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Variveis Aleatrias

Varivel AleatriaExemplo 3.1Consideremos a seguinte experincia aleatria: Num jogo entre os Ases e as Estrelas perguntou-se a 3 espectadores escolhidos ao acaso se concordavam ou no com a substituio do treinador. Suponhamos que os espectadores seleccionados foram o Asdrbal, o Segismundo e a Felisbela. Quais as respostas possveis? Considerando C-concordo e D-discordo, o espao de resultados s respostas dos 3 espectadores : ={DDD, DDC, DCD, CDD, DCC, CDC, CCD, CCC} Porm no interessa saber a ordem das respostas mas sim o nmero de respostas D, por exemplo. Assim, a cada resultado vamos associar nmeros reais de acordo com o nmero de respostas D. Esta correspondncia define o que se costuma designar por varivel aleatria.Variveis Aleatrias 2

Varivel Aleatria (cont.)DefinioUma varivel aleatria (unidimensional) uma funo que a cada acontecimento do espao de resultados faz corresponder um valor real. Podemos classificar as variveis aleatrias em discretas e contnuas:Uma varivel aleatria diz-se discreta se s assume um nmero finito ou infinito numervel de valores distintos. Uma varivel aleatria diz-se contnua se assumir um nmero infinito no numervel de valores distintos.

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Varivel Aleatria (cont.)Exemplo 3.2 Seja a experincia aleatria que consiste na observao do volume de vendas dirio de trs pontos de venda de uma empresa. Ento, ={(v1, v2, v3): vi 0, i=1,2,3}. Podemos definir as seguintes variveis aleatrias: X- soma das vendas dirias dos trs pontos de venda da empresa Y- mximo das vendas dirias Exemplo 3.3 Seja a experincia aleatria que consiste na observao do tempo de espera at chegada de um autocarro numa paragem. Ento, ={t: t 0}. Podemos definir a seguinte varivel aleatria: X- tempo de esperaVariveis Aleatrias 4

Varivel Aleatria (cont.)Ter sentido falar na probabilidade de uma varivel aleatria assumir um determinado valor?Uma vez que aos acontecimentos atribumos, natural definir probabilidade de uma varivel aleatria assumir um determinado valor, como sendo a probabilidade do acontecimento, que fez com que a varivel aleatria tivesse esse valor!

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Varivel Aleatria (cont.)Exemplo 3.1 (cont.) Considerando X - nmero de respostas D (discordo) temos P(X=0)=P({CCC})=1/8 P(X=1)=P({DCC, CDC, CCD})=3/8 P(X=2)=P({DDC, CDD, DCD})=3/8 P(X=3)=P({DDD})=1/8

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Variveis Aleatrias DiscretasFuno massa de probabilidade

DefinioSeja X uma v.a. do tipo discreto, que assume valores distintos x1, x2,..., xn,.... Ento, a funo pX, definida por

P( X = x), se x = x j p X ( x) = , j = 1,2,..., n,... 0, se x x j designa-se por funo de probabilidade da v.a. X ou funo massa de probabilidade da v.a. X se satisfaz as seguintes condies: 1) pX(xi)0, xi 2)

p X (xi ) = 1i7

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Variveis Aleatrias DiscretasFuno massa de probabilidade (cont.)

Exerccio 3.1 Considere a varivel aleatria X que representa a soma das pintas que ficam voltadas para cima quando se lanam dois dados. a) Defina esta varivel aleatria, determine a sua funo massa de probabilidade e represente-a graficamente. b) Qual a probabilidade da soma das pintas dos dados ser inferior ou igual a 5?

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Variveis Aleatrias DiscretasFuno de distribuio

DefinioDefine-se funo de distribuio da v.a. X, como FX(x)= P(X x) A funo de distribuio verifica as seguintes propriedades: 1) 0 FX(x)1, xIR 2) FX(x2) FX(x1), x1, x2 com x2> x1 3) xlim FX ( x ) = 0 e x +

lim FX ( x ) = 1

4) P(x1 x1 Esta definio tambm vlida para uma varivel aleatria contnua.Variveis Aleatrias 9

Variveis Aleatrias DiscretasValor esperado

DefinioSeja X uma varivel aleatria discreta. O valor esperado de X (ou mdia de X), E[X] (tambm representado por X ou simplesmente ) define-se por E[X] = xi p X ( xi )i

