Efeito da temperatura em escoamentos de Fluidos não...

Efeito da temperatura em escoamentos de Fluidos não

Newtonianos

Profa. Mônica F. Naccache

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Resumo

•  Efeito das temperaturas nas funções materiais

•  Solução das equações de conservação em escoamentos não isotérmicos

•  Problema típico de transferência de calor


Influência da temperatura nas funções materiais

•  As funções materiais dependem da constituição química do fluido, da temperatura e da pressão

•  Exemplo: viscosidade


Método das variáveis reduzidas: curva mestre

•  Observa-se que o comportamento qualitativo da viscosidade independe da temperatura

•  Plota-se:

€

ηr × ˙ γ r

aT =η0(T)T0ρ0η0(T0)Tρ

ηr =η ˙ γ ,T( )η0 T0( )η0 T( )

=η ˙ γ ,T( )T0aTT

˙ γ r = aT ˙ γ


€

τ r ˙ γ ,T0( ) = τ ˙ γ ,T( ) T0ρ0Tρ

ηr =τ r˙ γ r

N1,r ˙ γ ,T0( ) = N1 ˙ γ ,T( ) T0ρ0Tρ


•  Outros exemplos:

Exemplos variação de propriedades reológicas com temperatura

•  Mel:

€

µ = 2.95 ×10−16 exp 22108 /RT( )


Exemplos variação de propriedades reológicas com temperatura (cont.)

•  Suco de laranja concentrado:


• variação de K


€

η = 4,646 ×10−9 exp 5668,3T

%

& '

(

) * ̇ γ −0.226


Propriedades de polímeros fundidos


Solução das equações de conservação em escoamentos não isotérmicos

•  As equações de conservação devem ser resolvidas de forma acoplada, a menos que as propriedades possam sem consideradas ctes

€

∇ • v = 0

ρDvDt

taxa var. QML

= −∇pForça pressãopor un. vol.

+ ∇ • η ˙ γ ( )Força viscosa porun. vol.

+ ρgForça gravitacional

ρcpDTDt

taxa var. en. internapor un. vol.

= ∇ • k∇T( )

fluxo energia por conduçãopor un. vol.

+12η ˙ γ : ˙ γ ( )

taxa conversão en.mecânica para térmica(diss. viscosa) por un. vol.


- Escoamento confinado- CL se desenvolve com restrição- Regiões de entrada e desenvolvida- Escoamento em dutos circulares:

- Efeito viscoso é sentido ao longo de todo o escoamento- Escoamento desenvolvido: u=u(r)- Comprimento de entrada: Lent

Escoamentos Internos


€

τ(2πrdx) − {τ(2πrdx) +ddr

τ (2πrdx)[ ]dr} +

p(2πrdr) − {p(2πrdr) +ddx

p(2πrdr)[ ]dx} = 0

−1rd rτ( )dr

= r dpdx

€

τ = −µdudr

Fluido Newtoniano:

€

µrddr

r dudr

"

# $

%

& ' =

dpdx

u(r) =1µdpdx

r 2

4+ C1 ln r + C2

CC : u(r0) = 0 dudr r= 0

= 0

⇒ u(r) = −14µ

dpdxr0

2 1− rr0

"

# $ $

%

& ' '

2*

+

, ,

-

.

/ /

-  Perfil de velocidades num tubo circular:-  Hip.: Escoamento laminar, regime permanente, propriedades constantes, esc. desenvolvido

€

v = 0∂u∂x

= 0


CL térmica-  T(r,x) no escoamento desenvolvido depende da CC-  Desenvolvimento térmico no esc. laminar: Lent,t/D ≈0.05RePr-  Pr > 1: Lent/D < Lent,t/D-  Pr < 1: Lent/D > Lent,t/D-  Pr >100: Lent/D << Lent,t/D


Análise térmica

- Temperatura de mistura (ou de bulk):

€

Tb = Tm =1

˙ m cv

ρucvTdAA∫

- Lei de Newton de resfriamento: qs" = h (Ts-Tm)

- Desenvolvimento térmico do escoamento:

€

θ =Ts(x) − T (r, x)Ts(x) − Tm(x)

€

∂θ∂x

= 0 … Temperatura adimensional

para 2 CC, (Ts=cte ou qs=cte. Obs.: se qs=cte, Ts=Ts(x))

- Como θ independe de x, então:

€

∂θ∂r r=R

=−∂T /∂r

r=R

Ts −Tm≠ f (x)

qs"= −k∂T∂r r=R

= h(Ts − Tm) ⇒ hk≠ f (x) h independe de x, se

as propriedades são ctesProfa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

