Edo

Introducao Metodo de Euler Metodos de Runge-Kutta

Resolucao Numerica de EquacoesDiferenciais Ordinarias (EDO)

Ivanovitch Medeiros Dantas da Silva

Universidade Federal do Rio Grande do NorteDepartamento de Engenharia de Computacao e AutomacaoDCA0399 - Metodos Computacionais para Engenharia Civil

Natal, 09 de novembro de 2011

Ivanovitch Silva Resolucao Numerica de EDOs


Sumario

1 Introducao

2 Metodo de Euler

3 Metodos de Runge-Kutta



Equacoes Diferenciais

Uma Equacao Diferencial e uma equacao que envolvederivadas de uma ou mais funcoes.Elas servem para descrever o comportamento de sistemasdinamicos e possuem enorme aplicacao

Engenharia - comportamento de um circuito eletrico ou domovimento oscilatorio de estruturasBiologia - crescimento de populacoes de bacteriasEconomia - aplicacoes financeiras



Equacoes DiferenciaisClassificacao

Equacoes diferenciais sao classificadas de acordo com oseu tipo, ordem ou grau.Equacao diferencial ordinaria - se uma equacaodiferencial envolve derivadas de uma funcao de uma unicavariavel independente.

F (x , y ,dydx

,d2ydx

, . . . ,dnydx

)

Equacao diferencial parcial - se uma equacao diferencialenvolve derivadas parciais de uma funcao com duas oumais variaveis independentes.

F (x1, . . . , xn, y ,yx1

, . . . ,yxn

,2yx1

, . . . ,2yxn

, . . .)



Equacoes DiferenciaisSignificado grafico

Suponha um polinomio de quarto grau

y = 0.5x4 + 4x3 10x + 8.5x + 1

Derivando-o, obtemos uma EDO

dy/dx = 2x3 + 12x2 10

Essa equacao tambem descreve o comportamento depolinomio, sendo que de uma maneira diferente. Ao invesde descrever explicitamente o valor de y para cada valorde x, ela fornece a taxa de variacao de y com relacao a x.



Equacoes DiferenciaisSignificado grafico




Embora possamos determinar uma equacao diferencialdada a funcao original, o objetivo aqui e determinar afuncao original, dada a equacao diferencial.A funcao original e a solucao do nosso problema.No exemplo anterior, podemos calcular a funcao originalanaliticamente

y =(2x3 + 12x2 10)dx

= 0.5x4 + 4x3 10x + 8.5x + C



Equacoes DiferenciaisExemplo

Problema: analise de um corpo de massa m que cai comvelocidade v(t). Este corpo sofre uma forca de resistenciado ar na forma Fr = c v(t), onde c e o coeficiente deresistencia.

A forca que leva o corpo parabaixo

F = P FrSabendo que, P = m g,F = m a(t) e a(t) = dv(t)dt

dv(t)dt

= g cmv(t)



Equacoes DiferenciaisResolucao

A solucao para uma equacao diferencial consiste emencontrar uma funcao que satisfaca a equacao diferencial.A funcao nao deve conter derivadas nem diferenciais e elapode ser uma solucao geral ou particular.Uma solucao geral de ordem n e uma solucao contendo nconstantes de integracao independentes

v(t) = d1ectm +

gmc



Equacoes DiferenciaisResolucao

Uma solucao particular e obtida a partir da solucao geral,dando-se valores especficos a`s constantes

f (x0) = y0f (x1) = y1f (x2) = y2

...f (n1)(n 1) = yn1

Se x0 = x1 = x2 = . . . = xn entao o problema e dito ser devalor inicial, caso contrario e dito ser de contorno.



Equacoes DiferenciaisPorque usar metodos numericos?

A busca de uma solucao para uma equacao diferencialordinaria com problema de valor inicial apresenta algunsproblemas.Os procedimentos para a busca de uma solucao analticanao e trivial.Muitas questoes praticas nao possuem solucao conhecida.Os coeficientes ou as funcoes existentes na equacaodiferencial sao dados somente na forma de um conjuntotabelado de informacoes experimentais, o que tornaimpossvel o uso de um procedimento analtico paradeterminar a solucao da equacao.



Equacoes DiferenciaisMetodos numericos

Serao tratados os metodos numericos de resolucao deequacoes diferenciais ordinarias (EDO) com o problemado valor inicial (PVI). Esses metodos apresentam aseguinte forma geral:{

dy(x)dx = f (x , y(x))

y(x0) = y0

Metodo de EulerMetodo de Runge-Kutta



Sumario

1 Introducao

2 Metodo de Euler




Metodo de EulerIntroducao

Dado uma equacao diferencial ordinaria de primeira ordemcom problema de valor inicial{

dy(x)dx = f (x , y(x))

y(x0) = y0

e um conjunto de pontos x [a,b], pode-se aproximar a funcaoy(x) (solucao desejada) por um polinomio da serie de Taylor emtorno de um valor xk pertencente ao intervalo [a,b].

y(x) = y(xk ) + y (xk )(x xk )

1!+ y (xk )

(x xk )22!

