Laplace e Poisson, com

condições de contorno de Dirichlet. Utilizou-se o esquema de aproximação CDS e o esquema

de correção CS do método multigrid geométrico. Foram apresentados seis tipos de restrição

em problemas anisotrópicos: injeção (I), meia ponderação (HW), ponderação completa (FW),

meia ponderação geométrica (GHW), ponderação geométrica completa (GFW) e ponderação

parcial (PW). Com base nos resultados obtidos neste capítulo, verificou-se que, para as

equações estudadas:

1) Para os mesmos parâmetros (ν, Q, L e E), o algoritmo SE-EP ótimo apresentou um

menor tempo de CPU comparado ao SE-EP padrão. A melhora no tempo de CPU ao

utilizar-se SE-EP ótimo está entre duas e três vezes.

2) Para todos os algoritmos de engrossamento analisados o máximoL resulta praticamente

no menor tempo de CPU para qualquer razão de aspecto e qualquer tamanho de

problema. Quanto maior a anisotropia, maior a influência do número de níveis sobre o

tempo de CPU.

3) Para problemas isotrópicos ( 1=Q ) o tipo de restrição não afeta significativamente o

tempo de CPU. As restrições meia ponderação geométrica e ponderação geométrica

completa convergem mais rapidamente em relação à meia ponderação e a ponderação

completa para problemas anisotrópicos. A restrição por ponderação parcial apresenta

entre todos os operadores de restrição, o menor tempo de CPU para os problemas

anisotrópicos.

4) Para o algoritmo SE-EP ótimo obteve-se um único ótimov para todas as equações em

estudo e para qualquer 1≠Q . O menor tempo de CPU foi obtido para SEν = EPν = 1.

5) Para problemas isotrópicos o menor tempo de CPU é obtido com ν = 2 e algoritmo

EP.

6) Para os métodos singlegrid e multigrid, problemas isotrópicos e anisotrópicos o solver

Gauss-Seidel red-black é significativamente mais rápido que o Gauss-Seidel

lexicográfico.

7) O método multigrid com algoritmo SE-EP ótimo é significativamente mais rápido que

o singlegrid para malhas isotrópicas e anisotrópicas. Para uma malha isotrópica

143

513x513 é cerca de sete mil vezes mais rápido e para uma malha anisotrópica

2049x33, cerca de seis mil vezes mais rápido.

8) O comportamento qualitativo dos parâmetros estudados é o mesmo para as equações

de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson.

6.5 PARÂMETROS COM O MELHOR DESEMPENHO MÉDIO

Com base nos resultados obtidos neste capítulo obteve-se os seguintes parâmetros com


estudados.


• Algoritmo: EP.

• Solver: GS-RB.

• O tipo de restrição não afeta significativamente o tempo de CPU.

• Número de iterações internas: EPν = 2.

• Número de níveis: máximoL .



• Solver: GS-RB.

• Restrição para o SE: ponderação parcial.

• Restrição para o EP: ponderação completa.

• Número de iterações internas: SEν = EPν = 1.


144

7 CONCLUSÃO

A conclusão deste trabalho está dividida em cinco seções: conclusão geral,

contribuições, parâmetros com desempenho ótimo, extrapolações e trabalhos futuros;

descritos a seguir.

7.1 CONCLUSÃO GERAL

Neste trabalho foram resolvidos numericamente três problemas bidimensionais

lineares de condução de calor, governados pelas equações de Laplace (senoidal e linear) e

Poisson, todas com condições de contorno de Dirichlet. Utilizou-se o esquema de

aproximação CDS e o esquema de correção CS do método multigrid geométrico. Foram

usados cinco algoritmos para problemas anisotrópicos: engrossamento padrão (EP), semi-

engrossamento (SE), semi-engrossamento completo (SEC), engrossamento padrão seguido de

semi-engrossamento (EP-SE) e semi-engrossamento seguido de engrossamento padrão (SE-

EP). Com base nos resultados obtidos neste trabalho, verificou-se que:

1) O algoritmo SE-EP ótimo obteve uma redução no tempo de CPU em média 2,3 vezes

em relação ao algoritmo SE-EP padrão.

2) Para os mesmos parâmetros (v, Q , L e E), o algoritmo SE-EP padrão apresentou o

menor tempo de CPU entre os cinco algoritmos analisados para os problemas

anisotrópicos. A melhora no tempo de CPU ao utilizar-se SE-EP está entre 2 a 2786

vezes em comparação com o engrossamento padrão.

3) A variação da razão de aspecto resulta em grande variação do ótimoν para os algoritmos

EP, SE, SEC e EP-SE. Para o algoritmo SE-EP, o ótimoν permanece constante em todas

as razões de aspecto. Para o algoritmo SE-EP ótimo os parâmetros que apresentam o

menor tempo de CPU são: SEν = EPν = 1 para 1≠Q . Para 1=Q (problema

isotrópico) o algoritmo EP com ν = 2 apresenta o menor tempo de CPU.

145

4) Para todos os algoritmos de engrossamento analisados o máximoL resulta praticamente

no menor tempo de CPU para qualquer razão de aspecto e qualquer tamanho de

problema. Quanto maior a anisotropia, maior a influência do número de níveis sobre o

tempo de CPU.

5) Para problemas isotrópicos o tipo de restrição não afeta significativamente o tempo de

CPU.

6) A restrição por ponderação parcial apresenta o menor tempo de CPU para os

problemas anisotrópicos.

7) As restrições por meia ponderação geométrica e ponderação geométrica completa

convergem mais rapidamente para problemas anisotrópicos em relação às suas

similares meia ponderação e ponderação completa.

8) Para os métodos singlegrid e multigrid, problemas isotrópicos e anisotrópicos o solver

Gauss-Seidel red-black é significativamente mais rápido que o Gauss-Seidel

lexicográfico.

9) O método multigrid otimizado é significativamente mais rápido que o singlegrid para

malhas isotrópicas e anisotrópicas. Para uma malha isotrópica 513x513 é cerca de

6.904 vezes mais rápido e para uma malha anisotrópica 2049x33, cerca de 5.524 vezes

mais rápido.

10) O comportamento qualitativo dos parâmetros estudados é o mesmo para as equações

de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson.

7.2 CONTRIBUIÇÕES

Este trabalho contribui com a literatura no sentido de que:

1) Obteve-se uma redução no tempo de CPU necessário para resolver as equações de

Laplace bidimensional (senoidal e linear) e Poisson bidimensional em malhas

estruturadas uniformes e uniformes por direção com alta razão de aspecto.

2) Foram apresentados novos operadores de restrição para problemas anisotrópicos (meia

ponderação geométrica, ponderação geométrica completa e ponderação parcial), os

146

quais apresentaram melhores resultados em comparação com os operadores já

existentes.

3) Confirmou-se a afirmação obtida por Zhang (2002) de que o algoritmo SE-EP é o

algoritmo mais adequado para problemas anisotrópicos com 10 <<< Q . Esta

conclusão foi estendida para razões de aspecto 1>>Q e para Q muito maiores que os

estudados por Zhang (2002). Problemas de interesse da Engenharia.

4) Apresentou-se um algoritmo de engrossamento SE-EP ótimo, no qual os parâmetros

ótimos são os mesmos para todas as equações em estudo e para qualquer razão de

aspecto. Este algoritmo também apresenta menor tempo de CPU em comparação com

os demais algoritmos em estudo.

5) Verificou-se que o método multigrid é significativamente mais rápido que o singlegrid

para problemas anisotrópicos.

7.3 PARÂMETROS COM MELHOR DESEMPENHO MÉDIO

Com base nos resultados obtidos nesta tese obteve-se os seguintes parâmetros com


estudados.


• Algoritmo: EP.

• Solver: GS-RB.

• O tipo de restrição não afeta significativamente o tempo de CPU.

• Número de iterações internas: ν = 2.




• Solver: GS-RB.

• Restrição para o SE: ponderação parcial.

• Restrição para o EP: ponderação completa.

• Número de iterações internas: SEν = EPν = 1.


