Edward Hermann Lógica e Computação 1

Lógicas em Dedução Natural

Lógica Minimal : Todas as regras para e

LLógica Intuicionista : LLógica Minimal + Abs. Intuic.

Lógica Clássica : Lógica Minimal + Abs. Clássico

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Consequência Dedutiva

Sejam um conjunto de fórmulas e uma fórmula.

Existe uma dedução de a partir de

Cn() = { / }

Cn() = ?

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O que se espera de um sistema dedutivo?

Corretude : Se então .

Completude : Se então .

Teorema : Dedução Natural é um sistema dedutivo correto e completo com relação à semântica clássica.

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O que se pode expressar na linguagem da

lógica proposicional ?

Como expressar propriedades ?

Como qualificar objetos ?

Como generalizar conceitos ?

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A Linguagem de primeira ordem

é Mortal

propriedade

Predicado

Todo

Conjunto

Homem

objeto deuma classe

Conjunto Toda

ref.

Toda referência ao conjunto dos homens pertenceao conjunto dos mortais.

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Interpretação em aberto...

Toda referência ao conjunto denotado por Homem pertence ao conjunto denotado por Mortal.

x ( H (x) M (x) )

referência conjunto conjunto

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Funções e Relações

pai de João é colega de Denise

João Denise

colega(Denise, pai(João))

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Formalizando

Alfabeto

Símbolos lógicos

Símbolos não lógicos = definidos pelo usuário

~}

variáveis

constantes símbolosfuncionais

símbolospredicativos

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Termos (Denotam objetos) :Toda variável ou constante é um termo. Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo funcional de aridade n, então :

f(t1, ..., tn) é um termo.

Fórmulas atômicas ou Átomos : Se t1, ..., tn são termos e P é um símbolo

predicativo de aridade n, então :

P(t1, ..., tn) é uma fórmula atômica.

Se é uma fórmula, então :

xe xsão fórmulas

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Conceitos Sintáticos Importantes

- Variáveis Livres x Variáveis Ligadas

- Parâmetros

- uma categoria sintática para representar variáveis livres

- x(p(x) q(y)) - xp(x) q(x)

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Dedução Natural para primeira ordem

Intro

a)--------------xx

xx-----------------

t

Elim

a não pode ocorrer em nenhuma hipótese da qual adependa

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- Intro

t)-----------------

xx

xx---------------------------------

[a

- Elim

a não pode ocorrer em xx nem em nem em qualquer fórmula da qual a dedução deste dependa.

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Semântica

Como interpretar os símbolos não lógicos ?

Onde estão os objetos ?

Qual a denotação dos s. funcionais e predicativos ?

No universo do discurso.

- s. funcionais denotam objetos referenciados a partir de outros objetos. Funções (n-árias) sobre o Domínio.

Domínio)

- s. predicativos denotam propriedades ou relações

Relações sobre o Domínio.

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Uma estrutura para interpretar um linguagem L

de primeira ordem é um objeto do tipo :M = [ D, Pred, Func ]

onde :

D é um conjunto

Para cada s. funcional f, de aridade n, de L M associa uma função F : D

nD em Func.

Para cada s. predicativo p, de aridade n, de L

Massocia uma relação P Dassocia uma relação nem Pred.

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Exemplo Seja a linguagem L com : - Constantes : 0

- Funcionais : s, +, * , E

- Predicativos : <

Uma possível estrutura é : M = [N, <, 0, suc, +, *, E ]

com E sendo a função de expoenciação.

obs: Constantes podem ser vistas como Funcionais de aridade 0

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Outros exemplos

1- L=<, >

O que pode-se expressar nesta linguagem ?Quem pode ser estrutura para esta linguagem ?

2a- L=< {v0},{2}>

O que pode-se expressar nesta linguagem ?Quem pode ser estrutura para esta linguagem ?

3- L=< , {E2,D2,V0}>

O que pode-se expressar nesta linguagem ?Quem pode ser estrutura para esta linguagem ?

2b- L=<{2,i0}, >

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Como atribuir valor verdade às fórmulas ? P(t1, ..., tn) é verdadeira em uma estrutura

M sse, a interpretação da n-upla <t1, ..., tn> pertence a relação que denota P, em M.

Como interpretar variáveis ? Associa-se a cada variável um elemento do domínio, via uma funcão Assim :

P(t1, ..., tn) é verdadeira em uma estrutura M sob uma função sse, a interpretação da n-upla <t1, ..., tn> pertence a relação que denota P, em M. (< M,> P(t1, ..., tn))

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Fórmulas existênciais e universais

a/x](y) =

(y) se y x

a se y = x

< M, > x, sse para todo a Dom( M ) < M, a/x] >

< M, > x, sse existe a Dom( M ) < M, a/x] >

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Exemplos de fórmulas verdadeiras em

[N, <, 0, s, +, *, E ]

Sendo : Div(x,y) x 0 ) k( k*x = y)

Par(x) Div(s(s(0)),x)

Primo(x) x s(0)) y( Div(y,x) y = s(0) y = x)

n (Primo(n) Par(n))

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Outra estrutura para a mesma linguagem[Q, <, 0, suc, +, *, E ]

com :

Q Racionais, < é a ordem usual, s (m/n) = m/n + 1, E( m/n , k/j )= m k

+ e * usuais.

S =

S xyk(x k y k x < k k < y)

Obs : Omitimos a função quando a relação semântica se dá para todas as funções.

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Entendendo o par <M, > como uma interpre-tação :

Dedução Natural clássica é correta e completa para a linguagem de primeiraordem.

Compacidade].

- , sse para algum finito, .

- é satisfatível, sse, todo finito é satisfatível.

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Mundo "real"Mundo Linguistico M

M

Th(M)

Cn

Cn

Cn

Cn