- Para o caso em que qs" = cte, na região desenvolvida:

€

dTsdx

=dTmdx

mas ∂T∂x

=dTsdx

−Ts −TTs −Tm

dTsdx

+Ts − TTs − Tm

dTmdx

⇒ ∂T∂x

=dTmdx

(independe de r)

- Para o caso em que Ts = cte, na região desenvolvida:

€

dTsdx

= 0

⇒ ∂T∂x

=Ts −TTs − Tm

dTmdx

= f (r)


Balanço de Energia

€

dqconv + ˙ m (cvTm + pv) − ˙ m (cvTm + pv) + ˙ m d(cvTm + pv)dx

dx#

$ % &

' ( = 0

⇒ dqconv

taxa de troca decalor por convecção

= ˙ m d(cvTm + pv)fluxo de energia térmica devida ao fluxo massa + trabalho líquido realizado pelo fluido ao se movimentaratravés do VC

Para gases ideais: pv=RTm , cp=cv+R

€

⇒ dqconv = ˙ m c p dTm

Para líquidos incompressíveis, cv=cp e v é muito pequeno (d(pv)<<d(cvTm))

€

⇒ dqconv = ˙ m c p dTmProfa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Integrando a equação acima ao longo de todo o tubo:

€

qconvcalor total transferido ao tubo

= ˙ m cp (Tm,s −Tm,e )

Num elemento diferencial de fluido:

€

dqconv = q"s PdxP - perímetro da superfície (tubo circular : P = πD)

⇒dTm

dx=

q"s P˙ m c p

=P

˙ m c p

h(Ts − Tm)

•  Se Ts>Tm, calor é transferido ao fluido e Tm cresce com x•  Se Ts<Tm, calor é transferido pelo fluido e Tm cai com x


Solução para fluxo de calor na superfície constante

€

qconv = ˙ m c p (Tm,s −Tm ,e) = q"s (PL)

Além disso:

€

dTm

dx=

q"s P˙ m c p

= cte

⇒ Tm(x) = Tm ,e +q"s P˙ m c p

x

•  Na entrada Ts-Tm cresce com x, porque h=h(x) cai com x (qs" = h (Ts-Tm)=cte)•  Na região desenvolvida, h=cte e Ts-Tm também


Solução para temperatura na superfície constante

€

ΔT ≡ Ts − Tm

dTm

dx= −

d(ΔT)dx

=P˙ m c p

hΔT

d(ΔT )ΔTΔTe

ΔTsai∫ = −P˙ m c p

hdx0

L∫

⇒ ln ΔTsai

ΔTe

'

( ) )

*

+ , , = −

PL˙ m c p

1L

hdx0

L∫

⇒ ln ΔTsai

ΔTe

'

( ) )

*

+ , , = −

PL˙ m c p

h L ⇒ΔTsai

ΔTe

=Ts −Tm ,sai

Ts − Tm,e

= exp −PL˙ m c p

h L'

( ) )

*

+ , ,

ou Ts − Tm,x

Ts − Tm,e

= exp −Px˙ m c p

h x'

( ) )

*

+ , , •  (Ts-Tm) cai exponencialmente

com x


Fluxo de calor

€

qconv = ˙ m cp (Ts −Tm,e )=ΔTe

− (Ts −Tm,sai)=ΔTsai

$

%

& &

'

(

) )

⇒ qconv = h AsΔTlm

onde ΔTlmdiferença média logaritmicade temperatura no tubo

≡ΔTsai − ΔTe

ln(ΔTsai /ΔTe )

- Se ao invés de conhecermos Ts, conhecemos a temperatura do fluido externo em contato com a superfície (T∞) ou a temperatura da superfície externa (Tse), a expressão acima continua válida, substituindo h por U (coeficiente global de troca de calor) e Ts por T∞ ou Tse


Escoamento laminar em tubos circularesFluido Newtoniano

- Equação da energia na camada limite hipóteses: reg. permanente, propriedades constantes, dissipação viscosa desprezível

€

u∂T∂x

+ v∂T∂r

=αr∂∂r

r∂T∂r

$

% &

'

( )

- escoamento totalmente desenvolvido: v=0, ∂u/∂x=0 e qs"=cte

€

1r∂∂r

r ∂T∂r

#

$ %

&

' ( =

2umα

dTmdx

#

$ %

&

' (

= cte

1− rR#

$ %

&

' (

2+

, -

.

/ 0

⇒ T(r,x) =2umα

dTmdx

#

$ %

&

' ( r2

4−

r4

16R2

+

, -

.