147

7.4 EXTRAPOLAÇÕES

Os problemas abordados nesta tese são problemas modelados por equações simples,

onde todos apresentam soluções analíticas conhecidas. Espera-se que as conclusões possam

ser estendidas também para equações mais gerais e para problemas que não possuam soluções

analíticas conhecidas. Apresentam-se a seguir algumas possibilidades de extrapolação dos

resultados obtidos nesta tese:

• Equação de advecção-difusão bidimensional. Aqui tem-se os efeitos dos coeficientes

constantes e variáveis. No último caso (coeficientes variáveis), por se tratar de

anisotropia física. Pode-se estender a aplicação dos algoritmos para anisotropia

geométrica visto nos capítulo 6;

• Equação de termoelasticidade bidimensional. Aqui tem-se os efeitos do acoplamento

entre as variáveis de interesse. Podem-se estender os aspectos qualitativos dos

parâmetros estudados para a equação de Laplace bidimensional, tanto na fase térmica

do processo de resolução, como na fase elástica;

7.5 TRABALHOS FUTUROS

Apresentam-se a seguir algumas questões que abrem caminho para novas pesquisas:

• Critério de parada: utilizou-se um critério de parada fixo, especificando o número de

iterações internas em cada ciclo. Propõe-se o estudo de um critério de parada dinâmico

que consiste em monitorar a taxa de convergência da solução numérica.

• Ciclos: utilizou-se o ciclo V. Propõe-se o estudo de outros tipos de ciclos como dente-

de-serra e Hortmann e algumas variações nestes ciclos já existentes.

• Full multigrid: utilizou-se o método multigrid com ciclo V. Propõe-se o estudo do full

multigrid para problemas anisotrópicos.

• Operadores de prolongação: utilizou-se o operador de prolongação por interpolação

bilinear. Propõe-se o estudo de outros operadores, como por exemplo, o operador de

148

interpolação corrigida utilizado por Zhang (2002). Propõe-se também a análise de

novos operadores de prolongação mais adequados para problemas anisotrópicos.

• Solvers: utilizou-se o solver Gauss-Seidel lexicográfico e red-black. Propõe-se o

estudo do solver Gauss-Seidel quatro cores e do gradiente conjugado.

• Outras anisotropias: estudou-se apenas anisotropia geométrica, ou seja, anisotropia

da malha. Propõe-se ampliar o estudo de anisotropia geométrica (outras anisotropias

de malha) e também de anisotropia física (anisotropia dos coeficientes).

• Problemas 3D: estudou-se problemas anisotrópicos bidimensionais. Propõe-se o

estudo de problemas anisotrópicos tridimensionais.

• Multigrid paralelo: utilizar técnicas de programação paralela com o objetivo de

melhorar o desempenho do método multigrid.

• Problemas transientes: considerou-se o regime permanente. Propõe-se o estudo de

problemas de transferência de calor e massa em regime transiente.

• Análise de erros: verificou-se qual o algoritmo de engrossamento resulta no menor

tempo de CPU para uma dada razão de aspecto. Propõe-se uma análise das razões de

aspecto de forma a verificar qual razão de aspecto implicará o menor erro de

discretização.

149

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154

APÊNDICE A: SOLUÇÕES ANALÍTICAS

Este apêndice descreve as soluções analíticas obtidas para as equações de Laplace

senoidal, Laplace linear e Poisson. Aqui denomina-se por equação de Laplace senoidal a

equação de Laplace com condição de contorno com uma senóide ao norte e equação de

Laplace linear com condições de contorno lineares conforme Tab. 3.1.

Com a finalidade de buscar-se uma solução analítica da equação de Laplace senoidal,

definida pela Eq. (3.1) com condições de contorno apresentadas na Tab. 3.1, usa-se a técnica

de solução por separação de variáveis para as equações diferenciais parciais elípticas

(GREENBERG, 1998). Primeiramente busca-se uma solução para Eq. (3.1) da forma:

)()(),( yYxXyxT = . (A.1)

Substituindo-se Eq. (A.1) em Eq. (3.1) e manipulando-se algebricamente tem-se:

22

2

22

ρ=−=Y

dyYd

Xdx

Xd (A.2)

onde ρ é uma constante.

A seguir, resolve-se o sistema de equações diferenciais ordinárias, dado por Eq. (A.2),

onde cada uma das equações é uma equação homogênea de segunda ordem com coeficientes

constantes.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=−

0

0

22

2

22

2

Ydy

Yd

Xdx

Xd

ρ

ρ (A.3)

Como a equação de Laplace é uma equação diferencial linear, pode-se utilizar o

teorema da superposição das soluções (GREENBERG, 1998), resultando na seguinte solução

geral

155

( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] '8765

4321

coshcosh

),(

ysenhAyAxsenhAxA

yAAxAAyxT

ρρρρ ++

+++= (A.4)

Onde 7654321 ,,,,,, AAAAAAA e 8A são constantes a determinar.

Com as condições de contorno dadas pela Tab. 3.1, estas constantes acima assumem

seus valores e este problema apresenta a solução analítica dada por:

( ) ( ) ( )( )πππ

senhysenhxsenyxT =, (A.5)

Para a equação de Laplace linear a solução analítica pode ser obtida de uma forma

análoga e é dada por:

( ) xyyxT =, (A.6)

A solução analítica da equação de Poisson, com o termo fonte definido na Tab. 3.2 foi

apresentada por Briggs et al., (2000) e é dada por:

( ) ( )( )2442, yyxxyxT −−= (A.7)

As Fig. A.1, A.2 e A.3 apresentam graficamente as soluções analíticas para as

equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson, respectivamente. Verifica-se que na

Fig. A.1, referente à equação de Laplace senoidal que a função é mais oscilatória na direção x.

Nas Figs. A.2 e A.3, para as equações de Laplace linear e Poisson pode-se observar que a

oscilação é a mesma em ambas as direções.

156

Figura A.1: Solução analítica da equação de Laplace senoidal.

Figura A.2: Solução analítica da equação de Laplace linear.

157

Figura A.3: Solução analítica da equação de Poisson.

As Figs. A4 e A5 apresentam os perfis da equação de Laplace senoidal nas direções x

e y, respectivamente. Estas figuras têm por objetivo mostrar que a função é mais oscilatória na

direção x. Elas são apresentadas somente para a equação de Laplace senoidal pois as

equações de Laplace linear e Poisson possuem a mesma oscilação nas duas direções.

Figura A.4: Perfil da temperatura em y = 1/2.

158

Figura A.5: Perfil da temperatura em x = 1/2.

159

APÊNDICE B: MEDIDAS DE DISPERSÃO

O grau de afastamento dos dados numéricos em torno de um valor central, chama-se

variação ou dispersão de dados. Algumas medidas de dispersão muito utilizadas são: desvio

padrão, variância e coeficiente de variação. Outras medidas de dispersão podem ser

encontradas em Spiegel (1994).

Motivação: Considere as séries A e B, onde A = {20, 20, 20} e B = {15, 10, 20, 25 e

30}. As duas séries apresentam a mesma média )20( =x . A série A não apresenta dispersão,

enquanto a série B apresenta dispersão em torno da média. Logo, a média é muito mais

representativa para a série A do que para a série B.

A variância e o desvio padrão são medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de

variabilidade, ou dispersão dos valores em torno da média. Servem para medir a

representatividade da média.

O desvio padrão é a mais importante medida de variabilidade. Permite a comparação

entre dois ou mais conjuntos de valores expressos na mesma unidade. Ele pode ser calculado

para uma amostra (desvio padrão amostral, representado por s), ou para a população (desvio

padrão populacional, representado porσ ). É a medida mais utilizada na comparação de

diferenças de grupos, por ser a mais precisa. O desvio padrão envolve todos os valores e não

despreza os sinais de afastamento. Contorna a inconveniência da soma dos afastamentos ser

nula, através dos seus quadrados. As Eqs. B.1 e B.2 apresentam o desvio padrão da amostra e

da população, respectivamente:

s ∑=

−−=n

i

nXxi1

2 )1/()( (B.1)

∑=

−=N

i

NXxi1

2 /)(σ (B.2)

onde n é o tamanho da amostra, N o tamanho da população.

A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios, ou seja, o desvio padrão

elevado ao quadrado.

160

O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão que mede a relação entre o

desvio padrão e a média aritmética, podendo ser em termos percentuais. É indicado quando se

deseja comparar distribuições diferentes, como por exemplo, quando possuem médias

distintas. O coeficiente de variação pode ser calculado através das Eqs. B3 e B4 para a

amostra e para a população, respectivamente.

%100.x

CV s= (B.3)

%100.μσ

=CV (B.4)

onde x é a média da amostra e μ a média da população.