+ . . .



Metodo de EulerIntroducao

Truncando a seria no segundo termo e fazendo x = xk+1

y(xk+1) y(xk ) + y (xk )(xk+1 xk )

Porem, xk+1 xk = h e y (xk ) = f (xk , y(xk ))

y(xk+1) = y(xk ) + h f (xk , y(xk ))yk+1 = yk + h f (xk , yk )

onde k = 0, 1, 2, . . ., n-1. n e o numero de subintervalos.



Metodo de EulerExemplo

Resolver a seguinte EDO, onde x [0,1] e h = 0.25{dy(x)dx = y 2xy

y(0) = 1




Primeiramente devemos encontrar a variacao do ndice k

h =b an n = 1 0

0.25= 4

Dessa forma, o ndice k varia de 0 ate 3.

f (xk , y(xk )) = yk 2xkyk

k = 0

x1 = x0 + h 0 + 0.25 = 0.25f (x0, y0) = y0 2 x0y0 1

2 01

= 1

y1 = y0 + h f (x0, y0) 1 + 0.25 1 = 1.25Ivanovitch Silva Resolucao Numerica de EDOs



k = 1

x2 = x1 + h 0.25 + 0.25 = 0.5f (x1, y1) = y1 2 x1y1 1.25

2 0.251.25

= 0.85

y2 = y1 + h f (x1, y1) 1.25 + 0.25 0.85 = 1.4625

k = 2

x3 = x2 + h 0.5 + 0.25 = 0.75f (x2, y2) = y2 2 x2y2 1.4625

2 0.51.4625

= 0.77874

y3 = y2 + h f (x2, y2) 1.4625 + 0.25 0.77874 = 1.6572




k = 3

x4 = x3 + h 0.75 + 0.25 = 1f (x3, y3) = y3 2 x3y3 1.6572

2 0.751.6572

= 0.75222

y4 = y3 + h f (x3, y3) 1.6572 + 0.25 0.75222 = 1.84526




Resolver a seguinte EDO, onde x [0,2] e h = 0.5{

dy(x)dx = yx

2 yy(0) = 1



Sumario

1 Introducao

2 Metodo de Euler




Metodos de Runge-KuttaIntroducao

Quanto menor o passo usado no metodo de Euler menor oerro de truncamento.Muitas vezes o erro nao e satisfatorio mesmo usando-seum passo muito pequeno.O metodo de Euler nao e usado na pratica.Utilizam-se metodos mais precisosRunge-Kutta de primeira ordem (metodo de Euler)Runge-Kutta de segunda ordemRunge-Kutta de quarta ordem



Metodos de Runge-KuttaSegunda ordem

Formato I (Euler melhorado)K1 = f (xj , yj)K2 = f (xj + h, yj + h K1)yj+1 = yj + h2(K1 + K2)

Formato II (Euler modificado)K1 = f (xj , yj)K2 = f (xj + h2 , yj +

h2 K1)

yj+1 = yj + h K2



Metodos de Runge-KuttaQuarta ordem

Dentre os metodos de Runge-Kutta, e o mais popular

K1 = f (xj , yj)K2 = f (xj + h2 , yj +

h2 K1)

K3 = f (xj + h2 , yj +h2 K2)

K4 = f (xj + h, yj + h K3)yj+1 = yj + h6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4)



Metodos de Runge-KuttaExemplo

Resolver a EDO para x [0,1] e h = 0.1{y = x y + 2y(0) = 2

Calculando o numero de subintervalos

h =b an n = b a

h=

1 00.1

= 10

Portanto, j varia de 0 ate 9




Para j = 0

K1 = f (x0, y0)= x0 y0 + 2= 0 2 + 2= 0

K2 = f (x0 + h2 , y0 +h2K1)

= f (0 + 0.12 ,2 +0.12 0)

= f (0.05,2)= 0.05 2 + 2= 0.05




K3 = f (x0 + h2 , y0 +h2K2)

= f (0 + 0.12 ,2 +0.12 0.05)

= f (0.05,2.0025)= 0.05 2.0025 + 2= 0.0475

K4 = f (x0 + h, y0 + h K3)= f (0 + 0.1,2 + 0.1 0.0475)= f (0.1,2.00475)= 0.1 2.00475 + 2= 0.09525




y1 = y0 + h6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4)

= 2 + 0.16 (0 + 2 0.05 + 2 0.0475 + 0.09525)= 2.0048375

Esse procedimento deve ser repetido ate j = 9, ou seja, ateencontrar o y10.


IntroduoMtodo de EulerMtodos de Runge-Kutta

Edo

Documents

Transcript of Edo