/ 0 + C1 lnr + C2

CC : r = 0, T é finito ⇒ C1 = 0

r = R, T(R) = Ts(x) ⇒ C2 = Ts(x) − 2umα

dTmdx

#

$ %

&

' (

3R2

16

⇒ T(r,x) = Ts(x) − 2umR2

αdTmdx

#

$ %

&

' (

316

+1

16rR#

$ %

&

' (

4

−14

rR#

$ %

&

' (

2+

, -

.

/ 0


- Utilizando este resultado podemos determinar:

€

Tm(x) = Ts(x) − 1148

umR2

α

$

% & &

'

( ) ) dTmdx

Tm(x) − Ts(x) = −1148

q"s Dk

h =4811

kD⇒ NuD ≡

hDk

= 4.36 (q"s = cte)

Nusselt = constante !


- Com a CCT de temperatura da superfície constante (Ts=cte), a equação de energia fica:

€

1r∂∂r

r∂T∂r

#

$ %

&

' ( =2umα

dTmdx

#

$ %

&

' ( 1− r

R#

$ %

&

' ( 2+

, - -

.

/ 0 0 Ts −TTs −Tm

Da solução da equação acima (por método iterativo):

NuD=3.66


Região de entrada

•  Nu →∞ em x=0•  Nu x Gz independe de Pr no problema de desenvolvimento térmico•  Nu depende de Pr no problema de desenvolvimento simultâneo (Nu cai com Pr e tende ao resultado do problema de desenvolvimento térmico quando Pr →∞)


- Solução do problema térmico na região de entrada, considerando perfil de velocidade desenvolvido (p.ex., altos Pr como é o caso óleos- Problema combinado: desenvolvimento hidrodinâmico e térmico simultâneo

Escoamento de fluido Power-Law no interior de tubos com temperatura da parede constante – região entrada

T0

T1

Rr

x

€

x = 0 :

T = T0

vx = vmax 1−rR#

$ %

&

' ( 1/ n+1)

* +

,

- .

/

0 1

2 1

r = R, x > 0 :T = T1

vmax =τRk

#

$ %

&

' ( 1/ n R1/ n +1

Obter a distribuição de temperatura para baixos x (troca de calor restrita a regiões perto da parede)Hipóteses: Escoamento hidrodinamicamente desenvolvido Regime permanente Propriedades independentes da temperatura Fluido Power-law


Eq. energia para baixas velocidades (desprezando o termo de dissipação)

€

ρcpvmax 1− rR$

% &

'

( )

1/ n+1*

+ ,

-

. / ∂T∂x

convecção

= k 1r∂∂r

r ∂T∂r

$

% &

'

( ) +

∂ 2T∂x 2

*

+ ,

-

. /

condução

CC : r = 0 T é finito r = R T = T1

x→−∞ T→ T0

x→ +∞ T→ T1


•  Adimensionalizando e usando o método de combinação de variáveis:

€

φ ξ( ) dθdς

=1ξ∂∂ξ

ξ∂θ∂ξ

'

( )

*

+ , +

1Pe2

d2θdς 2

desprezível qdo κ baixo(polimeros)

θ ς = 0( ) =1 θ ξ =1( ) = 0 θ ξ = 0( )→ finito

θ =T −T1

T0 −T1

ξ =rR

ς =κ / ρc p( )x

v xR2 Pe =

ρc pv xRκ

=RePr

φ =vx

v x=

1/ n + 31/ n +1'

( )

*

+ , 1−ξ1/ n +1( )

d2θdχ 2 + 3χ 2 dθ

dχ= 0

χ =1−ξ

9ς / 1/ n + 3( )3θ χ = 0( ) = 0 θ χ →∞( ) =1

⇒θ =1

Γ 4 / 3( )e−χ 3 dχ

0

χ

∫Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Fluxo de calor e número de Nusselt

€

qw = h Tb −T1( )

Tb =T(r,x)vxdA∫

vxdA∫

Nu =2hRκ

=2

Γ 4 / 3( )1/ n + 3( )v xR

2

9 κ / ρcp( )x3


Observações

•  O desenvolvimento anterior pode ser utilizado para outras situações (outras CC, outras geometrias, outras aproximações)

•  Exemplo: solução considerando o efeito do aquecimento por dissipação viscosa:

€

ρcpvmax 1− rR$

% &

'

( )

1/ n+1*

+ ,

-

. / ∂T∂x

convecção

= k 1r∂∂r

r ∂T∂r

$

% &

'

( ) +

∂ 2T∂x 2

*

+ ,

-

. /

condução

+ ηdudr$

% &

'

( )