Entre dois ou mais conjuntos de valores o menos disperso é o que apresenta o menor

coeficiente de variação ou a menor medida de dispersão. Nesta tese utilizou-se o coeficiente

de variação para calcular a variabilidade dos dados em torno da média. Por ser utilizada uma

amostra, utilizou-se o coeficiente de variação amostral dado pela Eq. (B.3).

161

APÊNDICE C: TESTES DE COERÊNCIA

Este apêndice apresenta algumas tabelas referentes ao capítulo 4 que trata da

verificação numérica do código computacional utilizado nesta tese.

A Tab. C.1 apresenta as soluções analíticas obtidas para a temperatura média TA e

para a temperatura analítica no nó central )5,0;5,0(T considerando um domínio 1,0 ≤≤ yx

para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson. As soluções analíticas foram

obtidas através das fórmulas apresentadas na Tab. 3.2.

Tabela C. 1: Soluções analíticas para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson.

Variáveis Equações

TA )5,0;5,0(T

Laplace senoidal 1,8585392046028584E-01 1,9926840766919338E-01 Laplace linear 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000000E-01

Poisson -1,7777777777777777E-02 -3,5156250000000000E-02

As Tabs. C.2, C.3 e C.4 apresentam os resultados numéricos obtidos para cada uma

das variáveis de interesse: temperatura numérica média ( )TN , obtida pela regra do trapézio;

temperatura numérica no nó central ( )( )5.0,5.0T ; norma infinito ∞

−TNTA e norma 1l

( )NTNTA /1

− . Apresentam também o erro de discretização médio obtido em cada malha.

Pode-se verificar que para as equações de Laplace senoidal e Poisson o erro de discretização

diminui à medida que se aumenta o número de nós da malha. Na Tab. C.3, referente à

equação de Laplace linear pode-se observar que a temperatura numérica média é igual a

temperatura numérica no nó central, isto é, TN = ( )5.0,5.0T = 2,5000000000000000E-01.

Isto ocorre para todas as malhas. Verifica-se também que o erro de discretização, a norma ∞l

e a norma 1l são iguais a zero, mostrando que a equação de Laplace linear não possui erro de

discretização e pode ser resolvida exatamente em qualquer malha.

162

Tabela C. 2: Resultados numéricos para as variáveis de interesse referentes à equação de Laplace senoidal.

N Ed médio ∞l 1l TN )5,0;5,0(T

3x3 5,636844E-03 5,0731592330806624E-02 5,0731592330806624E-02 1,8750000000000000E-01 2,5000000000000000E-01 5x5 3,668750E-03 1,6565446555151464E-02 1,0190971445135042E-02 1,9089866283237816E-01 2,1338834764831849E-01 9x9 1,308702E-03 4,3224982010843238E-03 2,1633639070369705E-03 1,8746727426741994E-01 2,0291522352182767E-01



1025x1025 1,059145E-07 2,7204481117815149E-07 1,0632899611055989E-07 1,8585402658155617E-01 1,9926863284310664E-01 2049x2049 2,650453E-08 6,8011253739896915E-08 2,6556344367644331E-08 1,8585394699069238E-01 1,9926846396271036E-01 4097x4097 6,629372E-09 1,7002821040001947E-08 6,6358495910259976E-09 1,8585392709288273E-01 1,9926842174257320E-01 8193x8193 1,657754E-09 4,2507420361381776E-09 1,6585638550163480E-09 1,8585392211846538E-01 1,9926841118755750E-01

Tabela C. 3: Resultados numéricos para as variáveis de interesse referentes à equação de Laplace linear.


3x3 0,000000E+00 0,0000000000000000E+00 0,0000000000000000E+00 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000000E-01 5x5 0,000000E+00 0,0000000000000000E+00 0,0000000000000000E+00 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000000E-01 9x9 0,000000E+00 0,0000000000000000E+00 0,0000000000000000E+00 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000000E-01

17x17 6,124054E-18 5,5511151231257827E-17 7,8660072282903887E-18 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000000E-01 33x33 5,093460E-19 1,3877787807814457E-17 5,7718817007657034E-19 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000000E-01 65x65 0,000000E+00 0,0000000000000000E+00 0,0000000000000000E+00 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000000E-01


1025x1025 9,273049E-16 6,2172489379008766E-15 9,3093425372704094E-16 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000000E-01 2049x2049 2,057518E-15 7,3274719625260332E-15 2,0615400586913219E-15 2,4999999999999997E-01 2,4999999999999734E-01 4097x4097 1,796768E-15 2,7977620220553945E-14 1,7985235399315068E-15 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000078E-01 8193x8193 4,291675E-15 3,8191672047105385E-14 4,2937709637195945E-15 2,5000000000000000E-01 2,5000000000000000E-01

163

Tabela C. 4: Resultados numéricos para as variáveis de interesse referentes à equação de Poisson.


3x3 1,302083E-03 1,1718750000000000E-02 1,1718750000000000E-02 -5,8593750000000000E-03 -2,3437500000000000E-02 5x5 7,653809E-04 3,0212402343750000E-03 2,1260579427083330E-03 -1,3944625854492186E-02 -3,2135009765625000E-02 9x9 2,614644E-04 7,6388269493931488E-04 4,3221667748825926E-04 -1,6761326943250256E-02 -3,4397805438322174E-02



1025x1025 2,081114E-08 4,8018161370733115E-08 2,0892592417702095E-08 -1,7777714540478946E-02 -3,5156203665176800E-02 2049x2049 5,207873E-09 1,2004561539269432E-08 5,2180543949414778E-09 -1,7777761968438034E-02 -3,5156238416293124E-02 4097x4097 1,302604E-09 3,0011417379016692E-09 1,3038770208708005E-09 -1,7777773825443249E-02 -3,5156247104072613E-02 8193x8193 3,257308E-10 7,5029384788427578E-10 3,2588984996017338E-10 -1,7777776789686422E-02 -3,5156249276012158E-02

164

A Tab. C.5 apresenta o cálculo de h utilizado para a discretização dos modelos

matemáticos.

Tabela C. 5: Cálculo de h para a discretização dos modelos numéricos.

Níveis N E h 1 3x3 4 5,00000E-01 2 5x5 16 2,50000E-01 3 9x9 64 1,25000E-01 4 17x17 256 0,62500E-01 5 33x33 1024 3,12530E-02 6 65x65 4096 1,56250E-02 7 129x129 16384 7,81250E-03 8 257x257 65536 3,90625E-03 9 513x513 262144 1,95312E-03 10 1025x1025 1048576 9,76563E-04 11 2049x2049 4194304 4,88281E-04 12 4097x4097 16777216 2,44141E-04 13 8193x8193 67108864 1,22070E-04

As Tabs. C.6 a C.9 apresentam a ordem efetiva, ordem aparente e o erro numérico

obtidos para as variáveis de interesse: temperatura no nó central para o domínio 1,0 ≤≤ yx ,

temperatura média, norma ∞l e norma 1l para a equação de Laplace senoidal.

Tabela C. 6: Ordem efetiva ( )Ep , ordem aparente ( )Up para a aproximação numérica da temperatura no nó central para a Equação de Laplace senoidal.

h Ordem efetiva ( )Ep Ordem aparente ( )Up Erro numérico

5,00000E-01 Não se aplica! Não se aplica! 5,07315923308066E-02 2,50000E-01 1,84515048753888E+00 Não se aplica! 1,41199399791251E-02 1,25000E-01 1,95302469884476E+00 1,80561102509819E+00 3,64681585263429E-03 0,62500E-01 1,98753498608929E+00 1,94119915674493E+00 9,19615294858091E-04 3,12530E-02 1,99683391455261E+00 1,98441284068924E+00 2,30408916211868E-04 1,56250E-02 1,99920528036784E+00 1,99604201067094E+00 5,76339684239216E-05 7,81250E-03 1,99980111881802E+00 1,99900657633050E+00 1,44104785101643E-05 3,90625E-03 1,99995026750443E+00 1,99975139687716E+00 3,60274381896596E-06 1,95312E-03 1,99998756601424E+00 1,99993783431067E+00 9,00693717410855E-07 9,76563E-04 1,99999686828470E+00 1,99998446523512E+00 2,25173918146132E-07 4,88281E-04 1,99999904317249E+00 1,99999614332073E+00 5,62935168716357E-08 2,44141E-04 1,99999798087382E+00 1,99999939727254E+00 1,40733989143434E-08 1,22070E-04 2,00000435171251E+00 1,99999585726321E+00 3,51833911593176E-09

165

Tabela C. 7: Ordem efetiva ( )Ep , ordem aparente ( )Up para a aproximação numérica da temperatura média e Equação de Laplace senoidal.