Propriedades do valor Esperado Sendo X e Y duas variveis aleatrias, e k uma constante real, i) E[k]=k ii) E[kX]=kE[X] iii) E[XY]=E[X] E[Y] iv) E[XY]= E[X].E[Y]+cov(X,Y) Caso X e Y sejam independentes, vir E[XY]= E[X].E[Y]Variveis Aleatrias 10

Variveis Aleatrias DiscretasVarincia

DefinioSeja X uma varivel aleatria discreta. A varincia de X, representada por 2 2 var(X) = X = definida por var(X)=E[(X-X)2] e, consequentemente, pode ser calculada como2 var(X)= ( xi X ) p X ( xi ) i

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Variveis Aleatrias DiscretasPropriedades da varincia Propriedades da varincia Sendo X e Y duas variveis aleatrias, e k uma constante real, i) var(k)=0 ii) var(kX)=k2 var(X) iii) var(XY)=var(X) + var(Y) 2cov(X,Y) Caso X e Y sejam independentes var(XY)=var(X) + var(Y) iv) var(X)= E[X2] E2[X] Designa-se por desvio padro a raiz quadrada positiva da varincia: X==+ var (X)

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Variveis Aleatrias ContnuasFuno densidade de probabilidade

DefinioSe X uma varivel aleatria contnua, ento existe uma funo fX, designada por funo densidade de probabilidade de X, tal que FX(x)= P(X x)= x

fX ( y)dy

A funo densidade de probabilidade verifica as seguintes propriedades: 1) 0 fX(x)1, xIR+

2)

fX ( x)dx = 1

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Variveis Aleatrias BidimensionaisFuno de probabilidade conjunta

DefinioChama-se funo de probabilidade conjunta da varivel aleatria bidimensional (X,Y) funo pX,Y(xi, yk) que associa a cada elemento de IR2 uma probabilidade pX,Y(xi, yk)= P(X= xi, Y= yk). A funo de probabilidade conjunta verifica as seguintes condies: 1) pX,Y(xi, yk)0, (xi, yk) IR2 2)

pi k

X,Y

(xi , yk ) =1

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Variveis Aleatrias BidimensionaisFuno de distribuio conjunta

DefinioDada uma varivel aleatria bidimensional (X,Y) discreta, a funo de distribuio conjunta de (X,Y), FX,Y(x, y), ser: FX,Y(x, y)= P(X x, Y y)=xi x y k y

p

X,Y

( xi , yk )

A funo de distribuio conjunta verifica as seguintes condies: 1) 0 FX,Y(x, y)1, (x, y) IR2 2) FX,Y(x2, y2) FX,Y (x1, y1), x2> x1 , y2> y1 3) lim FX,Y ( x,y) = 0x y

e

x + y +

lim FX,Y ( x,y ) = 1

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Variveis Aleatrias BidimensionaisFuno de probabilidade marginal

DefinioDada uma varivel aleatria bidimensional (X,Y) possvel definir duas funes: a funo de probabilidade marginal de X, pX(xi), e a funo de probabilidade marginal de Y, pY(yk), como se segue:

p (x , y ) pX(xi)= P(X= xi, Y qualquer)= X,Y i kk

pY(yk)= P(X qualquer, Y= yk)=

p X,Y ( xi , yk )i

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Variveis Aleatrias BidimensionaisIndependncia

DefinioDada uma varivel aleatria bidimensional (X,Y), diz-se que as v.a. unidimensionais que a integram, X e Y, so independentes, se a sua funo de probabilidade conjunta, pX,Y(xi, yk), for igual ao produto das funes de probabilidade marginais correspondentes, isto :

pX,Y(xi, yk)=pX(xi). pY(yk), (xi, yk) IR2 .

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Variveis Aleatrias BidimensionaisProbabilidade Condicionada

DefinioSejam X e Y duas v.a. discretas

P( X = xi , Y = yk ) p X,Y ( xi , yk ) P( X = xi | Y = yk ) = = P( Y = y k ) p Y ( yk )

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Variveis Aleatrias BidimensionaisCovarincia

DefinioDefine-se covarincia entre X e Y, cov(X,Y), como cov(X,Y)= X,Y= E[(X-X)(Y-Y)] e, portanto, cov(X,Y)= ( xi X )( yk Y )pX,Y ( xi , yk )i k

se (X,Y) uma varivel aleatria discreta.

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Variveis Aleatrias BidimensionaisCovarincia (cont.) Verifica-se que - < X,Y