2

geração energiapor dissipação viscosa


Escoamento de Couette - entre 2 placas paralelas infinitas

•  Hipóteses:Propriedades ctesEscoamento desenvolvidoEsc. no plano xy: w=0,Regime permanenteFluido Newtoniano , T=T(y)


€

∂ /∂x = 0( )

€

∂ /∂z = 0

€

∂T /∂x = 0

Eq. conservação de massa:

€

∂u∂x

+∂v∂y

= 0⇒ ∂v∂y

= 0 v = cte = 0

€

ρ u∂u∂x

+ v∂u∂y

$

% &

'

( ) = −

∂p∂x

+ µ∂ 2u∂x 2

+∂ 2u∂y 2

$

% &

'

( ) + ρgx

ρ u∂v∂x

+ v∂v∂y

$

% &

'

( ) = −

∂p∂y

+ µ∂ 2v∂x 2

+∂ 2v∂y 2

$

% &

'

( ) + ρgy

⇒ −∂p∂y

− ρg = 0 p = f (x) − ρgy

P = p + ρgy⇒∂P∂y

=∂p∂y

+ ρg = 0 ∂P∂x

=∂p∂x

=dPdx

dPdxg( x )

= µ∂ 2u∂y 2$

% &

'

( )

h( y )

= cte(= A)⇒ u =Aµy 2

2+C1y +C2

Eq. conservação de QML: €

v = u ˆ e x+ v ˆ e y+ w ˆ e z = u(y) ˆ e x


€

CC : y = −a u = 0y = a u =U

⇒ u = −dPdx

a2

2µ1− y

2

a2$

% &

'

( ) +

U21+

ya

$

% &

'

( )

um = −13dPdx

a2

µ+3U4

τ = µdudy

=dPdx

y + µU2a

Casos particulares: U=0 dP/dx=0


€

f =−(dp/dx)D1/2ρum

2

€

Cf =τ

1/2ρum2

fator deatrito:

Coeficientede atrito:

Equação da Energia

€

ρcp u∂T∂x

+ v∂T∂y

$

% &

'

( ) = k

∂ 2T∂x 2 +

∂ 2T∂y 2

$

% &

'

( ) + µφ + ˙ q

µφ = µ∂u∂y

+∂v∂x

$

% &

'

( )

2

+ 2 ∂u∂x$

% &

'

( )

2

+∂v∂y$

% &

'

( )

2+

, - -

.

/ 0 0

1 2 3

4 3

5 6 3

7 3

⇒ 0 = kd2Tdy 2

$

% &

'

( ) + µ

dudy$

% &

'

( )

2

T = −µk

1µ

dpdx

$

% &

'

( )

2y 4

12+

dpdx

Uy 3

6aµ+

U2a$

% &

'

( )

2 y 2

2

+

, - -

.

/ 0 0

+ C1y + C2

CC : y = −a T = T0 (placa inferior)y = a T = T1 (placa superior)

θ =T − To

T1 − To

=12

1+ya

+

, - .

/ 0 +

µ cp

kU 2

cp T1 − To( )18

1 − y 2

a2

$

% &

'

( ) +

13

µ cp

kU [dp / dx a2 /(2 µ)]

cp T1 − To( )ya−

y 3

a3

$

% &

'

( ) +

13

µ cp

kdp / dx a2 /(2 µ)( )2

cp T1 − To( )1 − y 4

a4

$

% &

'

( )


Número de Prandtl: razão entre difusividades de momentum e térmica

Número de Eckert: caracteriza a energia gerada por dissipação

€

€

T − ToT1 − To

=121+

ya

#

$ % &

' ( + Pr E 1

81 − y 2

a2)

* +

,

- . +

13Pr U [dp / dx a

2 /(2 µ)]cp T1 − To( )

ya−y 3

a3)

* +

,

- . +13Pr

dp / dx a2 /(2 µ)( )2

cp T1 − To( )1 − y 4

a4)

* +

,

- .


Outras soluções


Problema típico de transferência de calor

Suponha que no processo de transporte de um fluido de perfuração, o mesmo tem que ser resfriado de 80 a 250C. A vazão mássica é igual a 50 g/s. A reologia do fluido é bem representada por uma função viscosidade do modelo de Bingham, com tensão limite de escoamento igual a 5 Pa e viscosidade plástica igual a 0,05 Pa.s. As outras propriedades do fluido são: massa específica de 1052 kg/m3, calor específico de 3150 J/kgK, e condutividade térmica de 0,25 W/mK. Pretende-se resfriar o fluido passando-o por uma serpentina imersa em um banho d’água agitada a 150C. Calcule o comprimento de serpentina necessário, considerando 2 diâmetros: 35 mm e 4 mm. Calcule a potência de bombeamento para as duas situações.