5,00000E-01 Não se aplica! Não se aplica! 1,64607953971416E-03 2,50000E-01 -1,61574654532650E+00 Não se aplica! 5,04474237209232E-03 1,25000E-01 1,64471773980351E+00 Não se aplica! 1,61335380713410E-03 0,62500E-01 1,91864196280568E+00 1,53193902259091E+00 4,26737527405161E-04 3,12530E-02 1,98003605084631E+00 1,89718660458244E+00 1,08170937255822E-04 1,56250E-02 1,99503128255894E+00 1,97497958360487E+00 2,71360314782229E-05 7,81250E-03 1,99875919432797E+00 1,99378507249158E+00 6,78984503963166E-06 3,90625E-03 1,99968988466998E+00 1,99844874176737E+00 1,69782617787407E-06 1,95312E-03 1,99992246555735E+00 1,99961234381821E+00 4,24479356556328E-07 9,76563E-04 1,99998052164127E+00 1,99990311266182E+00 1,06121271911907E-07 4,88281E-04 1,99999508590583E+00 1,99997566683169E+00 2,65304083454482E-08 2,44141E-04 1,99999992857129E+00 1,99999347168029E+00 6,63260241474623E-09 1,22070E-04 1,99998226063807E+00 2,00000581793084E+00 1,65817099241300E-09

Tabela C. 8: Ordem efetiva ( )Ep , ordem aparente ( )Up para a norma ∞l e Equação de Laplace

senoidal.



Tabela C. 9: Ordem efetiva ( )Ep , ordem aparente ( )Up para a norma 1l média para a Equação de Laplace senoidal.



166

As Tabs. C.10 a C.13 apresentam a ordem efetiva, ordem aparente e o erro numérico

obtidos para as variáveis de interesse: temperatura no nó central para o domínio 1,0 ≤≤ yx ,

temperatura média, norma ∞l e norma 1l para a equação de Poisson.

Tabela C. 10: Equação de Poisson para a temperatura no nó central.



Tabela C. 11: Equação de Poisson para a temperatura numérica média.



167

Tabela C. 12: Equação de Poisson para norma ∞l .



Tabela C. 13: Equação de Poisson para norma 1l média.



168

APÊNDICE D: ALGORITMOS DE ENGROSSAMENTO

Este apêndice é um complemento dos resultados apresentados no capítulo 5. Ele está

dividido na seguinte forma: primeiramente é apresentado o estudo do número de iterações

internas para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson. A seguir é feito um

estudo da influência do número de elementos e a análise de complexidade.

D1. ESTUDO DO NÚMERO DE ITERAÇÕES INTERNAS (ν ):

A Tab. D.1 mostra as dimensões das malhas finas ( )yx NNN x= , as respectivas

razões de aspecto (Q) utilizadas para determinar o número ótimo de iterações internas e o

número de elementos. Para cada equação e algoritmo em estudo utilizou-se um conjunto

diferente de malhas de acordo com o tempo de CPU utilizado em cada simulação e a

quantidade de simulações necessárias para a obtenção do ótimoν . O ótimoν para a razão de

aspecto Q = 1 foi determinada apenas para o algoritmo EP, visto que todos os algoritmos de

engrossamento recaem no EP quando Q = 1.

Tabela D.1: Malhas utilizadas para a determinação do ótimoν .

Q Malhas 1/64 513x9 4097x65 8193x129 16385x257 65537x10251/16 257x17 2049x129 4097x257 8193x513 32769x20491/4 129x33 1025x257 2049x513 4097x1025 16385x40971 65x65 513x513 1025x1025 2048x2048 81934x81934 33x129 257x1025 513x2049 1025x4097 4097x1638516 17x257 129x2049 257x4097 513x8193 2049x3276964 9x513 65x4097 129x8193 257x16385 1025x65537E 4.096 262.144 1.048.576 4.194.304 67.108.864

As Figs. D.1 e D.2 apresentam o tempo de CPU em função do número de iterações

internas para a equação de Laplace senoidal, algoritmo SE-EP e razões de aspecto 64/1=Q ,

1/16, 1/4, 4, 16 e 64. Consideram-se problemas com 4.194.304 e 67.108.864 elementos.

169

Observa-se que para qualquer tamanho de problema ótimoν = 4, para as razões de aspecto

maiores que a unidade e ótimoν = 2, para razões de aspecto menores que a unidade.

0 2 4 6 8 10

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16 Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 4 Q = 16 Q = 64 ótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

Figura D.1: Tempo de CPU versus ν para E = 4.194.304, SE-EP e equação de Laplace senoidal.

0 1 2 3 4 5 6

80

120

160

200

240

280

320

360

Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 4 Q = 16 Q = 64 ótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

Figura D.2: Tempo de CPU versus ν para E = 67.108.864, SE-EP e equação de Laplace senoidal.

Para as equações de Laplace linear e Poisson utilizaram-se as razões de aspecto

apresentadas na Tab. D.1 em um problema com 262.144 elementos. As Figs. D.3 e D.4

apresentam o tempo de CPU em função do número de iterações internas para as equações de

Laplace linear e Poisson, algoritmo SE-EP. Para a equação de Laplace linear (Fig. D.3),

170

observa-se que ótimoν = 4. Para a equação de Poisson, apresentada na Fig. D.4, ótimoν varia

entre 2, 3 e 4.

0 2 4 6 8 10

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9 Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 4 Q = 16 Q = 64 ótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

Figura D.3: Tempo de CPU versus ν para E = 262.144, SE-EP e equação de Laplace linear.

0 2 4 6 8 100,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2 Q = 1/64 Q = 1/16 Q = 1/4 Q = 4 Q = 16 Q = 64 ótimo

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν

Figura D.4: Tempo de CPU versus ν para E = 262.144, SE-EP e equação de Poisson.

171

A Tab. D.2 apresenta o ótimoν para o algoritmo SE-EP e equação de Poisson para as

razões de aspecto 1/64, 1/16, 1/4, 4, 16 e 64. Verifica-se que a razão de aspecto não interfere

significativamente no ótimoν . Ao utilizar v = 3 o acréscimo no tempo de CPU será de 3,1% e

4,8% para as razões 1/64 e 64 respectivamente. Portanto, ao utilizar v = 3 para todas as razões

de aspecto e equação de Poisson, o acréscimo no tempo de CPU não será significativo.

Tabela D.2: ótimoν para o algoritmo SE-EP e equação de Poisson.

1/64 1/16 1/4 4 16 64 2 e 4 3 3 3 3 4

Para a análise do ótimoν nos algoritmos EP, SE, SEC e EP-SE foram utilizadas malhas

com menor número de elementos. Isto foi necessário devido ao fato destes algoritmos não

apresentarem boa convergência para problemas anisotrópicos, o tempo de CPU ser bem maior

comparado ao SE-EP e serem necessárias mais simulações para a determinação do ótimoν .

Foram utilizadas as malhas com 65.5336, 262.144 e 4.194.304 elementos apresentadas na

Tab. D.1.

As Figs. D.5 a D.7 apresentam o tempo de CPU em função do número de iterações

internas para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP e razões de aspecto 64/1=Q ,

1/16, 1/4, 1, 4, 16 e 64. Consideram-se problemas com 65.536, 262.144 e 4.194.304

elementos. Os gráficos apresentados não utilizam todos os resultados obtidos nas simulações.

O número de pontos foi reduzido de forma a contemplar o intervalo que contém o ótimoν .

Verifica-se nas Figs. D.5 à D.7 que são necessárias muitas iterações internas para se obter um

menor tempo de CPU. Verifica-se também que poucas iterações internas resultam em um

tempo de CPU muito alto ou até mesmo a divergência da solução. Com isto pode-se concluir

que o algoritmo EP não é muito estável para razões de aspecto diferentes da unidade.

172

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

120

130

140

150

160

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν a) Q = 1/64

220 222 224 226 228 230

5,4

5,6

5,8

6,0

6,2

6,4

6,6

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν b) Q = 1/16

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550,1

1

10

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1/4

0 5 10 15 200,025

0,050

0,075

0,100

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν d) Q = 1

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν e) Q = 4

100 150 200 250 300 350 400

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

4,2

4,4

4,6

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν f) Q = 16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

52

54

56

58

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν g) Q = 64

Figura D.5: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP e 536.65=E .

173

30 35 40 45

595

596

597

598

599

600

601

602

603

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν a) Q = 1/64

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

20

30

40

50

60

70

80

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 1/16

10 15 20 25 301,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1/4

1 2 3 4 50,10

0,15

0,20

0,25

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν d) Q = 1

5 10 15 20 25 30

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν e) Q = 4

100 150 200 250 3000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν f) Q = 16

10 15 20 25 30 35 40 45 50234

236

238

240

242

244

246

248

250

252

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν g) Q = 64

Figura D.6: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP e 144.262=E .

174

220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230360

370

380

390

400

410

420

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν a) Q = 1/16

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

23

24

25

26

27

28

29

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 1/4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

3

4

5

6

7

8

9

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1

12 14 16 18 20 22 24 26

13

14

15

16

17

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν d) Q = 4

200 205 210 215176

178

180

182

184

186

188

190

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν e) Q = 16


304.194.4 =E .

A Tab. D.3 apresenta o ótimoν para o algoritmo EP e a equação de Laplace senoidal

para cada razão de aspecto em estudo. Observa-se que nem sempre foi possível obter um

único ótimoν para todos os tamanhos de problema. Isto ocorre devido a instabilidade di

algoritmo EP para problemas anisotrópicos. Verifica-se que para a razão de aspecto 16=Q

não foi obtido um único ótimov , mas sim um intervalo contendo o ótimov . Através das Figs. D.5

175

a D.7, pode-se observar que a variação do tempo de CPU neste intervalo é muito pequena.

Portanto calculou-se para cada tamanho de problema o tempo médio de CPU ( )CPUt , o desvio

padrão (s) e o coeficiente de variação (CV). A Tab. D.4 apresenta os resultados para cada um

destes parâmetros. Verifica-se que os coeficientes de variação são pequenos, menores que 1%,

significando que a variabilidade do tempo de CPU em relação à média é pequena, portanto

pode-se utilizar qualquer v dentro do intervalo que o acréscimo no tempo de CPU não será

significativo. Os valores não preenchidos na Tab. D.3 correspondem à simulações cujo tempo

de CPU é muito alto.

Tabela D.3: ótimoν para cada razão de aspecto, algoritmo EP e equação de Laplace senoidal.

E Q

65.536 262.144 4.194.304

1/64 110 44 - 1/16 221 221 221 1/4 25 25 25 1 2 3 2 4 14 13 14 16 250200 ≤≤ν 250200 ≤≤ν 204200 ≤≤ν 64 - 45 10

Tabela D.4: Parâmetros para o intervalo recomendado de ν, Q = 16, EP, e equação de Laplace senoidal.

65.536

262.144 4.194.304

CPUt (s) s (s) CV CPUt (s) s (s) CV CPUt (s) s (s) CV 2,852 0 0 12,156 0 0 177 1,04 0,59%


internas para a equação de Laplace senoidal, algoritmo SE e razões de aspecto Q = 1/64, 1/16,

¼, 4, 16 e 64. Consideram-se problemas com 65.536 e 262.144 elementos com as malhas já

apresentadas na Tab. D.1.

176

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005,00

5,25

5,50

5,75

6,00

6,25

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν

a) Q = 1/64

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

18

19

20

21

22

23

24

25

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 1/16

-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20055

60

65

70

75

80

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1/4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν d) Q = 4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 26012,0

12,5

13,0

13,5

14,0

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν e) Q = 16

0 20 40 60 80 100 120 140

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν f) Q = 64


536.65=E .

177

0 10 20 30 40 50 60 7075

80

85

90

95

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

a) Q = 1/64

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100270

275

280

285

290

295

300

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν b) Q = 1/16

0 50 100 150 200 250 300870

880

890

900

910

920

930

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν c) Q = ¼

0 5 10 15 20 100 150 200550

600

650

700

750

800

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν d) Q = 4

0 10 20 30 40 50 60180

190

200

210

220

230

240

250

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν e) Q = 16

10 20 30 40 50 60 70 80 90 10042

43

44

45

46

47

48

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν f) Q = 64


144.262=E .

As Figs. D.10 a D.13 apresentam o tempo de CPU em função do número de iterações

internas para a equação de Laplace senoidal, algoritmo SEC e razões de aspecto Q = 1/64,

1/16, 1/4, 4, 16 e 64. Consideram-se problemas com 4.096, 65.536, 262.144 e 1.048.576

elementos com as malhas já apresentadas na Tab. D.1.

178

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,008

0,009

0,010

0,011

0,012

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν

a) Q = 1/64

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,014

0,015

0,016

0,017

0,018

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 1/16

0 3 6 9 12 15 180,034

0,036

0,038

0,040

0,042

0,044

0,046

0,048

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1/4

0 20 40 60 80 100

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν d) Q = 4

0 3 6 9 12 15 18 21

0,010

0,012

0,014

0,016

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν e) Q = 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,004

0,006

0,008

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν f) Q = 64


096.4=E .

179

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

a) Q = 1/64

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1004,2

4,4

4,6

4,8

5,0

5,2

5,4

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 1/16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1006,0

6,2

6,4

6,6

6,8

7,0

7,2

7,4

7,6

7,8

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1/4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

5,1

5,4

5,7

6,0

6,3

6,6

6,9

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν d) Q = 4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν e) Q = 16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν f) Q = 64


536.65=E .

180

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

9

10

11

12

13

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

a) Q = 1/64

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100262728293031323334353637383940

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν b) Q = 1/16

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

85

90

95

100

105

110

115

120

125

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1/4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 11065

70

75

80

85

90

95

100

105

110

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν d) Q = 4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10018

20

22

24

26

28

30

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν e) Q = 16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10018

20

22

24

26

28

30

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν f) Q = 64


144.262=E .

181

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110

115

120

125

130

135

140

145

150

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

a) Q = 1/64

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100340

360

380

400

420

440

460

480

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν b) Q = 1/16

0 50 100 150 200 250 300

1090

1100

1110

1120

1130

1140

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1/4

0 50 100 150 200 250 300900

1000

1100

1200

1300

1400

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν d) hNQ , = 4

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν e) Q = 16

0 50 100 150 200 250 300

60

70

80

90

100

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

f) Q = 64

Figura D. 13: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo SEC e

576.048.1=E A Tab. D.5 apresenta o intervalo ótimo de iterações internas ( ótimoν ) para a equação de

Laplace senoidal, algoritmo SEC e razões de aspecto Q = 1/64, 1/16, 1/4, 4, 16 e 64. Verifica-

se que não existe um único intervalo ótimo para todas as razões de aspectos em estudo e que

este número varia de acordo com o tamanho do problema.

182

Tabela D. 5: ótimoν para cada razão de aspecto, algoritmo SEC e equação de Laplace senoidal.

E Q

4.096 65.536 262.144 1.048.576

1/64 71 ≤≤ν 80 9070 ≤≤ν 5030 ≤≤ν 1/16 106 ≤≤ν 5010 ≤≤ν 6030 ≤≤ν 6030 ≤≤ν 1/4 5010 ≤≤ν 7020 ≤≤ν 6030 ≤≤ν 300100 ≤≤ν 4 2010 ≤≤ν 110100 ≤≤ν 8030 ≤≤ν 200100 ≤≤ν 16 182 ≤≤ν 9070 ≤≤ν 8020 ≤≤ν 8060 ≤≤ν 64 72 ≤≤ν 15 e 18 5020 ≤≤ν 250


internas para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP-SE e razões de aspecto 64/1=Q ,

1/16, ¼, 1, 4, 16 e 64. Consideram-se problemas com 65.536 e 262.144 elementos. Os

gráficos apresentados não utilizam todos os resultados obtidos nas simulações. O número de

pontos foi reduzido de forma a contemplar o intervalo que contém o ótimoν .

A Tab. D.6 apresenta o número de iterações internas que utilizam o menor tempo de

CPU para a equação de Laplace senoidal. Verifica-se que a razão de aspecto influência

fortemente o número ótimo de iterações internas. O tamanho do problema também influencia

o número ótimo de iterações internas.

Tabela D.6: ótimoν para cada razão de aspecto, algoritmo EP-SE e equação de Laplace senoidal.