Solução•  Calor necessário para resfriar o fluido:

•  Diferença média logaritmica de temperatura:

•  Velocidades médias para os 2 diâmetros:

€

Q = ˙ m c Tbi −Tbo( ) = 50 ×10−3 × 3150 × 80 − 25( )= 8662,5W

€

ΔTc =Tbi −Tw( ) − Tbo −Tw( )

lnTbi −Tw( )Tbo −Tw( )

=80 −15( ) − 25 −15( )

ln 65 /10( )= 29,4C

€

v1 =˙ m

ρ πD12 / 4( )

=0,05

1052 ×π 0,0352 / 4( )= 0,44m / s

v2 =˙ m

ρ πD22 / 4( )

=0,05

1052 ×π 0,0042 / 4( )= 34,04m / s


Estimativa do número de Reynolds (para definição do regime de esc. e cálculo de Nu)

•  Para o cálculo de Re, deve-se determinar uma taxa de deformação característica do escoamento e então calcular a viscosidade avaliada neste valor

•  Da literatura, obtêm-se a tensão cisalhante na parede para o esc. de um fluido de HB (com n=1, Bingham) num duto circular:

€

τR − τ 0µP

=2vD

= ˙ γ c( ) 1121− τR

τ 0

%

& '

(

) * −13τRτ 01− τR

τ 0

%

& '

(

) *

2

−141− τR

τ 0

%

& '

(

) *

3


•  Resolvendo para as 2 situações:

€

τR1 =11,61Pa > τ 0( )→ ˙ γ c1 =132,30 s−1

τR 2 = 3410,65 Pa > τ 0( )→ ˙ γ c2 = 68112,92 s−1

ηc1 =τ 0˙ γ c1

+ µP =5

132,3+ 0,05 = 0,09 Pa.s

ηc2 =τ 0˙ γ c2

+ µP =5

68112,92+ 0,05 = 0,05 Pa.s


€

Re1 =ρv1D1ηc1

=1052 × 0,44 × 0,035

0,09=186,46 laminar

Re2 =ρv2D2

ηc2

=1052 × 34,04 × 0,004

0,05= 2860 turbulento

No regime laminar, Nu é função da reologia. No regime turbulento, o efeito NN é reduzido, e Nu é função de Re e Pr. O número de Pr=μc/κ, relaciona as difusividades de momentum e térmica, e é adimensional.


•  Esc. laminar de fluido de Bingham no tubo, CC Tw constante, Nu pode ser estimado através de:

•  Assim, Nu1=4,24€

Nu = 3,66 +1,132 τ 0τR

−1,054 τ 0τR

$

% &

'

( )

2

+ 3,558 τ 0τR

$

% &

'

( )

3


•  No escoamento turbulento em dutos:

€

Nu = 0,0152Pr1/ 3Re(1−0,155)

Pr2 =ηc2cκ

=0,05 × 3150

0,25= 630,92

⇒ Nu2 =108,61Assim os coeficientes de troca de calor são dados por :

h1 = Nu1κD1

= 30,26 W /m2K

h2 = Nu2κD2

= 6788,20 W /m2K


•  Área de troca de calor e comprimento da serpentina:

€

A1 =Q

h1ΔTc=

8662,530,26 × 29,4

= 9,74m2

A2 =Q

h2ΔTc=

8662,56788,20 × 29,4

= 0,043m2

A = πDL

⇒ L1 =A1πD1

= 88,58 m

L2 =A2πD2

= 0,34 m


•  Perda de carga e potência de bombeamento

€

Δp1 =4L1τR1

D1

=4 × 88,58 ×11,61

0,035=1,175 ×105 Pa

Δp2 =4L2τR 2

D2

=4 × 0,34 × 3410,65

0,004=1,160 ×105 Pa

Ρ1 =˙ m ρΔp1 =

0,051052

×1,175 ×105 = 5,58W = 0,0075HP

Ρ2 =˙ m ρΔp2 =

0,051052

×1,160 ×105 = 55,11W = 0,074HP


Conclusões

•  Com o duto 1, o comprimento (maior custo de material) e volume ocupado são bem maiores (V1= 0,085m3; V2=0,043x10-4m3) , mas a potência de bombeamento é bem menor.

•  Se a estimativa fosse feita considerando fluido Newtoniano, os erros (principalmente em esc. laminar) seriam grandes.


Efeito da temperatura em escoamentos de Fluidos não...

Documents

Transcript of Efeito da temperatura em escoamentos de Fluidos não...