E Q

65.536 262.144

1/64 5000 5000 1/16 160 200 1/4 25 25 4 13 13 16 180 170 64 3500 2500

183

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 600080

100

120

140

160

180

200

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

a) Q = 1/64

160 180 200 220 240

5,6

5,8

6,0

6,2

6,4

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 1/16

10 15 20 25 30 35 40 45 500,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1/4

8 10 12 14 16 18 200,20

0,25

0,30

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν d) Q = 4

140 160 180 200 220 240 260 280 3002,50

2,75

3,00

3,25

3,50

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν e) Q = 16

1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 500035

40

45

50

55

60

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν f) Q = 64

Figura D.14: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP-SE e 536.65=E .

184

1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000

360

370

380

390

400

410

420

430

440

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν

a) Q = 1/64

100 150 200 250 300

24

26

28

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 1/16

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1,5

2,0

2,5

3,0

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν c) Q = 1/4

5 10 15 20 25 30 35 400,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν d) Q = 4

100 200 300 400 50010

12

14

16

18

20

22

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν e) Q = 16

1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1,4x105

1,6x105

1,8x105

2,0x105

2,2x105

2,4x105

2,6x105

2,8x105

3,0x105

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

f) Q = 64

Figura D.15: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace senoidal, algoritmo EP-SE e

144.262=E .

As Figs. D.16 à D.19 apresentam o tempo de CPU em função do número de iterações

internas para a equação de Laplace linear e algoritmos EP, SE, SEC e EP-SE,

respectivamente. Consideram-se as e razões de aspecto Q = 1/16, 1 e 16 e problemas com

262.144 elementos com as malhas apresentadas na Tab. D.1. Através dos resultados obtidos

verificou-se que são necessárias muitas iterações internas para obter um menor tempo de

185

CPU. Usar poucas iterações internas pode ocasionar a divergência na solução. Verifica-se que

para as razões de aspecto 1/16 e 16 obteve-se ótimoν = 250, para todos os algoritmos exceto o

SE. Para o caso isotrópico e o algoritmo EP, tem-se 2=ótimoν .

100 150 200 250 300 350 400

20

25

30

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν a) Q = 1/16

0 2 4 6 8 10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν b) Q = 1

100 150 200 250 300 350 400 450

15

20

25

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν c) Q = 16

Figura D.16: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace linear, algoritmo EP e

144.262=E .

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

220

225

230

235

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν a) Q = 1/16

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500190

195

200

205

210

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 16

Figura D.17: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace linear, algoritmo SE e

144.262=E .

186

0 50 100 150 200 250 30020

22

24

26

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν a) Q = 1/16

0 50 100 150 200 250 30018

20

22

24

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 16

Figura D.18: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace linear, algoritmo SEC e

144.262=E .

100 150 200 250 300 350 400

18

20

22

24

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν a) Q = 1/16

100 150 200 250 300 350 40015

16

17

18

19

20

21

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν

b) Q = 16

Figura D.19: Tempo de CPU versus ν para a equação de Laplace linear, algoritmo EP-SE e

144.262=E .

As Figs. D.20 à D.23 apresentam o tempo de CPU em função do número de iterações

internas para a equação de Poisson, razões de aspecto Q = 1/16, 1 e 16 e algoritmos EP, SE,

SEC e EP-SE, respectivamente. Consideram-se problemas com E = 262.144 elementos com

as malhas apresentadas na Tab. D.1. Através dos resultados obtidos verificou-se que são

necessárias muitas iterações internas para obter um menor tempo de CPU. Usar poucas

iterações internas pode ocasionar a divergência na solução. Para o problema em estudo com

144.262=E elementos e razões de aspecto 1/16 e 16 obteve-se ótimoν = 200 para todos os

algoritmos com exceção do SE. Para o algoritmo EP e o caso isotrópico tem-se 2=ótimoν .

187

150 200 250 300 350 40024

26

28

30

32

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν a) Q = 1/16

2 4 6 8 10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 1

100 150 200 250 300 350 400

20

25

30

35

40

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν c) Q = 16

Figura D.20: Tempo de CPU versus ν para a equação de Poisson, algoritmo EP e 144.262=E .

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

380

390

400

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν a) Q = 1/16

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

330

340

350

360

370

380

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν b) Q = 16

Figura D.21: Tempo de CPU versus ν para a equação de Poisson, algoritmo SE e 144.262=E .

188

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

34

36

38

40

42

44

46

48

50

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν a) Q = 1/16

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 45030

32

34

36

38

40

42

44

46

48

50

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν b) Q = 16

Figura D.22: Tempo de CPU versus ν para a equação de Poisson, algoritmo SEC e

144.262=E .

100 150 200 250 300 3502224262830323436384042444648

Tem

po d

e C

PU

(s)

ν a) Q = 1/16

100 150 200 250 300 350 400 450 500

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

Tem

po d

e C

PU (s

)

ν b) Q = 16

Figura D.23: Tempo de CPU versus ν para a equação de Poisson, algoritmo EP-SE e

144.262=E .

D2. ESTUDO DA INFLUÊNCIA DO NÚMERO DE ELEMENTOS (E)

Para as equações de Laplace linear e Poisson a análise do número de elementos foi

realizada utilizando-se as razões de aspecto Q = 1/64, 1/16, 1/4, 1, 4, 16 e 64 e as malhas

apresentadas na Tab. D.7.

As Figs. D.24 e D.25 apresentam o tempo de CPU em função do número de elementos

para a equação de Laplace linear, algoritmos SE, SEC, EP-SE e SE-EP. A Fig. D.24 apresenta

os resultados para a razão de aspecto Q = 1/16 e a Fig. D.24 para a razão de aspecto Q = 16.

Em ambas as figuras verifica-se que o tempo de CPU aumenta quando aumenta o número de

189

elementos. Verifica-se também que o menor tempo de CPU é obtido para o algoritmo SE-EP.

Os resultados obtidos para as razões de aspecto 1/64, 1/4, 4 e 64 foram similares.

Tabela D.7: Malhas utilizadas para análise de E para as equações de Laplace linear e Poisson.

Q Malhas 1/64 513x9 2049x33 4097x65 8193x129 1/16 257x17 1025x65 2049x129 4097x257 1/4 129x33 513x129 1025x257 2049x513 1 65x65 257x257 513x513 1025x1025 4 33x129 129x513 257x1025 513x2049 16 17x257 65x1025 129x2049 257x4097 64 9x513 33x2049 65x4097 129x8193

104 105 106

10-2

10-1

100

101

102

103

104


Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura D.24: Tempo de CPU versus número de elementos para Q = 1/16 e equação de Laplace linear.

104 105 106

10-2

10-1

100

101

102

103

104


Tem

po d

e C

PU (s

)

E Figura D.25: Tempo de CPU versus número de elementos para Q = 16 e equação de Laplace

linear.

190

As Figs. D.26 e D.27 apresentam o tempo de CPU em função do número de elementos

para a equação de Poisson, algoritmos SE, SEC, EP-SE e SE-EP. A Fig. D.26 apresenta os

resultados para a razão de aspecto Q = 1/16 e a Fig. D27 para a razão de aspecto Q = 16. Em

ambas as figuras verifica-se que o tempo de CPU aumenta quando aumenta o número de

elementos. Verifica-se também que o menor tempo de CPU é obtido para o algoritmo SE-EP.

Os resultados obtidos para as razões de aspecto 1/64, 1/4, 4 e 64 foram similares.

104 105 106

10-2

10-1

100

101

102

103

104


Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura D.26: Tempo de CPU versus número de elementos para Q = 1/16 e equação de Poisson.

104 105 106

10-2

10-1

100

101

102

103

104


Tem

po d

e C

PU (s

)

E Figura D.27: Tempo de CPU versus número de elementos para Q = 16 e equação de Poisson.

191

D3. ANÁLISE DE COMPLEXIDADE

Utilizando-se as malhas e razões de aspecto definidas na Tab. D.9 fez-se uma análise

da complexidade dos algoritmos EP, SE, SEC, SE-EP e EP. Calculou-se o expoente p, obtido

pelo do método dos mínimos quadrados, para a função dada pela Eq. (5.1).

As Tab. D.8 e D.9 apresentam o coeficiente c e a ordem p dos ajustes de curvas

obtidos para os algoritmos em estudo e equação de Laplace linear. Observa-se que os

menores valores de p ocorrem para os algoritmos EP, EP-SE e SE-EP. Na Tab. D.9 pode-se

constatar que entre os algoritmos EP, EP-SE e SE-EP os coeficientes c são menores no

algoritmo SE-EP. Os espaços das Tabs. D.8 e D.9 que não estão preenchidos correspondem à

simulações cujo tempo de CPU é muito alto.

Tabela D.8: Valor da ordem (p) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento para a equação de Laplace linear.

Algoritmos

Q

SE

SEC

EP

EP-SE

SE-EP

1/64 1,55 1,14 - - 1,04 1/16 1,83 1,36 1,04 1,04 1,04 1/4 1,97 1,61 1,03 1,03 1,05 1 - - 1,04 - - 4 1,97 1,61 1,04 1,04 1,05 16 1,92 1,36 1,05 1,05 1,06 64 1,70 1,19 - - 1,06

Tabela D.9: Valor do coeficiente (c) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento para a equação de Laplace linear.

Algoritmos

Q

SE

SEC

EP

EP-SE

SE-EP

1/64 2,48E-07 9,50E-06 - - 1,07E-061/16 2,91E-08 1,24E-06 3,89E-05 3,79E-05 1,07E-061/4 1,66E-08 1,61E-07 2,72E-05 2,71E-05 8,16E-071 - - 3,24E-07 - - 4 1,60E-08 1,45E-07 2,23E-05 2,27E-05 7,97E-0716 7,53E-09 1,08E-06 2,96E-05 2,89E-05 7,63E-0764 3,05E-08 4,57E-6 - - 7,54E-07

192

As Tab. D.10 e D.11 apresentam o coeficiente c e a ordem p dos ajustes de curvas

obtidos para os algoritmos em estudo e equação de Poisson. Observa-se que os menores

valores de p ocorrem para os algoritmos EP, EP-SE e SE-EP. Na Tab. D.11 pode-se constatar

que entre os algoritmos EP, EP-SE e SE-EP os coeficientes c são menores no algoritmo SE-

EP. Os espaços das Tabs. D.10 e D.11 que não estão preenchidos correspondem à simulações

cujo tempo de CPU é muito alto.

Tabela D.10: Valor da ordem (p) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento para a equação de Poisson.

Algoritmos

Q

SE

SEC

EP

EP-SE

SE-EP

1/64 1,69 1,20 - - 1,07 1/16 1,94 1,43 1,04 1,04 1,06 1/4 1,99 1,66 1,04 1,04 1,04 1 - - 1,06 - - 4 2,04 1,67 1,05 1,05 1,05 16 1,84 1,44 1,07 1,06 1,08 64 1,48 1,13 - - 1,12

Tabela D.11: Valor do coeficiente (c) da Eq. (5.1) para os algoritmos de engrossamento para a equação de Poisson.

Algoritmos

Q

SE

SEC

EP

EP-SE

SE-EP

1/64 7,40E-08 6,40-06 - - 9,31E-071/16 1,16E-08 7,95E-07 5,37E-05 5,96E-05 1,03E-061/4 1,82E-08 1,18E-07 2,82E-05 2,99E-05 1,02E-061 - - 2,86E-07 - - 4 1,08E-08 1,06E-07 2,22E-05 2,39E-05 9,52E-0716 3,95E-08 6,08E-07 3,20E-05 3,65E-05 7,51E-0764 6,40E-07 9,13E-06 - - 4,31E-07

193

APÊNDICE E: SEMI-ENGROSSAMENTO SEGUIDO DE ENGROSSAMENTO PADRÃO

Este apêndice possui alguns dados adicionais referentes ao capítulo 6. No capítulo 6

foi apresentado um estudo do algoritmo SE-EP envolvendo as equações de Laplace senoidal,

Laplace linear e Poisson. Os parâmetros quantitativos para as três equações em estudo foram

os mesmos, portanto apenas alguns resultados foram apresentados. Na maior parte,

envolvendo somente a equação de Laplace senoidal. Neste apêndice são apresentados os

resultados para as equações de Laplace linear e Poisson. Primeiramente são apresentadas as

malhas utilizadas para a análise do número de elementos. A seguir é apresentado o estudo dos

solvers e tipos de restrição. Também é realizado um estudo das iterações internas e uma

comparação entre os algoritmos. Para problemas anisotrópicos comparam-se os algoritmos

SE-EP padrão e SE-EP ótimo e para problemas isotrópicos os algoritmos EP e EP ótimo.

E1. MALHAS UTILIZADAS PARA A ANÁLISE DO NÚMERO DE ELEMENTOS

A Tab. E.1 mostra as dimensões das malhas finas ( )yx NNN x= e as respectivas

razões de aspecto (Q) utilizadas para a análise do número de elementos para as equações de

Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson para o algoritmo SE-EP.

E2. ESTUDO DOS SOLVERS E TIPO DE RESTRIÇÃO

A idéia do algoritmo SE-EP é aplicar o semi-engrossamento até a malha tornar-se

isotrópica e em seguida aplicar o engrossamento padrão. Como são utilizados dois algoritmos

diferentes os parâmetros ótimos podem diferir para cada um deles. Nesta etapa do trabalho

fez-se o estudo dos seguintes parâmetros: solvers (Gauss-Seidel lexicográfico e red-black) e

tipo de restrição (injeção, meia ponderação, ponderação completa, meia ponderação

geométrica, ponderação geométrica completa e ponderação parcial), para cada algoritmo em

particular. Primeiramente foram fixados os parâmetros referentes ao EP: solver Gauss-Seidel

194

lexicográfico e restrição por injeção. Foram realizadas uma seqüência de simulações

variando-se o solver e o tipo de restrição para o SE. Em seguida fez-se a análise do algoritmo

EP fixando-se para o SE os parâmetros ótimos obtidos no passo anterior. Posteriormente foi

feita uma análise do número de iterações internas e do número de níveis. O estudo foi

realizado para as equações de Laplace senoidal, Laplace linear e Poisson.

Tabela E.1: Malhas utilizadas para análise da influência do número de elementos (E) no tempo de CPU.

Q Malhas

1/16384 32769x3 65537x5 1/4096 8193x3 16385x5 32769x9 1/1024 2049x3 4097x5 8193x9 16385x171/256 513x3 1025x5 2049x9 4097x17 8193x33 1/64 129x3 257x5 513x9 1025x17 2049x33 4097x65 1/16 33x3 65x5 129x9 257x17 513x33 1025x65 2049x1291/4 9x3 17x5 33x9 65x17 129x33 257x65 513x129 1025x2571 3x3 5x5 9x9 17x17 33x33 65x65 129x129 257x257 513x513 4 3x9 5x17 9x33 17x65 33x129 65x257 129x513 257x102516 3x33 5x65 9x129 17x257 33x513 65x1025 129x204964 3x129 5x257 9x513 17x1025 33x2049 65x4097 256 3x513 5x1025 9x2049 17x4097 33x8193 1024 3x2049 5x4097 9x8193 17x163854096 3x8193 5x16385 9x32769 16384 3x32769 5x65537

E 4 16 64 256 1.024 4.096 16.384 65.536 262.144

Continuação da Tabela E1: Malhas utilizadas para a análise de E.

Q Malhas 1/16384 131072x9 262145x17 524289x33 1048576x65 1/4096 65537x17 131073x33 262145x65 524289x129 1/1024 32769x33 65537x65 131073x129 262145x257 1/256 16385x65 32769x129 65537x257 131073x513 1/64 8193x129 16385x257 32769x513 65537x1025 1/16 4097x257 8193x513 16385x1025 32769x2049 1/4 2049x513 4097x1025 8193x2049 16385x4097 1 1025x1025 2049x2049 4097x4097 8193x8193 4 513x2049 1025x4097 2049x8193 4097x16385 16 257x4097 513x8193 1025x16385 2049x32769 64 129x8193 257x16385 513x32769 1025x65537 256 65x16385 129x32769 257x65537 513x131073 1024 33x32769 65x65537 129x131073 257x262145 4096 17x65537 33x131073 65x262145 129x524289 16384 9x131072 17x262145 33x524289 65x1048576

E 1.048.576 4.194.304 16.777.216 67.108.864

195

E3. ESTUDO DO NÚMERO DE ITERAÇÕES INTERNAS (ν)

A seguir foi feita a análise do ótimoν utilizando-se os parâmetros ótimos obtidos na

seção E2. Para o EP optou-se pela restrição por ponderação completa. Denota-se por EPν o

número de iterações internas para o EP e SEν o número de iterações internas para o SE. O

ótimoν é determinado através de uma combinação de EPν e SEν .

As Fig. E.1 e E.2 apresentam o estudo do ν para o algoritmo SE-EP ótimo e equação

de Laplace linear. Considera-se um problema com 262.144 elementos e razões Q = 1/16 (Fig.

E.1) e Q = 16 (Fig. E.2). Para as duas razões de aspecto verifica-se que o menor tempo de

CPU é obtido para EPν = SEν = 1.

1 2 3 4 50,1

0,2

0,3

0,4

0,5 νEP

= 1 νEP = 2 νEP = 3 νEP = 4 νótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

νSE Figura E. 1: Tempo de CPU versus EPν para Q = 1/6, E = 262.144 e SE-EP ótimo e equação de

Laplace linear.

196

1 2 3 4 5

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6 νEP = 1 νEP = 2 νEP = 3 νEP = 4 νótimo

Tem

po d

e C

PU

(s)

νSE

Figura E. 2: Tempo de CPU versus EPν para Q = 16, E = 262.144 e SE-EP ótimo e equação de Laplace linear.

A Fig. E.3 apresenta o estudo do ν para o algoritmo SE-EP ótimo para a equação de

Poisson. Considera-se um problema com 262.144 elementos e a razão 16/1=Q . Verifica-se

que o menor tempo de CPU é obtido para EPν = SEν = 1.

1 2 3 4 5

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6 νEP = 1 νEP = 2 ν

EP = 3

νEP = 4 νótimo

Tem

po d

e C

PU (s

)

νSE Figura E. 3: Tempo de CPU versus EPν para Q = 1/16, E = 262.144 e SE-EP ótimo e equação de

Poisson.

197

A Fig. E.4 apresenta o estudo do ν para o algoritmo SE-EP ótimo para a equação de

Poisson. Considera-se um problema com 262.144 elementos e a razão Q = 16. Verifica-se

que o menor tempo de CPU é obtido para EPν = 2 e SEν = 1. Observa-se também que o tempo

de CPU para EPν = SEν = 1 é bem próximo do ótimo.

1 2 3 4 5

0,2

0,3

0,4

0,5

νEP

= 1 ν

EP = 2

νEP

= 3 ν

EP = 4

νótimo

Tem

po d

e C

PU

(s)

νSE

Figura E. 4: Tempo de CPU versus EPν para Q = 16, E = 262.144 e SE-EP ótimo e equação de Poisson.

As equações de Laplace linear e Poisson apresentaram o mesmo ótimoν ( )1== SEEP νν ,

para problemas anisotrópicos. Os resultados obtidos para a equação de Laplace senoidal na

seção 5.2.4. foram análogos.

E4. COMPARAÇÃO ENTRE OS ALGORITMOS

As Figs. E.5 e E.6 fazem uma comparação entre os algoritmos SE-EP padrão e SE-EP

ótimo para a equação de Laplace linear. A Fig. E.5 apresenta a razão de aspecto Q = 1/16 e a

Fig. E7 a razão Q = 16. Verifica-se que o algoritmo SE-EP ótimo obteve um menor tempo de

CPU em relação ao SE-EP ótimo.

198

104 105 1061E-3

0,01

0,1

1


Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura E.5: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP (padrão) e SE-EP (ótimo) para Q = 1/16 e equação de Laplace linear.

104 105 1061E-3

0,01

0,1

1


Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura E.6: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP (padrão) e SE-EP (ótimo) para Q = 16 e equação de Laplace linear.

A Fig. E.7 faz uma comparação entre os algoritmos EP e EP ótimo para a equação de

Laplace linear e Q = 1. Verifica-se que o tempo de CPU do algoritmo EP ótimo é menor em

relação ao EP.

199

104 105 106

1E-3

0,01

0,1

1


Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura E. 7: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo EP versus EP (ótimo) para Q = 1 e equação de Laplace linear.

Verificou-se que para todos os tamanhos de problemas e todas as razões de aspecto o

tempo de CPU do SE-EP ótimo foi melhor em relação ao do SE-EP padrão. Por exemplo,

para um problema com 1.048.576 elementos o algoritmo SE-EP ótimo obteve um tempo de

CPU de 61,7%; 33,2% e 48,7% menor para as razões 1/16, 1 e 16 respectivamente em

comparação com o SE-EP padrão. Ou seja, o algoritmo SE-EP ótimo é duas a três vezes mais

rápido que o SE-EP padrão para a equação de Laplace linear.

As Figs. E.8 e E.9 fazem uma comparação entre os algoritmos SE-EP padrão e SE-EP

ótimo para a equação de Poisson. A Fig. E.8 apresenta a razão de aspecto Q = 1/16 e a Fig.

E.9 a razão Q = 16. Verifica-se que o algoritmo SE-EP ótimo obteve um menor tempo de

CPU em relação ao SE-EP padrão.

200

104 105 1061E-3

0,01

0,1

1


Tem

po d

e C

PU (s

)

E

Figura E.8: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP (padrão) e SE-EP (ótimo) para Q = 1/16 e equação de Poisson.

104 105 1061E-3

0,01

0,1

1

SE-EP (padrão) SE-EP (ótimo)Te

mpo

de

CPU

(s)

E

Figura E.9: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo SE-EP padrão versus SE-EP (ótimo) para Q = 16 e equação de Poisson.

A Fig. E.10 faz uma comparação entre os algoritmos EP e EP ótimo para a equação de

Laplace linear e Q = 1. Verifica-se que o tempo de CPU do algoritmo EP ótimo é menor em

relação ao EP.

201

104 105 106

1E-3

0,01

0,1

1


Tem

po d

e C

PU

(s)

E

Figura E.10: Tempo de CPU versus número de elementos (E) para o algoritmo EP versus EP

(ótimo) para Q = 1 e equação de Poisson.

Verificou-se que para todos os tamanhos de problemas e todas as razões de aspecto o

tempo de CPU do SE-EP ótimo foi melhor em relação ao do SE-EP padrão. Para um

problema com 1.048.576 elementos o algoritmo SE-EP ótimo obteve uma redução no tempo

de CPU de 64%; 38% e 67% para as razões 1/16, 1 e 16, respectivamente, em comparação

com o SE-EP padrão. Ou seja, o algoritmo SE-EP ótimo é cerca de duas a três vezes mais

rápido que o SE-EP padrão. Os resultados obtidos para a equação de Laplace senoidal

apresentados na seção 5.2.4 foram análogos.

202

APÊNDICE F: GERAÇÃO DE MALHAS Este apêndice descreve a geração de malhas para a anisotropia tipo III ( yx hh ≠ ,

yx NN ≠ e yx CC = ). A demonstração a seguir tem por objetivo encontrar uma forma de

gerar malhas com mesmo número de elementos para diferentes razões de aspecto.

Algumas razões de aspecto utilizadas nesta tese foram: 1024, 4096 e 16384.

Reescrevendo na base 2 ficam na forma: 210, 212 e 214. Estas malhas, representadas na base 2,

podem ser definidas por:

yx EEE .= (F.1)

Consideram-se duas malhas:

11 2.21baE = (F.2)

e

22 2.22baE = (F.3)

onde +Ζ∈ *2211 e,, baba . A malha 1Ω deve ter o mesmo número de elementos que a malha

2Ω . Logo:

21 EE = (F.4)

ou seja:

2211 2.22.2 baba = (F.5)

ou ainda:

2211 22 baba ++ = (F.6)

logo:

2211 baba +=+ (F.7)

203

Exemplo:

Considere 1== yx CC e razão de aspecto 422 ==Q , tem-se que:

1

.11

1y

x

y

x

y

x EE

E

Ehh

Q === (F.8)

11

1

1

222 ab

a

b

x

y

EE

Q −=== (F.9)

como 22=Q então:

11222 abQ −== (F.10)

logo:

211 =− ab (F.11)

Analogamente para 1624 ==Q tem-se:

422 =− ab (F.12)

Com as equações Eq. (F.11) e Eq. (F.12) obtém-se o sistema representado pela Eq.

(F.13).

⎩⎨⎧

=−=−

42

22

11

abab

(F.13)

Substituindo-se as equações do sistema representado pela Eq. (F.13) em Eq. (F.7) e

deixando todas as variáveis em função de 1a tem-se que:

204

221112 4,2,1 ababaa +=+=−= (F.14)

Atribuindo valores para 1a determinam-se 12 , ba e 2b . Substituindo estes valores na

Eq. (F.14) obtém-se xE e yE para as razões 4 e 16. Para cada valor de 1a é determinado um

valor para xE e yE . Este processo foi realizado para todas razões de aspecto utilizadas na

tese. As malhas geradas por este processo encontram-se na Tab. E1.

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